高三数学备考冲刺140分问题10应用三角公式化简求值的技巧问题含解析22

问题10 应用三角公式化简求值的技巧问题
一、考情分析
三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决. 二、经验分享
(1) 利用sin 2α＋cos 2
α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦
切互化．应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2
＝1±2sin αcos α,可以知一求二． (二) 函数变换,乃是重点
三角函数作为一类特殊的函数,其六种三角函数(当今教材要求重点掌握正弦函数、余弦函数、正切函数)之间有着密切的联系,因此,充分注意函数之间的关系,是三角函数变形的另一个重点.
【例2】若, ,则 ．
【分析】先统一函数名称,化弦为切,再利用两角和的正切公式求值.
【点评】(1)利用sin 2α＋cos 2
α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin αcos α＝tan α可以实现角α
的弦切互化．
(2)形如a sin α＋b cos α和a sin 2
α＋b sin αcos α＋c cos 2
α的式子分别称为关于sin α,cos α的一次齐次式和二次齐次式,对涉及它们的三角变换通常转化为正切(分子分母同除以cos α或cos 2
α)求解．如果分母为1,可考虑将1写成sin 2
α＋cos 2
α.(3)已知tan α＝m 的条件下,求解关于sin α,cos α的齐次式问题,必须注意以下几点：①一定是关于sin α,cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式．②因为cos α≠0,所以可以用cos n α(n ∈N *
)除之,这样可以将被求式化为关于tan α的表示式,可整体代入tan α＝m 的值,从而完成被求式的求值运算．③注意1＝sin 2
α＋cos 2
α的运用．
【小试牛刀】设且则( )
A .32
π
αβ-= B .32
π
αβ+= C .22
π
αβ-=
D .22
π
αβ+=
【答案】C
(三) 常数化角,曲径通幽
三角公式中有不少常数,如1、3、22等,在三角变换中,若能巧妙利用它们与三角函数式或函数值之间的
关系进行转换,往往可以起到意想不到的效果.
【例3】【广东省惠州市2019届高三第三次调研】函数
在
内的值域为
，则的取值范围为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A 【分析】先将转化为正弦型或余弦型函数，再由自变量的取值范围和值域限定的取值范围。

【解析】函数
当时，
，
，则
解得
，故的取值范围为。

故选
【小试牛刀】若π0,2α⎛
⎫∈ ⎪⎝
⎭
,且（ ）
A ．
12 B ．13 C ．14 D ．15
【答案】B
【解析】因为, ,所以,即
所以
(四) 降幂化一,热点不断
三角公式中,一次关系式较多,特别是同角关系式,以及化一公式等等,因此在观察函数关系式时,注意其次数的特征,将高次化为一次,也是解决问题的重要途径. 【例4】【2018届晋豫省际12月大联考】定义在R 上的函数,其中0a >,
且当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时,.
（1）求a,b 的值；
（2）若将()y f x =的图像沿x 轴向左平移4
π
个单位,得到函数()y g x =的图像,令,
求()h x 的最大值.
【分析】三角函数问题,一般利用两角和与差的正弦、余弦公式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数,然后利用正弦函数（或余弦函数）的性质得出结论．
（2）由（1）得
∵将()y f x =的图像沿x 轴向左平移
4
π
个单位,得到函数()y g x =的图像 ∴
∴
∴()h x 的最大值为22 六、公式变用,柳暗花明
三角函数有众多的公式,我们不仅要会使用公式,还要会使用其变形的等价形式.如cosα＝
α
α
sin 22sin ,tanα±tanβ＝tan (α＋β)(1μtanαtanβ)等.
【例6】
的值为( )
A .3-
B . 3
C .3
D .
3 【分析】本题是非特殊角求值问题,首先应从10°＋50°＝60°入手,然后注意表达式特征,其中的tan 10°＋tan 50°和tan 10°tan 50°在正切的和角公式中也有显现,故考虑正切和角公式的变形.
【答案】B.
【点评】三角公式是恒等式(当等式两边都有意义时),所以,我们不仅要记住公式的原型,还要会逆用公式,或者变形使用,这需要考生对公式各部分的结构特征都要十分熟悉,才能对公式的变形使用驾轻就熟.
总体来说,在三角函数的变换中,各种变换都是穿插进行的,许多时候需要多方位思考,不能拘泥于某一种思维方式,这样才有利于打开思维的空间,找到更加合适的解题方法
【小试牛刀】的值是（）
A．1B．3 C．2 D．1 3
【答案】C
【解析】==,故选C．五、迁移运用
1．【广东省惠州市2019届高三第三次调研】已知，，则（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得,所以，，
所以,故选D.
10【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角α满足,则sin cos
αα等于（）
A. 1
4
B.
1
4
- C.
2
4
D.
2
4
-
【答案】A
11.4cos50°－tan40°＝( )
A. 2
B.2＋3 2
C. 3 D．22－1
【答案】C
【解析】4cos50°－tan40°＝4cos50°－
sin 40°
cos 40°
＝
4sin 40°·cos 40°
cos 40°
－
sin 40°
cos 40°
＝2sin 80°－sin 40°
cos 40°
＝
2cos 10°－sin 40°
cos 40°
＝
2cos 10°－sin30°＋10°
cos 40°
＝
3
2
cos 10°－
3
2
sin 10°
cos 40°
＝
3cos 30°cos 10°－sin 30°sin 10°
cos 40°
＝
3cos 40°
cos 40°
＝ 3
12.【2018届广西玉林市高三期中】已知,则____. 【答案】2
13．【2018上海市杨浦区高三数学一模】已知函数, x R
∈,设0
a>,若函数为奇函数,则α的值为________
【答案】
【解析】∵
∴
∵函数为奇函数
∴为奇函数,则
a>
∵0
∴
故答案为
14.函数的减区间是．
【答案】
【解析】,由
∈,得,所以函数()
f x的减区间是
k Z
()
．
15．已知,则．
-
【答案】1
16.已知,求下列各式的值.
（1）；
（2）
.
【答案】（1）16-
；（2）8
5
．
【解析】（1）∵,
∴
,即
,
则原式.
（2）∵
,即tan 2a =,
∴原式.
17.已知函数．
（1）求函数()f x 的最小正周期与单调递增区间；
（2）若
时,函数()f x 的最大值为0,求实数m 的值．
【答案】（1）T π=；（2）1
2
m =
.
18.已知函数(其中0ω>)的最小正周期为π．
(Ⅰ) 求ω的值；
(Ⅱ) 将函数()y f x =的图象向左平移
6
π
个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数()g x 的图象．求函数()g x 在[]-ππ，上零点．
【答案】(Ⅰ) ω=1；(Ⅱ) 6π-和6
5π．
【解析】(Ⅰ)
．
由最小正周期22T ω
π
=
=π,得ω=1． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知
,将函数()f x 的图象向左平移
6
π
个单位, 得到图象的解析式
,
将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍,得到．
由
,得6
x k π=π-
,
故当[]x ∈-ππ，时,函数()g x 的零点为6π-和
6
5π
．
19．已知cos α＝17,cos ()α－β＝1314,且0<β<α<π
2.
(1)求tan2α的值； (2)求β的值．。