挡土墙后粘性填土的主动土压力计算

η
cos ρ
B = qd (1 − η tan ϕ tan ρ ) (1 + tan 2 ϕ ) 。
( cy + E tan ϕ )
。
(4)
根据土体的受力状况，x、y 向诸分力的平衡方程 为
因系主动土压力，故根号前应取负号。 当墙背为直立（即 ρ = 0 ） ，且 d = 0 时，
tan θ =
(1 + η ) tan ϕ − sec ϕ
─────── 收稿日期: 2005–03–07
第5期
李巨文，等. 挡土墙后粘性填土的主动土压力计算
651
各种因素（如墙背倾斜程度、粗糙程度） ，本文取 [1] tan δ = η tan ϕ ，c′ = η c ， 由此， η 为介于 0～1 的系数。 墙背阻力 F=
⎛1 ⎞ 式中， A = ⎜ γ y 2 + qy ⎟ tan ϕ + cy ， ⎝2 ⎠
η tan ϕ − 1
2
1+η
；
(10)
∑ y = Q + W − F cos ρ − T cosθ − N sin θ − E tan ρ
=0 ， ∑ x = T sin θ − N cosθ + E − F sin ρ = 0
。 (5) (6) 式中，Q 为作用于楔形土体表面的均载总和，即 Q = qy ( tan θ + tan ρ ) − qd 。 (7) 将式（1） 、 （ 3） 、 （4 ） 、 （7）代入平衡方程（5） 、 （6）联立求解，消去 N，得 1 qy ( tan θ + tan ρ ) − qd + ry 2 ( tan θ + tan ρ ) 2 → E − η ( cy + E tan ϕ ) tan ρ
AB[(η tan 2 ϕ − 1) + (1 + η ) tan ϕ tan ρ ]}2 ← ， (1 + η ) tan ϕ tan ρ ]
1
(9)
当 y ′ = 0 时， ω q′ = ψ c ，当 y ′ ≠ 0 时，式（17）中的第 2、 4 项总是等量增加， 从而互相抵消。 故式 （17） 、 （18） 又可简化为 1 1 2 E = ωγ y ′2 − ζ qd = ωγ ( y − y0 ) − ζ qd ， (19) 2 2
第 28 卷 2006 年
第5期 5月
岩
土
工
程
学
报
Chinese Journal of Geotechnical Engineering
Vol.28 No.5 May, 2006
挡土墙后粘性填土的主动土压力计算
李巨文，王 翀，梁永朵，冯 震
（防灾技术高等专科学校，河北 三河 065201）
摘
要：根据库伦土压力的计算原理，从滑动楔体处于极限平衡状态时力的静力平衡条件出发，推导出了计算粘性土
2
填土表面倾斜时的土压力
对填土表面与水平面相交成 β 角的倾斜面时（见 如图 3） ，仍选填土表面为 x 轴，以与 x 轴相垂直、并 通过墙背某一计算深度的点为 y 轴，按作用于土体上 的诸力，分别列出 x、y 向的极限平衡方程，即 ∑ y = ( Q + W ) cos β − F cos ρ − T cosθ −
652
岩
土
工
程
学
报
2006 年
σ 3 = ωγ ( y − y0 ) 。
(20)
←
η tan ρ ( tan ϕ + tan θ ) 。 (1 + η )( tan ϕ − tan ϕ tan θ tan ρ )
若 β = 0 ，式（23）变为式（8） 。令 ∂E / ∂θ = 0 ，则可 求得产生最大主动土压力时的滑裂角
Abstract: According to the Coulomb’s earth pressure theory, from the condition of the static equilibrium of the force when the slide wedge was in limit equilibrium, a formula was derivated for the calculation of active earth pressure of cohesive or non-cohesive backfill soils. This formula could be used in the calculation of earth pressure with superimposed load uniformly distributed on any location of ground surface behind retaining wall. Some suggestions were proposed to the calculation of earth pressure in gravity retaining wall design. Key words: Coulomb’s theory; retaining wall; active earth pressure; uniformly distributed load
式中， γ 为土的重度。当楔体处于极限平衡时，挡土 墙和静止土体对楔体的阻力分别为 1 (2) F= ( c′y + E tan δ ) ， cos ρ T = cl + N tan ϕ 。 (3) 式中 δ 、 ϕ 分别为墙背对土体的摩擦角和土体的内 摩擦角； c′ 、 c 分别为背与土体间的粘结力和土体内 的粘聚力； l 为滑裂面 BC 的长度。 墙背阻力F由粘结阻力、摩擦阻力组成。考虑到
当 y = 0 时，求得其最大拉力强度为 σ 3 = ω q −ψ c ， (15) 于是求得拉力区的总拉力 y0 1 2 E ′ = ∫ σ 3 dy = − (ω q − ψ c ) 。 (16) 0 2ωγ
{ A2 (1 + η )sec 2 ϕ sec 2 ρ (1 − η tan ϕ tan ρ ) − → ⋅[(η tan 2 ϕ − 1) +
= [(η tan 2 ϕ − 1)(tan θ + tan ρ ) − (1 + η )(tan ϕ − tan ϕ tan θ tan ρ )]E ，从而求得极限平衡时，挡土墙上 的正压力在 x 方向的分量为 1 E = ωγ y 2 + ω qy − ζ qd − ψ cy 。 (8) 2 式中 ( tanθ + tan ρ )(1 − tanϕ tanθ ) ω= ， 2 (1 −η tan ϕ ) ( tanθ + tan ρ ) + (1+ η )( tanϕ − tanϕ tanθ tan ρ )
tan θ =
式中
图 2 均载置换后土体的受力情况 Fig. 2 Forces acting on the soil with uniform load substi) D 。 −F
(24)
A = (1 + η ) tan ϕ + (1 − η tan 2 ϕ ) tan ρ，
Computation of earth pressure of cohesive backfill on retaining wall
LI Ju-wen, WANG Chong, LIANG Yong-duo, FENG Zhen
(College of Disaster Prevention Techniques, Sanhe 065201, China)
← −cy − E tan ρ − η ( cy + E tan ϕ ) +cy tan θ = tan ϕ + tan θ ， 1 − tan ϕ tan θ
当墙背为直立且光滑 （即 η = 0 ， ρ = 0） ， 且 d = 0 时， ϕ tan θ = tan(45o − ) ，此时
1 ϕ ϕ E = ( γ y 2 + qy ) tan 2 (45o − ) − 2cy tan(45o − ) 。(11) 2 2 2 式（11）就是朗肯公式。 将式（8）对 S 微分（S 为 AB 长度，y=S cos ρ ） ， 得土体对挡土墙背的正压力强度在 x 方向的分量为 e = (ωγ y + ω q − ψ c ) cos ρ 。 (12) 将式（12）除以 cos ρ ，则求得沿 y 轴分布的正压力强 度在 x 方向的分量，即 σ 3 = ωγ y + ω q − ψ c 。 (13) 当 σ 3 = 0 时，由式（13）得正压力强度零点的高度 ψc q − ； (14) y0 =
2
整理得 ⎛1 2 ⎞ ⎛1 2 ⎞ ⎜ γ y + qy ⎟ ( tanθ + tan ρ ) tan ϕ tanθ − ⎜ γ y + qy ⎟ ⋅ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠
ωγ
γ
( tanθ + tan ρ ) + qd (1 − tanϕ tanθ ) +
2 cy ⎡ ⎣1 + η + tan θ − η tanϕ tanθ − η tan ρ ( tan ϕ + tanθ ) ⎤ ⎦
0
前
言
重力式挡土墙的主动土压力计算方法虽多，但都 有缺陷。对无粘性土采用库仑公式误差不大，但对于 粘性土的主动土压力，尤其是均布荷载距墙顶有一定 距离的情况（如图 1） ，目前还没有比较精确、简单的 计算方法。文献[1-2]仅适用于均布荷载从挡墙顶开始 作用的情况。本文在文献[1]的基础上，给出了地面连 续均布荷载 q 从墙后某一距离 d 开始作用的主动土压 力计算公式，对文献[1]的作了必要的扩充。