高中数学人教A版选修2-1 空间向量与立体几何 章末小结与测评 课件

[ 典 例 1] 中
已 知 正 方 体 ABCDA1B1C1D1 ，
则 x＝________，y＝________．
解：
1 从而有 x＝1，y＝4. 答案：1 1 4
[ 典例Байду номын сангаас2]
如图所示，已知空间四边形
ABCD，连接 AC，BD，E，F，G 分别是 BC， CD，DB 的中点，请化简(1) AB ＋ BC ＋ CD ； (2) AB ＋ GD ＋ EC ，并标出化简结果的向量．
解：(1) (2)∵E， F， G 分别为 BC， CD， DB 的中点．
[对点训练] 1．已知 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，且|a|＝5，|b|＝6， a1＋a2＋a3 a·b＝30，则 ＝________． b1＋b2＋b3
解析：因为 a· b＝|a||b|· cos〈a，b〉 ，且|a|＝5，|b|＝6，a· b ＝30，所以 cos〈a，b〉＝1，即 a 与 b 同向共线，故可 设 a＝kb(k>0)，即 a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3，又|a|＝5，
证明：如图所示，以 A 为坐标原点，AB， AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴建 立空间直角坐标系 Axyz.
设 PA＝AD＝a，AB＝b.则， (1)P(0，0，a)，A(0，0，0)，D(0，a，0，)，C(b，a， 0)，B(b，0，0)． ∵M，N 分别为 AB，PC 的中点，
b b a a ∴M2，0，0，N2，2，2.
又∵MN⊄平面 PAD，∴MN∥平面 PAD.
b (2)由(1)可知，P(0，0，a)，C(b，a，0)，M2，0，0，
D(0，a，0)．
设平面 PMC 的一个法向量为 n1＝(x1，y1，z1)，则
令 z1＝b，则 n1＝(2a，－b，b)．
∴A1B1⊥平面 AA1C. (2，0， －2)，设平面 A1C1C 的一个法向量 m＝(x1，y1，z1)，
x1＋y1＝0， 即 2x1－2z1＝0，
令 x1＝1，则 y1＝－1，z1＝1，即 m＝(1，－1，1)． ∴ ∴ · m＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0， ⊥m.
又 AB1⊄平面 A1C1C， ∴AB1∥平面 A1C1C.
1 2 ＝2(b －a2＋c· b－c· a)．
又∵A1A⊥AD，A1A⊥AB，∴c· b＝0，c· a＝0. ∵|b|＝|a|，∴b2＝a2. ∴b2－a2＝0.
∴MN⊥BD. 同理可证，MN⊥A1B，又 A1B∩BD＝B， ∴MN⊥平面 A1BD.
[对点训练] 3．如图所示，已知 PA⊥平面 ABCD，ABCD 为矩形，PA＝AD，M，N 分别为 AB，PC 的中点．求证： (1)MN∥平面 PAD； (2)平面 PMC⊥平面 PDC.
设 AB＝2，则 A(0，0，0)，B1(0，2，2)，A1(0，0，2)， C(2，0，0)，C1(1，1，2)． (1) 设平面 AA1C 的一个法向量 n＝(x，y，z)，
－2z＝0， x＝0， 即 即 2x＝0， z＝0.
取 y＝1，则 n＝(0，1，0)．
∴p＝(1，－1，－1)．
设直线 l，m 的方向向量分别为 a，b，平面 α，β 的 法向量分别为 u，v，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R；
(2)线面平行(l⊄α )：l∥α⇔a⊥u⇔a· u＝0； (3)面面平行：α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R； (4)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a· b＝0； (5)线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； (6)面面垂直：α⊥β⇔u⊥v⇔u· v＝0.
2 2 2 2 2 |b|＝6，所以 k2(b2 1＋b2＋b3)＝25，(b1＋b2＋b3)＝36，因此
a1＋a2＋a3 5 5 k＝6，故 ＝k＝6. b1＋b2＋b3 5 答案：6
2．已知 a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)． (1)若 c＝(m，2，n)且 a∥c，求 c； (2)若 p＝(1，x，y)且 a⊥p，b⊥p，求 p.
空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、 数量积 运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算 律与平面向量基本一致． 空间向量的运算是其应用的前提和基础， 尤其是两个向 量的数量积是应用的重点， 空间向量运算的坐标表示是立体 几何中的证明、计算转化成代数问题的唯一通道，尤其是立 体几何中的开放性问题可转化成代数中的解方程问题， 从而 得到简单的解答．
解：(1)∵a∥c，∴设 c＝λa. ∴(m，2，n)＝λ(2，－3，5)， 4 10 ∴m＝－3，n＝－ 3 ，
4 10 ∴c＝－3，2，－ 3 .
(2)∵a⊥p，b⊥p， ∴a· p＝0，b· p＝0，
2－3x＋5y＝0， x＝－1， ∴ 解得 －3＋x－4y＝0， y＝－1，
[典例 4]
如图，正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分
别为 AB，B1C 的中点．
(1)用向量法证明平面 A1BD∥平面 B1CD1； (2)用向量法证明 MN⊥平面 A1BD.
证明：(1)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，
∴BD∥B1D1. 同理可证 A1B∥D1C，又 BD∩A1B＝B，B1D1∩D1C＝ D1，所以平面 A1BD∥平面 B1CD1.
[ 典例 3]
如图，在多面体 ABCA1B1C1 中，四边形 1 2BC，二
A1ABB1 是正方形，AB＝AC，BC＝ 2AB，B1C1 面角 A1­AB­C 是直二面角．
求证：(1)A1B1⊥平面 AA1C； (2)AB1∥平面 A1C1C.
证明：∵二面角 A1­ABC 是直二面角， ∴平面 A1ABB1⊥平面 ABC. 又∵AB＝AC，BC＝ 2AB， ∴∠CAB＝90°，即 CA⊥AB. ∴AB，AC，AA1 两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系，