6-三角函数的化简与求值(练习)

3 6 3 11 解得x=kπ- 或x=kπ+ ,而x为钝角,所以x= . 4 12
1 2



5 6
12

【点评】此题自然要求学生具有化简与变换思想,而且要对
三角公式的基本结构比较熟悉,逆用公式是基本的思维,合一 变换在化简中也起到非常重要作用.
变式训练4 已知函数f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cos x+a的最大
(2)给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角
的三角函数值,解题的关键在于“变角”,如α=(α+β)-β,2α=(α +β)+(α-β)等,把所求角用含已知角的式子表示,求解时要注意
角的范围的讨论; (3)给值求角:实质上转化为“给值求值”问题,由题给的所 求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角. 2.三角式的化简 (1)三角式的化简思路是根据三角式的特征,通过三角恒等变

3 2

= [cos sin( -x)+sin cos( -x)]
3 4 3 4




= sin( -x).
7 12
sin(α β ) 2sin α cos β (2)
2sin α sin β cos(α β )
sin α cos β cos α sin β 2sin α cos β = 2sin α sin β cos α cos β sin α sin β
cos α sin β sin α cos β =
sin( β α ) = =tan(β-α) cos( β α ) .
sin α sin β cos α cos β
题型2 有条件的三角函数式的求值
例2

4
3 3 12 已知α,β∈( ,π),sin(α+β)=- ,sin(β- )= ,求 5 4 13 4




=sin(3x+ )sin [ +(x- )]+cos(3x+ )cos(x+ )
3 2 6 3 3





=sin(3x+ )sin(x+ )+cos(3x+ )cos(x+ )
3 3 3 3




=cos 2x.
tan α tan 2α (2) tan 2α tan α
+ 3
变式训练3 已知cos α+β∈ ( ,2π),求β. 2
3
17 2 12 α=- ,cos(α+β)= 26 13
3 ,α∈(π, 2 ),
【解析】∵α∈(π, ),cos α=- ,∴sin α=- ,
又∵α+β∈( ,2π),cos(α+β)= 由题易知0<β<π.Hale Waihona Puke Baidu
3 2
17 2 7 2 , ∴ sin( α + β )= , 26 26
12 13
56 65
【点评】此题涉及三角函数式的联系观点,寻找角之间的联 系,并运用变换思想转换,在变换过程中运算及判断符号能力
是关键.此题最可能出现的错误就是符号错误而导致运算出
错.

1 3
变式训练2 设sin( +θ)= ,求cos 4θ.
4
【解析】sin 2θ=-cos( +2θ)=2sin ( +θ)-1=- ,
小关系是
.

【解析】∵△ABC为锐角三角形,∴A+B> , 2 ∴cos(A+B)<0, 即cos A· cos B-sin A· sin B<0,
∴cos A· cos B<sin A· sin B,即y<x. 【答案】y<x
题型1 三角函数式的化简
例1 (1)化简sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ );
换,化繁为简;
(2)三角条件式的化简思路是通过观察,发现已知条件和待化
简三角式之间的关系,采用代入法、消参法进行化简; (3)三角函数式化简的常用方法:①直接应用公式进行降次、 消项;②切化弦,异名化同名,异角化同角;③三角公式的逆用 等; (4)三角函数式化简的要求:①能求出值的应求出值;②使三
公式变形:①1+cos 2α=2cos α,1-cos 2α=2sin α.(升幂公式)
②cos α=
2
1 cos 2α 2 ,sin α= 2
1 cos 2α 2 .
(降幂公式)
三、半角公式 sin =±
θ cos =± 2
θ 2
1 cos θ , 2
1 cos θ , 2
3 2
1 2
2
2
cos 2
x x sin 2 2 2 x x sin cos 2 2
+ cos 2x
3 2
3 1 =sin xcos x+ cos 2x = sin 2x+ cos 2x =sin(2x+ ),
2
3
又f(x)= , 所以2x+ =2kπ+ 或2x+ =2kπ+ ,(k∈Z),
4 2 4

3
由sin(β- )= ,知cos(β- )=- , 4 13 4 13
cos(α+ )=cos [(α+β)-(β- )]
4 4

12

5


=cos(α+β)cos(β- )+sin(α+β)sin(β- )
4 4


= ×(- )+(- )× =- .
4 5
5 13
3 5
x 2
3 2
1 2
求钝角x的值.
【分析】面对复杂的三角函数式,首先要化简,这里有三种函
数,三种角,因此要统一函数,化切为弦,在化简过程中不断发 现三角函数的代数结构,运用相应的三角公式一步一步地化
简为正弦型函数,在解三角方程中,要注意它的多解性,注意
题目只要寻找其中的一个钝角.
【解析】f(x)= sin x
2 4

2

7 9
cos 4θ=1- 2sin
2
7 2 17 2θ=1-2×(- ) =- . 9 81
题型3 已知三角函数值求角
例3 如右图,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始
边作两个锐角α、β,它们的终边分别与单位圆交于A、B两
2 2 5 点.已知A、B的横坐标分别为 、 ,求α+2β的值. 10 5
3 6 3 3
(2)化简
2 2 tan α tan 2α + 3 (sin α-cos α). tan 2α tan α
【分析】此三角函数式出现两类函数,利用两角和与差公式 统一函数成为化简的主要目标. 【解析】(1)sin(3x+ )cos(x- )+cos(3x+ )cos(x+ )
3 6 3 3
(sin α-cos α)
2 2
2
2
=
2 tan α 1 tan 2 α 2 tan α tan α 2 1 tan α tan α
+
3 (sin
α-cos α)
2tan 2 α = 3 + 3 tan α tan α
2 tan α = 2 1 tan α
(sin α-cos α)
5 β= .因此tan 5
α=7,tan
7 1 2 1 3 2 1 2
1 β = . 2
7 2 . 10
tan α tan β 即tan(α+β)= = 1 tan α tan β
1 7
=-3.
=-1.
1 2
tan(α+2β)=tan [(α+β)+β]=

2

)
2m 1 m 2 (C) 1 2m 2
m ,tan 2 5 1 m2
1 m
.
1 m . (B)2m
2
.
(D)1-m.
【解析】cos =
5
1 m
2
= ,tan
5
1 m2 = = 2 m 2 1 tan 1 5 1 m2
2 tan

5
【分析】从给定的条件可知锐角α、β的三角 函数值,为了求α+2β的值,需要转化为三角函数
,关键是取哪一类的三角函数,取正弦函数可能
会出现多值,因此取余弦或正切均可.
【解析】由已知条件及三角函数的定义可知, cos
2 α= ,cos 10 2 5 β = . 5
2
因为α为锐角,故sin α>0,从而sin α= 1 cos α = 同理可得sin
2
m
=
2m 1 m 2 1 2m 2
.
【答案】C
2.cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)等于 (
(A)-sin 1. (B)sin 1. (C)-cos 1.
)
(D)cos 1.
【解析】cos x· sin(x-1)-sin x· cos(1-x)=-cos x· sin(1-x)-sin x· cos (1-x)=-sin 1. 【答案】A 3.在锐角△ABC中,设x=sin A· sin B,y=cos A· cos B,则x,y的大
tan =±
θ 2
1 cos θ , 1 cos θ
其中符号“±”的选取由 角的范围确定. 用正余弦来表示正切的半角公式: tan =
α 2
1 cos α sin α = . sin α 1 cos α
θ 2
1.设sin (A)
m
2 =m,则tan 等于 ( 5 5
cos(α+ )的值. 【分析】观察给定条件中角之间的联系,发现α+ =(α+β)-(β4

),但利用加法公式时,还需确定另两个三角函数式的符号与
4
数值.
【解析】∵α,β∈( ,π),α+β∈( ,2π), 由sin(α+β)=- ,知cos(α+β)= ,
3 5 4 5
3 4
3 2
∵β- ∈( , ),
6 6


值为1,求常数a的值.
【解析】f(x)=sin(x+ )+sin(x- )+cos x+a
6 6


= 3 sin x+cos x+a=2sin(x+ )+a.
6

由a+2=1,得a=-1.
1.三角函数的求值类型有三类 (1)给角求值:一般所给出的角都是非特殊角,要观察所给角 与特殊角之间的关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求 特殊角的三角函数值问题;
4 4
2 4

6 4

sin(α β ) 2sin α cos β (2)化简 . 2sin α sin β cos( α β)
【解析】(1) sin( -x)+ cos( -x)
4 4
2 4

6 4

= [ sin( -x)+ cos( -x)]
4 4
2 1 2 2 2 2 2 2
2 2
2
2
+ 3 (sin α-cos α) α- 3 (cos 2α
2
=2sin αcos =sin 2α-
α-sin α)
2
cos 3
=2sin(2α- ). 3 【点评】三角函数公式的结构特点是引导三角变换的导火

线,“统一思想”是一个基本变换准则,否则三角变换过程就
会乱.
变式训练1 (1)化简 sin( -x)+ cos( -x);
三角函数的化简与求值
一、两角和与差的三角函数公式 sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β;
tan(α±β)=
tan α tan β 1 tan α tan . β
公式变形:①tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β); ②辅助角公式:asin α+bcos α=
1 ( 3)
3 3 又0<α< ,0<β< ,故0<α+2β< ,从而由tan(α+2β)=-1得α+2β= π 2 2 2 4
.
【点评】这里提供的思路是利用正切公式来探求角的大小,也可 以通过余弦来探求,在求解过程中始终关注角的范围,以便确定 三角函数值的符号,这是三角函数题最基本的思维方式.
3 2
12 13
5 13
cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=得β =
3 4
2 , 2
题型4 有关三角函数求值的综合应用
1 sin x( x -tan )+ cos 2x,若f(x)= , 例4 设f(x)= tan
2
1
2
2
a 2 sin( b2 α+φ)(其中cos
φ=
a
2
a b
2
,sin φ=
b
2
a b
). 2
二、二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α;
cos 2α=cos α-sin α=1-2sin α=2cos α-1;
tan 2α=
2
2
2
2
2 tan α 1 tan 2 α
.
2 2
角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角
函数;⑤尽量使被开方数不含三角函数.
例 (12分)已知函数f(x)=cos x+sin xcos x(x∈R).
3 (1)求f( )的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 8 1 cos 2 x 1 1 1 【解析】f(x)= + sin 2x = sin 2x+ cos 2 2 2 2