数思想方法与数学解题方法

中学解题数学思想方法与解题方法第一部分：数学思想方法数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识,而数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。

数学思想与数学方法是数学知识中莫基性成分,是学生获得数学能力必不可少的。

一、函数与方程思想函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。

所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。

函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。

所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。

二、数形结合思想数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。

数与形在一定的条件下可以转化。

如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

数形结合思想研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面由数思形，由形思数数形结合，用形解决数的问题。

在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。

三、分类与整合思想分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。

1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法2)从具体出发，选取适当的分类标准；划分只是手段，分类研究才是目的3)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性4)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性5)解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度；分类的原则：分类不重不漏。

6)分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围;②确定分类讨论的分类标准;③按所分类别进行讨论;④归纳小结、综合得出结论。

注意动态问题一定要先画动态图。

7)常见的类型：①由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系等概念的分类讨论;②由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;③由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论;④由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

⑤由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

四、化归与转化思想化归与转化的思想和方法化归意识是指在解决间题的过程中,对间题进行转化,使之成为简单、熟知问题的基本解题模式,它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。

转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化;函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。

转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。

五、特殊与一般思想①通过对个例认识与研究，形成对事物的认识②由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论③由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程④构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程⑤高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向六、有限与无限的思想①把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路②积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向③立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用④随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查七、或然与必然的思想①随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性②偶然中找必然，再用必然规律解决偶然③等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

第二部分：解题方法探索中学数学解题方法，对学生学习数学、提高数学思维方法和培养数学应用能力具有十分重要的作用和意义。

一、配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂”与“添”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式直到目前为止我们所熟识的配方给我们带来的便利是：解决一元二次方程求根问题、得到函数图像的对称轴、引入函数单调性的时候以其为例、求出最值(利润最大化问题、值域问题)等等。

二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

①局部换元局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

我们以高一必修一中指数函数章节的问题来做以下介绍与引导。

②三角换元应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

这一点我们在学习函数的基本性质当中也会有所涉及到，那就是利用三角换元求解函数值域的问题，当然得注意要属于[0,1]的问题。

③均值换元如若x+y=m，则可令x=m²+t，y=m²-t，这种换元就称为"均值换元"。

用均值换元解决一些问题，可以简化解题步骤，降低解题难度，达到事半功倍的效果。

三、待定系数法要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法。

其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x) g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a) g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。

使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。

例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。

四、定义法所谓定义法，就是直接用数学定义解题。

数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演出来。

定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。

用定义法解题，是最直接的方法，但同时有时也是比较烦的方法，学生在学习数学过程当中首先需要过关的就是运用定义识别对错或解决问题证明，只有长久这样才能掌握因此延伸的定理、法则等等。

五、数学归纳法归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。

归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。

不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论证中是不允许的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论来。

数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法,在解数学题中有着广泛的应用。

它是一个递推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命题成立,再证明n=k+1时命题也成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到般,实际上它使命题的正确性突破了有限,达到无限。

这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断定“对任何自然数(或n≥n0且n ∈N)结论都正确”。

由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于完全归纳。

运用数学归纳法证明问题时,关键是n=k+1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终要达到的解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题。

运用数学归纳法,可以证明下列可题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

六、参数法参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量(参数),以此作为媒介再进行分析和综合,从而解决问题。

直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。

换元法也是引入参数的典型例子。

辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要揭示事物之间的内在联系,从而发现事物的变化规律。

参数的作用就是刻画事物的变化状态,揭示变化因素之间的内在联系。

参数体现了近代数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支。

运用参数法解题已经比较普遍。

参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的信息,顺利地解答问题。

七、反证法与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思考问题的证明方法,即:肯定题设而否定结论,从而导出矛盾推理而得。