多重共线性
第四章 多重共线性
二、产生多重共线性的背景
多重共线性产生的经济背景主要有几种情形： 1.经济变量之间具有相同的变化趋势。 2.模型中包含滞后变量。 3.利用截面数据建立模型也可能出现多重共线性。 4.样本数据的原因。
6
第二节 多重共线性的后果
一、完全多重共线性产生的后果
1.参数的估计值不确定 2.参数估计值的方差无限大
Cov( ˆ2 ,
ˆ3 )
(1
r223 )
r23 2
x22i
x32i
随着共线性增加，r23趋于1，方差将增大。同样 协方差的绝对值也增大，它们增大的速度决定于
方差扩大（膨胀）因子(variance inflation factor, VIF)
VIF
1
1 r223
这时
Var(ˆ2 )
4.多重共线性严重时，甚至可能使估计的回归系数 符号相反，得出完全错误的结论。（如引例）
18
第三节 多重共线性的检验
本节基本内容： 简单相关系数检验法 方差扩大因子法 直观判断法 病态指数检验法 逐步回归法
19
一、简单相关系数检验法 简单相关系数检验法是利用解释变量之间的线性 相关程度去判断是否存在严重多重共线性的一种 简便方法。适用于只有两个变量的情形。
2
x32i 0
同理
ˆ3
这说明完全多重共线性时，参数估计量的方差将 变成无穷大。
9
关于方差的推导
Var(ˆ2 )
x32i (x22i ) (x32i )
(x2i x3i )2
2
1 X21 X 1 X22
1 X2n
多重共线性
多重共线性多重共线性（multicollinearity ）的特征● 多重共线性是指一个回归模型中的一些或全部解释变量之间存在有一种“完全”或准确的线性关系：0...2211=+++k k X X X λλλ其中k λλλ,...,,21为常数，但不同时为零。
● 0...2211≈+++k k X X X λλλ， 近似的多重共线性● 通过巴伦坦图做简单的描述。
共线性部分可用两圆圈的重叠部分来衡量。
重叠部分越大，共线性程度越高。
● 我们定义的多重共线性仅对X 变量之间的线性关系而言，它们之间的非线性关系并不违反无多重共线性的假设i i i i u X X Y +++=2210βββ多重共线性的后果●如果多重共线性是完全的，诸X变量的回归系数将是不正确的，并且它们的标准误差为无穷大●如果多重共线性是不完全的，那末，虽然回归系数可以确定，却有较大的标准误差，意思是，系数不能以很高的精确或准精确加以估计，这会导致：-参数估计不精确，也不稳定-参数估计量的标准差较大，影响系数的显著性检验●多重共线性产生的后果具有一定的不确定性●在近似的多重共线性的情况下，只要模型满足CLRM 假定，回归系数就为ＢＬＵＥ，但特定的样本估计量并不一定等于真值。
多重共线性的来源（1）许多经济变量在时间上由共同变动的趋势，如：收入，投资，消费（2）把一些经济变量的滞后值也作为解释变量在模型中使用，而解释变量和滞后变量通常相关，如：消费和过去的收入多重共线性一般与时间序列有关，但在横截面数据中也经常出现多重共线性的检验● 多重共线性是普遍存在的，造成的后果也比较复杂，对多重共线性的检验缺少统一的准则－ 对有两个解释变量的模型，作散点图，或相 关系数，或拟和优度Ｒ平方。
－ 对有多个解释变量的模型，分别用一个解释 变量对其它解释变量进行线性回归，计算拟 和优度22221,...,,k R R R－ 考察参数估计值的符号，符不符合理论 － 增加或减少解释变量，考察参数估计值的变 化－ 对比拟和优度和ｔ检验值多重共线性的修正方法● 增加样本观测值，如果多重共线性是由样本引起的，可以通过收集更多的观测值增加样本容量。
多重共线性
第二章知多元线性回归模型参数向量的最小二乘估计量为: 1 X X X Y 这一表达式成立的前提条件是解释变量X 1 , X 2 , X k 之间没有多重共线性. 如果矩阵X 不是满秩的,则X X 也不是满秩的.必有: X X 0, 从而 X X 不存在, OLS失效, 此时称该模型存在完全的多重共线性.
解释变量的精确线性组合表示,它们的相关系数的绝对值为1.
X s ,h =
Var X is Var X ih ch cs
n
Cov( X is , X ih )
n
n i 1
( X is X is )( X ih X ih )
2
i1 ( X is X is )
则:
x y x
i1 i 2 i1
, 而1与 2却无法估计.
2 在近似共线性下OLS参数估计量的方差变大
我们前面已论述, 在近似共线性下,虽然可以得到OLS估计量: ) X X 1 2 Var (
由于此时 X X 0, 引起 X X 主对角线元素较大, 即 i的方差较大.
1
对此, 如果我们合并两个(或多个)高度线性相关的变量, 可以使用OLS , 但两个(或多个)变量前的参数将无法估计. 例如,对于回归模型:Yi 0 1 X i1 2 X i 2 i i 1, 2 , n 如果有:X i 2 X i1 , 合并两变量 : Yi 0 1 2 X i1 i , 令 1 2 ,
n
( X ih X ih ) i1
n 2
2
1 X s , h 1 在近似的多重共线性下则得不到这样的精确线性组合, 它们的相关系数的绝对值近似为1.
第四章多重共线性
2
x2j VIFj
注意：R2j 是多个解释变量辅助回归的多重可决系数，
而相关系数 r223只是说明两个变量的线性关系 。
（一元回归中可决系数的数值等于相关系数的平方）
17
方差扩大因子的作用
由
R2j 越大
VIFJ 1 (1 R2j ) 多重共线性越严重
VIFj越大
VIFj的大小可以反映解释变量之间存在多重共线性的严重
1 x22i (1
r223 )
2
x22i
1 (1 r223)
2
x22i
VIF2
当 r23 增大时，VIF2 增大， Var(ˆ2 ) 也会增大 ，
思考: 当 r23 0 时 Var(ˆ2) 2
x22i
(与一元回归比较)
当 r23 1 时 Var(ˆ2 )
（见前页结论） 8
三、当多重共线性严重时，甚至可能使估计
在总体中部分或全部解释变量可能没有线性关系，但是 在具体获得的样本中仍可能有共线性关系，因此多重共线 性问题本质上是一种样本现象。
正因为如此，我们无法对多重共线性问题进行统计假设 检验，只能设法评价解释变量之间多重共线性的严重程度。
5
第二节 多重共线性产生的后果
从参数估计看，在完全无多重共线性时，各解释变量都独
Kt
Kt
ln Qt ln A ln Lt ln Kt ln u
（ln Lt 与 ln Kt 有多重共线性） ln Qt ln A ln Lt ln u
Kt
Kt 22
三、截面数据与时间序列数据的结合
有时在时间序列数据中多重共线性严重的变量，在截 面数据中不一定有严重的共线性
假定前提：截面数据估计出的参数在时间序列中变化不大
多重共线性
第四章 多重共线性第一节 什么是多重共线性一、多重共线性的含义所谓多重共线性，不仅包括解释变量之间完全（精确）的线性关系，还包括解释变量之间近似的线性关系。
对于解释变量23,,,k X X X ，如果存在不全为零的数123,,,,k λλλλ ，能使得12233i i k ki X X X λλλλ++++ =0 ，（i =1,2,,n ）——即解释变量的数据矩阵的列向量组线性相关。
则称解释变量23,,,k X X X 之间存在着完全的线性关系。
用数据表示，解释变量的数据矩阵为X =213112232223111k k nnkn X X X XX X X X X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦当()r X <k 时，也说明解释变量23,,,k X X X 之间存在着完全的线性关系。
当存在完全共线性时，至少有一个变量（列向量）可以用其余的变量（列向量）线性表出。
在实际问题中，完全的共线性并不多见。
常见的情形是解释变量23,,,k X X X 之间存在不完全的共线性，这是指存在不全为零是数123,,,,k λλλλ ，使得12233λλλλ+++++ i i k ki i X X X v =0（i =1,2,,n ）其中i v 是随机变量。
这表明此时解释变量之间只是一种近似的线性关系。
二、产生多重共线性的背景1.经济变量之间具有共同的变化趋势2.模型中包含滞后变量3.利用截面数据建立模型也可能出现共线性4. 样本数据自身的原因第二节 多重共线性产生的后果完全共线性时，矩阵X X '不可逆，参数估计式ˆβ=1()X X X Y -''不存在，OLS 无法应用。
不完全的共线性时，1()X X -'也存在，可以得到参数的估计值，但是对计量经济分析可能会产生一系列影响。
一、参数估计量的无偏性依然成立不完全共线性时ˆ()E β=1()E X X X Y -''⎡⎤⎣⎦=1()()E X X X X U β-''⎡⎤+⎣⎦=β+()1()X X X E U -''=β二、参数OLS 估计值方差扩大 如二元回归模型i Y =12233i i i X X u βββ+++中的2X 与3X 为不完全的共线性时，2X 与3X 之间的相关系数23r 可由下式给出223r=2232223()x x x x∑∑∑容易证明2ˆ()Var β=222223(1)i x r σ-∑3ˆ()Var β=222323(1)ixr σ-∑随着共线性的程度增加，23r 的绝对值趋于1，两个参数估计量的方差也增大。
多重共线性
多重共线性“多重共线性”一词由R. Frisch 1934年提出，它原指模型的解释变量间存在线性关系。
1．非多重共线性假定 rk (X 'X ) = rk (X ) = k解释变量不是完全线性相关的或接近完全线性相关的。
| r x i x j | ≠1, | r x i x j | 不近似等于1。
就模型中解释变量的关系而言，有三种可能。
（1）r x i x j = 0，解释变量间非线性相关，变量间相互正交。
这时已不需要多重回归，每个参数βj 都可以通过y 对x j 的一元回归来估计。
（2）| r x i x j | = 1，解释变量间完全共线性。
此时模型参数将无法确定。
直观地看，当两变量按同一方式变化时，要区别每个解释变量对被解释变量的影响程度就非常困难。
（3）0 < | r x i x j | < 1，解释变量间存在一定程度的线性相关。
实际中常遇到的是这种情形。
随着共线性程度的加强，对参数估计值的准确性、稳定性带来影响。
因此我们关心的不是有无多重共线性，而是多重共线性的程度。
2．多重共线性的经济解释（1）经济变量在时间上有共同变化的趋势。
如在经济上升时期，收入、消费、就业率等都增长，当经济收缩期，收入、消费、就业率等又都下降。
当这些变量同时进入模型后就会带来多重共线性问题。
0.E+001.E+112.E+113.E+114.E+11808284868890929496980002GDPCONS0.E +001.E +112.E +113.E +114.E +110.0E +005.0E +101.0E +111.5E +112.0E +112.5E +11C O N SG D P o f H o n g K o n g（2）解释变量与其滞后变量同作解释变量。
0.E+001.E+112.E+113.E+114.E+11808284868890929496980002GDP0.E+001.E+112.E+113.E+114.E+110.E+001.E+112.E+113.E+114.E+11GDP(-1)GDP3．多重共线性的后果（1）当 | r x i x j | = 1，X 为降秩矩阵，则 (X 'X ) -1不存在，βˆ= (X 'X )-1 X 'Y 不可计算。
Chapter10多重共线性MultiCollinearity(计量经济学-武汉大学,彭红枫)
则称为解释变量间存在完全共线性 （perfect multicollinearity）。
2020/5/1
Hongfeng Peng Department of
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Finance, Wuhan University
近似共线性
如果存在一组不全为0的数，使得 1X1+ 2X2+…+ kXk +vi=0 i=1,2,…,n
Chapter 10
多重共线性 MultiCollinearity
主讲：彭红枫
武汉大学经济与管理学院金融系 Copyright© Hongfeng Peng 2006 Wuhan
University
10.1 多重共线性的性质
• 定义:
– 狭义:模型中一些或全部解释变量之间存在 一种完全的线性关系（完全共线性）。
– 广义:模型中一些或全部解释变量之间存在 一种完全或非完全的线性关系（近似共线 性）。
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完全共线性
如果存在一组不全为0的数，使得 1X1+ 2X2+…+ kXk=0 i=1,2,…,n
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• 10.12 • 10.24 • 10.30
习题
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Finance, Wuhan University
导致多重共线性的可能原因
第七章 多重共线性
2
X 1i 1 r 2
2
ˆ 同理:Var b2
2
X 2i 1 r 2
2
第二节
多重共线性的影响后果
2
ˆ 当完全不共线时，r=0, Var b1
X
2 1i
当不完全共线时，r越接近1,相关程度越高， bi Var ˆ 越大，参数估计值越不准确。
第四节
多重共线性的解决方法
三、逐步回归法 (1)计算因变量对每一个解释变量的回归方程,并分别 进行统计检验,从中选取最合适的基本回归方程。 (2)逐一引入其他解释变量,重新进行回归，在模型中 每个解释变量均显著,参数符号正确, R 2 值有所提高的前 提下,从中再选取最合适的二元回归方程。 (3)在选取的二元回归方程的基础上以同样的方式引 入第三解释变量;如此引入,直至无法引入新变量为止。
第四节
多重共线性的解决方法
（2）如果历年的平均收入弹性与近期的收入弹性 近似相等，就可以用 a2代替原模型中的 b2 。将原模 ln y a2 ln I b0 b1 ln P 型变为 y1 ln y a2 ln I 令：
p1 ln P 再利用时间序列数据求出价格弹性 b1 以及 b0即可。
第四节
多重共线性的解决方法
二、间接剔除重要的解释变量 1、利用已知信息 所谓已知信息，就是在建立模型之前，根据经 济理论、统计资料或经验分析，已知的解释变量之 间存在某种关系。为了克服模型的多重共线性，可 以将解释变量按已知关系加以处理。
第四节
多重共线性的解决方法
例如：柯布－道格拉斯生产函数
y aL K e
ln y / K ln a ln L / K
多重共线性(统计累赘)的概念、特征及其测量方式和处理方式
试述多重共线性（统计累赘）的概念、特征及其测量方式和处理方式。
1、概念多重共线性是指自变量之间存在线性相关关。
倘若其中两个自变项的关系特别强，则在相互控制后就会使每者的效果减弱，而其他的变相的效果就会因此而增大。
2、特征3、产生原因产生多重相关性的原因主要包括四方面。
一是没有足够多的样本数据; 二是选取的自变量之间客观上就有共线性的关系; 还可能由其它因素导致, 如数据采集所用的方法, 模型设定, 一个过度决定的模型等。
但多数研究者认为共线性本质上是由于样本数据不足引起的。
4、测量方式（1）经验式的诊断方法通过观察,得到一些多重相关性严重存在的迹象。
①在自变量的简单相关系数矩阵中,有某些自变量的相关系数值较大。
②回归系数的代数符号与专业知识或一般经验相反;或者该自变量与因变量的简单相关系数符号相反。
③对重要自变量的回归系数进行t 检验,其结果不显著。
特别是当F 检验能在高精度下通过,测定系数R 2的值也很大,但自变量的t 检验却全都不显著,这时多重相关性的可能将会很大。
④如果增加或删除一个变量,或者增加或删除一个观测值,回归系数发生了明显的变化。
⑤重要自变量的回归系数置信区别明显过大。
⑥在自变量中,某一个自变量是另一部分自变量的完全或近似完全的线性组合。
⑦对于一般的观测数据,如果样本点的个数过少,比如接近于变量的个数或者少于变量的个数,样本数据中的多重相关性就会经常存在。
（2）统计检验方法共线性的诊断方法是基于对自变量的观测数据构成的矩阵X ’X 进行分析,使用各种反映自变量间相关性的指标。
共线性诊断常用的统计量有方差膨胀因子VIF 或容限TOL 、条件指数和方差比例等。
方差膨胀因子VIF 是指回归系数的估计量由于自变量的共线性使其方差增加的一个相对度量。
对于第i 个回归系数,它的方差膨胀因子定义为：VIF=1/1-R 2=1/TOL i 其中R2i 是自变量Xi 对模型中其余自变量线性回归模型的R 平方。
多重共线性讲义
9
3.参数估计量经济含义不合理 如果模型中两个解释变量具有线性相关性，例如 X2= X1 ，这时，X1和
X2前的参数1、2并不反映各自与被解释变量之间的结构关系，而是反映它 们对被解释变量的共同影响。1、2已经失去了应有的经济含义，于是经常 表现出似乎反常的现象：例如1本来应该是正的，结果恰是负的。
如果存在 c1X1i+c2X2i+…+ckXki+vi=0 i=1,2,…,n
其中ci不全为0，vi为随机误差项，则称为 不完全多重共线性或欠完 全多重共线性（approximate multicollinearity）。
4
7.2.产生多重共线性的原因
一般地，产生多重共线性的主要原因有以下四个方面： （1）经济变量相关的共同趋势 时间序列样本：经济繁荣时期，各基本经济变量（收入、消费、 投资、价格）都趋于增长；衰退时期，又同时趋于下降。 横截面数据：生产函数中，资本投入与劳动力投入往往出现高度 相关情况，大企业二者都大，小企业都小。 （2）滞后变量的引入 在经济计量模型中，往往需要引入滞后经济变量来反映真实的经济 关系。 例如，消费=f(当期收入, 前期收入），显然，两期收入间有较强的 线性相关性。
14
15
2、辅助回归法
利用模型中每一个解释变量分别以其余解释变量为解释变量进行回归， 并计算相应的拟合优度。
如果某一种回归 X j c 1X1 2 X 2 ... j1X j1 j1X j1 ... k X k
的判定系数较大，说明Xj与其他X间存在共线性。 判别的标准是回归模型是否通过F检验。
多重共线性
我们可以分别作y对x1和y对x2的回归，以便弄清 x1和x2单独对y的影响如何：
yˆi 9.4092 1.6449 x1i (0.0704)
线性。
如果存在不为零的常数 1, 2 ，使得下式成立
1 x1i 2 x2i vi 0 其中vi是随机项，这表示解释变量x1和x2之间存在近 似的线性关系，则说x1和x2之间高度相关，即存在不 完全多重共线性。 完全多重共线性和不完全多重共线性，统称为多重 共线性。因此，所谓多重共线性是指解释变量之间 存在完全的线性关系或近似的线性关系。
§7.2 多重共线性的后果
一般模型
Y X U
(7.2.11)
完全多重共线，即解释变量中存在
0 1 x1i k xki 0 （7.2.12)
其中λi不全为零。于是
rk(X) < k +1
(7.2.13)
便有
| X′X |＝0
(7.2.14)
从而使得参数估计量
ˆ ( X X )1 X Y
i＝1，2，…，k，皆有R2i=0。
多重共线性基本上是一种样本现象。因为人们在制 定模型时，总是尽量避免将理论上具有严格线性关 系的变量作为自变量收集在一起，因此，实际问题 中的多重共线性并不是自变量之间存在理论上或实 际上的线性关系造成的，而是由于所收集的数据(自 变量观察值)之间存在近似的线性关系所致。
例7.2.1 设因变量y和自变量x1、x2具有表7.2.1所示的 观察值，我们用模型
yi 0 1 x1i 2 x2i ui
拟合表7.2.1中的数据。
表7.2.1
y、x1和x2的观察值
yi 30 35 40 45 50 60 68 80 92 104 x1i 10 15 18 22 28 32 38 42 50 55 x2i 9.8 14.9 17.6 21.6 27.6 31 37.2 42.3 50.2 54.6
第七章多重共线性
第七章多重共线性第七章多重共线性若线性模型不满⾜假定6，就称模型有多重共线性。
§7.1 多重共线性的概念⼀. 基本概念：假定6 ()1k r X k n =+<，是指模型中所有⾃变量12,,,,k x x x 1线性⽆关，也可理解为矩阵X 的列向量线性⽆关。
若不满⾜该假定，即 ()1k r X k <+，则称12,,,,k x x x 1存在完全多重共线性，12,,,,k x x x 1存在严格的线性关系，这是⼀种极端情况；若12,,,,k x x x 1之间的线性关系不是严格的，⽽是⼀种近似的线性关系，则称⾼度相关或存在不完全多重共线性。
如，01122i i i i y x x u βββ=+++ 若12,λλ?不全为零，使11220i i x x λλ+=，完全多重共线性11220i i i x x v λλ++= 不完全多重共线性完全多重共线性和不完全多重共线性统称为多重共线性。
解释变量（⾃变量）之间的线性关系可⽤拟合优度2i R 描述，2i R 表⽰i x 对其它解释变量的拟合优度，21i R = 完全 21i R ≈⾼度 20i R = ⽆⼆. 产⽣的原因：在实际经济问题中主要是不完全多重共线性。
其产⽣的主要原因是：1. 两个解释变量具有相同或相反的变化趋势；（家庭能耗与住房⾯积、⼈⼝）⽣产、需求.......2. 数据收集的范围过窄，造成解释变量之间有相同或相反变化的假象；3. 某些解释变量之间存在某种近似的线性关系；（各解释变量有相同的时间趋势）4. ⼀个变量是另⼀个变量的滞后值；供给5. 解释变量的选择不当也可能引起变量间的多重共线性。
6. 过度决定模型。
(观测值个数少于参数个数)对于正确设置的模型，多重共线性基本上是⼀种样本现象。
§7.2 多重共线性的后果⼀. 完全多重共线性当模型具有完全多重共线性时，⽆法进⾏参数的OLS 估计；设模型 Y XB U =+，若有完全多重共线性，即()1k r X k <+，则()1T r X X k <+ 1()T X X -?不存在1()T TB X X X Y ∧-?=不存在，同样 21()()Tj u jj V X X βσ∧-=也不存在，显著性检验和预测都⽆法进⾏。
多重共线性
2.采用综合统计检验法
R2与F值较大，但t检验值较小，说明各解释变量对Y的联合线 性作用显著，但各解释变量间存在共线性而使得它们对Y的独 立作用不能分辨，故t检验不显著。
3.3 多重共线性
3、辅助回归模型检验 通过每个解释变量对其它解释变量的辅助回归模型
xi a0 a1 x1 ai 1 xi 1 ai 1 xi 1 ak xk
3.3多重共线性
• • • • 多重共线性及其产生原因 多重共线性的后果 多重共线性的检验 多重共线性的方法
一、多重共线性及其产生原因
1.多重共线性的概念---解释变量间相关
对于多元线性回归模型 yi=b0+b1x1i+b2x2i+…+bkxki+εi 存在一组不全为零的常数λ1，λ2，…λk，使得 λ1x1i + λ2x2i +…+ λkxki +νi=0 其中νi是一个随机误差项，则称模型存在着多重共线性。 “共线性”：变量间线性相关 “多重”：多种组合 “完全多重共线性”： νi=0
3.3 多重共线性
例5．服装需求函数。根据理论和经验分析，影响居民服 装需求的主要因素有：可支配收入X、流动资产拥有量 K、服装类价格指数P1和总物价指数P0 。教材P124的表 3-4给出了有关统计资料。 设服装需求函数为 ：Y=a+b1x+b2P1+b3P0+b4K+ε (1)相关系数检验 键入：COR Y X K P1 P0 输出的相关系数矩阵为：
3.3 多重共线性
2、间接剔除重要的解释变量 ⑴利用附加信息
例如，著名的Cobb-Dauglas 生产函数中
附加信息： α +β =1 则
多重共线性名词解释
多重共线性名词解释多重共线性(MLC)是指分析结果为两个或以上自变量共同影响的现象，具有相互独立性，表现为因变量正值与共同影响因素负值之差的绝对值比因变量大。
多重共线性在连续测量中是十分常见的，它广泛存在于人口统计学、心理学、生物学、生态学、经济学等学科的各种分析中，它严重影响着各种统计分析方法的有效性。
多重共线性可以通过两种途径来产生：第一种是由于多重观测造成的，即同一时间内观测同一对象可能有不同的记录;第二种是由于多次观测造成的，即一次观测同一变量后得到两个或多个数据，其中只有一个数据可用于分析。
例如同时给予研究对象两种食物，收集到的数据便可能呈现两种结果，这就是“多重共线性”。
自变量对因变量的贡献不同，即某一因变量并不是另一因变量的线性函数，这种现象称为多重共线性。
通常情况下，多重共线性不影响分析结果，但是对统计推断却构成很大的干扰。
对共线性进行识别和处理时，首先要明确产生多重共线性的原因，然后才能选择合适的方法去减小共线性。
根据原因不同，可把多重共线性分为2类：第一类是由于随机误差引起的，称为系统性多重共线性;第二类是由于随机误差之外的因素引起的，称为随机性多重共线性。
2、连续性原理和直接效应定律。
连续性原理是指对于某些已知量X，若随机抽取若干个样本X(X。
无限多)，而事先不告诉Y，则所得的样本X的统计量Y与总体Y之间具有极为密切的关系，即样本统计量具有良好的代表性。
若将随机抽取的这些样本累积起来，就可估计总体X的数值。
这就是直接效应定律。
按照样本统计量与总体统计量之间的关系，可以将多重共线性分为两类：一类是内在性多重共线性(多重内在性)，另一类是外在性多重共线性(多重外在性)。
3、重复测量问题。
1)如何提高重复测量精度。
(1)降低随机误差。
①采用随机化变量时，必须确保样本的随机性，并尽可能排除样本内部的多重共线性。
②考虑随机化对样本空间结构的影响。
2)如何提高平均值的准确性。
(1)排除样本内部的多重共线性。
多重共线性
多重共线性 §1 概述多重共线性的概念 （一）完全的多重共线性 ⒈定义对于k 个解释变量，如果存在一组不全为零的数12,,...k λλλ，使得1122...0k k X X X λλλ+++=则称12,,...,k X X X 之间存在完全的多重共线性 ⒉等价形式rank （X ）< k+1 ，矩阵X 不满秩0X X '=()1X X -'不存在（二）不完全的多重共线性对于k 个解释变量，如果存在一组不全为零的数12,,...k λλλ，使得1122...0k k X X X λλλμ++++=其中μ为随机变量则称12,,...,k X X X 之间存在不完全的多重共线性（三）无多重共线性即没有上述完全和不完全的多重共线性，此时rank （X ）< k+1，()1X X -'存在。
§2 多重共线性的产生原因和后果 一、 多重共线性的产生原因 二、 多重共线性的后果 （一） 完全的多重共线性 1. 参数估计值不确定11ˆ()()1()ˆX X X Y rank X k X X X ββ--''='<+⇒⇒⇒不满秩不存在无法估出2. 参数估计量的方差无穷大 （二） 不完全的多重共线性1. 参数估计值具有较大的不确定性2. OLS 估计仍然是无偏估计，但估计量的方差随着共线性程度的提高而提高 对二元回归，有2212221121212212121ˆ()111iiVar VIFxr xVIF r r r VIF σσβ==∙-=---↑⇒↑⇒↑⇒↑⇒↑∑∑其中方差膨胀因子共线性程度方差3.一个或多个系数的t 值不显著 对二元回归，有21212111111ˆˆˆ()()ˆ()r r VIF Var Se t t Se ββββ↑⇒↑⇒↑⇒↑⇒↑↑⇒↑⇒=↓⇒共线性程度方差更容易不显著§3 多重共线性的判断（检测） 一、 直观判断观测t 、F 和2R（1）F ，2R 很高――解释变量对因变量的联合影响明显 （2）部分或全部t 值不显著――无法分解出各解释变量对因变量的单独影响二、 观测相关系数 1. 简单相关系数矩阵法缺点：考察两个解释变量相关程度时，未排除其余解释变量对它们的影响2．偏相关系数法 三、辅助回归法1. 利用不包括某一解释变量所构成的判定系数2. 利用解释变量之间所构成回归方程的判定系数 四、本征值和条件指数 五、容许度和方差膨胀因子§4 多重共线性的解决方法（修正） 一、 增大样本容量001222212221121211 1ˆ()1ˆ()i i i i ii Y X X Var VIF x r x x Var βββσσββ=++==∙-↑⇒↓⇒∑∑∑对于一定程度抵消VIF>1的影响二、 利用先验信息改变参数的约束形式1ln ln ln ln ln ,ln 1t t tt t t t t tt t t tt tt t tt t t Q AL K Q A L K L K K L Q AL KAL A K K K Q L A K K αβαααααααβαβ-==+++⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎛⎫= ⎪⎝⎭高度相关加入约束条件＝，则三、数据的结合时间序列数据⇒时间序列数据与横截面数据相结合01122t 222i21122tu Y u ˆ MPC MPC ˆ u t t t i i tttY X X X Y X Y X X βββαβββββ=+++=++=+++销量价格收入1.找到某一时点的，的数据(截面数据)，估计得出，即该横截面2.假定该不仅适用于该横截面，也适用于一段时间，则22011t011t 01ˆ u ˆˆ u MPC t t t t t Y X X Y X βββββββ*-=++=++估计，可得，局限性：只有当各横截面随时间变化不大时方可使用四、模型的差分变换01122t 10111221t-11111122212t-1 u u u t t t t t t t t t t t t t t Y X X Y X X Y Y X X X X X Y βββββββββ------=+++=+++--∆=（）（）（）（）（1）（2）（1）-（2）=（）+（-）+（-）1122u u t t t t X X β∆+∆+∆∆缺陷：（1）丧失人们所关注的经济关系（2）易出现自相关问题五、逐步回归法 1. 基本思路Y X ⇒⇒⇒对每个经济意义检验选出最优的逐步引入其他作一元回归统计检验基本回归方程解释变量2.对新增变量的判别标准。
第四章 多重共线性
多重共线性的定义 产生多重共线性的背景 多重共线性产生的后果 多重共线性的检验 多重共线性的补救措施
第四章 多重共线性
一、多重共线性的定义：案例1 能源消费 多重共线性的定义：案例1
1、完全多重共线性： 、完全多重共线性： 对于 变 量 X 2 , X 3 ,L, X k ，如 果 存在 不全 为零 的数 λ2，λ3， ，λk ， 使 L
年份 财政收 农业增 工业增 建筑业 总人口/ 最终消 入CS 加值NZ 加值GZ 增加值 万人 费CUM
1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1132.3 1146.4 1159.9 1175.8 1212.3 1367 1642.9 2004.8 2122 2199.4 2357.2 2664.9 2937.1 3149.48 3483.37 1018.4 1258.9 1359.4 1545.6 1761.6 1960.8 2295.5 2541.6 2763.9 3204.3 3831 4228 5017 5288.6 5800 1607 1769.7 1996.5 2048.4 2162.3 2375.6 2789 3448.7 3967 4585.8 5777.2 6484 6858 8087.1 10284 138.2 143.8 195.5 207.1 220.7 270.6 316.7 417.9 525.7 665.8 810 794 859.4 1015.1 1415 96259 97542 98705 100072 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 115823 117171 2239.1 2619.4 2976.1 3309.1 3637.9 4020.5 4694.5 5773 6542 7451.2 9360.1 10556.5 11365.2 13145.9 15952.1
多重共线性(Multi-Collinearity)
i 0 1 1i 2 2i
k ki i
（i=1,2,…,n）
其基本假设之一是解释变量
X,
1
X2,,
X
k
互相独立 。
如果某两个或多个解释变量之间出现了相关性， 则称为多重共线性。
如果存在
c1X1i+c2X2i+…+ckXki=0
i=1,2,…,n
其中: ci不全为0，即某一个解释变量可以用其它解释 变量的线性组合表示，则称为解释变量间存在完全
2
1
x12i 1 r 2
2
x12i
所以，多重共线性使参数估计量的方差增大。
方差扩大因子(Variance Inflation Factor)为1/(1-r2)， 其增大趋势见下表：
相关系 0 0.5 0.8 0.9 0.95 0.96 0.97 0.98 0.99 0.999 数平方 方差扩 1 2 5 10 20 25 33 50 100 1000 大因子
多重共线性(Multi-Collinearity)
§2.8 多重共线性
Multi-Collinearity
一、多重共线性的概念 二、多重共线性的后果 三、多重共线性的检验 四、克服多重共线性的方法 五、案例
一、多重共线性的概念
1、多重共线性
• 对于模型
Y X X X
以二元回归模型中的参数估计量ˆ 为例，ˆ 的方差为
1
1
Var(ˆ )
1
ˆ 2
(X X
)1
22
(
ˆ
2
(
x2
2i
)
x2 )( x2 ) ( x
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虽然x2和x3的水平之可能高度相关，但是，其差分形式相关 程度往往较低。因此，一阶差分回归常能减低多重共线性 的严重程度。（对于横截面数据，一阶差分不适用。 差分法的问题：随机误差项可能存在序列相关；损失了一 次观测值，因而减少了一个自由度，如果样本容量本身就 不大，这可能会有影响。
六、多重共线的克服
2 2 x i )(
3i ) ( xBiblioteka 2 3 x i)( x
i x 3i )( y
2i x 3i ) x
2
ˆ ) Var( 2
3i ) 2i x
2
2 2 2 x i (1 r23 )
yi 1 ( 2 3 ) x2i i 或将x3i=x2i 代入原模型： 令 2 3 *
ˆ *有唯一解
偏回归系数无确定解的含义：无法从所给样本中将x2和x3的影响分离出来： 当x2发生变化时，x3也按一个倍数因子改变。
三、多重共线的实际后果
完全多重共线是一种极端情形，非完全多重共线更常见。 非完全多重共线下，OLS估计量仍是最优线性无偏估计量， 但有如下后果：
ˆ ) Var( 2
4. 补充新数据：以二元回归为例
ˆ ) Var( 2
2
2 2 2 x ( 1 r t 23 )
当r23给定时，增加新样本，通常可以使 ˆ 的方差，使我们能更准确地估计 。 从而减少 2 2
2 2 x t 增大，
习题：
现有美国70-83年进口（百万美元）、GNP （10亿美元）和消费者价格指数（CPI）数据。 请考虑一下模型:
ln yt 1 2 ln pt 3 ln I t t
在时间序列数据中，价格和收入变量一般都有高度共 线的趋势。如果作上述回归时存在高度共线问题，可 利用横截面数据估计收入弹性3，因为这些数据都产 生于一个时间点上，价格还不至于有多大变化。令收 ˆ ，原回归可化为： 入弹性的横截面估计为 3
三、多重共线的实际后果
由于方差膨胀，接受零假设更为容易， 出现多个偏回归系数单零t检验不显著。
ˆ 2 t ˆ ) se( 2 ˆ ) , t se( 2
虽然单零检验不显著，但是联合检验（F 检验）却显著，总的拟合优度也很高。 OLS估计量及其标准误对数据的小变化敏 感。
四、多重共线产生的原因
yt=b1+b12x2t+1t
E(b12 ) = 2 + 3 b32 b12是的一个有偏且非一致的估 计，无法得到反映x2对y的净影响的系数2
六、多重共线的克服
3. 差分法：时间序列数据间往往有较强的相关性， 减小相关性的方法是形成一次差分方程：
yt yt 1 2 ( x2t x2,t 1 ) 3 ( x3t x3,t 1 ) t 其中： t t t 1
二、完全多重共线的估计问题
以二元回归为例：
ˆ 2 (
yi 1 2 x2i 3i x3i i
i x 2i )( y (
0 0 ∴如果出现完全多重共线，则偏回归系数是不确定的，其标 准误是无穷大。 ˆ , var( ˆ ) 设：x3i=x2i （r23=1） 代入上式： 2 2
容许度与方差膨胀因子
容许度TOL i (1 Ri2 ) 方差膨胀因子VIFi 1 1 Ri2 1 TOLi
经验规则：VIF>10 则说该变量是高度 共线的。
六、多重共线的克服
1. 横截面数据与时间序列数据并用
例如研究汽车需求，假定有销售量、平均价 格和消费者收入的时间序列数据，模型为：
五、多重共线的识别
注意：多重共线是个程度问题，而不是有无问 题。 识别方法：
R2值高，F检验显著，但显著t值少。 回归元间有高度两两相关(充分而非必要条件)。 本征值(eigenvalues)和病态指数(condition index)
病态指数CI 最大本征值 最小本征值
病态指数CI在10-30之间，中强多重共线 CI>30，严重多重共线
yt* 1 2 ln pt t ˆ ln I 其中：y * ln y
t t 3 t
六、多重共线的克服
2. 剔除变量：对严重多重共线，最简单的做法之 一是剔除共显著变量之一。但从模型中剔除一 个变量，可能导致设定偏误。
yt=1+2x2t+3x3t+t 剔除一变量后变为：
1
2
2 2 2 x ( 1 r i 23 )
∴估计精度较低
2 1 r23
VIF
称为方差膨胀因子
VIF表明：估计量的方差由于多重共线的出现而膨胀起来。
当r23=0.7时，VIF=1.96 ˆ ) var( 当r23=0.9时，VIF=5.76 即： 2 是r23为零时的5.76倍。 ˆ ) 是无共线时的10倍。 var( 当r23=0.95时，VIF=10.26 即： 2
数据采集方法：解释变量取值范围过小； 模型或从中取样的总体本身的特点
例：在作电力消费对收入和住房面积的回归 时，一般来说，收入较高的家庭住房面积也 较大。
2 如多项式回归：yi 0 1xi 2 xi i
模型设定问题
一个过度决定的模型：
解释变量个数>样本容量
一、多重共线性的性质
完全多重共线：对解释变量x1, x2, … xk, 如果存在一组不全为0的常数1、2、… k，使得： 1x1i+ 2x2i+ …+ kxki=0 非完全多重共线：包括变量间交互相关 情形如下： 1x + 2x + …+ kx + =0 1i 2i ki i
五、多重共线的识别
辅助回归：作每一个xi对其余x变量的回归， 并计算R2，记为 Ri2 。这种回归叫辅助回归， 以辅助y对x的回归。然后计算统计量：
Fi Ri2 /(k 2) (1 Ri2 ) /(n k 1)
～(k-2, n-k+1)的F分布
当Fi显著时，认为xi与其余的x有共线性。