高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念
]高二数学选修4-2 矩阵与变换ppt课件
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1
0
的特征向量为 0 和 1
10 x
1
0
= x· +(–y) ·
0 -1 y
0
1
矩阵只改变其特征向量的长度不改变其方向
22
矩阵的特征向量是在变换下“基本” 不变的量
23
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
M0(x0,y0）且平行于非零向量 的直线l的方程为
v0
v1
v2
14
矩阵表示的变换，把直线或者变成 直线，或者变成一个点
给量向定量OuuMuM矩uur0v阵'变0。M成,它向把量点OuuMMuu0ur0变，成点M把M向0’，量即v0把变向成 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点
高中数学选修４- 2
矩阵与变换
1
主要内容
通过几何变换讨论二阶方 阵的乘法及性质、矩阵的逆 和矩阵的特征向量，初步展 示矩阵应用。
2
特色
突出矩阵的几何意义
从具体到一般，从直观到抽象
用实例展示矩阵应用广泛性
3
矩阵---几何变换的代数表示
几何代数化----向量 平面几何变换 : 二阶矩阵乘向量
X’，根据矩阵变换的性质有
15
矩阵乘法的几何意义——变换的合成 乘法满足结合律，不满足交换律
1/2 0 0 –1 的变换过程(先旋转后压缩):
0 1 10
0 –1 1/2 0 的变换过程(先压缩后旋转):
10 01
16
逆变换与逆矩阵
伸压变换之逆为伸压变换
1/2 0 01
20 01
20 01
1/2 0 01
高等数学教材矩阵
高等数学教材矩阵在高等数学教材中，矩阵是一个重要的概念。
矩阵具有广泛的应用，并在许多领域中起着关键作用，如线性代数、概率论、计算机图形学等等。
本文将详细介绍矩阵的定义、基本运算、特殊矩阵等内容，以帮助读者更好地理解和应用矩阵。
一、矩阵的定义矩阵是一个由m行n列元素排列成的矩形阵列。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵中的每个元素可以是任意的数值，可以是实数或复数。
我们用大写字母A、B等来表示矩阵。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法：对于两个行数和列数相同的矩阵A和B，它们的和记作A + B，即A和B的对应元素相加得到新的矩阵。
2. 矩阵的数乘：将一个矩阵A的每个元素都乘以一个常数k，得到新的矩阵kA。
3. 矩阵的乘法：对于一个m行n列的矩阵A和一个n行p列的矩阵B，它们的乘积记作AB，即A的行与B的列相乘，得到一个新的m行p列的矩阵。
三、特殊矩阵1. 零矩阵：所有元素均为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。
2. 单位矩阵：主对角线上的元素均为1，其余元素均为0的矩阵称为单位矩阵，用I表示。
3. 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其余元素都为0的矩阵称为对角矩阵。
4. 转置矩阵：将矩阵A的行和列对调得到的新矩阵称为A的转置矩阵，记作A^T。
四、矩阵的性质与定理1. 矩阵的加法具有交换律和结合律。
2. 数乘与矩阵的加法满足分配律。
3. 矩阵的乘法具有结合律，但一般不满足交换律。
4. 矩阵的转置满足转置的转置法则，即(A^T)^T = A。
五、矩阵的应用1. 线性方程组的求解：矩阵可用于解决线性方程组，通过矩阵的运算，可以转化为求解矩阵的逆或行列式等问题。
2. 矩阵的特征值与特征向量：通过矩阵的特征值和特征向量，可以研究矩阵的稳定性、振动问题等。
3. 矩阵在图像处理中的应用：计算机图形学中，矩阵可以用于表示和处理图像，如图像的旋转、缩放、平移等操作。
总结：矩阵是高等数学中的重要概念，具有广泛的应用。
01矩阵的概念
组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素。
1 80 90 3 60 85
21矩阵 2 2矩阵
2 3 m
3 2
4
2 3矩阵
所有元素均为0的矩阵叫做0矩阵.
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等， 且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
a11 a12 称为行矩阵（仅有一行），
a11 a12
称为列矩阵（仅有一列）,用，
表示列矩阵.
向量a (x, y)和平面上的点P（x, y)都可以
看成行矩阵 x
思考：
用矩阵Ｍ＝０ ０１２３２４０ 表示平面中的图形， 请问：该图形有什么几何特征 ?
课堂小结
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示； 3.相等的矩阵; 4.用矩阵表示实际生活中的问题 ，数学问 题.
y,
也可以看成列矩阵
x y
.
x
y
称为行向量， xy
称为列向量.
习惯上，我们把平面上的向量（x, y)的坐标
写成列向量
xy 的形式.
P(x, y) 一一对应 平面向量OP
xy既表示点（x, y)，也表示以O（0，0）
普通高中课程标准实验教科书（选修４-2）
矩阵与变换
二阶矩阵与平面向量
高三数学备课组
南京市东山外国语学校
矩阵的概念
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
2019版高考新创新一轮复习理数江苏专版课件：第十二章 第一节 选修4-2《矩阵与变换》
当 λ＝－1 时，由－4x－2x＋2y＝y＝00， 得矩阵 A 的属于特征值－1 的
一个特征向量为12， 当 λ＝3 时，由24xx＋＋y2＝y＝0，0 得矩阵 A 的属于特征值 3 的一个特
征向量为－12.
3.[考点二]
(2018·苏北四市期末)已知矩阵 A＝1－12
－82＝－ －1246.
2.[考点二]曲线 C1：x2＋2y2＝1 在矩阵 M＝01 12的作用下变换 为曲线 C2，求 C2 的方程． 解：设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2 ＋2y2＝1上与P对应的点，
则01
考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”
矩阵的运算
[例 1]
(1)已知 A＝01 00，B＝0－11 0，C＝－ 0 1－01，
计算 AB，AC.
(2)已知 A＝10 00，B＝00 10，计算 AB.
1 (3)已知 A＝12
02 突破点(二) 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
基础联通 抓主干知识的“源”与“流”
1．逆矩阵 对于二阶矩阵 A，B，若有 AB＝BA＝E，则称 A 是_可__逆_ 的，B 称为 A 的逆矩阵． 2．二阶行列式 我们把ac db称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值 (或多项式)，记为 det(A)＝ ad－bc .
求曲线 C′的方程． 解：(1)设 M＝ca db，
b＋d b＝30
22，
a＝0， 得ab＋ ＝c2＝，3，
b＋d＝2，
∴a＝0，b＝2，c＝3，d＝0.∴M＝03 20.
能力练通 抓应用体验的“得”与“失”
1.[考点一]已知矩阵 M＝13 24，α＝12，β＝－03，求 M(2α＋4β)．
一轮复习配套讲义：选修4-2 矩阵与变换.pdf
选修4－2 矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 其中A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 诊 断 自 测1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －12－1212，则AB ＝________. 解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1212 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析 ∵A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 00 14 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 56 2，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一 矩阵与变换【例1】 (2014·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T . 解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c bd ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1；T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解 依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1， 故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12. 从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求． 规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二 由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132，(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)， 得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 规律方法 已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ－a )－c －b(λ－d )＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎪⎨⎪⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (2014·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1－13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－311λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】 二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 .(3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误． 【自主体验】(2014·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101. 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1 4．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析 取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14－26.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤121的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点，则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．解析 由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________．解析 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，d ＝0.所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10.答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10 二、解答题10．(2012·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!， 于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1a －1b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339.12．(2012·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y .又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 02 1. 所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.。
高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版
a b x bx ax＋by ＋ ＝ ，这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质 ． 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， ， 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝ ＝ c x b ＝ ，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋ 向量 ，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即 法．
a Aa＝ ＝ c
理科
│要点探究
【点评】 要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常 点评】 要理解二阶矩阵变换的定义， 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点． 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题 已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分 ， 分 别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ， ，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义 ． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由 ，，， 矩阵． 矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换 ． (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是
选修4-2 矩阵与变换 第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I ，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换．(2)设A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B ，使得BA ＝AB ＝E ，则称矩阵A 可逆，或称矩阵A 是可逆矩阵，并且称B 是A 的逆矩阵．(3)(性质1)设A 是一个二阶矩阵，如果A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的，A 的逆矩阵记为A －1.(4)(性质2)设A ，B 是二阶矩阵，如果A ，B 都可逆，则AB 也可逆，且(AB )－1＝B －1A－1.(5)二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd 可逆，当且仅当det A ＝ad －bc ≠0时，A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤d det A －b det A －c det A a det A . 2．二阶行列式与方程组的解对于关于x ，y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n 记为D y，则当D ≠0时，方程组的解为⎩⎨⎧x ＝D x D.y ＝DyD .3．矩阵特征值、特征向量的相关概念 (1)定义：设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得A ξ＝λξ，则称λ是矩阵A 的一个特征值，ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2)一般地，设ξ是矩阵A 的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k ，kξ也是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量．(3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线． (4)设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，称f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A 的特征多项式，方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0为矩阵A 的特征方程．4．特征向量的应用(1)设A 是一个二阶矩阵，α是矩阵A 的属于特征值λ的任意一个特征向量，则A n α＝λn α(n ∈N *)．(2)性质1 设λ1，λ2是二阶矩阵A 的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A 的分别属于特征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t 1ξ1＋t 2ξ2(其中t 1，t 2为实数)，则对任意的正整数n ，有A n α＝t 1λn 1ξ1＋t 2λn2ξ2.1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0的逆矩阵是________．答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－12．若矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 35 k 可逆，则k 的值不可能是________．答案：1523．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－a 21 a ＋1不可逆，则实数a 的值为________．解析：由题意|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 1－a 21 a ＋1 ＝2×(a ＋1)－1×(1－a 2)＝a 2＋2a ＋1＝0，∴a ＝－1.答案：－14．对任意实数x ，矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 3＋m 2－m 2总存在特征向量，则m 的取值范围是________．解析：由条件得f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－x －3－m m －2 λ－2 ＝(λ－x )(λ－2)－(m －2)(－3－m )＝λ2－(x ＋2)λ＋2x ＋(m ＋3)(m －2)＝0有实数根，所有Δ1＝(x ＋2)2－4(2x ＋m 2＋m －6)≥0对任意实数x 恒成立， 所以Δ2＝16＋4(4m 2＋4m －28)≤0， 解得m 的取值范围是－3≤m ≤2. 答案：－3≤m ≤2.5．已知矩阵M 的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，并有特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2.则矩阵M ＝________.解析：设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤88， 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，c ＋d ＝8，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－4，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2b ＝2，c －2d ＝－4，联立以上两个方程组解得a ＝6，b ＝2，c ＝4，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 24 4.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤6244例1 求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 221的逆矩阵．【解析】 法一：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3x ＋2z 3y ＋2w 2x ＋z 2y ＋w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 故⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2z ＝1，2x ＋z ＝0，且⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋2w ＝0，2y ＋w ＝1，解得x ＝－1，z ＝2，y ＝2，w ＝－3，从而矩阵A 的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 2 2 －3. 法二：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 22 1，∴det A ＝－1.∴A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－1 －2－1－2－1 3－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 22 －3.【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法．1．已知变换矩阵A 把平面上的点P (2，－1)、Q (－1,2)分别变换成点P 1(3，－4)、Q 1(0,5)． (1)求变换矩阵A ；(2)判断变换矩阵A 是否可逆，如果可逆，求矩阵A 的逆矩阵A －1：如不可逆，请说明理由．【解析】 (1)假设所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，依题意，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－4及⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤05，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －b ＝3，2c －d ＝－4，－a ＋2b ＝0，－c ＋2d ＝5，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝2所以所求的变换矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 1－1 2(2)∵det A ＝2×2－(－1)×1＝5， ∴A 可逆A －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫25 －15－1(－1)525＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫251－51525.步骤-求⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2的逆矩阵-求方程组的解例2 (1)求矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.【解析】 (1)法一：设矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1.解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2.∴A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －3－1 2.法二：∵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2， ∴|A |＝4－3＝1，∴A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 －31－11 21＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－12.(2)二元一次方程组的系数矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，由(1)知A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 2. 因此方程⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤13. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 2 －3－1 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7 5.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－7，y ＝5. 【点评】 二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋b 1y ＝c 1a 2x ＋b 2y ＝c 2(a 1，b 1不同时为零，a 2，b 2不同时为零)的系数矩阵为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1 b 1a 2 b 2，只有当|A |≠0时，方程组有唯一解A －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤c 1c 2，若|A |＝0，则方程组有无数解或无解．2．用矩阵方法求解二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝8，4x －5y ＝2.解析：原方程组可以写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤82，记M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 14 －5，其行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 14 －5＝2×(－5)－1×4＝－14≠0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤514 11427－17. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝M －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤82＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，即方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2例3 给定矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－14，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.(1)求A 的特征值λ1，λ2及对应特征向量α1，α2；(2)求A 4B .【解析】 (1)设A 的一个特征值为λ，由题意知：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤λ－1 －21 λ－4＝0，即(λ－2)(λ－3)＝0，解得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值2的特征向量α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21； 当λ2＝3时，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－1 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得A 属于特征值3的特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11(2)由于B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝α1＋α2.故A 4B ＝A 4(α1＋α2)＝(24α1)＋(34α2)＝16α1＋81α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3216＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤8181＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11397. 【点评】 求矩阵的特征值及对应的特征向量是矩阵与变换的重点和难点，解决此类问题首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相应的特征向量．请注意每一个特征值对应无数个特征向量，选择坐标为整数的解就能使后面计算简单、方便．3．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ，若矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，求矩阵A ，并写出A 的逆矩阵．解析：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11可得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，即c ＋d ＝6；由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－2，可得⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 3c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 3－2，即3c －2d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，d ＝4，即A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 32 4.A 的逆矩阵是⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －12－13 12.一、填空题 1．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 3a6可逆，则实数a 的取值范围是________．解析：矩阵A 可逆当且仅当det(A )≠0， 即6－3a ≠0，∴a ≠2，∴a 的取值范围为(－∞，2)∪(2，＋∞)． 答案：(－∞，2)∪(2，＋∞)2．设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 3232 －12，则矩阵M 的特征向量可以是________．解析：矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－12 －32－32 λ＋12＝λ2－1.由于f (λ)＝0得矩阵M 的特征值为 λ1＝1，λ2＝－1.经计算可得，矩阵M 属于特征值λ＝1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤31，而属于特征值λ＝－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－3.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－33．设可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 34 5的逆矩阵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b c a －1，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：由AA －1＝E得⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ab ＋3a ac －34b ＋5a 4c －5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1， 即⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝3，4b ＋5a ＝0，4c －5＝1，ab ＋3a ＝1解方程组得a ＝2，b ＝－52，c ＝32.答案：2 －52 324．已知二元一次方程组⎩⎨⎧22x －22y ＝－1，22x ＋22y ＝1，从线性变换的角度求解时应把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1绕原点作顺时针旋转________的旋转变换．解析：因为方程组⎩⎨⎧22x －22y ＝－1，22x ＋22y ＝1，的矩阵形式是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22 －222222⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1，它是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 绕原点作逆时针旋转π4变换得到⎣⎢⎡⎦⎥⎤－11，所以解方程组就是把向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1绕原点作顺时针旋转π4的旋转变换．答案：π45．A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－3232 12，则A －1＝________.解析：A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－101 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－32－1－323212， ∵|A |＝1－32×12－－1－32×32＝1≠0.∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－32 1－32. 答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 1＋32－32 1－326．现用矩阵对信息进行加密后传递，规定英文字母数字化为：a →1，b →2，…，z →26，双方约定的矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 402，发送方传递的密码为67,30,31,8，此组密码所发信息为________．解析：因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 40 2，所以det A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 40 2＝2≠0，所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 12，而密码矩阵为B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤67 3130 8，故明码矩阵X ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －20 12 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤67 3130 8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7 1515 4，对应信息为“good ”．答案：good7．矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252 3的特征值与特征向量分别为________． 解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ＋1 －2－52 λ－3＝(λ＋1)(λ－3)－(－2)(－52)＝λ2－2λ－8＝0，得矩阵M 的特征值为λ1＝4，λ2＝－2.设属于特征值λ1＝4的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则它满足方程(λ1＋1)x ＋(－2)y ＝0，即5x －2y ＝0.故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤25为属于特征值λ1＝4的一个特征向量． 设属于特征值λ2＝－2的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，同理可得x ＋2y ＝0.故可取⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．综上所述，矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1252 3有两个特征值λ1＝4，λ2＝－2，属于λ1＝4的一个特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25；属于λ2＝－2的一个特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1. 答案：λ1＝4，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25和λ2＝－2，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1 8．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足方程AX ＝B 的二阶矩阵X ＝________. 解析：∵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －1－4 3， ∴|A |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2 －1－4 3＝2×3－(－1)×(－4)＝2≠0. ∴A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1.∵AX ＝B ，∴X ＝A －1B ， ∴X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤32 122 1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤4 －1－3 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1.答案：⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －15 －1 二、解答题9．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 2－2 －3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 31 2，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0，求满足AXB ＝C 的矩阵X .解析：AXB ＝C ，所以(A －1A )XB ·B －1＝A －1CB －1而A －1AXB·B －1＝EXBB －1＝X (BB －1)＝X ，所以X ＝A －1CB －1因为A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1， B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2， 所以X ＝A －1CB －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 －22 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 －31 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2 －3－1 2 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1. 10．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤624 4.(1)求矩阵A 的特征值及对应的特征向量；(2)计算矩阵A n .解析：(1)矩阵A 的特征方程为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 －2－4 λ－4＝(λ－6)(λ－4)－8＝λ2－10λ＋16＝0. 得矩阵A 的特征值为λ1＝8，λ2＝2.当λ1＝8时，A 属于λ1的特征向量为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11；当λ2＝2时，A 属于λ2的特征向量为α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2. (2)设A n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d A n α1＝8n α1，A n α2＝2n α2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8n 8n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2n－2·2n ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8nc ＋d ＝8n a －2b ＝2n c －2d ＝－2·2n 解得a ＝2×8n ＋2n 3，b ＝8n －2n 3， c ＝2×8n －2n ＋13，d ＝8n ＋2n ＋13. 故A n ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2×8n ＋2n 3 8n －2n 32×8n －2n ＋13 8n ＋2n ＋13. 11．给定矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2，向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.(1)求证：M 和N 互为逆矩阵；(2)求证：向量α同时是M 和N 的特征向量；(3)指出矩阵M 和N 的一个公共特征值．解析：(1)证明：因MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，且NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤211 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，所以M 和N 互为逆矩阵．(2)证明：因为Mα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤23 －13－13 23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量．因为Nα＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 11 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1， 所以α是N 的特征向量． (3)由(2)知，M 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值为1，N 对应于特征向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1的特征值也为1，故1是矩阵M 和N 的一个公共特征值．12．(2011年福建)设矩阵M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a00 b (其中a >0，b >0)①若a ＝2，b ＝3，求M 的逆矩阵M －1；②若曲线C ：x 2＋y 2＝1，在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ′：x 24＋y 2＝1，求a ，b 的值． 解析：①设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2，则MM －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1 y 1x 2 y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1. ∴2x 1＝1,2y 1＝0,3x 2＝0,3y 2＝1.即x ＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13. ∴M －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1200 13. ②设C 上任一点P (x ，y )，在M 作用下得点P ′(x ′，y ′)则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x ′by ＝y ′又点P ′(x ′，y ′)在C ′上，所以x ′24＋y ′2＝1. 即a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程． 又C 的方程为x 2＋y 2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，b 2＝1.又a >0，b >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1.。
【苏教版】高中数学选修4-2《矩阵与变换》.1.1 矩阵的概念
选修4－2矩阵与变换 2.1.1 矩阵的概念编写人： 编号：001学习目标1、 了解矩阵的产生背景,并会用矩阵形式表示一些实际问题。
2、 了解矩阵的相关知识，如行、列、元素、零矩阵的意义和表示。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解决下列问题：问题1：已知向量OP ，O(0,0),P(1,3).因此把)3,1(=OP ，如果把OP 的坐标排成一列，可简记为 。
问题2：某电视台举办歌唱比赛，甲乙两名选手初、复赛成绩如下表，并简记为问题3：将方程组⎩⎨⎧=+-=++2423132z y x mz y x 中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列，并简记为（二）建构数学1. 矩阵:我们把形如⎥⎦⎤⎢⎣⎡31，⎥⎦⎤⎢⎣⎡85609080，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-42332m 这样的矩形数字阵列称为矩阵。
用大写黑体拉丁字母A,B,…来表示矩阵2. 矩阵的行：3. 矩阵的列：4. 矩阵的元素：5. 零矩阵：6. 行矩阵：7.列矩阵：练习征？问该图形有什么几何特表示平面中的图形，请现用矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=02204310M 二、课堂训练：例1．用矩阵表示ABC ∆，其中A(-1,0),B(0,2),C(2,0)例2．某种水果的产地为21,A A ,销地为21,B B ，请用矩阵表示产地i A 运到销地j B 水果数量)(ij a ，其中,2,1,2,1==j i例3．已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，若A=B ，试求z y x ,,例4.的量。
两矿区向三个城市送煤万吨。
请用矩阵表示从万吨、万吨、送煤的量分别是万吨；从乙矿区向城市万吨、万吨、是送煤的量分别矿区向城市向三个城市送煤：从甲某公司负责从两个矿区820360400,,160240200,,C B A C B A三、课后巩固：1、写出方程组⎩⎨⎧-=+=-2312my x y x 变量x,y 的系数矩阵.2、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=c b d a A 23,⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=d a c b B 245，若A=B ，求a ，b ，c ，d.3、“两个矩阵的行数和列数相等”是“两个矩阵相等”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件是C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件4、已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡b a 2000是一个正三角形的三个顶点坐标所组成的矩阵，求a ，b.5. 已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=1sin cos sin cos 1ββααA ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1221B 若A=B ，求α，β.。
高中数学选修42矩阵与变换知识点复习课课件苏教
轴，定点称为反射点.
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12
M(l1l2b) l1Ml2Mb
上式表明，在矩阵M的作用下，直线
l1l2b 变成直线 l1Ml2Mb.
这种把直线变成直线的变换，通常叫做 线性变换。
(即形如
x' y'
ax cx
by dy
的几何变换叫做线性变换)
反之，平面上的线性变换可以用矩阵来
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16
2.3 变换的复合与矩阵的乘法
2.3.1 矩阵乘法的概念 2.3.2 矩阵乘法的的简单性质
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17
建构数学 规定：矩阵乘法的法则是:
a be f aebg afbh c dg hcedg cfdh
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18
建构数学 矩阵的乘法的几何意义：
矩阵乘法MN的几何意义为：对向量连续 实施的两次几何变换(先TN,后TM)的复合变换.
矩阵与变换
淮安市楚州中学陈军
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1
2.1 二阶矩阵与平面向量
2.1.1 矩阵的概念
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵;
2.矩阵的表示；
3.相等的矩阵;
2.1.2 二阶矩阵与平面列向量的乘法 1.二阶矩阵与平面向量的乘法规则; 2.理解矩阵对应着向量集合到向量集合的映射; 3.待定系数法是由原象和象确定矩阵的常用方法.
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2
形
如
1 3
,
80
6
0
9 0 2
8
5
,
3
3 2
m
4
的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵.通常用大写黑
高二数学选修4-2~2.1.1矩阵的概念课件
13 6 2i 例如 2 2 2 是一个3 阶方阵. 2 2 2
称为行矩阵(或行向量)..
(2)只有一行的矩阵 A a1 , a2 ,, an ,
★意义建构：归纳新知
只有一列的矩阵 a1 a2 B , 称为列矩阵(或列向量). a n 不全为0 1 0 0 O 0 0 的方阵, 称为对角 2 （3）形如 矩阵(或对角阵). O 0 0 n
1 2 3 4 2 1 1 2 1 4 2 7
u 2 v 3 w 4 2u v w 2 u 4v 2 w 7
1 2 1
2 1 4
3 1 2
★例题分析 2 x m n x y 例５设Ａ＝ . y 3 , B＝ 2 x - y m n , 若Ａ＝Ｂ， 求x, y, m, n的值.
★意义建构：归纳新知
(5)单位矩阵
1 0 0 1 E En O 0 0
0 O 0 1
全为1
称为单位矩阵（或单位阵）.
3.同型矩阵与矩阵相等 (1)两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.
★意义建构：归纳新知
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9
mn aij
★意义建构：归纳新知
主对角线 a11
a 21 A a 副对角线 m 1
a12 a 22 am1
a1 n a2n a mn
矩阵A的 m , n元
简记为 A Amn aij aij . m n
选修4-2矩阵与变换知识点
1．二阶矩阵的乘法
一般的，设
A=
⎡a1
⎢ ⎣
c1
b1 d1
⎤ ⎥ ⎦
，B=
⎡ ⎢ ⎣
a2 c2
b2 d2
⎤ ⎥ ⎦
，则
AB=
⎡ ⎢ ⎣
a1 c1
b1 ⎤ ⎡a2
d1
⎥ ⎦
⎢ ⎣
c2
b2 d2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a1a2 ⎢⎣c1a2
+ +
b1b2 d1c2
a1b2 + b1d2 ⎤
c1b2
+
d1 d2
⎥ ⎦
4．逆矩阵的性质 （1）性质 1 设 A 是一个二阶矩阵，如果 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵是唯一的． （2）性质 2 设 A，B 是二阶矩阵，如果 A，B 都可逆，则 AB 也可逆，且（AB）-1=B-1A-1． 5．逆矩阵的判定及求法
定理：二阶矩阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤ ⎥ ⎦
是可逆的，当且仅当
令 f (λ)=0，求出矩阵 A 的特征值 ξ1，ξ2 ;（3）分别就 ξ1，ξ2 列出相应的二元一次方程组， 求出对应的特征向量ξ1，ξ2 ．
阵
A=
⎡a ⎢⎣c
b d
⎤⎥可逆时，那么该方程组有唯一解 ⎦
⎡x
⎢ ⎣
y
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡a ⎢⎣c
b d
−1
⎤ ⎥ ⎦
⎡e
⎢ ⎣
f
⎤ ⎥
．
⎦
（ 2）推论
关于变量
x,y
的二元一次方程
组
⎧ ⎨ ⎩
ax cx
+ +
by dy
选修4-2矩阵与变换知识点讲解
四、简单应用
1.设矩阵A=，求点P(2,2)在A所对应的线性变换下的象。
练习：P13 1.2.3.4.5
【第一讲.作业】
1.关于x轴的反射变换对应的二阶矩阵是
2.在直角坐标系下，将每个点绕原点逆时针旋转120o的旋转变换对应的二阶矩阵是
3.如果一种旋转变换对应的矩阵为二阶单位矩阵，则该旋转变换是
4.平面内的一种线性变换使抛物线的焦点变为直线y=x上的点，则该线性变换对应的二阶矩阵可以是
5.平面上一点A先作关于x轴的反射变换，得到点A1,在把A1绕原点逆时针旋转180o，得到点A2，若存在一种反射变换同样可以使A变为A2，则该反射变换对应的二阶矩阵是
6.P（1，2）经过平行于y轴的切变变换后变为点P1(1,-5)，则该切变变换对应的坐标公式为
7. 设，，且A=B.则x＝
8.在平面直角坐标系中，关于直线y=-x的正投影变换对应的矩阵为
9.在矩阵对应的线性变换作用下，点P(2,1)的像的坐标为
12. 13. 14.y=-2x(－2≤x≤2)、y=0(－2≤x≤2)、 15. ＝
第三讲 矩阵乘法的性质·逆变换、逆矩阵
二、矩阵乘法的性质
1.设Ａ＝，Ｂ＝，Ｃ＝由A、B、C研究矩阵是否满足，①结合律；②交换律；③消去律。
结论：
2.由结合律研究矩阵Ａ的乘方运算。
3.单位矩阵的性
第二讲 线性变换的性质·复合变换与二阶矩阵的乘法
一、数乘平面向量与平面向量的加法运算
1.数乘平面向量：设，是任意一个实数，则
2.平面向量的加法：设，，则
性质1：设A是一个二阶矩阵，是平面上的任意两个向量，是任意一个实数，则①数乘结合律：；②分配律：
高中数学人教版教材讲解(选修4-2-矩阵与变换)
（3）在第二讲中，通过实例考察在直角坐 标系内连续施行两次线性变换的作用效果是 否能用一个线性变换表示，进而一般化，引 入线性变换的复合，介绍二阶矩阵的一种重 要运算——矩阵的乘法，并通过应用进一步 理解矩阵的乘法；类比实数乘法的运算律， 研究二阶矩阵乘法的运算律，证明矩阵的乘 法满足结合律，通过学生熟悉的某些二阶矩 阵所对应的线性变换对单位正方形区域的作 用结果，得到矩阵的乘法不满足交换律和分 配律．
（4）在第三讲中，类比实数的乘法运算中
的一条重要性质：“如果
，
则
”，分别把恒等变换和单位
矩阵作为数１类比对象，通过线性变换引进逆 矩阵，并通过线性变换和生活中的常识理解逆 矩阵的性质；引进二阶行列式，利用它研究逆 矩阵，解决如何判断二阶矩阵是否可逆以及如 何求可逆矩阵的逆矩阵的问题；本讲还从线性 变换的角度来认识解二元一次方程组的意义， 并利用逆矩阵求解系数矩阵可逆的二元一次方 程组．
无论在理解本专题的内容时，还是教学中， 都要把握好两个关键词：线性变换，二阶矩 阵。
一、课程标准中的内容与要求
1．理解二阶矩阵的概念 2．二阶矩阵与平面向量（列向量） 的乘法、平面图形的变换 （1）以变换的观点认识矩阵与向 量乘法的意义。 （2）证明矩阵变换把平面上的直 线变成直线，即证明矩阵变换是线性 变换：
题（人口迁移问题）．
3．本讲的重点和难点
（1）本专题的重点是通过平面图形的变换引 入二阶矩阵，认识矩阵与向量乘法的意义， 讨论线性变换的基本性质、二阶矩阵的乘法 及性质、逆矩阵和矩阵的特征向量的概念与 性质等，并以变换的观点理解解线性方程组 的意义。 （2）矩阵的内容比较抽象，本专题的难点是 线性变换的基本性质、矩阵乘法的运算律 （这可能是学生第一次遇到不满足交换律、 消去律的运算）、矩阵的特征值与特征向量 的概念等。
选修4-2矩阵与变换.docx
第 1 页共 21 页选修 4－ 2矩阵与变换第一节平面变换、变换的复合与矩阵的乘法1．二阶矩阵与平面向量(1) 矩阵的概念在数学中，把形如123134，1，20这样的矩形数字 (或字母 )阵列称为矩阵，其35－ 1中，同一横排中按原来次序排列的一行数(或字母 )叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数 (或字母 )叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数(或字母 )称为矩阵的元素．(2)二阶矩阵与平面列向量的乘法① [a 11a12 ]b11＝ [ a11×b11＋ a 12×b 21 ] ；b21②a11a12x0＝a11× x0＋ a12× y0.a21a22 y0a21× x0＋ a22× y02．几种常见的平面变换10(1) 当 M ＝时，则对应的变换是恒等变换．01(2)k010由矩阵 M ＝或 M ＝(k>0) 确定的变换 T M称为 (垂直 )伸压变换．01k(3)反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．cos θ － sin θ(4) 当 M ＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形(或点 )逆时针旋转sin θcos θθ角度．(5)将一个平面图投影到某条直线 (或某个点 )的变换称为投影变换．1k10 (6) 由矩阵 M ＝或 M ＝k 确定的变换称为切变变换．011 3．矩阵的乘法一般地，对于矩阵a11a12b11b12M ＝a22， N＝，规定乘法法则如下：a21b21b2211 12 11 12a bbb ba ab b11 11＋ a 12 21a 11 12＋ a 12 22MN ＝a 22b 21＝a 21b 11＋ a 22b 21.a 21 b22a 21b 12＋ a 22b 224．矩 乘法的几何意(1) 的复合：在数学中，一一 的平面几何 常可以看做是伸 、反射、旋 、切 的一次或多次复合，而伸 、反射、切 等 通常叫做初等 ； 的矩 叫做初等 矩 ．(2)MN 的几何意 ： 向量x 矩 乘法α＝ 施的两次几何 (先 T N 后 T M )y的复合 ．·(3) 当 向量 施 n ( n ＞ 1 且 n ∈ N * )次 T M ， 地我M n ＝ M ·M ·⋯ ·M .5．矩 乘法的运算性(1) 矩 乘法不 足交 律于二 矩A ，B 来 ，尽管 AB ， BA 均有意 ，但可能 AB ≠BA .(2) 矩 乘法 足 合律A ，B ，C 二 矩 ， 一定有(AB)C ＝ A(BC)．(3) 矩 乘法不 足消去律．A ，B ，C 二 矩 ，当 AB ＝ AC ，可能 B ≠C. [ 小 体 ]1 8 1 x1．已知矩 A ＝3，矩 B ＝.若 A ＝B ， x ＋ y ＝ ________.2y 3解析： 因 A ＝ B ，x ＝ 8， ＋ ＝10.所以y ＝ 2，x y答案： 102．已知x x ′2x ＋ 3y ， 它所 的 矩 ________．y→＝y ′x ＋ yxx ′ 2 3 x解析： 将它写成矩 的乘法形式→′ ＝1 ，所以它所 的 矩y1yy2 3 1 .12 3答案：111．矩 的乘法 着 的复合，而两个 的复合仍是一个 ，且两个 的复合 程是有序的，易 倒．2．矩阵乘法不满足交换律和消去律，但满足结合律．[ 小题纠偏 ]1 2 ， B ＝4 2 1．设 A ＝4k ，若 AB ＝ BA ，则实数 k 的值为 ________．37解析： AB ＝1 24 2 ＝4＋ 2k163 4k 7，12＋ 4k 3442 1 21016BA ＝ k7 34 ＝ ＋＋ 28，k 21 2k 因为 AB ＝ BA ，故 k ＝ 3.答案： 32．已知 A ＝1 0 ， B ＝－ 1 0－ 1 00 0 0 1， C ＝，计算 AB ， AC.0 － 1解： AB ＝1 0 － 1 0－ 1 00 1 ＝，1 0 － 10 － 1 0 . AC ＝0 0－ 1＝ 0 0 0考点一二阶矩阵的运算 基础送分型考点 —— 自主练透[ 题组练透 ]1 11 11．已知 A ＝2 2，计算 A 2， B 2.1 ， B ＝ － 1－ 1 1221 1 11 1 1 解： A 2＝2 2 2 2 2 2 . 1 1 1 ＝1 1 12 2222 21111B 2＝－ 1 － 1 － 1 ＝.－ 12．(2014 江·苏高考 )已知矩阵 A ＝－ 1 211 21 ，B ＝，向量 α＝ ，x ，y 为实数． 若x2－ 1 yA α＝B α，求 x ＋ y 的值．解： 由已知，得 A α＝ － 12 2 ＝ － 2＋ 2y ， α＝ 11 2 ＝ 2＋ y y2 － 1 y1 x 2＋ xy4－ y第 4 页共 21 页因为 A α＝ B α，所以 － 2＋ 2y2＋ y＝，2＋ xy 4－ y－ 2＋ 2y ＝ 2＋ y ，故2＋ xy ＝4－ y.x ＝－ 12，所以 x ＋ y ＝ 7 解得2.y ＝ 4.3．已知矩阵 A ＝1 0 － 4 3 31 ， B ＝ 4 － 2且 α＝ ，试判断 (AB)α与 A(B α)的关系．2 4解： 因为 AB ＝1 0－ 43 －4 31 2＝ ，4 － 2 4 － 1－ 43 3所以 (AB)α＝－ 1 4＝ ，48 因为 B α＝－433 ＝0 ，4 － 2441 0 0 0A(B α)＝24＝. 18所以 (AB)α＝ A(B α)．[ 谨记通法 ]1．矩阵的乘法规则两矩阵 M ， N 的乘积 C ＝ MN 是这样一个矩阵；(1) C 的行数与 M 的相同，列数与 N 的相同；(2) C 的第 i 行第 j 列的元素C ij 由 M 的第 i 行与 N 的第 j 列元素对应相乘求和得到． [ 提醒 ] 只有 M 的行数与 N 的列数相同时，才可以求MN ，否则无意义．2．矩阵的运算律(1) 结合律 (AB)C ＝ A(BC)；(2) 分配律 A(B ±C)＝ AB ±AC ， (B ±C)A ＝ BA ±CA ；(3) λ(AB)＝ (λA )B ＝ A( λB )．考点二平面变换的应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 － 2 2 2已知曲线 C ：xy ＝ 1，若矩阵 M ＝对应的变换将曲线C 变为曲线 C ′，求2 222曲线 C ′的方程．解： 设曲线 C 上一点 (x ′ ， y ′ )对应于曲线 C ′ 上一点 (x ，y)，2 － 222x ′x所以＝y，22 ′y222 222′＝所以x ＋ y y － x所以 ′ － ′ ＝ ， ′ ＋′ ＝ ，y ′ ＝ ，所以 x ′ y ′＝2 x2 yx2x2 yy.x22x ＋ y y － x ＝ 1，×2 2所以曲线 C ′ 的方程为 y 2－ x 2＝ 2.[ 由题悟法 ]利用平面变换解决问题的类型及方法：(1) 已知曲线 C 与变换矩阵，求曲线C 在变换矩阵对应的变换作用下得到的曲线C ′的表达式，常先转化为点的对应变换再用代入法(相关点法 )求解．(2) 已知曲线 C ′是曲线 C 在平面变换作用下得到的，求与平面变换对应的变换矩阵， 常根据变换前后曲线方程的特点设出变换矩阵，构建方程(组 )求解．[ 即时应用 ]a 022x ＋ y已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1 在矩阵 A ＝(a>0，b>0) 对应的变换作用下变为椭圆＝0 b9 41，求 a ， b 的值．解：设 P(x ，y)为圆 C 上的任意一点， 在矩阵 A 对应的变换下变为另一个点 P ′ (x ′ ，y ′ )，x ′ a 0x x ′＝ ax ， 则 ＝，即y ′0 byy ′ ＝ by.2 2 2222xya xb y又因为点 P ′ (x ′ ， y ′ )在椭圆 9 ＋ 4 ＝ 1 上，所以 9 ＋ 4 ＝ 1. 由已知条件可知，x 2＋ y 2＝1，所以 a 2 ＝ 9， b 2＝ 4.因为 a>0 ， b>0 ，所以 a ＝ 3， b ＝ 2.考点三 变换的复合与矩阵的乘法 重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]在平面直角坐标系xOy 中，已知点 A(0,0)，B(－ 2,0)，C(－ 2,1)．设 k 为非零实数，矩阵k 0 0 1A 1，B 1，C 1，M ＝1 ， N ＝，点 A ， B ， C 在矩阵 MN 对应的变换下得到点分别为1 0△ A 1B 1C 1 的面积是△ ABC 面积的 2 倍，求 k 的值．k 0 0 1 0 k解： 由题设得 MN ＝1 1＝，1 0 由 0k 0 0 0 k － 2，＝，＝1 00 01－ 20 k －2k，可知 A 1(0,0)，B 1(0，－ 2)， C 1(k ，－ 2)．1 0＝1－ 2计算得△ABC 的面积是1，△A 1 1 1 的面积是 |k|，B C则由题设知： |k|＝ 2× 1＝ 2.所以 k 的值为 2 或－ 2.[ 由题悟法 ]矩阵的乘法对应着变换的复合，而两个变换的复合仍是一个变换，且两个变换的复合过程是有序的，不能颠倒．二阶矩阵的运算关键是记熟运算法则．[ 即时应用 ]1 0已知圆 C ：x 2＋ y 2＝ 1，先将圆 C 作关于矩阵 P ＝的伸压变换，再将所得图形绕原0 2点逆时针旋转 90°，求所得曲线的方程．0 － 1解： 绕原点逆时针旋转 90° 的变换矩阵 Q ＝，1 0则 M ＝ QP ＝0 － 11 0 0 － 210 2＝.1设 A(x 0， y 0 为圆 C 上的任意一点，在T M 变换下变为另一点 A ′ (x 0′ ， y 0′ )，)′－x 0′ ＝－ 2y 0，2则＝，即y 0 ′ 10 y 0y 0′ ＝ x 0，x 0＝ y 0′ ，所以x 0′y 0＝－ 2 .又因为点 A(x 0， y 0) 在曲线 x 2＋ y 2＝ 1 上，2x 0′ 2所以 (y 0′ ) ＋ －＝ 1.2故所得曲线的方程为x4＋ y 2 ＝1.0 11， N ＝1 ，求 MN .1．设 M ＝00 120 11 0 0 112.解： MN ＝0 ＝1211 2 T 把曲2．(2016 南·京三模 )已知曲线 C ：x 2＋ 2xy ＋ 2y 2＝ 1，矩阵 A ＝所对应的变换1 0线 C 变成曲线 C 1，求曲线 C 1 的方程．1 2 解： 设曲线 C 上的任意一点 P(x ， y)， P 在矩阵 A ＝对应的变换下得到点 Q(x ′ ，1 0y ′ )．1 2 x x ′ x ＋ 2y ＝ x ′ ，则10 ＝， 即y′ x ＝ y ′ ，yx ′ －y ′所以 x ＝ y ′ ， y ＝ .2x ′ － y ′＋2x ′ － y ′2＝ 1，即 x ′ 2＋ y ′ 2＝ 2，代入 x 2＋ 2xy ＋2y 2＝ 1，得 y ′ 2 ＋2y ′ ·22所以曲线 C 1 的方程为 x 2＋ y 2＝ 2.3． (2016 南·通、扬州、泰州、淮安三调 )在平面直角坐标系xOy 中，直线 x ＋ y － 2＝ 0 在矩阵 A ＝1 ax ＋ y － b ＝ 0(a ， b ∈ R) ，求 a ＋ b 的值．1 对应的变换作用下得到直线2解： 设 P(x ， y)是直线 x ＋ y －2＝ 0 上任意一点，由 1a x ＝x ＋ ay ，得 (x ＋ ay)＋ (x ＋ 2y)－ b ＝ 0，即 x ＋ a ＋ 2 － b＝ 0.12 y x ＋ 2y2 y 2a ＋ 22 ＝ 1， a ＝ 0，所以 a ＋b ＝ 4.由条件得解得－b＝－ 2，b ＝ 4，2第 8 页共 21 页4．已知 M ＝1－ 22 － 12 ， W ＝－ 3，试求满足 MZ ＝ W 的二阶矩阵 Z .3 1a b解： 设 Z ＝d ，c则 MZ ＝ 1 － 2 a b a － 2cb －2d＝.23 c d 2a ＋ 3c 2b ＋3d又因为 MZ ＝ W ，且 W ＝2 － 1，－ 31a － 2cb － 2d 2 － 1所以＋ ＝ － 3 1 ， ＋3c3d2a 2ba ＝ 0，a － 2c ＝ 2，1b ＝－b － 2d ＝－ 1，7，所以解得2a ＋ 3c ＝－ 3， c ＝－ 1，2b ＋ 3d ＝ 1.d ＝ 37.0 1 － 7故 Z ＝.－ 1371 15． (2016 苏·锡常镇一调 )设矩阵 M ＝y ＝ sin x 在矩阵， N ＝ 2，试求曲线21MN 变换下得到的曲线方程．11解： 由题意得 MN ＝ 1 0 2 0＝ 20 . 0 20 1 0 2设曲线 y ＝ sin x 上任意一点 P(x ， y)在矩阵 MN 变换下得到点 P ′ (x ′， y ′ )，x ′1x则2，＝yy21x ＝ 2x ′ ， 即 x ′ ＝ 2x ，得1y ′ ＝ 2y ，y ＝2y ′ .因为 y ＝ sin x ，所以 1 ′ ＝′ ，即 ′ ＝ ′2ysin 2xy2sin 2x .因此所求的曲线方程为 y ＝ 2sin 2x.6．(2017 苏·锡常镇调研 )已知变换 T 把平面上的点 (3，－ 4)，(5,0)分别变换成 (2，－ 1)，(－1,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M .a b a b3 2 a b 5 ＝－ 1解： 设 M ＝，由题意，得＝ ， ，c dc d－ 4 － 1 c d 0 213a － 4b ＝ 2， a ＝－ 5，13，3c － 4d ＝－ 1，b ＝－20所以解得2 5a ＝－ 1，c ＝5，5c ＝ 2.11d ＝ 20.113－5－20即 M ＝.2 11 5207．(2016 ·通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调南 )在平面直角坐标系xOy 中，设点 A(－ 1,2)－ 1 0 在矩阵 M ＝对应的变换作用下得到点 A ′，将点 B(3,4)绕点 A ′逆时针旋转90°得0 1到点 B ′，求点 B ′的坐标．解： 设 B ′(x ， y)，－ 1 0－ 11 依题意，由0 1＝，得 A ′ (1,2) ．22―→ ―→则 A ′ B ＝ (2,2) ， A ′ B ＝ (x － 1， y － 2)．0 － 1记旋转矩阵 N ＝，1 00 － 1 2x － 1 － 2x － 1 则＝，即＝，10 2－ 2－ 2y 2y 解得x ＝－ 1，y ＝ 4，所以点 B ′ 的坐标为 (－ 1,4)．1 0 1 02x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 在矩阵 MN 对应的变换作8．已知 M ＝， N ＝，求曲线0 2－ 1 1用下得到的曲线方程．1 0 1 01 0解： MN ＝2 － 11＝，－ 22设 P(x ′ ， y ′ )是曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 上任意一点，点 P 在矩阵 MN 对应的变换下变为点 P ′ ( x ， y)，x1 0 x ′x ′则有＝2 ′＝，y－ 2－ ′ ＋ ′y2x 2yx ＝ x ′ ，即y ＝－ 2x ′ ＋ 2y ′ ，x ′ ＝x ，于是yy ′ ＝x ＋ 2.代入 2x 2－ 2xy ＋ 1＝ 0 得 xy ＝ 1，所以曲线 2x 2－ 2xy ＋ 1＝0 在 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝ 1.第二节逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量1．逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵 A ， B ，若有 AB ＝ BA ＝ E ，则称 A 是可逆的， B 称为 A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵 A ，B 均存在逆矩阵，则 － 1－ 1 － 1AB 也存在逆矩阵，且 (AB) ＝ B A .(3) 利用行列式解二元一次方程组．2．逆矩阵的求法一般地，对于二阶矩阵a b － 1A ＝，当 ad － bc ≠ 0 时，矩阵 A 可逆，且它的逆矩阵 Ac dd－ b ad － bc ad － bc＝.－ c aad － bcad － bc3.特征值与特征向量的定义设 A 是一个二阶矩阵，如果对于实数 λ，存在一个非零向量 α，使得 A α＝ λα，那么 λ称为 A 的一个特征值，而α称为 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．4．特征多项式的定义a b是一个二阶矩阵， λ∈ R ，我们把行列式f(λ)＝λ－ a － b 2设 A ＝d － c＝ λ－ (a ＋ d)λcλ－ d＋ ad － bc 称为 A 的特征多项式．5．特征值与特征向量的计算设 λ是二阶矩阵a bλ与 α的步骤为：A ＝的特征值， α为 λ的特征向量，求c d第一步：令矩阵λ－ a － b2A 的特征多项式 f(λ)＝λ－ d ＝ λ－ (a ＋ d)λ＋ ad － bc ＝ 0，求出 λ－ c的值．第二步： 将 λ的值代入二元一次方程组λ－ a x － by ＝ 0，得到一组非零解 x 0 ，于是－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，y非零向量 x 0即为矩阵 A 的属于特征值 λ的一个特征向量．y 06．A n α(n ∈ N * )的简单表示(1) 设二阶矩阵 A ＝a b ， α是矩阵 A 的属于特征值 λ的任意一个特征向量，则A n α＝cdn *)．λα(n ∈ N， λ是二阶矩阵 A 的两个不同特征值，α， β是矩阵 A 的分别属于特征值 λ， λ(2) 设 λ1 212的特征向量，对于平面上任意一个非零向量γ，设 γ＝ t 1 α＋ t 2β(其中 t 1， t 2 为实数 )，则 A n γ＝n n* ．1λ1α＋ t 2λ2β(n ∈ N)t[ 小题体验 ]1 61．矩阵 M ＝ － 2－ 6 的特征值为 __________ ．解析： 矩阵 M 的特征多项式为 f(λ)＝ λ－ 1 － 6λ＋2)( λ＋ 3) ，令 λ＝ ，得 M 的特(f( ) 02 λ＋ 6征值为 λ＝－1 2， λ＝－2 3.答案： － 2 或－ 32．设2 a 2 a 的值为 ________．3是矩阵 M ＝ 的一个特征向量，则实数322解析： 设是矩阵 M 属于特征值 λ的一个特征向量，3a 2 2 2则2 ＝ λ ， 33 32a ＋ 6＝2λ， λ＝ 4，故解得12＝ 3λ a ＝ 1.答案： 11．不是每个二阶矩阵都可逆， 只有当ab中 ad － bc ≠ 0 时，才可逆， 如当 A ＝10 ， c d0 01 0因为 1× 0－ 0× 0＝ 0，找不到二阶矩阵 B ，使得 BA ＝ AB ＝E 成立，故 A ＝ 不可逆．0 2．如果向量 α是属于 λ的特征向量，将它乘非零实数t 后所得的新向量t α与向量 α共线，故 t α也是属于 λ的特征向量，因此，一个特征值对应多个特征向量，显然，只要有了特征值的一个特征向量，就可以表示出属于这个特征值的共线的所有特征向量了．[ 小题纠偏 ]1．矩阵 A ＝2 35的逆矩阵为 ____________． 6x y 解析：法一： 设矩阵 A 的逆矩阵 A－1＝，z w2 3 x y1 0 则6 z w＝ ， 512x ＋ 3z 2y ＋ 3w 1 0即＝0 1 ， 5x ＋ 6z 5y ＋ 6w2x ＋ 3z ＝ 1，x ＝－ 2，2y ＋ 3w ＝ 0，y ＝ 1，所以解得55x ＋ 6z ＝ 0， z ＝ 3，5y ＋ 6w ＝ 1，2w ＝－ 3.A －1＝－21故所求的逆矩阵5－ 2 .3 3法二： 注意到 2× 6－ 3×5＝－ 3≠0，故 A 存在逆矩阵 A－1，6 － 3－ 3－ 3－ 21且 A －1＝＝52 .－ 5 2－3 3－ 3 － 3－ 2 1 答案：5 － 2331 222．已知矩阵 A ＝－ 4 的一个特征值为 λ，向量 α＝ 是矩阵 A 的属于 λ的一个特a－ 3 征向量，则 a ＋ λ＝ _____.解析： 因为 A α＝ λα，所以2－ 6＝ 2λ， 即解得2a ＋ 12＝－ 3λ，所以 a ＋ λ＝－ 3－ 2＝－ 5.答案： － 51 2 2 2a－ 4 － 3 ＝ λ ，－ 3a ＝－ 3，λ＝－ 2，考点一求逆矩阵与逆变换重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]－ 1 01 2 A －1已知矩阵 A ＝2， B ＝，求矩阵 B.6 解： 设矩阵 A 的逆矩阵为a bc，d－ 1 0 a b1 0，即 － a － b 1 0则＝＝ ，2 c d12c 2d 0 11故 a ＝－ 1， b ＝ 0， c ＝ 0， d ＝2.所以矩阵 A 的逆矩阵为 A －1＝－ 11 .2所以 A－ 1 0 1 2－ 1－ 2－1B ＝1＝.0 632[ 由题悟法 ]求一个矩阵 A 的逆矩阵或证明一个矩阵不可逆时，常用两种解法．法一： 待定矩阵法：先设出其逆矩阵，根据逆矩阵的定义 AB ＝ BA ＝ E ，应用矩阵相等的定义列方程组求解，若方程组有解，即可求出其逆矩阵，若方程组无解，则说明此矩阵不可逆，此种方法称为待定矩阵法．a b法二： 利用逆矩阵公式，对矩阵A ＝ ：c d①若 ad － bc ＝ 0，则 A 的逆矩阵不存在．d－ b ②若 ad － bc ≠ 0，则－ 1ad － bc ad － bc.A ＝－ caad － bc ad － bc[ 即时应用 ]11 1已知 A ＝ 1， B ＝，求矩阵 AB 的逆矩阵．1 021 0 1－ ＝ 1≠ 0， 解：法一： 因为 A ＝1 ，且 1 ×2 02 0212 －111 0所以 A－1＝22 ＝，20 1－ 1 12 2 1－ 1.同理 B－1＝0 1因此 (AB)－1＝ B－1A －1＝1－ 1 1 0 1 － 20 2 ＝.0 1 0 211 1法二： 因为 A ＝10 ， B ＝，20 1所以1 0 1 1 ＝ 11 ，且× 1－ × ＝ 1≠ 0，AB＝11 10 0 120 1222第 15 页 共 21 页1 － 1 21 11 － 2所以 (AB)－1＝22.＝20 1 01 12 2考点二特征值与特征向量的计算及应用重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]2 a已知矩阵 M ＝，其中 a ∈ R ，若点 P(1，－ 2)在矩阵 M 的变换下得到点 P ′(－ 4,0)．2 1(1) 求实数 a 的值；(2) 求矩阵 M 的特征值及其对应的特征向量．解： (1) 由 2 a1－ 4 ，得 － ＝－＝＝3.2 1 －22 2a4? a2 3λ－ 2 － 3(2) 由 (1)知 M ＝，则矩阵 M 的特征多项式为 f (λ)＝ ＝( λ－ 2)( λ－ 1)－ 621－ 2 λ－ 12＝ λ－ 3λ－4.令 f(λ)＝ 0，得矩阵 M 的特征值为－ 1 与 4.λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝－ 1 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝0，得 x ＋ y ＝ 0，1所以矩阵 M 的属于特征值－ 1 的一个特征向量为；－1λ－ 2 x － 3y ＝ 0，把 λ＝ 4 代入二元一次方程组－ 2x ＋ λ－ 1 y ＝ 0，得 2x － 3y ＝ 0.所以矩阵 M 的属于特征值4 的一个特征向量为3.2[ 由题悟法 ](1) 求矩阵 A 的特征值与特征向量的一般思路为：先确定其特征多项式 f(λ)，再由 f(λ)＝ 0求 出 该 矩 阵 的 特 征 值 ， 然 后 把 特 征 值 代 入 矩 阵 A所 确 定 的 二 元 一 次 方 程 组λ－ a x － by ＝ 0， 即可求出特征向量．－ cx ＋ λ－ d y ＝ 0，(2) 根据矩阵 A 的特征值与特征向量求矩阵A 的一般思路：设 A ＝a b c ，根据 A α＝λαd构建 a ， b ， c ， d 的方程求解．[ 即时应用 ]1x 1 的属于特征值 － 21． (2015 江·苏高考 )已知 x ， y ∈ R ，向量 a ＝ 是矩阵 A ＝y 0 － 1的一个特征向量，求矩阵A 以及它的另一个特征值．解： 由已知，得 Aa ＝－ 2a ，x 11－ － 2即＝x 1＝，y0 － 1y2x － 1＝－ 2， x ＝－ 1， 则即y ＝ 2，y ＝ 2，－11 所以矩阵 A ＝2.从而矩阵 A 的特征多项式f (λ)＝ (λ＋ 2)( λ－ 1)，所以矩阵 A 的另一个特征值为1.1 2．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 3 及对应的一个特征向量 α1＝，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (9,15) ，求矩阵 M .解： 设 M ＝ a b ，则a b 1 1 3 a ＋ b ＝ 3，＝ 3＝，故c dc d 113c ＋d ＝ 3.a b － 1 9－a ＋ 2b ＝ 9，又＝ ，故c d215－ c ＋ 2d ＝ 15.联立以上两方程组解得a ＝－ 1，b ＝ 4，c ＝－ 3，d ＝ 6，－ 1 4故 M ＝.－ 3 6考点三根据 A ， α计算 A n αn ∈ N *重点保分型考点 —— 师生共研[ 典例引领 ]1 23给定的矩阵 A ＝ ， B ＝ .－ 1 4 2 (1) ， λ及对应的特征向量 α， α；求 A 的特征值 λ1 2 12(2) 求 A 4B.解： (1) 设 A 的一个特征值为 λ，由题意知：λ－ 1 － 2＝ 0，即 (λ－ 2)(λ－ 3)＝ 0，所以 λ1＝ 2， λ2＝ 3.1λ－ 4当 λ1＝ 2 时，由1 2 xx2 的特征向量 α1＝24 ＝ 2，得 A 属于特征值；－ 1 yy1当 λ2＝ 3 时，由1 2 xx 3 的特征向量 α2＝14 ＝ 3，得 A 属于特征值.－ 1 y y1(2) 由于 B ＝32 1＝ α＋ α，＝ ＋ 2 1 1 1 2故 A 4＝4 α＋ α ＝ 4α＋ 34α＝ 16α＋ 81α＝ 32 81＝ 1132 ＋ .16 8197[ 由题悟法 ]已知矩阵 A 和向量 α，求 A n α(n ∈ N * )，其步骤为：(1) 求出矩阵， λ和对应的特征向量 α， αA 的特征值 λ1 2 12. (2) 把 α用特征向量的组合来表示：α＝ s α1＋ t α2.nnn表示 A n(3) 应用 A α＝ s λα11 ＋ t λα.2α2[ 即时应用 ]已知 M ＝ 1 2 ， β＝ 1 ，计算 M 5β21 7.λ－ 1 － 2解： 矩阵 M 的特征多项式为f( λ)＝2＝ λ－ 2λ－ 3.－ 2 λ－ 1令 f(λ)＝ 0，解得 λ＝1 3，λ＝－2 1，12 xx，得x ＋ 2y ＝ 3x ，令＝ 32 1 y y2x ＋ y ＝ 3y ，从而求得 λ1＝3 的一个特征向量为1α1＝，11同理得对应λ2＝－1的一个特征向量为α2＝－ 1.令β＝ mα1＋ nα2，则 m＝4， n＝－ 3.55α－ 3α555551－ 3× (－ 1)51β＝＝α－＝－＝×＝M M (44(M3(Mα4(λα3(λα312)1)2) 1 1)22)41－ 1975.9691．(2016 无·锡期末 )已知矩阵 A＝1012－1对应的变换把直线 l 0， B＝，若矩阵 AB21变为直线 l′： x＋ y－ 2＝ 0，求直线 l 的方程．解：由题意得 B－1＝1－ 2，01101－ 21－ 2所以 AB－1＝＝，020102设直线 l 上任意一点 (x， y)在矩阵 AB－1对应的变换下为点 (x′， y′ )，则1－ 2x＝02yx′x′＝ x－ 2y，，所以y′y′＝ 2y，将 x′， y′代入 l′的方程，得 (x－ 2y)＋ 2y－2＝ 0，化简后得 l： x＝ 2.12－ 11－12． (2016 江·苏高考 )已知矩阵 A＝0－2，矩阵 B 的逆矩阵 B＝2，求矩阵02AB.解：设 B＝ab，c d－11－1a b10则 B2＝，＝B c d010 2即错误 ! ＝错误 ! ，1a ＝ 1， a － 2c ＝ 1，1，11b ＝ 1b － 2d ＝ 0，4所以 B ＝4故解得.2c ＝ 0，c ＝ 0，121d ＝2d ＝ 1，2，1 1 1 51424因此， AB ＝ 0－ 2＝.1 0－123． (2016 南·京、盐城、连云港、徐州二模)已知 a ， b 是实数，如果矩阵 3 aA ＝所b － 2对应的变换 T 把点 (2,3) 变成 (3,4)．(1) 求 a ， b 的值；(2) 若矩阵 A 的逆矩阵为 B ，求 B 2.3 a23解： (1) 由题意得＝，b － 2 34所以 6＋ 3a ＝ 3,2b － 6＝ 4，所以 a ＝－ 1， b ＝ 5.3 － 1(2) 由 (1)得 A ＝.5 － 22 － 1由矩阵的逆矩阵公式得B ＝.5 － 32 － 1 2 － 1－ 1 1所以 B 2＝＝. 5 － 3 5 － 3 － 544． (2016 常·州期末 )已知矩阵 M ＝a 2 8 的一个特征向量是e ＝14的属于特征值 ，点b1P(－ 1,2)在 M 对应的变换作用下得到点Q ，求 Q 的坐标．a 2 1 1 解： 由题意知4 b ＝ 8×，11a ＋ 2＝ 8，a ＝ 6，故解得4＋ b ＝ 8，b ＝ 4，6 2 － 1 ＝－ 2所以42，所以点 Q 的坐标为 (－2,4)．4 4－ 1 45． (2016 苏·州暑假测试 )求矩阵 M ＝2 的特征值和特征向量．6λ＋ 1 － 42解： 特征多项式f(λ)＝＝ λ＋1)( λ－6)＝ λ－7)( λ＋ 2) ，－ ＝ λ－ λ－(85 14(－ 2 λ－ 6由 f(λ)＝ 0，解得 λ1＝ 7，λ2＝－ 2.8x － 4y ＝ 0，1 将 λ＝ 7 代入特征方程组，得即 y ＝ 2x ，可取为属于特征值 λ＝ 7 的11－ 2x ＋ y ＝ 0，2一个特征向量．－ － ＝ ，4x 4y 0同理， λ＝－2 2 时，特征方程组是即 x ＝－ 4y ，所以可取为属于－ 2x － 8y ＝ 0，－ 1特征值 λ2＝－ 2 的一个特征向量．M ＝ － 1 4λ1＝ 7， λ2＝－ 2.属于 λ1＝7 的一个特征向量综上所述，矩阵2 有两个特征值61，属于 λ2＝－ 2 的一个特征向量为4为－ 1. 23 6λ＝ 8 的一个特征向量e ＝ 6，及属于特征值 λ＝－ 36．矩阵 M ＝有属于特征值255的一个特征向量 e ＝13 ，计算 M3α2－ 1 .对向量 α＝ 8.解： 令 α＝ me ＋ ne ，将具体数据代入，有m ＝ 1，n ＝－ 3，所以 α＝e － 3e 所以M 3α 1212 .3333 3 3 6 1 3 153＝ M － 3e ＝ － 3M － 3× (－3) 3 ＝(e 1＝ λ － 3λ ＝ 8.5－ 1 2 479－ 1 27． (2016 泰·州期末 )已知矩阵 M ＝5x 的一个特征值为－ 2，求 M 2.2λ＋ 1－ 22解： 把 λ＝－ 2 代入－λ－ ＋ ＝ ，得＝ ，＝ λ－5λ－ x(x1)(x 5)x 3－2第 21 页共 21 页－ 124所以矩阵 M ＝65，所以 M 2＝.351428．已知二阶矩阵 M 有特征值 λ＝ 8 及对应的一个特征向量 e 1＝1 ，并且矩阵 M 对应的1变换将点 (－1,2)变换成 (－ 2,4). 求：(1) 矩阵 M;(2) 矩阵 M 的另一个特征值，及对应的一个特征向量e 2 的坐标之间的关系；(3) 直线 l ： x －y ＋ 1＝ 0 在矩阵 M 的作用下的直线 l ′的方程．a ba b 1 18解： (1) 设 M ＝，则c d 1 ＝ 8 ＝ ，c d1 8a ＋ ＝ ，b－1－2－a ＋ 2b ＝－ 2，b8a＝ ，故故c d＋ ＝8.24－c ＋ 2d ＝ 4.c da ＝ 6，b ＝ 2，62 联立以上两方程组，解得故 M ＝.c ＝ 4，44d ＝ 4，2(2) 由 (1) 知，矩阵 M 的特征多项式为f (λ)＝ (λ－ 6)( λ－ 4)－ 8＝λ－ 10λ＋ 16，故其另一个特征值为λ＝ 2.设矩阵 M 的另一个特征向量是e 2＝x ，y则 Me 2＝6x ＋ 2yx ，解得 2x ＋ y ＝0.＝ 2y4x ＋ 4y(3) 设点 (x ，y)是直线 l 上的任意一点， 其在矩阵 M 的变换下对应的点的坐标为 (x ′ ，y ′ )，则 6 2 x ＝x ′，即 x ＝ 1 ′ －1 ′ ， ＝－1′ ＋3′ ，代入直线l 的方程后并化简，4 4 y′4x8yy4x8yy得 x ′ － y ′ ＋ 2＝0，即 x －y ＋ 2＝ 0.。
选修4-2课件：2.1+2.1.1 矩阵的概念PPT共29页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
选修4-2课件：2.1+2.1.1 矩 阵的概念
26、机遇对于有准备的头脑有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
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1.了解提出矩阵概念的一些实际背景；
2.掌握矩阵行、列、元素等概念，知道零 矩阵、矩阵的相等等相关知识；
3.会用矩阵表示一些简单的实际问题。
何为矩阵?
y P(1,3)
3
O
1
1 3
x
简记为13
某电视台举行的歌唱比赛,甲、乙两选手 初赛、复赛成绩如表：
初赛 复赛
甲
80
90
乙
5.妻子的怀疑、外人的讥讽 “其妻献疑”“河曲智叟笑而止之”
愚公面对困难的解决办法：
没有地方放置土石 “投诸渤海之尾，隐土之北” 不惧路途遥远
劳动力缺乏 “率子孙荷担者三夫”“遗男，始龀，跳往助之”
——团结一切力量
智叟的嘲讽 “虽我之死，有子存焉……子子孙孙，无穷 匮也”“山不加增，何苦而不平” ——移山的信念会永远传承下去
4.投诸渤海之北
（古：之于
今：各个，许多 ）
5.遂率子孙荷担者三夫
（古：挑
今：荷花 ）
6.曾不能毁山之一毛
（古：草木
今：毛发）
7.北山愚公长息
（古：叹气
今：休息 ）
8.虽我之死
（古：即使
今：虽然 ）
9.惧其不已也
（古：停止
今：已经 ）
四、词类活用 1.面山而居 名词作动词，向着。 2.聚室而谋 使动用法，使……聚。
细读感悟
在疏通文意的基础上，概括故事情节。
第一段： 故事背景，介绍两座山。 第二段： 开端和发展，愚公决心移山，得到全
家的支持，并排除疑难，立即行动。 第三段： 高潮，愚公驳斥智叟的观点。 第四段： 结尾，神仙帮忙移走了两座山。
朗读第一段，说说介绍了两座山的什么 内容，有何作用。
“太行、王屋二山”
愚公移山的困难：
1.两座山面积大、高 “方七百里，高万仞” 2.愚公年老力衰
“年且九十”“曾不能毁魁父之丘”“以 残年余力，曾不能毁山之一毛”
3.移山劳动力缺乏、工具简陋 “率子孙荷担者三夫……箕畚运于渤海之尾”
“遗男，始龀，跳往助之”
4.安置土石的困难、运输路途远 “投诸渤海之尾，隐土之北”“寒暑易节， 始一反焉”
还担心什么挖不平？”智叟没有话来回答。
神话中的山神，拿着蛇，所以叫“操蛇之神”
操蛇之神闻之，惧其不已也，告
害怕他不停地干下去 神话中的天帝
之于被帝他。的帝诚感心其所诚感，动
命夸娥氏二子负二山，一厝朔东，一
传说中的大力神
放置。通“措”
厝雍南。自此，冀之南，汉之阴，无
高大的山冈
陇断焉。
译文：
山神听说了这件事，怕他不停地干下去， 向天帝报告了这件事。天帝被愚公的诚心所 感动，命令夸娥氏的两个儿子背走了两座山， 一座放在朔方东部，一座放在雍州南面。从 此，冀州的南部，直到汉水的南岸，没有山
4
这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵
而组成矩阵的每一个数(或字母)称为矩阵的元素
通常用大写的拉丁字母A、B、C…表示，或
者用( aij )表示，其中 i, j分别表示元素 aij 所
在的行与列.
矩阵的概念
同一横排中按原来次序排列的一行数 （或字母）叫做矩阵的行,
同一竖排中按原来次序排列的一列数 （或字母）叫做矩阵的列．
造自然的精神。
愚公移山：比喻做事有十分顽强的毅力和排 除万难的精神。
人物形象
智叟和愚公在移山问题上的分歧在哪 里？分别突出了怎样的人物特点？
智叟： “以残年余力，曾不能毁山之一毛，其 如土石眼何前？的”，停滞的观点
愚公： “子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何 苦而不平？” 长远的，发展的观点
人物特点：
提出疑问
其妻献疑曰：“以君之力，曾不能损
土山
哪里
魁能父把之太丘行，、如王屋太（行两、座王山屋）何怎？么且样呢焉？置
土石？”
译文： 愚公的妻子提出疑问说：“凭你的力
量，连魁父那座小山丘都平不了，又能把 太行、王屋这两座大山怎么样呢？况且把
土石放到哪里去呢？”
杂曰：“投诸渤海之尾，隐土之北。”
三个人
再读课文，结合注释翻译。
太行、王屋二山，方七百里，高
古代万长仞度。单位本，在冀州黄之河南北，岸。河阳阳，之山的北南。面
八尺为一仞
或水的北面。
（一说七尺）。
译文：
太行、王屋两座大山，纵横七百里，高 万仞。本来在冀州的南部、黄河北岸的北边。
北山愚公者，年且九十，面山而
苦于
曲折，绕远
阻塞
居。惩山北之塞，出入之迂也，
冈阻隔了。
重点积累
一、通假字
1.始一反焉 2.汝之不惠 3.河曲智叟亡以应 4.一厝朔东
通“返”，返回。 通“慧”，聪明。 通“无”，没有。 通“措”，放置。
二、一词多义
其妻献疑代词，他的 其如土石助何词，加强反问语气。
代词，他，指愚公。 惧其不已也 以君的之力 助虽词我，之主死谓间取消句子独立性。
例３：
已知A
x 4
32,
B
1 z
y2,若A B,试求x, y, z.
练一练
已知A
2
y
3x,
B
m 2x
n y
x m
yn,
若A
B,
试求x, y, m, n的值。
谈谈这堂课你有 哪些收获？
小结：
1.矩阵的概念，零矩阵，行矩阵，列矩阵; 2.矩阵的表示； 3.相等的矩阵; 4.用矩阵表示实际生活中的问题 ，数学问 题.
60
85
80 90 60 85
简记为
80 60
90 85
2x 3y mz 1, 3x 2y 4z 2
2 3m 3 2 4
简记为32
3 2
m
4
矩阵的概念
形如13 ,
80 90 60 85 ,
2 3 m
3 2
• 甲矿区
• 乙矿区
城市A
200 400
城市B 城市C
240 160 360 820
练一练
已知甲、乙、丙三人中,甲、乙相识，甲、丙不相 识，乙、丙相识。若用0表示两个人之间不相识，1表示 两个人之间相识，请用一个矩阵表示他们之间的相识关 系。（规定每个人都和自己相识）
矩阵的相等
对于两个矩阵A、B的行数与列数分别相等， 且对应位置上的元素也分别相等时，A和B才相等, 记作A B.
智叟： 目光短浅、安于现状、自以为是 对 比
愚公：志向远大、不畏困难、坚持不懈、
造福后人、大智若愚 智叟不“智”、愚公不“愚”
对于愚公和智叟，也有人说愚公“很 愚”，智叟“很智”，你的看法如何呢?
代词，这件事。 告之于帝
年且九十 将近 且焉置土石 况且
且焉置土疑石问代词，哪里。 始一反焉加强语气 面山而居 表修饰 何苦而不平表承接
表转折 而山不加增
三、古今异义
1.河阳之北 （古：山之南，水之北
2.惩山北之塞 （古：苦于
今：太阳 ） 今：惩罚 ）
3.达于汉阴
（古：山之北，水之南 今：阴天）
定决心，不怕牺牲，排除万难，去争取胜 利”，愚公移山精神成为中国共产党团结带 领全国人民战胜一切艰难险阻、从失败走向
胜利的强大精神动力。
走近作者
列子：名寇，又名御寇，战国 前期郑国人，道家代表人物之
一，主张清静无为。
代表作：《列子》，东晋人搜集的有关古代资料编 写的，里面保管了不少先秦时代的寓言故事和神话
传说。
相关介绍
寓言： 一种文学体裁，它的特点是寓一定的
道理于简短的故事之中，采用象征、比喻、 拟人、夸张等手法。情节比较简单，篇幅 较短小，寓意深刻而含蓄。好的寓言，往
往给人以有益的启示和深刻的教育。
字词积累
rèn
sè
jī běn chèn
仞 塞 箕畚 龀
kuì
wú
cuò
穷匮
亡以应
厝
整体感知
朗读课文，读准节奏，读出感情。
长叹
固执
可通彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，
有子存焉；子又生孙，孙又生子；
子又有子，子又有孙；子子孙孙，无
穷尽
穷匮也，而山不加增，担何心什苦么而铲不不平平？？”
没有。通“无”
河曲智叟亡以应。
译文：
北山愚公长叹一声说：“你思想顽固，顽 固到了不通事理的程度，连寡妇孤儿都不如。 即使我死了，还有儿子在呀；儿子又生孙子， 孙子又生儿子；儿子又有儿子，儿子又有孙子； 子子孙孙没有穷尽的，可是山不会增高加大，
的两个儿子背走了大山。
以神话结尾的目的：
在生产力极不发达的社会条件下，人们只 能幻想通过具有超人力量的神来帮助人类实现
其征服自然的愿望。
本文采用神话结尾，借助神的力量实现愚 公的宏伟抱负，反映了古代劳动人民的美好愿
望，使人们在精神上得到了鼓舞。
说说本文的寓意和“愚公移山”成语 的意思。
寓意：本文通过愚公移山的故事，表现了我 国古代劳动人民以坚韧不拔的毅力，顽强改
聚室而谋曰：“吾与汝毕力平险，指
家
铲平险峻的大山 直
皆，共同
赞通同豫南，达于汉阴，可乎？”杂然相
译文：
北山脚下有个叫愚公的人，年纪将近九 十岁了，面对着山居住。愚公苦于这两座大 山横亘面前而阻塞交通，进进出出曲折绕远。 于是愚公便聚合全家来商量说：“我和你们 竭尽全力铲平险阻，使它一直通向豫州南部， 到达汉水南岸，好吗？”大家纷纷表示赞成。
才往返一次。
河曲智叟笑而止之曰：“甚矣，
你太不聪明了
汝之不惠。以残年余力，曾不能毁山
地面长的草木