平面向量章末总结

A组
专项基础训练 → →
→ → → → AB AC → 因为非零向量AB与AC满足 BC＝0，所以∠BAC 的平分 → ＋ → · |AB| |AC| 线垂直于 BC，所以 AB＝AC. → → AB AC 1 π 又 cos∠BAC＝ · ＝ ，所以∠BAC＝3. → → 2 |AB| |AC|
a
2
求夹角公式： cos a, b 向量坐标运算
a b ab
三．平面向量的两个重来自百度文库定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯 一一个实数λ，使b＝λa.
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只 有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一 组基底．
6．(浙江高考)若平面向量α、β满足|α|＝1， |β|≤1，且以向量α、β为邻边的平行四边形的面 积为1/2，则α与β的夹角θ的取值范围是 ____________．
7.今有一小船位于d＝60 m宽的河边P处，从这里起，在 下游l＝80 m处河流有一瀑布，若河水流速方向由上游指 向下游(与河岸平行)，水速大小为5 m/s，如图，为了使 小船能安全渡河，船的划速不能小于多少？当划速最小 时，划速方向如何？
→ → → → → AB AC AB AC 1 · 4． 在△ABC 中， 已知向量AB与AC满足 ＋ BC＝ 0 且 · ＝ ， → → → → 2 |AB| |AC| |AB| |AC | 则△ABC 为 A．等边三角形 C．等腰非等边三角形 B．直角三角形 D．三边均不相等的三角形 (A )
章末总结 （第二章）
一.向量相关概念
1.零向量:模的大小为 0 ，方向是任意的 .
它与任意向量都 共线 ，记为0.
2.单位向量:模的大小为 1
a
，与a同向的单位向量为 a
.
3.平行向量 ： 方向相同或相反 的向量，也叫 共线向量 . 4.向量的投影 ：|b|cos〈a，b〉 叫做向量b在向量a方向上 的投影．
3
A.2
B.
3
C.
2
D.1
3．已知 a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若 a 与 b 的夹角为钝角，则 3 (－∞，－6)∪－6，2 λ 的取值范围是________________________ ．
3 由 a· b<0，即 2λ－3<0，解得 λ< ，由 a∥b 得： 2
3 6＝－λ，即 λ＝－6.因此 λ<2，且 λ≠－6.
解 析
所以△ABC 为等边三角形．
B组
专项能力提升
B
解 析
→ → → → → → → → → AO· BC＝AO· (AC－AB)＝AO· AC－AO· AB， 1→ → → 因为 OA＝OB，所以AO在AB上的投影为2|AB|， → → 1→ → 所以AO· AB＝2|AB|· |AB|＝2， → → 1→ → 9 同理AO· AC＝2|AC|· |AC|＝2， 5 → → 9 故AO· BC＝2－2＝2.
a•b＝0
四．易错点 (1) 0 与0的区别； (2) 向量共线与直线共线的联系与区别； (3)由a∥b，b∥c不能推出a∥c；
(4)若a∥b ，不一定有a＝λb； （5）若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且a∥b，不一定有
x1 y1 ； x2 y 2
(6)若 a b a c a 0 ，则不一定有 b c
OB =b，则AOB 是向量a与 5.向量的夹角 ：设 OA =a， b的夹角.（共起点）
二.向量相关运算
（1）向量加法： 可运用三角形法则或平行四边形法 . （2）向量的减法： 三角形法则 . 注：指向被减
（3）向量的数乘：实数λ 与向量a的积是一个向量， 记作λa . （4）向量数量积：a ⋅ b = 求模公式： a |a ||b| cosθ
(7) a bc ab c ；
；
练习1：
已知向量 AB与 AC 的夹角为 120°，且 AB 3， AC 2
若 AP AB AC, AP BC ，则

7 12
.
1 练习2.设向量 a, b, c 满足| a|=|b|=1 ， a b , 2 ,则 | c | 的最大值为（ ） A a c, b c
三点共线定理：平面上三个点共线的充要条件是存在实 数α 、β ，使 OA OB OB ，其中α + β =1.
四．平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b⇔ (2)a⊥b⇔ a＝λb ⇔ ⇔ x1y2－x2y1＝0. x1x2＋y1y2＝0.