多边形的内角和(1)
多边形的内角和(一)
对角线：
顶点 C E A B A B D C 五边形ABCDE
(1)
(2)
凸多边形
不是凸多边形 是凸多边形
多边形内角和与边数的关系 多边形内角和 四边形的内角和
n边形的内角和
2× 180° 180°
五边形的内角和
3×180° 180°
1、什么是多边形？ 在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段 首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。 2 、各条边都相等，各个内角都相等的多边形 各条边都相等， 叫正多边形 3、n边形的内角和是多少？
n边形的内角和等于(n - 2)•180°。它揭示 边形的内角和等于(n 180°
了多边形的内角和与边数之间的关系。
练一练
1、十二边形的内角和等于 (12 - 2) • 180°= 1800° 。 180° 1800° _________________________。 _________________________ 2、一个多边形的内角和等于1080°，那么它是 一个多边形的内角和等于1080° ______边形。 ______边形。 八 3、小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一 、小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一 个内角和为2008的多边形图案多有意义，小明的 个内角和为2008ْْ的多边形图案多有意义，小明的 想法能实现吗？
(n - 2) • 180° 180°
（4－2）× 180° 5－2）×180° 180° 180° （
大家思考一下，添以下的辅助线能否推出五 边形的内角和： A A A B O E B E B D 课 后 思 考 E
C D O 5×180°－360° 4×180°－180° × ° ° × ° ° × × ＝ 5×180 － 2× 180 ＝ （4—1) ×180° ° ＝ 180× (5－2) × － ＝ 3×180° × ° ＝ 3×180° × °
多边形的内角和(1)
1．下图中是凸多边形的为（）．2．五边形的对角线有（）．A．2条B．3条C．4条D．5条3．如果某多边形的外角分别是10°，20°30°，…，80°，则这个多边形的边数是（）．A．6 B．7 C．8 D．94．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）．A．三角形B．四边形C．五边形D．六边形5．下列说法中正确的有（）．①四边形最多有3个钝角；②四边形最多有3个锐角；③四边形至少有1个钝角；④n 边形的内角和能被180°整除．A．1个B．2个C．3个D．4个6．过n边形的一个顶点的所有对角线，把n边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是（）．A．8 B．9 C．10 D．117．一个八边形的内角和等于__________度．8．一个多边形的每一个外角为30°，那么这个多边形的边数为_____________．9．若一个多边形的各边都相等，它的周长是42cm，且它的内角和为720°，则它的各边长是___________．10．如图7-3-12，分别以四边形的各个顶点为圆心，半径为R作圆（这些圆互不相交），则图中阴影部分的面积和为____________．11．已知多边形的内角和的度数分别如下，求相应的多边形的边数．（1）9000°；（2）1980°；（3）2700°．12．是否存在一个多边形，它的内角和为2000°？请说明理由．13．求图7-3-13中的x值：14．如图7-3-14，你能求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G是多少度吗？15．一个n边形的各内角都相等，且其中一个内角比它相邻的一个外角大90°，求n．。
多边形的内角和与外角和(1)
7.5 多边形的内角和与外角和（1）教学目标1．探索并了解“三角形三个内角之和等于180°”；2．经历举例、操作（画图、度量、拼图）、观察、归纳、说理、交流等数学活动，提升学生有条理的表达能力．教学重点探索并掌握“三角形三个内角之和等于180°”．教学难点理解用推理的方法说明为什么三角形的三个内角之和一定等于180°．教学过程（教师）学生活动设计思路新课引入——问题导入：（1）同学们，小学里我们就已经知道了三角形的三个内角的和等于多少度？（2）你能举例说明三角形的三个内角的和等于180°吗？（1）集体回答：180°．（2）学生可能出现的答案：等边三角形的三个角都等于60°，和为180°；两块三角板的三个内角（30°、60°、90°与45°、45°、90°）之和也都为180°．开门见山，点出本节课所研究的问题．通过师生对话，引导学生体会说理的重要性．学生举例说明之后，教师追问：对于任意三角形，它的三个内角之和是不是等于180°呢？为什么？于是，引出下一环节的操作．探究一——画图、度量、计算请每位同学在课堂笔记本上任意画一个三角形，用量角器量出各内角的度数，并求它们的和．动手操作，交流结论．初步得出基本事实：任意三角形的三个内角之和等于180°．探究二——观察利用几何画板中的课件动画演示（通过拖动三角形的顶点改变三角形的内角），再次验证“三角形三个内角之和等于180°”．观察．进一步确认上述事实．探究三——拼图（1）问：还记得小学里怎么说明“三角形三个内角之和等于180°”的吗？（2）请每位同学将课前发下的三角形纸片的3个内角（如图1）剪开，然后拼在一起，观察它们的和是否为180°．（3）教师找出如图2、图3、图4等拼法，贴在黑板上，并标上相应字母．动手操作．通过前一环节，学生对相关结论已经深信不疑．但是，画图、度量、计算是不可能验证出所有三角形都具有上述性质的．为此，逐步引导，为下一环节的说理作好铺垫．ABC（图1）AB C（图2）（图3）ABC……探究四——说理优化选择适当的拼法，进行说理，从而得出结论“三角形三个内角之和等于180°”．师生互动，进行说理．经历说理，体会说理的必要性．知识应用——牛刀小试课本P29练一练第1、3小题．口答．熟练运用所学得的知识，解决简单问题．口答形式能较好地看出学生对性质的掌握情况与应用意识．AB C（图4）知识应用——例题例1 已知，在△ABC中，∠A＝40°，∠B ＝∠C，求∠C的度数．例2 如图5，AD、BC相交于点O，∠A＝50°，∠B＝32°，∠C＝45°，求∠D的度数．发表意见，表达观点，相互补充．参考答案：例 1 在△ABC中，由∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＝40°，得∠B＋∠C＝140°，又因为∠B＝∠C，所以∠C＝70°．例2 在△AOB中，由∠A＋∠B＋∠AOB＝180°，∠A＝50°，∠B＝32°，得∠AOB＝98°．又因为∠COD＝∠AOB，所以∠COD＝98°．在△COD中，由∠C＋∠D＋∠COD＝180°，∠C＝45°，∠COD＝98°，得∠D＝37°．学以致用，师生互动，锻炼学生的口头表达能力，进一步提升学生有条理的表达能力．例2得出结果之后，追问：若不给出具体角度，你能说明∠A＋∠B与∠C＋∠D之间有怎样的数量关系吗？知识应用——练习1．在△ABC中，若∠A＋∠B＝90°，则△ABC一定是__________三角形．2．在△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，求∠A、∠B、∠C的度数．3．课本P29练一练第2小题．1．作答．2．学生代表口头交流解答思路与过程，其余学生聆听并作补充或纠错．进一步巩固新课知识，并在训练中提升学生有条理的书面表达能力．其中，通过练习1，让学生了解“有两个角互余的三角形是直角三角形”．反之，“直角三角形的两个锐角互余”也成立．小结：通过今天的学习，你学会了什么？你会正确共同小结．师生互动，总结学习成果，体验成功．运用吗？通过这节课的学习，你有什么感受呢？说出来告诉大家．课后作业：课后完成．巩固、运用．课本P34习题7.5第1～5小题．评课记录：（1）教学设计比较合理，条理清楚，一环扣一环。
《多边形内角和》教案
一、教学内容
《多边形内角和》教案，本节课选自人教版八年级数学上册第五章《多边形及其变形》第三节“多边形的内角和”内容。主要教学内容包括：
1.掌握多边形内角和的概念；
2.掌握多边形内角和的计算公式；
3.能够运用多边形内角和公式解决实际问题；
4.理解并掌握多边形内角和与外角和的关系。
五、教学反思
在今天的《多边形内角和》教学中，我尝试了多种教学方法，目的是让学生更好地理解和掌握这个几何概念。从学生的反馈和课堂表现来看，有一些值得肯定的地方，也有一些需要改进的地方。
首先，我发现通过提问和生活实例导入新课的方式，成功吸引了学生的注意力，激发了他们对多边形内角和的兴趣。在讲授新课的过程中，我注重理论联系实际，用具体的案例帮助学生理解内角和的计算公式。这种教学方式得到了学生的积极响应，他们能更快地接受并运用新知识。
此外，学生小组讨论的环节，大家的表现都很积极，分享的成果也很有价值。但我也注意到，有些学生在讨论时容易偏离主题，导致讨论效果不佳。为了提高讨论效率，我应该在讨论前给出更明确的指导，帮助学生聚焦主题，提高讨论质量。
在课后，我会针对今天的课堂教学进行总结，找出存在的问题，并思考如何改进。一方面，我要加强自身对教材的理解，确保教学内容与课本紧密结合；另一方面，我要关注学生的个体差异，因材施教，提高教学效果。
然而，我也注意到在讲解重点难点时，部分学生对内角和与边数的关系以及计算公式的运用还不够熟练。这说明我在这一部分的教学还需要加强，可能需要设计更多的例题和练习，让学生在实践中掌握这些知识点。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，课堂氛围活跃。但我发现，在讨论过程中，部分学生过于依赖小组其他成员，自己的思考和分析能力没有得到充分锻炼。因此，我考虑在以后的课堂中，可以适当增加个人任务，鼓励学生独立思考，提高他们的自主探究能力。
多边形的内角和与外角和(一)
第六章平行四边形4. 多边形的内角和与外角和（一）西安市高新一中初中校区邹国胜一．学生起点分析学生已学过三角形的内角和定理，以及三角形的边、顶点、内角等概念，并且已初步了解四边形可分成两个三角形来求内角和，这为本节课的学习打下了基础。
因而学生在探索多边形内角和时，便会很容易想到“拼”和“量”和把多边形转化成三角形等方法，但是，学生对把多边形转化成三角形这种化归思想的理解和应用还存在一定的困难。
尽管如此，由于在以往的学习中，学生的动手实践、自主探索及合作探究能力都得到了一定的训练，通过本节课的学习，这一方面的能力将会得到进一步的提高，学生将会轻松、愉快地完成本节课的学习任务。
二．教学任务分析本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，并且在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，联系性比较强，特别是教材中设计了现实情境，“想一想”，“议一议”等内容，体现了课改的精神．在编写意图上，编者强调使学生经历探索、猜想、归纳等过程，回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．教学目标【知识与技能】掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想【过程与方法】经历质疑、猜想、归纳等活动，发展学生的合情推理能力，积累数学活动的经验，在探索中学会与人合作，学会交流自己的思想和方法．【情感态度与价值观】让学生体验猜想得到证实的成功喜悦和成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满着探索和创造．教学重难点【教学重点】多边形内角和定理的探索和应用【教学难点】多边形定义的理解；多边形内角和公式的推导；转化的数学思维方法的渗透．三．教学过程设计本节课分成八个环节：第一环节创设现实情境，提出问题，引入新课第二环节实验探究第三环节巩固训练第四环节拓展延伸第五环节思维升华第六环节知识小结第七环节作业布置第八环节课后反思第一环节创设现实情境，提出问题，引入新课1．三角形是如何定义的？2．仿照三角形定义，你能学着给四边形、五边形……边形下定义吗？3．结合图形认识多边形的顶点、边、内角及对角线。
多边形的内角和
9、已知四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C ∶∠D =3:4:5:6，分别求出最大角和最小角的度数.
解：依题意可设∠A=3x°，∠B=4x°， ∠C=5x°，∠D=6x °,由题意得：
3x+4x+5x+6x=(4-2)×180 18x=2×180 x=20 ∴∠A=3x°= 60° ∠B=4x°= 80° ∠C=5x°=100° ∠D=6x °= 120°
答：最大角和最小角分别为120°,60°.
思维升华
议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后, 纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是 多少度?与同伴交流.
4 -3 = 1
3 -2 = 1
4 -2 = 2
（n=5) 六边形
（n=6)
5 -3 = 2
6 -3 = 3 · · · · · · · · · · · ·
5 -2= 3
6 -2 = 4 · · · · · ·
540º
720º
· · · · · ·
n边形
· · · · · ·
（n-2）· 180º
n-3
第六章 平行四边形
4 多边形的内角和与外角和(一)
在平面内，由若干条不在同 一条直线上的线段首尾顺次相连 组成的封闭图形叫做多边形。
对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶 点的线段叫做多边形的对角线。
多 边 形 的 构 成
对角线 外角 内角
顶点
边
外角： 多边形内角的一边与另一边的பைடு நூலகம்向延长 线所组成的角叫做这个多边形的外角。
3.过某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成5个 三角形。这个多边形是几边形？它的内角和是多少？
4.一个多边形的每个内角都等于150°，则这个多边 形是几边形？
七年级数学多边形内角和1
多边形内角和总结知识点总结
多边形内角和总结知识点总结多边形是我们学习数学时经常涉及到的一个概念，它在几何学中有着重要的地位。
多边形的内角和是一个常见的问题，它涉及到多边形的性质和计算方法。
在本文中，我将对多边形内角和的计算方法进行总结，并提及一些相关的知识点。
一、多边形的内角和计算方法多边形的内角和是指在平面上的多边形中，所有内角的和。
根据多边形的边数和性质的不同，内角和的计算方法也有所区别。
下面将分别介绍正多边形和一般多边形的内角和的计算方法。
1. 正多边形的内角和计算方法正多边形是指所有边和内角相等的多边形，常见的正多边形有正三角形、正方形等。
对于正多边形，其内角和的计算方法为：内角和 = (n - 2) × 180度，其中n代表正多边形的边数。
以正三角形为例，它的边数n为3，代入公式可得：内角和 = (3 - 2) × 180度 = 180度。
这意味着正三角形的三个内角之和为180度。
同样地，对于正方形，它的边数n为4，代入公式可得：内角和 = (4 - 2) × 180度 = 360度。
这意味着正方形的四个内角之和为360度。
2. 一般多边形的内角和计算方法除了正多边形，我们还会遇到一般多边形，即边和内角不一定相等的多边形。
对于一般多边形，我们可以通过以下公式来计算其内角和：内角和 = (n - 2) × 180度，其中n代表一般多边形的边数。
这个公式与正多边形的计算方法是一致的。
二、与多边形内角和相关的知识点除了计算多边形内角和的方法外，我们还需要了解一些与其相关的重要知识点。
以下是一些与多边形内角和相关的知识点总结：1. 多边形的性质多边形有许多重要的性质，其中之一是内角和的性质。
无论是正多边形还是一般多边形，其内角和均与边数有关。
正多边形的内角和是固定的，而一般多边形的内角和则根据边数而变化。
2. 角的分类在多边形中，角可以分为内角和外角。
内角是指位于多边形内部的角，而外角是指位于多边形外部的角。
《多边形的内角和与外角和》知识清单
《多边形的内角和与外角和》知识清单一、多边形的定义在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
如果一个多边形有 n 条边，那么就称这个多边形为 n 边形。
比如，三角形就是有 3 条边的多边形，四边形就是有 4 条边的多边形，以此类推。
二、多边形的内角和1、三角形的内角和三角形的内角和是 180°。
这是一个基本且重要的定理，可以通过多种方法来证明，比如将三角形的三个角剪下来拼在一起，可以形成一个平角，也就是 180°。
2、四边形的内角和四边形可以分成两个三角形，因为三角形内角和是 180°，所以四边形的内角和是 360°。
3、 n 边形的内角和从 n 边形的一个顶点出发，可以引出（n 3）条对角线，将 n 边形分成（n 2）个三角形。
所以 n 边形的内角和为（n 2）×180°。
例如：五边形的内角和＝（5 2）×180°＝ 540°六边形的内角和＝（6 2）×180°＝ 720°三、多边形的外角和1、外角的定义多边形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做多边形的外角。
2、外角和的定义在每个顶点处取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。
3、多边形外角和的性质任意多边形的外角和都为 360°。
不管是三角形、四边形还是 n 边形，它们的外角和始终是 360°。
例如，三角形的三个外角和为 360°，四边形的四个外角和也是 360°。
四、内角和与外角和的应用1、已知内角和求边数如果已知一个多边形的内角和，可以通过内角和公式（n 2）×180°来求出边数 n。
例如，一个多边形的内角和为1080°，则有（n 2）×180°＝1080°，解得 n ＝ 8，所以这个多边形是八边形。
2、已知边数求内角和如果已知多边形的边数 n，可以直接使用公式（n 2）×180°求出内角和。
多边形的内角和与外角和(1)
多边形的内角和与外角和（1）1.本节知识点：（1）在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形.多边形 实线为该多边形的对角线（2）对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.（3）内角：多边形的一边与相邻的另一边所组成的角叫做这个多边形的内角.（4）外角：多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.（5）三角形：三角形的内角和是0180，三角形的一个外角对于它不相邻的两个内角的和.（6）多边形的内角和：()02180n -⨯，这里n 是多边形的边数.（7）其他概念：对顶角相等.2.如图，∠A＝25°，∠B＝65°，∠D＝30°，求∠1的度数.3.如图，∠A＝70°，∠B＝35°，∠E＝25°，求∠1、∠2、∠3的度数.4.如图，问：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝？5.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠5.6.如图，∠A＝55º，∠C＝45º，∠B＝20º，则 BPC＝7.如图，∠A＝35º，∠B＝∠C＝90º，则∠D＝8.如图，∠A＝80º，∠1＝∠2＝30º，那么∠BDC＝9.一根直尺EF压在三角板30º的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N，则∠l+∠2＝10.如图，∠A＝65º，∠B＝75º，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠l＝20º，则∠2＝11.如图，∠A＝62º，∠l＝∠2，∠3＝∠4，求∠D的度数.12.如图，∠A＋∠B和∠C＋∠D相等吗？为什么？13.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝14.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝15.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝16.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝。
多边形的外角和与内角和(1)
《多边形的内角和与外角和》第1课时教案一、教学目标1、 知识与技能 （1）、了解多边形的内角和，正多边形的概念，掌握多边形的内角和公式。
（2）、通过探索多边形的内角和，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题 （4）、会用多边形的内角和公式进行简单的计算。
2、过程与方法通过把多边形转化为三角形，让学生经历猜想、探索、推理、归纳等过程，感受转化思想在数学中的运用，体验解决问题策略的多样性。
3、 情感目标 通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质。
二、教学重难点重点： 多边形的内角和公式及应用。
难点： 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和公式。
三、教具准备 三角尺四、教学过程活动1 复习引入教师提问：(1)（2）你知道三角形的内角和是多少度吗？学生回答：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相结组成的平面图形； 三角形的内角和是180°。
教师总结：三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次相结组成的平面图形；三角形的内角和是180°。
您想知道任意一个多边形的内角和吗？今天我们就来进一步探讨多边形的内角和 板书课题 ：多边形的内角和 活动2 探索新知教师提问：如果把三角形中的三条线段变成四条、五条、六条又是哪种图形呢？请画出来。
根据三角形概念的叙述，说说什么是四边形、五边形、、、n 边形？1、多边形的概念（板书）要求学生在教材中勾画出来，强调按顺时针或逆时针方向书写，指出多边形边教师提问；如果多边形的各边相等，各内角也相等的多边形又怎么称呼呢？ 学生回答，教师板书 2、正多边形的概念要求学生在教材中勾画出来，如等边三角形，正方形，正五边形等。
所学过的图形最简单的是三角形，往往都是把复杂的图形转化成三角形，转化时需要添加辅助线，教师在四边形中演示，这就是对角线，教师板书 3、多边形的对角线要求学生在教材中勾画出来，三角形有对角线吗？从四边形的一个顶点出发，可以引多少条对角线，在图形上画一画；五边形、六边形呢？从n 边形一个顶点出发可以画多少条对角线呢？ 学生回答后教师补充：n 边形一个顶点可画对角线（n —3）条。
初中数学_多边形的内角和与外角和(1)教学设计学情分析教材分析课后反思
八下 6.4多边形的内角和与外角和（1）一．备课标：（一）内容标准：（1）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、对角线等概念。
探索并掌握多边形内角和公式。
（2）通过探索多边形内角和的公式，平等活动，积累探索规律的的活动经验，体验解决问题方法的多样性。
（二）核心概念：初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，发展灵活运用数学知识解决实际问题能力，让学生体会归纳、类比、转化、分类讨论以及从特殊到一般的数学思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是几何直观、推理能力和应用意识，同时发展数形结合意识。
二. 备重点、难点：（一）教材分析：本节课是《义务教育课程标准实验教科书》北师大新版八年级上册第六章第4节《探索多边形内角和与外角和》的第一课时．本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，同时本节内容与下一课时的多边形外角和又是一脉相承的。
本节知识是今后学习空间几何的基础，联系性比较强。
编写意图上，编者强调学生在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，经历探索、猜想、归纳等过程。
发展灵活运用数学知识解决实际问题能力，让学生体会归纳、类比、转化、分类讨论以及从特殊到一般的数学思想。
回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．学好多边形内角和的内容，为学生认识探索客观世界中不同形状物体存在的一般规律打下基础，对发展学生的空间观念和几何直觉有很大的帮助。
（二）重点、难点分析：重点：探索多边形的内角和公式，并能应用它解决问题。
难点：掌握多边形内角和公式的推导方法及化归等方法的渗透。
三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生已学过三角形的内角和定理，以及三角形的边、顶点、内角等概念，并且已初步了解四边形可分成两个三角形来求内角和，这为本节课的学习打下了基础。
19.1多边形的内角和(1)
比 一 比
你能说出这两幅图形的异同点吗？
今后如果不说明，我们讲的 多边形都是凸多边形。
不 是 凸 多 边 形
(1)
是凸多边形
(2)
一个多边形，如果把它任何一边双向延长， 其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样 的多边形叫做凸多边形.
多边形的内角和
我们已经知道一个三角形的内角和等于 180°，那么四边形的内角和等于多少呢？ 五边形、六边形呢？由此，n边形的内角和等 于多少呢？
A
B
.......
C
可表示为：五边形ABCDE或五边形AEDCB
A 内角 E 外角 B
多 边 形 的 相 关 概 念
顶点
1
边 C D 对角线
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。
总结1
n 个顶点， n边形有 _____ n 条边， _____ n 个内角， _____ 2n 个外角， _____ _____条对角线。
19.1多边形内角和(1)
观察
由这图形你抽象出什么几何图形？
三角形
由这图形你抽象出什么几何图形？
四边形
由这图形你抽象出什么几何图形？
五边形
由这图形你抽象出什么几何图形？
六边形
由这图形你抽象出什么几何图形？
八边形
四边形 三角形 多边形 的定义： 在同一平面内，由不在同一 四条 三条 线段首尾顺 条直线上的 若干条 次相接所组成的（封闭）图形。
180°· n-360°=(n-2) · 180°
0 1080 1、八边形的内角和为______。
2、已知多边形内角和等于1440º， 10 。 则它的边数为______
六 边形内角和是四边形内角和 3. ______ 的2倍。
多边形的内角和是多少度
多边形的内角和是多少度
多边形的内角和＝（n-2)×180°，其中n表示多边形的边数。
任意正多边形的外角和＝360°正多边形任意两条相邻边连线所构成的三角形是等腰三角形。
多边形内角和定理证明：
在n边形内任取一点O，连结O与各个顶点，把n边形分成n个三角形。
因为这n个三角形的内角的和等于n×180°，以O为公共顶点的n个角的和是360°。
所以n边形的内角和是n×180°-2×180°=
（n-2）·180°。
即n边形的内角和等于（n-2）×180°。
内角间接：
内角，数学术语，多边形zhi相邻的两边组成的角叫dao 做多边形的内角。
在数学中，三角形内角和为180°，四边形（多边形）内角和为360°。
以此类推，加回一条边，内角和就加180°。
内角和公式为：（n －2）×180°正多边形各内角度数为：（n－2）×180°÷n
例如三角形内角和就是一个△内部的三个角的和，一个内角就是其中任意一个角。
1。
多边形的内角和
7．3．2 多边形的内角和教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,并会应用它们进行有关计算．教学重点、难点1．重点：1多边形的内角和公式．2多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道,正方形的四个角都等于90°,那么它的内角和为360°,同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形,其内角和为360°,那么一般的四边形的内角和为多少呢画一个任意的四边形,用量角器量出它的四个内角,计算它们的和,与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论同学们进行量一量,算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识,是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线它们将四边形分成几个三角形那么四边形的内角和等于多少度2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线它们将五边形分成几个三角形那么这五边形的内角和为多少度3．从n边形的一个顶点出发,可以引几条对角线它们将n边形分成几个三角形n 边形的内角和等于多少度综上所述,你能得到多边形内角和公式吗设多边形的边数为n,则n边形的内角和等于n一2·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理”来完成,就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外,还有其他的分法吗你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗由同学动手并推导在与同伴交流后,老师归纳：以五边形为例分法一：在五边形ABCDE内任取一点O,连结OA、OB、OC、OD、OE,则得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°,而∠1,∠2,∠3,∠4,∠5不是五边形的内角应减去,∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝5—2×180°=540°．如果五边形变成n边形,用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角,即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=n一2×180°．BE分法二：在边AB上取一点O,连OE、OD、OC,则可以5－1个三角形,而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角,应舍去．∴五边形的内角和为5—1×180°一180°＝5—2×180°用同样的办法,也可以把n边形分成n一1个三角形,把不是n边形内角的∠AOB舍去,即可得n边形的内角和为n一2×180°．BD三、例题例1如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系,由于已知∠A＋∠C＝180°,所以可以从四边形的内角和入手,就可得到完满的答案．A BCD解：如图,四边形ABCD中,∠A＋∠C＝180°;∵∠A+∠B+∠C+∠D=4－2×360°=180°,∴∠B＋∠D= 360°－∠A＋∠C=180°这就是说：如果四边形一组对角互补,那么另一组对角也互补．例2如图,在六边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少 1234ABCD EF 56已知：∠1,∠2,∠3,∠4,∠5,∠6分别为六边形ABCDEF 的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角,这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为6—2×180°=720°．这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为6—2×180°=720°∴它的外角和为6×180°一720°=360°如果把六边形横成n 边形．n 为不小于3的正整数同样也可以得到其外角和等于360°．即多边形的外角和等于360°．所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．对此,我们也可以象以下这种,理解为什么多边形的外角和等于360°．如下图,从多边形的一个顶点A 出发,沿多边形各边走过各顶点,再回到A 点,然后转向出发时的方向,在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和,由于走了一周,所得的各个角的和等于一个周角,所以多边形的外角和等于360°．四、课堂练习课本P89练习1、2、3题．P90第2、3题五、课堂小结引导学生总结本节课主要内容．六、课后作业课本P90第4、5、6题．备选题：ABCDE F一、判断题．1．当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加．2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．4．从n边形一个顶点出发,可以引出n一2条对角线,得到n一2个三角形．5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．二、填空题．1．一个多边形的每一个外角都等于30°,则这个多边形为边形．2．一个多边形的每个内角都等于135°,则这个多边形为边形．3．内角和等于外角和的多边形是边形．4．内角和为1440°的多边形是．5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时,恰好依次增加相同的度数,其中最小角为100°,最大的是140°,那么这个多边形是边形．6．若多边形内角和等于外角和的3倍,则这个多边形是边形．7．五边形的对角线有条,它们内角和为．8．一个多边形的内角和为4320°,则它的边数为．9．多边形每个内角都相等,内角和为720°,则它的每一个外角为．10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4,那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．11．四边形的四个内角中,直角最多有个,钝角最多有个, 锐角最多有个．12．如果一个多边形的边数增加一条,那么这个多边形的内角和增加 ,外角和增加．三、选择题．1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角2．若n边形每个内角都等于150°,那么这个n边形是A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形3．一个多边形的内角和为720°,那么这个多边形的对角线条数为A．6条 B．7条 C．8条 D．9条4．随着多边形的边数n 的增加,它的外角和A ．增加B ．减小C ．不变D ．不定5．若多边形的外角和等于内角和的号,它的边数是A ．3B ．4C ．5D ．76．一个多边形的内角和是1800°,那么这个多边形是A ．五边形B ．八边形C ．十边形D ．十二边形7．一个多边形每个内角为108°,则这个多边形A ．四边形 B,五边形 C ．六边形 D ．七边形8,一个多边形每个外角都是60°,这个多边形的外角和为A ．180°B ．360°C ．720°D ．1080°9．n 边形的n 个内角中锐角最多有 个．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．多边形的内角和为它的外角和的4倍,这个多边形是A ．八边形B ．九边形C ．十边形 D,十一边形四、解答题．1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．1求它的边数； 2求少的那个内角的度数．2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线它共有多少条对角线n 边形呢3．已知多边形的内角和为其外角和的5倍,求这个多边形的边数．4．若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的21,求这个多边形的边数． 5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°,求这个多边形的边数．6．n 边形的内角和与外角和互比为13：2,求n ．7．五边形ABCDE 的各内角都相等,且AE ＝DE,AD ∥CB 吗8．将五边形砍去一个角,得到的是怎样的图形9．四边形ABCD 中,∠A+∠B=210°,∠C ＝4∠D ．求：∠C 或∠D 的度数．10．在四边形ABCD 中,AB ＝AC ＝AD,∠DAC ＝2∠BAC ．求证：∠DBC ＝2∠BDC ．。
多边形的内角和与外角和(一)
6.4. 多边形的内角和与外角和（一）导学案八年级张仙娥 2014-05学习目标：掌握多边形内角和定理，进一步了解转化的数学思想学习重点：多边形内角和定理的探索和应用学习难点：多边形内角和公式的推导；第一环节创设现实情境，提出问题，引入新课1．三角形的内角和是多少度？你是怎么得出的？①用量角器度量：分别测量出三角形三个内角的度数，再求和。
②拼角：将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起，可组成一个平角。
2．四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？1度量； 2拼角； 3将四边形转化成三角形求内角和。
第二环节合作探讨1．根据四边形的内角和的求法，你能否求出五边形的内角和呢？（提示：可按下图）2．小组合作，完成下面的表格。
从表格中你发现了什么规律？第三环节定理应用1．如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B与∠D有怎样的关系？2．一个多边形的内角和为1440°，则它是几边形？3．一个多边形的边数增加1，则它的内角和将如何变化？4．练一练：①正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？②正边形的内角是多少度？③一个正多边形的每个内角都是150°，求它的边数？第四环节思维提升议一议: 剪掉一张长方形纸片的一个角后,纸片还剩几个角?这个多边形的内角和是多少度?与同伴交流.第五环节知识小结过本节课的学习，你学到了哪些知识？有何体会？第六环节课堂反馈练习（课本154页练习）B．探究五角星的五个角的度数之和;A. 设计一个实验(如剪纸、拼图等），说明四边形的内角和是360°。
目的：作业布置分A、B、C三类，这样的设计可以让不同层次的学生根据自己的能力得到不同程度的训练，各有所得。
通过作业进一步激发探索兴趣，巩固所学知识。
第八环节课后反思如何促进学生在主动、探究、合作、实践中学习数学、学好数学，突出新教材的优势呢？我在这节课中做了大胆的尝试和探索，首先，这节课师生教与学活动是建立在学生的认知发展水平和已有的经验基础上，教师充分激发学生的学习兴趣和积极性，向学生提供了从事数学活动的机会，构建了学生自主探究、合作实践与交流的平台；教师较好地引导学生在探究实践的过程中，真正理解和掌握数学的知识、技能和数学思想方法，增强空间观念及数学思考能力的培养，并获得数学活动经验；其次，这节课的学习内容，通过创设情境问题得以构建和发展，体现了新课程目标理念的开放性原则；第三，这节课教师恰当的评价学生的学习过程，不仅关注了学生在学习过程中表现的行为、态度情感，更关注对学生激励评价及学生的自我评价感受。
多边形的内角和与外角和(1)
方法5：如图5，在AB上任取一点F，连结FD， 则五边形的内角和为：
2×360°-180°=540°。
方法6：如图6，在五边开外任取一点O，连结 OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为：
4×180°-180°=540°。
小结：纵观以上各种证明思路，其共同点是 通过图形分割，把五边形问题转化为熟悉的 三角形、四边形问题来解决。
3．根据四边形的内角和的求法，你能否求出 五边形的内角和呢？
方法总结：
5．小组合作，完成下面的表格：
0 1 2 3
(n-3)
1
180°
2
2 × 180°
3
3 × 180°
4
4 × 180°
(n-2) (n-2) × 180°
4．小组合作，完成下面的表格：
0 1 2 3
(n-3)
1
180°
2
2 × 180°
3
3 × 180°
4
4 × 180°
(n-2) (n-2) × 180°
5、结论： 从 多边形的一个顶点可以引出（n-3) 条
对角线，把n 边形分成(n-2) 个三角形。
从而得出：n 边形的内角和是(n-2) ·180° 。 6、知道了多边形的内角和，它可以解决哪些 问题呢？ （1）已知边数求内角和 (2)已知内角和求边数 （1）、已知边数，求内角和 （2）、已知内角和求边数
你有什么方法得到四边形的内角和吗？
二、实验探究，总结归纳
1．四边形的内角和是多少？你又是怎样得出的？ ① 、度量 ；② 、拼角； ③ 、将四边形转化成三角
形求内角和。 2．在四边形内角和的探索
过程中，用到了几种方法， 你认为哪种方法好？请讲述 你的理由。
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备课时间：年月日教案总序号
2 自主探究
合作交流
面我们一起来讨论这个问题(板书课题)。
1、）以动激趣,浅探求知。
一画:画三角形、四边形、五边形、六边形(让学生
自己动手画)。
二量:量出五边形、六边形各内角,并求出其和(让
学生自己求知)。
三比较:比较四边形、五边形、六边形分别是三角
形内角和的多少倍,并由此去探索他们之间的初
步规律。
2、）观察联想,启迪思维。
探索方法（一）
(1)观察引探:观察比较以上结论后,启发提问:“边
数少的多边形可以通过量角来求和,如果边数很
多那又怎么办?由上述结论可知,多边形的内角和
是三角形内角和的若干倍,那么这个倍数与多边
形的边数有何关系?能否找出其规律?”(让学生猜
想,大胆尝试)
(2)启发联想:我们已经学过求四边形内角和的推
导方法,它是以三角形为基础求得的,即连结一条
对角线,将四边形分割为两个三角形,其和为
180°×2,那么五边形、六边形、……n边形能否依
此类推呢? (1)启发连线:依照四边形求内角和的
方法,从任一角的顶点作对角线,将多边形分割为
若干个三角形。
(先让学生想,再启发学生)
(2)自主探索、讨论交流:让学生自己去研讨发现多
边形内角和与各三角形内角和之间的关系,三角
形个数与多边形边数的关系。
(3)找规律填空:抽一名学生到事先准备好的小黑
板上填写,其余学生各自完成,教师巡视学生完成
情况,然后教师给出答案让学生对照答案,教师再
作出评价。
三角形有(?-2)个三角形,内角和是180°×(?-2);
四角形有(?-2)个三角形,内角和是180°×(?-2);
五角形有(?-2)个三角形,内角和是180°×(?-2);
……
n边形有(?-2)个三角形,内角和是180°×(?
(4)揭示规律(由学生汇报)
a、三角形的个数与多边形边数有何关系?(比边数
少2)
b、多边形的内角和与所有三角形的内角和有何关
学生自己动手画，
自己动手计算，根
据求得结果去探
索他们之间的初
步规律。
学生到事先准备
好的小黑板上填
写,其余学生各自
完成,教师巡视学
生完成情况,然后
教师给出答案让
学生对照答案,教
师再作出评价。
3展示释疑归纳总结系?(相等)
(5)归纳结论(由学生概述)
n边形内角和等于(n-2)×180°[让学生自主探索,寻
找规律,发现知
探索方法(二):
(1) 变换分割:在多边形内任取一点O,顺次边各顶
点。
(2) (2)再次研讨:让学生去发现多边形内角和与三
角形内角和之间的关系。
(多边形的内角和=
所有三角形的内角和-1周角)
(3) (3)找规律,填空(让一名学生上黑板填写,其他
学生各自完成)。
三角形有?个三角形,内角和是
180°×?-360°=180°×(?-2);
四角形有?个三角形,内角和是
180°×?-360°=180°×(?-2)
五角形有?个三角形,内角和是
180°×?-360°=180°×(?-2)
n边形有?个三角形,内角和是
180°×?-360°=180°×(?-2)
(4)归纳结论(由学生得出)
n边形的内角和是:180°×(n-2)
探索方法(三):
(1)改变连线:以多边形任一边上的一点为起点,连
结各顶点。
(2)再次研讨:让学生去发现多边形内角和与三角
形内角和之间的关系。
(多边形的内角和=所有三
角形的内角和-1平角)
(3)找规律,填空。
(抽一名学生登台填空,其他学生
各自完成)
三角形的内角和是180°×(?-2)
四角形有(?-1)个三角形,内角和
是: 180°×(?-1)-180°=180°×(?-2)
五角形有(?-1)个三角形,内角和是:
180°×(?-1)-180°=180°×(?-2)
……
n边形有?个三角形,内角和是:
180°×(?-1)-180°=180°×(?-2)
(4)揭示其特点(启发学生去发现)
a、分割后三角形的个数有何变化?
b、求多边形内角和的方法有何不同?(探索方法1,
是由多边形内角和等于各三角形内角和求得;探
索方法2,是由多边形的内角和=各三角形内角和
揭示其特点，启发
学生去发现。