1-6 全概率公式和贝叶斯公式
全概率公式与贝叶斯公式之间的关系
全概率公式与贝叶斯公式之间的关系
全概率公式和贝叶斯公式都是概率论中经典的公式，它们之间存在一定的联系和区别。
全概率公式描述了一种基于先验概率和条件概率推导出后验概率的方法，它是由贝叶斯公式演化而来的。
全概率公式通过将所有可能的事件划分为互斥且完备的事件集合，并计算它们的概率从而推导出后验概率。
贝叶斯公式是用于计算“逆概率”的公式，即已知某种结果出现的概率，求当前这种结果的特定概率。
它同样也是通过先验概率和条件概率计算出后验概率的方法。
贝叶斯公式的主要应用是在分类、估计、预测等实际问题中，例如在医学领域中用于诊断疾病。
总的来说，全概率公式是用来求解不同情况下的条件概率的，而贝叶斯公式是用来根据观察到的事件推测其原因的。
两者都是基于先验概率和条件概率计算出后验概率的方法。
全概率公式与贝叶斯公式
ห้องสมุดไป่ตู้
B4 B3 A
B2
P A P B P A B . i i i 1
n
3
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例1 考卷中一道选择题有4个答案，仅有一 个是正确的，设一个学生知道正确答案或不知道 而乱猜是等可能的. 如果这个学生答对了，求它 确实知道正确答案的概率. 解 样本空间可以划分为事件A:知道正确答案与 A:不知道.以B表示事件:学生答对，则A B， P(AB)＝P(A)＝1／2.P(B∣A)=1，而P(B∣A )＝ 1／4. 由全概率公式 P(B)＝P(A)P(B∣A)+P( A )P(B∣ A )=5／8， 故 P(A∣B)＝P(AB)／P(B)＝4／5．
11
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⑵由贝叶斯公式
P(B1 A) P(B2 A) P(B3 A) P( A B1 )P(B1 ) P( A) P( A) P( A B3 )P(B3 ) P( A) 0.02 0.15 0.24 0.0125 0.01 0.80 0.64 0.0125 0.03 0.05 0.12 0.0125
10
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解 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i＝l,2,3) 表示“所取到的产品是由第i家工厂提供的”.易 知，Bl，B2，B3是样本空间S的一个划分，且有 P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)＝0.05， P(A∣B1)=0.02，P(A∣B2)=0.01，P(A∣B3)=0.03. ⑴由全概率公式 P(A)= P(A∣B1)P(B1)+P(A∣B2)P(B2) +P(A∣B3)P(B3)=0.0125.
概率论与数理统计：1_6全概率与贝叶斯公式
C72 C125
C52 C120
ห้องสมุดไป่ตู้
C82 C125
C32 C120
C81C71 C125
C42 C120
?
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三、全概率公式应用
例2. 设袋中有12个乒乓球，9个新球，3个旧球．第一次比赛
取3球，比赛后放回；第二次比赛再任取3球，求第二次比赛
取得3个新球的概率．
解：Ai={第一次比赛恰取出i个新球}（i=0,1,2,3 )
由乘法公式得， P(B/Ω1)= P(Ω1B)/P(Ω1)= P(Ω1B)，
所以，P(B)= P(Ω1B)，其中 Ω1为Ｅ1的基本空间件。
而，Ω1B= (A1+A2+…+An)B= A1B+ A2B+…+ AnB，从而有
n
n
P(B) P(1B) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
§１.6 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式引入 二、全概率公式推导 三、全概率公式应用 四、贝叶斯公式及其应用
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全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式问题引入
引例1. 设甲袋有8个白球7个红球，乙袋有5个白球3个红球，现从 甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，求从乙袋取出2 个红球的概率。
…
故 BAi BAj =Φ（i≠j），
按概率的可加性及乘法公式有
n
B BA1 BA2 BAn BAi
n
n
i1 n
P(B) P( AiB) P( AiB) P( Ai)P(B | Ai)
i 1
i 1
概率公式大全
概率公式大全概率公式大全（上篇）概率公式在概率论中起着非常重要的作用，它们用于描述随机事件的发生概率以及事件之间的关系。
本文将介绍一些常见的概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论。
1. 基本概率公式1) 事件的概率公式：在概率论中，事件的概率通常用P(A)表示，其中A表示一个事件。
事件A的概率可以用下述公式计算：P(A) = N(A) / N(S)其中，N(A)表示事件A发生的次数，N(S)表示样本空间S 中的总次数。
2) 样本空间的概率公式：当样本空间S的每个样本点发生的概率相同且为1/N(S)时，我们可以使用下述公式计算事件A的概率：P(A) = N(A) / N(S)这个公式在实际问题中应用广泛，是基本的概率公式之一。
2. 条件概率公式1) 条件概率的定义：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为A在B 条件下的条件概率，用P(A|B)表示。
条件概率的计算公式如下：P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)其中，P(A ∩ B)表示事件A与事件B同时发生的概率。
2) 乘法公式：乘法公式是条件概率的推广形式，用于计算两个事件同时发生的概率。
根据乘法公式，我们可以得到：P(A ∩ B) = P(A|B) * P(B)这个公式在计算复杂事件的概率时非常有用。
3. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件发生的总概率，它假设事件发生的样本空间可以划分为若干个互斥事件。
全概率公式如下：P(A) = Σi P(A|Bi) * P(Bi)其中，Bi表示样本空间S的一个划分，P(A|Bi)表示在Bi条件下事件A发生的概率。
这个公式可以在一些复杂问题中计算事件发生的概率，非常实用。
4. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的逆运算，用于通过已知的条件概率反推出相反的条件概率。
根据贝叶斯公式，可以得到：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
概率论的公式大全
概率论的公式大全概率论是数学中研究随机事件的理论，它用于描述事件发生的可能性，并通过概率的计算和分析来预测、评估和决策。
下面给出一些概率论中常用的公式，帮助你更好地理解和运用概率论。
1.概率定义公式：P(A)=N(A)/N，表示事件A发生的概率，N(A)代表事件A发生的次数，N代表试验的总次数。
2.互补事件公式：P(A')=1-P(A)，表示事件A的补事件发生的概率。
3.加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，表示事件A或B发生的概率。
4.独立事件公式：P(A∩B)=P(A)*P(B)，表示事件A和事件B同时发生的概率，当事件A和事件B相互独立时成立。
5.条件概率公式：P(A，B)=P(A∩B)/P(B)，表示事件B已经发生时事件A发生的概率。
6.乘法公式：P(A∩B)=P(A，B)*P(B)，也可以写作P(A∩B)=P(B，A)*P(A)，表示事件A和事件B同时发生的概率。
7.全概率公式：P(A)=ΣP(A，Bᵢ)*P(Bᵢ)，表示事件A发生的概率，Bᵢ代表一组互不相容且构成样本空间的事件。
8.贝叶斯公式：P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
9.随机变量的概率公式：P(X=x)≥0，表示随机变量X取值为x的概率非负。
10.随机变量期望公式：E(X)=ΣxP(X=x)*x，表示随机变量X的期望或均值。
11.随机变量方差公式：Var(X) = E[(X - µ)²]，表示随机变量X的方差，其中µ为X的期望。
12.二项分布公式：P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)，表示n次独立重复实验中，事件发生k次的概率，其中，C(n,k)为组合数，p为事件发生的概率，q为事件不发生的概率。
13.泊松分布公式：P(X=k)=e^(-λ)*(λ^k)/k!，表示单位时间或空间中，事件发生了k次的概率，λ为事件发生率。
全概率公式贝叶斯公式推导过程
全概率公式贝叶斯公式推导过程Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有：P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足，B2....两两互斥，即 Bi∩ Bj= ，i≠j ， i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....;∪B2∪....=Ω，则称事件组 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi ),P(A|Bi)(i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A 的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
全概率公式和贝叶斯公式教案
全概率公式和贝叶斯公式教案全概率公式和贝叶斯公式教案一、引言在概率论中，全概率公式和贝叶斯公式是两个重要的概念，它们在统计学、机器学习以及各种预测和决策问题中都有着重要的应用。
本文将深入探讨全概率公式和贝叶斯公式的概念和应用，帮助读者更好地理解和运用这两个重要的概念。
二、全概率公式的概念和应用1. 全概率公式的概念全概率公式是概率论中的重要定理，它描述了一个事件的概率可以通过多个不相容事件的概率之和来表示。
具体而言，对于一个样本空间Ω，如果存在一系列互相不相容的事件A1，A2，...，An，且它们的并集构成了整个样本空间Ω，那么对于任意的事件B，都有P(B) =ΣP(B|Ai)P(Ai)，其中P(B|Ai)表示在给定事件Ai的条件下B的概率。
2. 全概率公式的应用全概率公式在实际问题中有着广泛的应用，特别是在贝叶斯统计中。
通过全概率公式，我们可以将一个复杂的概率计算问题转化为多个简单的条件概率计算问题，从而更加方便地进行计算和推理。
在医学诊断中，我们可以利用全概率公式来计算某种疾病的患病概率，从而辅助临床医生做出更准确的诊断。
三、贝叶斯公式的概念和应用1. 贝叶斯公式的概念贝叶斯公式是概率论中的另一个重要定理，它描述了在已知某一事件的条件下，另一事件的概率可以被重新估计的方法。
具体而言，对于两个事件A和B，如果已知P(B) > 0，那么根据全概率公式和条件概率的定义，我们可以得到P(A|B) = P(B|A)P(A)/P(B)。
2. 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式在实际问题中也有着广泛的应用，特别是在机器学习和数据分析中。
通过贝叶斯公式，我们可以根据已有的先验知识和观测数据，来更新对事件的概率估计，从而得到更为准确的推断和预测结果。
在垃圾邮件过滤中，我们可以利用贝叶斯公式来不断更新对某封邮件是垃圾邮件的概率，从而不断优化垃圾邮件的过滤效果。
四、总结与展望通过本文的讨论，我们可以看到全概率公式和贝叶斯公式在概率论、统计学和机器学习中的重要性和广泛应用。
全概率公式和贝叶斯公式的应用
全概率公式和贝叶斯公式的应用全概率公式和贝叶斯公式是概率论中非常重要的公式，它们在实际问题中有广泛的应用。
下面将介绍它们的应用场景。
1. 全概率公式的应用全概率公式描述了在已知某些条件下，事件 A 发生的概率等于事件 B 发生的概率，即 P(A|B) = P(B|A)。
这个公式可以用于解决多种问题，例如:- 假设检验问题。
在假设 H0 成立的情况下，根据全概率公式可以计算出拒绝 H0 的概率。
例如，假设我们要检验一个假设 H0:参数a=0，对于任意的备择假设 H1:a>0，我们可以使用全概率公式计算P(H0 成立 | 数据),如果该值小于预设显著性水平α，则我们可以拒绝 H0，认为 a>0。
- 贝叶斯公式的应用。
贝叶斯公式可以用来计算在已知某些条件下，事件 A 发生的概率。
例如，如果我们想要计算某只股票未来上涨的概率，可以使用贝叶斯公式计算在当前价格下，过去一段时间内股票上涨的概率，然后根据这个概率预测未来股票价格。
2. 贝叶斯公式的应用贝叶斯公式是一种基于概率的推理方法，可以用来建立已知事件B 的条件下，事件 A 发生的概率。
贝叶斯公式可以用于多种问题，例如:- 模型选择问题。
贝叶斯公式可以帮助决策者在多个模型中选择最合适的模型。
例如，当我们面临一个分类问题，有多个模型可供选择时，可以使用贝叶斯公式计算每个模型的概率，然后根据贝叶斯定理选择概率最大的模型。
- 条件概率问题。
贝叶斯公式可以用来计算给定事件 B 的条件下，事件 A 发生的概率。
例如，如果我们想要计算某只股票未来上涨并且发生在过去一段时间内，可以使用贝叶斯公式计算在过去一段时间内，股票上涨并且发生的时间。
全概率公式和贝叶斯公式是非常有用的工具，可以用于解决多种实际问题。
全概率公式、贝叶斯公式推导过程
全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为：P(A|B)=P(AB)/P(B)（2）乘法公式1.由条件概率公式得：P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)上式即为乘法公式；2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有：P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1)（3）全概率公式1. 如果事件组B1，B2，.... 满足1.B1，B2....两两互斥，即B i ∩ B j = ∅，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....;2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability)2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。
思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事件AB1,AB2,...AB n分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+AB n, 每一B i发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|B i)，由加法公式得P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(AB n)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|B n)P(PB n)3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。
§16全概率公式与贝叶斯公式_图文
29 P B1 P Ai P B1 Ai . 90 i 1
21
3
(2)问题归结为求 P B1 B2 . 由条件概率的 定义可得
PB B . (1.7) PB PB B PB B 下面我们先求 P B B . 由条件概率的本来
是 B 发生的所 有的不同的原 因
A1 A2
An
B
全概率公式 解决由因索 果问题
原因事件
结果事件
每个原因都可能导致B发生，故B发生的概率 是各原因引起B发生的概率的总和，“全概率公式” 之“全”取为此意.
4
自身努力 A1
原
学习环境良好 A2
学生成 绩好 B
因
教师教学水平高An
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
2
1 2 1 3 1 2
6 5 4 6 2 5 2 6 5 2 1 6 3 . 8 7 6 8 7 6 8 7 6 8 7 6 4
9
小结例1.22和例1.23的结果：
3 P A1 P A2 P A3 . 4 ◆从件数一定的正品和次品组成一批产品
P ( B ) P ( Ai ) P B Ai .
i 1
n
A1
A2
A3 B A4 A5
A6 Ω A7
A8
2
证
n n B B B Ai Ai B i 1 i 1
分配律 A1B, A2 B,, An B 两 两 不 相 容 ，
同理可得，
条件概率、全概率、贝叶斯公式
杨鑫的数学课堂条件概率、全概率、贝叶斯公式、p(A|B)=P(A∩B)P(B)⇒p(A∩B)=p(A|B)×p(B)⇒p(A∩B)=P(B|A)×P(A)(1)p(A|B)=P(A∩B)P(B)=p(B|A)×P(A)p(B)(2)先举个例子，小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如下图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：p(L1)=0.5,p(L2)=0.3,p(L3)=0.2(3)每天上述三条路不拥堵的概率分别为：p(C1)=0.2,p(C2)=0.4,p(C3)=0.7(4)其实不迟到就是对应着不拥堵，设事件Ｃ为到公司不迟到，事件Li为选择第i 条路，则：p(C)=p(L1)×p(C|L1)+p(L2)×p(C|L)+p(L3)×p(C|L3) p(C)=p(L1)×p(C1)+p(L2)×p(C2)+p(L3)×p(C3)p(C)=0.5×0.2+0.3×0.4+0.2×0.7=0.36(5)全概率计算公式p(C)=p(L1)p(C|L1)······p(L n)p(C|L n)=n∑i=1p(L i)p(C|L i)(6)三、贝叶斯公式仍旧借用上述的例子，但是问题发生了改变，问题修改为：到达公司未迟到选择第１条路的概率是多少？0.5这个概率表示的是，选择第一条路的时候并没有靠考虑是不是迟到，只是因为距离公司近才知道选择它的概率，而现在我们是知道未迟到这个结果，是在这个基础上问你选择第一条路的概率，所以并不是直接就可以得出的。
故有：p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)p(C)p(L1|C)=p(C|L1)×p(L1)P(L1)×p(C|L1)+P(L2)×p(C|L2)+P(L3)×p(C|L3)p(L1|C)=0.2×0.50.2×0.5+0.3×0.4+0.2×0.7=0.28(7)1。
1-5全概率公式贝叶斯公式1-6伯努利概型
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验E的样本空间, A1, A2 ,, An
为 E 的一组事件,若
1 0 Ai Aj , i, j 1,2,, n;
20 A1 A2 An , 则称 A1, A2 ,, An 为样本空间 的一个划分.
A2
A1
A3
A An1
解 因为 P(A C) 0.95,
P(A C) 1 P(A C) 0.05,
P(C) 0.005, P(C) 0.995,
由贝叶斯公式得所求概率为
P(C)P( A C) P(C A)
P(C)P( A C) P(C)P( A C) 0.087.
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症.
n
P( Ai )P(B | Ai )
i 1
全概率公式
证明 B B B ( A1 A2 An )
BA1 BA2 BAn .
由 Ai Aj (BAi )( BAj )
P(B) P(BA1 ) P(BA2 ) P(BAn ) P(B) P( A1 )P(B | A1 ) P( A2 )P(B | A2 )
P( An )P(B | An )
图示
A2
B
A1
A3
A An1
n
化整为零 各个击破
说明 全概率公式的主要用途在于它可以将一个 复杂事件的概率计算问题, 分解为若干个简单事 件的概率计算问题, 最后应用概率的可加性求出 最终结果.
A2
A1
B
A3
An1 An
例1 有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产 的占 30% , 二厂生产的占 50% , 三厂生产的占 20%, 又知这三个厂的产品次品率分别为2% , 1%, 1%,问 从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?
全概率公式与贝叶斯公式
P( A1 )P( A2 A1 )P( A3 A1 A2 )
231 321 322 2, 543 543 543 5
依此类推
P( A4 )
P( A5 )
2 5
.
故抓阄与次序无关.
二、全概率公式与贝叶斯公式
1. 样本空间的划分
定义 设 为试验E的样本空间, A1, A2 ,, An
为 E 的一组事件,若
全概率公式与贝叶斯公式
一、条件概率 二、全概率公式与贝叶斯公式 三、小结
一、条件概率
1. 定义1.8
设 A, B 是 两 个 事 件,且 P(B) 0, 称 P( A | B) P( AB) P(B)
为 在 事 件B 发 生 的 条 件 下 事 件A发 生 的条 件 概 率.
A AB B
2. 性质
n
P( Ai )P(B | Ai ) i 1
全概率公式
证明 B B B ( A1 A2 An )
BA1 BA2 BAn.
由 Ai Aj (BAi )( BAj )
P(B) P(BA1) P(BA2 ) P(BAn ) P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2 )P(B | A2 )
(1)有界性 : 0 P( A B) 1;
(2)规 范 性 P( B) 1, P( | B) 0
(3) P( A1 A2 B) P( A1 B) P( A2 B) P( A1A2 B);
(4) P( A B) 1 P( A B).
(5)可 加可列性: 设 A1, A2 ,,是两两不相容的事 件,则有
P
Ai
i1
B
P(Ai
i1
B).
例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少?
概率 全概公式和贝叶斯定理
P(B1)=0.35, P(B2)=0.40, P(B3)=0.25, )=0.01。 P(A|B1)=0.03,P(A|B2)=0.02,P(A|B3)=0.01。 由贝叶斯公式， 由贝叶斯公式，得
P(B1 | A) P( A | B1 )P(B1 ) = P( A | B1 )P(B1 ) + P( A | B2 )P(B2 ) + P( A | B3 )P(B3 )
对于A也一定独立， 若A对于B独立，则B对于A也一定独立，? 对于B独立，
称事件A与事件B相互独立。 称事件A与事件B相互独立。
定义1.5 如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任 何一个事件发生的可能性都不受其他一个 或几个事件发生与否的影响，则称 A1,A2,…,An相互独立
若P(A i ) f 0
个乒乓球都是新球， 例6 ：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出 个乒乓球都是新球 每次比赛时取出3 个用完后放回去，求第3次比赛时取到的 次比赛时取到的3个球 个用完后放回去，求第 次比赛时取到的 个球 都是新球的概率。 都是新球的概率。 分别表示第一、 解：设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、 设事件 三次比赛时取到i个新球 ＝ 、 、 、 ） 个新球（ 三次比赛时取到 个新球（i＝0、1、2、3） A 3 =Ω 则 A 0 =A1 =A 2 =φ 且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组
则称事件A、B、C相互独立 相互独立。 相互独立
关于独立性的几个结论如下： 关于独立性的几个结论如下： 1.事件A与B相互独立的充分必要条件是 P(AB)=P(A)P(B)
0.35× 0.03 1 = = ; 0.35× 0.03 + 0.40× 0.02 + 0.25× 0.01 2
概率论与数理统计公式
概率论与数理统计公式1.概率公式：
1.1概率加法公式：
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)
1.2条件概率公式：
P(A，B)=P(A∩B)/P(B)
P(B，A)=P(A∩B)/P(A)
1.3乘法公式：
P(A∩B)=P(A)*P(B，A)
P(A∩B)=P(B)*P(A，B)
1.4全概率公式：
P(A)=ΣP(A，B_i)*P(B_i)
1.5贝叶斯公式：
P(B，A)=P(A，B)*P(B)/P(A)
2.数理统计中的基本概念和公式：
2.1样本均值：
样本均值 = (x1 + x2 + ... + xn) / n
2.2总体均值：
总体均值=(样本均值*n-x)/(n-1)
2.3样本方差：
样本方差 = Σ(xi - x̄)² / (n-1)
2.4总体方差：
总体方差= Σ(xi - µ)² / N
2.5样本标准差：
样本标准差=√(样本方差)
2.6总体标准差：
总体标准差=√(总体方差)
2.7样本中位数：
样本中位数=(x[n/2]+x[(n+1)/2])/2（当n为偶数时）
2.8样本四分位数：
样本四分位数Q1=x[(n+3)/4]
样本四分位数Q3=x[(3n+1)/4]
2.9标准正态分布的累积分布函数的逆函数：
Zα=Φ^(-1)(α)，其中Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数。
2.10卡方分布的累积分布函数的逆函数：
x^2α=χ^2^(-1)(α)，其中χ^2(x)表示卡方分布的累积分布函数。
1.6全概率公式与贝叶斯公式
加权平均
8
例2 袋中有a个白球b个黑球，不还原摸球两次，问第 二次摸出白球的概率为多少？ 解 分别记A,B为第一次、第二次摸到白球，
由全概率公式,
P ( B ) P ( A )P ( B A ) P ( A )P ( B A )
a ab
a1 ab1
b ab
ห้องสมุดไป่ตู้
a ab1
0 . 0004 0 . 95
0 . 0038 .
5
0 . 0004 0 . 95 0 . 9996 0 . 1
因此，虽然检验法相当可靠，但被诊断为患肝癌的 人真正患病的概率并不大，其主要原因是人群中患 肝癌的比例相当小。当然，医生在公布某人患肝癌 之前，是不会只做一次或一种检验，还会辅以其它 检验手段。
1
公式的理解：
全概率公式：P A
P B P A | B 由 因 索 果 .
i i i
n
B a ye s 公 式 ( 1 7 6 3 年 ） ： P B i | A
P Bi P A | Bi
P B P A | B
i i i
P ( A B )P (C A B ) P ( A B )P (C A B )
a a
ab ab1 ab2 b a1
a1
a2
b b
ab ab1 ab2 ab ab1 ab2 b1 a
a
a1
ab ab1 ab2 a . ab
P ( B A ) 0 . 90 ， 又 设 人 群 中 患 肝 癌 的 比 例 为
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率全概率和贝叶斯公式
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
全概率公式是指在多个互不相交的事件中，计算某一事件的概率，需要将所有事件的概率加起来。
而贝叶斯公式是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件的概率如何进行修正。
具体来说，条件概率可以表示为P(A|B)，其中A和B分别是两
个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率。
全概率公式可以表示为
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)，其中B1~Bn
表示多个互不相交的事件，P(B1)~P(Bn)表示这些事件发生的概率。
贝叶斯公式可以表示为P(B|A)=P(A|B)P(B)/P(A)，其中A和B
同样表示两个事件，P(A|B)表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率。
P(B|A)表示在已知事件A发生的情况下，事件B发生的概率。
贝叶斯公式可以用于更新先验概率，即在已知某些信息的情况下，通过新的证据来更新我们对某一事件的概率的估计。
条件概率、全概率公式和贝叶斯公式在实际应用中有广泛的应用，如在机器学习、数据分析、医学诊断等领域。
- 1 -。
全概率公式和贝叶斯公式
显然A0，AP1，( AA0 )2是 0完.8备, P事( A件1 ) 组 0．.1, P( A2 ) 0.1
P由(题B A意0 )知
C240 C240
1,
P
(
B
A1
)
C149 C240
4 5
,
P(
B
A2
)
C148 C240
12 19
由 全P概(B率) 公式得
P( A0)P(B A0 ) P( A1)P(B A1) P( A2)P(B A2) 0.94
C132
220
P(B1)
C91C
2
3
C132
27 220
[从9新3旧中取3旧] [从9新3旧中取1新2旧]
P(B2 )
C92C
1
3
C132
108 220
[从9新3旧中取2新1旧]
P(B3)
C93 C132
84 220
[从9新3旧中取3新]
注意：第二次取球时12只球的新旧组成是随第一
次取出的3球组成的变化而变化,易得:
A2
A1
A3
An1 An
证明 B B B ( A1 A2 An )
BA1 BA2 BAn.
由 Ai Aj (BAi )( BAj )
P(B) P(BA1) P(BA2 ) P(BAn ) P(B) P(A1)P(B | A1) P(A2 )P(B | A2 )
1.5.2 贝叶斯公式
定理1.3 设试验E的样本空间为 ，B为E的事件，
A1，A2，…，An为完备事件组，且P(B) > 0， P(Ai) > 0，i = 1，2，…，n，则
PP(( AAii BB))
全概率公式与贝叶斯公式的联系,并给出相关实例
全概率公式与贝叶斯公式的联系,
并给出相关实例
全概率公式是一种用于计算概率的公式，它基于总体概率的原理，可以用来计算一个事件的概率。
而贝叶斯公式则是一种更加复杂的概率计算方法，它基于贝叶斯定理，可以用来计算一个事件发生后，另一个事件发生的概率。
全概率公式与贝叶斯公式之间有着密不可分的联系。
全概率公式可以用来计算一个事件的概率，也就是P(A)；而贝叶斯公式则可以用来计算P(A|B)，也就是在已知B发生的条件下，A发生的概率。
因此，可以将贝叶斯公式写成P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)，这里的P(B)是全概率公式的结果。
实例：假设在班上有20人，其中10名学生会说英语，8名学生会说法语，2名学生既会说英语又会说法语。
那么，全概率公式可以用来计算某个学生会说英语的概率P(A)，即P(A)=10/20=0.5；
贝叶斯公式可以用来计算某个学生会说英语而且会说法语的概率P(A|B)，即
P(A|B)=P(A)*P(B|A)/P(B)=2/20*2/10*20/18=2/9。
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贝叶斯公式作用在于“由结果推原因”，现在有一个 “结果”A发生了，在众多可能的“原因”中，到底是哪 一个导致了这个结果？这是一个在日常生活和科学技术 中常要问的问题。
三、小结
第一章 随机事件及其概率
条件概率 P(B A) P( AB)
乘法定理
P( A)
P(AB) P(B A)P(A)
（2）由贝叶斯公式
P ( B1
|
A)
P( A | B1 )P(B1 ) P( A)
0.02 0.15 0.0125
0.24
P（B2|A）=0.64，P（B3|A）=0.12
1.6全概率公式和贝叶斯公式
例9 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时， 产品的合格率为90%，而当机器发生某一故障时，其合 格率为30%。每天早上机器开动时，机器调整良好的概
C132
,
P( A | B1 )
C 83 C132
,
P(A | B2 )
C73 C132
,
P(A | B3 )
C63 C132
,
于是
P( A)
3 i0
P(Bi )P(A |
Bi )
441 3025
0.146.
二、贝叶斯公式
第一章 随机事件及其概率
定理：设试验E的样本空间为S,A为E的事件，B1，B2，…， Bn为S的一个划分，且P（A）>0，P（Bi）>0（i=1， 2，…，n），则
全概率公式
P( A) P( A B1 )P(B1 ) P( A B2 )P(B2 ) P( A Bn )P(Bn )
贝叶斯公式
P(Bi A)
P( A Bi )P(Bi )
n
, i 1, 2,, n
P(ABj)P(Bj)
j1
B2 B3
B1
Bn1 Bn
则称B1，B2，…,Bn为样本空间的一个划分或称为一
个完备事件组。
例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”。它的样本空间为
={1，2，3，4，5，6}。
事件组B1={1，2，3}，B2={4，5}，B3={6}是的一个划分， 事件组C1={1，2，3}，C2={3，4}，C3={5，6}不是的划分。
n
P( A) P(Bi )P( A｜Bi ) i 1
1、在较复杂情况下直接计算P(A)不易,但A总是伴随着某个 Bi出现，适当地去构造这一组Bi往往可以简化计算.
2、从另一个角度理解全概率公式：
某一事件A的发生有各种可能的原因Bi(i=1,2,…,n)， 如果A是由原因Bi所引起，则B发生的概率是
B1
B3
A
B4 B2
B7
B5
B6 B8
Bi是原因 A是结果
第一章 随机事件及其概率
例 盒中12个乒乓球，9个没用过，第一次比赛从盒中 任取3个球，用后放回，第二次比赛再从盒中任取3个球， 求：第二次比赛时所取的3个球都是没用过的概率。
解：设A:第二次比赛时所取的3个球都是没用过的;
Bi:第一次比赛时所取的3个球恰有i(i=0,1,2,3)个 是没用过的。
则A的发生依赖于Bi的情况，Bi构成了任取3个球这一试验 的样本空间的一个划分。
P(B0 )
C
3 3
C132
,
P(B1 )
C
1 9
C
2 3
C132
,
P(B2 )
C92 C31 C132
,
P(B3 )
C93 C132
,
1.6全概率公式和贝叶斯公式
P( A | B0 )
C
3 9
1) 由全概率公式 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)
=0.025. 2)由乘法公式 P(A B1)=P(A|B1)P(B1)
=0.01. 3) P(B1|A)=P(B1A)/ P(A),
由上面计算为0.4.
第一章 随机事件及其概率
全概率公式:
说明：
j 1
i=1，2，…，n
1.6全概率公式和贝叶斯公式
例 某电子设备制造厂所用的晶体管是由三家元件制造厂
提供的，根据以往的记录有以下的数据。元件制造厂次品 率及提供晶体管的份额
1 0.02 0.15 2 0.01 0.80 3 0.03 0.05 设这三家工厂的产品在仓库中是均匀混合的，且无区别 的标志。求： （1）在仓库中随机地取一只晶体管求它是次品的概率。 （2）在仓库中随机地取一只晶体管，若已知取到的是次 品，求出此次品由三家工厂生产的概率分别是多少。
P(A)=P(Bi)P(A |Bi)
1.6全概率公式和贝叶斯公式
每一原因都可能导致A发生，故B发生的概率是 各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式.
由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推 结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即 结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全 概率公式表达了它们之间的关系.
甲B1
乙B2 丙B3
解: S={箱中的全部产品} A:任取一产品是次品, Bi:取到的产品分别是由甲,乙,丙厂生产的. 由题意: P(B1)=1/2, P(B2)= P(B3)=1/4,
1.6全概率公式和贝叶斯公式
P(A|B1)= P(A|B2)=2/100; P(A|B3)=4/100
且BiBj=Φ,ij , i , j =1,2,3. B1∪B2∪B3=S
P(Bi | A)
P(A | Bi )P(Bi )
n
P(A | Bj )P(Байду номын сангаасj )
j 1
i=1，2，…，n.称为贝叶斯（Bayes）公式。
证：由条件概率的定义及全概率公式有
P(Bi
|
A)
P(Bi A) P( A)
P( A | Bi )P(Bi )
n
P(A | Bj )P(Bj )
P(Bi | A)
P(A | Bi )P(Bi )
n
P(A | Bj )P(Bj )
j 1
1.6全概率公式和贝叶斯公式
贝叶斯公式的解释：P(B1)，P(B2)…，它是在没有进一 步的信息（不知A是否发生）的情况下，人们对B1，B2…， 发一可能性大小的认识，现在有了新的信息（知道A发生）， 人们对B1，B2…发生可能性大小有了新的估价。
第一章 随机事件及其概率
解: 设A表示“取到的是一只次品”，Bi(i=1,2,3)表示“所取 到的产品是由第i家工厂提供的”，易知，B1，B2，B3是样本空
间S的一个划分，且有：
P(B1)=0.15，P(B2)=0.80，P(B3)=0.05， P(A|B1)=0.02，P(A|B2)=0.01，P(A|B3)=0.03 （1）由全概率公式 P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+P(A|B3)P(B3)=0.0125
第一章 随机事件及其概率
第六节 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式 二、贝叶斯公式 三、小结
第一章 随机事件及其概率
一、全概率公式
定义：设为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn为E的一组事
件，若
（1） BiBj=Φ,ij , i , j =1,2,…,n;
（2） B1∪B2∪…∪Bn=，
先 率为75%，试求已知某日早上第一件产品是合格品时， 验 机器调整良好的概率是多少？ 概 率 解: 设A为事件“产品合格”，B为事件“机器调整良好”
已知:P(A|B)=0.9，P(A|B)=0.3,P（B）=0.75，
所需求的概率为P(B|A)，由贝叶斯公式
P(B | A)
P(A | B)P(B)
第一章 随机事件及其概率
例 一箱同类型的产品,由三家工厂生产,其中1/2由甲厂生产, 乙丙厂各生产1/4,又甲乙厂生产的产品均有2%的次品率, 丙厂有4%的次品率,求
1) 任取一产品是次品的概率P(A);
2) 任取一产品是次品且恰是由甲厂生产的概率P(AB1); 3) 任取一产品发现是次品,问它是由甲厂生产的概率P(B1|A)
任意试验的基本事件组构成样本空间的一个划分。
1.6全概率公式和贝叶斯公式
设试验E的样本空间为，A为E的事件，B1，B2，…Bn 为的一个划分，且P(Bi)>0(i=1,2，…，n)则
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn) 称为全概率公式。
证：因为A=A =A（B1∪B2∪…∪Bn）=AB1∪AB2∪…∪ABn 由假设P(Bi)>0(i=1,2，…，n)，且 (ABi)∩(ABj )=，i≠j，于是 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+…+P(ABn) =P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn)
P(A | B)P(B) P(A | B)P(B)
后验概率
0.9 0.75
0.9
0.9 0.75 0.3 0.25
第一章 随机事件及其概率
B1
B2
P（Bi）
… 全概公式 Bn
原因
A
结果
P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+…+P(A|Bn)P(Bn) 加权平均值