赋值法在二项式定理中的应用

赋值法在二项式定理中的应用

赋值法是给代数式(或方程或函数表达式)中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的．实际上赋值法所体现的是从一般到特殊的转化思想，在高考题中屡见不鲜，特别是在二项式定理中的应用尤为明显，现以例说明．

一、用赋值法解决二项式系数的有关问题

利用二项式定理的展开式与所求问题进行类比转换，实现从一般到特殊的转化，用来证明或求值．

思路设法从已知等式中求出n．

(1＋2)n = 729，即3n = 36，解得n = 6．

注意：所求式子中缺少一项，不能直接等于26．

二、用赋值法解决项的系数的有关问题

例2 (1997年上海高考题)(3x＋1)n(n∈N*)展开式中各项系数和为256，求x2的系数．

设(3x＋1)n = a0x n＋a1x n-1＋a2x n-2＋…＋a n．①

由题意：a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256．

在①式中令x = 1得

4n = a0＋a1＋a2＋…＋a n = 256，解得n = 4．

a3)2－(a1＋a3)2 =

[ ] A．1

B．－1

C．0

D．2

解(a0＋a2＋a3)2－(a1＋a3)2

= (a0＋a1＋a2＋a3＋a4)(a0－a1＋a2－a3＋a4)．

上式左边中的两个式子分别是所给展开式中x取1和－1时的表达式．

故选A．

三、综合应用

在综合应用中要求学生能严格区别二项式系数与项的系数，注意项的系数的符号与式子的结构，灵活应用其他相关知识解题．

例4若(1－3x)9 = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = ________．

解由二项式的展开式可知a0，a2，…，a8为正，a1，a3，…，a9为负，于是|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9| = a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9．

在所给的展开式中，令x = －1得

|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|= a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9 = [1－3(－1)]9 = 49．

例5 (1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…b n x n，且b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，则n = ________．

解在(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b n x n中，令x = 1，得

2＋22＋23＋…＋2n = b0＋b1＋b2＋…＋b n = 62，

赋值法是由一般到特殊的一种处理方法，在其他章节中也有广泛应用，望同学们在学习中能举一反三．