上海市-曹杨二中高一数学学科期末考试试卷(含答案)(2019.06)
2019-2020学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题(解析版)
上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知,,a b c ∈R 且0a ≠，则“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】解出“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”求得等价条件即可辨析. 【详解】“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”即“240b ac -<且0a >”，所以“240b ac -<”是“函数2()f x ax bx c =++的图像恒在x 轴上方”的必要非充分条件.故选：B【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于准确弄清二次函数的图象与性质. 2．已知,0x y z x y z >>++=，则下列不等式成立的是 ( )A ．xy yz >B ．xy xz >C ．xz yz >D ．x y y z >【答案】B【解析】利用不等式的基本性质即可得出结果.【详解】因为,0x y z x y z >>++=，所以0x >，所以xy xz >，故选B【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题型.3．若函数22y x x =-在区间[,]a b 上的值域是[1,3]-，则点(,)a b 位于图中的（ ）A ．线段AB 或线段AD 上B ．线段AB 或线段CD 上C ．线段AD 或线段BC 上D ．线段AC 或线段BD 上【答案】A【解析】根据二次函数图象，结合值域分析定义域区间端点满足的特征，即可得解.【详解】作出函数22y x x =-的图象，由题在区间[,]a b 上的值域是[1,3]-，所以1,13a b =-≤≤或11,3a b -≤≤=，即点(,)a b 位于图中的线段AB 或线段AD 上.故选：A【点睛】此题考查根据函数值域判断定义域特征，并用平面直角坐标系内的点表示满足条件的有序数对，其关键在于熟练掌握二次函数的图像和性质.4．已知集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，则B 中元素个数的最大值为（ ） A ．10B ．19C ．30D ．39【答案】D【解析】根据()()0a x b y --≤，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.【详解】由题：集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，作如下等价转化：考虑(,)a b ，(,)x y 是平面内的满足题目条件的任意两点，“()()0a x b y --≤”等价于“0a x -=或0b y a x-≤-”， 即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线1,1y x ==两条直线上的整数点，共39个， （当然也可考虑直线20,20y x ==两条直线上的整数点，共39个）故选：D【点睛】此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.二、填空题5．若集合{1,3}A =，{3,5}B =则A B =U ________【答案】{1,3,5}【解析】根据两个集合的元素直接写出并集即可.【详解】由题：集合{1,3}A =，{3,5}B =则A B =U {1,3,5}.故答案为：{1,3,5}【点睛】此题考查集合的并集运算，根据集合中的元素，直接写出并集，属于简单题目.6．若函数921()log 1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则((3))f f =________【解析】根据分段函数解析式，求出91lo (3)g 3=2f =，再计算((312))f f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭即可得解.【详解】由题：函数921()log 1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩， 则91lo (3)g 3=2f =则12((3))212f f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭【点睛】此题考查根据分段函数求函数值，关键在于准确判定自变量取值所在的分段区间，准确代入解析式求解.7．函数12xy =-的单调递增区间为________【答案】(,0]-∞【解析】对函数进行去绝对值分段讨论单调性.【详解】 函数12,010221,1x x x y x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫-≤⎪ ⎪⎝⎭=⎩-，根据指数函数单调性可得，函数在(,0]-∞单调递增，在()0,+?单调递减， 所以函数12x y =-的单调递增区间为(,0]-∞.故答案为：(,0]-∞【点睛】此题考查求函数的单调区间，关键在于根据函数解析式分段讨论，结合基本初等函数的单调性进行判断.8．若命题P 的逆命题为“若1x >，则21x >”，则命题P 的否命题为________【答案】若21x ≤，则1x ≤【解析】根据四个命题之间的基本关系可得一个命题的逆命题与否命题之间的关系是互为逆否命题，即可得解.【详解】命题P 的逆命题与其否命题互为逆否命题，所以若命题P 的逆命题为“若1x >，则21x >”，命题P 的否命题为“若21x ≤，则1x ≤”.故答案为：若21x ≤，则1x ≤【点睛】此题考查四种命题之间的关系，可以根据逆命题写出原命题再得否命题，或直接根据逆命题与否命题之间的关系得解.9．2()2f x x x =+（0x ≥）的反函数1()fx -=________1（0x ≥）【解析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =即得反函数()1fx -.【详解】 设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=± 因为x≥0，所以x =()11fx -=. 因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11fx -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】 本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.10．函数1212xx y -=+的值域为 【答案】(1,1)-【解析】分离常数，结合指数函数的值域可得结果.【详解】()1221221122121x x x x x y -++--+++=+= 因为211x +>20221x ∴<<+ 12(1,1)12xxy y -∴-+=∈ 故答案为:(1,1)-.【点睛】本题主要考查函数的值域以及指数函数的性质，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.11．对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，则S T +=________（用列举法表示）【答案】{}4,2,1,0,1,2---【解析】根据集合的新定义，分别求出两个集合中各取一个元素求和的所有可能情况.【详解】由题：对于任意非空集合A 、B ，定义{|,}A B a b a A b B +=+∈∈，若{}2,0,1S T ==-，各取一个元素,a A b B ∈∈形成有序数对(),a b ，所有可能情况为()()()()()()()()()2,2,2,0,2,1,0,2,0,0,0,1,1,2,1,0,1,1------，所有情况两个数之和构成的集合为：{}4,2,1,0,1,2---故答案为：{}4,2,1,0,1,2---【点睛】此题考查集合的新定义问题，关键在于读懂定义，根据定义找出新集合中的元素即可得解.12．已知函数()()g x f x x =-是偶函数，若(2)2f -=，则(2)f =________【答案】6【解析】根据偶函数的关系有()(2)2g g =-，代入即可求解.【详解】由题：函数()()g x f x x =-是偶函数，(2)(2)24g f -=-+=，所以(2)(2)24g f =-=，解得：(2)6f =.故答案为：6【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求函数值，难度较小，关键在于根据函数奇偶性准确辨析函数值的关系.13．设函数2()1f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，则ab 的取值范围是________【答案】(0,1)【解析】结合图象分析出22012,11a b a b <<-=<-<，结合基本不等式求范围，考虑等号成立的条件，即可得解.【详解】由题：函数2()1f x x =-，若0a b <<，且()()f a f b =，结合图象分析可得：22012,11a b a b <<-=<-<， 即222a b +=，由基本不等式可得2212a b ab +≤=， 当1a b ==时取等号，但是012a b <<<<01ab <<. 故答案为：(0,1)【点睛】此题考查根据方程的根的个数，求参数取值范围，关键在于对题中所给的等量关系进行等价转化，数形结合，利用基本不等式求解，注意考虑等号成立的条件.14．已知函数1y x =与函数log a y x =（0a >，1a ≠）的图像交于点00(,)P x y ，若02x >，则a 的取值范围是________【答案】4a >【解析】先讨论01a <<不合题意，再结合图象讨论1a >时，函数交点横坐标02x >列不等式组求解.【详解】由题：若01a <<，1x >时，log 0a y x =<，10y x =>，两个函数图象不可能有交点； 所以必有1a >，结合图象，若函数交点横坐标02x >，则1log 212log a a a a ⎧⎪⎨=><⎪⎩，解得：2,4a a >>. 故答案为：4a > 【点睛】此题考查根据函数交点横坐标取值范围，求解参数的取值范围，涉及分类讨论数形结合思想.15．函数()y f x =的定义域为[1,1]-，其图像如图所示，若()y f x =的反函数为1()y f x -=，则不等式111(())(())022f x f x --->的解集为________【答案】3(,1]4【解析】求出函数解析式，再求出反函数，即可求解不等式的解集.【详解】根据函数图象可得()f x 图象经过()()1,0,1,1-，所以[]11(),[1,1],()0,122f x x x f x =+∈-∈， 1122y x =+，得21x y =-， 所以()f x 的反函数[]1()21,0,1f x x x -=-∈不等式111(())(())022f x f x --->，[]0,1x ∈即[]110,22210,1x x x ⎛⎫⎛⎫> ⎪⎪⎝⎝⎭--∈⎭， 解得：3(,1]4x ∈故答案为：3(,1]4【点睛】此题考查解一元二次不等式，关键在于根据图象得出函数解析式，准确求出反函数，易错点在于弄错反函数的定义域，此题也可根据函数图象特征，作出反函数图象，利用图象解不等式.16．若实数,(0,2)a b ∈且1ab =，则1222a b+--的最小值为________【答案】2 【解析】根据1ab =，1b a=，变形1222a b +=--1212122212a a a a a+=+----()()()1142211123422a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭，利用基本不等式求解最值. 【详解】实数,(0,2)a b ∈且1ab =，1b a= 则1212122212a a a a a+=+---- 12214221a a a -+=+-- 1142221a a =++-- ()()()1142211123422a a a a ⎛⎫=+-+-+ ⎪--⎝⎭ ()21142211342212a a a a ⎛⎫--=++++ ⎪--⎝⎭(1313≥++23=+当()214242122a a a a --=--时，即22a =时取得等号，所以1222a b+--的最小值为2.故答案为：2 【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于对代数式进行准确变形，构造基本不等式求解，注意考虑最值取得的条件.三、解答题17．已知集合{|||1}A x x a =-<，{|(3)(7)0}B x x x =+-<.（1）若A B ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若A B =∅I ，求实数a 的取值范围.【答案】（1）[2,6]-；（2）(,4][8,)-∞-⋃+∞.【解析】（1）解出(){|||1}1,1A x x a a a =-<=-+根据集合的包含关系求出参数的取值范围；（2）结合（1）解出的集合A ，根据集合关系求解参数的取值范围.【详解】（1）解不等式||1x a -<得11a x a -<<+，所以(){|||1}1,1A x x a a a =-<=-+，(){|(3)(7)0}3,7B x x x =+-<=-， 若A B ⊆，则3117a a -≤-⎧⎨+≤⎩，解得：[]2,6a ∈-； （2）若A B =∅I ，13a +≤-或17a -≥，解得：4a ≤-或8a ≥，即(,4][8,)a ∈-∞-⋃+∞.【点睛】此题考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，根据集合交集的关系求参数的取值范围，关键在于根据集合特征列不等式组，准确辨析.18．随着城市地铁建设的持续推进，市民的出行也越来越便利，根据大数据统计，某条地铁线路运行时，发车时间间隔t （单位：分钟）满足: 415t ≤≤，平均每班地铁的载客人数()p t （单位：人）与发车时间间隔t 近似地满足函数关系：2180015(9)49()1800915t t p t t ⎧--≤<=⎨≤≤⎩， （1）若平均每班地铁的载客人数不超过1560人，试求发车时间间隔t 的取值范围； （2）若平均每班地铁每分钟的净收益为6()7920100p t Q t-=-（单位：元），则当发车时间间隔t 为多少时，平均每班地铁每分钟的净收益最大？并求出最大净收益.【答案】（1）[4,5]；（2）7t =，最大值为260元.【解析】（1）根据题意即求解不等式()1560p t ≤；（2）根据题意求出6()7920100p t Q t -=-的解析式，利用函数单调性或基本不等式求最值.【详解】（1）当915t ≤≤，()1800p t =超过1560，所以不满足题意；当49t ≤<，2()180015(9)p t t =--载客人数不超过1560，即2180015(916)50t --≤，解得5t ≤或13t ≥，由于49t ≤<所以[4,5]t ∈；（2）根据题意6()7920100p t Q t-=-， 则4410901520,492880100,915t t t Q t t⎧⎛⎫-++≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≤≤⎪⎩根据基本不等式，44109026301260t t +≥=⨯=，当且仅当441090t t=，即7t =时取得等号，所以441090152012601520260t t ⎛⎫-++≤-+= ⎪⎝⎭， 即当49t ≤<时，平均利润的最大值为260元，当915t ≤≤时，2880100Q t =-单调递减，2880100220Q t=-≤， 综上所述7t =，最大值为260元.【点睛】此题考查函数模型的应用，关键在于根据题目所给模型，准确求解不等式，或根据函数关系求出最值，基本不等式求最值注意等号成立的条件.19．已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数. （1）根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）若1a =，证明函数()f x 在区间[1,2]上单调递增.【答案】（1）0a =，偶函数；0a ≠，非奇非偶函数；见解析（2）证明见解析【解析】（1）分类讨论，0a =， 0a ≠，两种情况根据定义分析函数的奇偶性； （2）利用定义法作差证明函数的单调性.【详解】（1）当0a =时，1()f x x=，定义域()(),00,x ∈-∞+∞U ，()1()f x f x x -=-=-恒成立，所以函数为奇函数；当0a ≠时，21()f x ax x =+，定义域()(),00,x ∈-∞+∞U ，21()f x ax x-=-， ()2()2f x f x ax -+=不恒为零，()2()f x f x x--=-不为零，所以函数为非奇非偶函数；综上所述：当0a =时，函数()f x 为奇函数；当0a ≠时，函数()f x 为非奇非偶函数；（2）若1a =，21()f x x x=+， 任取1212x x ≤<≤，1212121211,01,0,2,x x x x x x x x ><<-<+> ()22121212121212111()()0f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则12()()f x f x <，所以函数()f x 在区间[1,2]上单调递增.【点睛】此题考查函数奇偶性和单调性的辨析，利用定义判定函数的单调性和奇偶性，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握基本方法．20．已知函数21()log ()f x a x =+.（1）当3a =时，解不等式()0f x >；（2）若关于x 的方程221()log [(21)31]0f x a x a x---+-=在区间(1,0)-上恰有一个实数解，求a 的取值范围；（3）设0a >，若存在1[,1]2t ∈使得函数()f x 在区间[],2t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求a 的取值范围.【答案】（1）1(,)(0,)4-∞-+∞U ；（2）11(,)32；（3）1[,)3+∞.【解析】（1）根据对数函数单调性解不等式，转化为解分式不等式；（2）将问题转化为2(21)31x a x a x a --+=-+在区间(1,0)-上恰有一个实数解，转化为方程的根的问题；（3）根据函数的单调性求出最值，根据不等式有解分离参数求取值范围.【详解】（1）当3a =时，21()log (3)f x x=+，()0f x >， 即21log (3)0x +>，131x+>，120x x +>，与()210x x +>同解， 得1(,)(0,)4x ∈-∞-+∞U ；（2）由题意：关于x 的方程222log [lo (21)31]0g ()x a x a x a ---+-=+在区间(1,0)-上恰有一个实数解，2(21)310x a x a x a --+-=>+，22210x ax a -+-=，()()()1210x x a ---=在区间(1,0)-上恰有一个实数解，即1210a -<-<，解得：102a <<， 且210a a -+>，即13a >， 综上所述：11(,)32a ∈；（3）由题：0a >，1[,1]2t ∈，函数()f x 在区间[],2t t +上单调递减，最大值和最小值的差不超过1，即()()21f t f t -+≤ 2211log ()log ()12a a t t +-+≤+，222111log ()1log ()log 2()22a a a t t t +≤++=+++ 所以112()2a a t t +≤++即存在1[,1]2t ∈使122a t t ≥-+成立，只需min 122a t t ⎛⎫≥- ⎪+⎝⎭即可， 考虑函数121,[,1]22y t t t =-∈+，221,[,1]22t y t t t -=∈+，令321,2r t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦， 213,1,86826r y r r r r r⎡⎤==∈⎢⎥-+⎣⎦+-， 根据勾型函数性质86y r r =+-在(r ∈单调递减， 所以86y r r=+-在31,2r ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，所以856,36r r ⎡⎤+-∈⎢⎥⎣⎦， 116,8356r r⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦+- 所以1,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】此题以对数函数为背景，考查解不等式，考查方程的根的问题，考查不等式能成立求参数范围，转化为求函数最值，充分地体现出转化与化归的思想.21．对于定义在D 上的函数()y f x =，若存在实数k 及1b 、2b （12<b b ）使得对于任意x D ∈ 都有12()kx b f x kx b +≤≤+成立，则称函数()y f x =是带状函数；若21b b -存在最小值d ，则称d 为带宽.（1）判断函数10()10x f x x ≥⎧=⎨-<⎩是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，请说明理由；（2）求证：函数()g x 1x ≥）是带状函数；（3）求证：函数()11h x a x b x =++-是带状函数的充要条件是0a b +=.【答案】（1）是，带宽为2；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】（1）根据函数关系()11f x -≤≤，即可判定是带状函数；（2）分别证明1x x -≤≤即可得证；（3）处理绝对值，将函数写成分段函数形式，分别证明充分性和必要性.【详解】（1）考虑两条直线，即： ()1,1,11y y f x ==--≤≤，断函数10()10x f x x ≥⎧=⎨-<⎩ 是带状函数，带宽为2； （2）函数()g x =1x ≥）， 当1x ≥时，221x x -≤x ≤x ≤，当1x ≥时，2222,211,211x x x x x -≤--+≤--+≤-，即()2211x x -≤-所以有1x -≤1x ≥所以1x -≤，综上所述1x x -≤，所以函数()g x =1x ≥）是带状函数；（3）函数()(),1()11,11,1a b x a b x h x a x b x a b x a b x a b x ⎧-+-+≤-⎪=++-=+-<<⎨⎪++-≥⎩，充分性：当0a b +=时，,1()0,11,1a b x h x x a b x -+≤-⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩，()a b h x a b --≤≤-，存在两条直线,y a b y a b =--=-满足题意，即该函数()h x 为带状函数；必要性：当()(),1(),11,1a b x a b x h x a b x a b x a b x ⎧-+-+≤-⎪=+-<<⎨⎪++-≥⎩为带状函数，则存在12()kx b h x kx b +≤≤+，假设0a b +≠不妨考虑0a b +>，则直线y kx b =+与两条直线()(),y a b x a b y a b x a b =-+-+=++-中至少一条相交，所以不满足12()kx b h x kx b +≤≤+，所以0a b +≠不满足题意.即0a b +=， 综上所述：函数()11h x a x b x =++-是带状函数的充要条件是0a b +=.【点睛】此题考查函数新定义问题，关键在于读懂定义，根据题目所给条件证明辨析，弄清其间的不等关系，证明充要条件一定不能混淆充分性与必要性的概念.。
2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一上学期期末数学试题解析
2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知角α的终边经过点()2,1P -，则sin cos αα+=（ ）A ．12 B ．12-C D ．答案：C利用三角函数定义求出角α的正余弦即可计算作答.因角α的终边经过点()2,1P -，r =于是有12sin r r αα-====所以sin cos αα+==故选：C2．已知a 、b ∈R ，0h >．则“2a b h -<”是“a h <且b h <”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B利用充分条件和必要条件的定义结绝对值三角不等式分析判断即可因为a 、b ∈R ，0h >，若a b h ==，则02a b h -=<，而,a h b h ==，即a h <且b h <都不成立， 当a h <且b h <时，2a b a b h -≤+<，所以“2a b h -<”是“a h <且b h <”的必要不充分条件， 故选：B3．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256个等级，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0至255之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”.在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如下图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（ ）A ．B ．C ．D ．答案：A结合函数图象以及题意逐项分析即可求出结果.根据图片处理过程中图像上每个像素的灰度值转换的规则可知，相对于原图的灰度值，处理后的图像上每个像素的灰度值增加,所以图象在y=x 上方， 结合选项只有A 选项能够较好的达到目的， 故选：A.4．已知x 、y 、z 是互不相等的正数，则在()1x y -、()1y z -、()1z x -三个值中，大于14的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：C首先证明()1x y -、()1y z -、()1z x -三个值中不可能都大于14，然后举例判断即可首先证明()1x y -、()1y z -、()1z x -三个值中不可能都大于14，假设()1x y -、()1y z -、()1z x -三个值中都大于14，因为x 、y 、z 是互不相等的正数，且104>， 由()4110x y >>-，可得01y <<，同理可得01x <<，01z <<，由基本不等式可得1(1)212x y +-≥>⨯=，当且仅当1x y +=时取等号，同理可得(1)1,(1)1y z z x +->+->， 所以(1)(1)(1)3x y y z z x +-++-++->， 而(1)(1)(1)3x y y z z x +-++-++-=，所以假设错误，所以()1x y -、()1y z -、()1z x -三个值中不可能都大于14，取111,,2310x y z ===，则1211(1)2334x y -=⨯=>，1931(1)310104y z -=⨯=>，111(1)10220z x -=⨯=，所以这3个数中有两个大于14， 所以大于14的个数的最大值是2，故选：C 二、填空题5．已知集合{}0,1,2A =，则集合{}3,B b b a a A ==∈=______．（用列举法表示） 答案：{0,3,6}根据给定条件直接计算作答.因{}0,1,2A =，而{}3,B b b a a A ==∈，所以{0,3,6}B =. 故答案为：{0,3,6}6．已知a 为常数，若关于x 的不等式2260x x a -+<的解集为()m,2，则m =______． 答案：1根据给定条件可得m ，2是方程2260x x a -+=的两个根，借助韦达定理计算作答.因关于x 的不等式2260x x a -+<的解集为()m,2，则m ，2是方程2260x x a -+=的两个根，因此有2322mam+=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得1,4m a==，所以1m=.故答案为：17．若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为______．答案：3 2根据扇形面积公式和圆心角的弧度数公式，即可得到答案；331232llrl r=⎧=⎧⎪⇒⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩，∴3||2lrα==，故答案为：328．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U=，集合A、B均为U的子集．若{}5A B =，{}7A B⋂=，则A=______．答案：{5,7}{}7,5根据给定条件结合集合的运算性质即可计算作答.因集合A、B均为U的子集，则有U B B=⋃，于是得()()()A A U AB B A B A B=⋂=⋂⋃=⋂⋃⋂，而{}5A B =，{}7A B⋂=，所以{5,7}A=故答案为：{5,7}9．已知幂函数的图像经过点1(4,)2P，则该函数的表达式为______．答案：12()f x x-=设出幂函数的表达式，利用函数图象经过的点列式计算作答.设幂函数的表达式为()f x xα=，依题意，1(4)2f=，即142α=，亦即2122α-=，而函数2xy=在R上单调递增，因此有21α=-，解得12α=-，所以函数的表达式为12()f x x-=.故答案为：12()f x x-=10．已知lg2a=，103b=，用a、b表示5log6=______．答案：1a ba+- 根据给定条件用常用对数表示b ，再利用换底公式及对数运算法则计算作答. 因103b =，则lg3b =，而lg 2a =， 所以5lg 6lg 2lg3log 6lg51lg 21a ba++===--. 故答案为：1a ba+- 11．已知()1sin 3θπ-=-，化简：()()()()sin 5cos tan 2cos cot 2πθθππθππθθ--⋅+⋅-=⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭______．答案：13化简已知得1sin 3θ=，再利用诱导公式化简原式即得解.解：因为()1sin 3θπ-=-，所以11sin ,sin 33θθ-=-∴=.()()()()()()()sin 5cos tan 2sin cos tan sin cos tan cos cot 2πθθππθθθθθπθθπθθ--⋅+⋅-⋅-⋅-==-⋅-⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭.所以原式13=.故答案为：1312．已知函数()y f x =的表达式为()2,0log ,0x x f x x x ≤⎧=⎨>⎩，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的所有零点之和为______． 答案：3求出函数的所有零点，再求和，即可得到答案；()00f x x =⇒=或1x =，∴[()]0()0f f x f x =⇒=或()1f x =，由()00f x x =⇒=或1x =， 由()11f x x =⇒=或2x =，∴0,1,2为函数[()]y f f x =的零点， ∴函数[()]y f f x =的零点之和为3，故答案为：313．已知实数x 、y 满足()lg lg lg x y x y +=+，则2x y +的最小值为______．答案：3+3根据给定等式可得0,0,x y xy x y >>=+，再借助“1”的妙用计算作答. 因实数x 、y 满足()lg lg lg x y x y +=+，则0,0x y >>，且()lg lg xy x y =+， 则有xy x y =+，即111x y+=，且0,0x y >>，因此，1122(2)()333y x x y x y x y x y +=++=++≥++，当且仅当2y x x y =，即x =时取“=”，由x xy x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩解得：11x y ==所以当11x y ==2x y +取最小值3+故答案为：3+14．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24f x x ax =-+．若()y f x =的值域为R ，则实数a 的取值范围是______． 答案：[4,)+∞由于函数是R 上的奇函数，所以要使函数的值域为R ，只要当0x >时，()24f x x ax =-+的函数能取到所有正数即可，从而可求出实数a 的取值范围因为函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()24f x x ax =-+，所以要使()y f x =的值域为R ，只要满足202Δ160a a ⎧>⎪⎨⎪=-≥⎩，解得4a ≥，所以实数a 的取值范围是[4,)+∞， 故答案为：[4,)+∞15．已知函数22()2x x x af x x x a ⎧--≤=⎨-+>⎩，若存在实数0x ，使得对于任意的实数x 都有()0()f x f x ≤成立，则实数a 的取值范围是___________. 答案：1a ≥作出分段函数的图象，再结合图形就可以得到a 的取值范围.分别作出22y x x =--、2y x =-+的图象中下图所示，由图可以看出当1a ≥时，()f x 有确定的最大值()11f -=，所以这时存在0x ，使得对于任意x 都有0()()f x f x ≤. 故答案为：1a ≥.16．已知常数0a >，函数()y f x =、()y g x =的表达式分别为()21x f x ax =+、()3ag x x =-．若对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则a 的最大值为______．34求出函数()g x 在[],a a -上的最大值，分类探讨函数()f x 在[],a a -上的最大值，再根据给定条件列出不等式求解判断作答. 依题意，函数()3ag x x =-在[],a a -上单调递增，则当x a =时，max 2()()3g x g a a ==， 因对任意[]1,x a a ∈-，总存在[]2,x a a ∈-，使得()()21f x g x ≥，则存在[],x a a ∈-， 2()3f x a ≥成立， 则当[],x a a ∈-时，max 2()3f x a ≥成立，而函数()21xf x ax =+是奇函数，当0x <时，()0f x <，当0x >时，()0f x >，因此，()f x 在[],a a -上的最大值只能在(0,]a 上取得而当0x >时，1()1f x ax x=+，()f x 在a 上单调递增，在[)a+∞上单调递减， 当a a ≤01a <≤时，()f x 在(0,]a 上单调递增，max 3()()1a f x f a a ==+， 由3213a a a ≥+解得3102a <≤3102a <≤ 当a a >，即1a >时，()f x 在a上单调递增，在[]a a 上单调递减，max 1()()22f x f a a ==<，而2233a >，此时不存在(0,]x a ∈使得max 2()3f x a ≥成立，综上得0a <≤0a <所以a点评：结论点睛：函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈，若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，则()()2max max f x g x <.三、解答题17．已知m 1≥，设集合2913x A xx ⎧⎫-=<⎨⎬-⎩⎭，{}21B x x m m =->-． (1)求集合A 和集合B ；(2)求A B B ⋃=，求实数m 的取值范围．答案：(1){36}A xx =<<∣；{31B x x m =>-∣或1}x m <+. (2)413m或5m . （1）解分式不等式和绝对值不等，化简集合，即可得到答案；（2）根据A B B ⋃=可得A B ⊆，从而得到关于m 的不等式，即可得到答案； (1)29610033x x x x ---<⇔<--，{36}A xx ∴=<<∣， |2|121x m m x m m ->-⇒->-或21x m m -<-，∴31x m >-或1x m <+， ∴{31B x x m =>-∣或1}x m <+.(2)A B B ⋃=,∴A B ⊆,313m ∴-≤或16m +≥，且1m ，∴413m或5m . 18．已知函数()y f x =是函数()3131x x y x -=∈+R 的反函数．(1)求函数()y f x =的表达式，写出定义域D ； (2)判断函数()y f x =的单调性，并加以证明．答案：(1)31()log 1x f x x+=-；{|11}x x -<<. (2)单调递增；证明见解析； （1）根据条件可得31log 1y x y+=-，即可得到答案； （2）易得：()y f x =在(1,1)-单调递增，利用函数单调性的定义，即可得到答案；(1)331113log 3111x x x y y y x y y -++=⇒=⇒=+--，101y y+>-，∴11y -<<， ∴31()log 1x y f x x+==-，定义域为{|11}x x -<<. (2)易得：()y f x =在(1,1)-单调递增； 任取12,(1,1)x x ∈-，且12x x <，()()12121233312121111log log log 1111x x x x f x f x x x x x +++--=-=⋅---+122111,11x x x x +<<+--，∴1212110111x x x x +-<⋅<-+ ∴1231211log 011x x x x +-⋅<-+，()()12f x f x ∴<， ∴()y f x =在(1,1)-单调递增.19．培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N ．已知向水中每投放1个单位的物质N ，则t （[]0,24t ∈）小时后，水中含有物质N 的浓度增加y mol/L ，y 与t 的函数关系可近似地表示为164,012,46,1224.4t t y t t ⎧-≤≤⎪⎪+=⎨⎪-<≤⎪⎩根据经验，当水中含有物质N 的浓度不低于2mol/L 时，物质N 才能有效发挥作用．(1)若在水中首次投放1个单位的物质N ，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；(2)若0=t 时在水中首次投放1个单位的物质N ，16t =时再投放1个单位的物质N ，试判断当[]16,24t ∈时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L ，并说明理由．答案：(1)物质N 能持续有效发挥作用的时长为12小时； (2)当[]16,24t ∈时，水中含有物质N 的浓度始终不超过3mol/L. （1）对t 分两种情况讨论解不等式即得解；（2）求出12167()412t y t -=-+-，再利用基本不等式判断求解. (1)解：当012t ≤≤时，由题得16424t -≥+，解之得412t ≤≤； 当1224t <≤时，由题得624t-≥，解之得1216t ≤≤； 所以416t ≤≤.所以物质N 能持续有效发挥作用的时长为12小时. (2)解；当[]16,24t ∈时，水中含有物质N 的浓度为y mol/L ， 则161612121612166(4)10()=10()7()4164412412412t t t t y t t t t -+-=-+-=-+-+=-+-+---73≤-=. 当且仅当20t =时等号成立.所以当[]16,24t ∈时，水中含有物质N 的浓度的最大值为3mol/L. 所以当[]16,24t ∈时，水中含有物质N 的浓度始终不超过3mol/L.20．已知a 为常数，设函数()y f x =的表达式为()22xxa f x =+． (1)若函数()y f x =为偶函数，求a 的值； (2)若0a >，求函数()()y f x f x =⋅-的最小值；(3)若方程()6f x =有两个不相等的实数解1x 、2x ，且121x x -≤，求a 的取值范围． 答案：(1)1 (2)221a a ++ (3)[8,9)（1）由偶函数定义取特殊值计算可得； （2）展开后用基本不等式可解；（3）换元后转化为根据一元二次方程，由两根的关系直接解不等式可得. (1)因为()y f x =为偶函数，所以有(1)(1)f f =-，即112222a a --+=+，得1a = 此时()22x x f x -=+,满足()()22x x f x f x --=+=，x R ∈(2)()()222(2)(2)12222x x x x x x a a a y f x f x a a --=⋅-=++=+++⋅ 因为0a >，所以222212212x x a a a a a +++⋅≥++ 所以当2222x x a a =⋅，即0x =时y 有最小值221a a ++ (3) 令2x t =，因为2x t =单调递增，所以方程262x x a +=有两个不相等的实数根⇔方程260t t a -+=有两个不相等的正根，记112x t =，222x t =，则121222log ,log x t x t ==， 因为121x x -≤，所以2122log log 1t t -≤，即12122t t ≤≤，由求根公式得：1,2t =12t t >，则12<≤，解得：8a ≥， 又3640a ∆=->，即9a <，所以a 的取值范围为：[8,9).21．已知定义在R 上的函数()y f x =满足：()y f x =在区间[)1,3上是严格增函数，且其在区间[)1,3上的图像关于直线y x =成轴对称．(1)求证：当[)1,3x ∈时，()f x x =；(2)若对任意给定的实数x ，总有()()2f x f x +=，解不等式()2f x x ≥；(3)若()y f x =是R 上的奇函数，且对任意给定的实数x ，总有()()33f x f x =，求()f x 的表达式． 答案：(1)证明见解析；(2)； (3)()f x x =.(1)在函数()y f x =([)1,3x ∈)的图像任取点，推导可得(())f f x x =，再结合严格递增推理作答.(2)根据给定条件结合(1)可得()y f x =的值域[)1,3，在23x <的条件下分段求解作答.(3)求出函数()f x 区间(0,1)、[3,)+∞上表达式，再借助奇函数性质计算作答.(1)依题意，[1,3)x ∀∈，函数()y f x =的图象上任意点(,)x y 关于直线y x =对称点(,)y x 在函数()y f x =的图象上，则有：()x f y =，且13y ≤<，于是得：(())f f x x =，显然()f x x =满足(())f f x x =，当()f x x ≠时，若()f x x >，而1()3f x ≤<，又()y f x =在区间[)1,3上是严格增函数，则(())()f f x f x >，即()x f x >，与()f x x >矛盾，若()f x x <，而1()3f x ≤<，又()y f x =在区间[)1,3上是严格增函数，则(())()f f x f x <，即()x f x <，与()f x x <矛盾，所以当[)1,3x ∈时，()f x x =.(2)由(1)知，函数()y f x =在区间[)1,3上的值域为[)1,3，函数()2y f x =+的图象可由()y f x =的图象向左平移2个单位而得，因对任意给定的实数x ，总有()()2f x f x +=，则函数()y f x =在R 上的图象可由数()y f x =([)1,3x ∈)的图像向左向右每2个单位平移而得， 于是得函数()y f x =在R 上的值域为[)1,3，由23x <得：x <当31x -≤<-时，143x ≤+<，则()(2)(4)4f x f x f x x =+=+=+，由()2f x x ≥得：24x x ≤+x ≤≤1x ≤<-， 当11x -≤<时，123x ≤+<，则()(2)2f x f x x =+=+，由()2f x x ≥得：22x x ≤+，解得12x -≤≤，则有11x -≤<，当13x ≤<时，，由()2f x x ≥得：2x x ≤，解得01x ≤≤，则有1x =，1x ≤≤，所以不等式()2f x x ≥的解集是. (3)因对任意给定的实数x ，总有()()33f x f x =，N n *∈，当133n n x +≤<时，有133n x ≤<，则222()(3)3(3)3()3()333333n n n n x x x x x f x f f f f x =⋅=⋅====⋅=， N n *∈，当133n n x --+≤<时，有133n x ≤⋅<，则221111()(3)(3)(3)33333n n n nf x f x f x f x x x =====⋅=， 显然1x ∀≥，函数3x y =的值域是[3,)+∞，函数13x y -+=的值域是(0,1]，则n 取尽一切正整数，11{|33}{|13}{|33}(0,)n n n n x x x x x x --++≤<⋃≤<⋃≤<=+∞，因此，当,()0x ∈+∞时，()f x x =，而()y f x =是R 上的奇函数，则当(,0)x ∈-∞时，(0,)x -∈+∞，()()()f x f x x x =--=--=，又(0)0f =，所以，R x ∈，()f x x =，即函数()f x 的表达式是()f x x =.点评：思路点睛：涉及分段函数解不等式问题，先在每一段上求解不等式，再求出各段解集的并集即可.。
上海曹杨第二中学附属学校数学高一下期末经典题(培优提高)
一、选择题1．(0分)[ID ：12722]ABC 中，已知sin cos cos a b cA B C==，则ABC 为（ ） A ．等边三角形 B ．等腰直角三角形 C ．有一个内角为30°的直角三角形 D ．有一个内角为30°的等腰三角形 2．(0分)[ID ：12717]设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥3．(0分)[ID ：12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++＞，＜，()f x 是奇函数，直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则（ ） A ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 C ．()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D ．()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 4．(0分)[ID ：12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则•()PA PB PC +的最小值是（）A ．6-B ．3-C ．4-D ．2-5．(0分)[ID ：12694]设l ，m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）A ．若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥B ．若l α⊥，//l m ，则m α⊥C ．若//l α，m α⊂，则//l mD ．若//l α，//m α，则//l m6．(0分)[ID ：12693](2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛7．(0分)[ID ：12688]若,l m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l m ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．(0分)[ID ：12680]已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 29．(0分)[ID ：12663]设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+-+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且f x f x -=（）（），则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增10．(0分)[ID ：12659]定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（ ）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11．(0分)[ID ：12650]下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④12．(0分)[ID ：12647]与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是A ．()()22112x y +++= B ．()()22114x y -++= C ．()()22112x y -++=D ．()()22114x y +++=13．(0分)[ID ：12637]在ABC ∆中，2cos(,b,22A b c a c c+=分别为角,,A B C 的对边)，则ABC ∆的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．等腰直角三角形D ．正三角形14．(0分)[ID ：12726]执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =( )A ．203B ．72C ．165D ．15815．(0分)[ID ：12681]若,αβ均为锐角，5sin 5α=，()3sin 5αβ+=，则cos β=A 25B ．2525C 25或2525 D ．525-二、填空题16．(0分)[ID ：12819]设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =__________．17．(0分)[ID ：12813]函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（[]0,x π∈）为增函数的区间是 ． 18．(0分)[ID ：12795]已知2a b ==，()()22a b a b +⋅-=-，则a 与b 的夹角为 .19．(0分)[ID ：12788]△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A =45，cos C =513，a =1，则b =___. 20．(0分)[ID ：12787]已知数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，2481a a ⋅=，记数列2n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则使不等式12019113n T ->成立的最大正整数n 的值是_______．21．(0分)[ID ：12759]已知点G 是ABC ∆的重心，内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且0578a b cGA GB GC ++=，则角B 的大小是__________．22．(0分)[ID ：12766]函数()sin f x x ω=（0>ω）的图像与其对称轴在y 轴右侧的交点从左到右依次记为1A ，2A ，3A ，⋅⋅⋅，n A ，⋅⋅⋅，在点列{}n A 中存在三个不同的点k A 、l A 、p A ，使得△k l p A A A 是等腰直角三角形，将满足上述条件的ω值从小到大组成的数记为n ω，则6ω=________.23．(0分)[ID ：12765]设α为锐角，若4cos()65πα+=，则sin(2)12πα+的值为______. 24．(0分)[ID ：12763]已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=，则实数a 的值等于________．25．(0分)[ID ：12799]底面直径和高都是4cm 的圆柱的侧面积为___cm 2.三、解答题26．(0分)[ID ：12906]已知不等式ax 2−3x +6>4的解集为{x|x <1或x >b}. （1）求a,b ；（2）解关于x 的不等式ax 2−(ac +b)x +bc <027．(0分)[ID ：12905]某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为33ACB ππ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭，墙AB 的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记ABC θ∠=. （1）若4πθ=，求ABC ∆的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积，ABC ∆的面积尽可能大，当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积.28．(0分)[ID ：12878]已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.29．(0分)[ID ：12866]已知平面向量a ，b 满足1a b ==. （1）1a b -=，求a 与b 的夹角；（2）若对一切实数x ，不等式a xb a b +≥+恒成立，求a 与b 的夹角θ.30．(0分)[ID ：12831]某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：3m ）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1 [)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6 [)0.6,0.7频数132 49 26 5使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表 日用水量 [)0,0.1[)0.1,0.2 [)0.2,0.3 [)0.3,0.4 [)0.4,0.5 [)0.5,0.6频数151310 16 5（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：0.35m的概率；（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于3（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1．B2．C3．A4．A5．B6．B7．B8．D9．A10．C11．C12．C13．A14．D15．B二、填空题16．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答18．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得：19．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信20．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q由于是正项的递增等比数列可得q＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通21．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……23．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦24．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值25．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为三、解答题 26． 27． 28． 29． 30．2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】 因为sin cos cos a b c A B C==，所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== ,即ABC 为等腰直角三角形. 故选：B .2．C解析：C 【解析】 【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断． 【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定；对于B 选项，若l αβ=，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥； 对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直． 故选C ． 【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．3．A解析：A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由函数为奇函数可得4πϕ=-，由最小正周期公式可得4ω=，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得：()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，函数为奇函数，则当0x =时：()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得：22ππω=，解得：4ω=.故函数的解析式为：()4f x x =.当3,88x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数在所给区间内单调递减；当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()40,x π∈，函数在所给区间内不具有单调性； 据此可知，只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解. 【详解】由题意，以BC 中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系， 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -，设(,)P x y ，则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--， 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--，所以当0,3x y ==时，()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-， 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．B解析：B 【解析】 【分析】利用,l α可能平行判断A ，利用线面平行的性质判断B ，利用//l m 或l 与m 异面判断C ，l 与m 可能平行、相交、异面，判断D . 【详解】l m ⊥，m α⊂，则,l α可能平行，A 错；l α⊥，//l m ，由线面平行的性质可得m α⊥，B 正确； //l α，m α⊂，则//l m ， l 与m 异面；C 错，//l α，//m α，l 与m 可能平行、相交、异面，D 错，.故选B. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质，属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.6．B解析：B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7．B解析：B 【解析】若l m ⊥，因为m 垂直于平面α，则//l α或l α⊂；若//l α，又m 垂直于平面α，则l m ⊥，所以“l m ⊥”是“//l α的必要不充分条件，故选B ． 考点：空间直线和平面、直线和直线的位置关系． 8．D解析：D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y=cos2x 图象，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到函数y=cos2（x +π12）=cos （2x +π6）=sin （2x +2π3）的图象，即曲线C 2， 故选D ．点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.9．A解析：A 【解析】 【分析】将f(x)化简，求得ωφ，，再进行判断即可. 【详解】()πf x ωx φ,4⎛⎫=+- ⎪⎝⎭∵最小正周期为2ππ,π,ω∴=得ω2=，又f x f x （）（）-=为偶函数，所以ππφk π42-=+, k Z ∈∵πφ2<,∴k=-1,()πππφ,f x 2x 444⎛⎫=-∴=--= ⎪⎝⎭,当2k π2x 2k ππ≤≤+,即πk πx k π2≤≤+,f(x)单调递增，结合选项k=0合题意， 故选A. 【点睛】本题考查三角函数性质，两角差的正弦逆用，熟记三角函数性质，熟练计算f(x)解析式是关键，是中档题.10．C解析：C 【解析】 【分析】根据f （x ）是奇函数，以及f （x+2）=f （-x ）即可得出f （x+4）=f （x ），即得出f （x ）的周期为4，从而可得出f （2018）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20207312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭然后可根据f （x ）在[0，1]上的解析式可判断f （x ）在[0，1]上单调递增，从而可得出结果. 【详解】∵f（x ）是奇函数；∴f（x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f（x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f（x ）的周期为4；∴f（2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵x∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.【点睛】本题考查奇函数，周期函数的定义，指数函数和余弦函数的单调性，以及增函数的定义，属于中档题.11．C解析：C 【解析】 【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性，利用线线平行来判断④的正确性. 【详解】对于①，连接AC 如图所示，由于//,//MN AC NP BC ，根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ，所以//AB 平面MNP .对于②，连接BC 交MP 于D ，由于N 是AC 的中点，D 不是BC 的中点，所以在平面ABC 内AB 与DN 相交，所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③，连接CD ，则//AB CD ，而CD 与PN 相交，即CD 与平面PMN 相交，所以AB 与平面MNP 相交.对于④，连接CD ，则////AB CD NP ，由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④. 故选：C 【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.12．C解析：C 【解析】圆22220x y x y ++-=的圆心坐标为()1,1-2，过圆心()1,1-与直线40x y --=垂直的直线方程为0x y +=，所求圆的圆心在此直线上，又圆心()1,1-到直线40x y --=322=2，设所求圆的圆心为(),a b ，且圆心在直线40x y --=422a b --=0a b +=，解得1,1a b ==-（3,3a b ==-不符合题意，舍去 ），故所求圆的方程为()()22112x y -++=.故选C ．【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的思想，考查了计算能力，属于中档题．13．A解析：A 【解析】 【分析】 根据正弦定理得到1cos sin sin 22sin A B C C ++=，化简得到sin cos 0A C =，得到2C π=，得到答案. 【详解】2cos 22A b c c +=，则1cos sin sin 22sin A B CC++=， 即sin cos sin sin cos cos sin sin C A C A C A C C +=++，即sin cos 0A C =，sin 0A ≠，故cos 0C =，2C π=.故选：A . 【点睛】本题考查了正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的计算能力和转化能力.14．D解析：D 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即1331,2,,2222M a b n =+====;又由23≤成立，则循环，即28382,,,33323M a b n =+====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =． 考点：算法的循环结构15．B解析：B 【解析】 【分析】利用角的等量代换，β=α+β-α，只要求出α的余弦，α+β的余弦，利用复合角余弦公式展开求之． 【详解】∵α为锐角，sin 2α= s ，∴α＞45°且5cos α= ，∵()3sin 5αβ+=，且13252＜ ，2παβπ∴+＜＜，∴45cosαβ+=-（） ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα43555525=-⨯+⨯= 故选B. 【点睛】本题考查两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题16．【解析】原式为整理为：即即数列是以-1为首项-1为公差的等差的数列所以即【点睛】这类型题使用的公式是一般条件是若是消就需当时构造两式相减再变形求解；若是消就需在原式将变形为：再利用递推求解通项公式解析：1n-【解析】原式为1111n n n n n n n a S S S S S S ++++=⇔-=，整理为：1111n n S S +-= ，即1111n n S S +-=-，即数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以-1为首项，-1为公差的等差的数列，所以()()1111nn n S =-+--=- ，即1n S n=-. 【点睛】这类型题使用的公式是11{nn n S a S S -=- 12n n =≥ ，一般条件是()n n S f a = ，若是消n S ，就需当2n ≥ 时构造()11n n S f a --= ，两式相减1n n n S S a --= ，再变形求解；若是消n a ，就需在原式将n a 变形为：1n n n a S S -=- ，再利用递推求解通项公式.17．【解析】试题分析：因为所以只要求函数的减区间即可解可得即所以故答案为考点：三角函数的图象和基本性质的运用【易错点晴】本题以函数的表达式的单调区间为背景考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质解答解析：5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 试题分析：因为,所以只要求函数的减区间即可.解可得,即,所以,故答案为5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 考点：三角函数的图象和基本性质的运用． 【易错点晴】本题以函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的表达式的单调区间为背景,考查的是三角函数中形如的正弦函数的图象和性质.解答时先从题设中的条件增函数入手,对函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭进行变形,将其变形为一般式,将其转化为求函数的减区间.最后将其转化为正弦函数的单调递减区间的求法.通过解不等式使得本题获解.18．【解析】【分析】【详解】根据已知条件去括号得： 解析：60︒【解析】 【分析】 【详解】根据已知条件(2)()2a b a b +⋅-=-，去括号得：222422cos 242a a b b θ+⋅-=+⨯⨯-⨯=-，1cos ,602θθ︒⇒==19．【解析】试题分析：因为且为三角形的内角所以又因为所以【考点】正弦定理两角和差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时要有意识地考虑用哪个定理更合适或是两个定理都要用要抓住能够利用某个定理的信 解析：2113【解析】试题分析：因为45cos ,cos 513A C ==，且,A C 为三角形的内角，所以312sin ,sin 513A C ==，63sin sin[()]sin()sin cos cos sin 65B AC A C A C A C π=-+=+=+=，又因为sin sin a b A B =，所以sin 21sin 13a Bb A ==. 【考点】 正弦定理，两角和、差的三角函数公式【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．20．6【解析】【分析】设等比数列{an}的公比q 由于是正项的递增等比数列可得q ＞1由a1+a5=82a2•a4=81=a1a5∴a1a5是一元二次方程x2﹣82x+81=0的两个实数根解得a1a5利用通解析：6 【解析】 【分析】设等比数列{a n }的公比q ，由于是正项的递增等比数列，可得q ＞1．由a 1+a 5=82，a 2•a 4=81=a 1a 5，∴a 1，a 5，是一元二次方程x 2﹣82x+81=0的两个实数根，解得a 1，a 5，利用通项公式可得q ，a n ．利用等比数列的求和公式可得数列{2na }的前n 项和为T n ．代入不等式2019|13T n ﹣1|＞1，化简即可得出． 【详解】数列{}n a 为正项的递增等比数列，1582a a +=，a 2•a 4=81=a 1a 5，即15158281a a a a +=⎧⎨⋅=⎩解得15181a a =⎧⎨=⎩，则公比3q =，∴13n n a -=， 则2122221333n n T -=++++ 11132311313n n -⎛⎫=⨯=- ⎪⎝⎭-， ∴12019113n T ->，即1201913n ⨯>，得32019n <，此时正整数n 的最大值为6. 故答案为6. 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、一元二次方程的解法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【解析】由向量的平行四边形法则可得代入可得故则由余弦定理可得故应填答案点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来这是解答本题的难点也是解答本题的突破口求解时充分利用已知条件 解析：3π【解析】由向量的平行四边形法则可得GA GC BG +=，代入0578a b cGA GB GC ++=可得()()05787a b c b GA GC -+-=，故578a b c==，则5,7,8a t b t c t ===．由余弦定理可得22222564491cos 802t t t B t +-==，故3B π=，应填答案3π． 点睛：解答的关键是如何利用题设中所提供的向量等式中的边的关系探求处来，这是解答本题的难点，也是解答本题的突破口．求解时充分利用已知条件及向量的平行四边形法则，将其转化为()()05787ab c b GA GC -+-=，然后再借助向量相等的条件待定出三角形三边之间的关系578a b c==，最后运用余弦定理求出3B π=，使得问题获解． 22．【解析】【分析】由可求得的横坐标进而得到的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以为顶点的三角形为等腰直角三角形即可由垂直关系可得平面向量数量积为零进而求得的通项公式代入即可得到结果【详解】由得：……解析：112π【解析】 【分析】 由2x k πωπ=+可求得n A 的横坐标，进而得到n A 的坐标；由正弦函数周期特点可知只需分析以1A ，2n A ，41n A -为顶点的三角形为等腰直角三角形即可，由垂直关系可得平面向量数量积为零，进而求得n ω的通项公式，代入6n =即可得到结果. 【详解】由2x k πωπ=+，k Z ∈得：()212k x πω+=，k Z ∈1,12A πω⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，23,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，35,12A πω⎛⎫ ⎪⎝⎭，47,12A πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，…… 若123A A A ∆为等腰直角三角形，则212232,2,240A A A A πππωωω⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：2πω=，即12πω=同理若147A A A ∆为等腰直角三角形，则14470A A A A ⋅= 232πω∴= 同理若1611A A A ∆为等腰直角三角形，则166110A A A A ⋅= 352πω∴= 以此类推，可得：()212n n πω-= 6112πω∴=故答案为：112π【点睛】本题考查正弦型函数图象与性质的综合应用问题，关键是能够根据正弦函数周期性的特点确定所分析成等腰直角三角形的三个顶点的位置，进而由垂直关系得到平面向量数量积为零，构造方程求得结果.23．【解析】试题分析：所以考点：三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦 解析：17250【解析】试题分析：247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，24sin(2)325πα+=，所以sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-22471722252550⎛⎫=-=⎪⎝⎭. 考点：三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系．【思路点晴】本题主要考查二倍角公式，两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角，并且加了6π，我们考虑它的二倍角的情况，即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭，同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=，而要求的角sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-，再利用两角差的正弦公式，就能求出结果.在求解过程中要注意正负号.24．-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值解析：-3 【解析】 【分析】先求()f a ，再根据自变量范围分类讨论，根据对应解析式列方程解得结果. 【详解】()()()102f a f f a +=⇒=-当a>0时，2a=-2,解得a=-1，不成立 当a≤0时，a+1=-2,解得a=-3 【点睛】求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.25．【解析】【分析】【详解】圆柱的侧面积为 解析：【解析】 【分析】 【详解】圆柱的侧面积为22416ππ⨯⨯=三、解答题 26．（1）a ＝1，b ＝2；（2）①当c ＞2时，解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，解集为∅．【解析】【分析】（1）根据不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a 、b 的值；（2）把不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，讨论c 的取值，求出对应不等式的解集．【详解】（1）因为不等式ax 2﹣3x +6＞4的解集为{x |x ＜1，或x ＞b }，所以1和b 是方程ax 2﹣3x +2＝0的两个实数根，且b ＞1；由根与系数的关系，得{1+b =3a 1×b =2a， 解得a ＝1，b ＝2；（2）所求不等式ax 2﹣（ac +b ）x +bc ＜0化为x 2﹣（2+c ）x +2c ＜0，即（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0；①当c ＞2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |2＜x ＜c }；②当c ＜2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为{x |c ＜x ＜2}；③当c ＝2时，不等式（x ﹣2）（x ﹣c ）＜0的解集为∅．【点睛】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式与方程的关系，考查了分类讨论思想，是中档题． 27．(1)617.60+米.(2) 当且仅当a b =时等号成立，此时ABC ∆为等边三角形=3πθ∴，()max ABC S ∆=.【解析】分析：(1)在ABC ∆中，由正弦定理可得,AC BC ，即可求ABC ∆的周长；(2)利用余弦定理列出关系式，将,cos c C 的值代入并利用基本不等式求出ab 的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值.详解：（1）在ABC ∆中，有正弦定理可得，sin sin sin AC BC AB ABC BAC ACB ==∠∠∠6sin sin AB ABC AC ACB ⋅∠∴===∠56sin sin sin AB BAC BC ACB π⋅⋅∠===∠ABC ∴∆的周长为617.60+≈米.（2）在ABC ∆中，有余弦定理得2222cos 3c a b ab π=+-222236,36236a b ab ab a b ab ab ∴+-=∴+=+≥∴≤1sin 23ABC S AC BC π∆∴=⋅⋅=≤ 当且仅当a b =时等号成立，此时ABC ∆为等边三角形=3πθ∴，()max ABC S ∆=点睛：该题考查的是有关通过解三角形来解决实际问题的事例，在解题的过程中，注意应用正弦定理、余弦定理以及基本不等式求得结果.28．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题. 29．（1）3π（2）θπ= 【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义及性质即可求解（2）利用平方化简不等式可得22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立，利用判别式求解即可.【详解】（1）∵1a b ==，21211a b a b ∴-=-⋅+=， 即12a b ⋅=， ∴1cos 2a b θ=， ∴3πθ=.（2）不等式a xb a b +≥+两边平方可得:22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立， ∴0∆≤，即()24cos412cos 0θθ++≤， 故()2cos 10θ+≤，只能cos 1θ=-，而0θπ≤≤，所以θπ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义，性质，不等式恒成立，属于中档题.30．（1）直方图见解析；（2）0.48；（3）347.45m .【解析】【分析】（1）根据题中所给的使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表，算出落在相应区间上的频率，借助于直方图中长方形的面积表示的就是落在相应区间上的频率，从而确定出对应矩形的高，从而得到直方图；（2）结合直方图，算出日用水量小于0.35的矩形的面积总和，即为所求的频率；（3）根据组中值乘以相应的频率作和求得50天日用水量的平均值，作差乘以365天得到一年能节约用水多少3m ，从而求得结果.【详解】（1）频率分布直方图如下图所示：。
上海市普陀区曹杨二中2024届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题含解析
上海市普陀区曹杨二中2024届高一数学第二学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．已知1tan 2α=，则cos2=α（ ） A ．35B ．25C ．35D ．25-2．在ABC ∆中，AB =1AC =，30B ∠=，则A ∠=（ ）A ．60B ．30或90C ．60或120D ．903．一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180度所形成的几何体是（ ） A ．两个共底面的圆锥 B ．半圆锥C ．圆锥D ．圆柱4．ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且()cos23cos 20B A C +++=，b =:sinc C 等于（ ）A ．3:1BCD ．2:15．在ABC ∆中，60A ︒∠=，a =b =B 等于（ ）A ．45︒或135︒B ．135︒C ．45︒D ．以上答案都不对6．在ABC 中，若2sin sin cos 2CA B =，则ABC 是（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形7．已知集合A ={x |–1<x <2}，B ={x |x >1}，则A ∪B = A ．（–1，1）B ．（1，2）C ．（–1，+∞）D ．（1，+∞）8．某几何体的三视图如图所示，其外接球体积为（ ）A ．24πB ．6πC ．6πD 6π9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若////m n αα，，则//m n B ．若//m n αβαβ⊂⊂，，，则//m nC ．若m n n m αβα=⊂⊥，，，则n β⊥D ．若//m m n n αβ⊥⊂，，，则αβ⊥10．已知平面四边形ABCD 满足225AB AD -=，3BC =，1AC BD ⋅=-，则CD 的长为（ ） A ．2B 6C 7D ．2二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
【数学】上海市普陀区曹杨第二中学2022-2023学年高一下学期期末考试试卷 (解析版)
上海市普陀区曹杨第二中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一，填空题1．已知复数z＝1﹣i,则Im z＝ ．【结果】﹣1【思路】∵复数z＝1﹣i,∴Im z＝﹣1,故结果为：﹣1．2．已知复数z满足,且|z+i|＝1,则z＝ ．【结果】1﹣i【思路】设复数z＝a+bi（a,b∈R）,∵,∴a+bi+a﹣bi＝2,∴a＝1,∴z＝1+bi,∵|z+i|＝|1+（b+1）i|＝＝1,∴b＝﹣1,∴z＝1﹣i,故结果为：1﹣i．3．已知向量＝（2,4）,＝（﹣1,1）,则2﹣＝ ．【结果】（5,7）【思路】∵向量＝（2,4）,＝（﹣1,1）,∴2﹣＝2（2,4）﹣（﹣1,1）＝（5,7）．故结果为：（5,7）．4．若cos（θ+）＝1,则cosθ＝ ．【结果】【思路】因为cos（θ+）＝1,所以sin（θ+）＝0,所以cosθ＝cos[（θ+）﹣]＝cos（θ+）cos+sin（θ+）sin＝1×+0×＝．故结果为：．5．若向量,,,则＝ ．【结果】0【思路】向量,,,可得,所以1+2+4＝5,所以＝0．故结果为：0．6．已知{a n}为等差数列,{a n}地前5项和S5＝20,a5＝6,则a10＝ ．【结果】11【思路】∵{a n}为等差数列,∴S5＝5a3＝20,∴a3＝4,∵a5＝6,a3＝4,∴2d＝a5﹣a3＝6﹣4＝2,即d＝1,∴a10＝a5+5d＝6+5＝11．故结果为：11．7．已知{a n}为等比数列,首项和公比均为,则{a n}前10项和为 ．【结果】【思路】依据题意,{a n}为等比数列,首项和公比均为,则S10＝＝。
故结果为：．8．设O为坐标原点,A（2,0）,B（﹣3,4）,则向量在上地投影为 ﹣3 ．【结果】-3【思路】因为A（2,0）,B（﹣3,4）,所以,所以在上地投影为．故结果为：﹣3．9．已知正方形ABCD地边长为3,点E,F分别在边BC,DC上,BC＝3BE,,若,则实数λ地值为 ．【结果】【思路】,,所以,解得．故结果为：．10．已知数列{a n}为等比数列,函数过定点（a1,a2）,设b n＝log2a n,数列{b n}地前n项和为S n,则S n地最大值为 1 ．【结果】1【思路】函数过定点（a1,a2）,令x＝2＝0,解得x＝2,当x＝2时,y＝1,所以a1＝2,a2＝1,由于数列{a n}为等比数列,,所以公比q＝,所以,则b n＝log2a n＝2﹣n,由于b1＝1,b2＝0,b3＝﹣1,......,所以S n地最大值为：S2＝b1+b2＝1．故结果为：1．11．已知函数,则地值为 ．【结果】2020【思路】依据题意,函数,则f（1﹣x）＝（1﹣x﹣）3+1＝﹣（x﹣）3+1,故f（x）+f（1﹣x）＝2,则＝f（）+f（）+f（）+f（）+……+f（）+f（）＝2×1010＝2020。
2018-2019学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题一、单选题1．如果,a b c d >>，则下列不等式成立的是（ ） A.a c b d ->- B.a c b d +>+C.a b d c> D.ac bd >【答案】B【解析】根据不等式的性质，分别将各个选项分析求解即可。
【详解】A 项，当54,31a b c d =>==>=时，2,3a c b d -=-=，则a c b d -<-，故A 项不一定成立；因为,a b c d >>，两式相加得a c b d +>+，故B 项一定成立； 当21,11a b c d =>==>=-时，2,1a bd c =-=，则a b d c<，故C 项不一定成立； D 项，当12,34a b c d =->=-=->=-时，3,8ac bd ==，则ac bd <，故D 项不一定成立； 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式的性质，此题比较简单，需掌握不等式的性质，注意排除法在解选择题中的应用。
2．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中的两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。
”其中后一句“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 【答案】A【解析】根据命题的“真、假”，条件与结论的关系即可得出选项。
【详解】不到蓬莱⇒不成仙，∴成仙⇒到蓬莱，“成仙”是到“到蓬莱”的充分条件，但“到蓬莱”是否“成仙”不确定，因此“成仙”是“到蓬莱”的充分非必要条件。
故选：A 【点睛】充分、必要条件有三种判断方法：1、定义法：直接判断“若p 则q ”和“若q 则p ”的真假。
2、等假法：利用原命题与逆否命题的关系判断。
3、若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A B =,则A 是B 的充要条件。
高中上海市曹杨二中高一上学期期末数学试题
上海市曹杨二中【精品】高一上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{|1}A x x =≥,{|}B x x a =≥,若A B ⊆,则实数a 的取值范围是________. 2．若函数()1f x =+()g x =,则()()f x g x +=________. 3．函数()2||f x x ax =+为偶函数,则实数a 的值为________.4．函数()()21f x x x =≤-的反函数是______.5．在直角坐标系xOy 中，终边在坐标轴上的角α的集合是________.6．已知函数22,3()log ,3x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则((3))f f =________.7．若幂函数22()()mm f x x m --=∈Z 在(0,)+∞是单调减函数,则m 的取值集合是________.8．若不等式||1x m -<成立的充分不必要条件是12x <<,则实数m 的取值范围是________.9．已知等腰三角形的周长为常数l ,底边长为y ,腰长为x ,则函数()y f x =的定义域为________.10．已知角α的终边上一点()P m，且sin α=，则tan α的值为________. 11．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x 时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________. 12．对于函数f （x ），若存在x 0∈R ，使f （x 0）=x 0，则称x 0是f （x ）的一个不动点，已知f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围______.二、单选题13．若0a <，0b >，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．22a b < B<C ．11a b < D ．2abb a +≥14．函数ln ||y x =与y = ）A ．B ．C ．D ．15．已知函数1()|lg |2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ，2x ，则有（ ） A ．120x x < B ．121=x x C ．121x x > D ．1201x x << 16．对于函数()f x ,若存在区间[,]A m n =,使得{|(),}y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”,区间A 为函数的一个“可等域区间”.给出下列四个函数:①()||f x x =;②2()21f x x =-;③()|12|x f x =-;④2()log (22)f x x =-.其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4三、解答题17．已知一个扇形的周长为定值a ,求其面积的最大值,并求此时圆心角α的大小. 18．若方程2(3)0x m x m +-+=，m ∈R ，在x ∈R 上有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.19．设函数()|1|||f x x x a =-+-.（1）若1a =-,解不等式()3f x ≥;（2）若不等式()3f x ≥对一切x ∈R 恒成立,求实数a 的取值范围.20．已知集合M 是具有下列性质的函数()f x 的全体:存在实数对(,)a b ,使得()()f a x f a x b +⋅-=对定义域内任意实数x 都成立.（1）判断函数1()f x x =,2()3x f x =是否属于集合M ;（2）若函数1()1tx f x x-=+具有反函数1()f x -,是否存在相同的实数对(,)a b ,使得()f x 与1()f x -同时属于集合M ?若存在,求出相应的,,a b t ;若不存在,说明理由;（3）若定义域为R 的函数()f x 属于集合M ,且存在满足有序实数对(0,1)和(1,4);当[0,1]x ∈时,()f x 的值域为[1,2],求当[2016,2016]x ∈-时函数()f x 的值域.参考答案1．(,1]-∞【解析】【分析】根据子集的定义和不等式的性质,即可求得答案.【详解】集合{|1}A x x =≥,{|}B x x a =≥,A B ⊆,∴1a ≤.∴实数a 的取值范围是(,1]-∞.故答案为:(,1]-∞.【点睛】本题考查了根据集合的包含关系求解参数,在集合运算比较复杂时,可以使用数轴来辅助分析问题..2．1+01x ≤≤【分析】因为()1f x =()g x =-,故1()()f x g x =++,此时()()f x g x +的定义域,是()f x 和()g x 定义域的交集,即可求得答案.【详解】函数()1f x =()g x =-∴()()(11f x g x +=++-=+此时()()f x g x +的定义域,是()f x 和()g x 定义域的交集∴100x x -≥⎧⎨≥⎩,即01x ≤≤,∴ 1()()f x g x =+,01x ≤≤故答案为:1+01x ≤≤.【点睛】本题考查求解函数解析式,掌握函数定义域的求法是解题关键,考查了计算能力,属于基础题.3．0【分析】根据偶函数的定义,建立方程关系进行求解,即可求得答案.【详解】()2||f x x ax =+为偶函数,∴()()f x f x -=,即2||2||x ax x ax --=+,则0a =,故答案为:0.【点睛】本题主要考查了根据奇偶性求解函数解析式,掌握偶函数定义是解本题关键,考查了计算能力,属于基础题.4．())11f x x -=≥【分析】根据反函数的求法，求得原函数的反函数的解析式并求出定义域.【详解】令()21,1y x x y =≤-≥，解得)1x y =≥，交换,x y 的位置得)1y x =≥，所以函数()()21f x xx =≤-的反函数是())11f x x -=≥.故填：())11f x x -=≥. 【点睛】本小题主要考查反函数的求法，属于基础题.5．|,2n n παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【分析】分别写出终边在x 轴上的角的集合、终边在y 轴上的角的集合,进而可得到终边在坐标轴上的角的集合.【详解】终边在x 轴上的角的集合为{|,}k k αα=π∈Z ,终边在y 轴上的角的集合为|,2k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z , 故终边在坐标轴上的角α的集合是:|,2n n παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 故答案为:|,2n n παα⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭Z 【点睛】 本题考查终边相同的角的表示方法,掌握终边相同角的集合写法是解题关键,属于基础题. 6．3【分析】由已知得3(3)28f ==,从而((3))(8)f f f =,由此能求出结果.【详解】函数22,3()log ,3x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩, ∴3(3)28f ==,2((3))(8)log 83f f f ===.故答案为:3.【点睛】本题考查了分段函数的求值以及分类讨论思想.求分段函数的函数值时,注意判断自变量的范围,自变量在哪一段的范围内,就选择哪一段的解析式求值,如果自变量不确定在哪一段的范围内,就必须要分类讨论.7．{}0,1【分析】由幂函数()f x 为(0,)+∞上递减,推知220m m --<,解得12m -<<，结合m 为整数,即可求得答案.【详解】幂函数22()()m m f x x m --=∈Z 在区间(0,)+∞上是减函数,∴220m m --<,解得12m -<<,m 为整数,∴0,1m =∴满足条件的m 的值的集合是{0,1},故答案为:{0,1}.【点睛】本题考查根据幂函数的单调性求解析式,掌握幂函数的基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．[1,2]【分析】根据不等式的性质,以及充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由||1x m -<得11m x m -≤≤+,12x <<是不等式||1x m -<成立的充分不必要条件,∴满足1112m m -≤⎧⎨+≥⎩,且等号不能同时取得, 即21m m ≤⎧⎨≥⎩,解得12m ≤≤, 故答案为:[1,2].【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用,根据不等式之间的关系是解决本题的关键. 9．,42l l ⎛⎫ ⎪⎝⎭根据周长得出x 、y 、l 三者的关系,再根据三角形的三边大小关系及不等式的性质即可得出.【详解】由题意得:2y x l +=,20x y >>,解得:42l l x <<, 故答案为:,42l l ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】 熟练不等式的基本性质和三角形的三边大小关系是解题的关键,考查了计算能力,属于基础题.10．3±或0 【分析】利用正弦函数的定义求出m ,利用正切函数的定义求出tan α的值.【详解】角α的终边上一点()P m根据正弦函数的定义得:sin 4m α==解得0m =或m =当0m =时,tan 0α=;当m =, tan α=当m =, tan α=则tan α的值为:3±或0故答案为: 3±或0.本题考查三角函数的定义,掌握三角函数的定义是解本题关键,考查学生的计算能力,是基础题.11．11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 【分析】可求出0x ≥时函数值的取值范围，再由奇函数性质得出0x ≤时的范围，合并后可得值域．【详解】 设12x t =，当0x ≥时，21x ≥，所以01t <≤，221124y t t t ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭， 所以104y ≤≤，故当0x ≥时，()10,4f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以当0x <时，()1,04f x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭，故函数()f x 的值域是11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 故答案为：11,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查指数函数的性质，考查函数的奇偶性，求奇函数的值域，可只求出0x ≥时的函数值范围，再由对称性得出0x ≤时的范围，然后求并集即可．12．10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】不动点实际上就是方程f （x 0）=x 0的实数根，二次函数f （x ）=x 2+ax +4有不动点，是指方程x =x 2+ax +4有实根，即方程x =x 2+ax +4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．【详解】解：根据题意，f （x ）=x 2+ax +4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x =x 2+ax +4在[1，3]有两个实数根，即x 2+（a ﹣1）x +4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g （x ）=x 2+（a ﹣1）x +4在[1，3]有两个不同交点，∴2(1)0(3)01132(1)160g g a a ≥⎧⎪≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩，即24031001132(1)160a a a a +≥⎧⎪+≥⎪⎪⎨-<<⎪⎪-->⎪⎩， 解得：a ∈10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭； 故答案为：10,33⎡⎫--⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，属于中档题． 13．C【解析】【分析】已知0a <,0b >,根据不等式的基本性质,逐项检验,即可求得答案.【详解】对于A ,因为0a <,0b >,可取3a =-,1b =,则22a b >.故A 错误;对于B , 因为0a <,0b >,可取9a =-,1b =,>故B 错误;对于C ,若0a <,则10a <,而0b >,则10b >,故11a b<,故C 正确; 对于D ，若0a <,0b >,故0a b <,0b a <,则有0a b b a +<,故D 错误; 故选C.【点睛】本题考查不等式的性质,关键是熟悉不等式的性质,对于不成立的不等式,可以举出反例,进行判断.14．C【解析】【分析】根据函数ln ||y x =是偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,排除A 、B ;再根据y =示一个半圆(圆位于x 轴下方的部分),可得结论.【详解】由于函数ln ||y x =是偶函数,且在(0,)+∞上单调递增,故排除A 、B ;由于y =即221(0)y x y +=<,表示一个半圆(圆位于x 轴下方的部分), 故选:C.【点睛】本题主要考查函数的图像特征,掌握函数基础知识是解题关键,属于基础题.15．D【解析】【分析】 先将1()|lg |2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点转化为|lg |y x =与2x y -=有两个交点,然后在同一坐标系中画出两函数的图像得到零点在(0,1)和(1,)+∞内,即可得到112lg x x --=和222lg x x -=,然后两式相加即可求得12x x 的范围.【详解】1()|lg |2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有两个零点1x ,2x ,即|lg |y x =与2x y -=有两个交点 由题意0x >,分别画2x y -=和|lg |y x =的图像∴ 发现在(0,1)和(1,)+∞有两个交点不妨设1x 在(0,1)内，2x 在(1,)+∞内，∴ 在(0,1)上有112lg x x -=-,即112lg x x --=——①在(1,)+∞有222lg x x -=——② ①②相加有211222lg x x x x ---= 21x x >,∴2122x x --<即21220x x ---<∴12lg 0x x <∴1201x x <<故选:D .【点睛】本题主要考查确定函数零点所在区间的方法,转化为两个函数的交点问题.函数的零点等价于函数与x 轴的交点的横坐标,等价于对应方程的根.16．B【解析】【分析】根据存在区间[,]A m n =,使得{|(),}y y f x x A A =∈=,则称函数()f x 为“可等域函数”,区间A 为函数的一个“可等域区间”,对四个函数逐一判断,即可得到答案.【详解】在①中,如在区间(0,)+∞、(1,2)都是()||f x x =的可等域区间,故①不合题意;在②中,2()211f x x =-≥-,且()f x 在0x ≤时递减,在0x ≥时递增,若0[,]m n ∈,则1[,]m n -∈,于是1m =-,又()11f -=,(0)1f =-,而(1)1f =,故1n =,[1,1]-是一个可等域区间;若0n ≤,则222121n m m n ⎧-=⎨-=⎩,解得m =,0n =>,不合题意, 若0m ≥,则221x x -=有两个非负解,但此方程的两解为1和12-,也不合题意, 故函数2()21f x x =-只有一个等可域区间[1,1]-,故②成立;在③中,函数()|12|x f x =-的值域是[0,)+∞,所以0m ≥,函数()|12|xf x =-在[0,)+∞上是增函数,考察方程21x x -=,由于函数2x y =与1y x =+只有两个交点(0,1),(1,2),即方程21x x -=只有两个解0和1,因此此函数只有一个等可域区间[0,1],故③成立;在④中,函数2()log (22)f x x =-在定义域(1,)+∞上是增函数,若函数有2()log (22)f x x =-等可域区间[,]m n ,则()f m m =,()f n n =,但方程2log (22)x x -=无解(方程2log x x =无解),故此函数无可等域区间,故④不成立. 综上只有②③正确.故选:B.【点睛】本题考查了函数的新定义.解题关键是理解所给的函数新定义:“可等域区间”的“可等域函数”,考查了分析能力和计算能力,属于中等题. 17．2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【分析】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -,,1(2)2S a r r =-,结合二次函数的图像与性质求解最值即可.【详解】设扇形面积为S ,半径为r ,圆心角为α,则扇形弧长为2a r -, 所以221(2)2416a a S a r r r ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭. 故当4a r =且2α=时,扇形面积最大为2a 16. 【点睛】本题重点考查了扇形的面积公式、弧长公式、二次函数的最值等知识,属于基础题. 18．1m <，或9m >.【分析】根据二次函数的性质求出m 的范围,即可求得答案.【详解】若方程2(3)0x m x m +-+=,m ∈R ,在x ∈R 上有两个不相等的实数根,则2(3)40m m ∆=-->,解得:1m <,或9m >.【点睛】本题考查了二次函数的性质,根据判别式求出m 的范围即可.19．（1）35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭（2）(,2][4,)-∞-⋃+∞ 【分析】(1)利用1a =-,化简不等式,通过分类讨论取得绝对值求解即可.(2)利用函数恒成立,转化求解即可.【详解】(1)当1a =-时,不等式()3f x ≥,即|1||1|3x x -++≥,①当1x ≥时,不等式即115x x -++≥,解得52x ≥; ②当11x -<<时,不等式即115x x ---≥,无解;③当1x ≤-时,不等式即113x x ---≥,解得32x ≤-;综上,不等式()5f x ≥的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. (2)()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =-+-≥---=-,∴min ()|1|f x a =-.()3f x ≥对任意x ∈R 恒成立,∴|1|3a -≥,解得2a ≤-或4a ≥,即实数a 的取值范围为(,2][4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查函数恒成立绝对值不等式的解法,考查分类讨论思想以及转化思想的应用,考查计算能力.20．（1）()x 23f x M =∈（2）不存在实数对(,)a b ,使得()f x 与1()f x -同时属于集合M .见解析（3）201620162,2-⎡⎤⎣⎦【分析】 （1）根据已知中集合M 的定义,分别判断两个函数是否满足条件,即可求得答案;（2）假定1()1tx f x x-=+,求出相应的,,a b t 值,得到矛盾,即可求得答案; （3）利用题中的新定义,列出两个等式恒成立;将x 用2x +代替,两等式结合得到函数值的递推关系;用不完全归纳的方法求出值域.【详解】（1）当()f x x =时,22()()()()f a x f a x a x a x a x +⋅-=+⋅-=-,其值不为常数,故1()f x x M =∉,当()3x f x =时,2()()333a x a x a f a x f a x +-+⋅-=⋅=,当0a =时,1b =,故存在实数对(0,1),使得(0)(0)1f x f x +⋅-=对定义域内任意实数x 都成立, 故()x 23f x M =∈;（2）若函数1()1tx f x x -=+具有反函数1()f x -,且1()1tx f x M x-=∈+, 则222221()1()(1)()()1()1()(1)t a x t a x ta t x f a x f a x b a x a x a x-+----+⋅-=⋅==+++-+-, 则21b t b t b ⎧=⎪=-⎨⎪=⎩,解得:011a b t =⎧⎪=⎨⎪=-⎩,此时,不存在反函数,故不存在实数对(,)a b ,使得()f x 与1()f x -同时属于()1(1)f x x =≠-集合M .（3）函数()f x M ∈,且存在满足条件的有序实数对(0,1)和(1,4),于是()()1f x f x ⋅-=,(1)(1)4f x f x +⋅-=,用1x -替换(1)(1)4f x f x +⋅-=中x 得:()(2)4f x f x -=,当[1,2]x ∈时,2[0,1]x -∈,4()[2,4](2)f x f x =∈-, ∴[0,2]x ∈时,()[1,4]f x ∈.又由()()1f x f x ⋅-=得:1()()f x f x =-, 故14()(2)f x f x =--,即4()(2)f x f x -=-, 可得:(2)4()f x f x +=.∴ [2,4]x ∈时,()[4,16]f x ∈,[4,8]x ∈时,()[16,64]f x ∈,……依此类推可知[2,22]x k k ∈+时,222()2,2k k f x +⎡⎤∈⎣⎦,故[2014,2016]x ∈时,20142016()2,2f x ⎡⎤∈⎣⎦,综上所述,[0,2016]x ∈时,2016()1,2f x ⎡⎤∈⎣⎦,[2016,0]x ∈-时,20161()2,1()f x f x -⎡⎤=∈⎣⎦-, 综上所述,当[2016,2016]x ∈-时函数()f x 的值域为201620162,2-⎡⎤⎣⎦.【点睛】本题考查理解题中的新定义,解题关键是判断函数是否具有特殊函数的条件,利用新定义得到恒等式和通过仿写的方法得到函数的递推关系,考查利用归纳的方法得结论.。
2021-2022学年上海市曹杨第二中学高一下学期数学期末考试卷含详解
20.如图，在 中， 为 边上一点，且 ．
（1）设 ，求实数 、 的值；
（2）若 ，求 的值；
（3）设点 满足 ，求证： ．
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析.
【分析】(1)根据向量的减法运算和线性表示即可求解；(2)利用数量积的运算律求解；(2)用基底 表示出向量 ，再用数量积运算律表示出模长，即可得证.
函数 的最小正周期为 .
2.在等差数列 中，若 ，且 ，则 _____．
【答案】
【分析】根据等差数列的通项公式求解即可.
【详解】设公差为 ，依题意得 ，
即 解得 ，所以 ，
故答案为：2.
3.某学生在上学的路上要经过2个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是 ，则这名学生在上学路上到第二个路口时第一次遇到红灯的概率是_____．
13.下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是
A.频率就是概率B.频率是随机的，与试验次数无关
C.概率是稳定的，与试验次数无关D.概率是随机的，与试验次数有关
【答案】C
【分析】根据频率、概率的概念，可得结果.
【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，
事件A出现的次数除以总数，是变化的
概率指的是：在大量重复进行同一个实验时，
故答案为： .
8.设数列 的前 项和为 ，若 ，则 ______．
【答案】
【分析】根据数列 的关系求出数列 的通项公式以及前 项和为 ，再用极限求解.
【详解】当 时， 即 ，
当 时，
得到 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ，所以 ，
所以 ，
故答案为：3.
9.已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为_____．
上海市曹杨二中2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)
上海市曹杨二中 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }＝．（用列举法表示）2. 已知 a 为常数，若关于 x 的不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），则 m ＝ ．3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为．6．已知 lg2＝a ，10b ＝3，用 a 、b 表示 log 56＝．9. 已知实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），则 x +2y 的最小值为．10. 已知函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f（x ）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．已知角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），则 sin α+cos α＝（）14．已知 a 、b ∈R ，h ＞0．则“|a ﹣b |＜2h ”是“|a |＜h 且|b |＜h ”的（）4．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A 、B 均为U 的子集．若A ∩B ＝{5}， ，则A ＝．5．已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为．7．已知 ，化简：＝．8．已知函数y ＝f （x ）的表达式为 ，则函数y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为．11．已知函数y ＝f （x ）的表达式为若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是 ． 12．已知常数a ＞0，函数y ＝（f x ）、y ＝g （x ）的表达式分别为 、．若对任意x 1∈ 〖﹣a ，a 〗，总存在x 2 ∈〖﹣a ，a 〗，使得（f x 2 ） ≥g （x 1），则a 的最大值为 ．A ．B ．C ．D ．A.充分不必要条件C．充要条件B.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件15．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256 个等级，最暗的黑色用0 表示，最亮的白色用255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0 至255 之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）（1）求集合A 和集合B；（2）求A∪B＝B，求实数m 的取值范围．A．B．C．D．16．已知x、y、z是互不相等的正数，则在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是（）17．（14分）已知m≥1，设集合，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}．18．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（t∈〖0，24〗）小时后，水中含有物质N的浓度增加y mol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1 个单位的物质N，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；（2）若t＝0 时在水中首次投放1 个单位的物质N，t＝16 时再投放1 个单位的物质N，试判断当t∈〖16，24〗时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．2 12（1） 若函数 y ＝f （x ）为偶函数，求 a 的值； （2） 若 a ＞0，求函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值；（3） 若方程 f （x ）＝6 有两个不相等的实数解 x 1、x ，且|x ﹣x |≤1，求 a 的取值范围．21．（18 分）已知定义在 R 上的函数 y ＝f （x ）满足：y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，且其在区间〖1，3）上的图像关于直线 y ＝x 成轴对称． （1）求证：当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 若对任意给定的实数 x ，总有 f （x +2）＝f （x ），解不等式 f （x ）≥x 2；（3）若 y ＝f （x ）是 R 上的奇函数，且对任意给定的实数 x ，总有 f （3x ）＝3f （x ），求f （x ）的表达式．20．（16分）已知a 为常数，设函数y ＝f （x ）的表达式为 ．由根与系数的关系知 ，解得m ＝1，a ＝4．故答案为：1．3．〖解析〗根据扇形的面积公式S ＝lr 可得：3＝ ×3r ，解得r ＝2cm ，再根据弧长公式可得该扇形的圆心角的弧度数α＝ ＝ ．故答案为： ． ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 * 案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．{0，3，6}〖解 析〗由集合 A ＝{0，1，2}，集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }故集合 B 中的元素有 0，3，6，集合 B ＝{0，3，6}，故答案为：{0，3，6}． 2．1〖解 析〗因为不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），所以 m 和 2 是方程 2x 2﹣6x +a ＝0 的解，4．{5，7}〖解 析〗全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．〖解 析〗设幂函数的解析式为：y ＝x α，〖解 析〗∵10b ＝3，∴b ＝lg3，又∵lg2＝a ， A ∩B ＝{5}， ，∴A ＝{5，7}．故答案为：{5，7}．5．y ＝由函数图象经过点（4， ），则有4α＝ ，解得：α＝﹣ ，故答案为：y ＝ ．6．∴log 56＝ ＝＝，故答案为：．7．〖解 析〗因为，所以sin，8．2（1）当 x ⩽0 时，y ＝f （x ）＝0，x ＝0，（2）当 x ＞0 时，令 t ＝log 2x ，则 t ∈R ，y ＝f （t ）＝0， 若 t ⩽0，则 t ＝0，即 f （0）＝0，所以 x ＝0（舍去）， 若 t ＞0 时，则 log 2t ＝0，解得 t ＝1，即 log 2x ＝1，所以 x ＝2． 综上所述，函数 y ＝f 〖f （x ）〗的零点为 0，2， 故函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为 2．故答案为：2．〖解 析〗∵实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），10．〖4，+∞）〖解 析〗函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f （0）＝0，图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f （x ）的值域为 R ，则当 x ＞0 时，f （x ） ≤ ， min故实数 a 的取值范围是〖4，+∞）．故答案为：〖4，+∞）．所以 ＝＝sin ．故答案为： ． 〖解 析〗函数 .9．2 +3∴xy ＝x +y ，且x ＞0，y ＞0，∴ + ＝1， ∴x +2y ＝（x +2y ）（ + ）＝ + +3≥2+3， 当且仅当 ＝，即x ＝+1，y ＝1+时取等号， 则x +2y 的最小值为2 +3，故答案为：2+3．f （x ）＝x 2﹣ax +4的图象开口向上，对称轴为x ＝，f （0）＝4，则 ＞0，f （x ） min ＝f （ ）＝ ﹣ +4≤0，解得a ≥4，12．0 1 2 2 111．〖1，+∞）使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x ）成立，即函数有最大值 f （x ），又因为当 x ＞a 时，f （x ）＝﹣x +2，单调递减，且 f （x ）＜﹣a +2， 故当 x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，所以 1≥﹣a +2 且 a ≥﹣1，故 a ≥1，所以实数 a 的取值范围为〖1，+∞）．故答案为：〖1，+∞）．〖解 析〗∵对任意 x ∈〖﹣a ，a 〗，总存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ），二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．C〖解 析〗因为角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），所以 sin α＝＝﹣ ，cos α＝ ＝，则 sin α+cos α＝﹣ +＝．故选：C ．〖解 析〗函数若存在实数x 0，∴存在x ∈〖﹣a ，a 〗，使得f （x ）≥g （x ） 2 2 max＝ ，即≥在〖﹣a ，a 〗上有解，即2a 2x 2﹣3x +2a ≤0在〖﹣a ，a 〗上有解，设h （x ）＝2a 2x 2﹣3x +2a ，其对称轴为x ＝ ，若 ＜a ，即a ＞ 时，此时Δ＝9﹣16a 3＜0，则2a 2x 2﹣3x +2a ≤0不成立；若 ≥a ，即0＜a ≤时，只需h （x ） min≤0，即h （a ）＜0即可， 则 ，解得0＜a ≤ ；综上，实数a 的最大值为 ．故答案为： ．14．B〖解析〗由|a﹣b|＜2h 可得：﹣2h＜a﹣b＜2h，由|a|＜h，|b|＜h 可得：﹣h＜a＜h，﹣h＜b＜h，则﹣2h＜a﹣b＜2h，但是如﹣2＜a﹣b＜2 ﹣1＜a＜1 且﹣1＜b＜1，或者0＜a＜1 且﹣1＜b＜2 等等，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a|＜h 且|b|＜h”的必要不充分条件，故选：B．15．A〖解析〗根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y＝x 上方．故选：A．16．C〖解析〗假设x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值都大于，则x（1﹣y）y（1﹣z）z（1﹣x），即x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），∵x、y、z 是互不相等的正数，∴1﹣y＞0，1﹣z＞0，1﹣x＞0，∴x（1﹣x）＝，当且仅当x＝1﹣x即x＝时，等号成立，同理y（1﹣y），z（1﹣z），又x，y，z互不相等，∴x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），这与x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z）矛盾，∴假设不成立，∴x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值不可能都大于，取x＝，y＝，z＝，则x（1﹣y）＝＝，y（1﹣z）＝＝，z（1﹣x）＝×＝，此时x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）中有两个值都大于，所以在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是2，故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）17．解：（1）∵m≥1，集合＝{x| ＜0}＝{x|3＜x＜6}，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}＝{x|x﹣2m＜1﹣m 或x﹣2m＞m﹣1}＝{x|x＜m+1 或x＞3m﹣1}．19．（1）解：当0≤t ≤12时，由题得 ，解之得4≤t ≤12；当12＜t ≤24时，由题得，解之得12≤t ≤16；所以4≤t ≤16．20．解：（1）若函数y ＝f （x ）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即＝，12 1 2 1 2 1 23 1 3 2（2）f （x ）单调递增，证明如下，设﹣1＜x ＜x ＜1， 则 x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0，所以 t （x ）＜t （x ），所以 log t （x ）＜log t （x ），所以 y ＝f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．所以物质 N 能持续有效发挥作用的时长为12 小时．（2） 解：当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度为 ymol /L ，当且仅当 t ＝20 时等号成立．所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度的最大值为3mol/L ． 所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度始终不超过 3mol/L ．整理得（a ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0，所以 a ﹣1＝0，即 a ＝1．（2）∵A ∪B ＝B ，∴A B ，∴6≤m +1或3≥3m ﹣1，解得m ≥5或1≤m ，∴实数m 的取值范围是〖1， 〗∪〖5，+∞）．18．解：（1）由 ，得，所以x ＝log 3，所以f （x ）＝log 3，D ＝（﹣1，1），设t （x ）＝ ＝﹣1﹣ ，则t （x 1 ）﹣t （x ）＝ 2﹣＝＜0，则．（2）函数y ＝f （x ）•f （﹣x ）＝（）（）＝a 2+1+a （22x +），所以函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值为 a 2+2a +1．（3） 当 a ≤0 时，f （x ）在R 上递增，f （x ）＝6 只有一个实根，不成立；方程 f （x ）＝6 有两个不等的实根等价为 y ＝f （x ）与 y ＝6 的图象有两个交点．且 36﹣4a ＞0，即 0＜a ＜9，则 a 的取值范围是〖8，9）．21．（1）证明：依题意， x ∈〖1，3），函数 y ＝f （x ）的图象上任意点（x ，y ）关于直线 y＝x 对称点（y ，x ）在函数 y ＝f （x ）的图象上， 则有：x ＝f （y ），且 1≤y ＜3，于是得：f （f （x ））＝x ，显然 f （x ）＝x 满足 f （f （x ））＝x ，当 f （x ）≠x 时，若 f （x ）＞x ，而 1≤f （x ）＜3， 又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数， 则 f （f （x ））＞f （x ），即 x ＞f （x ）与 f （x ）＞x 矛盾，若 f （x ）＜x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＜f （x ），即 x ＜f （x ），与 f （x ）＜x 矛盾， 所以当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2）由（1）知，函数 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上的值域为〖1，3），函数 y ＝f （x +2）的图象可由 y ＝f （x ）的图象向左平移 2 个单位而得，因为a ＞0，22x + ≥2 ＝2，当且仅当22x ＝ ，即x ＝0时等号成立，所以a 2+1+a （22x + ）≥a 2+2a +1，当a ＞0时， ≥2 ，当且仅当2x ＝ 时，f （x ）取得最小值2 ，当直线y ＝6与y ＝f （x ）相切时，2 ＝6，解得a ＝9；设t ＝2x （t ＞0），则t +＝6，即t 2﹣6t +a ＝0，可得t 1+t 2＝6，t 1t 2 ＝a ，①由|x 1 ﹣x |≤1，可设x ＞x ，可得 2 1 2 ≤2，即 ≤2，②由①②可得t 2 ≥2，且t ＝3﹣ 2 ，解得8≤a ＜9，因对任意给定的实数x，总有f（x+2）＝f（x），则函数y＝f（x）在R上的图象可由数y＝f（x）（x∈〖1，3））的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y＝f（x）在R上的值域为〖1，3），由x2＜3得：﹣＜x＜，当﹣3≤x＜﹣1 时，1≤x+4＜3，则f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝x+4，由f（x）≥x2 得：x2≤x+4，解得≤x≤，则有≤x＜﹣1，当﹣1≤x＜1 时，1≤x+2＜3，则f（x）＝f（x+2）＝x+2，由f（x）≥x2 得：x2≤x+2，解得﹣1≤x≤2，则有﹣1≤x＜1，当1≤x＜3 时，由f（x）≥x2 得：x2≤x，解得0≤x≤1，则有x＝1，综上得：≤x≤1，所以不等式f（x）≥x2的解集是〖，1〗；（3）因对任意给定的实数x，总有f（3x）＝3f（x），n∈N*，当3n≤x＜3n+1时，有1 ，则f（x）＝f（3×）＝3f（3×）＝32f（）＝…＝3n f（）＝3n×＝x，n∈N*，当3﹣n≤x＜3﹣n+1 时，有1≤3n•x＜3，则f（x）＝f（3x）＝f（32x）＝…＝f（3n x）＝×3n x＝x，显然x≥1，函数y＝3x的值域是〖3，+∞），函数y＝3﹣x+1的值域是（0，1〗，则n取尽一切正整数，{x|3﹣n≤x＜3﹣n+1}∪{x|1≤x＜3}∪{x|3n≤x＜3n+1}＝（0，+∞），因此，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x，而y＝f（x）是R 上的奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，又f（0）＝0，所以，x∈R，f（x）＝x，即函数f（x）的表达式是f（x）＝x．上海市曹杨二中 2021-2022 学年高一上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．已知集合 A ＝{0，1，2}，则集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }＝．（用列举法表示）2. 已知 a 为常数，若关于 x 的不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），则 m ＝ ．3. 若一个扇形的弧长和面积均为3，则该扇形的圆心角的弧度数为．6．已知 lg2＝a ，10b ＝3，用 a 、b 表示 log 56＝．9. 已知实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），则 x +2y 的最小值为．10. 已知函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f（x ）的值域为 R ，则实数 a 的取值范围是．二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．已知角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），则 sin α+cos α＝（）14．已知 a 、b ∈R ，h ＞0．则“|a ﹣b |＜2h ”是“|a |＜h 且|b |＜h ”的（）4．已知全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A 、B 均为U 的子集．若A ∩B ＝{5}， ，则A ＝．5．已知幂函数的图像经过点，则该函数的表达式为．7．已知 ，化简：＝．8．已知函数y ＝f （x ）的表达式为 ，则函数y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为．11．已知函数y ＝f （x ）的表达式为若存在实数x 0，使得对于任意的实数x 都有f （x ）≤f （x 0）成立，则实数a 的取值范围是 ． 12．已知常数a ＞0，函数y ＝（f x ）、y ＝g （x ）的表达式分别为 、．若对任意x 1∈ 〖﹣a ，a 〗，总存在x 2 ∈〖﹣a ，a 〗，使得（f x 2 ） ≥g （x 1），则a 的最大值为 ．A ．B ．C ．D ．A.充分不必要条件C．充要条件B.必要不充分条件D．既不充分也不必要条件15．在用计算机处理灰度图像（即俗称的黑白照片）时，将灰度分为256 个等级，最暗的黑色用0 表示，最亮的白色用255 表示，中间的灰度根据其明暗渐变程度用0 至255 之间对应的数表示，这样可以给图像上的每个像素赋予一个“灰度值”．在处理有些较黑的图像时，为了增强较黑部分的对比度，可对图像上每个像素的灰度值进行转换，扩展低灰度级，压缩高灰度级，实现如图所示的效果：则下列可以实现该功能的一种函数图象是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）（1）求集合A 和集合B；（2）求A∪B＝B，求实数m 的取值范围．A．B．C．D．16．已知x、y、z是互不相等的正数，则在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是（）17．（14分）已知m≥1，设集合，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}．18．（14分）已知函数y＝f（x）是函数的反函数．（1）求函数y＝f（x）的表达式，写出定义域D；（2）判断函数y＝f（x）的单调性，并加以证明．19．（14分）培养某种水生植物需要定期向水中加入营养物质N．已知向水中每投放1个单位的物质N，则t（t∈〖0，24〗）小时后，水中含有物质N的浓度增加y mol/L，y与t的函数关系可近似地表示为根据经验，当水中含有物质N的浓度不低于2mol/L时，物质N才能有效发挥作用．（1）若在水中首次投放1 个单位的物质N，计算物质N 能持续有效发挥作用的时长；（2）若t＝0 时在水中首次投放1 个单位的物质N，t＝16 时再投放1 个单位的物质N，试判断当t∈〖16，24〗时，水中含有物质N 的浓度是否始终不超过3mol/L，并说明理由．2 12（1） 若函数 y ＝f （x ）为偶函数，求 a 的值； （2） 若 a ＞0，求函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值；（3） 若方程 f （x ）＝6 有两个不相等的实数解 x 1、x ，且|x ﹣x |≤1，求 a 的取值范围．21．（18 分）已知定义在 R 上的函数 y ＝f （x ）满足：y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，且其在区间〖1，3）上的图像关于直线 y ＝x 成轴对称． （1）求证：当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 若对任意给定的实数 x ，总有 f （x +2）＝f （x ），解不等式 f （x ）≥x 2；（3）若 y ＝f （x ）是 R 上的奇函数，且对任意给定的实数 x ，总有 f （3x ）＝3f （x ），求f （x ）的表达式．20．（16分）已知a 为常数，设函数y ＝f （x ）的表达式为 ．由根与系数的关系知 ，解得m ＝1，a ＝4．故答案为：1．3．〖解析〗根据扇形的面积公式S ＝lr 可得：3＝ ×3r ，解得r ＝2cm ，再根据弧长公式可得该扇形的圆心角的弧度数α＝ ＝ ．故答案为： ． ▁ ▃ ▅ ▇ █ 参 *考 *答 * 案 █ ▇ ▅ ▃ ▁一、填空题（本大题共有 12 小题，满分 54 分，第 1～6 题每题 4 分，第 7～12 题每题 5 分） 1．{0，3，6}〖解 析〗由集合 A ＝{0，1，2}，集合 B ＝{b |b ＝3a ，a ∈A }故集合 B 中的元素有 0，3，6，集合 B ＝{0，3，6}，故答案为：{0，3，6}． 2．1〖解 析〗因为不等式 2x 2﹣6x +a ＜0 的解集为（m ，2），所以 m 和 2 是方程 2x 2﹣6x +a ＝0 的解，4．{5，7}〖解 析〗全集 U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合 A 、B 均为 U 的子集．〖解 析〗设幂函数的解析式为：y ＝x α，〖解 析〗∵10b ＝3，∴b ＝lg3，又∵lg2＝a ， A ∩B ＝{5}， ，∴A ＝{5，7}．故答案为：{5，7}．5．y ＝由函数图象经过点（4， ），则有4α＝ ，解得：α＝﹣ ，故答案为：y ＝ ．6．∴log 56＝ ＝＝，故答案为：．7．〖解 析〗因为，所以sin，8．2（1）当 x ⩽0 时，y ＝f （x ）＝0，x ＝0，（2）当 x ＞0 时，令 t ＝log 2x ，则 t ∈R ，y ＝f （t ）＝0， 若 t ⩽0，则 t ＝0，即 f （0）＝0，所以 x ＝0（舍去）， 若 t ＞0 时，则 log 2t ＝0，解得 t ＝1，即 log 2x ＝1，所以 x ＝2． 综上所述，函数 y ＝f 〖f （x ）〗的零点为 0，2， 故函数 y ＝f 〖f （x ）〗的所有零点之和为 2．故答案为：2．〖解 析〗∵实数 x 、y 满足 lg x +lg y ＝lg （x +y ），10．〖4，+∞）〖解 析〗函数 y ＝f （x ）是定义在 R 上的奇函数，所以 f （0）＝0，图象关于原点对称，且当 x ＞0 时，f （x ）＝x 2﹣ax +4．若 y ＝f （x ）的值域为 R ，则当 x ＞0 时，f （x ） ≤ ， min故实数 a 的取值范围是〖4，+∞）．故答案为：〖4，+∞）．所以 ＝＝sin ．故答案为： ． 〖解 析〗函数 .9．2 +3∴xy ＝x +y ，且x ＞0，y ＞0，∴ + ＝1， ∴x +2y ＝（x +2y ）（ + ）＝ + +3≥2+3， 当且仅当 ＝，即x ＝+1，y ＝1+时取等号， 则x +2y 的最小值为2 +3，故答案为：2+3．f （x ）＝x 2﹣ax +4的图象开口向上，对称轴为x ＝，f （0）＝4，则 ＞0，f （x ） min ＝f （ ）＝ ﹣ +4≤0，解得a ≥4，12．0 1 2 2 111．〖1，+∞）使得对于任意的实数 x 都有 f （x ）≤f （x ）成立，即函数有最大值 f （x ），又因为当 x ＞a 时，f （x ）＝﹣x +2，单调递减，且 f （x ）＜﹣a +2， 故当 x ≤a 时，f （x ）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，所以 1≥﹣a +2 且 a ≥﹣1，故 a ≥1，所以实数 a 的取值范围为〖1，+∞）．故答案为：〖1，+∞）．〖解 析〗∵对任意 x ∈〖﹣a ，a 〗，总存在 x ∈〖﹣a ，a 〗，使得 f （x ）≥g （x ），二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分，每题 5 分） 13．C〖解 析〗因为角 α 的终边经过点 P （2，﹣1），所以 sin α＝＝﹣ ，cos α＝ ＝，则 sin α+cos α＝﹣ +＝．故选：C ．〖解 析〗函数若存在实数x 0，∴存在x ∈〖﹣a ，a 〗，使得f （x ）≥g （x ） 2 2 max＝ ，即≥在〖﹣a ，a 〗上有解，即2a 2x 2﹣3x +2a ≤0在〖﹣a ，a 〗上有解，设h （x ）＝2a 2x 2﹣3x +2a ，其对称轴为x ＝ ，若 ＜a ，即a ＞ 时，此时Δ＝9﹣16a 3＜0，则2a 2x 2﹣3x +2a ≤0不成立；若 ≥a ，即0＜a ≤时，只需h （x ） min≤0，即h （a ）＜0即可， 则 ，解得0＜a ≤ ；综上，实数a 的最大值为 ．故答案为： ．14．B〖解析〗由|a﹣b|＜2h 可得：﹣2h＜a﹣b＜2h，由|a|＜h，|b|＜h 可得：﹣h＜a＜h，﹣h＜b＜h，则﹣2h＜a﹣b＜2h，但是如﹣2＜a﹣b＜2 ﹣1＜a＜1 且﹣1＜b＜1，或者0＜a＜1 且﹣1＜b＜2 等等，所以“|a﹣b|＜2h”是“|a|＜h 且|b|＜h”的必要不充分条件，故选：B．15．A〖解析〗根据处理前后的图片变化可知，相对于原图的灰度值，处理后图像上每个像素的灰度值值增加，所以图象在y＝x 上方．故选：A．16．C〖解析〗假设x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值都大于，则x（1﹣y）y（1﹣z）z（1﹣x），即x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），∵x、y、z 是互不相等的正数，∴1﹣y＞0，1﹣z＞0，1﹣x＞0，∴x（1﹣x）＝，当且仅当x＝1﹣x即x＝时，等号成立，同理y（1﹣y），z（1﹣z），又x，y，z互不相等，∴x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z），这与x（1﹣x）y（1﹣y）z（1﹣z）矛盾，∴假设不成立，∴x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值不可能都大于，取x＝，y＝，z＝，则x（1﹣y）＝＝，y（1﹣z）＝＝，z（1﹣x）＝×＝，此时x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）中有两个值都大于，所以在x（1﹣y）、y（1﹣z）、z（1﹣x）三个值中，大于的个数的最大值是2，故选：C．三、解答题（本大题共有 5 题，满分76 分）17．解：（1）∵m≥1，集合＝{x| ＜0}＝{x|3＜x＜6}，B＝{x||x﹣2m|＞m﹣1}＝{x|x﹣2m＜1﹣m 或x﹣2m＞m﹣1}＝{x|x＜m+1 或x＞3m﹣1}．19．（1）解：当0≤t ≤12时，由题得 ，解之得4≤t ≤12；当12＜t ≤24时，由题得，解之得12≤t ≤16；所以4≤t ≤16．20．解：（1）若函数y ＝f （x ）为偶函数，则f （﹣x ）＝f （x ），即＝，12 1 2 1 2 1 23 1 3 2（2）f （x ）单调递增，证明如下，设﹣1＜x ＜x ＜1， 则 x ﹣1＜0，x ﹣1＜0，x ﹣x ＜0，所以 t （x ）＜t （x ），所以 log t （x ）＜log t （x ），所以 y ＝f （x ）在（﹣1，1）上单调递增．所以物质 N 能持续有效发挥作用的时长为12 小时．（2） 解：当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度为 ymol /L ，当且仅当 t ＝20 时等号成立．所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度的最大值为3mol/L ． 所以当 t ∈〖16，24〗时，水中含有物质 N 的浓度始终不超过 3mol/L ．整理得（a ﹣1）（2x ﹣2﹣x ）＝0，所以 a ﹣1＝0，即 a ＝1．（2）∵A ∪B ＝B ，∴A B ，∴6≤m +1或3≥3m ﹣1，解得m ≥5或1≤m ，∴实数m 的取值范围是〖1， 〗∪〖5，+∞）．18．解：（1）由 ，得，所以x ＝log 3，所以f （x ）＝log 3，D ＝（﹣1，1），设t （x ）＝ ＝﹣1﹣ ，则t （x 1 ）﹣t （x ）＝ 2﹣＝＜0，则．（2）函数y ＝f （x ）•f （﹣x ）＝（）（）＝a 2+1+a （22x +），所以函数 y ＝f （x ）•f （﹣x ）的最小值为 a 2+2a +1．（3） 当 a ≤0 时，f （x ）在R 上递增，f （x ）＝6 只有一个实根，不成立；方程 f （x ）＝6 有两个不等的实根等价为 y ＝f （x ）与 y ＝6 的图象有两个交点．且 36﹣4a ＞0，即 0＜a ＜9，则 a 的取值范围是〖8，9）． 21．（1）证明：依题意， x ∈〖1，3），函数 y ＝f （x ）的图象上任意点（x ，y ）关于直线 y＝x 对称点（y ，x ）在函数 y ＝f （x ）的图象上，则有：x ＝f （y ），且 1≤y ＜3，于是得：f （f （x ））＝x ，显然 f （x ）＝x 满足 f （f （x ））＝x ，当 f （x ）≠x 时，若 f （x ）＞x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＞f （x ），即 x ＞f （x ）与 f （x ）＞x 矛盾，若 f （x ）＜x ，而 1≤f （x ）＜3，又 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上是严格增函数，则 f （f （x ））＜f （x ），即 x ＜f （x ），与 f （x ）＜x 矛盾，所以当 x ∈〖1，3）时，f （x ）＝x ；（2） 由（1）知，函数 y ＝f （x ）在区间〖1，3）上的值域为〖1，3），函数 y ＝f （x +2）的图象可由 y ＝f （x ）的图象向左平移 2 个单位而得，因为a ＞0，22x + ≥2 ＝2，当且仅当22x ＝ ，即x ＝0时等号成立， 所以a 2+1+a （22x + ）≥a 2+2a +1，当a ＞0时， ≥2 ，当且仅当2x ＝ 时，f （x ）取得最小值2 ，当直线y ＝6与y ＝f （x ）相切时，2 ＝6，解得a ＝9； 设t ＝2x （t ＞0），则t + ＝6，即t 2﹣6t +a ＝0，可得t 1+t 2＝6，t 1t 2 ＝a ，① 由|x 1 ﹣x |≤1，可设x ＞x ，可得 2 1 2 ≤2，即 ≤2，② 由①②可得t 2 ≥2，且t ＝3﹣ 2，解得8≤a ＜9，因对任意给定的实数x，总有f（x+2）＝f（x），则函数y＝f（x）在R上的图象可由数y＝f（x）（x∈〖1，3））的图像向左向右每2个单位平移而得，于是得函数y＝f（x）在R上的值域为〖1，3），由x2＜3得：﹣＜x＜，当﹣3≤x＜﹣1 时，1≤x+4＜3，则f（x）＝f（x+2）＝f（x+4）＝x+4，由f（x）≥x2 得：x2≤x+4，解得≤x≤，则有≤x＜﹣1，当﹣1≤x＜1 时，1≤x+2＜3，则f（x）＝f（x+2）＝x+2，由f（x）≥x2 得：x2≤x+2，解得﹣1≤x≤2，则有﹣1≤x＜1，当1≤x＜3 时，由f（x）≥x2 得：x2≤x，解得0≤x≤1，则有x＝1，综上得：≤x≤1，所以不等式f（x）≥x2的解集是〖，1〗；（3）因对任意给定的实数x，总有f（3x）＝3f（x），n∈N*，当3n≤x＜3n+1时，有1 ，则f（x）＝f（3×）＝3f（3×）＝32f（）＝…＝3n f（）＝3n×＝x，n∈N*，当3﹣n≤x＜3﹣n+1 时，有1≤3n•x＜3，则f（x）＝f（3x）＝f（32x）＝…＝f（3n x）＝×3n x＝x，显然x≥1，函数y＝3x的值域是〖3，+∞），函数y＝3﹣x+1的值域是（0，1〗，则n取尽一切正整数，{x|3﹣n≤x＜3﹣n+1}∪{x|1≤x＜3}∪{x|3n≤x＜3n+1}＝（0，+∞），因此，当x∈（0，+∞）时，f（x）＝x，而y＝f（x）是R 上的奇函数，则当x∈（﹣∞，0）时，﹣x∈（0，+∞），f（x）＝﹣f（﹣x）＝x，又f（0）＝0，所以，x∈R，f（x）＝x，即函数f（x）的表达式是f（x）＝x．。
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题(解析版)
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2b =， 3c =B.2b =， 1c =-C.2b =-， 3c =D.2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=， 整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：100b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】由x ﹣2y +3z ＝0可推出y 32x z +=，代入2y xz中，消去y ，再利用均值不等式求解即可． 【详解】 ∵x ﹣2y +3z ＝0， ∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【点睛】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，属于中档题．3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【考点】充分条件、必要条件.4．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.二、填空题5．函数sin cos y x x =的最小正周期是______． 【答案】p 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.6．212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案】2【解析】利用等差数列的前n 项和公式求出分母后代入212n n lim n→∞++⋯+得答案．【详解】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++，故答案为：2． 【点睛】本题考查了数列的极限及等差数列求和公式，属于基础题． 7．函数()()()3log 212x f x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】由x ≥2，可得f (x )＝log 3(21)x -≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换即可得出反函数． 【详解】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2 (31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log +故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【点睛】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题． 8．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】写出二项式的展开式的通项，使得x 的指数为0，得到相应的r ，从而可求出常数项． 【详解】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________． 【答案】10【解析】先计算五个数据的平均数为8，再根据方差的计算公式，求出这五个数的方差即可． 【详解】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为：s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．10．双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案】【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与弦心距，半弦长的关系，求解即可． 【详解】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d=∴被圆C 截得的线段长为==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力． 11．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________． 【答案】512【解析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2，又∵a n a n +1=2n，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ，可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.【答案】5 2【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故12＝－12＋f(2)，则f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝32＋1＝52.13．将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a，第一次得到的点数记为b，则方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【答案】11 12【解析】所有的可能的结果（a，b）共有6×6＝36种，满足直线l1与l2平行的结果（a，b）共有3个，由此求得直线l1与l2平行的概率，用1减去直线l1与l2平行的概率，即得所求．【详解】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l1:ax+by=3与直线l2：x+2y=2相交，又所有的可能出现的结果（a，b）共有6×6＝36种，当直线l1与l2平行时，应有3 122a b=≠，故其中满足直线l1与直线l2平行的结果（a，b）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l1与l2平行的概率为336．又由a,b的意义可知两条直线不重合，故直线l1与l2相交的概率为1311 3612 -=，∴方程组有唯一解的概率为1311 3612 -=，故答案为：11 12．【点睛】本题考查古典概型及其对立事件的概率计算公式的应用，考查了两直线的位置关系，属于基础题．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________． 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，由等差数列的前n 项和的性质可得6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5，由不等式的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及性质的应用，考查了不等式的性质，关键求出a 2的范围．15．设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】（0，1）[3,+∞)【解析】由题意将问题转化为()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像数形结合得答案． 【详解】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）[3,+∞)．故答案为：（0，1）[3,+∞)．【点睛】本题考查函数的零点判定，考查数形结合与转化思想的解题方法，是中档题．16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________． 【答案】4【解析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由MN 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则MN ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即MA ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，MB ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （MA ）+Card （MB ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC 的，F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案】（1）c=2（2）sin 4BFC ∠=【解析】()1由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；()2由()1可得2a c ==，可求6A C π==，23ABC π∠=，由已知根据正弦定理sin 2CBF ∠=，由23CBF π∠≤，可求4CBF π∠=，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解sin BFC ∠的值． 【详解】()16C π=，2a =，ABC11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =∴由余弦定理可得：2c ===，()2由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=， 2CF =，sin CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
2024年上海市曹杨第二中学高一上学期期末考试数学试卷含详解
上海市曹杨二中2023学年度第一学期高一年级期终考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,，则A =____________.2.函数()f x =_________.3.函数21xy =-的反函数为____________.4.已知扇形的弧长为4cm ，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的大小为___________.5.已知正数a 、b 满足a +b =1，则a ·b 的最大值为_____．6.已知πsin sin 8x =，且π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x =___________.7.已知lg 2a =，103b=，则24log 5可以用a 、b 表示为_________.8.已知a ∈R ，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()3ax f x =.若()3log 24f =，则=a _________.9.已知a ∈R ，若函数()3312,1,1a x a x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，则a 的取值范围是________.10.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，并记{}[]x x x =-，例如{}10=，{}1.230.23=.则关于x 的方程{}10x x ⋅=在区间[]0,2024上解的个数为_________.11.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有112212()()x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为_____．12.已知b ∈R ，设函数()2log 2f x x x b=++在区间[](),10t t t +>上的最大值为()t M b .若(){}2tb M b ≥=R ，则正实数t 的最大值为_________.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分.13.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）A.11a b >； B.11a b a>-；C.a b >；D.22a b >．14.已知0a >且1a ≠，则“2a >”是“函数()2log a y a x =-是严格增函数”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件15.设方程2|lg |x x -=的两个根为12,x x ，则A.120x x < B.121=x x C.121x x > D.1201x x <<16.已知函数()y f x =满足()()111f x f x +=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =.若在区间(]1,1-上关于x 的方程()0f x mx m --=有且仅有一解，则实数m 的取值范围是（）.A.1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.{}10,2∞⎛⎫⋃+ ⎪⎝⎭三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知1a ≤，设集合111A x x ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}210B x x a x a =--->.（1）分别求集合A 和B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.18.（1）已知m ∈R ，若sin α、cos α是关于x 的一元二次方程()210x mx m -++=的两实根，求m 的值；（2）已知()0,πα∈，且1sin cos 3αα-=，求sin cos αα及()11πcos 2πcos 2αα++⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.19.某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式16y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式22014614t t y t t ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和.（1）若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数a 的取值范围.20.已知k ∈R ，设()()14122xxf x k k k =⋅+-⋅++.（1）若0k =，求函数()y f x =的值域；（2）已知0k <，若函数()y f x =的最大值为12，求k 的值；（3）已知01k <<，若存在两个不同的正实数m 、n ，使得当函数()y f x =的定义域为[],m n 时，其值域为1122m n ++⎡⎤⎣⎦，，求k 的取值范围.21.已知函数()y f x =的定义域为D .若存在实数a ，使得对于任意1x D ∈，都存在2x D ∈，使得()12x f x a +=，则称函数()y f x =具有性质()P a .（1）分别判断：2x y =及21y x =+是否具有性质()0P ；（结论不需要证明）（2）若函数()y f x =的定义域为D ，且具有性质()1P ，证明：“1D ∈”是“函数()y f x =存在零点”的充分非必要条件；（3）已知t ∈R ，设()22g x tx x =+，若存在唯一的实数a ，使得函数()y g x =，[]0,2x ∈具有性质()P a ，求t的值.上海市曹杨二中2023学年度第一学期高一年级期终考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）1.已知全集{}1,2,3,4,5U =，集合{}13,5A =,，则A =____________.【答案】{}2,4【分析】利用集合的补集运算即可得解.【详解】因为{}1,2,3,4,5U =，{}13,5A =,，所以A ={}2,4.故答案为：{}2,4.2.函数()f x =_________.【答案】【详解】试卷分析：首先考虑使函数解析式有意义的要求，，用区间表示成故答案为：(],1-∞考点：1.函数的定义域；2.解不等式组，3.区间表示法3.函数21x y =-的反函数为____________.【答案】()()2log 11y x x =+>-【分析】利用反函数的定义求解即可.【详解】因为21x y =-的反函数为21y x =-，所以12y x +=，则()()2log 11y x x =+>-.故答案为：()()2log 11y x x =+>-.4.已知扇形的弧长为4cm ，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的大小为___________.【答案】2【分析】根据弧长和面积求出扇形的半径，进而求出扇形的圆心角的大小.【详解】设扇形的半径为r ，圆心角的大小为θ，其中4l =cm ，则142lr =，解得2r =cm ，则422l r θ===.故答案为：25.已知正数a 、b 满足a +b =1，则a ·b 的最大值为_____．【答案】14【详解】114a b ab +=≥⇒≤故答案为：146.已知πsin sin8x =，且π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则x =___________.【答案】7π8【分析】根据诱导公式结合正弦函数性质分析求解.【详解】因为πsin sin08x =>，且π3π,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为ππ7πsin sinsin πsin 888x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，且7ππ,π82⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，结合sin y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，可得7π8x =.故答案为：7π8.7.已知lg 2a =，103b =，则24log 5可以用a 、b 表示为_________.【答案】13a a b-+【分析】利用指数、对数互化关系及对数换底公式求解即得.【详解】由103b =，得lg 3b =，而lg 2a =，所以243lg 51lg 21log 5lg(23)3lg 2lg 33aa b--===⨯++.故答案为：13a a b-+8.已知a ∈R ，()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x <时，()3axf x =.若()3log 24f =，则=a _________.【答案】2-【分析】先根据函数的奇偶性得到0x >时的解析式，再根据()3log 24f =，得到24a -=，求出2a =-.【详解】当0x >时，0x -<，则()3axf x --=，又()y f x =是定义在R 上的偶函数，故()()f x f x -=，则()3axf x -=，其中3log 20>，故()3log 2332log 2a a f --==，故24a -=，解得2a =-.故答案为：2-9.已知a ∈R ，若函数()3312,1,1a x a x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，则a 的取值范围是________.【答案】1235a <≤【分析】求出函数3y x =在1x ≤时的值域，根据给定条件确定当1x >时(31)2y a x a =-+的取值集合，再分类讨论求解即得.【详解】函数3y x =在(,1]-∞上单调递增，函数值集合为(,1]-∞，由函数()3312,1,1a x a x y x x ⎧-+>=⎨≤⎩的值域为R ，得函数(31)2y a x a =-+在1x >时的取值集合包含(1,)+∞当310a -<时，(31)2y a x a =-+在(1,)+∞上单调递减，函数值集合为(,51)a -∞-，不符合题意，当310a -=时，2,1y a x =>，函数值集合为{2}a ，不符合题意，当310a ->时，(31)2y a x a =-+在(1,)+∞上单调递增，函数值集合为(51,)a -+∞，由(51,)(1,)a +∞⊆-+∞，得511a -≤，解得25a ≤，由310a ->，得13a >，因此1235a <≤，所以a 的取值范围是1235a <≤.故答案为：1235a <≤10.对于实数x ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，并记{}[]x x x =-，例如{}10=，{}1.230.23=.则关于x 的方程{}10x x ⋅=在区间[]0,2024上解的个数为_________.【答案】2014【分析】画出(){}[]f x x x x ==-的函数图象，0不是方程{}10x x ⋅=的根，转化为()f x 与10y x=在(]0,2024的交点个数，数形结合得到答案.【详解】画出(){}[]f x x x x ==-的函数图象，如下：当0x =时，{}010x x ⋅=≠，0不是方程{}10x x ⋅=的根，当(]0,2024x ∈时，由{}10x x ⋅=得{}10x x=，故方程{}10x x ⋅=在区间(]0,2024上解的个数即为()f x 与10y x=在(]0,2024的交点个数，其中10y x=在(]0,2024上单调递减，当()0,10x ∈时，()101,y x=∈+∞，故两函数无交点，当[)10,11x ∈时，1010,111y x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()[)0,1f x ∈，有1个交点，同理当[)11,12x ∈时，10510,611y x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()[)0,1f x ∈，有1个交点，依次类推，……，当[)2023,2024x ∈时，10510,10122023y x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，()[)0,1f x ∈，有1个交点，当2024x =时，()0f x =，51012y =，2024不是方程{}10x x ⋅=的根，综上，()f x 与10y x=在(]0,2024的交点个数为2024102014-=.故答案为：201411.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)0f -=，若对任意的()12,,0x x ∈-∞，当12x x ≠时，都有112212()()0x f x x f x x x ⋅-⋅<-成立，则不等式()0f x <的解集为_____．【答案】()()101-∞-⋃，，；【详解】令()()g x xf x =,则()g x 为偶函数,且(1)0g -=,当0x <时,()g x 为减函数所以当11x -<<时,()0g x <;当11x x ><-或时,()0g x >;因此当01x <<时,()0f x <;当1x <-时,()0f x <,即不等式()0f x <的解集为()()101-∞-⋃，，点睛：利用函数性质解抽象函数不等式，实质是利用对应函数单调性，而对应函数需要构造.12.已知b ∈R ，设函数()2log 2f x x x b =++在区间[](),10t t t +>上的最大值为()t M b .若(){}2tb M b ≥=R ，则正实数t 的最大值为_________.【答案】13【分析】画出函数图象，数形结合得到当()()1f t f t =+时，()t M b 取得最小值，最小值为()f t ，并得到()21log 1212b t t t =-+--，从而得到不等式，求解解集，得到答案.【详解】画出()2log 2f x x x b =++的图象如下：故()()(){}max ,1t M b f t f t =+，由图象可知，当()()1f t f t =+时，()t M b 取得最小值，最小值为()f t ，此时1t m t <<+，()()()22log 2log 121t t b t t b -++=++++，则()21log 1212b t t t =-+--①，故只需要()2log 22t t b -++≥②，将①代入②得()221log 2log 12122t t t t t ⎛⎫-+-+--≥ ⎪⎝⎭，化简得114t t +≤，解得13t ≤，故正实数t 的最大值为13.故答案为：13二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分.13.若0a b <<，则下列不等式中不成立的是（）A.11a b >； B.11a b a>-；C.a b >；D.22a b >．【答案】B【分析】根据不等式的性质判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于选项A ：若0a b <<，则11a b>，故选项A 正确；对于选项B ：()()()11a a b ba b a a b a a b a---==---，因为0a b <<，所以()0b a b a <-，即110a b a-<-，所以11a b a <-，故选项B 不正确；对于选项C ：若0a b <<，则||||a b >，故选项C 正确；对于选项D ：若0a b <<，则22a b >，故选项D 正确，故选：B14.已知0a >且1a ≠，则“2a >”是“函数()2log a y a x =-是严格增函数”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分条件又非必要条件【答案】A【分析】根据充分性和必要性分别讨论即可.【详解】充分性：当“2a >”时，20a ->，log a y x =单调递增，则()2log a y a x =-是单调递增函数，充分性满足；必要性：当()2log a y a x =-是单调递增函数，则2a >或01a <<，必要性不满足，则“2a >”是“函数()2log a y a x =-是严格增函数”的充分不必要条件.故选：A15.设方程2|lg |x x -=的两个根为12,x x ，则A .120x x < B.121=x x C.121x x > D.1201x x <<【答案】D【分析】画出方程左右两边所对应的函数图像，结合图像可知答案．【详解】画出函数2xy -=与|lg |y x =的图像，如图结合图像容易知道这两个函数的图像有两个交点，交点的横坐标即为方程2|lg |x x -=的两个根12,x x ，结合图像可知101x <<，21x >，根据2xy -=是减函数可得1222x x -->，所以12lg lg x x >有图像可知12lg 0,lg 0x x <>所以12lg lg x x ->即12lg lg 0x x +<，则12lg lg1x x <，所以121x x <，而120x x >所以1201x x <<故选D【点睛】本题考查对数函数与指数函数的图像与性质，解题的关键是画出图像，利用图像解答，属于一般题．16.已知函数()y f x =满足()()111f x f x +=+，且当[]0,1x ∈时，()f x x =.若在区间(]1,1-上关于x 的方程()0f x mx m --=有且仅有一解，则实数m 的取值范围是（）.A.1,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭B.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.{}10,2∞⎛⎫⋃+⎪⎝⎭【答案】D【分析】求出函数()f x 在(]1,1-上的解析式，作出函数()f x 与(1)y m x =+的图象，数形结合即可求解.【详解】依题得：()()111f x f x =-+，当1()0x ∈-，时，1(0,1)x +∈，则()()1111111xf x f x x x -=-=-=+++，则函数()y f x =在区间(]11-，的解析式为,10()1,01xx f x x x x -⎧-<<⎪=+⎨⎪≤≤⎩，在区间(]11-，上关于x 的方程()0f x mx m --=有且仅有一解，即函数,10()1,01x x f x x x x -⎧-<<⎪=+⎨⎪≤≤⎩与函数(1)y m x =+在区间(]1,1-内有一个公共点，在同一平面直角坐标系作出,10()1,01x x f x x x x -⎧-<<⎪=+⎨⎪≤≤⎩与(1)y m x =+的图象，当直线(1)y m x =+经过点()1,1时，代入有12m =，12m =，由图可知{}10,2m ⎛⎫∈⋃+∞⎪⎝⎭.故选：D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知1a ≤，设集合111A xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，集合()(){}210B x x a x a =--->.（1）分别求集合A 和B ；（2）若A B A = ，求a 的取值范围.【答案】（1）{}01A x x =<<，{1B x x a =>+或}2x a <（2）(]1,1,12⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）解分式不等式得到{}01A x x =<<，结合1a ≤，求出{1B x x a =>+或}2x a <；（2）根据交集的结果得到包含关系，从而得到不等式，求出a 的取值范围.【小问1详解】1111000111x x x x x -+->⇒>⇒<---,解得01x <<，故{}01A x x =<<，因为1a ≤，所以()2110a a a -+=-≤，故21a a ≤+，故{1B x x a =>+或}2x a <；【小问2详解】因为A B A = ，所以A B ⊆，故21a ≥或10a +≤，结合1a ≤，解得112a ≤≤或1a ≤-，故a 的取值范围是(]1,1,12⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦ .18.（1）已知m ∈R ，若sin α、cos α是关于x 的一元二次方程()210x mx m -++=的两实根，求m 的值；（2）已知()0,πα∈，且1sin cos 3αα-=，求sin cos αα及()11πcos 2πcos 2αα++⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）1m =-；（2）49；3174【分析】（1）利用韦达定理可得sin cos sin cos 1m m αααα+=⎧⎨⋅=+⎩，同角三角关系分析求解，注意0∆>；（2）根据sin cos ,sin cos αααα±⋅之间的关系结合诱导公式运算求解.【详解】（1）由题意可知：()2Δ410m m =-+>，解得2m >+或2m <-，且sin cos sin cos 1m m αααα+=⎧⎨⋅=+⎩，又因为()2sin cos 12sin cos αααα+=+⋅，即()2121m m =++，整理得2230m m --=，解得1m =-或3m =（舍去），所以1m =-；（2）因为1sin cos 3αα-=，且()2sin cos 12sin cos αααα-=-⋅，即112sin cos 9αα=-⋅，可得4sin cos 09αα⋅=>，且()0,πα∈，可知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，又因为()217sin cos 12sin cos 9αααα+=+⋅=，且sin cos 0αα+>，可得sin cos 3+=αα，所以()1111sin cos πcos 2πcos sin sin cos 4cos 2αααααααα++=+==+⎛⎫- ⎪⎝⎭.19.某机构为了研究某种药物对某种疾病的治疗效果，准备利用小白鼠进行试验，研究发现，药物在血液内的浓度与时间的关系因使用方式的不同而不同：若使用注射方式给药，则在注射后的4小时内，药物在白鼠血液内的浓度1y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式16y at =-（0a >，a 为常数）；若使用口服方式给药，则药物在白鼠血液内的浓度2y （单位：毫克/升）与时间t （单位：小时）满足关系式22014614t t y t t ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，，现对小白鼠同时进行注射和口服该种药物，同时使用两种方式给药后，小白鼠血液中药物的浓度等于单独使用每种方式给药的浓度之和.（1）若1a =，求4小时内，该小白鼠何时血液中药物的浓度最高，并求出最大值；（2）若小白鼠在用药后4小时内血液中的药物浓度都不低于6毫克/升，求正数a 的取值范围.【答案】（1）当2t =时血液中药物的浓度最高，最大值为8（2）50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦【分析】（1）根据题意建立函数关系式，进而结合二次函数最值求法和基本不等式求得答案；（2）由题意可知6,04y t ≥≤≤，讨论01t <<和14t ≤≤两种情况，根据恒成立问题，结合一次函数和二次函数的性质分析求解.【小问1详解】当1a =时，药物在白鼠血液内的浓度y 与时间t 的关系为126,01412,14t t y y y t t t +≤<⎧⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，①当01t ≤<时，67y t =+<；②当14t ≤≤时，因为44t t+≥，当且仅当2t =时，等号成立，所以当2t =时，max 1248y =-=；且78<，所以当2t =时，血液中药物的浓度最高，最大值为8．【小问2详解】由题意可得()1226,01412,14a t t y y y at t t ⎧-+≤<⎪=+=⎨⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，由题意可知6,04y t ≥≤≤，且0a >，①当01t ≤<时，即()266a t -+≥，则66266a =⎧⎨-+≥⎩，解得02a <≤；②当14t ≤≤时，即4126at t ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，可得246a t t≤-+，令11,14v t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则223946444a v v v ⎛⎫≤-+=--+ ⎪⎝⎭，则239594,4444v ⎛⎫⎡⎤--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故504a <≤．综上所述：正数a 的取值范围为50,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．20.已知k ∈R ，设()()14122x x f x k k k =⋅+-⋅++.（1）若0k =，求函数()y f x =的值域；（2）已知0k <，若函数()y f x =的最大值为12，求k 的值；（3）已知01k <<，若存在两个不同的正实数m 、n ，使得当函数()y f x =的定义域为[],m n 时，其值域为1122m n ++⎡⎤⎣⎦，，求k 的取值范围.【答案】（1）1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭（2）1k =-（3）1,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合指数函数性质分析求解；（2）令20x t =>，可得()()21102y kt k t k t =+-++>的最大值为12，结合二次函数性质分析求解；（3）令21x t =>，由题意可知()()2112g t kt k t k =-+++在()1,∞+内有两个零点，结合二次函数零点分布求解.【小问1详解】若0k =，则()122xf x =+，因为20x >，则()11222x f x =+>，所以函数()y f x =的值域为1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【小问2详解】令20x t =>，则()2112y kt k t k =+-++，因为0k <，可知()2112y kt k t k =+-++开口向下，对称轴为102k t k-=>，当12k t k -=，二次函数取到最大值()2111112222k k k k k k k --⎛⎫⎛⎫+-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得23210k k +-=，解得1k =-或13k =，且0k <，所以1k =-.【小问3详解】令21x t =>，则因为01k <<，()2112y kt k t k =+-++开口向上，对称轴102k t k-=<，可知()2112y kt k t k =+-++在()1,∞+内单调递增，且2x t =在()0,∞+内单调递增，可知()f x 在()0,∞+内单调递增，由题意可知：()12x f x +=至少有2个不同的正根，即()1141222x x x k k k +⋅+-⋅++=，整理得()141202x x k k k ⋅-+⋅++=，可得()()2112g t kt k t k =-+++在()1,∞+内有两个零点，且01k <<，则()()21Δ14021121102k k k k k g k ⎧⎛⎫=+-+> ⎪⎪⎝⎭⎪⎪+>⎨⎪⎪=->⎪⎩，解得1323k <<，所以k 的取值范围13,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.21.已知函数()y f x =的定义域为D .若存在实数a ，使得对于任意1x D ∈，都存在2x D ∈，使得()12x f x a +=，则称函数()y f x =具有性质()P a .（1）分别判断：2x y =及21y x =+是否具有性质()0P ；（结论不需要证明）（2）若函数()y f x =的定义域为D ，且具有性质()1P ，证明：“1D ∈”是“函数()y f x =存在零点”的充分非必要条件；（3）已知t ∈R ，设()22g x tx x =+，若存在唯一的实数a ，使得函数()y g x =，[]0,2x ∈具有性质()P a ，求t 的值.【答案】（1）2x y =不具有性质()0P ，21y x =+具有性质()0P ，理由见解析（2）证明见解析（3）12-或354--【分析】（1）根据新定义判断即可；（2）由定义结合必要不充分条件证明即可；（3）将问题转化为[]2,a a F -⊆，再对t 进行分类讨论，求得()g x 的值域，结合a 的唯一性求得t 的值，从而得解.【小问1详解】2x y =不具有性质()0P ，21y x =+具有性质()0P ，理由如下：因为指数函数2x y =的定义域为R ，对于0a =，11x =，2120x +>恒成立，所以不存在2R x ∈满足()120x f x +=，因此函数2x y =不具有性质()0P ；因为一次函数21y x =+的定义域为R ，对于0a =，1R x ∈，取121R 2x x +=-∈，则12210x x ++=，因此21y x =+具有性质()0P .【小问2详解】当1D ∈时，由于函数()y f x =具有性质()1P ，取11x =，则存在2x D ∈，使得()()12211x f x f x +=+=，所以()20f x =，因此函数()y f x =存在零点2x ，即充分性成立；当函数()y f x =存在零点时，设()41f x x =-，10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则104f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为对于任意110,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，取211124x x =-，则2311,0,822x ⎡⎤⎡⎤∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，且满足()12111141124x f x x x ⎛⎫+=+--= ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =具有性质()1P ，但110,2⎡⎤∉⎢⎥⎣⎦，即必要性不成立；因此“1D ∈”是“函数()y f x =存在零点”的充分非必要条件.【小问3详解】依题意，存在唯一的实数a ，使得函数()22g x tx x =+，[]0,2x ∈具有性质()P a ，即存在唯一的实数a ，对任意[]10,2x ∈，都存在[]20,2x ∈满足12()x g x a +=，即()21g x x a =-+，因为102x ≤≤，则120x -≤-≤，故12a x a a -≤-+≤，记()g x 的值域为F ，则[]2,a a F -⊆，当0=t 时，()2g x x =，02,024x x ≤≤≤≤，即[]0,4F =，所以204a a -≥⎧⎨≤⎩，得24a ≤≤，显然a 不唯一，不符合题意；当0t ≠时，()22g x tx x =+的对称轴为1x t=-，44t ∆=-，当0t >，即10t -<时，()22g x tx x =+在[]0,2上递增，所以[]0,44F t =+，所以2044a a t -≥⎧⎨≤+⎩，得244a t ≤≤+，由于a 唯一，所以244t =+，解得12t =-，不符合题意；当102t -≤<，即12t-≥时，()22g x tx x =+在[]0,2上递增，所以[]0,44F t =+，则2044a a t -≥⎧⎨≤+⎩，得244a t ≤≤+，由于a 唯一，所以244t =+，解得12t =-，符合题意；当112t -≤<-，即112t≤-<时，()g x 的最大值是11g t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值是()00f =，则10,F t ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，所以201a a t -≥⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得12a t ≤≤-，由于a 唯一，所以12t =-，解得12t =-，不符合题意；当1t <-，即101t <-<时，()g x 的最大值是11g t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，最小值是()244g t =+，则144,F t t ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，所以2441a t a t -≥+⎧⎪⎨≤-⎪⎩，得146t a t +≤≤-，由于a 唯一，所以146t t +=-，解得354t --=（354-舍去），满足题意；综上，t 的值为12-或354--.【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点：（1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点（2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件（3）含有参数是要注意分类讨论的思想.。
2022-2023学年上海市曹杨高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年上海市曹杨第二中学高一上学期期末数学试题一、填空题1．若角的终边经过点，则实数的值为_______.120()1,P a -a【分析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出的值.a【详解】由诱导公式得()tan120tan 18060tan 60=-=-=另一方面，由三角函数的定义得tan1201aa ==-=- a =【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题.2．函数________．()f x =【答案】[2，+∞）【详解】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.()f x 2log 10x -≥2x ≥()f x [2,)+∞点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.3．已知幂函数的图象过点，则的单调减区间为______．()f x 1(2,)4()f x 【答案】(0,)+∞【分析】由已知可设,由题意有，解得,即,再结合函数的单()f x x α=1(2)4f =2α=-2()f x x -=()f x 调性可得解.【详解】解:因为为幂函数,()f x 设,()f x x α=由函数的图象过点，()f x 1(2,)4则,即,124α=2α=-即,2()f x x -=故的单调减区间为,()f x (0,)+∞故答案为 .(0,)+∞【点睛】本题考查了幂函数解析式的求法及幂函数的单调性，重点考查了幂函数的定义，属基础题.4．设为常数，集合，集合，则的元素个数为a ()21,1A x y y x ⎧⎫==⎨⎬+⎩⎭(){},B x y x a ==A B ⋂__________．【答案】1【分析】由交集定义可确定，由此可得元素个数.A B ⋂【详解】，的元素个数为.()221,,111x aA B x y a a y x ⎧⎫=⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎛⎫⋂==⎨⎨⎬⎨⎬⎪+=⎝⎭⎩⎭⎪⎪⎪+⎩⎩⎭ A B ∴ 1故答案为：.15．设a 、b 为常数，若关于x 的不等式的解集为，则__________．230ax x --<()1,b -b =【答案】32【分析】分别讨论、，其中时，根据解集为得，均为0a =0a ≠0a ≠()1,b -0a >1,x x b =-=的根，即可列式求解.230ax x --=【详解】当，不等式的解集为，与题意不符；0a =230ax x --<()3,-+∞当，不等式的解集为，则，∴为的根，且0a ≠230ax x --<()1,b -0a >1,x x b =-=230ax x --=，则，解得.1b >-1131b a b a ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⋅=-⎪⎩32,2a b ==故答案为：326．设函数的反函数为．若，则__________．()210y x x =+≥()1y f x -=()12f a -==a 【答案】5【分析】根据反函数的性质即可求解.【详解】，,且2()1f x x =+0x ≥()12f a -=所以，所以，2(2)21f a =+=5a =故答案为：.57．己知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则函数的值()y f x =R 0x ≤()21x f x =-()y f x =域为__________．【答案】()1,1-【分析】根据函数的奇偶性得到函数解析式，画出函数图像，根据图像得到值域.【详解】当时，，则，0x >0x -<()()()2121x x f x f x --=--=--=-+故，画出函数图像，如图所示：()21,021,0x xx f x x -⎧-+>=⎨-≤⎩根据图像知，函数值域为.()1,1-故答案为：()1,1-8．己知函数满足：对任意非零实数x ，均有，则__________．()y f x =2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()3f =【答案】7【分析】取，则，得到答案.13x x +=2221127⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭x x x x 【详解】，取，则，即.2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭13x x +=2221127⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭x x x x ()37f =故答案为：79．若，则__________．sin cos 1sin cos 2αααα-=+2sin cos cos ααα+=【答案】##0.425【分析】根据得到，变换，计算得到答案.sin cos 1sin cos 2αααα-=+tan 3α=22tan 1sin cos cos 1tan ααααα++=+【详解】，解得，sin cos tan 11sin cos tan 12αααααα--==++tan 3α=.22222sin cos cos tan 1312sin cos cos sin cos 1tan 105αααααααααα++++====++故答案为：2510．已知，设函数的表达式为．若存在，，使得13a <<()y f x =()4f x x x =+[]11,x a ∈[]2,3x a ∈，则实数a 的最大值为__________．()()12452f x f x ⋅≥【分析】先分析出，由的值可得，转化为()()12max max 452f x f x ⋅≥()()1,3f f ()()45132f f ⋅<，求出实数a 的最大值.()()2145a f f ⋅≥【详解】因为存在，，使得，[]11,x a ∈[]2,3x a ∈()()12452f x f x ⋅≥所以只需.()()12max max 452f x f x ⋅≥由对勾函数的性质可知：在上单减，在上单增.()4f x x x =+[]1,2[]2,3而，，且在上的最小值为，()1145f =+=()4133333f =+=()4f x x x =+[]1,3()42242f =+=在上的最大值为，所以恒成立.()4f x x x =+[]1,3()15f =()0f x >所以.()()1max 15f x f ==设，解得：.()()43f m m f m =+=43m =因为，，()()13f f >()()136545135332f f ⋅=⨯=<所以要使成立，只需，即解得：()()12452f x f x ⋅≥()()451243f f a a ⎧⋅≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩4554243a a a ⎧⎛⎫⨯+≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪≤⎪⎩a ≤由，所以13a <<1a ≤<故实数a ..11．若实数a 、b 、c 满足，则的最大值为__________．221a b c +=≤a b c +-【答案】##0.512【分析】利用基本不等式得到转化为，利用二次a b +≤a b c +-a b c c +-≤函数求出最大值.【详解】因为，所以()()2222222a b a ab b a b +=++≤+a b +≤a b +≤所以.a b c c +-≤因为，所以，所以.221a b c +=≤01c ≤≤01≤≤因为，212a b c c +-≤=-+取得最大值.=a b c +-12故答案为：.1212．已知，若函数，恰有两个零点，则a 的取值范围是a ∈R ()()1,122,1a x y xx a x a x ⎧-<⎪=-⎨⎪--≥⎩__________．【答案】1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】令，对两根的来源进行分析，对分类讨论，分别求出对应的范围.0y =a 【详解】当时，令可得：或，均无解，不符合题意；0a =0y =1102x x <⎧⎪⎨=⎪-⎩()()1000x x x ≥⎧⎨--=⎩当时，令可得：或 0a ≠0y =1102x a x <⎧⎪⎨-=⎪-⎩()()120x x a x a ≥⎧⎨--=⎩若，由解得：符合题意.01a <<1102x a x <⎧⎪⎨-=⎪-⎩121x a =-<因为函数恰有两个零点，所以只有一解，()y f x =()()120x x a x a ≥⎧⎨--=⎩所以符合题意，此时.21x a =≥12a ≥即.112a ≤<若或时，无解；0a ≤1a ≥1102x a x <⎧⎪⎨-=⎪-⎩要使函数恰有两个零点，则有两解，()y f x =()()120x x a x a ≥⎧⎨--=⎩所以需，解得：.21a a >≥1a ≥综上所述：.12a ≥所以a 的取值范围是.1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故答案为：1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、单选题13．已知是第四象限的角，则点在（ ）．α()tan ,cos P ααA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据题意，由所在象限可判断三角函数的符号，可得 ，可得答案．αtan 0,cos 0αα<>【详解】根据题意， 是第四象限角，则，αtan 0,cos 0αα<>则点在第二象限,()tan ,cos P αα故选：．B 14．己知非零实数满足，则下列不等式中恒成立的是（ ）．,a b a b >A ．B ．22a b>11a b >C ．D ．22a b ab >22a b ba >【答案】D【分析】通过反例可知ABC 错误；采用作差法可知D 正确.【详解】对于A ，若，，则，A 错误；1a =2b =-22a b <对于B ，若，，则，B 错误；2a =1b =11a b <对于C ，若，，则，C 错误；0a >0b <220a b ab <<对于D ，，332222a b a b b a a b --=为上的增函数，，，即，D 正确.3y x = R 33a b ∴>220a b b a ∴->22a bba >故选：D.15．“北溪”管道泄漏事件的爆发，使得欧洲能源供应危机成为举世瞩目的国际公共事件．随着管道泄漏，超过8万吨类似甲烷的气体扩散到海洋和大气中，将对全球气候产生灾难性影响．假设海水中某种环境污染物含量P （单位：mg/L ）与时间t （单位：天）之间的关系为：，其中0ektP P -=⋅表示初始含量，k 为正常数．令为之间的海水稀释效率，其中、分别表示0P 2121P P t t μ-=-[]12,t t 1P 2P 当时间为、时的污染物含量．某研究团队连续20天不间断监测海水中该种环境污染物含量，1t 2t 按照5天一期进行记录，共分为四期，即、、、分别记为Ⅰ期、Ⅱ期、[]0,5[]5,10[]10,15[]15,20Ⅲ期、Ⅳ期，则稀释效率最高的是（ ）．A ．Ⅰ期B ．Ⅱ期C ．Ⅲ期D ．Ⅳ期【答案】A【分析】根据题意分别表示出，然后利用指数函数的性质比较可得结论.1234,,,μμμμ【详解】由于，其中表示初始含量，k 为正常数，令为之间的海水稀0e ktP P -=⋅0P 2121P P t t μ-=-[]12,t t 释效率，所以第Ⅰ期的，55001(e 1)(1e )505k k P P μ----==-同理第Ⅱ期的5502e (1e )5k k P μ---=第Ⅲ期的，10503e (1e )5k k P μ---=第Ⅳ期的，15504e (1e )5k k P μ---=因为，0k >所以，051015k k k >->->-所以，510151e e e kk k --->>>所以，1234μμμμ>>>所以稀释效率最高的是Ⅰ期，故选：A 16．已知函数是区间上的严格减函数，且其零点为，则“”是“存在非零实()y f x =(),-∞+∞0x00x >数a ，使得对任意成立”的（ ）．()()()f x a f x f a +<+x ∈R A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】C【分析】根据题意，先判断充分性，再判断必要性即可求解.【详解】由题意，函数是区间上的严格减函数，且零点为，则.()y f x =(),-∞+∞0x()0=0f x 先判断充分性：由，则令，则有，00x >0a x =()()()()()00f x a f x x f x f x f x +=+<=+故存在非零实数a ，使得对任意成立.()()()f x a f x f a +<+x ∈R 所以“”是“存在非零实数a ，使得对任意成立”的充分条件.00x >()()()f x a f x f a +<+x ∈R 再判断必要性：存在非零实数a ，使得对任意成立，()()()f x a f x f a +<+x ∈R 因此有，即，()()()00f x a f x f a +<+()()0f x a f a +<所以，即.0x a a +>00x >所以“”是“存在非零实数a ，使得对任意成立”的必要条件.00x >()()()f x a f x f a +<+x ∈R 综上所述，“”是“存在非零实数a ，使得对任意成立”的充要条件.00x >()()()f x a f x f a +<+x ∈R 故选：C.三、解答题17．己知集合，集合．212x A x x ⎧⎫=<⎨⎬+⎩⎭{}2B x x a =-≤(1)当时，求；1a =-A B ⋃(2)若“”是“”的充分条件，求实数a 的取值范围．x B ∈x A ∉【答案】(1)；{}|32A B x x ⋃=-≤<(2)或.{|4a a ≤-}4a ≥【分析】（1）解出集合，进而求；（2）先求出，利用集合的包含关系列不等式，即,A B A B ⋃U A 可求解.【详解】（1），.{}2|1|222x A x x x x ⎧⎫=<=-<<⎨⎬+⎩⎭{}{}|||2|22B x x a x a x a =-≤=-≤≤+当时，.1a =-{}|31B x x =-≤≤因为，所以.{}|22A x x =-<<{}|32A B x x ⋃=-≤<（2）因为，所以或.{}|22A x x =-<<{U |2A x x =≤- }2x ≥因为“”是“”的充分条件，x B ∈x A ∉所以，所以或，U B A ⊆ 22a +≤-22a -≥解得：或.4a ≤-4a ≥所以实数a 的取值范围为或.{|4a a ≤-}4a ≥18．己知函数的表达式为．()y f x =()()21f x x x x a=-+-(1)若，求方程的解集；1a =()1f x =(2)若函数在区间上是严格减函数，求实数a 的取值范围．()y f x =(),-∞+∞【答案】(1){}[)11,-⋃+∞(2)(],1-∞-【分析】（1）对x 分类讨论得的分段函数，再解分段函数方程即可；()f x （2）函数在区间上是严格减函数，由分段函数为减函数列不等式求解即可.()y f x =(),-∞+∞【详解】（1），()()()()221,121,a x a x a f x x x x a x a x a x a ⎧-+≥⎪=-+-=⎨---<⎪⎩当，即，故当；当.1a =()21,121,1x f x x x ≥⎧=⎨-<⎩()1,1x f x ³=()21,2111x f x x x <=-=Þ=-故所求解集为.{}[)11,-⋃+∞（2）∵函数在区间上是严格减函数，则有,解得，故实数a 的取()y f x =(),-∞+∞112a a a <⎧⎪⎨-≥⎪⎩1a ≤-值范围为(],1-∞-19．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度v 和车流密度x 满足关系式：．研究表明：当隧道内的车流50,030665,30120160x x v k x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩(0)k >密度时造成堵塞，此时车流速度．120x =0v =(1)若车流速度，求车流密度x 的取值范围；40v ≥(2)定义隧道内的车流量为，求隧道内的车流量y 的最大值，并指岀当车流量最大时的车流y x v =⋅密度x ．【答案】(1)(0,56](2)的最大值为，此时车流密度为.y 260080【分析】(1)根据时，求出的值，然后分段讨论车流速度时车流密度x 的取值，120x =0v =k 40v ≥进而得出结论；(2)根据题意得出关于的函数表达式，根据的取值范围讨论车流量y 的最大值，最后进行比较y x x 得出结果.【详解】（1）由题意可知：当时，，120x =0v =所以，解得：，065160120k=--2600k =所以，50,0306260065,30120160x x v x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪-⎩当时，，解得：，所以；030x <≤50406xv =-≥60x ≤030x <≤当时，，解得：，所以，30120x <≤26006540160v x =-≥-56x ≤3056x <≤综上：车流速度，车流密度x 的取值范围为.40v ≥(0,56]（2）由题意可得：，25,0306260065,30120160x x x y x v x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⋅=⎨⎪-<≤⎪-⎩当时，，030x <≤()()22211503001503750666x y x x x x =-=--=--+由二次函数的性质可知：当时，取最大值为；30x =y 1350当当时，30120x <≤1600x ->26004040(160)64006565()65[]160160160x x x y x x x x x x -+=-=-=+---640065[(160)200]160x x =-++-640065[(160)200]160x x=--+--（当且仅当，即时取等）6522002600⎛⎫≤--= ⎪ ⎪⎝⎭6400160160x x -=-80x =所以当时，取最大值为，80x =y 2600综上可知： 的最大值为，此时车流密度为.y 26008020．设a 是大于1的常数，，己知函数是奇函数．()x xf x a m a -=+⋅()y f x =(1)求实数m 的值；(2)若对任意的实数x ，关于x 的不等式均成立，求实数k 的取值范围；()()2220f x x f x k -+++<(3)证明：关于x 的方程有且仅有一个实数解；设此实数解为，试比较与()1x f x a x -=-0x 0x 的大小．()0log 2a x -【答案】(1)1m =-(2)9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭(3)见解析【分析】（1）由是奇函数可得，即可求出实数m 的值；()y f x =()000=0f a m a =+⋅（2）由函数的奇偶性化简抽象不等式，利用单调性可得对任意的实数x 恒成立，即2230x x k -->，解不等式即可得出答案.()Δ9420k =+⨯⋅-<（3）设，进而得唯一实数根，使得，即()()11x xg x f x a a x x -=--=-01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00g x =，故，再结合得得答案.0010x a x -=00log 0a x x +=0012x x +>()00001log 2log log a aa x x x x -<=-=【详解】（1）己知函数是奇函数，()x xf x a m a -=+⋅，解得：()000=0f a m a =+⋅1m =-所以.()()1x x f x a a a -=->（2）对任意的实数x ，关于x 的不等式均成立，()()2220f x x f x k -+++<则，因为函数是奇函数，()()222f x x f x k -+<-+()y f x =所以，()()()2222f x x f x k f x k -+<-+=--因为，，所以在上单调递增，()x xf x a a -=-1a >()x x f x a a -=-R 所以对任意的实数x 恒成立，222x x x k -+<--所以对任意的实数x 恒成立，2230x x k -->所以，解得：.()Δ9420k =+⨯⋅-<98k <-实数k 的取值范围为；9,8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（3）设，()()11x xg x f x a a x x -=--=-因为当时，，(),0x ∈-∞()0g x <所以在区间上无实数根，()0g x =(),0∞-当时，因为，，()0,x ∈+∞()110g a =-<110a g a a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以，使得，01,1x a ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭()00g x =又在上单调递减，()1x g x a x =-()0,∞+所以存在唯一实数根；()0g x =01,1x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以方程有且仅有一个实数解.()1x f x a x -=-因为，所以，001x a x -=00log 0a x x +=又，所以，0012x x +>0012x x -<所以.()00001log 2log log a aa x x x x -<=-=所以()00log 2a x x -<21．已知函数在区间上有定义，实数a 、b 满足．若在区间()y f x =[)1,+∞1a b ≤<()y f x =上不存在最小值，则称函数在区间上具有性质P ．(],a b ()y f x =(],a b(1)若函数在区间上具有性质P ，求实数m 的取值范围；y x m=-(]1,2(2)已知函数满足，且当时，．试判断函数()y f x =()()()11f x f x x +=-∈R 12x <≤()f x x =在区间上是否具有性质P ，并说明理由；()y f x =(]1,4(3)已知对满足的任意实数a 、b ，函数在区间上均具有性质P ，且对任意正1a b ≤<()y f x =(],a b 整数n ，当时，均有．证明：当时，(),1x n n ∈+()()()()()()11f n f x f x f n f n f n -+-+=-+1x ≥．()()2f x f x >【答案】(1)；{}1m m ≤(2)在区间具有性质；()y f x =(]1,4P (3)证明见详解.【分析】（1）分别讨论与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出的取值范围；m ()f x m （2）由题目条件可得出在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到，找()y f x =(]1,4(]3,4到函数在区间上单调性，确定最小值是否存在；(]3,4（3）首先证明对于任意，，当时，，*n ∈N ()(1)f n f n <+(],1x n n ∈+()()(1)f n f x f n <≤+，，再证得结果．(]2,222x n n ∈+21n n ≥+【详解】（1），当时，函数在区间上单调递减，在区间,,m x x my x m x m x m -<⎧=-=⎨-≥⎩(1,2]m ∈()1,m 上单调递增，存在最小值；(],2m y x m=-()f m 当时，在区间上单调递减，最小值为；m>2y x m =-(]1,2(2)f 当时，在区间上单调递增，不存在最小值；1m £y x m=-(]1,2所以实数m 的取值范围为．{}1m m ≤（2）因为时，，当时，．1x >()()()11f x f x f x +=-<12x <≤()f x x =所以在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到.()f x (]1,4(]3,4另一方面，由可得，故，在区间()()11f x f x +=-()()11f x f x =--,12()2,234,34x x f x x x x x <≤⎧⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩()f x 上单调递增，不存在最小值，(]3,4所以在区间具有性质．()y f x =(]1,4P （3）对于任意， 当时，*n ∈N (,1)x n n ∈+有,|()()||()(1)||()(1)|f n f x f x f n f n f n -+-+=-+所以，[][]()()()(1)0f n f x f x f n --+≥若成立，，在区间上有最小值，所以在(1)()()f n f x f n +≤≤()(1)f n f n ≥+()f x (],1n n +(1)f n +()f x 区间上有最小值，不具有性质，不合题意，(],a b ()f b P 所以，当时，，故在区间上没有最小值，满()(1)f n f n <+(],1x n n ∈+()()(1)f n f x f n <≤+()f x (],a b 足题意，当时，显然成立；1x =()()21f f >当时，则一定存在，使得时，则，，1x >*n ∈N (],1x n n ∈+(]2,222x n n ∈+21n n ≥+，即．()()()()221f x f n f n f x ∴>≥+≥(2)()f x f x >所以综上所述：当时，．1x ≥(2)()f x f x >【点睛】方法点睛：（1）含有绝对值的函数求最值，首先去掉绝对值，转化为分段函数，由每一段的单调性考查最值情况；（2）具有递推关系的函数，需要根据自变量的取值范围进行推理，用已知段的函数变形表示；（3）绝对值不等式，注意等号成立条件，等号成立条件.a b a b+≤+0ab ≥a b a b-≤+0ab ≤。
上海市曹杨二中2019年高一下期末数学试题
期终考试数学试卷 （）一、填空题：(1-6题每题4分,7-12题每题5分,共54分)1.已知向量(3,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为 .2.若120角的终边经过点(1,)P a -，则实数a 的值为 .3.已知向量(4,3)a =，则a 的单位向量0a 的坐标为 .4.在等差数列{}n a 中，155a a +=，43a =，则8a 的值为 .5. 若,a b 为单位向量，且2()3a ab ⋅+=，则向量,a b 的夹角为 .（用反三角函数值表示） 6.已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,3)b =，则||a b -的最大值为 .7.若4sin25θ=，且sin 0θ<，则θ是第 象限角. 8.已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC •的取值范围是 . 9.若当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ= .10. 走时精确的钟表,中午12时,分针与时针重合于表面上12的位置,则当下一次分针与时针重合时,时针转过的弧度数的绝对值等于 .11. 如图, P 为ABC ∆内一点,且1135AP AB AC =+,延长BP 交AC 于点E ,若AE AC λ=,则实数λ的值为 .12. 为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++= .二、选择题（每题5分，满分20分）13. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,若{}n a 的前10项之和大于前21项之和,则（ ）A ．0d <B ．0d > C. 160a < D ．160a >14.已知数列{}n a 满足1(1)n n n n a a a +=+-*()n N ∈，则42a a 的值为（ ） A ．1615 B ．43 C. 13 D ． 8315.在非直角ABC ∆中，“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要16.在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA •=•=•，则角A 的大小为（ ）A ．4π B ．3πC. 23π D ． 34π三、解答题：共76分.17. 设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =.（1）若()//a tb c +，求实数t 的值；（2）求c 在a 方向上的投影.18. 已知方程20x mx n ++=有两根12,x x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.（1）当m =4n =时，求αβ+的值；（2）当sin m θ=-，cos n θ=（0θπ<<）时，用θ表示αβ÷.19. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ,现打算用它们和两面成直角的墙,OM ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB (假设,OM ON 这两面墙都足够长)已知||||10PA PB == (米),4AOP BOP π∠=∠=,OAP OBP ∠=∠，设OAP θ∠=,四边形OAPB 的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围； （2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.20. 已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤<的最小正周期为2π,且其图像的一个对称轴为2x π=,将函数()f x 图像上所有点的橫坐标缩小到原来的12倍,再将图像向左平移4π个单位长度,得到函数()g x 的图像.(1)求()f x 的解析式,并写出其单调递增区间；(2)求函数()()y f x g x =-在区间[0,2]π上的零点；(3)对于任意的实数t ,记函数()f x 在区间[,]2t t π+上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,求函数()()()h t M t m t =-在区间[0,]π上的最大值.21. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别为,,a b c , R 为ABC ∆的外接圆半径.(1)若2R =,2a =,45B =,求c ；(2)在ABC ∆中,若C 为钝角,求证: 2224a b R +<；(3)给定三个正实数,,a b R ,其中b a ≤,问: ,,a b R 满足怎样的关系时,以,a b 为边长, R 为外接圆半径的ABC ∆不存在,存在一个或存在两个(全等的三角形算作同一个)在ABC ∆存在的情兄下,用,,a b R 表示c .试卷答案一、填空题43(,)555.1arccos3π-7.三 8. [2,2]-9. 10.211 11.31012.二、选择题14. B 15. C三、解答题17.（1）8t=（2）18.（1）由韦达定理可得，12x x m+=-=-124x x n==，而1tan xα=，2tan xβ=，所以tan()14αβ-+==-3παβ+=（2）22sin cossin22tan()tan1cos222sin2θθθπθαβθθ⎛⎫+===-⎪-⎝⎭，22πθαβ+=-19.（1）在PAO∆中，由正弦定理，得||||||3sin sinsin44OA OP PAπθπθ===⎛⎫-⎪⎝⎭于是3||4OA πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，||OP θ=13||||sin sin()244PAO S OA OP ππθθ∆==-所以四边形OAPB 的面积为3sin 4S θπθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1130,,444θπππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）3sin 4S θπθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2100(sin cos sin )θθθ=+11cos 2100sin 222θθ-⎛⎫=+⎪⎝⎭2504πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，1130,,444θπππ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，当38πθ=时，四边形OAPB 的面积S 取得最大值max 1)S =. 20.（1）221||T ππωω==⇒=，2x π=为其中一个对称轴，则sin 122f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2022k ππϕπϕ+=+⇒=，所以()sin f x x =，单调递增区间为2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（2）由题意得()cos 2g x x =，则2()()sin cos 22sin sin 1y f x g x x x x x =-=-=+-，令0y =，解得1sin 2x =或-1，因为[0,2]x π∈，所以6x π=，56π，32π（3）[0,]4t π∈时，()1M t =，()()m t f t =；(,]42t ππ∈，()1M t =，()()2m t f t π=+；(,]4t ππ∈，()()M t f t =，()()2m t f t π=+.所以1sin 0,4()1cos ,42sin cos ,2t t h t t t t t t πππππ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎛⎤=-∈⎨ ⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤-∈⎪ ⎥⎝⎦⎩，所以max ()h t =21.（1）c =（2）C 为钝角，则cos 0C <，所以2222222(2sin )4sin 4a b c R C R C R +<==<，得证；（3）①当2a R >或2a b R ==时，所求的ABC ∆不存在；②当2a R =或b a <时，90A ∠=，所求的ABC ∆只存在一个，且c =③当2a R <或b a =时，A B ∠=∠，且,A B 都是锐角，由sin sin 22a bA B R R ===， ,A B 唯一确定，因此，所求的ABC ∆只存在一个，且2cos c a A ==； ④当2b a R <<时，B ∠总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此所求ABC ∆存在，当90A <时，cos A =c == 当90A >时，cos A =c=。
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题(解析版)
2019届上海市曹杨二中高三上学期期末数学试题一、单选题1．（上海市崇明区2018届高三4月模拟）若1是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）A.2b =， 3c =B.2b =， 1c =-C.2b =-， 3c =D.2b =-， 1c =-【答案】C【解析】由题意可得：()()2110b c +++=，则：()()120b c -++++=， 整理可得：()()10b c i +-+=，据此有：100b c +-=⎧⎪⎨=⎪⎩，求解方程组可得：23b c =-⎧⎨=⎩. 本题选择C 选项.2．已知,,x y z 为正实数，且230x y z -+=，则2yxz的最小值为（）A.1B.2C.3D.6【答案】C【解析】由x ﹣2y +3z ＝0可推出y 32x z +=，代入2y xz中，消去y ，再利用均值不等式求解即可． 【详解】 ∵x ﹣2y +3z ＝0， ∴y 32x z+=， ∴222966644y x z xz xz xz xz xz xz+++=≥=3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”． 故选：C ．【点睛】本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，属于中档题．3．设平面α与平面β相交于直线m ，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且b m ⊥则“αβ⊥”是“a b ⊥”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分不必要条件【答案】A【解析】【详解】试题分析：α⊥β， b ⊥m 又直线a 在平面α内，所以a ⊥b ，但直线不一定相交，所以“α⊥β”是“a ⊥b”的充分不必要条件，故选A.【考点】充分条件、必要条件.4．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4πB ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅uuu r uu u r uu u r uu u r uu u r uu rQ ，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.二、填空题5．函数sin cos y x x =的最小正周期是______． 【答案】p 【解析】1sin 22y x =，周期2ππ2T ==.6．212n n lim n→∞=++⋯+_________．【答案】2【解析】利用等差数列的前n 项和公式求出分母后代入212n n lim n→∞++⋯+得答案．【详解】()222221112112n n n n n n n lim lim lim lim n n n n n →∞→∞→∞→∞====+++⋯+++，故答案为：2． 【点睛】本题考查了数列的极限及等差数列求和公式，属于基础题．7．函数()()()3log 212xf x x =-≥的反函数()1fx -=_________．【答案】2 (31)x log +（x ≥1）．【解析】由x ≥2，可得f (x )＝log 3(21)x -≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2(31)y log +，把x 与y 互换即可得出反函数． 【详解】令y ＝f (x )＝log 3(21)x-，∵x ≥2，∴y ＝log 3(21)x-≥1，由y ＝log 3(21)x-，解得x ＝2 (31)y log +，把x 与y 互换得到y ＝2 (31)x log +故f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．故答案为：f ﹣1（x ）＝2 (31)x log +（x ≥1）．【点睛】本题考查了反函数的求法、指数与对数的互化，属于基础题． 8．在62x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中，常数项为___________．【答案】﹣160【解析】写出二项式的展开式的通项，使得x 的指数为0，得到相应的r ，从而可求出常数项． 【详解】展开式的通项为()6162rrr r T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭＝()626612rr r r C x ---令2r ﹣6＝0可得r ＝3常数项为（﹣1）33362C =-160故答案为：﹣160 【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，解题的关键是写出展开式的通项公式，同时考查了计算能力，属于基础题．9．已知一组数据为2,11,9,8,10，则这组数据的方差为_________． 【答案】10【解析】先计算五个数据的平均数为8，再根据方差的计算公式，求出这五个数的方差即可． 【详解】∵五个数2，8，9，10，11的平均数为15（2+8+9+10+11）＝8， ∴五个数的方差为：s 215=[（2﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2+（11﹣8）2]＝10， 故答案为：10 【点睛】本题考查了平均数和方差的计算公式，属于基础题．10．双曲线221x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=截得线段长为________．【答案】【解析】求出双曲线的渐近线方程，利用圆的半径与弦心距，半弦长的关系，求解即可． 【详解】双曲线x 2﹣y 2＝1的一条渐近线不妨为：x +y ＝0，圆C ：（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为2，圆心到直线的距离为：d=∴被圆C 截得的线段长为==故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．11．已知数列{}n a 的首项12a =，且满足()*12n n n a a n N +=∈，则20a =________．【答案】512【解析】利用已知将n 换为n +1，再写一个式子，与已知作比，得到数列{}n a 的各个偶数项成等比，公比为2，再求得2=1a ，最后利用等比数列的通项公式即可得出． 【详解】∵a n a n +1=2n ，（*n N ∈） ∴a n +1a n +2=2n +2．（*n N ∈） ∴22n na a +=,（*n N ∈），∴数列{}n a 的各个奇数项513...a a a ，，成等比，公比为2， 数列{}n a 的各个偶数项246...a a a ，，成等比，公比为2，又∵a n a n +1=2n，（*n N ∈），∴a 1a 2=2,又12a =，∴2=1a ，可得：当n 为偶数时，1222nn a a -=⋅∴a 20＝1•29＝512． 故答案为：512． 【点睛】本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)＝12，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)＝________.【答案】5 2【解析】令x＝－1，得f(1)＝f(－1)＋f(2)＝－f(1)＋f(2)．故12＝－12＋f(2)，则f(2)＝1.令x＝1，得f(3)＝f(1)＋f(2)＝12＋1＝32.令x＝3，得f(5)＝f(3)＋f(2)＝32＋1＝52.13．将一颗均匀的骰子掷两次，第一次得到的点数记为a，第一次得到的点数记为b，则方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩有唯一解的概率是___________．【答案】11 12【解析】所有的可能的结果（a，b）共有6×6＝36种，满足直线l1与l2平行的结果（a，b）共有3个，由此求得直线l1与l2平行的概率，用1减去直线l1与l2平行的概率，即得所求．【详解】由题意可知，方程组有唯一解转化为表示方程组322ax byx y+=⎧⎨+=⎩的两直线相交，即直线l1:ax+by=3与直线l2：x+2y=2相交，又所有的可能出现的结果（a，b）共有6×6＝36种，当直线l1与l2平行时，应有3 122a b=≠，故其中满足直线l1与直线l2平行的结果（a，b）共有：（1，2）、（2，4）、（3，6），总计3个，故直线l1与l2平行的概率为336．又由a,b的意义可知两条直线不重合，故直线l1与l2相交的概率为1311 3612 -=，∴方程组有唯一解的概率为1311 3612 -=，故答案为：11 12．【点睛】本题考查古典概型及其对立事件的概率计算公式的应用，考查了两直线的位置关系，属于基础题．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1313,615a S ≤≤≤≤，则21a a 的取值范围是__________． 【答案】[23，5] 【解析】根据题意，由等差数列的前n 项和的性质可得6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5，由不等式的性质分析可得答案． 【详解】根据题意，等差数列{a n }的前n 项和为S n ， 若6≤S 3≤15，则6≤3a 2≤15，即2≤a 2≤5， 又由1≤a 1≤3，则有2123a a ≤≤5， 即21a a 的取值范围是[23，5]； 故答案为：[23，5]． 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式以及性质的应用，考查了不等式的性质，关键求出a 2的范围．15．设函数()3,1,1x a x f x x a x ⎧-<=⎨-≥⎩，若()f x 有且仅有1个零点，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】（0，1）[3,+∞)【解析】由题意将问题转化为()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像数形结合得答案． 【详解】若函数()f x 有且仅有1个零点,即()3,1,1x x g x x x ⎧<=⎨≥⎩与y =a 有且仅有一个交点，作出y =g (x )的图像如图： ∴a ∈（0，1）[3,+∞)．故答案为：（0，1）[3,+∞)．【点睛】本题考查函数的零点判定，考查数形结合与转化思想的解题方法，是中档题．16．定义全集U 的子集M 的特征函数()10M U x Mf x x C M∈⎧=⎨∈⎩，对于两个集合,M N ，定义集合()(){}*1M N M N x f x f x =+=，已知集合{}{}2,4,6,8,10,1,2,4,8,16A B ==，并用S 表示有限集S 的元素个数，则对于任意有限集,**M M A M B +的最小值为________． 【答案】4【解析】通过新定义及集合的并集与补集的运算求解计算即得结论． 【详解】由MN 的定义可知，f M （x ）+f N （x ）＝1 ，则MN ∈{x |x ∈M ∪N ，且x ∉ M ∩N } 即MA ＝{x |x ∈M ∪A ，且x ∉M ∩A }，MB ＝{x |x ∈M ∪B ，且x ∉M ∩B } 要使Card （MA ）+Card （MB ）的值最小，则2，4，8一定属于集合M ，且M 不能含有A ∪B 以外的元素， 所以集合M 为{6，10，1，16}的子集与集合{2，4，8}的并集， 要使**M A M B +的值最小，M ={2，4，8}， 此时，**M A M B +的最小值为4， 故答案为：4 【点睛】本题考查对集合运算的理解以及新定义的应用，考查计算能力．注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知6C π=，2a =，ABC 的F 为边AC 上一点．()1求c ； ()2若CF =，求sin BFC ∠．【答案】（1）c=2（2）sin 4BFC ∠=【解析】()1由已知利用三角形的面积公式可求b 的值，根据余弦定理可得c 的值；()2由()1可得2a c ==，可求6A C π==，23ABC π∠=，由已知根据正弦定理sin 2CBF ∠=，由23CBF π∠≤，可求4CBF π∠=，根据两角和的正弦函数公式即可计算得解sin BFC ∠的值． 【详解】()16C π=，2a =，ABC11sin 2sin 226ab C b π==⨯⨯⨯， ∴解得：b =∴由余弦定理可得：2c ===，()2由()1可得2a c ==，6A C π∴==，23ABC A C ππ∠=--=， 在BCF 中，由正弦定理sin sin CF BF CBF BCF=∠∠，可得：sin 6sin CFCBF BFπ⋅∠=， 2CF =，sin CBF ∴∠=， 23CBF π∠≤， 4CBF π∴∠=，()sin sin sin sin cos cos sin 4646464BFC CBF BCF ππππππ⎛⎫∴∠=∠+∠=+=+= ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.18．如图，某甜品创作一种冰淇淋，其上半部分呈半球形，下半部分呈圆锥形，现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形，用一个扇形蛋皮固成圆锥的侧面（蛋皮厚度忽略不计）。
上海市普陀区曹杨第二中学2024届高三上学期期末数学试题含答案解析
上海市曹杨二中2023学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷班级________姓名________学号________一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知{}202,1x ∈-，则实数x =________．2.复数z 满足6i z z +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为________．3.已知()1,2a =-，()3,4b =，则a 在b上的数量投影为________．4.设一组样本数据1x ，2x ，L ，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，L ，10n x 的方差为___________.5.不等式231≤-x 的解集是__________.6.已知()()2log 11a f x x =-+（0a >且1)a ≠，函数()y f x =的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________．7.在平面直角坐标系xOy 中，()01,0P ，把向量i OP uuu r顺时针旋转定角θ得到i OQ ，i Q 关于y 轴的对称点记为1i P +，0,1,,10i = ，则11P 的坐标为________8.已知()828012831x a a x a x a x -=++++ ，则1357a a a a +++=_______（用数字作答）．9.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为16、13、12，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为14、15、16，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为________．10.已知()22,,141,,x x a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-++≥⎩记函数()y f x =的最大值为()g a ，则()g a 的取值范围是________．11.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b -=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l，则双曲线的离心率为______.12.已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，348a ≤≤，20240a <，且21320n n n n a a a a ++++=，则2024S 的最大值为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.已知x ∈R ，则“38x >”是“2x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C .充要条件D.既不充分也不必要条件14.在ABC 中，AB AC BA BC CA CB λμ⋅=⋅=⋅，则下列说法一定正确的是（）A.若0λμ>，则ABC 是锐角三角形B.若0λμ>，则ABC 是钝角三角形C.若0λμ<，则ABC 是锐角三角形D.若0λμ<，则ABC 是钝角三角形15.若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体1111ABCD A B C D -，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（）A.1,,AB AD AA 的长度B.11,,AB AC AD 的长度C.11,,AB BA BD 的长度D.11,,AB AC B C 的长度16.设集合{}1234,,,X a a a a *=⊆N ，定义：集合{}*,,,,i j i j Y a a a a X i j N i j =+∈∈≠，集合{},,S x y x y Y x y =⋅∈≠，集合,,x T x y Y x y y ⎧⎫=∈≠⎨⎬⎩⎭，分别用||S ，||T 表示集合S ，T 中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）A.||6S = B.||16S = C.||9T = D.||16T =三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．18.垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理得相关信息：高一年级成绩分布表等级EDCBA成绩（分数）[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100人数123410（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为X ，用频率估计概率，求X 的分布列和期望．19.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为a 的正三角形，侧面11ABB A 为菱形，且160A AB ∠=︒．（1）求证：1AB A C ⊥；（2）若11cos 4A AC ∠=，三棱柱111ABC ABC -的体积为24，求直线1AC 与平面11CBB C 所成角的大小．20.已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C .（1）已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程；（2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;（3）求线段AC 长的取值范围.21.已知a 为实数，()()()ln 1f x x a x =++．对于给定的一组有序实数(),k m ，若对任意1x ，()21,x ∞∈-+，都有()()11220kx f x m kx f x m ⎡⎤⎡⎤-+-+≥⎣⎦⎣⎦，则称(),k m 为()f x 的“正向数组”．（1）若2a =-，判断()0,0是否为()f x 的“正向数组”，并说明理由；（2）证明：若(),k m 为()f x 的“正向数组”，则对任意1x >-，都有()0kx f x m -+≤；（3）已知对任意01x >-，()()()()0000,f x f x x f x -''都是()f x 的“正向数组”，求a 的取值范围．上海市曹杨二中2023学年度第一学期高三年级期末考试数学试卷班级________姓名________学号________一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知{}202,1x ∈-，则实数x =________．【答案】1±【解析】【分析】直接根据210x -=求解即可.【详解】{}202,1x ∈- ，210x ∴-=，解得1x =±.故答案为：1±.2.复数z 满足6i z z +=（i 为虚数单位），则z 的虚部为________．【答案】3-【解析】【分析】设()i ,z a b a b =+∈R ，根据复数相等可得答案.【详解】设()i ,z a b a b =+∈R ，因为6i z z +=，所以i 6i=i ++-a b a b ，可得6+=-b b ，解得3b =-，则z 的虚部3b =-.故答案为：3-.3.已知()1,2a =- ，()3,4b = ，则a 在b上的数量投影为________．【答案】1【解析】【分析】直接利用投影公式计算即可.【详解】()1,2a =- ，()3,4b =，则a 在b上的数量投影为1a b b ⨯-+⨯⋅==.故答案为：1.4.设一组样本数据1x ，2x ，L ，n x 的方差为0.01，则数据110x ，210x ，L ，10n x 的方差为___________.【答案】1【解析】【分析】根据方差的性质，若1x ，2x ，L ，n x 的方差为2s ，则1ax ，2ax L ，n ax 的方差为22a s ，计算即得答案.【详解】根据题意，一组样本数据1x ，2x ，L ，n x 的方差20.01s =，则数据110x ，210x ，L ，10n x 的方差为22101s ⨯=；故答案为：1.5.不等式231≤-x 的解集是__________.【答案】{|1x x <或53x ≥}【解析】【分析】分式不等式变式成3501x x -+≤-，等价于()()135010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，求解即可【详解】2353011-+-=≤--x x x ，所以()()135010x x x ⎧--≥⎨-≠⎩，解得1x <或53x ≥，所以不等式231≤-x 的解集是{|1x x <或53x ≥}.故答案为：{|1x x <或53x ≥}6.已知()()2log 11a f x x =-+（0a >且1)a ≠，函数()y f x =的图象恒过定点P ，则点P 的坐标为________．【答案】()2,1【解析】【分析】令11x -=即可求出定点.【详解】令11x -=得2x =，此时()21f =，所以函数()y f x =的图象恒过定点()2,1，即点()2,1P .故答案为：()2,1.7.在平面直角坐标系xOy 中，()01,0P ，把向量i OP uuu r顺时针旋转定角θ得到i OQ ，i Q 关于y 轴的对称点记为1i P +，0,1,,10i = ，则11P 的坐标为________【答案】()cos ,sin θθ--【解析】【分析】根据条件的变化，找出规律，根据规律可得答案.【详解】把向量0OP 顺时针旋转定角θ得到0OQ，得()()()0cos ,sin Q θθ--，0Q 关于y 轴的对称点记为1P ，则()()()1cos π,sin πP θθ--，即()1cos ,sin P θθ--把向量1OP顺时针旋转定角θ得到1OQ ，得()()()1cos π,sin πQ --，即()11,0Q -1Q 关于y 轴的对称点记为2P ，则()20,1P ，以此类推可得当i 为奇数时，()cos ,sin i P θθ--，当i 为偶数时，()0,1i P ，故11P 的坐标为()cos ,sin θθ--.故答案为：()cos ,sin θθ--8.已知()828012831x a a x a x a x -=++++ ，则1357a a a a +++=_______（用数字作答）．【答案】32640-【解析】【分析】根据题意，利用赋值法分别将1x =和=1x -代入已知式子中，得到两个方程，由这两个方程化简整理，即可求出答案．【详解】由()828012831x a a x a x a x -=++++ ，令1x =得，80182a a a +++=L ，①令=1x -得，8012384a a a a a -+-++=L ，②①-②得，()881357224a a a a +++=-，88135724326402a a a a -∴+++==-.故答案为：32640-.9.某公司员工小明上班选择自驾、坐公交车、骑共享单车的概率分别为16、13、12，而他自驾、坐公交车、骑共享单车迟到的概率分别为14、15、16，结果今天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率为________．【答案】523【解析】【分析】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，求出()P A ，()P AB ，利用条件概率公式计算即可求出结果.【详解】设小明迟到为事件A ，小明自驾为事件B ，则()11111123435612062P A =⨯+⨯+⨯=，()1116424P AB =⨯=，所以在小明迟到的条件下，他自驾去上班的概率为()()()3125|2231204P AB P B A P A ===.故答案为：523.10.已知()22,,141,,x x a f x x x x x a ⎧<⎪=+⎨⎪-++≥⎩记函数()y f x =的最大值为()g a ，则()g a 的取值范围是________．【答案】1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】同一坐标系中画出()21x t x x =+和()241h x x x =-++的图象，然后根据图象分2a ≤，43222a +<<，4322a +≥讨论求解即可.【详解】设()21x t x x =+，则()()21xt x t x x --==-+，即函数()t x 在R 上为奇函数，又当0x >时，()11t x x x=+，当且仅当1x =时等号成立，由对勾函数的单调性可得函数()t x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，故()()max 112t x t ==设()241h x x x =-++，则()()225h x x =--+，令21412x x -++=，解得4322x ±=同一坐标系中画出()21x t x x =+和()241h x x x =-++的图象如下：由图可知，当2a ≤时，()5g a =，当43222a +<<时，()1,52g a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当4322a +≥时，()12g a =，综上()g a 的取值范围是1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】方法点睛：对于分段函数，其中每一段对应的变量范围在没有确定的情况下，需要在一个坐标系中画出每一段的完整图象，对变量的取值变化情况分析，从而得到分类的标准进行讨论.11.已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l ，则双曲线的离心率为______.【答案】142【解析】【分析】根据题意，由双曲线的定义可得4AB a =，再由勾股定理列出方程即可得到,a c 关系，代入离心率计算公式，即可得到结果.【详解】设双曲线E 的半焦距为c ，0c >，22BF AF =，根据题意得122BF BF a -=，又21AF AF -212BF AF a =-=，114AB BF AF a ∴=-=，设AB 的中点为C ，在2ACF △中，2CF =，2AC a =，23AF a ∴==，则1AF a =，13CF a =，根据2221212CF CF F F +=，可知2(3)a +)22(2)c =，142c a e =∴=.故答案为：142.12.已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，348a ≤≤，20240a <，且21320n n n n a a a a ++++=，则2024S 的最大值为________．【答案】506143-【解析】【分析】根据递推式先推出44n n a a +=，然后分组求和可得()50620242344113S a a a -=⨯++-，结合条件，通过基本不等式，二次函数的性质求2024S 的最大值.【详解】因为21320n n n n a a a a ++++=，所以1322n n n n a a a a +++=-，将1n +代入得24132n n n n a a a a ++++=-，所以2424n n n n a a a a +++=，又20n a +≠，所以44n n a a +=，所以()()()()2024152021262022372023482024S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++++++ ()()()()50650650650623411414141414141414a a a -⨯-⨯-⨯-⨯-=+++----()5062344113a a a -=⨯++-又因为5052024440a a =⨯<，所以40a <，又由341220a a a a =+，11a =-，得2432a a a =，因为348a ≤≤，所以2240,a a a <+≤--，当且仅当24a a =时等号成立，所以()50650622024341411333S a --⎡⎤≤-=-⎢⎥⎣⎦2,⎡⎣，=2024S 最大，且最大为(50650624114333--⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦故答案为：506143-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件中的递推式求出数列中隐藏的等比数列，然后利用分组求和的方法进行求和.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分）13.已知x ∈R ，则“38x >”是“2x >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】分别求得38x >与2x >的等价条件，从而利用充分必要条件的定义即可得解.【详解】382x x >⇔>，22x x >⇔>或<2x -，所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，则“38x >”是“2x >”的充分不必要条件.故选：A.14.在ABC 中，AB AC BA BC CA CB λμ⋅=⋅=⋅，则下列说法一定正确的是（）A.若0λμ>，则ABC 是锐角三角形B.若0λμ>，则ABC 是钝角三角形C.若0λμ<，则ABC 是锐角三角形D.若0λμ<，则ABC 是钝角三角形【答案】D 【解析】【分析】根据题中条件利用向量的数量积运算可求得22cos cos cos AC AB ABC B Cλμ=，分情况考查λμ的正负情况，转化为cos cos B C 的正负情况，进一步分析即可.【详解】因为AB AC BA BC CA CB λμ⋅=⋅=⋅，即cos cos cos AB AC A BA BC B CA CB C λμ⋅=⋅=⋅,又0λμ≠时，三角形一定不是直角三角形，则有cos cos ,cos cos AC A AB ABC B CB Cλμ== ，22cos cos cos AC AB A BC B Cλμ=，若0λμ>，则cos cos 0B C >，,B C 为锐角，但是不能判断A 的大小，故A,B 错误；当0λμ<时，则cos cos 0B C <，,B C 中必有一个钝角，故此时ABC 是钝角三角形，C 错误，D 正确，故选：D.15.若干个能确定一个立体图形的体积的量称为该立体图形的“基本量”.已知长方体1111ABCD A B C D -，下列四组量中，不能作为该长方体的“基本量”的是（）A.1,,AB AD AA 的长度B.11,,AB AC AD 的长度C.11,,AB BA BD 的长度D.11,,AB AC B C 的长度【答案】D 【解析】【分析】根据题设定义，结合长方体的体积公式、已知量判断长方体的体积是否可以确定即可.【详解】如下图，根据长方体体积公式，只需确定共顶点的三条棱长即可，已知1,,AB AD AA 的长度，则体积可定，A 满足；由2221122222222111AB BB AB AB BC AC AD DD BC BB AD ⎧+=⎪+=⎨⎪+=+=⎩，即可求出1,,AB BC BB ，则体积可定，B 满足；由勾股定理及1,AB BA 可求1AA ，由勾股定理及11,BA BD 可求11A D ，故体积可定，C 满足；已知11,,AB AC B C 无法求出1,BC BB ，体积不能确定，D 不满足.故选：D16.设集合{}1234,,,X a a a a *=⊆N ，定义：集合{}*,,,,i j i j Y a a a a X i j N i j =+∈∈≠，集合{},,S x y x y Y x y =⋅∈≠，集合,,x T x y Y x y y ⎧⎫=∈≠⎨⎬⎩⎭，分别用||S ，||T 表示集合S ，T 中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）A.||6S = B.||16S = C.||9T = D.||16T =【答案】D 【解析】【分析】对A 、B ：不妨设12341a a a a ≤<<<，可得1213142434a a a a a a a a a a +<+<+<+<+，根据集合Y 的定义可得Y 中至少有以上5个元素，不妨设112213314424534,,,,x a a x a a x a a x a a x a a =+=+=+=+=+，则集合S 中至少有7个元素，排除选项A ，若1423a a a a +≠+，则集合Y 中至多有6个元素，所以2max 6||C 1516S ==<，排除选项B ；对C ：对,i j i j x x ∀≠≠，则ij x x 与j ix x 一定成对出现，根据集合T 的定义可判断选项C ；对D ：取{1,3,5,7}X =，则{4,6,8,10,12}Y =，根据集合T 的定义可判断选项D .【详解】解：不妨设12341a a a a ≤<<<，则i j a a +的值为121314232434,,,,,a a a a a a a a a a a a ++++++，显然，1213142434a a a a a a a a a a +<+<+<+<+，所以集合Y 中至少有以上5个元素，不妨设112213314424534,,,,x a a x a a x a a x a a x a a =+=+=+=+=+，则显然12131415253545x x x x x x x x x x x x x x <<<<<<，则集合S 中至少有7个元素，所以||6S =不可能，故排除A 选项；其次，若1423a a a a +≠+，则集合Y 中至多有6个元素，则2max 6||C 1516S ==<，故排除B 项；对于集合T ，取{1,3,5,7}X =，则{4,6,8,10,12}Y =，此时12123344555563,,,,,,,,2,,,,,,,335235453643252T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，||16T =，故D 项正确；对于C 选项而言，,i j i j x x ∀≠≠，则i j x x 与j ix x 一定成对出现，110j i j ix x x x ⎛⎫⎛⎫--< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以||T 一定是偶数，故C 项错误.故选：D.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.已知在ABC 中，()3,2sin sin A B C A C B +=-=．（1）求sin A ；（2）设5AB =，求AB 边上的高．【答案】（1）31010（2）6【解析】【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求sin B ,再由正弦定理求出b ，根据等面积法求解即可.【小问1详解】3A B C += ，π3C C ∴-=，即π4C =，又2sin()sin sin()A C B A C -==+，2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+，sin cos 3cos sin A C A C ∴=，sin 3cos A A ∴=，即tan 3A =，所以π02A <<，310sin 10A ∴==.【小问2详解】由（1）知，cos 10A ==，由sin sin()B A C =+23101025sin cos cos sin (210105A C A C =+=+=，由正弦定理，sin sin c bC B=，可得255522b ⨯==，11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅，310sin 610h b A ∴=⋅==.18.垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”．为了解学生的学习成果，该校对高一、高二年级全体学生进行了相关知识测试，然后从高一、高二各随机抽取了20名学生成绩（百分制），并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析．下面给出了整理得相关信息：高一年级成绩分布表等级EDCBA成绩（分数）[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[)90,100人数123410（1）从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是多少？（2）分别从高一全体学生中抽取一人，从高二全体学生中抽取2人，这三人中成绩不低于90分的人数记为X ，用频率估计概率，求X 的分布列和期望．【答案】（1）18（2）分布列见解析，()1E X =【解析】【分析】（1）先分别求出高一，高二中抽取一人，成绩不低于90分的概率，然后利用概率的乘法公式求解即可；（2）X 可取的值为0,1,2,3，分别求出其概率即可得分布列，然后根据期望公式求期望即可.【小问1详解】由已知得从高一的学生中抽取一人，成绩不低于90分的概率是101202=，从高二的学生中抽取一人，成绩不低于90分的概率是10.025104⨯=，则从高一和高二样本中各抽取一人，这两个人成绩都不低于90分的概率是111248⨯=；【小问2详解】X 可取的值为0,1,2,3，则()213902432P X ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()21213113151C ×2424432P X ⎛⎫==⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2121131172C ×2442432P X ⎛⎫==⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭，()211132432P X ⎛⎫==⨯=⎪⎝⎭，则X 的分布列为X123P9321532732132所以()915710123132323232E X =⨯+⨯+⨯+⨯=19.如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为a 的正三角形，侧面11ABB A 为菱形，且160A AB ∠=︒．（1）求证：1AB A C ⊥；（2）若11cos 4A AC ∠=，三棱柱111ABC ABC -的体积为24，求直线1AC 与平面11CBB C 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）105【解析】【分析】（1）根据菱形的性质，结合线面垂直的判定定理和性质进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用棱柱的体积公式，空间向量的夹角公式进行求解.【小问1详解】取AB 的中点O ，连接1,A O CO ，由题知1A AB △为正三角形，而ABC 也是正三角形，1,A O AB CO AB ∴⊥⊥，又1,A O CO ⊂面1A CO ，且1A O CO O ⋂=，AB ∴⊥面1A CO ，又1AC ⊂面1A CO ，1AB AC ∴⊥；【小问2详解】111,cos 4A A AB AC a A AC ===∠=，2222111132cos 2AC AA AC AA AC A AC a ∴=+-⋅⋅∠=，12AC a ∴=，又12AO CO a ==，22211A C A O CO ∴=+，即1A O OC ⊥，又,AB CO ⊂面ABC ，且AB CO O = ，1A O AB ⊥，1A O ∴⊥面ABC ，1,,AO CO AB ∴两两垂直，如图建立空间直角坐标系，三棱柱111ABC A B C -的体积为21332442ABC V S A O =⋅=⨯= ，4a ∴=，()()()(10,2,0,0,2,0,,0,0,A B C A ∴--，((()111,0,2,,2,0A C CC AA CB ∴=--===，设平面11CBB C 的法向量为(),,n x y z =，则12020n CC y n CB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，取1x =得()1,n = ，设直线1AC 与平面11CBB C 所成角为θ，则1110sin 5n A C n A Cθ⋅===⋅.20.已知椭圆22:184x y C +=，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点2,,A B l 与椭圆交于不同两点D ，C .（1）已知1l 经过椭圆的左焦点，求1l 的方程；（2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;（3）求线段AC 长的取值范围.【答案】（1）240x y -+=；（2）证明见解析（3）46AC <<【解析】【分析】（1）根据直线的截距式方程即可求得答案.（2）设直线()()11122:4,,,,l y kx A x y B x y =+，则()()1122,,,D x y C x y --，联立直线和椭圆方程，可得根与系数关系式，化简BQ DQ k k -，可证明直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证直线AC 经过点(0,1)Q ，即可证明结论.（3）表示出线段AC 的长，结合根与系数的关系式化简并采用换元法，可得29161168AC t t ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪++⎝⎭，利用函数的单调性，可求得答案.【小问1详解】22:184x y C +=的左焦点为(2,0)-，当1l 过左焦点时，1l 的方程为124x y +=-，即240x y -+=.【小问2详解】由题意知1l 斜率存在，设直线()()11122:4,,,,l y kx A x y B x y =+，则()()1122,,,D x y C x y --，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得()221216240k x kx +++=，需满足2225696(12)0k k ∆=-+>，即2230k ->，1212221624,1212k x x x x k k-∴+=⋅=++，又212111,BQ DQ y y k k x x --==-，212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+-，()21212248312222202412kx x k k k k k x x k -++=+=+=-=+，BQ DQ k k ∴=，故点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证AQ CQ k k =,即点A ，C ，Q 三点共线，即直线AC 经过点(0,1)Q ，故直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ;【小问3详解】由（2）可知()()()()22222212121212AC x x y y x x k x x =++-=++-()()2221212124x x k x x x x ⎡⎤=+++-⋅⎣⎦()()22222222221616244121212k k k k k k ⎡⎤⋅⋅⎢⎥=+-⨯⎢⎥+++⎣⎦42242424106116161441441k k k k k k k ⎡⎤⋅+-=⨯=⨯+⎢⎥++++⎣⎦令261t k =-，则216t k +=，又由()22216424120k k∆=-⨯⨯+>得232k>，所以8t >，2221699161611611681611844166t t AC t t t t t t ⎛⎫ ⎪⎛⎫∴=+=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭++⎛⎫ ⎪+++⨯+ ⎪⎝⎭⎝⎭，设216168,()()1h t h t t t t'==-++，(8,)t ∈+∞时，()0h t '>恒成立，168t t ∴++在(8,)t ∈+∞上单调递增，16818t t∴++>，9101628t t∴<<++，93111628t t∴<+<++，21624AC ∴<<，4AC ∴<<.【点睛】方法点睛：（1）证明直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q 时，采用证明0BQ DQ k k =-的方法，从而证明点B ，D ，Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q ，同理可证直线AC 经过点(0,1)Q ，即可证明结论；（2）求解线段AC 长的取值范围时，利用两点间距离公式可表示其长，解答时要结合换元法以及函数的单调性进行解答.21.已知a 为实数，()()()ln 1f x x a x =++．对于给定的一组有序实数(),k m ，若对任意1x ，()21,x ∞∈-+，都有()()11220kx f x m kx f x m ⎡⎤⎡⎤-+-+≥⎣⎦⎣⎦，则称(),k m 为()f x 的“正向数组”．（1）若2a =-，判断()0,0是否为()f x 的“正向数组”，并说明理由；（2）证明：若(),k m 为()f x 的“正向数组”，则对任意1x >-，都有()0kx f x m -+≤；（3）已知对任意01x >-，()()()()0000,f x f x x f x -''都是()f x 的“正向数组”，求a 的取值范围．【答案】21.()0,0不是()f x 的“正向数组”；22.证明见解析；23.a 的取值范围是(],1∞-.【解析】【分析】（1）代入有()()()2ln 1f x x x =-+，根据函数性质得到()f x 的正负时不同取值情况即可；（2）假设存在01x >-,使得()0kx f x m -+>,通过正向数组定义转化得对任意()1,0x kx f x m >--+≥恒成立，设()()()ln 1F x x a x kx m =++--，再利用函数的性质即可证明假设不成立；（3）代入有()()()()00000f x x f x f x x f x ''-+-≥恒成立或()()()()00000f x x f x f x x f x ''-+-≤恒成立，设()()()0g x f x f x x =-'，求出()0g x 是()g x 的最大值或最小值时a 的取值范围即可.【小问1详解】若2a =-，()()()2ln 1f x x x =-+，对(),k m ()0,0=，即()()()()112212kx f x m kx f x m f x f x ⎡⎤⎡⎤-+-+=⋅⎣⎦⎣⎦，而当()10,2x ∈，()22,x ∞∈+时，()()()1112ln 10f x x x =-+<，()()()2222ln 10f x x x =-+>，即()()120f x f x ⋅<，不满足题意.所以()0,0不是()f x 的“正向数组”.【小问2详解】反证法:假设存在01x >-,使得()0kx f x m -+>,(),k m 为()f x 的“正向数组”，∴对任意01x '>-,都有()()00000kx f x m kx f x m '⎡⎤⎡⎤-+⋅-+⎣⎣'≥⎦⎦.∴对任意()1,0x kx f x m >--+≥恒成立.令()()()ln 1F x x a x kx m =++--，则()0F x ≤在()1,∞-+上恒成立，()()()()1ln 1ln 1111x a a F x x k x k x x +-=++-=+++-++'，设()()()()1ln 111a G x F x x k x -==+++'+-，()()()22112111a x a G x x x x -+-=-=+++'，则当1a >时，()G x '在()1,2a --上为负，在()2,a ∞-+上为正，所以()()G x F x ='在()1,2a --上单调递减，在()2,a ∞-+上单调递增；若()20F a '-<，当1x →-，()F x ∞'→+，当x →+∞，()F x ∞'→+，即存在()()120F x F x ''==，使()F x '在()11,x -上为正，在()12,x x 上为负，在()2,x ∞+上为正，所以()F x 在()11,x -上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x ∞+上单调递增，又当1x →-，()F x ∞→-，当x →+∞，()F x ∞→+，则()F x 的值域为R ；若()20F a '-≥，()()20F x F a '-'≥≥，()F x 在()1,∞-+上单调递增，又当1x →-，()F x ∞→-，当x →+∞，()F x ∞→+，则()F x 的值域为R .当1a ≤时，()()2201x aG x x +-+'=≥，()()G x F x ='在()1,∞-+上单调递增，又当1x →-，()F x ∞'→-，当x →+∞，()F x ∞'→+，必存在()10F x '=，使()F x '在()11,x -上为负，在()1,x ∞+上为正，所以()F x 在()11,x -上单调递减，在()1,x ∞+上单调递增，又当1x →-，()F x ∞→+，当x →+∞，()F x ∞→+，则()F x 的值域为())1,F x ∞⎡+⎣.由值域可看出，与()0F x ≤在()1,∞-+上恒成立矛盾.对任意1x >-，都有()0kx f x m -+≤.【小问3详解】()()()()0000,f x f x x f x -''都是()f x 的“正向数组”，对任意1x ，()21,x ∞∈-+，都有()()()()()()()()0110000220000f x x f x f x x f x f x x f x f x x f x ''⎡⎤'⎡⎤-+--+-≥⎣⎦⎣⎦'，则()()()()00000f x x f x f x x f x ''-+-≥恒成立或()()()()00000f x x f x f x x f x ''-+-≤恒成立，即()()()()0000f x f x x f x f x x -'≤'-恒成立或()()()()0000f x f x x f x f x x -'≥'-恒成立，设()()()()()()00ln 1g x f x f x x x a x f x x =-=+'+-'，则()()()0000f x f x x g x '-=，即()0g x 是()g x 的最大值或最小值.()()()()()()()0001ln 1ln 1111x a a g x f x f x x f x x f x x x '''+-⎡⎤=-=++-=+++''-⎣⎦++，且()()()0000g x f x f x =-''='.当1a >时，由（2）可得，()()()()()0ln 1g x x a x f x x F x m =++-=+'的值域为R ，无最大值或最小值；当1a ≤时，()()()01=ln 111a g x x f x x -⎡⎤++'-+'+⎣⎦在()1,∞-+上单调递增，又()()()0000g x f x f x =-''='，则()g x '在()01,x -上为负，在()0,x ∞+上为正，所以()()()0g x f x f x x =-'在()01,x -上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，则()0g x 是()g x 的最小值，满足()()()()()0000g x f x f x x f x f x x =-≥'-'，此时对任意1x ，()21,x ∞∈-+，都有()()()()()()()()0110000220000f x x f x f x x f x f x x f x f x x f x ''⎡⎤'⎡⎤-+--+-≥⎣⎦⎣⎦'.∴a 的取值范围是(],1∞-.【点睛】关键点睛：本题第2问的关键是运用反证法，通过函数的图象与性质推理出与假设矛盾的结论，最后即得到证明；本题第3问的关键是理解“正向数组”的变形推理得到()()()()0000f x f x x f x f x x -'≤'-恒成立或()()()()0000f x f x x f x f x x -'≥'-恒成立，并构造函数()()()0g x f x f x x =-'，得到()0g x 是()g x 的最大值或最小值，最后结合前面的证明得到结果.。
2018-2019学年上海市曹杨二中高一下期末数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市曹杨二中高一下期末数学试题一、单选题1．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（ ） A ．0d < B ．0d >C ．160a <D ．160a >【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由1021S S >并结合等差数列的下标和性质可得出正确选项. 【详解】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，由1021S S >， 得()112116211011122021161111211022a a a S S a a a a a +⨯-=++++===<，可得160a <，故选：C. 【点睛】本题考查等差数列性质的应用，解题时要充分利用等差数列下标和与等差中项的性质，可以简化计算，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 2．已知数列{}n a 满足12a =，()()11nn n n a a a n N *+=+-∈，则42a a 的值为（ ） A ．1615B ．43C ．13D ．83【答案】B【解析】由()11nn n n a a a +=+-，得()111nn na a +-=+，然后根据递推公式逐项计算出2a 、4a 的值，即可得出42a a 的值.【详解】()11nn n n a a a +=+-，()111nn na a +-∴=+，则211111122a a =-=-=， 3211123a a =+=+=，431121133a a =-=-=，因此，4224233a a =⨯=，故选：B.【点睛】本题考查数列中相关项的计算，解题的关键就是递推公式的应用，考查计算能力，属于基础题.3．在非直角ABC ∆中，“A B >”是“tan tan A B >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】由tan tan A B >得出22tan tan 0A B ->，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系. 【详解】若tan tan A B >，则222222sin sin tan tan cos cos A BA B A B-=-()()22222222sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos cos cos A B A B A B A B A B A B A B A B -+-==⋅⋅()()()2222sin sin sin sin 0cos cos cos cos A B A B A B CA B A B-+-==>⋅⋅， 易知sin 0C >，2cos 0A >，2cos 0B > ，()sin 0A B ∴->， 0A π<<，0B π<<，A B ππ∴-<-<，()sin 0A B ->，0A B π∴<-<，A B ∴>.因此，“A B >”是“tan tan A B >”的充要条件，故选：C. 【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.4．在ABC ∆中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π 【答案】D【解析】由平面向量数量积的定义得出tan B 、tan C 与tan A 的等量关系，再由()tan tan A B C =-+并代入tan B 、tan C 与tan A 的等量关系式求出tan A 的值，从而得出A 的大小. 【详解】623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，6cos 2cos 3cos bc A ca B ab C ∴=-=-，cos 3cos a B b A ∴=-，由正弦定理边角互化思想得sin cos 3cos sin A B A B =-，tan 3tan A B ∴=-，1tan tan 3B A ∴=-，同理得1tan tan 2C A =-，()11tan tan tan tan 32tan tan 111tan tan 1tan tan 32A AB C A B C B C A A --+∴=-+=-=--⎛⎫⎛⎫--⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225tan 5tan 616tan 1tan 6AA A A ==--，0A π<<，则tan 0A ≠，解得tan 1A =±， ABC ∆中至少有两个锐角，且1tan tan 3B A =-，1tan tan 2C A =-，所以，tan 1A =-，0A π<<，因此，34A π=，故选：D. 【点睛】本题考查平面向量的数量积的计算，考查利用正弦定理、两角和的正切公式求角的值，解题的关键就是利用三角恒等变换思想将问题转化为正切来进行计算，属于中等题.二、填空题 5．已知向量，，且与垂直，则的值为______.【答案】【解析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x 的值．【详解】；；．故答案为：． 【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题． 6．若120角的终边经过点()1,P a -，则实数a 的值为_______. 3【解析】利用三角函数的定义以及诱导公式求出a 的值. 【详解】由诱导公式得()tan120tan 18060tan 603=-=-=-，另一方面，由三角函数的定义得tan12031aa ==-=--3a =3【点睛】本题考查诱导公式与三角函数的定义，解题时要充分利用诱导公式求特殊角的三角函数值，并利用三角函数的定义求参数的值，考查计算能力，属于基础题. 7．已知向量()4,3a =，则a 的单位向量0a 的坐标为_______. 【答案】43,55⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】由结论“与a 方向相同的单位向量为0a a a=”可求出0a 的坐标.【详解】22435a =+=，所以，0143,555aa a a ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，故答案为：34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查单位向量坐标的计算，考查共线向量的坐标运算，充分利用共线单位向量的结论可简化计算，考查运算求解能力，属于基础题.8．在等差数列{}n a 中，155a a +=，43a =，则8a 的值为_______. 【答案】5.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据题中条件建立1a 、d 的方程组，求出1a 、d 的值，即可求出8a 的值.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，所以1514124533a a a d a a d +=+=⎧⎨=+=⎩，解得13212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此，813177522a a d =+=+⨯=，故答案为：5. 【点睛】本题考查等差数列的项的计算，常利用首项和公差建立方程组，结合通项公式以及求和公式进行计算，考查方程思想，属于基础题. 9．若a 、b 为单位向量，且()23a ab ⋅+=，则向量a 、b 的夹角为_______.（用反三角函数值表示） 【答案】1arccos3π-. 【解析】设向量a 、b 的夹角为θ，利用平面向量数量积的运算律与定义计算出cos θ的值，利用反三角函数可求出θ的值. 【详解】设向量a 、b 的夹角为θ， 由平面向量数量积的运算律与定义得()222cos 1cos 3a a b a a b a a b θθ⋅+=+⋅=+⋅=+=，1cos 3θ∴=-，1arccos 3θπ∴=-，因此，向量a 、b 的夹角为1arccos 3π-，故答案为：1arccos 3π-. 【点睛】本题考查利用平面向量的数量积计算平面向量所成的夹角，解题的关键就是利用平面向量数量积的定义和运算律，考查运算求解能力，属于中等题.10．已知向量()cos ,sin a θθ=，()1,3b =，则a b -的最大值为_______. 【答案】3.【解析】计算出()22a b a b -=-，利用辅助角公式进行化简，并求出2a b -的最大值，可得出a b -的最大值. 【详解】1cos 2cos 2sin cos cos sin 26a b πθθθθθθθ⎫⎛⎫⋅=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，222cos sin 1a θθ=+=，22214b =+=，所以，()2222212sin 452sin 766a b a ba ab b ππθθ⎛⎫⎛⎫-=-=-⋅+=-++=-+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当()3262k k Z ππθπ+=+∈，即当()726k k Z πθπ=+∈，等号成立，因此，a b -的最大值为. 【点睛】本题考查平面向量模的最值的计算，涉及平面向量数量积的坐标运算以及三角恒等变换思想的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 11．若4sin25θ=，且sin 0θ<，则θ是第_______象限角. 【答案】三【解析】利用二倍角公式计算出cos θ的值，结合sin 0θ<判断出角θ所在的象限. 【详解】由二倍角公式得2247cos 12sin 1202525θθ⎛⎫=-=-⨯=-< ⎪⎝⎭，又sin 0θ<，因此，θ是第三象限角，故答案为：三.【点睛】本题考查利用三角函数值的符号与角的象限之间的关系，考查了二倍角公式，对于角的象限与三角函数值符号之间的关系，充分利用“一全二正弦、三切四余弦”的规律来判断，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.12．已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅的取值范围是_______. 【答案】[2,2]-【解析】取BC 的中点O 为坐标原点，BC 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，设点D 的坐标为(),0x ，其中11x -≤≤，利用数量积的坐标运算将AD BC ⋅转化为有关x 的一次函数的值域问题，可得出AD BC ⋅的取值范围.【详解】 如下图所示：取BC 的中点O 为坐标原点，BC 、OA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则点(3A 、()1,0B -、()1,0C ，设点(),0D x ，其中11x -≤≤，(,3AD x =-，()2,0BC =，[]22,2AD BC x ∴⋅=∈-，因此，AD BC ⋅的取值范围是[]22-,，故答案为：[]22-,. 【点睛】本题考查平面向量数量积的取值范围，可以利用基底向量法以及坐标法求解，在建系时应充分利用对称性来建系，另外就是注意将动点所在的直线变为坐标轴，可简化运算，考查运算求解能力，属于中等题.13．设当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=______.【答案】25； 【解析】f(x)＝sin x －2cos x 5525x x ⎫⎪⎪⎝⎭5sin(x －φ)，其中sin φ25，cos φ5，当x －φ＝2kπ＋2π(k ∈Z)时，函数f(x)取得最大值，即θ＝2kπ＋2π＋φ时，函数f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ25.14．走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值等于_______. 【答案】211π. 【解析】设时针转过的角的弧度数为α，可知分针转过的角为12α，于此得出122ααπ=+，由此可计算出α的值，从而可得出时针转过的弧度数的绝对值α的值.【详解】设时针转过的角的弧度数的绝对值为α，由分针的角速度是时针角速度的12倍，知分针转过的角的弧度数的绝对值为12α， 由题意可知，122ααπ=+，解得211πα=，因此，时针转过的弧度数的绝对值等于211π，故答案为：211π. 【点睛】本题考查弧度制的应用，主要是要弄清楚时针与分针旋转的角之间的等量关系，考查分析问题和计算能力，属于中等题. 15．如图，P 为ABC ∆内一点，且1135AP AB AC =+，延长BP 交AC 于点E ，若AE AC λ=，则实数λ的值为_______.【答案】310【解析】由AE AC λ=，得1AC AE λ=，可得出1135AP AB AE λ=+，再利用B 、P 、E 三点共线的向量结论得出11135λ+=，可解出实数λ的值. 【详解】由AE AC λ=，得1AC AE λ=，可得出1135AP AB AE λ=+，由于B 、P 、E 三点共线，11135λ∴+=，解得310λ=，故答案为：310. 【点睛】本题考查三点共线问题的处理，解题的关键就是利用三点共线的向量等价条件的应用，考查运算求解的能力，属于中等题.16．为了研究问题方便,有时将余弦定理写成: 2222cos a ab C b c -+=,利用这个结构解决如下问题:若三个正实数,,x y z ，满足229x xy y ++=,2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=_______.【答案】3【解析】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=，设OA x =，OB y =，OC z =，利用余弦定理得出ABC ∆的三边长，由此计算出ABC ∆的面积，再利用ABC AOB BOC AOC S S S S ∆∆∆∆=++可得出xy yz zx ++的值.【详解】设ABC ∆的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ， 在ABC ∆内取点O ，使得23AOB BOC AOC π∠=∠=∠=， 设OA x =，OB y =，OC z =，由余弦定理得222222cos 9c x xy AOB y x xy y =-⋅∠+=++=，3c ∴=， 同理可得4a =，5b =，222a c b ∴+=，则90ABC ∠=，ABC ∆的面积为162ABC S ac ∆==，另一方面121212sin sin sin 232323ABC AOB AOC BOC S S S S xy yz zx πππ∆∆∆∆=++=++)64xy yz zx =++=，解得xy yz zx ++=【点睛】本题考查余弦定理的应用，问题的关键在于将题中的等式转化为余弦定理，并转化为三角形的面积来进行计算，考查化归与转化思想以及数形结合思想，属于中等题.三、解答题17．设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =. （1）若()//a tb c +，求实数t 的值； （2）求c 在a 方向上的投影.【答案】（1）89t =-；（2）【解析】（1）计算出a tb +的坐标，然后利用共线向量的坐标表示列出等式求出实数t 的值；（2）求出a c ⋅和a ，从而可得出c 在a 方向上的投影为a c a⋅.【详解】 （1）()1,1a =-，()3,2b =，()31,21a tb t t ∴+=+-，()//a tb c +，()3,5c =，()()321531t t ∴⨯-=⨯+，解得89t =-； （2）()13152a c ⋅=⨯+-⨯=-，(21a =+=，c ∴在a 方向上的投影22a c a⋅-==【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查共线向量的坐标运算以及投影的计算，在解题时要弄清楚这些知识点的定义以及坐标运算律，考查计算能力，属于中等题. 18．已知方程20x mx n ++=有两根1x、2x ，且1arctan x α=，2arctan x β=. （1）当m =4n =时，求αβ+的值；（2）当sin m θ=-，()cos 0n θθπ=<<时，用θ表示αβ+. 【答案】（1）23π-；（2）22πθ-.【解析】（1）由反三角函数的定义得出1tan x α=，2tan x β=，再由韦达定理结合两角和的正切公式求出()tan αβ+的值，并求出αβ+的取值范围，即可得出αβ+的值；（2）由韦达定理得出12sin x x m θ+=-=，12cos x x θ=，再利用两角和的正切公式得出()tan αβ+的表达式，利用二倍角公式将等式两边化为正切，即可用θ表示αβ+. 【详解】（1）由反三角函数的定义得出1tan x α=，2tan xβ=，当m =4n =时，由韦达定理可得12x x m +=-=-，124x x n ==，易知1tan 0x α=<，2tan 0x β=<，02πα∴-<<，02πβ-<<，则0παβ-<+<.由两角和的正切公式可得()1212tan tan tan 1tan tan 114x x x x αβαβαβ++-+====---，23παβ∴+=-； （2）由韦达定理得12sin x x m θ+=-=，12cos x x n θ==， 所以，()122122sin cos costan tan sin 222tan 1tan tan 11cos sin 112sin 22x x x x θθθαβθαβθθαβθ+++=====---⎛⎫-- ⎪⎝⎭sin 22tan 22cos 22πθπθπθ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，0θπ<<，0222πθπ∴<-<，又由0θπ<<得sin 0θ>，则120x x +>，则1x 、2x 至少一个是正数， 不妨设1>0x ，则02πα<<，又22ππβ-<<，2παβπ∴-<+<，易知()tan 0αβ+>，02παβ∴<+<，因此，22πθαβ+=-.【点睛】本题考查反正切的定义，考查两角和的正切公式的应用，同时涉及了二次方程根与系数的关系以及二倍角公式化简，在利用同角三角函数的基本关系解题时，需要对角的范围进行讨论，考查运算求解能力，属于中等题.19．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面成直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长）已知10PA PB ==（米），π4AOP BOP ∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设OAP θ∠=，四边形OAPB 的面积为S .（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值. 【答案】（1）2504S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）当38πθ=时，S取得最大值)2501米.【解析】（1）在PAO ∆中，利用正弦定理将OA 、OP 用θ表示，然后利用三角形的面积公式可求出S 关于θ的表达式，结合实际问题求出θ的取值范围； （2）利用（1）中的S 关于θ的表达式得出S 的最大值，并求出对应的θ的值. 【详解】（1）在PAO ∆中，由正弦定理得3sin sinsin 44OA OP PAππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭所以()310cos sin 422OA πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，OP θ=，则PAO ∆的面积为()1sin 10cos sin 244PAO S OA OP πθθθ∆=⋅⋅=+⨯()()211cos 250sin cos sin 50sin 225sin 2cos 2122θθθθθθθ-⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭2254πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因此，22504PAO S S πθ∆⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，其中30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭； （2）由（1）知，2504S πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 30,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，52444πππθ∴-<-<， 当242ππθ-=时，即当38πθ=时，四边形OAPB 的面积S 取得最大值)2501米.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形的面积公式、两角和与差的正弦公式、二倍角公式以及三角函数的基本性质，在利用三角函数进行求解时，要利用三角恒等变换思想将三角函数解析式化简，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知函数()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+>≤<的最小正周期为2π，且其图象的一个对称轴为2x π=，将函数()f x 图象上所有点的橫坐标缩小到原来的12倍，再将图象向左平移4π个单位长度，得到函数()g x 的图象. （1）求()f x 的解析式，并写出其单调递增区间； （2）求函数()()y f x g x =-在区间[]0,2π上的零点；（3）对于任意的实数t ，记函数()f x 在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，求函数()()()h t M t m t =-在区间[]0,π上的最大值. 【答案】（1）()sin f x x =，单调递增区间为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）6x π=、56π、32π；（3【解析】（1）由函数()y f x =的最小正周期求出ω的值，由图象的对称轴方程得出ϕ的值，从而可求出函数()y f x =的解析式；（2）先利用图象变换的规律得出函数()y g x =的解析式，然后在区间[]0,2π上解方程()()f x g x =可得出函数()()y f x g x =-的零点； （3）对t 分三种情况04t π≤<、42t ππ≤<、2t ππ≤≤分类讨论，分析函数()y f x =在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上的单调性，得出()M t 和()m t ，可得出()h t 关于t 的表达式，再利用函数()y h t =的单调性得出函数()y h t =的最大值. 【详解】（1）由题意可知，212πωπ==，()()sin f x x ϕ=+. 令()2x k k Z πϕπ+=+∈，即()2x k k Z πϕπ=-+∈，即函数()()sin f x x ϕ=+的图象的对称轴方程为()2x k k Z πϕπ=-+∈.由于函数()()sin f x x ϕ=+图象的一条对称轴方程为2x π=，()22k k Z ππϕπ∴=-+∈，()k k Z ϕπ∴=∈，0ϕπ≤<，0k ∴=，则0ϕ=，因此，()sin f x x =.函数()sin f x x =的单调递增区间为()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（2）将函数sin y x =的图象上所有点的橫坐标缩小到原来的12倍，得到函数sin 2y x =.再将所得函数的图象向左平移4π个单位长度， 得到函数()sin 2sin 2cos 242g x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.令()()0f x g x -=，即sin cos20x x -=，化简得22sin sin 10x x +-=， 得sin 1x =-或1sin 2x =. 由于[]0,2x π∈，当sin 1x =-时，32x π=；当1sin 2x =时，6x π=或56π. 因此，函数()()y f x g x =-在[]0,2π上的零点为6x π=、56π、32π；（3）当04t π≤<时，函数()y f x =在,2t π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,22t ππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递减， 所以，()1M t =，由于()2f t f t π⎛⎫<+⎪⎝⎭，()()sin m t f t t ∴==， 此时，()()()1sin h t M t m t t =-=-；当42t ππ≤<时，函数()y f x =在,2t π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在,22t ππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦上单调递减，所以，()1M t =，由于()2f t f t π⎛⎫>+⎪⎝⎭，()sin cos 22m t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫∴=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 此时，()()()1cos h t M t m t t =-=-；当2t ππ≤≤时，函数()y f x =在区间,2t t π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以，()()sin M t f t t ==，()sin cos 22m t f t t t ππ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此时，()()()sin cos h t M t m t t t =-=-.所以，()1sin ,041cos ,42sin cos ,2t t h t t t t t t πππππ⎧-≤<⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪-≤≤⎪⎩. 当04t π≤<时，函数()y h t =单调递减，()()01h t h ≤=； 当42t ππ≤<时，函数()y h t =单调递增，此时()12h t h π⎛⎫<=⎪⎝⎭； 当2t ππ≤≤时，()sin cos 4h t t t t π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当34t π=时，()max h t =综上所述：()max h t =【点睛】本题考查利用三角函数性质求解析式、考查三角函数图象变换、三角函数的零点以及三角函数的最值，考查三角函数在动区间上的最值，要充分考查函数的单调性，结合三角函数的单调性求解，考查分类讨论数学思想，属于中等题.21．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为ABC ∆的外接圆半径. （1）若2R =，2a =，45B =，求c ；（2）在ABC ∆中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的ABC ∆不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在ABC ∆存在的情兄下，用a 、b 、R 表示c . 【答案】（1（2）见解析；（3）见解析. 【解析】（1）利用正弦定理求出b 的值，然后利用余弦定理求出c 的值； （2）由余弦定理得出()222222sin 4a b c R C R +<=<可得证；（3）分类讨论判断三角形的形状与两边a 、b 的关系，以及与直径的大小的比较，分类讨论即可. 【详解】（1）由正弦定理得2sin bR B=，所以2sin 4sin 452b R B ===由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，化简得240c --=.0c >，解得c =；（2）由于C 为钝角，则0sin 1C <<，由于222cos 02a b c C ab+-=<，()22222222sin 4sin 4a b c R C R C R ∴+<==<，得证；（3）①当2a R >或2a b R ==时，所求ABC ∆不存在；②当2a R =且2b R <时，90A ∠=，所求ABC ∆有且只有一个，此时c = ③当2a b R =<时，A B ∠=∠都是锐角，sin sin 2aA B R==，ABC ∆存在且只有一个，2cos c a A ==； ④当2b a R <<时，所求ABC ∆存在两个，B 总是锐角，A ∠可以是钝角也可以是锐角，因此所求ABC ∆存在，当90A <时，cos A =cos B =，sin 2aA R=，sin 2bB R=，c ====当90A >时，cos A =cos B =sin 2aA R=，sin 2bB R=，c ====【点睛】本题综合考查了三角形形状的判断，考查了解三角形、三角形的外接圆等知识，综合性较强，尤其是第三问需要根据a 、b 两边以及直径的大小关系确定三角形的形状，再在这种情况下求第三边的表达式，本解法主观性较强，难度较大.。
上海市曹杨中学2018-2019学年高一上期末考试数学试题
曹杨中学2018-2019学年度第一学期高一年级期未考试数学试卷一、填空题(本大题满分54分,1-6每题4分,7-12每题5分)1.函数()x x x f 2log 2+-=的定义域是_________.2.若点(2,4)在幂函数()x f 的图像上,则()=x f _______.3.函数122--=mx x y 在[)∞+∈，1x 上单调递增,则m 的取值范围为________.4.已知函数()()，，x x x g x x f --=+=311则()()=+x g x f _______. 5.已知{}，，⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+-=≤=024|3|x x x B x x A 则=B A _______. 6.若函数()32+=x x f 的图像与()x g 的图像关于直线x y =对称,则()=5g ______.7.函数()()34log 22++=ax ax x f 的定义域为R,则实数a 的取值范围是_________.8.函数()0322＜x x x y +-=的反函数为_________. 9.若()，12log -=b a 则b a +的最小值是_________.10.已知，，b a ==3log 5log 73则=105log 21________(用b a 、表示).11.关于函数()()，＞0a xa x x f -=有下列四个命题: ①()x f 的值域是()()；，，∞+∞-00②()x f 是奇函数；③()x f 在()()∞+∞-，，00 上单调递增； ④方程()a x f =总有四个不同的解。
其中正确的是_________(写出所有正确的序号,写错或漏写不得分).12.已知函数()，＞，，⎪⎩⎪⎨⎧++≤+=040x a x x x a x x f 若()0f 是该函数的最小值,则实数a 的取值范围是__. 二、选择题(本大题满分20分,每题5分)13.下列函数在定义域上既是奇函数,且在区间上是增函数的是 A.xy 1= B.41x y = C.2-=x y D.53x y = 14.设0x 为函数()22-+=x x f x 的零点,则=0xA(-2,-1) B(-1,0) C.(0,1) D(1,2)15.“2lg 2=x ”是“2lg 2=x ”的_______条件A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要 16.下图为两幂函数αx y =和βx y =的图像，其中，，，，，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈322121βα则不可能的是三、解答题(本大题共76分)17.(14分)已知全集(){}[]{}.302|166lg |2，，，，∈==-+===x y y B x x y x A R U x(1)求；B A(2)若()()αβα，，m x B A C x U ≥∈:: 是β的充分条件,求实数m 的取值范围。
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曹杨二中高一期末数学试卷
2019.06
一. 填空题
1. 已知向量(3,1)a =，(,6)b x =-，若a b ⊥，则实数x 的值为
2. 若120°角的终边经过点(1,)P a -，则实数a 的值为
3. 已知向量(4,3)a =，则a 的单位向量0a 的坐标为
4. 在等差数列{}n a 中，165a a +=，43a =，则8a 的值为
5. 若a 、b 为单位向量，且2()3a a b ⋅+=
，则向量a 、b 的夹角为 （用反三角函数值表示）
6. 已知向量(cos ,sin )a θθ=，(1,3)b =，则||a b -的最大值为
7. 若4sin 25
θ
=，且sin 0θ<，则θ是第 象限角 8. 已知△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为BC 边上（含端点）的动点，则AD BC ⋅ 的取值范围是
9. 若当x θ=时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos θ=
10. 走时精确的钟表，中午12时，分针与时针重合于表面上12的
位置，则当下一次分针与时针重合时，时针转过的弧度数的绝对值
等于
11. 如图，P 为△ABC 内一点，且1135
AP AB AC =+，延长BP ， 交AC 于点E ，若AE AC λ=，则实数λ的值为
12. 为了研究问题方便，有时将余弦定理写成：2222cos a ab C b c -+=，利用这个结构解决如下问题：若三个正实数x 、y 、z 满足229x xy y ++=，2216y yz z ++=，2225z zx x ++=，则xy yz zx ++=
二. 选择题
13. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，若{}n a 的前10项之和大于前21项之和，则（ ）
A. 0d <
B. 0d >
C. 160a <
D. 160a >
14. 已知数列{}n a 满足1(1)n n n n a a a +⋅=+-（n *∈N ），则42
a a 的值为（ ） A. 1615 B. 43 C. 13
D. 83
15. 在非直角△ABC 中，“A B >”是“|tan ||tan |A B >”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件
16. 在△ABC 中，若623AC AB AB BC BC CA ⋅=⋅=⋅，则角A 的大小为（ ） A.
4π B. 3π C. 23π D. 34π
三. 解答题
17. 设向量(1,1)a =-，(3,2)b =，(3,5)c =.
（1）若()a tb +∥c ，求实数t 的值；
（2）求c 在a 方向上的投影.
18. 已知方程20x mx n ++=有两根1x 、2x ，且1arctan x α=，2arctan x β=.
（1）当m =4n =时，求αβ+的值；
（2）当sin m θ=-，cos n θ=（0θπ<<）时，用θ表示αβ+.
19. 某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA 及PB ，现打算用它们和两面直角的墙OM 、ON 围成一个如图所示的四边形菜园OAPB （假设OM 、ON 这两面墙都足够长），已知||||10PA PB ==（米），4AOP BOP π
∠=∠=，OAP OBP ∠=∠，设O A P θ∠=，四边形
OAPB 的面积为S .
（1）将S 表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；
（2）求出S 的最大值，并指出此时所对应θ的值.
20. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，0ϕπ≤<）的最小正周期为2π，且其图像的 一个对称轴为2x π=
，将函数()f x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的12倍，再将图像向 左平移4
π个单位长度，得到函数()g x 的图像. （1）求()f x 的解析式，并写出其单调递增区间；
（2）求函数()()y f x g x =-在区间[0,2]π上的零点；
（3）对于任意的实数t ，记函数()f x 在区间[,]2t t π
+上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，
求函数()()()h t M t m t =-在区间[0,]π上的最大值.
21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，R 为△ABC 的外接圆半径.
（1）若2R =，2a =，45B =︒，求c ；
（2）在△ABC 中，若C 为钝角，求证：2224a b R +<；
（3）给定三个正实数a 、b 、R ，其中b a ≤，问：a 、b 、R 满足怎样的关系时，以a 、b 为边长，R 为外接圆半径的△ABC 不存在，存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC 存在的情况下，用a 、b 、R 表示c .
参考答案
一. 填空题
1. 2
2.
3. 43(,)55
4. 7
5. 1
arccos 3
π- 6. 3 7. 三 8. [2,2]-
9. 10. 211
11. 310 12. 二. 选择题
13. C 14. B 15. C 16. D
三. 解答题
17.（1）8t =；（2）18.（1）3π；（2）22
πθ-.
19.（1）3sin(
)4S πθθ=-，3(0,)(,)444πππθ∈；（2）max 1)S =. 20.（1）()sin f x x =，单调递增区间[2,2]22k k ππππ-
+，k ∈Z ；（2）6π，56π，32
π；
（3
21.（1（2）证明略；（3）当90A <︒时，c =；
当90A >︒时，c =。