(完整word版)宁波市2017学年第一学期期末考试高一数学
高中理科数学复习试题选编31：双曲线(教师版)
理科数学复习试题选编31：双曲线一、选择题1 ．（六校联盟高三回头联考理科数学试题）已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF =C ，则该双曲线的离心率为（ ）A 1B ．12C 1D ．12【答案】C2 ．（绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点.若△AOF 的面积为b ，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D3 ．（高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）直线过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线的条数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：因为点(2,1)P 在渐近线上，故旋转直线一周只有2条符合条件.4 ．（杭州高中高三第六次月考数学（理）试题）设双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2.过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （ ）AB ．2C D ．3【答案】A5 ．（高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+【答案】D6 ．（嘉兴市高三上学期基础测试数学（理）试题）已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是（ ）A ．233B ．2C ．5D ．52【答案】B7 ．（杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为 （ ）A ．192B ．11C ．12D ．16【答案】B 解：由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然，AB 最短即通径，2min23b AB a=⋅=，故()22min11BF AF +=8 ．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知21F F 、分别是双曲线:C 12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为： （ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D解析：方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x aby l =:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222222)(b a abc y b a b a c x ， 由⋅1=0可得：0222=++y cx x ，将上式代入化简可得：0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==ace ，故选 D ．方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P ，连接PO ﹑1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，即3600==tan a b ，即2==ace .故选 D ．9 ．（嘉兴市高三第二次模拟考试理科数学试卷）设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C ：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线.10．（【解析】镇海中学高三5月模拟数学（理）试题）已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，12,F F 分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过1F 作一条斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线交于两个点,M N ，则MAN ∠为 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能【答案】答案：B 解析：由离心率为2，可得2c a =，223b a =，则双曲线方程为22233xy a -=.设1122(,),(,)M x y N x y ，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为2x my a =-，与双曲线方程联立得222(31)1290m y amy a --+=，从而有2310m -≠，1221231amy y m +=-，且11．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知F 1、F 2是双曲线C ：)0(12222>>=-b a by a x的两个焦点，过曲线C 的左焦点F 1(-c ，0)和虚轴端点B(0，b )作直线l 交曲线C 左支于A 点，右支与D 点，连接AO 、DF 2，AO∥DF 2 ，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3B ．6C ．36+D ．25+【答案】C 提示 联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1)(2222b y ax c x c b y 削去x 得02322=+-b y c by 221221,2b y y b c y y =⋅=+(*)，由题意的2212y y =代入(*)中，得到⎪⎩⎪⎨⎧==2222223by b c y ，削去y 得4489c b =，可以解得2692+=e .12．（考试院高三上学期测试数学（理）试题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦A ，B 两点.若 | AB | ： | BF 2 | ： | AF 2 |=3：4 ： 5，（ ）．13．15 C ．2D ．3【答案】A13．（“六市六校”联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 2222>=-b a by a 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x 【答案】C14．（海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点(如图)，点N 恰好xy OA B F 1F 2平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ）5B ．2C ．3D ．215．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D16．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2， 则曲线C 的离心率等于 （ ）A ．2332或B ．23或2 C ．12或2 D ．1322或【答案】D17．（嘉兴市第一中学高三一模数学（理）试题）已知双曲线c ： )0(12222>>=-b a b y a x ，以右焦点F为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O)，若|MN|=a 32，则双曲线C的离心率 是（ ）A 2B ．3C ．2D ．13+【答案】COxyA BF 1F 2xyOM NP 1F 2F18．（黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x (0>a ，0>b )上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点O ，若直线PA ，PB 的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C19．（温州中学高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i p i =，使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 （ ）A ．)+∞B ．1,)2+∞C ．1(1,)2D ．1)2【答案】D ．20．（湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b -=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为 （ ）AB C ．2D【答案】C21．（温州市高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知是双曲线14222=-y ax 的左焦点，双曲线右支上一动点P ，且x PD ⊥轴，D 为垂足，若线段PD FP -的最小值为52，则双曲线的离心率为 （ ）A ．53B ．52C ．25D ．5【答案】A22．（杭州市高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b ，A ，B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上.P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2=45，则双曲线的离心率是 （ ）A ．355 B ．94C ．32D ．95【答案】C23．（温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．12+B ．13+C ．215+ D ．2122+【答案】A24．（名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ）A ．95B ．125C ．4D ．5【答案】B 二、填空题25．（永康市高考适应性考试数学理试题 ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若FB AF 4=，则该双曲线的离心率为____;【答案】210526．（乐清市普通高中高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设O 为坐标原点，B A ,是双曲线1322=-y x 的渐近线上异于O 的两点，且2||||==OB OA ，则→→⋅OB OA =_______.【答案】2±，-4 27．（金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是_______【答案】328．（温州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知F 1，F 2分别是双曲线1222=-b y x 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF 2|=2且∠F 1AF 2=450.廷长AF 2交双曲线右支于点B ，则ΔF 1AB 及的面积等于___【答案】429．（建人高复高三第五次月考数学（理）试题）已知A 、B 分别是双曲线22:4C x y -=的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则PBA PAB ∠-∠=__________.【答案】略30．（五校联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为______________.【答案】231．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2332．（诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是____________【答案】33．（温州市高三第一次适应性测试理科数学试题）已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为2y x=，则其离心率为____【答案】34．（五校联盟高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆22420x y x+-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】。
第1套：浙江宁波市镇海中学2023-2024学年高三上学期期末考试数学试卷与答案
镇海中学2023学年第一学期期末考试高三数学试题说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2{560},{13},A x x x B x x =-+≤=-≤<则A B = （）A.{13}x x -≤<B.{13}x x -≤≤C.{23}x x ≤<D.{23}x x ≤≤2．函数3()29x f x x =+-的零点所在区间为（）A.()0,1 B.()1,2 C.(2,3)D.()3,45.已知直线a ，m ，n ，l ，且m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β．若l 满足l m ⊥，l n ⊥，则下列说法中正确的是（）A.//l αB.l β⊥ C.若a αβ⋂=，则//a lD.αβ⊥e ．．C ．D ．8.设实数,x y 满足3,32x y >>，不等式3322(23)(3)8123k x y x y x y --≤+--恒成立，则实数k 的最大值为（）A.12B.24C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（）A.2211z z = B.1212z z z z ⋅=⋅ C.1212z z z z =⋅ D.1212z z z z +=+10.已知()f x ，()g x 的定义域为R ，且()()1f x g x a +-=（0a ≠），()()11g x g x +=-，若()2f x +为奇函数，则（）A.()g x 关于x =1对称B.()g x 为奇函数C.()02f = D.()f x 为偶函数11.已知O 为坐标原点，曲线()()22222:3x y ay x y Γ+=-，0a >，()00,P x y 为曲线Γ上动点，则（）A.曲线Γ关于y 轴对称B.曲线Γ的图象具有3条对称轴C.09,16y a a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦D.OP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
浙江省宁波市2023届高三上学期一模数学试题(解析版)
对于B， ，所以图象关于点 中心对称，B正确；
对于C，令 ，即 ， ，
当 时，单调递增区间为 ， 不是其子区间，C错误；
对于D，三角函数的极值点即为函数图像对称轴所对应的横坐标，
令 ，得 ，当 和 时，
和 为 在区间 上的2个极值点，D正确.
故选：ABD
10.已知直线 ： 与圆 ： 相交于 两点，与两坐标轴分别交于 两点，记 的面积为 ， 的面积为 ，则（）
【答案】
【解析】
【分析】由累加法即可求得 ，再利用裂项相消法即可求解.
【详解】由题可知： ，
即有 ，
所以
，当n=1成立
所以 ，
所以
.
故答案为：
15.在棱长均相等的四面体ABCD中，P为棱AD（不含端点）上的动点，过点A的平面α与平面PBC平行．若平面α与平面ABD，平面ACD的交线分别为m，n，则m，n所成角的正弦值的最大值为__________．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的运算法则求得参数 ，再求目标复数的模长即可.
【详解】因为 ，故 ，故 ，
则 .
故选：B.
4.一种药品在病人血液中的量不低于1500mg时才有疗效，如果用药前，病人血液中该药品的量为0mg，用药后，药在血液中以每小时20%的比例衰减．现给某病人静脉注射了3000mg的此药品，为了持续保持疗效，则最长需要在多少小时后再次注射此药品（ ，结果精确到0.1）（）
所以 ．
【小问2详解】
，
故 ，
故 ，
令 ①，
②，
①-②得
即 ，
故 ．
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 , ．
2018学年第一学期宁波九校联考高一上数学期末考试
2018学年第一学期宁波市九校联考高一数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设全集为R ，集合{|03},{|1}A x x B x x =<<=≥，则()R A B = ð A.{|3}x x < B.{|01}x x << C.{|13}x x ≤< D.{|0}x x >2. 函数3()f x x =的图象A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于直线y x =对称D.关于原点对称3. 若3tan 4α=，则22cos sin 2αα+= A.5625 B.4425 C.45 D.8254. 在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EC =A.3144AB AC -B.1344AB AC -C.3144AC AB -D.1344AC AB -（第4题图） 5. 已知曲线12:sin(),:sin 23C y x C y x π=+=，则下列结论正确的是A.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CB.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π 个单位长度，得到曲线2CC.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到曲线2CCD.把曲线1C 上各点的横坐标变化到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移6π个单位长度，得到曲线2C6. 已知函数()2sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><部分图象如图所示，则A.15,312πωϕ== B.17,312πωϕ==- C.2,33πωϕ== D.22,33πωϕ==-7. 已知函数2, 0,()()()1ln ,0,x x f x g x f x x a x x-⎧≤⎪==--⎨>⎪⎩.若()g x 有2个零点，则实数a 的 取值范围是A.[1,0)-B.[0,)+∞C.[1,)-+∞D.[1,)+∞8. 设x ,y ,z 均为正数，且236x y z==，则A.236x y z <<B.623z x y <<C.362y z x <<D.326y x z <<9. 如图，在四边形ABCD 中,,3,2AB BC AB BC CD DA ⊥====，AC 与BD 交于点O ，记123,,I OA OB I OB OC I OC OD =⋅=⋅=⋅，则A.123I I I <<B.132I I I <<C.213I I I <<D.312I I I << 10.已知当[0,1]x ∈时，函数1y mx =+的图象与y =的图象 （第9题图） 有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是 A.1(,)2+∞ B.1[,)2+∞ C.1[,)2+∞ D.1[,)2+∞二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。
宁波市2021学年第一学期高一期末统考试卷及答案(2022
宁波市 2021 学年第一学期期末考试高一历史试卷试卷Ⅰ一、选择题I（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分。
）1.1921年仰韶文化的发现被认为是中国现代考古学诞生的标志。
下列有关仰韶文化的表述正确的是A.典型的器物是黑陶B.居民主要种植水稻C.处于母系氏族时期D.阶级分化较为明显2.中国春秋时期有一位思想家认为“为政以德，譬如北辰，居其所而众星共之。
”他是A.老子B.孔子C.孟子D.荀子3.唐太宗李世民是我国古代著名的君主，在他统治时期出现了“贞观之治”，以下的政策或措施与他无关的是A.增设节度使，稳定边防B.轻徭薄赋，劝课农桑C.吸取隋亡教训，戒奢从简D. 知人善任，虚怀纳谏4.1074 年，苏轼因与王安石政见不合而被朝廷派往杭州担任通判。
下列有关宋代通判这一官职说法正确的是A.使节度使成为虚衔B.统管地方的财政C.为地方各州最高长官D.与知州共同签署文书5.右图是中国古代某王朝的部分统治区域。
该王朝是A. 唐朝B. 元朝C. 明朝D.清朝6.明朝司礼监在刚开始设立时并无特殊之处，明中期之后，司礼监的职能从侍奉宫廷生活转变为参与政治。
其机构中的秉笔、随堂太监负责“掌章奏文书，照阁票批朱”“凡内外之传宣，外之奏请属焉”。
秉笔太监中最得宠者，还监管东厂，“权重视总宪兼次辅”。
这种现象A.加剧了君主与丞相的矛盾B.说明君主专制必然导致宦官专权C.源于君主强化权力的需要D.说明司礼监掌握了法定的决策权7.清末立宪派代表张謇抨击清政府“名为立宪，实则专制。
以立宪之名，行专制之实”。
他所针对的清政府措施是A.编练新军B.奖励实业C.废除科举制D.组织“皇族内阁”8.中共某次全国代表大会的决议在分析了中国的社会性质后指出党的最高纲领是实现社会主义、共产主义，但在现阶段的革命纲领应当是打倒军阀；推翻国际帝国主义的压迫；统一中国使它成为真正的民主共和国。
浙江省宁波市2013-2014学年高一下学期期末考试 数学试题 Word版含答案
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设a 、b 、R c ∈，0<<b a ，则下列不等式一定成立的是.A 22b a < .B 22bc ac < .C b a 11> .D ab a 11>- 2.数列}{n a ：3-、3、33-、9、…的一个通项公式是.A n a n n 3)1(-=(*∈N n ) .B n n n a 3)1(-=(*∈N n ) .C n a n n 3)1(1+-= (*∈N n ) .D n n n a 3)1(1+-=(*∈N n )3.设、l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确．．．的是 .A 若α⊥l ，α⊂m ，则m l ⊥ .B 若α⊥l ，l ∥m ，则α⊥m .C 若l ⊥α，α⊥m ，则l ∥m .D 若l ∥α,m ∥α,则l ∥m4.等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若84=S ，48=S ，则=+++1211109a a a a.A 16- .B 12- .C 12 .D 165.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，那么下列给出的各组条件能确定三角形有两解的是.A 10=a ，8=b ， 30=A .B 8=a ，10=b ， 45=A .C 10=a ，8=b ， 150=A .D 8=a ，10=b ， 60=A6. 已知数列}{n a 满足21=a ，)(111*+∈+-=N n a a a n n n ，则=30a .A 2 .B 31 .C 21- .D 3- 7.当10<<a 时，关于x 的不等式12)1(>--x x a 的解集是.A )12,2(--a a .B )2,12(--a a .C ),12()2,(+∞---∞a a .D ),2()12,(+∞---∞ a a8.已知函数x x x f cos sin )(λ+=的图象的一个对称中心是点)0,3(π，则函数()g x ＝x x x 2sin cos sin +λ的图象的一条对称轴是直线 .A 65π=x .B 34π=x .C 3π=x .D 3π-=x 9.若不等式33922++≤≤+t t t t μ对任意的]2,0(∈t 上恒成立，则μ的取值范围是.A ]2172,61[- .B ]2172,132[- .C ]22,61[ .D ]22,132[10.如图，三棱柱111C B A ABC -的各棱长均为2，侧棱1BB 与底面ABC 所成的角为 60，11B AA ∠为锐角，且侧面11A ABB ⊥底面ABC ，给出下列四个结论：①601=∠ABB ； ②1BB AC ⊥；③直线1AC 与平面11A ABB 所成的角为45；④11AC C B ⊥. 其中正确的结论是.A ①③ .B ②④ .C ①③④ .D ①②③④二、填空题：本大题共7个小题，每小题4分，共28分.把答案填在答题卷的相应位置 11.求值：=+ 7cos 52cos 83cos 52sin ___________. 12.圆锥的母线长为3，侧面展开图的中心角为23π，那么它的表面积为___________. 13.将棱长为2的正方体切割后得一几何体，其三视图如图所示， 则该几何体的体积为___________. 14.正数x 、y 满足8=++y x xy ，那么y x +的最小值等于 ___________.15.已知数列}{n a 是首项为3，公差为1的等差数列，数列}{n b是首项为21，公比也为21的等比数列，其中*∈N n ，那么数 列}{n n b a 的前n 项和=n S ________.16.在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，若c b a 、、成等差数列，则角B的取值范围是__________(角用弧度表示).17.在数列}{n a 中，11=a ，326=a ， 212++=n n n a a a （*∈N n ），把数列的各项按如下方法进行分组：(1a )、(432,,a a a )、(98765,,,,a a a a a )、……，记),(n m A 为第m 组的第n 个数（从前到后），若),(n m A ),(m n A ⋅=502，则=+n m ____________.三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）(Ⅰ)已知πθ<<0，31cos sin =+θθ，求θ2cos 的值； (Ⅱ)已知202πβαπ<<<<-，53)cos(=-βa ，135sin =β，求αtan 的值.正视图侧视图俯视图 （第13题图）AA 1CC 1B 1 （第10题图）19.（本题满分14分）在ABC ∆中，c b a 、、分别是角C B A 、、所对的边，且C c B b a A a sin sin )(sin =++. (Ⅰ)求角C ；(Ⅱ)若1=c ，求ABC ∆的周长l 的取值范围. 20．（本题满分14分）某市环保部门对市中心每天环境污染情况进行调查研究，发现一天中环境污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为916|1|)(2++-+=a a x x a x f ，]24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且]41,0(∈a ，用每天)(x f 的最大值作为当天的污染指数，记作)(a M .(Ⅰ)令12+=x xt ，]24,0[∈x ，求t 的取值范围；(Ⅱ)按规定，每天的污染指数不得超过2，问目前市中心的污染指数是否超标？21.（本题满分15分）如图，已知四棱锥ABCD P -的底面为菱形，PA ⊥面ABCD ，且AB PA =， 60=∠BAD ,F E 、分别是BC PA 、的中点. (Ⅰ)求证：BE ∥平面PDF ；(Ⅱ)过BD 作一平面交棱PC 于点M ，若二面角C BD M --的大小为 60，求MPCM的值.PMFADECB(第21题图)22.（本题满分15分）设数列}{n a 的首项11=a ，前n 项和为n S ，且12+n a 、n S 、2a -成等差数列，其中*∈N n . (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)数列}{n b 满足：)18)(18(21--=++n n nn a a a b ，记数列}{n b 的前n 项和为n T ,求n T 及数列}{n T 的最大项.命题：宁海中学 陈金伟审题：象山中学 张美娟、俞建英宁波市 八校联考高一数学参考答案三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18.（本题满分14分）因为πθ<<0，0cos sin >+θθ，所以432πθπ<<，232πθπ<<, ……5分 917)98(12cos 2-=---=θ. ………………………………………………7分（Ⅱ）因为20πβ<<且135sin =β，所以125tan =β， ……………………………9分因为202πβαπ<<<<-，所以0<-<-βαπ，又053)cos(>=-βα,所以02<-<-βαπ，所以34)tan(-=-βα，……11分2013学年所以563312534112534])tan[(tan -=⋅++-=+-=ββαα.……………………………14分因为 600<<A ，所以 1206060<+<A ，1)60sin(23≤+< A ， 32)60sin(321≤+< A ，所以1322+≤<l ，即13322+≤<l . ………14分法2：由余弦定理得，ab b a ab b a c ++=-+=22222120cos 2 ， …………9分 而1=c ，故2222)(43)2()()(1b a b a b a ab b a +=+-+≥-+=，………………11分 所以332≤+b a ， …………………………………………………………………12分 又1=>+c b a ， ……………………………………………………………………13分 所以13322+≤++<c b a ，即13322+≤<l . ………………………………14分20.（本题满分14分）(Ⅰ)(1)当0=x 时，0=t ；………………………………………………………………1分)(t g 在),0[a 上单调递减，在]21,[a 上单调递增，所以)(t g 的最大值只可能在0=t 或21=t21.（本题满分15分）(Ⅰ)取PD 的中点G ,连结EG 、FG ,因为E 是PA 的中点，所以EG ∥AD ,且EG AD 21=，又F 是菱形ABCD 边BC 的中点，所以BF ∥AD ,且BF AD 21=，所以EG ∥BC ,且EG BC =，四边形 EGFB 是平行四边形，所以BE ∥FG ,……………………………………………5分 而⊂FG 平面PDF ,⊄BE 平面PDF ，……………………………………………6分所以BE ∥平面PDF .…………………………………………………………………7分PMFADECB(第21题图)G O(Ⅱ)连结AC 交BD 于O ，连结OM ，因为PA ⊥面ABCD ，所以PA ⊥BD ，即BD ⊥PA ，又BD ⊥AC ，且A AC PA = ,所以BD ⊥平面PAC ，…………10分 从而BD OM ⊥,BD OC ⊥,所以MOC ∠就是二面角C BD M --的平面角， 60=∠MOC ，………………………………………………………………………12分设1=AB ,因为AB PA =， 60=∠BAD ，所以1=PA ,3=AC ,2=PC ,30=∠PCA ,所以 90=∠OMC ,在OCM Rt ∆中,4330cos 23==CM ，…14分 所以5343243=-=MP CM ……………………………………………………………15分22.（本题满分15分）(Ⅰ) 由12+n a 、n S 、2a -成等差数列知，2122a a S n n -=+，………………………1分当2≥n 时，2122a a S n n -=-，所以n n n n a a S S 222211-=-+-，n n a a 21=+ ……………………………………4分 当1=n 时，由22122a a a -=得122a a =， ……………………………………5分 综上知，对任何*∈N n ,都有n n a a 21=+,又11=a ，所以0≠n a ，21=+nn a a .…6分 所以数列}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列，所以12-=n n a . ……………7分(Ⅱ))182)(182(2)18)(18(112!--=--=+-++n n n n n n n a a a b )18211821(211---=+n n ……10分 )182118211821182118211821(2113221---++---+---=+n n n T )1821161(21)18211821(21111---=---=++n n ，……………………………12分 )182)(92(2)18211821(21111211--=---=-++-+++n n n n n n n T T ，当2≤n 时，n n T T >+1，即3210T T T <<<；当4≥n 时，也有n n T T >+1，但0<n T ；当3=n 时，01<-+n n T T ，n n T T <+1，即34T T <. 所以数列}{n T 的的最大项是3273=T . ……………………………………………15分。
浙江省宁波市2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷含解析
宁波2023学年第一学期高一数学期中考试卷（答案在最后）考生须知：1．本卷满分100分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．第Ⅰ卷（选择题部分，共40分）一、选择题：本题共8小题．每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1.命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为（）A.x ∀∈Z ，20x ≤B.x ∀∉Z ，20x ≤ C.x ∃∈Z ，20x ≤ D.x ∃∉Z ，20x ≤【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题分析判断.【详解】由题意可得：命题“x ∀∈Z ，20x >”的否定为“x ∃∈Z ，20x ≤”.故选：C.2.“1x >-”是“2230x x -++<”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】解一元二次不等式，再由充分条件、必要条件判断即可.【详解】由2230x x -++<可得2230x x -->，解得3x >或1x <-，因为1x >-成立推不出3x >或1x <-，而3x >或1x <-成立不能推出1x >-，故“1x >-”是“2230x x -++<”的既不充分也不必要条件.故选：D 3.函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点（）A.()0,1- B.()1,1-- C.()0,0 D.()1,0-【答案】D【分析】令10x +=即可求解.【详解】令10x +=，则=1x -，代入函数()11x f x a +=-，解得0y =，则函数()11x f x a +=-（1a >）的图象必经过点()1,0-.故选：D4.设1lg 202a =+4log 5b =，则2b a +的值为（）A.2+B.1+C.27D.26【答案】B 【解析】【分析】根据对数的运算法则及性质化简求值即可.【详解】因为1lg 202a =+4log 5b =，所以41log 5log 24lg10412b a =++==++，故选：B5.函数()321y x =+的图象可以看成将某个奇函数的图象（）A .向左平移1个单位得到B.向左平移12个单位得到C.向右平移1个单位得到 D.向右平移12个单位得到【答案】B 【解析】【分析】根据函数的平移变换规则判断即可.【详解】()321y x =+可以由()32y x =向左平移12个单位得到，其中()()32y g x x ==定义域为R 且()()()()3322g x x x g x -=-=-=-，即()32y x =为奇函数.故选：B6.函数()f x =）A.(]2,3 B.[][)1,23,⋃+∞ C.()[),23,-∞⋃+∞ D.[)[)1,23,+∞【解析】【分析】根据题意结合分式不等式运算求解.【详解】由题意可得：()()21302--≥-x x x ，因为()210x -≥，原不等式等价于302x x -≥-，等价于()()32020x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得3x ≥或2x <，所以函数()f x 的定义域为()[),23,-∞⋃+∞.故选：C.7.若不等式240x ax ++≤对任意实数[]3,1x ∈--恒成立，则实数a 的最小值为（）A.0B.4C.133D.5【答案】D 【解析】【分析】通过分离常量，将恒成立问题转化成求最值，利用函数的单调性求解即可．【详解】当[]3,1x ∈--时，240x ax ++≤恒成立，即4a x x ⎛⎫≥-+⎪⎝⎭恒成立，令4(),[3,1]g x x x x ⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭，1212122112124()()((4)4x x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫--=-+++=- ⎪⎝⎭当[]12,3,2x x ∈--且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->->>，则12()()0g x g x ->，当[)121,2,x x --∈且12x x <时，2112120,40,0x x x x x x ->-<>，则12()()0g x g x -<，可得()g x 在[]3,2--上单调递减，在(]2,1--上单调递增，又13(3),(2)4,(1)53g g g -=-=-=，所以()g x 最大值为(1)5g -=，∴5a ≥，则实数a 的最小值为5．故选：D ．8.已知函数()f x =，()()g x f x =，则使()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥成立的实数m 的取值范围为（）A.11,28⎡⎤--⎢⎣⎦B.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.15,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.11,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】【分析】跟函数的单调性、奇偶性化简不等式()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥，由此求得m 的取值范围.【详解】依题意，()f x =，由12010x x +≥⎧⎨-≥⎩解得112x -≤≤，所以()f x 的定义域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.由112x -≤≤，解得11x -≤≤，所以()()g x f x =的定义域为[]1,1-，由于()()()()g x fx f x g x -=-==，所以()g x 是偶函数.当01x ≤≤时，()()()g x fx f x ===所以当10x -≤≤时，()g x 为减函数.由()25204g m g m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≥得()2524g m g m ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，所以225245121411m m m m ⎧+≥⎪⎪⎪-≤+≤⎨⎪-≤≤⎪⎪⎩，解得11,28m ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦.故选：A【点睛】求解含有函数符号的不等式的方法，主要是考虑奇偶性、单调性、定义域等方面，特别是定义域是很容易忽略的地方，求解函数的性质前，首先必须求得函数的定义域，要在函数的定义域的范围内来对函数进行研究.二、选择题：本题共4小题．每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列函数与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩表示同一函数的是（）A.y x =B.y =C.2y =D.2x y x=【答案】AB 【解析】【分析】根据同一函数的概念判断即可．【详解】,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ．,0,0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故A 正确；,0,0x x y x x x ≥⎧===⎨-<⎩，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域与对应关系均相同，故B 正确；2y =的定义域为[0,)+∞，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故C 错误；2x y x =的定义域为{}|0x x ≠，与,0,0x x y x x ≥⎧=⎨-<⎩定义域不同，故D 错误．故选：AB ．10.下列说法中正确的是（）A.若a b >，则22a b >B.若0a b >>，则11a b b a+>+C.若a b >，c d >，则ac bd > D.若0a b >>，0c <，则c ca b>【答案】ABD 【解析】【分析】根据不等式的性质，即可判断.【详解】对A ，若a b >，则22a b >，A 正确；对B ，若0a b >>，则110b a >>，则11a b b a+>+，B 正确；对C ，若a b >，c d >，设2,1,1,2a b c d ===-=-，此时ac bd =，C 错误；对D ，若0a b >>，0c <，则110b a >>，则c cb a<，D 正确.故选：ABD11.已知正实数a ，b 满足1a b +=，则下列选项中正确的是（）A.ab 的最大值为12 B.11a b+的最小值为4C.22a b +的最大值为12 D.22a b +的最小值为【答案】BD 【解析】【分析】根据基本不等式，结合已知条件判断ab 、11a b+、22a b +、22a b +的最值，注意不等式等号成立的条件，进而判断各项的正误.【详解】对A ，由a b +≥，又1a b +=，所以14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，A 错误；对B ，1111()224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当12a b ==时等号成立，B 正确；对C ，由22222a b a b ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭得()2222()a b a b +≥+，即2212a b +≥，当且仅当12a b ==时等号成立，C 错误；对D ，由22a b +≥=，当且仅当12a b ==时等号成立，D 正确.故选：BD12.已知函数()22f x x x =--，()2g x x =-，用{}max ,m n 表示m ，n 中的最大值，x ∀∈R ，记函数()()(){}max ,h x f x g x =，则下列选项中正确的是（）A.方程()2h x =有3个解B.方程()()f h x k =最多有4个解C.()1h x x >+的解集为⎪()1,3,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭D.方程()()h h x x =在[)0,x ∈+∞上的根为1+【答案】ABC 【解析】【分析】根据定义求得()h x 的表达式，作出()h x 的图象，利用图象可判断ABD ，结合()y h x =的图象分类讨论解不等式()1h x x >+判断C ．【详解】由222x x x -->-得0x <或2x >，即此时2()2h x x x =--，02x ≤≤时，()2h x x =-，作出()h x 的图象，如图，由图象可知，()2h x =有两个解，()2h x =-有一个解，即()2h x =有3个解，A 正确；例如0k =时，由2()20f x x x =--=得=1x -或2x =，显然()1h x =-与()2h x =都有2个解，因此(())0f h x =有4个解，又()f x m =与()h x n =都最多有2个解，因此B 正确；作出()y h x =的图象和直线1y x =+，如下图，由21x x -=+得12x =，由221x x x -->+，解得1x <-或3x >，结合()y h x =的图象与直线1y x =+知C 正确；02x ≤≤时，()2h x x =-，由(())h h x x =得2(2)(2)2x x x ----=的解是35x =35x =+舍去），2x >时，2()2h x x x =--，由222x x --=得1172x +=（1172舍去），11722x +<≤时，由(())h h x x =得2(2)2x x x ---=，无解，1172x +>时，由(())h h x x =得222(2)(2)2x x x x x ------=，化简22x x x --=或22x x x --=-，2x =±13x =±，只有13x =符合题意，其它均舍去，因此在[0,)+∞上的解是35-13+D 错．故选：ABC ．第Ⅱ卷（非选择题部分，共60分）三、填空题：本题共4小题．每小题3分，共12分．13.已知12x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则()f x 的解析式为______________．【答案】22x -【解析】【分析】利用换元法求函数解析式.【详解】令12=+xt ，则22x t =-，可得()22=-f t t ，所以()22f x x =-.故答案为：22x -.14.已知集合{}2,2,1A a a a a =---，若1A -∈，则实数a 的值为______________．【答案】1-或0【解析】【分析】根据元素与集合关系列式求解，利用元素的互异性进行验证.【详解】由题意，1A -∈，若1a =-，此时223,11a a a -=---=，符合题意；若21a -=-，则1a =，此时211a a --=-，不符合题意；若211a a --=-，则1a =或0a =，1a =时，221,11a a a -=---=-，不符合题意；0a =时，222,11a a a -=---=-，符合题意，综上，1a =-或0a =.故答案为：1-或0.15.设函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，则a 的取值范围是______________．【答案】[0,)+∞【解析】【分析】根据题意，由复合函数的单调性，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()22x axf x +=在区间()0,1上单调递增，故需2y x ax =+在区间()0,1上单调递增，即02a-≤，即0a ≥.则a 的取值范围是[0,)+∞.故答案为：[0,)+∞16.函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为______________．【答案】21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦【解析】【分析】由题意分析可得关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，分0y =和0y ≠两种情况，结合二次函数分析求解.【详解】因为2167x y x x -=-+，整理得()261710-+++=yx y x y ，可知关于x 的方程()261710-+++=yx y x y 有正根，若0y =，则10x -+=，解得1x =，符合题意；若0y ≠，则211670⎛⎫-+++= ⎪⎝⎭x x y y ，可得1602170y y ⎧+⎪≤⎪⎨⎪+<⎪⎩或2160211Δ6470y y y ⎧+⎪>⎪⎪⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪=+-+≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得17<-y或14≥y 且10≠y ，则107-<<y 或0y >或224y +≤-；综上所述：17>-y 或224y +<-，即函数2167x y x x -=-+，0x >的值域为21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.故答案为：21,,47∞∞⎛⎤+⎛⎫--⋃-+ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦.四、解答题：本题共6小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（110.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭；（2）已知11222a a -+=，求133a a a a --++的值．【答案】（1）298（2）1【解析】【分析】（1）指数的运算法则及性质化简求解；（2）根据式子的结构特征，利用完全平方公式及立方和公式化简即可得解.【小问1详解】10.7531160.1258-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭213334(0.75)2712182⨯⨯-⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3912142-=-++298=【小问2详解】因为11222a a -+=，所以21112224a a a a --⎛⎫+=++= ⎪⎝⎭，即12a a -+=，所以()212224a a a a --+=++=，即222a a -+=，所以1133122221111(21)()1a a a a a a a a a a a a -------+-+++====++-.18.设集合{}52A x x =-<，{}121B x m x m =+≤≤-．（1）当5m =时，求A B ⋃R ð；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．【答案】18.{R |7A B x x ⋃=<ð或9}x ≥19.{|4m m <且2}m ≠【解析】【分析】（1）求集合A 与R B ð，再结合并集的概念计算即可；（2）因为A B B = ，所以B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论，由B A ⊆列不等式组，求解集即可.【小问1详解】由题意得{}{}|52|37A x x x x =-<=<<，当5m =时，{}|69B x x =≤≤，所以{R |6B x x =<ð或}9x >，所以{R |7A B x x ⋃=<ð或}9x >.【小问2详解】因为A B B = ，所以B A ⊆，当121m m +>-，即2m <时，B =∅，满足B A ⊆.当2m =时，{}3B =，不满足题意，当121m m +<-，即m>2时，要使B A ⊆成立，只需13,217,m m +>⎧⎨-<⎩即24m <<.综上，当B A ⊆时，m 的取值范围是{|4m m <且}2m ≠.19.已知函数()3131-=+x x f x ．（1）判断()f x 在R 上单调性并证明；（2）当1x ≥时，()()g x f x =，且x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，求()g x 的解析式．【答案】（1）证明见解析；（2）31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.【解析】【分析】（1）根据单调性的定义证明，设12,R x x ∈，且12x x <，()()120f x f x -<；（2）由()()11g x g x +=-转化为()()2g x g x =-，设1x <时，则21x ->，代入解析式，即可求解.【小问1详解】设12,R x x ∈，且12x x <，()()()()()x x x x x x x x f x f x ----=+++=+-1212121212313123331313131，12x x < ，,,x x x x ∴<>>1212333030，则()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，所以()f x 在R 上单调递增.【小问2详解】当1x ≥时，()3131x x g x -=+，由x ∀∈R ，()()11g x g x +=-，即()()2g x g x =-，当1x <时，则21x ->，则()22319331932x xx x g x ---=--=++，则当1x <时，()xx g x -=+9393，故函数()g x 的解析式为31,131()93,193x x x xx g x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨-⎪<⎪+⎩.20.（1）若x ∀∈R ，210ax ax -+>，求实数a 的取值范围；（2）若[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，求实数x 的取值范围．【答案】（1）[0,4)（2）11,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据全称命题为真，分类讨论不等式恒成立即可；（2）根据存在性命题为真，转化为不等式有解，求最大值后解不等式即可.【详解】（1）因为x ∀∈R ，210ax ax -+>，①当0a =时，不等式10>对x ∀∈R 成立，符合题意.②当0a ≠时，若不等式210ax ax -+>对x ∀∈R 恒成立，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，实数a 的取值范围[0,4).（2）[]2,1a ∃∈--，210ax ax -+>，即[]2,1a ∃∈--，21x x a-<-，所以2max1x x a ⎛⎫-<- ⎪⎝⎭，而1y x =-在[]2,1x ∈--上单调递增，所以21x x -<，解得1122x -+<<，故实数x的取值范围11,22⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()()211,022,0a x x f x ax x a x ⎧--<⎪=⎨⎪+-≥⎩．（1）若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）求()f x 在区间[]1,2上的最大值．【答案】（1）10,2⎡⎤⎢⎣⎦（2）答案见解析【解析】【分析】（1）分0a =和0a ≠两种情况，结合分段函数单调性分析求解；（2）分类讨论()f x 在区间[]1,2上的单调性，结合单调性求最值.【小问1详解】因为()f x 在R 上单调递增，则有：若0a =，则()1,022,0x x f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪≥⎩，因为1,22=-=y x y x 在定义域内单调递增，且102-<，所以0a =符合题意；若0a ≠，则1001012a a a a ->⎧⎪>⎪⎪⎨-≤⎪⎪-≤-⎪⎩，解得102a <≤，综上所述：实数a 的取值范围10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】因为[]1,2x ∈，则()22=+-f x ax x a ，（i ）若0a =，可知()2f x x =在[]1,2上单调递增，最大值为()24f =；（ⅱ）若0a >，则()22=+-f x ax x a 开口向上，对称轴10x a=-<，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；（ⅲ）若a<0，则()22=+-f x ax x a 开口向下，对称轴10x a =->，①当101a <-≤，即1a ≤-时，可知()f x 在[]1,2上单调递减，最大值为()12f =；②当12a -≥，即102a -≤<时，可知()f x 在[]1,2上单调递增，最大值为()234=+f a ；③当112a <-<，即112a -<<-时，可知()f x 在11,⎡⎫-⎪⎢⎣⎭a 上单调递增，在1,2a ⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，所以最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；综上所述：若12a ≥-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()234=+f a ；若112a -<<-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为11⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭f a a a ；若1a ≤-，()f x 在区间[]1,2上的最大值为()12f =.22.黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在[]0,1上，()()1,(,N ,)0,010,1p p x p q q q q R x x +⎧=∈⎪=⎨⎪=⎩为既约真分数或或内的无理数．（1）请用描述法写出满足方程(),(0)R x x x =≠的解集；（直接写出答案即可）（2）解不等式()1155R x x >+；（3）探究是否存在非零实数,k b ，使得()y R kx b =+为偶函数？若存在，求k ，b 应满足的条件；若不存在，请说明理由．【答案】（1）{|x 1,x q=q 为大于1的正整数}（2）11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭（3）存在，11,2k b ==【解析】【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解；（3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得()(1)R x R x =-，则()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，即可得解.【小问1详解】依题意，0x ≠，当1x =时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当x 为()0,1内的无理数时，()0R x =，则方程()R x x =无解，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)时，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，则由方程()R x x =，解得1x q=，q 为大于1的正整数，综上，方程(),(0)R x x x =≠的解集为{|x 1,x q =q 为大于1的正整数}.【小问2详解】若0x =或1x =或x 为()0,1内无理数时，()0R x =，而11055x +>，此时()1155x x R <+，若p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则()1R x q=，q 为大于1的正整数，由()1155R x x >+，得11155q p q >⋅+，解得5p q +<，又因为p x q =(,N ,p p q q+∈为既约真分数)，所以11,23x =，综上，不等式()1155R x x >+的解为11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【小问3详解】存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数，即12y R x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，证明如下：当0x =或1x =时，有(0)(1)0R R ==成立，满足()(1)R x R x =-，当x 为(0,1)内的无理数时，1x -也为(0,1)内的无理数，所以()(1)0R x R x =-=，满足()(1)R x R x =-，当p x q =(,N ,p p q q +∈为既约真分数)，则11p q p x q q--=-=为既约真分数，所以1()(1)R x R x q =-=，满足()(1)R x R x =-，综上，对任意[0,1]x ∈，都有()(1)R x R x =-，所以()R x 关于12x =对称，即1122R x R x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12R x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，所以，存在非零实数11,2k b ==，使得()y R kx b =+为偶函数.。
浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一上学期期中联考试题数学含答案
绝密★考试结束前2023学年第一学期宁波五校联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合}6,5,4,3,2,1{=U ，}5,3,1{=A ，}5,4,3{=B ，则=)(B A C U A ．}5,3{B ．}5,4,3,1{C ．}6,2{D ．}6,4,2,1{2．“22b a =”是“22)()(b a =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知命题p ：“R x ∈∃，012<+-ax x ”为假命题，则实数a 的取值范围为A ．]2,(-∞B ．)2,2(-C ．),2()2,(+∞--∞ D ．]2,2[-4．已知0>x ，0>y ，且12=+y x ，下列结论中错误的是A ．xy 的最大值是81B ．224y x +的最小值是21C ．yx 21+的最小值是9D ．yx42+的最小值是25．设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值为A ．a ≤2-B ．a ≥2-C ．a ≥2D ．a ≤26．已知函数)(x f 是偶函数，)(x g 是奇函数，满足2)()(2-+=+x x x g x f ，则)2(f ＝A ．1B ．2C ．3D ．47．已知5253(=a ，53)52(=b ，52)52(=c ，则A ．cb a <<B ．ab c <<C ．a c b <<D ．ba c <<8．已知幂函数αx x f =)(的图象经过点2,2(，则函数)(x f 为A ．非奇非偶函数且在),0(+∞上单调递增B ．非奇非偶函数且在),0(+∞上单调递减C ．奇函数且在),0(+∞上单调递增D ．偶函数且在),0(+∞上单调递减二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9．下列各组函数中是同一函数的是A ．11)(-⋅+=x x x f ，)1()1()(-⋅+=x x x g B ．x x x f -⋅+=11)(，)1()1()(x x x g -⋅+=C ．||)(x x f =，2)(t t g =D ．1)(+=x x f ，1)(-=t t g 10．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为2|{-<x x 或}3>x ，则下列说法正确的是A ．0>a B ．不等式0>+c bx 的解集是}6|{<x x C ．0<++c b a D ．不等式02<+-a bx cx 的解集是31|{-<x x 或}21>x11．如果函数)(x f 在],[b a 上是增函数，对于任意)(],[,2121x x b a x x ≠∈，则下列结论中正确的是A ．)()(2121>--x x x f x f B ．[]0)()()(2121>--x f x f x x C ．)()()()(21b f x f x f a f ≤<≤D ．)()(21x f x f >A ．4B ．12C ．246-D ．246+非选择题部分三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．=--+--32221278()21(162023．14．集合}32|{<≤-∈=x Z x A 的子集个数是．15．若函数||)(a x x x f -=在区间]2,0(上既有最小值又有最大值，那么实数a 的取值范围是．16．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =，若对任意的]1,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的最小值是．四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知集合}21|{2++-==x x y x A ，}321|{+≤≤-=m x m x B .（1）当0=m 时，求B A ，B A ；（2）若A B ⊆时，求实数m 的取值范围.已知命题p ：]3,2[∈∀x ，02≥-a x ，命题q ：R x ∈∃，0222=++a ax x .（1）若命题p ⌝为假命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题p 和q ⌝均为真命题，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知二次函数)51(3)42()(2≤≤++--=x a x a x x f .（1）记)(x f 的最小值为)(a g ，求)(a g 的解析式；（2）记)(x f 的最大值为)(a h ，求)(a h 的解析式.20.（本小题满分12分）（1）已知正数b a ,满足121=+ba ，求b a 8+的最小值；（2）已知正数b a ,满足12=+b a ，求aba 11+的最小值.“绿色低碳、节能减排”是习总书记指示下的新时代发展方针.某市一企业积极响应总书记的号召，采用某项创新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，以达到减排效果.已知该企业每月的二氧化碳处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系式可表示为125000300212+-=x x y ，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.（1）该企业每月处理量为多少吨时，才能使其每吨的平均处理成本最低？（2）该市政府也积极支持该企业的减排措施，试问该企业在该减排措施下每月能否获利？如果获利，请求出最大利润；如果不获利，则该市政府至少需要补贴多少元才能使该企业在该措施下不亏损？22.（本小题满分12分）2023学年第一学期宁波五校联盟期中联考高一年级数学学科参考答案命题：正始中学方勇审稿：正始中学王伍成一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）CBDDABCA二、多项选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）9.BC10.ACD11.AB12.AD三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.45-14.3215.]2,0(16.22四、解答题（共6小题，共70分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.解：（1）由题得)2,1(-=A --------------------------------------------------------------------------1分当0=m 时，]3,1[=B ，故)2,1[=B A ----------------------------------------------------------------------------3分]3,1(-=B A --------------------------------------------------------------------------5分（2）由题知AB ⊆（i ）当Φ=B 时，321+>-m m 即32-<m 符合题意；---------------------------7分232113212132.-------------------------918.解：（1）由题知p 为真命题，-------------------------------------------------------------------------2分即2x a ≤对于32≤≤∀x 恒成立，--------------------------------------4分得]4,(-∞∈a -------------------------------------------------------6分（2）由题得命题q ⌝：022,2≠++∈∀a ax x R x 为真命题--------------------7分即0842<-=∆a a ---------------------------------------------------9分解得20<<a -------------------------------------------------------10分由命题p 和q ⌝均为真命题，得⎩⎨⎧<<<204a a ------------------------------11分综上所述)2,0(∈a --------------------------------------------------12分19.解：（1）该二次函数的对称轴为直线2-=a x -----------------------------------1分（i）当12<-a ，即3<a 时，此时)(x f 在区间]5,1[上单调递增-----------2分所以)(x f 的最小值a f a g -==8)1()(；----------------------------3分（ii）当52>-a ，即7>a 时，此时)(x f 在区间]5,1[上单调递减---------4分所以)(x f 的最小值a f a g 948)5()(-==；（iii）当521≤-≤a ，即73≤≤a 时，-------------------------------5分此时)(x f 的最小值15)2()(2-+-=-=a a a f a g ；-----------------6分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤-+-<-=)7(948)7315)3(,8)(2a a a a a a a a g （----------------------------7分（2）（i）当32<-a ，即5<a 时，-----------------------------------------8分此时)(x f 的最大值a f a h 948)5()(-==；-------------------------9分（ii）当32≥-a ，即5≥a 时，--------------------------------------10分此时)(x f 的最大值a f a h -==8)1()(；-------------------------------11分585948------------------------------1220.解：（1）b a 8+21)(8(ba b a ++=----------------------------------------------------------1分258178221716821=+=⋅+≥+++=ab b a a b b a -------------------------------4分当且仅当⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=12182ba ab b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧==255b a 时，取得最小值，最小值为25----------------------6分（2）ab a 11+ba ab b a a 1321+=++=-----------------------------------------------------7分625625263)2)(13(+=⋅+≥+++=++=b aa b b a a b b a b a --------------------10分当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+=126b a b aa b ，即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=12663b a 时，取得最小值，最小值为625+------------12分21.解：（1）每吨的平均处理成本为30012500021125000300212-+=+-=xx x x x x y ------------------2分所以200300125000212=-⋅≥x x x y ，----------------------------------------------5分此时xx 12500021=，---------------------------------------------------------------6分即500=x 时取到最小值------------------------------------------------------------7分（2）设该企业每月获利为)(x s 元，则y x x s -=100)(，即)12500030021(100)(2+--=x x x x s --------------------------------------------9分也就是12500040021)(2-+-=x x x s ，即45000)400(21)(2---=x x s ，其最大值为45000-，----------------------------11分说明该企业每月没有获利，该市政府至少需要补贴45000元才能使该企业不亏损------------12分22.解：（1）由2)1(-=-f ，且)(x f 是奇函数，得2)1(=f ，于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-2222ba ba ，解得⎩⎨⎧==01b a ，即x x x f 1)(+=．-----------------------------------------2分函数。