4.5 标准正交基与正交矩阵
判断正交矩阵的方法
判断正交矩阵的方法
正交矩阵是一个方阵，其列向量是一个标准正交基，即互相垂直且长度为1。
判断一个矩阵是否为正交矩阵的方法如下：
1. 求矩阵的逆矩阵，如果它的转置矩阵和逆矩阵相等，则该矩阵为正交矩阵。
2. 求矩阵的列向量的内积，如果每个向量的内积都等于0，且每个向量的长度等于1，则该矩阵为正交矩阵。
3. 判断矩阵的行向量是否满足互相垂直且长度为1的条件，如果满足则该矩阵为正交矩阵。
4. 对于实对称矩阵而言，如果其特征值都为实数且正交，则该矩阵为正交矩阵。
需要注意的是，正交矩阵的行列式值为1或-1，其特征值的模长均为1。
在实际应用中，正交矩阵被广泛用于线性代数、数值计算和图像处理等领域，具有重要的理论和实际意义。
标准正交基
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
练习：
1.设1 (0,1,1,0,0),2 (1,1,0,1,0),3 (4,5,0,0,1). 求L(1, 2 ,3 )的一个标准正交基.
答案：
标准正交基为：
1
1 2
(0,1,1,0,0), 2
1 10
因为 m n,
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量 m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
证明续： 从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
证明 设有一组数 k1, k2 , , kr使得
k11 k22 krr 0 等号两边的向量分别和1作内积
k11 k22 krr , 1 0, 1 展开得 k1 1,1 k2 2,1 kr r ,1 0
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 ,
首先，可取
1
1
| 1
|1
.
,n .
证明续：
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
4.5 标准正交基与正交矩阵
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1 = a1 ;
1 1 1 4 5 [a2 ,b1 ] b2 a2 b1 3 2 1 ; 2 b1 1 6 1 3 1
是一个单位向量，称这
x x
一运算为将向量x标准化或单位化。 例如：单位化x
x (1,1,1)T ,
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
[ x,y] 1 x y
(当 || x || || y || 0 时),
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
例 5 已知R3中两个向量
a1 (1,1,1) , a2 (1, 2,1) ,
T T
求a3，使得a1 , a2 , a3为R3的一组正交基，并求 T a ( 1 , 1 , 1 ) , 求一组非零向量 例 5 已知 1 与之等价的标准正交基。 a2 , a3 使 a1 , a2 , a3 两两正交.
y
y T y x T P T Px x T x x .
|| y || = || x || 说明经正交变换线段长度保持不变，
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , · · · , a r; 步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , · · · , ar
正交化, 得正交基 b1 , · · · , br ;
步骤 3 : 把 正交基 b1 , · · · , br 单位化即得 V
线性代数第四章第二节 Rn中向量的内积标准正交基和正交矩阵(2014版)
(1 , 3
2, 3
2 )T 3
(
2,1, 33
2 )T 3
(
2, 3
2 , 1)T . 33
解：设所求坐标为 (x1, x2, x3)T , 因为 B { }是 R3 的一个标准正交基, 所以
x1 ( )
1
1 3
2
2 3
3
2 3
3
x2
( )
1
2 3
2
1 3
3
2 3
x ·y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
由此引出了向量的长度(即模)和两向量夹角的概念: | x | x12 x22 x32 ,
arccos x y .
| x|| y|
我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广:
定义1:
设有n维向量
x
x1 x2 xn
,
由（2）式两边对 1 作内积有：
(3, 1)
k2(2, 1)
k1(1, 1)
0
k1
(3, 1) (1, 1 )
由（2）式两边对 2 作内积有：
(3, 2 )
k2(2, 2)
k1(1, 2 )
0
k2
(3, 2 ) ( 2 , 2 )
将 k, k1, k2 分别代入（1）、（2）式得：
1 1
2
2
§4.2 Rn中向量的内积 标准正交基和正交矩阵
一、向量内积的定义及性质
在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y 为两向量, 则它们的数量积为:
x ·y = | x || y | cos .
设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
T(a1,a2, ,an)b bn 2a1b1a2b2anbni n1aibi
称为向量 与 的内积. 显然， T R .
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T , 则
如果一个正交向量组中的每一个向量都是单位
向量，则称该向量组为正交单位向量组.
由正交的定义可知，Rn 中的零向量与任意向量
都正交； 又由内积的性质
内积的性质
(1) T = T ; (2) (k )T = kT ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0 , 且 T = 0 = 0 .
即 在 标 准 基 下 的 坐 标 为 (d1 , d2 , … , dn) ， 恰 为 的各个分量.
设 在基 1 , 2 , … , n 下 的坐标 为 (x1 , x2 , … , xn)
则有 x11 + x22 + … + xnn =
二、向量的内积
1. 内积的定义 定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
第六节 Rn 的标准正交基
向量空间的基 向量的内积 向量的长度 标准正交基 正交矩阵
正交矩阵公式
正交矩阵公式正交矩阵是线性代数中的一个重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
正交矩阵具有许多有趣的性质和特点，本文将介绍正交矩阵的定义、性质以及相关应用。
一、正交矩阵的定义正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的方阵。
具体而言，对于一个n阶矩阵A，如果有A^T*A=I，其中I为单位矩阵，则称A为正交矩阵。
二、正交矩阵的性质1. 正交矩阵的行（列）向量是单位向量，并且两两正交。
2. 正交矩阵的行（列）向量构成一组标准正交基。
3. 正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
4. 两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵。
5. 正交矩阵的行列式的值只能为1或-1。
三、正交矩阵的应用1. 旋转变换正交矩阵可以表示空间中的旋转变换。
例如，对于二维平面上的一个向量进行逆时针旋转θ度，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现。
同样地，对于三维空间中的向量进行旋转变换也可以利用正交矩阵来表示。
2. 坐标系变换正交矩阵还可以用于不同坐标系之间的变换。
例如，对于二维平面上的一个向量，可以通过乘以一个二阶正交矩阵来实现从笛卡尔坐标系到极坐标系的转换。
3. 图像处理在图像处理中，正交矩阵常用于图像的压缩和变换。
例如，离散余弦变换（DCT）是一种常用的图像压缩方法，其中正交矩阵被用来将图像从空域转换到频域，实现对图像数据的压缩和编码。
4. 物理学中的对称性正交矩阵在物理学中的对称性研究中有重要的应用。
例如，对称矩阵的特征向量是正交的，可以通过正交矩阵的对角化来研究对称矩阵的性质和特征。
5. 数值计算正交矩阵在数值计算中也有广泛的应用。
例如，正交矩阵可以用于求解线性方程组、矩阵的特征值和特征向量等问题，通过正交矩阵的特殊性质可以提高计算的效率和稳定性。
四、总结正交矩阵是一类特殊的方阵，具有许多有趣的性质和应用。
它在几何、物理学和计算机科学等领域中都有广泛的应用。
通过研究正交矩阵的定义、性质和应用，我们可以更好地理解线性代数的概念和方法，并将其应用于实际问题的求解中。
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项
线性代数中的正交矩阵性质与使用注意事项线性代数是数学的一个重要分支，研究向量空间和线性映射的性质与结构。
在线性代数中，正交矩阵是一个非常重要的概念，它具有许多独特的性质和应用。
本文将探讨正交矩阵的性质以及在实际应用中的注意事项。
首先，正交矩阵是指一个方阵，其列向量两两正交且长度为1。
这意味着正交矩阵的转置等于其逆，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质非常重要，因为它保证了正交矩阵的行列式值为1或-1。
这一性质在许多应用中起到了关键作用，例如在旋转变换中，正交矩阵可以用来保持向量的长度和夹角不变。
其次，正交矩阵的行向量和列向量都构成一个标准正交基。
标准正交基是指向量之间两两正交且长度为1的向量组。
正交矩阵的行向量和列向量都满足这一条件，因此它们可以作为一个标准正交基来表示向量空间中的向量。
这个性质在计算机图形学和信号处理等领域中得到了广泛应用，例如在三维空间中，可以使用正交矩阵来表示旋转和变换操作。
此外，正交矩阵具有保持向量长度和夹角不变的性质。
当一个向量与一个正交矩阵相乘时，其长度和夹角都不会发生改变。
这一性质在许多实际问题中非常有用，例如在图像处理中，可以使用正交矩阵来进行图像的旋转和缩放操作，而不会改变图像中物体的形状和大小。
然而，在使用正交矩阵时，也需要注意一些问题。
首先，正交矩阵的计算可能会涉及到复杂的数学运算，特别是在高维空间中。
因此，在实际应用中，需要使用适当的数值方法来计算正交矩阵，以避免计算误差和数值不稳定性。
其次，正交矩阵的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
这一性质需要在使用正交矩阵时予以注意，特别是在矩阵相乘的顺序对结果产生影响的情况下。
例如，在图像处理中，如果先进行旋转再进行缩放，与先进行缩放再进行旋转得到的结果可能会不同。
最后，正交矩阵的逆等于其转置，因此正交矩阵是可逆的。
这一性质在求解线性方程组和计算矩阵的特征值和特征向量时非常有用。
然而，需要注意的是，正交矩阵的逆可能会导致数值不稳定性，特别是在接近奇异矩阵的情况下。
第四章2正交矩阵
设 1 (a11 ,, a1n ),,n (an1 ,, ann ) 是一个标准正交基,组成行列式 a11 a12 a1n a21 a22 a2 n Q . an1 an 2 ann
5
a11 a21 T QQ a n1
( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 . 1 , 2 ( 1 , 1 )
1 1 , 1 , 2
可用 1 , 2线性表示.而 可用 1 , 2 线性表示. 2 o. 否则， 2
16
可用 1 1 , 线性表示,此与 1 , 2 线性无关矛盾.
§2 正交矩阵
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
二、两组标准正交基之间的过渡矩阵 三、正交矩阵及其性质 四、施密特标准正交基的求法
1
R n 的标准正交基和正交矩阵 一、
平面上通常选择坐标轴上的单位向量(1,0)和 (0,1)组成的所谓标架对于平面上的所有向量 进行分解.为了研究几何问题有时需要旋转这 个标架得到新的标架 1 ,2 ,这两个向量仍然正 交,并且长度为1.这样的向量组称为标准正交 基. 定义 R n 中的n个向量 1 ,, n 的向量组, 如果两两正交,并且每个向量的长度为1,则称 为一个标准正交基.
1 1/ 2 1 1 2 2 2 (0,1,1) (1,0,1) ( ,1, ) ( , , ). 2 3/2 2 2 3 3 3
再标准化，
19
6 1 1 2, 2 2 , 2 2 3 T 3 3 3 . 3 1 1 1 1 ( ,0, ), 1 2 2
a12 a1n a11 a21 an1 a22 a2 n a12 a22 an 2 an 2 ann a1n a2 n ann 1 0 0 0 1 0 1 T E .Q Q . 0 0 1
正交矩阵 标准正交基
正交矩阵标准正交基在线性代数中，正交矩阵和标准正交基是非常重要的概念，它们在矩阵和向量的运算中起着至关重要的作用。
本文将对正交矩阵和标准正交基进行详细的介绍，希望能够帮助大家更好地理解和运用这些概念。
首先，让我们来了解一下正交矩阵。
正交矩阵是指满足以下条件的实数方阵，其转置矩阵等于其逆矩阵，即满足条件$A^T A = I$，其中$I$为单位矩阵。
换句话说，正交矩阵的每一列都是单位向量，并且两两正交（即内积为0）。
正交矩阵具有许多重要的性质和应用，比如在旋转、镜像等几何变换中起着重要作用，同时在信号处理、图像处理等领域也有广泛的应用。
接下来，我们来介绍标准正交基。
在n维欧几里得空间中，如果一个基底中的向量组成正交矩阵，并且每个向量的模长为1，则称这个基底为标准正交基。
标准正交基在向量的表示、正交化、投影等问题中有着重要的作用，它能够简化向量运算的复杂度，同时也便于对向量空间进行分析和研究。
正交矩阵和标准正交基之间有着密切的联系。
事实上，正交矩阵的列向量就构成了一个标准正交基。
这是因为正交矩阵的列向量两两正交且模长为1，因此它们构成了一个标准正交基。
反之，任意一个标准正交基都可以通过正交化得到一个正交矩阵。
这种联系使得正交矩阵和标准正交基在理论和实践中都有着重要的地位。
在实际应用中，我们经常会遇到需要对矩阵进行正交化或者基底进行标准化的情况。
这时，我们可以利用正交矩阵和标准正交基的性质来简化计算，提高运算效率。
比如，在信号处理中，我们可以利用正交矩阵来进行信号的正交变换，从而简化信号的处理和分析；在机器学习中，我们可以利用标准正交基来表示特征向量，从而简化特征空间的计算和分析。
总之，正交矩阵和标准正交基是线性代数中非常重要的概念，它们在向量空间的表示、运算和分析中起着至关重要的作用。
通过深入理解和熟练运用这些概念，我们可以更好地解决实际问题，提高工作效率，同时也能够更深入地理解线性代数的理论和方法。
4-4 标准正交基
向量组的正交化与单位化.
亦称为施密特(gram-Schmidt)正交化法.
推论 Rn 中任意一组基都可用(gram-Schmidt)正交化法化
为标准正交基. 例4 用施密特正交化方法，将向量组
a 1 (1, 1, 1, 1), a 2 (1, 1, 0 , 4 ), a 3 ( 3 , 5 , 1, 1)
6
1 0 0 0 0 1 0 0 , , , 1 0 2 0 3 1 4 0 0 0 0 1
§5.4 标准正交基
主要内容 一. 正交向量组的概念 二. 向量组的正交化与单位化 三. 正交矩阵与正交变换 四. 小结、思考题
1
一、正交向量组的概念及求法
定义4.12 称 Rn 中一组两两正交的非零向量 1 , 2 , , m
为一个正交向量组．
定理4.3 若 n 维向量 1 , 2 , , r 是一组两两正交的 定理 1
的 正交向量组 b1 , b 2 , ..., b i 1
现证结论当 r = i 时也成立。 为此，须找到适当的向量 bi 使得 b1 , b 2 , ..., b i 1 , b i 成为与
a 1 , a 2 , ..., a i 1 , a i 等价的正交向量组。
设 b i a i l 1 b1 ... l i 1 b i 1 ( l 1 , ..., l i 1 为 待 定 系 数 ）
故 在 1， 2， ， n 下 的 坐 标 为 ... x i ( i , ) ( i 1, 2 , ..., n )
( i 1, 2 , ..., n )
四规范正交基(标准正交基)
1.规范正交基的概念 定义3 设 n 维向量 e1 ,e2 , ,er是向量空间V V R n 的一个基,如果
e1 ,e2 ,,er
是两两正交的单位向量,则称
e1 ,e2 ,,er
显然,若
是向量空间V的一个规范正交基.
e1 ,e2 ,,er
j
是V的一个规范正交基。
T T
x P Px
x x x
T
按‖x‖表示向量长度, ‖x‖=‖y‖说明经正交变换 向量的长度保持不变,这是正交变换的优良特性。
作业:
161页
1 (2)
2
3
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α3单位化，得 e3 3
3
1 1 1 , 3 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：显然P的每个列向量是两两正交的单位向量.所以 P为正交矩阵。
例5 设e1 , e2 ,, en是Rn的一个 规范正交基.A为正交矩阵.
试证.Ae1 , Ae2 , , Aen也是R 的一个规范正交基.
n
证 由于
i
Ae , Ae Ae
j i
T
T
高等代数第九章 2第二节 标准正交基
返回
上页
下页
因为度量矩阵是正定矩阵的，根据第五章关 于正定二次型的结果，正定矩阵合同于单位矩阵. 这说明在n维欧氏空间中存在一组基，它的度量矩 阵是单位矩阵. 由此断言
结论 在n维欧氏空间中，标准正交基是存在的. 在标准正交基下，向量的坐标可以通过内积 简单地表示出来，即 (1 , )1 ( 2 , ) 2 ( n , ) n (2)
返回
上页
下页
例3 欧氏空间Rn的基
i (0,,0, 1 ,0,,0） i 1, 2 ,, n
（i）
是Rn的一个标准正交基.
返回
上页
下页
(5)
(5)式相当于一个矩阵的等式
ATA=E ，
或者
返回
(6)
A-1=AT .
上页 下页
我们引入
定义7 n级实数矩阵A称为正交矩阵，如果ATA=E . 因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正 交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组 基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么
第二组基一定也是标准正交基.
向量η1,η2,…,ηn .
| 1 | 求出η1,η2,…,ηm ，它们是单位正交的，具有性质
返回 上页 下页
首先，可取 1
1
1 . 一般地，假定已经
L(ε1,ε2,…,εi)=L(η1,η2,…,ηi)，i=1,2, …,m.
下一步求ηm+1. 因为L(ε1,ε2,…,εm)=L(η1,η2,…,ηm)，所以εm+1 不能被线性表出. 按定理1证明的方法，作向量
返回 上页 下页
线性代数标准正交基
y
(x, y)
1 1 x , y
x2 y2
x2 y2 x2 y2
x
是与 同方向的单位向量.
o
用非零向量旳长度清除向量, 得到一种与同
方向旳单位向量, 称为把向量单位化。如
( 4,0, 1, 2 )T 21
1
4
21
,
0 , 1 ,
21 21
2 T
21
四、正交向量组 定义2.20 设 , Rn 假如 T=0,则称与正交
则称 1,2 ,...,n 为Rn 旳一种原则正交基. 如 1 (1, 0, ..., 0 )T , 1, 2 ,..., n 为Rn 旳原则正交基.
2 ( 0, 1, ..., 0 )T ,
n ( 0, 0, ..., 1 )T
又如 1 (1, 2, 3 )T
2 ( 0, 1, 2 )T 3 ( 0, 0, 1 )T
QTQ E
1, 2 ,..., n 是单位正交向量组.
1, 2 ,..., n 两两正交,且 1 2 ... n 1
与正交
T 0
一般地, 在 n 维空间Rn 中 1 (1 0 0 ... 0 )T
2 ( 0 1 0 ... 0)T
3 ( 0 0 1 ... 0 )T
i j时,
T i
j
0
i
j
n ( 0 0 0 ... 1 )T
Rn 中旳单位向量组 1,2,…,n 两两正交.
1, 2 ,..., n 称为Rn 中旳 正交单位向量组.
)
k2(
iT
2
)
...
ki
(
iT
i
)
...
ks
(
标准正交矩阵
标准正交矩阵
标准正交矩阵是线性代数中重要的概念，它在许多领域都有着广泛的应用。
在
本文中，我们将深入探讨标准正交矩阵的定义、性质以及其在实际问题中的应用。
首先，让我们来了解一下标准正交矩阵的定义。
一个n阶实矩阵A如果满足AT·A=I（其中AT表示A的转置矩阵，I为单位矩阵），则称A为标准正交矩阵。
换言之，标准正交矩阵是指满足A的转置矩阵与A的乘积为单位矩阵的实矩阵。
接下来，我们来探讨标准正交矩阵的性质。
首先，标准正交矩阵的行（列）向
量是两两正交的，并且模长为1。
其次，标准正交矩阵是正交矩阵的一种特殊情况，所以它的逆矩阵就是它的转置矩阵。
此外，标准正交矩阵具有保范性，即对于向量x，有||Ax||=||x||，其中||·||表示向量的模长。
这些性质使得标准正交矩阵在解决线
性方程组、最小二乘问题等方面有着重要的应用。
在实际问题中，标准正交矩阵也有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，
标准正交矩阵常用来表示旋转、缩放和平移等变换，它可以保持向量的长度和角度不变，从而保持图形的形状和大小。
此外，在信号处理领域，标准正交矩阵也被广泛应用于正交变换和数据压缩等方面，例如离散余弦变换（DCT）和离散傅立叶变换（DFT）等都是基于标准正交矩阵的算法。
总之，标准正交矩阵是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和在实
际问题中的广泛应用。
通过深入理解标准正交矩阵的定义和性质，我们可以更好地应用它解决实际问题，拓展其在各个领域的应用。
希望本文对读者对标准正交矩阵有所帮助，也希望读者能进一步深入学习和研究这一重要的数学概念。
正交矩阵和标准正交矩阵
正交矩阵和标准正交矩阵正交矩阵和标准正交矩阵是线性代数中重要的概念。
它们在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
本文将介绍正交矩阵和标准正交矩阵的定义、性质以及它们的应用。
首先，我们来定义正交矩阵。
一个n×n的实矩阵A被称为正交矩阵，如果它满足下列条件：1. A的每一列都是单位向量；2. A的每一行都是单位向量；3. A的每一列都与其他列正交（即内积为0）；4. A的每一行都与其他行正交。
接下来，我们来定义标准正交矩阵。
一个n×n的实矩阵Q被称为标准正交矩阵，如果它满足下列条件：1. Q的每一列都是单位向量；2. Q的每一列都与其他列正交。
可以看出，标准正交矩阵是正交矩阵的一种特殊情况。
标准正交矩阵的特点是其转置矩阵等于其逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
正交矩阵和标准正交矩阵有许多重要的性质。
首先，正交矩阵的行列式的绝对值为1，即|det(A)| = 1。
这意味着正交矩阵的行列式不为0，因此它是可逆的。
其次，正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，即A^T= A^(-1)。
这个性质使得正交矩阵在求解线性方程组和矩阵的逆等问题中非常有用。
标准正交矩阵的性质更加简洁明了。
首先，标准正交矩阵的转置矩阵等于其逆矩阵，即Q^T = Q^(-1)。
这个性质使得标准正交矩阵在求解线性方程组和矩阵的逆等问题中非常方便。
其次，标准正交矩阵的每一列都是单位向量，因此它们可以用来构造坐标系。
在计算机图形学和机器学习等领域中，标准正交矩阵常常用于旋转和变换操作。
正交矩阵和标准正交矩阵在许多数学和工程领域中都有广泛的应用。
在物理学中，正交矩阵常用于描述旋转和对称性。
在信号处理中，正交矩阵常用于正交变换，如傅里叶变换和离散余弦变换。
在计算机科学中，正交矩阵和标准正交矩阵常用于图像处理、数据压缩和机器学习等领域。
总结起来，正交矩阵和标准正交矩阵是线性代数中重要的概念。
它们具有许多重要的性质，可以用于求解线性方程组、矩阵的逆以及旋转和变换操作等问题。
线性代数中的正交矩阵判定方法
线性代数中的正交矩阵判定方法线性代数是现代数学的一个重要的分支，其研究的主要对象是向量空间和线性映射。
其中，正交矩阵是线性代数中的一个重要的概念和工具，其具有很多重要的性质和应用。
在本文中，我们将讨论线性代数中的正交矩阵判定方法，重点介绍正交矩阵的定义及其性质，并讨论如何判断一个矩阵是否为正交矩阵。
一、正交矩阵的定义及其性质正交矩阵是指矩阵的转置与逆矩阵相等的矩阵，即$A^{T}\cdot A=AA^{T}=I$，其中I是单位矩阵。
其基本性质如下：1.正交矩阵的行（或列）是一组标准正交基向量。
所谓标准正交基向量，指的是长度为1，且两两垂直的向量。
2.正交矩阵的转置仍为正交矩阵。
3.正交矩阵的行列式的绝对值为1。
4.正交矩阵的逆矩阵也是正交矩阵。
5.正交矩阵的行列式不为0。
这些性质说明了正交矩阵的重要性和特殊性，可以广泛应用于形式化的表述几何概念，如旋转、镜像、变换等。
二、正交矩阵的判定方法1.判定方法一：矩阵的列向量为标准正交基向量如果一个$n\times n$的矩阵的列向量是标准正交基向量，则该矩阵是正交矩阵。
例如，$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 &0\end{bmatrix}$是正交矩阵，其列向量是标准正交基向量。
2.判定方法二：矩阵的行向量为标准正交基向量如果一个$n\times n$的矩阵的行向量是标准正交基向量，则该矩阵是正交矩阵。
例如，$A=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 &0\end{bmatrix}$是正交矩阵，其行向量是标准正交基向量。
3.判定方法三：矩阵的列向量组构成的矩阵的列向量组和行向量组均为标准正交基向量如果一个$n\times n$的矩阵的列向量组构成的矩阵的列向量组和行向量组均为标准正交基向量，则该矩阵是正交矩阵。
线性代数——正交矩阵
证明：因为 = Q , 则 T = QTT , 所以
T = QTT Q ,
又因为 1 ,2 ,L ,n 与 1 ,2 ,L ,n 均为标准正交基,
所以
T = E, T = E,
故
QTQ E.
三、正交矩阵及其性质 定义2 实数域 R 上的 n 阶矩阵 Q 满足 QTQ E, 则
称 Q 为正交矩阵.
n)
1T
T 2
M
,
则
Qn为正交矩阵
T n
列向量组 1,2 ,L ,n为Rn 的一组标准正交基. 行向量组 1, 2 ,L , n 为 Rn的一组标准正交基.
小结：设 (1 2 L n ) (1 2 L n ) Q
1°若 和 均是的标准正交基, 则过渡矩阵Q是正交
矩阵.
2°若 是标准正交基, Q是正交矩阵, 则 是标准正
1T2 2T2
LL
L L
nT
nT1 nT2 L
1Tn 2Tn
E
nTn
二、两组标准正交基间的过渡矩阵
设 1 ,2 ,L ,n 与 1 ,2 ,L ,n 是 Rn 的两组标准
正交基, 令 (1 2 L n ), (12 L n ) , 由 到
的过渡矩阵为Q , 即 = Q , 则 QTQ E.
四、求标准正交基的方法
1．施密特正交化方法
设 1 ,2 ,L ,s 是 Rn 中一组给定的基,
令 3
1 1,
3
T 3
1
1T 1
1
2 2
T 3
2
T 2
2
2,
T 2
1
1T 1
1,
…… ,
s
s
T s
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
· · · , ar 这个基标准正交化.
我们可以用以下方法把 a1 , a2 , · · · , ar 规范
正交化:
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
取 b1 = a1 ;
[b1,a2 ] b2 a2 b1 ; [b1,b1 ]
2. 长度的性质
向量的长度具有下列性质: (1) 非负性 当 x 0 时, || x || > 0;
当 x = 0 时, || x || = 0.
(2) 齐次性 || x || = || || x || ;
(3) 三角不等式
当 x 0 时，
|| x + y || ≤ || x || + || y ||.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
1 1 1 1 b1 , 2 b2 , , r br , b1 b2 br
就得 V 的一个标准正交基. 上述从线性无关向量组 a1 , · · · , ar 导出正交
向量组 b1 , · · · , br 的过程称为施密特(Schimidt)
x (1,1,1)T ,
y (1, 2, 4)T ,
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
二、内积的性质
设 x, y, z 为 n 维向量， 为实数，则内积有
下列性质：
（1） [x, y] = [y, x]; （2） [x, y] = [x, y];
（3） [x + y, z] = [x, z] + [y, z];
y
y T y x T P T Px x T x x .
|| y || = || x || 说明经正交变换线段长度保持不变，
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
解 a2 , a3 应满足方程 a1Tx = 0, 即
x1 x2 x3 0 .
它的基础解系为
1 0 x1 0 , x 2 1 . 1 1
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
六、正交矩阵
定义 4 设 A 为 n 阶实矩阵, 且 ATA = E ,
|A| = ;
(2) 实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件是 AT 是 A 的
行(列)向量组是两两正交的单位向量组.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
七、正交变换
定义 5 若 P 为正交矩阵，则线性变换
y = Px 称为正交变换.
设 y = Px 为正交变换，则有
4.5 标准正交基与正交矩阵
黄凤英 信息科学与计算学院
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
主要内容
内积的定义
内积的性质
向量的长度和夹角 正交向量组的性质
正交基与规范正交基
正交矩阵 正交变换
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
一、内积的定义
定义1 设有 n 维向量
x1 y1 x2 y2 x ,y , x y n n
（4） [x, x] ≥ 0, 且当 x 0 时有 [x, x] > 0.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
在解析几何中，我们曾引进向量的数量积 x· y = |x| |y| cos ,
且在直角坐标系中，有
( x1, x2, x3 ) · (y1, y2 , y3 ) = x1y1 + x2y2 + x3y3 . 所以 n 维向量的内积是数量积的一种推广. 但 n 维向量没有 3 维向量那样直观的长度和夹角的概 念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推 广. 并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长 度和夹角.
令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn , [x, y] 称为向 量 x 与 y 的内积.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
内积是向量的一种运算，运算结果是一个实数
这种运算也可用矩 阵记号表示.
x 与 y 都是列向量，有
[x, y] = xTy = yTx . 例如：
[ x,y] 令 cos x y
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
于是有下面的定义:
定义 当 || x || 0, || y || 0 时,
[ x,y] arccos x y
称为 n 维向量 x 与 y 的夹角. 当 [ x, y ] = 0 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若
则称 A 为正交矩阵.
例如
cosθ sin θ
都是正交矩阵.
1 sin θ ,0 cosθ 0
0 1 2 1 2
0 1 2 1 2
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
2. 正交矩阵的性质
(1) 若矩阵 A 为正交矩阵, 则
步骤 1 : 求 V 的任意一个基 a1 , · · · , a r; 步骤 2 : 用施密特正交化过程把 a1 , · · · , ar
正交化, 得正交基 b1 , · · · , br ;
步骤 3 : 把 正交基 b1 , · · · , br 单位化即得 V
的 一个标准正交基.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
x = 0, 则 x 与任何向量都正交, 即零向量与任何向
量正交. 讲解书例1
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
四、正交向量组的性质
1. 正交向量组的定义 定义 若非零向量组a1 , a2 , · · · , am两两正交,即
[ai , aj]=aiTaj=0 (iǂj; i,j=1,2,….m) 则向量组称为正交向量组.若每个向量为单位向量， 称此正交向量组为单位正交向量组。
解 a2 , a3 应满足方程 a1Tx = 0, 即
x1 x2 x3 0 .
它的基础解系为
1 黄凤英
4.5 标准正交基与正交矩阵
0
求一组非零向量 1 ) a ( ( 1,,1 1,,1 1 ) ,, 求一组非零向量 例6 5 已知 a 1 1
T T
a 2 , a3 使 a1 a ,1 a2 ,2 a3 两两正交 . . ，使 ,a ,a 3 两两正交
定理 1 若 n 维向量 a1 , a2 , · · · , am是一组
两两正交的非零向量, 则 a1 , a2 , · · · , am线性无关.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
五、正交基与标准正交基
1. 定义
设 a1 , a2 , · · · , an 是 Rn 的一个基
如果 a1 , a2 , · · · , an 为单位正交向量组，则称 a1,
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
例 5 已知R3中两个向量
a1 (1,1,1) , a2 (1, 2,1) ,
T T
求a3，使得a1 , a2 , a3为R3的一组正交基，并求 T a ( 1 , 1 , 1 ) , 求一组非零向量 例 5 已知 1 与之等价的标准正交基。 a2 , a3 使 a1 , a2 , a3 两两正交.
[b1,ar ] [b2 ,ar ] [br1,ar ] br ar b1 b2 br 1 . [b1,b1 ] [b2 ,b2 ] [br1,br 1 ]
容易验证 b1 , · · · , br 两两正交, 且 b1 , · · · , br 与 a1 , · · · , ar 等价. 然后只要把它们单位化, 即取
例4 设
1 1 4 a1 2 , a 2 3 , a 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.
解 取 b1 = a1 ;
1 1 1 4 5 [a2 ,b1 ] b2 a2 b1 3 2 1 ; 2 b1 1 6 1 3 1
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
三、向量的长度和夹角
1. 长度的定义 定义2
令
2 1 2 2 2 n
x [ x, x ] x x x ,
|| x || 称为 n 维向量 x 的长度 ( 或模 ).
当 || x || = 1 时, 称 x 为单位向量.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
是一个单位向量，称这
x x
一运算为将向量x标准化或单位化。 例如：单位化x
x (1,1,1)T ,
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
3. 向量的夹角
向量的内积满足施瓦茨不等式
[ x, y ]2 ≤ [ x, x ][ y, y ] ,
由此可得
[ x,y] 1 x y
(当 || x || || y || 0 时),
· · , br 与 a1, · · · , ar 正交化过程. 它不仅满足 b1 , ·
等价, 还满足对任何 k (1 ≤ k ≤ r), 向量组 b1 , · · · ,
bk 与 a1 , · · · , ak 等价.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
综上所述, 求向量空间 V 的一个标准正交基 可归为以下三步:
a2 , · · · , an 是 Rn 的一个标准正交基.
黄凤英 4.5 标准正交基与正交矩阵
2. 标准正交基的求法
设 a1 , a2 , · · · , ar 是向量空间 V 的一个基, 要
求 V 的一个标准正交基. 也就是要找一组两两
x x · x与 正交的单位向量x1 , x2 , · · · ,x · , r r,使 1, 2,·