3.5 标准正交基
第二节标准正交基
中的两组标准正交基，它们之间的过渡矩阵是
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n (1 , 2 , , n ) ( 1 , 2 , , n ) . a a a n2 nn n1 因为 1 , 2 , … , n 是标准正交基，所以
(a3 ,b1 ) (a3 ,b2 ) b3 a3 b1 b2 (b1 , b1 ) (b2 , b2 )
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 . 0 3 1 3 1 1
3. 正交基的定义
定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n பைடு நூலகம்向量组成
由单位向量组成的正交 的正交向量组称为正交基；
基称为标准正交基. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交
基.
4. 正交基的性质
性质 1 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
则
1, ( i , j ) 0,
再把它们单位化, 取
1 b1 1 e1 2 , | b1 | 6 1
1 b2 1 e2 1 , | b2 | 3 1
1 b3 1 e3 0 . | b3 | 2 1
则 e1 , e2 , e3 即为所求.
性质 正交向量组是线性无关的. 证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 . 用 i 与等式两边作内积，得
ki ( i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
第三章 内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵
复矩阵(向量)的4个一元运算()∀A=(a ij )∈C m ×n ,复矩阵(向量)的一元运算的性质11221122k A k A k A k A +=+ ;TT T A k A k A k A k 22112211)(+=+方阵A=(a ij )∈C n ×n 的迹定义为其所有对角元之和:行列式的性质方阵乘积的行列式公式重要特殊矩阵A=(a ij )∈C n ×n 称为对角矩阵,如果∀i ≠j,a ij =0;A称为上(下)三角矩阵,如果∀i>(<)j,a =0.特征值,特征向量λ∈C称为A=(aij)∈C n×n的一个特征值,如果存在0≠x∈C n,使得Ax=λx.此时,x称为A的特征向量.特征值、特征向量续三角矩阵A的所有对角元组成A的谱:σ(A)={a,…,a}.线性相关与线性无关定义1.1.3 (p.5): F上线性空间V中的向量组{α,…,α}是线性相关的充要条件是:在数域F线性映射与线性变换关于线性映射与线性变换的定义,请看教本第24页§3.1: 欧式空间,酉空间§3.2: 标准正交基,Schmidt方法第三章内积空间,正规矩阵,Hermite矩阵§3.1: 欧式空间,酉空间从解析几何知二平面向量内积的概念定义3.1.1：设V是实数域R 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着欧式空间的概念例3.1.1：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈R n ,定义标准内积:(α,β)=a b +…+a b ,欧氏空间例1例3.1.2：∀α=(a 1,a 2)T ,β=(b 1,b 2)T ∈R 2,定义内积(R 2×R 2到R的映射):欧氏空间例2在R 2中至少可定义两个不同的内积.今后讨论R n 时都用例3.1.1中定义的内积.关于例1和例2的注例3.1.3:R m ×n ={(a ij )|a ij ∈R,i=1,…m,j=1,…,n}中任取A,B,定义内积:(A,B)=tr(A T B)=ΣΣa b .欧氏空间例3定义3.1.1：设V是复数域C 上的n维线性空间,对V 中的任意两个向量α,β,按照某一确定法则对应着酉空间的概念欧氏空间是酉空间的特例.关于欧式空间和酉空间的注酉空间例1例3.1.6：∀α=(a 1,…,a n )T ,β=(b 1,…,b n )T ∈C n ,酉空间例2例3.1.7：C m ×n ={(a ij )|a ij ∈C,i=1,…,m,j=1,…,n}§3.2: 标准正交基,Schmidt 方法欧氏空间中的C-S不等式推出:-1 ≤(α,β)/‖α‖‖β‖≤1正交的概念(,)1αβαβ≤§3.3: 酉变换,正交变换§3.6: 正规矩阵,Schur引理§3.8: Hermite矩阵,Hermite二次齐式§3.9: 正定二次齐式,正定Hermite矩阵证:设A∈H n×n,A(i1,…,ik)为A的第i1,…,ik行,列组成的k阶主子矩阵,易见:A(i,…,i)∈H n×n.(半)正定矩阵的任何主子矩阵仍为(半)正定证:因为(半)正定矩阵A的任何主子式都是(0或)正的定理:A ∈H n ×n 为正定⇔A的n个顺序主子式全为正:用主子式刻画(半)正定矩阵命题:A ∈H n ×n 为负定⇔-A为正定定理3.9.1:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:定理3.9.3:对任意A ∈H n ×n ,下列各条相互等价:(1) A半正定:∀x ∈C n ,x *Ax ≥0半正定矩阵的基本定理命题:A ∈H n ×n 为半正定⇔∀ε>0,A+εE 为正定半正定矩阵是正定矩阵序列的极限命题:对任意A ∈H n ×n ,下列两条相互等价:半正定矩阵是正定矩阵序列的极限(续)(1) A ∈C n ×n 为(半)正定(半)正定矩阵的补充结果定理(3.9.4):每个(半)正定Hermite矩阵A都有唯下证唯一性.如果还有正定矩阵M=Wdiag(µ,…,µ)W *,使∀i,j,(√λi v ij )=(√λj v ij ) 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续再证与A可交换的矩阵X(XA=AX)必与B可交换.若XUdiag(λ,…,λ)U *=Udiag(λ,…,λ)U *X 每个(半)正定矩阵有唯一(半)正定平方根续试证:A,B ∈H n ×n 且A为正定⇒AB的特征值全为实数.应用举例例3.9.1:若A,B为同阶正定Hermite矩阵,应用举例命题:A,B ∈H n ×n 且B正定,则det(λB-A)=0的根全为实数.证明: B正定⇒有可逆矩阵P使P *BP=E;定理3.10.1:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有T ∈C n n ×n 使二矩阵经复相合变换同时对角化易见: µ1,…,µn 是det(λE-T 1*AT 1)=0的根.二矩阵经复相合变换同时对角化定理3.10.4:若A,B ∈H n ×n 且B为正定,则有行列式等二矩阵经复相合变换同时对角化续定义3.11.1:由Hermite矩阵A定义的从C n –{0}到R 的下列函数:R(x)=x *Ax/x *x 称为矩阵A的Rayleigh商.§3.11: Rayleigh商(1)R(x)为x的齐次函数:∀0≠k ∈R ,R(kx)=R(x)(3)min x ≠0R(x)=λ1=min{λ1, …,λn };max R(x)=λ=max{λ, …,λ}.注:由(1)和(3)推出min x ≠0R(x)=min ‖x‖=1x *Ax,Rayleigh 商性质的注设M ∈H n ×n ,用λmin ,λmax 分别记M的最小,大特征值,则λ=min x *Ax,λ=max x *Ax.一个推论。
第3.5节向量空间正交向量组量
2
= 2
-
[ 2 [1
, 1] , 1]
1
3
=
3
-
[3 [1
, 1] , 1]
1
-
[3 [2
, 2] , 2]
2
……
s
=
s
-
[ s [1
, ,
1] 1]
1
-
[ s [2
, ,
2] 2]
2
-
-
[s , s-1] [s-1, s-1]
s-1
向量组1，2，，s是正交向量组，并且与向量
组1，2，， s可以相互线性表示。
a11
a21
a12
a22
a1n a11 a2n a12
a21
a22
an1 an2
=E
an1 an2 ann a1n a2n ann
1
2
T 1
,
T 2
,,
T n
=E
1 n
T
1
1
T 2
1
T n
2
T 1
2
T 2
2
T n
=
E
n
T 1
n
T 2
n
T n
2
2
1 = 1 2 = 2 - 11
11
1 = 1
上式两边与 1 做内积, 注意 [1, 2] = 0 得
从而
1
=
[1 , 2 ] [1, 2 ]
2
=
2
-
[1 , 2 ] [1, 1]
1
我们已求得 1, 2 已正交, 再求构造 3
3 = 3 - 11 - 22 (1)
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
线性空间的基本内容
(3)线性变换将线性相关的向量组变为线性相关的向量组
注意：线性无关的向量组经过线性变换后可能会变成线性相关的向量组，如零变换
3、线性变换的矩阵
(1) 定义 教材P133定义3.11
(2) 求线性变换一组基下的矩阵 教材P134例8---例11。
（2） 正交基与标准正交基 教材P145定义3.17
对一组正交基进行单位化，就得到一组标准正交基
（3） 在标准正交基下，向量坐标可用内积简单表示：见教材P145 定理3.11
在标准正交基下，内积也有特别简单的表达式：设 ，在 的标准正交基 下，有 ， ，则
（4）第二章中施密特正交化方法可以推广到一般的欧氏空间 教材P146定理3.12
② 两个等价的线性无关的向量组一定含有相同个数的向量。
(4)基 教材P122定义3.5
(5)坐标 教材P122定义3.6
注意：
① 若是 为 维线性空间 的一组基，则它们线性无关，并且对于任意 ， 线性相关。
② 向量在一组基下的坐标唯一。
4、基变换与坐标变换 教材P125定理 3.4
本章小结
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是我们碰到的第一个抽象的概念。在线性空间中，元素之间的联系是通过映射来实现的，而通常将线性空间到自身的映射称为变换。线性变换是其中最基本也是最重要的变换，它是线性代数的主要研究对象之一。本章重点介绍了两方面的内容：线性空间的概念、性质，线性空间的基与坐标；线性变换的定义,线性变换的矩阵。最后简要介绍了欧氏空间。
(3) 线性变换的像 与 的坐标之间的关系 教材P137定理3.7
4、线性变换与矩阵的一一对应关系
线性代数(第二版)第六节Rn 的标准正交基
可以得到将 Rn 中的非零向量化为
单位向量，称为将向量标准化的方法：
若 0 ，则
1
为单位向量或标准化向量.
事实上， 1 1 1 1.
例 如 设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , 则
下的坐标，记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
例 1 分别求向量 = (d1 , d2 , … , dn)T Rn，
在标准基 1 , 2 , … , n 和基 1 = (1, 0, …, 0)T ,
2 = (1, 1, …, 0)T , … , n = (1, 1, …, 1)T 下的坐标.
2
即 与 相互垂直.
2. 正交向量组的性质
定理 2.15 设 1 , 2 , … , s 是一个正交向量
组，则 1 , 2 , … , s 线性无关.
证 明 设 有 k1 , k2 , … , ks 使
k1 1 + k2 2 + … + ks s = 0 ,
以 1T 左 乘 上 式 两 端 , 得
定义 2.17 设 1 , 2 , … , n 为 Rn 的一组基，
则对于任意 Rn， 可以表为 1 , 2 , … , n 的线
性组合，且表示法唯一， 即存在 a1 , a2 , … , an R , 使
= a11 + a22 + … + ann
则称组合系数 a1 , a2 , … , an 为 在基1 , 2 , … , n
可知，一个向量组线性无关，
是其成为正交向量组的必要条件. 下面我们将介绍
标准正交基
标准正交基一、标准正交基的定义及相关概念1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
二、标准正交基的相关性质1、正交向量组的性质：（1）正交向量组是线性无关的。
证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。
（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。
）2、标准正交基的性质：（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εεj i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。
（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。
例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e ji j i所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。
《高等代数课后答案》(邱著)
《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。
可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。
以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。
希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。
标准正交基
注：① 子空间W的正交补记为 W . 即
W V W
② n 维欧氏空间V的子空间W满足: i) (W ) W ii) dimW dimW dimV n iii) W W V ⅳ) W的正交补 W 必是W的余子空间.
但一般地，子空间W的余子空间未必是其正交补.
§9.5 子空间
§9.5 子空间
一、正交子空间 二、子空间的正交补
§9.5 子空间
一、欧氏空间中的正交子空间
1．定义：
1) V1 与V2 是欧氏空间V中的两个子空间，如果对
V1, V2 , 恒有 ( , ) 0,
则称子空间 V1 与 V2为正交的，记作 V1 V2 .
2) 对给定向量 V , 如果对 V1, 恒有 ( , ) 0,
m
n
mn
( , ) ( xii , x j j )
xi x j ( i , j ) 0
i 1
jm1
i1 jm1
V1 V2 .
§9.5 子空间设 V2 ,V3 是V1 的正交补，则
V V1 V2 V1 V3
对 V2 , 由上式知 V1 V3
3．内射影
设W是欧氏空间V的子空间，由 V W W ,
对 V , 有唯一的 1 W , 2 W , 使 1 2
称 1 为 在子空间W上的内射影.
§9.5 子空间
即有 1 3 , 1 V1, 3 V3
又 V1 V2 , V1 V3 1 3 , 1,
从而有 ( ,1 ) (1 3 ,1 ) (1,1 ) (3 ,1)
(1,1 ) 0 由此可得 1 0, 即有 V3
同理可证 V3 V2 , V2 V3 .
§9.5 子空间
V2 V3 . 唯一性得证.
3-5正交试验设计及结果分析
例如：设计一个三因素、3水平的试验 A因素，设A1、A2、A3 3个水平；B因素，设B1、B2、B3 3 个水平；C因素，设C1、C2、C3 3个水平，各因素的水平之间 全部可能组合有27种 。 全面试验：可以分析各因素的效应，交互作用，也可选 出最优水平组合。但全面试验包含的水平组合数较多（图示 的27个节点），工作量大，在有些情况下无法完成 。 若试验的主要目的是寻求最优水平组合，则可利用正交 表来设计安排试验。
对于多因素试验，正交试验设计是简单常用的一种试 验设计方法，其设计基本程序如图所示。正交试验设计的 基本程序包括试验方案设计及试验结果分析两部分。
2.1 试验方案设计 （1） 明确试验目的，确定试验指标
试验设计前必须明确试验目的，即本次试验要解决什么 问题。试验目的确定后，对试验结果如何衡量，即需要确 定出试验指标。试验指标可为定量指标，也可为定性指标。
◇下表说明：试验号并非试验顺序，为了排除误差干 扰，试验中可随机进行；
3
上一张 下一张 主 页
在这9个水平组合中，A因素各水平下包括了B、C因素 的3个水平，虽然搭配方式不同，但B、C皆处于同等地位， 当比较A因素不同水平时，B因素不同水平的效应相互抵 消，C因素不同水平的效应也相互抵消。所以A因素3个水 平间具有综合可比性。同样，B、C因素3个水平间亦具有 综合可比性。
2023大学_大学线性代数课后答案
2023大学线性代数课后答案大学线性代数内容简介第一章矩阵与行列式1.0 预备知识1.0.1 集合1.0.2 数集1.0.3 数域1.0.4 求和号1.1 线性型和矩阵概念的引入1.1.1 矩阵的定义1.1.2 常用矩阵1.2 矩阵的运算1.2.1 矩阵的线性运算1.2.2 矩阵的乘法1.2.3 方阵的幂与方阵多项式1.3 方阵的行列式1.3.1 行列式的递归定义1.3.2 排列1.3.3 行列式的等价定义1.4 行列式的'基本性质1.4.1 转置行列式1.4.2 行线性性1.4.3 行列式的初等变换1.5 Laplace定理1.5.1 子式余子式代数余子式1.5.2 Laplace定理1.5.3 行列式的按行展开与按列展开 1.5.4 方阵乘积的行列式1.6 行列式的计算1.6.1 三角化1.6.2 降阶法与镶边法1.6.3 归纳与递推1.7 可逆矩阵1.7.1 可逆矩阵1.7.2 矩阵可逆的条件1.7.3 逆矩阵的求法1.8 分块矩阵1.8.1 矩阵的分块1.8.2 分块矩阵的运算1.8.3 分块对角矩阵习题一第二章线性方程组理论2.1 解线性方程组的消元法2.1.1 线性方程组的矩阵形式2.1.2 线性方程组的初等变换2.1.3 梯矩阵和简化梯矩阵2. 2向量空间Kn2.2.1 向量空间Kn及其运算性质2.2.2 子空间2.3 向量组的秩2.3.1 线性组合、线性方程组的向量形式 2.3.2 线性相关与线性无关2.3.3 极大线性无关组、向量组的秩2.4 矩阵的相抵标准形2.4.1 初等矩阵和矩阵的初等变换2.4.2 矩阵的秩2.5 Cramer法则2.5.1 Cramer法则2.5.2 求逆矩阵的初等变换法2.5.3 矩阵方程2.6 线性方程组解的结构2.6.1 线性方程组相容性判别准则2.6.2 齐次线性方程组的解空间2.6.3 非齐次线性方程组解的结构2.7 分块矩阵的初等变换2.7.1 分块矩阵的初等变换2.7.2 分块初等矩阵2.7.3 行列式和矩阵计算中的分块技巧习题二第三章相似矩阵3.1 方阵的特征值与特征向量3.1.1 方阵的特征值与特征向量3.1.2 特征值与特征向量的求法3.1.3 特征向量的性质3.2.1 矩阵相似的概念3.2.2 相似矩阵的性质3.3 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.1 矩阵相似于对角矩阵的条件3.3.2 特征值的代数重数和几何重数3.3.3 矩阵Jordan标准形3.4 方阵的最小多项式3.4.1 方阵的化零多项式3.4.2 最小多项式3.4.3 最小多项式与方阵相似于对角矩阵的条件 3.5 相似标准形的若干简单应用3.5.1 行列式求值与方阵求幂3.5.2 求与给定方阵可交换的方阵习题三第四章二次型与对称矩阵4.1 二次型及其标准形4.1.1 二次型及其矩阵表示4.1.2 二次型的标准形4.1.3 实对称矩阵的合同标准形4.2 惯性定理与二次型分类4.2.1 惯性定理4.2.2 二次型的分类4.3 正定二次型4.3.1 正定二次型4.3.2 二次型正定性判别法4.4 正交向量组与正交矩阵4.4.1 向量的内积4.4.2 正交向量组4.4.3 正交矩阵4.5 实对称矩阵的正交相似标准形4.5.1 实对称矩阵的特征值和特征向量 4.5.2 实对称矩阵的正交相似标准形 4.5.3 用正交替换化二次型为标准形习题四第五章线性空间与线性变换5.1 线性空间的概念5.1.1 线性空间的定义5.1.2 线性空间的简单性质5.1.3 线性子空间5.2 线性空间的同构5.2.1 基底，维数与坐标5.2.2 基变换与坐标变换5.2.3 线性空间的同构5.3 欧氏空间5.3.1 欧氏空间的定义与基本性质5.3.2 标准正交基5.3.3 欧氏空间的同构5.4 线性变换5.4.1 线性变换的概念与运算5.4.2 线性变换的性质5.5 线性变换的矩阵5.5.1 线性变换在给定基下的矩阵5.5.2 线性变换在不同基下矩阵间的关系习题五索引参考文献大学线性代数目录《大学数学线性代数》是普通高等教育“十一五”国家级规划教材“大学数学”系列教材之一，秉承上海交通大学数学基础课程“基础厚、要求严、重实践”的特点编写而成。
标准正交基
欧氏空间标准正交基1.(一、欧氏空间定义及基本性质)2.(二、标准正交基)(本页)3.(三、正交变换)在解析几何中, 通常采用直角坐标系, 即空间中选取三个两两正交的单位向量作为这3维空间的基. 由此联想到在维欧氏空间里是否能找到一组两两正交的单位向量作为基, 使一些问题的讨论更方便些.定义 6设为欧氏空间, 为中一组非零向量. 如果此组向量两两正交, 即(, ), 则称为一正交向量组.定理 2设是维欧氏空间的一个正交向量组, 则线性无关, 从而.证明见提示7.2.定义 7设为维欧氏空间.(1) 若是的一个正交组, 则它们构成的一个基, 称为正交基.(2) 若为的一个正交基, 且()为单位向量,则称为标准正交基.显然, 为标准正交基可描述为其中例 4在标准欧氏空间中, 向量组, ,是一个标准正交基.因为, 且.例 5是标准欧氏空间的一个标准正交基.定理 3设为欧氏空间的一个基, 则为标准正交基的充分必要条件是度量矩阵为单位矩阵.引入标准正交基的好处: 设为维欧氏空间的一个标准正交基, 则(1) 向量关于的第个坐标等于与的内积:设, 则(2) 在标准正交基下, 两向量的内积等于其各个坐标对应乘积之和:设, , 则由第一节公式(II),(这里是标准正交基的度量矩阵, 由定理3, .)定理 4 (施密特正交化)设是欧氏空间的一个基, 则可求出的一个标准正交基, 且可由线性表示(这一过程称为施密特正交化过程).例 6由标准欧氏空间的基, , 出发,施行施密特正交化方法, 求的一个标准正交基.解,所以,, ,记为所求的标准正交基.。
3.5 标准正交向量组
9
[1 , r ] [ 2 , r ] r r 1 2 [1 , 1 ] [ 2 , 2 ]
2014年4月21日7时27分
（2）单位化，取
1 2 e1 , e2 , 1 2
那么 e1 , e2 ,
r , er r
, er 为V 的一个标准正交基
1 1 4 例2：设 1 2 , 2 3 , 3 1 ，把这组 1 1 0 向量正交单位化
从而 k1 = 0
同理可证，k2 = k3 = … = kr =0 综上所述， α1, α2, …, αr 线性无关
2014年4月21日7时27分 6
三、施密特正交单位化 定义5：若两两正交的单位向量组构成向量空间的基， 则称它们为标准正交基 如：
1 0 0 0 0 1 0 0 1 ,2 ,3 ,4 0 0 1 0 0 0 0 1
称两两正交的不含零向量的向量组为正交向量组
注：零向量与任何向量都正交
2014年4月21日7时27分 5
定理1：正交向量组必线性无关
证明：设α1, α2, …, αr 是正交向量组，存在k1, k2, …, kr
使得 则 即 k1α1 + k2α2 + … + kr αr = 0 [α1, k1 α1 + k2 α2 + … + kr αr]= [α1, 0] =0 k1 [α1, α1] + k2 [α1, α2] + … + kr [α1, αr]=0 k1 [α1, α1] = 0
线性代数标准正交基
y
(x, y)
1 1 x , y
x2 y2
x2 y2 x2 y2
x
是与 同方向的单位向量.
o
用非零向量旳长度清除向量, 得到一种与同
方向旳单位向量, 称为把向量单位化。如
( 4,0, 1, 2 )T 21
1
4
21
,
0 , 1 ,
21 21
2 T
21
四、正交向量组 定义2.20 设 , Rn 假如 T=0,则称与正交
则称 1,2 ,...,n 为Rn 旳一种原则正交基. 如 1 (1, 0, ..., 0 )T , 1, 2 ,..., n 为Rn 旳原则正交基.
2 ( 0, 1, ..., 0 )T ,
n ( 0, 0, ..., 1 )T
又如 1 (1, 2, 3 )T
2 ( 0, 1, 2 )T 3 ( 0, 0, 1 )T
QTQ E
1, 2 ,..., n 是单位正交向量组.
1, 2 ,..., n 两两正交,且 1 2 ... n 1
与正交
T 0
一般地, 在 n 维空间Rn 中 1 (1 0 0 ... 0 )T
2 ( 0 1 0 ... 0)T
3 ( 0 0 1 ... 0 )T
i j时,
T i
j
0
i
j
n ( 0 0 0 ... 1 )T
Rn 中旳单位向量组 1,2,…,n 两两正交.
1, 2 ,..., n 称为Rn 中旳 正交单位向量组.
)
k2(
iT
2
)
...
ki
(
iT
i
)
...
ks
(
标准正交基
§2 标准正交基一、正交向量组 定义：设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,m V ααα∈,如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：① 若0α≠，则α是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 证：设非零向量12,,,m V ααα∈两两正交. 令 11220m m k k k ααα+++=， i k R ∈则 ()()11,,,0m mi j j j i j i i i j j k a k a a k a a α==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑由 0i a ≠知 (),0i j a a >， ∴ 0i k =， 1,2,,i m = 故 12,,,m ααα线性无关.③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：3R 中 ()11,1,0α=，()21,0,1α=线性无关． 但12,αα不是正交向量组.()12,10αα=≠.④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n 二、标准正交基 1. 几何空间3R 中的情况在直角坐标系下()1,0,0i =,()0,1,0j =,()0,0,1k =是由单位向量构成的正交向量组，即()()(),,,0i j j k k i ===1i j k ===i ,j ,k 是3R 的一组基.设 111x i y j z k α=++,3222x i y j z k R β=++∈ ① 从 ()1,i x α=,()1,j y α=,()1,k z α= 得 ()()(),,,i i j j k k αααα=++ ② ()121212,x x y y z z αβ=++③ α=④,arccos βθ=即在基,,i j k 下，3R 中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式. 2. 标准正交基的定义n 维欧氏空间中，由n 个向量构成的正交向量组称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注：① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基. ② n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基()1,,1,2,0i j i ji j n i j εε=⎧⇔==⎨≠⎩③ n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基当且仅当其度量矩阵 ()(),i j n A E εε==.④ n 维欧氏空间V 中的标准正交基的作用: 设1,,n εε为V 的一组标准正交基，则 (i) 设 1122n n x x x V αεεε=+++∈ 由(1) ，(),i i x αε= .有 ()()()1122,,,n n ααεεαεεαεε=+++ (2) (ii) ()11221,nn n i i i x y x y x y x y αβ==+++=∑ (3)这里 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ .(iii) α=3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程1） (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 12,,,m ααα欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对n m -作数学归纳法． 当0n m -=时， 12,,,m ααα就是一组正交基了.假设n m k -=时结论成立，即此时可找到向量12,,k βββ 使 12,,m ααα，12,,k βββ 成为一组正交基.现在来看()11n m k -=+≥的情形. 因为m n <，所以必有向量β不能被12,,m ααα线性表出， 作向量 ()111220m m mk k k αβααα+=---≠ i k R ∈ 待定． 从正交向量组的性质知()()()1,,,,i m i i i i k ααβααα+=-1,2,.i m = 于是取 ()(),,i i i i k βααα=1,2,.i m =可得()1,0,i m αα+= 1,2,.i m = 即 121,,,,m m αααα+ 为正交向量组．由归纳法假设知，对这1m +个向量构成的正交组可扩充得正交基. 于是定理得证．2）(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基12,,n εεε都可找到一组标准正交基12,,,n ηηη,使()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,,i n = 证：(基本方法─逐个构成出满足要求的12,,,n ηηη.)首先，可取 1111ηεε=.一般地，假定已求出12,,,m ηηη是单位正交的 ，且()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=， 1,2,i m = (4)当m<n 时，因为有 ()112,,,m m L εεεε+∉ 由(4)知 1m ε+不能被12,,,m ηηη线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量111122m m m m k k k ξεηηη++=---， ()()1,,m i i i i k εηηη+=即 ()1111,mm m m i i i ξεεηη+++==-∑ (5)则 10m ε+≠ 且 ()1,0m i εη+=， 1,2,i m = 再设 1111m m m ηξξ+++=.可知 121,,,,m m ηηηη+ 是单位正交向量组．从(4)和(5)知 121,,,,m m ηηηη+与121,,,m m εεεε+是等价向量组,因此，有()()121121,,,,,,m m L L εεεηηη++=由归纳原理，定理2得证. 注：① 由()()1212,,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i n = 知，若 ()()1212,,,,,,i n T ηηηεεε=,则过渡矩阵()ij T t =是上三角形（即0,ij t i j =>） 且 0,ij t > 1,2,i n = ②Schmidt 正交化过程:1。
线性代数第2章第6节Rn的标准正交基 卢刚版课件
β2
=
α2
−
α2T β1 β1T β1
β1
=
( −1,
0, 1,
0 )T
−
1 (−1, 1,
2
0,
0)T
=
⎛ ⎜ ⎝
−
1 2
,
−
1 2
, 1,
0
T
⎞ ⎟ ⎠
,
β3
= α3
−
α3T β1 β1T β1
β1 −
α3T β2 β2T β2
β2
=
( −1,
定义2.22 如果Rn中的n个向量α1,α2, ··· ,αn 满足以下 两个条件：
(1) α1,α2, ··· ,αn 中任意两个向量都正交． (2) α j = 1, j = 1, 2, ⋯, n. 则称α1,α2, ··· ,αn为Rn的一个标准正交基． 由定理 2.15 可知，一个向量组线性无关，是其成为 正交向量组的必要条件．那么，如何从一个线性无关的 向量组，系统地求出一个与之等价的正交向量组？
α = a1α1 + a2α2 + ⋯ + anαn
称组合系数a1, a2 , · · · , an 为α在基α1,α2 , · · · , αn下的 坐标，记作（a1, a2 , · · · , an） ．
4
例：分别求向量 α = (d1, d2,⋯, dn )T ∈ Rn在标准正交基ε1,
ε2 , …, εn和基 α1 = (1, 0, ⋯, 0)T , α2 = (1, 1,⋯, 0)T ,⋯,
证明：(1) 由于行列式
12 3 ξ1Tξ2Tξ3T = 1 1 2 = 1 ≠ 0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一、内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
称x, y为向量 x与 y的内积 .
2/30
说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
7/30
３ 正交向量组的性质
定理1
若n维向量 1, 2,
,
是一组
r
两两正交的
非零向量,则1,2, ,r线性无关.
8/30
４ 向量空间的正交基
若1, 2 , , r是向量空间V的一个基,且1, 2 ,
,
是两两
r
正交的
非零向量组,
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等
价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
范正交化 .
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量; 4 A的行向量是两两正交的单位向量.
28/30
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
15/30
上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 . 例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
称A为 正交矩阵 . 定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都 是单位向量且两两正交．
22/30
定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y Px 称为正
交变换．
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明 设y Px为正交变换,
则有 y yT y xT PT Px xT x x .
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
所以它不是正交矩阵．
25/30
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
9 9 9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1 9
8
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
26/30
例６ 验证矩阵
则
称
1
,
2
,
,
是
r
向量空间V的正交基.
9/30
５ 标准正交基
定义3 设n维向量 e1, e2 ,L , er是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1, e2 ,L , er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2 ,L , er是 V的一个标准正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
11/30
1 2 1 2 0 0
e1
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
b1
,
14/30
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为 单位向量.
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
6/30
三、标准正交基
１ 正交的概念 当[ x, y] 0时, 称向量x与y 正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交.
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
17/30
1 1 4
例３
设
a
1
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
1 8 4
2
9 8
9 1
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
24/30
解
1
1 1
2
1 2 1 3 1 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
1 1 1 1 1 1 0, 2 2 3 2
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
12/30
同理可知
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
13/30
６ 求标准正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
16/30
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
1 1 1 1
2 1
22 1 1
2 1
P
2 1
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
所以P是正交矩阵.
27/30
五、小结
1．将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化． 2． A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
2
,a2
3
,
a
3
1
,
试用施密1源自 1 0 特正交化过程把这组向量规范正交化.
解
取 b1 b2
a1;
a2
[a2
,
b1]
2
b1
b1
1 3 1
4
6
1 2 1
5
3
1 1 ; 1
b3
a3
[a3
,
b1]
2
b1
[a3
,
b2]
2
b2
b1
b2
18/30
4 1 0
4/30
二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 .
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
3. 三角不等式 x y x y .
5/30
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
1 2 0.
1
再把它们单位化，取
e1
b1 b1
1 6
1 2 , 1
e2
b2 b2
1 3
1 1 , 1
e3 b3 b3
1 2
1 0 1
.
e1,e2 ,e3即为所求.
19/30
四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 :