高一上册数学学案2.5不等式的证明2沪教版
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明-导学案-沪教版
不等式的证明比较法证明不等式 【学习目标】1．理解比较法证明不等式的理论依据。
2．掌握用比较法证明不等式的一般方法及步骤。
3．会用比较法证明简单的不等式。
【学习过程】1．求差比较法(1)理论依据：①a >b ⇔a －b >0.②a ＝b ⇔a －b ＝0. ③a <b ⇔a －b <0.(2)定义：要证明a >b ，只要转化为证明a －b >0.这种方法称为求差比较法。
(3)步骤：①作差；②变形；③判断符号；④下结论。
2．求商比较法(1)理论依据：当b >0时，①a >b ⇔a b >1，②a <b ⇔a b <1，③a ＝b ⇔a b＝1． (2)定义：证明a >b (b >0)只要转化为证明a b>1即可，这种方法称为求商比较法。
一、思考探究1．求差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？【提示】 作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明。
实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系。
2．求商比较法主要适用的类型是什么？【提示】 主要适用于积(商)、幂(根式)、指数式形式的不等式证明。
二、课堂互动探究例1 已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋B ．思路探究： 此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号。
自主解答： 法一 化成几个平方和 ∵a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋B．法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1．对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋B．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2B．【证明】2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2) ＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)。
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明_教案1-沪教版
不等式的证明【教学目标】1．了解用反证法、换元法、放缩法等方法证明简单的不等式。
【教学重难点】1．反证法的一般步骤：反设——推理——导出矛盾（得出结论）；2．换元法：一般由代数式的整体换元、三角换元，换元时要注意等价性；3．放缩法：要注意放缩的适度，常用的方法是：①舍去或加上一些项；②将分子或分母放大（或缩小）。
【教学过程】一、课前预习：1．设实数,x y 满足22(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是（ ） ()A 1,)+∞ ()B (1]-∞ ()C 1,)+∞ ()D (1]-∞2．1A n =+++与)n N *∈的大小关系是 。
二、例题分析：例1．已知332x y +=，求证：2x y +≤。
例2．设正有理数1a 是3的一个近似值，令21211a a =++，（1介于1a 与2a 之间；（2）证明：2a 比1a更接近于3； （3 例3．在数列{}n a 中，23sin sin 2sin 3sin 2222n n n a αααα=++++，对正整数,m n 且m n >，求证：12m n n a a -<。
例4．设1a b c ++=，2221a b c ++=，a b c >>，求证：103c -<<。
【作业布置】1．下列三个式子22a c -，22b a -，22(,,)c b a b c R -∈中 （ ）()A 至少有一式小于1- ()B 都小于1-()C 都大于等于1- ()D 至少有一式大于等于1-2. 设0,0,,111x y x y x y A B x y x y +>>==+++++，则,A B 的大小关系是 。
3．,,x x y R x y y ∈=-，则x 的取值范围是 。
4．已知221x y +=，求证：y ax -≤ 5．证明：2221111223n ++++<。
6．设,,a b c 为三角形的三边，求证：3a b c b c a a c b a b c ++≥+-+-+-。
沪教版高一上册数学高一上册学案不等式的证明
§2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法☆学习目标： 1.理解并掌握综合法与分析法;2.会利用综合法和分析法证明不等式☻知识情景：1. 基本不等式：10. 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 20. 如果,a b R +∈,那么2a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.30. 如果,,a b c R +∈,那么3a b c++≥, 当且仅当a b c ==时, 等号成立.2.均值不等式：如果,a b R +∈,那么22ab a b a b ++≤≤≤常用推论：10. 20a ≥; 0;a ≥ 12(0)a a a+≥> 20. 2(0)a bab b a +≥>;30. a c bb a c++≥(,,a b c R +∈).3.不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．20. 综合法和分析法．30. 反证法、换元法、放缩法☆案例学习：综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.又叫由 导 法.用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒例1 ,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:例212n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2n n a a a a a a a a a +∈=+++≥已知且求证:分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.用分析法证明不等式的逻辑关系：例3例4例5 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++12 ( ) n B B B B A⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已论成立的充分条件知 <求证222222,,0,a b b c c a a b c abca b c ++>≥++已知求证:选修4-5练习 §2.1.2不等式的证明(2) 姓名1、已知,,0,0y x y x ≠>>求证.411yx y x +>+2、已知,0>>b a 求证.b a b a ->-3、已知.0,0>>b a 求证：（1）.4))((11≥++--b a b a （2）.8))()((333322b a b a b a b a ≥+++4、已知d c b a ,,,都是正数。
高中数学高一第一学期2.5不等式的证明-导学案2-沪教版
综合法、放缩法【学习目标】1．理解综合法的方法与步骤，会用综合法证明简单的不等式．2．认识放缩法，了解它的方法与步骤，会用放缩法证明简单的不等式． 【学习内容】1．综合法（1）定义：利用某些 (例如算术平均数和几何平均数的定理)和__________，推导出所要证明的不等式，这种证明方法叫综合法．（2）证明原理：A ⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B ，即从________出发，逐步推演不等式成立的____条件，推导出所要证明的结论B ．做一做1设a ，b ，c 都是正数，求证：(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92． 2．放缩法（1）定义：通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为______．（2）放缩法证明不等式的主要依据：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．做一做2若n ∈N ＋，求证：1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＜n ＋122．答案：1．（1）已经证明过的不等式 不等式的性质 （2）已知条件A 必要 做一做1证明：∵(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )≥ 3·3a ＋b b ＋c c ＋a ，又1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a≥3·31a ＋b b ＋cc ＋a，∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥12·3·3a ＋b b ＋c c ＋a ·3·31a ＋bb ＋cc ＋a≥92． 2．（1）放缩法 做一做2 分析：利用n n ＋1＜n ＋n ＋12＝2n ＋12来证明．证明：∵nn ＋1＜n ＋n ＋12＝2n ＋12， ∴1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＜32＋52＋…＋2n ＋12＝n 3＋2n ＋122＝n n ＋22＝n 2＋2n 2＜n ＋122．【学习重难点】1．分析法与综合法的比较剖析：（1）综合法与分析法的比较如下表． 方法起始步骤 求证过程 求证目标方向综合法基本不等式或已经证明过的不等式实施一系列的推理或等价变换要求证的结论 由因导果分析法要求证的不等式寻求结论成立的充分条件并证明其成立所需条件全都成立执果索因综合法：A (已知)⇒B 1⇒B 2⇒…⇒B n ⇒B (结论)(逐步推演不等式成立的必要条件)， 即由条件出发推导出所要证明的不等式成立．分析法：B (结论)⇐B 1⇐B 2⇐…⇐B n ⇐A (已知或明显成立的条件)(步步寻求不等式成立的充分条件)．总之，分析法与综合法是对立统一的两种方法．2．用放缩法证明不等式剖析：（1）为了证明不等式，有时需舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法就是放缩法．运用放缩法要注意放缩必须适当，放得过大或缩得过小都不能达到证题的目的．（2）放缩时使用的主要方法有：①舍去或加上一些项，如⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；②将分子(或分母)放大(或缩小)，如1k 2＜1kk －1(k ＞1)，1k 2＞1kk ＋1，1k＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1(k ∈N ＋)等．（3）放缩法的理论依据主要有①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．对不等式而言，放缩法的本质是“不等式的加强”．（4）运用放缩法证明不等式的关键是放大(或缩小)要适当．如果所要证明的不等式中含有分式，那么我们把分母放大时相应分式的值就会缩小；反之，如果把分母缩小，则相应分式的值就会放大．有时也会把分子、分母同时放大，这时应该注意不等式的变化情况，可以与相应的函数相联系，以达到判断大小的目的，这些都是我们在证明中的常用方法与技巧，也是放缩法中的主要形式． 【典型例题】题型一 利用综合法证明不等式 例1设a ，b ，c 为不全相等的正数，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞3． 分析：利用不等式的性质，对不等式的左边进行整理，化简．反思：在利用a ＋b ≥2ab 时，必须满足“一正二定三相等”，而本题中a ，b ，c 为不全相等的正数，故三项之和取不到6，即等号不能传递下去．题型二 利用放缩法证明不等式例2设n 是正整数，求证：12≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜1．分析：要求一个n 项分式1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)的范围，它的和又求不出来，可以采用“化整为零”的方法，先观察每一项的范围，再求整体的范围．反思：放缩法证明不等式，放缩要适度，否则会陷入困境，例如证明112＋122＋…＋1n 2＜74，根据1k 2＜1k －1－1k ，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项开始放缩，可证得小于2．当放缩方式不同时，结果也在变化．答案： 例1证明：左边＝b a ＋c a －1＋c b ＋a b －1＋a c ＋b c－1 ＝b a ＋a b ＋c a ＋a c ＋c b ＋b c－3． ∵a ，b ，c 为不全相等的正数，∴b a ＋a b ≥2，c b ＋b c ≥2，a c ＋c a≥2中的等号不可能同时成立， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＞6， ∴b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc＞6－3＝3． 例2证明：由2n ≥n ＋k ＞n (k ＝1,2，…，n )， 得12n ≤1n ＋k ＜1n ． 当k ＝1时，12n ≤1n ＋1＜1n ； 当k ＝2时，12n ≤1n ＋2＜1n； … 当k ＝n 时，12n ≤1n ＋n ＜1n ． ∴12＝n 2n ≤1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＜n n ＝1， 即原不等式成立．【随堂练习】1使a＞b＞0成立的一个充分而不必要条件是( )．A．a－2＞b－2 B．a2＞b2＞0C．lg a－lg b＞0 D．x a＞x b且x＞02设a＞0，b＞0，a＋b＝1，M＝1a＋1b＋1ab，则M与8的大小关系是( )．A．M＝8 B．M≥8 C．M＜8 D．M≤8 3已知α∈(0，π)，则下列各式成立的是( )．A．2sin 2α≤sin α1－cos αB．2sin 2α＝sin α1－cos αC．2sin 2α＞sin α1－cos αD．2sin 2α≥sin α1－cos α4设a，b，c，d为任意正实数．求证：1＜aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜2．答案：1．A 由a－2＞b－2，知a－2＞b－2⇒a＞b．又a－2＞0且b－2≥0，∴a＞2且b≥2，∴a＞b≥2＞0．2．B ∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，∴1＝a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1ab≥4．∴1a＋1b＋1ab＝(a＋b)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋1b＋1ab≥2ab·21ab＋4＝8．∴1a＋1b＋1ab≥8，即M≥8．当且仅当a＝b＝12时等号成立．3．A ∵α∈(0，π)，∴1－cos α＞0．∴11－cos α＋4(1－cos α)≥4⎝⎛当且仅当cos α＝12，即α＝⎭⎪⎫π3时等号成立，∴4cos α≤11－cos α．∵α∈(0，π)，∴sin α＞0．∴4sin αcos α≤sin α1－cos α．∴2sin 2α≤sin α1－cos α．4．证明：∵a，b，c，d均为正实数，∴aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜aa＋b＋bb＋a＋cc＋d＋dd＋c＝2，且aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＞aa＋b＋c＋d＋ba＋b＋c＋d＋ca＋b＋c＋d＋da＋b＋c＋d＝1．∴原不等式1＜aa＋b＋d＋bb＋c＋a＋cc＋d＋b＋dd＋a＋c＜2成立．。
沪教版(上海)数学高一上册-2.1 不等式的基本性质(1) 教案
3．在教师的引导下，通过类比猜想，体验定理的形成过程，进一步养成探索的习惯和意识。
教学重点：掌握判断两个实数大小的基本方法。
教学难点：综合应用不等式的基本性质证明两个实数的大小关系。
教学分析及教学设计：
本节课是高一第二章不等式的第一节第一课时，课程标准的要求是：1、理解用两个实数差的符号来规定两个实数大小的意义，建立不等式研究的基础；2、通过类比得到不等式的基本性质，并能加以证明，会用不等式的基本性质判断不等关系；3、培养代数证明的基本能力，并建议两课时完成。可以看出，在高中阶段，学习不等式的基本性质，其目的是为比较实数大小、解不等式以及不等式证明等知识打好基础，同时培养学生代数证明的基本能力、探索意识等科学素养。
【小结】
1、例1结论是不等式的基本性质1~3，今后可直接使用；
2、基本性质中的 可以是任何满足条件的实数或值为实数的代数式。
【设计意图】
通过教师示范、学生模仿，证明不等式的基本性质1~3，并总结比较两实数大小的基本方法“作差法”，初步体验代数证明的过程。通过减法性质和除法性质的提问，使学生产生类比猜想的意识，为叠乘性质的类比猜想做铺垫，并使学生能够更深层地理解加法性质和乘法性质中字母的意义以及性质的地位和作用。
教学过程：
一、复习引入
1、介绍学习目的
在初中，我们已经学习了不等式的性质、如何解一元一次不等式（组）以及如何比较两个具体实数的大小关系。在高中，我们将要学习如何比较两个抽象实数的大小关系，还要学习解一元二次不等式、绝对值不等式、分式不等式和高次不等式，今后我们还要学习不等式的证明。在所有这些问题的推理过程中，我们需要言之有据。这里的“据”就是今天我们将要学习的不等式的基本性质。
上海教育版数学高一上2.5《不等式的证明》word教案
2.5 不等式的证明一、教学内容分析有关不等式的证明问题一直是数学中的难点，除一些基本方法外还牵涉到相当多的技巧问题.作为高一的不等式证明重在基本证明思路、方法的介绍，所以教材中也不牵涉过多的技巧问题，主要涉及利用不等式基本性质以及基本不等式来进行证明.二、教学目标设计1、掌握用比较法、综合法和分析法证明不等式的基本思路.2、能利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明.3、在证明的过程中，加强不等式性质及基本不等式的应用.4、代数证明基本能力的提升以及逻辑推理水平的进一步加强。
三、教学重点及难点重点 利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明. 难点 分析法的基本思路及其表达.四、教学过程设计 一、比较法比较法有两种： （1）比差法：求差与0比.（2）比商法：求商与1比，要注意讨论分母的符号.例1 求证：（1）()()221x x x +<+.（2）222x x >-.证明：（1）因为()()2222122110x x x x x x x +-+=+---=-<，所以，()()221x x x +<+.（2）因为()()()222222111110x x x x x --=-++=-+≥>，所以，222x x >-. [说明]本例的几何意义.（1）()2y x x =+的图像在()21y x =+的下方，如图所示（A 点比B 点低1个单位）.（2）2y x =的图像在22y x =-的图像上方，如图所示（A 点比B 点高）.例2 设0a >，0b >，求证：2211a b b a a b+≥+.（补充） 证明：()()2222332222222211a a b b a b a b a b ab a b b a a b a b a b ---+--⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝ ()()()()2222222ab a b a b a b a b a b ---+==因为0a >，0b >⇒0a b +>，又，()2220a b a b-≥，当且仅当0a b =>时等号成立，所以，()()2220a b a b a b -+≥，当且仅当0a b =>时等号成立.故2211a b b a a b+≥+. 另证：因为0a >，0b >，所以0ab >，则()3322222221121111a b a b a b ab a b ab b a ab a b ab ab ab a b+++-+===-≥-=-=++.当且仅当0a b =>时等号成立.AB 1⎫⎬⎭个单位1⎫≥⎬⎭个单位AB又0a >，0b >⇒110a b +>，故 2211a b b a a b+≥+.当且仅当0a b =>时等号成立. [说明]此例采用了比差和比商两种方法给出证明，由证明过程体会两种方法各自的“优点”.二、综合法从已知条件出发，利用各种已知的定理和运算性质作为依据，推导出要证的结论.这种证明方法称为综合法.例3 已知a 、b 、c 均为正数，求证：()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥. 证明：()()()222222ab a b bc b c ca c a a b ab b c bc c a ca +++++=+++++=()()()222222a b bc b c ca c a ab +++++， 因为a 、b 、c 均为正数，由基本不等式2和不等式性质得：222222222a b bc abc b c ca abc c a ab abc ⎫+≥=⎪⎪+≥=⎬⎪⎪+≥=⎭⇒()()()2222226a b bc b c ca c a ab abc +++++≥即，()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥.当且仅当222222a b bc b c ca c a ab ⎧=⎪=⎨⎪=⎩⇔222a b c ==⇔0a b c ==>时等号成立.所以，不等式()()()6ab a b bc b c ca c a abc +++++≥成立.例4 已知a 、b R ∈，求证：()()2222a b a b +≥+.证明：()()()22222222222a ba ab b a ab b a b +=+++≥++=+.当且仅当a b =时等号成立.所以不等式2222()()a b a b +≥+成立.例5 22≥.10≥>，由基本不等式得，22112x++==≥=.当且仅当=⇔211x+=⇔0x=时等号成立.22≥成立.[说明]此例给出了如何利用基本不等式求函数最值的一种方法.例6求证：()22112a b a b+≤≤++.==a b a b≥==+≥+.当且仅当1aba b=⎧⎨+≥⎩时等号成立.另一方面，()22221122a b+=++.当且仅当=⇔a b=时等号成立.所以，()22112a b a b+≤≤++，当且仅当1aba ba b⎧=⎪+≥⎨⎪=⎩⇔1a b==等号同时成立.[说明]利用基本不等式证明此例有一定难度，可适当选用.三、分析法从要证的结论出发，经过适当的变形，分析出使这个结论成立的条件，把证明结论转化为判定这些条件是否成立的问题，如果能够判定这些条件都成立，那么就可以断定原结论成立.这种证明方法称为分析法.分析法也可以如下叙述为： 欲证结论Q ，需先证得1P ，欲要证得1P ，需先证得2P ， 欲要证得2P ，需先证得3P ，……………………………，欲要证得1n P -，需先证得n P .当n P 成立时，若以上步步可逆，则结论Q 成立.用数学语言表述，必须保证下述过程成立Q ⇐1P ⇐2P ⇐3P ⇐…⇐1n P -⇐n P ，因为n P 成立，所以结论Q 成立.[说明]分析法的证明过程即是不断寻找充分条件的过程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.例7 求证：1+>证明：因为10+>0>，则要证1>即证(2217+>=成立，即证47+>成立.即证3>成立，即证(223>成立，即证129>成立.因为129>成立，且以上步步可逆，所以，1>.例8 已知：ad bc ≠，求证：22222()()()a b c d ac bd ++>+. 证明：要证()()()22222a bc d ac bd ++>+成立，即证22222222a c a d b c b d +++>22222a c acbd b d ++成立即证()()222220a d ad bc b c -+>成立，即证()20ad bc ->成立，由ad bc ≠⇒0ad bc -≠⇒2()0ad bc ->成立，且以上步步可逆，故有 ()()()22222a b c d ac bd ++>+.例9 设a 、b R ∈，求证：a b a b a b -≤+≤+，并指出等号成立的条件. 证：先证“a b a b +≤+”.注意到0a b +≥，0a b +≥，则对于任意a 、b R ∈，要证a b a b +≤+成 即证()22a ba b +≤+成立，即证222222a ab b a ab b ++≤++成立， 即证ab ab ≤成立，由绝对值定义知，任意a 、b R ∈，都有ab ab ≤，且以上步步可逆，因而a b a b +≤+，且等号成立⇔0ab ≥.再证；“a b a b -≤+”.由0a b -≥，0a b +≥，则对于任意a 、b R ∈，要证a b a b -≤+成立， 即证22a b a b -≤+成立，即证()()22a ba b -≤+成立，即证222222a a b b a ab b -⋅+≤++成立， 即证ab ab ≥-成立，由绝对值定义知，任意a 、b R ∈，都有ab ab ≥-，且以上步步可逆，因而a b a b -≤+，且等号成立⇔0ab ≤；综上可得，任意a 、b R ∈，不等式a b a b a b -≤+≤+成立.例9证明的不等式对任意的实数a 、b 成立，以b -换b 得到的不等式a b a b a b --≤-≤+-，即a b a b a b -≤-≤+也成立，此时，右端等号成立⇔()0a b -≥⇔0ab ≤，左端等号成立⇔()0a b -≤⇔0ab ≥.以上证得的两个不等式，是绝对值不等式的重要性质，称之为三角不等式 对于任意a 、b R ∈，（1）a b a b a b -≤+≤+，左端等号成立⇔0ab ≤，右端等号成立⇔0ab ≥ （2）a b a b a b -≤-≤+，左端等号成立⇔0ab ≥，右端等号成立⇔0ab ≤. [说明]有关三角不等式的教学是讲全还是选讲其中部分，可适学生的具体情况而定.例10 已知2x a ε-<，2y a ε-<，求证：x y ε-<.证明：由三角不等式可得：()()22x y x a y a x a y a εεε-=---≤-+-<+=.所以，||x y ε-<.[说明]此例为练习2.4（5）中的一题.四、课堂小结五、作业布置选用练习2.4（4）（5）（6）、习题2.3中的部分练习.五、教学目标说明有关不等式的证明可分为两个课时进行.第一课时为比较法、综合法；第二课时为分析法.有关不等式证明问题的教学应侧重于基本思路与基本方法的讲解，难度不易过高，特别是在证明的技巧性上需严格控制，只需对不等式的基本性质以及基本不等式做适当应用即可.教学中的难点为分析法的讲解，一定要慎重.讲清思路以及它的理论依据，特别在书写格式上应提出严格的要求，防止学生出现证明过程由结论推至条件的严重错误.三种方法介绍完之后，师生应有所归纳与小结，理清证明思路.事实上，一题往往会有多种证法，关键在于对题目的分析，选用哪种证法更为合适显得尤为重要.。
沪教版(上海)数学高一上册-2.5 不等式的证明 教案
课题：2.5 不等式的证明授课教师：教学目标（一）知识与技能目标：1、理解比较法、分析法、综合法的基本思路；2、会用比较法、分析法、综合法证明简单的不等式；（二）过程与方法目标：1、在证明过程中，加强对不等式性质及基本不等式的应用；2、培养渗透转化、数形结合等数学思想。
（三）情感态度与价值观目标：1、通过揭示问题的本质特征，使得复杂问题转化为简单问题，从而提高学生分析问题、解决问题的能力并提高逻辑推理能力；2、锻炼学生思维的严谨性、灵活性、深刻性。
知识重点利用比较法、综合法和分析法进行简单不等式的证明教学难点分析法的基本思路和表达教学方法类比，转化教学过程教学方法知识疏理我们已经学习了不等式的性质和两个基本不等式，今天我们要以这些性质为依据，结合基本不等式的特征，研究不等式的证明。
那么，什么是不等式的证明？我们通过下面具体的例题说明.例1、已知a、b∈R，求证：2(a2+b2)≥(a+b)2.师：有哪些方法可以证明上述不等式？生：作差一、比较法证明：2(a2+b2)-(a+b)2=2a2+2b2-a2-2ab-b2=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0所以2(a2+b2)≥(a+b)2证明a>b<=>a-b>0,同样地，证明a<b<=>a-b<0, 证明a=b<=>a-b>=0这种证明不等式的方法称为比较法.比较法的一般步骤：作差=>变形=>定符号【说明】为了确定符号，一般要对式子配方或写成若干个式子乘积的形式.二、分析法师：还有什么方法可以证明上述不等式.生：要证明2(a2+b2)≥(a+b)2，就是要证明a2+b2≥2ab，就是要证明a2+b2-2ab≥0 师：从命题的角度来看，我们在找结论成立的什么条件？生：迟疑思考.证明：要证明2(a2+b2)≥(a+b)2，命题Q就是要证明a2+b2≥2ab，命题P4。
数学2.5不等式的证明教案2沪教版高中一级第一学期
2、设函数 的图象关于直线 对称，证明： 。
在函数方程中的应用
活动4归纳小结
比较法是证明不等式最常用最基本的方法.当欲证的不等式两端是多项式或分式时，常用差值比较法。
活动5巩固提高
活动内容和目的
活动1课前热身－练习
重温概念领会新知
活动2概念性质－反思
深刻理解定义，注意定义的内涵与外延
活动3提高探究－实践
掌握一般方法。
活动4归－作业
巩固教学、个体发展、全面提高
教学过程设计
问题与情境
师生行为
设计意图
活动1课前热身（资源如下）
通过证明不等式的过程，培养自觉运用数形结合、函数等基本数学思想方法证明不等式的能力；能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
重点
能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
难点
能较灵活的应用不等式的基本知识、基本方法，解决有关不等式的问题
教学流程说明
活动流程图
3、已知：a、b是正实数，求证：
综合法
资源3、
1、已知a、b、c是△ABC的三边长，求证：
⑴ 2） ＜
2、1）x∈R，x≠－1，求证： .
2）b>a>0，求证： .
3、设实数x，y满足y+x2=0，0<a<1求证：
证明：（分析法）要证 ，
，只要证： ，
又 ，
只需证：
∴只需证 ，
即证 ，此式显然成立
∴原不等式成立
分析法
资源4、
1、比较 的大小。
变题：求证：
2、a＞0，b＞0，且a+b=1，求证： 1）ab≤ 2）
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§2.1.2不等式的证明(2)综合法与分析法
☆学习目标： 1.理解并掌握综合法与分析法;
2.会利用综合法和分析法证明不等式
☻知识情景：
1. 基本不等式：
10. 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立. 20. 如果,a b R +∈,
那么2a b +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.
30. 如果,,a b c R +∈,
那么
3
a b c
++≥, 当且仅当a b c ==时, 等号成立.
2.均值不等式：如果,a b R +
∈,那么
22
ab a b a b ++
≤≤≤
常用推论：10. 20a ≥; 0;a ≥ 1
2(0)a a a
+
≥> 20. 2(0)a b
ab b a +≥>;
30. a c b
b a c
++≥(,,a b c R +∈).
3.
不等式证明的基本方法：10. 比差法与比商法(两正数时)．
20. 综合法和分析法．
30. 反证法、换元法、放缩法
☆案例学习：
综合法：从①已知条件、②不等式的性质、③基本不等式等出发,
通过逻辑推理, 推导出所要证明的结论. 这种证明方法叫做综合法.
又叫由 导 法.
用综合法证明不等式的逻辑关系：12n A B B B B ⇒⇒⇒
⇒⇒
例1 ,,0,,a b c >已知且不全相等222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>求证:
例2
12n 12n 12,,,R ,1,(1)(1)(1)2n n a a a a a a a a a +∈=+++≥已知且求证:
分析法：从要证的结论出发, 逐步寻求使它成立的充分条件,
直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证的定理、性质等),
从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法. 这是一种执 索 的思考和证明方法.
用分析法证明不等式的逻辑关系：
例3
例4
例5 证明：.)())((22222bd ac d c b a +≥++
1
2 ( ) n B B B B A
⇐⇐⇐⇐⇐结步步寻求不等式已
论成立的充分条件
知 <求证222222
,,0,a b b c c a a b c abc
a b c ++>≥++已知求证:
选修4-5练习 §2.1.2不等式的证明(2) 姓名
1、已知,,0,0y x y x ≠>>求证
.411y
x y x +>+
2、已知,0>>b a 求证.b a b a ->-
3、已知.0,0>>b a 求证：（1）.4))((11≥++--b a b a （2）.8))()((333322b a b a b a b a ≥+++
4、已知d c b a ,,,都是正数。
求证：
（1）
;2cd ab d c b a +≥+++ （2）.4
4
abcd d c b a ≥+++
5、已知c b a ,,都是互不相等的正数，求证.9))((abc ca bc ab c b a >++++
6 c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc . 求证:27)1)(1)(1(>++++++a c c b b a ．
7 已知a ，b ，m 都是正数，并且.b a <分别用综合法与分析法求证:
.b
a
m b m a >++．
8设0,0>>b a ，分别用综合法与分析法求证: .2233ab b a b a +≥+
9（1）已知,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞,求证：222
()a b a b x
y
x y
++≥+,指出等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论求函数29()12f x x x
=+-(1(0,)2
x ∈)的最小值，指出取最小值时
x 的值．
答案:
例1
例2
例3
例4
2222: 2,0,()2b c bc a a b c abc +≥>∴+≥证明2222 2,0,()2a b ab c c a b abc +≥>∴+≥2222 2,0,()2c a ac b b c a abc +≥>∴+≥222222,,,,()()()6a b c a b c b c a c a b abc +++++>由于不全相等所以上述三个式子中至少有一个不
取等号
把它们相加得11212.
121212: ,11,1,,,,,(1)(1)(1)221,1
,1.
n n
n n n n
i i n a R
a a
a a a a
R a a a a a
a a a a
a a ++∈
∴+≥+≥
+≥∈+
++≥==+
≥===
=证明同理由不等式的性质
得时所以原式在
时取等号22: 27,,
991418,1418,.
+<+<+<<<<证明和只需证展开得只需证成立2222222222:()
,,,()2a b b c c a abc a b c x y z x yz ++≥+++≥分析要证的不等式可化为观察上式左边各项是两个字母的平方之积右边各项涉及三个字母可以考虑用222222222222222222222222222222
222222
222: 2,0,()22,0,()22,0,()22()222()
1,,0,0,0,b c bc a a b c a bc c a ac b b c a b ac a b ab c c a b c ab a b b c c a a bc b ac c ab
a b b c c a abc a b c a b c a b c a b c a b b c +≥>∴+≥+≥>∴+≥+≥>∴+≥∴++≥++∴++≥++>∴++>∴>+++证明又故222
c a abc
a b c
+≥++
例5 证明 （1）⇔0)())((22222≥+-++bd ac d c b a （2）
⇔0)2(222222222222≥++-+++d b abcd c a d b d a c b c a （3）
⇔ 022222≥-+abcd d a c b （4）
⇔
0)(2≥-ad bc （5）
（5）显然成立。
因此（1）成立。
练习
6 ∵ c b a ,,是互不相等的正数，且1=abc
∴ 1a b b c c a ++>++>++>
∴(1)(1)(1)27a b b c c a ++++++>= 7 证法一 要证（1），只需证)()(m b a m a b +>+ （2） 要证（2），只需证am bm > （3） 要证（3），只需证a b > （4） 已知（4）成立，所以（1）成立。
上面的证明用的是分析法。
下面的证法二采用综合法。
证法二 因为 m a b ,>是正数，所以am bm >
两边同时加上ab 得)()(m b a m a b +>+
两边同时除以正数)(m b b +得（1）。
8证法一 分析法
要证2233ab b a b a +≥+成立.
只需证)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+成立， 又因0>+b a ，
只需证ab b ab a ≥+-22成立， 又需证0222≥+-b ab a 成立， 即需证0)(2≥-b a 成立.
而0)(2>-b a 显然成立. 由此命题得证。
证法二 综合法
ab b ab a b ab a b a ≥+-⇒≥+-⇒≥-22222020)(
注意到0,0>>b a ，即0>+b a ，
由上式即得)())((22b a ab b ab a b a +≥+-+，
从而2233ab b a b a +≥+成立。
议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？
9（1）22222222()()a b y x x y a b a b a b x y x y ++=+++≥++2()a b =+，
故222()a b a b x y x y ++≥+．当且仅当22y x a b x y =，即a b
x y =时上式取等号； ⑵由⑴得222
23(23)()252122(12)
f x x x x x +=
+≥=-+-． 当且仅当
23212x x =
-，即1
5
x =时上式取最小值，即min [()]25f x =．。