上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算矩阵的概念1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫ ⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增广矩阵。

应用举例： 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b yx y ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩； （2）23203250230x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ （2）210203213023-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫ ⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求()sin αβ-的值。

矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行或两列；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数；（3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

应用举例：例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y zx y zx y z+-=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩的解。

例2、运用矩阵变换方法解方程组：322ax yx y b+=⎧⎨-=⎩（a、b为常数）课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题：（1）若方程组2(1)(1)4x yk x k y+=⎧⎨-++=⎩的解x与y相等，求k的值。

（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等定义 如果两个矩阵[]nm ija A ⨯=，[]ps ijb B ⨯=满足：(1) 行、列数相同，即 p n s m ==,；(2) 对应元素相等，即a ij = b ij (i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n )， 则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作 A = B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等，等价于元素之间的m ⨯n 个等式.）例如，矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a a a a a ， B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--412503 那么A = B ，当且仅当a 11 = 3，a 12 = 0，a 13 = -5，a 21 = -2，a 22 = 1，a 23 = 4而C = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211c c c c 因为B , C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11, c 12, c 21, c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.2．加法定义2.3 设[]nm ij a A ⨯=，[]ps ijb B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵，则称矩阵C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111为A 与B 的和，记作C = A + B = []ij ij b a +（由定义2.3可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D = A - B = A + (-B ) =[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差. 例1 设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403， B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432，求A + B ，A - B .例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβα⎛⎫=⎪⎝⎭，00tan tan tan B βαβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，01017C ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，若A B C +=，(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，求sin2αβ+的值。

矩阵加法满足的运算规则是什么？设A , B , C , O 都是m ⨯n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1. 加法交换律： A + B = B + A ； 2. 加法结合律： (A + B ) + C = A + (B + C ) ； 3. 零矩阵满足： A + O = A ； 4. 存在矩阵-A ，满足：A -A = A + (-A ) = O .3．数乘定义 2.4 设矩阵[]nm ija A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]nm ijc C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为C =λA（由定义2.4可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ = -1时，λA = -A ，得到A 的负矩阵.）例3 设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713，用2去乘矩阵A ，求2A.数乘矩阵满足的运算规则是什么？ 对数k , l 和矩阵A = []nm ija ⨯，B =[]nm ijb ⨯满足以下运算规则：1. 数对矩阵的分配律：k (A + B ) = kA + kB ；2. 矩阵对数的分配律：( k + l ) A = kA + lA ；3. 数与矩阵的结合律：( k l ) A = k (lA ) = l (kA ) ；4. 数1与矩阵满足： 1A = A .例4 设矩阵 A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A - 2B .4．乘法矩阵乘积的定义 设A =[]ij a 是一个m ⨯s 矩阵，B =[]ij b 是一个s ⨯n 矩阵，则称m ⨯n 矩阵C =[]ij c 为矩阵A 与B 的乘积，记作C = AB .其中c ij = a i 1b 1 j + a i 2b 2 j + … + a i s b s j =ab ikkj k s-∑1(i = 1, 2, …, m ；j = 1, 2, …, n ).（由矩阵乘积的定义可知：）(1) 只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A , B 才能作乘法运算AB ；(2) 两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数； (3) 乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例6 设矩阵 A = ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--530412， B = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789，计算AB .例7 设矩阵 A = ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122， 求AB 和BA .由例6、例7可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A ≠O , B ≠O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB = O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB = O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB = AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A ，而得到B = C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢？矩阵乘法满足下列运算规则： 1. 乘法结合律：（AB ）C = A （BC ）； 2. 左乘分配律：A （B + C ） = AB + AC ； 右乘分配律：（B + C ）A = BA + CA ； 3. 数乘结合律：k （AB ）= （k A ）B = A （k B ），其中k 是一个常数. 例8：已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110A ，矩阵12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求AB 。

练习：计算下列矩阵的乘法（1）1212()n n b b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）1212()n n a a b b b a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

例9、已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a 2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2] 上的最小值.例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式（1）21437x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）2314231241x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩。