数思想方法与数学解题方法

中学解题数学思想方法与解题方法

第一部分：数学思想方法

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识,而数学方法是以数学为工具进行科学研究的方法。数学思想与数学方法是数学知识中莫基性成分,是学生获得数学能力必不可少的。

一、函数与方程思想

函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。

所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用。

所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础。

高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查。

二、数形结合思想

数形结合的思想和方法数形结合思想是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。

数与形在一定的条件下可以转化。如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题;而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

数形结合思想研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面由数思形，由形思数数形结合，用形解决数的问题。在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系；在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系。

三、分类与整合思想

分类讨论思想是对数学对象进行分类寻求解答的一种思想方法，其作用在于克服思维的片面性，全面考虑问题。

1)分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法

2)从具体出发，选取适当的分类标准；划分只是手段，分类研究才是目的

3)有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性

4)含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性

5)解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度；分类的原则：分类不重不漏。

6)分类的步骤：①确定讨论的对象及其范围;②确定分类讨论的分类标准;③按所分类别进行讨论;④归纳小结、综合得出结论。注意动态问题一定要先画动态图。

7)常见的类型：

①由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点(直线、圆)与圆的位置关系等

概念的分类讨论;

②由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题;

③由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨

论;

④由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨

论。

⑤由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，

二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

四、化归与转化思想

化归与转化的思想和方法化归意识是指在解决间题的过程中,对间题进行转化,使之成为简单、熟知问题的基本解题模式,它是使一种数学对象在一定条件下转化为另一种数学对象的思想和方法。

转化与化归市中学数学最基本的数学思想之一，数形结合的思想体现了数与形的转化;函数与方程的思想体现了函数、方程、不等式之间的相互转化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化，所以以上三种思想也是转化与化归思想的具体呈现。

但是转化包括等价转化和非等价转化，等价转化要求在转化的过程中前因和后果是充分的也是必要的;不等价转化就只有一种情况，因此结论要注意检验、调整和补充。转化的原则是将不熟悉和难解的问题转为熟知的、易解的和已经解决的问题，将抽象的问题转为具体的和直观的问题;将复杂的转为简单的问题;将一般的转为特殊的问题;将实际的问题转为数学的问题等等使问题易于解决。

五、特殊与一般思想

①通过对个例认识与研究，形成对事物的认识

②由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论

③由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程

④构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

⑤高考以新增内容为素材，突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向

六、有限与无限的思想

①把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路

②积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向

③立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，

再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用

④随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查

七、或然与必然的思想

①随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性

②偶然中找必然，再用必然规律解决偶然

③等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独

立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

第二部分：解题方法

探索中学数学解题方法，对学生学习数学、提高数学思维方法和培养数学应用能力具有十分重要的作用和意义。

一、配方法

配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂”与“添”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。