标准正交基
欧式空间标准正交基
欧式空间标准正交基欧式空间是数学中的一个重要概念，它是指一个具有内积的实数或复数向量空间。
在欧式空间中，我们经常会遇到正交基的概念，它是指一组两两正交的向量组成的基。
本文将介绍欧式空间标准正交基的相关概念和性质。
首先，我们来看一下什么是标准正交基。
在欧式空间中，如果一个基中的向量两两正交，并且每个向量的模长为1，则这个基就是标准正交基。
换句话说，标准正交基是一组单位向量，并且两两正交。
标准正交基的性质非常重要。
首先，标准正交基是线性无关的，这意味着任何一个向量都可以由标准正交基线性表示。
其次，标准正交基可以简化内积的计算。
由于标准正交基中的向量两两正交，因此它们的内积为0，这使得内积的计算变得非常简单。
另外，标准正交基还具有方便的几何意义，它们可以用来描述空间中的方向和距离关系。
在实际问题中，我们经常需要将给定的基转化为标准正交基。
这可以通过施密特正交化方法来实现。
施密特正交化是一种将任意线性无关的向量组转化为标准正交基的方法，它可以保持向量空间的维数不变，并且不改变向量的生成性质。
除了施密特正交化方法外，我们还可以通过特征值分解来获得标准正交基。
对于对称矩阵，我们可以通过特征值分解得到一组标准正交基，这对于矩阵的对角化和特征值的计算非常有用。
最后，我们需要注意的是，欧式空间标准正交基在实际问题中具有广泛的应用。
比如在信号处理、图像处理、机器学习等领域，我们经常需要用到标准正交基来描述信号的特征和进行数据分析。
因此，对于标准正交基的理解和运用具有重要的意义。
总之，欧式空间标准正交基是数学中一个重要且有趣的概念，它具有丰富的性质和广泛的应用。
通过本文的介绍，希望读者能够对标准正交基有一个更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
求酉空间的标准正交基
求酉空间的标准正交基一、基向量定义在数学中，一个向量空间的一组向量称为基向量，如果这组向量线性无关，并且可以生成整个空间。
换句话说，空间中的任何一个向量都可以由这组基向量线性表示。
二、正交基的性质正交基是一组两两正交的基向量，即基向量之间的点积为0。
正交基具有以下性质：1. 正交基中的向量是正交的，即任意两个不同基向量的点积为0。
2. 正交基可以生成整个空间，即空间中的任何一个向量都可以由正交基线性表示。
3. 正交基的个数是空间维数，即一个n维空间的正交基的个数是n。
三、标准正交基的定义标准正交基是一种特殊的正交基，其每个基向量的模长都为1，即向量的长度或大小为1。
标准正交基的模长可以通过向量的分量计算得出。
四、构造标准正交基的方法构造标准正交基的方法有多种，以下是一种常用的方法：1. 选取一组线性无关的向量，可以随机选取或者通过其他方法得到。
2. 将这组向量单位化，即将每个向量的模长调整为1。
这可以通过将每个向量的分量除以其模长的平方根得到。
3. 如果这组向量已经两两正交，那么它们就是一组标准正交基。
否则，需要进行正交化过程，即将其中一个向量旋转使得它与另一个向量正交。
这个过程可以通过Gram-Schmidt 过程实现。
五、不同维数酉空间的标准正交基对于不同维数的酉空间，其标准正交基的个数也不同。
例如，一个2维酉空间的标准正交基有两个，而一个3维酉空间的标准正交基有三个。
对于更高维数的酉空间，标准正交基的个数与空间维数相同。
六、特殊酉空间的标准正交基特殊酉空间是指特殊的矩阵空间，如Hermitian矩阵空间和skew-Hermitian矩阵空间等。
在这些特殊矩阵空间中，标准正交基也有其特定的定义和性质。
例如，在Hermitian矩阵空间中，标准正交基是指一组两两正交且都属于Hermitian矩阵的基向量。
这些标准正交基可以通过相应的矩阵变换和特征值分解等方法得到。
七、标准正交基的应用标准正交基在很多领域都有应用，如量子力学、信号处理、图像处理等。
平面向量的正交和标准正交基
平面向量的正交和标准正交基平面向量是平面上具有大小和方向的向量。
在平面向量的研究中，正交和标准正交基是非常重要的概念。
本文将详细介绍平面向量的正交性和标准正交基，并探讨它们在几何和代数中的应用。
一、正交向量在平面向量的研究中，正交向量是一个重要的概念。
两个向量如果夹角为90度，则它们被称为正交向量。
而两个向量的点积（内积）为0时，也可以称它们为正交向量。
假设有两个平面向量A和B，它们的坐标表示分别为A=(x1, y1)和B=(x2, y2)。
如果A·B=0，则向量A和向量B为正交向量。
正交向量的性质之一是它们的内积为零，这可以利用点积的几何意义进行解释。
点积等于向量A在向量B方向上的投影的长度与向量B 的长度的乘积。
因此，若两个向量正交，则其中一个向量在另一个向量的方向上的投影为零，即点积为零。
正交向量在几何上有很多应用，例如在计算两条直线的关系时，可以利用正交向量来判断是否垂直。
此外，在物理学、工程学和计算机图形学等领域中，正交向量也有着广泛的应用。
二、标准正交基在平面向量中，标准正交基是由线性无关的向量组成的集合，并且每个向量都与其他向量正交。
标准正交基的一个重要性质是每个向量的长度都为1，即它们是单位向量。
假设有两个平面向量A和B，它们满足以下条件：1. A和B是线性无关的向量；2. A·B=0；3. A的长度为1，即|A|=1；4. B的长度为1，即|B|=1。
则向量A和向量B为标准正交基。
标准正交基在几何和代数中都有着重要的应用。
在几何中，标准正交基可以用来描述平面上的坐标系，例如笛卡尔坐标系中的单位向量i 和j就是一个标准正交基。
在代数中，标准正交基可以用来表示向量空间的基，通过标准正交基可以简化向量的表示和计算。
另外，标准正交基还可以用于求解线性方程组和矩阵的特征向量等问题。
通过将向量表示为标准正交基的线性组合，可以将复杂的运算问题简化为基本的代数运算。
总结：平面向量的正交和标准正交基是平面向量研究中的重要概念。
标准正交基下的矩阵
标准正交基下的矩阵是正交矩阵，也称为标准正交矩阵。
标准正交矩阵是指行向量或列向量构成标准正交基的方阵。
标准正交基是单位坐标向量组，其中每个向量的模长为1，并且任意两个向量都垂直。
标准正交基下的矩阵的行向量或列向量也是单位坐标向量，因此，它们是单位向量。
同时，任意两行或两列之间都满足正交条件，即它们的点积为0。
标准正交基下的矩阵具有一些重要的性质，例如它的行列式值为1或-1，它的转置
矩阵等于它的逆矩阵等。
这些性质使得标准正交基下的矩阵在许多数学领域和工程领域中都具有重要的应用价值。
在实际应用中，我们可以通过计算向量之间的点积来检查一个矩阵是否是标准正交矩阵。
如果一个矩阵的行向量或列向量是标准正交基，那么它就是标准正交矩阵。
此外，我们也可以通过计算矩阵的行列式值、转置矩阵和逆矩阵等来验证一个矩阵是否是标准正交矩阵。
2第二节 标准正交基
事实上，设
α=x1ε1 +x2ε2+…+xnεn.
用εi与等式两边作内积，即得 xi=(εi, α), (i=1,2, …, n).
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在标准正交基下，内积有特别简单的表达式. 设
α=x1ε1+x2ε2+…+xnεn.
β=y1ε1+y2ε2+…+ynεn. 那么
(α, β)=x1y1+x2y2+…+xnyn=XTY.
ATA=E
即得
AAT=E
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写出来就是
1 ,当 i j ;
ai1a j1 ai2a j2
aina jn
0
,当
i
j.
(7)
(5)式是矩阵列与列之间的关系，(7)式是矩阵行与
行之间的关系. 这两组关系是等价的.
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例2 考虑定义在闭区间[0, 2π]上一切连续函数所作 成的欧氏空间C[0, 2π]. 函数组
k1α1+k2α2+…+kmαm=0 . 用αi (i=1,2, …, m)与等式两边作内积，即得
ki(αi , αi)=0 .
由αi ≠0 ，有(αi , αi)>0 ，从而ki=0 (i=1,2, …, m). 这 就证明了a1, a2,…,am是线性无关的. 证毕.
这个结果说明，在n 维欧氏空间中，两两正交 的非零向量不能超过n个.
3
(1,
1,
1,
1).
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第二步再单位化，便得到单位正交的向量组为
§9-2标准正交基
§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。
一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一个正交向量组。
例1: 向量(),0101=α()1012=α，()1013-=α构成3R 的一个正交组。
事实上，很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上，函数组 1，cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。
事实上，我们有ππ2120=⎰dx ；⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ； ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ； 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ；()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx ， 当n m ≠时一般情况下，正交向量组是对两个或两个以上的向量而言，对于特殊情况我们规定：单个非零向量所成的向量组是正交向量组。
由正交向量组的定义很容易得出以下结论： 1、正交向量组一定是线性无关的。
证明：设m ααα ,,21正交，欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积，由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①：此定理的逆不成立，即无关的向量组不一定是正交的。
如()3,2,11=α，()0,1,22=α无关（不成比例），但()0421≠=αα注②：相关的向量组一定是不正交的。
于是可得2、在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
事实上，在n 维空间中，任何n+1个向量都是相关的。
四规范正交基(标准正交基)
例2 设
1 1 4 1 2 , 2 3 , 3 1 , 1 1 0
试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化。 解 取
b1 1;
1 b1 1 e1 2 b1 6 1
b2 e2 b2
1 1 1 3 1
b3 3
3 , b1 b 3 , b2 b
b1
2 1
b2
2
2
4 1 1 1 1 5 1 2 1 2 0 0 3 1 3 1 1
e3
0 0 1 2 1 2
0 0 1 e4 2 1 2
由于 所以
e
i
,e j
1 0
i j i j
(i,j=1,2,3,4)
e1 ,e2 ,e3 ,e4
1 b2 1 则e2 2 b2 2 1
1 2 取b2 2 2 , e1 e1 1 1 2
3 再把 α31
1 0 它的基础解系为 1 0 , 2 1 1 1
令 1 1 , 2 2 ,
则 α3 与α1,α2 正交,显然α1与α2 线性无关,
施密特标准正交化.
因此可用
1 b1 1 取b1 = α1 , 则e1 0 , b1 2 1
b2 2 2 , e1 e1
b1 b1 2 2 , b1 b1
2
标准正交基
标准正交基一、标准正交基的定义及相关概念1、欧几里得空间：设V 实数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记作（βα,），它具有以下性质： （1）(βα,）=(αβ,); （2）(k βα,)=k(βα,);（3）(γβα,+)=(γα,)+(γβ,);（4）(αα,)>=0，当且仅当α=0时，(αα,)=0;这里，γβα,,是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间，简称欧氏空间。
2、正交向量组：欧式空间V 中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。
3、标准正交基：在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
二、标准正交基的相关性质1、正交向量组的性质：（1）正交向量组是线性无关的。
证明：设m ααα,...,,21是一正交向量组，m k k k ,...,,21是m 个实数，且有： 0...2211=+++m m k k k ααα用i α与等式两边作内积，得：0),(=i i i k αα由0≠i α，有0),(>i i αα，从而：0=i k ),...,2,1(m i = 命题得证。
（2）单个非零向量组成的向量组是正交向量组。
（3）在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
（如：在平面上找不到三个两两垂直的非零向量，在空间中找不到四个两两垂直的非零向量。
）2、标准正交基的性质：（1）若n εεε,...,21是一组标准正交基，则：⎩⎨⎧≠==.,0;,1),(j i j i j i εε 证明：j i =时，由单位向量定义：1),(=j i εε，1),(=∴j i εεj i ≠时，由正交向量定义：0),(=j i εε 命题得证。
（2）对一组正交基单位化就得到一组标准正交基。
例如：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=212100,212100,002121,0021214321e e e e由于⎪⎩⎪⎨⎧====≠=).4,3,2,1,;(,1),(),4,3,2,1,;(,0),(j i j i e e j i j i e e ji j i所以4321,,,e e e e 是4R 的一组标准正交基。
内积空间的标准正交基
线性无关性的证明可以通过构造一个行列式来证明，该行列式的值等于所有线性组合系数的乘积，如 果该行列式的值为零，则说明存在一组不全为零的实数，使得线性组合等于零向量，从而证明了线性 无关性。
03 标准正交基的构造方法
正交化过程
01
选取一组线性无关的向量作为初始基底。
02
通过正交化过程，将这组线性无关的向量转化为正交向量组。
内积空间的标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基的应用 • 标准正交基的例子
01 引言
什么是内积空间
交换律
01
x·y=y·x
分配律
02
z·(x+y)=z·x+z·y
非负性
03
x·y≥0
内积空间的标准正交基的定义
• 标准正交基是指由单位向量组成的向量组，这些单位向量两两正交，即它们的点积为0。对于一个内积空间，如果存在一组 线性无关的向量，它们两两正交并且模长为1，那么这组向量就构成了该内积空间的标准正交基。
VS
描述
这n个基向量是正交的，即它们的内积都为 0。同时，它们的模都为1，即对于每一个 基向量，其各分量平方和都等于1。
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正交性
两两正交
标准正交基中的向量两两正交，即对于任意两个不同的向量$e_i$和$e_j$，如果$i neq j$，则$e_i cdot e_j = 0$。
正交化过程
在构造标准正交基时，需要先选择一组线性无关的向量，然后通过正交化过程将 它们转化为正交基。
基的唯一性
唯一性定理
对于同一个内积空间，如果存在两个不同的标准正交基，则 这两个基之间可以通过一个可逆线性变换相互转化。
9.2__标准正交基
2. 正交向量组的性质
定理1 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
则 xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
= (i , x11) + … + (i , xii ) + … + (i , xnn ) = x1(i , 1) + … + xi(i , i ) + … + xn(i , n )
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
注意
1）应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明. 2）特别地，在欧氏空间的任一标准正交基下，有
| | x12 L xn2
第九章 欧几氏空间
§1 定义与基本性质 §5 子空间
§2 标准正交基
§6 对称矩阵的标准形
§3 同构 §4 正交变换
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 正交矩阵
一、定义
2.6.Rn的标准正交基
2. 长度的性质
(1) || || 0 , 且
设 , 为 Rn 中的向量， k R . || || = 0 = 0 ; (2) || k || = | k | · || ; || (3) |T | || || · || , 且 |T | = || || · || || ||
例如，设 = (1, 1, 1, 1)T , = (1, -2, 0, -1)T , = (3, 0, -1, -2)T ,
1 2 T (1, 1, 1, 1) 2, 0 1
则
3 0 T (1, 1, 1, 1) 0, 1 2
解 = (d1 , d2 , … , dn)T = d11 + d22 + … + dnn , 由于
即 = (d , d , … , d )T = d ,d2 +… ,dn+，恰为d , , d ) … + 的各个分量. 在标准基下的坐标为 (d1
1 2 n 1 1 2 2 n n
1. 内积的定义
定义 2.18 设 = (a1 , a2 , … , an)T , = (b1 , b2 … , bn)T 为 Rn 中的两个向量，
b1 则 n b2 T (a1 , a2 , , an ) a1b1 a2b2 anbn ai bi i 1 b 称为向量 与 的内积. n 显然， T R .
类似可证 k2 = 0, … , ks = 0.
因为 1 与 i (i = 2, 3, … T s) 正交, 所以 1Ti = 0, , T
4-2标准正交基
α1，α2，…，αm两两正交，则称α1，α2，…，αm是V的 ， 两两正交， ， 的 ， 又都是单位向量， 一个正交基；如果α1，α2，…，αm又都是单位向量， 一个正交基； 正交基 的一个标准正交基 则称α1，α2，…，αm是V的一个标准正交基. ， 的一个标准正交基.
定义4.7 定义4.7 设α1，α2，…，αm是欧氏空间 的一个基.如果 ， 是欧氏空间V的一个基.
1 1 1 1 1 1 α 3 = ,− ,0, ,0 为R4的一个基 ,α 4 = − , , 的一个基. 2 2 2 2 2 2
T T
说明 1）自然基 1，e2，…，en是Rn标准正交基. 标准正交基. ）自然基e ，
T
T
4
3）向量空间V的任意向量α ，在V中的一个标准正交基 ）向量空间 的任意向量 中的一个标准正交基 α1，α2，…，αm下的坐标为： = k α + k α + L + k α ， 下的坐标为： α
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 标准正交向量组
2
正交向量组是线性无关的. 定理4.2 正交向量组是线性无关的. 定理 ， 是正交向量组， 证 设α1，α2，…，αm是正交向量组，并有一组数使 k1α1 + k2α2 + … + kmαm= 0. ， ， ， ）对上式的两边做内积， 用αi（i=1，2，…，m）对上式的两边做内积，得 <k1α1 + k2α2 + … + kmαm ,αi >= <0 ,αi> 0 k1<α1, αi> + k2<α2, αi> + … + km<αm, αi>= 0 因α1, α2, …, αm两两正交, 所以<αi, αj>= 0( i ≠ j, )， 两两正交 所以 ， 故 ki<αi，αi>=0，（i=1，2，…，m） ， ， ， ， ） 所以< 因αi ≠ 0，所以 αi，αi>≠0，故ki =0（i=1，2，…，m）. ， （ ， ， ， ） 于是向量组α1，α2，…，αm线性无关 ， 线性无关.
求矩阵的标准正交基
求矩阵的标准正交基首先，我们来了解一下标准正交基的概念。
在n维欧氏空间中，如果存在n个两两正交的单位向量，且它们张成的向量空间与整个n维欧氏空间重合，那么这组单位向量就称为n维欧氏空间的标准正交基。
简单来说，标准正交基就是一组相互垂直且长度为1的向量，它们可以用来表示整个向量空间中的任意向量。
接下来，我们将介绍求解矩阵的标准正交基的方法。
对于一个给定的矩阵A，我们希望找到一组标准正交基，使得矩阵A可以由这组基进行线性表示。
首先，我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法来求解标准正交基。
Gram-Schmidt方法是一种通过正交化的方式，将线性无关的向量组转化为标准正交基的方法。
其基本思想是从给定的线性无关向量组中构造出一组标准正交基。
具体操作是，先将向量组中的第一个向量单位化，然后依次将后续的向量投影到前面向量的正交补空间上，得到一组正交向量，最后将这些正交向量单位化即可得到标准正交基。
另外，我们还可以利用特征值分解的方法来求解矩阵的标准正交基。
对于一个对称矩阵A，我们可以将其分解为A=QΛQ^T的形式，其中Q是标准正交矩阵，Λ是对角矩阵。
这时，矩阵Q的列向量就是矩阵A的标准正交基。
特征值分解方法在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以用来求解标准正交基，还可以帮助我们理解矩阵的性质和结构。
最后，我们来看一下矩阵的标准正交基在实际问题中的应用。
标准正交基可以用来表示向量空间中的任意向量，因此在信号处理、图像处理、物理建模等领域都有着重要的应用。
例如，在图像处理中，我们可以利用标准正交基将图像表示为一组正交基向量的线性组合，从而实现图像的压缩和重构。
在物理建模中，标准正交基可以帮助我们更好地理解物理现象，分析物理过程中的向量关系。
总结一下，矩阵的标准正交基是线性代数中的重要概念，它可以帮助我们更好地理解向量空间的性质，解决相关的计算和应用问题。
我们可以利用Gram-Schmidt正交化方法和特征值分解的方法来求解矩阵的标准正交基，并且在实际问题中有着广泛的应用。
标准正交基
标准正交基是一种常用的几何概念，它表示空间中的基本向量，可以用来描述物体的形状、大小和位置。
正交基是一个基本的几何空间，由三个互相垂直的向量组成，它们之间互相垂直，每个向量不同。
这三个向量构成一个正交基，它们构成一个标准正交基。
标准正交基是在几何学中经常使用的一种基本概念，它可以帮助我们理解物体的外观和位置，以及物体之间的关系。
它由三个基本的向量组成，这三个向量构成一个正交基，它们之间的比例是一样的，以此来确定物体的位置和形状。
正交基可以把空间划分成一个个小块，这些小块构成一个坐标系，以便我们可以轻松地把物体放到一个特定的位置。
正交基也可以用来表示几何图形，因为它们可以描述物体的形状和位置，所以可以用来表示图形。
例如，正交基可以用来描述三角形、多边形等，可以把它们划分成若干个小正方形，这样就可以得到几何图形的形状和位置。
总之，标准正交基是一种几何概念，它由三个相互垂直的向量构成，可以用来描述物体的形状、大小和位置，以及用来表示几何图形。
正交基可以把空间划分成若干个小块，这样就可以轻松地把物体放到一个特定的位置。
2.6 标准正交基
则称a1 , a2 , … , an 为 向量 在基 1 , 2 ,, n 下的坐标， 记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
二、向量的内积
1.Def .
给定Rn中向量
a1 a2 an
n i1
b1 b2 , bn
i j 0
T
1 0 0 1 2 0 0
0 0 , n 1
是两两正交的.
( i j ; i , j 1, 2 , ..., s )
则称向量组1, 2,…,s 为正交向量组. 正交向量组1,2,…,s 中无零向量.
§2.6 R 的标准正交基
n
0
向量空间的基 , 标准正交基 , 内积 , 向量的正交组， 1 基本知识点： Schmidt 正交化方法 , 正交矩阵 . 0 熟练掌握利用 Schmidt 正交化方法变换向量组 . 2 重点：
熟练掌握将向量变换为 单位向量 .
1 0 0 0 1 0 , , , n , 1 2 0 0 1
a1 a2 an
n R ,
都可由 1 , , n 线性表出 .
a1 0 0
0 0 0 a2 a 1 1 a 2 2 a n n an 0
QTQ=
sin
co s sin
1 cos 0
0 1
正交基与标准正交基
标准正交基到正交基的转换
01
定义
标准正交基是单位正交基，即每个基向量的模长为1。正交基则是线性
空间的一组基，满足两两正交的性质。
02
转换方法
将标准正交基中的每个向量乘以该向量的模长，即可得到正交基。
03
数学表示
设${mathbf{e}_1, mathbf{e}_2, ldots, mathbf{e}_n}$为标准正交基，
在信号处理中的应用
信号表示
正交基可以用于表示信号，例如傅里叶变换将信 号表示为正弦和余弦函数的正交基。
信号分离
利用正交基可以将复合信号分离成简单的分量， 便于分析和处理。
信号压缩
通过选择重要的正交基函数，可以实现信号压缩， 减少存储和传输的开销。
在量子力学中的应用
量子态表示
在量子力学中，正交基用于表示量子态，特别是使用 波函数。
02
标准正交基的概念
定义
定义
标准正交基是线性空间的一组基，其 中每个向量都与其余向量正交，且模 长为1。
解释
标准正交基中的向量是线性独立的，且 它们的模长都为1，这意味着它们没有 长度，只有方向。此外，这些向量之间 相互垂直，即它们正交。
性质
唯一性
对于给定的线性空间，标准正交 基不是唯一的。也就是说，可以 有多种不同的标准正交基来表示 同一个线性空间。
则正交基为${|mathbf{e}_1| mathbf{e}_1, |mathbf{e}_2| mathbf{e}_2,
ldots, |mathbf{e}_n| mathbf{e}_n}$。
判断两个基是否正交，需要计算它们的点积。如果点积为0，则两个基正交。 正交意味着两个基向量在空间中垂直，不共线。
怎么求标准正交基
怎么求标准正交基首先，我们需要了解标准正交基的定义。
在一个内积空间中，如果向量集合中的向量两两正交且归一化，即它们之间的内积为0且它们的模为1，那么这个向量集合就是标准正交基。
接下来，我们来介绍一种求解标准正交基的常用方法——施密特正交化方法。
假设我们有一个线性无关的向量组{v1, v2, ..., vn}，我们可以通过施密特正交化方法将它们变换成一个标准正交基。
首先，我们取向量组中的第一个向量v1，对它进行归一化处理，即得到第一个标准正交基e1。
然后，我们取向量v2，将它在e1上的投影减去，得到一个新的向量，然后对这个新的向量进行归一化处理，得到第二个标准正交基e2。
依此类推，对于向量组中的每一个向量，都可以通过这种方法得到一个标准正交基。
施密特正交化方法的关键在于对向量的投影和归一化处理，通过这种方法，我们可以将任意线性无关的向量组变换成一个标准正交基。
除了施密特正交化方法，我们还可以通过矩阵的特征值分解来求解标准正交基。
对于一个对称矩阵，我们可以通过特征值分解得到它的特征向量，然后对特征向量进行归一化处理，就可以得到一个标准正交基。
此外，还有其他一些特殊情况下的求解方法，比如利用奇异值分解、Gram-Schmidt方法等。
不同的方法适用于不同的情况，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法。
总的来说，求解标准正交基是线性代数中的一个重要问题，通过施密特正交化方法、特征值分解等方法，我们可以比较容易地求解标准正交基。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题来选择合适的方法，以便更加高效地求解标准正交基。
希望本文对你有所帮助，谢谢阅读！。
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ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
3 (1,0,0,1) 4 (1, 1, 1,1)
变成单位正交的向量组. 解：令
tii 0, i 1,2,, n
§2 标准正交基
② Schmidt正交化过程:
1 先把线性无关的向量组 1 ,, m
化成正交向量组 1 , 2 ,, m . ( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 , ( 1 , 1 ) j 1 ( j , i ) j j i , j 2,3,, m; i 1 ( i , i )
( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 ) (1, 1, 1,1)
§2 标准正交基
再单位化
1 1 1 1 ( , ,0,0) | 1 | 2 2
故 1 , 2 ,, m 线性无关.
§2 标准正交基
③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如： R 3 中 1 (1,1,0), 2 (1,0,1) 线性无关． 但 1 , 2 不是正交向量组.
(1 , 2 ) 1 0.
④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
m 1
1 | m 1 |
m 1 .
可知 1 ,2 , ,m ,m 1 是单位正交向量组． 从(4)和(5)知 1 ,2 ,,m ,m 1 与 1 , 2 ,, m , m 1 是等价向量组， 因此，有
L( 1 , 2 ,, m 1 ) L(1 ,2 ,,m 1 )
由归纳原理，定理2得证.
§2 标准正交基
注：
① 由 L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2, , n 知，若
(1 ,2 ,,n ) ( 1 , 2 ,, n )T ,
则过渡矩阵 T ( t ij ) 是上三角形（即 t ij 0, i j ） 且
② ( , ) x1 x2 y1 y2 z1 z2
③ | |
x1 y1 z1
2 2
2
④ , arccos
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
R 3中的与内积有关的度量性质有 即在基 i , j , k 下，
(4)
m 1 m 1 k11 k22 kmm ,
即
m 1 m 1 ( m 1 ,i )i
i 1
m
( m 1 ,i ) ki (i ,i )
(5)
§2 标准正交基
则 m 1 0 且 ( m 1 ,i ) 0, i 1,2,, m 再设
1 1 (1,1,0,0)
正交化
( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2,, n
基本方法─逐个构成出满足要求的 1 ,2 ,,n . 证：
首先，可取
§2 标准正交基
1
1 | 1 |
1 .
一般地，假定已求出 1 ,2 , ,m 是单位正交的 ，且
1 正交化
1 1 1
§2 标准正交基
( 2 , 1 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) xdx 0,
1
1
2 2 x
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
i 1
n
这里
x1 1 x2 2 xn n，
y1 1 y2 2 yn n .
(iii) | |
§2 标准正交基
x12 xn 2
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
1）
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能
1 , 2 ,, m , 1 , 2 , , k
成为一组正交基. 现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n ,
所以必有向量 不能被 1 , 2 ,, m 线性表出，
作向量
m1 k11 k2 2 km m ( 0)
简单的表达形式.
§2 标准正交基
2. 标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组
称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基.
§2 标准正交基
② n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基
L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2, , m
当 m n 时，因为有 m 1 L( 1 , 2 ,, m ), 由(4)知 m 1不能被 1 ,2 , ,m线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量
3 2 8 4 2 ( 4 , 4 ) ( x x ) dx ( ) , 1 5 175 5 14
1
4 4 0 1 2 0 3 x 3 3 x 5
§2 标准正交基
2 5 2 3
2 单位化
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2 ( 2 , 2 ) x dx , 1 3
1 2
1 2 8 4 2 ( 3 , 3 ) ( x ) dx ( ) , 1 3 45 3 10
1
1 1 2 2 2 ( , , ,0) | 2 | 6 6 6
1
3
3 ( 1 , 1 , 1 , 3 ) | 3 | 12 12 12 12
1
1
1 1 1 1 4 4 ( , , , ) | 4 | 2 2 2 2
1 ,2 ,3 ,4 即为所求．
i 1,2,, m .
即 1 , 2 ,, m , m1 为正交向量组． 由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组 可扩充得正交基.
§2 标准正交基
于是定理得证．
2） (定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1 , 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1 ,2 ,,n , 使
( 4 , 1 ) x 3dx 0,
1
1 2 2 2 4 ( 4 , 2 ) x dx , ( 2 , 2 ) 1 x dx , 1 3 5 1 1 3 2 ( 4 , 3 ) x ( x )dx 0, 1 3 1
2 ( 3 , 1 ) x dx , 1 3
1 2
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1
( 3 , 2 ) x 3dx 0,
1
1
1 3 3 1 0 2 x 2 3
2
2 3
§2 标准正交基
( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 )
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 , 2 ,, m V , 如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组.
§2 标准正交基
证：设非零向量 1 , 2 ,, m V 两两正交. 令 则
k11 k2 2 km m 0, ki R,