名校新学案高中数学人教A版选修2-3课后作业1.2.2.2组合(二)(含答案详析)

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高中数学名校学案一课一练人教版《数学选修2-3》(第一章)_2

高中课标教材同步导学丛书2 ①从三个班中选一名学生会主席,有多少种不同的选法?②从(1)班㊁(2)班男生中和(3)班女生中选一名学生任学生会生活部部长,有多少种不同的选法?ʌ互动探究ɔ将题(1)中的x ,y 所满足的不等式改为不等式组2x -y ȡ0,x +y ɤ6,{则满足条件的点M (x ,y )共有多少个?ʌ规律方法ɔ用分类加法计数原理解题的一般思路分步乘法计数原理的应用ʌ典例2ɔ(1)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有( )(A )24对(B )30对(C )48对(D )60对(2)-2,-1,0,1,2,3这六个数字中任选3个不重复的数字作为二次函数y =a x 2+b x +c 的系数a ,b ,c,则可以组成抛物线的条数为多少.ʌ规律方法ɔ利用分步乘法计数原理解题的一般思路1.某小组有8名男生,6名女生,要从中选出一名当组长,不同的选法有( )(A )48种 (B )24种 (C )14种 (D )12种2.5本不同的语文书,4本不同的数学书,每种各取一本,不同的选法有( )(A )3种(B )9种(C )12种(D )20种3.从A 地到B 地要经过C 地和D 地,从A 地到C 地有3条路,从C 地到D 地有2条路,从D 地到B 地有4条路,则从A 地到B 地不同的走法有( )(A )3+2+4=9种(B )1种(C )3ˑ2ˑ4=24种(D )1+1+1=3种4.加工某个零件分三道工序,第一道工序有5人,第二道工序有6人,第三道工序有4人,从中选3人每人做一道工序,则选法有种.5.要安排一份5天的值班表,每天有一个人值班,共有5个人,每个人可以值多天班或不值班,但相邻两天不准由同一个人值班,此值班表共有多少种不同排法?课后巩固作业(一)一课一练,日积月累,厉兵秣马,稳固提能。

高中人教A数学选修2-3学案：1.2.2 第1课时组合(一) 含答案

1.2.2 组合第1课时组合(一)自主预习·探新知情景引入某国际会议中心有A 、B 、C 、D 和E 共5种不同功能的会议室，且每种功能的会议室又有大、中、小和特小4种型号，总共20个会议室．现在有一个国际学术会议需要选择3种不同功能的6个会议室，并且每种功能的会议室选2个型号．试问：会议中心的工作人员安排会议的方法有多少种？新知导学1．组合、组合数的概念 (1)组合的概念．一般地，从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素并成__一组__，叫做从n 个不同元素中任取m 个元素的一个组合．(2)组合数的概念．从n 个不同元素中，任意取出m (m ≤n )个元素的__所有组合__的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m n 表示．2．组合数公式及其性质(1)公式：C m n ＝__n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！__＝__n ！m ！(n －m )！__． (2)性质：C m n ＝__C n －m n __，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n． (3)规定：C 0n ＝__1__．预习自测1．下面几个问题是组合问题的有( C )①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有多少种不同的选法？ ③有4张电影票，要在7人中确定4人去观看，有多少种不同的选法？④某人射击8枪，命中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，不同的结果有多少种？ A ．①② B ．①③④ C ．②③④D ．①②③④[解析] ①与顺序有关，是排列问题，而②③④均与顺序无关，是组合问题，故选C ． 2．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，有________种不同选法．( C ) A ．504 B ．729 C ．84D ．27[解析] 只需从9名学生中选出3名即可，从而有C 39＝9×8×73×2×1＝84种选法．3．从1,2,3，…，9这9个数中任取5个不同的数，则这5个数的中位数是5的概率等于( C )A ．57B ．59C ．27D ．49[解析] ∵5个数的中位数是5，∴5之前4个数中取2个，5之后4个数中取2个，故所求概率为P ＝C 24C 24C 59＝27．4．方程C x 14＝C 2x －414的解为( C )A ．4B ．14C ．4或6D ．14或2[解析] 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x －4，2x －4≤14，x ≤14或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14－(2x －4)，2x －4≤14，x ≤14，解得x ＝4或6．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶组合概念的理解与应用典例1判断下列问题是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．(1)10个人相互写一封信，一共写了多少封信？(2)10个人相互通一次电话，一共通了多少次电话？(3)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(4)从10个人中选3人去开会，有多少种选法？(5)从10个人中选出3人担任不同学科的课代表，有多少种选法？[思路分析]观察取出的元素与顺序有关还是无关，从而确定是排列问题，还是组合问题．[解析](1)是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的，排列数为A210＝90．(2)是组合问题，因为甲与乙通一次电话，也就是乙与甲通一次电话，没有顺序区别，组合数为C210＝45．(3)是组合问题，因为每两个队比赛一次，没有顺序的区别，组合数为C210＝45．(4)是组合问题，因为去开会的3个人之间没有顺序的区别，组合数为C310＝120．(5)是排列问题，因为3个人担任哪一科的课代表是有区别的，排列数为A310＝720．『规律总结』 1.组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可．2．只要两个组合的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合．3．判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．┃┃跟踪练习1__■下列四个问题中，属于组合问题的是(C)A．从3个不同小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人1张[解析]只有从100名幸运观众中选出2名幸运之星与顺序无关，是组合问题．命题方向❷组合数公式典例2(1)计算：①3C38－2C25＋C88；②C98100＋C199200．(2)证明：m C m n＝n C m－1．n－1[思路分析](1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简，再利用组合数公式展开计算．(2)式子中涉及字母，可以用阶乘式证明．[解析] (1)①3C 38－2C 25＋C 88＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＋1＝149． ②C 98100＋C 199200＝C 2100＋C 1200＝100×992×1＋200＝5 150． (2)证明：∵左边＝m ·n ！m ！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n ·(n －1)！(m －1)！(n －m )！＝n C m －1n －1＝右边，∴m C m n ＝n C m －1n －1．『规律总结』 1.公式C mn ＝A m n A m m ＝n (n －1)(n －2)…(n －m ＋1)m ！，一般用于求值计算．2．公式C mn ＝n ！m ！(n －m )！(m ，n ∈N *，且m ≤n )，一般用于化简证明．在具体选择公式时，要根据题目特点正确选择．3．根据题目特点合理选用组合数的两个性质C m n ＝C n －m n ，C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n，能起到简化运算的作用，需熟练掌握．┃┃跟踪练习2__■(1)计算：C 410－C 37·A 33； (2)求C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n 的值． [解析] (1)原式＝C 410－A 37＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0．(2)∵⎩⎪⎨⎪⎧38－n ≤3n 3n ≤21＋n，∴9.5≤n ≤10.5，∵n ∈N *，∴n ＝10，∴C 38－n 3n ＋C 3n 21＋n ＝C 2830＋C 3031＝C 230＋C 131＝30×292×1＋31＝466．命题方向❸组合数性质的应用典例3 (1)计算C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 019的值为( C )A ．C 42 020B ．C 52 020 C ．C 42 020－1D ．C 52 020－1(2)解方程：3C x －7x －3＝5A 2x －4．[思路分析] 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．[解析] (1)C 34＋C 35＋C 36＋…＋C 32 019＝C 44＋C 34＋C 35＋…＋C 32 019－C 44 ＝C 45＋C 35＋…＋C 32 019－1＝… ＝C 42 019＋C 32 019－1＝C 42 020－1．选C ．(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为 3·(x －3)！(x －7)！4！＝5·(x －4)！(x －6)！，则3(x －3)4！＝5x －6，即为(x －3)(x －6)＝40． ∴x 2－9x －22＝0，解之可得x ＝11或x ＝－2．经检验知x ＝11是原方程的根，x ＝－2是原方程的增根． ∴方程的根为x ＝11．『规律总结』 1.性质“C m n ＝C n －mn”的意义及作用．意义—反映的是组合数的对称性，即从n 个不同的元素中取m 个元素的一个组合与取剩下的(n －m )个元素的组合相对应作用—当m >n 2时，计算C m n 通常转化为计算C n －mn2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C m n 中的m ∈N ＋，n ∈N ＋，且n ≥m 确定m ，n 的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．┃┃跟踪练习3__■计算：(1)C 58＋C 98100·C 77； (2)C 05＋C 15＋C 25＋C 35＋C 45＋C 55． [解析] (1)原式＝C 38＋C 2100×1＝8×7×63×2×1＋100×992×1＝56＋4 950＝5 006．(2)原式＝2(C 05＋C 15＋C 25)＝2(C 16＋C 25)＝2(6＋5×42×1)＝32．学科核心素养含组合数的化简、证明或解方程、不等式的问题(1)对于含组合数的化简、证明或解方程、不等式等问题多利用： ①组合数公式，即：C m n ＝n ！m ！(n －m )！＝n (n －1)…(n －m ＋1)m ！； ②组合数的性质，即C m n ＝C n －mn和C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n； ③排列数与组合数的关系，即A m n ＝C m n A mm ．(2)当含有字母的组合数的式子要进行变形论证时，利用阶乘公式往往较为方便．典例4 (1)解不等式：C m －18>3C m 8；(2)求证：①C mn ＝n n －mC m n －1，②C k n ·C m －k n －k ＝C m n C km ． [解析] (1)原式可化为8！(m －1)！(9－m )！>3×8！m ！(8－m )！，即19－m >3m ，∴m >27－3m ．又∵0≤m －1≤8，且0≤m ≤8，m ∈N *， ∴m ＝7或8．∴不等式的解集为{7,8}． (2)①n n －m C m n －1＝nn －m ·(n －1)！m ！(n －1－m )！＝n ！m ！(n －m )！＝C m n ． ②∵C k n ·C m －kn －k ＝n ！k ！(n －k )！·(n －k )！(m －k )！(n －m )！＝n ！k ！(m －k )！(n －m )！，C m n ·C k m ＝n ！m ！(n －m )！·m ！k ！(m －k )！＝n ！k ！(n －m )！(m －k )！，∴C k n ·C m －k n －k ＝C mn ·C k m ．『规律总结』 1.根据有关公式把已知中给出的不等式转化为代数不等式且把握好未知数的取值范围．2．充分利用组合数公式及其性质解题，并注意有关限制条件．易混易错警示忽视组合数中参数的限制条件致误典例5 已知：1C m 5－1C m 6＝710C m 7，求m ．[错解] 由组合数公式得，m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×m ！(7－m )！10×7！，化简得m 2－23m ＋42＝0，∴m ＝21或2．[辨析] 运用组合数公式时，必须注意其中对字母取值范围的限制． [正解] 依题意，m 的取值范围是{m |0≤m ≤5，m ∈N *}．原等式化为m ！(5－m )！5！－m ！(6－m )！6！＝7×m ！(7－m )！10×7！，化简得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21或m ＝2.因为0≤m ≤5，m ∈N *，所以m ＝21应舍去，所以m ＝2．[误区警示] 应用组合数公式C m n 时要注意m 、n ∈N *，m ≤n ；由C m n ＝C p n 列关系式时应有m ＝p 或m ＋p ＝n ；逆用公式C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n可以将较复杂的下标连续变化的组合数和式化简，要注意用准公式．课堂达标·固基础1．下列问题不是组合问题的是( D )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？[解析] 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 选项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D ．2．已知C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n(n ∈N *)，则n 等于( A ) A ．14 B ．12 C ．13D ．15[解析] 因为C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以C 7n ＋1＝C 8n ＋1．∴7＋8＝n ＋1，∴n ＝14，故选A ．3．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( B ) A ．A 310种B ．C 310种 C ．C 310A 310种D ．30种[解析] 三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310，故选B ．4．若C 4n >C 6n ，则n 的集合是__{6,7,8,9}__． [解析] ∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－9n －10<0，n ≥6，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6,7,8,9.∴n 的集合为{6,7,8,9}．5．在6名内科医生和4名外科医生中，现要组成5人医疗小组送医下乡，依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生；(2)既有内科医生，又有外科医生．[解析](1)先选内科医生有C36种选法，再选外科医生有C24种选法，故有C36C24＝120种选派方法．(2)既有内科医生，又有外科医生，正面思考应包括四种情况，内科医生去1人，2人，3人，4人，有C16C44＋C26C34＋C36C24＋C46C14＝246种选派方法．若从反面考虑，则有C510－C56＝246种选派方法．。

高中数学选修2-3课后习题答案[人教版]

高中数学人教版选修2-3课本习题答案1. <n曝完建的井事tr是“选岀t人完成工惟”，不同的选法种敷是5+4二刘<2）密完臨的**一件耶情”是“从人村经H村flCH去”，不同路线条3X2-6,2. <1）耍完曲的“一井UtT是“选出I人参加活动J不同的选崔种*^3+5-1-4-12,忆）蜃完底啊亠一悴耶情”屋4■从3牛聊级的学主中各选I人罢加洁动“，干同的选誌种敦足3X5X4=60. 3-因为要确足的見这荊同孑的专业选择.并不要考匡学狡的差异*所以应当>6+^1-9 （种）可範的专业选择.竦习10^）1”婆完陵的亠一件痢tiT是“碍別展开式的一项二由于毎一项都是□就门的形点*所以吨以井二.母完A t第一步，取爲.有』种方法F第二步「取知.有3种方法多第三步，叽.奋5种方浚”根器井步乘祛计数原贻展开式共有3X3X5 = 45帧L氐婴立底的“一杵事tr是”鞘定一卞电恬号购的后怨位：分四步绕酸出拇一歩那是从。

〜9 ii 10 个效字中耻1个. 10X10X10X10=10 000 （个九玄婆完建的"一仲事nr是"从5名同学中选出正*副组檢各1名二分钢步完氤第一绘选正组长' 有5种方法*第二歩选副纽忙*冇4种方槌・共有选^5X4 = 30 £种hA.要完威的"一件事悄”是”从*j个门中的一个进人并从男一个口出強二分创歩完成；先从£匸门中选-牛进人.评从其余5个门中逢一亍出去+扰有进出方SfefiX5-30 <种1.习SIU （$ 1135）AiML •一杵事情“是"买一台果型号的电视机”*弟同朗选^+7=tl <^L2* M一理事悄”是“从甲地籃乙地或證丙地別丁地去”.所以左"先分类、后分歩=不何的聲绥It有2X3+#冥2 = M （条人3. 对于第亠问，r帝事悄” & •■构成亠牛分数二由于L 5・趴13虽奇数* 4・S. 12, 16是偶数* 肿以以1・5・h】3中ff意一牛为分子.都可以与氣乳12, 16^的任意一牛梅成甘数・宙此町以分两步桌构成分数：第-涉.选分子，有4种选达*第二步「选分毋'也疔彳种逸迭.共有革同的分*4X4^16仆对于第二『叭”一杵舉ffC是”枸成一牛真分ST.分匹类’分子为1时，分母町以从4. 8・1签16 中任选-个，有4个』分于为5时*分柿从氛12, 16中选一个*有3 t*分于为9时*分母从1签倍屮选一个，有2个*分子为曲时•分母只髄迭卜粘有I仁所以共有真分散4+3十2+1 = 10 （“4JJ榔髀悄”是“喪通线*ST・眾据电路的肴戋知识.容彌到不間的接通线路有3 + 1+2X 2*8 f条紅5, U）“一件事箭**丛円用坐杯硝定一个点巴曲于横、纵坐标可以相同，因此可堆井两母完遵：第一步.从A中选榄坐标.冇6个选择工葡二步从人中选纵塑怖’也有&伞选抄.所以共有世拆6X6 = 36 （个人]■ ()) abt act titii &・、be * bd « ca r 触 tci tde 、(,2) Qd* ar* ad T u+, ba 、be r txf , he 、rc T 匸打、・ f*> da ■ db, de. df* ea 卅，ec, "+ 監 CBA1t = J5X 14X1.1X12=32 Mg (2> A —5 0401(3> AJ-2J \5~8X7X6X5~2XSX7"1N2456 7 KZ224 120720 5 040 io 33a4. <D 略 t(2) Aj-8Af 4-7AJ -8AJ —&Aj-hAj = A?, 5* A? —&0(种人缶甩=刘<1f).It 穷 <W 25®)1. (I)甲*乙、甲、闪.甲.丁.乙,丙-乙、丁，丙* Ti ⑵甲'!■甲T乙«乙T\H TL甲丙即TT再乙T乙T丙么2蹴二△A#。

名校新学案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)

名校新教案高中数学人教A版选修2-2课后作业2.1.2演绎推理(备选)(含答案详析)
选修2-2第二章 2.1
1．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③因此三角形不是矩形”中的小前提是()
A．① B ．②
C．③ D ．①②
[答案 ]B
[分析 ]由①②③的关系知，小前提应为“ 三角形不是平行四边形”．故应选B.
2．求函数 y＝log2x－ 2的定义域时，第一步推理中大前提是a存心义时， a≥0，小前提是log 2x－ 2存心义，结论
________．
是
[答案 ]log2x－ 2≥0
[分析 ]由三段论方法知应为log 2x－ 2≥ 0.
3．以下推理过程省略的大前提为：________.
∵a2＋ b2≥2ab，
∴2(a2＋ b2)≥ a2＋ b2＋ 2ab.
[答案 ]若a≥ b，则a＋c≥ b＋c
[分析 ]由小前提和结论可知，是在小前提的两边同时加上了a2＋ b2，故大前提为：若a≥ b，则 a＋ c≥ b＋ c.
4．先解答下题，而后剖析说明你的解题过程切合演绎推理规则．设m 为实数，求证：方程 x2－ 2mx＋ m2＋1＝ 0 没有实数根．
[分析 ]已知方程x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 的鉴别式＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，因此方程 x2－ 2mx＋ m2＋ 1＝ 0 没有实数根．
说明：此推理过程用三段论表述为：
大前提：假如一元二次方程的鉴别式<0，那么这个方程没有实数根；
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结论：一元二次方程x － 2mx＋ m ＋ 1＝ 0 没有实数根．
解题过程就是考证小前提建立后，得出结论．。

人教a版高中数学选修2-3全册同步测控知能训练题集含答案

人教A版高中数学选修2-3全册知能训练目录第1章1.1知能优化训练第1章1.2.1第一课时知能优化训练第1章1.2.1第二课时知能优化训练第1章1.2.2第一课时知能优化训练第1章1.2.2第二课时知能优化训练第1章1.3.1知能优化训练第1章1.3.2知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.2.3知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第2章2.4知能优化训练第3章3.1知能优化训练第3章3.2知能优化训练1．从A 地到B 地要经过C 地和D 地，从A 地到C 地有3条路，从C 地到D 地有2条路，从D 地到B 地有4条路，则从A 地到B 地不同走法的种数是( )A ．3＋2＋4＝9B ．1C ．3×2×4＝24D ．1＋1＋1＝3解析：选C.由题意从A 地到B 地需过C 、D 两地，实际就是分三步完成任务，用乘法原理．2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )A ．3种B ．6种C ．7种D ．9种解析：选C.分3类：买1本书，买2本书和买3本书，各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7(种)．3．(2011年高考课标全国卷)有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34解析：选A.甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9(种)，其中甲、乙两人参加同一个小组的情况有3(种)．故甲、乙两位同学参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13. 4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种．解析：第1封信有6种投法，第2、第3封信也分别有6种投法，因此共有6×6×6＝216种投法．答案：216一、选择题1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )A ．7B ．12C ．64D ．81解析：选B.要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12种不同的配法．2．从A 地到B 地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为( )A ．1＋1＋1＝3B ．3＋4＋2＝9C ．3×4×2＝24D ．以上都不对答案：B3．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有不同的行车路线( )A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种解析：选C.完成该任务可分为四类，从每一个方向入口都可作为一类，如图：从第1个入口进入时，有3种行车路线；同理，从第2个，第3个，第4个入口进入时，都分别有3种行车路线，由分类加法计数原理可得共有3＋3＋3＋3＝12种不同的行车路线，故选C.4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋b i，其中虚数有() A．30个B．42个C．36个D．35个解析：选C.第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据乘法计数原理，共有6×6＝36种方法．5．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为直线Ax＋By＝0的系数，则形成不同的直线最多有()A．18条B．20条C．25条D．10条解析：选A.第一步取A的值，有5种取法，第二步取B的值有4种取法，其中当A＝1，B＝2时，与A＝2，B＝4时是相同的；当A＝2，B＝1时，与A＝4，B＝2时是相同的，故共有5×4－2＝18(条)．6．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：选B.分3步完成，1,2,3这三个数中必有某一个数字被使用2次．第1步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第2步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上有3种方法；第3步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．二、填空题7．加工某个零件分三道工序，第一道工序有5人，第二道工序有6人，第三道工序有4人，从中选3人每人做一道工序，则选法有________种．解析：选第一、第二、第三道工序各一人的方法数依次为5、6、4，由分步乘法计数原理知，选法总数为N＝5×6×4＝120.答案：1208．如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方案．解析：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方案．答案：4809．从1,2,3,4,7,9六个数中，任取两个数作对数的底数和真数，则所有不同的对数的值的个数为________．解析：(1)当取1时，1只能为真数，此时对数的值为0.(2)不取1时，分两步：①取底数，5种；②取真数，4种．其中log23＝log49，log32＝log94，log24＝log39，log42＝log93，∴N＝1＋5×4－4＝17.答案：17三、解答题10．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起，可组成多少个不同的三位数？解：先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种选法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理，共可以组成7×7×6＝294个不同的三位数．11．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，求有多少种不同的种植方法？解：若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2×1＝6种不同种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2×1＝6(种)．故不同的种植方法共有6×3＝18(种)．12．某校学生会由高一年级5人，高二年级6人，高三年级4人组成．(1)选其中一人为学生会主席，有多少种不同的选法？(2)若每年级选1人为校学生会常委成员，有多少种不同的选法？(3)若要选出不同年级的两人分别参加市里组织的两项活动，有多少种不同的选法？解：(1)分三类：第一类，从高一年级选一人，有5种选择；第二类，从高二年级选一人，有6种选择；第三类，从高三年级选一人，有4种选择．由分类加法计数原理，共有5＋6＋4＝15种选法．(2)分三步完成：第一步，从高一年级选一人，有5种选择；第二步，从高二年级选一人，有6种选择；第三步，从高三年级选一人，有4种选择．由分步乘法计数原理，共有5×6×4＝120种选法．(3)分三类：高一、高二各一人，共有5×6＝30种选法；高一、高三各一人，共有5×4＝20种选法；高二、高三各一人，共有6×4＝24种选法；由分类加法计数原理，共有30＋20＋24＝74种选法．1．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有()A．30个B．36个C．40个D．60个解析：选B.分2步完成：个位必为奇数，有A13种选法；从余下的4个数中任选2个排在三位数的百位、十位上，有A24种选法．由分步乘法计数原理，共有A13×A24＝36个无重复数字的三位奇数．2．6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为()A．720 B．144C．576 D．684解析：选C.(间接法)甲、乙、丙三人在一起的排法种数为A44×A33；不考虑任何限制，6人的全排列有A66.∴符合题意的排法种数为：A66－A44×A33＝576.3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法种数为()A．42 B．30C．20 D．12解析：选A.分两类：①两个新节目相邻的插法有6A22种；②两个新节目不相邻的插法有A26种．故N＝6×2＋6×5＝42.4．将红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小球，分别放入红、黄、蓝、白、黑5种颜色的小口袋中，若不允有空袋，且红口袋中不能装入红球，则有______种不同的放法．解析：先装红球，且每袋一球，所以有A14×A44＝96(种)．答案：96一、选择题1．高三(1)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是()A．1800 B．3600C．4320 D．5040解析：选B.利用插空法，先将4个音乐节目和1个曲艺节目全排列有A55种，然后从6个空中选出2个空将舞蹈节目全排列有A26种，所以共有A55A26＝3600(种)．故选B.2．某省有关部门从6人中选4人分别到A、B、C、D四个地区调研十二五规划的开局形势，要求每个地区只有一人，每人只去一个地区，且这6人中甲、乙两人不去A地区，则不同的安排方案有()A．300种B．240种C．144种D．96种解析：选B.A地区有A14种方法，其余地区有A35种方法，共有A14A35＝240(种)．3．用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有() A．48个B．36个C．24个D．18个解析：选B.个位数字是2的有3A33＝18(个)，个位数字是4的有3A33＝18(个)，所以共有36个．4．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为()A．A88A29B．A88A210C．A88A27D．A88A26解析：选A.运用插空法，8名学生间共有9个空隙(加上边上空隙)，先把老师排在9个空隙中，有A29种排法，再把8名学生排列，有A88种排法，共有A88×A29种排法．5．五名男生与两名女生排成一排照相，如果男生甲必须站在中间，两名女生必须相邻，符合条件的排法共有()A．48种B．192种C．240种D．288种解析：选B.(用排除法)将两名女生看作1人，与四名男生一起排队，有A55种排法，而女生可互换位置，所以共有A55×A22种排法，男生甲插入中间位置，只有一种插法；而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A22×A44(种)，这时男生甲若插入中间位置不符合题意，故符合题意的排列总数为A55×A22－A44×A22＝192.6．由1、2、3、4、5组成没有重复数字且1、2都不与5相邻的五位数的个数是() A．36 B．32C．28 D．24解析：选A.分类：①若5在首位或末位，共有2A12×A33＝24(个)；②若5在中间三位，共有A13×A22×A22＝12(个)．故共有24＋12＝36(个)．二、填空题7．5人站成一排，甲必须站在排头或排尾的不同站法有________种．解析：2A44＝48.答案：488．3个人坐8个位置，要求每人的左右都有空位，则有________种坐法．解析：第一步：摆5个空位置，○○○○○；第二步：3个人带上凳子插入5个位置之间的四个空，有A34＝24(种)，故有24种不同坐法．答案：249．5名大人要带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头、尾，则共有________种排法(用数字作答)．解析：先让5名大人全排列有A55种排法，两个小孩再依条件插空有A24种方法，故共有A55A24＝1440种排法．答案：1440三、解答题10．7名班委中有A、B、C三人，有7种不同的职务，现对7名班委进行职务具体分工．(1)若正、副班长两职只能从A、B、C三人中选两人担任，有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A、B、C三人中的一人担任，有多少种分工方案？解：(1)先排正、副班长有A23种方法，再安排其余职务有A55种方法，依分步计数原理，共有A23A55＝720种分工方案．(2)7人中任意分工方案有A77种，A、B、C三人中无一人任正、副班长的分工方案有A24 A55种，因此A、B、C三人中至少有一人任正、副班长的方案有A77－A24A55＝3600(种)．11．用0,1,2,3,4,5这六个数字：(1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个无重复数字的比1325大的四位数？解：(1)符合要求的四位偶数可分为三类：第一类：0在个位时，有A 35个；第二类：2在个位时，首位从1,3,4,5中选定1个有A 14种，十位和百位从余下的数字中选，有A 24种，于是有A 14×A 24(个)；第三类：4在个位时，与第二类同理，也有A 14×A 24(个)．由分类加法计数原理得：共有A 35＋2A 14×A 24＝156(个)．(2)为5的倍数的五位数可分为两类：第一类：个位上为0的五位数有A 45个；第二类：个位上为5的五位数有A 14×A 34(个)，故满足条件的五位数共有A 45＋A 14×A 34＝216(个)．(3)比1325大的四位数可分为三类：第一类：形如2，3 ，4 ，5 ，共有A 14×A 35(个)；第二类：形如14 ，15 ，共有A 12×A 24(个)；第三类：形如134 ，135 ，共有A 12×A 13(个)．由分类加法计数原理可得，比1325大的四位数共有：A 14×A 35＋A 12×A 24＋A 12×A 13＝270(个)．12．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男学生4人，女学生2人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．解：(1)2名女生站在一起有站法A 22种，视为一种元素与其余5人全排，有A 66种排法，所以有不同站法A 22×A 66＝1440(种)．(2)先站老师和女生，有站法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，则插入方法A 44种，所以共有不同站法A 33×A 44＝144(种)．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右和从右到左的不同，所以共有不同站法2×A 77A 44＝420(种)． (4)中间和两侧是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两侧之一，另一侧由男生站，有A 12×A 14×A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中的另外4个位置之一，有A 14×A 24×A 44种站法，所以共有不同站法A 12×A 14×A 55＋A 14×A 24×A 44＝960＋1152＝2112(种)．1．5A35＋4A24＝()A．107B．323C．320 D．348解析：选D.原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．4×5×6×…·(n－1)·n等于()A．A4n B．A n－4nC．n！－4! D．A n－3n解析：选D.原式可写成n·(n－1)·…×6×5×4，故选D.3．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120C．720 D．240解析：选C.排法种数为A66＝720.4．下列问题属于排列问题的是________．①从10个人中选2人分别去种树和扫地；②从10个人中选2人去扫地；③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队；④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算．解析：①选出的2人有不同的劳动内容，相当于有顺序．②选出的2人劳动内容相同，无顺序．③5人一组无顺序．④选出的两个数作为底数或指数其结果不同，有顺序．答案：①④一、选择题1．甲、乙、丙三地客运站，需要准备在甲、乙、丙三地之间运行的车票种数是() A．1 B．2C．3 D．6解析：选D.A23＝6.2．已知A2n＋1－A2n＝10，则n的值为()A．4 B．5C．6 D．7解析：选B.由A2n＋1－A2n＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5.3．从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，则不同的送法种数是() A．5 B．10C．20 D．60解析：选C.A25＝20.4．将3张不同的电影票分给10人中的3人，每人一张，则不同的分法种数是() A．2160 B．720C．240 D．120解析：选B.A310＝10×9×8＝720.5．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有车站数是()A．8 B．12C．16 D．24解析：选B.设车站数为n，则A2n＝132，n(n－1)＝132，∴n ＝12.6．S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！，则S 的个位数字为( )A ．0B ．3C ．5D ．7解析：选B.∵1！＝1,2！＝2,3！＝6,4！＝24,5！＝120,6！＝720，…∴S ＝1！＋2！＋3！＋…＋99！的个位数字是3.二、填空题7．若A m 10＝10×9×…×5，则m ＝________.解析：10－m ＋1＝5，得m ＝6.答案：68．A n ＋32n ＋A n ＋14＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ n ＋3≤2n ，n ＋1≤4，n ∈N *，得n ＝3， ∴A n ＋32n ＋A n ＋14＝6！＋4！＝744. 答案：7449．甲、乙、丙、丁四人轮读同一本书，则甲首先读的安排方法有________种．解析：甲在首位，相当于乙、丙、丁全排，即3！＝3×2×1＝6.答案：6三、解答题10．解不等式：A x 9>6A x －29.解：原不等式可化为9！(9－x )！>6·9！(9－x ＋2)！，其中2≤x ≤9，x ∈N *，∴(11－x )(10－x )>6，即x 2－21x ＋104>0，∴(x －8)(x －13)>0，∴x <8或x >13.又∵2≤x ≤9，x ∈N *，∴2≤x <8，x ∈N *.故x ＝2,3,4,5,6,7.11．解方程3A x 8＝4A x －19.解：由3A x 8＝4A x －19得3×8！(8－x )！＝4×9！(10－x )！. ∴3×8！(8－x )！＝4×9×8！(10－x )(9－x )(8－x )！. 化简得：x 2－19x ＋78＝0，解得x 1＝6，x 2＝13.∵x ≤8，且x －1≤9，∴原方程的解是x ＝6.12．判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．解：(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题；(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(3)、(4)不存在顺序问题，不属于排列问题；(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题；(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)、(5)、(6)属于排列问题．1．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )A ．60种B ．20种C ．10种D ．8种解析：选C.四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入3盏亮灯，即C 35＝10.2．某中学要从4名男生和3名女生中选4人参加公益劳动，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有( )A ．25种B ．35种C ．820种D ．840种解析：选A.分3类完成：男生甲参加，女生乙不参加，有C 35种选法；男生甲不参加，女生乙参加，有C 35种选法；两人都不参加，有C 45种选法．所以共有2C 35＋C 45＝25(种)不同的选派方案．3．(2010年高考大纲全国卷Ⅰ)某校开设A 类选修课3门，B 类选修课4门，一位同学从中共选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )A ．30种B ．35种C ．42种D ．48种解析：选A.法一：可分两种互斥情况：A 类选1门，B 类选2门或A 类选2门，B 类选1门，共有C 13C 24＋C 23C 14＝18＋12＝30种选法．法二：总共有C 37＝35种选法，减去只选A 类的C 33＝1(种)，再减去只选B 类的C 34＝4(种)，故有30种选法．4．(2011年高考江苏卷)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．解析：从1,2,3,4中任取两个数的组合个数为C 24＝6，满足一个数是另一个数两倍的组合为{1,2}，{2,4}，故P ＝26＝13.答案：13一、选择题1．9名会员分成三组讨论问题，每组3人，共有不同的分组方法种数为( )A ．C 39C 36B ．A 39A 36C.C 39C 36A 33 D ．A 39A 36A 33 解析：选C.此为平均分组问题，要在分组后除以三组的排列数A 33.2．5本不同的书全部分给4个学生，每个学生至少1本，不同的分法种数有( ) A ．480 B ．240 C ．120 D ．96 解析：选B.先把5本书中两本捆起来，再分成4份即可，∴分法数为C 25A 44＝240.3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A ．14B ．24C ．28D ．48解析：选A.6人中选4人的方案有C 46＝15(种)，没有女生的方案只有一种，所以满足要求的方案总数有14种．4．已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有( ) A ．36个 B ．72个 C ．63个 D ．126个解析：选D.此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有C 49＝126(个)．5．(2010年高考大纲全国卷Ⅱ)将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1,2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( )A ．12种B ．18种C ．36种D ．54种解析：选B.先将1,2捆绑后放入信封中，有C 13种方法，再将剩余的4张卡片放入另外两个信封中，有C 24C 22种方法，所以共有C 13C 24C 22＝18种方法．6．如图所示的四棱锥中，顶点为P ，从其他的顶点和各棱中点中取3个，使它们和点P 在同一平面内，不同的取法种数为( )A ．40B ．48C ．56D ．62解析：选C.满足要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P 外任取3点，有4C 35种取法；第2类，在两个对角面上除点P 外任取3点，有2C 34种取法；第3类，过点P 的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4C 12种取法．所以，满足题意的不同取法共有4C 35＋2C 34＋4C 12＝56(种)．二、填空题7．在50件产品中有4件是次品，从中任意抽出5件，至少有三件是次品的抽法共有________种．解析：分两类，有4件次品的抽法为C 44C 146(种)；有三件次品的抽法有C 34C 246(种)，所以共有C 44C 146＋C 34C 246＝4186种不同的抽法．答案：41868．某运动队有5对老搭档运动员，现抽派4个运动员参加比赛，则这4人都不是老搭档的抽派方法数为________．解析：先抽取4对老搭档运动员，再从每对老搭档运动员中各抽1人，故有C 45C 12C 12C 12C 12＝80(种)．答案：809．2011年3月10日是第六届世界肾脏日，某社区服务站将5位志愿者分成3组，其中两组各2人，另一组1人，分别去三个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“保护肾脏，拯救心脏”，不同的分配方案有________种．(用数字作答)解析：分配方案有C 25C 23C 11A 22×A 33＝10×3×62＝90(种)．答案：90三、解答题 10．四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？解：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1,1,2，实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有C 14C 13C 22A 22(种)，然后将这三组再加上一个空盒进行全排列，即共有C 14C 13C 22A 22·A 44＝144(种)． 11．要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？解：法一：共分三类：第一类：一个班出4人，其余6个班各出1人，有C 17种；第二类：有2个班分别出2人，3人，其余5个班各出1人，有A 27种；第三类：有3个班各出2人，其余4个班各出1人，有C 37种，故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)．法二：将10人看成10个元素，这样元素之间共有9个空(两端不计)，从这9个空中任选6个(即这6个位置放入隔板，将其分为七部分)，有C 69＝84种放法．故共有84种不同的选法．12．如图，在以AB 为直径的半圆周上，有异于A 、B 的六个点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 6，直径AB 上有异于A 、B 的四个点D 1、D 2、D 3、D 4.(1)以这10个点中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含C 1点的有多少个？ (2)以图中的12个点(包括A 、B )中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？解：(1)可分三种情况处理：①C 1、C 2、…、C 6这六个点任取三点可构成一个三角形；②C 1、C 2、…、C 6中任取一点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取两点可构成一个三角形； ③C 1、C 2、…、C 6中任取两点，D 1、D 2、D 3、D 4中任取一点可构成一个三角形．∴C 36＋C 16C 24＋C 26C 14＝116(个)．其中含C 1点的三角形有C 25＋C 15·C 14＋C 24＝36(个)． (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线，∴共有C 46＋C 36C 16＋C 26C 26＝360(个)．1．计算C 28＋C 38＋C 29等于() A ．120 B ．240C ．60D ．480解析：选A.原式＝C 39＋C 29＝C 310＝120.2．若C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，则n 等于( ) A ．12 B ．13 C ．14 D ．15解析：选C.C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，即C 7n ＋1＝C 8n ＋C 7n ＝C 8n ＋1，所以n ＋1＝7＋8，即n ＝14. 3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是( )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 28C 23C ．A 25＋A 28＋A 23 D ．C 216解析：选A.分三类：一年级比赛的场数是C 25，二年级比赛的场数是C 28，三年级比赛的场数是C 23，再由分类加法计数原理可求．4．把8名同学分成两组，一组5人学习电脑，一组3人做生物实验，则不同的安排方法有________种．解析：C 38＝56. 答案：56一、选择题1．下面几个问题中属于组合问题的是( )①由1,2,3,4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1,2,3构成两位数的方法；④由1,2,3组成无重复数字的两位数的方法．A ．①③B ．②④C ．①②D ．①②④ 答案：C2．已知平面内A 、B 、C 、D 这4个点中任何3点均不共线，则由其中任意3个点为顶点的所有三角形的个数为( )A ．3B ．4C ．12D ．24解析：选B.C 34＝4.3．C 03＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720的值为( ) A ．C 321 B ．C 320C ．C 420 D ．C 421 解析：选D.原式＝()C 04＋C 14＋C 25＋C 36＋…＋C 1720 ＝()C 15＋C 25＋C 36＋…＋C 1720＝(C 26＋C 36)＋…＋C 1720＝C 1721＝C 21－1721＝C 421. 4．若A 3n ＝12C 2n ，则n 等于( ) A ．8 B ．5或6 C ．3或4 D ．4解析：选A.A 3n ＝n (n －1)(n －2)，C 2n ＝12n (n －1)，∴n (n －1)(n －2)＝6n (n －1)，又n ∈N *，且n ≥3.解得n ＝8.5．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A ．9B ．14C ．12D ．15解析：选A.法一：直接法：分两类，第一类张、王两人都不参加，有C 44＝1种选法；第二类张、王两人只有1人参加，有C 12C 34＝8种选法．故共有C 44＋C 12×C 34＝9种选法．法二：间接法：C 46－C 24＝9(种)．6．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有( ) A ．A 310种 B ．C 310种C ．C 310A 310种D ．30种解析：选B.三张票没区别，从10人中选3人即可，即C 310. 二、填空题7．若C 13n ＝C 7n ，则C 18n ＝________.解析：∵C 13n ＝C 7n ，∴13＝n －7，∴n ＝20， ∴C 1820＝C 220＝190. 答案：1908．C 22＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝________. 解析：原式＝C 33＋C 23＋C 24＋…＋C 210＝C 34＋C 24＋…＋C 210＝C 35＋C 25＋…＋C 210＝C 311＝165. 答案：1659．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________________________________________________________________________种．解析：(间接法)共有C 47－C 44＝34种不同的选法．答案：34 三、解答题10．若C 4n >C 6n ，求n 的取值集合．解：∵C 4n >C 6n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n n ≥6⇒⎩⎨⎧n ！4！(n －4)！>n ！6！(n －6)！n ≥6⇒⎩⎨⎧ n 2－9n －10<0n ≥6⇒⎩⎨⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *，∴n ＝6、7、8、9，∴n 的集合为{6,7,8,9}．11．要从6男4女中选出5人参加一项活动，按下列要求，各有多少种不同的选法？ (1)甲当选且乙不当选；(2)至少有1女且至多有3男当选．解：(1)甲当选且乙不当选，∴只需从余下的8人中任选4人，有C 48＝70种选法．(2)至少有1女且至多有3男时，应分三类：第一类是3男2女，有C 36C 24种选法；第二类是2男3女，有C 26C 34种选法；第三类是1男4女，有C 16C 44种选法．由分类计数原理知，共有C 36C 24＋C 26C 34＋C 16C 44＝186种选法． 12．现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)正品A 被抽到有多少种不同的抽法？ (2)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (3)至少一件是次品的抽法有多少种？解：(1)C 29＝9×82＝36(种)．(2)从2件次品中任取1件有C 12种方法，从8件正品中取2件有C 28种方法，由分步乘法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＝2×8×72＝56(种)． (3)法一：含1件次品的抽法有C 12C 28种，含2件次品的抽法有C 22×C 18种，由分类加法计数原理，不同的抽法共有C 12×C 28＋C 22×C 18＝56＋8＝64(种)．法二：从10件产品中任取3件的抽法为C 310种，不含次品的抽法有C 38种，所以至少1件次品的抽法为C 310－C 38＝64(种)．1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是( ) A ．20 B ．40 C ．80 D ．160解析：选D.法一：设含x 3的为第r ＋1项，则T r ＋1＝C r n x6－r ·2r，令6－r ＝3，得r ＝3，故展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.法二：根据二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的x 与2分得的次数和为6，则根据条件满足条件x 3的项按3与3分配即可，则展开式中x 3的系数为C 36×23＝160.2．(2x －12x)6的展开式的常数项是( )A ．20B ．－20C ．40D ．－40解析：选B.由题知(2x －12x )6的通项为T r ＋1＝(－1)r C r 626－2r x 6－2r，令6－2r ＝0得r ＝3，故常数项为(－1)3C 36＝－20.3．1.056的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A ．1.23 B ．1.24 C ．1.33 D ．1.34解析：选 D.1.056＝(1＋0.05)6＝C 06＋C 16×0.05＋C 26×0.052＋C 36×0.053＋…＝1＋0.3＋0.0375＋0.0025＋…≈1.34.4．(2011年高考浙江卷)设二项式⎝⎛⎭⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数是A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a 的值是________．解析：A ＝C 26(－a )2，B ＝C 46(－a )4，由B ＝4A 知，4C 26(－a )2＝C 46(－a )4，解得a ＝±2. 又∵a >0，∴a ＝2. 答案：2一、选择题1．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．10解析：选D.(1－x )5中x 3的系数－C 35＝－10，－(1－x )6中x 3的系数为－C 36·(－1)3＝20，故(1－x )5－(1－x )6的展开式中x 3的系数为10.2．(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数是( ) A ．840 B ．－840 C ．210 D ．－210解析：选A.在通项公式T r ＋1＝C r 10(－2y )r x10－r 中，令r ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4项的系数为C 410·(－2)4＝840.3．(2010年高考陕西卷)⎝⎛⎭⎫x ＋ax 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．1D ．2解析：选D.由二项式定理，得T r ＋1＝C r 5x 5－r ·⎝⎛⎭⎫a x r ＝C r 5·x 5－2r ·a r ，∴5－2r ＝3，∴r ＝1，∴C 15·a ＝10，∴a ＝2.4．若C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n能被7整除，则x ，n 的值可能为( ) A ．x ＝4，n ＝3 B ．x ＝4，n ＝4 C ．x ＝5，n ＝4 D ．x ＝6，n ＝5解析：选C.由C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n－1，分别将选项A 、B 、C 、D 代入检验知，仅有C 适合．5.⎝⎛⎭⎫x －13x 10的展开式中含x 的正整数指数幂的项数是( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6解析：选B.T r ＋1＝C r 10x 10－r 2·⎝⎛⎭⎫－13r ·x －r ＝C r 10⎝⎛⎭⎫－13r ·x 10－3r2.若是正整数指数幂，则有10－3r2为正整数，∴r 可以取0,2，∴项数为2.6．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2 D ．4解析：选C.(1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)·(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x的系数是－10＋12＝2.二、填空题 7.⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是________．解析：T 4＝C 3623⎝⎛⎭⎪⎫－13x 3＝－160x .答案：－160x8．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.解析：∵T 4＝C 35(x )2·a 3＝10x ·a 3. ∴10xa 3＝10a 2(a >0)，∴x ＝1a.答案：1a9．(2010年高考辽宁卷)(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________．解析：(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭⎫x －1x 6＝(1＋x ＋x 2)[ C 06x 6⎝⎛⎭⎫－1x 0＋C 16x 5⎝⎛⎭⎫－1x 1＋C 26x 4⎝⎛⎭⎫－1x 2＋C 36x 3⎝⎛⎭⎫－1x 3。

名校新学案高中数学人教A选修2-3课后作业1.1.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理(备选)(含答案详析)

选修2-3第一章 1.1第1课时
1．(2012·北京)从0、2中选一个数字，从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()
A．24 B．18
C．12 D．6
[答案] B
[解析](1)当从0,2中选取2时，组成的三位奇数的个位只能奇数，只要2不排在个位即可，先排2再排1,3,5中选出的两个奇数，共有2×3×2＝12(个)．
(2)当从0,2中选取0时，组成的三位奇数的个位只能是奇数，0必须在十位，只要排好从1,3,5中选出的两个奇数．共有3×2＝6(个)．
综上，由分类加法计数原理知共有12＋6＝18(个)．
2．已知下图的每个开关都有闭合与不闭合两种可能，因此5个开关共有25种可能．在这25种可能中，电路从P到Q接通的情况有________________种．
[答案]16
[解析]五个开关全闭合有1种情况能使电路接通；四个开关闭合有5种情况能使电路接通；三个开关闭合有8种情况能使电路接通；两个开关闭合有2种情况能使电路接通；所以共有1＋5＋8＋2＝16种情况能使电路接通．。

名校新学案高中数学人教A版选修2-3课后作业2.3.2离散型随机变量的方差(备选)(含答案详析)

选修 2-3第二章2.3451．设随机变量 X ～ B(n ，p) ，X 的均值与方差分别是 15 和 4 ，则 n 、p 的值分别是 ()1 1 A ． 50， 4 B ．60， 433 C ． 50，4 D ． 60， 4[答案 ]Bnp ＝ 151[分析 ]由得p ＝445.np 1－ p ＝ 4n ＝ 602．样本中共有五个个体，其值分别为a 、 0、 1、2、 3.若该样本的均匀值为1，则样本方差为 ()66 A ． 5B ．5C ． 2D ． 2[答案 ] D[分析 ]a ＋ 0＋ 1＋ 2＋ 3 ∵ ＝ 1，∴a ＝－ 1，5故 s2＝ 15[(－ 1－ 1)2＋ (0－ 1)2＋ (1－ 1)2＋ (2－ 1)2＋ (3－ 1)2]＝ 2.3．已知整体的各个体的值由小到大挨次为2、 3、 3、 7、 a 、 b 、12、 13.7、 18.3、20，且整体的中位数为 10.5.若要使该整体的方差最小，则a 、b 的取值分别是 ________．[答案 ] 10.5、 10.5 [分析 ]由题意得a ＋b＝ 10.5，∴a ＋ b ＝21， 22＋ 3＋ 3＋ 7＋21＋ 13.7＋18.3＋ 20＋ 12＝ 10，x ＝10∴s 2＝ 101[(10 － 2)2＋ (10－ 3)2＋ (10－ 3)2＋ (10－ 7)2 ＋ (10－ a)2 ＋ (10－ b) 2＋ (10－ 12)2＋ (10－ 13.7) 2＋ (10－ 18.3)2＋ (10－ 20)2 ]＝ 101[82＋ 72＋ 72＋ 32＋(10－ a)2＋ (10－ b)2＋ 4＋ 3.72 ＋8.32＋ 102]122＝ 10[(10 － a) ＋ (10 －21＋ a) ＋ ]＝ 1[2(a － 10.5)2 ＋ ] 10当 a ＝10.5 时，方差 s 最小， b ＝ 10.5.4．有一批部件共 10 个合格品、 2 个不合格品．安装机器时从这批部件中任选1 个，取到合格品才能安装；若拿出的是不合格品，则不再放回．(1)求最多取 2 次部件就能安装的概率；(2) 求在获得合格品前已经拿出的次品数X 的散布列，并求出X 的均值 E(X)和方差D (X)(方差计算结果保存两个有效数字)．10 51 次部件就取到[分析 ] (1)设安装时所取部件的次数是η，则 P(η＝ 1)＝ 12＝ 6，这是取了合格品，能够安装；2× 10 51 次取到不合格品，第2 次取到了合格品．P(η＝2) ＝12 11＝33，这是第∴最多取 2 次部件就能安装的概率为56＋ 335＝ 6566.(2)依题意 X 的全部可能取值为0、 1、 2，5P(X ＝0)＝ P(η＝1) ＝6，5P(X ＝1)＝ P(η＝2) ＝33，551P(X ＝2)＝ 1－ 6－ 33＝ 66.故 X 的散布列是X 0 1 2P55 163366于是 E(X)＝ 0×5＋ 1× 5＋2× 1 ＝ 2 ，6 33 66 11 5 ×225 × 9 2 ＋ 1 × 20 2 ≈0.18.D( X)＝11 ＋ 3311 66 116因此 X 的希望值和方差值分别是2 和 0.18.115．设在 15 个同种类的部件中有 2 个是次品，每次任取 1 个，拿出后不再放回，共取 3次．若以 X 表示拿出次品的个数，求X 的均值和方差．[剖析 ]第一求出各样状况的概率，写出概率散布，注意部件取后不放回．312[分析 ] P( X＝C313＝22， P(X＝ 1)＝C2C313＝12，0)＝C1535C1535C22C1311P(X＝2)＝C153＝35，故 X 的散布列为：X012P22121353535 221212则 E(X)＝ 0×35＋ 1×35＋ 2×35＝5，2 222 2 212 2 2152D( X)＝ 0－5×35＋ 1－5×35＋2－5×35＝175.6．某花店每日以每枝 5 元的价钱从农场购进若干枝玫瑰花，而后以每枝10 元的价钱出售．假如当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾办理．(1)若花店一天购进16 枝玫瑰花，求当天的收益y(单位：元 ) 对于当天需求量 n(单位：枝， n∈N )的函数分析式；(2)花店记录了100 天玫瑰花的日需求量 ( 单位：枝 )，整理得下表：日需求量 n14151617181920频数10201616151310以 100 天记录的各需求量的频次作为各需求量发生的概率．(ⅰ )若花店一天购进16 枝玫瑰花， X 表示当天的收益 (单位：元 )，求 X 的散布列、数学希望及方差；(ⅱ )若花店计划一天购进16 枝或 17枝玫瑰花，你以为应购进16 枝仍是 17 枝？请说明原因．[分析 ] (1)当天需求量 n≥16时，收益 y＝ 80.当天需求量n<16 时，收益y＝ 10n－ 80，因此 y 对于 n 的函数分析式为10n－ 80，n<16 ，y＝(n∈N )．80，n≥ 16，(2)(ⅰ )X 可能的取值为60,70,80，而且P(X＝60)＝ 0.1，P(X＝ 70)＝0.2， P(X＝ 80)＝ 0.7.X的散布列为X607080P0.10.20.7X 的数学希望为E(X)＝ 60× 0.1＋70× 0.2＋ 80× 0.7＝ 76.X 的方差为 D (X)＝ (60－ 76)2× 0.1＋ (70－ 76)2× 0.2＋ (80－ 76)2× 0.7＝ 44.(ⅱ )答案一：花店一天应购进16 枝玫瑰花．原因以下：若花店一天购进17 枝玫瑰花， Y 表示当天的收益(单位：元 )，那么 Y 的散布列为Y55657585P0.10.20.160.54Y的数学希望为E(Y)＝ 55× 0.1＋ 65× 0.2＋ 75× 0.16＋85× 0.54＝ 76.4.Y的方差为D(Y) ＝ (55 － 76.4)2× 0.1 ＋ (65 － 76.4)2× 0.2＋ (75 － 76.4) 2× 0.16 ＋ (85－ 76.4) 2× 0.54 ＝112.04.由以上的计算结果能够看出，D(X)<D(Y)，即购进16 枝玫瑰花时收益颠簸相对较小．另外，固然E(X)<E(Y)，但二者相差不大．故花店一天应购进16 枝玫瑰花．答案二：花店一天应购进17 枝玫瑰花．原因以下：若花店一天购进17 枝玫瑰花，Y 表示当天的收益(单位：元)，那么Y 的散布列为Y P 55650.10.275850.160.54Y 的数学希望为E(Y)＝ 55× 0.1＋ 65× 0.2＋ 75× 0.16＋85× 0.54＝ 76.4.由以上的计算结果能够看出，EX<EY，即购进17 枝玫瑰花时的均匀收益大于购进16 枝时的均匀收益．故花店一天应购进17 枝玫瑰花．。

高中人教A数学选修2-3学案：1.2.1 第2课时排列(二) 含答案

第2课时排列(二)自主预习·探新知情景引入2020年7月1日是中国共产党成立99周年纪念日，各地组织形式多样的纪念活动，某校开展了“学习强国”答题竞赛，共有29名参赛者按顺序就座参与比赛．那么这29位选手的排列顺序有多少种呢？这样的排列顺序问题能否有一个公式表示呢？只要掌握了本节我们将要学习的排列与排列数公式，这些问题便可迎刃而解．新知导学1．排列数的性质①A m n＝__n__A m－1n－1；②A m n＝__m__A m－1n－1＋A m n－1．性质①是指从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素排成一列．分两步骤完成：第一步从n个元素中选出1个排在一个位置上，第二步从余下的n－1个元素中选出__m－1__个元素排在余下的m－1个位置上，得到A m n＝__n A m－1n－1__．性质②是指从含有元素a的n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，排成一列．第一类：m个元素中含有a，分两步完成．第一步，将a排在某一位置上，有__m__种不同的方法．第二步，从其余n－1个元素中取出__m－1__个排在其他m－1个位置有A m－1n－1种方法，即有m A m－1n－1种不同的方法．第二类：m个元素中不含有a.从n－1个元素中取出__m__个元素排在m个位置上有A m n－1种方法，∴A m n＝m A m－1n－1＋A m n－1或∵A m n－A m n－1＝n·(n－1)·(n－2)·…·(n－m＋1)－(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n－m)＝m[(n－1)(n－2)…(n－m＋1)]＝__m A m n－1__∴A m n＝__m A m－1n－1＋A m n－1__．2．有限制条件的排列问题①直接法：以元素为考察对象，先满足__特殊__元素的要求，再考虑__一般__元素(又称为元素分析法)，或以位置为考察对象，先满足__特殊__位置的要求，再考虑__一般__位置(又称位置分析法)．②间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去__不合要求__的排列数．③相邻元素__捆绑__法，相离问题__插空__法，定元、定位__优先排__法，至多、至少__间接__法，定序元素__最后排__法．预习自测1．5名同学排成一排，其中甲、乙、丙三人必须排在一起的不同排法有(C)A．70B．72C．36D．12[解析]甲、乙、丙先排好后视为一个整体与其他2名同学进行排列，共有A33A33＝36种排法．2．用数字0、1、2、3、4、5可以组成没有重复数字，并且比20 000大的五位偶数共有(B) A．288个B．240个C．144个D．126个[解析]个位是0，有4A34＝96个；个位不是0，有2×3×A34＝144个，∴共有96＋144＝240个．3．有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有__192__种．[解析]解法一：先去掉甲考虑其他6人，首先将乙、丙绑定为一个元素，排法有A55·A22，然后让甲站在中间位置，但此时有不符合条件的，即当乙、丙在中间位置时，甲再插入中间的应去掉，共有A44·A22，则符合条件的站法有A55·A22－A44·A22＝192种．解法二：乙、丙的排法有2种，乙、丙可在甲的左边也可在右边，每边都有2种位置，乙、丙站好后其余4人任意排共有2×2×2A44＝192种．4．7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4名男生互不相邻；(3)若4名男生身高都不等，按从高到低的一种顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端.[解析](1)2名女生站在一起有站法A22种，视为一个元素与其余5个全排，有A66种排法，∴有不同站法A 22·A 66＝1 440种．(2)先排老师和女生，有排法A 33种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，每空一人，有插入方法A 44种，∴共有不同站法A 33·A 44＝144种．(3)7人全排列中，4名男生不考虑身高顺序的站法有A 44种，而由高到低有从左到右，或从右到左的不同，∴共有不同站法2·A 77A 44＝420种．(4)中间和两侧是特殊位置，可如下分类求解：①老师站两侧之一，另一侧由男生站，有A 12·A 14·A 55种站法；②两侧全由男生站，老师站除两侧和正中外的另外4个位置之一，有A 24·A 14·A 44种站法，∴共有不同站法A 12A 14A 55＋A 24A 14A 44＝2 112种．互动探究·攻重难互动探究解疑命题方向❶元素相邻问题典例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有( C )A ．720种B ．360种C ．240种D ．120种[解析] 因甲、乙两人要排在一起，故将甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有A 55种排法，但甲、乙两人之间有A 22种排法，由分步乘法计数原理可知：共有A 55·A 22＝240种不同的排法，选C ．『规律总结』 1.解排列应用题的基本思路实际问题→排列问题→求排列数→解决实际问题．通过审题，找出问题中的元素是什么，是否与顺序有关，有无特殊限制条件(特殊位置，特殊元素)．2．相邻元素捆绑法．如果所给问题中要求某n 个元素必须相邻，可将这n 个元素先排好，然后将其整体看作一个元素参与排列．┃┃跟踪练习1__■记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有(B)A．1440种B．960种C．720种D．480种[解析]先将5名志愿者排好，有A55种排法，2位老人只能排在5名志愿者之间的4个空隙中，先将2位老人排好，有A22种排法，再把它作为一个元素插入空隙中，有4种插法．∴共有不同排法4A22A55＝960种．命题方向❷元素不相邻问题典例2要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？[解析]先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为A66种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有A47种排法，由分步乘法计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为A47·A66＝604 800(种)．『规律总结』不相邻问题插空法．不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”．┃┃跟踪练习2__■4名男生和4名女生站成一排(1)男生不相邻的站法有__2_880__种．(2)女生不相邻的站法有__2_880__种．(3)男、女生相间的站法有__1_152__种．(可不必计算出数值)[解析](1)4名女生排好有A44种排法，男生插入女生形成的5个空位中有A45种．∴男生不相邻的站法有A44·A45＝2 880种．(2)同(1)可得A44A45＝2 880种．(3)如图，1男2男3男4男 52至5号位，∴有排法2A44A44＝1 152种．命题方向❸定位定元问题典例33名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排列方案的方法种数．(1)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(2)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(3)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端．[思路分析](1)甲是特殊元素，其余学生站法不受限制，故可先将甲排好，再排其他人．(2)同(1)的分析，甲、乙是特殊元素可先在两端排好甲、乙，有A22种排法，再排其他人．(3)直接排时，可按甲的站位分类：甲在最右端和甲不在两端；也可按乙的站位分类．用间接法求时，7人全排列后减去甲在左端的和乙在右端的(两种情形一样多)，再加上甲在左端且乙在右端的情形(两次都减去了)．[解析](1)(特殊元素优先法)先考虑甲有A13种方案，再考虑其余六人全排，故N＝A13A66＝2 160(种)．(2)(特殊元素优先法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全排，故N＝A22·A55＝240(种)．(3)解法一(特殊元素优先法)：按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端时有N1＝A66(种)，第二类：甲不在最右端时，甲有A15个位置可选，而乙也有A15个位置，而其余全排A55，有N2＝A15A15A55(种)，故N＝N1＋N2＝A66＋A15A15A55＝3 720(种)．解法二(间接法)：无限制条件的排列数共有A77，而甲在左端或乙在右端的排法都有A66，且甲在左端且乙在右端的排法有A55，故N＝A77－2A66＋A55＝3 720(种)．解法三(特殊位置优先法)：按最左端优先安排分步．对于左端除甲外有A16种排法，余下六个位置全排有A66，但减去乙在最右端的排法A15A55种，故N＝A16A66－A15A55＝3 720(种)．『规律总结』有限制条件的排列问题常用的方法有“直接法”和“间接法”．1．至多、至少间接法当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”．含“至多”、“至少”类词语的排列(组合)问题，是需要分类问题，常用间接法(即排除法)解答．这时可以先不考虑特殊元素(位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(位置)要求的排列数，即排除法．2．定元、定位优先排．在有限制条件的排列问题中，有时限定某元素必须排在某位置，某元素不能排在某位置；有时限定某位置只能排(或不能排)某元素．这种特殊元素(位置)解题时要优先考虑．(1)元素分析法——即以元素为主，优先考虑特殊元素，再考虑其他元素，先特殊后一般．(2)位置分析法——即以位置为主，优先考虑特殊位置，再考虑其他位置，先分类后分步．┃┃跟踪练习3__■ 7人站成一排．(1)甲必须在乙的前面(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法；(2)甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变(不一定相邻)，则有多少种不同的排列方法． [解析] (1)甲在乙前面的排法占全体全排列种数的一半，故有A 77A 22＝2 520种不同排法．(2)甲、乙、丙自左向右的顺序保持不变，即甲、乙、丙自左向右顺序的排法种数占全体排列种数的1A 33．故有A 77A 33＝840种不同排法．学科核心素养排列与其他知识相交汇排列问题常与方程、不等式、函数、数列、解析几何、立体几何等知识相交汇，给人感觉情境新颖，但只需转化和化归，即可脱去新题的伪装，还其本来面目．典例4 从1,2,3，…，20这20个自然数中任选出3个不同的数，使这3个数成等差数列，这样的等差数列可以有多少个？[思路分析] 由三个自然数组成的等差数列具有这样的性质：第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数(若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b )，在1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数，联想到排列的定义，可以求解．[解析] 设a ，b ，c ∈N *，且a ，b ，c 成等差数列，则a ＋c ＝2b ，即a ＋c 应是偶数．因此，若从1到20这20个数中任选出三个数成等差数列，则第一个数与第三个数必同为偶数或同为奇数，而1到20这20个数中有10个偶数和10个奇数．当第一个数和第三个数选定后，中间的数被唯一确定．因此选法有两类：第一类，第一个数和第三个数都是偶数，有A 210种选法；第二类，第一个数和第三个数都是奇数，有A 210种选法．于是，选出3个数成等差数列的个数为A 210＋A 210＝180．『规律总结』解有限制条件的排列应用问题的关键是将题设的限制条件转化为显性的排列的限制条件．如本例中将三个正整数成等差数列这一限制条件转化为第一项和第三项同为偶数或同为奇数的限制条件．┃┃跟踪练习4__■某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相． (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种？(2)3位老者与2位年轻的都要分别按从大到小的顺序出场，顺序有多少种？[思路分析] 思路(1)3位老者按从大到小的顺序出场不一定这3位相邻出场，只要先排下年轻的，剩余的3个位置，可以按年龄“对号入座”．思路(2)可先不考虑顺序，共有A 55种排法．设符合条件的排法有x 种，每一种排法若不讲顺序的话，三位老者又可作全排列A 33种，共有排法x ·A 33，这是不讲顺序的另一种列式方法．∴x ·A 33＝A 55.∴x ＝A 55A 33＝A 25＝20． [解析] (1)只要第一步先排好年轻的，共有A 25种方法，第二步排3位年老者只有一种排法，按分步乘法计数原理有A 25×1＝20(种)排法．(2)设符合条件的排法共有x种，用(1)的方法可得：x ·A 33·A 22＝A 55，解得x ＝A 55A 33·A 22＝10(种)．易混易错警示排列的综合应用典例5 4名运动员参加4×100接力赛，根据平时队员训练的成绩，甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，则不同的出场顺序有( B )A ．12种B ．14种C ．16种D ．24种[错解] 若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A 44＝24种排法，甲跑第一棒有A 33＝6种，乙跑第四棒有A 33＝6种，故一共有A 44－2A 33＝12种．[辨析] 解答过程中，排除甲跑第一棒和乙跑第四棒，两次都减去了甲跑第一棒且乙跑第四棒的情况，导致了错误结论A 44－2A 33＝12．[正解] 用排除法，若不考虑限制条件，4名队员全排列共有A 44＝24种排法，减去甲跑第一棒有A 33＝6种排法，乙跑第四棒有A 33＝6种排法，再加上甲在第一棒且乙在第四棒有A 22＝2种排法，共有A 44－2A 33＋A 22＝14种不同的出场顺序．课堂达标·固基础1．用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( A ) A ．36 B ．30 C ．40D ．60[解析] 奇数的个位数字为1、3或5，偶数的个位数字为2、4.故奇数有35A 35＝36个．2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( D ) A ．144B ．120C．72D．24[解析]就座3人占据3张椅子，在其余3张椅子形成的四个空位中，任意选择3个，插入3张坐人的椅子，共有A34＝24种不同坐法，故选D．3．(2020·江西省樟树中学)已知三棱锥的6条棱代表6种不同的化工产品，有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的．现用编号为1,2,3的三个仓库存放这6种化工产品，每个仓库放2种，那么安全存放的不同方法种数为(D)A．12B．24C．36D．48[解析]设6种产品分别为a，b，c，d，e，f，画出图形如下图所示，根据题意，安全的分组方法有{ab，cf，de}，{ab，cd，ef}，{ac，be，df}，{ac，bf，de}，{ad，ef，bc}，{ad，eb，cf}，{ae，dc，bf}，{ae，df，bc}，共8种，每一种分组方法安排到3个仓库，有A33种方法，故总的方法种数有8×A33＝48种，故选D．4．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1,2相邻，这样的六位数的个数是__40__．[解析]可分为三步来完成这件事：第一步：先将3,5进行排列，共有A22种排法；第二步：再将4,6插空排列，共有2A22种排法；第三步：将1,2放入3,5,4,6形成的空中，共有A15种排法；由分步乘法计数原理得，共有A222A22A15＝40种不同的排法．。

名校新学案高中数学人教A版选修2-3课后作业2.1.2.1离散型随机变量的分布列(备选)(含答案详析)

选修2-3 第二章 2.1 2.1.2 第1课时
1．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为
则a ＝( A ．1
B ．1±22
C ．1＋22
D ．1－22 [答案] D
[解析] 由分布列的性质，得
⎩⎪⎨⎪⎧
1－2a ≥0，
12＋(1－2a )＋a 2＝1，
解得a ＝1－22. 2．某城市出租汽车的起步价为10元，行驶路程不超出4km ，则按10元的标准收租车费．若行驶路程超出4km ，则按每超出1km ，加收2元计费(超出不足1km 的部分按1km 计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定，每停车5分钟按1km 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量，他收旅客的租车费也可以是一个随机变量．(ξ为整数)租车费η关于行车路程ξ的关系式为________；
已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15km ，问出租车在途中因故停车累计最多______________分钟．
[答案] η＝2ξ＋2 15
[解析] 由题意得η＝2(ξ－4)＋10，即η＝2ξ＋2，由38＝2ξ＋2，得ξ＝18,5×(18－15)＝15.。

名校新学案高中数学人教A版选修2-3课后作业2.4正态分布(含答案详析)

选修2-3 第二章 2.4一、选择题1．(2013·河南安阳中学高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (3，σ2)，则P (ξ<3)等于( )A ．15B ．14C ．13D ．12[答案] D[解析] ∵ξ～N (3，σ2)，∴ξ＝3为正态分布的对称轴，∴P (ξ<3)＝12.2．(2013·吉林白山一中高二期末)设随机变量ξ服从正态分布N (2,9)，若P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)，则c ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] B[解析] 由正态分布的性质及条件P (ξ>c ＋1)＝P (ξ<c －1)得，(c ＋1)＋(c －1)＝2×2，∴c ＝2.3．已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X ～N (110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内( )A ．(90,110]B ．(95,125]C ．(100,120]D ．(105,115] [答案] C[解析] 由于X ～N (110,52)，∴μ＝110，σ＝5.因此考试成绩在区间(105,115]，(100,120]，(95,125]上的概率分别应是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试，∴成绩位于上述三个区间的人数分别是： 60×0.6826≈41人，60×0.9544≈57人， 60×0.9974≈60人．4．工人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N (μ，σ2)，在一次正常的试验中，取1 000个零件，不属于(μ－3σ，μ＋3σ)这个尺寸范围的零件个数可能为( )A ．7B ．10C ．3D ．6[答案] C[解析] ∵P (μ－3σ≤ξ≤μ＋3σ)＝0.9974，∴不属于区间(μ－3σ，μ－3σ)内的零点个数约为1000×(1－0.9974)＝2.6≈3个． 5．(2014·哈师大附中高二期中)已知随机变量ξ服从正态分布N (1,4)，则P (－3<ξ<5)＝( )(参考数据：P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.9974)A ．0.6826B ．0.9544C ．0.0026D ．0.9974 [答案] B[解析] 由ξ～N (1,4)知，μ＝1，σ＝2，∴μ－2σ＝－3，μ＋2σ＝5，∴P (－3<ξ<5)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544，故选B.6．以Φ(x )表示标准正态总体在区间(－∞，x )内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则概率P (|ξ－μ|<σ)等于( )A ．Φ(μ＋σ)－Φ(μ－σ)B ．Φ(1)－Φ(－1)C ．Φ⎝⎛⎭⎫1－μσD ．2Φ(μ＋σ) [答案] B[解析] 设η＝|ξ－μ|σ，则P (|ξ－μ|<σ)＝P (|η|<1)＝P (－1<η<1)＝Φ(1)－Φ(－1)．[点评] 一般正态分布N (μ，σ2)可向标准正态分布N (0,1)转化．二、填空题7．正态变量的概率密度函数f (x )＝12πe －(x －3)22，x ∈R 的图象关于直线________对称，f (x )的最大值为________．[答案] x ＝312π8．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)里的概率和落在区间(3,5)里的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为________．[答案] 1[解析] 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等，说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等．另外，因为区间(－3，－1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个区间上是对称的．∵区间(－3，－1)和区间(3,5)关于直线x ＝1对称，所以正态分布的数学期望是1. 9．(2013·景德镇市高二期末)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ<4)＝0.8，则P (0<ξ<2)等于________．[答案] 0.3[解析] ∵ξ～N (2，σ2)，∴P (ξ≥4)＝1－P (ξ<4)＝0.2.∴P (0<ξ<2)＝12P (0<ξ<4)＝12×[1－2P (ξ≥4)]＝12×[1－2×0.2]＝0.3.三、解答题10．若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值等于142π.求该正态分布的概率密度函数的解析式．[解析] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象即正态曲线关于y 轴对称，即μ＝0.而正态密度函数的最大值是12π·σ，所以12π·σ＝12π·4，因此σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是φμ，σ(x )＝142πe －x 232，x ∈(－∞，＋∞)．一、选择题11．已知随机变量X ～N (3,22)，若X ＝2η＋3，则D (η)等于( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4[答案] B[解析] 由X ＝2η＋3，得D (X )＝4D (η)，而D (X )＝22＝4，∴D (η)＝1.12．某市进行一次高三教学质量抽样检测，考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布．已知数学成绩平均分为90分，60分以下的人数占10%，则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为( )A ．10%B ．20%C ．30%D ．40%[答案] D[解析] 由条件知μ＝90，P (ξ<60)＝0.1， ∴P (ξ>120)＝0.1，∴P (90≤ξ<120)＝12[1－2P (ξ<60)]＝12×(1－0.2)＝0.4，故选D. [点评] 解决正态分布问题，一定要注意抓住其对称轴，若ξ～N (μ，σ2)，则对称轴ξ＝μ.13．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1>0)和N (μ2，σ22)(σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1<μ2，σ1<σ2B ．μ1<μ2，σ1>σ2C ．μ1>μ2，σ1<σ2D ．μ1>μ2，σ1>σ2[答案] A[解析] 根据正态分布的性质：对称轴方程x ＝μ，σ表示总体分布的分散与集中．由图可知选A.二、填空题14．随机变量ξ～N (1,42)，若η＝4－3ξ，则E (η)＝__________________. [答案] 1[解析] 由条件知E (ξ)＝1，E (η)＝4－3E (ξ)＝1.15．某厂生产的零件尺寸服从正态分布N (25,0.032)，为使该厂生产的产品有95%以上的合格率，则该厂生产的零件尺寸允许值范围为________．[答案] (24.94,25.06)[解析] 正态总体N (25,0.032)在区间(25－2×0.03，25＋2×0.03)内取值的概率在95%以上，故该厂生产的零件尺寸允许值范围为(24.94,25.06)．三、解答题16．某个工厂的工人月收入服从正态分布N (500,202)，该工厂共有1200名工人，试估计月收入在440元以下和560元以上的工人大约有多少？[解析] 设该工厂工人的月收入为ξ，则ξ～N (500,202)，所以μ＝500，σ＝20，所以月收入在区间(500－3×20,500＋3×20)内取值的概率是0.9974，该区间即(440,560)．因此月收入在440元以下和560元以上的工人大约有1200×(1－0.9974)＝1200×0.0026≈3(人)．17．实验中学的三名学生甲、乙、丙参加某大学自主招生考核测试，在本次考核中只有合格和优秀两个等次，若考核为合格，则授予10分降分资格；考核优秀，授予20分降分资格．假设甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为23、23、12，他们考核所得的等次相互独立．(1)求在这次考核中，甲、乙、丙三名同学中至少有一名考核为优秀的概率．(2)记在这次考核中甲、乙、丙三名同学所得降分之和为随机变量ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E (ξ)．[解析] (1)记“甲考核为优秀”为事件A ，“乙考核为优秀”为事件B ，“丙考核为优秀”为事件C ，“甲、乙、丙至少有一名考核为优秀”为事件E .则事件A 、B 、C 是相互独立事件，事件A － B － C －与事件E 是对立事件，于是P (E )＝1－P (A － B － C －)＝1－13×13×12＝1718.(2)ξ的所有可能取值为30、40、50、60. P (ξ＝30)＝P (A － B － C －)＝13×13×12＝118，P (ξ＝40)＝P (A B － C －)＋P (A －B C －)＋P (A － B －C )＝23×13×12＋13×23×12＋13×13×12＝518，P (ξ＝50)＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝818，P (ξ＝60)＝P (ABC )＝418.所以ξ的分布列为118＋40×518＋50×818＋60×418＝1453.E(ξ)＝30×。

高中人教A数学选修2-3学案：1.2.2 第2课时组合(二) 含答案

Earlybird
晨鸟教育
男 1 女，可分类求解，也可间接求解．
[解析] (1)即从 7 名学生中选出三名代表，共有选法 C37＝35 种．
(2)至少有一名女生的不同选法共有 C13C24＋C23C14＋C ＝31 种，或 C －C ＝31 种．
3
37
34
(3)男、女生都要有的不同的选法共有 C37－C34－C3＝30 种，或 C14C23＋C24C13＝30 种．
与几何有关的组合问题典例 3 如图，在以 AB 为直径的半圆周上，有异于 A，B 的六个点 C1，C2， C3，C4，C5，C6，直径 AB 上有异于 A，B 的四个点 D1，D2，D3，D4．
问：(1)以这 10 个点中的 3 个点为顶点作三角形可作多少个？其中含 C1 点的有多少个？ (2)以图中的 12 个点(包括 A、B)中的 4 个为顶点，可作出多少个四边形？ [解析] (1)C36＋C16·C24＋C26·C14＝116(个)．其中以 C1 为顶点的三角形有 C25＋C15·C14＋C24＝36(个)． (2)C46＋C36·C16＋C26·C26＝360(个)．『规律总结』 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理． (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法． (3)在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构造模型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象组合问题来解决． ┃┃跟踪练习 3__■
预习自测
1．某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、英语统一考试外，还需从物理、化学、

人教版数学高二A版选修2-3课后导练1.3.2二项式定理(二)

课后导练基础达标1.（0.998）5精确到0.001的近似值为______________.解析：(0.998)5=(1-0.002)5答案：0.9902.今天是星期四，再过260天后的第一天是星期______________.解析：260=820=（7+1）20答案：六3.7100被36除所得的余数是______________.解析：7100=（6+1）100=0100C 6100+1100C 699+…+98100C 62+99100C 6+100100C ，只须求99100C 6+1被36除余几.答案：254.(湖北高考，14)(212++xx )5的展开式中整理后的常数项为____________. 解析：由(212++x x )5=(x x 12+)10，设常数项为T r+1=r C 10(2x )10-r (x 1)r .据题意令10-2r=0，即r=5.故常数项为T 6=2263. 5.若n 为正奇数，则7n +7n-11n C +7n-22n C +…+71-n n C 被9除的余数是( )A.0B.2C.7D.8解析：原式=7n +1n C 7n-1+2n C 7n-2+…+1-n n C ·7+1-1=(7+1)n-1=8n-1=(9-1)n-1=0n C ·9n -1n C 9n-1+…+1-n n C ·9·(-1)n-1+（-1）n-1=9n -1n C ·9n-1+…+1-n n C ·9-2(n 为正奇数)，所以被9除，余数为7.答案：C综合运用6.据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十·五”期间（2001年-2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为( )A.115 000亿元B.120 000亿元 C .127 000亿元 D.135 000亿元解析：设到“十·五”末我国国内年生产总值为A ，由复利公式或等比数列通项公式，得 A=95 933(1+7.3%)4≈95 933(1+4×0.073+6×0.0732)≈127 000亿元.故选C.7.0.9910的小数点后第1位数字为n 1，第2位数字为n 2,第3位数字为n 3，则n 1,n 2,n 3分别为( )A.9，4，0B.9，0，4C.9，2，0D.9，0，2解析：0.9910=(1-0.01)10=1-10×0.01+45×(0.01)2-…=1-0.1+0.004 5-…=0.9+0.004 5-…故选B.8.1-21n C +42n C -83n C +164n C -…+(-1)n nn C ·2n 等于( )A.1B.-1C.±1D.（-1）n解析：原式=（1-2）n =(-1)n选D.9.已知（x+m ）2n+1与(mx+1)2n （n ∈N *，m≠0）的展开式中含x n 项的系数相等，求实数m 的取值范围.解析：设(x+m)2n+1的展开式通项公式为T r+1=r n C 12+x 2n+1-r .m r ，令2n+1-r=n得r=n+1.故此展开式中，x n 项的系数为112++n n C ·m n +1由题意知：112++n n C ·m n+1=n n C 2·m n ， ∴1211(21121++=++n n n ) m 是n 的减函数.∵n ∈N *，∴m ＞21，又当n=1时，m=32， ∴21＜m≤32. 故m 的取值范围是［21,32］拓展探究10.已知数列{a n }满足S n =n a n 2(n ∈N *)，S n 是{a n }的前n 项的和，并且a 2=1. (1)求数列{a n }的前n 项的和；（2）证明：23≤(1211++n a )a n+1＜2. 解析：（1）由题意S n =2n a n ，得S n+1=21+n a n+1. 两式相减得2a n+1=(n+1)a n+1-na n ,即（n-1）a n+1=na n .所以（n+1）a n+1=na n+2.再相加2na n+1=na n+n a n+2，即2a n+1=a n +a n+2.所以数列{a n }是等差数列.又∵a 1=21a 1, ∴a 1=0.又a 2=1,∴a n =n-1.所以数列{a n }的前n 项的和为S n =2n a n =2)1(-n n . （2）(1+121+n a )a n+1=(1+n21)n =)21()21()21(21221nn n r r n n n nn C n C n C n C C ++++++ . ∵r r r r rn n r r n n n n C 21!)1()1(21)21(<+--•= (r=1,2,…,n), ∴(1+n 21)n ＜1+211)21(12141211--=++++n n =2-(21)n ＜2 而(1+n 21)n ≥0n C +1n C ·2321=n , ∴11)211(23+++≤n n a a ＜2. 备选习题11.农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3 150元（其中工资性收入为1 800元，其它收入为1 350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元.根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于( )A.4 200元—4 400元B.4 400元—4 600元C.4 600元—4 800元D.4 800元—5 000元解析：在处理与二项式高次幂有关的近似估值问题时，可运用二项式定理将其展开，经简略计算去解决估值问题.2008年农民工资性人均收入为1 800（1+0.06）5≈1 800（1+15C ×0.06+25C ×0.062）= 1 800（1+0.3+0.036）=1 800×1.336≈2 405;又2008年农民其它人均收入为1 350+160×5=2 150故2008年农民人均总收入约为2 405+2 150=4 555（元）.故选B. 12.已知函数f(x)=1212+-x x ，证明：对于任意不小于3的自然数n ，f(n)＞1+n n . 证明：若直接运用二项式定理或数学归纲法去证明困难都大，故应另辟解题蹊径，将其转化为熟悉命题：f(n)＞1+n n ⇔1212+-n n ＞1+n n ⇔2n ＞2n+1(n≥3,n ∈N ),再证明就容易了. 2n =(1+1)n =1+1n C +2n C +…+1-n n C +nn C ＞2n+1.∵n≥3，展开至少有4项，故原命题获证.13.（经典回放）某地现有耕地10 000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？解析：设耕地平均每年至多只能减少x 公顷，又设该地区现有人口为P 人，粮食单产为M 吨/公顷，依题意得 10%)11()101000%)(221(+-+P x M ≥PM 10000(1+10%)，化简得， x≤]22.1)01.01(1.11[10103+⨯-，即x≤1 000-1 000×22.11.1×1.0110. 而（1.01）10=(1+0.01)10=1+110C ×0.01+210C ×0.012+…≈1.104 5，所以x≤1 000-1 000×22.11.1×1.104 5 ＜1 000-996=4(公顷).答案：耕地平均每年至多只能减少4公顷.14.如果（ax+1）9与（x+2a ）8的展开式中x 3的系数相等，求a 的值，并求无穷等比数列1,a,a 2,a 3,…各项的和（其中a≠0）.解析：由已知得39C a 3=38C (2a)5，a≠0，解得a=±83. 当a=83时， 1+a+a 2+a 3+…=6138648311+=-；当a=-83时，1+a+a 2+a 3+…=6138648311-=+. 15.设数列{a n }是等比数列，a 1=12332-+•m m m A C ，公比q 是(x+241x )4的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）.（1）用n,x 表示通项a n 与前n 项和S n ；（2）若A n =n n n n n S C S C S C +++ 2211,用n,x 表示A n .解析：(1)∵a 1=12332-+•m m m A C ，∴⎩⎨⎧≥-≥+,12,332m m m 即⎩⎨⎧≥≤,3,3m m ∴m=3. 由(x+241x )4知T 2=14C x 3·241x=x, ∴a n =x n-1,S n =⎪⎩⎪⎨⎧≠--=,1,11,1,时时x xx x n n （2）当x=1时，S n =n ，A n =1n C +22n C +33n C +…+n nn C ，又∵A n =n n n C +(n-1) 1-n n C +(n-2)2-n n C +…+1n C ,1n C =1-n n C , 2n C =2-n n C ,… ∴2A n =n(0n C +1n C +…+nn C )=n·2n ,∴A n =n·2n-1. 当x≠1时，S n =xx n--11. =--++--+--+--=n n nn n n n C xx C x x C x x C x x A 1111111133221 x -11［(1n C +2n C +…+n n C )-(x 1n C +x 22n C +…+x n n n C )］=x-11［2n -1-(1+x 1n C +x 22n C +x n n n C -1)］=x-11［2n -(1+x)n ］. ∴A n =⎪⎩⎪⎨⎧≠-+-=•-.1,1)1(2,1,21时时x x x x n n n n 16.求证：5151-1能被7整除.解析：5151-1=（49+2）51-1=(051C 4951+151C 4950×2+…+5051C ×49×250)+( 5151C ×251-1) 然后再证251-1能被7整除.251-1=（7+1）17-1=…=7（017C ·716+117C ·715+…+1627C ）显然能被7整除.。

名校新学案高中数学人教A版选修2-1课后作业1.2.2充要条件习题课(含答案详析)

第一章 1.2 第2课时一、选择题1．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 当a ＝1时，直线x －ay ＝0化为直线x －y ＝0，∴直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直；当直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直时，有1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．m ＝3是直线3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 由圆心(1,0)到直线3x －y ＋m ＝0距离d ＝|3＋m |2＝3得，m ＝3或－33，故选A.3．设集合A ＝{x ∈R |x －2>0}，B ＝{x ∈R |x <0}，C ＝{x ∈R |x (x －2)>0}，则“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 因为A ∪B ＝C ，故“x ∈A ∪B ”是“x ∈C ”的充要条件． 4．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] 如a ＝1，c ＝3，b ＝2，d ＝1时，a ＋c >b ＋d ，但a <b ，故由“a ＋c >b ＋d ”⇒/ “a >b 且c >d ”，由不等式的性质可知，若a >b 且c >d ，则a ＋c >b ＋d ，∴“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的必要不充分条件．5．设命题甲为：0<x <5，命题乙为：|x －2|<3，那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 解不等式|x －2|<3得－1<x <5， ∵0<x <5⇒－1<x <5但－1<x <5⇒/ 0<x <5， ∴甲是乙的充分不必要条件，故选A.6．(2014·南昌市高二期中)设l ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，则“l ⊥α”是“l ⊥m 且l ⊥n ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] A[解析] ∵l ⊥α，m ⊂α，n ⊂α，∵l ⊥m 且l ⊥n ，故充分性成立；又l ⊥m 且l ⊥n 时，m 、n ⊂α，不一定有m 与n 相交，∴l ⊥α不一定成立，∴必要性不成立，故选A.二、填空题7．平面向量a 、b 都是非零向量，a ·b <0是a 与b 夹角为钝角的________条件． [答案] 必要不充分[解析] 若a 与b 夹角为钝角，则a ·b <0，反之a ·b <0时，如果a 与b 方向相反，则a 与b 夹角不是钝角．8．已知三条直线l 1：x －y ＝0，l 2：x ＋y －2＝0，l 3：5x －ky －15＝0，则l 1、l 2、l 3构不成三角形的充要条件是k ∈集合________．[答案] {－5,5，－10}[解析] ①l 1∥l 3时，k ＝5；②l 2∥l 3时，k ＝－5； ③l 1、l 2、l 3相交于同一点时，k ＝－10. 三、解答题9．方程mx 2＋(2m ＋3)x ＋1－m ＝0有一个正根和一个负根的充要条件是什么？[解析] 由题意知⎩⎨⎧(2m ＋3)2－4m (1－m )>0，1－mm <0.∴m >1或m <0，即所求充要条件是m >1或m <0.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n ＋q (p ≠0且p ≠1)，求证：数列{a n }为等比数列的充要条件为q ＝－1.[证明] 充分性：当q ＝－1时，a 1＝p －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)，当n ＝1时也成立．于是a n ＋1a n＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，即数列{a n }为等比数列．必要性：当n ＝1时，a 1＝S 1＝p ＋q . 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝p n －1(p －1)， ∵p ≠0且p ≠1，∴a n ＋1a n ＝p n (p －1)p n －1(p －1)＝p ，∵{a n }为等比数列，∴a 2a 1＝a n ＋1a n＝p ，即p (p －1)p ＋q ＝p ， ∴p －1＝p ＋q ，∴q ＝－1.综上所述，q ＝－1是数列{a n }为等比数列的充要条件．一、选择题11．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．12．(2013·安徽理)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] C[解析] 本题考查了函数单调性与充分必要条件的判断．若a ＝0，则f (x )＝|x |在(0，＋∞)内单调递增，若“a <0”，则f (x )＝|(ax －1)x |＝|ax 2－x |其图象如图所示，在(0，＋∞)内递增；反之，若f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内递增，从图中可知a ≤0，故选C. 13．下列命题中的真命题有( )①两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等；②△ABC 中，AB →·BC →<0是△ABC 为钝角三角形的充要条件； ③2b ＝a ＋c 是数列a 、b 、c 为等差数列的充要条件；④△ABC 中，tan A tan B >1是△ABC 为锐角三角形的充要条件． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] B[解析] 两直线平行不一定有斜率，①假．由AB →·BC →<0只能说明∠ABC 为锐角，当△ABC 为钝角三角形时，AB →·BC →的符号也不能确定，因为A 、B 、C 哪一个为钝角未告诉，∴②假；③显然为真．由tan A tan B >1，知A 、B 为锐角，∴sin A sin B >cos A cos B ， ∴cos(A ＋B )<0，即cos C >0.∴角C 为锐角， ∴△ABC 为锐角三角形．反之若△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，∴cos(A ＋B )<0，∴cos A cos B <sin A sin B ， ∵cos A >0，cos B >0，∴tan A tan B >1，故④真．14．设a 、b 是两条直线，α、β是两个平面，则a ⊥b 的一个充分条件是( ) A ．a ⊥α，b ∥β，α⊥βB ．a ⊥α，b ⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案] C[解析]对选项A如图①所示，由图可知a∥b，故排除A；对选项B如图②所示，由图可知a∥b，故排除B；对选项D如图③所示，其中a∥l，b∥l，由图可知a∥b，故排除D.二、填空题15．函数f(x)的定义域为I，p：“对任意x∈I，都有f(x)≤M”．q：“M为函数f(x)的最大值”，则p是q的________条件．[答案]必要不充分[解析]只有当(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M，(2)存在x0∈I，使f(x0)＝M，同时成立时，M才是f(x)的最大值，故p⇒/ q，q⇒p，∴p是q的必要不充分条件．16．f(x)＝|x|·(x－b)在[0,2]上是减函数的充要条件是______________________．[答案]b≥4[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －b ) x ≥0，－x (x －b ) x <0.若b ≤0，则f (x )在[0,2]上为增函数，∴b >0， ∵f (x )在[0,2]上为减函数，∴b2≥2，∴b ≥4.三、解答题17．求关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件． [解析] ①a ＝0时适合．②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号的实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎨⎧1a>0－2a<0Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.综上可知，若方程至少有一个负的实根，则a ≤1；反之，若a ≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a ≤1.[点评] ①a ＝0的情况不要忽视；②若令f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由于f (0)＝1≠0，从而排除了方程有一个负根，另一个根为零的情况．18．已知p ：x ＋210－x ≥0，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m <0)，且p 是q 的必要条件，求实数m的取值范围．[解析] 由x ＋210－x ≥0，解得－2≤x <10，令A ＝{x |－2≤x <10}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0可得[x －(1－m )]．[x －(1＋m )]≤0，而m <0，∴1＋m ≤x ≤1－m ，令B ＝{x |1＋m ≤x ≤1－m }．∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p 成立，即B ⊆A .则⎩⎨⎧1＋m ≥－21－m <10m <0，解得－3≤m <0.。

名校新学案高中数学人教A版选修2-2课后作业1.3.2函数的极值与导数(备选)(含答案详析)

选修2-2第一章 1.31．函数f( x)的定义域为R，导函数 f ′ (x)的图象如下图，则函数f(x)()A．无极大值点、有四个极小值点B．有一个极大值点、两个极小值点C．有两个极大值点、两个极小值点D．有四个极大值点、无极小值点[答案] C[分析 ]设f′ (x)与x轴的4个交点，从左至右挨次为x1、 x2、 x3、 x4，当 x<x1时， f ′ (x)>0 ， f( x)为增函数，当x1<x<x2时， f ′ (x)<0， f(x)为减函数，则 x＝ x1为极大值点，同理， x＝ x3为极大值点， x＝ x2， x＝ x4为极小值点．[评论 ]相关给出图象研究函数性质的题目，要分清给的是f(x)的图象仍是 f ′ (x)的图象，若给的是 f( x)的图象，应先找出 f( x)的单一区间及极 (最 )值点，假如给的是 f ′( x)的图象，应先找出 f ′ (x)的正负区间及由正变负仍是由负变正，而后联合题目特色剖析求解．322． (2014 ·溪一中期中屯 )设 f( x)＝ x ＋ ax ＋ bx＋ 1 的导数 f ′ ( x)知足 f ′ (1)＝ 2a， f ′(2) ＝－ b，此中常数 a、 b∈R.(1)求曲线 y＝f(x)在点 (1， f(1))处的切线方程；(2)设 g(x)＝ f ′ (x)e－x，求函数g(x)的极值．[分析 ]∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，∴f′ ( x)＝3x2＋2ax＋b，∵f ′ (1)＝ 2a，∴3＋ 2a＋b＝ 2a，∵f ′ (2)＝－ b，∴12＋ 4a＋ b＝－ b，3∴a＝－2， b＝－ 3，∴f(x)＝ x3－32x2－3x＋ 1， f ′ (x)＝ 3x2－ 3x－ 3，∴f(1)＝－52， f ′ (1)＝－ 3，∴切线方程为 y－ (－52)＝－ 3(x－ 1)，即 6x＋ 2y－ 1＝ 0.(2)∵g(x)＝ (3x2－ 3x－ 3)e－x，∴g′ (x)＝ (6x－ 3)e－x＋ (3x2－ 3x－3) ·(－ e－x)，∴g′(x)＝－ 3x(x－3)e－x，∴当0<x<3 时， g′ (x)>0，当 x>3 时， g′ (x)<0 ，当 x<0 时， g′ (x)<0 ，∴g(x)在 (－∞，0) 上单一递减，在(0,3)上单一递加，在(3，＋∞ )上单一递减，所以 g 极小 (x) ＝ g(0) ＝－ 3， g 极大 (x)＝ g(3) ＝ 15e－3 .3． (2014 山·东省菏泽市期中 )已知函数 f(x)＝1x2＋ alnx. 2(1)若 a＝－ 1，求函数 f(x)的极值，并指出是极大值仍是极小值；(2)若 a＝ 1，求证：在区间 [1，＋∞ )上，函数 f(x)的图象在函数23的图象的下方．g(x)＝ x3[分析 ] (1)因为函数 f( x)的定义域为 (0，＋∞ )，1x＋ 1x－ 1当 a＝－ 1 时， f ′(x)＝ x－x＝x，令 f ′ (x)＝ 0 得 x＝ 1 或 x＝－ 1(舍去 )，当 x∈(0,1)时， f ′ (x)<0 ，所以函数 f( x)在 (0,1)上单一递减，当 x∈(1，＋∞ )时， f ′ (x)>0，所以函数 f(x)在 (1，＋∞)上单一递加，则 x＝1 是 f( x)的极小值点，所以 f(x)在 x＝ 1 处获得极小值为f(1) ＝1 2 .1223 (2)证明：设 F(x)＝ f(x)－ g(x)＝2x ＋ lnx－3x ，12－ 2x3＋ x2＋ 1则 F′ (x)＝ x＋x－ 2x＝x－x－ 1 2x2＋ x＋ 1＝x，当 x>1 时， F′ (x)<0 ，故 f(x)在区间 [1，＋∞ )上单一递减，1又 F(1)＝－6<0，∴在区间[1，＋∞)上， F(x)<0 恒建立，即 f(x)<g(x)恒建立．所以，当 a＝ 1 时，在区间 [1，＋∞) 上，函数 f(x)的图象在函数g(x)图象的下方．。

新课堂高中数学人教A版选修2-3教师必备用书：第1章 1.2 1.2.2 第2课时组合的综合应用 Word版含答案

第2课时组合的综合应用学习目标：1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)[自主预习·探新知]1．组合的有关概念从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．组合数用符号C m n表示，其公式为C m n＝A m nA m m＝n(n－1)·(n－2)…(n－m＋1)m！.(m，n∈N*，m≤n)，特别地C0n＝C n n＝1.2．组合与排列的异同点共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．3．应用组合知识解决实际问题的四个步骤(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．(4)结论：根据计算结果写出方案个数．[基础自测]1．以下四个命题，属于组合问题的是()A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D．从13位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地C[从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．] 2．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有()【导学号：95032059】A．A45种B．45种C．54种D．C45种D[由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C45种．]3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有()A．C310种B．A310种C．A13A27种D．C13C27种D[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C13种选法；第二步，选男工，有C27种选法．故共有C13C27种不同的选法．] 4．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．10[从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C35＝10个子集．][合作探究·攻重难](1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？(2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？(3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？【导学号：95032060】[思路探究]首先要分清是组合还是排列问题，与顺序有关即为排列，与顺序无关即为组合，一定要理解清楚题意．[解](1)从6名男生中选2人的组合数是C26＝15种．(2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合．C26·C24＝90种．(3)从10名学生中选2名的组合数C210＝45种．1．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有()A．70个B．80个C．82个D．84个A[分两类分别求即可，共有C24C15＋C14C25＝30＋40＝70.]2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)【导学号：95032061】140[第一步，安排周六有C37种方法，第二步，安排周日有C34种方法，所以不同的安排方案共有C37C34＝140种．]3名同学参加活动．(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？[思路探究]可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．[解](1)从余下的34名学生中选取2名，有C234＝561(种)．∴不同的取法有561种．(2)从34名可选学生中选取3名，有C334种．或者C335－C234＝C334＝5 984种．∴不同的取法有5 984种．(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有C120C215＝2 100种．∴不同的取法有2 100种．(4)选取2名女生有C120C215种，选取3名女生有C315种，共有选取方式N＝C120 C215＋C315＝2 100＋455＝2 555种．∴不同的取法有2 555种．(5)选取3名的总数有C335，因此选取方式共有N＝C335－C315＝6 545－455＝6 090种．∴不同的取法有6 090种．3．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？[解](1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C24种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C46种选法，所以共有C24·C46＝90种抽调方法．(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：①选2名外科专家，共有C24·C46种选法；②选3名外科专家，共有C34·C36种选法；③选4名外科专家，共有C44·C26种选法；根据分类加法计数原理，共有C24·C46＋C34·C36＋C44·C26＝185种抽调方法．法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C 610种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C 14·C 56种选法；没有外科专家参加，有C 66种选法，所以共有：C 610－C 14·C 56－C 66＝185种抽调方法． (3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．①没有外科专家参加，有C 66种选法；②有1名外科专家参加，有C 14·C 56种选法；③有2名外科专家参加，有C 24·C 46种选法．所以共有C 66＋C 14·C 56＋C 24·C 46＝115种抽调方法．(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；(2)分为三份，每份两本；(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.【导学号：95032062】[思路探究] (1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．[解] (1)根据分步乘法计数原理得到：C 26C 24C 22＝90种．(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C 26C 24C 22种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x 种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A 33种方法．根据分步乘法计数原理可得：C 26C 24C 22＝x A 33，所以x ＝C 26C 24C 22A 33＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法． (3)这是“不均匀分组”问题，一共有C 16C 25C 33＝60种方法．(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有C 16C 25C 33A 33＝360种方法．(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有C 26C 24C 22＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有C 16C 25C 33A 33＝360种方法；③“1、1、4型”，有C 46A 33＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)． 36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有C 24·C 12·C 11A 22种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A 33种．所以满足条件的分配方案有C 24·C 12·C 11A 22·A 33＝36(种)．]1．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？[提示] 共有C 24＝4×32＝6(个)不同结果．完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？[提示] 共有A 24－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？[提示]由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A24种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共C12C13C13＝18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A24＋C12C13C13＝30(种)不同的结果．有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：(1)有女生但人数必须少于男生；(2)某女生一定担任语文课代表；(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.【导学号：95032063】[思路探究](1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．[解](1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有C35C23＋C45C13种，后排有A55种，共(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400种．(2)除去该女生后，先选后排，有C47·A44＝840种．(3)先选后排，但先安排该男生，有C47·C14·A44＝3 360种．(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C36种，再安排该男生有C13种，其余3人全排有A33种，共C36·C13·A33＝360种．5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360B．520C．600D．720C[分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有C12C35A44＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有C25(A44－A22A33)＝10×(24－12)＝120种选法．所以共有480＋120＝600种选法．][当堂达标·固双基]1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为()A．120B．84C．52D．48C[间接法：C38－C34＝52种．]2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有()【导学号：95032064】A．60种B．20种C．10种D．8种C[四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C35＝10.]3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种B．10种C．18种D．20种B[分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C24＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C14＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.]4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y ＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．225[在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C26×C26＝15×15＝225个．]5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选.【导学号：95032065】[解](1)一名女生，四名男生，故共有C15C48＝350种选法．(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有C22C311＝165种选法．(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．故共有C12C411＋C22C311＝825种选法．或采用间接法：C513－C511＝825种．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．故共有C25C38＋C15C48＋C58＝966种选法．。

人教版高中数学选修23课后习题参考答案

新课程标准数学选修2—3第一章课后习题解答第一章计数原理1．1分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习（P6）1、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人完成工作”，不同的选法种数是5＋4＝9；（2）要完成的“一件事情”是“从A 村经B 村到C 村去”，不同路线条数是3×2＝6.2、（1）要完成的“一件事情”是“选出1人参加活动”，不同的选法种数是3＋5＋4＝12；（2）要完成的“一件事情”是“从3个年级的学生中各选1人参加活动”，不同选法种数是3×5×4＝60.3、因为要确定的是这名同学的专业选择，并不要考虑学校的差异，所以应当是6＋4－1=9（种）可能的专业选择. 练习（P10）1、要完成的“一件事情”是“得到展开式的一项”.由于每一项都是i j k a b c 的形式，所以可以分三步完成：第一步，取i a ，有3种方法；第二步，取j b ，有3种方法；第三步，取k c ，有5种方法. 根据分步乘法计数原理，展开式共有3×3×5＝45（项）.2、要完成的“一件事情”是“确定一个电话号码的后四位”. 分四步完成，每一步都是从0～9这10个数字中取一个，共有10×10×10×10=10000（个）.3、要完成的“一件事情”是“从5名同学中选出正、副组长各1名”. 第一步选正组长，有5种方法；第二步选副组长，有4种方法. 共有选法5×4＝20（种）.4、要完成的“一件事情”是“从6个门中的一个进入并从另一个门出去”. 分两步完成：先从6个门中选一个进入，再从其余5个门中选一个出去. 共有进出方法6×5＝30（种）. 习题1.1 A 组（P12）1、“一件事情”是“买一台某型号的电视机”. 不同的选法有4＋7＝11（种）.2、“一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到丁地去”. 所以是“先分类，后分步”，不同的路线共有2×3＋4×2=14（条）.3、对于第一问，“一件事情”是“构成一个分数”. 由于1，5，9，13是奇数，4，8，12，16是偶数，所以1，5，9，13中任意一个为分子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成分数. 因此可以分两步来构成分数：第一步，选分子，有4种选法；第二步，选分母，也有4种选法. 共有不同的分数4×4＝16（个）.对于第二问，“一件事情”是“构成一个真分数”. 分四类：分子为1时，分母可以从4，8，12，16中任选一个，有4个；分子为5时，分母可以从8，12，16中选一个，有3个；分子为9时，分母从12，16中选一个，有2个；分子为13时，分母只能选16，有1个. 所以共有真分数4＋3＋2＋1＝10（个）.4、“一件事情”是“接通线路”. 根据电路的有关知识，容易得到不同的接通线路有3＋1＋2×2＝8（条）.5、（1）“一件事情”是“用坐标确定一个点”. 由于横、纵坐标可以相同，因此可以分两步完成：第一步，从A中选横坐标，有6个选择；第二步，从A中选纵坐标，也有6个选择. 所以共有坐标6×6＝36（个）.（2）“一件事情”是“确定一条直线的方程”. 由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，因此可分两步完成：第一步，取斜率，有4种取法；第二步，取截距，有4种取法. 所以共有直线4×4＝16（条）.习题1.1 B组（P13）1、“一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由于数字可以重复，最后一个只能在0～5这六个数字中拨，所以有号码10×10×10×6＝6000（个）.2、（1）“一件事情”是“4名学生分别参加3个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数是43.（2）“一件事情”是“3个班分别从5个风景点中选择一处游览”. 应该是人选风景点，故不同的选法种数是35. 1．2排列与组合练习（P20）1、（1）,,,,,,,,,,,ab ac ad ba bc bd ca cb cd da db dc ；（2）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad ae ba bc bd be ca cb cd ce da db dc de ea eb ec ed .2、（1）4151514131232760A =⨯⨯⨯=；（2）777!5040A ==；（3）4288287652871568A A -=⨯⨯⨯-⨯⨯=；（4）87121277121255A A A A ==.3、4、（1）略. （2）876777787677778788A A A A A A A -+=-+=.5、3560A =（种）. 6、3424A =（种）. 练习（P25）1、（1）甲、乙，甲、丙，甲、丁，乙、丙，乙、丁，丙、丁；（2）2、ABC ∆，ABD ∆，ACD ∆，BCD ∆.3、3620C =（种）. 4、246C =（个）. 5、（1）26651512C ⨯==⨯；（2）3887656123C ⨯⨯==⨯⨯；（3）3276351520C C -=-=；（4）328532356210148C C -=⨯-⨯=.6、()1111(1)!!11(1)![(1)(1)]!!!m mn n m m n n C C n n m n m m n m +++++=⋅==++++-+- 习题1.2 A 组（P27）1、（1）325454*********A A +=⨯+⨯=；（2）12344444412242464A A A A +++=+++=. 2、（1）315455C =；（2）19732002001313400C C ==；（3）346827C C ÷=；（4）22211(1)(1)(1)22n n n n nn nn n n n CCCC n -++--⋅=⋅=+⋅=.3、（1）12111(1)n n n n n n n n n n n n A A n A A nA n A +-+--=+-==；（2）(1)!!(1)!!(1)!!(1)!!!n n n k n n k n k k k k ++-⋅-+-==-. 4、由于4列火车各不相同，所以停放的方法与顺序有关，有481680A =（种）不同的停法.5、4424A =. 6、由于书架是单层的，所以问题相当于20个元素的全排列，有2020A 种不同的排法.7、可以分三步完成：第一步，安排4个音乐节目，共有44A 种排法；第二步，安排舞蹈节目，共有33A 种排法；第三步，安排曲艺节目，共有22A 种排法. 所以不同的排法有432432288A A A ⋅⋅=（种）.8、由于n 个不同元素的全排列共有!n 个，而!n n ≥，所以由n 个不同的数值可以以不同的顺序形成其余的每一行，并且任意两行的顺序都不同. 为使每一行都不重复，m 可以取的最大值是!n .9、（1）由于圆上的任意3点不共线，圆的弦的端点没有顺序，所以共可以画21045C =（条）不同的弦；（2）由于三角形的顶点没有顺序，所以可以画的圆内接三角形有310120C =（个）. 10、（1）凸五边形有5个顶点，任意2个顶点的连线段中，除凸五边形的边外都是对角线，所以共有对角线2555C -=（条）；（2）同（1）的理由，可得对角线为2(3)2n n n C n --=（条）.说明：本题采用间接法更方便. 11、由于四张人民币的面值都不相同，组成的面值与顺序无关，所以可以分为四类面值，分别由1张、2张、3张、4张人民币组成，共有不同的面值1234444415C C C C +++=（种）. 12、（1）由“三个不共线的点确定一个平面”，所确定的平面与点的顺序无关，所以共可确定的平面数是3856C =；（2）由于四面体由四个顶点唯一确定，而与四个点的顺序无关，所以共可确定的四面体个数是410210C =. 13、（1）由于选出的人没有地位差异，所以是组合问题，不同的方法数是3510C =. （2）由于礼物互不相同，与分送的顺序有关系，所以是排列问题，不同方法数是3560A =；（3）由于5个人中每个人都有3中选择，而且选择的时间对别人没有影响，所以是一个“可重复排列”问题，不同方法数是53243=；（4）由于只要取出元素，而不必考虑顺序，所以可以分两步取元素：第一步，从集合A 中取，有m 种取法；第二步，从集合B 中取，有n 种取法. 所以共有取法mn 种. 说明：第（3）题是“可重复排列”问题，但可以用分步乘法计数原理解决.14、由于只要选出要做的题目即可，所以是组合问题，另外，可以分三步分别从第1，2，3题中选题，不同的选法种数有32143224C C C ⋅⋅=. 15、由于选出的人的地位没有差异，所以是组合问题.（1）225460C C ⋅=；（2）其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有2721C =（种）选法；（3）用间接法，在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为449791C C -=；如果采用直接法，则可分为3类：只含男甲；只含女乙；同时含男甲女乙，得到符合条件的方法数为33277791C C C ++=；（4）用间接法，在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为444954120C C C --=. 也可以用直接法，分别按照含男生1，2，3人分类，得到符合条件的选法数为132231545454120C C C C C C ++=.16、按照去的人数分类，去的人数分别为1，2，3，4，5，6，而去的人大家没有地位差异，所以不同的去法有12345666666663C C C C C C +++++=（种）. 17、（1）31981274196C =；（2）142198124234110C C ⋅=；（3）51982410141734C =；（4）解法1：3141982198125508306C C C =⋅=. 解法2：55200198125508306C C -=. 说明：解答本题时，要注意区分“恰有”“至少有”等词. 习题1.2 B 组（P28）1、容易知道，在737C 注彩票中可以有一个一等奖.在解决第2问时，可分别计算37选6及37选8中的一等奖的中奖机会，它们分别是637112324784C =和8371138608020C =. 要将一等奖的机会提高到16000000以上且不超过1500000，即375000006000000nC ≤<，用计算机可得，6n =，或31n =.所以可在37个数中取6个或31个.2、可以按照I ，II ，III ，IV 的顺序分别着色：分别有5，4，3，3种方法，所以着色种数有5×4×3×3＝180（种）.3、“先取元素后排列”，分三步完成：第一步，从1，3，5，7，9中取3个数，有35C 种取法；第二步，从2，4，6，8中取2个数，有24C 种取法；第三步，将取出的5个数全排列，有55A 种排法. 共有符合条件的五位数3255457200C C A ⋅⋅=（个）. 4、由于甲和乙都没有得冠军，所以冠军是其余3人中的一个，有13A 种可能；乙不是最差的，所以是第2，3，4名中的一种有13A 种可能；上述位置确定后，甲连同其他2人可任意排列，有33A 种排法. 所以名次排列的可能情况的种数是11333354A A A ⋅⋅=. 5、等式两边都是两个数相乘，可以想到分步乘法计数原理，于是可得如下分步取组合的方法.在n 个人中选择m 个人搞卫生工作，其中k 个人擦窗，m k -个人拖地，共有多少种不同的选取人员的方法？解法1：利用分步计数原理，先从n 个人中选m 个人，然后从选出的m 个人中再选出k 个人擦窗，剩余的人拖地，这样有m knm C C 种不同的选取人员的方法；解法2：直接从n 个人中选k 个人擦窗，然后在剩下的n k -个人中选m k -个人拖地，这样，由分步计数原理得，共有k m knn k C C --种不同的人员选择方法. 所以，k m k m knn k n m C C C C --=成立. 说明：经常引导学生从一个排列组合的运算结果或等式出发，构造一个实际问题加以解释，有助于学生对问题的深入理解，检查结果，纠正错误. 1．3二项式定理练习（P31）1、7652433425677213535217p p q p q p q p q p q pq q +++++++.2、2424236(2)(3)2160T C a b a b =⋅=. 3、231(1)(2n rr r n rrr r nn r T C C x --+-=⋅=.4、D . 理由是5105555511010(1)T C x C x -+=-=-. 练习（P35）1、（1）当n 是偶数时，最大值2nn C ；当n 是奇数时，最大值12n nC-.（2）1311111111111210242C C C +++=⋅=. （3）12.2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=，2、∵0122knn nn n n n C C C C C ++++++=，0213nn n n C C C C ++=++∴012knnn n n n C C C C C ++++++0213()()n n n n C C C C =+++++022()2n n n C C =++=∴021222nn n nnnC C C -+++==. 3、略.习题1.3 A 组（P36）1、（1）011222(1)(1)(1)(1)n n n r n rr nn nn n n n C P C P P C P P C P P C P ---+-+-++-++-；（2）0122222nn n nn n n n n C C C C ++++.2、（1）9965432(9368412612684a a a a a b a a a b =+++23369a b ab b（2）27311357752222222172135(7016822412821283282x x x x x x x x ----=-+-+-+-.3、（1）552(1(122010x x ++=++；（2）11114412222(23)(23)192432x x x x x x ---+--=+. 4、（1）前4项分别是1，30x -，2420x ，33640x -；（2）91482099520T a b =-；（3）7924T =；（4）展开式的中间两项分别为8T ，9T ，其中78711815((6435T C x y =-=-87811915((6435T C x y =-=5、（1）含51x 的项是第6项，它的系数是5510163()28C -=-；（2）常数项是第6项，5105561012()2522T C -=⋅-=-.6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx --+=-=- 6、（1）2221221()(1)r n r r r r n rr n n T C x C xx--+=-=- 由220n r -=得r n =，即21()n x x-的展开式中常数项是12(1)n rn n T C +=-(2)!(1)!!nn n n =- 12345(21)2(1)!!n n nn n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅=-…[135(21)][2462](1)!!n n n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=-……[135(21)]2!(1)!!n nn n n n ⋅⋅⋅⋅-⋅⋅=-…135(21)(2)!nn n ⋅⋅⋅⋅-=-…（2）2(1)n x +的展开式共有21n +项，所以中间一项是12135(21)(2)!n nn n n n T C x x n +⋅⋅⋅⋅-==…7、略.8、展开式的第4项与第8项的二项式系数分别是3n C 与7n C ，由37n n n C C -=，得37n =-，即10n =.所以，这两个二项式系数分别是310C 与710C ，即120.习题1.3 B 组（P37）1、（1）∵1122221(1)111n n n n n n n n n n n n C n C n C n C n ----+-=++++++- 1122222n n n n nn n n C n C n C n n ---=+++++2213242(1)n n n n nn n n n C n C n C ----=+++++∴(1)1n n +-能被2n 整除；（2）∵1010991(1001)1-=--1019288291010101010010010010010011C C C C =-⋅+⋅++⋅-⋅+- 1019288210101010010010010010100C C C =-⋅+⋅++⋅-⨯1711521381010101000(101010101)C C C =-⋅+⋅++⋅-∴10991-能被1000整除.2、由0112211(21)222(1)2(1)n n n n n n n nnn n n n C C C C C -----=⋅-⋅+⋅++-⋅⋅+-，得112211222(1)2(1)1n n n n n n nn n C C C -----⋅+⋅++-⋅⋅+-=.第一章复习参考题A 组（P40）1、（1）2n ；说明：这里的“一件事情”是“得到展开式中的一项”. 由于项的形式是i j a b ，而,i j 都有n 种取法.（2）3276525C C ⋅=；（3）1545480A A ⋅=，或2454480A A ⋅=；说明：第一种方法是先考虑有限制的这名歌手的出场位置，第二种方法是先考虑有限制的两个位置. （4）45C ；说明：因为足球票无座，所以与顺序无关，是组合问题. （5）53；说明：对于每一名同学来说，有3种讲座选择，而且允许5名同学听同一个讲座，因此是一个“有重复排列”问题，可以用分步乘法原理解答. （6）54；说明：对角线的条数等于连接正十二边形中任意两个顶点的线段的条数212C ，减去其中的正十二边形的边12条：21212111212542C ⨯-=-=. （7）第1n +项.说明：展开式共有21n +项，且各系数与相应的二项式系数相同.2、（1）1234566666661956A A A A A A +++++=；说明：只要数字是1，2，3，4，5，6中的，而且数字是不重复的一位数、二位数、三位数、四位数、五位数和六位数都符合要求.（2）552240A =. 说明：只有首位数是6和5的六位数才符合要求.3、（1）3856C =；（2）1234555530C C C C +++=. 4、468898C C +=.说明：所请的人的地位没有差异，所以是组合问题. 按照“其中两位同学是否都请”为标准分为两类.5、（1）2(1)2n n n C -=；说明：任意两条直线都有交点，而且交点各不相同. （2）2(1)2n n n C -=. 说明：任意两个平面都有一条交线，而且交线互不相同. 6、（1）59764446024C =；（2）23397442320C C ⋅=；（3）2332397397446976C C C C ⋅+⋅=. 7、34533453103680A A A A ⋅⋅⋅=. 说明：由于不同类型的书不能分开，所以可以将它们看成一个整体，相当于是3个元素的全排列. 但同类书之间可以交换顺序，所以可以分步对它们进行全排列. 8、（1）226x -；说明：第三项是含2x 的项，其系数是22112244553(23)(2)26C C C C ⋅+⋅-⨯+--. （2）18118(9)(rr r r T C x -+=，由题意有1802rr --= 解得12r =，1318564T =；（3）由题意得98102n n n C C C =+，即2!!!9!(9)!8!(8)!10!(10)!n n n n n n ⋅=+---化简得2373220n n -+=，解得14n =，23n =；（4）解法1：设1r T +'是10(1)x -展开式的第1r +项，由题意知，所求展开式中4x 的系数为41T +'，31T +'与21T +'的系数之和.444110()T C x +'=-，333110()T C x +'=-，222110()T C x +'=-，因此，4x 的系数432101010135C C C =-+=. 解法2：原式39(1)(1)x x =--3223344999(1)(19)x x C x C x C x =--+-++因此，4x 的系数499135C =+=. 9、5555559(561)9+=-+5515454555556565619C C =-⋅++⋅-+ 551545455555656568C C =-⋅++⋅+由于551545455555656568C C -⋅++⋅+中各项都能被8整除，因此55559+也能被8整除.第一章复习参考题B 组（P41）1、（1）121121n n n C C -++==，即1(1)212n n +⋅=，解得6n =；（2）1144244224192A A A ⋅⋅=⨯⨯=；说明：先排有特殊要求的，再排其他的. （3）433333⨯⨯⨯=，34444⨯⨯=；说明：根据映射定义，只要集合A 中任意一个元素在集合B 中能够找到唯一对应的元素，（4）2426106500000A ⨯=；（5）481258C -=；说明：在从正方体的8个顶点中任取4个的所有种数48C 中，排除四点共面的12种情况，即正方体表面上的6种四点共面的情况，以及如右图中ABC D ''这样的四点共面的其他 6种情况，因此三棱锥的个数为481258C -=（6）1或1-.说明：令1x =，这时(12)n x -的值就是展开式中各项系数的和，其值是1,(12)(1)1n n n n -⎧-=-=⎨⎩是奇数，是偶数2、（1）先从1，3，5中选1个数放在末位，有13A 种情况；再从除0以外的4个数中选1个数放在首位，有14A 种情况；然后将剩余的数进行全排列，有44A 种情况. 所以能组成的六位奇数个数为114344288A A A ⋅⋅=. （2）解法1：由0，1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的正整数的个数是1555A A ⋅，其中不大于201345的正整数的个数，当首位数字是2时，只有201345这1个；当首位数字是1时，有55A 个. 因此，所求的正整数的个数是155555(1)479A A A ⋅-+=. 解法2：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的正整数中，大于201345的数分为以下几种情况：前4位数字为2013，只有201354，个数为1；同理，前3位数字为201，个数为1222A A ⋅；前2位数字为20，个数为1333A A ⋅；首位数字为2，个数为1444A A ⋅；首位数字为3，4，5中的一个，个数为1535A A ⋅；根据分类计数原理，所求的正整数的个数是12131415223344351479A A A A A A A A +⋅+⋅+⋅+⋅=. 3、（1）分别从两组平行线中各取两条平行线，便可构成一个平行四边形，所以可以构成的平行四边形个数为221(1)(1)4m n C mn m n ⋅=--；（2）分别从三组平行平面中各取两个平行平面，便可构成一个平行六面体，所以可以构成的平行六面体个数为2221(1)(1)(1)8mn l C C C mnl m n l ⋅⋅=---. 4、（1）先排不能放在最后的那道工序，有14A 种排法；再排其余的4道工序，有44A 种排法. 根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有144496A A ⋅=（种）；（2）先排不能放在最前和最后的那两道工序，有23A 种排法；再排其余的3道工序，有33A 种排法，根据分步乘法计数原理，排列加工顺序的方法共有233336A A ⋅=（种）.5、解法1：由等比数列求和公式得33342(1)(1)(1)(1)(1)n n x x x x x x+++-+++++++=，上述等式右边分子的两个二项式中含2x 项的系数分别是33n C +，33C ，因此它们的差23333(611)6n n n n CC +++-=，就是所求展开式中含2x 项的系数.解法2：原式中含2x 项的系数分别是23C ，24C ，…，22n C +，因此它们的和就是所求展开式中含2x 项的系数. 与复习参考题B 组第2题同理，可得22223334233(611)6n n n n n C C CCC +++++++=-=修2—3第二章课后习题解答第二章随机变量及其分布 2．1离散型随机变量及其分布列练习（P45）1、（1）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12. （2）能用离散型随机变量表示. 可能的取值为0，1，2，3，4，5. （3）不能用离散型随机变量表示.说明：本题的目的是检验学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（3）中，实际值与规定值之差可能的取值是在0附近的实数，既不是有限个值，也不是可数个值. 2、可以举的例子很多，这里给出几个例子：例1 某公共汽车站一分钟内等车的人数；例2 某城市一年内下雨的天数；例3 一位跳水运动员在比赛时所得的分数；例4 某人的手机在1天内接收到电话的次数.说明：本题希望学生能观察生活中的随机现象，知道哪些量是随机变量，哪些随机变量又是离散型随机变量. 练习（P49）1、设该运动员一次罚球得分为X ，X 是一个离散型随机变量，其分布列为说明：这是一个两点分布的例子，投中看作试验成功，没投中看作试验失败. 通过这样的例子可以使学生理解两点分布是一个很常用的概率模型，实际中大量存在. 虽然离散型随机变量的分布列可以用解析式的形式表示，但当分布列中的各个概率是以数值的形式给出时，通常用列表的方式表示分布列更为方便.2、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，其全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}. 正面向上次数X 是一个离散型随机变量，1(0)({})0.254P X P ====反反 2(1)({}{})0.54P X P ====正反反正1(2)({})0.25P X P ====正正因此X 的分布列为说明：这个离散型随机变量虽然简单，但却是帮助学生理解随机变量含义的一个很好的例子. 试验的全部可能的结果为{正正，正反，反正，反反}，随机量X 的取值范围为{0，1，2}，对应关系为正正→2 正反→1 反正→1 反反→0在这个例子中，对应于1的试验结果有两个，即“正反”和“反正”，因此用随机变量X 不能表示随机事件{正反}. 这说明对于一个具体的随机变量而言，有时它不能表示所有的随机事件.可以通过让学生们分析下面的推理过程存在的问题，进一步巩固古典概型的知识. 如果把X 所有取值看成是全体基本事件，即{0,1,2}Ω=.根据古典概型计算概率的公式有 1(1)({1})3P X P ===. 这与解答的结果相矛盾. 原因是这里的概率模型不是古典概型，因此上面式中的最后一个等号不成立. 详细解释下：虽然Ω中只含有3个基本事件，但是出现这3个基本事件不是等可能的，因此不能用古典概型计算概率的公式来计算事件发生的概率.3、设抽出的5张牌中包含A 牌的张数为X ，则X 服从超几何分布，其分布列为5448552()i iC C P X i C -==，i =0，1，2，3，4. 因此抽出的5张牌中至少3张A 的概率为(3)(3)(4)0.002P X P X P X ≥==+=≈.说明：从52张牌任意取出5张，这5张牌中包含A 的个数X 是一个离散型随机变量. 把52张牌看成是52件产品，把牌A 看成次品，则X 就成为从含有四件次品的52件产品中任意抽取5件中的次品数，因此X 服从超几何分布.本题的目的是让学生熟悉超几何分布模型，体会超几何分布在不同问题背景下的表现形式. 当让本题也可以用古典概型去解决，但不如直接用超几何分布简单. 另外，在解题中分布列是用解析式表达的，优点是书写简单，一目了然.4、两点分布的例子：掷一枚质地均匀的硬币出现正面的次数X 服从两点分布；射击一次命中目标的次数服从两点分布.超几何分布的例子：假设某鱼池中仅有鲤鱼和鲑鱼两种鱼，其中鲤鱼200条，鲑鱼40条，从鱼池中任意取出5条鱼，这5条鱼包含鲑鱼的条数X 服从超几何分布.说明：通过让学生举例子的方式，帮助学生理解这两个概率模型.习题2.1 A组（P49）1、（1）能用离散型随机变量表示.设能遇到的红灯个数为X，它可能的取值为0，1，2，3，4，5.事件{X＝0}表示5个路口遇到的都不是红灯；事件{X＝1}表示5个路口其中有1个路口遇到红灯，其他4个路口都不是红灯；事件{X＝2}表示5个路口其中有2个路口遇到红灯，其他3个路口都不是红灯；事件{X＝3}表示5个路口其中有3个路口遇到红灯，剩下2个路口都不是红灯；事件{X＝4}表示5个路口其中有4个路口遇到红灯，另外1个路口都不是红灯；事件{X＝5}表示5个路口全部都遇到红灯.（2）能用离散型随机变量表示.定义12345X⎧⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪⎩，成绩不及格，成绩及格，成绩中，成绩良，成绩优则X是一个离散型随机变量，可能的取值为1，2，3，4，5.事件{X＝1}表示该同学取得的成绩为不及格；事件{X＝2}表示该同学取得的成绩为及格；事件{X＝3}表示该同学取得的成绩为中；事件{X＝4}表示该同学取得的成绩为良；事件{X＝5}表示该同学取得的成绩为优.说明：本题是考查学生是否理解离散型随机变量的含义. 在（2）中，需要学生建立一个对应关系，因为随机变量的取值一定是实数，但这个对应关系不是唯一的，只要是从五个等级到实数的意义映射即可.2、某同学跑1 km所用时间X不是一个离散型随机变量. 如果我们只关心该同学是否能够取得优秀成绩，可以定义如下的随机变量：01km 4min 11km 4min Y >⎧=⎨≤⎩，跑所用的时间，跑所用的时间它是离散型随机变量，且仅取两个值：0或1.事件{1}Y =表示该同学跑1 km 所用时间小于等于4 min ，能够取得优秀成绩；事件{0}Y =表示该同学跑1 km 所用时间大于4 min ，不能够取得优秀成绩.说明：考查学生在一个随机现象中能否根据关心的问题不同定义不同的随机变量，以简化问题的解答. 可以与教科书中电灯泡的寿命的例子对比，基本思想是一致的.3、一般不能. 比如掷一枚质地均匀的硬币两次，用随机变量X 表示出现正面的次数，则不能用随机变量X 表示随机事件{第1次出现正面且第2次出现反面}和{第1次出现反面且第2次出现正面}. 因为{X ＝1}＝{第1次出现正面且第2次出现反面}∪{第1次出现反面且第2次出现正面}，所以这两个事件不能分别用随机变量X 表示.说明：一个随机变量是与一个事件域相对应的，一个事件域一般是由部分事件组成，但要满足一定的条件. 对离散型随机变量，如果它取某个值是由几个随机变量组成，则这几个随机事件就不能用随机变量表示，比如从一批产品中依次取出几个产品，用X 表示取出的产品中次品的个数，这时我们不能用X 表示随机事件{第i 次取出次品，其他均为合格品}. 4、不正确，因为取所有值的概率和不等于1.说明：考查学生对分布列的两个条件的理解，每个概率不小于0，其和等于1，即（1）0i p ≥，1,2,,i n =；（2）11ni i p ==∑.5、射击成绩优秀可以用事件{X ≥8}表示，因此射击优秀的概率为P {X ≥8}＝(8)(9)(10)0.280.290.220.79P X P X P X =+=+==++=说明：本题知识点是用随机变量表示随机事件，并通过分布列计算随机事件的概率. 6、用X 表示该班被选中的人数，则X 服从超几何分布，其分布列为104261030()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4. 该班恰有2名同学被选到的概率为2842610304!26!1902!2!8!18!(2)0.31230!60910!20!C C P X C ⨯⨯⨯====≈⨯.说明：本题与49页练习的第3题类似，希望学生在不同背景下能看出超几何分布模型. 习题2.1 B 组（P49）1、（1）设随机抽出的3篇课文中该同学能背诵的篇数为X ，则X 是一个离散型随机变量，它可能的取值为0，1，2，3，且X 服从超几何分布，分布列为即（2）该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为112(2)(2)(3)0.667263P X P X P X ≥==+==+==. 说明：本题是为了让学生熟悉超几何分布模型，并能用该模型解决实际问题.2、用X 表示所购买彩票上与选出的7个基本号码相同的号码的个数，则X 服从超几何分布，其分布列为7729736()i i C C P X i C -==， i =0，1，2，3，4，5，6，7. 至少中三等奖的概率为52617072972972977736363697(5)0.00192752C C C C C C P X C C C ≥=++=≈. 说明：与上题类似同样是用超几何分布解决实际问题，从此题的结算结果可以看出至少中三等奖的概率近似为1／1000. 2．2二项分布及其应用练习（P54）1、设第1次抽到A 的事件为B ，第2次抽到A 的事件为C ，则第1次和第2次都抽到A 的事件为BC .解法1：在第1次抽到A 的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A ，所以在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为3()51P C B =. 解法2：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为()433()()45151n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽到A 的条件下第2次也抽到A 的概率为43()35251()451()515251P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯.说明：解法1是利用缩小基本事件范围的方法计算条件概率，即分析在第1次抽到A 的条件下第2次抽取一张牌的随机试验的所有可能结果，利用古典概型计算概率的公式直接得到结果. 解法2实际上是在原来的基本事件范围内通过事件的计数来计算条件概率. 第3种方法是利用条件概率的定义来计算. 这里可以让学生体会从不同角度求解条件概率的特点.2、设第1次抽出次品的时间为B ，第2次抽出正品的事件为C ，则第1次抽出次品且第2次抽出正品的事件为BC .解法1：在第1次抽出次品的条件下，剩下的99件产品中有4件次品，所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为95()99P C B =. 解法2：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为()59595()()59999n BC P C B n B ⨯===⨯. 解法3：在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为595()9510099()599()9910099P BC P C B P B ⨯⨯===⨯⨯. 说明：与上题类似，可以用不同方法计算条件概率.3、例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3人无放回地任意抽取，在已知第一个人抽到奖券的条件下，第二个人抽到奖券的概率或第三个人抽到奖券的概率，均为条件概率，它们都是0.例2 某班有45名同学，其中20名男生，25名女生，依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛，在第1名同学是女生的条件下，第2名同学也是女生的概率.说明：这样的例子很多，学生举例的过程可以帮助学生理解条件概率的含义.练习（P55）1、利用古典概型计算的公式，可以求得()0.5P A =，()0.5P B =，()0.5P C =，()0.25P AB =，()0.25P BC =，()0.25P AC =，可以验证()()()P AB P A P B =，()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =.所以根据事件相互独立的定义，有事件A 与B 相互独立，事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立.说明：本题中事件A 与B 相互独立比较显然，因为抛掷的两枚硬币之间是互不影响的. 但事件B 与C 相互独立，事件A 与C 相互独立不显然，需要利用定义验证, 从该习题可以看出，事件之间是否独立有时根据实际含义就可做出判断，但有时仅根据实际含义是不能判断，需要用独立性的定义判断.2、（1）先摸出1个白球不放回的条件下，口袋中剩下3个球，其中仅有1个白球，所以在先摸出1个白球不放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／3.（2）先摸出1个白球后放回的条件下，口袋中仍然有4个球，其中有2个白球，所以在先摸出1个白球后放回的条件下，再摸出1个白球的概率是1／2.说明：此题的目的是希望学生体会有放回摸球与无放回摸球的区别，在有放回摸球中第2次摸到白球的概率不受第1次摸球结果的影响，而在无放回摸球中第2次摸到白球的概率受第1次摸球结果的影响.3、设在元旦期间甲地降雨的事件为A ，乙地降雨的事件为B .（1）甲、乙两地都降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都降雨的概率为()()()0.20.30.06P AB P A P B ==⨯=（2）甲、乙两地都不降雨的事件为AB ，所以甲、乙两地都不降雨的概率为()()()0.80.70.56P AB P A P B ==⨯=（3）其中至少一个地方降雨的事件为()()()AB AB AB ，由于事件AB ，AB 和AB 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的定义，其中至少一个地方降雨的概率为()()()0.060.20.70.80.30.44P AB P AB P AB ++=+⨯+⨯=.说明：与例3类似，利用事件独立性和概率的性质计算事件的概率，需要学生复习《数学3（必修）》中学过的概率性质.4、因为()()A AB AB =，而事件AB 与事件AB 互斥，利用概率的性质得到()()()P A P AB P AB =+所以()()()P AB P A P AB =-.。