上海高二数学矩阵及其运算
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矩阵及其运算
矩阵的概念
1、形如13⎛⎫ ⎪⎝⎭、512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭、2313242414m n ⎛⎫ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
这样的矩形数表叫做矩阵。 2、在矩阵中,水平方向排列的数组成的向量()12,,n a a a ⋅⋅⋅称为行向量;垂直方向排列
的数组成的向量12n b b b ⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭
称为列向量;由m 个行向量与n 个列向量组成的矩阵称为m n ⨯阶矩阵,m n ⨯阶矩阵可记做m n A ⨯,如矩阵13
⎛⎫
⎪⎝⎭
为21⨯阶矩阵,可记做21A ⨯;矩阵
512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
为33⨯阶矩阵,可记做33A ⨯。有时矩阵也可用A 、B 等字母表示。 3、矩阵中的每一个数叫做矩阵的元素,在一个m n ⨯阶矩阵m n A ⨯中的第i (i m ≤)行第
j (j n ≤)列数可用字母ij a 表示,如矩阵512128363836232128⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
第3行第2个数为3221a =。 4、当一个矩阵中所有元素均为0时,我们称这个矩阵为零矩阵。如000000⎛⎫
⎪⎝⎭
为一个
23⨯阶零矩阵。
5、当一个矩阵的行数与列数相等时,这个矩阵称为方矩阵,简称方阵,一个方阵有
n 行(列),可称此方阵为n 阶方阵,如矩阵512128363836232128⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
均为三阶方阵。在一个n 阶方阵中,从左上角到右下角所有元素组成对角线,如果其对角线
的元素均为1,其余元素均为零的方阵,叫做单位矩阵。如矩阵1001⎛⎫
⎪⎝⎭
为2阶单位矩阵,矩阵100010001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
为3阶单位矩阵。 6、如果矩阵A 与矩阵B 的行数和列数分别相等,那么A 与B 叫做同阶矩阵;如果矩阵A 与矩阵B 是同阶矩阵,当且仅当它们对应位置的元素都相等时,那么矩阵A 与矩阵B 叫做相等的矩阵,记为A B =。
7、对于方程组231
324244x y mz x y z x y nz ++=⎧⎪
-+=⎨⎪+-=⎩
中未知数z y x ,,的系数按原来的次序排列所得的矩阵
2332441m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭,我们叫做方程组的系数矩阵;而矩阵2313242414m n ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
叫做方程组的增广矩阵。 应用举例: 例1、已知矩阵222,22x x y b a A B x a b y
x y ---⎛⎫⎛⎫
==
⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭且A B =,求a 、b 的值及矩阵A 。 例2、写出下列线性方程组的增广矩阵:
(1)23146x y x y +=⎧⎨-=⎩;(2)2320
3250230
x y z x y z x y z +-+=⎧⎪
-++-=⎨⎪-++=⎩
例3、已知线性方程组的增广矩阵,写出其对应的方程组:
(1)235124-⎛⎫ ⎪-⎝⎭(2)210203213023-⎛⎫
⎪
- ⎪
⎪
-⎝⎭
例4、已知矩阵sin cos 0sin cos 1αα
ββ+⎛⎫
⎪+⎝⎭为单位矩阵,且,,2παβπ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭
,求()sin αβ-的值。 矩阵的基本变换:
(1)互换矩阵的两行或两列;
(2)把某一行同乘(除)以一个非零的数; (3)某一行乘以一个数加到另一行。
显然,通过以上三个基本变换,可将线性方程组的系数矩阵变成单位矩阵,这时增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解。 应用举例:
例1、用矩阵变换的方法解三元一次方程组4357245238x y z x y z x y z +-=⎧⎪
++=⎨⎪--=⎩
的解。
例2、运用矩阵变换方法解方程组:32
2ax y x y b
+=⎧⎨-=⎩(a 、b 为常数)
课堂练习:
用矩阵变换方法解下列问题: (1)若方程组2
(1)(1)4
x y k x k y +=⎧⎨
-++=⎩的解x 与y 相等,求k 的值。
(3)解方程组:320255781x y z x y z x y z -+=⎧⎪
++=⎨⎪-+=-⎩
矩阵运算
(对从实际问题中抽象出来的矩阵,我们经常将几个矩阵联系起来,讨论它们是否相等,它们在什么条件下可以进行何种运算,这些运算具有什么性质等问题,这是下面所要讨论的主要内容.) 1.相等
定义如果两个矩阵[]n m ij a A ⨯=,[]p s ij b B ⨯=满足: (1)行、列数相同,即p n s m ==,;
(2)对应元素相等,即a ij =b ij (i =1,2,…,m ;j =1,2,…,n ),
则称矩阵A 与矩阵B 相等,记作A =B
(由矩阵相等定义可知,用等式表示两个m ⨯n 矩阵相等,等价于元素之间的m ⨯n 个等式.)例如,矩阵
A =⎥⎦⎤⎢
⎣⎡232221131211a a a a a a ,B =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--412503 那么A =B ,当且仅当
a 11=3,a 12=0,a 13=-5,a 21=-2,a 22=1,a 23=4
而
C =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2221
1211
c c c c 因为B ,C 这两个矩阵的列数不同,所以无论矩阵C 中的元素c 11,c 12,c 21,c 22取什么数都不会与矩阵B 相等.
2.加法
定义设[]n m ij a A ⨯=,[]p s ij b B ⨯=是两个m ⨯n 矩阵,则称矩阵
C =
⎥
⎥
⎥⎥
⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a
2
21122222221211112
121111
为A 与B 的和,记作
C =A +B =[]ij ij b a +
(由定义可知,只有行数、列数分别相同的两个矩阵,才能作加法运算.) 同样,我们可以定义矩阵的减法:D =A -B =A +(-B )=[]ij ij b a - 称D 为A 与B 的差.
例1设矩阵A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡---152403,B =⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--130432,求A +B ,A -B .