多边形及其内角和
多边形及其内角和
11.3多边形及其内角和状元笔记【知识要点】1．多边形及相关概念多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．2．多边形的内角和与外角和内角和：n边形的内角和等于(n－2)·180°．外角和：多边形的外角和等于360°．【温馨提示】1．从n边形的一个顶点出发，可以做(n－3)条对角线，它们将n边形分为(n－2)个三角形．对角线的条数与分成的三角形的个数不要弄错．2．多边形的外角和等于360°，而不是180°．【方法技巧】1．连接多边形的对角线，将多边形转化为多个三角形，将多边形问题转化为三角形问题来解决．2．多边形的内角和随边数的变化而变化，但外角和不变，都等于360°，可利用多边形的外角和不变求多边形的边数等．专题一根据正多边形的内角或外角求值1．若一个正多边形的每个内角为150°，则这个正多边形的边数是（）A．12 B．11 C．10 D．92．一个多边形的每一个外角都等于36°，则该多边形的内角和等于________°．3．已知一个多边形的每一个内角都相等，且每个内角都等于与它相邻的外角的9倍，求这个多边形的边数．专题二求多个角的和4．如图为某公司的产品标志图案，图中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）A．360° B．540° C．630° D．720°5．如图，∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠F=_________°．6．如图，求：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．基础知识一、选择题1．（2013•梅州）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2013•资阳）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是（）A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形3．（2013•烟台）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或74．（2009•湛江）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）A．30° B．40° C．80° D．不存在5.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引9条对角线,则它是( )A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形6.若一个多边形共有20条对角线,则它是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形7．内角和等于外角和2倍的多边形是（）A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形8.一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )A.1个B.2个C.3个D.4个9.一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3个B.4个C.5个D.6个10.若一个多边形除了一个内角外,其余各内角之和为2570°,则这个内角的度数为( )A.90°B.105°C.130°D.120°11．一个多边形截去一个角后，所形成的一个多边形的内角和是2520°，那么原多边形的边数是（）A．15 B．16 C．17 D．15或16或1712.下列说法正确的是（）A.每条边相等的多边形是正多边形B. 每个内角相等的多边形是正多边形C. 每条边相等且每个内角相等的多边形是正多边形D.以上说法都对13.正多边形的一个内角的度数不可能是（ ）A ．80° B．135° C．144° D．150°14．多边形的边数增加1，则它的内角和（ ）A ．不变B ．增加180° C．增加360° D．无法确定15.在四边形中，、、、的度数之比为2∶3∶4∶3，则的外角等于（ ）（A ）60° （B ）75° （C ）90° （D ）120°二、填空题1．每个内角都为135°的多边形为_________边形.2．一个多边形的每一个外角都等于15°,这个多边形是________边形.3.已知一个多边形的每一个外角都相等,一个内角与一个外角的度数之比为9:2,则这个多边形的边数为_________.4．多边形的内角和与其一个外角的度数总和为1300°，则这个外角的度数为________．5．如图,小明从A 点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，……照这样走下去，他第一次回到出发地A 点时，一共走了 米．6．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数是 .7.如图，在六边形ABCDEF 中，AF ‖CD,AB‖DE,且∠A=120°,∠B=80°,，，则∠C 的度数 是 ，的度数是 ．ABCD A ∠B ∠C ∠D ∠D∠D∠。
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII多边形及其内角和一、知识点总结、n边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
1/2·n（n-3）只用一种正多边形：3、4、6/。
镶嵌拼成360度的角只用一种非正多边形（全等）：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
专题04 多边形及其多边形内角和(知识点串讲)(解析版)
专题04 多边形及其多边形内角和知识网络重难突破知识点一多边形相关知识多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形 内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。
外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。
【对角线条数】一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n－3）条，其所有的对角线条数为2)3(nn（重点）凸多边形概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。
正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。
（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立）典例1 （2018春富顺县期末）将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A．六边形B．五边形C．四边形D．三角形【答案】A【解析】试题解析：当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；∴剩余图形不可能是六边形，故选A.典例2 （2018秋桥北区期中）过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成9个三角形,这个多边形的边数是( )A．10 B．11 C．12 D．13【答案】B【详解】设多边形有n条边，n－2＝9，则n＝11，故答案选B.典例3 （2018春道里区期末）如果一个多边形的内角和是720°，那么这个多边形的对角线的条数是( ) A．6 B．9 C．14 D．20【答案】B【详解】由题意可知n=6，所以对角线条数为9知识点二多边形的内角和外角（重点）n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n−2)∙180°（重点）n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°，与多边形的形状和边数无关。
典例1 （2019春安庆市期中）若正多边形的一个外角是60︒，则该正多边形的内角和为A．360︒B．540︒C．720︒D．900︒【答案】C【详解】由题意，正多边形的边数为360660n︒==︒，其内角和为()2180720n-⋅︒=︒．故选C.典例2 （2019春南阳市期中）一个n边形的内角和为360°，则n等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】根据n边形的内角和公式，得：（n-2）•180=360，解得n=4．故选B典例3 （2018春菏泽市期末）如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11【解析】分析：根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．详解：多边形的外角和是360°，根据题意得：180°•（n-2）=3×360°解得n=8．故选：A．巩固训练一、单选题（共10小题）1．（2018春龙安区期末）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为540 ，那么原多边形的边数为（）A．4 B．4或5 C．5或6 D．4或5或6【答案】D【详解】设新多边形的边数为n,则(n−2)⋅180°=540°,解得n=5，如图所示，截去一个角后，多边形的边数可以增加1、不变、减少1，所以，5−1=4，5+1=6，所以原来多边形的边数为4或5或6.故选：D.此题考查多边形内角（和）与外角（和），解题关键在于掌握运算公式.2．（2019春闻喜县期末）下列正多边形中，不能够铺满地面的是（）A．正六边形B．正五边形C．正方形D．正三角形【答案】B【详解】A. 正六边形的每个内角是120°,能整除360°，能密铺；B. 正五边形每个内角是180°−360°÷5=108°,不能整除360°，不能密铺；C. 正方形的每个内角是90°,能整除360°，能密铺；D. 正三角形的每个内角是60°,能整除360°，能密铺.故选B.【名师点睛】此题考查平面镶嵌（密铺），解题关键在于掌握计算法则.3．（2018春南昌县期末）已知一个多边形的内角和等于这个多边形外角和的2倍，则这个多边形的边数是A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【详解】设这个多边形是n边形，根据题意，得(n-2)×180°=2×360°，解得：n=6，即这个多边形为六边形，故选C．【名师点睛】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键.根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．4．（2019春道外区期末）若正多边形的一个内角是150°，则该正多边形的边数是（）A．6 B．12 C．16 D．18【答案】B【解析】设多边形的边数为n，则有（n-2）×180°=n×150°，解得：n=12，故选B.5．（2018春东坡区期末）如图，在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E＝300°，DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，则∠P的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°【答案】C【详解】∵在五边形ABCDE中，∠A+∠B+∠E=300°，∴∠EDC+∠BCD=240°，又∵DP、CP分别平分∠EDC、∠BCD，∴∠PDC+∠PCD=120°，∴△CDP中，∠P=180°-（∠PDC+∠PCD）=180°-120°=60°．故选：C．【名师点睛】主要考查了多边形的内角和以及角平分线的定义，解题时注意：多边形内角和=（n-2）•180 （n≥3且n为整数）．6．（2018春金安区期中）如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转36°，再沿直线前进10米，再向左转36°……照这样走下去，他第一次回到出发点A点时，一共走的路程是（）A．100米B．110米C．120米D．200米【答案】A【详解】解：∵360÷36=10，∴他需要走10次才会回到原来的起点，即一共走了10×10=100米．故选A.【名师点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360º．7．（2018春小店区期中）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9【答案】D【解析】试题分析：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°=1080°，解得：n=8．则原多边形的边数为7或8或9．故选D．8．（2017秋民勤县期中）一个正多边形的内角和为540°，则这个正多边形的每一个外角等于（）A．108°B．90°C．72°D．60°【答案】C【详解】解：设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540，解得：n=5，∴这个正多边形的每一个外角等于：=72°．故选：C．【名师点睛】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．注意掌握多边形内角和定理：（n-2）•180°，外角和等于360°．9．（2016春荔湾区期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A．7 B．10 C．35 D．70【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10，这个正n边形的所有对角线的条数是：==35，故选C．10．（2018春德州市期末）一个正多边形的内角和为900°，那么从一点引对角线的条数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】设这个正多边形的边数是n，则（n-2）•180°=900°，解得：n=7．则这个正多边形是正七边形．所以，从一点引对角线的条数是：7-3=4.故选：B【名师点睛】本题考核知识点：多边形的内角和.解题关键点：熟记多边形内角和公式.二、填空题（共5小题）11．（2018春天水市期末）如图，五边形是正五边形，若，则__________．【答案】72【解析】分析：延长AB交于点F，根据得到∠2=∠3,根据五边形是正五边形得到∠FBC=72°,最后根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可求出.详解：延长AB交于点F，∵，∴∠2=∠3，∵五边形是正五边形，∴∠ABC=108°,∴∠FBC=72°,∠1-∠2=∠1-∠3=∠FBC=72°故答案为：72°.[名师点睛]题主要考查了平行线的性质和正五边形的性质，正确把握五边形的性质是解题关键.12．（2019春海淀区期末）如果一个正方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是__________．【答案】180°或360°或540°【解析】分析: 剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，根据多边形的内角和定理即可求解.详解: n边形的内角和是（n-2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（4+1-2）×180°=540°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（4-2）×180°=360°，所得新的多边形的边数减少1，则新的多边形的内角和是（4-1-2）×180°=180°，因而所成的新多边形的内角和是540°或360°或180°．故答案为：540°或360°或180°.【名师点睛】本题主要考查了多边形的内角和的计算公式，理解：剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能减少一个，是解决本题的关键.13．（2018春金东区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AD⊥AB，∠C=110°，它的一个外角∠ADE=60°，则∠B的大小是_____．【答案】40°【详解】∵∠ADE=60°，∴∠ADC=120°，∵AD⊥AB，∴∠DAB=90°，∴∠B=360°﹣∠C﹣∠ADC﹣∠A=40°，故答案为：40°．【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角，掌握四边形的内角和等于360°、外角的概念是解题的关键．14．（2018春延边市期中）如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7＝_____．【答案】540°【详解】如下图,由三角形的外角性质可知∠6+∠7=∠8,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8,又∵∠1+∠2+∠3+∠10=360°, ∠4+∠5+∠8+∠9=360°,∠10+∠9=180°,∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠8=（∠1+∠2+∠3+∠10）+（∠4+∠5+∠8+∠9）-（∠10+∠9）=540°.【名师点睛】本题考查了三角形的外角和性质,四边形的内角,找到外角与邻补角是解题关键.15．（2019春东阳市期末）若一个多边形的内角和比外角和多900，则该多边形的边数是_____．【答案】9，【解析】分析：根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与外角和定理列式求解即可．详解：设这个多边形的边数是n，则 (n−2)⋅180°−360°=900°，解得n=9.故答案为： 9.【名师点睛】本题考查了多边形的内角和外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°是解题的关键.三、解答题（共2小题）16．（2018春云岩区期末）一个多边形的每一个内角都相等，并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半．（1）求这个多边形是几边形；（2）求这个多边形的每一个内角的度数．【答案】（1）这个多边形是六边形；（2）这个多边形的每一个内角的度数是120°．【详解】（1）设内角为x,则外角为,由题意得,x+=180°,解得:x=120°,=60°,这个多边形的边数为:=6,答:这个多边形是六边形,（2）设内角为x,则外角为,由题意得: x+=180°,解得:x=120°,答:这个多边形的每一个内角的度数是120度．内角和=（6﹣2）×180°=720°．【名师点睛】本题主要考查多边形内角和外角,多边形内角和以及多边形的外角和,解决本题的关键是要熟练掌握多边形内角和外角的关系以及多边形内角和.17．（2017春黄岩区期中）如图，四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线．(1)∠1与∠2有什么关系，为什么？(2)BE与DF有什么关系？请说明理由．【答案】（1）∠1+∠2=90°；理由见解析；（2）（2）BE∥DF；理由见解析.【解析】试题分析：（1）根据四边形的内角和，可得∠ABC+∠ADC=180°，然后，根据角平分线的性质，即可得出；（2）由互余可得∠1=∠DFC，根据平行线的判定，即可得出．试题解析：（1）∠1+∠2=90°；∵BE，DF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠1=∠ABE，∠2=∠ADF，∵∠A=∠C=90°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∴2（∠1+∠2）=180°，∴∠1+∠2=90°；（2）BE∥DF；在△FCD中，∵∠C=90°，∴∠DFC+∠2=90°，∵∠1+∠2=90°，∴∠1=∠DFC，∴BE∥DF．。
(完整版)多边形及其内角和知识点
(完整版)多边形及其内角和知识点多边形是几何学中常见的一个概念，是由若干个线段组成的一个闭合图形。
根据边的数量，我们可以把多边形分为三类：三角形、四边形和多边形。
三角形是由三条线段组成的闭合图形，是最简单的多边形。
三角形有三个内角和，三个内角和等于180度。
这个定理叫做“三角形内角和定理”。
我们不难想象，如果将三角形沿任意一边割开，得到的两个部分必定可以重新组合成一个平行四边形。
接下来我们来谈谈四边形。
四边形是由四条线段组成的闭合图形，它的内角和是360度。
其中，平行四边形的对边相等，且对角线相交，交点把平行四边形分为两个全等的三角形。
这个定理叫做“平行四边形对角线定理”。
接下来是多边形。
多边形是由三条以上的线段构成的闭合图形，多边形的边和角数可能非常多，我们不方便用公式直接表达其内角和。
不过，由于任何多边形都可以分割成若干个三角形，我们可以通过三角形的内角和定理来计算多边形的内角和。
例如，对于一个五边形，我们可以通过将其分割成三角形，计算出五边形的内角和是540度。
五边形有多种类型，例如正五边形的五个内角都是108度，而五边形中的最大内角则可以达到刚刚好不到180度的夹角。
如果我们将五边形表示为ABCDE，其中C是它的最大内角（得到这个五边形非常简单，只需要将任意二十面体四面体化即可），那么我们容易得到公式：∠ACE= ∠ABC + ∠ACB同时，也有一些其他的多边形内角和求解公式，例如正六边形的内角和公式是720度，不过由于时间和空间的关系，我们不在此一一列举。
在实际问题中，多边形的内角和定理可以用于许多计算问题。
例如，在地理问题中，我们需要计算地球表面的一个多边形的面积时，首先需要计算其内角和，并应用面积公式求解。
在数学竞赛中，也常常会出现一些需要计算多边形的内角和的问题，因此，在学习数学的过程中，理解多边形的内角和定理对很多学生来说是非常重要的。
此外，多边形还有一些其他的重要性质和定理，例如多边形的对称性、多边形划分的方法、多边形面积的计算公式等等，这些知识点也非常重要，有助于我们更好地理解和应用多边形的相关知识。
多边形及其内角和
多边形及其内角和1．多边形及其有关概念(1)多边形定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。
三角形是最简单，边数最少的多边形.①多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．②拓展理解：一个n边形从一个顶点可以引(n－3)条对角线，把n边形分成(n－2)个三角形．一个n边形一共有n(n－3)2条对角线．2．多边形的内角和(1)公式：n边形内角和等于(n－2)×180°.【例1】选择：(1)十边形的内角和为()．A．1 260°B．1 440°C．1 620°D．1 800°(2)一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线共有()．A．6条B．7条C．8条D．9条4．多边形的外角和(1)公式：多边形的外角和等于360°.(2)探究过程：如图，以六边形为例．③n边形外角和＝n×180°－(n－2)×180°＝360°.(3)拓展理解：①多边形的外角和是一个恒值，即任何多边形的外角和都是360°，与边数无关．②多边形的外角和与多边形所有外角的和不是一回事，多边形的外角和是每个顶点处取一个外角的和．解技巧多边形的内角与相邻外角的关系的运用同顶点的每一个内角和外角互为邻补角是解决含内、外角问题的关键，是内、外角转换的纽带．【例4】填空：(1)一个多边形每个外角都是60°，这个多边形是__________边形，它的内角和是__________度，外角和是__________度；(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加__________，外角和增加__________．3．多边形内角和公式的应用多边形内角和只与边数有关，因此当一个多边形的边数确定时，多边形的内角和就是一定的，所以多边形内角和公式就有两个作用：(1)已知多边形边数(顶点数、内角个数)就可以求出多边形内角和度数，方法是直接将边数n代入公式(n－2)×180°求出．(2)已知多边形内角和求多边形边数，只要根据多边形内角和公式列出以n 为未知数的方程，解方程，求出n即可得到边数．【例5】若一个四边形的四个内角度数的比为3∶4∶5∶6，则这个四边形的四个内角的度数分别为__________．【例】一个多边形的内角和等于1 440°，则它的边数为__________．【例】一个多边形的内角和不可能是()．A．1 800°B．540°C．720°D．810°4.多边形外角、外角和公式的应用【例6】如图所示，已知∠ABE＝138°，∠BCF＝98°，∠CDG＝69°，则∠DAB ＝__________.7.正多边形知识的应用正多边形是特殊的多边形，它特殊在每一个内角、外角、每一条边都相等，所以在正多边形中，只要知道一个角的度数，就能知道所有角的度数，包括每一个外角的度数．知道一边的长度，就能知道每一边的长度．因此它的应用主要包括两个方面：(1)已知内角(或外角)能求边数、内角和；已知边数能求每一个外角(或内角)的度数及内角和，即在内角和、边数、内角度数、外角度数四个量中知道一个量就能求出其他三个量．(2)因为正多边形每一条边都相等，所以知道周长能求边长，知道边长能求周长(因较简单所以考查较少)．解技巧利用方程思想求多边形的边数正多边形中已知一个内角的度数求边数时，一是将内角根据“同顶点的内、外角互补”转化为外角，再根据外角和是360°，由360°除以一个外角的度数得到边数；二是根据内角和公式和每个角度数都相等列方程解出边数n.【例7】若八边形的每个内角都相等，则其每个内角的度数是__________．【例】一个多边形的每一个外角都等于30°，这个多边形的边数是__________，它的内角和是__________．【例】一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的边数．常见题型及巩固练习：1．边数、顶点数、内角和、对角线条数之间关系的综合应用在多边形问题中，当多边形的边数n一定时，不论多边形形状如何，多边形的内角和也是一定的，是(n－2)×180°，多边形对角线的条数也是一定的，是n(n－3)2，并且从一个顶点引出的对角线的条数也是一定的，是(n－3)条，所以在多边形问题中，在这些量中，只要知道其中一个量，就可以求出所有的量．在多边形问题的综合应用中，一般是边数、对角线的条数、内角和之间的关系应用较多，有时还与正多边形知识相结合．因知识限制，一般是给出内角和，求边数或对角线条数题目较多，如：已知一个多边形内角和是 1 080°，它有几条对角线？根据内角和公式列方程，(n－2)×180＝1 080求出边数，再根据对角线公式求出对角线条数．练习1过n边形的一个顶点的所有对角线，把多边形分成8个三角形，则这个多边形的边数是()．A．8 B．9 C．10 D．11练习2 多边形的每一个内角都是150°，则此多边形的一个顶点引出的对角线的条数是()．A．7 B．8 C．9 D．10练习3一个多边形的对角线的条数等于它的边数的4倍，求这个多边形的内角和．练习4如果一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数。
《多边形及其内角和》教案
《多边形及其内角和》教案《多边形及其内角和》教案1一、教学目标1、掌握多边形的内角和公式，并能熟练运用。
2、通过探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力，体会从特殊到一般的认识问题的方法。
3、通过探索多边形内角和公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。
4、通过猜想，推理等数学活动，感受数学活动充满探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习热情。
二、教学重点、难点重点：探索多边形的内角和公式。
难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形，利用三角形内角和180度求出多边形内角和。
三、教学方法：学生自主探究、合作交流与教师启发引导相结合.四、教具准备①每个小组一张“探究实验报告单”（活动1）②每人一张“类比探索五边形、六边形、七边形的内角和的答题纸”（活动2）③多媒体课件五、教学过程（一）创设情境，引入新课问题1：把一个长方形纸片剪去一个角还剩几个角。
【学生给出的答案可能是---三个角、四个角、五个角，教师演示动画。
】问题2：你知道所得图形的内角和吗。
你知道102边形的内角和吗。
【根据学生的回答，教师指出本课内容，板书课题: 多边形的内角和。
】（二）合作交流，探索新知活动1：猜想验证四边形的内角和问题：（1）任意四边形的内角和等于多少度。
（2）你是怎样得到的。
你能找到几种方法。
【问题（1）学生很容易猜到360°，问题（2）组织学生四人一组拿出课前老师发给每个小组的探究实验报告，讨论并记录探究方法。
在讨论的过程中，教师给出合格、良好、优秀的“自我评价标准”，每个小组对照评价表给出自我评价，教师深入到学生讨论中，以“边听—边问—边导”的形式，适时对各小组进行点拨。
讨论结束后，小组学生代表用实物投影展示探究实验报告，说明求四边形内角和的方法，并讲述想法。
教师对学生找到的不同方法都给予肯定和评价，并加以总结，归纳学生提出的探究方法：度量、剪拼、分割。
多边形及其内角和
知识点1、多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接的图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的边与它的邻边延长线组成的角叫做它的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
凸多边形：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那，整个多边形叫做凸多边形，否则叫凹多边形。
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
知识点2、多边形的内角和N边形内角和等于（N-2）×108°。
知识点3、多边形外角和多边形的外角和等于360°。
知识点4、多边形中锐角、钝角的个数多边形中最多有三个内角为锐角，最少没有锐角（如长方形）。
多边形外角中最多有三个钝角，最少没有钝角。
知识点5、n边形共有对角线的条数为n（n-3）/2。
例1、下列命题：①多边形的外角和小于内角和②三角形的内角和等于外角和③多边形的外角和大于内角和④多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和⑤四边形的内角和等于它的外角和。
正确的有（）A、0个B、1个C、2个 D3个例2、已知一个多边形各个内角都相等，都等于150°，求这个多边形的边数。
例3、若一个多边形的内角和与外角和之比等于9:2，求此多边形的边数。
例4、某多边形的内角和与外角和的总度数为2160°，求此多边形的边数。
例5、一个同学在进行多边形内角和计算时，求得的内角和为1125°，当发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，则这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？练一练：1、若N边形的内角和为2160°，求N得值。
2、多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°。
<1>求多边形的边数。
<2>此多边形必有一个内角为多少度？3、若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是（）。
多边形及其内角和知识点汇编
多边形知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n（n-3）3、4、6/。
拼成360度的角：3、4。
知识点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边．顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点．内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；②首尾顺次相连，二者缺一不可;③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间多边形.2、多边形的分类:(1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凸多边形凹多边形图1(2)多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形正方形正五边形正六边形正十二边形要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD为四边形ABCD的一条对角线。
要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形。
(2)n边形共有条对角线。
(完整版)多边形及其内角和知识点
知识要点梳理边形的内角和等于180°（n-2）。
360°。
边形的对角线条数等于1/2·n （n-3）3、4、6/。
拼成360度的角3、4。
知识点一：多边形及有关概念 1、 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. （1）多边形的一些要素： 边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边． 顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点． 内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n 边形有n 个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意： ①一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）； ②首尾顺次相连，二者缺一不可; ③理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件,其目的是为了排除几个点不共面的情况,即空间 多边形. 2、多边形的分类: (1)多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这 条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸 多边形. 凸多边形 凹多边形 图1 (2)多边形通常还以边数命名，多边形有n 条边就叫做n 边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角 形是边数最少的多边形．知识点二：正多边形 各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 正十二边形要点诠释： 各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的对角线 多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 如图2，BD 为四边形ABCD 的一条对角线。
要点诠释： (1)从n 边形一个顶点可以引(n －3)条对角线，将多边形分成(n －2)个三角形。
多边形及其内角和(能力培优)
多边形及其内角和一、多边形1、概念：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形.（注意：三角形是最简单的多边形）2、内角：相邻两边组成的角.3、外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角.4、分类：①凸多边形：任一线段所在直线不会经过图形内部的图形叫凸多边形.②凹多边形：只要有一条线段所在直线经过图形内部则被称作为凹多边形.5、正多边形：各个角相等，各条边相等的多边形.二、n边形1、n个顶点2、n个内角3、n条边4、过一个顶点有（n-3）条对角线5、过一个顶点的对角线把n边形分成（n-2）个三角形6、共有2)3n(n条对角线7、内角和为（n-2）180°8、外角和为360°三、多边形的内角和推理方法一：从n边形的一个顶点引出（n-3）条对角线，这（n-3）条对角线把n边形分成（n-2）个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和是（n-2）×180°.四、多边形外角和的推理多边形的每个内角和与它相邻的外角都是邻补角，所以n边形的内角和加上外角和为n×180°，外角和等于n×180°-（n一2）×180°=360°.题型讲解【题型1】多边形内角和公式的运用例1、把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG=( )A. 141°B. 144°C. 147°D. 150°迁移训练1.如图，若干全等正五边形排成环状。
图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需( )个五边形。
A. 6B. 7C. 8D. 9迁移训练2.在凸四边形ABCD中，∠A-∠B=∠B-∠C=∠C-∠D>0，且四个内角中有一个角为84°，求其余各角的度数。
【题型2】多边形内角和与平行线性质的结合例2、（2018·南京）如图，五边形ABCDE是正五边形。
第3讲多边形及其内角和知识点
第3讲多边形及其内角和知识点多边形是由若干个线段所构成的封闭图形，多边形的内角和是指多边形内部所有角的和。
在几何学中，有一系列与多边形及其内角和相关的重要知识点，下面对这些知识点进行详细介绍。
一、多边形的定义及性质1.多边形的定义：多边形是由若干条线段组成的封闭图形，每条线段的一端点是另一条线段的终点，且没有线段交叉。
2.多边形的边数：多边形的边数等于线段的条数，记为n。
3.多边形的顶点数：多边形的顶点数等于线段的端点数，记为n+14.多边形的内角数：多边形的内角数等于多边形的边数，记为n。
5.多边形的外角数：多边形的外角数等于多边形的顶点数，记为n+16.多边形的对角线数：多边形的对角线数等于多边形的顶点数减去3，记为n-3二、多边形的内角和公式多边形的内角和等于180×（n-2）度，其中n为多边形的边数。
这个公式可以通过以下步骤进行推导：1.将多边形分割为若干个三角形，每个三角形的顶点是多边形的一个顶点和两条相邻边的交点。
2.通过每个三角形的内角和公式（180度）求出每个三角形的内角和。
3.将所有三角形的内角和相加，即得到多边形的内角和。
这个公式的推导过程可以通过画图来理解和证明，将多边形的顶点与中心相连，得到若干个边心角相等的扇形，每个扇形的边心角和等于180度，根据多边形中心角和等于边心角和的性质，可得到多边形的内角和公式。
多边形的内角和公式在计算多边形的内角和时非常有用。
三、常见多边形的内角和1.三角形：三角形的内角和等于180度，即180×（3-2）=180度。
2.四边形：四边形的内角和等于360度，即180×（4-2）=360度。
3.五边形：五边形的内角和等于540度，即180×（5-2）=540度。
4.六边形：六边形的内角和等于720度，即180×（6-2）=720度。
可以发现，随着边数的增加，多边形的内角和也逐渐增加，这是因为每增加一条边，就会有一个额外的内角形成。
11.3.1多边形及其内角和(教案)
一、教学内容
《11.3.1多边形及其内角和》为本章节内容，主要包括以下三个方面：
1.多边形的定义与性质：使学生掌握多边形的定义，了解多边形的边、角、对角线等基本概念，并探索多边形的性质，如对角线数量、顶点角、内角和等。
2.多边形的内角和公式：引导学生通过观察、推理、归纳等方法，发现多边形内角和的计算公式，即（n-2）×180°，其中n为多边形的边数。
举例：通过正三角形、正方形、正五边形等具体多边形的分析，使学生明确多边形的性质。
（2）多边形的内角和公式：掌握内角和计算公式（n-2）×180°，并能够运用该公式解决相关问题。
举例：给出一个六边形，让学生计算其内角和，并解释为什么可以用（n-2）×180°来计算。
（3）多边形内角和公式的应用：能够将内角和公式应用于解决实际问题，如判断多边形类型、计算多边形内角度数等。
5.培养学生的团队协作能力：在小组讨论、交流过程中，培养学生合作学习、共同解决问题的团队协作能力。
本节课将紧扣核心素养目标，注重培养学生的几何直观、逻辑推理、数学建模等能力，提高学生的学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）多边形的定义与性质：理解多边形的基本概念，掌握多边形的边、角、对角线等性质，这是学习多边形内角和的基础。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了多边形的基本概念、性质以及内角和的计算公式。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对多边形内角和的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
人教版八年级上册_多边形及其内角和(解析版)
多边形的内角和与外角和1. 多边形的相关概念（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．（2）内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角．（3）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角（4）对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．（5）凸多边形：如果整个多边形都在其任何一边所在直线的同一侧的多边形．2. 内角和与外角和如下图，边形的内角和为，多边形的外角和都是．3. 正多边形正多边形：各个角相等，且各条边都相等的多边形叫做正多边形.考点：1. 对角线条数；2.内角和与外角和；3. 正多边形重难点：1. n边形形的对角线：一个顶点有条对角线，共有条对角线．2. 要计算正多边形的内角度数，除了可以拿内角和（）除以边数（n）以外，还可以通过利用外角和（）除以边数（n），得到一个顶点处外角的度数，再拿180减去它即可.易错点：每个多边形在其一个顶点处对应的外角也都只有一个，它们的和等于.题模一：对角线条数例1.1.1若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（）A.7B.10C.35D.70例1.1.2若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是__________边形例1.1.3从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是____个．例1.1.4观察下面图形，并回答问题．（1）四边形有_______条对角线，五边形有_______条对角线，六边形有_______条对角线；（2）根据规律七边形有_______条对角线，n边形有___________条对角线．例1.1.5一个多边形的对角线的条数与它的边数相等，这个多边形是______边形题模二：内角和与外角和例1.2.1一个多边形从某一个顶点出发截去一个角后所形成的新的多边形的内角和是1980°，则原多边形的边数为（）A.11或12B.12或13C.13或14D.12或13或14题模三：正多边形例1.3.1已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（）A.正五边形B.正六边形C.正七边形D.正八边形例1.3.2已知正n边形的一个内角为135°，则边数n的值是（）A.6B.7C.8D.10例1.3.3如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A.140米B.150米C.160米D.240米随练1.1如果一个多边形的边数增加1倍后，它的内角和是2160︒，那么原来多边形的边数是______随练 1.2一个多边形的每一个内角都是140°，那么，从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是_______随练1.3一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为（）A.5 B.5或6 C.5或7 D.5或6或7∠3=32°，那么∠1+∠2=____度．随练1.5请总结规律，完成下表：拓展1下列说法中错误的有（）①各边都相等的多边形是正多边形．②多边形的外角和是指多边形所有外角相加的和．③四个内角均为直角的四边形是正四边形．④多边形的内角和与外角和均与边数有关．⑤正多边形的内角度数与边数无关．⑥多边形的内角和与外角和加起来，应为边数与180°的乘积．A.2个B.3个C.4个D.5个拓展2一个多边形，把一个顶点与其它各顶点连接起来，把这个多边形分成了12个三角形，则这个多边形的边数__________拓展3一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（）A.7 B.7或8 C.8或9 D.7或8或9拓展4如图，小明从点A出发，向前走2米，左拐20︒，再向前走2米，再左拐20︒，如此下去，小明能否回到出发点A ？如果能，第一次回到出发点共走了多少路程？拓展5 如图，∠1=m°，∠2+∠4+∠6+∠8=n°，则∠3+∠5+∠7的大小是__．A222220︒20︒20︒答案解析多边形的内角和与外角和题模一：对角线条数例1.1.1【答案】C【解析】∵一个正n边形的每个内角为144°，∵144n=180×（n﹣2），解得：n=10．这个正n边形的所有对角线的条数是：==35．例1.1.2【答案】13【解析】该题考查的是多边形对角线计算公式．从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引()3n-条对角线，（n为多边形边数）．本题中，设这个多边形是n边形．代入公式，得310n-=，∴13n=．例1.1.3【答案】7【解析】从一个9边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其他顶点可以把这个9边形分割成三角形的个数是7个例1.1.4【答案】（1）2；5；9，（2）14；(3)2n n-【解析】（1）四边形有2条对角线；五边形有5条对角线；六边形有9条对角线；（2）七边形有14条对角线，n边形有(3)2n n-条对角线．例1.1.5【答案】5【解析】设多边形有n 条边，则根据题意可列：(3)2n nn -=，解得15n =，20n =（舍） 故多边形的边数为5题模二：内角和与外角和 例1.2.1 【答案】C【解析】该题考查的是多边形的角度计算．多边形内角和公式为()2180n -⨯︒，外角度数和为定值360︒， 本题中，()21801980n -⨯︒=︒，解得13n =而多边形从某一个顶点出发截去一个角，边数有两种可能，一种是边数不变，一种是边数减少1条，所以原来的多边形边数可能是13或14，故答案是C ．题模三：正多边形 例1.3.1 【答案】B【解析】设所求正n 边形边数为n ， 则60°•n=360°， 解得n=6．故正多边形的边数是6． 故选B ． 例1.3.2 【答案】C【解析】本题考查了多边形的外角，利用多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数是常用的方法，求出多边形的每一个外角的度数是解题的关键．根据多边形的相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数，再根据多边形的边数等于外角和除以每一个外角的度数进行计算即可得解． ∠正n 边形的一个内角为135°，∠正n 边形的一个外角为180°-135°=45°， n=360°÷45°=8． 故选C ． 例1.3.3 【答案】B【解析】∵多边形的外角和为360°，而每一个外角为24°， ∴多边形的边数为360°÷24°=15，∴小明一共走了：15×10=150米． 随练1.1【答案】7【解析】设原来多边形的边数是n ，则()221802160n -⨯︒=︒，解得7n = 随练1.2 【答案】6【解析】由于一个多边形的每一个内角都是140°，因此其外角都是40°，则这个多边形的边数为360940=，因此从九边形的每一个顶点出发的对角线的条数为936-= 随练1.3 【答案】D【解析】本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键． 首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数． 设内角和为720°的多边形的边数是n ，则（n -2）•180=720， 解得：n=6．则原多边形的边数为5或6或7． 故选：D ． 随练1.4 【答案】70∠∠3=32°，正三角形的内角是60°，正四边形的内角是90°，正五边形的内角是108°， ∠∠4=180°-60°-32°=88°， ∠∠5+∠6=180°-88°=92°， ∠∠5=180°-∠2-108° ∠， ∠6=180°-90°-∠1=90°-∠1 ∠，∠∠+∠得，180°-∠2-108°+90°-∠1=92°， 即∠1+∠2=70°． 故答案为：70°． 随练1.5【答案】见下表：【解析】n 边形过一个顶点可作()3n -条对角线，而n 边形共有n 个顶点，则共可作()3n n -条对角线，而这()3n n -条对角线中，有一半是重复计算的，抛去重复的这一半对角线，共有()32n n -条对角线．拓展1 【答案】D【解析】只有⑥是正确的，其余说法均错误 拓展2【答案】14【解析】从n 边形的一个顶点作对角线，把这个n 边形分成()2n -个三角形．根据题意可知，这个多边形的边数是12214+= 拓展3 【答案】D【解析】设内角和为1080°的多边形的边数是n ，则（n ﹣2）•180°=1080°，解得：n=8． 则原多边形的边数为7或8或9． 拓展4【答案】能回到出发点，第一次回到出发点共走了36m ． 【解析】根据题意可知，小明所走的路线为一个正多边形，其边数为3601820=，即左拐18次后回到出发点．因此小明从点A 出发，第一次回到出发点共走了18236⨯=（m ）． 拓展5【答案】m°+n°【解析】如图，连结AB 、BC 、CD ．∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°，∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=540°，∴∠3+∠5+∠7=540°﹣（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14），∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，∴540°=∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8=（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=（m°+n°）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14），∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣（m°+n°）．∴∠3+∠5+∠7=540°﹣[540°﹣（m°+n°）]=m°+n°．。
多边形及其内角和知识点
多边形及其内角和知识点多边形是由线段组成的闭合图形，它拥有多个边和多个顶点。
多边形的内角和指的是多边形内部所有角的和。
首先，我们需要了解多边形的基本概念和性质。
1.多边形的定义：多边形是由一系列线段组成的闭合图形。
每条线段称为多边形的一条边，相邻两个边的交点称为多边形的一个顶点。
多边形至少有三条边和三个顶点。
2.多边形的性质：-每个顶点至少有两个邻接的边；-每个边至少有一个邻接的顶点；-每条边的两个端点都是相邻的顶点。
接下来，我们来探讨多边形的内角和的计算方法。
假设一个n边形的内角和为S。
从一个顶点出发，画一条射线，与相邻的两个边相交。
这样，一个n边形就被分成了n个三角形。
由三角形的内角和的性质可知，每个三角形的内角和为180°。
因此，n个三角形的内角和为n×180°。
但是我们需要注意的是，从同一个顶点出发的n个射线会有重叠的部分，即每个内角都重叠了两次。
因此，我们需要减去这些重叠的部分。
由于每个内角重叠了两次，重叠的部分的度数等于(n-2)×180°。
因此，最终的计算公式为：S=n×180°-(n-2)×180°简化后可得到：S=(n-2)×180°通过这个公式，我们可以方便地计算多边形的内角和。
举例来说，如果一个五边形的内角和是多少呢？根据公式S=(5-2)×180°=3×180°=540°所以，五边形的内角和为540°。
通过上面的例子，我们可以看出多边形的内角和的计算方法。
除了计算多边形内角和的方法，我们还可以根据多边形的性质来推导一些结论。
比如：1.任意n边形的内角和等于(n-2)×180°，这个结论适用于所有的多边形，无论是凸多边形还是凹多边形。
2.任意n边形的外角和等于360°。
外角是顶点的补角，即一个内角与相邻的外角之和等于180°。
多边形及其内角和知识点总结
多边形及其内角和知识点总结一、知识点1、多边形的定义：由在同一平面内，不在同一条直线上的若干条线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
2、多边形的分类：根据边数的不同，可以将多边形分为三角形、四边形、五边形、六边形等等。
3、多边形的内角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点相连所形成的角称为该多边形的内角。
4、多边形的内角和公式：n边形的内角和为(n-2)×180°，其中n为多边形的边数。
5、多边形的外角：多边形的每个顶点与其相邻的两个顶点之间的夹角称为该多边形的外角。
6、多边形的外角和公式：多边形的外角和为360°，与多边形的边数无关。
7、勾股定理：在直角三角形中，勾股定理指出两个直角边的平方和等于斜边的平方。
二、重难点精析1、多边形的定义和分类是基础知识，需要理解并掌握不同类型多边形的特点。
2、多边形的内角和公式是重点，需要牢记并能够熟练运用该公式进行计算。
同时，也需要理解该公式的推导过程。
3、多边形的外角和公式是重点，需要理解并掌握该公式的应用。
同时，也需要掌握通过多边形的内角和公式和外角和公式之间的联系，进行计算和推导。
4、勾股定理是重点，需要理解并掌握其应用，特别是在解决与直角三角形相关的问题时。
5、对于一些复杂的多边形问题，需要掌握分解和组合的思想，将复杂的多边形分解为简单的三角形或四边形，从而解决问题。
6、在解决与角度制相关的问题时，需要注意角度制的计算方法和单位转换。
7、在解决与对称性相关的问题时，需要结合多边形的定义和性质进行思考和分析。
总之，对于八年级数学中的多边形及其内角和知识点，学生需要牢固掌握基础知识，理解公式的推导过程，熟练运用公式进行计算和推导，同时还需要灵活运用各种解题技巧和方法，才能够真正掌握该部分知识点的核心内容。
多边形及其内角和
，
得
.
所以五十三边形的边数与其对角线条 数的和是1325+53=1378. 答：该班每周师生之间至少要通1378次 电话.
变式练习： 1. 过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有 对角线，k边形共有k条对角线，则 =
解析：由m-3=7，得m=10.由n边形没有对 角线，所以n=3.由 k(k-3)=k,得k=5.故 n 3 3 (m-k) =(10-5) =5 =125.
探究类型二
多边形的内角和与外角和
例2 已知一个多边形的外角和等于内角和的 求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，根据题意，得
，
解得 n=8. 答：这个多边形的边数是8.
拓展延伸：
现有四种地面砖，他们的形状分别是：正三角形、正方形、 正六边形，正八边形，且他们的边长相等，同时选择其 中两种地面砖密铺地面，选择的方式有（ B ） A.2种 B.3种 C.4种 D. 5种
课堂总结：
n边形内角和等于 (n-2)·180°；
任意多边形外角和等于360°； 1 凸n边形共有 2 n(n 3)条对角线. 平面镶嵌：几个正多边形的同一个顶点的几个 角的和等于360°.
例3 如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°， 再前进5米后又向右转20°，……这样一直走下去， 他第一次回到出发点O 时一共走了（ ）
C
A.60米
B.100米
C.90米
D.120米
类似性问题：
2. 一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形 的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（ ）
4. 如图，四边形ABCD中，若去掉一个60°的角得到 一个五边形，则∠1+∠2= 240 度.
多边形及其内角和
多边形的形状也会影响其内角和。例如，正多边形的内角和比非正多边形的内角 和要大。这是因为正多边形的每个内角相等，而非正多边形可能存在较小的内角 ，从而使得内角和减小。
04
多边形内角和的应用举例
正多边形的内角和
01
02
03
04
正三角形内角和：正三角形每 个内角为60度，因此其内角
和为180度。
THANKS
感谢观看
内角的定义
定义
多边形的内角是指多边形各顶点 与相邻两顶点连线所夹的角。
性质
多边形的内角大小与其形状和边 数有关。
内角的计算公式
01
02
03
公式
对于正n边形，其每个内 角的度数可以用公式（n2）×180°/n来计算，其 中n是多边形的边数。
适用范围
该公式适用于正多边形， 即各边相等、各角相等的 多边形。
构成要素
多边形主要由边、顶点和内部区域构 成，其中边的数量和形状决定了多边 形的特性。
多边形的分类
按边数分类
多边形可以根据其边数分为三角形、四边形、五 边形等，一般我们用“n边形”来表示一个具有n 条边的多边形。
凸多边形与凹多边形
根据多边形所有内角的大小是否小于180度，可 以分为凸多边形和凹多边形。若所有内角小于 180度，则为凸多边形；若存在至少一个内角大 于等于180度，则为凹多边形。
按角度分类
多边形还可以根据其内角的大小和特性进行分类 ，如等角多边形、等边多边形等。等角多边形是 所有角度相等的多边形，等边多边形是所有边长 相等的多边形。
正多边形
正多边形是一种特殊的多边形，它既是等边的， 又是等角的，即所有边相等，所有角相等。如正 三角形、正四边形（正方形）等。
11.3.2 多边形及其内角和
(2)多边形边数每增加一条，它的内角和会增加180°，但 外角和不变．
知3－讲
知1－讲
例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角 有什么关系？
解：如图，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°, ∵∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2) ×180° =360° ∴∠B+∠D=360°－ (∠A+∠C ) =360°－180°=180° 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一 组对角也互补.
2
2× 180º
5
2
3
3× 180º
6
3
4
4× 180º
…… ……
n
……
n－3
…… ……
n－2 (n－2)×180º
知1－讲
一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作(n － 3) 条对角线，它们将n边形分为（n － 2)个三角形，n边形 的内角和等于180°×(n － 2).
把一个多边形分成几个三角 形，还有其他分法吗？由新 的分法，能得出多边 形内角 和公式吗？
知1－讲
例2 〈四川遂宁〉若一个多边形的内角和是1 260°， 则这个多边形的边数是____9____．
导引： 设这个多边形的边数为n，由题意知， (n－2)×180°＝1 260°，解得n＝9.
知1－讲
(1)已知多边形的内角和求边数n的方法：根据多边形内 角和公式列方程：(n－2)×180°＝内角和，解方程 求出n，即得多边形的边数；
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多边形及其内角和
基础过关作业
1、四边形ABCD中，假如∠A+∠C+∠D=280°，那么∠B旳度数是〔〕
A、80°
B、90°
C、170°
D、20°
2、一个多边形旳内角和等于1080°，那个多边形旳边数是〔〕
A、9
B、8
C、7
D、6
3、内角和等于外角和2倍旳多边形是〔〕
A、五边形
B、六边形
C、七边形
D、八边形
4、六边形旳内角和等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏度、
5、正十边形旳每一个内角旳度数等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏，每一个外角旳度数等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏、
6、如图，你能数出多少个不同旳四边形？
7、四边形旳四个内角能够差不多上锐角吗？能够差不多上钝角吗？能够差不多上直角吗？•什么缘故？
8、求以下图形中x旳值：
综合创新作业
9、〔综合题〕：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，•DF平分∠ADC、
BE与DF有如何样旳位置关系？什么缘故？
10、〔应用题〕有10个都市进行篮球竞赛，每个都市均派3个代表队参加竞赛，规定同一都
市间代表队不进行竞赛，其他代表队都要竞赛一场，问按此规定，•所有代表队要打多少场竞赛？
11、〔创新题〕如图，以五边形旳每个顶点为圆心，以1为半径画圆，求圆与五边形重合旳面积、
12、〔1〕〔2005年，南通〕一个多边形旳内角和为540°，那么那个多边形为〔〕
A 、三角形
B 、四边形
C 、五边形
D 、六边形
〔2〕〔2005年，福建泉州〕五边形旳内角和等于﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏度、
13、〔易错题〕一个多边形旳每一个顶点处取一个外角，这些外角中最多有钝角〔•〕
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
培优作业
14、〔探究题〕
〔1〕四边形有几条对角线？
五边形有几条对角线？
六边形有几条对角线？
……
猜想并探究：
n 边形有几条对角线？
〔2〕一个n 边形旳边数增加1，对角线增加多少条？
15、〔开放题〕假如一个多边形旳边数增加1，•那么那个多边形旳内角和增加多少度？假设将n 边形旳边数增加1倍，那么它旳内角和增加多少度？
数学世界
攻其不备
壁虎在一座油罐旳下底边沿A 处、它发觉在自己旳正上方──油罐上边缘旳B•处有一只害虫、壁虎决定捕捉这只害虫、为了不引起害虫旳注意，它有意不走直线，而是绕着油罐，沿着一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然突击如图7-3-5、结果，•壁虎旳偷袭得到成功，获得了一顿美餐、
请问：壁虎沿着螺旋线爬行是最短旳路程吗〔线段AB 除外〕？
【答案】:
1、A 点拨：∠B=360°-〔∠A+∠C+∠D 〕=360°-280°=80°、应选A 、
2、B 点拨：设那个多边形旳边数为n ，那么〔n-2〕·180=1080、解得n=8、应选B 、
3、B 点拨：设那个多边形旳边数为n ，依照题意，得〔n-2〕·180=2×360、解得n=6、应选
B 、
4、720
5、144°；36° 点拨：正十边形每一个内角旳度数为：(102)18010
-⨯︒=144°， 每一个外角旳度数为：180°-144°=36°、
6、有27个不同旳四边形、
7、解：四边形旳四个内角不能够差不多上锐角，不能够差不多上钝角，能够差不多上直角、
因为四边形旳内角和为360°，假如四个内角差不多上锐角或差不多上钝角，•
那么内角和小于360°或大于360°，与四边形旳内角和为360°矛盾、•
因此四个内角不能够差不多上锐角或差不多上钝角、
假设四个内角差不多上直角，那么四个内角旳和等于360°，与内角和定理相符，因此四个内角能够差不多上直角、
8、解：〔1〕90+70+150+x=360、
解得x=50、
〔2〕90+73+82+〔180-x〕=360、
解得x=65、
〔3〕x+〔x+30〕+60+x+〔x-10〕=〔5-2〕×180、
解得x=115、
9、解：BE∥DF、
理由：∵∠A=∠C=90°，
∴∠A+∠C=180°、
∴∠ABC+∠ADC=360°-180°=180°、
∵∠ABE=1
2
∠ABC，∠ADF=
1
2
∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=1
2
〔∠ABC+∠ADC〕=
1
2
×180°=90°、
又∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠AEB=∠ADF，
∴BE∥DF〔同位角相等，两直线平行〕、
10、解：1
2
n〔n-3〕=
1
2
×10×〔10-3〕=
1
2
×10×7=35〔场〕、
答：按此规定，所有代表队要打35场竞赛、
点拨：问题类似于求多边形对角线旳个数、
11、解：〔5-2〕×180°÷360°×12=1.5、
点拨：不能直截了当求出扇形旳度数，用整体法圆与五边形重合部分旳角度和正好是五边形旳内角和、
12、〔1〕C点拨：设那个多边形旳边数为n，
依题意，得〔n-2〕×180°=540°，解得n=5，应选C、
〔2〕540点拨：〔n-2〕×180°=〔5-3〕×180°=540°、
13、C
14、解：〔1〕四边形有2条对角线；
五边形有5条对角线；
六边形有9条对角线；
……
n边形有
(3)
2
n n-
条对角线、
〔2〕当n边形旳边数增加1时，对角线增加〔n-1〕条、
点拨：从n边形旳一个顶点动身，向其他顶点共可引〔n-3〕条对角线，n个顶点共可引n〔n-3〕
条，但这些对角线每一条都重复了一次，故n边形旳对角线条数为
(3)
2
n n-
、
15、180°，n·180°、
数学世界【答案】:
是最短旳路程、可用纸板做一个模型，沿AB剪开便可看出结论、。