标准正交基

1
1 1 2 2 2 ( , , ,0) | 2 | 6 6 6
1
3
3 ( 1 , 1 , 1 , 3 ) | 3 | 12 12 12 12
1
1
1 1 1 1 4 4 ( , , , ) | 4 | 2 2 2 2
1 ,2 ,3 ,4 即为所求．
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
3 (1,0,0,1) 4 (1, 1, 1,1)
变成单位正交的向量组. 解：令
k11 k2 2 km m 0, ki R,
( i , k j j ) k j ( i , j ) ki ( i , i ) 0
j 1 j 1
m
m
由 i 0 知 ( i , i ) 0,
ki 0, i 1,2,, m.
由归纳原理，定理2得证.
§2 标准正交基
注：
① 由 L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2, , n 知，若
(1 ,2 ,,n ) ( 1 , 2 ,, n )T ,
则过渡矩阵 T ( t ij ) 是上三角形（即 t ij 0, i j ） 且
m 1
1 | m 1 |
m 1 .
可知 1 ,2 , ,m ,m 1 是单位正交向量组． 从(4)和(5)知 1 ,2 ,,m ,m 1 与 1 , 2 ,, m , m 1 是等价向量组， 因此，有
L( 1 , 2 ,, m 1 ) L(1 ,2 ,,m 1 )
一、正交向量组 二、标准正交基 三、正交矩阵
一、正交向量组
定义：
设Ｖ为欧氏空间，非零向量 1 , 2 ,, m V , 如果它们两两正交，则称之为正交向量组.
注：
① 若 0, 则 是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组.
§2 标准正交基
证：设非零向量 1 , 2 ,, m V 两两正交. 令 则
简单的表达形式.
§2 标准正交基
2. 标准正交基的定义
n 维欧氏空间中，由 n个向量构成的正交向量组
称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基.
注：
① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准 正交基.
§2 标准正交基
② n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基
1 正交化
1 1 1
§2 标准正交基
( 2 , 1 ) 2 2 1 ( 1 , 1 )
( 2 , 1 ) xdx 0,
1
1
2 2 x
( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
tii 0, i 1,2,, n
§2 标准正交基
② Schmidt正交化过程:
1 先把线性无关的向量组 1 ,, m
化成正交向量组 1 , 2 ,, m . ( 2 , 1 ) 1 1 , 2 2 1 , ( 1 , 1 ) j 1 ( j , i ) j j i , j 2,3,, m; i 1 ( i , i )
( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) (2 , 2 ) (3 , 3 ) (1, 1, 1,1)
§2 标准正交基
再单位化
1 1 1 1 ( , ,0,0) | 1 | 2 2
§2 标准正交基


(i)
设 x1 1 x2 2 xn n V 由(1) ， ( , i ) xi . 有 ( , 1 ) 1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n (2) (3)
(ii) ( , ) x1 y1 x2 y2 xn yn xi yi
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
② ( , ) x1 x2 y1 y2 z1 z2
③ | |
x1 y1 z1
2 2
2
④ , arccos
x1 x2 y1 y2 z1 z2 x12 y12 z12 x2 2 y2 2 z2 2
R 3中的与内积有关的度量性质有 即在基 i , j , k 下，
( 4 , 1 ) x 3dx 0,
1
1 2 2 2 4 ( 4 , 2 ) x dx , ( 2 , 2 ) 1 x dx , 1 3 5 1 1 3 2 ( 4 , 3 ) x ( x )dx 0, 1 3 1
§2 标准正交基
二、标准正交基
1. 几何空间 R 中的情况
在直角坐标系下 i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1) 是由单位向量构成的正交向量组，即 ( i , j ) ( j , k ) ( k , i ) 0, | i || j || k | 1 i , j , k 是 R 3 的一组基.
1
4 4 0 1 2 0 3 x 3 3 x 5
§2 标准正交基
2 5 2 3
2 单位化
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1 2
1
2 ( 2 , 2 ) x dx , 1 3
1 2
1 2 8 4 2 ( 3 , 3 ) ( x ) dx ( ) , 1 3 45 3 10
1 , 2 ,, m , 1 , 2 , , k
成为一组正交基. 现在来看 n m k 1 ( 1) 的情形. 因为 m n ,
所以必有向量 不能被 1 , 2 ,, m 线性表出，
作向量
m1 k11 k2 2 km m ( 0)
故 1 , 2 ,, m 线性无关.
§2 标准正交基
③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如： R 3 中 1 (1,1,0), 2 (1,0,1) 线性无关． 但 1 , 2 不是正交向量组.
(1 , 2 ) 1 0.
④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数 n.
扩充成一组正交基.
证：设 1 , 2 ,, m 欧氏空间Ｖ中的正交向量组， 对 n m 作数学归纳法． 当 n m 0 时, 1 , 2 ,, m 就是一组正交基了.
§2 标准正交基
假设 n m k 时结论成立，即此时可找到向量
1 , 2 ,, k
使
( i , j ) 1 i j， 0 i j

i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
(4)
m 1 m 1 k11 k22 kmm ,
即
m 1 m 1 ( m 1 ,i )i
i 1
m
( m 1 ,i ) ki (i ,i )
(5)
§2 标准正交基
则 m 1 0 且 ( m 1 ,i ) 0, i 1,2,, m 再设
i 1,2,, m .
即 1 , 2 ,, m , m1 为正交向量组． 由归纳法假设知，对这 m 1 个向量构成的正交组 可扩充得正交基.
§2 标准正交基
于是定理得证．
2） (定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基 1 , 2 , , n 都可找到一组标准正交基 1 ,2 ,,n , 使
L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2, , m
当 m n 时，因为有 m 1 L( 1 , 2 ,, m ), 由(4)知 m 1不能被 1 ,2 , ,m线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量
3 2 8 4 2 ( 4 , 4 ) ( x x ) dx ( ) , 1 5 175 5 14
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
பைடு நூலகம்
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
1 1 (1,1,0,0)
正交化
( 2 , 1 ) 1 1 2 2 1 ( , ,1,0) ( 1 , 1 ) 2 2 1 1 1 ( 3 , 1 ) ( 3 , 2 ) 3 3 1 2 ( , , ,1) 3 3 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 )
i 1
n
这里
x1 1 x2 2 xn n，
y1 1 y2 2 yn n .
(iii) | |
§2 标准正交基
x12 xn 2
3. 标准正交基的构造 ─施密特(Schmidt)正交化过程
1）
(定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能
2 ( 3 , 1 ) x dx , 1 3
1 2
( 1 , 1 ) dx 2,
1
1
( 3 , 2 ) x 3dx 0,
1
1
1 3 3 1 0 2 x 2 3
2
2 3
§2 标准正交基
( 4 , 3 ) ( 4 , 1 ) ( 4 , 2 ) 4 4 1 2 3 ( 1 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 3 , 3 )
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
L( 1 , 2 ,, i ) L(1 ,2 ,,i ), i 1,2,, n
基本方法─逐个构成出满足要求的 1 ,2 ,,n . 证：
首先，可取
§2 标准正交基
1
1 | 1 |
1 .
一般地，假定已求出 1 ,2 , ,m 是单位正交的 ，且