美妙的幻方

美妙的幻方中图分类号：论文编号：10006ZY1021226摘要在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方“。

我国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。

本文对幻方的由来及组成进行了简单的介绍和说明。

并对幻方的几种常见的构造方法进行了说明。

关键词:幻方，洛书，纵横图，九宫图目录第一章幻方的历史4第二章幻方的构造7第三章幻方构造的实现93.1 一般方法103.1.1 N为基数时103.1.2 N为4的倍数时103.1.3 N为其他偶数时103.2 其他方法153.2.1 Merzirac法生成奇阶幻方153.2.2 loubere法生成奇阶幻方163.2.3 horse法生成奇阶幻方 163.2.4 Hire法生成偶阶幻方 163.2.5 Strachey法生成单偶幻方 183.2.6 Spring法生成以偶幻方 183.2.7 YinMagic构造偶阶幻方 193.2.8 魔鬼幻方 193.2.9 罗伯法20第四章总结20第一章幻方的历史据传说，大约公元前2000年前的时候，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人们的生活与生产。

于是，大禹日夜奔忙，三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河道，驯服了河水，感动了上天。

事后，一只神龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹。

图上有九个数字。

大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。

这张图，就是闻名于世的洛书，见图1。

洛书中每个小圆圈都代表一个l。

所以把它写成现在的形式就是图2。

图 1图 2图2是由三行三列九个数字组成的正方形排列，它的每一行、每一列、每条对角线上的三个数字的和都是同一个常数15。

这种美妙的正方形排列，在我国历史上，曾叫做“九宫图”，亦叫做纵横图。

后来，人们称它为“幻方”。

因为图2是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。

现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。

所谓纵横图，它是由1到n^2,这n^2个自然数按照一珲的规律排列成N行、N列的一个方阵。

它具有一种厅妙的性质，在各种几何形状的表上排列适当的数字，如果对这些数字进行简单的逻辑运算时，不论采取哪一条路线，最后得到的和或积都是完全相同的。

大约两千多年前西汉时代,流传夏禹治水时,黄河中跃出一匹神马,马背上驮着一幅图,人称「河图」;又洛水河中浮出一只神龟,龟背上有一张象征吉祥的图案称为「洛书」.他们发现,这个图案每一列,每一行及对角线,加起来的数字和都是一样的,这就是我们现在所称的幻方.也有人认为"洛书"是外星人遗物;而"河图"则是描述了宇宙生物(包括外星人)的基因排序规则,幻方是外星人向地球人的自我介绍.另外前几年在上海浦东陆家嘴地区挖出了一块元朝时代伊斯兰教信徒所挂的玉挂,玉挂的正面写着:「万物非主,惟有真宰,默罕默德,为其使者」,而玉挂的另一面就是一个四阶幻方.关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。

相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上天，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”，也是最早的幻方。

伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦，后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。

“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45个。

把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到九个。

这九个数就可以组成一个纵横图，人们把由九个数3行3列的幻方称为3阶幻方，除此之外，还有4阶、5阶...后来，人们经过研究，得出计算任意阶数幻方的各行、各列、各条对角线上所有数的和的公式为：S=n(n ^2+1) /2其中n为幻方的阶数，所求的数为S.幻方最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中，这说明我国人民早在2500年前就已经知道了幻方的排列规律。

而在国外，公元130年，希腊人塞翁才第一次提起幻方。

我国不仅拥用幻方的发明权，而且是对幻方进行深入研究的国家。

公元13世纪的数学家杨辉已经编制出3－10阶幻方，记载在他1275年写的《续古摘厅算法》一书中。

在欧洲，直到574年，德国著名画家丢勒才绘制出了完整的四阶幻方。

而在国外,十二世纪的阿拉伯文献也有六阶幻方的记载,我国的考古学家们曾经在西安发现了阿拉伯文献上的五块六阶幻方,除了这些以外,历史上最早的四阶幻方是在印度发现的,那是一个完全幻方(后面会提到),而且比中国的杨辉还要早了两百多年,印度人认为那是天神的手笔.1956年西安出土一铁片板上所刻的六阶幻方(古阿拉伯数字)十三世纪,东罗马帝国才对幻方产生兴趣,但却没有什么成果.直到十五世纪,住在君士坦丁堡的魔索普拉才把我国的纵横图传给了欧洲人,欧洲人认为幻方可以镇压妖魔,所以把它作为护身符,也把它叫作「Magic Square」.欧洲最早的幻方是在德国一位名画家Albrecht Dure的画里的第二章幻方的构造三阶幻方是怎样构造出来的呢？我国宋朝数学家杨辉给出了一种简便的方法：如图3，将1至9九个数字斜着排列，然后把上下两个数字1和9对调，左右两个数字7和3对换，得到图4。

再将图4中的上下左右四个数字9，1，3，7分别写进与它相邻的空格中，就得到前述的图2。

图 3图 4不仅如此，杨辉对幻方还进行了较系统的研究，他是世界上第一位把幻方当作数学问题来研究的数学家。

他构造出多种幻方，其中之一就是图5。

它是由十六个数字组成的一种正方排列，其中每行每列、每条对角线上的数字和都是34。

图5 图6图5是怎样构造出来的呢？数学家杨辉为此给出了一种十分简单的方法，它与三阶幻方的构造有所不同。

如图6，先将1至16的十六个数字按顺序排列在四行四列的方格中，然后把两条对角上、关于正方形中心对称的四对数，6和11，1和16，7和10，4和13分别对换，就得到图5。

在四阶幻方中，一个颇为著名的幻方是印度太苏神庙石碑上的幻方，如图7，它刻于十一世纪。

这个幻方中，不但每行每列每条对角线上的数字和为34，而且有20组某两行两列交叉点上的四个数字，它们的和也都为34，例如 9+2+15+8=34。

更为奇妙的是把这个幻方边上的行或列移到另一边上去，所得到的正方形排列仍是一个幻方。

图 7 图 8大约十五世纪，我国的纵横图传到欧洲，引起了人们的普遍兴趣，成千上万的人沉醉于幻方之中。

德国画家丢勒（1427—1528）就是其中的一位。

他找到了一个四阶幻方，如图8，并把它反映在他的著名版画《忧郁症》中。

它也许是欧洲最早的幻方。

有趣的是，丢勒在这一幻方中把版画创作的年代1514也放了进去。

他可能正是从这两个数出发，通过不断的试验而找出了其余的数字。

图9 图10图9是一个五阶幻方，其中隐藏着一条绝妙的性质：幻方中的每个数字减去中心位置数字 12后，得到一个这样的幻方（如图10），它的中心对称或轴对称上的两个数字互为相反数，并且中间位置上的九个数字也构成一个幻方。

更值得一提的是，图 10中隐含了如何由三阶幻方出发构造五阶幻方，又进而由五阶幻方构造出七阶幻方，等等行之有效的方法，限于篇幅，这里就不作介绍了。

除了上面提及的一类方形幻方外，其它类型的幻方也各具风彩，深受人们的喜爱。

图 11 图 12我国数学家张潮（165～？年）在他的“算法补图”中，介绍了多种非常别致的幻方，优美的“龟文聚六图”就是其中之一，如图11。

图11中，有二十四个数，每块龟文六边形上的数字和为75。

在幻方中，最为稀有的幻方莫过于六角幻方，如图12。

它的十五条直线上的数字和都为19的2倍38。

它是由一位名叫阿当斯的人，经过四十多年的不懈努力才搞出来的。

它的完美形式令人赞叹不已，他的锲而不舍的精神更感人至深。

第三章幻方构造的实现最简单的幻方就是平面幻方，还有立体幻方、高次幻方等。

对于立体幻方、高次幻方目前世界上很多数学家仍在研究，现在只讨论平面幻方。

对平面幻方的构造，分为三种情况：N为奇数、N为4的倍数、N为其它偶数(4n+2的形式)3.1一般方法3.1.1N 为奇数时最简单(1) 将1放在第一行中间一列;(2) 从2开始直到n×n止各数依次按下列规则存放：按45°方向行走，如向右上每一个数存放的行比前一个数的行数减1，列数加1(3) 如果行列范围超出矩阵范围，则回绕。

例如1在第1行，则2应放在最下一行，列数同样加1;(4) 如果按上面规则确定的位置上已有数，或上一个数是第1行第n列时，则把下一个数放在上一个数的下面。

3.1.2 N为4的倍数时采用对称元素交换法。

首先把数1到n×n按从上至下，从左到右顺序填入矩阵然后将方阵的所有4×4子方阵中的两对角线上位置的数关于方阵中心作对称交换，即a(i,j)与a(n-1-i,n-1-j)交换，所有其它位置上的数不变。

(或者将对角线不变，其它位置对称交换也可)3.1.3 N 为其它偶数时当n为非4倍数的偶数(即4n+2形)时：首先把大方阵分解为4个奇数(2m+1阶)子方阵。

按上述奇数阶幻方给分解的4个子方阵对应赋值上左子阵最小(i)，下右子阵次小(i+v)，下左子阵最大(i+3v)，上右子阵次大(i+2v) 即4个子方阵对应元素相差v，其中v＝n*n/4 四个子矩阵由小到大排列方式为① ③ ④ ②然后作相应的元素交换：a(i,j)与a(i+u,j)在同一列做对应交换(j<t或j>n-t+2), a(t-1,0)与a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)与a(t+u-1,t-1)两对元素交换其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交换使每行每列与两对角线上元素之和相等。

C语言实现#include"stdio.h"#include"math.h"int a[256][256];int sum;int check();void ins(int n);main(){inti,j,n,k,t,p,x;scanf("%d",&n);sum=(n*n+1)*n/2;if(n%2==1)//奇数幻方{ins(n);k=n;}if(n%4==2)//单偶数幻方{k=n/2;ins(k);for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){a[j+k]=a[j]+2*k*k;a[i+k][j]=a[j]+3*k*k;a[i+k][j+k]=a[j]+k*k;}t=(n-2)/4;for(i=0;i<k;i++)for(j=0;j<k;j++){if((j<t)&&(i<t)){p=a[j];a[j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if((j<t)&&(i>k-t-1)){p=a[j];a[j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if((i>=t&&i<=k-t-1)&&(j>=t&&j<t*2)) {p=a[j];a[j]=a[i+k][j];a[i+k][j]=p;}if(j>1&&j<=t){p=a[j+k];a[j+k]=a[i+k][j+k];a[i+k][j+k]=p; }}}if(n%4==0)//双偶数幻方{x=1;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++)a[j]=x++;for(i=0;i<n;i++)for(j=0;j<n;j++){if(i%4==0&&abs(i-j)%4==0)for(k=0;k<4;k++)a[i+k][j+k]=n*n-a[i+k][j+k]+1; else if(i%4==3&&(i+j)%4==3) for(k=0;k<4;k++)a[i-k][j+k]=n*n-a[i-k][j+k]+1;}}if(check(n)==1){for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%5d",a[j]);printf("\n");}return ;}}int check(int n)//检验是否是幻方{int i,j,sum1=0,sum2;for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)sum1+=a[j];if(sum1!=sum) return 0;sum1=0;}for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)sum1+=a[j];if(sum1!=sum) return 0;sum1=0;}for(sum1=0,sum2=0,i=0,j=0;i<n;i++,j++) {sum1+=a[j];sum2+=a[n-j-1];}if(sum1!=sum) return 0;if(sum2!=sum) return 0;else return 1;}void ins(int n)//单偶数幻方的输入{ intx,y,m;x=0;y=n/2;for(m=1;m<=n*n;m++){a[x][y]=m;if (m%n!=0){x--;y++;if(x<0) x=x+n;if(y==n) y=n-y;}else{x++;if(x==n) x=x-n;}}}3.2 其他方法奇阶幻方当n为奇数时，我们称幻方为奇阶幻方。