多边形的内角和1

多边形的内角和

教学目的

1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。

2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。

重点、难点

1．重点：多边形的内角和定理。

2．难点：多边形的内角和定理的推导。

教学过程

一、复习提问

1．什么叫三角形? 2．三角形的内角和是多少?

3．什么叫三角形的外角?什么叫外角和?三角形的外角和是多少?

二、新授

1．多边形的概念，

三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。

你能说出什么叫四边形、五边形吗?

如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD。(按顺时针或逆时针方向书写)

D

D

C

A C E

A B

B

图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE 。

一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为n 边形，又称多边形。

与三角形类似如图，∠A 、∠D 、∠

下面所示的图形也是多边形，但不在我们现在研究的范

C、∠ABC是四边形ABCD的四个内角，延长AB、CB得四边形ABCD 的两个外角∠CBE和∠ABF，这两个外角是对顶角。一个n边形有n 个内角，有2n个外角。

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称为正多边形，如正三角形、正四边形(正方形)、正五边形等等。连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，如图1，线段AC是四边形ABCD的对角线，如图2，线段AD、AC是四边形ABCDE的对角线，如图3中线段AC、AD、AE是六边形ABCDEF的对角线。

8.3.3

问：(1)四边形有几条对角线?(两条AC、BD)

(2)五边形有几条对角线?

以A为端点的对角线有两条AC、AD，同样以B为端点的对角线也有2条，以C为端点也有2条，但AC与CA是同一条线段，以D为端点的两条DA、DB与AD、BD都分别表示同一条线段。所以只有5条。

(3)六边形有几条对角线?n边形呢? 六边形有9条对角线。

从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引(n-3)条，(除本身这个点以及和这点相邻的两点外)，那么n个顶点，就有n(n- 3)条，但其中每一条都重复计算一次，如AB与BA，所以n边形一共有条对角线。

大家可以加以验证：当n=3时，没有对角线，当n=4时，有2条；

当n=5时，有5条：当n=6时，有9条…，因此，我们可以得到多边

形的对角线的条数的计算公式：

2)3

(

n

n

2．多边形的内角和公式。

三角形是边数最少的多边形，它的内角和等于180°，那么一般n边形是否也有内角和公式呢?让我们先从四边形，正边形，六边形……开始。

从上面对角线的研究可知，一条对角线把四边形分成2个三角形，这两个三角形的内角和的和就是四边形的内角和，五边形的内角和就是图中3个三角表内角和的和。

让学生填写表,由此，你可以得到”边形的内角和公式吗?

n边形的内角和＝(n-2)·180°

知道一个多边形的内角和，根据公式也可以求边数n。

知道多边形的边数,可以求出多边形的度数

例1.求八边形的内角和的度数。

分析: n边形的内角和公式为(n-2) 180 °,现在知道这个多边形的边数是，代入这个公式既可求出. 解（n－2）×180°

=（8－2）×180°

=1 080°

例2.已知多边形的内角和的度数为900°，则这个多边形的边数为________

解（n－2）×180°= 900°

（n－2）= 900°/180°

（n－2）= 5 n= 5 +2 n=7 例3. 已知在一个十边形中，九个内角的和的度数是1290°，求这个十边形的另一个内角的度数.

分析：先求出十边形的内角和，再减去1290°,就可以得出.

解: （10－2）×180°=1440 °

则十边形的另一个内角的度数为

1440 °- 1290°=150

那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?

因为正多边形的每个角相等,所以知道正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数

（n－2）×180°/ n

例4.正五边形的每一个内角等于_____.

解: （n－2）×180°/ n

= （5－2）×180°/5

=540°/5

=108°

例5.如果一个正多边形的一个内角等于120°,则这个多边形的边数是_____

解: 120°n=（n－2）×180°

120°n=n×180°-360 °

60°n =360 °

n =6

多边形的内角和等于(n-2)·180°，还可以用以下的划分来说明，即在n边形内任取一点P，连结点P与多边形的每个顶点，可得几个三角形?这几个三角形的各内角与这个多边的各内角之间有什么关系?请你试一试。

对有困难的学生教师可以加以引导。

如图(教科书图9.2.5)每一个三角形都有一条边就是多边形的边，因此n边形就可划分成n个三角形，这n个三角形的内角和减去以P 为顶点的周角所得的差就是”边形的内角和。因此，n边形的内角和为：

n·180°-360°＝n·180°-2·180°=(n-2)·180°

问：还有其他方法吗?让学生自主探索，对不同方法给予鼓励。

三、巩固练习

教科书第70页练习1、2。

四、小结

本节课我们通过把多边形划分成若干个三角形，用三角形内角和去求多边形的内角和，从而得到多边形的内角和公式为(n-2)·180°。这种化未知为已知的转化方法，必须在学习中逐步掌握。在转化过程