3.5 标准正交基

２ 正交向量组的概念 若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为正交向量组．
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３ 正交向量组的性质
定理1
若n维向量 1, 2,
,
是一组
r
两两正交的
非零向量,则1,2, ,r线性无关.
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４ 向量空间的正交基
若1, 2 , , r是向量空间V的一个基,且1, 2 ,
,
是两两
r
正交的
非零向量组,
1 A1 AT ; 2 AAT E; 3 A的列向量是两两正交的单位向量; 4 A的行向量是两两正交的单位向量.
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所以它不是正交矩阵．
25/30
2
1
9 8
8 9 1
4
9 4
9 9 9
由于
4 9
4 9
7 9
1
9 8
8 9 1
4
9 4
1 9
8
8 9 1
4
9 4
T
1 0
0 1
0 0
9 9
4 9
4 9
9 7 9
9 4
9
9 4
9
9 7
0
0
1
9
所以它是正交矩阵．
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例６ 验证矩阵
2 内积是向量的一种运算,如果x, y都是列 向量,内积可用矩阵记号表示为 :
x, y xT y.
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内积的运算性质
其中 x, y, z为n维向量,为实数 : (1) x, y y, x; (2) x, y x, y; (3) x y, z x, z y, z;
(4)[ x, x] 0,且当x 0时有[ x, x] 0.
则
称
1
,
2
,
,
是
r
向量空间V的正交基.
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５ 标准正交基
定义3 设n维向量 e1, e2 ,L , er是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1, e2 ,L , er两两正交且都是单位 向量,则称e1, e2 ,L , er是 V的一个标准正交基.
例如
1 2 1 2 0 0
称A为 正交矩阵 . 定理 A为正交矩阵的充要条件是 A的列向量都 是单位向量且两两正交．
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定义5 若 P为正交阵，则线性变换 y Px 称为正
交变换．
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明 设y Px为正交变换,
则有 y yT y xT PT Px xT x x .
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
1 1 1 1
2 1
22 1 1
2 1
P
2 1
2
0
2 1 2
0
2 0 1
2 0
是正交矩阵.
1
2 2
解 P的每个列向量都是单位向量,且两两正交,
所以P是正交矩阵.
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五、小结
1．将一组基规范正交化的方法： 先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化． 2． A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：
解 先正交化，取
b1 a1 1,1,1,1
b2
a2
b1,a2 b1 , b1
b1
1,1,0,4
1
1
4
1,1,1,1 0,2,1,3
1111
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b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
,a3 , b2
] ]
b2
3,5,1,1 8 1,1,1,1 140,2,1,3 1,1,2,0
（2）单位化，取
e1
b1 b1
,
e2
b2 b2
,
, er
br br
,
那么 e1 ,e2 , ,er为V的一个规范正交基 .
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上述由线性无关向量组a1 , ,ar构造出正交 向量组b1 , ,br的过程,称为施密特正交化过程 . 例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1),a2 (1,1,0,4),a3 (3,5,1,1) 正交规范化.
单位向量及n维向量间的夹角
1 当 x 1时,称 x为 单位向量.
2当 x 0, y 0时, arccos x, y
xy 称为n维向量x与y的夹角 .
例 求向量 1,2,2,3与 3,1,5,1的夹角.
解
cos
18 2 3 26 2
.
4
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三、标准正交基
１ 正交的概念 当[ x, y] 0时, 称向量x与y 正交. 由定义知,若 x 0,则 x 与任何向量都正交.
1
1 1
2
1 2 1
1 3 1 2,
1 3 1 2 1
1 8 4
2
9 8
9 1
9 4
.
9 9 9
4 9
4 9
7 9
24/30
解
1
1 1
2
1 2 1 3 1 1 2
1 3 1 2 1
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
1 1 1 1 1 1 0, 2 2 3 2
4
14
再单位化，得规范正交向量组如下
e1
b1 b1
1 2
1,1,1,1
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
e2
b2 b2
1 0,2,1,3
14
0,
2 , 14
1 , 14
3 14
e3
b3 b3
1 6
1,1,2,0
1, 6
1 6
,
2 6
,0
17/30
1 1 4
例３
设
a
1
i j且i, j 1,2,3,4. i j且i, j 1,2,3,4.
所以 e1 ,e2 ,e3 ,e4为R4的一个规范正交基.
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同理可知
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个规范正交基.
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６ 求标准正交基的方法
设1 , 2 , , r是向量空间V的一个基,要求V
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二、向量的长度及性质
定义2 令
x x, x x12 x22 xn2 , 称 x 为n维向量 x的长度或范数 .
向量的长度具有下述性质： 1. 非负性 当 x 0时, x 0;当 x 0时, x 0;
2. 齐次性 x x ;
3. 三角不等式 x y x y .
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2
,a2
3
,
a
3
1
,
试用施
密
1
1
0
特正交化过程把这组向量规范正交化.
解
取 b1 b2
a1;
a2
[a2
,
b1]
2
b1
b1
1 3 1
4
6
1 2 1
5
3
1 1 ; 1
b3
a3
[a3
,
b1]
2
b1
[a3
,
b2]
2
b2
b1
b2
18/30
4 1 0
b1
,
14/30
b3
a3
[b1 ,a3 [b1 ,b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
br
ar
[b1 [b1
,ar , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
ar b2
] ]
b2
[br1 ,ar ] [br1 ,br1 ]
br
1
那么b1 , ,br两两正交,且b1 , ,br与a1 , ar等价.
的一个规范正交基,就是要找一组两两正交的单
位向量e1 ,e2 , ,er ,使e1 ,e2 , ,er与1 , 2 , , r等
价,这样一个问题,称为 把1,2 , ,r 这个基规
范正交化 .
若a1 ,a2 , ,ar为向量空间V的一个基,
（1）正交化，取 b1 a1 ，
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
e1
1
0 0
2 ,e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2
1 2
11/30
1 2 1 2 0 0
e1
wenku.baidu.com
1
0 0
2
, e2
1 0 0
2 ,e3
1
0 2 ,e4
1
0 2
.
1 2 1 2
由于
[ei ,e j ] 0, [ei ,e j ] 1,
1
3
1 2 1
5
3
1 1 1
1 2 0.
1
再把它们单位化，取
e1
b1 b1
1 6
1 2 , 1
e2
b2 b2
1 3
1 1 , 1
e3 b3 b3
1 2
1 0 1
.
e1,e2 ,e3即为所求.
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四、正交矩阵与正交变换
定义4 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
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一、内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量
x1
y1
x
x2
,
y
y2
,
xn
yn
令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
称x, y为向量 x与 y的内积 .
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说明
1 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．