自动控制原理 第三章答案

3-1 解 该线圈的微分方程为 u =

+di

iR L dt

对上式两边取拉氏变换，并令初始条件为零，可得传递函数为

()1=

()(+)+1

I s R

U s L R 时间常数+0.005T L R s ==，过渡时间=30.015s t T s =。 3-2 解 如图2-3-2所示系统的闭环传递函数为

010()=(s)0.2+1+10+1

H K C s K

R S K Ts =

其中0101+10H K K K =

,0.2

1+10H

T K =

原系统的时间常数为0.2s ，放大系数为10，为了满足题目的要求，令0.02T s =和

10K =,有0.9H K =和010K =。

3-3 解 设

为温度计的输入，表示实际水温，设

为温度计的输出，表示温

度计的指示值，若实际水温为R （常值），则输入

为幅值为R 的阶跃函数，输出为

(t)=R(1-e )T c τ

根据所给条件，有

则时间常数

。

3-4 解：所给传递函数的闭环极点为

21,2=-1-n n s j ζωωζ±

根据上式表达式，可以确定图2-3-3中的阴影部分为闭环极点可能位于的区域（考虑到

对称性，只绘出s 平面的上半平面）

。

图2-3-3 闭环极点可能位于的区域

3-5

解：典型二阶系统的传递函数为

由如图2-3-4所示的响应曲线，可知峰值时间，超调量，根据二阶系统的性能指标计算公式

和

可以确定和，根据如图2-3-4所示曲线的终值，可以确定。

3-6 解：如图2-3-5所示系统的传递函数为

是一个典型的二阶系统，其自然振荡频率为，令阻尼比

可以确定，性能指标及分别为

3-7 解：系统为典型二阶系统，自然振荡频率，阻尼比。单位阶跃响应的表达式为

(t>0)

单位斜坡响应的表达式为

3-8 解：当时，系统的闭环传递函数为

其中，无阻尼自然振荡频率，阻尼比，单位阶跃响应的超调量峰值时间和过度过程时间分别为16.3%、0,36s和0.7s

当,时系统的闭环传递函数为

其中，无阻尼自然振荡频率，阻尼比，单位阶跃响应的超调量、峰值时间和过渡过程时间分别为30.9%、0.24s和0.7s。

K值增大使得阻尼比减小，导致超调量增大和峰值时间减小，但过度过程时间

不变。

3-9 解：系统的闭环传递函数为

无阻尼自然频率阻尼比。利用Matlab软件进行仿真得到单位阶跃响应曲线如图2-3-7所示从图中可确定超调量约为20%过渡过程时间约12

s。

3-10 解：(1)闭环传递函数为

令和，可得，再由，可得K=20。

(2)该系统的过渡过程时间，所以一分钟后系统已到达稳态，实际

心速为60次min;又由于超调量，最大瞬间心速为69.6次min。

3-11 解：系统的开环传递函数为

由，有k=1.44；由，有。由于阻尼比，

所以在单位阶跃信号作用下超调量，调节时间，稳态误差

3-12 解：(1),,,,计算二阶赫尔维茨行列式

根据林纳德-奇帕特稳定判断，系统稳定。

(2) ),,,,计算二阶赫尔维茨行列式

根据林纳德-奇帕特稳定判断，系统稳定

(3),,,,计算二阶赫尔维茨行列式

根据林纳德-奇帕特稳定判断，系统稳定

3-13 解：(1)列劳斯表

由于第2行中的第1项为零所以用（s+1）乘以原特征方程，得新的特征方程

重新列劳斯表

因为上述劳斯表第一列元素不同号，素以系统不稳定。由于第一列计算值符号改变两次，所以特征方程有两个具有正实部的根。

(2)根据特征方程的系统列劳斯表

由于出现全零行，故用行系数组成如下辅助方程

取辅助方程对变量s的导数，得新方程

用上述方程的系数替代原劳斯表中的行然后再按正常规则计算下去，得到

劳斯表的第一列元素同号所以系统没有实部为正的根，但通过解辅助方程可以求出产

生全零行的根为。实际上，该系统的特征方程可以分解成因式（s+10）和（）的

乘积。

3-14 解：(1)闭环特征方程式为

令2阶赫尔维茨行列式

得到使系统稳定的条件是K>43。

(2)闭环特征方程为

式由于上述方程中的一次项系数为-1，所以不论K取何值，系统不稳定。

3-15 解:(1)系统的闭环特征多项式为

又2阶赫尔维茨行列式

得K<9，由要求特征方程的各项系数均要大于零，得K>0,于是，使闭环特征方程根的实部均小于0的条件0

(2)将代入上述（1）中的特征多项式D （s ）得

令上述中的常数项大于零，有K>0.56再令2阶赫尔维茨行列式大于零即得K<1.56

于是，要使闭环特征方程D （s ）的根的实部均小于-1，参数K 的值应满足条件0.56

(3)将

代入上述（1）中的特征多项式D （s ）得由于上述方程中的一次项的系

数为-6，所以不论K 值取何值，均不能使闭环特征方程D （s ）的根的实部小于-2. 3-16 解：系统的闭环特征方程为0s 0.20.0123=+++K s s β

系统稳定的充分必要条件是（1）上述方程中各项系数均大于零；（2）2阶赫尔维茨行列式00.01K -0.22>=βD ，于是，使系统稳定，参数β,K 必须满足的条件是

00>>β，K 和β20

3-17 解：（1）系统的闭环特征多项式为

∙++++++++=K abc ac)s bc (ab c)s b (a s (s)23D 系统稳定的充分必要条件是

∙

∙=++++++<<1222K 2abc b)(a c c)(a b c)(b 0a K

(2) 系统的闭环特征多项式为

*

++++=K bcs s s D 2

3

c)s (b ）（ 系统稳定的充分必要条件是 *

*

=+<<22

2

0K b c c b K

(3) 系统的闭环特征多项式为

*

++=K cs D 2

3

s (s)

由于上述多项式中一次项系数为零，因此不论*

K 取何值，系统均不稳定。 针对上述3种情况的分析可以看出，积分环节数目越大，系统的稳定裕度越小。 3-18 解：传递函数为1)1(T s +的一阶系统，当输入为斜坡信号0)Rt(t (t)>=r 时，其输出为)Te T -R(t (t)-tT

+=c

若定义误差c r e -=则稳态误差为RT e ss =，本题中，min 10C C R

=，根据习题3-3

可知min 256.0sec 34.15==T ，则C e ss

56.2=。

3-19 解：（1）系统的闭环特征方程为