三角函数与向量综合测试
三角函数和平面向量专题练习2
北
B
的位置 C 处 (1) 求该船的行驶速度.
西
A
45° θ
C D
东
(2) 若该船不改变航行方向,判断它是否会进入警戒 水域,并说明理由.
P E Q
20 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长, R 表示 ∆ABC 的外接圆半径 (1)如图在 O 以为圆心,半径为 2 的 O 中, BC , BA 分别是 O 的弦,其中 BC = 2, ∠ABC = 45° ,求 弦 AB 的长 (2)在 ∆ABC 中,若 ∠C 为钝角,求证: a 2 + b 2 ≤ 4 R 2 (3)给定三个正实数 a, b, R ,其中 a ≥ b ,问 a, b, R 满足怎样的关系是时,以 a, b 为边长,以 R 为外 接圆半径的 ∆ABC 不存在,存在一个,或存在两个(全等的 三角 形 算作同 一个 ), 在 ∆ABC 存 在的 情况 下 ,用 a, b, R 表 示c
uuu r uuur
1 2
16. 在三角形 ABC 中, 用 a, b, c 分别表示 ∆ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边的边长,已知
∠B = 45° , b = 10, cos C = 2 5 5
(1)求边长 BC 的值 (2 若 AB 的中点为 D ,求中线 CD 的值.
2/8
π π 17. 已知函数 f ( x ) = 2 sin x + − 2 cos x, x ∈ , π 6 2
2 n 为偶数时, ○
f n (θ ) = sin n θ + cos n θ ,∴ f n′ (θ ) = n sin n −1 θ ⋅ cos θ − n cos n −1 θ sin θ = n sin θ cos θ ( sin n − 2 θ − cos n − 2 θ )
专题03 三角函数与平面向量综合问题(答题指导)(解析版)
专题03 三角函数与平面向量综合问题（答题指导）【题型解读】题型特点命题趋势▶▶题型一：三角函数的图象和性质1．注意对基本三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的图象与性质的理解与记忆，有关三角函数的五点作图、图象的平移、由图象求解析式、周期、单调区间、最值和奇偶性等问题的求解，通常先将给出的函数转化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后利用整体代换的方法求解． 2．解决三角函数图象与性质综合问题的步骤 (1)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式． (2)构造f (x )＝a 2＋b 2⎝⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2·sin x ＋b a 2＋b 2·cos x . (3)和角公式逆用，得f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)(其中φ为辅助角)． (4)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质． (5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．【例1】 (2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．【答案】见解析【解析】(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sinωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z .故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.【素养解读】本题中图象的变换考查了数学直观的核心素养，将复杂的三角函数通过变形整理得到正弦型函数，从而便于对性质的研究，考查数学建模的核心素养．【突破训练1】 设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω>0)，且y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.(1)求ω的值；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)f (x )＝32－3·1－cos2ωx 2－12sin2ωx ＝32cos2ωx －12sin2ωx ＝ －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π3.因为y ＝f (x )的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，故该函数的周期T ＝4×π4＝π.又ω>0，所以2π2ω＝π，因此ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当π≤x ≤3π2时，5π3≤2x －π3≤8π3，所以－32＝sin 5π3≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤sin 5π2＝1，所以－1≤f (x )≤32，即f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2上的最大值和最小值分别为32，－1.▶▶题型二 解三角形1．高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主．其命题规律可以从以下两方面看：(1)从内容上看，主要考查正弦定理、余弦定理以及三角函数公式，一般是以三角形或其他平面图形为背景，结合三角形的边角关系考查学生利用三角函数公式处理问题的能力；(2)从命题角度看，主要是在三角恒等变换的基础上融合正弦定理、余弦定理，在知识的交汇处命题． 2．用正、余弦定理求解三角形的步骤第一步：找条件，寻找三角形中已知的边和角，确定转化方向．第二步：定工具，根据已知条件和转化方向，选择使用的定理和公式，实施边角之间的转化． 第三步：求结果，根据前两步分析，代入求值得出结果．第四步：再反思，转化过程中要注意转化的方向，审视结果的合理性．【例2】 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sin Csin B ． (1)求A ；(2)若a ＝3，求b ＋2c 的最大值． 【答案】见解析【解析】(1)cos(C ＋B)cos(C －B)＝cos2A －sinCsinB ＝cos2(C ＋B)－sinCsinB ，则cos(C ＋B)[cos(C －B)－cos(C ＋B)]＝－sinCsinB ，则－cosA·2sinCsinB＝－sinCsinB ，可得cosA ＝12，因为0＜A ＜π，所以A＝60°.(2)由a sinA ＝b sinB ＝csinC ＝23，得b ＋2c ＝23(sinB ＋2sinC)＝23[sinB ＋2sin(120°－B)]＝23(2sinB＋3cosB)＝221sin(B ＋φ)，其中tanφ＝32，φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.由B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3得B ＋φ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，7π6，所以sin(B ＋φ)的最大值为1，所以b ＋2c 的最大值为221.【素养解读】试题把设定的方程与三角形内含的方程(三角形的正弦定理、三角形内角和定理等)建立联系，从而求得三角形的部分度量关系，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．【突破训练2】 (2017·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a >b ，a ＝5，c ＝6，sin B ＝35.(1)求b 和sin A 的值； (2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π4的值．【答案】见解析【解析】(1)在△ABC 中，因为a >b ，故由sin B ＝35，可得cos B ＝45.由已知和余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝13，所以b ＝13.由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝31313. (2)由(1)及a <c ，得cos A ＝21313，所以sin2A ＝2sin A cos A ＝1213，cos2A ＝1－2sin 2A ＝－513.故sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π4＝sin2A cos π4＋cos 2A ·sin π4＝7226.▶▶题型三 三角函数与平面向量的综合1．三角函数、解三角形与平面向量的综合主要体现在以下两个方面：(1)以三角函数式作为向量的坐标，由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式；(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形，然后利用正、余弦定理解决问题．2．(1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题．(2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响． 【例3】 (2019·佛山调考)已知函数f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R .(1)求函数y ＝f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，且向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，求边长b 和c 的值． 【答案】见解析【解析】(1)f (x )＝a ·b ＝2cos 2x －3sin2x ＝1＋cos2x －3sin2x ＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，所以f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．(2)因为f (A )＝1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π3＝－1.因为0＜A ＜π，所以π3＜2A ＋π3＜7π3，所以2A ＋π3＝π，即A ＝π3.因为a ＝7，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①因为向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线，所以2sin B ＝3sinC ． 由正弦定理得2b ＝3c ，② 由①②可得b ＝3，c ＝2.【突破训练3】(2019·湖北八校联考) 已知△ABC 的面积为S ，且32AB →·AC →＝S ，|AC →－AB →|＝3.(1)若f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω＞0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离为2，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝1，求△ABC 的面积S ；(2)求S ＋3 3 cos B cos C 的最大值． 【答案】见解析【解析】设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 因为32AB →·AC →＝S ，所以32bc cos A ＝12bc sin A ， 解得tan A ＝3，所以A ＝π3.由|AC →－AB →|＝3得|BC →|＝a ＝3.(1)因为f (x )＝2cos(ωx ＋B )(ω>0)的图象与直线y ＝2相邻两个交点间的最短距离T ＝2，即2πω＝2，解得ω＝π，故f (x )＝2cos(πx ＋B )．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫16＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝1，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋B ＝12.因为B 是△ABC 的内角，所以B ＝π6，从而△ABC 是直角三角形，所以b ＝3，所以S △ABC ＝12ab ＝332.(2)由题意知A ＝π3，a ＝3，设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝a sin A ＝ 332＝23，解得R ＝3，所以S＋33cos B cos C ＝12bc sin A ＋33cos B cos C ＝34bc ＋33cos B cos C ＝33sin B sin C ＋33cos B cos C ＝33cos(B －C )，故S ＋33cos B cos C 的最大值为3 3.。
高三数学三角函数综合试题答案及解析
高三数学三角函数综合试题答案及解析1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.已知函数.（1）求的最小正周期和最小值；（2）若，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】(1)首先根据二倍角公式进行化简，并将函数的解析式化为的形式，然后利用最小正周期公式,最小值为,可得结果；(2)将代入,化简，利用得到三角函数值，根据，得到的值.此题考察三角函数的化简求值，属于基础题.试题解析：（1）解：， 4分，，所以的最小正周期为，最小值为. 8分（2）解：，所以， 11分因为，，所以，因此的值为. 13分【考点】1.三角函数的化简；2.三角函数的求值.3.函数的值域为．【答案】【解析】令，则.【考点】1、三角函数；2、二次函数；3、换元法.4.已知，，则x= .（结果用反三角函数表示）【答案】【解析】本题关键是注意反三角函数值的取值范围，适当利用诱导公式，，，而，故，即．【考点】反正弦函数．5.已知函数.（Ⅰ）求的单调减区间；（Ⅱ）求在区间上最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）函数的单调减区间是：；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）将降次化一，化为的形式，然后利用正弦函数的单调区间，即可求得其单调递增区间.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，又的范围为，由此可得的范围，进而求得的范围.试题解析：.函数的单调减区间是：.的范围为，所以，所以即：【考点】1、三角恒等变换；2、三角函数的单调区间及范围.6.如图，两座建筑物的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9和15，从建筑物的顶部看建筑物的视角.⑴求的长度；⑵在线段上取一点点与点不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为问点在何处时，最小？【答案】⑴;⑵当为时，取得最小值．【解析】⑴根据题中图形和条件不难想到作，垂足为，则可题中所有条件集中到两个直角三角形中，由，而在中，再由两角和的正切公式即可求出的值，又，可求出的值;⑵由题意易得在两直角三角形中，可得，再由两角和的正切公式可求出的表达式，由函数的特征，可通过导数求出函数的单调性和最值，进而求出的最小值，即可确定出的最小值．试题解析：⑴作，垂足为，则，，设，则 2分，化简得，解之得，或（舍）答：的长度为． 6分⑵设，则，． 8分设，，令，因为，得，当时，，是减函数；当时，，是增函数，所以，当时，取得最小值，即取得最小值， 12分因为恒成立，所以，所以，，因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．答：当为时，取得最小值． 14分【考点】1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用7.已知以角为钝角的的三角形内角的对边分别为、、，，且与垂直．（1）求角的大小；（2）求的取值范围【答案】（1）；（2）．【解析】（1）观察要求的结论，易知要列出的边角之间的关系，题中只有与垂直提供的等量关系是，即，这正是我们需要的边角关系．因为要求角，故把等式中的边化为角，我们用正弦定理，，，代入上述等式得，得出，从而可求出角；（2）要求的范围，式子中有两个角不太好计算，可以先把两个角化为一个角，由（1），从而，再所其化为一个三角函数（这是解三角函数问题常用方法），下面只要注意这个范围即可．试题解析：1）∵垂直，∴（2分）由正弦定理得（4分）∵，∴，（6分）又∵∠B是钝角，∴∠B（7分）（2）（3分）由（1）知A∈（0，），, （4分），（6分）∴的取值范围是（7分）【考点】（1）向量的垂直，正弦定理；（2）三角函数的值域．8.已知向量，，(Ⅰ)若，求的值；(Ⅱ)在中，角的对边分别是，且满足，求函数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】本题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式、余弦定理、三角函数的值域等基础知识，考查运用三角公式进行三角变换的能力和基本的运算能力.第一问，利用向量的数量积将坐标代入得表达式，利用倍角公式、两角和的正弦公式化简表达式，因为，所以得到，而所求中的角是的2倍，利用二倍角公式计算；第二问，利用余弦定理将已知转化，得到，得到，得到角的范围，代入到中求值域.试题解析：（Ⅰ）∵，而，∴，∴，（Ⅱ）∵，∴，即，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴.【考点】1.向量的数量积；2.倍角公式；3.两角和与差的正弦公式；4.余弦公式；5.三角函数的值域.9.若，且，则 ( )A．B．C．D．【答案】B．【解析】，故选B．【考点】1．三角函数诱导公式；2．三角函数平方关系．10.在△ABC中，角均为锐角，且，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【答案】D．【解析】又角均为锐角，则且中，，故选D．【考点】1．诱导公式；2．正弦函数的单调性．11.已知函数为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）若时，的最小值为，求a的值．【答案】（Ⅰ）的最小正周期；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）求函数的最小正周期，由函数为常数），通过三角恒等变化，把它转化为一个角的一个三角函数，从而可求函数的最小正周期；（Ⅱ）利用三角函数的图像，及，可求出的最小值，让最小值等于，可求出a的值．试题解析：（Ⅰ）∴的最小正周期（Ⅱ）时，时，取得最小值【考点】三角函数的性质．12.已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在区间上的函数值的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）函数.通过二倍角的逆运算将单角升为二倍角，再化为一个三角函数的形式，从而求出函数的周期.（2）x的范围是所以正弦函数在是递增的.所以f（x）的范围是本题考查三角函数的单调性，最值，三角函数的化一公式，涉及二倍角的逆运算等.三角函数的问题要关注角度的变化，角度统一，二次式化为一次的，三角函数名称相互转化.切化弦，弦化切等数学思想.试题解析：(1) 4分6分故的最小正周期为 8分(2)当时, 10分故所求的值域为 12分【考点】1.三角函数的化一公式.2.二倍角公式.3.函数的单调性最值问题.13.下列命题中：函数的最小值是；②在中，若，则是等腰或直角三角形；③如果正实数满足，则；④如果是可导函数，则是函数在处取到极值的必要不充分条件．其中正确的命题是_____________.【答案】②③④．【解析】当，等号成立时当且仅当“即”，显然不成立，则命题①不正确；在中，若，则或，则是等腰或直角三角形，故②正确；由，因为正实数，满足，所以，故③正确；如果是可导函数，若函数在处取到极值，则，当，，但函数在处无极值，则是函数在处取到极值的必要不充分条件，故④正确.【考点】基本不等式、三角函数性质、不等式及导数的性质.14.已知向量,函数．（1）求函数的最小正周期;（2）已知分别为内角、、的对边, 其中为锐角,且,求和的面积．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据题意，再利用二倍角公式及辅助角公式将化简为；（2）将代入，得，因为，所以，再利用余弦定理，解出，最后根据三角形面积公式求出. 试题解析：（1）由题意所以.由（1），因为,所以，解得.又余弦定理，所以，解得，所以.【考点】1.三角函数恒等变形；2.三角函数周期；3.余弦定理及三角形面积公式.15.已知，，其中，若函数，且函数的图象与直线y=2两相邻公共点间的距离为．(l)求的值；(2)在△ABC中，以a，b，c(分别是角A，B，C的对边，且，求△ABC周长的取值范围．【答案】(1)；(2).【解析】(1)先根据，结合二倍角公式以及和角公式化简，求得，函数最大值是，那么函数的图像与直线两相邻公共点间的距离正好是一个周期，然后根据求解的值；(2)先将代入函数的解析式得到：，由已知条件以及，结合三角函数的图像与性质可以解得，所以，由正弦定理得，那么的周长可以表示为：，由差角公式以及和角公式将此式化简整理得，，结合角的取值以及三角函数的图像与性质可得.试题解析：（1）， 3分∵，∴函数的周期，∵函数的图象与直线两相邻公共点间的距离为.∴，解得. 4分（2）由（Ⅰ）可知，，∵，∴，即，又∵，∴，∴，解得. 7分由正弦定理得：，所以周长为：， 10分，所以三角形周长的取值范围是. 12分【考点】1.和角公式；2.差角公式；3.二倍角公式；4.三角函数的图像与性质；5.正弦定理16.已知向量，（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求函数在上的值域.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）本小题主要利用向量平行的坐标运算得到，然后解出，再利用二倍角正切公式可得；（Ⅱ）本小题首先化简函数解析式，然后根据三角函数的图像与性质，得到三角函数的取值范围，进而求值域；试题解析：（Ⅰ），， 2分即，， 4分6分（Ⅱ）=10分，12分，即 14分【考点】1.平行向量；2.三角函数的图像与性质.17.已知 .【答案】【解析】.【考点】1.两角差的正切公式；2.三角函数的拆角方法.18.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．19.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.20.取得最小值a时，此时x的值为b，则取得最大值时，的值等于________。
高三数学三角函数综合试题
高三数学三角函数综合试题1.已知函数，则的值为 .【答案】.【解析】∵，两边求导，∴，令，得，∴，∴，即.【考点】导数的运用.2.设函数满足当时，，则（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】由题意，，故选A.【考点】1.函数的求值.3.已知tan,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根，且3π＜＜,则cos+sin= ( )A．B．C．-D．-【答案】C【解析】∵tan·=k2-3=1∴k=±2,而3π＜＜,∴tan>0,即tan+=k=2，解之得tanα=1，所以sin=cos=∴cos+sin=-4.设函数f(x)=Asin(ωx+)(其中A>0,ω>0,-π<≤π)在x=处取得最大值2,其图象与x轴的相邻两个交点的距离为.(1)求f(x)的解析式;(2)求函数g(x)=的值域.【答案】(1) f(x)=2sin(2x+) (2) [1, ]∪(,]【解析】解:(1)由题设条件知f(x)的周期T=π,即=π,解得ω=2.因为f(x)在x=处取得最大值2,所以A=2,从而sin(2×+)=1,所以2×+=+2kπ,k∈Z.又由-π<≤π,得=.故f(x)的解析式为f(x)=2sin(2x+).(2)g(x)====cos2x+1(cos2x≠).因为cos2x∈[0,1],且cos2x≠,故g(x)的值域为[1,]∪(,].5.已知函数f(x)=-asin cos(π-)的最大值为2,则常数a的值为()A．B．-C．±D．±【答案】C【解析】【思路点拨】先利用公式进行三角恒等变形,把f(x)化成f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,再利用最大值求得a.解:因为f(x)=+asinx=(cosx+asinx)=cos(x-φ)(其中tanφ=a),所以=2,解得a=±.6.已知向量a=(sin(α+),1),b=(4,4cosα-),若a⊥b,则sin(α+)=()A．-B．-C．D．【答案】B【解析】∵a⊥b,∴a·b=4sin(α+)+4cosα-=0,即sin(α+)+cosα=,即sinαcos+cosαsin+cosα=,即sinα+cosα=,故sinα+cosα=,故sin(α+)=,又sin(α+)=-sin(α+)=-.故选B.7.设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.(1)若|a|＝|b|，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．【答案】（1）x＝（2）【解析】(1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.又x∈，从而sin x＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，当x∈时，－≤2x－≤π，∴当2x－＝时，即x＝时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.8.在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为，，，.（1）求的最大值及的取值范围；（2）求函数的最大值和最小值.【答案】（Ⅰ）的最大值为１６，及的取值范围0＜；（Ⅱ）最大值为３，最小值为２.【解析】（Ⅰ）求的最大值及的取值范围，由向量的数量积，即，由此可想到利用余弦定理求出，通过基本不等式，可求得b•c的最大值，再结合，可求出的取值范围；（Ⅱ）求函数的最大值和最小值，可利用二倍角的正弦函数化简函数，这样化为一个角的一个三角函数的形式，通过角的范围0＜，利用正弦函数的最值，从而求出函数的最大值和最小值．试题解析：（Ⅰ）即又所以，即的最大值为16即所以，又0＜＜所以0＜（Ⅱ）因0＜，所以＜，当即时，当即时，【考点】正弦函数的图象；平面向量数量积的运算．9.已知函数在一个周期上的系列对应值如下表：（1）求的表达式；（2）若锐角的三个内角、、所对的边分别为、、，且满足，，，求边长的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据已知条件中表格给出的对应点，通过“五点作图法”，建立方程组，求出参数和的值，从而得到函数的解析式；（2）通过条件，并利用第（1）问的解析式可求出角的大小，进而利用正弦定理，变形求出的值，再求边长的值，解题过程体现方程思想的运用.试题解析：（1）由题设条件给出的点可知，，解得，，，将点代入得，求得，于是函数.（2）由得，即，设，则，，即，解得，.【考点】利用三角函数图像上的点求解析式，正弦定理.10.等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【考点】三角函数的诱导公式及三角函数值.11.已知向量与，其中(Ⅰ)若，求和的值；(Ⅱ)若，求的值域.【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)的值域为．【解析】(Ⅰ)由已知条件，得，由此可求得的值，由于为特殊值，从而可求得的值，进而求得和的值（也可利用平方关系求得和的值）；(Ⅱ)首先列出函数的表达式，利用三角函数的平方关系及三角函数辅助角公式，将其化为一个复合角的三角函数式：，最后利用整体思想来求函数的值域．试题解析：(Ⅰ)，， 2分求得. 3分又，， 5分，. 6分(Ⅱ) 8分又，，， 10分，即函数的值域为. 12分【考点】1．向量共线的充要条件；2．三角函数求值；3．三角函数的值域．12.已知函数则函数在[-1,1]上的单调增区间为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∵，∴.【考点】1.倍角公式；2.两角和的正弦公式；3.三角函数的单调区间.13.在中,若,则的形状一定是（）A．等边三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不含角的等腰三角形【答案】B【解析】∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴三角形为直角三角形.【考点】1.两角差的正弦公式；2.两角和与差的余弦公式；3.特殊角的三角函数值.14.已知函数（）.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）利用三角函数公式化简为一个角的三角函数式，易得周期；（2）把x的取值范围代入（1）所求函数的解析式中，可得值域（注意函数的单调性）.试题解析：(1)(4分)的最小正周期为； (6分)(2)由(1)知,在区间上单调递增,在区间上单调递减; (10分); (12分)又,;所以函数在区间上的值域是 (15分)【考点】1、和差化积公式及二倍角公式；2三角函数的单调性及值域.15.设函数,且的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,(Ⅰ)求的值(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)根据三角恒等变形化简，得，而的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，则，从而根据，解得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，将当做一个整体，则，所以，所以，则在区间上的最大值和最小值分别为. 试题解析：(Ⅰ),的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,且，所以，解得.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当时，，所以，所以，在区间上的最大值和最小值分别为.【考点】1.三角恒等变形；2.三角函数的最值求解.16.已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数在区间上的值域．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的值域为.【解析】（Ⅰ）先由三角恒等变换得，从而得；（Ⅱ）先由得得，再由正弦函数的单调性得，从而得的值域为.试题解析：(I)4分所以，周期． 6分（II）∵，∴ 8分，∴的值域为 12分【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的单调性；3.三角函数的值域17.已知向量，，函数的图象与直线的相邻两个交点之间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）的单调增区间为和.【解析】（Ⅰ）先由向量数量积坐标运算得，再由图象与直线的相邻两个交点之间的距离为得，从而求得；（Ⅱ）由得，再由余弦函数的单调性可得的单调增区间为和.试题解析：（Ⅰ） 1分5分由题意，， 6分（Ⅱ），时，故或时，单调递增 9分即的单调增区间为和 12分【考点】1.向量的数量积；2.三角恒等变换；3.三角函数的单调性18.已知函数f（x）＝－ax（a∈R）既有最大值又有最小值，则f（x）值域为_______．【答案】【解析】若，则的值域为，会使无最大最小值，故，所以,令，则，即，故，解得，所以f（x）值域为.【考点】三角函数性质、函数值域的求法.19.已知α，β为锐角，且sinα＝，tan（α－β）＝－．求cosβ的值．【答案】.【解析】先由tan（α－β）＝－计算出和，再构造角，利用两角差的余弦公式解答.试题解析：2分4分5分6分10分【考点】角的构造、两角差的余弦公式、切割化弦.20.已知∈（,），sin=,则tan（）等于（）A．－7B．－C．7D．【答案】A．【解析】由题意，则．【考点】三角函数运算．21.在中，的对边分别为且成等差数列．（1）求B的值；（2）求的范围．【答案】(1)；（2）【解析】（1）对于三角形问题中的边角混合的式子，可以利用正弦定理和余弦定理边角转化，或边化角转化为三角函数问题，或角化边转化为代数问题来处理，该题由等差中项列式，再利用正弦定理边化角为，，又根据三角形内角的关系，得，进而求；(2)由（1）得，可得，代入所求式中，化为自变量为的函数解析式，再化为，然后根据的范围，确定的范围，进而结合的图象确定的范围，进而求的范围.试题解析：（1）成等差数列，∴，由正弦定理得，，代入得，，即：，，又在中，，∵，∴；（2）∵，∴，∴===，∵，∴，∴，∴的取值范围是.【考点】1、等差中项；2、正弦定理；3、型函数的值域.22.函数的最小正周期是（）A．B．C．2πD．4π【答案】B【解析】，所以周期.【考点】三角变换及三角函数的周期.23.已知函数（＞0）.在内有7个最值点，则的范围是______.【答案】【解析】∵函数f（x）=sin（ωx）在内有7个最值点，设其周期为，则，即，解得，∴ω的取值范围是．【考点】三角函数的周期性及其求法．24.已知函数（1）求的单调减区间；（2）在锐角三角形ABC 中，A、B、C的对边且满足,求的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】（1）求函数的单调区间需将已知化为的形式，然后利用复合函数的单调性处理，先逆用正弦的二倍角公式和降幂公式，然后利用辅助角公式即可求；（2）三角形问题中，如果有边角混合的式子，可考虑边角转化，或变为关于角的三角关系式，或变为关于边的代数式处理，该题先利用正弦定理把边化角，得三角关系式，从中解，然后结合已知条件得的范围（注意是锐角三角形这个条件），然后确定的范围，再结合的图象求的范围，从而可求出的取值范围.试题解析：（1）由得=，∴，解得，故的单调减区间为；（2）因为，由正弦定理得，化简为，所以=,∴=,又因为，所以，由是锐角三角形，所以，，，∴，∴的取值范围.为.【考点】1、三角函数的单调区间；2、正弦定理；3、三角函数的值域.25.已知向量，，，点A、B为函数的相邻两个零点，AB=π.（1）求的值；（2）若，，求的值；（3）求在区间上的单调递减区间.【答案】（1）；（2）；（3），.【解析】（1）由向量的数量积可得：.这个函数相邻两个零点间的距离等于半个周期，再利用求周期的公式可得的值.（2）由（1）得，则.这里不能展开来求，而应考虑凑角：，这样再利用差角的正弦公式就可以求出的值；（3）,这是一个三角函数与一个一次函数的差构成的函数，故可通过导数来求它的单调区间.试题解析：（1）, 3分由，得，则. 4分（2）由（1）得，则.由，得， 6分. 8分（3）,,∴, 10分∴（）,即（）,又,∴在区间上的单调递减区间为， 12分【考点】1、向量的数量积；2、三角函数的周期；3、三角变换；4、导数的应用.26.已知函数.（1）求的最小正周期和最大值；（2）若为锐角，且，求的值.【答案】（1）函数的最小正周期为，最大值为；（2）.【解析】（1）先将函数解析式化简为，然后根据相应公式求出函数的最小正周期与最大值；（2）先利用求出的值，然后利用已知条件确定的取值范围，进而确定的正负，并利用平方关系求出的值，最终求出的值.试题解析：（1），，即函数的最小正周期为，，即函数的最大值为；（2），，为锐角，所以，故，因此，，.【考点】1.三角函数的周期性与最值；2.同角三角函数的基本关系27.设函数，其中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，且.（1）若点的坐标为（-），求的值；（2）若点为平面区域上的一个动点，试确定角的取值范围，并求函数的值域.【答案】（1）；（2）.【解析】(1)由三角函数的定义求解与，进而求的值；（2）由平面区域的可行域可得角的范围，再求解的值域，本题将三角化简求值与线性规划知识联系在一起,具有新颖性.试题解析：（1）由三角函数的定义，得故 4分（2）作出平面区域（即三角形区域ABC）如图所示，其中于是 7分又且故当，即时，取得最小值，且最小值为1.当，即时，取得最大值，且最大值为.故函数的值域为. 12分【考点】1.三角化简求值；2.三角函数的值域；3.线性规划可行域.28.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则可以是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角函数的定义得，在选项中只有B选项的的正弦值为，故选B.【考点】三角函数定义、三角函数求值.29.已知函数的最大值为，且，是相邻的两对称轴方程.（1）求函数在上的值域;（2）中,，角所对的边分别是，且，，求的面积.【答案】（1）函数在上的值域为；（2）的面积为.【解析】（1）先根据函数的最大值为列式解出的值，并将函数的解析式化为的形式，根据三角函数两条相邻对称轴之间的距离与周期的关系，求出函数的最小正周期，进而求出的值，然后再由，确定出的取值范围，然后结合函数的图象确定函数的值域；（2）先利用正弦定理求出的外接圆的半径，然后利用正弦定理中的边角互化的思想并结合题中的等式将与所满足的等式确定下来，再利用余弦定理求出的值求出来，最后再利用三角形的面积公式即可算出的面积.试题解析：（1）由题意,的最大值为,所以.而,于是,. ∵是相邻的两对称轴方程.∴T=2π=, ∴ω=1,∵∴的值域为.（2）设△ABC的外接圆半径为,由题意,得.化简,得.由正弦定理,得,. ①由余弦定理,得,即. ②将①式代入②,得.解得,或(舍去). .【考点】1.三角函数的最值；2.三角函数的周期；3.正弦定理；4.余弦定理；5.三角形的面积公式30.已知，其中向量，，.在中，角A、B、C的对边分别为，，.(1)如果三边，，依次成等比数列，试求角的取值范围及此时函数的值域；(2) 在中，若，边，，依次成等差数列，且，求的值.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先根据向量的数量积的坐标运算和三角函数的积化和差公式，化简，然后根据三边关系结合余弦定理求得角的取值范围，再将代入化简后的，得到，根据三角函数在定区间上的值域求得函数的值域；（2）根据题中所给信息解得角的大小，由，得到，由已知条件得边，，依次成等差数列，结合余弦定理，得到两个等量关系，解得的值.试题解析：（1），2分由已知，所以，所以，，则，故函数f(B)的值域为； 6分（2）由已知得，所以， 8分所以或，解得或（舍去）， 10分由，得，解得，由三边，，依次成等差数列得，则，由余弦定理得, 解得. 12分【考点】1、平面向量的数量积的运算；2、余弦定理；3、解三角形；4、等差数列的性质及应用；5、特殊角的三角函数值.31.函数 ()的值域是_______________。
三角函数测试题
三角，向量及复数综三角合测试题一， 选择题1，复数,1,21i z i z +==那么复数21z z ⋅在复平面上的对应点所在象限是 ( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限2，平面向量a 与b 的夹角为 ︒60，且,1,2==b a 则b a3-= ( )A5 B 7 C 19 D 53，△ABC 的外接圆的圆心为1，若,0=++C O B A A O 且,B A A O =则=⋅B C A C ( )A23B 3C 3D 324，在边长为1的菱形ABCD 中，∠BAD=E ,60︒是BC 的中点，则=⋅E A C A( )A333+ B 29 C3 D495，△ABC 中，,3222bc a c b +=+则=--)sin(cos sin 2C B C B （ ）A 33B 23C 22D 216，若满足条件AB=3，C=3π,的三角形ABC 有两个，则边长BC 的取值范围 ( )A ()2,1B ()3,2 C()2,3 D ()2,27,设函数())0(sin )3sin(>++=w wx wx x f π相邻两条对称轴间的距离为2，则()1f = ( )A23 B 23- C 23 D 23- 8，若,542sin ,532cos-==αα则角θ的终边所在的直线为 ( ) A 0247=+y x B 0247=-y x C 0724=+y x D 0724=-y x9,已知函数=+=y x x y ,cos sin ,cos sin 22x x 则下列结论正确的是 ( )A 两个函数的图像均关于点()0,4π-成中心对称 B 两个函数的图像均关于直线4π-=x 成轴对称C 两个函数在区间()4,4ππ-上都是单调递增函数D 两个函数的最小正周期相同10，函数()ϕπ+=x y sin 的部分图像如图所示，设p 是图像的最高点，A,B 是图像与x 轴的交点，则tan ∠=APB （ ）A 8B 81C 78D 87二，填空题11，若复数,,sin cos ,342121R z z i z i z ∈⋅+=+=θθ则=θtan _____________12，在△ABC 中，,21,2,1===ABC S AC AB 则=BC _______________ 13，已知正方形ABCD 的边长为1，则=-D B B A2______________14，若θθ,53sin =为第二象限角，则=θ2tan _______________ 15，已知函数()x f 满足下面关系:),2()2(ππ-=+x f x f 当(]π,0∈x 时，(),cos x x f -=给出下列命题:① 函数()x f 为周期函数 ② 函数()x f 是奇函数 ③ 函数()x f 的图像关于y 轴对称 ④ 方程()x x f lg =的解的个数是3， 其中正确命题的序号是_______________三，解答题16，(本题12分) 在△ABC 中，已知c B b aconB =-sin ()1 若,6π=B 求A ()2 求B A sin sin +的取值范围17，(本题12分) 已知向量)3,1()),2cos(),2(sin(=++=b x x aθθ，函数()b a x f ⋅=为偶函数，且[]πθ,0∈，()1 求函数()x f 的解析式；()2 设()1),2,0(=∈x f x π，求x 的值18，(本题12分) 已知函数(),233cos 33cos 3sin2-+=x x x x f ()1 求()x f 的最小正周期及对称中心；()2 若()π,0,21cos ∈≥x x ，试求x 的范围及此时函数()x f 3的值域；19，（本题13分） 在△ABC 中,若,1=⋅=⋅C B A B C A B A()1 求证:B A = ()2 求边长c的值，()3 若6=+C A B A,求△ABC 的面积；20，（本题13分） 已知向量(),)(),23,(cos ),1,(sin m n m x f x n x m⋅+==-= ()1当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，求函数()x f y =的值域 ()2 锐角三角形ABC ,若,10232,27,245=⎪⎭⎫ ⎝⎛==B f b c a 求边c a ,；21，（本题13分） 某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC 的三个顶点处，已知,6km AC AB ==现计划在BC 边上的高AO 上一点P 处建造一个变电站，记P 点到三个村庄的距离之和为y ；()1 若∠,α=PBO 把y 表示成α的函数关系式；()2变电站建于何处时，它到三个村庄的距离之和最小?2。
三角函数与平面向量综合测试题
约稿：三角函数与平面向量综合测试题广东省珠海市斗门区第一中学 于发智 519100 jianghua20011628@一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，恰有．．一项．．是符合题目要求的。
1．下列函数中，周期为2π的是（ ） A ．sin2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x = 2．已知命题:p x ∀∈R ，sin 1x ≤，则（ ） Ａ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x ≥ Ｂ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x ≥ Ｃ．:p x ⌝∃∈R ，sin 1x >Ｄ．:p x ⌝∀∈R ，sin 1x >3. 条件甲a =+θsin 1，条件乙a =+2cos2sin θθ，那么 （ ）A ．甲是乙的充分不必要条件B ．甲是乙的充要条件C ．甲是乙的必要不充分条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件4．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =5. 若函数f (x )=3sin21x , x ∈[0, 3π], 则函数f (x )的最大值是 ( ) A.21 B.32 C.22 D.23 6. (1+tan25°)(1+tan20°)的值是 ( ) A.-2 B.2 C.1 D.-1 7.α、β为锐角a =sin(βα+)，b =ααcos sin +，则a 、b 之间关系为 （ ）A ．a ＞bB ．b ＞aC ．a =bD ．不确定8. 下面有五个命题：①函数y =sin 4x -cos 4x 的最小正周期是π. ②终边在y 轴上的角的集合是{a |a =Z k k ∈π,2|.B ACD③在同一坐标系中，函数y =sin x 的图象和函数y =x 的图象有三个公共点. ④把函数.2sin 3632sin(3的图象得到的图象向右平移x y x y =ππ+= ⑤函数.0)2sin(〕上是减函数，在〔ππ-=x y 其中真命题的序号是 ① ④ （（写出所有真命题的编号））9. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在x =1处取最大值，则 （ ） A ．)1(-x f 一定是奇函数 B ．)1(-x f 一定是偶函数 C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数10. 使x y ωsin =（ω＞0）在区间[0，1]至少出现2次最大值，则ω的最小值为（ ） A ．π25B ．π45 C ．πD ．π2311、在直角坐标系xOy 中，,i j分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC中，2AB i j =+ ，3AC i k j =+，则k 的可能值有 ( ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个12. 如图，l 1、l 2、l 3是同一平面内的三条平行直线，l 1与l 2间的距离是1， l 2与l 3间的距离是2，正三角形ABC 的三顶点分别在l 1、l 2、l 3上，则△ABC 的边长是 （ ）（A ）32 （B ）364（C ）4173 （D ）3212二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
三角函数和向量综合题
三角函数和向量综合题1、设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)．(1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b ＋c|的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a∥b.2、已知向量()cos ,sin m θθ=和()2sin ,cos n θθ=-，[],2θππ∈ （1）求m n +的最大值； （2）当825m n +=时，求cos 28θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值。
3、已知向量()1,1m =，向量n 与向量m 的夹角为34π，且1m n =-， （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量(1,0)q =的夹角为2π，向量2cos ,2cos 2C p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,,A B C 为ABC ∆的内角，且2B=A+C ，求n p +的取值范围。
4、已知向量)21,sin (--=→θa m ，)cos ,21(θ=→n ． （1）当22=a ，且→→⊥n m 时，求θ2sin 的值； （2）当0=a ，且→m ∥→n 时，求θtan 的值．5、已知→a ＝(cos x ＋sin x ，sin x )，→b ＝(cos x －sin x ，2cos x ).（1）求证：向量→a 与向量→b 不可能平行；（2）若f (x )＝→a ·→b ，且x ∈[－π4,π4]时，求函数f (x )的最大值及最小值． 6、()f x a b =⋅，其中向量(,cos 2)a m x =，(1sin 2,1)b x =+，x R ∈，且函数()y f x =的图象经过点(,2)4π．（Ⅰ）求实数m 的值；（Ⅱ）求函数()y f x =的最小值及此时x 值的集合。
7、设向量(sin ,cos ),(cos ,cos ),a x x b x x x R ==∈，函数()()f x a a b =⋅+.（Ⅰ）求函数()f x 的最大值与最小正周期；（Ⅱ）求使不等式3()2f x ≥成立的x 的取值集合。
三角函数解三角形向量数列测试卷
三角函数、解三角形、向量、数列测试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知(,3)a x =-, (3,1)b =, 且a b ⊥, 则x 等于 ( )A ．－1B ． 1C ．9D ．－92.已知ABC ∆中，31sin ,2,3===B AC AB .则=C （ ）。
A. 30 B. 60 C. 30或 150 D. 60或 1203．已知1sin cos 3αα+=，则sin 2α=( ) A ．21 B ．21- C ．89 D ．89- 4. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A 090 B 060 C 0135 D 0150 5．已知等差数列{a n }满足a 2+a 4=4, a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=( )A ．138B ．135C ．95D ．236. 化简10sin 1++10sin 1-，得到（ ）A －2sin5B －2cos5C 2sin5D 2cos57．等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和是( )A.130B.170C.210D.2608．已知等比数列{}n a 的公比13q =-，则13572468a a a a a a a a ++++++等于( ) A.13- B.3- C.13 D.3 9．在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等腰直角三角 10.若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ）A ．4005B ．4006C ．4007D ．400二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若32)sin(-=-απ, 且)0,2(πα-∈, 则αtan 的值是____________． 12．在等比数列{a n }中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log ｝前19项之和为_ __13．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,22214．已知等比数列｛a n ｝中，a 1＋a 2=9，a 1a 2a 3=27,则｛a n ｝的前n 项和是 。
2024年高考数学三角函数空间向量历年真题详解
2024年高考数学三角函数空间向量历年真题详解为了帮助广大高中生备战2024年高考数学考试，本文将详细解析数学科目中的三角函数和空间向量部分的历年真题。
通过对每道题目的解析和详细讲解，希望能够帮助大家更好地掌握这一部分知识点，并提供备考的指导。
1. 试题一第一道题目涉及三角函数的求解，题目如下：已知三角函数$\sin\theta = \frac{1}{2}$，求$\cos\theta$的值。
解析：根据已知信息，我们可以利用三角函数的定义来求解。
由于$\sin\theta = \frac{1}{2}$，我们可以根据单位圆上的特点得出$\sin$对应的坐标为$\left(\frac{1}{2}, \frac{\pi}{6}\right)$。
根据单位圆上的关系，$\cos\theta$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
因此，$\cos\theta$的值为$\frac{\sqrt{3}}{2}$。
2. 试题二第二道题目涉及空间向量的投影问题，题目如下：已知向量$\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{i} +4\overrightarrow{j} + 5\overrightarrow{k}$，向量$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{i} + 2\overrightarrow{j} + \overrightarrow{k}$，求向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影。
解析：首先，我们需要计算向量$\overrightarrow{AC}$的模长。
根据向量的定义，$\overrightarrow{AC}$的模长为$\sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{6}$。
接下来，我们需要计算向量$\overrightarrow{AB}$在向量$\overrightarrow{AC}$上的投影。
高考立体几何、数列、三角函数、不等式、平面向量综合经典试题练习(含答案)
cos
x
0
2
的部分图象如图所示，f
x0
f
0 ，
则正确的选项是（ ）
试卷第 2页，总 9页
A．
6
,
x0
1
C．
3
,
x0
1
B．
6
,
x0
4 3
D．
3
,
x0
2 3
20．已知 | a | 1,| b | 2, a 与 b 的夹角为 600,若 a kb 与 b 垂直,则 k 的值为（ ）
B． 2 2
C． 3 2
D．1
22 ． ． 设 G 是 ABC 的 重 心 ， 且
(56 sin A)GA (40 sin B)GB (35 sin C)GC 0 ，则角 B 的大小为
（）
A．45° B．60° C．30° D．1 5°
23．在△ABC 中，a=2，b=2 ，B=45°，则 A 等于（ ）
CC1 c 则A1B
(A) a+b-c
(B) a–b+c
(C)-a+b+c．
(D)-a+b-c
18．函数 f x sin 2 x
3
sin
x
cos
x
在区间
4
,
2
上的最大值为（
）
（A） 3 2
（B）1 3
（C）1
（D） 1 3 2
19．已知函数
《三角函数、平面向量》自测题
Ａ
Ａ一； 詈
Ｃ — ； ． ３
Ｂ± ； —
Ｄ ＿＿ ４ ＝
） ．
Ｂ 要；
Ｄ
ｂ
４ ．若 ａ （ ）， ｓｎ ａ Ｃ Ｓ ， ｄ 的 取 值 范 围 是 ∈ ０， 且 ｉ ＞ Ｏ 则
Ａ ４＋ ４
ｃ ４；
２ ．若 Ｐ （ ６ 与 Ｑ（ ６ 口 分 别 是 角 、 终 边 上 的 一 ｎ， ） 一 ，） Ｊ ９ 点 ， ａ ＝ Ｏ， 角 ａ与 ｐ 的 关 系 是 （ 且 ｂ／ 则 ＝
Ａ — ａ＝ ２ ７ （ ＝ 忌 ｃ 忌∈ Ｚ）； ＝
） ．
；
不 能 作 为 表 示 平 面 内 任 何 向 量 基 底 的 向 量 组 是
（ ）．
Ａ Ｃ
① ； ② ；形 ＡＢＣ 的 对 角 线 ＡＣ 上 的 动 点 （ 含 ． Ｄ 不 江 苏 黄安 成 （ 级 教 师） 特 Ａ、 ， ｃ） 则 Ａ （ 等 于 （ ＋ ） ． ）， 中 ∈ （ ， ） 其 ｏ１ ；
（ ） ．
Ａ Ｃ
第 一象 限 ； 第 三象 限 ；
Ｂ Ｄ
Ｄ ｜ 一 ， （ ） ； 霞） Ｌ （ 其中 ∈ ｏ ，
９ ．若 ａ一 （ Ｏ ， ｉ ） 舀 （ ， １ ， ｎ＋ ｂ１ 最 Ｃ Ｓ０ ｓｎ ，一 一 ） １ ２ 的 大 、 小 值 分 别 为 Ｍ 、 ， Ｍ － ｍ一 （ 最 ｍ 则 Ｆ
一
、
选 择 题 （ 题 ５ 分 ， ６０ 分 ） 每 共
Ｂ （ ＋ ， ∈ ｏ２ ； 赢） 其中Ａ （ √） ， － ２
高一数学三角函数综合试题答案及解析
高一数学三角函数综合试题答案及解析1.已知cosα=﹣，，则sin（α﹣）= ．【答案】.【解析】，；则.【考点】两角和的正弦公式.2.，其中、是常数，且满足，是否存在这样的、，使是与无关的定值.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】【解析】假设存在，由于函数的值与无关，故取的多个值函数值相同，为了能够尽可能的寻找的关系，这里取.试题解析：假设存在这样的，使是与无关的定值，可取的值分别为，则:且由此可解得 6分因为，所以所以解得， 10分此时，所以当时，是与无关的定值 14分【考点】存在性问题，任意性问题（特值法）.3.曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1、P2、P3…，则|P2P4|等于______________。
【答案】π【解析】可以利用两角和与差的三角函数化简，然后求出曲线与y=的y轴右侧的交点按横坐标，即可求出|P2P4 |．【考点】三角函数化简.4.函数,的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】这是三角函数图像与性质中的最小正周期问题，只要熟悉三角函数的最小正周期的计算公式即可求出，如的最小正周期为，而的最小正周期为，故函数的最小正周期为，故选C.【考点】三角函数的图像与性质.5.已知.（1）求的最小值及取最小值时的集合；（2）求在时的值域；（3）求在时的单调递减区间.【答案】（1）当，；（2）；（3）.【解析】先根据平方差公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式化简所给的函数.（1）将看成整体，然后由正弦函数的最值可确定函数的最小值，并明确此时的值的集合；（2）先求出的范围为，从而，然后可求出时，函数的值域；（3）将当成整体，由正弦函数的单调减区间中解出的取值范围，然后对附值，取满足的区间即可.试题解析：化简4分（1）当时，取得最小值，此时即，故此时的集合为 6分（2）当时，所以，所以，从而即 9分（3）由解得当时，，而，此时应取当时，，而，此时应取故在的单调减区间为 14分.【考点】1.三角恒等变换；2.三角函数的图像与性质.6.（1）已知f(x)＝sinx＋2sin(＋)cos(＋)．(1)若f(α)＝，α∈(－，0)，求α的值；（2）若sin＝，x∈(，π)，求f(x)的值．【答案】(1);(2).【解析】(1)首先根据三角函数公式对函数进行化简,即,从而,则,再由,又,从而求出的值.(2)由,则,根据同角平方关系,由,得,再由倍角公式,可得,,从而求出函数的值.试题解析：(1)f(x)＝sin x＋2sin(＋)cos(＋)＝sin x＋sin(x＋)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)，由f(α)＝，得sin(α＋)＝.∴sin(α＋)＝.∵α∈(－，0)，∴α＋∈(－，)．∴α＋＝.∴α＝－.(2)∵x∈(，π)，∴∈(，)．又sin＝，∴cos＝.∴sin x＝2sin cos＝，cos x＝－＝－.∴f(x)＝sin x＋cos x＝－＝.【考点】三角函数的公式及化简求值.7.若的值为（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】因为，所以答案选D．【考点】1．三角函数式的变形、化简、求值．8.求函数y=2-sinx+cos2x的值域。
专题三角函数与向量(学生版).docx
专题：三角函数与向量的交汇题型分析及解题策略主要考点如下：1.考查三角式化简、求值、证明及求角问题.2.考查三角函数的性质与图像，特别是y=Asin(cox+(p)的性质和图像及其图像变换.3.考查平面向量的基本概念，向量的加减运算及几何意义，此类题一般难度不大，主要用以解决有关长度、夹角、垂直、平行问题等.4.考查向量的坐标表示，向量的线性运算，并能正确地进行运算.5.考查平面向量的数量积及运算律(包括坐标形式及非坐标形式)，两向量平行与垂直的充要条件等问题.6.考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题.题型一解斜三角形与向量的综合【例1】已知角A、B、C为^ABC的三个内角，其对边分别为a、b、c,京=(—cos成，sin*^"), / = (cos*^", sin*^"), a = 2^3? J E L= 2^*(I )若ZiABC的面积S=,,求b + c的值.(II )求b+c的取值范围.题型二三角函数与平面向量平行(共线)的综合【例2】已知A、B、C为三个锐角，且A+B +C=TI.若向量8 = (2sinA — 2, cosA + sinA)与向量2 =C — 3B(cosA—sinA, 1+sinA)是共线向量.(I )求角A； (II )求函数y=2sin2B+cos—-—的最大值.题型三三角函数与平面向量垂直的综合【例3】已知向量甘= (3sina,cosa), 3 = (2sina, 5sina—4cosa), aG(宇,2n),且甘_L言.Ct jr(I )求tana 的值； (II)求cos(y+~)的值.题型四三角函数与平面向量的模的综合此类题型主要是利用向量模的性质ltl2=t2,如果涉及到向量的坐标解答时可利用两种方法：(1)先进行向量运算，再代入向量的坐标进行求解；(2)先将向量的坐标代入向量的坐标，再利用向量的坐标运算进行求解.【例4】已知向量盲= (cosa,sina),言= (cosB,sir)B), |2 —言|=|>姑.TT TT 5(I )求cos(a—P)的值；(II )^—^<P<O<a<p 且sinP = ——,求sina 的值.题型五三角函数与平面向量数量积的综合此类题型主要表现为两种综合方式：(1)三角函数与向量的积直接联系；⑵利用三角函数与向量的夹角交汇，达到与数量积的综合.解答时也主要是利用向量首先进行转化，再利用三角函数知识求解.【例5】1.设函数f(x) = 4.含.其中向量冷= (m, cosx),言= (l+sinx, 1), x《R,且f(亨) = 2.(I )求实数m的值；(II)求函数f(x)的最小值.(3)求f(x)的对称中心和对称轴2.(山东)已知向量扁= (smx,l)〃(品cosx*s2W>0),函数/'(x) = M的最大值为6.JT(I)求刀；(II)将函数y = /(x)的图象向左平移g个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的5倍，纵坐标不变，得到函数V = g(x)的图象.(1)求g(x)在［0,芸］上的值域.(2)五点法做出g(x)在一个周期上的图像。
高中数学三角函数与向量试题及详细答案
高中数学三角函数与向量试题及详细答案一．解答题（共30小题）1．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．2．设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．3．已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．4．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．5．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．6．已知tanα=a，（a＞1），求的值．7．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．8．已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．10．已知函数．（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．11．已知函数f（x）=（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．13．已知tan2θ=﹣，且3π＜2θ＜4π．求：（1）tanθ；（2）．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．15．已知，①若向量．且∥，求f（x）的值；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．16．已知O是线段AB外一点，若，．（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．17．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．（1）若，求当||取最小值时实数t的值；（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．18．经过A（2，0），以（2cosθ﹣2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（﹣2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．19．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．20．已知向量=（mcosα，msinα）（m≠0），=（﹣sinβ，cosβ．其中O为坐标原点．（I）若且m＞0，求向量与的夹角；（II）当实数α，β变化时，求实数的最大值．21．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．已知△OFQ的面积为，且．（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．23．在平行四边形ABCD中，设边AB、BC、CD的中点分别为E、F、G，设DF与AG、EG的交点分别为H、K，设=，=，试用、表示、．24．正方形ABCD的边长为1，记=（1）求作，（2）求|，|25．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若+，求λ+μ的值．26．例3．已知27．设动点M的坐标为（x，y）（x、y∈R），向量=（x﹣2，y），=（x+2，y），且|a|+|b|=8，（I）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点N（0，2）作直线l与曲线C交于A、B两点，若（O为坐标原点），是否存在直线l，使得四边形OAPB为矩形，若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．28．在福建省第14届运动会（2010•莆田）开幕式上，主会场中央有一块边长为a米的正方形地面全彩LED显示屏如图所示，点E、F分虽为BC、CD边上异于点C的动点，现在顶点A处有视角∠EAF设置为45°的摄像机，正录制形如△ECF的移动区域内表演的某个文艺节目，设DF=x米，BE=y米．（Ⅰ）试将y表示为x的函数；（Ⅱ）求证：△ECF周长p为定值；（Ⅲ）求△ECF面积S的最大值．29．如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中A TN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮PQCR，其中P是上一点．设∠TAP=θ，长方形PQCR的面积为S平方米．（1）求S关于θ的函数解析式；（2）设sinθ+cosθ=t，求S关于t的表达式以及S的最大值．30．如图，某市拟在长为16km的道路OP的一侧修建一条自行车赛道，赛道的前一部分为曲线OSM，该曲线段为函数y=Asinωx（A＞0，ω＞0，x∈[0，8]的图象，且图象的最高点为S（6，4）．赛道的后一段为折线段MNP，为保证参赛队员的安全，限定∠MNP=120°．（1）求实数A和ω的值以及M、P两点之间的距离；（2）连接MP，设∠NPM=θ，y=MN+NP，试求出用θ表示y的解析式；（3）（理科）应如何设计，才能使折线段MNP最长？（文科）求函数y的最大值．参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．设函数f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx，（x∈R）（I）求f（x）的最小正周期；（II）若函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，]上的最大值．考点：三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的最值．专题：计算题；综合题．分析：（I）先利用诱导公式，二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理，然后利用周期公式可求得函数的最小正周期．（II）由（I）得函数y=f（x），利用函数图象的变换可得函数y=g（x）的解析式，通过探讨角的范围，即可的函数g（x）的最大值．解答：解：（I）∵f（x）=sinxcosx﹣cos（x+π）cosx=sinxcosx+cosxcosx=sin2x+cos2x+=sin（2x+）+∴f（x）的最小正周期T==π（II）∵函数y=f（x）的图象按=（，）平移后得到的函数y=g（x）的图象，∴g（x）=sin（2x+﹣）++=sin（2x﹣）+∵0＜x≤∴＜2x﹣≤，∴y=g（x）在（0，]上的最大值为：．点评：本题考查了三角函数的周期及其求法，函数图象的变换及三角函数的最值，各公式的熟练应用是解决问题的根本，体现了整体意识，是个中档题．2．设α∈R，f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）满足，求函数f（x）在上的最大值和最小值．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；三角函数的最值．专题：计算题．分析：利用二倍角公式化简函数f（x），然后，求出a的值，进一步化简为f（x）=2sin（2x ﹣），然后根据x的范围求出2x﹣，的范围，利用单调性求出函数的最大值和最小值．解答：解：f（x）=cosx（asinx﹣cosx）+cos2（﹣x）=asinxcosx﹣cos2x+sin2x=由得解得a=2所以f（x）=2sin（2x﹣），所以x∈[]时2x﹣，f（x）是增函数，所以x∈[]时2x﹣，f（x）是减函数，函数f（x）在上的最大值是：f（）=2；又f（）=，f（）=；所以函数f（x）在上的最小值为：f（）=；点评：本题是中档题，考查三角函数的化简，二倍角公式的应用，三角函数的求值，函数的单调性、最值，考查计算能力，常考题型．3．已知函数，（Ⅰ）求f（x）的定义域与最小正周期；（Ⅱ）设，若，求α的大小．考点：正切函数的周期性；同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦；正切函数的定义域．专题：计算题．分析：（Ⅰ）利用正切函数的定义域求出函数的定义域，利用周期公式求出最小正周期；（Ⅱ）通过，化简表达式，结合α∈（0，），求出α的大小．解答：解：（Ⅰ）由2x+≠+kπ，k∈Z．所以x≠，k∈Z．所以f（x）的定义域为：f （x）的最小正周期为：．（Ⅱ）由得tan（）=2cos2α，整理得因为α∈（0，），所以sinα+cosα≠0 因此（cosα﹣sinα）2=即sin2α=因为α∈（0，），所以α=点评：本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式，同角三角函数的基本关系式，二倍角公式等基本知识，考查基本运算能力．4．设函数f（θ）=，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．（Ⅰ）若点P的坐标为，求f（θ）的值；（Ⅱ）若点P（x，y）为平面区域Ω：上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f（θ）的最小值和最大值．考点：任意角的三角函数的定义；二元一次不等式（组）与平面区域；三角函数的最值．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（I）由已知中函数f（θ）=，我们将点P的坐标代入函数解析式，即可求出结果．（II）画出满足约束条件的平面区域，数形结合易判断出θ角的取值范围，结合正弦型函数的性质我们即可求出函数f（θ）的最小值和最大值．解答：解（I）由点P的坐标和三角函数的定义可得：于是f（θ）===2（II）作出平面区域Ω（即感触区域ABC）如图所示其中A（1，0），B（1，1），C（0，1）于是0≤θ≤∴f（θ）==且故当，即时，f（θ）取得最大值2当，即θ=0时，f（θ）取得最小值1点评：本题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．5．已知函数f（x）=（1+cotx）sin2x+msin（x+）sin（x﹣）．（1）当m=0时，求f（x）在区间上的取值范围；（2）当tana=2时，，求m的值．考点：弦切互化；同角三角函数间的基本关系．专题：综合题．分析：（1）把m=0代入到f（x）中，然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式以及特殊角的三角函数值把f（x）化为一个角的正弦函数，利用x的范围求出此正弦函数角的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可得到f（x）的值域；（2）把f（x）的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于sin2x和cos2x的式子，把x换成α，根据tanα的值，利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出sin2α和cos2α的值，把sin2α和cos2α的值代入到f（α）=中得到关于m的方程，求出m的值即可．解答：解：（1）当m=0时，=，由已知，得sin（2x﹣）∈[﹣，1]，从而得：f（x）的值域为．（2）因为=sin2x+sinxcosx+=+﹣=所以=①当tanα=2，得：，，代入①式，解得m=﹣2．点评：考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题．依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中档题．6．已知tanα=a，（a＞1），求的值．考点：两角和与差的正弦函数；弦切互化；二倍角的正切．专题：计算题．分析：利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanα=a，求出结果即可．解答：解：原式===．即：=．点评：本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．7．已知函数f（x）=cosx（sinx+cosx），x∈R．（1）请指出函数f（x）的奇偶性，并给予证明；（2）当时，求f（x）的取值范围．考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；二倍角的余弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）先化简函数得出的表达式，通过f（﹣）≠±f（﹣），直接证明即可．（2）先得出，然后根据正弦函数的单调性求出取值范围．解答：解：（3分）（1）∵，∴f（x）是非奇非偶函数．（3分）注：本题可分别证明非奇或非偶函数，如∵f（0）=1≠0，∴f（x）不是奇函数．（2）由，得，．（4分）所以．即．（2分）点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的奇偶性的判断，考查计算能力．8．已知函数f（x）=sin2x+acos2x，a，a为常数，a∈R，且．（I）求函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）当时，求函数f（x）的最大值和最小值．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）由，代入f（x）中即可求出a的值，然后把求出a的值代入然后把求出a的值代入f（x）中，然后利用二倍角的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，根据公式求出结果．（II）根据x的范围求出2x﹣的范围，根据正弦函数的图象求出sin（2x﹣）的值域即可得到f（x）的最值．解答：解：（Ⅰ）由已知得即，所以a=﹣2所以f（x）=sin2x﹣2cos2x=sin2x﹣cos2x﹣1=所以函数f（x）的最小正周期为π（Ⅱ）由，得则所以所以函数y=f（x）的最大值为；最小值为点评：本题三角函数周期的求法，又考查学生会求正弦函数的在某一范围内的最值以及会求正弦函数的值域．是一道综合题．9．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（Ⅰ）求sin2α﹣tanα的值；（Ⅱ）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数的最大值及对应的x的值．考点：两角和与差的正弦函数；任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）利用三角函数的定义求出sinα、cosα和tanα的值，利用两角和与差正弦公式化简sin2α﹣tanα并求出其值．（II）首先化简函数f（x），然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出y=2sin（2x﹣）﹣1，进而求正弦函数的特点求出结果．解答：解：（Ⅰ）因为角α终边经过点，所以，，…（3分）（Ⅱ）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R…（7分）∴y max=2﹣1=1，…（12分）此时，即…（13分）点评：此题考查了二倍角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．10．已知函数．（1）设ω＞0为常数，若上是增函数，求ω的取值范围；（2）设集合，若A⊂B恒成立，求实数m的取值范围．考点：二倍角的余弦；集合关系中的参数取值问题；二次函数的性质；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：（1）利用三角函数的降幂公式将化为f（x）=2sinx，从而f （ωx）=2sinωx，利用f（ωx）在[，]是增函数，可得到，从而可求ω的取值范围；（2）由于f（x）=2sinx，将化为sin2x﹣2msinx+m2+m﹣1＞0，令sinx=t，则t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0，t∈[，1]，记f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1，问题转化为上式在t∈[，1]上恒成立问题，根据区间[，1]在对称轴t=m的左侧，右侧，对称轴穿过区间[，1]三种情况结合二次函数的单调性即可解决．解答：（本小题满分14分）解：（1）=2sinx（1+sinx）﹣2sin2x=2sinx．∵是增函数，∴，∴（2）=sin2x﹣2msinx+m2+m﹣1＞0因为，设sinx=t，则t∈[，1]上式化为t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0由题意，上式在t∈[，1]上恒成立．记f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1，这是一条开口向上抛物线，则或或解得：．点评：本题考查二倍角的余弦，二次函数的性质，难点在于转化与构造函数，利用f（t）=t2﹣2mt+m2+m﹣1＞0恒成立，t∈[，1]来解决，属于难题．11．已知函数f（x）=（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．考点：二倍角的余弦；五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简，再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、连线；（Ⅱ）根据函数解析式先求出周期，再求出一个周期内的函数值的和，进而判断出2012与周期的关系，再求出式子和的值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，列表：x 0 1 2 3 40 π2π1 2 1 0 1描点画图，如图所示：（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周期为4，且2012=4×503，∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．点评：本题是关于三角函数的综合题，涉及了倍角公式、诱导公式的应用，“五点作图法”的步骤，函数周期性的应用求式子的值，考查了分析、解决问题能力和作图能力．12．已知α为锐角，且，函数，数列{a n}的首项．（1）求函数f（x）的表达式；（2）求证：a n+1＞a n；（3）求证：．考点：二倍角的正切；不等式比较大小；不等式的证明．专题：综合题．分析：（1）根据二倍角的正切函数公式，由tanα的值求出tan2α的值，根据特殊角的三角函数值以及α的范围即可求出2α的值，即可求出sin（2α+）的值，把求出的tan2α和sin2α的值代入f（x）中即可确定出f（x）；（2）a n+1=f（a n），把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式，移项后，根据a n2大于0，即可得证；（3）把a n代入（1）中求出的f（x）的解析式中化简后，求出，然后把等号右边的式子利用拆项相减的方法，得到，移项后得到，然后从n=1列举到n，抵消后得到所要证明的式子等于2﹣，根据题意分别求出a2和a3的值，根据（2）所证明的结论即可得证．解答：解：（1），又∵α为锐角，所以2α=，∴，则f（x）=x2+x；（2）∵a n+1=f（a n）=a n2+a n，∴a n+1﹣a n=a n2＞0，∴a n+1＞a n；（3）∵，且a1=，∴，则=，∵，，又n≥2时，∴a n+1＞a n，∴a n+1≥a3＞1，∴，∴．点评：此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值，会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明，是一道综合题．13．已知tan2θ=﹣，且3π＜2θ＜4π．求：（1）tanθ；（2）．考点：二倍角的正切．专题：计算题．分析：（1）由题意，可先判断角θ的取值范围，得出其是第四象限角从而确定出角的正切值的符号，再由正切的二倍角公式得到角的正切的方程，解此方程求出正切值；（2）由题意，先化简，再将tanθ=代入计算出答案．解答：解：（1）由题意3π＜2θ＜4π，得＜θ＜2π是第四象限角又tan2θ=﹣，∴=﹣，解得tanθ=（2）由题，将tanθ=代入得=点评：本题考查二倍角的正切，二倍角的余弦，同角三角函数的基本关系等，解题的关键是利用公式灵活变形，计算求值，本题中有一易错点，即没有判断角所在的象限，导致解出的正切值有两个答案，切记！三角函数化简求值题，公式较多，要注意选择公式使得解题的过程简捷．本题考查了利用公式变形计算的能力．14．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，﹣1），B点在直线y=﹣3上，M点满足∥，，=•，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值．考点：向量在几何中的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题；综合题；函数思想；整体思想．分析：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）并代入∥，，=•，即可求得M 点的轨迹C的方程；（Ⅱ）设P（x0，y0）为C上的点，求导，写出C在P点处的切线方程，利用点到直线的距离公式即可求得O点到l距离，然后利用基本不等式求出其最小值．解答：解：（Ⅰ）设M（x，y），由已知得B（x，﹣3），A（0，﹣1）．所=（﹣x，﹣1﹣y），=（0，﹣3﹣y），=（x，﹣2）．再由题意可知（）•=0，即（﹣x，﹣4﹣2y）•（x，﹣2）=0．所以曲线C的方程式为y=﹣2．（Ⅱ）设P（x0，y0）为曲线C：y=﹣2上一点，因为y′=x，所以l的斜率为x0，因此直线l的方程为y﹣y0=x0（x﹣x0），即x0x﹣2y+2y0﹣x02=0．则o点到l的距离d=．又y0=﹣2，所以d==≥2，所以x02=0时取等号，所以O点到l距离的最小值为2．点评：此题是个中档题．考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程，以及导数的几何意义和点到直线的距离公式，综合性强，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．15．已知，①若向量．且∥，求f（x）的值；②在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：①利用向量共线的充要条件，可求x的值，从而可求f（x）的值；②利用余弦定理求出B的值，确定出＜A+＜π，然后求出函数f（A）的取值范围．解答：解：①由∥，得，∴或，∴x=2kπ+π或，∴②∵（2a﹣c）cosB=bcosC，由正弦定理得（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC．∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC，∴2sinAcosB=sin（B+C），∵A+B+C=π，∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，∴cosB=，B=，∴0＜A＜．∴＜A+＜π，0＜sin（A+）≤1．又∵，∴故函数f（A）的取值范围是（0，2]．点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，考查向量共线的充要条件．16．已知O是线段AB外一点，若，．（1）设点A1、A2是线段AB的三等分点，△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，试用向量、表示；（2）如果在线段AB上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：（1）由题意画出图形由于点A1、A2是线段AB的三等分点，又由于△OAA1、△OA1A2及△OA2B的重心依次为G1、G2、G3，利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量、表示；（2）由题意若在线段AB上有若干个等分点，有（1）的证明过程及结论可以逐渐得到结论，并且利用向量的加法及减法得到证明过程．解答：解：（1）如图：点A1、A2是线段AB的三等分点，，同理可得：，，则==（2）层次1：设A1是AB的二等分点，则；；设A1、A2、A3是AB的四等分点，则；或设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，则，层次2：设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，，层次3：设A1，A2，，A n﹣1是AB的n等分点，则；证：===点评：此题考查了三角形重心的定义，向量的加法和减法，还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力．17．已知向量=（1，2），=（cosα，sinα），设=+t（t为实数）．（1）若，求当||取最小值时实数t的值；（2）若⊥，问：是否存在实数t，使得向量﹣和向量的夹角为，若存在，请求出t；若不存在，请说明理由．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：（1）先把a=代入求出向量的坐标，再把转化为=，把所求结论以及已知条件代入得到关于实数t的二次函数，利用配方法求出的最小值以及实数t的值；（2）先利用向量垂直求出以及和（）（），代入cos45°=，可得关于实数t的方程，解方程即可求出实数t．解答：解：（1）因为a=，所以=（），，则====所以当时，取到最小值，最小值为．（7分）（2）由条件得cos45°=，又因为==，==，（）（）=5﹣t，则有=，且t＜5，整理得t2+5t﹣5=0，所以存在t=满足条件．（14分）点评：本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模．本题的易错点在于（）（）=5﹣t中的t＜5，因为两个向量的夹角为锐角，所以向量的数量积为正得t＜5．18．经过A（2，0），以（2cosθ﹣2，sinθ）为方向向量的直线与经过B（﹣2，0），以（2+2cosθ，sinθ）为方向向量的直线相交于点M（x，y），其中θ≠kπ．（I）求点M（x，y）的轨迹方程；（II）设（I）中轨迹为曲线C，，若曲线C内存在动点P，使得|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列（O为坐标原点），求的取值范围．考点：向量在几何中的应用；数列与解析几何的综合．专题：计算题．分析：（I）根据题意知，∥（2cosθ﹣2，sinθ），根据共线向量定理可得⇒（x﹣2）sinθ=y （2cosθ﹣2），同理（x+2）sinθ=y（2cosθ+2），两式相乘，即可得到点M（x，y）的轨迹方程；（II）设p（x0，y0）在曲线C内，得，再由|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列可得并代入求得，即可求得结果．解答：解：（I），（2﹣x）sinθ+y（2cosθ﹣2）=0⇒（x﹣2）sinθ=y（2cosθ﹣2）①同理（﹣2﹣x）sinθ+y（2cosθ+2）=0⇒（x+2）sinθ=y（2cosθ+2）②①×②得x2﹣4=﹣4y2即；（II）设p（x0，y0），则③化简得：④④代入③得点评：此题是个中档题．考查向量在几何中的应用，以及数列与解析几何的综合．同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．19．已知向量，，．（1）若，求向量、的夹角θ；（2）若，函数的最大值为，求实数λ的值．考点：数量积表示两个向量的夹角；数量积的坐标表达式；平面向量数量积的运算．专题：计算题；综合题．分析：（1）当时，求出向量、，利用数量积的坐标运算求出向量•，从而求出向量、的夹角θ；（2）向量，，代入函数，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．解答：解：（1）当时，，所以，因而；（2），，因为，所以，当λ＞0时，，即，当λ＜0时，，即，所以．点评：此题是个中档题．考查向量的数量积的坐标运算以及向量的夹角，和三角函数的诱导公式和三角函数在定区间上的最值等基础知识，同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．20．已知向量=（mcosα，msinα）（m≠0），=（﹣sinβ，cosβ．其中O为坐标原点．（I）若且m＞0，求向量与的夹角；（II）当实数α，β变化时，求实数的最大值．考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题；综合题．分析：（Ⅰ）设它们的夹角为θ，利用向量的数量积公式表示出cosθ，将已知条件代入，利用特殊角的三角函数值求出两个向量的夹角．（II）先将利用向量模的计算公式表示成，再利用三角函数的值域求出它的最大值即可．解答：解：（I）设它们的夹角为θ，则：=，故…（6分）（II）=…（10分）所以当m＞0时，原式的最大值是m﹣1；当m＜0时，原式的最大值是﹣m﹣1…（12分）点评：求向量的夹角问题，一般利用向量的数量积公式来解决；解决向量的模的最值问题，一般转化为函数的最值来解决．21．已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点是点（0，），离心率为，左、右焦点分别为F1和F2．（1）求椭圆方程；（2）点M在椭圆上，求△MF1F2面积的最大值；（3）试探究椭圆上是否存在一点P，使，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：向量在几何中的应用；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：综合题；存在型；反证法．分析：（1）由题意设出椭圆标准方程，根据顶点的坐标和离心率得，根据a2=b2+c2求出a的值，即求出椭圆标准方程；（2）根据（1）求出的椭圆标准方程，求出点M纵坐标的范围，即求出三角形面积的最大值；（3）先假设存在点P满足条件，根据向量的数量积得，根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两个方程，求出的值，结合（2）中三角形面积的最大值，判断出是否存在点P．解答：解：（1）由题意设椭圆标准方程为．由已知得，．（2分）则，∴．解得a2=6（4分）∴所求椭圆方程为（5分）（2）令M（x1，y1），则（7分）∵点M在椭圆上，∴，故|y 1|的最大值为（8分）∴当时，的最大值为．（9分）（3）假设存在一点P，使，∵，∴，（10分）∴△PF1F2为直角三角形，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4 ①（11分）又∵②（12分）∴②2﹣①，得2|PF1|•|PF2|=20，∴，（13分）即=5，由（1）得最大值为，故矛盾，∴不存在一点P，使．（14分）点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义，利用a、b、c、e几何意义和a2=b2+c2求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，即根据此范围判断点P是否存在，此题综合性强，涉及的知识多，考查了分析问题和解决问题的能力．22．已知△OFQ的面积为，且．（1）当时，求向量与的夹角θ的取值范围；（2）设，若以中心O为坐标原点，焦点F在x非负半轴上的双曲线经过点Q，当取得最小值时，求此双曲线的方程．考点：数量积表示两个向量的夹角；双曲线的标准方程．专题：计算题．分析：（1）利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式，推出tanθ的解析式，再根据m的范围，求得tanθ的范围，进而求得θ的取值范围．（2）设出双曲线的标准方程和点Q的坐标，有三角形的面积公式求出点Q的横坐标和纵坐标（用半焦距表示），用基本不等式求出||最小时点Q的坐标，从而得到双曲线方程中的待定系数．解答：解：（1）由已知得，∴tanθ=，∵＜m＜4，∴1＜tanθ＜4，∴＜θ＜arctan4．（2）设双曲线方程为﹣=1，（a＞0，b＞0），不妨设点Q的坐标为（m，n），n＞0，则=（m﹣c，n），∵△OFQ的面积为||•n=2，∴n=．又由•=（c，0）•（m﹣c，n）=c（m﹣c）=（﹣1）c2，∴m=，||==≥，当且仅当c=4时，||有最小值，此时，点Q的坐标为（，），由此可得，解得，故所求的方程为：=1．点评：本题考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式以及基本不等式的应用，用待定系数法求双曲线的方程．。
三角函数、平面向量、复数训练测试题
一致 掌 敦 掌 通 讯●蕙 ０ 年 月下半月 ● 第 月， ０ 啪 职
．
魏 训练测试题
（ Ａ） ． （ Ｂ） ． （ ｃ） ２ ． （ Ｄ） ．
中点 ． Ｅ 作 Ｆ上 船 交 朋 于点 Ｆ． （ ）证明 Ｐ ∥ 平面 Ｅ Ｂ； １ Ａ Ｄ
（ Ａ）一 ２ （ ． Ｂ）一 １ （ ． Ｃ）３ （ ． Ｄ）一 ３ ．
维普资讯
训练：试题魏 ｊ ｉ
５ ．向量葫 ： （，） ３３ ， ＝ （ ．）点 Ｃ满足Ｉ 一１ｏ 。
＝
Ｉ
有（
）
ｌ则 １ １ ， 菌 的取值范围是（
（ Ａ）Ｅ ，］ ４ ６．
Ｂ
ＣＤ 的距离相等 ． 则动点 Ｍ 的轨迹
所形成＿ 的曲线是（
（ Ａ）直 线 ．
中点． （ ）求异 面直线 Ａ 与 Ｂ 成 的角 ； １ Ｂ Ｃ 所 （ ）求 ＭＮ 的长 ｝ ２ （ ）求 ＭＮ与底面 ＡＢ ３ Ｃ所成 的角．
（ Ｃ）双 曲 线 ． （ Ｄ）抛 物 线 ． 二 、 空 题 填
三 、 答 题 解
选 择 题
１ ．若 Ａ、 Ｂ是锐角三角形 的两个 内角 ， 则点 Ｐ（ｏＢ— ｃｓ
ｓ Ａ，ｉ 一 １ｓ 在 （ ｉ ｓ Ｂ ２ Ａ） ｎ ｎ ０ ）
（ Ａ）第一象限．
（ Ｃ）第三象限．
（ ）第二 象限． Ｂ
（ 第 四象 限． Ｄ）
Ｉ ．如 图． 已 知 四 棱 锥 Ｐ —
３， ） 则 言与 的夹 角大 小 ０ 是
．
（ 东省 邹城 市 实验 中学 ２ ３ Ｏ ） 万 兆峰 山 ７ ５ Ｏ
一
、
５ ．等边 △Ａ Ｃ 的边 长 为 ａ， Ｄ 是 ＢＣ边 上的 高 。 Ｂ Ａ 沿 ＡＤ将 ／Ａ Ｘ ＢＣ折 成 直 二 面 角 则 点 Ａ 到 ＢＣ 的距 离 是
高考中的三角函数与平面向量问题
高考中的三角函数与平面向量问题
内容索引
考点自测 题型分类 深度剖析 课时作业
考点自测
1.(2016·全国Ⅱ)若将函数 y＝2sin 2x 的图象向左平移1π2个单位长度，则平移
后图象的对称轴为
A.x＝k2π－π6(k∈Z)
√B.x＝k2π＋π6(k∈Z)
C.x＝k2π－1π2(k∈Z)
123456
解答
解答
2.(2016·北京)在△ABC 中，a2＋c2＝b2＋ 2ac.
(1)求 B 的大小；
解 由 a2＋c2＝b2＋ 2ac，得 a2＋c2－b2＝ 2ac.
由余弦定理，得
cos
a2＋c2－b2 B＝ 2ac ＝
22aacc＝
2 2.
又 0＜B＜π，所以 B＝π4.
123456
解答
(2)求 2cos A＋cos C 的最大值.
解答
(2)若bcos C＋ccos B＝1，△ABC的周长为5，求b的长. 解 由余弦定理可知，
a2＋b2－c2 a2＋c2－b2 bcos C＋ccos B＝b· 2ab ＋c· 2ac ＝22aa2＝a＝1， 由(1)知ca＝ssiinn CA＝2，则 c＝2， 由周长a＋b＋c＝5，得b＝2.
D.x＝k2π＋1π2(k∈Z)
12345
解析 答案
2.(2016·全国Ⅲ)在△ABC 中，B＝π4，BC 边上的高等于13BC，则 cos A 等于
A.3
10 10
B.
10 10
√C.－
10 10
D.－3
10 10
解析 设 BC 边上的高 AD 交 BC 于点 D，由题意 B＝π4，可知 BD＝13BC，
三角函数向量解三角形练习题50套带答案
第四章三角函数练习一角的的概念的推广(一)要点1．正角、负角和零角：规定，一条射线绕它的端点按逆时针方向旋转形成的角为正角.按顺时针方向旋转形成的角为负角.射线没有旋转,形成零角.2．象限角:在平面直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的终边在x轴的非负半轴上,角的终边落在第几象限内,就称这个角是第几象限角.3. 轴上角:当角的终边落在坐标轴上时,就称之为轴上角,它不属于任何象限.同步练习1.给出命题:①－880是第四象限角;②2560是第三象限角;③4800是第二象限角;④－3000是第一象限角.其中正确的有别( )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个2.有下列四个角:⑴－2100,⑵－1900,⑶－6300,⑷12300其中第二象限的角为( )(A)⑴⑷(B)⑴⑶⑷(C)⑴⑵⑷(D)⑴⑵⑶⑷3.下列各组的两个角中,终边不重合的一组是( )(A) －210与6990(B) 1800与－5400(C) 900与9900(D) 1500与69004.时针的分针经过期2小时40分钟,它所转过的角是______度,这个角是第____象限角.5.在00～3600范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限角或哪个轴上的角.⑴6900; ⑵5400; ⑶－2000; ⑷－4500.6.在平面直角坐标系中,作出下列各角,并指出它们是哪个象限的角.⑴－3300; ⑵－18300; ⑶－6300; ⑷9900.7.在[－1800, 12600]内,写出与1800角终边相同的所有角.练习二 角的概念的推广（二）要点1． 与角α终边相同的角的集合为{β|β=α+k ·3600,k ∈Z}.2． 第一象限角、锐角和小于900的角的区别与联系.1.下列命题中,正确的是 ( )(A)第一象限角必是锐角 (B)终边相同的角必相等(C)相等的角终边位置必相同 (D)不相等的角终边位置必不相同2. 以下四个命题:⑴小于900的角为锐角 ; ⑵钝角是第二象限角; ⑶第一象限角不一定是负角;⑷第二象限角必大于第一象限角.其中正确命题的个数是 ( ) (A)1 (B)2 (C) 3 (D)43. 角α的终边上一点的坐标是(2,－2),则角α的集合是________________.4. 与－20050终边相同且绝对值最小的角是________________.5. 写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－3600≤α≤3600的元素α写出来.⑴ 600; ⑵ －834030/.6.写出下列角的集合:⑴终边在y 轴负半轴上的角;⑵终边在坐标轴上的角;⑶终边在第二、第四象限角平分线上的角;⑷终边在第三象限的角;⑸终边在第四象限的角. [思考与研究]若α是第一象限角,试确定2α、2α、3α所在的象限.练习三 弧度制 (一)要点1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位. 2. 度与弧度的相互换算:10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2k π+600,k ∈Z},正确的表示方法是x|x=2k π+3π,k ∈Z }或{ x|x=k ·3600 +600,k ∈Z } 同步练习1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( ) (A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限2.①4π, ② －45π,③419π,④－43π,其中终边相同的角是 ( )(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④ 3. 若4π<α<6π,且与－32π角的终边相同,则α=_________. 4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n 边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示) 5.把下列各角用另一种度量制表示. ⑴1350⑵ －67030/⑶2 ⑷－67π6. 将下列各数按从小到大的顺序排列.Sin40, sin21, sin300, sin17. 把下列各角化成2k π+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.(1)－316π; (2)－6750.8. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3θ角的终边相同的角.练习四 弧度制(二)要点1. 弧长公式和扇形面积公式:弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r 2其中α是圆心角的弧度数,L 为圆心角α所对的弧长,r 为圆半径.2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数. 同步练习1.半径为5 cm 的圆中,弧长为415cm 的圆弧所对的圆心角等于 ( ) (A)145(B) 1350(C)π135 (D)π1452.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( ) (A)3π (B)－3π (C) 6π (D)－6π 3. 半径为 4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm 2,求扇形圆心角的弧度数.6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.(1) 求这条弦所在的劣弧长;(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.练习五 任意角的三角函数 (一)要点1. 三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.三角函数的定义域:sin α,cos α的定义域都是R,tan α的定义域是{α|α≠k π＋2π, k ∈Z}. 2. 三角函数值在各个象限的符号:第一象限全正,第二象限只有正弦正,第三象限只有正切正,第四象限只有余弦正. 同步练习1.当α为第二象限角时ααsin |sin |－|cos |cos αα的值是 ( ) (A)－2 (B)0 (C)－1 (D)22.设角α的终边过点P(－3α,－4α),(α≠0),则sin α－cos α的值是 ( ) (A)51 (B)－ 51 (C)－ 51或 －57 (D) －51或51 3.在三角形ABC 中,若cosA ·tanB ·cotC<0,则这个三角形的的形状是_____. 4.设θ为第二象限角,其终边上一点为P(m,5),且cos α,则α的值为_______. 5.已知β的终边经过点P(m,－3)(m ≠0),且cos β=2m,求sin β,tan β的值.6.求cos 3π－tan 45π＋43tan 26π＋sin 611π＋cos 267π－sin 23π的值.7.求函数y=xxsin 1tan +的定义域.练习六 任意角的三角函数(二)要点1. 终边相同角的同名三角函数值相等(公式一),利用这组公式可以将任意角的三角函数值化为00～3600(或0～2π)间的角的三角函数值. 2. 三角函数线都是有向线段、线段的方向表示三角函数值的正负,线段的长度表示三角函数值的绝对值.书写三角函数线时,要注意起点与与终点的次序. 同步练习 1.sin637π的值等于 ( ) (A)21 (B)23 (C)－ 21(D) －232.设α、β是第二象限角,若sin α>sin β,则 ( )(A)tan α>tan β (B)cos α<cot β (C)cos α>cos β (D)sec α>sec β 3. 在下列各题中的_____处,填上适当的符号(>,=,<). ⑴sin1560·cos(－4400)_____0; ⑵cot(－817π)·sin(－34π)_______0;⑶5.1tan 4sin ____0;⑷sin320π·tan(－417π)·cos 27π______0. 4. 已知α∈(－π,π),且cos α>－23,则角α的取值范围是________. 5. 计算:(1) m 2sin(－6300)+n 2tan(－3150)－2mncos(－7200);(2) sin(－623π)+cos 713πtan4π－cos 313π.6. 在单位圆中,用阴影线表示满足条件的θ的终边的范围: (1)tan θ≥1 (2)cos θ＜21 (3)－21<sin θ≤237. 设0<α<2π,利用单位圆中的三角函数线证明:sin α+cos α>1练习七 同角三角函数的基本关系式(一)要点同角三角函数的基本关系式:sin 2α+cos 2α=1,ααcos sin =tan α,tan α·cot α=1.(1)公式中应注意“同角”二字,如sin 2α+cos 2β=1就不恒成立.(2)注意α的范围,第二个关系式中α≠k π＋2π(k ∈Z),第三个关系式中α≠2πk (k ∈Z).(3)对公式的的使用要做到顺用、逆用、变用、活用.同步练习1.下列各式正确的是 ( ) (A)sin 2300＋cos 2600=1 (B)sin23π/cos 23π=tan 23π (C)tan2π·cot2π=1 (D)sin 220050+cos 220050=12.下列各式能成立的是 ( ) (A)sin α=cos α=21 (B)cos α=21且tan α=2 (C)sin α=21且tan α=33 (D)tan α=2且cot α=－213. 已知cos θ=31,,则1+tan 4θ=______. 4. 已知sin α+ sin 2α=1则cos 2α+cos 4α的值等于_________. 5. 已知sin α=－53,α是第四象限角,求cos α、tan α的值.6. 已知cot α=－3,求sin α、cos α的值.7. 已知cos α=m(|m|≤1),求tan α和sin α.练习八 同角三角函数的基本关系式(二)要点1. 化简三角函数式的一般要求是(1)能求出函数值的要求出函数值,函数种类尽可能的少;(2)要使化简后的式子项数最少,次数最低;(3)尽量化去含有根式的式子,尽可能的不含分母.2. 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异,一般由繁到简,可采用:①左边⇒右边 ②右边⇒左边③左边－右边=0④分别从左右两边推出相同的结果. 同步练习1.化简02100sin 1-等于 ( )2.若tan α=a,且sin α=21aa +,则α是 ( )(A) 第一、二象限角 (B)第一、三象限角 (C)第一、四象限角 (D)第二、三象限角3. 化简sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β=____________4. 若tanx=3则xx22cos 1sin +的值是___________ 5. 化简下列各式: (1) ααcos 1cos 1-+-ααcos 1cos 1+-,其中α为第二象限角;(2)αααα2222tan sin tan sin -.6. 证明下列恒等式(1) cos α(αcos 2+tan α) (αcos 1-2tan α)=2cos α-3tan α (2) x x x x 2sin 2cos 2cos 2sin 2122--=xx2tan 12tan 1+-练习九 正余弦的诱导公式(一)要点1.公式二:sin(1800+α)=-sin α,cos(1800+α)=-cos α. 公式三: sin(-α)=-sin α, cos(-α)=cos α.2. 公式中的α是任意角,但在记忆时,可把α看作锐角,从而1800+α可看作第三象限角, -α可看作第四象限角. 同步练习1.下列等式中,恒成立的是 ( )(A) sin(1800+2000)=sin2000(B)cos(-α)=-cos α(C) cos(1800+2000)=-cos2000(D)sin(-α)=sin α 2.sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是 ( )(A) 2sin 2α (B)0 (C)1 (D)2 3. 计算sin34πcos(-6π)tan(-45π)=_________.4. 化简sin 2(-α)tan α+cos 2(π+α)cot α-2 sin(π+α) cos(-α)=_____5. 求下列各三角函数值:(1) sin(-13200) (2) tan9450(3)cos655π(4)cot(-322π)6.(1)求值sin 2(-300) +sin 22250 +2sin2100 +cos 2(-450) ; (2)若sin(π+α)= 41,求[]1)cos(cos )cos(-++απααπ-)cos()cos()2cos()cos(απαπαπα-+++--值;(3) 已知sin(3π-α)= 31;求sin(6π+α),sin(310π-α)的值.7. 化简:)(cos )tan()2cot()cos()(sin 32πααππααππα++--++练习十 正余弦的诱导公式(二)要点1.公式四: sin(1800-α)=sin α,cos(1800-α)=-cos α.公式五sin(3600-α)=-sin α,cos(3600-α)=cos α.2.记忆公式时, 1800-α可看作第二象限角, 3600-α可看作第四象限角 同步练习 1.sin(-619π)的值是 ( ) (A)21 (B) -21(C)23 (D) -232.已知cos(π-x)=-21,23π<x<2π,则sin(2π-x)的值等于 ( ) (A)21(B)± 23 (C)23 (D) -233.计算:sin(-15600)cos9300+cos(-13800) sin(-14100)=_______. 4. 已知COS(6π+θ)= 33,则COS(65π-θ)=__________.5. 求值0200170cos 110cos 10cos 10sin 21---6. 已知cos(π-α)=-21,计算: (1) sin(2π-α); (2)cot[2)12(π+k +α](k ∈Z)7. 已知sin(α-π) =2cos(2π-α),求)sin()cos(3)2cos(5)sin(ααπαπαπ----+-的值数学家陈景润陈景润（1933~1996），中国数学家、中国科学院院士。
三角函数、平面向量专题试题集
三角函数、平面向量专题试题集三角函数.平面向量专题试题集1. 函数的最小正周期为 ( A )A． B． C．8D．42. 已知函数的图象的一条对称轴方程为直线_=1,若将函数的图象向右平移b个单位后得到y=sin_的图象,则满足条件的b的值一定为( C )A．B． C．D．3. 在△ABC,为角A.B.C所对的三条边.(1)求时,t的取值范围;(2)化简(用(1)中t表示).(1)∵,∴△ABC为直角三角形,∴∠A+∠B= …………2分又…………4分∵ ∴, ∴…………6分(2)∵ ∴…………9分…………12分4. 已知向量a和b的夹角为60°,a = 3,b = 4,则(2a –b)·a等于 ( B )(A)15 (B)12 (C)6 (D)35. 已知．(Ⅰ)求cos的值;(Ⅱ)求满足sin(– _ ) – sin (+ _) + 2cos=的锐角_．解:(Ⅰ)因为,所以．(2分)所以=, (4分)由,所以．(6分)(Ⅱ)因为sin() – sin() + 2cos,所以, (8分)所以sin_=, (10分)因为_为锐角,所以．(12分)6. 下列函数中,最小正周期为,且图象关于直线对称的是( B )A． B．C． D．7. 若是纯虚数,则的值为 ( B )A．B．C．D．8. 已知向量上的一点(O为坐标原点),那么的最小值是( B )A．－16 B．－8 C．0 D．49. _年8月,在北京召开的国际数学家大会会标如图所示,它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一大正方形,若直角三角形中较小的锐角为,大正方形的面积是1,小正方形的面积是的值等于( D )A．1 B．C．D．－10. 为锐角,为钝角,=.11. 已知a=1,b=,(1)若a//b,求a·b;(2)若a,b的夹角为135°,求a+b.解(1),①若,同向,则……3分②若,异向,则……3分(2)的夹角为135°,……2分……2分……2分12.已知函数(1)将的形式,并求其图象对称中心的横坐标;(2)如果△ABC的三边a.b.c成等比数列,且边b所对的角为_,试求_的范围及此时函数f(_)的值域.解:(1) ……3分由即对称中心的横坐标为……3分(2)由已知.……3分的值域为……2分综上所述, ……1分13. 设平面上的动向量a=(s,t),b=(－1,t2－k)其中s,t为不同时为0的两个实数,实数,满足a⊥b,(1)求函数关系式(2)若函数上是单调增函数,求证:;(3)对上述,存在正项数列,其中通项公式并证明.(1)解: ……3分(2)证明:成立, ……2分故; ……1分(3)故因为……4分事实上,……4分方法1:方法2:14. 如果函数的最小正周期是T,且当时取得最大值,那么( A )A． B． C． D．15. 在中,已知,那么一定是( B )A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形16. 已知,那么的值为,的值为.17. 若 , 且()⊥ ,则与的夹角是 ( B )(A)(B)(C)(D)18. 把y = sin_的图象向左平移个单位,得到函数y = sin的图象;再把所得图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍,而纵坐标保持不变,得到函数的图象.19. 已知直线:_ – 2y + 3 = 0 ,那么直线的方向向量为(2,1)或等(注:只需写出一个正确答案即可);过点(1,1),并且的方向向量2与1满足1·= 0,则的方程为2_ + y – 3 = 0.20. 已知:tan= 2,求:(Ⅰ)tan的值;(Ⅱ)sin2的值．解:(Ⅰ)== 2,∴tan． (5分)(Ⅱ)解法一:sin2+sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (8分)= (11分)=．(13分)(Ⅱ)解法二:sin2+ sin2+ cos2= sin2+ sin2+ cos2– sin2= 2sincos+ cos2 (1)(8分)∵tan=,∴为第一象限或第三象限角．当为第一象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=; (10分)当为第三象限角时,sin=,cos=,代入(1)得2sincos+ cos2=． (12分)综上所述:sin2+ sin2+ cos2=．(13分)21. 已知常数a _gt; 0,向量,,经过定点A (0,–a )以+为方向向量的直线与经过定点B (0,a)以+ 2为方向向量的直线相交于点P,其中∈R．(Ⅰ)求点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)若,过E (0,1)的直线l交曲线C于M.N两点,求的取值范围．解:(Ⅰ)设P点的坐标为(_,y),则,,又,故,．由题知向量与向量平行,故(y + a) = a_．又向量与向量平行,故y – a = 2．两方程联立消去参数,得点P (_,y)的轨迹方程是(y + a)(y – a)= 2a2_2,即y2 – a2 = 2a2_2．(6分)(Ⅱ)∵,故点P的轨迹方程为2y2 – 2_2= 1,此时点E (0,1)为双曲线的焦点．①若直线l的斜率不存在,其方程为_ = 0,l与双曲线交于.,此时． (8分)②若直线l的斜率存在,设其方程为y = k_ + 1,代入2y2 – 2_2= 1化简得2(k2 – 1) _2 + 4k_ + 1 = 0．∴直线l与双曲线交于两点,∴△=(4k)2 – 8 (k2 – 1) _gt; 0且k2 –1≠0．解得k≠±1．设两交点为M (_1,y1).N (_2,y2),则_1 + _2 =,_1_2 =． (10分)此时= _1_2 + k2_1_2= (k2 + 1) _1_2 =．当–1 _lt; k _lt; 1时,k2 – 1 _lt; 0,故≤;当k _gt; 1或k _lt; – 1时,k2 – 1 _gt; 0,故．综上所述,的取值范围是∪． (13分)22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32. 已知向量＝(8, _),＝(_,1),其中_＞0,若(－2)∥(2＋),则_的值为A.4B.8C.0D.2解:－2＝(8－2_,_－2),2＋＝(16＋_,_＋1)由(－2)∥(2＋),得(8－2_,_－2)＝λ(16＋_,_＋1)即_THORN; _＝4.选A33. 同时具有以下性质:〝①最小正周期实π;②图象关于直线_＝对称;③在[－]上是增函数〞的一个函数是A.y＝sin()B.y＝cos(2_＋)C.y＝sin(2_－)D.y＝cos(2_－)解:由性质①排除A,由性质②排除D,由性质③排除B,选C.34. 在△ABC中,已知sin2Asin2B＝,tanAtanB＝3,求角C.解:∵sin2Asin2B＝,∴sinAsinBcosAcosB＝……①……3’由A.B∈(0,π),知sinAsinB＞0,∴cosAcosB＞0又tanAtanB＝3,即＝3……②……6’由①②得:∴c osC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝而C∈(0,π),∴C＝.35. 如图,已知点P(3,0),点A.B分别在_轴负半轴和y轴上,且＝0,,当点B在y轴上移动时,记点C的轨迹为E.(1)求曲线E的方程;(2)已知向量＝(1,0),＝(0,1),过点Q(1,0)且以向量＋k(k∈R)为方向向量的直线l交曲线E于不同的两点M.N,若D(－1,0),且＞0,求k的取值范围.解:(1)设A(a,0)(a＜0),B(0,b),C(_,y)则＝(_－a,y),＝(a,－b),＝(3,－b),∵＝0,,∴……3’消去a.b得:y2＝－4_∵a＜0,∴_＝3a＜0故曲线E的方程为y2＝－4_(_＜0)……5’(2)设R(_,y)为直线l上一点,由条件知)即(_－1,y)＝λ(1,k)∴,消去λ得l的方程为:y＝k(_－1) ……7’由_THORN;k2_2－2(k2－2)_＋k2＝0 ……(_)∵直线l交曲线E与不同的两点M.N∴△＞0 _THORN; －1＜k＜1……①……9’设M(_1,y1),N(_2,y2),则＝(_1＋1,y1),＝(_2＋1,y2)∵M.N在直线y＝k(_－1)上,∴y1＝k(_1－1),y2＝k(_2－1)又由(_),有_1＋_2＝,_1_2＝2∴＝(_1＋1)(_2＋1)＋y1y2＝(_1＋1)(_2＋1)＋k2(_1－1)(_2－1)＝(k2＋1)_1_2＋(1－k2)(_1＋_2)＋k2＋1＝由条件知:＞0 _THORN;k2＞……②……12’由①②知:－1＜k＜－或＜k＜1.……13’36. 设集合,集合,则( A )A．中有3个元素 B．中有1个元素C．中有2个元素 D．37. 在△中,〝是〝〞的( C )A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件38. 函数在下面哪个区间内是增函数( C )A．B．C． D．39. 函数的最小正周期为．40. 在三角形ABC中,设,,点在线段上,且,则用表示为．41. 将圆按向量平移得到圆,则的坐标为(－1,2);将抛物线按的相反向量平移后的曲线方程为．42. 已知向量,,,其中．(Ⅰ)当时,求值的集合;(Ⅱ)求的最大值．解:(Ⅰ)由,得,即．…………4分则,得．…………………………………5分∴为所求．…………………………………6分(Ⅱ),……………10分所以有最大值为3． (12)分。
三角函数和向量公式考试
1. 写出四个象限角的范围2. 写出弧长和扇形面积公式3. 把下列弧度化为角度，并写出正弦、余弦和正切值ππππππ2,,4,3,2,6 4. 写出同角三角函数的平方关系和商数关系 5.8.用cos α表示2sin 2α，2cos2α，2tan2α9.2tanα=αsin =asin10. sin α=2tan12tan22aa +，cos α= ，tan α=11.写出正弦、余弦定理公式，三角形面积公式（正弦定理） 12.已知向量b a 和，画出向量b a b a -+, （1）(3)13.向量a坐标为（11,γχ），向量b 坐标为（22,γχ），a b 坐标关系为 ， a b ⋅= ，a b ⊥坐标关系b a +=（，），b a +=（ ， ），22b a +=（ ，）()2b a +=，2a -2b=（ ， ）14. 已知向量b a 和，cos b a ,=（），a b ⋅=（）15. A 点坐标为（11,γχ）B 点坐标为（22,γχ），向量AB 的坐标为（ ， ），BA 的坐标为（ ， ） AB 的长度为（ ）16,.向量a 在b 方向上的投影为（ ）17.向量OA=λOB+μOC,则A ，B ，C 三点共线的充要条件是（ ） 18.已知向量AB=（3,4），A 坐标（-2，-1）则B 点坐标为（ ）19.在三角形ABC 中，若a=2，b+c=7，cosB=41-，则B=( ) 20.已知θ为第二象限角，sin （θπ-）=2524，则cos 2θ=（ ）21. =--02010cos 270sin 322.复数bi a z +=，当a ，b 分别为何值时z 为实数，虚数，纯虚数，第三象限复数？它的共轭复数为？模为多少？23.复数bi a z +=1，di c z +=2，计算：21z z +，21z z -，21z z ⨯，21z z ÷24. i z θθsin cos +=，且122=+z z ，则=θ2sin （ ）25.复数ia-+221为纯虚数，则a 为（ ） 26.向量a =（1，θcos ）与b =（-1，2θcos ）垂直，则θ2cos 等于（ ）27. 0120的弧度为（ ），0495的弧度为（ ），π87的角度为（ ），)311cos(π-=（ ）28.点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角a 的终变在第（ ）象限 29.已知θsin =53，⎪⎭⎫⎝⎛∈ππθ,2，则θtan =（ ），θcos =（ ），θsin2=（ ） 30.已知-sin θθcos =2，),0(π∈a ，则a tan =（ ） 31.函数216sin x x y -+=的定义域为（ ） 32.已知函数)(x f 的定义域为[]1,0，则)(cos x f 的定义域为（ ）33.函数)4(cos 2)(2π-=x x f -1是最小正周期为（ ）的（ ）填奇或偶函数。
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三角函数与向量综合测试
一、选择题：
1、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）
A ．B=A ∩C
B ．B ∪C=
C C ．A C
D ．A=B=C
2．向量a ,b 的坐标分别为(1,-1),(2,3)，则a ﹒b = （ ）
A.5
B.4
C.-2
D.-1
3．已知sin A =21, 那么cos(A -2
3π)= （ ） A.-21 B. 2
1 C.-23 D. 23 4.已知角α的终边经过点（3，-4），则sin α+cos α的值为 （ ） A.-
51 B. 51 C. ±51 D. ±51或±5
7 5、已知sin 2cos 5,tan 3sin 5cos ααααα-=-+那么的值为 （ ） A ．－2 B ．2 C ．23
16 D ．－23
16
6、若(cos )cos2f x x =,则(sin15)f ︒等于 ( )
A ．2
B 2
C ．1
2 D ． 12-
7、要得到)42sin(3π+
=x y 的图象只需将y=3sin2x 的图象 （ ）A ．向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位C ．向左平移8π个单位D ．向右平移8
π个单位
8 ( )
A ．cos160︒
B ．cos160-︒
C ．cos160±︒
D ．cos160±︒
9、A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25
A A +=,则这个三角形的形状为 （ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 10、函数)32sin(2π
+=x y 的图象
（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点（－
6π，0）对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x=6π对称 11．若向量()1,1a = ，()1,1b =- ，()1,2c =- ，则c = ( )
.A 1322a b -+ .B 1322a b - .C 3122a b - .D 3122
a b -+ 12. 已知向量(1,2)a = ，2(2,)b m = ，若0=⋅→→b a ，则 m 的值为 ( )
A. 2或-1
B. -2或1
C. ±2
D. ±1
二、填空题
13.向量 a ,b 满足︱a ︱=3,︱b ︱=4,︱a +b ︱=5,则︱a -b ︱=_____
14．cos 2x+cos 2(x+1200)+cos 2(x+2400)的值是________
15. 已知｜a ｜＝4,｜b ｜＝5, a 与b 的夹角为60°，且(k a +b )⊥(a -2b ), 则k = ___
16、已知,24,81cos sin παπαα<<=
⋅且则=-ααsin cos . 三、解答题：
17.求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒
18.已知3tan 2απαπ=<<
,求sin cos αα-的值.
19.已知α是第三角限的角，化简
ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+。