一类特殊的高阶等比数列研究
3.1 等比数列的概念 一等奖创新教学设计
3.1 等比数列的概念一等奖创新教学设计4.3.1 等比数列的概念一、内容与内容解析1.内容：等比数列的定义、等比数列的通项公式、等比中项，等比数列与函数的关系，学习等比数列的必要性2.内容解析：研究等比数列的必要性：数列是高中数学的重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承上启下的作用。
一方面数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面学习数列也为大学内容学习数列的极限做好铺垫。
《等比数列》是两类特殊数列中的一种，对于等比数列的研究源于现实生产，生活的需要。
探索它的取值规律，建立它的通项公式和前n项和公式，并应用它们解决实际问题。
例如：生物学上的细胞分裂个数问题、生物体死亡后碳14的衰退问题、日常生活中的银行存款、贷款问题等。
通过数学抽象将实际问题转化为等比数列的知识，并运用等比数列的相关知识进行数学运算、逻辑推理等，最终达到解决实际问题的目的，从中感受数学模型的现实意义与应用。
（2）等比数列的概念：《等比数列的概念》是《等比数列》在教学中的第一节。
通过类比等差数列的研究思路和方法，从运算学的角度出发引出我们要研究的内容。
通过分析教材中给出的生物、语文、生活、历史等方面的问题，提取出6组数列，让学生从“运算”上发现取值规律，之后类比等差数列的定义得出等比数列的定义。
通过对定义的巩固练习得出等比数列的注意事项。
类比等差数列通项公式的推导方法、等差中项的定义让学生独立推导出等比数列的通项和等比中项。
本节课的难点分析等比数列的通项公式与函数的关系。
为了突出重点突破难点，我将等比数列的通项公式变形为（），不妨设，由此总结得到等比数列的第n项就是指数函数当时的函数值，即。
从等比数列角度，等比数列每一项就是指数函数取相应正整数时的函数值，即等比数列的通项公式就是指数函数时的离散函数。
反之，已知指数函数，，…构成一个等比数列，其首项为,公比为，最终阐明等比数列通项公式与指数函数之间的关系，进一步为等比数列的判断指明了方向。
几个特殊的数列
几个重要的特殊数列基础知识1．斐波那契数列莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
高中数学等比数列的性质及应用策略
高中数学等比数列的性质及应用策略数列是高中数学中的重要概念，而等比数列是数列中的一种特殊情况。
在学习数列时，我们经常会遇到等比数列的问题。
本文将重点讨论等比数列的性质以及应用策略，帮助高中学生更好地理解和运用等比数列。
一、等比数列的性质等比数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的比值都相等的数列。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则等比数列的通项公式为an = ar^(n-1)。
1. 等比数列的通项公式等比数列的通项公式是关键，它可以帮助我们求解等比数列中的任意一项。
通过观察数列中的规律，我们可以发现每一项与前一项的关系，从而得到通项公式。
例如，考虑等比数列1，2，4，8，16，...。
我们可以发现每一项都是前一项乘以2，即an = 2 * an-1。
而首项为1，因此通项公式为an = 2^(n-1)。
2. 等比数列的前n项和等比数列的前n项和是指数列中前n项的和。
求解等比数列的前n项和可以帮助我们计算数列的总和，从而解决实际问题。
等比数列的前n项和公式为Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)，其中a为首项，r为公比。
这个公式可以通过数学归纳法证明得出。
例如，对于等比数列1，2，4，8，16，...，我们可以计算出前3项的和为7，前4项的和为15，前5项的和为31，依次类推。
二、等比数列的应用策略等比数列在实际问题中有着广泛的应用。
在解决问题时，我们可以运用等比数列的性质和应用策略，快速解决问题。
1. 求解未知项通过等比数列的通项公式，我们可以根据已知的首项和公比求解数列中的任意一项。
这在实际问题中非常有用。
例如，某公司的年收入是等比数列，已知第1年的收入为100万元，公比为1.2。
我们可以利用通项公式an = 100 * (1.2)^(n-1)求解第5年的收入为多少。
2. 求解总和通过等比数列的前n项和公式，我们可以计算数列的总和。
这在求解累加问题时非常方便。
例如，某人每天存钱，第1天存1元，第2天存2元，第3天存4元，以此类推。
专题08 数列小题综合(学生卷)- 十年(2015-2024)高考真题数学分项汇编(全国通用)
专题08数列小题综合考点十年考情（2015-2024）命题趋势考点1数列的增减性（10年3考）2022·全国乙卷、2022·北京卷2021·全国甲卷、2020·北京卷1.掌握数列的有关概念和表示方法，能利用与的关系以及递推关系求数列的通项公式，理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题，该内容是新高考卷的必考内容，常考查利用与关系求通项或项及通项公式构造的相关应用，需综合复习2.理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等差关系并能用等差数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等差数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等差数列，或通过构造为等差数列，求通项公式及前n项和，需综合复习3.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，能在具体的问题情境中识别数列的等比关系并能用等比数列的有关知识解决相应的问题，熟练掌握等比数列通项公式与前n项和的性质，该内容是新高考卷的必考内容，一般给出数列为等比数考点2递推数列及数列的通项公式（10年6考）2023·北京卷、2022·北京卷、2022·浙江卷2021·浙江卷、2020·浙江卷、2020·全国卷2019·浙江卷、2017·上海卷考点3等差数列及其前n项和（10年10考）2024·全国甲卷、2024·全国甲卷、2024·全国新Ⅱ卷、2022·全国乙卷、2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2023·全国新Ⅰ卷、2022·北京卷、2020·浙江卷、2020·山东卷、2020·全国卷、2019·全国卷2019·江苏卷、2019·北京卷、2019·全国卷、2019·全国卷、2018·北京卷、2018·全国卷、2017·全国卷、2016·浙江卷、2015·重庆卷2015·全国卷、2015·全国卷、2016·北京卷、2016·江苏卷、2015·广东卷、2015·陕西卷、2015·安徽卷、2015·全国卷考点4等比数列及其前n项和（10年10考）2023·全国甲卷、2023·天津卷、2023·全国新Ⅱ卷2023·全国甲卷、2023·全国乙卷、2022·全国乙卷、2021·全国甲卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2020·全国卷、2019·全国卷、2019·全国卷2017·全国卷、2017·北京卷、2017·江苏卷、2016·浙江卷、2016·全国卷、2015·浙江卷2015·全国卷、2015·全国卷、2015·湖南卷2015·广东卷、2015·安徽卷列，或通过构造为等比数列，求通项公式及前n 项和。
高中数学解等比数列问题的技巧
高中数学解等比数列问题的技巧数列是高中数学中常见的一个概念，而等比数列是数列中的一种重要类型。
解决等比数列问题需要一定的技巧和方法，本文将为大家介绍一些解等比数列问题的技巧，帮助高中学生和家长更好地理解和应用这一知识点。
首先，我们来回顾一下等比数列的定义：等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与前一项的比值都相等。
比值常用字母q表示，称为等比数列的公比。
数列的第一项用a₁表示，第n项用aₙ表示。
在解等比数列问题时，我们常常需要求出数列的通项公式，即能够通过已知项的位置n来求出对应项的值aₙ的公式。
这样，我们就可以通过通项公式来求解一系列与等比数列相关的问题。
那么，如何确定等比数列的通项公式呢？一个常用的方法是通过已知项的值来找出数列中的规律，并进一步推导出通项公式。
下面，我们通过具体的例子来说明这一过程。
例题1：已知等比数列的第1项为2，公比为3，求第5项的值。
解析：根据已知条件，我们可以列出等比数列的前几项：2，6，18，54，...通过观察数列的前几项，我们可以发现每一项都是前一项乘以公比3得到的。
因此，我们可以得出等比数列的通项公式为aₙ = a₁ * q^(n-1)。
代入已知条件，我们可以求得第5项的值：a₅ = 2 * 3^(5-1) = 162。
因此，等比数列的第5项的值为162。
通过这个例子，我们可以看出，通过观察数列的前几项，找出数列中的规律，进而推导出通项公式，是解决等比数列问题的关键。
除了求解等比数列的通项公式外，我们还可以利用等比数列的性质来解决一些与等比数列相关的问题。
下面，我们来看一个例子。
例题2：已知等比数列的第1项为2，公比为3，求前5项的和。
解析：根据已知条件，我们可以列出等比数列的前几项：2，6，18，54，...要求前5项的和，我们可以使用等比数列的求和公式：Sₙ = a₁ * (1 - q^n) / (1- q)。
代入已知条件，我们可以求得前5项的和：S₅ = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242。
高考理科数学模拟试卷(含答案)
高考理科数学模拟试卷(含答案)高考理科数学模拟试卷（含答案）本试卷共分为选择题和非选择题两部分，第Ⅰ卷（选择题）在1至2页，第Ⅱ卷（非选择题）在3至4页，共4页，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1.答题前，请务必填写自己的姓名和考籍号。
2.答选择题时，请使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，请使用橡皮擦擦干净后再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，请使用0.5毫米黑色签字笔，在答题卡规定位置上书写答案。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，请只将答题卡交回。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={-1.0.1.2.3.4}，B={y|y=x,x∈A}，则A2B=A){0.1.2}B){0.1.4}C){-1.0.1.2}D){-1.0.1.4}2.已知复数z=1/(1+i)，则|z|=A)2B)1C)2D)23.设函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)=x-2，则f(f(1))=A)-1B)-2C)1D)24.已知单位向量e1，e2的夹角为π/2，则e1-2e2=A)3B)7C)3D)75.已知双曲线2x^2-y^2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±3x，则双曲线的离心率是A)10B)10/10C)10D)3/96.在等比数列{an}中，a1>0，则“a1<a4”是“a3<a5”的A)充分不必要条件B)必要不充分条件C)充要条件D)既不充分也不必要条件7.如图所示的程序框图，当其运行结果为31时，则图中判断框①处应填入的是A)i≤6?B)i≤5?C)i≤4?D)i≤3?8.已知a、b为两条不同直线，α、β、γ为三个不同平面，则下列命题中正确的是①若α//β，α//γ，则β//γ；②若a//α，a//β，则α//β；③若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④若a⊥α，XXXα，则a//b。
如何快速解决高考数学中的等比数列
如何快速解决高考数学中的等比数列解决高考数学中的等比数列问题，首先需要了解等比数列的基本概念和性质。
等比数列是指一个数列中的每个数与它前一个数的比等于一个常数，这个常数称为公比。
对于等比数列，我们可以利用它的性质来快速解决问题。
下面将从等比数列的性质、常用公式以及解题技巧三个方面，详细阐述如何快速解决高考数学中的等比数列问题。
一、等比数列的性质1. 第n项公式：对于等比数列an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
2. 通项公式：对于已知的等比数列an = a1 * q^(n-1)，已知a1和q，求第n项an的数值。
3.前n项和公式：对于等比数列S_n=a1*(q^n-1)/(q-1)，其中S_n为前n项和。
二、常用公式的运用1.已知首项和公比求第n项：根据第n项公式，直接代入a1和n即可求得第n项的数值。
2.求等比数列的前n项和：利用前n项和公式，代入a1、q和n可以直接得到前n项和的数值。
3. 求等比数列的公比：根据已知的两个项的数值，利用公式an /a(n-1) = q，可以得到公比的数值。
三、解题技巧与常见问题1.分段求和法：当等比数列的公比，q，<1时，利用前n项和公式进行求和可能会比较繁琐。
可以利用等比数列的性质，将前n项和分成几段进行求和，可以简化计算。
2.等比中项：已知等比数列的两个相邻项的数值，求这两个项之间的中项的值。
利用等比数列的性质，设中项为x，根据an / a(n-1) = q可以得到一个方程，解得x的值。
3.等比数列与其它数列的结合：等比数列常常与等差数列、斐波那契数列等结合在一起进行求解。
在解题中，可以利用等式、递推关系等来解等比数列的问题。
总之，解决高考数学中的等比数列问题需要掌握等比数列的基本概念和性质，熟练运用等比数列的常用公式，并结合解题技巧来进行求解。
在平时的学习中，需要多做一些等比数列的计算和应用题，提高解题的速度和准确性。
几个重要的特殊数列
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在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。
现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。
特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为（），其特征方程为，其根为特征根。
（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定；（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为（），其中A、B由初始值确定。
（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得所以。
这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。
斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）（1）斐波那契数列的前项和；（2）；（3）（）；（4）（）；（5）（）；2．分群数列将给定的一个数列{}：按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列。
如在上述数列中，我们将作为第一组，将作为第二组，将作为第三组，……依次类推，第组有个元素，即可得到以组为单位的序列：（），（），（），……我们通常称此数列为分群数列。
高中数学必修课教案数列与级数的高级研究与应用方法
高中数学必修课教案数列与级数的高级研究与应用方法高中数学必修课教案：数列与级数的高级研究与应用方法第一节：引言数列与级数是高中数学必修课中的重要内容，通过深入研究和应用数列与级数的高级方法，能够进一步拓展学生对数学的理解和应用能力。
本节将介绍数列与级数的高级研究与应用方法。
第二节：数列的特殊性质与应用1. 等差数列的性质与应用（1）等差数列的通项公式（2）利用等差数列的性质解决实际问题2. 等比数列的性质与应用（1）等比数列的通项公式（2）利用等比数列的性质解决实际问题3. 斐波那契数列与黄金分割（1）斐波那契数列的定义和性质（2）斐波那契数列与黄金分割的关系（3）应用案例：黄金分割在建筑设计中的应用第三节：级数的收敛性与发散性1. 收敛级数的概念（1）级数的定义（2）级数的部分和序列2. 收敛级数的判别法（1）比较判别法（2）比值判别法（3）根值判别法3. 发散级数的判别法（1）正项级数的判别法（2）任意项级数的判别法第四节：级数的应用1. 数列极限与级数收敛性的关系（1）级数收敛的充要条件（2）级数收敛与数列极限的关系2. 幂级数与泰勒级数（1）幂级数的定义与性质（2）泰勒级数的求解方法3. 应用案例：泰勒级数在物理学中的应用（1）碰撞模型中的应用（2）质点运动的建模问题第五节：总结与拓展通过本节课的学习，我们深入研究和应用了数列与级数的高级方法，对数学的理解和应用能力有了更进一步的拓展。
数列与级数在实际生活和学科领域中有广泛的应用，通过不断的学习和研究，我们能够更好地理解和应用数学知识，提高自己的综合能力。
（文章正文部分共1119字）。
几个重要的特殊数列
几个重要的特殊数列1．斐波那契数列莱昂纳多∙斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。
在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即： 假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。
年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？ 这就是非常著名的斐波那契数列问题。
其实这个问题的解决并不是很困难，可以用n F 表示第n 个月初时免房里的免子的对数，则有3,2,1321===F F F ，第2+n 个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第1+n 个月初就已经在免房内的免子，共有1+n F 对；另一部分是第2+n 个月初时新出生的小免子，共有n F 对，于是有n n n F F F +=++`12。
这个数列的通项公式如何去求？特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为n n n qx px x +=++12（0,,1≠≥，q q p n 为常数），其特征方程为q px x+=2，其根为特征根。
因此对于斐波那契数列n n n F F F +=++`12，对应的特征方程为12+=x x ，其特征根为：251,25121-=+=x x ，所以可设其通项公式为nnn B A F ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251，利用初始条件2,121==F F 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+2251251125125122B A B A ，解得5251,5251--=+=B A 所以⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++1125125151n n n F 。
它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。
斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。
分析等比数列的性质,研究一个等比数列的特殊规律的例子。
分析等比数列的性质，研究一个等比数列的特殊规律的例子。
分析等比数列的性质，研究一个等比数列的特殊规律的例子等比数列的定义及性质等比数列是数学中一种常见的数列形式，它的特点是每个后一项与前一项的比值都相等。
等比数列可以表示为：$$a, ar, ar^2, ar^3, \ldots$$其中$a$是首项，$r$是公比。
等比数列的通项公式等比数列的通项公式给出了任意一项的值和项数之间的关系。
对于一个等比数列，通项公式可以表示为：$$a_n = a \cdot r^{n-1}$$其中$a_n$是第$n$项的值，$a$是首项，$r$是公比。
等比数列的和等比数列的部分和公式可以计算前$n$项的和。
对于等比数列，部分和公式可以表示为：$$S_n = a \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}$$其中$S_n$是前$n$项的和，$a$是首项，$r$是公比。
等比数列的倍数关系对于等比数列中的任意两项，它们之间存在一个倍数关系。
如果第$m$项是第$n$项的倍数，即$a_m$是$a_n$的倍数，那么有以下关系成立：$$\frac{a_m}{a_n} = r^{m-n}$$一个等比数列的特殊规律让我们来研究一个特殊的等比数列，其中首项$a=2$，公比$r=3$。
这个数列的前几项为：$$2, 6, 18, 54, \ldots$$我们可以使用通项公式来计算每一项的值。
例如，计算第5项的值：$$a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 162$$通过计算，我们可以得到该等比数列的前几项的值为$2, 6, 18, 54, 162, \ldots$。
我们可以观察到这个等比数列中的每一项与前一项之间的比值都是3。
这是因为等比数列的公比$r=3$。
这个特殊的等比数列在每一项与前一项的比值上有一个固定的规律。
结论通过分析等比数列的性质，我们可以得出以下结论：- 等比数列的通项公式可以用来计算任意一项的值。
无穷数列的趋势探索等比数列的特性
无穷数列的趋势探索等比数列的特性无穷数列的趋势探索：等比数列的特性无穷数列是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
其中，等比数列作为一种特殊的无穷数列，具有独特的特性和趋势。
本文将探索等比数列的特性，揭示其在数学和实际问题中的应用。
一、等比数列的概念与基本性质等比数列是指一个数列中每一项与前一项的比相等的数列。
数学上，等比数列可表示为：a、ar、ar^2、ar^3、ar^4...，其中a是首项，r是公比。
等比数列的基本性质包括以下几点：1. 公比r的确定性：等比数列中，公比r的取值将直接影响数列的增减趋势。
当r>1时，数列呈现递增趋势；当0 < r < 1时，数列呈现递减趋势。
只有在|r| < 1的情况下，等比数列才会收敛于某一有限值。
2. 各项之比的确定性：等比数列的每一项与前一项的比相等，即an/an-1=r。
这一性质决定了数列中任意两项之间的比值始终相等。
3. 首项与公比的关系：等比数列的首项与公比之间存在一定的关系。
首项a和公比r满足条件a = an/r^(n-1)。
这一关系可用于求解等比数列中的未知参数。
二、等比数列的求和公式及应用等比数列的求和公式可以用于计算数列的前n项和。
对于首项a和公比r的等比数列，其前n项和Sn可表示为：Sn = a(1 - r^n)/(1 - r)此求和公式的应用广泛，常见的包括：1. 财务计算：在复利计算中，等比数列的求和公式可用于计算投资或贷款的本息和，帮助人们做出理性的财务决策。
2. 数学推导：等比数列的求和公式也为数学推导提供了便利。
通过推导等比数列的求和公式，可以进一步研究数列的性质和规律。
3. 统计分析：在统计学中，等比数列的求和公式可用于计算累积频率分布、累积概率分布等，从而揭示出数据的累积特征。
三、等比数列的应用举例等比数列的特性使其在实际问题中有着广泛的应用。
以下是几个典型的例子：1. 复利计算：当我们存入银行的本金每年按一定的利率复利计算时，资金增长的过程可以用等比数列来表示，其中首项是本金，公比是利率（假设利率按年计算）。
高中数学必修五等比数列及其前n项和知识点总结
高中数学必修五等比数列及其前n项和知识点总结
等比数列(又名几何数列)，是一种特殊数列，下面是店铺给大家带来的高中数学必修五等比数列及其前n项和知识点总结，希望对你有帮助。
高中数学等比数列及其前n项和知识点
一个推导
利用错位相减法推导等比数列的前n项和：
Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，
同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，
两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1).
两个防范
(1)由an+1=qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.
(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情形导致解题失误.
三种方法
等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列.
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an=c·qn(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列.
注：前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列.。
无穷级数等比数列计算公式
无穷级数等比数列计算公式无穷级数是指由一组无限多项组成的数列，等比数列是一种特殊的数列，其中每一项与前一项的比等于同一个常数。
设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则an=a*r^(n-1)。
S = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1) = a/(1-r)，当，r，<1时成立。
下面对于无穷级数等比数列的求和公式进行详细的解析。
首先，我们考虑一个有限级数的等比数列：S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^(n-1)。
我们将这个级数乘以公比r，得到：rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n。
然后，我们将上述两个等式相减，得到：S_n - rS_n = a - ar^n。
将上述等式两边整理，得到：S_n(1-r)=a(1-r^n)。
然后，我们解出S_n：S_n=a(1-r^n)/(1-r)。
当n趋向于无穷大时，即n→∞，我们对上述等式两边取极限，得到：S=a/(1-r)。
因此，当，r，<1时，等比数列的无穷级数的和可以用公式S=a/(1-r)进行计算。
需要注意的是，当，r，≥1时，无穷级数等比数列的和不存在。
因此，公比r必须满足，r，<1的条件。
举个例子：假设有一个等比数列的首项a为2，公比为1/3，则这个等比数列的无穷级数求和公式为：S=2/(1-1/3)=2/(2/3)=3因此，当等比数列的首项为2，公比为1/3时，它的无穷级数的和为3需要注意的是，当公比r的绝对值小于1时，等比数列的无穷级数是收敛的，也就是说它的和是有限的，而当公比r的绝对值大于等于1时，等比数列的无穷级数是发散的，也就是说它的和是无穷大。
总结起来，无穷级数等比数列的求和公式为S=a/(1-r)，当，r，<1时成立。
这个公式可以通过对有限级数的等式变换得到。
需要注意的是，当公比的绝对值小于1时，级数是收敛的，否则级数是发散的。
高阶等差等比数列的通项及其前N项和求法
高阶等差、等比数列{}n a 的性质、通项、前n 项和求法章君（福建师范大学 数学系 福建 福州 350108）★高阶等差数列定义：对于一个给定的数列{}n a ，把它连续的两项1+n a 与n a 的差1+n a -n a 记为n b .得到一个新的数列{}n b .称数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶差数列.如果n c =1+n b -n b （...3,2,1=n ），则数列{}n c 是{}n b 的一阶差数列.称{}n c 为{}n a 的二阶差数列.以此类推，可以得到数列{}n a 的P 阶差数列，其中*N P ∈. 如果某一数列的P 阶差数列是一个非零常数列，则称此数列为P 阶等差数列.性质：○1若数列{}n a 是P 阶等差数列，则它的一阶差数列是P -1阶等差数列. ○2数列{}n a 是P 阶等差数列的充要条件．．．．是：数列{}n a 的通项是关于n 的P 次多项式. ○3若数列{}n a 是P 阶等差数列，则其前n 和n S 是关于n 的P +1次多项式. ★高阶等比数列定义：对于一个给定的数列{}n a ，把它连续的两项1+n a 与n a 的比nn a a 1+记为n b . 得到一个新的数列{}n b .称数列{}n b 为原数列{}n a 的一阶比数列.如果n c =nn b b 1+（...3,2,1=n ），则数列{}n c 是{}n b 的一阶比数列.称{}n c 为{}n a 的二阶比数列.以此类推，可以得到数列{}n a 的P 阶差数列，其中*N P ∈. 如果某一数列的P 阶比数列是一个非零常数列，则称此数列为P 阶等比数列.一、高阶等差数列的通项n a 及n S 的求法求高阶等差数列的通项n a 及前n 项和n S 的时候，通常采用逐差法．．．或待定系数法．．．．．. 下面先介绍逐差法．．．求通项．．.★方法一 逐差法 我们先看一个例题：【例1】求数列}{n a 的通项：}{n a ：1，7，25，61，121，211，… 解：先作各阶差数列：数列：1，7，25，61，121，211，… 一阶差数列}{n b ：6，18，36，60，90，… 二阶差数列}{n c ：12，18，24，30，… 三阶差数列：6，6，6，…由此可见，数列}{n a 是3阶等差数列，数列}{n c 是首项为12、公差为6的等差数列，故：666)1(12+=-+=n n c n ∵)2(111≥=---n c b b n n ，∴n n b b n 66)1(611=+-=--，于是得到)2(≥n n b b n n 61=--),1(621-=---n b b n n ),2(632-=---n b b n n….2612⋅=-b b将以上各式两边分别相加，得：)32(61n b b n +++=-62)61(66)321(6--+⋅=-++++=n n n 6332-+=n n ∴ ).2(33633212≥+=+-+=n n n b n n b n因为此公式当1=n 时的值61=b ，故数列}{n b 的通项公式为：),3,2,1(332 =+=n n n b n 又∵ ),3,2,1(1 ==-+n b a a n n n ∴ ),3,2,1(3321 =+=-+n n n a a n n 由此可得，当2≥n 时，,3321n n a a n n -=--),1(3)1(3221---=---n n a a n n…,2323212⋅-⋅=-a a 将以上各式相加，得：]2)1([3]2)1([32221++-+-++-+=- n n n n a a n1313]12)1([3]12)1([322222⋅+⋅-+++-+-+++-+= n n n n,2)1(36)12)(1(33n n n n n n n -=+⋅-++⋅=∴ ),2(131313≥+-=+-=+-=n n n a n n a n n a n 又此式当1=n 时的值11=a ，故数列}{n a 的通项公式为：).,3,2,1(13 =+-=n n n a n一般地，设数列}{n a 的K 阶差数列记为}{)(K n a ，如果数列}{n a 是P 阶等差数列，那么（P-1）阶差数列}{)1(-P n a 是等差数列，于是可以求出数列}{)1(-P n a 的通项公式，利用),3,2,1()1()2(1)2(1 ==---+-+n a a a P n P n P n ，仿照上述例题的作法，可以求出数列}{)2(-P n a 的通项公式，依次类推，可求出数列}{n a 的通项公式.利用逐差法求高阶差数数列的通项还是比较麻烦，下面介绍待定系数法求通项.★ 方法二 待定系数法 下面先证明两个定理.定理1 设P 为正整数，前n 个自然数的P 次幂的和记为)(P n S ，即p p p p P n n S +++=321)(.则)(P nS 是关于n 的（p+1）次多项式. 证明： <用数学归纳法>当p=1时，∵ n n n n n S n21212)1(3212)1(+=+=++++= ， 它是关于n 的2次多项式，故结论是正确的.设结论当)1(≥≤k k p 是正确的，则k k k k k n n S +++=321)(是关于n 的（k+1）次多项式. ∵ 21212)1(+=+=+--=∑∑k nj k nj k j jn])1([2132221122121+-+++++=+=-++-+--=∑∑k k k k k k k k nj k nj j C j C j C j j])1(211321221112n j Cj CjCk k nj k knj k k nl k +-=+=++=+-+++-=∑∑∑，于是 ])1([12113212221211n j C j C n C jn k nj k k n j k k k k nl +-=+=++++=-++-+=∑∑∑ . 根据假设 111-==∑∑k nj knl j j 、分别是关于n 的（k+1）次、k 次、（k-1）次，…1次多项式，而)2,,3,2,1(12+=+k j Ck 与n 无关，因此11+=∑k nj j 是关于n 的(k+2)次多项式.就是说，当 p=k+1时，)(p n S 是关于n 的(k+2)次多项式，即结论当p=k+1时也是正确. 因此，)(p n S 是关于n 的(p+1)次多项式.定理2 数列}{n a 为p 阶等差数列充要条件是：数列}{n a 通项为n 的p 次多项式. 证明： 先证必要性. 用数学归纳法.○1当p=1时，数列}{na 是等差数列，其通项d n a a n )1(1-+=，这是关于n 的一次多项式.设p=k ，即当}{n a 为k 阶差数列时，数列)2)}({(1≥--n a a n n 就是k 阶差数列时，根据假设可令++=---11k k n n bn an a a 依次令n=2,3,4，… 得： +⋅+⋅=--11222k k b a a a+⋅+⋅=--12333k k b a a a +⋅+⋅=---11n k n n n b n a a a将以上各式两边分别相加，化简后得：1111)32()32(a n b n a a k k k k k k n +++++++++=---根据定理1，右边第一个括号的和是关于n 的(k+1)次多项式，第二个括号是关于n 的k 次多项式，…，因此，n a 是关于n 的(k+1)次多项式.∴ ○2当}{n a 为(k+1)阶等差数列时，na 是关于n 的(k+1)次多项式，即p=k+1时结论也是成立的.由上述证明可知，当}{n a 为p 阶等差数列时，n a 是关于n 的p 次多项式. 充分性.设数列}{n a 的通项是关于n 的p 次多项式,设)0(1≠++=-a bn an a p p n 作它的一阶差数列：])1()1([][111 +-+--++=----p p p p n n n b n a bn an a a ++=-21p p n b apn 如果连续作p 次，则得到p 阶差数列是常数列}!{ap ，因此数列}{n a 是p 阶等差数列.定理3 若数列}{n a 为p 阶等差数列，则其前n 项和n S 是关于n 的（p+1）次多项式. 证明：∵ }{n a 是p 阶等差数列，根据定理2，它的通项公式是关于n 是p 次多项式.设)0(1≠++=-a bn an a p p n ， 则)(111 ++===-=∑p p k nk n bk ak k n a S ++=-==∑∑111p nk pn k k k b k a根据定理1， ,111-==∑∑p nk pnk k k 、分别是关于n 的（p+1）次、p 次、（p-1）次，…多项式，因此，n S 是关于n 的（p+1）次多项式.根据定理2和定理3，我们可以求出任意的高阶等差数列的通项公式和前n 项和公式.【例1】 求下面数列的通项公式及前n 项和5，17，35，59，89，… 解：先判断是几阶等差数数列. 数列}{n a ：5，17，35，59，89，…一阶差数列：12，18，24，30… 二阶差数列：6，6，6，…因此，数列}{n a 是二阶等差数列，根据定理2，n a 是关于n 的2次多项式；根据定理3，前项n 和n S 是关于n 的3次多项式.于是设：,2c bn an a n ++= ①.23f zn yn xn S n +++= ② 其中f z y x c b a 、、、、、、都是待定系数.因为，，，35175321===a a a 于是由①式得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.3539,1724,5c b a c b a c b a 解之得:，，，133-===c b a 因此数列的通项公式为),3,2,1(1332 =-+=n n n a n ∴,116,57,22,543432321211=+==+==+===a S S a S S a a S a S 于是由②式得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++.11641664;573927;22248;5f z y x f z y x f z y x f z y x 解之得: .0,1,3,1====f z y x因此，数列的前n 项和).,3,2,1(323 =++=n n n n S n 【例2】求数列)1(,,32,21+⋅⋅n n 的和解： 数列的通项,)1(2n n n n a n +=+=是关于n 的2次多项式，因此，数列}{n a 的前n 项和n S 是关于n 的3次多项式，于是可设.23d cn bn an S n +++= ∵,20438,8322,22132321211=⋅+=+==⋅+=+==⋅==a S S a S S a S,405420434=⋅+=+=a S S 于是得方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++.4041664;203927;8248;2d c b a d c b a d c b a d c b a 解这个方程组得 .0,32,1,31====d c b a因此，数列的和.323123n n n S n ++=这个例题，如果是自然数的方幂和公式来计算，则会简单一些：)1(3221+++⋅+⋅n n k k k k k nk nk nk nk ∑∑∑∑====+=+=+=121211)1()1(n n n n n n n n 32312)1(6)12)(1(23++=++++=.二、高阶等比数列的通项n a 及n S 的求法下面我们介绍用逐差法求高阶等比数列的通项及前n 顶和的问题. 【例1】 求下列数列的通项：（1）}{n a ：5，11，23，47，…， （2）}{n b ：5，15，49，155，477，….解：（1）先作各阶差数列： 数列}{n a ：5，11，23，47，…，一阶差数列}{n a 6，12，24，…，由此可知，数列}{n a 是一阶等比数列，数列}{n a 的首项为6，公比为2，于是：.261-⋅=n n a ,262112---⋅==-n n n a a a∴ ,26,,26,26,2621234123012--⋅=-⋅=-⋅=-⋅=-n n n a a a a a a a a 将以上各式两边分别相加，得：)2221(6221-++++=-n n a a 6261212611-⋅=--⋅=--n n ∴ 11626a a n n +-⋅=-.123126562611-⋅=-⋅=+-⋅=--n n n 因此，数列的通项公式为： ),3,2,1(123 =-⋅=n a n （2）数列及其各阶差数列为：数列}{n b 5，15，49，155，477，…， 一阶差数列}{n u ：10，34，106，322，…， 二阶差数列}{n υ：24，72，216，由此可见，数列}{n υ是首项为24、公比为3的等比数列，于是数列}{n υ的通项公式为：),3,2,1(383241 =⋅=⋅=-n n n n υ ,38111---⋅==-n n n n u u υ.38,38,3811223112--⋅=-⋅=-⋅=-∴n n n u u u u u u 将以上各式两边分别相加，得：)333(81211-+++=-n n u u .123413)13(381-⋅=--⋅=-n n.23410123412341-⋅=+-⋅=+-⋅=∴n n n n u u 又,234111-⋅==----n n n n u b b.234,,234,23411223112-⋅=--⋅=--⋅=-∴--n n n b b b b b b 将以上各式两边相加，得：)1(2)333(41211--+++=--n b b n n )1(213)13(341----⋅=-n n ,4232--⋅=n n .12325423242321+-⋅=+--⋅=+--⋅=∴n n b n b n n n n 因此，数列}{n b 的通项公式为：).,3,2,1(1232 =+-⋅=n n b n n下面介绍用待定系数法求一阶和二阶等比数列的通项的方法. 定理1 若数列}{n a 为一阶等比数列，则数列的通项公式为：),3,2,1(1 =+=-n B Aq a n n 其中A 、B 为非0的常数，q 为一阶差数列的公比. 证明： 因为数列}{n a 是一阶等比数列，故数列),(),(),(12312n n a a a a a a ---+是等比数列.设公比为)1(≠q q ， 则,)(1121-+-=-n n n q a a a a 因为,21a a ≠012≠-a a .由此得 ,)(,)(,)(212341122301212q a a a a q a a a a q a a a a -=--=--=-)2()(2121≥-=---n q a a a a n n n 将以上各式两边分别相加，得： )1)((22121-++++-=-n n qq q a a a a qq a a n ---=-11)(112 ∴ qq a a a a n n ---+=-11)(1121.)2(≥n此公式当1=n ，时的值为1a ，因此数列通项公式为：),3,2,1(11)(1121 =---+=-n qq a a a a n n令,11)(),1(12112qa a a B q a a A --+=---=则数列}{n a 的通项公式可以写成 ),3,2,1(1 =+=-n B Aq a n n 定理证毕.★当数列}{n a 为二阶等比数列时，因为一阶差数列 ),(),(),(12312n n a a a a a a ---+是一阶等比数列，由定理可得此数列的通项公式为：),3,2,1(1111 =+=--+n B q A a a n n n其中q 是二阶差数列的公比，11B A 、是常数.将此公式两边求和，得：),()(121212B qA a a k nk k k nk +=--=-=∑∑即)1(1)1(1111-+--=--n B qq A a a n n .由此可以得到，二阶等比数列}{n a 的通项公式为：C n B q A a n n '++'=1. 其中C B A '',,1都是常数. 一般地说，p 阶等比数列的通项形式为：p p p n n B n B n B Aq a +++=-211.利用上述结论，可以用待定系数法求高阶等比数列的通项公式.【例2】 求数列}{n a ：1，31，221，1211，6201，31191，…的通项公式. 解：不难验证，数列是2阶等比数列，且二阶差数列的公比为5，于是可设数列通项为：.51C Bn A a n n ++⋅=- ∵ ,221,31,1321===a a a 于是得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.221325,3125,1C B A C B A C B A 解这个方程组，得A=10，B=-10，C=1. 因此，数列的通项公式为),3,2,1(11052 =+-⋅=n n a n n∵ p 阶等比数列的通项公式为：,22111P p p n n B n B n B Aq a +++=--- 于是数列的前n 项和为：p nk p nk p nk k nk k nk n B kB kB qA a S ∑∑∑∑∑=-=-=-==+++==1212111111.由此可见，只要求出高阶等比数列的通项公式，它的前n 项和也是可以求出来的.【例3】 求数列}{n a ,33,17,9,5,322222的前n 项和.解：先求数列}{n b ：3，5，9，17，33，…的通项，这个数列的一阶差数列为2，4，8，16，…是一个等比数列，其公比为2，因而可设数列}{n b 的通项公式为.21B A b n n +=-因为,5,321==b b 于是方程组⎩⎨⎧=+=+.52,3B A B A 解之A=2，B=1. 因此，数列}{n b 的通项公式为),3,2,1(121221 =+=+⋅=-n b n n n∴ 数列}{n a 的通项公式为：.122)12(1222++=+==+n n n n n b a数列}{n a 的前n 项和为)122(1211++==+==∑∑k knk k nk n a S )1224(1+⋅+=∑=k k nk1224111∑∑∑===++=nk knk knk n n n +-+-=)12(4)14(43.化简后，得数列}{n a 的前n 项和公式：).3,2,1(316243121 =-++=++n n S n n n。
等比数列的应用
等比数列的应用等比数列是数学中的一种常见数列，它是由首项和公比决定的一列数值。
在实际问题中，等比数列的应用非常广泛，可以用于描述许多与比例、比率相关的情况。
本文将介绍等比数列在各种不同领域中的应用，包括金融、自然科学和工程等。
一、金融领域中的应用等比数列在金融领域中有着重要的应用。
以复利计算为例，假设某笔资金以固定的年利率进行复利计算，每年产生的利息会被重新投资。
这种情况下，资金的增长可以用等比数列来描述，其中首项为本金，公比为1加上年利率。
通过这个等比数列，我们可以计算出多年后资金的总额，帮助人们做出理性的投资决策。
此外，在贷款和信用卡利息计算中也可以利用等比数列的概念。
当利率确定时，每期所还款项构成了一个等比数列，根据等比数列的性质，可以计算出总共需要偿还的本金和利息，以及每期的还款金额。
这对于借贷者来说，可以帮助他们合理规划还款计划，避免财务压力过大。
二、自然科学中的应用在自然科学研究中，等比数列也有广泛的应用。
生物学中，物种的繁殖和扩散往往可以用等比数列来描述。
例如，某种昆虫在每个世代中的数量都是上一世代数量的固定倍数，这个倍数就是公比。
通过研究等比数列的性质，我们可以预测未来几代中物种数量的变化趋势，帮助生态保护和农业种植。
物理学中，等比数列也有应用，例如光线的传播和衰减。
光线在不同材料中的传播速度和衰减程度可以用等比数列来描述。
公比小于1的等比数列表示光线经过多次反射或折射后逐渐衰减，而公比大于1的等比数列则表示光线逐渐增强。
这些等比数列的性质在光学设计和光纤通信等领域中有着重要的应用。
三、工程中的应用在工程领域中，等比数列可以应用于设计和优化工作。
以建筑设计为例，等比数列可以用来计算房间内灯光照度的分布。
当灯光从一个中心点发散时，通过等比数列的性质，我们可以确定在不同距离上的照度变化情况，从而设计出合理的照明方案。
此外，等比数列在电路设计中也有重要的应用。
例如，在电阻与电流关系的研究中，可以通过等比数列来描述电阻和电流的变化规律。
高中数学新课程创新教学设计案例--等比数列
47等比数列教学内容分析这节课是在等差数列的根底上，运用同样的研究方法和研究步骤，研究另一种特别数列———等比数列．重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用，难点是应用．教学目标1.熟练掌握等比数列的定义、通项公式等全然知识，并熟练加以运用．2.进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、回纳、推测能力．3.感受等比数列丰富的现实背景，进一步培养学生对数学学习的积极情感．任务分析这节内容由因此在等差数列的根底上，运用同样的方法和步骤，研究类似的咨询题，学生同意起来较为轻易，因此应多放手让学生考虑，并注重运用类比思想，如此不仅有利于学生分清等差和等比数列的区不，而且能够锻炼学生从多角度、多层次分析和解决咨询题的能力．另外，与等差数列相比等比数列须要注重的细节较多，如没有零项、ｑ≠0等，在教学中应注重加以比立．教学设计一、咨询题情景在前面我们学习了等差数列，在现实生活中，我们还会碰到下面的特别数列：1.在现实生活中，经常会碰到下面一类特别数列．以如下面图是某种细胞分裂的模型．细胞分裂个数能够组成下面的数列：1，2，4，8，…2.一种计算机病毒能够查寻计算机中的地址薄，通过电子函件进行传播．要是把病毒制造者发送病毒称为第一轮，函件接收者发送病毒称为第二轮，依此类推．假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么，在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是1，20，202，203，…〔3〕除了单利，银行还有一种支付利息的方式———复利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也确实是根基通常讲的“利滚利〞．按照复利计算本利和的公式是本利和＝本金×〔1＋利率〕存期例如，现在存进银行10000元钞票，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分不是〔计算时精确到小数点后2位〕：表47-1时间年初本金〔元〕年末本利和〔元〕第1年10000第2年2第3年23第4年9834第5年45各年末的本利和〔单位：元〕组成了下面的数列：１００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５．咨询题：回忆等差数列的研究方法，我们对这些数列应作如何研究？二、建立模型结合等差数列的研究方法，引导学生运用从特别到一般的思想方法分析和探究，发现这些数列的共同特点，从而回纳出等比数列的定义及符号表示：一般地，要是一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么那个数列喊作等比数列，那个常数喊作等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示〔ｑ≠0〕．即［咨询题］1.ｑ能够为0吗？有没有既是等差，又是等比的数列？2.运用类比的思想能够发现，等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差〞换成了“比〞，同样，你能类比得出等比数列的通项公式吗？要是能得出，试用以上例子加以检验．关于2，引导学生运用类比的方法：等差数列通项公式为ａｎ＝ａ１＋〔ｎ－１〕ｄ，即ａ１与〔ｎ－１〕个ｄ的和，等比数列的通项公式应为ａｎ等于ａ１与〔ｎ－１〕个ｑ的乘积，即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的几个例子都满足通项公式．3.你如何论证上述公式的正确性．证法1：同等差数列———回纳法．证法2：类比等差数列，累乘可得，即各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1．回纳特点：〔1〕ａn是关于ｎ的指数形式．〔2〕和等差数列类似，通项公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四个量，明白其中三个量可求另一个量．三、解释应用［例题］1.某种放射性物质不断衰变为其他物质，每通过一年剩留的这种物质是原来的84%，咨询：这种物质的半衰期为多长？解：设这种物质最初的质量是1，通过ｎ年，剩留量是ａn．由条件，得数列｛ａn｝是一个等比数列，其中ａ14．设ａn n＝0.5．两边取对数，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5．用计算器计算，得ｎ≈4．答：这种物质的半衰期大约为4年．2.一个等比数列的第3项和第4项分不是12和18，求它的第1项与第2项．解：设那个等比数列的第1项是ａ1，公比是ｑ，那么注：例1、例2表达了方程思想的应用，这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法．3.数列｛ａn｝，｛b n｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn b n｝是否为等比数列？要是是，证实你的结论；要是不是，讲明理由．解：能够得到：要是｛ａn｝，｛b n｝是项数相同的等比数列，那么｛ａn·b n｝也是等比数列．证实如下：设数列｛ａn｝的公比为ｐ，｛b n｝的公比为ｑ，那么数列｛ａn·b n｝的第n项与第n＋1项分不为ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1与ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1〔ｐｑ〕n－1与ａ1ｂ1〔ｐｑ〕n．两项相比，得显然，它是一个与ｎ无关的常数，因此｛ａn·b n｝是一个以ｐｑ为公比的等比数列．特别地，要是｛ａn｝是等比数列，ｃ是不等于0的常数，那么数列｛ｃ·ａn｝也是等比数列．［练习］1.在等比数列｛ａn｝中，〔1〕ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9．〔2〕ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3．2.设｛ａn｝是正项等比数列，咨询：是等比数列吗？什么缘故？3.三个数成等比数列，同时它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数．4.设等比数列｛ａn｝，｛b n｝的公比分不是ｐ，ｑ．〔1〕要是ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋b n｝是等比数列吗？〔2〕要是ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋b n｝是等比数列吗？四、拓展延伸引导学生分析考虑如下三个咨询题：〔1〕要是三个数ａ，G，ｂ成等比数列，那么G喊作ａ，ｂ的等比中项，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？那个式子是三个数ａ，G，ｂ成等比数列的什么条件？〔2〕在直角坐标系中，画出通项公式为ａn＝2n的数列的图像和函数y＝2x－1的图像．比照一下，你发现了什么？〔3〕数列｛ａn｝满足ａn－ａn－1＝2n〔ｎ≥2〕，数列｛b n｝满足，你会求它们的通项公式吗？五、回忆反思1.在这节课上，你有哪些收获？2.你能用几个概念、几个公式来概括等比数列的有关内容吗？试试瞧．点评这是一节典型的类比教学的案例，这节课的内容与等差数列的内容和研究方法特不相似，但设计者从类比进手，让学生亲自往发现，推测，解决，不管从咨询题的提出，依旧在解决方式、细节的处理上，和上节均有较大不同．相信这节课除了使学生能够更加熟练地掌握等差数列、等比数列的有关知识及常用的解题思想方法外，对类比思想的运用还会有所感悟和体会．美中缺乏的是，等比数列的现实模型比立多，而这篇案例在比照方面的运用略显薄弱．。