正交矩阵的性质

专题:正交矩阵的性质及其应用 证明:(1)略. (2)由于A的特征值为1, λ1 , λ2 ,且|λ1 | = |λ2 | = 1.于是A的特征多项式 f (λ) = (λ − 1)(λ − λ1 )(λ − λ2 ) = λ3 − aλ2 + aλ − λ1 λ2 , 其中a = 1 + λ1 + λ2 .由于λ1 , λ2 只能都为−1或互为共轭复数,因此 −1 ≤ a = 1 + λ1 + λ2 ≤ 3, λ1 λ2 = 1. 从而结论成立. (3)由条件知A的特征值都是1,从而A的特征多项式为 f (λ) = λ3 − 3λ2 + 3λ − 1, 于是 0 = A3 − 3A2 + 3A − E, 即 E = A(A2 − 3A + 3E ), 于是 AT = A−1 = A2 − 3A + 3E. 注:正交矩阵特征多项式的系数是有规律的,有兴趣的可以参看:
专题:正交矩阵的性质及其应用
高等代数资源网 May 17, 2012
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张德菊,张晓敏.正交矩阵的特征多项式及特征根.大学数学.2007,23(1):151-154. 例 3.13 设3阶正交阵A的行列式为−1,证明 trA2 = 2trA + (trA)2 证明:由条件可知A的特征值为 −1, a + bi, a − bi(a2 + b2 = 1, a, b ∈ R) 从而A2 的特征值为 1, (a + bi)2 , (a − bi)2 从而计算可得. 例 3.14 (北京邮电07)A ∈ Rn×n , A ̸= 0, n ≥ 3.则A为正交阵的充要条件为 AT = A∗ 或AT = −A∗ 即 aij = Aij 或aij = −Aij
专题:正交矩阵的性质及其应用 两式相加,由a2 + b2 = 1可得 aα + bβ = AT α, 两边取转置可得 aαT + bβ T = αT A, 于是 aαT α + bβ T α = αT Aα = αT (aα − bβ ) = aαT α − bαT β, 由于β T α = αT β,故由上式可得αT β = 0.即α, β 正交. 因为 aαT β + bβ T β = αT Aβ = αT (aβ + bα) = aαT β + bαT α, 所以αT α = β T β.即α, β 长度相等. (法2)由(2)有

αT α = αT AT Aα = (aα − bβ )T (aα − bβ ) = a2 αT α − 2abαT β + b2 β T β, β T β = β T AT Aβ = (aβ + bα)T (aβ + bα) = b2 αT α + 2abαT β + a2 β T β, 两式相减可得 (a2 − b2 − 1)(αT α − β T β ) − 4abαT β = 0. 另外, αT β = αT AT Aβ = (aα − bβ )T (aβ + bα) = (a2 − b2 )αT β + ab(αT α − β T β ), 于是有 { (a2 − b2 − 1)(αT α − β T β ) − 4abαT β = 0 ab(αT α − β T β ) + (a2 − b2 − 1)αT β = 0 将其视为关于(αT α − β T β ), αT β 的方程组,其系数行列式不为0,所以方程组只有零解, 故αT β = 0, αT α = β T β. 1 例 3.11 设A为n阶正交矩阵,λ为A的一个特征值,则 也是A的特征值. λ 证明:由于A的特征值只能1或−1,或模为1的共轭复数,从而易知结论成立. 例 3.12 (南京大学07)设A为三阶正交阵且|A| = 1.求证: (1)1是A的一个特征值; (2)A的特征多项式为 f (λ) = λ3 − aλ2 + aλ − 1 其中a为某个实数; (3)若A的特征值全为实数,并且|A + E | ̸= 0,则 AT = A2 − 3A + 3E ◇※☆■◇◇※☆■◇ 5 高等代数资源网

(法2)|AB T | = 1,而AB T 为正交矩阵,又AB T 的实特征值为1或−1,虚特征值成对出现, 故AB T 必有特征值−1, 从而 | − E − AB T | = 0 即 | − B − A||B T | = 0 从而结论成立. (2)由 |A − B | = |BB T A − BAT A| = |B ||B T − AT ||A| = |B |2 |B T − AT | = | − (A − B )T | = (−1)n |A − B | 知n为奇数时,|A − B | = −|A − B |,即|A − B | = 0. (3)一方面 |(A + B )(A − B )| = |A + B ||A − B | = |(A + B )T ||A − B | = |AT + B T ||A − B | = |(AT + B T )(A − B )| = |B T A − AT B |, 另一方面 |(A + B )(A − B )| = |A − B ||A + B | = |(A − B )T ||(A + B )| = |AT − B T ||A + B | = |(AT − B T )(A + B )| = |AT B − B T A|, 于是 |(A + B )(A − B )| = (−1)n |(A + B )(A − B )|, 由n为奇数,故|(A + B )(A − B )| = 0. (4)考虑C = AB −1 ,则 r(A + B ) = r(C + E ) 而n − r(C + E )就是C 的特征值中−1的个数,所以|C | = 1当且仅当特征值−1的个数为偶数. (5)可知|A−1 B | = 1.故(A + B )x = 0等价于(A−1 B )x = −x.即x是A−1 B 的属于特征 值−1的特征空间.只需证明行列式为1的正交阵,特征值−1的特征空间V−1 是偶数维的. 例 3.7 设A, B 都是n阶正交矩阵. (1)当|A| + |B | = 0时,|A + B |的值为多少?说明理由. (2)当n是奇数时,|(A − B )(A + B )|的值为多少?说明理由. 特别的,有 ◇※☆■◇◇※☆■◇ 3 高等代数资源网
2 正交矩阵的定义
定义 2.1 设A ∈ Rn×n ,若AT A = E,则称A为正交矩阵.
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3 正交矩阵的性质
例 3.1 设A为n阶实矩阵,则以下几条等价: (1)A为正交矩阵; (2)AAT = E ; (3)AT = A−1 ; (4)A的行(列)向量是两两正交的单位向量,即为欧氏空间Rn (标准内积)的一组标准正 交基. 例 3.2 (1)交换单位矩阵的行或列得到的矩阵(置换矩阵)是正交矩阵; (2)置换矩阵与任一正交矩阵的乘积还是正交矩阵,即交换正交矩阵的行或列得到的矩 阵还是正交矩阵; (3)正交矩阵的一行(列)乘以−1得到的矩阵仍为正交矩阵. 例 3.3 (1)上三角的正交矩阵必为对角矩阵,且对角元为1或−1. (2)如果正交矩阵 A是分块上三角矩阵，则 A 是分块对角矩阵，且 A 的主对角线上 的所有子矩阵都是正交矩阵。 例 3.4 设A为正交矩阵,则 (1)|A| = 1或−1; (2)A可逆,A−1 = AT 也是正交矩阵; (3)A∗ 是正交矩阵. 例 3.5 设A, B 都是正交矩阵,则 (1)AB, Am , AT B = A−1 B, AB T = AB −1 , AT BA = A−1 BA都是正交矩阵.其中m为正 整数. ( ) ( ) 1 A 0 A A (2) ,√ 都是正交矩阵. 0 B 2 −A A 例 3.6 (1)(北京理工04,太原科技06)设A, B 均为n阶正交矩阵,且|A| = −|B |,证明: |A + B | = 0.(r(A + B )∗ ≤ 1). (2)设A, B 均为n阶正交矩阵,n为奇数且|A| = |B |,证明:|A − B | = 0; (3)设A, B 均为n阶正交矩阵,n为奇数.则(A + B )(A − B )不可逆. (4)设A, B 为n阶正交阵,则|A| = |B |当且仅当n − r(A + B )为偶数. (5)设A, B 为n阶正交阵,|A||B | = 1.则 ker(A + B ) = {x ∈ Rn |(A + B )x = 0} 的维数是偶数. ◇※☆■◇◇※☆■◇ 2 高等代数资源网ຫໍສະໝຸດ 专题:正交矩阵的性质及其应用

例 3.8 (1)(武汉大学,上海交大)设A为n阶实方阵,AT A = E, |A| = −1,求证|A + E | = 0,即−1是A的特征值. (2)设A为奇数阶正交矩阵,|A| = −1,证明:A有特征值−1,即|A − E | = 0. 证明:(法1)参看例3.6. (法2)由于A的特征值只能为1, −1或a + bi(a2 + b2 = 1, b ̸= 0),且复特征值成对出现互为 共轭,因此可设A有2s个复特征值 a1 + b1 i, a1 − b1 i, · · · , as + bs i, as − bs i, r个特征值为1,m个特征值为−1,这里2s + r + m = n.由于 |A| = 1r (−1)m (a1 + b1 i)(a1 − b1 i) · · · (as + bs i)(as − bs i) = (−1)m , 从而可得. 例 3.9 (1)A为正交阵,|A| = −1的充要条件为A有奇数个特征值为−1. (1)A为正交阵,则|A| = 1的充要条件为A有偶数个特征值为−1. 例 3.10 设A为n阶正交矩阵,则 (1)A的复特征值的模为1,从而A的实特征值只能为1或−1,虚特征值成对互为共轭. (2)若λ = a + bi(a, b ∈ R, b ̸= 0)是A的特征值,ξ = α + βi(α, β ∈ Rn )是A的属于特征 值λ的特征向量,则β ̸= 0, α, β 长度相等且正交. 证明:(1)设λ ∈ C 是A的任一复特征值,α = (a1 + b1 i, · · · , an + bn i)(aj , bj ∈ R)为A的属 于特征值λ的特征向量,即Aα = λα,则 ¯ )¯ ¯ )(λα)αT AT Aα = α (λλ αα = (λα ¯ α, ¯ = 1,即结论成立. 但是α ¯ α ̸= 0,故λλ (2)由 A(α + βi) = (a + bi)(α + βi) 可得 Aα = aα − bβ, Aβ = aβ + bα. 若β = 0,则由Aβ = aβ + bα可得bα = 0,而b ̸= 0,故α = 0.这样ξ = 0.矛盾 . 下面证明α, β 长度相等且正交. (法1)由(2)左乘AT 可得 α = aAT α − bAT β, β = aAT β + bAT α, 于是 aα = a2 AT α − abAT β, bβ = abAT β + b2 AT α, ◇※☆■◇◇※☆■◇ 4 高等代数资源网 (1)
专题:正交矩阵的性质及其应用 证明:(1)(法1) |A||A + B | = |AT ||A + B | = |E + AT B | = |B T B + AT B | = |B T + AT ||B | = |B ||A + B | 由于|A| = −|B |,以及|B | ̸= 0,可得结论成立.