上海高二数学矩阵及其运算

矩阵及其运算矩阵的概念1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭这样的矩形数表叫做矩阵。

2、在矩阵中，水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量；垂直方向排列的数组成的向量12n b b b ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭称为列向量；由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵，m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯，如矩阵13⎛⎫⎪⎝⎭为21⨯阶矩阵，可记做21A ⨯；矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭为33⨯阶矩阵，可记做33A ⨯。

有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。

3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素，在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i （i m ≤）行第j （j n ≤）列数可用字母ij a 表示，如矩阵512128363836232128⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭第3行第2个数为3221a =。

4、当一个矩阵中所有元素均为0时，我们称这个矩阵为零矩阵。

如000000⎛⎫⎪⎝⎭为一个23⨯阶零矩阵。

5、当一个矩阵的行数与列数相等时，这个矩阵称为方矩阵，简称方阵，一个方阵有n 行（列），可称此方阵为n 阶方阵，如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭均为三阶方阵。

在一个n 阶方阵中，从左上角到右下角所有元素组成对角线，如果其对角线的元素均为1，其余元素均为零的方阵，叫做单位矩阵。

如矩阵1001⎛⎫⎪⎝⎭为2阶单位矩阵，矩阵100010001⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭为3阶单位矩阵。

6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等，那么A 与B 叫做同阶矩阵；如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵，当且仅当它们对应位置的元素都相等时，那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵，记为A B =。

7、对于方程组231324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭，我们叫做方程组的系数矩阵；而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭叫做方程组的增广矩阵。

应用举例： 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b yx y ---⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =，求a 、b 的值及矩阵A 。

例2、写出下列线性方程组的增广矩阵：（1）23146x y x y +=⎧⎨-=⎩；（2）23203250230x y z x y z x y z +-+=⎧⎪-++-=⎨⎪-++=⎩例3、已知线性方程组的增广矩阵，写出其对应的方程组：（1）235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭（2）210203213023-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎝⎭例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1ααββ+⎛⎫⎪+⎝⎭为单位矩阵，且,,2παβπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，求()sin αβ-的值。

矩阵的基本变换：（1）互换矩阵的两行或两列；（2）把某一行同乘（除）以一个非零的数； （3）某一行乘以一个数加到另一行。

显然，通过以上三个基本变换，可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵，这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。

应用举例：例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y z x y z x y z +-=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩的解。

例2、运用矩阵变换方法解方程组：322ax y x y b+=⎧⎨-=⎩（a 、b 为常数）课堂练习：用矩阵变换方法解下列问题： （1）若方程组2(1)(1)4x y k x k y +=⎧⎨-++=⎩的解x 与y 相等，求k 的值。

（3）解方程组：320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪-+=-⎩矩阵运算（对从实际问题中抽象出来的矩阵，我们经常将几个矩阵联系起来，讨论它们是否相等，它们在什么条件下可以进行何种运算，这些运算具有什么性质等问题，这是下面所要讨论的主要内容.） 1．相等定义如果两个矩阵[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=满足： (1)行、列数相同，即p n s m ==,；(2)对应元素相等，即a ij =b ij (i =1,2,…,m ；j =1,2,…,n )，则称矩阵A 与矩阵B 相等，记作A =B（由矩阵相等定义可知，用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等，等价于元素之间的m ⨯n 个等式.）例如，矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡232221131211a a a a a a ，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--412503 那么A =B ，当且仅当a 11=3，a 12=0，a 13=-5，a 21=-2，a 22=1，a 23=4而C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡22211211c c c c 因为B ,C 这两个矩阵的列数不同，所以无论矩阵C 中的元素c 11,c 12,c 21,c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.2．加法定义设[]n m ij a A ⨯=，[]p s ij b B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵，则称矩阵C =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a221122222221211112121111为A 与B 的和，记作C =A +B =[]ij ij b a +（由定义可知，只有行数、列数分别相同的两个矩阵，才能作加法运算.） 同样，我们可以定义矩阵的减法：D =A -B =A +(-B )=[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.例1设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--130432，求A +B ，A -B .例2、矩阵cos cos 0tan 1A αβα⎛⎫=⎪⎝⎭，00tan tan tan B βαβ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，01017C ⎛⎫- ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，若A B C +=，(0,)2πα∈，(,)2πβπ∈，求sin2αβ+的值。

矩阵加法满足的运算规则是什么设A ,B ,C ,O 都是m ⨯n 矩阵，不难验证矩阵的加法满足以下运算规则 1.加法交换律：A +B =B +A ； 2.加法结合律：(A +B )+C =A +(B +C )； 3.零矩阵满足：A +O =A ；4.存在矩阵-A ，满足：A -A =A +(-A )=O . 3．数乘定义设矩阵[]n m ij a A ⨯=，λ为任意实数，则称矩阵[]n m ij c C ⨯=为数λ与矩阵A 的数乘，其中),2,1;,,2,1(n j m i a c ij ij ===λ，记为C =λA（由定义可知，数λ乘一个矩阵A ，需要用数λ去乘矩阵A 的每一个元素.特别地，当λ=-1时，λA =-A ，得到A 的负矩阵.）例3设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--062504713，用2去乘矩阵A ，求2A. 数乘矩阵满足的运算规则是什么对数k ,l 和矩阵A =[]n m ij a ⨯，B =[]n m ij b ⨯满足以下运算规则： 1.数对矩阵的分配律：k (A +B )=kA +kB ； 2.矩阵对数的分配律：(k +l )A =kA +lA ； 3.数与矩阵的结合律：(kl )A =k (lA )=l (kA )； 4.数1与矩阵满足：1A =A .例4设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-610523，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--712834，求3A -2B . 4．乘法矩阵乘积的定义设A =[]ij a 是一个m ⨯s 矩阵，B =[]ij b 是一个s ⨯n 矩阵，则称m ⨯n 矩阵C =[]ij c 为矩阵A 与B 的乘积，记作C =AB .其中c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j +…+a is b sj =a b ik kj k s-∑1(i =1,2,…,m ；j =1,2,…,n ).（由矩阵乘积的定义可知：）(1)只有当左矩阵A 的列数等于右矩阵B 的行数时，A ,B 才能作乘法运算AB ； (2)两个矩阵的乘积AB 亦是矩阵，它的行数等于左矩阵A 的行数，它的列数等于右矩阵B 的列数；(3)乘积矩阵AB 中的第i 行第j 列的元素等于A 的第i 行元素与B 的第j 列对应元素的乘积之和，故简称行乘列的法则.例6设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--530412，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--10789，计算AB . 例7设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡2142，B =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1122，求AB 和BA . 由例6、例7可知，当乘积矩阵AB 有意义时，BA 不一定有意义；即使乘积矩阵AB 和BA 有意义时，AB 和BA 也不一定相等.因此，矩阵乘法不满足交换律，在以后进行矩阵乘法时，一定要注意乘法的次序，不能随意改变.在例6中矩阵A 和B 都是非零矩阵（A ≠O ,B ≠O ）,但是矩阵A 和B 的乘积矩阵AB 是一个零矩阵（AB =O ），即两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.因此，当AB =O ，不能得出A 和B 中至少有一个是零矩阵的结论.一般地，当乘积矩阵AB =AC ，且A ≠O 时，不能消去矩阵A ，而得到B =C .这说明矩阵乘法也不满足消去律.那么矩阵乘法满足哪些运算规则呢 矩阵乘法满足下列运算规则： 1.乘法结合律：（AB ）C =A （BC ）； 2.左乘分配律：A （B +C ）=AB +AC ； 右乘分配律：（B +C ）A =BA +CA ；3.数乘结合律：k （AB ）=（kA ）B =A （kB ），其中k 是一个常数. 例8：已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0110A ，矩阵12B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求AB 。

练习：计算下列矩阵的乘法（1）1212()n n b b a a a b ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；（2）1212()n n a a b b b a ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭。

例9、已知矩阵[])(x f A =，[]x x B -=1，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=a2x C ，若A=BC ，求函数)x (f 在[1,2]上的最小值.例10：将下列线性方程组写成矩阵乘法的形式（1）21437x y x y -=⎧⎨+=⎩；（2）2314231241x y z x y z x y z -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩。

例11：若AB BA =，矩阵B 就称为与A 可变换，设1101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求所有与A 可交换的矩阵B 。