利用特征函数推导卡方分布随机变量之和的概率密度函数以及近似表达式

的概率密度函数可以写成
（１）
为了 求出的概率密度函数，我们首
先得到它的特征函数
，
（２）
其中 ｉ 定义为
， 可以由
的特征函数
之积获得，
（３）
假定 ，ｋ＝１，…，Ｎ 中共有不同的 Ｎ１
个值
。 ，ｊ＝１，…， Ｎ１， 的重数
为 ， 满足 于是可以写成
。特征函数
率密度函数可以表示成
（７）
当
相差不多时，我们可以
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交换（７） 中积分和乘积的顺序，得到 的近似表达式。
（８）
结论：在本文中，我们利用特征函数 求解了多个相互独立的卡方分布随机变量 和的概率密度函数，以及概率密度函数的 近似表达式。这些表达式可以直接应用于 通信，信号处理等领域，有很强的通用性。
（４）
其中的系数ｑｊ，ｌ则可以通过一组方程来 得到［ ２ ］ ，
利用特征函数推导卡方分布 随机变量之和的概率密度函数以及近似表达式
李建军 河北大学数学与计算机学院 ０７１０００
摘 要 在求两个或多个随机变量和的分布时，需要 用到卷积公式。如果要求 ｎ 个相互独立的随 机变量和的分布时，就要算 ｎ － １ 次卷积，这 是一件很麻烦的事情。由于在各个领域都经 常需要用到多个随机变量和的分布，因此找 到一种快速有效的方法是非常重要的。幸运 的是，经过人类不断地探索和研究，终于发现 特征函数［ １ ］这个有力的工具，可以高效地获 得多个独立随机变量和的分布。在本文中，我 们应用特征函数来获得多个相互独立的卡方 分布随机变量和的概率密度函数，以及概率 密度函数的近似表达式。 关键词 卡方分布随机变量；特征函数；概率密度函 数
（６）
其中 为 Ｇ ａ ｍ ｍ ａ 函数。
我们发现（６）式的计算有时候也不是很
容易。因此我们继续推导 的近似的表
达式。对特征函
进行反变换， 的概
参考文献 ［１］ Ｋ． Ｋｎｉｇｈｔ， Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ． Ｃｈａｐｍａｎ ＆ Ｈａｌｌ／ＣＲＣ， ２０００． ［２］ Ｊ．Ｗ． Ｎｉｌｓｓｏｎ， Ｓ．Ａ． Ｒｉｄｅｌ， Ｅｌｅｃｔｒｉｃ Ｃｉｒｃｕｉｔｓ， Ｐｒｅｎｔｉｃｅ－ＨａｌｌＩ ｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ，Ｉ ｎｃ．，ｓ ｉｘｔｈｅ ｄｉｔｉｏｎ， ２０００． 作者简介 李建军（１９６５．８ ），男，河北保定气象局，高 级工程师，河北大学数学与计算机学院，在 职研究生
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推导过程：假设 ａ ， ｊ＝１， …，２Ｍ， ｊ ，ｋ
ｋ＝１，…，Ｎ， 为相互独立均值为０方差为１的
高斯分布的随机变量。
，其中
， 为任意正常数。可以 看出， 是 Ｎ 个自由度 ２ Ｍ 的卡方分布随机 变量的加权和，那么如何求出 的概率密 度函数呢？
（５）
通过对特征函数
的反变换，就
能够求出 的概率密度函数，