第七节 三角函数的化简与求值

第七节三角函数的化简与求值

[选题明细表]

知识点、方法题号

三角函数式的化简15

三角函数的求值1,2,3,5,9,10,11,13

三角变换的综合应用4,6,7,8,12,14

一、选择题

1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=,则cos 2α等于( B )

(A)(B)(C)-(D)-

解析:因为sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=1-2×()2=.故选B.

2.设α为锐角,若cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A )

(A)(B)(C)(D)

解析:因为α为锐角,即0<α<,

所以<α+<+=.

因为cos(α+)=,

所以sin(α+)=.

所以sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)

=2××

=.

cos(2α+)=2cos2(α+)-1=.

所以sin(2α+)=sin(2α+-)

=sin(2α+)cos -cos(2α+)sin

=×-×

=.

故选A.

3.若α∈(,π),且3cos 2α=sin(-α),则sin 2α的值为( D )

(A)(B)-(C)(D)-

解析:cos 2α=sin(-2α)

=sin[2(-α)]

=2sin(-α)cos(-α),

代入原式,得6sin(-α)cos(-α)=sin(-α),

因为α∈(,π),所以cos(-α)=,

所以sin 2α=cos(-2α)=2cos2(-α)-1=-. 故选D.

4.函数y=的单调递增区间是( A )

(A)(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z)

(B)(2kπ-,2kπ+)(k∈Z)

(C)(2kπ-,2kπ-)(k∈Z)

(D)(kπ-,kπ+)(k∈Z)

解析:y==

=

=

=tan(+),

当+∈(kπ-,kπ+),k∈Z时,函数为增函数, 此时x∈(2kπ-,2kπ+),k∈Z.

故选A.

5.函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为( B )

(A)[-2,2] (B)[-,]

(C)[-1,1] (D)[-,]

解析:f(x)=sin x-cos x+sin x

=(sin x-cos x)

=sin(x-).

因为x∈R,所以x-∈R,

所以f(x)∈[-,].故选B.

6.设α,β∈[0,π],且满足sin αcos β-cos αsin β=1,则sin (2α-β)+sin(α-2β)的取值范围为( A )

(A)[-1,1] (B)[-2,1]

(C)[-1,2] (D)[-2,2]

解析:由sin αcos β-cos αsin β=1,得sin(α-β)=1,

又α,β∈[0,π],所以α-β=,

所以

即≤α≤π,

所以sin(2α-β)+sin(α-2β)

=sin(2α-α+)+sin(α-2α+π)

=cos α+sin α

=sin(α+).

因为≤α≤π,

所以≤α+≤,

所以-1≤sin(α+)≤1,

即取值范围为[-1,1].故选A.

7.已知2sin θ=1+cos θ,则tan 等于( C )

(A)2 (B)

(C)或不存在(D)不存在

解析:4sin cos =2cos2,

所以cos =0或2sin =cos ,

所以tan =或不存在.

故选C.

8.函数y=(acos x+bsin x)cos x有最大值2,最小值-1,则实数 (ab)2的值为( C )

(A)6 (B)7 (C)8 (D)9

解析:y=(acos x+bsin x)cos x

=acos2x+bsin xcos x

=a+sin 2x

=sin(2x+φ)+,

所以

解得a=1,所以a2=1,b2=8,

所以(ab)2=8.故选C.

二、填空题

9.已知α∈(0, ),β-α∈(0, ),sin α=,cos (β-α)=,则sin (β-α)= ,sin β= .

解析:因为β-α∈(0, ),cos(β-α)=,

所以sin(β-α)==.

同理可得cos α=,

所以sin β=sin(β-α+α)=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α= .

答案:

10.已知锐角α,β满足cos α=,tan β=3,则tan(α+

β)= ,α+β= .

解析:锐角α,β满足cos α=,

所以sin α==,所以tan α=2.

因为tan β=3,则tan(α+β)==-1,

锐角α,β满足0<α+β<π,

所以α+β=.

答案:-1

11.(2019·温岭高三模拟)已知0<α<,且sin α=,则tan(α+ π)= ,= .

解析:因为α为锐角,且sin α=,

所以cos α=,tan α=,

所以tan (α+)=tan (α+)

=

==7,

所以=

==.

答案:7

12.在△ABC中,A,B,C是其三个内角,设f(B)=4sin B·cos2(-)+ cos 2B.当f(B)-m<2恒成立时,实数m的取值范围是.

解析:原式=4sin B·+cos 2B

=2sin B(1+sin B)+(1-2sin2B)

=2sin B+1.

因为f(B)-m<2恒成立,

所以2sin B+1-m<2恒成立,

即m>2sin B-1恒成立.

因为0

所以0

所以-1<2sin B-1≤1,故m>1.

答案:(1,+∞)

13.已知cos4α-sin4α=,且α∈(0,),则cos(2α+)= .

解析:因为cos4α-sin4α=(sin2α+cos2α)(cos2α-sin2α)=,

所以cos 2α=.

又α∈(0,),