4.圆的方程
高中数学 必修2：4.1 圆的方程
4.1 圆的方程一、圆的标准方程1．圆的标准方程2．圆的标准方程的推导如图，设圆的圆心坐标为(,)C a b ，半径长为r (其中a ,b ,r 都是常数，r >0).设()，M x y 为该圆上任意一点，那么圆心为C 的圆就是集合{}|P M MC r ==.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M 的坐标(x ,y )r = ①，①式两边平方，得222()()=x a y b r -+-.3．点与圆的位置关系圆C ：222()(0())x a y b r r -+-=>，其圆心为,()C a b ，半径为r ，点00(,)P x y ，设||d PC ==.二、圆的一般方程1．圆的一般方程的定义当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为，半径r =.2．圆的一般方程的推导把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得：220x y Dx Ey F +++=+ ①.把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224D E D E F x y +-+++=. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为； 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =-=-，所以它表示一个点； 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．3．点与圆的位置关系点00)(,P x y 与圆22220(40)x y Dx Ey F D E F ++=+->++的位置关系是： P 在圆内⇔，P 在圆上⇔， P 在圆外⇔.三、待定系数法求圆的一般方程 求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是：①根据题意，选择标准方程或一般方程；②根据条件列出关于a b r 、、或D E F 、、的方程组；③解出a b r 、、或D E F 、、，代入标准方程或一般方程．四、轨迹和轨迹方程1．轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点M ，按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程.2．求轨迹方程的五个步骤①建系：建立适当的坐标系，用(,)x y 表示曲线上任意一点M 的坐标；②设点：写出适合条件P 的点M 的集合){}(|P M p M =；③列式 ：用坐标(,)x y 表示条件()p M ，列出方程(,)0F x y =；④化简：化方程(,)0F x y =为最简形式；⑤査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．1．求圆的标准方程求圆的标准方程的常用方法包括几何法和待定系数法．（1）由圆的几何性质易得圆心坐标和半径长时，用几何法可以简化运算．对于几何法，常用到圆的以下几何性质：①圆中任意弦的垂直平分线必过圆心；②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆心．（2）由于圆的标准方程中含有三个参数a ，b ，r ，运用待定系数法时，必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程．这三个参数反映了圆的几何性质，其中圆心（a ，b ）是圆的定位条件，半径r 是圆的定形条件．【例1】写出下列各圆的标准方程．（1）圆心在原点，半径长为2；（2）圆心是直线10x y +-=与230x y -+=的交点，半径长为14． 【解析】（1）∵圆心在原点，半径长为2，即0,0,2a b r ===，∴圆的标准方程为224x y +=．【例2】过点111,(1())A B --,,且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程是（ C ）A ．22()(31)4x y -++=B ．22()(31)4x y ++-=C ．22()(11)4x y -+-=D ．22()(11)4x y +++= 【解析】解法1：设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由已知条件，知222222(1)(1)(1)(1)20a b r a b r a b ⎧-+--=⎪--+-=⎨⎪+-=⎩，解此方程组，得2114a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，故所求圆的标准方程为22()(11)4x y -+-=．解法2：设点C 为圆心，因为点C 在直线20x y +-=上，所以可设点C 的坐标为(),2a a -． 又因为该圆经过,A B 两点，所以||||.CA CB == 解得1a =．所以2211a -=-=．所以圆心坐标为()1,1C ，半径|2|r CA ==．故所求圆的标准方程为22()(11)4x y --+=．2．会判断点与圆的位置关系点与圆的位置关系的判断方法：（1）几何法：利用圆心到该点的距离d 与圆的半径r 比较；（2）代数法：直接利用下面的不等式判定：①22200()()x a y b r -+->，点在圆外；②22200()()x a y b r -+-=，点在圆上；③22200()()x a y b r -+-<，点在圆内．【例3】 已知点（2，0）和（x -2）2 + （y +1）2 = 3，则点与圆的位置关系是( A ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外 D ．不确定【解析】由于（2-2）2+（0+1）2<3，故点在圆内．【例4】已知点A （1，2）和圆C ：（x-a ）2+（y+a ）2=2a 2，试求满足下列条件的实数a 的取值范围．（1）点A 在圆C 的内部；（2）点A 在圆C 上 （3）点A 在圆C 的外部．3．圆的方程的判断判断二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=是否表示圆的方法：（1）利用圆的一般方程的定义，求出224D E F +-利用其符号判断．（2）将方程配方化为()()22x a y b m -+-=的形式，根据m 的符号判断．【例5】判断下列方程是否表示圆，若是，化成标准方程．（1）x 2+y 2+2x+1=0；（2）x 2+y 2+2ay-1=0；（3）x 2+y 2+20x+121=0；（4）x 2+y 2+2ax =0．【解析】（1）原方程可化为（x+1）2+y 2=0，它表示点（-1，0），不表示圆．（2）原方程可化为x 2+（y+a ）2=a 2+1，它表示圆心为（0，-a ），半径为的圆，标准方程为x 2+（y+a ）2=（）2 ． （3）原方程可化为（x+10）2+y 2=-21<0，故方程不表示任何曲线，故不能表示圆．（4）原方程可化为（x+a ）2+y 2=a 2．①当a =0时，方程表示点（0，0），不表示圆；②当a ≠0时，方程表示以（-a ，0）为圆心，半径为|a|的圆，标准方程为（x+a ）2+y 2=a 2．【例6】 方程x 2+y 2+4mx-2y+5m =0表示圆的条件是( B )A ．14<m <1 B ．m <14或m >1 C ．m <14D ．m >14．用待定系数法求圆的一般方程应用待定系数法求圆的一般方程的步骤如下：【例7】已知圆经过点（4，2）和（-2，-6），且该圆与两坐标轴的四个截距之和为-2，求圆的方程．【解析】设圆的一般方程为22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=+->． 由圆经过点（4，2）和（-2，-6），得4220026400 ① ②D E F D E F +++=⎧⎨+--=⎩， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1，x 2是方程x 2+Dx+F =0的两个根，得x 1+x 2=-D ．设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1，y 2是方程y 2+Ey+F =0的两个根，得y 1+y 2=-E ．由已知，得-D+（-E ）=-2，即D+E-2=0． ③联立①②③，解得D =-2，E =4，F =-20，故所求圆的方程为x 2+y 2-2x+4y-20=0．【例8】试判断(1,2)A ，(0,1)B ，(76)C -，，(4,3)D 四点是否在同一个圆上．5．与圆有关的轨迹问题求与圆有关的轨迹方程的常用方法：（1）直接法： 能直接根据题目提供的条件列出方程．步骤如下：（2）定义法：当动点的轨迹符合圆的定义时，可直接写出动点的轨迹方程．（3）相关点法：若动点,()P x y 随着圆上的另一动点11(),Q x y 运动而运动，且11,x y 可用,x y 表示，则可将Q 点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P 的轨迹方程．【例9】已知点P （x ，y ），A （1，0），B （-1，1），且|PA|=|PB|． （1）求点P 的轨迹方程；（2）判断点P 的轨迹是否为圆，若是，求出圆心坐标及半径；若不是，请说明理由．【例10】已知直角ABC △的斜边为AB ，且1,0,()(,0)3A B -，求：（1）直角顶点C 的轨迹方程；（2）直角边BC 中点M 的轨迹方程．【解析】（1）解法一：设顶点,()C x y ，因为AC BC ⊥，且,,A B C 三点不共线，所以3x ≠且1x ≠-． 又1AC k y x =+， 3BC y k x =-，且·1AC BC k k =-，所以113y y x x ⋅=-+-，化简得22230x y x +--=． 因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法二：同解法一得3x ≠且1x ≠-．由勾股定理得222||||||AC BC AB +=，即2222131))6((x y x y +++-+=，化简得22230x y x +--=．因此，直角顶点C 的轨迹方程为22230(31)x y x x x +--=≠≠-且．解法三：设AB 中点为D ，由中点坐标公式得()1,0D ，由直角三角形的性质知， 122||||CD AB ==， 由圆的定义知，动点C 的轨迹是以()1,0D 为圆心，以2为半径的圆（由于,,A B C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点）．设,()C x y ，则直角顶点C 的轨迹方程为2214))1((3x y x x -+=≠≠-且．6．忽视圆标准方程的结构致错【例11】求圆()222230()()x y b b ++-≠=的圆心及半径．【错解】由圆的标准方程知圆心为(2,)3-，半径为b ．【错因分析】在圆的标准方程2220()()()x a y b r r -=>-+中，此圆的圆心为(),a b ，半径长为r ．错解中没有准确把握圆的标准方程的结构形式．【正解】由圆的标准方程知圆心为()2,3-，半径为||b ．7．忽视圆的一般方程应满足的条件致错【例12】已知点()0,0O 在圆2222210x y kx ky k k +++-+=+外，求k 的取值范围．【错解】∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得1 1.2k k ><-或 ∴k 的取值范围是(),1-∞-1(,)2+∞． 【错因分析】本题忽视了圆的一般方程220x y Dx Ey F +++=+表示圆的条件为2240D E F +->，【正解】∵方程表示圆，∴222()(2420)1k k k k +-+>-，即23440k k -<+，解得22.3k -<<又∵点()0,0O 在圆外，∴2210k k ->+，解得12k >或1k <-．综上所述，k 的取值范围是1()(22,3)12--，．基础训练1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点（1，3）的圆的方程为（ A ）A ．x 2+（y –3）2=1B ．x 2+（y +3）2=1C ．（x –3）2+y 2=1D ．（x +3）2+y 2=12．已知圆C ：（x –6）2+（y –8）2=4，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的方程为（ C ）A ．（x –3）2+（y +4）2=100B ．（x +3）2+（y –4）2=100C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y–4）2=253．（x+1）2+（y–1）2=1的圆心在（B ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．圆心为点（3，4）且过点（0，0）的圆的方程是（C ）A．x2+y2=25 B．x2+y2=5 C．（x–3）2+（y–4）2=25 D．（x+3）2+（y+4）2=255．以两点A（–3，–1）和B（5，5）为直径端点的圆的方程是（A ）A．（x–1）2+（y–2）2=25 B（x+1）2+（y+2）2=25 C．（x+1）2+（y+2）2=100 D．（x–1）2+（y–2）2=1006．已知圆心在点P（–2，3），并且与y轴相切，则该圆的方程是（B ）A．（x–2）2+（y+3）2=4 B．（x+2）2+（y–3）2=4 C．（x–2）2+（y+3）2=9 D．（x+2）2+（y–3）2=9 7．圆x2+y2–2x+4y=0的圆心坐标为（B ）A．（1，2）B．（1，–2）C．（–1，2）D．（–1，–2）8．已知圆的方程x2+y2+2ax+9=0圆心坐标为（5，0），则它的半径为（D ）A．3 B C．5 D．49．圆x2+y2–4x+2y+4=0的半径和圆心坐标分别为（C ）A．r=1；（–2，1）B．r=2；（–2，1）C．r=1；（2，–1）D．r=2；（2，–1）10．圆x2+y2–2x+2y=0的周长是（A ）A．B．2πC D．4π11．圆心为（1，1）且过原点的圆的方程是（x–1）2+（y–1）2=2_．12．圆（x+1）2+（y–3）2=36的圆心C坐标（–1，3），半径r=___6_____．13．求圆心在直线y=–2x上，并且经过点A（0，1），与直线x+y=1相切的圆的标准方程．14．已知圆经过点A（2，4）、B（3，5）两点，且圆心C在直线2x–y–2=0上．求圆C的方程．∵圆C经过点A（2，4）、B（3，5）两点，∴点C在线段AB的垂直平分线y=–x+7，又∵圆心C在直线2x–y–2=0上，∴联立7220y xx y=-+⎧⎨--=⎩，得C（3，4）．圆C的半径r=|AC|==1，∴圆C的方程是（x–3）2+（y–4）2=1．15．求过三点O（0，0），A（1，1），B（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．设圆的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，则2042200FD E FD E F=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩，解得D=–4，E=3，F=0，∴圆的方程为x2+y2–8x+6y=0，化为（x–4）2+（y+3）2=25，可得：圆心是（4，–3）、半径r=5．16．求过三点A（–1，0），B（1，–2），C（1，0）的圆的方程．17．已知方程x2+y2–2x+t2=0表示一个圆．（1）求t的取值范围；（2）求该圆的半径r最大时圆的方程．(1）由圆的一般方程，得4–4t2>0，∴–1<t<1；（2）r=t=0时，r最大为1．∴圆的方程：（x–1）2+y2=1．能力18．如图，在直角坐标系xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分割成四个小正方形，若大圆为正方形ABCD的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是( B )A．x2+y2–x+2y+1=0 B．x2+y2+2x–2y+1=0 C．x2+y2–2x+y–1=0 D．x2+y2–2x+2y–1=019．若方程a2x2+（a+2）y2+2ax+a=0表示圆，则a的值为( C )A．a=1或a=–2 B．a=2或a=–1 C．a=–1 D．a=220．若方程x2+y2–4x+2y+5k=0表示圆，则实数k的取值范围是( A )A．（–∞，1）B．（–∞，1] C．[1，+∞）D．R21．圆（x–1）2+（y–2）2=1关于直线x–y–2=0对称的圆的方程为( A )A．（x–4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x–2）2+（y+1）2=122．由方程x2+y2+x+（m–1）y+12m2=0所确定的圆中，最大面积是( B )A B．34πC．3πD．不存在23．若圆x2+y2–4x+2y+m+6=0与y轴的两交点A，B位于原点的同侧，则实数m的取值范围是( C ) A．m<–1 B．m>–6 C．–6<m<–5 D．m<–524．已知圆的方程为x2+y2–2x+6y+8=0，那么通过圆心的一条直线方程是( C )A．2x–y–1=0 B．2x–y+1=0 C．2x+y+1=0 D．2x+y–1=025．已知三点A（1，3），B（4，2），C（1，–7），则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为( D )A．10 B．C．5 D26．由方程x2+y2–4tx–2ty+5t2–4=0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是( D )A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线27．已知点A（–3，0），B（–1，–2），若圆（x–2）2+y2=r2（r>0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为4，则r的取值范围是）．28．已知圆C：（x–3）2+（y–4）2=1和两点A（–m，0），B（m，0）（m>0），若圆C上存在点P使得∠APB=90°，则m的最大值为_____6_____．29．已知函数f（x）=13x2–43x+1的图象与坐标轴的交点均在圆M上，则圆M的标准方程为（x–2）2+（y+1）2=5．30．已知动点A在圆P：x2+y2=1上运动，点Q为定点B（–3，4）与点A距离的中点，则点Q的轨迹方程为x2+y2+3x–4y+6=0_．31．已知点A，B的坐标分别为（–1，0），（1，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之和是2，则点M的轨迹方程为x2–xy–1=0（x≠±1）．32．如图，直角△OAB中，OA═4，斜边AB上的高为OC，M为OA的中点，过B点且垂直于y轴的直线交直线MC于点N，则点N的轨迹方程为y2=8x，（x≠0）_．33．已知直线l1：mx–y=0，l2：x+my–m–2=0．当m在实数范围内变化时，l1与l2的交点P恒在一个定圆上，则定圆方程是_（x–1）2+（y–12）2=54_．34．已知函数y=x2–4x+3与x轴交于M、N两点，与y轴交于点P，圆心为C的圆恰好经过M、N、P三点．（1）求圆C的方程；（2）若圆C与直线x–y+n=0交于A、B两点，且线段|AB|=4，求n的值．（1）由题意与坐标轴交点为M （3，0），N （1，0），P （0，3），设圆的方程为：（x –a ）2+（y –b ）2=r 2代入点，得222222222(3)(0)(1)(0)(0)(3)a b r a b ra b r ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+-=⎩，解得a =2，b =2，r（x –2）2+（y –2）2=5． （2）由题意|AB |=4：设圆心到直线距离为d ，则222()2ABr d =+，即：1d ==，解得n =35．已知线段AB 的端点B 的坐标为（1，3），端点A 在圆C ：（x +1）2+y 2=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹．36．已知圆C 过A （1，4）、B （3，2）两点，且圆心在直线y =0上．（1）求圆C 的方程；（2）判断点P （2，4）与圆C 的位置关系．（1）∵圆心在直线y =0上，∴设圆心坐标为C （a ，0），则|AC |=|BC |=，即（a –1）2+16=（a –3）2+4，解得a =–1，即圆心为（–1，0），半径r =|AC== 则圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20；（2）∵|PC5===>r ，∴点P （2，4）在圆C 外． 37．已知曲线C 的方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0（1）当m 为何值时，此方程表示圆？（2）若m =0，是否存在过点P （0，2）的直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，且|PA |=|AB |，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．1）方程：x 2+y 2–4x +2y +5m =0可化为（x –2）2+（y +1）2=5–5m ∵方程表示圆，∴5–5m >0，即m <1；（2）设A （a ，b ），则B （2a ，2b –2），代入圆的方程，可得a 2+b 2–4a +2b =0，且4a 2+（2b –2）2–8a +2（2b –2）=0，∴a =0，或a =2413，∵直线l 过点P （0，2），∴直线l 的方程为x =0或5x +12y –24=0． 38．求圆x 2+y 2–2x –6y +9=0关于直线2x +y +5=0对称的圆的方程．39．已知圆过点A （–2，4），半径为5，并且以M （–1，3）为中点的弦长为设所求的圆的方程是（x –a ）2+（y –b ）2=25，根据题设知（a +2）2+（b –4）2=25，再由弦长公式得：（a +1）2+（b –3）2+12=25，联立解得21a b =⎧⎨=⎩或10a b =⎧⎨=⎩所以圆的方程为：（x –2）2+（y –1）2=25或（x –1）2+y 2=25． 40．圆（x +1）2+y 2=2的圆心到直线y =x +3的距离为( C )A ．1B ．2CD ．41．圆x 2+y 2–2x –8y +13=0的圆心到直线ax +y –1=0的距离为1，则a =( A )A ．–43B ．–34CD ．242．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为（x –1）2+y 2=1（或x 2+y 2–2x =0）_________．43．已知a ∈R ，方程a 2x 2+（a +2）y 2+4x +8y +5a =0表示圆，则圆心坐标是（–2，–4），半径是_5_．。
圆的方程
x2 y 2
圆的标准方程
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为 x 2 + y 2 = r2 (2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此 必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已 知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆 心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。 (3) 注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程 解决实际问题。
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r
把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2
= r2
知识点拨：
圆的标准方程
圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
y
圆的标准方程
r
M
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
圆心坐标C(a,b) 圆的半径 r
O 说明：
C
x
1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。
圆的标准方程
y
求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程
解：设M(x,y)是圆上任意一点， 根据圆
的定义，点M到圆心C的 距离等于r，
所以圆C就是集合
r
C O
M
P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式， 说明： 1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。 2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。
x
点M适合的条件可表示为：
例如：方程x2+2y2－2x－3y+7=0所表示的曲线是圆 吗？ 将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0满足什么条件就表示圆 呢？
【原创讲义】圆与方程(全面详细)
同学们我们在初中的时候已经学习了圆的几何性质，今天开始我们从代数坐标系的角度再来学习圆的一些性质.1.圆的要素：在平面直角坐标系中，当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了.因此，确定一个圆的基本要素是圆心与半径，即位置与大小.2.圆的定义：描述一：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆.描述二：在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆. 如图所示：O 为定点（圆心），P 为动点()r b y a x =-+-⇒22)(根据点到点距离公式我们将上面这个方程平方也就得到了圆的标准方程.3.圆的标准方程： ()().11)0,0(),()0(22222称为单位圆的圆半径单位圆：我们把圆心为，半径圆心＞=+==-+-y x r rb a r r b y a x理解：所说的标准方程其实也只是圆方程的一种书写形式，该方程的优势体现在能直观的看出圆心和半径长.其中标准方程的右边必须大于零才能表示圆，如果等于零，方程表示的只是一个点),(b a .现在我们将圆的标准方程括号去掉化简就可以得到圆的一般方程.※圆与方程4.圆的一般方程：24-2204-0222222F E D r ED FE DF Ey Dx y x +=--+=++++），圆心（＞圆的判别式：一般方程：.022项，也没有的系数相同且与理解：xy y x ≠图像不存在＜③表示点②表示圆＞①一般方程：配方⇒+--⇒=+⇒++=+++−−→−=++++04-)2,2(04-04-44-)2()2(022*********2F E D ED FE DF E D FE D E y D xF Ey Dx y x圆的标准方程与一般方程在形式上存在区别，但又可以通过配方将二者相互转化.5.圆的参数方程：（一般用于求最值）()()[)πθθθθθθ2.0(sin cos sin cos 1)()()0(222222∈⎩⎨⎧+=+=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-⇒=-+-−−−−−−→−=-+-为参数，圆的参数方程＞等号左右两边同除以b r y a r x rb y r a x rb y r a x r r b y a x r圆成立的条件很重要:0422＞F E D -+例1:写出以下方程的圆心、半径、参数方程再作出图像，将标准方程化为一般方程，将一般方程化为标准方程.[)()⎩⎨⎧∈+====+-+=-+πθθθ2,02sin cos 1)2,0(0341)2(2222y x r y y x y x ，圆心一般方程：例：064)1(22=+-+y x y x 022)2(22=-++y x y x2)1()2)(3(22=-++y x 31)33()4(22=++y x2)1()1)(5(22=++-y x 0)6(22=++-y y x x例2：的取值范围是表示圆，则方程m m y mx y x 052422=+-++ .例3：写出下列圆的方程.2),1,2()1(半径长是圆心- .1),,0()2(半径长是圆心m -.),,()3(a b a 半径长是圆心- .1,)4(半径长是轴圆心在x.,012)5(轴相切的圆且与上圆心在直线y y x =+-)2,0(),3,2()6(为圆直径的两个端点分别.)4,3(),2,1(),5,0()7(三个点圆的方程求过---C B A.)5,2(),3,2(,032)8(的圆的标准方程且过点上求圆心在---=--B y x类型一：点与圆位置关系()()())(0)()3()(0)()2()(0)()1(),(002020********020********0202202000r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x r d F Ey Dx y x r b y a x y x ＞＞或＞点在圆外＜＜或＜点在圆内或点在圆上点++++-+-⇒++++-+-⇒==++++=-+-⇒.,011122的取值范围求始终存在公共点与圆：直线例a ay x y x kx y =+++++=例2：一束光线从点)1,1(-A 出发x 轴反射，到达圆1)3()2(:22=-+-y x C 上一点的最短距离是多少？：例3已知圆1)3()2(221=-+-y x C ：，圆9)4()3(222=-+-y x C ：，N M 、分别是圆21C C 、上的动点，P 是x 轴上的动点，则PN PM +的最小值为？：例4若点),15(a a M +在圆26)1(22=+-y x 的内部，则实数a 的取值范围是？1：图形表示与判断方法关系 相交 相切 相离图 像几 何 法r d ＜r d =r d ＞联立方程方程组两个解方程组一个解方程组无解直线与圆交点个数两个公共点一个公共点没有公共点判别式法0＞∆0=∆0＜∆：例1直线2+=kx y 与圆122=+y x 没有公共点，求k 的取值范围？：例2不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是？：例3若圆4)1(22=+-y x 关于直线022=+-+m y x 对称，则实数m 的值为？关系 外离外切相交内切内含图 像几 何 法d 为圆心距21r r d +＞21r r d +=2121r r d r r +-＜＜21r r d -=210r r d -≤＜公切线 四条三条两条一条无位置 关系几个结论(1)经过圆()()222r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.(掌握)(2)已知圆222r y x =+的切线的斜率为k ，则圆的切线方程为12+±=k r kx y .（了解） (3)切点弦方程：过圆()()222r b y a x =-+-外一点),(00y x P 引圆的两条切线，切点分别为B A 、，则过B A 、的直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--(掌握)(4)圆与圆公共弦方程：()0)(00212121222222111221=-+-+-=++++=++++F F y E E x D D F y E x D y x O F y E x D y x O ：公共弦，该直线方程为若两圆相交，则有一条：与圆：圆(5)弦长公式ak d r AB ∆⋅+=-=22212 )(为平方项的系数为斜率，其中a k（6）半圆、直线、射线、点29x y -= 0)2(22=-+y y x x ()042222=-++y x x241y x -=- ()04122=-+-+y x y x 22x y --=类型一：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1.已知圆1)1(22=+-y x O ：，求过点)2,2(P 与圆O 相切的切线方程．2.两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．3.过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆的方程
圆的方程【知识要点】一、圆的标准方程1、圆的定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合.由此我们可知：以点(,)C a b 为圆心，以r 为半径的圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=.2、圆的标准方程的推导设圆心为(,)C a b ，半径为r ，点M 满足的条件为{}P M MC r ==.由两点距离公式可知，点(,)M x yr =.把上式两边平方，得：222()()x a y b r -+-=即圆的彼岸准方程为222()()x a y b r -+-=.3、圆的标准方程的特点圆的标准方程显示了圆心的位置和半径的大小.确定圆的要素有两个：圆心和半径，其中圆心确定了圆的位置，半径确定了圆的大小.在确定圆的过程中，如果由已知条件容易求出圆心坐标和半径或需要利用圆心、半径的有关条件列方程时，一般利用圆的标准方程求解.4、圆的几个特殊位置的标准方程（1）圆心在原点(0,0)O ，半径为r 的圆的标准方程为222x y r +=；（2）半径为r 且与x 轴相切于点(,0)a 的圆的标准方程为222()()x a y r r -+±=；（3）半径为r 且与y 轴相切于点(0,)b 的圆的标准方程为222()()x r y b r ±+-=；（4）半径为r 且与x 轴、y 轴都相切的圆的标准方程为222()()x r y r r ±+±=.二、圆的一般方程1、方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为：①0A C =≠；②0B =；③2240D E AF +->.其中，条件①与条件②皆为二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的必要条件.因为若二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=仅满足条件①与条件②，那么二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=可以转化为220D E F x y x y A A A++++=. 对上式配方可得：222224()()224D E D E AF x y A A A +-+++= （i ）当2240D E AF +-=时，原方程表示一个点(,)22D E A A--； （ii ）当2240D E AF +-<时，原方程不表示任何图形；（iii ）当2240D E AF +->时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22D E C A A--，半径为2r A =. 2、圆的一般方程二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=表示圆的充要条件为：2240D E F +->.对二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=，配方可得：22224()()224D E D E F x y +-+++= （i ）当2240D E F +-=时，原方程表示一个点(,)22D E --； （ii ）当2240D E F +-<时，原方程不表示任何图形；（iii ）当2240D E F +->时，原方程表示一个圆，其圆心为(,)22D E C --，半径为2r =. 因而，当2240D E F +->时，我们把方程220x y Dx Ey F ++++=叫作圆的一般方程.3、圆的标准方程与圆的一般方程之间的互化（1）圆的一般方程化为圆的标准方程：把圆的一般方程：220x y Dx Ey F ++++=（注意隐含条件：2240D E F +->）配方可得圆的标准方程：22224()()224D E D E F x y +-+++=； （2）圆的标准方程化为圆的一般方程：把圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=展开可得圆的一般方程：22222220x y ax by a b r +--++-=. 三、点与圆的位置关系1、平面内一点与圆的位置关系的判定已知圆的方程为222()()x a y b r -+-=，显然圆心为(,)C a b ，半径为r ，那么平面内一点00(,)P x y 与圆222()()x a y b r -+-=的位置关系有：（1）点P 在圆上22200()()x a y b r PC r ⇔-+-=⇔=；（2）点P 在圆内22200()()x a y b r PC r ⇔-+-<⇔<；（3）点P 在圆外22200()()x a y b r PC r ⇔-+->⇔>.2、平面内一点到圆上的点的最大距离与最小距离平面内一点P 到圆上的点的最大距离为PC r +；点P 到圆上的点的最小距离为PC r -（其中，C 为圆的圆心，r 为圆的半径）.四、确定圆的方程的方法确定圆的方程的重要方法是待定系数法.1、如果已知条件中圆心的位置易于确定，则可以选择圆的标准方程列方程组、求系数，即列出关于a 、b 、r 的方程组，求出a 、b 、r 的值，或直接求出圆心(,)a b 及半径r .一般步骤如下：Step1：根据题意，设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=；Step2：根据已知条件，建立关于a 、b 、r 的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.【注】运用待定系数法去求圆的标准方程时，应尽量利用圆的几何性质去确定其圆心(,)a b 及半径r ，这样的话，将会大大减少计算量.一般可以利用圆心的三个几何性质：①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；②圆心在某一条弦的垂直平分线上；③圆心在圆的任意一条直径上，且为直径的中点.2、如果已知条件中圆心的位置不确定或难以确定，则可以选择圆的一般方程列方程组、求系数.在圆的一般方程220x y Dx Ey F ++++=中，含有三个相互独立的参数D 、E 、F ，因此，必须具备三个独立的条件才能通过列出关于D 、E 、F 的方程组，求出D 、E 、F 的值，最终确定出圆的一般方程.一般步骤如下：Step1：根据题意，设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=；Step2：根据已知条件，建立关于D 、E 、F 的方程组；Step3：求解这个方程组，并把它们代入前面所设的方程中去，整理后，即可得到所要求的圆的方程.五、圆的直径式方程的求法设11(,)A x y 、22(,)B x y 是圆的某条直径的两个端点，(,)P x y 为圆上任意异于点A 、B 的一点，则90APB ∠=，即P A P B ⊥，于是有1PA PB k k ⋅=-，而11PA y y k x x -=-，22PB y y k x x -=-，12121y y y y x x x x --⇒⋅=---，故有1222()()()()0x x x x y y y y --+--=，此即圆的直径式方程.六、常见的圆系方程1、过定直线与定圆的交点的圆系方程过定直线l ：0Ax By C ++=和定圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程为22()0x y Dx Ey F a Ax By C +++++++=.2、过两圆的交点的圆系方程过两圆221110x y D x E y F ++++=和222220x y D x E y F ++++=的交点的圆系方程为2222111222()0x y D x E y F x y D x E y F λ+++++++++=，特别地，当1λ=-时，该方程表示两圆公共弦所在直线的方程.【例题解析】题型1圆的定义1、若方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆，则a =_______. 解： 方程222(2)20a x a y ax a ++++=表示圆 （ⅰ）若1-=a ，则原方程即为01222=--+x y x ，亦即2)122=+-y x （，表示圆； （ⅱ）若2=a ，则原方程即为0244422=+++x y x ，亦即02122=+++x y x )(* 这里，21,0,1===F E D .由于01201422<-=-+=-+F E D因此，方程)(*不表示任何图形。
圆的方程
圆的方程学科：数学教学内容：圆的方程【基础知识精讲】1.圆的方程：三个独立条件确定一个圆，按照已知条件可用待定系数法求圆的方程时，如果已知圆心或半径，或圆心到某直线的距离，通常用圆的标准方程，如果已知圆通过某些点，通常可用一样式.学习圆的方程，要正确把握几何性质.和对应条件：(1)过原点的圆x2+y2+Dx+Fy=0或(x-a)2+(y-b)2=a2+b2(2)圆心在x轴上的圆x2+y2+Dx+F=0(D2-4F＞0)或(x-a)2+y2=r2(3)圆心在y轴上的圆x2+y2+Ey+F=0(E2-4F＞0)或x2+(y-b)2=r2(4)圆心在x轴上，且与y轴相切的圆x2+y2+px=0，或(x-a)2+y2=a2(5)圆心在y轴上，且与x轴相切的圆x2+y2+Ey=0或x2+(y-b)2=b22.直线和圆的位置关系直线与圆心位置关系的判定方法有两种：(1)判不式法(代数法)：将直线和圆的方程联立得到一个关于x、y的二元二次方程组，消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程，则△＞0⇔直线和圆相交(有两个公共点)△=0⇔直线和圆相切(有一个公共点)△＜0⇔直线和圆相离(无公共点)若涉及到弦长等咨询题，则可结合韦达定理进一步解决.(2)几何法：设圆心到直线的距离为d,圆的半径为r，则d＜r⇔直线与圆相交(有两个公共点)d=r⇔直线与圆相切(有一个公共点)d＞r⇔直线与圆相离(无公共点)若涉及到弦长等咨询题，则可抓住圆心到直线的距离d、圆的半径r、弦长的一半l三者组成的直角三角形解决.3.圆与圆的位置关系，设两个圆的半径分不为R、r，圆心距为d,则(1)两个圆外离⇔d＞R+r(2)两个圆外切⇔d=R+r(3)两个圆相交⇔｜R-r｜＜d＜R+r(4)两个圆内切⇔d=｜R-r｜(5)两个圆内含⇔0≤d＜｜R-r｜4.圆系方程：(1)过直线l:Ax+By+C=0和圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的公共点的圆的方程能够写作(Ax+By+C)+λ(x2+y2+Dx+Ey+F)=0；(2)过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F2=0和圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0的公共点的圆(除C2外)的方程能够写成(x2+y2+D1x+E1y+F1)+λ(x2+y2+D 2x+E2y+F2)=0.专门地，令λ=-1即得过两个圆的公共点的直线的方程：(D1-D2)x+(E 1-E2)y+(F1-F2)=0.5.圆的参数方程：圆心为(a,b)、半径为r的圆的参数方程为6.应用代入法、几何法、参数法等方法求与圆有关的轨迹咨询题.本节学习方法：(1)数形结合的思想方法；(2)充分利用圆的几何性质，简化运算；(3)循序渐近的学习方法.【重点难点解析】同学们现在所学习的圆与初中所学习的圆是一样的，也确实是讲，圆的几何性质仍旧成立.所不同的是现在我们把圆放到平面直角坐标系中去研究.这就需要大伙儿在学习本节时，先复习圆的几何意义，几何性质，要复习曲线与方程的概念，从而学习“圆的方程”这一节内容.例1 求通过点A(-2，-4)且与直线l:x+3y-26=0相切于点B(8，6)的圆的方程.分析一 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0则整理得⎪⎩⎪⎨⎧-=--=++=-+363100682042E D F E D F E D解得D=-11,E=3,F=-30分析二 设圆心C(a,b)且圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2 ∵｜CA ｜=｜CB ｜,CB ⊥l解得a=211,b=-23 从而r=2125 故所求的方程的(x-211)2+(y+23)2=2125 分析三 设圆心为C ，则CB ⊥l ，∴CB 的方程为y-6=3(x-8),即3x-y+18=0，又AB 的垂直平分线的方程为x+y-4=0 联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=--04)23,211(0183y x C y x 得圆心∴半径r=22)623()8211(--+-=2125 ∴所求圆的方程为(x-211)2+(y+23)2=2125 例2 当m 为何值时，直线mx-y-m-1=0与圆x2+y2-4x-2y+1=0相交，相切、相离.分析一 (判不式法)将y=mx-m-1代入圆的方程化简整理得：(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0∵△=4m(3m+4)当△=0时，得m=0或m=-34时，直线与圆相切.当△＞0时,得m ＞0或m ＜-34时，直线与圆相交.当△＜0时，得-34＜m ＜0时，直线与圆相离.分析二 (几何法)由已知得圆心坐标为(2，1)半径r=2，圆心(2，1)到直线mx-y-m-1=0的距离d=21112m m m +---=212m m +-当d=2时，即m=0或m=-34时，相切 当d ＞2时，即-34＜m ＜0时，相离 当d ＜2时，即m ＞0或m ＜-34时，相交例3 已知圆C ：(x-1)2+(y-2)2=25及直线l:(2m+1)x+(m+1)y=7m+4(m ∈R)(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒相交.(2)求直线l 被圆C 截得的弦长最短的长度及现在的直线方程.分析 若按常规思路只须证圆心O(1，2)到直线l 的距离恒小于半径即可.但注意到直线l 的方程可变形为x+y-4+m(2x+y-7)=0，则可知直线l 恒过定点(3，1)，如果该定点在圆内，咨询题即可解决，事实上(3-1)2+(1-2)2=5＜25∴点(3，1)在圆内如此，不论m 为何实数，直线l 与圆恒相交.(2)由(1)的结论可知直线l 过定点M(3，1)，且与过此点的圆O 的半径垂直时，l 被圆所截的弦长｜AB ｜最短.∵｜MO ｜=22)21()13(-+-=5且r=5∴弦长=2·525-=45 现在kl=-OM k 1 ∴-112++m m =-31121--=2 ∴m=-43代入直线l 得方程2x-y-5=0 例4 求两圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和C2:x2+y2-6x+2y+1=0的公切线方程.分析 要确定公切线的条数，应先判定两圆的位置关系，圆C1的圆心O1(-1,-3),半径r1=1，圆C2的圆心O2(3，-1)，半径r2=3∵｜O1O2｜=25＞4=r1+r2∴两圆相离，公切线有四条.设公切线的交点为M(x0,y0)(1)外公切线点M 分有向线段O2O1的比为λ=12MO M O =-21r r =-3 由定比分点公式得⎩⎨⎧-=-=4300y x 设两圆外公切线方程为y+4=k(x+3)即kx-y+3k-4=0由圆心O1（-1，-3）到其距离为1得143)3()1(2+-+---k k k =1即有k=0或k=34.∴两圆的外公切线方程为y+4=0和4x-3y=0(2)内公切线点M （x0,y0）分有向线段O2O1的比为λ′=12MO M O =21r r =-3 由定比分点公式得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-•+-==+-•+=2531)3(31031)1(3300y x 设两圆内公切线方程为y+25=kx 即2kx-2y-5=0由点O1(-1，-3)到其距离为1得 244562k k +-+-=1解得k=-34 ∴切线方程为3x+4y+10=0但由两圆外离，公切线应为4条，讲明另一条公切线斜率不存在，则它的方程为x=0.【难题巧解点拨】例1 求过两圆x2+y2+4x-3=0与x2+y2-4y-3=0的交点，且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的方程.分析 一样思路是先求出两交点坐标，再结合圆心在直线上，由这三个条件求圆的方程.但运算量较大.能够考虑过两圆交点的圆系方程可设为(x 2+y2+4x-3)+λ(x2+y2-4y-3)=0(λ为参数且λ≠-1)整理得圆心坐标为(-λ+12，λλ+12) 又∵圆心在直线2x-y-4=0上代入得：-λ+14-λλ+12-4=0 解得λ=-34代入整理即得所求圆的方程为x2+y2-12x-16y-3=0.例2 已知定点A(3，0)和B(0，4)，P 是△AOB 内切圆上的动点(O 是原点)，求｜PA ｜2+｜PB ｜2+｜PO ｜2的最大，最小值.解：本题可直截了当设P 点坐标为(x0,y0),先求出内切圆心方程.再结合P 点满足圆的方程代入求其最大.最小值.也可采纳参数法求解：由已知｜AO ｜=3，｜BO ｜=4，则｜AB ｜=5.设△AOB 的内切圆半径为r ，则 r=25432ABBO AO -+=-+=1 故△AOB 的内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1因此可设P 点坐标为(1+cos θ,1+sin θ)，有｜PA ｜2+｜PB ｜2+｜PO2｜=(2-cos θ)2+(1+sin θ)2+(1+cos θ)2+(3-sin θ)2+(1+cos θ)2+(1+sin θ)2=20-2sin θ∵-1≤sin θ≤1 ∴18≤20-2sin θ≤22∴｜PA ｜2+｜PB ｜2+｜PO ｜2的最大值是22，最小值是18.例3 已知圆O ：x2+y2=4，与点A(4，0)，过A 点作圆O 的割线交圆O 于B 、C 两点，求BC 中点M 的轨迹方程.解法一：(定义法)因为BC 为圆O 的弦，M 为弦BC 的中点，由垂线定理得OM ⊥BC ，即OM ⊥MA.∴M 点在以OA 为直径的圆上.又OA 的中点为(2，0)，｜OA ｜=4.因此点M 所在圆心方程为(x-2)2+y2=4.因为ABC 是割线，故M 点的轨迹是此圆在圆O 内部的一段弧.将方程x2+y2=4的两边减去方程(x-2)2+y2=4得x=1,∴M 点的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(0≤x ＜1)解法二：(直截了当法)设M 点的坐标为(x,y)(1)当x ≠0时，kOM=x y ,kBC=kMA=4-x y 由解法一知DM ⊥MA ，∴kOM ·kBC=-1 即x y ·4-x y =-1，化简得x2-4x+y2=0 (2)当x=0时，易知M 的坐标为(0，0)，它满足上述方程，∴结合解法一知点M 的轨迹方程为x2-4x+y2=0(0≤x ＜1＝解法三：(点差法)设M 点的坐标为(x,y)，B 、C 的坐标分不为(x1,y1),(x 2,y2)，则有③-④得x21-x22+y21-y22=0即(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0∵x1≠x2(否则B 与C 会重合)∴x1+x2+(y1+y2)·2121x x y y --=0⑤ 又∵A 、M 、B 、C 共线，∴kBC=kMA=4-x y ⑥ 将①②、⑥代入⑤得2x+2y ·4-x y =0 化简得x2+y2-4x=0同法一得0≤x ＜1.即所求的轨迹方程为x2+y2-4x=0(0≤x ＜1)解法四：(几何法)∵OM ⊥MA ，∴｜OM ｜2+｜MA ｜2=｜OA ｜2 即x2+y2+(x-4)2+y2=16即x2+y2-4x=0同解法一得0≤x ＜1∴所求轨迹方程的x2+y2-4x=0(0≤x ＜1)例4 已知定点A(4，0)和圆x2+y2=4上的动点B ，点P 分AB 之比为2∶1，求点P 的轨迹方程.解：(代入法)设动点P(x,y)及圆上点B(x0,y0)∵λ=PB AP =2∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=212212300y y x x 因此⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 2344300 代入圆方程x2+y2=4，得(243-x )2+49y2=4 ∴P 点的轨迹方程为(x-34)2+y2=916【课本难题解答】教材第82页，习题7.79.答：(1)2x-y-7＝0;(2)(x-1)2+(y+1)2＝2510.答：⎩⎨⎧+=+=θθθsin 22cot 2cos 2y x (0<θ<π)，θ为参数【典型热点考题】例1 设圆满足①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1，在满足条件①②的所有圆中，求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的方程.分析 第一求出满足条件①、②的圆的圆心轨迹方程；然后求出圆心到直线x-2y=0的最小距离，最后列出满足圆心坐标与半径r 的方程组，确定圆的方程.解法一：设圆的圆心为P(a,b)，半径为r ，则P 点到x 轴，y 轴的距离分不为｜b ｜,｜a ｜.由条件②知圆P 被x 轴截得的劣弧所对的圆心角为90°，从而圆P 截x 轴所得的弦长为2r.∴r2=(2｜b ｜)2=2b2又圆P 截y 轴所得的弦长为2，因此有 r=221+a ,∴r2=a2+1∴圆心P 的坐标为(a,b)满足方程2b2-a2=1，又点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为 d=52ba - 因此｜a-2b ｜2=a2+4b2-4ab ≥(a2+4b2)-2(a2+b2)=2b2-a2=1当且仅当a=b 时上式等号成立，现在5d2=1,从而d 取最小值. 由此有⎪⎩⎪⎨⎧==-=2222212b r a b b a 解此方程组得⎪⎩⎪⎨⎧===211r b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=211r b a因此，所求圆的方程为 (x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2解法二：同解法一得d=52ba -∴a-2b=±5d,即a=2b ±5 d得a2=4b2±45bd+5d2将a2=2b2-1代入上式，整理得2b2±45bd+5d2+1=0把它看作关于b 的二次方程，由于方程有实根，故判不式非负.即△=8(5d2-1)≥0，得5d2≥1因此5d2有最小值1，从而d 有最小值55. 代入方程2b2±45db+5d2+1=0得b=±1 将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由a2=2b2-1得a=±1综上知a=±1，b=±1,r2=2将d=55代入d=52b a -得：｜a-2b ｜=1知a,b 同号.(x-1)2+(y-1)2=1或(x+1)2+(y+1)2=2讲明：要确定圆心坐标及半径，本题的关键是求出圆心到直线的最小值，解法一利用了差不多不等式a2+b2≥2ab 求最值.而解法二利用判不式法求最值，这是求最值的两种常用方法.例2 设有圆心为(ak,0)，半径为rk(k=1,2,3,…)的一系列半圆C1，C2，C3，……，每相邻两个半圆互相外切，同时都和直线l:y=-43x+1相切，直线l 分不切圆Ck 、Ck-1于A 、B 两点(1)用rk 表示ak;(2)用rk-1表示rk;(3)若a1＜0,半圆C1和y 轴相切，求r1(4)在(3)中的半圆C1是这一系列半圆的左起每一个半圆，面积为S1，第k 个半圆的面积为Sk(k=1,2,3,…)求S1+S2+…+Sk+……分析 由题设条件，联想到点到直线的距离公式、数列的有关知识进行解题.解：(1)由题设得直线l 的方程为3x+4y-4=0.∴rk=d=224343+-k a =543-k a ∴ak=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+354345k k r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥)34a ()34a (k k 当当(2)连ACk 、BCk-1，过Ck 作CkD ⊥Ck-1B ，则四边形ABDCk 为矩形. ∵kAB=kCD ，kAB=tan α=-43 设直线l 分不与x,y 轴交于M 、N 两点.∴tan ∠OMN=tan(180°-α)=-tan α=43sin ∠OMN=53 又∵sin ∠OMN=k k k C C D C 11--=k k k k r C r r +--11 ∴k k k k r C r r +--11=53 rk=41rk-1 (3)∵a1＜0,r1＞0,∴r1=-a1由点到直线距离公式，得r1=5431-a =5431+r ∴r1=2(4)由(2)得rk=41rk-1 r1=2,r2=21,r3=81 ∴r1,r2,r3,…等比数列，q=41又S1=21πr21=2πS2=21 πr22=81π S3=21 πr23=1281π,…… 可知S1，S2，S3……也成等比数例，公比q ′=161＜1， ∴S=S1+S2+…=q s -11=16112-π=1532π. 例3 当实数x,y 满足x2-2x+y2=3时，求｜x ｜+｜y ｜的最大值与最小值.分析 圆心方程可化为(x-1)2+y2=4. 令t=｜x ｜+｜y ｜,∵它的图形是顶点在坐标轴上的正方形，如此咨询题转化为正方形与圆有公共点时，求t 的最大值与最小值.与圆有公共点的最小正方形是顶点为(1，0)，(0，1)，(-1，0)，(0，-1)故t 的最小值为1，与圆有公共点的最大正方形是两边与圆相切的正方形，由⎩⎨⎧=+-=+3222y x x t y x 得2x2-2(t+1)x+t2-3=0，由△=0,得t=1+22(1-22 舍去)，即t 的最大值为1+22，(t 的最大值也可用圆心到直线的距离等于半径去解)【同步达纲练习】A级一、选择题1.若直线4x-3y-2=0与圆x2+y2-2ax+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范畴是( )A.-3＜a＜7B.-6＜a＜4C.-7＜a＜3D.-21＜a＜192.圆(x-3)2+(y-3)2=9上到直线3x+4y-11=0的距离等于1的点有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.使圆(x-2)2+(y+3)2=2上点与点(0，-5)的距离最大的点的坐标是( )A.(5，1)B.(3，-2)C.(4，1)D.(2+2，2-3)4.若直线x+y=r与圆x2+y2=r(r＞0)相切，则实数r的值等于( )2B.1 C.2 D.2A.25.直线x-y+4=0被圆x2+y2+4x-4y+6=0截得的弦长等于( )A.8B.4C.22D.42二、填空题6.过点P(2，1)且与圆x2+y2-2x+2y+1=0相切的直线的方程为.7.设集合m={(x,y)|x2+y2≤25},N={(x,y)｜(x-a)2+y2≤9}，若M∪N=M，则实数a的取值范畴是.8.已知P(3，0)是圆x2+y2-8x-2y+12=0内一点则过点P的最短弦所在直线方程是，过点P的最长弦所在直线方程是.三、解答题9.已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P 、Q 两点，若OP ⊥OQ(O 是原点)，求m 的值.10.已知直线l:y=k(x-2)+4与曲线C ：y=1+24x 有两个不同的交点，求实数k 的取值范畴.AA 级一、选择题1.圆(x-3)2+(y+4)2=2关于直线x+y=0的对称圆的标准方程是( )A.(x+3)2+(y-4)2=2B.(x-4)2+(y+3)2=2C.(x+4)2+(y-3)=2D.(x-3)2+(y-4)2=2 2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)2+y2=1的内部，则实数a 的取值范畴是( ) A.｜a ｜＜1B.｜a ｜＜51C.｜a ｜＜121 D.｜a ｜＜131 3.关于x,y 的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是( )A.B=0，且A=C ≠0B.B=1且D2+E2-4AF ＞0C.B=0且A=C ≠0，D2+E2-4AF ≥0D.B=0且A=C ≠0,D2+E2-4AF ＞04.过点P(-8，-1)，Q(5，12)，R(17，4)三点的圆的圆心坐标是( ) A.(314，5) B.(5，1) C.(0，0) D.(5，-1) 5.若两直线y=x+2k 与y=2x+k+1的交点P 在圆x2+2=4的内部，则k 的范畴是( ) A.- 51＜k ＜-1 B.- 51 ＜k ＜1 C.- 31＜k ＜1 D.-2＜k ＜2二、填空题6.圆x2+y2+ax=0(a ≠0)的圆心坐标和半径分不是 .7.若方程a2x2+(2a+3)y2+2ax+a+1=0表示圆，则实数a 的值等于 .8.直线y=3x+1与曲线x2+y2=4相交于A 、B 两点，则AB 的中点坐标是 .三、解答题9.求圆心在直线2x-y-3=0上，且过点(5，2)和(3，-2)的圆的方程.10.光线l 从点P(1，-1)射出，通过y 轴反射后与圆C ：(x-4)2+(y-4)2=1相切，试求直线l 所在的直线方程.【素养优化训练】一、选择题1.直线3x+y-23=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角为(全国高考题)( ) A.6π B. 4π C. 3π D. 2π 2.关于满足x2+(y-1)2=1的任意x,y ，不等式x+y+d ≥0恒成立，则实数d 的取值范畴是( )A.［2-1，+∞］B.(-∞，2-1)C.［2 +1,+∞］D.(-∞, 2 +1) 3.若实数x ，y 满足x2+y2=1,则12--y y 的最小值等于( ) A. 41 B. 43 C. 23 D.2 4.过点P(1，2)的直线l 将圆x2+2-4x-5=0分成两个弓形，当大、小两个弓形的面积之差最大时，直线l 的方程是( )A.x=1B.y=2C.x-y+1=0D.x-2y+3=05.一辆卡车宽2.7米，要通过一个半径为4.5米的半圆形隧道(双车道，不得违章)，则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A.1.8米B.3米C.3.6米D.4米二、填空题6.若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值是.7.若集合A={(x、y)｜y=-｜x｜-2}，B={(x,y)｜(x-a)2+y2=a2}满足A∩B= ，则实数a的取值范畴是.8.过点M(3，0)作直线l与圆x2+y2=16交于A、B两点，当θ=时，使△AOB的面积最大，最大值为(O为原点).三、解答题9.令圆x2+y2-4x-6y+12=0外一点P(x,y)向圆引切线，切点为M，有｜P M｜=｜PO｜,求使｜PM｜最小的P点坐标.10.已知圆C：(x+4)2+y2=4和点A(-23，0)，圆D的圆心在y轴上移动，且恒与圆C外切，设圆D与y轴交于点M、N，求证：∠MAN为定值.11.已知直角坐标平面内点Q(2，0)，圆C：x2+y2=1，动点M到圆C 的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0)，求动点M的轨迹方程，并讲明轨迹是什么曲线.12.自点A(-3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线m所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l与m所在直线方程.13.AB 是圆O 的直径，且｜AB ｜=2a,M 是圆上一动点，作MN ⊥AB ，垂足为N ，在OM 上取点P ，使｜OP ｜=｜MN ｜，求点P 的轨迹.参考答案：【同步达纲练习】A 级1.B2.C3.B4.D5.C6.x=2或3x-4y-2=07.-2≤a ≤28.x+y-3=0，x-y-3=09.m=3 10.(125,43) AA 级 1.B 2.D 3.D 4.D 5.B 6.(- 2a ,0), 2a 7.-1 8.(- 103，101) 9.(x-2)2+(y-1)2=10 10.3x+4y+1=0或4x+3y-1=0【素养优化训练】1.C2.A3.B4.D5.C6.107.-2(2+1)＜a ＜2(2+1)8.θ=arc cot22 或π-arccot22, 89.P(1312,1318) 10.60° 11.M 的轨迹方程为(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+(1+4x2)=0，当λ=1时，方程为直线x=45.当λ≠1时，方程为(x-1222-λλ)2+y2=222)1(31-+λλ它表示圆，该圆圆心坐标为(1222-λλ,0)半径为13122-+λλ 12.l 的方程为：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 M 的方程为3x-4y-3＝0或4x-3y+3＝0 13.x2+(y ±2a)2=(2a )2轨迹是分不以CO ，CD 为直径的两个圆.。
圆的方程 知识点+例题+练习
教学过程1．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式，定参数”是求圆的方程的基本方法，即根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数，同时注意利用几何法求圆的方程时，要充分利用圆的性质．2．解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算．3．求圆的方程时，一般考虑待定系数法，但如果能借助圆的一些几何性质进行解题，不仅能使解题思路简化，而且还能减少计算量．如弦长问题，可借助垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理解题．课堂巩固一、填空题1．(2014·南京模拟)已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是________．2．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，那么直线x＋ay＋b＝0一定不经过第________象限．3．(2014·银川模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．4．两条直线y＝x＋2a，y＝2x＋a的交点P在圆(x－1)2＋(y－1)2＝4的内部，则实数a的取值范围是________．5．(2014·东营模拟)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．6．已知点M(1,0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．7．(2014·南京调研)已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为______．8．若圆x2＋(y－1)2＝1上任意一点(x，y)都使不等式x＋y＋m≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．教学效果分析。
圆的方程
5.弦长与切线方程，切线长的求法
(1)弦长求法一般采用几何法：弦心距d，圆半径r， 2 弦长l，则 d 2 l r 2 2 (2)圆的切线方程： 若点 P( x0，y0 ) 在圆 x2 y 2 r 2 上，则过点P的切线 方程为 x0 x y0 y r 2 若点 P( x0，y0 ) 在圆 ( x a)2 ( y b)2 r 2 上，则过 点P的切线方程为 ( x a)(x0 a) ( y b) ( y0 b) r 2
二、学习方法指导
例1 当曲线 y 1 4 x 2 与直线y＝k(x－2)＋4有两个相异
交点时，实数k的取值范围是(
5 A． 0， 12 1 3 B． 3， 4
)
5 3 C． ， 12 4
5 D． ， 12
2 故所求圆的方程为 ( x 19 ) ( y
例5 求圆心在直线x－y－４＝0上，并且经过两圆
2 2 2 2 C1 ：x y 4 x 3 0 和 C2 ： x y 4 y 3 0
的交点的圆的方程． 思路分析：求经过两圆交点的圆，可利用圆系方程求解． 解：设所求圆的方程为
解得a＝2或a＝4． 所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0 说明：本题巧用根与系数的关系，列出 x1x2 y1 y2 0 进而求得方程，另外，在设方程时，设过(3，0)的的直线方程
x＋ay－3＝0可避免讨论。
例4 求过P(5，－3)，Q(0，6)两点，且圆心在直线2x－3y－6＝0 上的圆的方程． 思路分析：可依据不同的条件，选择恰当的形式，但是要注意 圆的有关几何性质的运用．
思路分析：可以先求出两圆交点坐标，利用两点间的距离 求之；亦可利用几何法求．
圆的方程(含答案)
圆的方程【知识清单】： 1．圆的定义及方程2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.注意：对于方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆时易忽视D 2＋E 2－4F ＞0这一成立条件．【考点突破】：考点一 圆的方程(基础送分型考点——自主练透)1．(易错题)(2015·潍坊模拟)若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4解析：选D 由题意知圆C 的半径为2，且圆心坐标可设为(2，b )，因此有(2－1)2＋(b －0)2＝2，解得b ＝±3，从而圆C 的方程为(x －2)2＋(y ±3)2＝4.2．(2016·石家庄一检)若圆C 的半径为1，点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C 的标准方程为( ) A ．x 2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝1 C ．(x －1)2＋y 2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1解析：选A 因为点C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C (0,0)，所以所求圆的标准方程为x 2＋y 2＝1.3．(2015·全国卷Ⅱ)已知三点A (1,0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A ．.53B ．213C ．253D ．43解析：选B 设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则⎩⎨⎧1＋D ＋F ＝0，3＋3E ＋F ＝0，7＋2D ＋3E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝－433，F ＝1.∴△ABC 外接圆的圆心为⎝⎛⎭⎫1，233， 故△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为12＋⎝⎛⎭⎫2332＝213.[谨记通法]：1．求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法：①若已知条件与圆心(a ，b )和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，进而求出D ，E ，F 的值．2．确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上，如“题组练透”第1题． (3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．[提醒]：解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质． 考点二 与圆有关的最值问题(常考常新型考点——多角探明)[命题分析]与圆有关的最值问题也是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想．常见的命题角度有： 角度一：斜率型最值问题1．(2016·抚顺模拟)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0，求yx 的最大值和最小值． 解：原方程可化为(x －2)2＋y 2＝3， 表示以(2,0)为圆心，3为半径的圆． yx的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率， 所以设yx ＝k ，即y ＝kx .当直线y ＝kx 与圆相切时(如图)，斜率k 取最大值或最小值， 此时|2k －0|k 2＋1＝3， 解得k ＝±3.所以yx 的最大值为3，最小值为－ 3.角度二：截距型最值问题2．在[角度一]条件下求y －x 的最大值和最小值．解：y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，如图所示，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6.所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.角度三：距离型最值问题3．在[角度一]条件下求x 2＋y 2的最大值和最小值．解：如图所示，x 2＋y 2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值．又圆心到原点的距离为 (2－0)2＋(0－0)2＝2，所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3. 角度四：建立目标函数求最值问题4．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1 和两点A (－m,0), B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．4解析：选B 由(x －3)2＋(y －4)2＝1知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ.∵∠APB ＝90°，即 AP ·BP ＝0，∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin(θ＋φ)≤36⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝34， ∴0＜m ≤6，即m 的最大值为6.[方法归纳]：求解与圆有关的最值问题的2大规律(1)借助几何性质求最值：处理与圆有关的最值问题，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．(2)建立函数关系式求最值：根据题目条件列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等，利用基本不等式求最值是比较常用的． 考点三 与圆有关的轨迹问题(重点保分型考点——师生共研)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3. (1)求圆心P 的轨迹方程；(2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r ，则y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2. ∴y 2＋2＝x 2＋3，即y 2－x 2＝1. ∴P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P 的坐标为(x 0，y 0)， 则|x 0－y 0|2＝22，即|x 0－y 0|＝1. ∴y 0－x 0＝±1，即y 0＝x 0±1.①当y 0＝x 0＋1时，由y 20－x 20＝1得(x 0＋1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1，∴r 2＝3， ∴圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3；②当y 0＝x 0－1时，由y 20－x 20＝1得(x 0－1)2－x 20＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1， ∴r 2＝3，∴圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3. 综上所述，圆P 的方程为x 2＋(y ±1)2＝3.已知 OP ＝(2＋2cos α，2＋2sin α)，α∈R ，O 为坐标原点，向量 OQ 满足 OP ＋OQ ＝0，则动点Q 的轨迹方程是________．解析：设Q (x ，y )，由 OP ＋OQ ＝(2＋2cos α＋x,2＋2sin α＋y )＝(0,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－2cos α，y ＝－2－2sin α， ∴(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4. 答案：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝4[由题悟法]：与圆有关的轨迹问题的4种求法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆与圆的几何性质列方程．(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．【三维演练】：一抓基础，多练小题做到眼疾手快3．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为( ) A ．2 B ．22C ．1D ． 2解析：选D 已知圆的圆心是(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离是|1＋2－1|12＋12＝22＝ 2.4．已知圆C 与直线y ＝x 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线y ＝－x 上，则圆C 的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2解析：选D 由题意知x －y ＝0 和x －y －4＝0之间的距离为|4|2＝22，所以r ＝2；又因为y ＝－x 与x －y ＝0，x －y －4＝0均垂直，所以由y ＝－x 和x －y ＝0联立得交点坐标为(0,0)，由y ＝－x 和x －y －4＝0联立得交点坐标为(2，－2)，所以圆心坐标为(1，－1)，圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.5．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于原点P (0,0)对称的圆的方程为________． 解析：(x ，y )关于原点P (0,0)的对称点为(－x ，－y )， 则(－x ＋2)2＋(－y )2＝5，即(x －2)2＋y 2＝5. 答案：(x －2)2＋y 2＝5二保高考，全练题型做到高考达标3．(2016·深圳五校联考)已知直线l ：x ＋my ＋4＝0，若曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则m 的值为( )A ．2B ．－2C ．1D ．－1解析：选D 因为曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0是圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，若圆(x ＋1)2＋(y －3)2＝9上存在两点P ，Q 关于直线l 对称，则直线l ：x ＋my ＋4＝0过圆心(－1,3)，所以－1＋3m ＋4＝0，解得m ＝－1.4．(2016·济南模拟)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 设圆C 1的圆心坐标C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点为(a ，b )，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.5．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的取值范围是( ) A ．(4,6) B ．[4,6] C ．[4,6)D ．(4,6]解析：选A 易求圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离为5.令 r ＝4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为1；令r ＝6，可知圆上有三点到已知直线的距离为1，所以半径r 取值范围在(4,6)之间符合题意．6．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为__________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，所以圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，所以半径最大时的半径r ＝2，所以半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝27．直线x －2y －2k ＝0与2x －3y －k ＝0的交点在圆x 2＋y 2＝9 的外部，则k 的取值范围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －2k ＝0，2x －3y －k ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4k ，y ＝－3k .∴(－4k )2＋(－3k )2＞9，即25k 2＞9， 解得k ＞35或k ＜－35.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－35∪⎝⎛⎭⎫35，＋∞ 8．设P 是圆(x －3)2＋(y ＋1)2＝4上的动点，Q 是直线 x ＝－3上的动点，则|PQ |的最小值为________． 解析：如图所示，圆心M (3，－1)与定直线x ＝－3的最短距离为|MQ |＝3－(－3)＝6，又圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.答案：49．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)由题意知，直线AB 的斜率k ＝1，中点坐标为(1,2)．则直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由点P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210， ∴(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2.∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．∴圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40.10．已知圆C 过点P (1,1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r ＞0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称． (1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求 PQ ·MQ 的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )， 由已知得M (－2，－2)， 则⎩⎪⎨⎪⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2，故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2. (2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ ·MQ ＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2) ＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2. 令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，∴ PQ ·MQ ＝x ＋y －2＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－2， 所以 PQ · MQ 的最小值为－4.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0恰好被面积最小的圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0,0)，P (4,0)，Q (0,2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ 为直角三角形，∴圆心为斜边PQ 的中点(2,1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5. 答案：(x －2)2＋(y －1)2＝52．已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点．(1)求M 的轨迹方程；(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积． 解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16， 所以圆心为C (0,4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM ＝(x ，y －4)， MP ＝(2－x,2－y )，由题设知 CM ·MP ＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以直线l 的斜率为－13，所以直线l 的方程为y ＝－13x ＋83.又|OM |＝|OP |＝22，点O 到l 的距离为4105，|PM |＝4105，所以△POM 的面积为165.【拓展延伸】：题型一：利用基本量的数学思想求圆的方程1、 已知方程22240x y x y m +--+=，（1）若此方程表示圆，求圆心坐标及m 的取值范围. （2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于11(,)M x y 、22N(,)x y 两点，且OM ON ⊥,求圆的方程 .2、 已知方程222610x y x y ++-+=，直线:m 3l x y += （1）若直线l 和圆C 相切，求实数m 的值；（2）是否存在m 的值，使直线l 和圆C 相交于A,B 两点，且0OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点)，若存在，试求出m 的值；否则，请说明理由 .题型二：与圆有关的最值问题1、 过直线240x y ++=和圆222410x y x y ++-+=的交点，且面积最大的圆的方程为________．. 2、（1）已知点P(,)x y 在圆2211x y +-=（）上运动，则12y x --的最大值为________；最小值为________． （2）已知实数x 、y 满足010y 221x y x ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩________． 题型三：点与圆的位置关系1、已知圆22:640C x y x y +-+=，试判断点T(1-，-2）与圆C 的位置关系.2、已知21a (y c M ，）、22a (y cM ，），其中222a - c ,a b c 0b =>且，，， ，点F (c ，0）在以MN 为直径的圆P 上，试判断原点与圆P 的位置关系.题型四：直线与圆的位置关系：1、直线1+=ax y 与圆03222=--+x y x 的交点的个数是2、已知平面区域00240x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩恰好被面积最小的圆C ：222x a y b r -+-=（）（）覆盖.(1) 试求圆C 的方程；若斜率为1的直线l 与圆C 交于不同的两点A 、B ，满足CA CB ⊥,求直线l 的方程.3、 已知：以点2C(t t，）(t R 0∈≠，t ）为圆心的圆与x 轴交于点O 、A ，与y 轴交于点O 、B .（1）求证：AOB ∆面积为定值；（2）设直线24y x =-+与圆C 交于M 、N 两点，若OM ON =,求圆C 的方程.题型五：与（动）圆有关的定点、定直线问题1、 已知圆C 方程：228m 6m+26+10m m x y x y m +--+=∈≠（）（R,0） （1）证明：圆C 恒过一个定点M ，并求出此定点M 坐标；（2）判断直线4330x y +-=与圆C 的位置关系，并证明你的结论.2、已知圆C ：221316x y -+-=（）（） ，直线:(2m 3)(m 4)220l x y m ++++-=（1）求证：无论m 取任何实数，直线l 必经过一个定点，请求出这个定点坐标； （2）当m 取任意实数时，直线l 与圆C 的位置关系有无不变性？试说明理由；（3）请判断直线l 被圆C 截得的弦何时最短？试求出截得的弦最短时，m 的值以及弦的长度a.3、已知圆C ：221x y += ，直线1l 过点A(3，0）,且与圆C 相切 （1）求直线1l 的方程；（2）设圆C 与x 轴相交于P 、Q 两点，M 是圆C 上异于P 、Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线记为2l ，直线PM 交2l 于 'P ，直线QM 交2l 于 'Q ，试证明：以'P 'Q 为直径的圆'C 总经过定点，请求出定点坐标.。
圆的一般方程(用)
(D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 D2 E2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
①x2与y2系数相同并且不等于0；
②没有xy这样的二次项
练习
判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半 径
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 (4) x2+y2-12x+6y+50=0
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求半径 到圆上一点的距离）
（圆心 列关于a，b，r（或D，E，F）的方程 组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F），写出标 准方程（或一般方程）
待定系数法
a b 1 0
a 3
(1 a)2 (1 b)2 r 2 b 2
(2 a)2 (2 b)2 r 2 r 5
圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ( y 2)2 25.
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两 条直线的交点）（常用弦
的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
解1: ∵A(1,1),B(2,-2)
线 线段 段AABB的 的垂 中直 点平 D(分32 ,线 1C2D),的kA方B 程2为2：11y+13.
1
(x
3 ).
23 2
高中数学：第四章 圆与方程
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第四章 圆与方程
例 2 如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C1：(x＋ 3)2＋(y－1)2＝4 和圆 C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线 l 过点 A(4,0)，且被圆 C1 截得的弦长为 2 3，求 直线 l 的方程；
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第四章 圆与方程
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直 的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截 得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件 的点P的坐标．
解 (1)由于直线 x＝4 与圆 C1 不相交， 所以直线 l 的斜率存 在．设直线 l 的方程为 y＝k(x－4)，圆 C1 的圆心到直线 l 的距离为 d，因为直线 l 被圆 C1 截得的弦长为 2 3，所以 d ＝ 22－ 32 ＝ 1. 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 得 d ＝
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第四章 圆与方程
(3)求圆的方程常用待定系数法，此时要善于根据已知条件 的特征来选择圆的方程．如果已知圆心或半径长，或圆心 到直线的距离，通常可用圆的标准方程；如果已知圆经过 某些点，通常可用圆的一般方程． 2．点与圆的位置关系 (1)点在圆上 ①如果一个点的坐标满足圆的方程，那么该点在圆上． ②如果点到圆心的距离等于半径，那么点在圆上．
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第四章 圆与方程
跟踪演练 1 已知圆经过点 A(2，－1)，圆心在直线 2x＋y ＝0 上且与直线 x－y－1＝0 相切，求圆的方程．
解 法一 设圆的方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
第三节 圆的方程
2
≤
|PA|2
|PB|2 2
=2,所以|PA|+|PB|≤2
2 ,当且仅当|PA|=|PB|=
2 时,等
号成立.
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方法技巧 与圆有关的最值问题的四种常见转化法 (1)形如μ= y-b的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题.
x-a
(2)形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问 题. (4)形如|PA|+|PQ|的与圆有关的折线段问题(其中P,Q均为动点),要立足两点: ①减少动点的个数.②“曲化直”,即折线段转化为同一直线上的两线段之 和,一般要通过对称性解决.
(2-a)2 (-3-b)2 r2,
由题意得(-2-a)2 (-5-b)2 r2,
a-2b-3 0,
解得a=-1,b=-2,r2=10,
故所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.
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(3)直线x-y=0和直线x-y-4=0之间的距离为 |-4| =2 2 ,所以圆的半径为 2 .易知
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2.确定圆心位置的方法 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上; (2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上; (3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线. ▶提醒 解答圆的有关问题时,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质.
1-1 圆(x-2)2+y2=4关于直线y= 3 x对称的圆的方程是 ( D )
一般方程的设法
x2+y2-r2=0
x2+y2+Dx+Ey=0
x2+y2+Dx+F=0
圆与方程知识点
1 2 2 ）半径 2 D E 4F
2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关 键能理解）
圆心在原点 圆心在 x 轴上 圆心在 y 轴上 与 x 轴相切 与 y 轴相切 与两坐标轴都相切
x2 y 2 r 2 r 0
2 2 x a y r r 0 2
变式5．求圆 x2 y 2 4 x 12 y 39 0 关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程.
题型二 求轨迹方程与切线方程
例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的 1 比是 的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程
2
例2.从点P(4,5)向圆(x－2)2＋y2=4引切线,求切线方程.
③ M 在圆 C 外 ( x0 a)2 ( y 0 b)2 r 2
三、直线与圆的位置关系判断方法
（1）几何法：由圆心到直线的距离d和圆的半径r的 大小关系来判断。 d=r 为相切， d<r 为相交， d>r为相离。
适用于已知直线和圆的方程判断二者关系。 利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长， 以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。
D F 4, 3 2 2
得圆心坐标为（4，-3）.
变式2（01年全国卷.文）过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆 心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（C）
A.( x 3) ( y 1) 4
2 2
B.( x 3) ( y 1) 4
2 2
C.( x 1) ( y 1) 4
解：将圆的方程写成标准形式有 x2+(y+2) 2=25,所以圆心为(0,-2),半径为 5.因为直线 l 被圆 x2+y2+4y-21=0 所截得的弦长为 4 5 ,所以弦心距为 5 (2 5 ) = 5 ,圆心到直线的距离
最全面的圆的方程
圆的方程1、圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+.2、点与圆的位置关系：已知点()00M ,x y 及圆()()()222C 0：x-a y b r r +-=>，（1）点M 在圆C 外()()22200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()22200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()20CM r x a ⇔=⇔-()220y b r +-=。
3、 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x .当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D C ，半径2422F E D r -+=. 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,2E D . 当0422<-+F E D 时，方程无图形（称虚圆）.注：（1）方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且2240D E AF +->.4、圆的直径式方程：已知1122(,)(,)A x y B x y 是圆的直径的两个端点，则圆的方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=5、圆的参数方程及应用对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达形式cos sin x a R y b R θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数），在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。
一、求最值例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。
圆与方程(学生版)
知识点梳理.圆的方程1、定义：平面内到一个固定点的距离等于一个固定长的点的集合叫做圆；固定点叫圆的圆心；2、 圆的标准方程：()()222,0x a y b r a b r -+-=> 圆心坐标为（）,半径为3、圆的一般方程：22220(D E 4F 0)＋－x y Dx Ey F ++++=>4、圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r 。
222cos ,sin x y r x r y r θθ+===时设5、二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax ，表示圆的方程的充要条件是：①、0≠=C A ；②、B =0；③、0422>-+AF E D .6、几种特殊位置的圆的方程7、圆的方程的求法：待定系数法：①设出圆的方程，②再根据已知条件列出关于a 、 b 、 r 或D 、E 、F 的方程组求解；③将求解 出来的参数带回圆的方程4.直线与圆、圆与圆的位置关系 条件 方程形式圆心在原点 222r y x =+过原点 ()()2222b a b y a x +=-+- ()022≠+b a圆心在x 轴 ()()0222≠=+-r r y a x圆心在y 轴 ()()0222≠=-+r r b y x与x 轴相切 ()()222b b y a x =-+- 与y 轴相切 ()()222a b y a x =-+-与两坐标轴相切()()()0222≠==-+-b a a b y a x圆与方程复习1、直线和圆的位置关系直线方程：0=++C By Ax ，圆的标准方程：()()222r b y ax =-+-，点到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=相离 相切 相交 图形方程观点 0<∆0=∆ 0>∆ 几何观点 r d >r d =r d <交点个数122、两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，d O O =21（用两点间的距离公式求圆心距离） 相离 外切 相交 内切 内含 图形量的关系21r r d +>21r r d +=2121r r d r r +<<-21r r d -= 210r r d -<<公切线的条数 4 32 1 无3、圆的弦长问题设直线方程0:=++c by ax l ，圆的方程：()()22020r y y x x =-+-（1）几何法：过圆心作直线的垂线，则垂足为弦长的中点，则弦长222d r AB -=（2）代数法：解方程组()()⎩⎨⎧=-+-=++220200ry y x x c by ax 消元后可得到关于21x x +，21x x ，21y y +，21y y ，的关系式，则弦长公式()()[]21221241x x x x k AB -++=()[]212212411y y y y k -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=4、切线方程的求解问题（1）过圆222r y x =+上一点()00,y x P 的切线方程是200r yy xx =+（2）过圆()()222r b y a x =-+-上一点()00,y x P 的切线方程是()()()()200r b y b y a x a x =--+--（3）过圆()0402222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 上一点()00,y x P 的切线方程：220000=++∙++∙++F y y E x x D yy xx类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？例2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线0=y 相切且半径为4，则圆心坐标为)4,(a C ，且方程形如2224)4()(=-+-y a x ．又圆042422=---+y x y x ，即2223)1()2(=-+-y x ，其圆心为)1,2(A ，半径为3．若两圆相切，则34+=CA ．故2227)14()2(=-+-a ，解之得1022±=a ．所以欲求圆的典题精讲方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．上述误解只考虑了圆心在直线0=y 上方的情形，而疏漏了圆心在直线0=y 下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上．说明：本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上，从而确定圆心坐标得到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法．例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．说明：本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程例5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解．本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）．还可以运用200r y y x x =+，求出切点坐标0x 、0y 的值来解决，此时没有漏解．例6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程．分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧．说明：上述解法中，巧妙地避开了求A 、B 两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标．从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识．它的应用很广泛．例7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
圆的方程的求解技巧
圆的方程的求解技巧圆是平面几何中的一种基本图形，其特点是由平面上所有与一个点的距离相等的点组成。
圆的方程是表示圆的数学式子，在解题过程中，我们需要掌握一些技巧。
下面将介绍几种常见的圆的方程求解技巧。
1. 根据圆心和半径求解：圆心是圆心坐标为（a，b），半径为r的圆方程可表示为（x-a）² + (y-b)² = r²。
这种情况下，我们已知圆心和半径，直接代入方程即可求解圆的方程。
2. 根据圆上的点求解：如果已知圆上的一点A，其坐标为（x₁，y₁），且已知圆的半径为r，可以通过将点A的坐标带入圆的方程中得到另一个方程，然后与圆的方程联立求解。
例题：已知圆心为（2，3），过点（1，5）的圆的方程。
解答：假设圆的方程为（x-a）² + (y-b)² = r²，已知圆心为（2，3），则方程变为（x-2）² + (y-3)² = r²。
由于点（1，5）在圆上，可代入方程（1-2）² + (5-3)² = r²，即1 + 4 = r²，所以r²=5。
将r²带入方程中，得到（x-2）² + (y-3)² = 5，即为所求的方程。
3. 根据与x轴或y轴的交点求解：如果已知圆与x轴或y轴相交于两点，可以通过坐标轴上的交点来确定圆的方程。
例题：已知圆与x轴和y轴相交于点（4，0）和（0，3）的圆的方程。
解答：设圆心为（a，b），圆的方程为（x-a）²+ (y-b)² = r²。
过点（4，0）的圆的方程为（4-a）²+ (0-b)²= r²，即16 - 8a + a² + b² = r²。
----（1）过点（0，3）的圆的方程为（0-a）²+ (3-b)²= r²，即9 - 6b + b² + a² = r²。
圆的方程公式大全总结
圆方程公式总结
1.圆的定义：在一个平面内，一动点以一定点为中心，以一定长度为距离旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。
圆有无数条对称轴。
在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
2.圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（(a,b)表示圆心的坐标，r 表示圆的半径）
3.圆的周长：C=2πr （r表示圆的半径）
C=πd （d表示圆的直径）
4.圆的面积：S=πr2（r表示圆的半径）
5. 扇形面积：S=nπ r²/360 （n表示圆心角，r表示扇形半径）
S=lr/2 （l为扇形的弧长，r表示扇形半径）
6.圆锥侧面积：S=πr²+πrl （r为圆锥的母线）
7.圆锥的体积：V=πr2h（r为圆锥地面半径，h为圆锥高）。
过原点四点求圆的方程
过原点四点求圆的方程在平面几何中，圆是一种非常重要的图形，它具有许多独特的性质和应用。
在本文中，我们将探讨如何通过过原点四点来求解圆的方程。
我们需要了解什么是圆的方程。
圆的方程是指描述圆的数学公式，它通常采用坐标系中的点的坐标来表示。
对于一个圆来说，它的方程可以表示为：(x-a)² + (y-b)² = r²其中，(a,b)表示圆心的坐标，r表示圆的半径。
这个公式告诉我们，圆上的每一个点都满足这个方程。
现在，我们来看看如何通过过原点四点来求解圆的方程。
假设我们已知圆上的四个点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3)、D(x4,y4)，其中A点在圆上的位置为圆心。
我们可以通过以下步骤来求解圆的方程：1. 求出A点的坐标。
由于A点在圆上，我们可以通过求出BC、CD、DA三条线段的中垂线来确定A点的坐标。
中垂线的交点即为圆心。
2. 求出圆的半径。
我们可以通过求出AB、AC、AD三条线段的长度来确定圆的半径。
这可以通过勾股定理来计算。
3. 将圆心的坐标和半径代入圆的方程中。
我们可以将圆心的坐标代入圆的方程中，然后将半径代入方程中，最终得到圆的方程。
通过以上步骤，我们就可以求解出过原点四点的圆的方程了。
需要注意的是，如果四个点不在同一条直线上，那么这个圆是唯一的。
如果四个点在同一条直线上，那么这个圆不存在。
通过过原点四点来求解圆的方程是一种非常实用的方法。
它可以帮助我们更好地理解圆的性质和应用，同时也可以帮助我们解决实际问题。
希望本文能够对大家有所帮助。
圆的方程圆心
圆的方程圆心
（原创版）
目录
1.圆的定义与性质
2.圆的方程概述
3.圆的方程求解方法
4.圆心与半径的关系
5.圆的实际应用
正文
1.圆的定义与性质
圆是平面上所有到一个固定点的距离相等的点的集合。
这个固定点被称为圆心，而到圆心的距离被称为半径。
圆具有许多重要的性质，如对称性、圆周角、弧长等。
2.圆的方程概述
圆的方程是描述圆在平面上的数学表达式。
通常，圆的方程可以用圆心坐标和半径来表示。
然而，还有其他形式的圆的方程，如极坐标方程和参数方程。
3.圆的方程求解方法
求解圆的方程通常需要用到解析几何的知识。
一般地，我们可以通过以下步骤来求解圆的方程：
（1）确定圆心的坐标
（2）确定半径的长度
（3）根据圆心和半径的关系，列出圆的标准方程
4.圆心与半径的关系
圆心和半径是圆的两个重要参数。
它们之间的关系非常密切，因为圆的性质和方程都可以通过圆心和半径来描述。
具体来说，圆心决定了圆的位置，而半径则决定了圆的大小。
5.圆的实际应用
圆在实际生活中有许多应用，如圆周运动、光学透镜、建筑设计等。
此外，圆也是许多数学问题的基础，如三角学、微积分等。
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4．已知点(0,0)在圆：x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外，则a的 取值范围是________． 【解析 解析】 ∵点(0,0)在圆x2＋y2＋ax＋ay＋2a2＋a－1＝0外， 解析 ∴02＋02＋a×0＋a×0＋2a2＋a－1＞0， 即2a2＋a－1＞0，解得a＞ 或a＜－1. 又a2＋a2－4(2a2＋a－1)＞0.
解得a＝1，r2＝4. 故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 方法二：AB中垂线方程为y＝x，
即圆心为(1,1)，
∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4. 【答案 答案】 C 答案
3．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过点C， 则以C为圆心， 为半径的圆的方程为( )
2 2
2
2
即(D－E)2＋56＝2(D2＋E2－4F)⑤ 又圆心 ∴3D－E＝0⑥ 联立④⑤⑥，解得 D＝－2，E＝－6，F＝1或D＝2，E＝6，F＝1. 故所求圆的方程是x2＋y2－2x－6y＋1＝0 或x2＋y2＋2x＋6y＋1＝0. ，在直线3x－y＝0上，
【方法点评 方法点评】 1.确定圆的方程的主要方法是待定系数法．如 方法点评 果选择标准方程，即列出关于a、b、r的方程组，求a、b、r或直 接求出圆心(a，b)和半径r. 2．如果已知条件中圆心的位置不能确定，则选择圆的一般方 程．圆的一般方程也含有三个独立的参数，因此，必须具备三个 独立的条件，才能确定圆的一般方程，其方法仍采用待定系数法 ．设所求圆的方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 由三个条件得到关于D、E、F的一个三元一次方程组，解方程组确 定D、E、F的值． 3．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径的两端点的圆的方程为(x－ x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
【解析 解析】 解析
(1)设圆心 Q 的坐标为(a，b)，
因为圆 O 与圆 Q 相外切于 P， 6 3 OQ 所以 O、P、Q 共线，且 λ＝ ＝－ ＝－ . 4 2 QP 由定比分点公式求得 a＝－3，b＝3 3. 所以所求圆的方程为(x＋3) ＋(y－3 3) ＝16.
2 2
(2)如图，因为圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分，
2
.
2
N(x＋3，y－4)在圆上，故(x＋3) ＋(y－4) ＝4. 9 因此所求轨迹为圆：(x＋3) ＋(y－4) ＝4，但应除去两点：(－ ， 5
2 2
21 28 12 )和(－ ， )(点 P 在 OM 所在的直线上时的情况)． 5 5 5
【方法点评 方法点评】 1.求方程前必须建立平面直角坐标系(若题 方法点评 目中有点的坐标，就无需建系)，否则曲线就不可转化为方程． 2．一般地，设点时，将动点坐标设为(x，y)，其他与此相 关的点设为(x0，y0)等． 3．求轨迹与求轨迹方程是不同的，求轨迹方程得出方程即 可，而求轨迹在得出方程后还要指出方程的曲线是什么图形．
求圆的方程
求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝ 0截得的弦长为2的圆的方程． 【思路点拨 思路点拨】 由条件可设圆的标准方程求解，也可设圆的一般 思路点拨 方程，但计算较繁琐． 【自主探究 自主探究】 方法一：设所求的圆的方程是 自主探究 (x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则圆心(a，b)到直线x－y＝0的距离为
所以∠AOB=120°. 而圆心到直线3x+4y+15=0的距离
在△AOB中，可求得OA=6，所以所求圆的方程为x2+y2=36. (3)由题意可设圆的方程为λ(x2+y2-4x+2y)+(x2+y2-2y-4)=0， 即(1+λ)x2+(1+λ)y2-4λx+(2λ-2)y-4=0， 圆心坐标为 代入l：2x+4y=1，得λ=3. 所以所求圆的方程为：x2+y2-3x+y-1=0.
【自主探究 自主探究】 自主探究
如图所示，设 P(x，y)，N(x0，y0)，则线段 OP 的
x y x0－3 y0＋4 中点坐标为( ， )，线段 MN 的中点坐标为( ， )． 2 2 2 2 因为平行四边形的对角线互相平分，
x0＝x＋3 x x0－3 y y0＋4 ， ＝ ，从而 故 ＝ 2 2 2 2 y0＝y－4
圆的标准方程 方程 圆心坐标 半径 圆的一般方程
2 2 ＋ ＋ ＝ (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0 － － ＞
(a，b) ， r
3．点与圆的位置关系 已知圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点M(x0，y0)． (x 则：(1)点在圆上： 0－a)2＋(y0－b)2＝r2 (2)点在圆外： (x0－a)2＋(y0－b)2＞r2 (3)点在圆内：(x －a)2＋(y －b)2＜r2 0 0 . ； ；
【答案 答案】 ( 答案
－1－ 7 1 －1＋ 7 ，－1)∪( ， ) 2 3 3
5．过圆x2＋y2＝4外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则 △APB的外接圆方程为________．
【解析 解析】 连接OA、OB，由平面几何知识可知O、A、P、B 解析 四点共圆，故三角形APB的外接圆即为以OP为直径的圆，即圆心 为(2,1)，半径 故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 【答案 答案】 (x－2)2＋(y－1)2＝5 答案
4．确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： 根据题意， (1) 根据题意，选择标准方程或一般方程 ； 根据条件列出关于a (2) 根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组 ； 解出a (3) 解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程 ．
1．方程 x ＋y ＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆的条件是( 1 A. ＜m＜1 4 1 C．m＜ 4
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
|2－0＋b| ＝ 2
【方法点评 方法点评】 1.求与圆有关的最值问题多采用几何法，就是利 方法点评 用一些代数式的几何意义进行转化．如(1)形如m＝ 的最值问题，
可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如t＝ax＋by的最值问题，可 转化为直线在y轴上的截距的最值问题；(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2 的最值问题，可转化为两点间的距离平方的最值问题． 2．特别要记住下面两个代数式的几何意义： 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的直线斜率， y)与原点的距离． 表示点(x，
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 【解析 解析】 直线方程变为(x＋1)a－x－y＋1＝0， 解析
∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5. 即：x2＋y2＋2x－4y＝0. 【答案 答案】 C 答案
【解析 解析】 解析
2
2
2
)
B．m＞1 1 D．m＜ 或 m＞1 4
若方程表示圆，则
2
(4m) ＋(－2) －4×5m＞0， 1 解得 m＜ 或 m＞1. 4
【答案 答案】 D 答案
2．过点A(1，－1)，B(－1,1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上 的圆的方程是( )
A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4 C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4 解析】 方法一：设圆的方程为 【解析 解析 (x－a)2＋(y－2＋a)2＝r2，
1．根据下列条件，求圆的方程： (1)和圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1， )，且半径为4； (2)圆心在原点且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分 的圆的方程； (3)求经过两已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0和C2：x2＋y2－2y －4＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y＝1上的圆的方程．
即2r2＝(a－b)2＋14① 由于所求的圆与x轴相切，∴r2＝b2② 又因为所求圆心在直线3x－y＝0上， ∴3a－b＝0③ 联立①②③，解得 a＝1，b＝3，r2＝9或a＝－1，b＝－3，r2＝9. 故所求的圆的方程是 (x－1)2＋(y－3)2＝9或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9.
方法二：设所求的圆的方程是 x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0， 方法二 D E 1 2 2 圆心为(－ ，－ )，半径为 D ＋E －4F. 2 2 2 令 y＝0，得 x ＋Dx＋F＝0， 由圆与 x 轴相切，得 Δ＝0，即 D ＝4F④ D E 又圆心(－ ，－ )到直线 x－y＝0 的距离为 2 2 D E |－ ＋ | 2 2 ， 2 D E |－ ＋ | 2 2 2 2 2 ) ＋( 7) ＝r ， 由已知，得( 2
第四节 圆的方程
考纲点击
1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程. 1.能利用待定系数法求圆的标准方程和一般方 程.
热点提示
2.直线和圆的位置关系是考查的热点. 3.本部分在高考试题中多以选择、填空的形式 出现，属中低档题目.
1．圆的定义 (1)在平面内，到 定点 的距离等于 定长 的点的集合叫做圆． (2)确定一个圆的要素是 圆心和 半径 ． 2．圆的方程
与圆有关的最值问题
已知实数x、y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0. (1)求 的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值； (3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【自主探究 自主探究】 自主探究
(1)原方程可化为(x－2) ＋y ＝3，表示以
2
2
y (2,0)为圆心， 3为半径的圆， 的几何意义是圆上一点与原点 x y 连线的斜率，所以设 ＝k，即 y＝kx. x 当直线 y＝kx 与圆相切时， 斜率 k 取最大值或最小值， 此时 |2k－0| ＝ 3，解得 k＝± 3. 2 k ＋1 y 所以 的最大值为 3，最小值为－ 3. x