三角函数化简求值专题复习
专题01 三角函数中的化简求值(解析版)
专题01 三角函数中的化简求值一、题型选讲题型一 灵活运用和与差的正弦、余弦和正切、二倍角等公式化简求值通过两角和与差的正弦、余弦和正切以及二倍角公式或者公式的变形进行化简求值。
在应用同角三角函数的关系或两角和与差的三角函数公式求值时，需要注意解题的规范性，一要注意角的范围对三角函数值的符号的影响；二要注意“展示”三角函数的公式．否则，就会因为不规范而导致失分．例1、（2018年江苏高考题）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值；（2）求tan()αβ-的值．【解析】分析：先根据同角三角函数关系得2cos α，再根据二倍角余弦公式得结果；（2）先根据二倍角正切公式得tan 2α，再利用两角差的正切公式得结果.详解：解：（1（因为4tan 3α=（sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=（ 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=（ 因此，27cos22cos 125αα=-=-（ （2）因为,αβ为锐角，所以()0,παβ+∈（又因为()cos αβ+=()sin αβ+==因此()tan 2αβ+=-（ 因为4tan 3α=，所以22tan 24tan21tan 7ααα==--（ 因此，()()()()tan2tan 2tan tan 21+tan2tan 11ααβαβααβααβ-+⎡⎤-=-+==-⎣⎦+（ 例2、(2019通州、海门、启东期末）设α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，已知向量a ＝(6sin α，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b .(1) 求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6的值；(2) 求cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12的值．【解析】(1) 因为a ＝(6sin a ，2)，b ＝⎝⎛⎭⎫1，cos α－62，且a ⊥b . 所以6sin a ＋2cos α＝3，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64.2分因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，π2，(4分)所以cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝104，故sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝64所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝155.(6分)(2) 由(1)得cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝2×⎝⎛⎭⎫1042－1＝14.(8分)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π3，所以2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π3，π，所以sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝154.(10分)所以cos ⎝⎛⎭⎫2α＋7π12＝cos ]＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π4－sin ⎝⎛⎭⎫2a ＋π3sin π4(12分)＝2－308.(14分) 题型二 探究角度之间的关系在三角函数的化简求值中，往往出现已知角与所求角不同，此时要观察两个角度之间的关系，寻求角度之间的特殊性，通过二倍角、互补、互与余等公式进行转化。
第9讲 三角函数的化简与求值
第九讲: 三角函数的化简与求值一、知识要点1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 二、方法点拨三角变换是运算化简过程中运用较多的变换, 也是历年高考命题的热点.提高三角变换能力, 要学会设置条件, 灵活运用三角公式, 掌握运算、化简的方法和技能.常用的数学思想方法技巧如下: 1. 角的变换: 在三角化简、求值、证明中, 表达式往往出现较多的相异角, 可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系, 运用角的变换, 沟通条件与结论中的差异, 使问题获解.对角的变形如下:角的变换：β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β)2()2()(,2304560304515α-β-β+α=β-β+α=α=-=-=,)4()4()()(2α-π-α+π=β-α+β+α=α,)4(24α-π-π=α+π特别地, α+π4与α-π4为互余角, 它们之间可以互相转化, 在三角变形中使用频率高.2. 函数名称变换: 三角变形中, 常常需要变函数名称为同名函数. 如在三角函数中正余弦是基础, 通常化切、割为弦, 变异名为同名.3. 常数代换: 在三角函数运算、求值、证明中, 有时需要将常数转化为三角函数值, 例如常数“1”的代换变形有: α-α=α-α=α+α=222222cot csc tan sec cos sin 1.4. 幂的变换: 降幂是三角变换时常用方法, 对次数较高的三角函数式, 一般采用降幂处理的方法. 常用降幂公式有:1cos sin ,22cos 1cos ,22cos 1sin 2222=α+αα+=αα-=α 等, 三角变换时, 有时需要升幂, 如对无理式α+cos 1常用升幂化为有理式, 升幂公式与降幂公式是相对而言的.5. 公式变形式: 根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．三角公式是变换的依据, 应熟练掌握三角公式的直接应用,逆用以及变形式的应用.如:)tan tan 1)(tan(tan tan ,sin 22sin cos β⋅αβ±α=β±ααα=α 等. 三、典型例题讲解:考点一、三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 【训练1】 化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考点二、三角函数式的求值【例1】已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值． 训练2】已知cos(α-6π)+sin α=354，则sin(α+67π)的值是（ ）训练3】已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________训练4】已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________考点三、三角函数的求角问题【例1】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练1】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．【训练2】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．考点四、 三角函数的综合应用【例1】►设0<θ<2π，曲线x 2sin θ+y 2cos θ=1和x 2cos θ－y 2sin θ=1有4个不同的交点。
考点15 三角函数式的化简与求值(答案)
，故选 B．
3．【2017
届广西玉林市、贵港市高中毕业班质量检测】若
cos
−
3sin
=
0
，则
tan
−
4
=
（
）
−1
1
A． 2
B．-2
C． 2
D．2
【答案】A
【解析】由 cos
− 3sin
=
0
tan
，知
=
1 3
，则
tan
− 4
=
tan −1 1+ tan
=
−
1 2
，故选 A
．
4．【山西省孝义市 2017 届高三下学期高考考前质量检测三（5 月）】已有角 的顶点与坐标原点重合，
+ cos2
sin ”；（3）化正弦、余弦为正切，即 cos
=
tan
；
tan = sin
（4）化正切为正弦、余弦，即
cos ；（ 5 ） 正 弦 、 余 弦 和 （ 差 ） 与 积 的 互 化 ， 即
(sin cos )2 =1 2sin cos ．
tan = 3
1− sin 2 =
【变式 1】【例题中的条件不改变，所求三角函数式改变】若
【解析】
16 8 ，选 D．
【方法技巧归纳】二倍角公式的正用、逆用、变形用是公式的种主要应用手段，特别是二倍角的余弦 公式，其变形公式在求值与化简中有广泛的应用，在综合使用两角和与差、二倍角公式化简求值时，要注 意以下几点：(1)熟练掌握公式的正用、逆用和变形使用；(2)擅于拆角、配角；(3)注意二倍角的相对性； (4)注意角的范围；(5)熟悉常用的方法和技巧，如切化弦、异名化同名、异角化同角等．
三角函数化简求值专题复习
三角函数化简求值专题复习基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2. 解：原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2 ︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin 320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=， 原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos 310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=， 所以，原式＝１．【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2 解：()()25cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 2310cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒+︒=︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒+︒=︒︒+︒+︒=·原式 【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
数学高考总复习：三角函数的化简与求值经典例题
经典例题精析类型一：角的相关概念1．若在第三象限,则角在__________象限，在__________象限.思路点拨：要判断角所在象限，只须化成“k·360°+n°”或“2kπ+α”(k∈Z)的形式即可，其中0≤n＜360或-180＜n≤180, 0≤α＜2π或-π＜α≤π.为了凑出2π的整数倍，需要对整数进行分类，如k=2n, k=2n+1或者k=3n, k=3n+1, k=3n-1等等.方法一：①∵在第三象限，即, k∈Z∴, k∈Z当k=2n时，, n∈Z∴在第二象限，当k=2n+1时，, n∈Z∴在第四象限，∴可能在第二或第四象限.②∵,k∈Z，∴,k∈Z.当k=3n时，, k∈Z∴在第一象限.当k=3n+1时，, k∈Z.∴在第三象限.当k=3n-1时，, k∈Z.∴在第四象限.∴可能在第一、三、或四象限.方法二：由图知: 的终边落在二，四象限；的终边落在一，三，四象限。
总结升华：(1)确定角所在的象限是确定函数值符号的关键，故必须掌握由已知角的范围，求与有运算关系的角的范围．(2)确定“分角”所在象限的方法：若是第k (1、2、3、4)象限的角，利用单位圆判断，()是第几象限角的方法：把单位圆上每个象限的圆弧n等份，并从x正半轴开始，沿逆时针方向依次在每个区域标上1、2、3、4，再循环，直到填满为止，则有标号k的区域就是角()终边所在的范围。
如：k=2，如下图中标有号码2的区域就是终边所在位置．举一反三：【变式1】试确定下列角的终边分别在哪些象限?①；②；③.【答案】∵，，∴的终边在第一象限；的终边在第二象限；的终边在第四象限.【变式2】设，角5与角终边相同，求。
【答案】由条件有：，即：∵∴k=1时，；k=2时，；k=3时，.【变式3】若A={x|x=, k∈Z}, B={x|x=+, k∈Z}, 则A _____B。
【答案】由B中的x=+=,可视为的奇数倍所构成的集合。
三角函数式的化简求值经典练习及答案
[基础巩固]1．(多选)如果α是第二象限的角，下列各式不正确的是( )A ．tan α＝－sin αcos αB ．cos α＝－1－sin 2 αC ．sin α＝－1－cos 2 αD ．tan α＝cos αsin α解析 由商数关系可知A 、D 均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B 正确．答案 ACD2．已知sin α－cos α＝－54，则sin α·cos α等于( ) A ．74 B ．－916C ．－932D ．932 解析 因为sin α－cos α＝－54， 平方可得1－2sin αcos α＝2516， 所以2sin αcos α＝－916， 即sin αcos α＝－932. 答案 C3．已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( )A ．－43B ．54C ．－34D ．45解析 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1， 又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 答案 D4．若α是第三象限角且cos α＝－33，则sin α＝________，tan α＝________.解析 ∵α是第三象限角且cos α＝－33， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－63， ∴tan α＝sin αcos α＝ 2. 答案 －63 2 5．已知cos θ＝13，则⎝⎛⎭⎫tan θ＋1tan θ·sin θ的值为________． 解析 原式＝⎝⎛⎭⎫sin θcos θ＋cos θsin θ·sin θ ＝sin 2θ＋cos 2θcos θ·sin θ·sin θ ＝1cos θ＝3.答案 36．已知tan α＝2，求下列代数式的值：(1)4sin α－2cos α5cos α＋3sin α； (2)14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2α. 解析 (1)原式＝4tan α－25＋3tan α＝611. (2)原式＝14sin 2α＋13sin αcos α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋13tan α＋12tan 2α＋1＝14×4＋13×2＋125＝1330. [能力提升]7．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( )A ．14B ．12C ．1D ．32解析 原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.答案 C8．已知cos α＝－35，且tan α>0，则sin αcos 2α1－sin α＝____________ . 解析 由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－45， 故原式＝sin αcos 2α1－sin α＝sin α(1－sin 2α)1－sin α＝sin α(1＋sin α)＝⎝⎛⎭⎫－45·⎝⎛⎭⎫1－45＝－425. 答案 －4259．已知关于x 的方程4x 2－2(m ＋1)x ＋m ＝0的两个根恰好是一个直角三角形的一个锐角的正弦、余弦，则实数m 的值为________．解析 由题意知Δ＝4(m ＋1)2－16m ≥0，解得m ∈R .不妨设sin A ＝x 1，cos A ＝x 2，则x 1＋x 2＝12(m ＋1)，x 1·x 2＝14m ， 即sin A ＋cos A ＝12(m ＋1)，sin A cos A ＝14m ， 所以1＋2×14m ＝14(m ＋1)2， 解得m ＝3或m ＝－ 3.当m ＝－3时，sin A cos A ＝－34<0，不合题意，舍去，故m ＝ 3. 答案 3 10．已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－ax ＋a ＝0的两个根．求：(1)sin 3θ＋cos 3θ；(2)tan θ＋1tan θ. 解析 根据题意，方程判别式Δ≥0，即(－a )2－4a ≥0，所以a ≤0或a ≥4，且⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝a ，sin θcos θ＝a . 因为(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即a 2－2a －1＝0，所以a ＝1－2(1＋2舍去)．所以sin θ＋cos θ＝sin θcos θ＝1－ 2.(1)sin 3θ＋cos 3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin 2θ－sin θcos θ＋cos 2θ)＝(1－2)[1－(1－2)]＝2－2.(2)tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝11－2＝－2－1. [探索创新]11．设α是第三象限角，问是否存在实数m ，使得sin α，cos α是关于x 的方程8x 2＋6mx ＋2m ＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m ；若不存在，请说明理由．解析 假设存在实数m 满足条件，由题设得，Δ＝36m 2－32(2m ＋1)≥0，①∵sin α＜0，cos α＜0，∴sin α＋cos α＝－34m ＜0，② sin αcos α＝2m ＋18＞0.③ 又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.把②③代入上式得 ⎝⎛⎭⎫－34m 2－2×2m ＋18＝1， 即9m 2－8m －20＝0，解得m 1＝2，m 2＝－109. ∵m 1＝2不满足条件①，舍去；m 2＝－109不满足条件③，舍去． 故满足题意的实数m 不存在．。
三角函数的化简求值经典练习及答案详解
[基础巩固]1．若tan α＝3，tan β＝43，则tan(α－β)等于( )A ．3B ．－3 C.13D ．－13解析 tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝3－431＋3×43＝13. 答案 C2．(多选)已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4的可能值为( ) A ．－7210B ．－210 C.210D ．7210解析 因为sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝35，所以sin(α－β－a )＝35⇒sin(－β)＝35⇒sin β＝－35，所以当β在第三象限时，有cos β＝－1－sin 2β＝－1－925＝－45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝cos βcos π4－sin βsin π4＝－45×22＋35×22＝－210； 当β在第四象限时，有cos β＝1－sin 2β＝1－925＝45， 所以cos ⎝⎛⎭⎫β＋π4＝cos βcos π4－sin βsin π4＝45×22＋35×22＝7210， 故选BD. 答案 BD3．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小值为( ) A ． 2 B ．－2 C ．－ 2D ． 3解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＝sin 2x cos π4＋cos 2x sin π4＋sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝2sin 2x ，所以所求函数的最小值为－ 2. 答案 C4．函数f (x )＝cos x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值域是________． 解析 f (x )＝cos x －12cos x ＋32sin x＝12cos x ＋32sin x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1,1]． 答案 [－1,1]5．设tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14， 则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 解析 tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝25－141＋25×14＝322.答案3226．已知π2<β<α<3π4，cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，求sin 2α的值．解析 因为π2<β<α<3π4，所以0<α－β<π4，π<α＋β<3π2.又cos(α－β)＝1213，sin(α＋β)＝－35，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝⎛⎭⎫12132＝513， cos(α＋β)＝－1－sin 2(α＋β)＝－ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝－45. 所以sin 2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β) ＝513×⎝⎛⎭⎫－45＋1213×⎝⎛⎭⎫－35＝－5665. [能力提升]7．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，则f (x )的奇偶性为( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数解析 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝12sin x ＋32cos x ＋12sin x －32cos x ＝sin x . ∴f (x )为奇函数． 答案 A8．若8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，则sin(α＋β)＝________.解析 8sin α＋5cos β＝6,8cos α＋5sin β＝10，两边分别平方相加可得89＋80(sin αcos β＋cos αsin β)＝136，即sin(α＋β)＝4780.答案47809．函数f (x )＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的值域为________． 解析 f (x )＝sin x －⎝⎛⎭⎫32cos x －12sin x＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 故函数f (x )的值域为[－3，3]． 答案 [－3，3]10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值． 解析 由条件得cos α＝210，cos β＝255. ∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55. 因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β] ＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝－3＋121－(－3)×12＝－1， 又∵α，β为锐角， ∴0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4.[探索创新]11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ<π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2＝34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3，求cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2的值． 解析 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，….由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫α2＝3sin ⎝⎛⎭⎫2·α2－π6＝34， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝14. 由π6<α<2π3得0<α－π6<π2，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝1－⎝⎛⎭⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－π6＋π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π6cos π6＋cos ⎝⎛⎭⎫α－π6sin π6 ＝14×32＋154×12 ＝3＋158.。
三角函数专项(有答案)
三角函数专项一、化简求值 1、若02πα＜＜，02πβ-＜＜，1cos()43πα+=，cos()423πβ-=，则cos()2βα+=A．3B．3-C．9D．9-【答案】C 2、已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ） 45- （B ）35-（C ）35（D ）45【答案】B 3、设sin 1+=43πθ（），则sin 2θ=（A ）79- （B ）19-（C ）19（D ）79【答案】A4、函数sin()cos()26y x x ππ=+-的最大值为 。
【答案】24+5、已知1sin cos 2α=+α，且0,2π⎛⎫α∈ ⎪⎝⎭，则cos 2sin 4πα⎛⎫α- ⎪⎝⎭的值为__________【答案】2-6、已知a ∈（2π，π），5tan2α=【答案】43-7、已知,2)4tan(=+πx 则xx 2tan tan 的值为__________【答案】948、若tan α=3，则2sin 2cos aα的值等于 A ．2B ．3C ．4D ．6【答案】D二、三角函数图像 9、函数2sin 2x y x =-的图象大致是【答案】C10、已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（2||,0πϕω<>），y =)(x f 的部分图像如下图，则=)24(πf ．10、函数ϕϕ,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数，)0,0>>w A 的 部分图象如图所示，则f (0)= 【答案】2611、设函数()cos (0)f x x ωω=＞，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A ．13B ．3C ．6D ．9三、三角函数性质12、若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3 B ．2 C ．32D ．23【答案】C13、已知函数()cos ,f x x x x R =-∈，若()1f x ≥，则x 的取值范围为A ．|,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭ B ．|22,3x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭C ．5{|,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈D ．5{|22,}66x k x k k Z ππππ+≤≤+∈【答案】B14、设函数()s i n ()c o s (f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减 （B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减（C ）()y f x =在(0,)2π单调递增 （D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增【答案】A15、已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）,()36k k k Z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭（B ）,()2k k k Z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭（C ）2,()63k k k Z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）,()2k k k Z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭【答案】C四、正余弦定理16、若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足22a b 4c +-=（），且C=60°，则ab 的值为A ．43B．8-C ． 1D ．23【答案】A17、如图，在△ABC 中，D 是边A C上的点，且,2,2AB C D AB BC BD ===，则sin C 的值为 A．3 B．6C 3D 6【答案】D18、在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是A ．（0，6π]B ．[ 6π，π）C ．（0，3π]D ．[ 3π，π）【答案】C【解析】由题意正弦定理22222222211cos 023b c aa b c bc b c a bc A A bcπ+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤【答案】C19、△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=a b（A ） （B ） （C （D【答案】D20、在相距2千米的A ．B 两点处测量目标C ，若0075,60C AB C BA ∠=∠=，则A ．C两点之间的距离是 千米。
高考数学-三角函数专题复习
高考数学-三角函数专题复习三角函数专题考点例题解析】考点1.求值1、求sin330°、tan690°、sin585°的值。
解：利用三角函数的周期性和对称性，可得：sin330°=sin(360°-30°)=sin30°=1/2tan690°=tan(720°-30°)=tan30°=1/√3sin585°=sin(540°+45°)=sin45°=√2/22、已知角α为第三象限角，求sin(α+π/2)的值。
解：由于α为第三象限角，所以sinα<0，cosα<0.又因为sin(α+π/2)=cosα，所以sin(α+π/2)<0.3、已知sinθ+cosθ=5/3，cosθ-sinθ=2，求sin2θ的值。
解：将sinθ+cosθ和cosθ-sinθ相加，可得cosθ+cosθ=5/3+2=11/3，即cosθ=11/6.将cosθ-sinθ和sinθ+cosθ相减，可得2sinθ=-1/6，即sinθ=-1/12.代入sin2θ=2sinθcosθ的公式，可得sin2θ=-11/72.4、已知si n(π/4-α)=2/√5，求cosα的值。
解：sin(π/4-α)=sinπ/4cosα-cosπ/4sinα=2/√5，代入cosπ/4=√2/2和sinπ/4=√2/2，可得cosα=1/√10.5、已知f(cosx)=cos3x，求f(sin30°)的值。
解：将x=π/6代入f(cosx)=cos3x，可得f(cosπ/6)=cos(3π/6)=cosπ=-1.又因为sin30°=cosπ/6，所以f(sin30°)=-1.6、已知tanα=15π/22，求cos(π/2-α)的值。
解：tanα=15π/22，所以α为第三象限角，cos(π/2-α)=sinα>0.由tanα=sinα/cosα，可得cosα=15/√466，代入sin^2α+cos^2α=1，可得sinα=7/√466，最终可得cos(π/2-α)=7/15.7、已知tan(π/4+x)=2tan(π/4-x)，求cos2x的值。
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)
完整版)高三三角函数专题复习(题型全面)三角函数考点1：三角函数的概念三角函数是以角度或弧度为自变量的函数，包括正弦函数、余弦函数、正切函数等。
考点2：三角恒等变换三角恒等变换包括两角和、差公式、倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式等。
考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质都需要掌握。
考点4：函数y=Asin(x)(A,)的图像与性质函数y=Asin(x)(A,)的定义域、值域、最值、单调区间、最小正周期、对称轴对称中心等性质也需要掌握。
此外，该函数的图像还可以通过一定的变换得到。
一、三角函数求值问题1.三角函数的概念例1.若角的终边经过点P(4a,3a)(a0)，则sin=-3/5.2.公式法例2.设(0,π/2)，若sin=1/2，则2cos()=√3.练1.已知角的终边上一点的坐标为（sinθ。
cosθ）(θ∈(π/2,π))，则sin=-cosθ。
3.化简求值例3.已知为第二象限角，且sin=15/17，求sin(+π/4)的值。
练：1.已知sin=1/5，则sin4-cos4的值为-24/25.2.已知tan(θ+)=1/2，求tanθ和sin2θ-cosθ.sinθ+2cos2θ的值。
4.配凑求值例4．已知,∈(π/3,π/2)，且sin(+)=-√3/2，sin(-)=1/2，求cos(+)的值。
练：1.设α∈(π/12,π/3)，β∈(0,π/6)，且sin(α+β)=-√3/2，sin(β-α)=-1/2，则cos(α+β)=1/2.1.已知三角函数的值，求其他三角函数的值已知 $sin\alpha = \frac{4}{5}$，$cos\beta = \frac{3}{5}$，$cos(\alpha - \beta) = \frac{1}{2}$，$sin(\beta + \theta) =\frac{3}{5}$，求 $sin(\alpha + \beta)$ 和 $tan(\alpha - 2\beta)$。
专题十一 三角函数式的化简与求值
综合复习专题十一三角函数式的化简与求值知识网络一、高考考点1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系：.②商数关系：.③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角①k·360°＋（k∈Z），－，180°±，360°－（共性：偶数×90°±形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°±（共性：奇数×90°±）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝2、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；；.推论2（万能公式）：；.推论3（半角公式）：；；.其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝②∴由左边＝右边得，点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
三角函数式的化简与求值-高考数学复习
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[解析] 因为 tan(α＋2β)＝3， 所以 tan 2(α＋2β)＝1－2tatannα2＋α＋2β2β＝1－6 9＝－34， 所以 tan(t＋anta2nα2＋α2＋β2－βt·atannαα－－ββ ＝1＋－－34－34×2 2＝121.故选 B．
1
π
___7___，2α－β＝___3___.
[解析] 因为 cos α＝277， 所以 cos 2α＝2cos2 α－1＝17.
又 α，β 为锐角，sin β＝3143，
所以 sin α＝ 721，cos β＝1143，
第四章 三角函数、解三角形
高考一轮总复习 • 数学
因此 sin 2α＝2sin αcos α＝473，
第四章 三角函数、解三角形
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【变式训练】 1．(角度1)(多选题)下列各式正确的是( AC ) A．(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝2
B．sin110°－cos 310°＝2 C．23－－csoins27100°°＝2 D．tan 70°·cos 10°( 3tan 20°－1)＝2
第四章 三角函数、解三角形
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名师点拨： 1．已知三角函数值求角的解题步骤： (1)求出角的某一三角函数值； (2)确定角的范围； (3)根据角的范围确定角．
第四章 三角函数、解三角形
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2．给值求角的原则： (1)已知正切函数值，选正切函数； (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是0，π2， 选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2， 选正弦较好．
高考数学一轮复习最基础考点系列考点49三角函数的化简求值
专题9 三角函数的化简求值三角函数的化简求值★★★○○○○1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式2.二倍角公式1.三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[例] 已知α∈(0，π)，化简：＋sin α＋cos α⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α＝________.[解析] 原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos2α2.因为α∈(0，π)，所以α2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α2>0，所以原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22cosα2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2＝cos2α2－sin 2α2＝cos α. [答案] cos α[例2] 求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°1tan 5°－tan 5°；[解] 原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10°＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－－2sin 10°＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32.2.求值：sin 50°(1＋3tan 10°)．3. (1)设α，β为钝角，且sin α＝55，cos β＝－31010，则α＋β的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.7π4D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________．[解析] (1)∵α，β为钝角，sin α＝55，cos β＝－31010，∴cos α＝－255，sin β＝1010，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝22>0. 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π，∴α＋β＝7π4.∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－3π4.1.计算：1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝( )A.22B.12C.32D ．－22解析：选A 1－cos 210°cos 80°1－cos 20°＝sin 210°sin 10°1－－2sin2＝sin 210°2sin 210°＝22. 2. (1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是( ) A. 3 B ．1＋ 2C ．2D ．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C 原式＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋tan 18°tan 27°＋tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＝2，故选C. 3.化简：α＋cos 2α－α－cos 2α＋sin 4α＝________. 解析：α＋cos 2α－α－cos 2α＋sin 4α＝sin 22α－α－22sin 2α·cos 2α＝sin 22α－cos 22α＋2cos 2α－12sin 2α·cos 2α＝－2cos 22α＋2cos 2α2sin 2α·cos 2α＝1－cos 2αsin 2α＝2sin 2α2sin αcos α ＝sin αcos α＝tan α. 答案：tan α4.化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝________.解析：原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .答案：12cos 2x5.已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． 解：(1)已知sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得1＋2sin α2cos α2＝32，则sin α＝12.又π2<α<π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________ ____________________________________________________________________________________________。
高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值
高考数学难点突破_难点16__三角函数式的化简与求值在高考数学中，三角函数式的化简与求值是一个很常见的难点。
在解决这一难点时，我们需要掌握一些基本的化简公式和常用的解题技巧。
首先，我们来回顾一下一些常见的三角函数化简公式：1.两角之和的三角函数公式：sin(A+B) = sinA·cosB + cosA·sinBcos(A+B) = cosA·cosB - sinA·sinBtan(A+B) = (tanA + tanB) / (1 - tanA·tanB)2.两角之差的三角函数公式：sin(A-B) = sinA·cosB - cosA·sinBcos(A-B) = cosA·cosB + sinA·sinBtan(A-B) = (tanA - tanB) / (1 + tanA·tanB)3.倍角的三角函数公式：sin2A = 2sinA·cosAcos2A = cos^2A - sin^2A = 2cos^2A - 1 = 1 - 2sin^2Atan2A = (2tanA) / (1 - tan^2A)4.半角的三角函数公式：sin(A/2) = ±√[(1 - cosA) / 2]cos(A/2) = ±√[(1 + cosA) / 2]tan(A/2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]（在这里需要根据A的范围来确定取正还是取负）掌握了这些基本的化简公式后，我们可以运用它们来解决一些常见的难点问题。
1.求三角函数值：高考中经常会出现需要求一些特定角度的三角函数值的问题。
我们可以通过套用基本的化简公式，将所给的角度化简到我们熟悉的角度（如30°，45°，60°等），然后代入公式求值即可。
例如，要求sin75° 的值，我们可以化简为sin(45°+30°)，然后套用两角之和的公式，得到sin45°·cos30° + cos45°·sin30°。
三角函数变换、化简、求值(全)
三角函数变换、化简、求值1同角三角函数 1. xx x x cos sin cos sin -+＝( ) A.tan(x-4π) B.tan(x+4π) C.cot(x-4π) D.cot(x+4π) 2.已知tan α=2，求(1)1sin cos sin 5cos 3cos sin sin 222++--ααααααα (2) 2sin 2α-sin αcos α+cos 2α3化简 (1)sin 2α+sin 2β-sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β(2)sin(-10710) sin(990)+ sin(-1710)sin(-2610) 4．化简：（1）αααααααcsc cot tan sin )sin (cos tan +++-； （2）ααααααcos sin 2cot cos tan sin 22++；（3）ααααααsin 1sin 1sin 1sin 1tan 1cos 12+---+++ 5．已知11tan tan -=-αα，求下列各式的值：（1）ααααcos sin cos 3sin +-；（2）2cos sin sin 2++ααα。
2诱导公式 1:sin(-617π)的值为 2:sin 2(π+α)-cos(π+α)cos(-α)+1的值是3.函数式)2cos()2sin(21+-+ππ化简的结果是4.设cos(π+α)＝23,π＜α＜23π，那么sin(2π-α)的值是( ) 5.化简])1cos[(])1sin[()cos()sin(απαπαπαπ-++++-k k k k 的值为( ) 6.已知f(n)＝cos 3πn (n ∈N +),则f(1)+f(2)+…+f(6)-［f(7)+f(8)+…+f(12)］＝( ) 7.lgtan1°+lgtan2°+…+lgtan89°＝ . 8.已知：0＜β＜4π,4π ＜α＜43π,且cos(4π-α)= 54,sin(43π+β)= 1312,求cos(α+β)的值. 9．已知54)540sin(-=+α ，则=-)270cos( α ； 若α为第二象限角，则=+-+-)180tan()]360cos()180[sin(2ααα 10．已知α是第三象限角，且)sin()cot()23tan()2cos()sin()(αππαπααπαπα----+---=f 。
高考数学三角函数的化简与求值一轮复习解析
三角函数的化简与求值【方法引领】第一篇微专题训练——回归教材第1练三角函数的化简与求值【方法引领】1.2.三角化简与求值基本方法(1)角：观察角的联系，实现角的统一.(2)名：弦切互化，异名化同名.(3)形：公式变形与逆用.(4)幂：平方降幂，根式升幂.解题前先观察角的联系，分析角的变化，实现角的统一，从而决定解题方向，再结合三角函数名、公式的变形、幂的升降，做出公式的选择.注意：在判断角的范围、确定三角函数值的正负或角的值时，若在已知范围内不能确定，则利用三角函数值的正负或大小来缩小角的范围.【回归训练】【回归训练】一、 填空题1.已知α是第二象限角，且sin(π+α)=-35，则tan 2α的值为 .2.若sin θ·cos θ=12，则tan θ+cos sin θθ的值是 .3.若函数f (x )=-cos π0(1)10x x f x x >⎧⎨++≤⎩，，，，则f 4-3⎛⎫⎪⎝⎭的值为 .4.计算：°1sin10-= .5.若sin π-4α⎛⎫ ⎪⎝⎭=35，sin π4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=1213，其中0<α<π4，0<β<π4，则cos(α+β)= .6.若tan(α+β)=12，tan α=13，则tan β= .7.函数f (x )=sinx (x ∈[-π，0])的增区间是 .8.已知cos α=13，cos(α+β)=-13，且α，β∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则cos(α-β)的值为 .二、 解答题9.已知cos π-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=10，x ∈π3π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，. (1)求sin x 的值；(2)求sin π23x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.10.如图，函数f 1(x )=A sin(ωx+φ)π00||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭，，的一段图象过点(0，1). (1)求函数f 1(x )的解析式；(2)将函数y=f 1(x )的图象向右平移π4个单位长度，得到函数y=f 2(x )的图象，求y=f 1(x )+f 2(x )的最大值，并求此时自变量x 的集合.(第10题)11.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴非负半轴为始边的两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点.已知A，B两点的横坐标分别是和.(1)求sin α，sin β的值；(2)求sin(α+2β)的值.(第11题)【回归训练答案】第一篇微专题训练——回归教材第1练三角函数的化简与求值一、填空题1.-247【解析】因为sin(π+α)=-sin α=-35，所以sin α=35.又因为α是第二象限角，所以tan α=-34，所以tan 2α=22tan1-tanαα=-247.2. 2【解析】tan θ+cossinθθ=sincosθθ+cossinθθ=1sin cosθθ=2.3. 52 【解析】由已知得f 4-3⎛⎫ ⎪⎝⎭=f 1-3⎛⎫ ⎪⎝⎭+1=f 23⎛⎫ ⎪⎝⎭+2=-cos 2π3+2=52.4. 4 【解析】°1sin10-==°°°2cos(1060)1sin202+=°°4cos70cos70=4.5. 5665 【解析】由已知可得cos π-4α⎛⎫ ⎪⎝⎭=45，cosπ4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭=513，则cos(α+β)=cos ππ--44βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=cos π4β⎛⎫+ ⎪⎝⎭·cos π-4α⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin π4β⎛⎫+⎪⎝⎭·sin π4-α=513×45+35×1213=5665.6. 17 【解析】tan β=tan[(α+β)-α]=tan()-tan 1tan()tan αβααβα+++=11-2311123+⨯=17.7. π-06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，(开闭区间都可) 【解析】f (x )=sinx=2sin π3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，令2k π-π2≤x-π3≤2k π+π2，得2k π-π6≤x ≤2k π+5π6.又-π≤x ≤0，所以f (x )的增区间是π-06⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.8. 2327 【解析】因为cos α=13，cos(α+β)=-13，且α，β∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以π2<α+β<π，sinα=3，sin(α+β)=3，sin β=sin(α+β-α)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sinα=×13-1-3⎛⎫⎪⎝⎭×=，cos β=79，cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=13×79+3×9=2327.二、解答题9. (1) 方法一：因为x∈π3π24⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以x-π4∈ππ42⎛⎫⎪⎝⎭，，故sinπ-4x⎛⎫⎪⎝⎭，则sin x=sinππ-44x⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=sinπ-4x⎛⎫⎪⎝⎭cosπ4+cosπ-4x⎛⎫⎪⎝⎭sinπ4=10×2+10×2=4 5.方法二：由题设得2cosx+2sinx=10，即cos x+sin x=15.又sin2x+cos2x=1，所以25sin2x-5sin x-12=0，解得sin x=45或sin x=-35.因为x∈π3π24⎛⎫⎪⎝⎭，，所以sin x=45.(2) 因为x∈π3π24⎛⎫⎪⎝⎭，，所以cos=-35，所以sin 2x=2sin x cos x=-2425，cos2x=2cos2x-1=-725，所以sinπ23x⎛⎫+⎪⎝⎭=sin 2x cosπ3+cos 2x sinπ3=-.10. (1) 由题图知T=π，于是ω=2，函数的图象过点(0，1)，π-012⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以sin(20)1πsin 2-012A A ϕϕ⨯+=⎧⎪⎡⎤⎨⎛⎫⨯+= ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎩，，所以φ=π6，A=2. 故f 1(x )=2sinπ26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (2) 依题意知f 2(x )=2sin ππ2-46x ⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=-2cos π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故y=2sin π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭-2cos π26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=π2-12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当2x-π12=2k π+π2，k ∈Z ，即x=k π+7π24，k ∈Z 时，y max =2此时x 的取值集合为7π|π24x x k k ∈⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭Z ，.11. (1) 由单位圆上三角函数的定义，可得cosα=10，cosβ=.由于α，β为锐角，所以sin=，sinβ==5.(2) 由(1)知sin 2β=2sin βcos β=2××=45，cos 2β=2cos2β-1=2×2⎝⎭-1=35，所以sin(α+2β)=sin αcos 2β+cos αsin 2β=10×35+10×45=2.。
三角函数化简求值经典练习及答案详解
[基础巩固]1．函数f (x )＝2tan(－x )是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数，也是偶函数D ．非奇非偶函数解析 因为f (－x )＝2tan x ＝－2tan(－x )＝－f (x )，且f (x )的定义域关于原点对称， 所以函数f (x )＝2tan(－x )是奇函数．答案 A2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的一个对称中心是( ) A ．(0,0)B ．⎝⎛⎭⎫π5，0 C.⎝⎛⎭⎫4π5，0 D ．(π，0)解析 令x ＋π5＝k π2，得x ＝k π2－π5，k ∈Z ， 所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π5的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π2－π5，0，k ∈Z . 令k ＝2，可得函数的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫4π5，0.答案 C3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期为2π，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________. 解析 由已知πω＝2π，所以ω＝12， 所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝tan π4＝1. 答案 14．比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－2π7________tan ⎝⎛⎭⎫－π5. 解析 tan ⎝⎛⎭⎫－2π7＝tan 5π7，tan ⎝⎛⎭⎫－π5＝tan 4π5， 又y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫π2，π内单调递增，所以tan 5π7<tan 4π5， 即tan ⎝⎛⎭⎫－2π7<tan ⎝⎛⎭⎫－π5. 答案 <5．设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 3－π3. (1)求函数f (x )的最小正周期、对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图．解析 (1)∵ω＝13， ∴最小正周期T ＝π|ω|＝π13＝3π. 令x 3－π3＝k π2(k ∈Z )， 得x ＝π＋3k π2(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫π＋3k π2，0(k ∈Z )． (2)令x 3－π3＝0，则x ＝π； 令x 3－π3＝π2，则x ＝5π2； 令x 3－π3＝－π2，则x ＝－π2. 从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π2，5π2内的简图(如图)．[能力提升]6．已知函数y ＝tan(2x ＋φ)的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，则φ可以是( )A ．－π6B ．π6C ．－π12D ．π12解析 因为函数的图象过点⎝⎛⎭⎫π12，0，所以tan ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0，所以π6＋φ＝k π，k ∈Z ，所以φ＝k π－π6，k ∈Z . 答案 A7．(多选)下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法不正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称 解析 令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π3，k ∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选ACD. 答案 ACD8．函数y ＝－tan 2x ＋4tan x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4的值域为________． 解析 ∵－π4≤x ≤π4，∴－1≤tan x ≤1. 令tan x ＝t ，则t ∈[－1,1]，∴y ＝－t 2＋4t ＋1＝－(t －2)2＋5.∴当t ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝－4， 当t ＝1，即x ＝π4时，y max ＝4. 故所求函数的值域为[－4,4]．答案 [－4,4]9．已知函数f (x )，任意x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2(x 1≠x 2)，给出下列结论： ①f (x ＋π)＝f (x )；②f (－x )＝f (x )；③f (0)＝1；④f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0； ⑤f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2. 当f (x )＝tan x 时，正确结论的序号为________．解析 由于f (x )＝tan x 的周期为π，故①正确；函数f (x )＝tan x 为奇函数，故②不正确；f (0)＝tan 0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f (x )＝tan x 为区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的增函数，故④正确；⑤由函数f (x )＝tan x 的图象可知，函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，0上有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2，在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2，故⑤不正确． 答案 ①④10．函数y ＝sin x 与y ＝tan x 的图象在区间[0,2π]上交点的个数是多少？解析 因为当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，tan x >x >sin x ， 所以当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，y ＝sin x 与y ＝tan x 没有公共点，因此函数y ＝sin x 与y ＝tan x 在区间[0,2π]内的图象如图所示，观察图象可知，函数y ＝tan x 与y ＝sin x 在区间[0,2π]上有3个交点．[探索创新]11．设函数f (x )＝tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2，已知函数y ＝f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称． (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调区间；(3)求不等式－1≤f (x )≤3的解集．解析 (1)由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝π2，即π|ω|＝π2. 因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)．因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ⎝⎛⎭⎫－π8，0对称， 所以2×⎝⎛⎭⎫－π8＋φ＝k π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋π4，k ∈Z . 因为0<φ<π2，所以φ＝π4，故f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. (2)令－π2＋k π<2x ＋π4<π2＋k π，k ∈Z ， 得－3π4＋k π<2x <k π＋π4，k ∈Z ， 即－3π8＋k π2<x <π8＋k π2，k ∈Z . 所以函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－3π8＋k π2，π8＋k π2，k ∈Z ，无单调递减区间． (3)由(1)知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由－1≤tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤3， 得－π4＋k π≤2x ＋π4≤π3＋k π，k ∈Z ， 即－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z . 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π4＋k π2≤x ≤π24＋k π2，k ∈Z .。
4.2 三角函数的化简与求值
cos =±
tan =±
θ 2
θ 2
1 cos θ , 2
1 cos θ , 1 cos θ
θ 其中符号“±”的选取由 角的范围确定. 2
用正余弦来表示正切的半角公式: tan =
α 2
1 cos α sin α = sin α 1 cos α
.
高考第一轮复习用书· 数学(理科)
现三角函数的代数结构,运用相应的三角公式一步一步地化
简为正弦型函数,在解三角方程中,要注意它的多解性,注意 题目只要寻找其中的一个钝角.
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x x sin 2 2 2 x x sin cos 2 2
第四章 4.2 三角函数的化简与求值
2 1 【解析】f(x)= sin x 2
m
=
1 m2 m2 1 1 m2
2
m
=
2m 1 m 2 1 2m 2
.
【答案】C
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
2.cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)等于 ( (A)-sin 1. (B)sin 1. (C)-cos 1.
.
2 2
公式变形:①1+cos 2α=2cos α,1-cos 2α=2sin α.(升幂公式) ②cos α=
2
1 cos 2α 2
,sin α=
2
1 cos 2α 2
.(降幂公式)
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第四章 4.2 三角函数的化简与求值
三、半角公式
1 cos θ θ sin =± , 2 2
2022届高三数学一轮复习三角函数之三角公式的化简与求值 题型方法归纳
高考数学专题—三角函数（三角公式的化简与求值）高中阶段三角函数公式主要包括：同角三角公式、诱导公式、两角和差公式、二倍角公式、和差化积与积化和差关系式。
（1）同角三角公式—主要用于正弦、余弦、正切之间的计算与推导（2）诱导公式—将角的三角函数值推广到全体实数（3）两角和差与二倍角公式—研究不同角度之间的公式一、三角函数求值与化简必会的三种方法（常用）(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,asin2x+bsin xcos x+ccos2x等类型可进行弦化切；(2)“1”的灵活代换法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等；(3)和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系进行变形、转化.例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知，且，则A．B．C．D．【答案】A【解析】，得， 即，解得或（舍去），又.故选：A ． 例2、cos 150−sin 150cos 150+sin 150=A,−√3 B,0 C√3 D,√33法一：利用两角和差公式，求出cos 150，sin 150因为cos 150=cos (450−300)=cos 450cos 30°−sin 450sin 300=√6+√24同理可得sin 150=√6−√24所以cos 15o −sin 150cos 150+sin 150=√6+√24−√6−√24√6+√24+√6−√24=√33故选D法二:利用利用同角的正弦与余弦平方和为1，求解。
因为sin 150>0，cos 150>0 所以令cos 150−sin 150cos 150+sin 150=t (t >0)t 2=cos 2150−2cos 150sin 150+sin 2150cos 2150+2cos 150sin 15°+sin 215°=1−sin 3001+sin 300=13故选D法三：利用平方差公式，将非特殊角转化为特殊角。
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三角函数化简求值专题复习高考要求1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、 掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）3、 能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
热点分析1.近几年高考对三角变换的考查要求有所降低，而对本章的内容的考查有逐步加强的趋势，主要表现在对三角函数的图象与性质的考查上有所加强.2.对本章内容一般以选择、填空题形式进行考查，且难度不大，从1993年至20XX 年考查的内容看，大致可分为四类问题（1）与三角函数单调性有关的问题；（2）与三角函数图象有关的问题；（3）应用同角变换和诱导公式，求三角函数值及化简和等式证明的问题；（4）与周期有关的问题3.基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.解题规律：在三角函数求值问题中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.【例1】求值：︒+︒︒⋅︒+︒+︒80cot 40csc 10sin 20tan 10cos 20sin 2.解：原式的分子︒︒︒+︒︒+︒=20cos 10sin 20sin 20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 20sin 2︒︒+︒=20cos 10cos 40sin320cos 20cos 60sin 220cos 80sin 40sin =︒︒︒=︒︒+︒=，原式的分母＝︒︒+︒=︒︒+︒80sin 80cos 40cos 280sin 80cos 40sin 1 ()︒︒+︒+︒=80sin 80cos 40cos 40cos ︒︒︒+︒=80sin 20cos 60cos 240cos310cos 10cos 30cos 280sin 20cos 40cos =︒︒︒=︒︒+︒=，所以，原式＝１．【变式】1、求值()︒+︒︒+︒+︒10cos 110tan 60tan 110cos 40cos 2解：()()25cos 25cos 45cos 225cos 250cos 40cos 25cos 21060cos 240cos 25cos 210sin 2310cos 21240cos 25cos 210sin 310cos 40cos 2=︒︒︒=︒︒+︒=︒︒-︒+︒=︒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛︒+︒+︒=︒︒+︒+︒=·原式 【变式】2、求0020210sin 21)140cos 1140sin 3(⋅-。
分析：原式=202020210sin 21140cos 140sin 140sin 140cos 3⋅-16160sin 200sin 1680cos 80sin 200sin 810sin 2180sin 41200sin 80sin 410sin 21)40cos 40sin ()140sin 140cos 3)(140sin 140cos 3(00000020002000000=-=-=⋅⋅-=⋅-+-= 【例2】已知23523sin cos παπαα<<=-，且，求αααtan 1sin 22sin 2-+的值解：原式=ααααααsin cos cos sin 2cos 2sin 2-+=()αααααsin cos sin cos 2sin -+∵523αsin αcos =-，上式两边平方，得：2518α2sin 1=-∴2572sin =α；又∵23παπ<<∴0sin cos 0sin 0cos <+<<αααα，，∴()()ααααααcos sin 4sin cos sin cos 22+-=+()25322sin 2sin cos 2=+-=ααα ∴524sin cos -=+αα，∴原式523524257⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯=7528-= 【变式】已知7sin()241025παα-==，求sin α及tan()3πα+． 【解析】：由题设条件，应用两角差的正弦公式得)cos (sin 22)4sin(1027ααπα-=-=，即57cos sin =-αα ①由题设条件，应用二倍角余弦公式得)sin (cos 57)sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 25722ααααααααα+-=+-=-== 故51sin cos -=+αα ②由①和②式得53sin =α，5cos =α因此，43tan -=α，由两角和的正切公式11325483343344331433tan 313tan )3tan(-=+-=+-=-+=+ααπα 【例3】（最值辅助角）已知函数f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1，（a 、b 为常数，a <0），它的定义域为[0,2π]，值域为[－3,1]，试求a 、b 的值。
解：f (x )=2a sin 2x －23a sin x cos x +a +b －1=a (1－cos2x )－3a sin2x +a +b －1 =－2a sin 12)6π2(-+++b a x∵0≤x ≤π2 ∴π6≤2x +π6≤π67 ∴1)6π2sin(21≤≤+-x∵a <0 ∴a ≤－2a sin ()26x +π≤－2a∴3a +b －1≤－2a sin ()26x +π+2a +b －1≤b －1∵值域为[－3,1] ∴⎩⎨⎧-=-+=-31311b a b ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=234b a 【变式】已知00<α<β<900，且sin α，sin β是方程-+-020240cos x )40cos 2(x 21=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。
解：由韦达定理得sin α+sin β=2cos400，sin αsin β=cos 2400-21 ∴ sin β-sin α=)40cos 1(2sin sin 4)sin (sin )sin (sin 0222-=βα-β+α=α-β040sin 2= 又sin α+sin β=2cos400∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=α=+=β0000005sin )40sin 240cos 2(21sin 85sin )40sin 240cos 2(21sin∵ 00<α<β< 90∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=α=β00585 ∴ sin(β-5α)=sin600=23【例4】（最值二次型）已知 αβαβαπβπ2222sin 21sin sin 2sin 2sin 346-=-<≤-，试求，的最值。
解：∵4πβ6π<≤-∴-22sin 21<≤β，21sin 02<≤β ∴1sin 202<≤β ∵23222sin sin sin βαα=- ∴03212≤-<sin sin αα即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-≤≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<--≥-1sin 310sin 1sin 3201sin 2sin 30sin 2sin 322ααααααα或 ∴ 1αsin 320αsin 31<≤≤<-或y=41)21(sin sin 21)sin 2sin 3(21sin 21sin 22222--=--=-αααααβ 当sin α∈[32，1]时函数y 递增，∴当sina=23时 y min =92-； 当sin α∈(31-，0)时，函数y 递减，∴当sin α=0时，y min =21∴ 故当)sin 21(sin ,92)sin 21(sin 32sin 22min 22αβαβα--=-=时，无最大值【变式】设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a aa ∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.【例5】（角的变换）已知2π＜β＜α＜4π3,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________. 解：∵2π＜β＜α＜4π3,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜4π3, ∴sin(α－β)=.54)βα(sin 1)βαcos(,135)βα(cos 122-=+--=+=-- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=【变式】（1）已知8cos(2α+β)+5cos β=0，求tan(α+β)·tan α的值； （2）已知5cos 3sin cos sin 2-=θ-θθ+θ，求θ+θ2sin 42cos 3的值。
解：（1）从变换角的差异着手。
∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0 展开得：13cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α=0 同除以cos(α+β)cos α得：tan(α+β)tan α=313（1）以三角函数结构特点出发 ∵3tan 1tan 2cos 3sin cos sin 2-θ+θ=θ-θθ+θ ∴ 53tan 1tan 2-=-θ+θ ∴ tan θ=2 ∴ 57tan 1tan 8tan 33cos sin cos sin 8)sin (cos 32sin 42cos 3222222=θ+θ+θ-=θ+θθθ+θ-θ=θ+θ 【例6】已知奇函数f (x )的定义域为实数集,且f (x )在[0,)+∞上是增函数，当02πθ≤≤时，是否存在这样的实数m ，使2(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的[0,]2πθ∈均成立？若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，说明理由。