1.2任意角的三角函数讲义
1.2.1任意角的三角函数课件
小结： 小结：
（1）任意角的三角函数的定义； ）任意角的三角函数的定义； （2）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； ）三角函数的定义域与三角函数值在各象限的符号； （3）诱导公式一及其应用； 公式一及其应用； ）诱导公式一及其应用 （4）体会定义过程中体现的数形结合的思想 ）体会定义过程中体现的数形结合的思想.
-
(+)
(+ )
( )
-
ycos r
y a = tan x
求证：当且仅当下列不等式组成立时， 例3 求证：当且仅当下列不等式组成立时， 为第三象限角. 角 θ 为第三象限角
证明： 证明： 因为① 成立,所以 因为①式sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上； 或第四象限，也可能位于 轴的非正半轴上； 又因为② 成立， 又因为②式 tan θ > 0 成立，所以角θ 的终边可能位于 第一或第三象限. 第一或第三象限 因为①②式都成立， 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立，所以角θ 的终边只能位于第三象限 ①②式都成立 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
探究： 探究：
1.三角函数的定义域 三角函数的定义域 三角函数
sin α cos α tan α
定义域
π α α ≠ kπ + ,k ∈ Z 2
R R
2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号
(+ ) ( )
（+ ） ( )
( )
-
(+ )
( )
-
(+)
-
高中数学第一章三角函数1.2任意的三角函数1.2.1任意角的三角函数(第1课时)习题课件新人教A必修4
探究 3 利用诱导公式一可把负角的三角函数化为 0 到 2π 间的三角函数，亦可把大于 2π的角的三角函数化为 0 到 2π间 的三角函数，即实现了“负化正，大化小”．
思考题 3 (1)求值：m·sin72π ＋n·tan(－4π )＋p·cos52π . (2)证明：log2(4sin1 110°)＝1.
题型二 三角函数的符号 例 2 确定下列各式的符号： (1)sin105°·cos230°；(2)sin78π ·tan78π ； (3)sinα ·cosα (α 是第二象限角)．
【思路分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数
值的符号． 【解析】 (1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角， ∴sin105°>0，cos230°<0.于是 sin105°·cos230°<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则 sin78π>0，tan78π<0.∴sin78π·tan78π<0. (3)负
定义二：设 α 为一个任意角，在 α 的终边上任取一点 P(异于 原点)，其坐标为(x，y)，且 OP＝r，则：
sinα ＝yr ，cosα ＝xr ，tanα ＝yx.
要点 2 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号 (1)符号的图像表示：
(2)符号的记忆口诀： 三角函数正值歌：一全正、二正弦，三正切，四余弦(为正)．
2．诱导公式一的实质、结构特征及作用是什么？
答：(1)公式一的实质是说终边相同的角的同名三角函数值相 等．
(2)公式一的结构特征：①左、右为同一三角函数；②公式左边 的角为 α＋2kπ，右边的角为 α.
高中数学第一章三角函数1.2任意角的三角函数第2课时教学课件新人教A版必修4
(2)作直线 x＝－12交单位圆于 C、D 两点，连接 OC、OD， 则角 α 的终边在如图②所示的阴影区域内．
所以角 α 的集合为 α2kπ＋23π≤α≤2kπ＋43π，k∈Z.
单位圆中求作角的终边的方法
三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题 的重要工具，应用它可以求作满足形如f(α)＝m 的三角函数的角的终边．具体作法是先作出直 线y＝m或x＝m与单位圆的交点，再将原点与交 点连接所得射线即为所求角的终边．
(2)如图，作出正弦值等于12 的角 x 的终边，则正弦值大于
12的角 x 的终边与单位圆的交点在劣弧P︵1P2 上，∴所求角 x 的
取值范围是x2kπ＋π6＜x＜2kπ＋56π，k∈Z
.
答案：(1)0，π6∪116π，2π
(2)x2kπ＋π6＜x＜2kπ＋56π，k∈Z
利用三角函数线解三角不等式
(1)三角函数线是利用数形结合思想解决有关问 题的工具，利用它使解三角不等式更为简便．
(2)求解三角函数的定义域时，一般应转化为求 不等式(组)的解的问题，然后利用三角函数线 或数轴求解．
解不等式：3tan α＞－ 3. 解：要使 3tan α＞－ 3，即 tan α＞－ 33.
由正切线知－π6＋kπ＜α＜π2＋kπ，k∈Z.
(2)三角函数线的画法
定义中不仅定义了什么是正弦线、余弦线、正 切线，同时也给出了角α的三角函数线的画法， 即先找到P、M、T点，再画出MP、OM、AT .
(3)三角函数线的作用
三角函数线的主要作用是解三角不等式及比较 同角异名三角函数值的大小，同时它也是以后 学习三角函数的图象与性质的基础．
三角函数线的作法
1.2任意角的三角函数讲义
1.2任意角的三角函数（一）、任意角的三角函数设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ， 那么: （1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=； （3）yx叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；可以看出：当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标0x =，所以tan yxα=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。
正弦，余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
注：取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ，则对应的角α的正弦值sin α=，余弦值cos α=tan baα=。
注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。
例1、有下列命题:①终边相同的角的同名三角函数的值相等; ②终边不同的角的同名三角函数的值不等; ③若sin α>0,，则α是第一、二象限的角;④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点，则cos α=(其中正确的命题的个数是) .A 、1B 、2C 、3D 、4 例2、若sin 0θ<且tan 0θ>，则θ是第__________象限角。
例3、若sin cos 0θθ>，则θ在（）A 、第一或第二象限B 、第一或第三象限C 、第一或第四象限D 、第二或四象限 例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-⋅≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在第几象限。
例5、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值例6、有下列命题：①终边相同的角的同名三角函数的值相等； ②终边不同的角的同名三角函数的值不等； ③若sin 0α>，则α是第一、二象限角；④若α是第二象限角，且(,)P x y是其终边上的任一点，则cos α=其中正确命题的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、4 例7、已知角θ的终边上有一点(,3)(0)P x x ≠，且cos θ=，求sin ,tan θθ的值例8、已知1sin sin 01tan tan ααα+<+，求α是第几象限角（三）、三角函数的定义域 各种三角函数的定义域 例9：求函数sin cos tan x xy x+=的定义域（五）、诱导公式一根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一种三角函数的值相等，由此得到公式一例14、求值（1）0sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+ （2）1112sin()cos tan 465πππ-+⋅例15、（1）计算1112cos()sin tan 665πππ-+⋅；（2）比较0sin1155与0sin(1654)-的大小例16、确定0tan(672)-的符号例17、求00000sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan 945-⋅+-⋅-+的值例18、化简下列各式（1）22sin(1350)tan 4052cos(1080)a b ab -+-- （2）1112sin()cos tan 465πππ-+⋅（六）、同角三角函数的基本关系 一、同角三角函数的基本关系 1、平方关系：22sin cos 1αα+= 2、商数关系：sin tan (,)cos 2k k Z απααπα=≠+∈ 他们还有如下等价形式：2222sin sin 1cos ,cos 1sin ,sin cos tan ,cos tan αααααααααα=-=-==222(sin cos )sin cos 2sin cos 1+2sin cos αααααααα+=++=222(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα-=+-=- 22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=例19、已知tan 2α=-，求sin ,cos αα的值例20 例21、化简44661cos sin 1cos sin αααα----例22、已知sin 3cos 0αα+=，求sin ,cos αα的值例23、已知11sin ,cos ,333k k k k k αα+-==≠--，求tan 1tan 1αα-+的值例24、已知tan 3α=，求下列各式的值（1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ （2）2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα--- （3）2231sin cos 42αα+例25、已知1sin cos ,(0,)5θθθπ+=∈，求33sin cos ,sin cos θθθθ-+例27、已知tan 1tan 1αα=--，求下列各式的值（1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++例33、已知sin ,cos αα是方程236210x kx k +++=的两根，求实数k 的值练习：1、 若且tan 0α>，则α是（ ）A 、第一象限角B 、第二象限角C 、第三象限角D 、第四象限角 2、已知点Q(3,4)是α终边上的一点，则sin cos tan ααα++等于（ ） A.1 B.4115 C. 253D.12 3、已知cos tan 0θθ⋅<,那么角θ是( )A.第一或第三象限角B.第二或第四象限角C.第三或第四象限角D.第一或第四象限角4、已知33cos =-,(2,2)(),52k k k Z πααπππ∈++∈则tan α等于( ) A. 43 B. -43 C. 34 D. 3-45、当α为第二象限角时,|sin ||cos |sin cos αααα-的值是( ) A.1 B.0 C. 2 D.-26cos x =-,则x 的范围是_____________________. 知能提升突破1. 已知角α的终边在射线3(0)y x x =-≥上,则sin cos αα等于( )A. 310-B. C. 310 D.2. 在[0,2]π上满足1sin 2α≥的α的取值范围是( ) A. [0,]6π B. 5[,]66ππ C. 2[,]63ππ D. 5[,]6ππ3. 已知sin 3αα=为锐角,则cos α等于( )A.79B. C. D. 34. 已知α=,则22sin cos αα+等于( )B.0C. 1D.无法确定5. 若α为第三象限角,( )A.3B.-3C. 1D.-1 6. 若sin 2cos θθ=,则22sin sin cos 2cos θθθθ+⋅-=( )A. 43-B. 54C. 34- D. 457. 若1sin cos 5αα+=-,且0απ<<,则tan α的值是( )A.3-4或-43 B. 43 C. -43 D.3-48. 在(0,2)π内使cos sin tan x x x >>成立的x 的取值范围是( ) A. 3(,)44ππB. 53(,)42ππ C. 3[,2)2ππ D. 37[,]24ππ 9. 若3(,)4πθπ∈,则下列各式错误的是_________ ①sin cos 0θθ+<②sin cos 0θθ->③sin cos θθ<④sin cos 0θθ+>10.11. 已知1sin cos 8αα⋅=,且42ππα<<,则sin cos θθ-=___________________ 12. 已知tan 3α=,求22sin 4sin cos 2cos αααα+-的值. 13. 已知tan 2α=,求sin α和cos α的值.14. 利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合. (1)1sin 2α=②tan 1α=- ③1sin 2α<-④cos 2α≥15. 化简16. 已知关于x的方程221)0x x m -+=的两根为sin x θ=或cos ,(0,2)x θθπ=∈,求sin cos 11tan 1tan θθθθ+--的值.。
高中数学 第1章 三角函数 1_2 任意角的三角函数知识导航 苏教版
1.2 任意角的三角函数知识梳理一、任意角的三角函数1.定义:设α是一个任意角，α的终边上任意一点P 的坐标是(x,y)，它与原点的距离是r(r=22y x +>0)，那么sin α=r y ,cos α=r x ，tan α=xy .2.在直角坐标系中，以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆.以单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数、正切函数.如图1-2-1，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x,y)，那么 (1)y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin α=y ； (2)x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α=x ； (3)x y 叫做α的正切，记作tan α，即tan α=xy(x≠0).图1-2-13.三角函数的定义:正弦、余弦、正切等以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称三角函数.由三角函数的定义，以及各象限内点的坐标的符号，可以得知:1.正弦值r y第一、二象限为正(y>0,r>0)，第三、四象限为负(y<0,r>0)； 2.余弦值r x第一、四象限为正(x>0,r>0)，第二、三象限为负(x<0,r>0)；3.正切值xy第一、三象限为正(x 、y 同号)，第二、四象限为负(x 、y 异号).四、正弦线、余弦线、正切线1.有向线段:坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向.规定:与坐标轴方向一致时为正，与坐标轴方向相反时为负.2.三角函数线的定义:设任意角α的顶点在原点O 处，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x,y)，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点A(1,0)作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交于点T.下面是P 点分别在四个象限内的三角函数线： 由图1-2-2中四个图看出:图1-2-2当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段OM=x,MP=y ， 于是有sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT.我们就分别称有向线段MP 、OM 、AT 为正弦线、余弦线、正切线. 五、同角的三角函数的基本关系1.平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 2.商数关系:ααcos sin =tan α. 六、正弦、余弦、正切的诱导公式 诱导公式的内容知识导学要学好本节内容，可从复习初中学过的锐角三角函数入手.把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系.借助单位圆，通过观察图形，发现公式一至四，然后概括四组公式，认识它们的作用.结合例题与练习，来熟悉公式，理解并熟练地将任意角的三角函数等价转化为0至2π内的角的三角函数.形象的诱导公式的记忆口诀: 奇变偶不变， 符号看象限. 疑难突破1.为何不论点P 在终边上的位置如何，只要终边确定下来，角的每一类三角函数值都是定值？剖析:如图1-2-3.图1-2-3在角α的终边上取点A ，使OA=1,设A 的坐标为(l,m),再任取一点P(x,y),设OP=r(r≠0).由相似三角形对应边成比例得||||||||,1||||,1||||l m x y m r y l r x ===. ∵A、P 在同一象限内,∴m 与y ，x 与l 的坐标符号相同. ∴1l r x ==cos α,r y =1m =sin α,x y =lm=tan α. ∴点P 在终边上的位置并不影响三角函数值大小，三角函数的值只取决于α的大小. 2.学习同角三角函数基本关系式时应当注意哪几点？剖析:(1)等式成立的条件:①正、余弦对一切α∈R 均成立；②正切仅在α≠k π+2π(k∈Z )时成立.(2)学习同角基本关系式时,首先要突出“同角”的含义.这里的“同角”应作广义的理解. 如:3π与3π,3α与3α,6β+7π与6β+7π都是同角. (3)注意公式变形及逆用.如：sin 2α=1-cos 2α,cos 2α=1-sin 2α,1=sin 2α+cos 2α,sin α=tan αcos α,cos α=ααtan sin 等等. 3.诱导公式的规律及作用.剖析:诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0°—90°角的三角函数值. 诱导公式的规律为:(1)-α，π±α，2π-α，2k π+α(k∈Z )的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，为了便于记忆，可以说成“函数名不变，符号看象限”.例如:sin(180°-300°)=sin300°，把300°看成一个锐角α，则180°-300°=180°-α为锐角，所以sin(180°-300°)的符号为正，即sin300°前面所带符号也为正. (2)2π-α，2π+α的三角函数值，等于α的余名三角函数值前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，记忆口诀为“函数名改变，符号看象限”.例如:cos(90°+100°)=-sin100°，把100°看成锐角α，则90°+100°=90°+α为钝角，所以cos(90°+100°)的符号为负，即sin100°前面所带符号为负. (3)这两套公式可以归纳为k ·2π+α(k ∈Z )的三角函数值，当k 为偶数时，得α的同名函数值，当k 为奇数时，得α的余名三角函数值，然后在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，概括为“奇变偶不变，符号看象限”，这里的奇偶指k 的奇偶.。
1.2任意角的三角函数知识点
任意角的三角函数课前复习：1. 特殊角的三角函数值记忆新课讲解：任意点到原点的距离公式：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为2222(||||0)r r x y x y =+=+>，那么 （1）比值y r叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=； （2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x rα=； （3）比值y x叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； （4）比值x y叫做α的余切，记作cot α，即cot x y α=； 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y xα=无意义；同理当()k k Z απ=∈时，y x =αcot 无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x 、x y 分别是一个确定的实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
当角的终边上一点(,)P x y1=时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：设任意角α的顶点在原点O ，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P (,)x y ，过P 作x 轴的垂线，垂足为M ；过点(1,0)A 作单位圆的切线，它与角α的终边或其反向延长线交与点T .由四个图看出：当角α的终边不在坐标轴上时，有向线段,OM x MP y ==，于是有 sin 1y y y MP r α====， cos 1x x x OM r α====，tan y MP AT AT x OM OA α==== 我们就分别称有向线段,,MP OM AT 为正弦线、余弦线、正切线。
1.2任意角的三角函数重点学习的知识点重点学习的.doc
任意角的三角函数课前复习 ：1. 特殊角的三角函数值记忆新课讲解：任意点到原点的距离公式 ：1．三角函数定义在直角坐标系中， 设α是一个任意角， α终边上任意一点P （除了原点） 的坐标为 ( x, y) ，它与原点的距离为 r (r| x |2 | y |2x 2 y 20) ，那么1sin，即 sin y ；（ ）比值 y 叫做α的正弦，记作rr（ 2）比值 x 叫做α的余弦，记作 cos ，即 cosx ； rr （ 3）比值 y叫做α的正切，记作tan，即 tany ； xx 4cot，即 cotx ；（ ）比值 x 叫做α的余切，记作yy说明： ① α的始边与 x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；② 根据相似三角形的知识，对于确定的角α，四个比值不以点 P( x, y) 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③ 当k ( k Z ) 时，α的终边在 y 轴上，终边上任意一点的横坐标 x 都等2于 0 ，所以 tany k ( k Z ) 时， cotx无意义；同理当无意义；xy④ 除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y 、 x 、 y 、 x分别是一个确定的rrxy实数。
正弦、余弦、正切、余切是以角为自变量，比值为函数值的函数，以上四种函数统称为三角函数。
当角的终边上一点P( x, y)的坐标满足x 2 y 21时，有三角函数正弦、余弦、正切值的几何表示——三角函数线。
有向线段：坐标轴是规定了方向的直线，那么与之平行的线段亦可规定方向。
规定：与坐标轴方向一致时为正，与坐标方向相反时为负。
有向线段：带有方向的线段。
2．三角函数线的定义：设任意角的顶点在原点O ，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P ( x, y) ，过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M ；过点 A(1,0) 作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延长线交与点 T .yyTPAPM oAxoMxTy （ Ⅱ ）y （ Ⅰ ）TMAoM AxxoPP T（ Ⅲ）（ Ⅳ ）由四个图看出：当角 的终边不在坐标轴上时，有向线段OM x, MP y ，于是有siny y MP ， cosx x OMy MP AT ryrx， tanOM AT11xOA我们就分别称有向线段MP ,OM , AT 为正弦线、余弦线、正切线。
课件1：1．2.1 任意角的三角函数
A
y P(a，b)
r
α o Bx
要点阐释
如图:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点
P(x,y)，那么：
（1）y叫做 的正弦，记作 sin，即 sin y
（2）x叫做 的余弦，记作 cos，即 cos x
y （3）x
叫做
的正切，记作
tan
，即 tan
预习测评
5 1. 求 3 的正弦、余弦和正切值.
2. 已知角的终边过点P（－3，－4），求角的正弦、 余弦和正切值.
要点阐释
如图，在直角三角形ABC中，sinα，cosα，tanα分别叫
做角α的正弦、余弦和正切，它们的值分别等于什么？
B
α
C
A
要点阐释
为了研究方便，我们把锐角α放到直角坐标系中，并使角α 的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合.在角α的终 边上取一点P（a，b）,设点P与原点的距离为r，那么，
则α集合为
α
α=
3π 4
+2kπ
或α=
7π 4
+2kπ
题型三
已知 1 1 ,且lg(cos α )有意义 sinα sinα
（1）试判断α所在的象限
（1）由 1 1 可知sinα 0, sinα sinα
lg(cos α )有意义，因此cos α 0 故α为第四象限角
（2）
点M
(（3）2 +m 2 1，解得m 4
5
5
又α是第四象限角，故m 0,因此m 4 5
若点P（x，y）为角α终边上任意一点，那么sinα，cosα，
tanα对应的函数值分别等于什么？
1.2.1.1任意角三角函数
第1课时 任意角的三角函数(一)任意角的三角函数的定义sin α，即sin α＝y cos α，即cos α＝x ，即tan α＝yx(x ≠0) 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数到一个比值的集合的函数．三角函数值实质是一个比值，因此分母不能为零，所以正切函数的定义域就是使分母不为零的角的集合．Z }三角函数值在各象限的符号口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦状元随笔 对三角函数值符号的理解三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离总是正值．根据三角函数定义知：正弦值符号取决于纵坐标y 的符号；．sin 750°＝________.类型一三角函数的定义及应用1(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sin α＝________，cos α＝________，tan α＝________ 2x”其他条件不变，结果又如何？的值为；（1）将本例中条件“x＞0”改为“x＜0”，结果如何？（2）将本例中条件“x＞0”改为“x≠0”，结果又怎样？（3）将本例中“P(x，3)”改为“P(x，3x)”，且把“cos θ＝10x10”去掉，结果又怎样？A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(2)判断下列各式的符号：①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.方法归纳判断三角函数值正负的两个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sin α>0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y 轴的非负半轴上. 跟踪训练1 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5.2．已知角α的终边过点(3a －9，a ＋2)且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是 ． 3．设角α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2，则角α2是第 象限角．(2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 125π·tan 4π.7．当α为第二象限角时，|sin α|sin α－cos α|cos α|的值是________．8．已知角α的终边经过点P (3,4t )，且sin(2k π＋α)＝－35(k ∈Z )，则t ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知角α的终边为射线y ＝－34x (x ≥0)，求角α的正弦、余弦和正切值．10．判断下列各式的符号：(1)sin 105°·cos 230°；(2)cos 3·tan ⎝⎛⎭⎫－2π3.11．若α是第一象限角，则－α2是( )A ．第一象限角B ．第四象限角C ．第二或第三象限角D ．第二或第四象限角 12．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________. 13．计算：(1)sin 390°＋cos(－660°)＋3tan 405°－cos 540°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－7π2＋tan π－2cos 0＋tan 9π4－sin 7π3.14．已知角α的终边过点(a,2a )(a ≠0)，求角α的正弦、余弦和正切值．第2课时 任意角的三角函数(二)1.相关概念(1)单位圆：以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆． (2)有向线段：带有方向(规定了起点和终点)的线段．规定：方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之为负值． 2．三角函数线状元随笔 (1)三角函数线的方向．正弦线由垂足指向角α的终边与单位圆的交点，余弦线由原点指向垂足，正切线由切点指向切线与角α的终边或其反向延长线的交点．(2)三角函数线的正负：三条有向线段凡与x 轴或y 轴同向的，为正值，与x 轴或y 轴反向的，为负值． (1)角的三角函数线是直线．( )(2)角的三角函数值等于三角函数线的长度．( )(3)第二象限的角没有正切线．( )2．有下列四个说法：①α一定时，单位圆中的正弦线一定；②单位圆中，有相同正弦线的角相等； ③α和α＋π有相同的正切线；④具有相同正切线的两个角终边相同． 不正确说法的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3．如图所示，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM ，正切线A ′T ′B ．正弦线MP ，正切线A ′T ′C ．正弦线MP ，正切线ATD ．正弦线PM ，正切线AT 4．已知sin α>0，tan α<0，则α的( )A ．余弦线方向向右，正切线方向向下B ．余弦线方向向右，正切线方向向上C ．余弦线方向向左，正切线方向向下D ．余弦线方向向上，正切线方向向左类型一 三角函数线的作法【例1】 作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)－π4；(2)17π6；(3)10π3.类型二 利用三角函数线比较大小【例2】 (1)已知A ．若α、β是第一象限角，则sin α＞sin β B ．若α、β是第二象限角，则tan α＞tan β C ．若α、β是第三象限角，则sin α＞sin β D ．若α、β是第四象限角，则tan α＞tan β (2)利用三角函数线比较sin2π3和sin 4π5，cos 2π3和cos 4π5，tan 2π3和tan 4π5的大小．方法归纳利用三角函数线比较大小的步骤利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：①角的位置要“对号入座”；②比较三角函数线的长度；③确定有向线段的正负．跟踪训练1．已知a ＝sin 2π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c2 设π4<α<π2，试比较角α的正弦线、余弦线和正切线的长度．如果π2<α<3π4，上述长度关系又如何？类型三 利用三角函数线解不等式(1)cos α＞－22；(2)tan α≤33；(3)|sin α|≤12.1．将本例(1)的不等式改为“cos α＜22”，求α的取值范围 2．将本例(3)的不等式改为“－12≤sin θ＜32”，求α的取值范围3．利用本例的方法，求函数y ＝2sin x －1的定义域．方法归纳利用三角函数线解三角不等式的方法利用三角函数线求解不等式，通常采用数形结合的方法，求解关键是恰当地寻求点．一般来说，对于sin x ≥b ，cos x ≥a (或sin x ≤b ，cos x ≤a )，只需作直线y ＝b ，x ＝a 与单位圆相交，连接原点和交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x 的范围；对于tan x ≥c (或tan x ≤c )，则取点(1，c )，连接该点和原点即得角的终边所在的位置，并反向延长，结合图象可得．跟踪训练3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．(1) sin α≥32；(2)cos α≤－12.一、选择题(每小题5分，共25分)1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角的正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任意角的正弦线、正切线总是存在的，但余弦线不一定存在D ．任意角的正弦线、余弦线总是存在的，但正切线不一定存在2．如果MP 和OM 分别是角α＝7π8的正弦线和余弦线，那么下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．OM >0>MPC ．OM <MP <0D ．MP >0>OM3．有三个命题：①π6和5π6的正弦线长度相等；②π3和4π3的正切线相同；③π4和5π4的余弦线长度相等．其中正确说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．04．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－3π4，π4 B.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 C.⎣⎡⎦⎤－π4，3π4 D.[]0，π5．如果π4<θ<π2，那么下列各式中正确的是( )A ．cos θ<tan θ<sin θB ．sin θ<cos θ<tan θC ．tan θ<sin θ<cos θD ．cos θ<sin θ<tan θ二、填空题(每小题5分，共15分)6．比较大小：sin 1________sin π3(填“>”或“<”)．7．不等式tan α＋33>0的解集是________________________．8．用三角函数线比较sin 1与cos 1的大小，结果是________．三、解答题(每小题10分，共20分)9．做出下列各角的正弦线、余弦线、正切线．(1)5π6；(2)－2π3.10．利用三角函数线，求满足下列条件的角α的集合：(1)tan α＝－1；(2)sin α≤－22.11．已知角α的正弦线和余弦线的方向相反、长度相等，则α的终边在( )A ．第一象限的角平分线上B ．第四象限的角平分线上C ．第二、第四象限的角平分线上D ．第一、第三象限的角平分线上12．若cos θ>sin 7π3，利用三角函数线得角θ的取值范围是________．13．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，试利用三角函数线证明sin α＋cos α>1.。
1.2 任意角的三角函数-人教A版高中数学必修四讲义(解析版)
知识点一任意角的三角函数使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，作PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.思考1角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？答案sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.思考2对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？答案不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P(x，y)在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考3在思考1中，当取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？答案sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx.梳理(1)单位圆在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．(2)定义在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：教材要点学科素养学考高考考法指津高考考向1.三角函数的定义数学抽象水平1 水平11.以锐角三角函数的定义来推广记忆任意角的三角函数的定义。
2.充分理解同角三角函数的基本关系式，掌握公式成立的条件及公式的变形。
3.理解并记忆求值、化简及证明的模型，领会解题常用的方法技巧。
【考查内容】根据三角函数的定义求值，三角函数平方关系的应用。
【考查题型】选择题、填空题【分值情况】5分2.终边相同的角的同一三角函数值的关系数学运算水平1 水平23.单位圆数学直观水平1 水平24.同角三角函数的两个基本关系式数学运算水平1 水平2第二讲任意角的三角函数知识通关①y 叫做α的正弦，记作sin_α， 即sin α＝y ；②x 叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x ≠0)． 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号思考 根据三角函数的定义，你能判断正弦、余弦、正切函数的值在各象限的符号吗？答案 由三角函数定义可知，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．当α为第一象限角时，y >0, x >0，故sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得当α在其他象限时三角函数值的符号，如图所示．梳理 记忆口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三 诱导公式一思考 当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？ 答案 它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等． 梳理 诱导公式一知识点四 三角函数的定义域思考 正切函数y ＝tan x 为什么规定x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z?答案 当x ＝k π＋π2，k ∈Z 时，角x 的终边在y 轴上，此时任取终边上一点P (0，y P )，因为y P0无意义，因而x 的正切值不存在．所以对正切函数y ＝tan x ，必须要求x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .梳理 正弦函数y ＝sin x 的定义域是R ；余弦函数y ＝cos x 的定义域是R ；正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z .知识点五 三角函数线思考1 在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM ⊥x 轴，过点A (1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T ，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP ，OM ，AT 的关系吗？答案 sin α＝MP ，cos α＝OM ，tan α＝AT . 思考2 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x 轴或y 轴的正方向一致的为正值，反之，为负值． 思考3 三角函数线的长度和方向各表示什么？答案 长度等于三角函数值的绝对值，方向表示三角函数值的正负． 梳理角α的终边与单位圆交于点P ，过点P 作PM 垂直于x 轴，有向线知识点六 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin 230°＋cos 230°； (2)sin 245°＋cos 245°； (3)sin 290°＋cos 290°.由此你能得出什么结论？尝试证明它． 答案 3个式子的值均为1.由此可猜想：对于任意角α，有sin 2α＋cos 2α＝1，下面用三角函数的定义证明：设角α的终边与单位圆的交点为P (x ，y )，则由三角函数的定义，得sin α＝y ，cos α＝x . ∴sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2＝|OP |2＝1.思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？ 答案 ∵tan α＝y x (x ≠0)，∴tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.②商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. ②tan α＝sin αcos α的变形公式＝sin αtan α.此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x＝－1时，P(－1,3)，此时sin θ＝3(－1)2＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3.命题角度2已知角α终边所在直线求三角函数值规律方法例1-2已知角α的终边在直线y＝3x上，则sin α，cos α，tan α的值分别为________．解析：因为角α的终边在直线y＝3x上，所以可设P(a，3a)(a≠0)为角α终边上任意一点，则r＝a2＋(3a)2＝2|a|(a≠0)．若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，所以sin α＝3a2a＝32，cos α＝a2a＝12，tan α＝3aa＝ 3.若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，所以sin α＝3a－2a＝－32，cos α＝－a2a＝－12，tan α＝3aa＝ 3.答案32，12，3或－32，－12， 3变式训练1-2在平面直角坐标系中，角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值．解析：当角α的终边在射线y＝－34x(x>0)上时，取终边上一点P(4，－3)，所以点P到坐标原点的距离r＝|OP|＝5，所以sin α＝yr＝－35＝－35，cos α＝xr＝45，tan α＝yx＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝－35－125－34＝－154.当角α的终边在射线y＝－34x(x<0)上时，取终边上一点P′(－4,3)，所以点P′到坐标原点的距离r＝|OP′|＝5，所以sin α＝yr＝35，cos α＝xr＝－45，tan α＝yx＝3－4＝－34.所以sin α－3cos α＋tan α＝35－3×⎝⎛⎭⎫－45－34＝35＋125－34＝94.综上，sin α－3cos α＋tan α的值为－154或94.题型二 三角函数值符号的判断 规律方法例2、 判断下列各式的符号：(1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 解析： (1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)∵π2＜3＜π＜4＜3π2＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0， ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.变式训练2 sin1cos3tan5的值（ ） A ．小于0 B ．大于0 C ．等于0 D ．不存在解析： π3π013π52π22<<<<<<，， ∴sin10cos30tan50><<，，．答案 B题型三 诱导公式一的应用 规律方法(1)sin390°＋cos(－660°)＋3tan405°－cos540°；变式训练3tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 解析： tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°) ＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋32＝32. 答案32题型四 三角函数线 规律方法sin ⎝⎛⎭⎫－5π8＝MP ，cos ⎝⎛⎭⎫－5π8＝OM ， tan ⎝⎛⎭⎫－5π8＝AT . 变式训练4、 在单位圆中画出满足sin α＝12的角α的终边，并求角α的取值集合．解析： 已知角α的正弦值，可知P 点纵坐标为12.所以在y 轴上取点⎝⎛⎭⎫0，12，过这点作x 轴的平行线，交单位圆于P 1，P 2两点，则OP 1，OP 2是角α的终边，因而角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z .题型五 利用同角三角函数的关系式求值 命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值则tan α的值为( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 解析： ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512，故选D.答案 D(2) 已知－π2<α<0，sin α＋cos α＝15，则tan α的值为( ) A ．－43 B ．－34 C.34 D.43解析： ∵sin α＋cos α＝15，等号两边同时平方得1＋2sin αcos α＝125，即sin αcos α＝－1225，∴sin α，cos α是方程x 2－15x －1225＝0的两根，又∵－π2<α<0，∴sin α＝－35，cos α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－34.答案 B变式训练5-1 已知tan α＝43，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．解析： 由tan α＝sin αcos α＝43，得sin α＝43cos α.①又sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②得169cos 2α＋cos 2α＝1，即cos 2α＝925.又α是第三象限角，∴cos α＝－35，sin α＝43cos α＝－45.命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 规律方法：例5-2已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝－817<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517， tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158.(2)当α是第三象限角时，则 sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.变式训练5-2 已知cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解析： ∵cos α＝1213>0且cos α≠1，∴α是第一或第四象限角． (1)当α是第一象限角时，则 sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513，tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.(2)当α是第四象限角时，则sin α＝－1－cos 2α＝－513，tan α＝－512.题型六 齐次式求值问题 规律方法：例6 已知tan α＝2，求下列代数式的值． (1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α；(2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α.解析： (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611.(2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330.变式训练6 已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，求下列各式的值． (1)5cos 2θsin 2θ＋2sin θcos θ－3cos 2θ； (2)1－4sin θcos θ＋2cos 2θ.解析： 由已知4sin θ－2cos θ3sin θ＋5cos θ＝611，∴4tan θ－23tan θ＋5＝611，解得tan θ＝2.(1)原式＝5tan2θ＋2tan θ－3＝55＝1.(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θsin2θ＋cos2θ＝tan2θ－4tan θ＋31＋tan2θ＝－15.例8-1 ∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2α>的角α的范围．∴在单位圆中，利用三角函数线求出满足1sin 2≤α的角α的范围．解析：∴如图所示，π5π2π2π66k k k αα⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ，． ∴如图所示，5π132ππ2π66k k k αα⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭Z ≤≤，．（1）（2）变式训练8-1 已知－12≤cos θ<32，利用单位圆中的三角函数线，确定角θ的取值范围．解析： 图中阴影部分就是满足条件的角θ的范围， 即⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪2k π－23π≤θ<2k π－π6或2k π＋π6<θ≤2k π＋23π，k ∈Z .命题角度2 利用三角函数线求三角函数的定义域 规律方法例8-2 求函数y ＝lg ⎝⎛⎭⎫sin x －22＋1－2cos x 的定义域．解析： 由题意知，自变量x 应满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22>0，即⎩⎨⎧cos x ≤12，sin x >22.12(1)化简：sin 2αtan α＋cos 2αtan α＋2sin αcos α. 原式＝sin 2α·sin αcos α＋cos 2α·cos αsin α＋2sin αcos α＝sin 4α＋cos 4α＋2sin 2αcos 2αsin αcos α＝(sin 2α＋cos 2α)2sin αcos α＝1sin αcos α.求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．一、选择题1．已知角α的终边过点(－2,1)，则cos α的值为()A.55 B.255C．－55D．－255答案 D2．如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则sin α等于()A.12B．－12C．－32D．－33解析：由题意得P(1，－3)，它与原点的距离r＝12＋(－3)2＝2，∴sin α＝－32. 答案 C3.如图在单位圆中，角α的正弦线、正切线完全正确的是()A．正弦线为PM，正切线为A′T′B．正弦线为MP，正切线为A′T′C．正弦线为MP，正切线为ATD．正弦线为PM，正切线为AT答案 C4．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x－π3的定义域为()A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠π3，x∈R B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋π6，k∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ＋5π6，k∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪x≠kπ－5π6，k∈Z解析：∵x－π3≠kπ＋π2，k∈Z，∴x≠kπ＋5π6，k∈Z.答案 CA组基础演练5．若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－π3，π3 B.⎝⎛⎭⎫0，π3 C.⎝⎛⎭⎫5π3，2πD.⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 解析： 角α的取值范围为图中阴影部分， 即⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π.答案 D7．已知tan θ＝2，则1sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45答案 B 8.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．sin 10°D ．cos 10°解析： 1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1.答案 B9．若α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α等于（ ） A ．15B ．15-C ．513D ．513-解析：因为5tan 12α=-，所以sin 5cos 12αα=-，即12cos sin 5αα=-，因为22sin cos 1αα+=， 所以22144sin sin 125αα+=，即225sin 169α=，因为α是第四象限角，所以5sin 13α=-。
1.2.1任意角的三角函数教学课件2
§1.2 任意角的三角函数 1．2.2 三角函数线及其应用
前面我们学习了任意角的三 角函数，它主要从数上研究了它 们，能否从图形上来研究呢？
预习课本P15～17，思考并完成以下问题
(1)有向线段是如何定义的？
(2)三角函数线是如何定义的？
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x，y），角α的三角函数是怎样定义的？
余弦线、正切线 ；
(2)其中cosα＝ OM ，sinα＝ MP ，tanα ＝ AT .
4.正弦线为角 α 的终边与单位圆的交点到 x 轴的 垂线段，方向由垂足指向角 α 的终边与单位圆的交点， 与坐标轴的方向相同时为正，相反时为负；余弦线在 x 轴上，方向由原点指向垂足，与坐标轴的方向相同 时为正，相反时为负；正切线在过单位圆与 x 轴正方 向的交点的切线上，它在单位圆外，方向由切点指向 与 α 终边或其反向延长线的交点，与坐标轴方向相同 时为正，相反时为负
y
tan AT
α
M A(1,0)
O
x
PT α的终边
如图1，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点 在圆心O，始边与x轴的正半轴重合，终边 与单位圆相交于点P，点P在x轴上的正射影 为 M ， 过 A(1,0) 作 单 位 圆 的 切 线 交 α 的 终 边 OP或其反向延长线于点T，则
(1)把向量OM，MP，AT分别叫做α的 正弦线 、
| MP | y sin
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
思考2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的
交点为P（x，y），则 sin y，cos x都是
负数，此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段
表示？
1.2任意角的三角函数(第一课时)
1.2任意角的三角函数（第一课时）一、教材分析学生在初中已经学习了锐角三角函数，其引入与解直角三角形有关。
而本节要学习的任意角的三角函数，更多是从函数的角度引入和理解的，是后面学习三角函数的图象和性质，特别是周期性变化规律的重要基础。
本节以锐角三角函数为引子，利用单位圆上的点的坐标定义三角函数，一方面简化了三角函数的定义式，另一方面也直观反映了三角函数周而复始的变化规律，更能有效帮助学生理解三角函数的本质，这是新课程的一大亮点。
二、教学目标知识与技能目标:1、 借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；2、 能根据任意角的三角函数的定义求出具体的角的各三角函数值；方法与过程目标:在定义的学习及概念同化的过程中培养学生类比、分析以及研究问题的能力。
情感态度与价值观: 在定义的学习过程中渗透数形结合和化归思想的思想。
三、教学重、难点教学重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义教学难点:用单位圆上点的坐标刻画三角函数；三角函数中的对应关系.四、教法与学法教师通过问题引导和图形动态演示启发学生，学生通过观察与思考、合作与探究进行学习。
五、教学过程：（一）创设情境1、提问：锐角α的正弦、余弦、正切怎样表示？2、引入：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离r =线,垂足为M ,则线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为sin MP b OP r α==;cos OM a OP rα==; tan MP b OM aα==. 3、思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 变呢？（结合相似三角形知识，说明三个值与终边上点的位置无关）显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP b OM aα==. 4、思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.（二）探究新知()1,0A Oy x α(),P x y ﹒ 1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α,即sin y α=；（2）x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=；（3）yx 叫做α的正切,记做tan α,即tan (0)y x x α=≠. 注意:既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.提问：你能解释一下定义中的对应关系？三角函数是以角的弧度数为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.（三） 例题讲解例1. 求53π的正弦、余弦和正切值. 小结：让学生熟悉三角函数的概念，用单位圆表示三角函数。
1.2任意角的三角函数
1.2任意角的三角函数1.2.1三角函数的定义教学目标：知识与技能1. 掌握任意角的三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2.利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值；3.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
过程与方法1.树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数；2.通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。
掌握用单位圆中的线段表示三角函数值，从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
情感态度与价值观1.使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2.学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神；教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。
公式一是本小节的另一个重点。
一、复习引入：初中锐角的三角函数是如何定义的？在Rt △ABC 中，设A 对边为a ，B 对边为b ，C 对边为c ，锐角A 的正弦、余弦、正切依次为,,a b asinA cosA tanA c c b=== ． 角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。
二、讲解新课：1．三角函数定义在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P （除了原点）的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为(0)r r ==>，那么（1）比值yr叫做α的正弦，记作sin α，即sin y r α=；（2）比值x r 叫做α的余弦，记作cos α，即cos xrα=；（3）比值yx叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=；（4）比值x y 叫做α的余切，记作cot α，即cot xy α=；（5）比值r x 叫做α的正割，记作sec α，即sec rxα=；（6）比值r y 叫做α的余割，记作csc α，即csc r yα=． 说明：①α的始边与x 轴的非负半轴重合，α的终边没有表明α一定是正角或负角，以及α的大小，只表明与α的终边相同的角所在的位置；②根据相似三角形的知识，对于确定的角α，六个比值不以点(,)P x y 在α的终边上的位置的改变而改变大小；③当()2k k Z παπ=+∈时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=与sec r x α=无意义；同理，当()k k Z απ=∈时，x coy yα=与csc ryα=无意义； ④除以上两种情况外，对于确定的值α，比值y r 、x r 、y x、x y 、r x 、ry 分别是一个确定的实数，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、余割是以角为自变量，一比值为函数值的函数，以上六种函数统称为三角函数。
1.2.1 任意角的三角函数 课件
19 tan 3
cos 4 sin 12 tan 6 3 6 3
cos
3 6 3 1 1 3 1 3 2 2
sin
tan
1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
1、在初中我们是如何定义锐角三角函数的？ P c
a
sin
O
b
cos
tan
M
a c b c a b
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
a
O y
b
M
x
新课
导入
2.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？ 其中 : MP b sin OM a OP r MP b OM a cos 2 2 OP r a b OP r
其中
kz
利用公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为 求 0到2
或0到360 角的三角函数值 .
例4 确定下列三角函数值的符号：
解： （1）因为 250 是第三象限角，所以cos 250 0 ；
（2）因为 tan(672) = tan(48 2 360) tan48， 而 48 是第一象限角，所以 tan(672) 0 ； sin （3）因为 是第四象限角，所以 4 0 . 4
y
﹒Pa, b
MP b tan OM a
o
﹒
M
x
诱思
探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
P(a,b)
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1.2任意角的三角函数
（一）、任意角的三角函数
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ， 那么:
（1）y 叫做α的正弦，记作sin α，即sin y α=；
（2）x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos x α=；
（3）y x
叫做α的正切，记作tan α，即tan y x α=； 可以看出：当()2k k Z π
απ=+∈时，α的终边在y 轴上，这时点P 的横坐标0x =，所以
tan y x
α=无意义，除此之外，对于确定的角α，以上三个值都是唯一确定的。
正弦，余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数。
注：取角α的终边上任意一点(,)P a b (原点除外) ，则对应的角α的正弦值
sin α=，余弦值cos α=tan b a
α=。
注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理。
例1、有下列命题:
①终边相同的角的同名三角函数的值相等;
②终边不同的角的同名三角函数的值不等;
③若sin α>0,，则α是第一、二象限的角;
④若α是第二象限的角，且(,)P x y 是其终边上一点，则
cos α=其中正确的命
题的个数是) .
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
例2、若sin 0θ<且tan 0θ>，则θ是第__________象限角。
例3、若sin cos 0θθ>，则θ在（）
A 、第一或第二象限
B 、第一或第三象限
C 、第一或第四象限
D 、第二或四象限 例4、已知sin sin ,cos cos ,sin cos 0θθθθθθ=-=-⋅≠且，判断点(tan ,sin )P θθ在第几象限。
例5、已知角α的终边过点(3,4)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值
例6、有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sin 0α>，则α是第一、二象限角；
④若α是第二象限角，且(,)P x y
是其终边上的任一点，则cos α=
其中正确命题的个数是（）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4
例7、已知角θ的终边上有一点(,3)(0)P x x ≠
，且cos x θ=
，求sin ,tan θθ的值 例8、已知 1
sin sin 0tan tan ααα+
<+，求α是第几象限角
（三）、三角函数的定义域
各种三角函数的定义域
例9：求函数sin cos tan x x y x
+=的定义域
（五）、诱导公式一
根据三角函数的定义可以知道，终边相同的角的同一种三角函数的值相等，由此得到公式一
例14、求值
（1）00000sin(1320)cos1110cos(1020)sin750tan 495-+-+
（2）1112sin()cos tan 465
πππ-
+⋅
例15、（1）计算1112cos()sin tan 665
πππ-
+⋅；（2）比较0sin1155与0sin(1654)-的大小
例16、确定0tan(672)-的符号
例17、求00000sin(1200)cos1290cos(1020)sin(1050)tan945-⋅+-⋅-+的值
例18、化简下列各式
（1）20200sin(1350)tan 4052cos(1080)a b ab -+--
（2）1112sin()cos tan 465
πππ-+⋅
（六）、同角三角函数的基本关系
一、同角三角函数的基本关系
1、平方关系：22sin cos 1αα+=
2、商数关系：sin tan (,)cos 2
k k Z απααπα=≠+∈ 他们还有如下等价形式： 2222sin sin 1cos ,cos 1sin ,sin cos tan ,cos tan αααααααααα=-=-==
222(sin cos )sin cos 2sin cos 1+2sin cos αααααααα+=++=
222(sin cos )sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα-=+-=-
22(sin cos )(sin cos )2αααα++-=
例19、已知tan 2α=-，求sin ,cos αα的值
例20例21、化简44661cos sin 1cos sin αααα----
例22、已知sin 3cos 0αα+=，求sin ,cos αα的值
例23、已知11sin ,cos ,333k k k k k αα+-=
=≠--，求tan 1tan 1
αα-+的值
例24、已知tan 3α=，求下列各式的值 （1）4sin cos 3sin 5cos αααα-+ （2）2222sin 2sin cos cos 4cos 3sin αααααα
--- （3）
2231sin cos 42αα+
例25、已知1sin cos ,(0,)5
θθθπ+=
∈，求33sin cos ,sin cos θθθθ-+
例27、已知
tan 1tan 1
αα=--，求下列各式的值 （1）sin 3cos sin cos αααα-+；（2）2sin sin cos 2ααα++
例33、已知sin ,cos αα是方程2
36210x kx k +++=的两根，求实数k 的值
练习：
1、 若且tan 0α>，则α是（ ）
A 、第一象限角
B 、第二象限角
C 、第三象限角
D 、第四象限角
2、已知点Q(3,4)是α终边上的一点，则sin cos tan ααα++等于（ ） A.1 B.
4115 C. 253
D.12 3、已知cos tan 0θθ⋅<,那么角θ是( ) A.第一或第三象限角 B.第二或第四象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角
4、已知33cos =-,(2,2)(),5
2
k k k Z πααπππ∈++∈则tan α等于( ) A. 43 B. -43 C. 34 D. 3-4
5、当α为第二象限角时,|sin ||cos |sin cos αααα-的值是( ) A.1 B.0 C. 2 D.-2
6cos x =-,则x 的范围是_____________________.
知能提升突破
1. 已知角α的终边在射线3(0)y x x =-≥上,则sin cos αα等于( )
A. 310-
B. 10-
C. 310
D. 10
2. 在[0,2]π上满足1sin 2
α≥
的α的取值范围是( ) A. [0,]6π B. 5[,]66ππ C. 2[,]63ππ D. 5[,]6ππ
3. 已知sin 3
αα=为锐角,则cos α等于( )
A. 79
B. 3±
C. 3
D. 3
4. 已知α=
,则22sin cos αα+等于( )
无法确定
5. 若α为第三象限角,
的值为( )
A.3
B.-3
C. 1
D.-1
6. 若sin 2cos θθ=,则22sin sin cos 2cos θθθθ+⋅-=( ) A. 43- B. 54 C. 34- D. 45
7. 若1sin cos 5
αα+=-,且0απ<<,则tan α的值是( ) A.3-4或-43 B. 43 C. -43 D. 3-4 8. 在(0,2)π内使cos sin tan x x x >>成立的x 的取值范围是( ) A. 3(,)44ππ B. 53(,)42ππ C. 3[,2)2ππ D. 37[,]24
ππ 9. 若3(,)4
πθπ∈,则下列各式错误的是_________ ①sin cos 0θθ+<
②sin cos 0θθ-> ③sin cos θθ< ④sin cos 0θθ+> 10.
=___________________ 11. 已知1sin cos 8αα⋅=
,且42ππα<<,则sin cos θθ-=___________________ 12. 已知tan 3α=,求22sin 4sin cos 2cos αααα+-的值.
13. 已知tan 2α=,求sin α和cos α的值.
14. 利用三角函数线,求满足下列条件的角α的集合. (1)1sin 2α= ②tan 1α=- ③1sin 2α<-
④cos α≥ 15. 化简
16. 已知关于x
的方程221)0x x m -+=的两根为sin x θ=或cos ,(0,2)x θθπ=∈,求sin cos 11tan 1tan θθθθ
+--的值.。