例说包装问题的数学建模方略
数学建模简单13个例子
出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上
要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。
停车是需要时间的，在这段时间内，车辆
仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在
离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽
管它没被画在地上），见图。对于那些黄
D
灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍 能穿过马路。
L
马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确
则所提问题变为在自然数集上求解方程
7
(2ki 1) 26
i 1
于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型
求解： 用反证法容易证明本问题的解不存在。
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3、相遇问题
某人平时下班总是按预定时间到达某处，然 然后他妻子开车接他回家。有一天，他比平时提早 了三十分钟到达该处，于是此人就沿着妻子来接他 的方向步行回去并在途中遇到了妻子，这一天，他 比平时提前了十分钟到家，问此人共步行了多长时 间？
1、从包汤圆（饺子）
通常，1公斤面， 1公斤馅，包100个汤圆（饺子）
今天，1公斤面不变，馅比 1公斤多了，问应多包几 个（小一些），还是少包几个（大一些）？
问题
圆面积为S的一个皮，包成体积为V的汤圆。若 分成n个皮，每个圆面积为s，包成体积为v。
S
s s … s (共n个)
vv
v
V
V和 nv 哪个大? 定性分析
4、爬山问题
某人早8时从山下旅店出发沿一条路径上山，下午5 时到达山顶并留宿，次日早8时沿同一路径下山，下午5 时回到旅店，则这人在两天中的同一时刻经过途中的 同—地点，为什么?
解法一： 将两天看作一天，一人两天的运动看作一天两人 同时分别从山下和山顶沿同一路径相反运功，因为两 人同时出发，同时到达目的地，又沿向一路径反向运 动，所以必在中间某一时刻t两人相遇，这说明某人在 两天中的同一时刻经过路途中的同一地点。
数学建模,商品地包装问题
B题商品包装问题摘要本文研究的是关于商品包装问题，通过分析题目所给出的条件及客观规律建立了商品价格和影响商品价格因素的关系模型、商品包装面积和商品中产品重量关系模型，利用SPSS、EXCEL软件对上述模型进行了逐一求解，分别回答了题目提出的所有问题。
针对问题一，首先根据客观规律，初步确定了影响商品价格的因素。
具体分析确立商品本身的的成本又由生产该商品的单位成本和所装数量决定，商品包装成本由包材料的单位成本和包装的用量决定。
然后建立了商品包装面积和商品中产品重量关系，同时考虑到商品的所占包装容积的实际容量关系和利润对价格的影响，将各个因素有机的结合。
通过分析商品中产品重量成本因子和商品包装材料成本因子，从而初步的建立起第一个关于描述包装和价格关系的模型。
又考虑到商品的包装有不同的形状，将商品外形大致等效为长方体和柱体。
将模型一中的商品所含产品的重量和包装袋的面积的关系分别推导计算，得到更加精确合理的表示影响商品价格的重量因素和包装材料因素的关系，又考虑到商品利润值的浮动性，将利润归结于单位包装成本和单位原料成本中，在模型一的基础上，建立起模型二。
针对问题二，我们在市场中选取真心瓜子和百事可乐两种商品，首先对问题一中建立的模型一进行验证（详见正文5页和6页），其检验结果与实际调查结果大致吻合，但有一定差异。
所以，将这两种商品带入针对模型一进行改进的模型二中进行验证（详见正文8页），其检验结果较模型一的结果更为合理和可靠。
因此我们认为，所建立的模型二能较好的反应商品的包装和商品的价格之间的关系。
关键词 :包装价格关系成本因子逐层分析法一问题重述1.1 背景资料：在实际生活中,我们所用的同种商品总会碰到有包装类似但是价格不同的情况,比如：在超市中的“真心瓜子”有100g、200g、300g三种规格，它们的价格分别为3.5元、6元和8.5元。
三者单位重量的价格比是17:15:14；百事可乐有500ml、1250ml、2000ml三种规格，它们的价格分别为12:9:7。
数学建模简单13个例子
总距离为 n 1 ，
故有砖点n块 出向人右意可料时 叠。k1至, 2knk任1 2意1k远，n这1 一21n结果多少返回
10、寻找黑匣子
飞机失事时，黑匣子会自动打开，发射出某种 射线。为了搞清失事原因，人们必须尽快找回匣子。 确定黑匣子的位置，必须确定其所在的方向和距离， 试设计一些寻找黑匣子的方法。由于要确定两个参 数，至少要用仪器检测两次，除非你事先知道黑匣 子发射射线的强度。
分析：在这场“价格战”中，我们将站在乙加油站的立 场上为其制定价格对策．因此需要组建一个模型来描述 甲站汽油价格下调后乙加油站销售量的变化情况．
为描述价格和汽油销售量之间的关系，我们引入如下 一些指标：
影响乙加油站汽油销售量的因素 (1)甲加油站汽油降价的幅度； (2)乙加油站汽油降价的幅度； (3)两站之间汽油销售价格之差．
在这场“价格战”中，我们假设汽油的正常销售价格 保持定常不变，并且假定以上各因素对乙加油站汽油 销售量的影响是线性的．于是乙加油站的汽油销售量 可以由下式给出
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13、遗传模型
1．问题分析
所谓常染色体遗传，是指后代从每个亲体的基因 中各继承一个基因从而形成自己的基因型.
如果所考虑的遗传特征是由两个基因A和B控制的， 那么就有三种可能的基因型：AA，AB和BB.
换显一然种是想由法于，节问省题了就从迎 刃相而遇解点了到。会假合如点他，的又妻从子会遇合 到 点点故他，返，后那回故仍么相由似载这遇相乎着一点遇条他天这点件开他一到不往就段会够会不路合哦合会的点。地提缘需。 前开回5分家钟了。。而提此前人的提十前分了钟三时 间十从分何钟而到来达？会合点，故相遇 时他已步行了二十五分钟。
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
《包装的学问》数学好玩
天然材料
利用天然纤维、麻绳、竹制品等 环保材料制作包装。
循环再生材料
使用回收塑料、再生纸等循环再 生材料进行包装。
包装废弃物的回收与利用
建立回收体系
建立完善的包装回收体系，鼓励消费者参与回收 。
分类回收
对不同类型的包装废弃物进行分类回收，提高回 收效率。
再生利用
对可再生利用的包装废弃物进行再生处理，如塑 料瓶、纸箱等。
技术进步
新材料的出现和加工技术的进步为创意包装 提供了更多可能性。
行业趋势
可持续发展和环保理念逐渐成为行业主流， 创意包装将更加受到关注和重视。
05
包装的数学模型
线性代数在包装中的应用
线性代数在包装设计中的应用
线性代数提供了对二维和三维空间中形状和结构的理解和操作方法，这对于包 装设计至关重要。例如，通过矩阵变换，可以轻松地旋转、缩放和移动包装图 像。
最优化理论在包装设计中的应用
最优化理论可以用于优化包装设计的各个方面，如形状、尺寸和结构。通过最优化算法，可以找到最优的设计方 案，以最大限度地提高包装的功能性和美观度。
THANKS
谢谢您的观看
02
包装的几何形状
常见的几何形状
01
02
03
04
圆形
圆是最常见的几何形状之一， 具有旋转对称性，常用于包装 设计中的主体或装饰元素。
方形
方形是包装设计中最为常见的 形状，具有稳定性强、易于堆
放和运输的特点。
椭圆形
椭圆形结合了圆形和方形的特 点，既具有较好的稳定性，又
具有一定的曲线美。
多边形
多边形由多个直线段组成，常 见的有三角形、六边形等，多
优化包装设计
数学建模简单13个例子
例如，金鱼草是由两个遗传基因决定它开花的颜
色，AA型开红花，AB型的开粉花，而BB型的开白花. 这里的AA型和AB型表示了同一外部特征(红色)，
则人们认为基因A支配基因B，也说成基因B对于A是隐
性的.
2021/10/10
O B(0,-b)
θ2 护卫舰
可化为：
X
x2ya a2 2 1 1b2
4a2b2 (a21)2
令： ha21b,r 2ab a21 a21
则上式可简记成 ：
x2(y-h)2r2
汇合点即可p必求位出于P点此的圆坐上标。和
θ2 的值。
y(ta1)nxb（护卫舰的路线本方模程型）虽简单，但分析
2y 021 /10/1(0 ta2n )xb（航母的路线方极程清）晰且易于实际应用2返3 回
v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可
另建模型研究，从而L1=v*t1。刹车距离 L2既可用曲线
拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来
黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。
第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停
得住车。
第二步，黄灯亮的时间应当让已过线
的车顺利穿过马路，
D
即T 至少应当达到 （L+D）/v。 2021/10/10
某航空母舰派其护卫舰去搜寻其跳伞的飞 行员， 护卫舰找到飞行员后，航母通知它尽快返回与其汇 合并通报了航母当前的航速与方向，问护卫舰应怎 样航行，才能与航母汇合。
2021/10/10
22
Y
P(x,y)
记v2/ v1=a通常a>1
例说包装问题的数学建模方略
2013-02课堂内外模型思想是数学课程标准提出的核心关键词之一，它是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.近几年来，各地市中考数学试卷中出现的一类包装型问题，由于其取材贴近生活，背景朴实而又为学生所熟悉，且题中蕴含许多重要的数学思想与方法，因此，正逐渐被命题老师所青睐.深入剖析这类包装问题，尝试进行数学建模，寻求问题解决方法，定能对紧张的中考复习起到较好的示范作用.一、直角三角形模型生活中对一些柱体进行外包装较为常见.在解决这类问题的过程中，往往需要将立体图形通过剪切展开成平面图形，将问题置于平面中来寻求解题思路.其中常通过现成的或构造而成的直角三角形，运用三角函数、勾股定理等相关知识解决问题.例1.如图1，是一个侧棱长为15cm的直三棱柱包装盒，它的底面是正三角形.现将宽为4cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕四圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.则在图2中，裁剪的角度∠BAD的正弦值是.评析：如何将平行四边形纸带ABCD包贴到三棱柱上？一种是将AD与三棱柱底边棱重合进行包贴；一种是将AB边与三棱柱底边棱重合进行包贴.前者无法将纸带“螺旋上升”以至包贴整个三棱柱侧面；后者可以按题目要求进行包贴.故AB长即为三棱柱的底边周长.求∠BAD可转化到直角三角形中求解.本题所涉及的知识点有：三棱柱侧面展开图，解直角三角形，平行四边形和平移等一些实践操作知识.解决本题，关键是能否在有限的时间里审清题意，能否理解“包贴”的方法和理解“侧面全部包贴满”等字眼，能否通过图2与图3找出解决此题的切入口.处理立体图形往往是要将立体图形展开成平面图形.同时平面图形与立体图形之间又有着密切的联系.图1图2图3二、方程模型胶带纸对学生来说是相当熟悉的，灵活利用它，同样可命制一类好题.解决过程中往往会涉及有关面积的知识，有时也不乏用到不等式等知识.其中常根据隐含的有关面积的等量关系，通过建立方程模型来解决问题.例2.小明买来一卷包装用胶带纸（如图4）.他突发奇想：这卷胶带纸拉开来到底有多长？他首先想到可以拉开来直接测量，显然这是不切实际的.思考后，他想到了用数学知识来解决.他从网上查得这种包装胶带纸的厚度约为0.005cm，他量得整卷胶带纸的内径为5cm，外径为10cm.请你帮助小明解决这个问题（结果精确到1米）.10cm5cm图4评析：利用学生熟悉的胶带纸，对此进行联想而编制成本题.解决该问题需要有思维的开放性和深刻性.一方面它提供了一个生活情境的再现，呈现“活生生”的数学知识应用场景，考查学生对现实问题的理解能力和解决问题的能力，即数学建模能力；另一方面，作为该试题，体现了命题的“公平性”原则，人人都接触过胶带纸，不会给学生带来陌生感.再者，还在于它解法的巧妙：以面积法求得胶带纸的长度.想象中把整卷胶带纸拉开，拉开后的胶带纸的截面可看做是长未知、宽为0.005cm的很扁很扁的矩形，若设全长为x cm，则圆环面积可表示为0.005x，利用面积建立等量关系，列出方程，从而求得x的值.显然，直接去求长度的难度要大得多，这需要思维的广阔性与发散性，没有较强的抽象思维能力与建模能力，要比较轻松地解决本题是有一定难度的.三、不等式模型建立不等式模型来解决生活中的包装问题，看似风马牛不相及，然通过巧设载体，将它们有机结合起来，运用不等式等相关知识，硬是解决了一些包装问题中的包装带长度问题，彰显数学的无穷魅力.例3.（1）比较大小：①3+523×5√②12+35212×35√③2+1222×12√④6+626×6√（2）通过（1）的判断，你可猜想：当a，b为正实数时，a+b与2ab√的大小关系为a+b2ab√.（3）利用上述猜想解决下列问题：如图5，有一等腰梯形的工件（厚度不计），其面积为1800cm2，，现要用包装带如图包扎（点E、例说包装问题的数学建模方略文/刘和珍摘要：近年来，各地市的中考数学卷中，常出现与包装有关的数学实际问题。
例说包装问题的数学建模方略
例说包装问题的数学建模方略
商品包装问题是由于商品日益增加而引发的现代社会热点话题，它不仅影响着
消费者的合法权益，也对消费者的环境权利构成了重大威胁。
从法律的角度出发，对商品包装问题的解决方案需要采用数学建模的方法。
首先需要利用数学建模技术来分析商品包装的成本构成、价格预测以及市场竞
争等。
此外，应当依据商品包装中消费者权益的构成，通过数学建模技术来研究探究商品包装对消费者权益保护的影响，尤其要对比各种包装方案在消费者权益保护上的优劣势，以及在消费者权益不被破坏的前提下采用何种经济效益最大化的方案。
此外，消费者主体作为每一种商品上市的关键部分，应通过数学建模技术来研究探究如何保护消费者的环境权利，分析出有效的环境服务成本分担的算法，以保障环境权利的有效执行。
最终，商品包装问题的问题可以通过设计优化模型并采用数学解决方案来解决，以制定出最佳的包装方案，一方面保证消费者的合法权益不受损害，另一方面有效保护环境权利得以实施，使得商品包装问题得以有效解决。
包装中的数学问题
知识目标：1、了解形状相同，体积相等的物体可以有不同的排列方式。
2、知道排列方式不同，体积不变，但表面积会发生变化。
3、通过操作活动认识到，长方体体积不变时，长、宽、高的长短越接近，它的表面积越小。
数学思考与问题解决：1.发展动手操作能力和空间想象观念，培养积极思考、探究规律的能力。
2.体验解决问题的基本过程和方法，提高解决问题的能力。
3.通过解决包装问题，体验策略的多样化，发展优化思想。
情感态度:渗透节约的意识，了解包装的学问在生活中的应用，体会数学与生活的联系，提高学习数学的兴趣。
二、学习者分析学生已经能够熟练的计算出长方体的表面积和体积，并且对空间图形有了一定的认识，有一定的空间想象能力，能够用几个长方体摆放出新的长方体，从而找到出最节省包装纸的方案，探索推理出规律。
三、教学重难点分析及解决措施【教学重点】探索多个相同长方体叠放的多种方法以及最节约的包装策略。
【教学难点】掌握分析解决问题的策略，能灵活快速地找出最优的包装方案。
【教法与学法】主要采用个人探究与小组学习有机结合的方法。
教学环节及时间活动目标教学内容活动设计媒体功能应用及分析导入（1分钟）通过创设情景引出课题，提出问题通过给太阳村的孩子香皂，并把2块香皂包装在一起，引出本节课的课题—包装中的数学问题一、导入：师：同学们，咱们学校前段时间组织了为太阳村捐赠衣物的活动。
现在我想再给他们捐赠2块香皂，我想把这2块香皂用漂亮的包装纸包起来，我需要用多大的包装纸呢？就是求包装纸的？生：求包装纸的面积师：通过捐赠香皂这件事都引出了面积这个数学概念。
看来生活中真是处处有数学。
我们今天就来学习包装中的数学问题。
白板出示图片操作（9分钟）通过操作实践，使学生能够利用表面积等相关知识，探索相同的长方体叠放的方法即使用表面面积最小的最优策略小组合作，探索2块香皂都有哪几种摆放方式，摆放之后的长方体的长、宽、高、表面积和体积各是多少，判断这几种摆放方式中哪种最节省包装纸二、合作探究长方体的香皂盒，长是7cm、宽是5cm、厚是3cm。
大学生数学建模论文---两辆铁路平板车的装货问题
两辆铁路平板车的装货问题摘要本文针对包装箱的运输问题，建立了关于使得平板车空间浪费最小的一般数学模型与方法。
即使得空间浪费最小的最优解，属于优化类模型。
利用线性规划原理对问题进行分析求解，建立数学模型。
首先，将7种包装箱的厚度和重量分别设成相应的未知数，方便在题中的代入求解。
由此再进一步的研究。
对于问题，假设出各辆铁路平板车所载的7种包装箱的数目。
并考虑到铁路平板车，对所载包装箱的高度、重量等要求，利用所设未知数和已知的条件限制建立约束条件。
再对铁路平板车得空间浪费最少建立目标函数。
由此，可建立线性规划数学模型，对本文问题进行求解。
利用LINGO编程进行求得最优解,即得到最优设计方案：第一辆平板车载C1种类型的包装箱0件，C2种类型的包装箱5件，C3类型的包装箱2件，C4种类型的包装箱5件，C5种类型的包装箱2件，C6种类型的包装箱1件，C7种类型的包装箱2件；另一辆平板车载C1种类型的包装箱6件，C2种类型的包装箱2件，C3种类型的包装箱6件，C4种类型的包装箱0件，C5种类型的包装箱0件，C6种类型的包装箱0件，C7种类型的包装箱4件；这样的装载能使得两辆平板车的使用高度达到20.4米，空间利用率达到100%。
关键词：最小浪费空间、长度、重量、数量。
一、问题重述有 7 种规格的包装箱要装到两辆铁路平板车上去。
包装箱的宽和高是一样的，但厚度（t，以厘米计）及重量（ω，以kg 计）是不同的。
下表给出了每种包装箱的厚度、重量以及数量。
每辆平板车有10.2m 长的地方可用来装包装箱（象面包片那样），问:应该如何把这些包装箱装到平板车上，才能使得浪费的空间最小？试建立此问题的数学模型。
二、模型假设2、包装箱之间不存在间隙，即包装箱所铺成的总高度没有影响。
3、将每个包装箱装入平板车都具有可行性。
4、各个货物装在车上的概率相同，相互之间的排放不存在关联性；5、在该平板车装载的过程中不考虑各个货物的厚度及重量的误差性，均为题中所给的准确数值；6、装载的过程中不考虑货物在车上的排列次序及各个货物的重量密度，排除因局部过重而造成的平板车不能行驶的情况；三、符号定义说明i a : 表示第i 类包装箱的厚度 i b ：表示第i 类包装箱的重量 i c ：表示第i 类包装箱i x ：表示在其中一辆车上装第i 类包装箱x 件 i y ：表示在另一辆车上装第i 类包装箱y 件 （i=1,2,3,4,5,6,7）四、问题分析七种包装箱的重量和W= =89t ，而两辆平板车只能载240=80t ，因此不能全部装下，究竟在两辆车上装哪些种类的箱子各多少才合适，必须有评价的标准，这标准是遵守题中说明的重量,厚度方面的约束条件，并且体现出尽可能多装。
数学学科包装教案详解：一步一步学会使用数学工具量取包装体积
数学在生活中的应用范围非常广，特别是在包装行业中，数学更是一个不可或缺的工具。
包装需要精确的量取体积，掌握数学工具是必不可少的。
下面，我将详细介绍如何使用数学工具量取包装体积。
一、包装体积的定义包装体积是指包装内部的立方体空间，通常我们用体积大小来衡量包装容量的大小。
包装体积的计算公式为V=长*宽*高，其中长、宽、高都是包装内部的三个边长。
二、几何形体的体积计算几何形体是数学中的一类重要对象，包含了各种各样的形状，如矩形、圆形、三角形等。
在包装行业中，常见的几何形体有长方体、正方体、圆柱体、圆锥体等。
下面，我们来一一介绍这些几何形体的体积计算方法。
1、长方体的体积计算长方体是指各面都是矩形的立体图形。
假设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则它的体积为V=abc。
例：一个长方体的长是3cm，宽是4cm，高是5cm，求它的体积。
解：将长、宽、高带入公式，得V=3*4*5=60cm³。
2、正方体的体积计算正方体是指所有面都是正方形的立体图形。
假设正方体的边长为a，则它的体积为V=a³。
例：一个正方体的边长为4cm，求它的体积。
解：将边长带入公式，得V=4³=64cm³。
3、圆柱体的体积计算圆柱体是由平行且等大小的圆的底部和顶部所包围的一个长方形区域所围成的立体图形。
假设圆柱体的底部半径为r，高为h，则它的体积为V=πr²h。
例：一个圆柱体的底部半径为2cm，高为6cm，求它的体积。
解：将底部半径和高带入公式，得V=π*2²*6=24π≈75.4cm³。
4、圆锥体的体积计算圆锥体是由一个圆锥面和圆锥的底面所围成的立体图形。
假设圆锥体的底部半径为r，高为h，则它的体积为V=1/3πr²h。
例：一个圆锥体的底部半径为3cm，高为4cm，求它的体积。
解：将底部半径和高带入公式，得V=1/3π*3²*4=12π≈37.7cm³。
“包装的学问”之数学模型
2016 年第 33 期 （总第 237 期）
“包装的学问”之数学模型
金华职业技术学院 胡英武
【摘 要】文章给出了“包装的学问”中包装方案的数学化与包装方案数的确定方法，建立了表面积最小的非线性整数规 划模型并给出了模型的求解方法。 【关键词】包装的学问 包装方案 数学模型 “包装的学问”是北师大版小学数学五年级下册第 82-83页的“综合与实践”领域的教学内容。限于小学生的 思维，教材中的包装问题只涉及一个面、两个面拼接的情 况，不涉及三个面的拼接。作为教师，应该思考一般的包 装问题。 12=3×2×2 12=2×3×2 （三）最优方案的确定 12=2 ⋅ n3 下，长方体的长、宽、高分别为 n1a、n2b、n3c，表面积为 2(n1a ⋅ n2b + n1a ⋅ n3c + n2b ⋅ n3c) 。
* 问 题 转 化 为 在 n = n1 ⋅ n2 ⋅ n3 ， (n1 , n2 , n3 ∈ N ) 下， 求 2(n1a ⋅ n2b + n1a ⋅ n3c + n2b ⋅ n3c) 的最小值问题，是非线性整数 规划模型。
1 1 1 1 − ≥0， − ≥0 c a c b
1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − n2 n1 a n3 n2 b n1 n3 c 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − n2 n1 a n3 n2 b n1 n2 n2 n3 c 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − + − − ≥ 0 n1 n2 c a n2 n3 c b
小学数学建模案例：包装问题模型版
小学数学建模案例：包装问题模型版-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN包装问题1、问题提出生活中我们经常遇到包装问题，如食品、家电、快递物品等，那么我们该如何揭示包装中存在的问题呢？以磁带的包装为例，一盒磁带的长为11cm，宽为7cm，高为2cm，来探讨在包装纸最省的前提下如何对多盒磁带进行包装。
2、模型分析如果忽略包装连接处的重叠部分面积，多盒磁带的最省包装问题归结为求不同叠放方式下的组合物品的表面积问题。
3、模型求解单独一盒磁带的表面积为2×（11×7+11×2+7×2）＝226cm2。
（1）两盒磁带的包装问题通常包装的方式有三种包装面积为2×226－2×7×2=424 cm2包装面积为2×226－2×11×2=408 cm2包装面积为2×226－2×11×7=298 cm2我们发现第三种包装方式最节省材料。
（2）三盒磁带的包装问题通常包装方式也是有三种包装面积为3×226－4×7×2=622cm2包装面积为3×226－4×11×2=590 cm2包装面积为3×226－4×11×7=370 cm2结果发现还是第三种包装方式最节省材料。
我们发现，要使包装材料最省，重叠部分的面积越大越好。
（3）四盒磁带的包装问题通常包装方式有六种包装面积为4×226－6×7×2=820 cm2包装面积为4×226－4×7×2－4×11×2=760 cm2包装面积为4×226－6×11×2=772 cm2包装面积为4×226－4×11×7－4×11×2=408cm2包装面积为4×226－4×11×7－4×7×2=540cm2包装面积为4×226－6×11×7=442 cm2结果发现，第六种包装方式最省材料。
立体几何的应用--以牛奶的包装为例
立体几何的应用 --以牛奶的包装为例摘要：本节课在信息技术的支持下，通过“某产品的包装”为案例，呈现了师生之间通过数学建模活动来完成立体几何的应用学习。
在信息技术以及实际操作的双重辅助下，学生自主进行问题研所，完成任务探究，从而建立数学模型来解决实际生活当中的问题，感知数学建模的核心素养，提升学生的思维能力和创新能力，为学生的综合素养的促进奠定基础。
关键词：数学建模；立体几何；教学实践1.教学内容“立体几何的应用——以某产品的包装为例”是高中人教A版的知识点，对于高中阶段的学生来说，正是从数学知识的掌握理解到自主完成数学建模的一个过程。
本节课是学生在学习了空间几何的基础上，通过建立立体几何在实际生活应用问题，师生共同完成选题、开题、做题、结题全过程。
通过本节课的学习，学生进一步加深对立体几何的实际应用，熟悉数学建模活动的流程，为以后的自主学习提供方法和思路。
1.教学目标1.能通过以实际问题对抽象的立体几何知识进行探究，构建适当的数学模型，借助信息技术来求解模型，最终可以结合知识解决生活化数学知识。
2.经历数学建模活动的过程，掌握数学建模解决实际问题的策略方法，体会到数学知识与生活的关联程度，在探究数学知识过程中促进综合能力发展。
1.学生学情分析本节课面对的对象是高中阶段的学生，他们的思维比较活跃，并且有独立思考的能力，可以通过实践操作来进行知识探索，并且具有丰富的数学知识经验。
“立体几何的应用——以某产品的包装为例”的内容是从学生生活角度开展的，便于学生深入了解立体几何的相关知识，学生已经学习了空间立体几何的相关知识，掌握了空间几何体的三视图、空间几何体的表面积与体积等知识点，具备了从观察几何图形到建立数量关系的逻辑推理能力，这都为本节课数学建模解决生活化问题提供知识保障。
1.教学策略分析1.通过数学建模的知识内容，在活动当中设计值得思考的问题，引导学生利用掌握的空间几何知识来在生活化角度开展建模活动，从而归纳出数学建模的构建方法，使学生能够全面的理解该方面内容。
数学模型在包装装潢设计中的应用-精品教育文档
数学模型在包装装潢设计中的应用引言包装装潢设计是一门原创性和技术性很强的综合性学科，是提高产品品质和特色的重要手段，增加了产品包装装潢设计的科学、文化和艺术性。
应用合理的设计理念和方法能够使包装设计更具特色，并能形成独立的产品风格[1]。
在具体的设计中需依据产品特点结合包装的不同属性，将应用的具体结构和图形设计出来。
从哲学角度对此问题进行分析，设计中应用的学科都有其相应的属性，利用属性数学模型来设计包装装潢方案，可准确判断研究成果的基本特征。
因此，将其应用于包装装潢设计中是非常必要的。
本文以包装装潢及数学模的基本情况为起点，分析数学模型在包装装潢设计方案中的应用，为提高包装装潢的设计水品提供理论指导，现综述如下。
1包装装潢及数学模的基本情况1.1包装装潢包装装潢是指对商品包装的表面及造型的具体设计。
在确保设计的合理性和科学性的基础上，应用适宜的设计方法和理念对产品包装进行更深一步的美化和装饰，应用图案、色彩、文字、品牌和外形等相关因素将产品包装以艺术整体构造的形式体现出来，充分发挥包装的宣传性、美化性、特色性和信息性，为商品的销售提供有力支持。
在对商品进行包装中，依照目的分为运输包装和销售包装，运输包装以保证商品安全、便于运输、衔接生产和销售为主要目地。
而对商品的包装装潢，主要侧重于销售包装，是衔接消费和商品销售为主要目地。
包装装潢是对商品的宣传和促销，展示产品的特点和信息，有效提升商品在市场竞争中的竞争能力，是产品市场营销的有力推手。
合理产品销售包装，可显著提升商品的市场价格，增加产品的销售量，对消费者的购买判断存在重要作用。
有调查发现，在商品销售中，有半数以上的消费者通过商品的装潢和包装来选择购买的商品。
由此可知，对商品进行包装装潢成为影响商品市场竞争能力的重要因素[2]。
1.2属性数学属性数学是研究人员在了解掌握了自然持续变化、无限发展规律及整体运动这些问题后建立起来的一种数学学科。
是对于物质和事物之间的相互变化内涵、规律、发展趋势的分析和整体运动属性关系的表达。
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例说包装问题的数学建模方略
作者：刘和珍
来源：《新课程·上旬》2013年第02期
摘要：近年来，各地市的中考数学卷中，常出现与包装有关的数学实际问题。
这类问题常蕴含许多重要的数学思想与方法，深入剖析这类包装问题，尝试进行数学建模，寻求问题解决方法，定能对紧张的中考复习起到较好的示范作用.
关键词：包装问题；数学建模；策略
模型思想是数学课程标准提出的核心关键词之一，它是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段.近几年来，各地市中考数学试卷中出现的一类包装型问题，由于其取材贴近生活，背景朴实而又为学生所熟悉，且题中蕴含许多重要的数学思想与方法，因此，正逐渐被命题老师所青睐.深入剖析这类包装问题，尝试进行数学建模，寻求问题解决方法，定能对紧张的中考复习起到较好的示范作用.
一、直角三角形模型
生活中对一些柱体进行外包装较为常见.在解决这类问题的过程中，往往需要将立体图形通过剪切展开成平面图形，将问题置于平面中来寻求解题思路.其中常通过现成的或构造而成的直角三角形，运用三角函数、勾股定理等相关知识解决问题.
例1.如图1，是一个侧棱长为15 cm的直三棱柱包装盒，它的底面是正三角形.现将宽为4 cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕四圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满.则在图2中，裁剪的角度
∠BAD的正弦值是 .
评析：如何将平行四边形纸带ABCD包贴到三棱柱上？一种是将AD与三棱柱底边棱重合进行包贴；一种是将AB边与三棱柱底边棱重合进行包贴.前者无法将纸带“螺旋上升”以至包贴整个三棱柱侧面；后者可以按题目要求进行包贴.故AB长即为三棱柱的底边周长.求∠BAD可转化到直角三角形中求解.本题所涉及的知识点有：三棱柱侧面展开图，解直角三角形，平行四边形和平移等一些实践操作知识.解决本题，关键是能否在有限的时间里审清题意，能否理解“包贴”的方法和理解“侧面全部包贴满”等字眼，能否通过图2与图3找出解决此题的切入口.处理立体图形往往是要将立体图形展开成平面图形.同时平面图形与立体图形之间又有着密切的联系.
二、方程模型
胶带纸对学生来说是相当熟悉的，灵活利用它，同样可命制一类好题.解决过程中往往会涉及有关面积的知识，有时也不乏用到不等式等知识.其中常根据隐含的有关面积的等量关系，通过建立方程模型来解决问题.
例2.小明买来一卷包装用胶带纸（如图4）.他突发奇想：这卷胶带纸拉开来到底有多长？他首先想到可以拉开来直接测量，显然这是不切实际的.思考后，他想到了用数学知识来解决.他从网上查得这种包装胶带纸的厚度约为0.005 cm，他量得整卷胶带纸的内径为5 cm，外径为10 cm.请你帮助小明解决这个问题（结果精确到1米）.
评析：利用学生熟悉的胶带纸，对此进行联想而编制成本题.解决该问题需要有思维的开放性和深刻性.一方面它提供了一个生活情境的再现，呈现“活生生”的数学知识应用场景，考查学生对现实问题的理解能力和解决问题的能力，即数学建模能力；另一方面，作为该试题，体现了命题的“公平性”原则，人人都接触过胶带纸，不会给学生带来陌生感.再者，还在于它解法的巧妙：以面积法求得胶带纸的长度.想象中把整卷胶带纸拉开，拉开后的胶带纸的截面可看做是长未知、宽为0.005 cm的很扁很扁的矩形，若设全长为x cm，则圆环面积可表示为
0.005x，利用面积建立等量关系，列出方程，从而求得x的值.显然，直接去求长度的难度要大得多，这需要思维的广阔性与发散性，没有较强的抽象思维能力与建模能力，要比较轻松地解决本题是有一定难度的.
三、不等式模型
建立不等式模型来解决生活中的包装问题，看似风马牛不相及，然通过巧设载体，将它们有机结合起来，运用不等式等相关知识，硬是解决了一些包装问题中的包装带长度问题，彰显数学的无穷魅力.
例3.（1）比较大小：
（3）利用上述猜想解决下列问题：如图5，有一等腰梯形的工件（厚度不计），其面积为1800 cm2，，现要用包装带如图包扎（点E、F、G、H分别为四边中点），则最少需要包装带的长为 .
评析：本题通过一些数式的大小比较，从中抽象概括出一般结论，进而将此结论应用于平面图形中（厚度不计的等腰梯形工件的外包装带的长度估算），体现了从特殊到一般的思考问题的思想与方法，同样也渗透了数形结合的思想.学习不等式的根本目的，就是要初步形成利用不等式进行数学建模的能力，能把它作为一种有效的数学工具和数学模型，去解决实际问题和数学本身的问题.（1）（2）两小题比较常规，在解决第（3）小题时，要弄清以下几个问题：①厚度不计的一个等腰梯形的工件用包装带如图包扎，计算包装带的长就是计算什么？②EG与HF的长度与等腰梯形的面积之间有什么联系？③EG与HF的位置关系如何？为什么有这种位置关系？④如何将第（2）小题的结论用上去？解决了上述问题，本题也就解决了.而
题中的（1）（2）两问与第（3）问看起来是风牛马不相及的，然而实质上它们有着如此让人惊诧的联系，再次体现了数学的无穷魅力.
中考试题承载着课标理念与教学导向，对它们的跟踪关注与研究是数学教师的最爱.数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象，通过呈现学生所熟悉的生活背景与实际，让学生通过抽象概括，提炼归纳建立数学模型进而获得问题的解决，这无疑是考查学生抽象思维能力与数学建模能力的好载体，也无疑将成为命题老师的命题思路与编制方向.愿我们一起潜下心来，认真研究课标与考试说明，为切实提高中考复习的有效性与针对性，真正达到“轻负高效”的目标而努力.
（作者单位浙江省上虞市实验中学）。