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九年级数学上册 一元二次方程(培优篇)(Word版 含解析)
九年级数学上册一元二次方程（培优篇）（Word版含解析）一、初三数学一元二次方程易错题压轴题（难）1．阅读与应用：阅读1：a，b为实数，且a＞0，b＞0，因为()2≥0，所以a﹣2+b≥0，从而a+b≥2(当a＝b时取等号)．阅读2：若函数y＝x+(m＞0，x＞0，m为常数)，由阅读1结论可知：x+≥2，所以当x＝，即x＝时，函数y＝x+的最小值为2．阅读理解上述内容，解答下列问题：问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为，周长为2(x+)，求当x＝时，周长的最小值为；问题2：汽车的经济时速是汽车最省油的行驶速度，某种汽车在每小时70～110公里之间行驶时(含70公里和110公里)，每公里耗油()L．若该汽车以每小时x公里的速度匀速行驶，1h的耗油量为yL．(1)求y关于x的函数关系式(写出自变量x的取值范围)；(2)求该汽车的经济时速及经济时速的百公里耗油量．【答案】问题1：2，8；问题2：(1)y=；(2)10.【解析】【分析】（1）利用题中的不等式得到x+=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；（2）根据耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度列出函数关系式即可，经济时速就是耗油量最小的形式速度．【详解】(1)∵x+≥2＝4，∴当x＝时，2(x+)有最小值8．即x＝2时，周长的最小值为8；故答案是：2；8；问题2：，当且仅当，即x ＝90时，“＝”成立，所以，当x ＝90时，函数取得最小值9，此时，百公里耗油量为，所以，该汽车的经济时速为每小时90公里，经济时速的百公里耗油量为10L ．【点睛】本题考查了配方法及反比例函数的应用，最值问题，解题的关键是读懂题目提供的材料，易错点是了解“耗油总量=每公里的耗油量×行驶的速度”，难度中等偏上．2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使1211x x -＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k ＞﹣13且k ≠0；（2）存在，7213,k =±详见解析 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求得k 的取值范围． （2）利用根与系数的关系，根据21121211,x x x x x x --=即可求出k 的值，看是否满足（1）中k 的取值范围，从而确定k 的值是否存在．【详解】解：（1）由题意知，k ≠0且△＝b 2﹣4ac ＞0∴b 2﹣4ac ＝[﹣2（k +1）]2﹣4k （k ﹣1）＞0，即4k 2+8k +4﹣4k 2+4k ＞0，∴12k ＞﹣4解得：k ＞13-且k ≠0（2）存在，且7213.k =±理由如下： ∵12122(1)1,,k k x x x x k k+-+== 又有211212111,x x x x x x --== 2112,x x x x ∴-=22222121122,x x x x x x ∴-+=22121212()4(),x x x x x x ∴+-=2222441()(),k k k k k k+--∴-= 22(22)(44)(1),k k k k ∴+--=-21430,k k ∴--=1,14,3,a b c ==-=-24208,b ac ∴∆=-=144137213.k ±∴==± k ＞13-且k ≠0， 172130.21,3-≈--＞ 17213.3+-＞ ∴满足条件的k 值存在，且7213.k =± ．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （0，8），点B （m ，0），且m ＞0.把△AOB 绕点A 逆时针旋转90°，得△ACD ，点O ，B 旋转后的对应点为C ，D ，（1）点C 的坐标为 ；（2）①设△BCD 的面积为S ，用含m 的式子表示S ，并写出m 的取值范围；②当S=6时，求点B 的坐标（直接写出结果即可）.【答案】（1）C （8，8）；（2）①S=0.5m 2﹣4m （m ＞8），或S=﹣0.5m 2+4m （0＜m ＜8）；②点B 的坐标为（7，0）或（2，0）或（6，0）.【解析】【分析】（1）由旋转的性质得出AC ＝AO ＝8，∠OAC ＝90°，得出C （8，8）即可；（2）①由旋转的性质得出DC ＝OB ＝m ，∠ACD ＝∠AOB ＝90°，∠OAC ＝90°，得出∠ACE ＝90°，证出四边形OACE 是矩形，得出DE ⊥x 轴，OE ＝AC ＝8，分三种情况：a 、当点B 在线段OE 的延长线上时，得出BE ＝OB−OE ＝m−8，由三角形的面积公式得出S ＝0.5m 2−4m （m ＞8）即可；b 、当点B 在线段OE 上（点B 不与O ，E 重合）时，BE ＝OE−OB ＝8−m ，由三角形的面积公式得出S＝−0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；c、当点B与E重合时，即m＝8，△BCD不存在；②当S＝6，m＞8时，得出0.5m2−4m＝6，解方程求出m即可；当S＝6，0＜m＜8时，得出−0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．【详解】（1）∵点A（0，8），∴AO=8，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），故答案为（8，8）；（2）①延长DC交x轴于点E，∵点B（m，0），∴OB=m，∵△AOB绕点A逆时针旋转90°得△ACD，∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，∴四边形OACE是矩形，∴DE⊥x轴，OE=AC=8，分三种情况：a、当点B在线段OE的延长线上时，如图1所示：则BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DC•BE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；b、当点B在线段OE上（点B不与O，E重合）时，如图2所示：则BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DC•BE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；c、当点B与E重合时，即m=8，△BCD不存在；综上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②当S=6，m＞8时，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±27（负值舍去），∴m=4+27；当S=6，0＜m＜8时，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，∴点B的坐标为（4+27，0）或（2，0）或（6，0）.【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质、旋转的性质、矩形的判定与性质、三角形面积公式、一元二次方程的解法等知识；本题综合性强，有一定难度．4．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x，根据题意得：10（1+x）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y）×90%+y，∴（14.4×90%+y）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题5．（本题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A、B，直线CD与x轴、y轴分别交于点C、D，AB与CD相交于点E，线段OA、OC的长是一元二次方程－18x+72=0的两根（OA＞OC），BE=5，tan∠ABO=．（1）求点A，C的坐标；（2）若反比例函数y=的图象经过点E，求k的值；（3）若点P在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q，使以点C，E，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，请写出满足条件的点Q的个数，并直接写出位于x轴下方的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)、A（12，0），C（﹣6，0）；(2)、k=36；(3)、6个；Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）.【解析】试题分析：(1)、首先求出方程的解，根据OA＞OC求出两点的坐标；(2)、根据∠ABO的正切值求出OB的长度，根据Rt△AOB得出AB的长度，作EM⊥x轴，根据三角形相似得出点E的坐标，然后求出k的值；(3)、分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q.试题解析：（1）由题意，解方程得：x1=6，x2=12．∵OA＞OC，∴OA=12，OC=6．∴A（12，0），C（﹣6，0）；（2）∵tan∠ABO=，∠AOB=90°∴∴OB=16．在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=20∵BE=5，∴AE=15．如图1，作EM⊥x轴于点M，∴EM∥OB．∴△AEM∽△ABO，∴，即：∴EM=12，AM=9，∴OM=12﹣9=3．∴E（3，12）．∴k=36；（3）满足条件的点Q的个数是6，x轴的下方的Q1（10，﹣12），Q2（﹣3，6﹣3）；方法：如下图①分别以CE为矩形的边，在点C、E处设计直角，垂线与两坐标轴相交，得到点P，进而得到点Q；（有三种）②以CE为矩形对角线，则以CE的中点为圆心做圆，与两坐标轴相交，得到点P，再得点Q；（有三种）如图①∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴EG 2=CG•GP ， ∴GP=16，∵△CPE 与△PCQ 是中心对称，∴CH=GP=16，QH=FG=12， ∵OC=6， ∴OH=10，∴Q （10，﹣12），如图②作MN ∥x 轴，交EG 于点N ，EH ⊥y 轴于点H ∵E （3，12），C （﹣6，0），∴CG=9，EG=12， ∴CE=15， ∵MN=CG=， 可以求得PH=3﹣6，同时可得PH=QR ，HE=CR ∴Q （﹣3，6﹣3）， 考点：三角形相似的应用、三角函数、一元二次方程.6．某建材销售公司在2019年第一季度销售,A B 两种品牌的建材共126件，A 种品牌的建材售价为每件6000元，B 种品牌的建材售价为每件9000元.（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售A 种品牌的建材多少件？（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将A 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调%a ，B 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨%a ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比，A 种品牌的建材的销售量增加了1%2a ，B 种品牌的建材的销售量减少了2%5a ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加2%23a ，求a 的值. 【答案】（1）至多销售A 品牌的建材56件;(2)a 的值是30.【解析】【分析】（1）设销售A 品牌的建材x 件，根据售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，列不等式求解；（2）根据题意列出方程求解即可.【详解】（1）设销售A 品牌的建材x 件.根据题意，得()60009000126966000x x +-≥，解这个不等式，得56x ≤，答：至多销售A 品牌的建材56件.（2）在（1）中销售额最低时，B 品牌的建材70件，根据题意，得()()()12260001%561%90001%701%6000569000701%2523a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+++⨯-=⨯+⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令%a y =，整理这个方程，得21030y y -=， 解这个方程，得1230,10y y ==， ∴10a =（舍去），230a =，即a 的值是30.【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．7．如图直线y ＝kx +k 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，且AB ＝2（1）求k 的值；（2）点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB 运动，过点P 作直线AB 的垂线交x 轴于点Q ，连接OP ，设△PQO 的面积为S ，点P 运动时间为t ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围；（3）在（2）的条件下，当P 在AB 的延长线上，若OQ +AB （BQ ﹣OP ），求此时直线PQ 的解析式．【答案】（1）k＝3．（2）当0＜t＜12时，S＝12•OQ•P y＝12（1﹣2t）•3t＝﹣3 2t2+34t．当t＞12时，S＝12OQ•P y＝12（2t﹣1）•3t＝3t2﹣3t．（3）直线PQ的解析式为y＝﹣3x+53．【解析】【分析】（1）求出点B的坐标即可解决问题；（2）分两种情形①当0＜t＜12时，②当t＞12时，根据S＝12OQ•P y，分别求解即可；（3）根据已知条件构建方程求出t，推出点P，Q的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∴OA＝1，∵AB＝2，∴OB＝223AB OA-=∴k＝3．（2）如图，∵tan ∠BAO＝OB OA= ∴∠BAO ＝60°，∵PQ ⊥AB ，∴∠APQ ＝90°，∴∠AQP ＝30°，∴AQ ＝2AP ＝2t ， 当0＜t ＜12时，S ＝12•OQ •P y ＝12（1﹣2t）•2t＝﹣2t 2+4t ． 当t ＞12时，S ＝12OQ •P y ＝12（2t ﹣1＝2． （3）∵OQ +AB（BQ ﹣OP ），∴2t ﹣1+2∴2t +121t t -+∴4t 2+4t +1＝7t 2﹣7t +7，∴3t 2﹣11t +6＝0，解得t ＝3或23（舍弃）， ∴P（12，2），Q （5，0）， 设直线PQ 的解析式为y ＝kx+b ，则有12250k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得3k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线PQ的解析式为33y x =-+． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，三角形的面积，无理方程等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．8．如图，抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x=-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；②ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c=++与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为1x=-，∴{312a b ccba++==-=-，解得：1{23abc=-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x=--+=2(1)4x-++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x=--+=，解得3x=-或1x=，∴点A（﹣3，0），B（1，0），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223y x x=--+上，∴设点P（x，223x x--+），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△AND，∴OA=PD，即2232y x x=--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P（21-，2）；②设P(x，y)，则223y x x=--+，∵ΔOBCΔAPDABCP C=PDOS S S S++四边形梯形=12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x⨯⨯⨯+++-=333222x y-+=2333(23)222x x x-+--+=239622x x--+=23375()228x-++，∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P （32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．9．如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在正方形EFGH 的四条边上，我们称正方形EFGH 是正方形ABCD 的外接正方形．探究一：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 的2倍． 因为正方形ABCD 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为2，所以EF ＝FG ＝GH ＝HE 2EB ＝x ，则BF 2﹣x ，∵Rt △AEB ≌Rt △BFC∴BF ＝AE 2﹣x在Rt △AEB 中，由勾股定理，得x 2+2﹣x ）2＝12解得，x 1＝x 2＝22∴BE ＝BF ，即点B 是EF 的中点．同理，点C ，D ，A 分别是FG ，GH ，HE 的中点．所以，存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的2倍探究二：已知边长为1的正方形ABCD ，是否存在一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD 面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）探究三：已知边长为1的正方形ABCD ， 一个外接正方形EFGH ，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）探究四：已知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）【答案】不存在，详见解析【解析】【分析】探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．【详解】探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+x）2=12，整理得x2x+1=0，b2﹣4ac=3﹣4＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE=2﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+（2﹣x）2=12，整理得2x2﹣4x+3=0，b2﹣4ac=16﹣24＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，故答案为不存在；探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，所以EF=FG=GH=HE，设EB=x，则BF﹣x，∵Rt△AEB≌Rt△BFC，∴BF=AE﹣x，在Rt△AEB中，由勾股定理，得，x2+﹣x）2=12，整理得2x2﹣+n﹣1=0，b2﹣4ac=8﹣4n＜0，此方程无解，不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的解法等知识.读懂探究一的解答过程、正确运用一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．如图，某农家拟用已有的长为8m的墙或墙的一部分为一边，其它三边用篱笆围成一个面积为12m2的矩形园子．设园子中平行于墙面的篱笆长为ym（其中y≥4），另两边的篱笆长分别为xm．（1）求y关于x的函数表达式，并求x的取值范围．（2）若仅用现有的11m长的篱笆，且恰好用完，请你帮助设计围制方案．【答案】（1）y＝；1.5≤x≤3；（2）长为8m，宽为1.5m．【解析】【分析】（1）由矩形的面积公式可得出y关于x的函数表达式，结合4≤y≤8可求出x的取值范围；（2）由篱笆的长可得出y＝（11﹣2x）m，利用矩形的面积公式结合矩形园子的面积，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．【详解】（1）∵矩形的面积为12m2，∴y＝．∵4≤y≤8，∴1.5≤x≤3．（2）∵篱笆长11m，∴y＝（11﹣2x）m．依题意，得：xy＝12，即x（11﹣2x）＝12，解得：x1＝1.5，x2＝4（舍去），∴y＝11﹣2x＝8．答：矩形园子的长为8m，宽为1.5m．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及反比例函数的应用，解题的关键是：（1）利用矩形的面积公式，找出y关于x的函数表达式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．。
初三数学培优
一、补成三角形1.补成三角形 例1.如图1，已知E 为梯形ABCD 的腰CD 的中点；证明：△ABE 的面积等于梯形ABCD 面积的一半。
2.补成等腰三角形例2 如图2.已知∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠1＝∠2，CE ⊥BD ，求证：BD＝2CE3.补成直角三角形例3.如图3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＋∠C ＝90°，F 、G 分别是AD 、BC 的中点，若BC ＝18，AD ＝8，求FG 的长。
4.补成等边三角形例4.图4，△ABC 是等边三角形，延长BC 至D ，延长BA 至E ，使AE ＝BD ，连结CE 、ED 。
证明：EC ＝ED二、补成特殊的四边形1.补成平行四边形例5.如图5，四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、CD 、AC 、BD的中点，并且E 、F 、G 、H 不在同一条直线上，求证：EF 和GH 互相平分。
2.补成矩形例6.如图6，四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AB ＝200m ，CD ＝100m ，求AD 、BC 的长。
图图63.补成菱形例7.如图7，凸五边形ABCDE 中，∠A=∠B ＝120°，EA ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝DE ＝4，求其面积4.补成正方形例8.如图8，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠BAC ＝45°，BD ＝3，DC ＝2。
求△ABC 的面积。
5.补成梯形例9．如图9，已知： G 是△ABC 中BC 边上的中线的中点，L 是△ABC 外的一条直线，自A 、B 、C 、G 向L 作垂线，垂足分别为A 1、B 1、C 1、G 1。
求证：GG 1＝41(2AA 1＋BB 1＋CC 1)。
图7图8图9。
北师大版本数学九年级上册培优精品(全套)
北师大版本初三数学培优教案（精品资源）目录第一讲：相似三角形的判定及模型 (1)模块一：相似三角形的判定与性质 (1)模块二：Ａ字型与8字型 (4)模块三：射影定理 (7)第二讲：相似三角形的计算及证明 (9)模块一：共线三等角 (9)模块二：相似中的比例证明 (13)第三讲：动态几何专题一 (17)模块一：相似三角形 (17)模块二：特殊四边形 (20)第四讲：相似综合计算及应用 (24)模块一:相似应用 (24)模块二:相似的综合计算 (26)第五讲：反比例函数 (29)模块一:反比例函数定义和性质 (29)模块二:反比例函数k值意义初步 (34)第六讲:反比例K意义进阶 (37)模块一：反比例K意义进阶 (37)第七讲：反比例函数综合及应用 (45)模块一：函数应用 (45)模块二：函数综合 (48)第八讲：一元二次方程及其应用 (55)模块一：一元二次方程 (55)模块二：一元二次方程的应用 (60)第一讲：相似三角形的判定及模型模块一：相似三角形的判定与性质1．相似三角形的判定（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似．（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．（4）由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．例题精讲知识点一：相似三角形的判定例1．（1）如图，点D ，E 分别在△ABC 的AB ，AC 边上，增加下列条件中的一个：△△AED=△B ，△△ADE=△C ，△BC DE AB AE =，△ABAE AC AD =，△AC 2=AD·AE ，使△ADE 与△ACB 一定相似的有（ ）A ． △△△B ．△△△C ． △△△△D ．△△△△*（2）如图，已知△ABC，AB=AC，点E、F在边BC上，满足△EAF=△C，若BF=6，CE=4，则AC的值为．训练1-1．如图，已知△1=△2，若再增加一个条件不一定能使结论△ADE△△ABC成立，则这个条件是（）A．△D=△B B．C．D．△AED=△C训练1-2．如图，在四边形ABCD中，如果△ADC=△BAC，那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC相似的是（）A．△DAC=△ABC B．AC是△BCD的平分线C．AC2=BC•CD D．=训练1-3．如图所示，矩形ABCD中，点E在DC上且DE：EC=2：3，连接BE交对角线AC于点O．延长AD交BE的延长线于点F，则△AOF与△BOC的面积之比为．知识点二：相似三角形的性质例2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，△BAD的平分线交BC于E，交DC 的延长线于F，BG△AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11B．10C．9D．8训练2-1．如图，在△ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为（）A．B．C．D．训练2-2．若△ADE△△ACB，且=，若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是．模块二：Ａ字型与8字型1．A 字型及其变形：EC AE DB AD =，BCDE AC AE AB AD == AB AE AC AD ⋅=⋅2．8字型及其变形：CD AB CO BO DO AO == CDAB DO BO CO AO ==例题精讲知识点一：A 字型例1．（1）如图，在△ABC 中，正方形EFGH 的两个顶点E 、F 在BC 上，另外两个顶点G 、H 分别在AC 、AB 上，BC=15，BC 边上的高是10，则正方形的面积为（ ）A ．6B ．36C ．12D ．49（2）如图，已知△ABC 、△DCE 、△FEG 、△HGI 是4个全等的等腰三角形，底边BC 、CE 、EG 、GI 在同一直线上，且AB=2，BC=1，连接AI ，交FG 于点Q ，则QI= ．训练1-1．（1）如图，要在一起△ABC 的纸片上截取正方形DEFG 模型，其中G 、F 在BC 边上，D 、E 分别在 AB 、AC 边上，AH△BC 交于DE 于M ，若BC=12，AH=8，则正方形DEFG 的边长为（ ）A ．524 B ．4 C ．724D ．5训练1-2．如图，n+1个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，设△B 2D 1C 1面积为S 1，△B 3D 2C 2面积为S 2，…，△B n+1D n C n 面积为S n ，则S n 等于（ ）A ．B ．C ．D ．知识点二：8字型例2．（1）如图，点D 是AB 边的中点，AF△BC ，CG:GA=3:1，BC=8，则AF= ．（2）如图，已知△ABC△△DCE△△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC=1，则图中三个阴影部分的面积和为．训练2．（1）如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于M点，则FM=．（2）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）模块三：射影定理1．射影定理射影定理图模：如右图所示，图中所有的直角三角形都是相似的，则有：AC2=AD·AB；CD2=AD·DB；BC2=BD·AB．2．广义射影定理图模如右图所示，当△ACD=△B时，△ACD△△ABC，则有：AC2=AD·AB例题精讲知识点一：射影定理例1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD:BD=9:4，AC:BC的值为．（2）如图，在矩形ABCD中，F是AB的中点，且CF△BD于G，DG=2，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACP=△B，AC=4，AP=2，则AB=．3，则训练1-1．（1）如图，Rt△ABC在中，△C=90°，CD△AB于点D，且AD=6，AC=6CB=．（2）如图，在矩形ABCD中，AF:BF=2:1，且CF△BD于G，DG=3，CG值为，CD值为．（3）如图，已知△ACD=△B，AC=5，AD=3，则AB=．第二讲：相似三角形的计算及证明模块一：共线三等角1．三垂直及斜K模型△ABE△△ECD △ AB·CD = BE·EC2．共线三等角拓展模型特别地，当点E 是BC 的中点时，△ABE△△ECD△△AED，AE、DE 分别平分△ABD、△ADE．3．手拉手模型：结论：△ABC△△ADE△ABD△△ACE例题精讲知识点一：三垂直例1．（1）在矩形ABCD中，由8个边长均为1的正方形组成的“L 型”模板如图2放置，则BC边的长度为．（2）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，…按这样的规律进行下去，第2018个正方形的面积为．训练1-1．（1）如图，正方形ABCD的边长为10，内部有6个全等的正方形，小正方形的顶点E、F、G、H分别落在边AD、AB、BC、CD上，则DE 的长为．（2）如图，点P1，P2，P3，P4均在坐标轴上，且P1P2△P2P3，P2P3△P3P4，若点P1，P2的坐标分别为（0，﹣1），（﹣2，0），则点P4的坐标为．训练1-2．（1）如图为两正方形ABCD 、BEFG 和矩形DGHI 的位置图，其中G 、F 两点分别在BC 、EH 上．若AB=5，BG=3，则△GFH 的面积为何？（ ）A ．10B ．11C ．D ．（2） 如图，直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A ，B 两点．以AB 为短边在第一象限作一个矩形ABCD ，使得AB ：AD=1﹕2．则D 点的坐标为 ．知识点二：斜K 模型例2．如图，四边形ABCD ，M 为BC 边的中点．若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8，CD=9，则BC 的长为 ．训练2．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=34，则△ABC 的周长为 ．知识点三：手拉手模型例3．（1）如图，△ABC 中，AC=3，分别以BC 、AB 为底边作顶角为120°的等腰△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于 ．（2）如图，Rt△ABC 中，△BCA=90°，AB=AC ，AC 边上有点 D ，连结BD ，以BD 为腰作等腰直角三角形的BDE ，DE 交BC 于F ，那么下面结论：△△ABD△△CBE ； △△BCE=90°△DF·EF=BF·CF ； △BC －CE=2CD ．其中正确的有（ ）A ．△△B ．△△△C ．△△△D ．△△△△训练3．（1）如图，△ABC 中，AC=5，分别以BC 、AB 为底边作等边△BDC 和△AEB ，D 在△ABC 内，E 在△ABC 外，那么ED 的长等于（ ）A ．5B ．52C ．55D ．5（2）如图，在同一平面内将两个全等的等腰Rt△ABC和△AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF，AG与边BC的交点分别为D，E(点D不与点B重合，点E不与点C重合)．若BD=4，，DE=5，CE=3，则AD= ，AE= ．模块二：相似中的比例证明例题精讲例4．（1）如图，已知正方形ABCD中，BE平分△DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．①求证：△BDG△△DEG；②若EG•BG=4，求BE的长．（2）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，联结DE，过顶点B作BF△DE，垂足为F，BF交边DC于点G，求证：GD•AB=DF•BG．（3）如图，已知DE△BC，AO，DF交于点C．△EAB=△BCF，求证：OB2=OE•OF．训练4．（1）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，E为CD边的中点，将△ADE绕点E顺时针旋转180°，点D对应点为C，点A的对应点为F，过点E作ME△AF交BC于点M，交BD于点N，现有下列结论：△AM=AD+MC；△AM=DE+BM；△DE2=AD•CM；△点N为AM的中点其中正确的结论为．（4）如图，已知在△ABC中，△BAC=2△B，AD平分△BAC，DF△BE，点E在线段BA的延长线上，联结DE，交AC于点G，且△E=△C．①求证：AD2=AF•AB；②求证：AD•BE=DE•AB．（3）如图，已知A、B、C三点在同一条直线上，△ABD与△BCE都是等边三角形，其中线段AE交DB于点F，线段CD交BE于点G．求证：=．拓展（辅助线）△ABC，点D是AB的中点，过点D任作一条直线DF，交BC的延长线于F点，交AC于E点；求证：AE•CF=BF•EC．第三讲：动态几何专题一模块一：相似三角形例题精讲知识点一：直角相似例1．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=8，BC=6，CD△AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长；（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？训练1-1．如图所示，已知直线l的表达式为y=﹣x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B 两点，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向A移动，同时动点P 从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，其中一点停止运动，另一点也随之停止运动，设点Q、P移动时间为t秒．（1）求点A、B的坐标（2）当t为何值时，△APQ与△AOB相似；（3）当t为何值时，△APQ的面积最大，最大面积是多少？知识点二：非直角相似例2．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点C在x轴正半轴上，顶点B在第一象限，过点B作BD△y轴于点D，线段OA，OC的长是一元二次方程x2﹣12x+36=0的两根，BC=4，△BAC=45°．（1）求点A，C的坐标；（2）在y轴上是否存在点P，使以P，B，D为顶点的三角形与以P，O，A为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．模块二：特殊四边形例题精讲（菱形+直角三角形）例3．如图，在Rt△ABC中，△B=90°，AC=60，AB=30．D是AC上的动点，过D作DF△BC 于F，过F作FE△AC，交AB于E．设CD=x，DF=y．（1）求y与x的函数关系式；（2）当四边形AEFD为菱形时，求x的值；（3）当△DEF是直角三角形时，求x的值．训练3．如图，在△ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B 出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）连接DE、DF，当四边形AEDF为菱形，请求出此时t的值；（2）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．（面积+平行四边形）例4．如图△，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，点B在第二象限，且点B的横、纵坐标是一元二次方程m2+m﹣12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠，使点C落在AB边上的点F处，点E在CO边上．（1）直接填空：B（，），F（，）；（2）如图△，若△BCE从该位置开始，以固定的速度沿x轴水平向右移动，直到点C与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分的面积为S，请求出面积S与平移距离t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；（3）如图△，设点G为EF中点，若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M、N、B、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．训练4．已知，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC 与点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止，在运动过程中，已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．第四讲：相似综合计算及应用模块一:相似应用例题精讲例1．如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1．5米，那么路灯A 的高度AB是多少？训练1．墙壁CD上D处有一盏灯（如图），小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1．6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD=．例2．（1）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于米．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m，塔影长DE=36m，小明和小华的身高都是1．6m，小明站在点E处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m与2m，那么塔高AB为m．训练2．（1）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0．4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0．2米，一级台阶高为0．3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4．4米，则树高为．（2）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知CD=12m，DE=18m，小明和小华的身高都是1．5m，同一时刻小明站在E处，影子落在坡面上，影长为2m，小华站在平地上，影子也落在平地上，影长为1m，则塔高AB是米．模块二:相似的综合计算深圳中考真题训练1．如图，四边形ABCD 是正方体，CEA ∠和ABF ∠都是直角且点,,E A B 三点共线，4AB =，则阴影部分的面积是 ．2．在Rt ABC ∆中，︒=∠90C ，AD 平分CAB ∠，AD BE 、相交于点F ，且4,2AF EF ==，则AC = ．3．如图，在Rt△ABC 中，△ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN ，△MPN=90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE=2PF 时，AP= ．4．如图，CB=CA ，△ACB=90°，点D 在边BC 上（与B 、C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG△CA ，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论：△AC=FG ；△2:1==CEFG FAB S S 四边形△；△△ABC=△ABF ；△AC FQ AD •=2，其中正确的结论个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4例题精讲例3．（1）正方形ABCD中，F是AB上一点，H是BC延长线上一点，连接FH，将△FBH 沿FH翻折，使点B的对应点E落在AD上，EH与CD交于点G，连接BG交FH于点M，当GB平分△CGE时，BM=2，AE=8，则ED=．（2）如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的顶点A在x轴上，OA=4，OC=3，点D为BC边上一点，以AD为一边在与点B的同侧作正方形ADEF，连接OE．当点D在边BC上运动时，OE的长度的最小值是．训练3．（1）正方形ABCD的边长AB=2，E为AB的中点，F为BC的中点，AF分别与DE、BD相交于点M，N，则MN的长为．（2）一块矩形木板ABCD，长AD=3cm，宽AB=2cm，小虎将一块等腰直角三角板的一条直角边靠在顶点C上，另一条直角边与AB边交于点E，三角板的直角顶点P在AD边上移动（不含端点A、D），当线段BE最短时，AP的长为．（3）如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线一点，连接AE交CD于F，作△AEG=△AEB，EG交CD的延长线于G，连接AG，当CE=BC=2时，作FH△AG于H，连接DH，则DH 的长为．第五讲：反比例函数模块一:反比例函数定义和性质1．反比例函数的定义形如y=（k 为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．三种形式：y=（k 为常数，k≠0）、y=kx ﹣1（k 为常数，k≠0）、k y x =⋅（k 为常数，k≠0）2．反比例函数图象的对称性反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，对称轴分别是：△二、四象限的角平分线y=﹣x ； △一、三象限的角平分线y=x ；对称中心是：坐标原点．3．反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx （k≠0）的图象是双曲线；（2）当k ＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y 随x 的增大而减小；（3）当k ＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y 随x 的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．例题精讲例1．（1）下列函数中，表示y 是x 的反比例函数的是（ ）A ．y=B ．y=C ．y=2xD ．y=（2）函数y=（m+1）x是y 关于x 的反比例函数，则m= ．（3）反比例函数y=（2m ﹣1）x ，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，则m 的值是．训练1．（1）下列函数是反比例函数的是（）A．B．y=x2+x C．D．y=4x+8（2）若函数y=（m+1）是反比例函数，则m的值为．（3）若反比例函数的图象在第二、四象限，m的值为．例2．（1）在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+2和y=（m≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（1，3），C（3，1），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有公共点，则k的取值范围是．训练2．（1）已知一次函数y=mx+n与反比例函数y=其中m、n为常数，且mn＜0，则它们在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．（2）如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），若反比例函数y=在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是（）A．1≤k≤15B．3≤k≤15C．3≤k≤25D．15≤k≤25例3．（1）如果直线y=mx与双曲线y=的一个交点A的坐标为（3，2），则它们的另一个交点B的坐标为．（2）函数y=﹣的图象经过点A（x1，y1）、B（x2，y2），若x1＜x2＜0，则y1、y2、0三者的大小关系是（）A．y1＜y2＜0B．y2＜y1＜0C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0训练3．（1）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=的图象与正比例函数y=kx的图象交于点A（1，3）和点B，则点B的坐标为．（2）已知A（﹣4，y1），B（﹣1，y2）是反比例函数y=﹣图象上的两个点，则y1与y2的大小关系为．（3）若点A（x1，﹣6），B（x2，﹣2），C（x3，2）在反比例函数y=的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x1＜x3C．x2＜x3＜x1D．x3＜x2＜x1例4．（1）已知函数y1=，y2=x+1，若y1＞y2，则x的取值范围是（）A．x＜﹣1或0＜x＜2 B．﹣1＜x＜0或x＞2C．﹣2＜x＜0或x＞1D．x＜﹣2或0＜x＜1（2）如图，一次函数y1=x﹣1与反比例函数的图象交于点A（2，1）、B（﹣1，﹣2），则使y1＞y2的x的取值范围是．训练4．（1）已知直线y1=ax与双曲线y2=相交，如图所示，y1＞y2时x的范围是．（2）如图，直线y1=﹣x+b与双曲线y2=交于A、B两点，点A的横坐标为1，则不等式﹣x+b＜的解集是．模块二:反比例函数k 值意义初步1．k 的计算方法（1）一点坐标乘积xy=k （2）两点坐标乘积相等，列方程求k（3）三角形面积求k （4）矩形面积求k2．k 的几何意义（1）k =AOBP S 矩形 （2）ABO S △2k =（3）ABC S △=2|k| （4）ABM S △=|k|**3．面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形；△最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．例题精讲例5．（1）已知反比例函数图像上有两点A （a ，2）、B(m ，4)，已知a 和m 是方程0862=+-x x 的两个不等的解，则该反比例函数的解析式为 ．（2）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数y=的图象上，若点A 的坐标为（﹣2，﹣2），则k 的值为 ．训练5．（1）已知反比例函数图像经过二、四象限，并经过两点（a ，a+2）与（1，6a+5），则该反比例函数图像的解析式为 ．（2）如图，B （3，﹣3），C （5，0），以OC ，CB 为边作平行四边形OABC ，则经过点A 的反比例函数的解析式为 ．例6．（1）如图，已知函数y=kx 与函数y=的图象交于A 、B 两点，过点B 作BC△y 轴，垂足为C，连接AC．若△ABC 的面积为2，则k 的值为．（2）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于点C，若AB：AC=1：3，且S△AOB=，则k的值为．训练6．（1）如图，正比例函数y=﹣x与反比例函数y=﹣的图象相交于A、C两点，AB△x 轴于B，CD△x轴于D，则四边形ABCD的面积为．（2）如图，已知直线y=﹣2x+5与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△AOB沿直线AB 翻折后，设点O的对应点为点C，双曲线y=（x＞0）经过点C，则k的值为．第六讲:反比例K 意义进阶模块一：反比例K 意义进阶面积问题中的两种方法（1）几何法：△通过三角形或矩形的面积转化，把要求的面积转化成熟悉的三角形或矩形面积； △充分抓住已知条件中的特殊关系（比值、中点等）△如果找不到或用不上熟悉三角形或矩形，则需要作辅助线，辅助线的做法通常是通过反比例函数图像上的点作x 轴或y 轴的垂线来构造出熟悉三角形或矩形； △最后通过三角形或矩形面积算出k 的值．（2）代数法：△在反比例函数上找一合适的点（跟中点或比值等特殊关系有关的点）并设其坐标为（x ，y ）；△用x 和y 表示出整块大图形的面积和除已知面积图形外的三角形面积，并将其代入方程：已知部分全S S S =-△解出x 和y ，并通过xy=k 计算出k 的值．中考真题训练1．如图，A B 、是函数12y x =上两点，P 为一动点，作//PB y 轴，//PA x 轴，下列说法正确的是（ ）△AOP BOP ∆≅∆；△AOP BOP S S ∆∆=；△若OA OB =，则OP 平分AOB ∠；△若4BOP S ∆=，则16ABP S ∆=．A ．△△B ．△△C ．△△D ．△△2．如图，四边形ABCO 是平行四边形，,6,2==AB OA 点C 在x 轴的负半轴上，将 ABCO 绕点A 逆时针旋转得到平行四边形ADEF ，AD 经过点O ，点F 恰好落在x 轴的正半轴上．若点D 在反比例函数)0(y <=x xk 的图像上，则k 的值为_________．3．如图，Rt△ABC 的直角边BC 在x 轴正半轴上，斜边AC 边上的中线BD 的反向延长线交y 轴负半轴于点E ，双曲线xk y =(k ＞0）的图象经过点A ，若S △BEC =8，则k 等于4．如图，双曲线y=经过Rt△BOC 斜边上的点A ，且满足=，与BC 交于点D ，S △BOD =21，求k= ．例题精讲考点一：边长比例类例1．（1）已知反比例函数y=在第二象限内的图象如图，经过图象上两点A、E分别引y 轴与x轴的垂线，交于点C，且与y轴与x轴分别交于点M、B．连接OC交反比例函数图象于点D，且=，连接OA，OE，如果△AOC的面积是15，则△ADC与△BOE的面积和为．（2）如图，点A在双曲线y=的第一象限的那一支上，AB垂直于y轴与点B，点C在x 轴正半轴上，且OC=2AB，点E在线段AC上，且AE=3EC，点D为OB的中点，若△ADE 的面积为3，则k的值为．训练1．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴上的正半轴上，BC=2AC，点B、C在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则△OAB的面积为．（2）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴上，，△AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数y=的图象过点C，若以CD为边的正方形的面积等于，则k的值是．考点二：两个反比例函数例2．（1）双曲线与在第一象限内的图象如图所示，作一条平行于y轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为．（2）如图，点A与点B分别在函数y=与y=的图象上，线段AB 的中点M在y轴上．若△AOB的面积为2，则k1﹣k2的值是．（3）如图，已知点A是双曲线在第一象限分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边三角形ABC，点C在第四象限内，且随着点A的运动，点C的位置也在不断变化，但点C始终在双曲线上运动，则k的值是．训练2．（1）如图，点A在函数y=（x＞0）的图象上，点B在函数y=（x＞0）的图象上，且AB△x轴，BC△x轴于点C，则四边形ABCO的面积为．（2）如图，反比例函数y=﹣和y=上分别有两点B、C，且BC△x轴，点P是x轴上一动点，则△BCP的面积是．（3）如图，在Rt△ABC中，△ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC 的面积为．考点三：面积综合例3．（1）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在双曲线y=（k是常数，且k≠0）上，过点A作AD△x轴于点D，过点B作BC△y轴于点C，已知点A的坐标为（4，），四边形ABCD的面积为4，则点B的坐标为．（2）如图，矩形ABCD的顶点D在反比例函数y=（x＜0）的图象上，顶点B，C在x 轴上，对角线AC的延长线交y轴于点E，连接BE，若△BCE的面积是6，则k的值为．（3）如图，△AOB和△BCD均为等边三角形，且顶点A、C均在双曲线y=（x＞0），AD 与BC相交于点P，则图中△OAP的面积为．训练3．（1）如图，点E、F在函数y=的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A、B，且BE：BF=1：3，则△EOF的面积是．（2）如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上一点，OA与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点C，点B在y轴的正半轴上，且AB=OA，若△ABC的面积为6，则k的值为．（3）如图，点A、B在双曲线y=的第一象限分支上，AO的延长线交第三象限的双曲线于C，AB的延长线与x轴交于点D，连接CD与y轴交于点E，若AB=BD，S△ODE=，则k=．拓展题1．如图，△AOB为等边三角形，点B的坐标为（﹣4，0），过点C（4，0）作直线l交AO 于D，交AB于E，点E在某反比例函数图象上，当△ADE和△DCO的面积相等时，那么该反比例函数的解析式为y=．2．如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使△POA=45°，则点P的坐标为．第七讲：反比例函数综合及应用模块一：函数应用例题精讲例1．（1）某市一蔬菜生产基础用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15﹣20△的新品种，图中是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（△）随时间x（h）变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC是双曲线y=的一部分．请根据图中的信息解答下列问题：（1）求k的值；（2）恒温系统在一天内保持大鹏温度在15△及15△以上的时间有多少小时？（2）一般情况下，学生注意力上课后逐渐增强，中间有段时间处于较理想的稳定状态，随后开始分散．实验结果表明，学生注意力指数y随时间x（min）的变化规律如图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）上课后第5min与第30min相比较，何时学生注意力更集中？（2）某道难题需连续讲19min，为保证效果，学生注意力指数不宜低于36，老师能否在所需要求下讲完这道题？训练1．（1）某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）．①根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式．②问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？（2）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800△，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8min时，材料温度降为600△．煅烧时温度y（△）与时间x（min）成一次函数关系；锻造时，温度y（△）与时间x（min）成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是32△．①分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；②根据工艺要求，当材料温度低于480△时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？。
初三数学培优辅导资料
OAB初三数学培优辅导资料（三）一、选择题（每题3分，共30分）1、已知⊙O 的半径为13，弦AB 长为24，则点O 到AB 的距离是（ ） A.6 B.5 C.4 D.32、用半径为3cm ，圆心角是120°的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ）3、如图，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、D 在⊙0上，顶点C 在⊙O 直径BE 上，连接AE ，∠E =36°，则∠ADC 的度数是( )A ．44°B ． 54°C ．72°D ．53°第3题 第5题 第6题 第7题4、已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ） A. 33 B. 36 C. 332D. 3625、扇形AOB 的半径为1，∠AOB =90°，以AB 为直径画半圆．则图中阴影部分面积为( ) A ．14π B ．π12- C ．12D ．1142π+6、如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC =2，AE =，CE =1．则弧BD 的长是（ ）A.39π B. 239π C.33π D. 233π7、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）（a ＞3），半径为3，函数y =x 的图象被⊙P 截得的弦AB 的长为，则a 的值是（ ）A.4B. 32C. 32D. 338、已知⊙O 的直径CD =10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB =8cm ，则AC 的长为（ ）A ． 2πcmB ． 1.5cmC ． πcmD ． 1cmA. 25B. 45C. 25或45D. 23或439、如图，正六边形硬纸片ABCDEF在桌面上由图1的起始位置沿直线l不滑行地翻滚一周后到图2位置，若正六边形的边长为2cm，则正六边形的中心O运动的路程为( )A. πcm．B. 2πcm．C.3πcmD. 4πcm．10、如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．点P是直径MN上一动点，则P A+PB的最小值为（）A．B．1C．2 D．2第9题第10题第11题二、填空题（每题4分，共24分）11、如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是．12、直径为10cm的⊙O中，弦AB=5cm，则弦AB所对的圆周角是．13、如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2cm，∠BCD=22°30′，则⊙O的半径为cm．14、在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8cm，==，M是AB上一动点，CM+DM的最小值是cm．15、如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为．第13题第14题第15题第16题16、如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是．三、简答题（共66分）17、（本题6分）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，求折痕AB的长.18、（本题8分）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD 与AC交于点E．（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．19、（本题8分）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．20、（本题10分）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，求AD的长.21．（本题10分）如图，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上，AC =3，∠ACB =90o ，∠A =30o ，若△RtABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线上l 时，求点A 所经过的路线的长。
初三数学培优(10)
初三数学培优（10） 姓名_________1、将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2．2、如图，点A 、B 是双曲线3y x=上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ． 3、函数11y x =+与2y ax b =+（0a ≠）的图象如图所示，这两个函数图象的交点在y 轴上，那么使1y ，2y 的值都大于零的x 的取值范围是 ．4、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，则下列结论中：（1）c <0；0)2(>b ； （3）420a b c ++>； （4）22)(b c a <+，正确的有（ ）B ． 3个C ． 2个D ． 1个5、如图，BD AC ,是⊙O直径，且BD AC ⊥，动点P 从圆心O 出发，沿O D C O →→→ 路线作匀速运动，设运动时间为t （秒），y APB =∠（度），则下列图象中表示y 与t 之间的函数关系最恰当的是（ ）6、如图，在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，过A 作x 轴的平行线，交函数x y 2-=(x ＜0）的图象于B ，交函数x y 6=（x ＞0）的图象于C ，过C作y 轴的平行线交BD 的延长线于D ． （1）如果点A 的坐标为(02)，，求线段AB 与线段CA （2）如果点A的坐标为(0)a ，，求线段AB 与线段CA （3）在（2）的条件下，求四边形AODC 的面积.y y第4题图B ．D ．A ．C ．7、某商场购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个．（1）假设销售单价提高x 元，那么销售每个篮球所获得的利润是 元；这种篮球每月的销售量是 个；（用含x 的代数式表示）（2）8000元是否为每月销售这种篮球的最大利润？如果是，请说明理由；如果不是，请求出最大利润，并求出此时篮球的售价应定为多少元．8、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC ＝8，点D 在斜边AB 上（不与A 、B 重合），分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E ，F ，得四边形DECF ，设DE ＝x ， DF ＝y.（1）用含y 的代数式表示AE ，得AE ＝________. （2）求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围. （3）设四边形DECF 的面积为S ，求出S 的最大值.9、已知：如图，直径为OA 的M ⊙与x 轴交于点O 、A ， 点B C 、把弧OA 分为三等分，连结MC 并延长 交y 轴于D （0，3）。
人教版九年级数学培优辅导资料
九年级数学培优辅导资料第1、2讲 一元一次方程与二元一次方程组一、目标要求：1．了解等式、方程、一元一次方程和二元一次方程(组)的概念，掌握等式的基本性质． 2．掌握一元一次方程的标准形式，熟练掌握一元一次方程和二元一次方程组的解法． 3．会列方程(组)解决实际问题.二、课前热身1．方程2x-5=3的解是（ ）A ．x=4B ．x=-4C ．x=1D ．x=-12．某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6•1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x 支，则依题意可列得的一元一次方程为（ ）A.1.2×0.8x+2×0.9（60+x ）=87B.1.2×0.8x+2×0.9（60﹣x ）=87C.2×0.9x+1.2×0.8（60+x ）=87D.2×0.9x+1.2×0.8（60﹣x ）=873．某单位组织34人分别到井冈山和瑞金进行革命传统教育，到井冈山的人数是瑞金的人数的2倍多1人，求到两地的人数各是多少？设到井冈山的人数为x 人，到瑞金的人数为y 人．下面所列的方程组正确的是（ ）A ．3412x y x y +=⎧⎨+=⎩B ．3421x y x y +=⎧⎨=+⎩C ．3421x y x y +=⎧⎨=+⎩D ．23421x y x y +=⎧⎨=+⎩4．方程组525x y x y =+⎧⎨-=⎩的解满足方程x ＋y －a=0，那么a 的值是（ ）A ．5B ．－5C ．3D ．－35．方程组的解是（ ）A ．B ．C ．D ．三、【基础知识重温】1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示 关系的式子叫等式. ⑵ 性质：① 如果b a =，那么=±c a ；② 如果b a =，那么=ac ；如果b a =()0≠c ，那么=ca. 2. 方程、一元一次方程的概念⑴ 方程：含有未知数的 叫做方程；使方程左右两边值相等的 ，叫做方程的解；求方程解的 叫做解方程. 方程的解与解方程不同.⑵ 一元一次方程：在整式方程中，只含有 个未知数，并且未知数的次数是 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为 ()0≠a . 3. 解一元一次方程的步骤：①去 ；②去 ；③移 ；④合并 ；⑤系数化为1.x y 60x 2y 30+=⎧⎨-=⎩x 70y 10=⎧⎨=-⎩x 90y 30=⎧⎨=-⎩x 50y 10=⎧⎨=⎩x 30y 30=⎧⎨=⎩5. 二元一次方程组：把具有相同未知数的两个 合在一起，就组成了一个二元一次方程组.6．二元一次方程的解： 适合一个二元一次方程的 未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有 个解.7．二元一次方程组的解： 二元一次方程组的两个方程的 ，叫做二元一次方程组的解. 8. 解二元一次方程组的方法：消元是解二元一次方程组的基本思路，方法有 消元和 消元法两种.四、例题分析题型一 一元一次方程的解法例1. （2016·辽宁大连）方程2x+3=7的解是（ ）A ．x=5B ．x=4C ．x=3.5D ．x=2 【趁热打铁】1.已知关于x 的方程3a-x=4的解为2，求代数式(-a)2-2a+1的值.2．解方程：（1）53(2)8x x +-= （2）212143x x -+=-3．解方程：)21(25)2(34y y y --=+-题型二 二元一次方程组的解法 例2. （2016•新疆）解方程组⎩⎨⎧=-=+②8y 3x ①732y x ．例3. （2016•内蒙古通辽）已知a 、b 满足方程组23319a b a b -=⎧⎨+=⎩= ．【趁热打铁】1.已知是方程组的解，则a ﹣b 的值是（ ）A. B. C. D.2．方程组⎩⎨⎧=-=+32y x a y x 的解为⎩⎨⎧==by x 5，则a 、b 分别为 （ ）A ．a ＝8，b ＝－2B ．a ＝8，b ＝2C ．a ＝12，b ＝2D ．a ＝18，b ＝8 3.方程组13x y x y -=⎧⎨+=⎩的解是 。
初三数学培优辅导资料(可编辑修改word版)
，；C n的顶点表示) ．2 2 21. 阅读理解：初三数学培优辅导资料（十）如图 1，在平面内选一定点 O ，引一条有方向的射线 Ox ，再选定一个单位长度，那么平面上任一点 M 的位置可由∠MOx 的度数 θ 与 OM 的长度 m 确定，有序数对（θ，m ）称为 M 点的“极坐标”，这样建立的坐标系称为“极坐标系”。
应用：在图 2 的极坐标系下，如果正六边形的边长为 2，有一边 OA 在射线 Ox 上，则正六边形的顶点 C 的极坐标应记为（）A ．（60°，4）B ．（45°，4）C ．（60°，2 ）D ．（50°，2 ） 2. 如图，已知点 A 1，A 2，…，A 2011 在函数 y = x 2 位于第二象限的图象上，点 B 1，B 2，…，B 2011在函数 y = x 2 位于第一象限的图象上，点 C 1，C 2，…，C 2011 在 y 轴的正半轴上，若四边形OA 1C 1B 1 、C 1 A 2C 2 B 2 ，…， C 2010 A 2011C 2011B 2011 都是正方形，则正方形C 2010 A 2011C 2011B 2011 的边长为()A. 2010B. 2011C. 2010D. 2011A第 1 题图第 2 题图第 3 题图3. 如图，点 A 、B 、C 在⊙O 上，OD ⊥AB 于点 D ，OE ⊥CB 于点 E ,弧 AB 度数为 40°，弧 CB 的度数为 50°，且 DE =6，则⊙O 半径的长度是 .4. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y =-x (x -3)（0≤x ≤3）在 x 轴上方部分记作 C 1， 它与 x 轴交于点 O ，A 1，将 C 1 绕点 A 1 旋转 180°得 C 2，C 2 与 x 轴交于另一点 A 2．继续操作并探究：将 C 2 绕点 A 2 旋转 180°得 C 3，与 x 轴交 于另一点 A 3；将 C 3 绕点 A 2 旋转 180°得 C 4，与 x 轴交于另一点 A 4，这样依次得到 x 轴上的点 A 1，A 2，A 3，…，A n …，及抛物线 C 1，C 2，…，C n ，则点 A 4 的坐标为 Cn 的顶点坐标为 (n 为正整数，用含 n 的代数式5. 一张圆心角为 45°的扇形纸板盒圆形纸板按如图方式分别剪成一个正方形，边长都为 1，则扇形和圆形纸板的面积比是( )A ． 5：4B ． 5：2C ．：2D ．：6. 如图是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，其对称轴为 x =－1，且过点(－3,0)。
初三数学培优题
初三数学培优题Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998为您提供优质放心的教育服务数学培优题]孙老师第一讲（三角形、四边形及多边形）第二讲：（三角形、四边形及多边形）第三讲与圆有关的性质第四讲直线与圆的位置关系第五讲：与圆有关的比例线段+圆内接四边形第六讲:圆的综合运用第七讲:函数图像、性质的应用第八讲：二次函数-特殊三角形第九讲：二次函数-平行四边形第十讲二次函数（面积与计算）第十一讲:三角函数及综合第十二讲一次函数与反比例函数第一讲（三角形、四边形及多边形）★你了解直线型问题的中考方向吗所谓直线型问题，包括了直线、角、三角形、四边形及其多边形，这部分内容知识点多，题型变化多样，是中考重点考察内容之一。
成都市历年中考题中，这部分知识点约占25分。
分析近三年成都和全国其他省市的中考题，我们发现：这部分知识的考题一般设置为中档题，在A卷出现比较多些，有填空、选择、解答或证明，在B 卷中出现的题量和分值配备相对少些。
但是，当这部分知识与圆相结合或与函数图象结合，常常成为压轴题的重要组成部分。
★你必须记住的考点1、平行线的性质与判定；2、三角形的内角和定理；3、三角形三边之间的关系定理；★4、三角形全等（相似）的性质与判定；5、三角形（梯形）的中位线定理；6、三角形的“五心”；★7、特殊三角形（等腰三角形、直角三角形等）的性质与判定；★8、平行四边形（包括正方形、菱形、矩形）的性质与判定；9、多边形的内角和定理；★10、三角形中的重要线段（角平分线，中线，垂线，高）★你必须掌握的方法解决直线型问题最基本的方法就是法：面对复杂几何图形时，要从不同的角度去观察，学会辨认图形。
即要善于从复杂图形中寻找、分离出我们最熟悉的图形，从而利用熟悉图形的性质给予解答。
同时思考问题一定要快速、准确、全面，还要综合运用分类讨论法、方程等思想方法。
★全等、相似常见模型全等模型有：旋转型、对称型、叠合型、平移型；相似常见模型：（1）平行型：（A 型，X 型） （2）交错型 （3）旋转型 （4）母子三角形★ 中考考点分析、典例解析◆ 题型一------概念型【例1】如图：直线a,b,c 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站P ，要求它到三条公路的距离相等，则(1)可供选择的地址有（ ）A 、一处B 、二处C 、三处D 、四处（2）、若∠ABC=070,则∠APC=【例2】若三角形的三个角满足关系式：C B A ∠=∠=∠3121，则这个三角形是（ ）A 、锐角三角形B 、钝角三角形C 、直角三角形D 、等腰三角形◎ 目标训练11、等腰三角形一边长为5，另一边长为11，则其周长为（ ）A 、21B 、27C 、21或27D 、162、如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC ∆相似的是（ ）◆ 题型二------计算、证明型【例3】已知关于x 的一元二次方程（a +c ）x 2+2bx +（a ﹣c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果x =﹣1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【例4】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值；（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．【例5】已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P 点处．（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、O A．①求证：△OCP∽△PDA；②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；（3）如图2，，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．【例6】例如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DE∥AB，EF∥A C．（1）求证：BE=AF；（2）若∠ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积．【例7】如图，矩形ABCD中，AB=20，BC=10，点P为AB边上一动点，OP 交AC于点Q．（1）求证：△APQ∽△CDQ；（2）P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．①当t为何值时，DP⊥AC②设S △APQ +S △DCQ =y ，写出y 与t 之间的函数解析式，并探究P 点运动到第几秒到第几秒之间时，y 取得最小值．【例8】如图，已知直线l 1∥l 2，线段AB 在直线l 1上，BC 垂直于l 1交l 2于点C ，且AB =BC ，P 是线段BC 上异于两端点的一点，过点P 的直线分别交l 2、l 1于点D 、E （点A 、E 位于点B 的两侧），满足BP =BE ，连接AP 、CE ．（1）求证：△ABP ≌△CBE ；（2）连结AD 、BD ，BD 与AP 相交于点F ．如图2．①当=2时，求证：AP ⊥BD ；②当=n （n ＞1）时，设△PAD 的面积为S 1，△PCE 的面积为S 2，求的值．第二讲：（三角形、四边形及多边形）2一：知识点回顾1四边形性质2特殊四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形）的性质及差异 3特殊四边形的判定方法4四边形中常见的辅助线二：例题分析例1：如图，在平行四边形ABCD 中，∠C =60°，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，BC =2C D ．（1）求证：四边形MNCD 是平行四边形；（2）求证：BD =MN ．例2：如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ．（1）证明：FD =AB ；（2）当平行四边形ABCD 的面积为8时，求△FED 的面积．例3：如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥AB 于点D ，BC =10cm ，AD =8cm ．点P 从点B 出发，在线段BC 上以每秒3cm 的速度向点C 匀速运动，与此同时，垂直于AD 的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．例4：如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC的延长线上，连结EF与边CD相交于点G，连结BE与对角线AC相交于点H，AE=CF，BE=EG．（1）求证：EF∥AC；（2）求∠BEF大小；（3）求证：=．例5：如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M 顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系请说明理由．例6：如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．第三讲与圆有关的性质1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，（1）求证：CB∥PD；（2）若BC=3，sin∠P=35，求⊙O的直径．2.如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．（1）求证：CG是⊙O的切线．（2）求证：AF=CF．（3）若∠EAB=30°，CF=2，求GA的长．B 3.如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于点E ，BE 交⊙O 于点F ，连接AF ，AF 的延长线交DE 于点P ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）求tan ∠ABE 的值；（3）若OA=2，求线段AP 的长．4.(2014年天津市，第21题10分)已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB =6，求AC ，BD ，CD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB =60°，求BD 的长．5.如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点C 为圆心，CD 为半径作圆交BC 的延长线于点E ，交AD 于点F ，交AE 于点M ，且∠B=∠CAE ，EF ：FD=4：3．（1）求证：点F 是AD 的中点；（2）求cos ∠AED 的值；（3）如果BD=10，求半径CD 的长．6.（2014襄阳，第25题10分）如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC =∠BPC =60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D ．（1）求证：△ADP ∽△BDA ；（2）试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若AD =2，PD =1，求线段BC 的长．7.如图，在Rt △ABC 中，∠A=90°，O 是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与AB 边相切于点D ，与AC 、BC 边分别交于点E 、F 、G ，连接OD ，已知BD=2，AE=3，tan ∠BOD=．（1）求⊙O 的半径OD ；（2）求证：AE 是⊙O 的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．8.已知：如图，ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交 ⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连结AD ．（1）求证：∠DAC ＝∠DBA ；（2）求证：P 是线段AF 的中点；（3）若⊙O 的半径为5，AF ＝ 215，求tan ∠ABF 9.已知：如图，以矩形ABCD 的对角线AC 的中点O 0，⊙O 经过B 、D 两点，过点B 作BK ⊥AC ，垂足为K ．过D 作DH ∥KB ，DH 分别与AC 、AB 、⊙O 及CB 的延长线相交于点E 、F 、G 、H ．(1)求证：AE=CK；(2)如果AB=a，AD=13a (a为大于零的常数)，求BK的长；(3)若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．第四讲直线与圆的位置关系【知识点】※1. 直线和圆相交、相切相离的定义:(1)相交: 直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交,这时直线叫做圆的割线.(2)相切: 直线和圆有惟一公共点时,叫做直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,惟一的公共点做切点.(3)相离: 直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.※2. 直线与圆的位置关系的数量特征:设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d；①d<r <===> 直线L和⊙O相交.②d=r <===> 直线L和⊙O相切.③d>r <===> 直线L和⊙O相离.※3. 切线的总判定定理:经过半径的外端并且垂直于这个条半径的直线是圆的切线.※4. 切线的性质定理:圆的切线垂直于过切点的半径.※推论1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.※推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.※分析性质定理及两个推论的条件和结论间的关系,可得如下结论:如果一条直线具备下列三个条件中的任意两个,就可推出第三个.①垂直于切线; ②过切点; ③过圆心.※5. 三角形的内切圆、内心、圆的外切三角形的概念.和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,内切圆的圆心叫做三角形的内心, 这个三角形叫做圆的外切三角形.※6. 三角形内心的性质:(1)三角形的内心到三边的距离相等.(2)过三角形顶点和内心的射线平分三角形的内角.由此性质引出一条重要的辅助线: 连接内心和三角形的顶点,该线平分三角形的这个内角.【例题分析】1.（2014德州，第22题10分）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为5cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．（1）求AC 、AD 的长；（2）试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．2. 如图，直线与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥交⊙O于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE ，AF ，并分别延长交直线于B 、C 两点；（1）求证：∠ABC+∠ACB=90°；（2）若⊙O 的半径5=R ，BD=12，求tan ∠ACB 的值．3.如图，AB 为的直径，点C 在⊙O 上，点P 是直径AB 上的一点（不与A ，B重合），过点P 作AB 的垂线交BC 的延长线于点Q 。
九年级数学全年级培优资料
第1讲 一元二次方程的解法考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2．掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程； 3．会应用一元二次方程解实际应用题。
经典·考题·赏析【例１】下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ）A .(m -2)x 2-2x -1=0B .k 2x +5k +3=0C 21203x --= D .22340x x+-= 【解法指导】A 、B 选项中的二次系数可以为0，不是；D 的分母中含字母，不符合.故选C .【变式题组】1．（威海）若关于x 的一元二次方程x 2+(k +3)x +k =0的一个根是-2，则另一个根是___________.【例2】如果m 、n 是两个不相等的实数，且满足m 2-2m =1，n 2-2n =1，那么代数式2m 2+4n 2-4n +1998=___________. 【解法指导】本题要运用整体代入法，根据一元二次方程根的定义运用整体代入法降次.解：由题意，2m 2=4m +2，4n 2=8n +2，则原式=(4m +2)+(8n +2)-4n +1998=(4m +4n )+4+1998，又由根与系数关系得m +n =2，∴原式=2010.【变式题组】2．（南昌）若3a 2-a -2=0，则5+2a -6a 2=___________.3．（烟台）设a 、b 是方程x 2+x -2009=0的两个实数根，则a 2+2a +b 的值为（ ） A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009【例3】关于x 的一元二次方程(m -3)x 2+4x +m 2-9=0有一个根为0，m 的值为___________. 【解法指导】方法1：将x =0代入；方法2：有一个根为0，则常数项为0.解：依题意m 2-9=0，∴m =±3，根据方程是一元二次方程得m ≠3，综合知m =-3. 【变式题组】4．（庆阳）若关于x 的方程x 2+2x +k -1=0的一个根是0，则k =___________.5．（东营）若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x +m 2-3m +2=0的常数项为0，则m 的值等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．0【例4】（连云港）解方程：x 2+4x -1=0. 【解法指导】解：解法一：∵a =1，b =4,c =-1，∴x .即x =-2∴原方程的根为1222x x =-=-解法二：配方，得(x +2)2=5，直接开平方，得2x -=,∴原方程的根为1222x x =-=-【变式题组】6．（清远）方程x 2=16的解是（ ）A ．x =±4B ．x =4C ．x =-4D ．x =16 7.（南充）方程(x -3)(x +1)=x -3的解是（ ）A .x =0B .x =3C .x =3或x =-1D .x =3或x =0 8.（咸宁）方程3x (x +1)=3x +3的解为（ ）A ．x =1B ．x =-1C ．x 1=0，x 2=-1D ．x 1=1，x 2=-19.（温州）我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、开平方法、配方法和公式法.请从以下一元二次方程中任选一个，并选择你认为适当的方法解这个方程. ①x 2-3x +1=0；②(x -1)2=3；③x 2-3x =0；④x 2-2x =4.【例5】（山西）解方程：6x 2-x -12=0 【解法指导】为便于配方可先化二次项系数为1，解：方程两边都除以6，移项得x 2-16x =2，配方得x 2-16x +(-112)2=2+(-112)2,(x -112)2=289144=(1712)2，即x -112=±1712，∴x 1=32,x 2=43-. 【变式题组】10．（仙桃）解方程：x 2+4x +2=0.11．（武汉）解方程：x 2-3x -1=0.12．（山西）解方程：x 2-2x -3=0.演练巩固·反馈提高01．（宁德）方程x 2-4x =0的解是___________. 02．（十堰）方程(x +2)(x -1)=0的解为___________. 03．（大兴安岭）方程(x -5)(x -6)=x -5的解是（ ）A ．x =5B ．x =或x =6C ．x =7D ．x =5或x =704．（太原）用配方法解方程x 2-2x -5=0时，原方程应变形为（ ）A ．(x +1)2=6B ．(x -1)2=6C ．(x +2)2=9D ．(x -2)2=905．（云南）一元二次方程5x 2-2x =0的解是（ ）A ．1220,5x x ==B ．1250,2x x ==- C ．1250,2x x == D ．1220,5x x ==-06．（黄石）已知a 、b 是关于x 的一元二次方程x 2+nx -1=0的两实数根，则式子b aa b+的值是（ ）A ．n 2+2B ．-n 2+2C ．n 2-2D ．-n 2-2 07．（毕节）有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人08．（台州）用配方法解一元二次方程x 2-4x =5的过程中，配方正确的是（ ）A ．(x +2)2=1B ．(x -2)2=1C ．(x +2)2=9D ．(x -2)2=909．（义乌）解方程x 2-2x -2=0.10．（兰州）用配方法解一元二次方程：2x 2+1=3x .11．（新疆）解方程：(x -3)2+4x (x -3)=0.12．（梧州）解方程：(x -3)2+2x (x -3)=0.13．（长春）解方程：x 2-6x +9=(5-2x )2.14．（上海）解方程：21220y x x xy -=⎧⎪⎨--=⎪⎩①②培优升级·奥赛检测01．（鄂州）已知α、β为方程x 2+4x +2=0的两个实根，则α3+14β+50=___________. 02．已知x 是一元二次方程x 2+3x -1=0的实数根，那么代数式235(2)362x x x x x -÷+---的值为___________.03．（苏州）若x 2-x -2=0）.ABCD04．（全国联赛）已知三个关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0，bx 2+cx +a =0，cx 2+ax +b =0，恰有一个公共实数根，则222a b c bc ca ab++的值为（ ）.A ．0B ．1C ．2D ．3 05．（全国联赛）已知实数x 、y 满足：42423x x-=，y 4+y 2=3，则444y x +的值为（ ）.A ．7BCD ．506．（全国联赛）已知m ，n ，且(7m 2-14m +a )(3n 2-6n -7)=8，则a 的值等于（ ）.A ．-5B ．5C ．-9D ．907．（毕节）三角形的每条边的长都是方程x 2-6x +8=0的根，则三角形的周长是___________. 08．（滨州）观察下列方程及其解的特征：⑴12x x +=的解为x 1=x 2=1；⑵152x x +=的解为x 1=2，x 2=12；⑶1103x x +=的解为x 1=3，x 2=13；…… 解答下列问题： ⑴请猜想：方程1265x x +=的解为________；⑵请猜想：关于x 的方程1x x +=________的解为x 1=a ，x 2=1a （a ≠0）；⑶下面以解方程1265x x +=为例，验证⑴中猜想结论的正确性.解：原方程可化为5x 2-26x =-5.（下面请大家用配方法写出解此方程的详细过程）09．（泸州）如图，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2），…P n （x n ，y n ）在函数4y x=（x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…△P n A n -1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1、A 1A 2、A 2A 3、…A n -1A n 都在x 轴上.⑴求P 1的坐标；⑵求y 1+y 2+y 3+…+y 10的值.第2讲根的判别式及根与系数的关系考点·方法·破译1．掌握一元二次方程根的判别式的运用，能兼顾运用的条件；2．理解掌握一元二次方程的根与系数关系，并会运用根与系数关系求对称式的值.经典·考题·赏板【例１】（成都）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k>-1 B. C.k<1 D.【解法指导】由题意得【变式题组】1．（十堰）下列方程中，有两个不相等实数根的是（）A． B. C. D.2．(潍坊)关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是（）A．6 B.7 C.8 D.9【例２】（荆州）关于x的方程只有一解（相同解算一解），则a的值为（）A．a=0 B.a=2 C.a=1 D.a=0或a=2【解法指导】本题考查方程的有关知识，关于x的方程只有一解，有两种情况，①该方程是一元一次方程，此时a=0；②该方程是一元二次方程，方程有两个相等的实数根，,解得a=2.故选D.【变式题组】3．(成都)设是一元二次方程的两个实数根，则的值为_________.4．(南通)设是一元二次方程的两个实数根，则,则a=______【例３】（包头）关于x的一元二次方程的两个实数根分别是，且=7,则的值是（）A．1 B.12 C.13 D.25【解法指导】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，要注意所求的值必须满足.由题意知：又∵,而当m=5时，原方程的判别式,此时方程无解，不合题意舍去.,故选C.【变式题组】5．（潍坊）已知关于x的一元二次方程的两个实数根是,则k的值是（）A．8 B.-7 C.6 D.56．（鄂州）设是关于x的一元二次方程的两实根，当a为何值时，有最小值？最小值是多少？【例４】（兰州）已知关于x的一元二次方程.(1)如果此方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；(2)如果此方程的两个实数根为,且满足,求a的值.【解法指导】 解：（1）.∵方程有两个不相等的实数根，.(2)由题意得：【变式题组】7．(绵阳)已知关于x 的一元二次方程x 2 + 2（k －1）x + k 2－1 = 0有两个不相等的实数根．（1）求实数k 的取值范围； （2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由．【例５】 （中山）已知关于x 的方程.（1）求证:方程有两个不相等的实数根.（2）当m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.【解法指导】 证明方程有两个不相等的实数根，一般要把化为完全平方加正常数的形式.（1）证明:因为△=)12(4)2(2--+m m =4)2(2+-m 所以无论m 取何值时, △>0，所以方程有两个不相等的实数根.（2）解：因为方程的两根互为相反数，所以021=+x x ，根据方程的根与系数的关系得02=+m ，解得2-=m ，所以原方程可化为052=-x ，解得51=x ，52-=x【变式题组】8．(中山)已知一元二次方程.(1)若方程有两个实数根，求m 的值；（2）若方程的两个实数根为，且+,求m 的值.【例６】 设实数s ,t 分别满足,并且st ≠1，求的值.【解法指导】 本题要观察s,t 的共同点，应用方程的思想，把它们看做一个一元二次方程的两根，应用根与系数关系求值. 解：∵s ≠0，∴第一个等式可以变形为：,又∵st ≠1，∴t 是一元二次方程x 2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有,即st + 1 =－99s ，t = 19s ．∴演练巩固·反馈提高01．(东营)若n （n ≠0）是关于x 的方程的根，则m+n 的值为A.1B.2C.-1D.-202．(株洲)定义：如果一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠满足0a b c ++=，那么我们称这个方程为“凤凰”方程. 已知20(0)ax bx c a ++=≠ 是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是A ．a c =B ．a b =C ．b c =D ． a b c ==03．（崇左）一元二次方程的一个根为-1，则另一个根为 ．04．(贺州)已知关于x 的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．05．（上海）如果关于x 的方程20x x k -+=（k 为常数）有两个相等的实数根，那么k = ．1、 06．（泰安）关于x 的一元二次方程02)12(22=-+++-k x k x 有实数根，则k 的取值范围是 .07．（淄博）已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x ． （1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围； （2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；（3）若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy =的图象上，求满足条件的m 的最小值．08．已知关于x 的一元二次方程(1)若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （2）若方程的两个实数根之积等于,求的值.02=--m x x09．（孝感）已知关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围；（2）当22120x x -=时，求m 的值．10．（鄂州）关于x 的方程04)2(2=+++kx k kx 有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围.(2)是否存在实数k ，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由 11．（北京）已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 的取值范围满足什么条件时，2y m ≤．12．（淄博）已知12,x x 是方程220x x a -+=的两个实数根，且1223x x +=- (1)求12,x x 及a 的值； (2)求32111232x x x x -++的值．培优升级·奥赛检测01．（全国联赛）设213a a +=，213b b +=，且a b ≠，则代数式2211a b+的值为 （ ）A 5. B7. C 9. D.11.02．（延边预赛）已知m 是方程的一个根，则代数式的值等于（ ）A ．2016 B.2017 C.2018 D.201903．如果a 、b 都是质数，且,那么的值为（ ）A ． B. C. D 或204．（全国竞赛）已知实数，且满足的值为（ ）A ．23 B.-23 C.-2 D.-1305.(全国竞赛)设是关于x 的方程的两个实数根，则的最大值为___________06．已知是方程的两个实数根，则07．（全国联赛）对于一切不小于2的自然数n ，关于x 的一元二次方程的两个根记作,则__08．已知关于x的方程：.(1)求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根；（2）若这个方程的两个实根为，满足,求m的值及相应的.09．（全国竞赛）设m是不小于-1的实数，使得关于x的方程有两个不相等的实数根,(1)若,求m的值；（2）求的最大值.第3讲 一元二次方程的应用考点方法破译1．能灵活应用一元二次方程的四种解法解方程； 2．会建立一元二次方程模型解实际应用题． 经典考题赏析【例l 】 (南平)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为( )A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人【解法指导】 构建一元二次方程模型求解．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x,第一轮被传染人数为x ，患流感人数为x+l ；第二轮被传染人数为x(x+1)，所以l+x+x(x+1)=100，解得x=9．应选B ． 【变式题组】 1．(甘肃)近年来，全国房价不断上涨，某县2010年4月份的房价平均每平方米为3600元，比2008年同期的房价平均每平方米上涨了2000元，假设这两年该县房价的平均增长率为x ，则关于x 的方程为 ．2．(襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m 2。
九年级数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)
九年级数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、选择题1．在半径为3cm 的⊙O 中，若弦AB ＝32，则弦AB 所对的圆周角的度数为（ ） A ．30°B ．45°C ．30°或150°D ．45°或135°2．二次函数y=﹣（x ﹣1）2+5，当m≤x≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m+n 的值为（ ） A ．B ．2C ．D ．3．如图，已知AB 为O 的直径，点C ，D 在O 上，若28BCD ∠=︒，则ABD ∠=（ ）A ．72︒B ．56︒C ．62︒D ．52︒4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 5．抛物线y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是( )A ．(0，﹣1)B ．(﹣2，﹣1)C ．(2，﹣1)D ．(0，1)6．如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C ，D 都在格点上，点E 在AB 的延长线上，以A 为圆心，AE 为半径画弧，交AD 的延长线于点F ，且弧EF 经过点C ，则扇形AEF 的面积为（ ）A ．58π B ．58πC ．54πD ．54π 7．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是A ．B ．C ．D ．8．如果两个相似三角形的周长比是1：2，那么它们的面积比是（ ） A ．1：2B ．1：4C ．1：2D ．2：19．如图，四边形ABCD 中，90BAD ACB ∠=∠=，AB AD =，4AC BC =，设CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是（ ）A ．2225y x =B ．2425y x =C ．225y x =D ．245y x =10．有一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，这组数据的中位数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．911．如图，AC 是⊙O 的内接正四边形的一边，点B 在弧AC 上，且BC 是⊙O 的内接正六边形的一边．若AB 是⊙O 的内接正n 边形的一边，则n 的值为（ ）A ．6B ．8C ．10D ．1212．2的相反数是（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2-二、填空题13．已知扇形半径为5cm ，圆心角为60°，则该扇形的弧长为________cm ．14．某同学想要计算一组数据105，103，94，92，109，85的方差20S ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去100，得到一组新数据5，3，－6，－8，9，－15，记这组新数据的方差为21S ，则20S ______21S （填“>”、“=”或“<”）. 15．如图，某数学兴趣小组将边长为4的正方形铁丝框ABCD 变形为以A 为圆心，AB 为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB 的面积为__________ ．16．将抛物线y ＝－5x 2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后，得到新的抛物线的表达式是________．17．把边长分别为1和2的两个正方形按如图所示的方式放置，则图中阴影部分的面积是_____．18．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若点()11,A y ，()23,B y 是图象上的两点，则1y ____2y (填“>”、“<”、“=”).19．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.20．已知正方形ABCD 边长为4，点P 为其所在平面内一点，PD 5，∠BPD ＝90°，则点A 到BP 的距离等于_____．21．如图，ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，且AE=4，若CD=1，AD=3，则AB 的长为______．22．已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）x 2+x+1=0有实数根,则m 的取值范围是 ． 23．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．24．若函数y ＝（m +1）x 2﹣x +m （m +1）的图象经过原点，则m 的值为_____．三、解答题25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠ 的顶点为()2,0A -，且经过点()5,9B -与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC .（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）点P 为该抛物线上点C 与点B 之间的一动点.①若15PAB ABC S S ∆∆=，求点P 的坐标. ②如图②，过点B 作x 轴的垂线，垂足为D ，连接AP 并延长，交BD 于点M ，连接BP延长交AD 于点N .试说明()DN DM DB +为定值.26．已知二次函数y ＝2x 2+bx ﹣6的图象经过点(2，﹣6)，若这个二次函数与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，求出△ABC 的面积．27．京杭大运河是世界文化遗产．综合实践活动小组为了测出某段运河的河宽（岸沿是平行的），如图，在岸边分别选定了点A 、B 和点C 、D ，先用卷尺量得AB=160m ，CD=40m ，再用测角仪测得∠CAB=30°，∠DBA=60°，求该段运河的河宽（即CH 的长）．28．如图1，水平放置一个三角板和一个量角器，三角板的边AB 和量角器的直径DE 在一条直线上，∠ACB=90°，∠BAC=30°，OD=3cm ，开始的时候BD=1cm ，现在三角板以2cm/s 的速度向右移动．（1）当点B 于点O 重合的时候，求三角板运动的时间；（2）三角板继续向右运动，当B 点和E 点重合时，AC 与半圆相切于点F ，连接EF ，如图2所示．①求证：EF 平分∠AEC ； ②求EF 的长．29．已知，如图，在平面直角坐标系中，直线122y x =-- 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线212y x bx c =++经过A 、B 两点，与x 轴的另一个交点为C ． （1）直接写出点A 和点B 的坐标； （2）求抛物线的函数解析式； （3）D 为直线AB 下方抛物线上一动点；①连接DO 交AB 于点E ，若DE ：OE=3：4，求点D 的坐标；②是否存在点D ，使得∠DBA 的度数恰好是∠BAC 度数2倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，说明理由．30．解方程：3x 2﹣4x +1＝0．（用配方法解） 31．（问题呈现）阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①，②，③；（理解运用）如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是ABC的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝；（变式探究）如图3，若点M是AC的中点，（问题呈现）中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．（实践应用）根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．32．如图示，AB是O的直径，点F是半圆上的一动点（F不与A，B重合），弦⊥交射线AF于点AF.∠，过点D作DE AFAD平分BAF（1）求证：DE 与O 相切：（2）若8AE =，10AB =，求DE 长；（3）若10AB =，AF 长记为x ，EF 长记为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并求出AF EF ⋅的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【分析】根据题意画出图形，连接OA 和OB ，根据勾股定理的逆定理得出∠AOB ＝90°，再根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求出即可． 【详解】 解：如图所示，连接OA ，OB ， 则OA ＝OB ＝3， ∵AB ＝2， ∴OA 2+OB 2＝AB 2， ∴∠AOB ＝90°，∴劣弧AB 的度数是90°，优弧AB 的度数是360°﹣90°＝270°， ∴弦AB 对的圆周角的度数是45°或135°， 故选：D ． 【点睛】此题主要考查圆周角的求解，解题的关键是根据图形求出圆心角，再得到圆周角的度数.2．D解析：D【解析】【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为2m为负数，最大值为2n为正数．将最大值为2n分两种情况，①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【详解】解：二次函数y=﹣（x﹣1）2+5的大致图象如下：．①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=n时y取最大值，即2n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=2或n=﹣2（均不合题意，舍去）；②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即2m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣2．当x=1时y取最大值，即2n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=52，或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，2m=-（n-1）2+5，n=52，∴m=11 8，∵m＜0，∴此种情形不合题意，所以m+n=﹣2+52=12．3．C解析：C 【解析】【分析】连接AD,根据同弧所对的圆周角相等，求∠BAD的度数，再根据直径所对的圆周角是90°，利用内角和求解.【详解】解：连接AD,则∠BAD=∠BCD=28°,∵AB是直径，∴∠ADB=90°,∴∠ABD=90°-∠BAD=90°-28°=62°.故选：C.【点睛】本题考查圆周角定理，运用圆周角定理是解决圆中角问题的重要途径，直径所对的圆周角是90°是圆中构造90°角的重要手段.4．C解析：C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．5．C解析：C 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式顶点坐标表示方法，直接写出顶点坐标即可. 【详解】解：∵顶点式y ＝a (x ﹣h )2+k ，顶点坐标是(h ，k )， ∴y ＝2(x ﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2，﹣1)． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式，解决本题的关键是熟练掌握二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.6．B解析：B 【解析】 【分析】连接AC ，根据网格的特点求出r=AC 的长度，再得到扇形的圆心角度数，根据扇形面积公式即可求解. 【详解】连接AC ，则r=AC=22251=+ 扇形的圆心角度数为∠BAD=45°， ∴扇形AEF 的面积=()2455360π⨯⨯=58π故选B.【点睛】此题主要考查扇形面积求解，解题的关键是熟知勾股定理及扇形面积公式.7．B解析：B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解. 【详解】已知给出的三角形的各边AB 、CB 、AC 2、210 只有选项B 的各边为125B ．【点晴】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理.8．B解析：B【解析】【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：∵两个相似三角形的周长比是1：2，∴它们的面积比是：1：4．故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键．9．C解析：C【解析】【分析】四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，把梯形上底DE，下底AC，高DF分别用含x的式子表示，可表示四边形ABCD的面积．【详解】作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC垂足为F点，∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE∴∠BAC=∠DAE又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°∴△ABC≌△ADE（AAS）∴BC=DE，AC=AE，设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，CF=AC-AF=AC-DE=3a，在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+DF2=CD2，即（3a）2+（4a）2=x2，解得：a=5x ， ∴y=S 四边形ABCD =S 梯形ACDE =12×（DE+AC ）×DF =12×（a+4a ）×4a =10a 2 =25x 2． 故选C ．【点睛】本题运用了旋转法，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，充分运用了全等三角形，勾股定理在解题中的作用．10．B解析：B【解析】【分析】先把这组数据按顺序排列：4，6，6，6，8，9，12，13，根据中位数的定义可知：这组数据的中位数是6，8的平均数．【详解】∵一组数据：4，6，6，6，8，9，12，13，∴这组数据的中位数是()6821427+÷÷==，故选：B ．【点睛】本题考查中位数的计算，解题的关键是熟练掌握中位数的求解方法：先将数据按大小顺序排列，当数据个数为奇数时，最中间的那个数据是中位数，当数据个数为偶数时，居于中间的两个数据的平均数才是中位数．11．D解析：D【解析】【分析】连接AO 、BO 、CO ，根据中心角度数＝360°÷边数n ，分别计算出∠AOC 、∠BOC 的度数，根据角的和差则有∠AOB ＝30°，根据边数n ＝360°÷中心角度数即可求解．【详解】连接AO 、BO 、CO ，∵AC 是⊙O 内接正四边形的一边，∴∠AOC ＝360°÷4＝90°，∵BC 是⊙O 内接正六边形的一边，∴∠BOC ＝360°÷6＝60°，∴∠AOB ＝∠AOC ﹣∠BOC ＝90°﹣60°＝30°，∴n ＝360°÷30°＝12；故选：D ．【点睛】本题考查正多边形和圆，解题的关键是根据正方形的性质、正六边形的性质求出中心角的度数．12．D解析：D【解析】【分析】根据相反数的概念解答即可．【详解】2的相反数是-2，故选D ．二、填空题13．【解析】【分析】直接利用弧长公式进行计算．【详解】解：由题意得：=,故答案是：【点睛】本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键． 解析：53π 【解析】【分析】直接利用弧长公式180n R l π=进行计算． 【详解】解：由题意得：605180l π==53π,故答案是：53π 【点睛】 本题考查了弧长公式，考查了计算能力，熟练掌握弧长公式是关键．14．=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数解析：=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，它的平均数都加上或减去这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴2201S S =故答案为：=.【点睛】本题考查的知识点是数据的平均数与方差，需要记忆的是如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的方差不变，但平均数要变，且平均数增加这个常数．15．【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n°，则根据扇形的弧长公式有： ，解得所以解析：16【解析】【分析】【详解】设扇形的圆心角为n °，则根据扇形的弧长公式有：π·4=8180n ，解得360πn =所以22360S==16360360扇形π4πrπn16．y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再解析：y＝－5（x+2）2－3【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】解：∵抛物线y=-5x2先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-2，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+2）2-3．故答案为：y=-5（x+2）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握平移的规律：左加右减，上加下减是关键．17．【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC＝x，则CE＝1﹣x，∵AB∥EF，∴△ABC∽△解析：1 6【解析】【分析】由正方形的性质易证△ABC∽△FEC，可设BC=x，只需求出BC即可求出图中阴影部分的面积．【详解】如图所示：设BC ＝x ，则CE ＝1﹣x ，∵AB ∥EF ， ∴△ABC ∽△FEC∴AB EF ＝BC CE ， ∴12＝x 1x- 解得x ＝13， ∴阴影部分面积为：S △ABC ＝12×13×1＝16， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及三角形的相似，本题要充分利用正方形的特殊性质．利用比例的性质，直角三角形的性质等知识点的理解即可解答. 18．>【解析】【分析】利用函数图象可判断点，都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断与的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点，都在对称轴右侧的抛物线解析：>【解析】【分析】利用函数图象可判断点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，然后根据二次函数的性质可判断1y 与2y 的大小．【详解】解：∵抛物线的对称轴在y 轴的左侧，且开口向下，∴点()11,A y ，()23,B y 都在对称轴右侧的抛物线上，∴1y ＞2y ．故答案为＞．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质．解决本题的关键是判断点A 和点B 都在对称轴的右侧．19．（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）． 解析：（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A ′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）． 20．或【解析】【分析】由题意可得点P 在以D 为圆心，为半径的圆上，同时点P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP ，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【详解】解析：2或2【解析】【分析】由题意可得点P 在以D P 也在以BD 为直径的圆上，即点P 是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理可求BP ，AH 的长，即可求点A 到BP 的距离．【详解】∵点P 满足PD∴点P 在以D∵∠BPD ＝90°，∴点P 在以BD 为直径的圆上，∴如图，点P 是两圆的交点，若点P在AD上方，连接AP，过点A作AH⊥BP，∵CD＝4＝BC，∠BCD＝90°，∴BD＝2∵∠BPD＝90°，∴BP22BD PD-3，∵∠BPD＝90°＝∠BAD，∴点A，点B，点D，点P四点共圆，∴∠APB＝∠ADB＝45°，且AH⊥BP，∴∠HAP＝∠APH＝45°，∴AH＝HP，在Rt△AHB中，AB2＝AH2+BH2，∴16＝AH2+（3AH）2，∴AH 335+AH335-，若点P在CD的右侧，同理可得AH＝3352，综上所述：AH＝3352或3352．【点睛】本题是正方形与圆的综合题，正确确定点P是以D5BD为直径的圆的交点是解决问题的关键．21．【解析】【分析】利用勾股定理求出AC，证明△ABE∽△ADC，推出，由此即可解决问题．【详解】解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴，∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，【解析】【分析】利用勾股定理求出AC ，证明△ABE ∽△ADC ，推出AB AE AD AC =，由此即可解决问题． 【详解】解：∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC=90°，∴AC ==∵AE 是直径，∴∠ABE=90°，∴∠ABE=∠ADC ，∵∠E=∠C ，∴△ABE ∽△ADC ， ∴AB AE AD AC =， ∴3AB =∴AB =故答案为：5 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理、圆周角定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题．22．m≤且m≠1．【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥且m≠1.解析：m≤54且m≠1． 【解析】【分析】【详解】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系．有实数根则△=240b ac -≥即1-4（-1）(m-1)≥0解得m≥34，又一元二次方程所以m-1≠0综上m≥34且m≠1. 23．【解析】 【分析】分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100 解析：9π 【解析】【分析】 分别计算半径为10cm 的圆的面积和边长为30cm 的正方形ABCD 的面积，然后计算S S 半圆正方形即可求出飞镖落在圆内的概率；【详解】解：（1）∵半径为10cm 的圆的面积=π•102=100πcm 2，边长为30cm 的正方形ABCD 的面积=302=900cm 2，∴P （飞镖落在圆内）=100==9009S S ππ半圆正方形，故答案为：9π. 【点睛】本题考查了几何概率，掌握概率=相应的面积与总面积之比是解题的关键．24．0或﹣1【解析】【分析】根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可．【详解】∵函数经过原点，∴m（m+1）＝0，∴m＝0或m ＝﹣1，故答案为0或﹣1．【点解析：0或﹣1【解析】【分析】根据题意把原点（0,0）代入解析式，得出关于m 的方程，然后解方程即可． 【详解】 ∵函数经过原点， ∴m （m +1）＝0， ∴m ＝0或m ＝﹣1， 故答案为0或﹣1． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是知道函数图象上的点满足函数解析式．三、解答题25．（1）244y x x =++；（2）①点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -；②()27DN DM DB +=，是定值. 【解析】 【分析】（1）设函数为()()220y a x a =+≠，把()5,9B -代入即可求解；（2）①先求出直线AB 解析式，求出C’点，得到ABC S ∆，再求出PAB S ∆，设点()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，得到()',36P x x --，根据三角形面积公式得()()213644332x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦，解出x 即可求解； ②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，表示出()22,P t t--，故2PE t=，根据//PE BD ，得APEAMD ∆∆，故PE DM AE DA =，即23t DMt =，得到3DM t =.再过P 作BD 的垂线，垂足为点F ，根据 相似三角形的性质得到93DN t=+，可得()DN DM DB +的值即为定值.【详解】（1）解：设()()220y a x a =+≠，把点()5,9B -代入，得()2952a =-+，解得1a =，∴该抛物线对应的函数表达式为()22244y x x x =+=++. （2）①设直线AB 的函数表达式为y kx b =+， 把()2,0A -，()5,9B -代入，得0295k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解得36k b =-⎧⎨=-⎩.∴直线AB 的函数表达式为36AB y x =--.设直线AB 与y 轴交于点'C ，则点()'0,6C -，∴'10CC =.()15210152ABC S ∆=⨯-⨯=，1115355PAB ABC S S ∆∆==⨯=.设点()2,44P x x x ++，过P 作y 轴的平行线交AB 于点P'，则()',36P x x --，∴()()213644332x x x ⎡⎤⨯---++⨯=⎣⎦， 13x =-，24x =-，所以点P 的坐标为()13,1P -，()24,4P -.②过P 作x 轴的垂线，垂足为点E ，设AE t =，则()22,P t t --，2PE t=，由//PE BD ，得APEAMD ∆∆，PE DM AE DA =，即23t DMt =，故3DM t =. 过P 作BD 的垂线，垂足为点F ， 由//PF ND ，得BPF BND ∆∆，BF DB PF DN =，即2993t t DN-=-，故93DN t =+. 所以()()939273DN DM DB t t+=+=+，是定值.【点睛】此题主要考查二次函数综合，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质，相似三角形的判定与性质. 26．【解析】 【分析】如图，把（0，6）代入y ＝2x 2+bx ﹣6可得b 值，根据二次函数解析式可得点C 坐标，令y=0，解方程可求出x 的值，即可得点A 、B 的坐标，利用△ABC 的面积＝12×AB×OC ，即可得答案．【详解】 如图，∵二次函数y ＝2x 2+bx ﹣6的图象经过点(2，﹣6)， ∴﹣6＝2×4+2b ﹣6， 解得：b ＝﹣4，∴抛物线的表达式为：y ＝2x 2﹣4x ﹣6； ∴点C （0，﹣6）； 令y ＝0，则2x 2﹣4x ﹣6=0， 解得：x 1＝﹣1，x 2=3，∴点A 、B 的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）， ∴AB=4，OC=6， ∴△ABC 的面积＝12×AB×OC ＝12×4×6＝12．【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征及图象与坐标轴的交点问题，分别令x=0，y=0，即可得出抛物线与坐标轴的交点坐标；也考查了三角形的面积． 27．该段运河的河宽为303m ． 【解析】 【分析】过D 作DE ⊥AB ，可得四边形CHED 为矩形，由矩形的对边相等得到两对对边相等，分别在直角三角形ACH 与直角三角形BDE 中，设CH=DE=xm ，利用锐角三角函数定义表示出AH 与BE ，由AH+HE+EB=AB 列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：过D 作DE AB ⊥，可得四边形CHED 为矩形，40HE CD m ∴==，设CH DE xm ==，在Rt BDE ∆中，60DBA ∠=︒，3BE xm ∴=， 在Rt ACH ∆中，30BAC ∠=︒，3AH xm ∴=，由160AH HE EB AB m ++==，得到3340160x x ++=， 解得：303x =，即303CH m =， 则该段运河的河宽为303m ．【点睛】考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 28．（1）2s （2）①证明见解析，②33√ 【解析】试题分析：（1）由当点B 于点O 重合的时候，BO=OD+BD=4cm ，又由三角板以2cm/s 的速度向右移动，即可求得三角板运动的时间；（2）①连接OF ，由AC 与半圆相切于点F ，易得OF ⊥AC ，然后由∠ACB=90°，易得OF ∥CE ，继而证得EF 平分∠AEC ；②由△AFO 是直角三角形，∠BAC=30°，OF=OD=3cm ，可求得AF 的长，由EF 平分∠AEC ，易证得△AFE 是等腰三角形，且AF=EF ，则可求得答案． 试题解析：(1)∵当点B 于点O 重合的时候，BO=OD+BD=4cm ， ∴t=42=2(s)；∴三角板运动的时间为：2s ；(2)①证明：连接O 与切点F ，则OF ⊥AC ，∵∠ACE=90°， ∴EC ⊥AC ， ∴OF ∥CE ， ∴∠OFE=∠CEF ， ∵OF=OE ， ∴∠OFE=∠OEF ， ∴∠OEF=∠CEF ， 即EF 平分∠AEC ； ②由①知：OF ⊥AC ， ∴△AFO 是直角三角形， ∵∠BAC=30°，OF=OD=3cm ，∴tan30°=3AF ， ∴， 由①知：EF 平分∠AEC ， ∴∠AEF=∠CEF=12∠AEC=30°， ∴∠AEF=∠EAF ，∴△AFE 是等腰三角形，且AF=EF ， ∴29．（1）A(-4，0)、B （0，-2）；（2）213y x-222x =+；（3）①（-1，3）或（-3，-2）；②（-2，-3）． 【解析】 【分析】（1）在122y x =--中由0y =求出对应的x 的值，由x=0求出对应的y 的值即可求得点A 、B 的坐标；（2）把（1）中所求点A 、B 的坐标代入212y x bx c =++中列出方程组，解方程组即可求得b 、c 的值，从而可得二次函数的解析式；（3）①如图，过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，由此易得△DFE ∽OBE ，这样设点D 的坐标为213(m,2)22m m +-，点F 的坐标为1(m,2)2m --,结合相似三角形的性质和DE ：OE=3:4，即可列出关于m 的方程，解方程求得m 的值即可得到点D 的坐标；②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形，由此可得∠HAB=2∠BAC ，若此时∠DAB =2∠BAC=∠HAB ，则BD ∥AH ，再求出AH 的解析式可得BD 的解析式，由BD 的解析式和抛物线的解析式联立构成方程组，解方程组即可求得点D 的坐标． 【详解】解：（1）在122y x =--中，由0y =可得：1202x --=，解得：4x =-； 由0x =可得：2y =-，∴点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）；（2）把点A 的坐标为（-4，0），点B 的坐标为（0，-2）代入212y x bx c =++得： 8402b c c -+=⎧⎨=-⎩ ，解得：322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩ ， ∴抛物线的解析式为：213222y x x =+-；（3）①过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，设点D 213(m,2)22m m +-，F 1(m,2)2m --, 连接DO 交AB 于点E ，△DFE ∽OBE ， 因为DE ：OE=3：4， 所以FD ：BO=3：4，即：FD=34BO=32 ,所以21133m 222222FD m m ⎛⎫⎛⎫=---+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解之得： m 1=-1，m 2=-3 ，∴D 的坐标为（-1，3）或（-3，-2）；②在y 轴的正半轴上截取OH=OB ，可得△ABH 是等腰三角形， ∴∠BAH=2∠BAC ，若∠DBA=2∠BAC ，则∠DBA=∠BAH ， ∴AH//DB ，由点A 的坐标（-4，0）和点H 的坐标（0，2）求得直线AH 的解析式为：1y 22x =+， ∴直线DB 的解析式是：1y 22x =-, 将：2113y 2,y 2,222x x x =-=+-联立可得方程组：21y 2213y 222x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩，解得：23x y =-⎧⎨=-⎩， ∴点D 的坐标（-2，-3）．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解第2小题的关键是过点D 作x 轴的垂线交AB 于点F ，连接OD 交AB 于点E ，从而构造出△DFE ∽OBE ，这样利用相似三角形的性质和已知条件即可求得D 的坐标；解第3小题的关键是在x 轴的上方作OH=OB ，连接AH ，从而构造出∠BAH=2∠BAC ，这样由∠DBA=∠BAH 可得AH ∥BD ，求出AH 的解析式即可得到BD 的解析式，从而将问题转化成求BD 和抛物线的交点坐标即可使问题得到解决． 30．x 1＝1，x 2＝13【解析】 【分析】首先把系数化为1，移项，把常数项移到等号的右侧，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半，即可使左边是完全平方公式，右边是常数项，即可求解． 【详解】 3x 2﹣4x +1＝0 3（x 2﹣43x ）+1＝0 （x ﹣23）2＝19 ∴x ﹣23＝±13∴x 1＝1，x 2＝13【点睛】本题考查解一元二次方程的方法，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤．31．（问题呈现）相等的弧所对的弦相等；同弧所对的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）1；（变式探究）DB ＝CD +BA ；证明见解析；（实践应用）． 【解析】 【分析】（问题呈现）根据圆的性质即可求解；（理解运用）CD ＝DB +BA ，即CD ＝6﹣CD +AB ，即CD ＝6﹣CD +4，解得：CD ＝5，即可求解；（变式探究）证明△MAB ≌△MGB （SAS ），则MA ＝MG ，MC ＝MG ，又DM ⊥BC ，则DC ＝DG ，即可求解；（实践应用）已知∠D 1AC ＝45°，过点D 1作D 1G 1⊥AC 于点G 1，则CG 1′+AB ＝AG 1，所以AG 1＝12（6+8）＝7．如图∠D 2AC ＝45°，同理易得AD 2． 【详解】（问题呈现）①相等的弧所对的弦相等 ②同弧所对的圆周角相等③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；（理解运用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案为：1；（变式探究）DB＝CD+BA．证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，∵M是弧AC的中点，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；（实践应用）如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝12（6+8）＝7．所以AD1＝2．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD22．所以AD 的长为72或2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定（SAS ）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS ）与性质、等腰三角形的性质和圆心角、弦、弧. 32．（1）详见解析；（2）4；（3）252【解析】 【分析】（1）首先连接OD ，通过半径和角平分线的性质进行等角转换，得出OD AE ∥，进而得出OD DE ⊥，即可得证；（2）首先连接BD ，得出AED ADB ∆∆∽，进而得出2A D A A E B =⋅，再根据勾股定理得出DE ；（3）首先连接DF ，过点D 作DG AB ⊥，得出AED AGD ∆∆≌，再得EDF GDB ∆∆≌，进而得出2AB AF EF =+，然后构建二次函数，即可得出其最大值. 【详解】（1）证明：连接OD ∵OD OA = ∴12∠=∠∵AD 平分BAE ∠ ∴13∠=∠ ∴32∠=∠ ∴OD AE ∥ ∵DE AF ⊥ ∴OD DE ⊥又∵OD 是O 的半径∴DE 与O 相切（2）解：连接BD ∵AB 为直径 ∴∠ADB=90° ∵13∠=∠ ∴AED ADB ∆∆∽。
九年级数学期末试卷(培优篇)(Word版 含解析)
九年级数学期末试卷（培优篇）（Word 版 含解析）一、选择题1．二次函数y ＝3(x －2)2－1的图像顶点坐标是（ ） A ．（－2，1）B ．（－2，－1）C ．（2，1）D ．（2，－1）2．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差2S 甲和2S 乙的大小关系是（ ）A ．2S 甲＞2S 乙B ．2S 甲＝2S 乙C ．2S 甲＜2S 乙D ．无法确定3．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（ ） A ．15B ．25C ．35D ．454．在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，则这个三角形的内切圆的半径是( ) A ．5 B ．2 C ．5或2 D ．2或7－1 5．一元二次方程x 2＝9的根是（ ）A ．3B ．±3C ．9D ．±9 6．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1 B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜17．把二次函数y =2x 2的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式是（ ）A ．22(3)2y x =-+B ．22(3)2y x =++C ．22(3)?2y x =-D ．22(3)?2y x =+8．如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点，点P 是对角线BD 上一动点，设PD 的长度为x ，PE 与PC 的长度和为y ，图2是y 关于x 的函数图象，其中H 是图象上的最低点，则a +b 的值为（ ）A ．73B ．234+C ．1433D ．22339．如图，BC 是O 的直径，A ，D 是O 上的两点，连接AB ，AD ，BD ，若70ADB ︒∠=，则ABC ∠的度数是（ ）A ．20︒B ．70︒C ．30︒D ．90︒10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．如图，PA 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，连接AB ，若∠B ＝25°，则∠P 的度数为（ ）A ．25°B ．40°C ．45°D ．50°12．如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB ＝130°，则∠AOB 的度数为（ ）A ．50°B ．80°C ．100°D ．110°二、填空题13．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ． 14．已知∠A ＝60°，则tan A ＝_____． 15．一元二次方程290x 的解是__．16．在比例尺为1∶500 000的地图上，量得A 、B 两地的距离为3 cm ，则A 、B 两地的实际距离为_____km ．17．抛物线2(-1)3y x =+的顶点坐标是______. 18．如图，O 的直径AB 与弦CD 相交于点53E AB AC ==，，，则tan ADC ∠=______．19．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．20．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．21．如图，ABO 三个顶点的坐标分别为(24),(60),(00)A B ，，，，以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，可以得到A B O ''△，已知点B '的坐标是30（，），则点A '的坐标是______.22．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．23．23x +x 这样的方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x +3＝x 2，解得x 1＝3，x 2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，当x 1＝39＝3满足题意；当x2＝﹣1时，1＝﹣1不符合题意；所以原方程的解是x＝3．运用以上x ＝1的解为_____．经验，则方程x+524．如图，⊙O的内接四边形ABCD中，∠A=110°，则∠BOD等于________°.三、解答题25．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，求：（1）cosA；（2）当AB＝4时，求BC的长.26．我们不妨约定：如图①，若点D在△ABC的边AB上，且满足∠ACD=∠B（或∠BCD=∠A），则称满足这样条件的点为△ABC边AB上的“理想点”．（1）如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4.试判断点D是不是△ABC 边AB上的“理想点”，并说明理由．（2）如图②，在⊙O中，AB为直径，且AB=5，AC=4.若点D是△ABC边AB上的“理想点”，求CD的长．（3）如图③，已知平面直角坐标系中，点A(0,2),B(0,-3),C为x轴正半轴上一点，且满足∠ACB=45°，在y轴上是否存在一点D，使点A是B，C，D三点围成的三角形的“理想点”，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．27．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2 的图象与x 轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时y﹤0 ?（2）点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．28．如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，23）、D（0，33），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°．（1）①点B的坐标是；②当点Q与点A重合时，点P的坐标为；（2）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式及相应的自变量x的取值范围．29．抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝2，且顶点在x轴上．（1）求b、c的值；（2）画出抛物线的简图并写出它与y轴的交点C的坐标；（3）根据图象直接写出：点C关于直线x＝2对称点D的坐标；若E(m，n)为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为（用含m、n的式子表示）．30．某鱼塘中养了某种鱼5000条，为了估计该鱼塘中该种鱼的总质量，从鱼塘中捕捞了3次，取得的数据如下：数量/条平均每条鱼的质量/kg第1次捕捞20 1.6（1）求样本中平均每条鱼的质量；（2）估计鱼塘中该种鱼的总质量；（3）设该种鱼每千克的售价为14元，求出售该种鱼的收入y（元）与出售该种鱼的质量x （kg）之间的函数关系，并估计自变量x的取值范围．31．已知二次函数y＝x2+bx+c的函数值y与自变量x之间的对应数据如表：（1）求b、c的值；（2）当x取何值时，该二次函数有最小值，最小值是多少？32．A箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5；现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片，请你用画树形（状）图或列表的方法求：（1）两张卡片上的数字恰好相同的概率．（2）如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】由二次函数的顶点式，即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k），∴二次函数y=3（x-2）2-1的图象的顶点坐标是（2，-1）．故选：D．【点睛】此题考查了二次函数的性质，二次函数为y=a（x-h）2+k顶点坐标是（h，k）．2．A解析：A 【解析】 【分析】方差的大小反映数据的波动大小，方差越小，数据越稳定，根据题意可判断乙的数据比甲稳定，所以乙的方差小于甲. 【详解】解：由题意可知，乙的数据比甲稳定，所以2S 甲＞2S 乙 故选：A 【点睛】本题考查方差的定义与意义,方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．3．B解析：B 【解析】试题分析：根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率. 因此，从0，﹣1，﹣2，1，3中任抽一张，那么抽到负数的概率是25. 故选B. 考点：概率.4．D解析：D 【解析】 【分析】分AC 为斜边和BC 为斜边两种情况讨论.根据切线定理得过切点的半径垂直于三角形各边，利用面积法列式求半径长. 【详解】第一情况：当AC 为斜边时，如图，设⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD ⊥AC, OE ⊥BC,OF ⊥AB,且OD=OE=OF=r, 在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，由勾股定理得，10AC == ,∵=++ABCAOCBOCAOBS SSS,∴11112222AB BC AB OF BC OE AC OD , ∴11116868102222r r r , ∴r=2.第二情况：当BC 为斜边时，如图，设⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，切点分别为D,E,F,连接OC,OA,OB, ∴OD ⊥BC, OE ⊥AC,OF ⊥AB,且OD=OE=OF=r, 在Rt △ABC 中，AB ＝6，BC ＝8，由勾股定理得，2227ACBC AB , ∵=++ABCAOCBOCAOBS SSS,∴11112222AB AC AB OF BC OD AC OE , ∴111162768272222r r r , ∴r=71- .故选：D. 【点睛】本题考查了三角形内切圆半径的求法及勾股定理，依据圆的切线性质是解答此题的关键.等面积法是求高度等线段长的常用手段.5．B解析：B 【解析】 【分析】两边直接开平方得：3x =±，进而可得答案． 【详解】 解：29x =，两边直接开平方得：3x =±， 则13x =，23x =-． 故选：B ． 【点睛】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题一般要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成2(0)x a a =的形式，利用数的开方直接求解．6．D解析：D 【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根， ∴()2240m =-->， 解得：m ＜1． 故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．7．A解析：A 【解析】将二次函数22y x =的图象向右平移3个单位，再向上平移2个单位后的函数关系式为：22(3)2y x =-+.故选A.8．C解析：C 【解析】 【分析】由A 、C 关于BD 对称，推出PA ＝PC ，推出PC +PE ＝PA +PE ，推出当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6，推出BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，分别求出PE +PC 的最小值，PD 的长即可解决问题． 【详解】解：∵在菱形ABCD 中，∠A ＝120°，点E 是BC 边的中点， ∴易证AE ⊥BC ， ∵A 、C 关于BD 对称， ∴PA ＝PC ， ∴PC +PE ＝PA +PE ，∴当A 、P 、E 共线时，PE +PC 的值最小，即AE 的长． 观察图象可知，当点P 与B 重合时，PE +PC ＝6， ∴BE ＝CE ＝2，AB ＝BC ＝4，∴在Rt △AEB 中，BE ＝∴PC +PE 的最小值为∴点H 的纵坐标a ＝23， ∵BC ∥AD ， ∴AD PDBE PB= ＝2， ∵BD ＝43， ∴PD ＝2834333⨯=， ∴点H 的横坐标b ＝83， ∴a +b ＝8314323+=； 故选C ． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．9．A解析：A 【解析】 【分析】连接AC ，如图，根据圆周角定理得到90BAC ︒∠=，70ACB ADB ︒∠=∠=，然后利用互余计算ABC ∠的度数． 【详解】 连接AC ，如图， ∵BC 是O 的直径，∴90BAC ︒∠=， ∵70ACB ADB ︒∠=∠=， ∴907020ABC ︒︒︒∠=-=． 故答案为20︒． 故选A ．【点睛】本题考查圆周角定理和推论，解题的关键是掌握圆周角定理和推论．10．C解析：C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．B解析：B【解析】【分析】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，根据切线定理可得∠OAP＝90°，继而推出∠P＝90°﹣50°＝40°．【详解】连接OA，由圆周角定理得，∠AOP＝2∠B＝50°，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，∴∠P＝90°﹣50°＝40°，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质、三角形内角和定理，解题的关键是求出∠AOP的度数．12．C【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质和圆周角定理即可得到结论．【详解】在优弧AB上任意找一点D，连接AD，BD．∵∠D=180°﹣∠ACB=50°，∴∠AOB=2∠D=100°，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．二、填空题13．a＞0．【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．解析：a＞0．【解析】试题分析：∵方程20+=没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．x a考点：根的判别式．14．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tanA=tan60°=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．3【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tan A=tan60°．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．15．x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】∵∴=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一解析：x1＝3，x2＝﹣3．【解析】【分析】先移项，在两边开方即可得出答案．【详解】x-=∵290∴2x=9，∴x=±3，即x1＝3，x2＝﹣3，故答案为x1＝3，x2＝﹣3．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 16．15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A、B两地的图上距离AB=3cm，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离解析：15【解析】【分析】由在比例尺为1：50000的地图上，量得A 、B 两地的图上距离AB=3cm ，根据比例尺的定义，可求得两地的实际距离．【详解】解：∵比例尺为1：500000，量得两地的距离是3厘米，∴A 、B 两地的实际距离3×500000=1500000cm=15km ，故答案为15．【点睛】此题考查了比例尺的性质．注意掌握比例尺的定义，注意单位要统一．17．(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，解析：(1，3)【解析】【分析】根据顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.【详解】解：由顶点式可知：2(-1)3y x =+的顶点坐标为：(1，3).故答案为(1，3).【点睛】此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解决此题的关键.18．【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=求得所求的值了.详解：∵AB 是 解析：34【解析】分析：由已知条件易得△ACB 中，∠ACB=90°，AC=3，AB=5，由此可得BC=4，结合∠ADC=∠ABC ，即可由tan ∠ADC=tan ∠ABC=AC BC 求得所求的值了. 详解：∵AB 是O 的直径，∴∠ACB=90°，又∵AC=3，AB=5，∴4=，∴tan ∠ABC=34AC BC =， 又∵∠ADC=∠ABC ， ∴tan ∠ADC=34. 故答案为：34. 点睛：熟记“圆的相关性质和正切函数的定义”解得本题的关键.19．60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC ＝＝10（cm ），∴圆锥的侧面积是：（解析：60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC ＝222268OB OC +=+＝10（cm ），∴圆锥的侧面积是：12610602r l rl ππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm 2）． 故答案为：60π．【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 20．【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再解析：4223-【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．【详解】解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D∵2OP =，6OQ =，∴PQ=OQ －OP=4根据垂径定理，PN=122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4在Rt △OND 中，∠O=45°∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r∵圆C 与OB 相切于点M ，∴∠CMD=90°∴△CMD 为等腰直角三角形∴CM=DM=r ，=∴NC=ND －CD=4根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2即()22242r -+=解得：12r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）故答案为：．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．21．（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，∴点A′的坐标是（2×，4×），即（1，2）．故答案为（1，2）． 解析：（1，2）【解析】解：∵点A 的坐标为（2，4），以原点O 为位似中心，把这个三角形缩小为原来的12，∴点A ′的坐标是（2×12，4×12），即（1，2）．故答案为（1，2）． 22．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4，解得74m=-，724->-，∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，解得m=所以m=，③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．故答案为：2或【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．23．x＝﹣1【解析】【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【详解】解：将x移到等号右边得到：＝1﹣x，两边平方，得x+5＝1﹣2x解析：x＝﹣1【解析】【分析】根据等式的性质将x移到等号右边，再平方，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．【详解】解：将x1﹣x，两边平方，得x+5＝1﹣2x+x2，解得x1＝4，x2＝﹣1，检验：x＝4时，＝5，左边≠右边，∴x＝4不是原方程的解，当x＝﹣1时，﹣1+2＝1，左边＝右边，∴x＝﹣1是原方程的解，∴原方程的解是x＝﹣1，故答案为：x＝﹣1．【点睛】本题主要考查解无理方程的知识点，去掉根号把无理式化成有理方程是解题的关键，注意观察方程的结构特点，把无理方程转化成一元二次方程的形式进行解答，需要同学们仔细掌握．24．140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．解析：140【解析】试题解析：：∵∠A=110°∴∠C=180°-∠A=70°∴∠BOD=2∠C=140°．三、解答题25．（1）2；（2）【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的判定得到△ABC为等腰直角三角形，则∠A=45°，然后利用特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据∠A的正弦求解即可.【详解】∵AC＝BC，∠C＝90°，∴∠A=∠B=45°，∴cosA=cos45°=2，∴BC=A B sin A，【点睛】本题考查解直角三角形及等腰直角三角形的判定，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键.26．（1）是，理由见解析；（2）125；（3）D（0,42）或D（0,6）【解析】【分析】（1）依据边长AC=AB=4，D是边AB的中点，得到AC2=AD AB，可得到两个三角形相似，从而得到∠ACD=∠B；(2)由点D是△ABC的“理想点”，得到∠ACD=∠B或∠BCD=∠A，分两种情况证明均得到CD ⊥AB ，再根据面积法求出CD 的长；(3)使点A 是B ，C ，D 三点围成的三角形的“理想点”，应分两种情况讨论，利用三角形相似分别求出点D 的坐标即可.【详解】（1）D 是△ABC 边AB 上的“理想点”，理由：∵AB=4，点D 是△ABC 的边AB 的中点，∴AD=2，∵AC 2=8，8AD AB •=，∴AC 2=AD AB ，又∵∠A=∠A ，∴△ADC ∽△ACB ， ∴∠ACD=∠B ，∴D 是△ABC 边AB 上的“理想点”.（2）如图②，∵点D 是△ABC 的“理想点”，∴∠ACD=∠B 或∠BCD=∠A,当∠ACD=∠B 时，∵∠ACD+∠BCD=90︒，∴∠BCD+∠B=90︒，∴∠CDB=90︒，当∠BCD=∠A 时，同理可得CD ⊥AB ，在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90︒,AB=5，AC=4，∴222254AB AC -=-=3， ∵1122AB CD AC BC ⋅=⋅, ∴1153422CD , ∴125CD =. （3）如图③，存在.过点A作MA⊥AC交CB的延长线于点M，∵∠MAC=∠AOC=90︒,∠ACM=45︒，∴∠AMC=∠ACM=45︒，∴AM=AC,∵∠MAH+∠CAO=90︒,∠CAO+∠ACO=90︒,∴∠MAH=∠ACO,∴△AHM≌△COA∴MH=OA,OC=AH,设C（a，0），∵A(0，2),B(0，-3),∴OA=MH=2，OB=3，AB=5，OC=AH=a，BH=a-5，∵MH∥OC,∴MH BH OC OB，∴253aa，解得a=6或a=-1（舍去），经检验a=6是原分式方程的解，∴C（6,0），OC=6.①当∠D1CA=∠ABC时，点A是△BCD1的“理想点”，设D1(0，m)，∵∠D1CA=∠ABC,∠CD1A=∠CD1B,∴△D1AC∽△D1CB,∴2111CD D A D B,∴226(2)(3)m m m，解得m=42，∴D1(0，42)；②当∠BCA=∠CD 2B 时，点A 是△BCD 2“理想点”，可知：∠CD 2O=45︒，∴OD 2=OC=6，∴D 2（0,6）.综上，满足条件的点D 的坐标为D （0,42）或D （0,6）.【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，通过证明三角形相似得到点是三角形某条边上的“理想点”，通过点是三角形的“理想点”，从而证明出三角形相似，由此得到点的坐标，相互反推的思想的利用，注意后者需分情况进行讨论.27．（1）24233y x x =--+，13x <- 或21>x ；（2）P 35,22⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）1234(5,0),(1,0),(2(2--Q Q Q Q【解析】【分析】（1）将点A （﹣3，0），B （1，0）带入y ＝ax 2＋bx ＋2得到二元一次方程组，解得即可得出函数解析式；又从图像可以看出x 满足什么值时 y ﹤0；（2）设出P 点坐标224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，利用割补法将△ACP 面积转化为PAC PAO PCO ACO S S S S =+-，带入各个三角形面积算法可得出PAC S 与m 之间的函数关系，分析即可得出面积的最大值；（3）分两种情况讨论，一种是CM 平行于x 轴，另一种是CM 不平行于x 轴，画出点Q 大概位置，利用平行四边形性质即可得出关于点Q 坐标的方程，解出即可得到Q 点坐标.【详解】解：（1）将A （﹣3，0），B （1，0）两点带入y ＝ax 2＋bx ＋2可得：093202a b a b =-+⎧⎨=++⎩解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴二次函数解析式为24233y x x =--+. 由图像可知，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； 综上：二次函数解析式为24233y x x =--+，当x 3<-或x 1>时y ﹤0； （2）设点P 坐标为224233m m m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，，如图连接PO ，作PM ⊥x 轴于M ，PN ⊥y 轴于N.PM=224233m m --+，PN=m -，AO=3. 当x 0=时，24y 002233=-⨯-⨯+=，所以OC=2 111222PAC PAO PCO ACO SS S S AO PM CO PN AO CO =+-=+- ()221241132232323322m m m m m ⎛⎫=⨯--++⨯--⨯⨯=-- ⎪⎝⎭， ∵a 10=-<∴函数23PAC Sm m =--有最大值， 当()33m 212-=-=-⨯-时，PAC S 有最大值，此时35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭； 所以存在点35P ,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，使△ACP 面积最大. （3）存在，1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--+-Q Q Q Q假设存在点Q 使以 A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形①若CM 平行于x 轴，如下图，有符合要求的两个点12Q Q 、，此时1Q A =2.Q A CM =∵CM ∥x 轴，∴点M 、点C （0,2）关于对称轴x 1=-对称，∴M （﹣2,2），∴CM=2.由1Q A=22Q A CM==，得到12(5,0),(1,0)--Q Q；②若CM不平行于x轴，如下图，过点M作MG⊥x轴于点G，易证△MGQ≌△COA，得QG=OA=3，MG=OC=2，即2My=-.设M（x，﹣2），则有242=233--+-x x，解得：x17=-又QG=3,∴327Q Gx x=+=∴34(27,0),(27,0)Q Q综上所述，存在点P使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形，Q点坐标为：1234(5,0),(1,0),(27,0),(27,0)--Q Q Q Q.【点睛】本题考查二次函数与几何综合题目，涉及到用待定系数法求二次函数解析式，通过函数图像得出关于二次函数不等式的解集，平面直角坐标系中三角形面积的计算通常利用割补法，并且将所要求得点的坐标设出来，得出相关方程；在解答（3）的时候注意先画出大概图像再利用平行四边形性质进行计算和分析.28．（1）①（6，33，332）))))243430331333352322335939xxx x xSx xxx+≤≤⎪⎪-+-<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎪⎪>⎪⎩【解析】【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求得点B的坐标；②由正切函数，即可求得∠CAO的度数，③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；（2）分别从当0≤x≤3时，当3＜x≤5时，当5＜x≤9时，当x＞9时去分析求解即可求得答案． 【详解】 解：（1）①∵四边形OABC 是矩形，∴AB=OC ，OA=BC ，∵A （6，0）、C （0，23），∴点B 的坐标为：（6，23）；②如图1：当点Q 与点A 重合时，过点P 作PE ⊥OA 于E ，∵∠PQO=60°，D （0，33），∴PE=33，∴AE=3tan 60PE =， ∴OE=OA-AE=6-3=3，∴点P 的坐标为（3，33）；故答案为：①（6，23），②（3，33）；（2）①当0≤x ≤3时，如图，OI =x ，IQ =PI •tan 60°=3，OQ =OI +IQ =3+x ；由题意可知直线l ∥BC ∥OA ，∴31333EF PE DC OQ PO DO ====， ∴EF =133+x （） 此时重叠部分是梯形，其面积为：S 梯形=12（EF +OQ ）•OC =433（3+x ） ∴43433x S =+． 当3＜x ≤5时，如图AQ =OI +IO -OA =x +3-6=x -3AH =3(x -3)S=S 梯形﹣S △HAQ =S 梯形﹣12AH •AQ =433（3+x ）﹣23x （-3） ∴231333232S x x =-+-． ③当5＜x ≤9时，如图∵CE ∥DP∴CO CE DO DP = ∴2333CE x= ∴23CE x = 263BE x =-S=12（BE +OA ）•OC 312﹣23x ） ∴23123S x =+． ④当x ＞9时，如图∵AH ∥PI ∴AO AH OI PI= ∴633x =∴183AH = S=12543． 综上：243430333133335231235935439x x x x x S x x x ⎧+≤≤⎪⎪⎪-<≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪⎪>⎪（）（）（）（）．【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．29．（1）b ＝4，c ＝﹣4；（2）见解析，(0，﹣4)；（3）(4，﹣4)，(4﹣m ，n)【解析】【分析】（1）根据图象写出抛物线的顶点式，化成一般式即可求得b 、c ；（2）利用描点法画出图象即可，根据图象得到C （0，﹣4）；（3）根据图象即可求得．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝2，且顶点在x 轴上，∴顶点为（2，0），∴抛物线为y ＝﹣（x ﹣2）2＝﹣x 2+4x ﹣4，∴b ＝4，c ＝﹣4；（2）画出抛物线的简图如图：点C的坐标为（0，﹣4）；（3）∵C（0，﹣4），∴点C关于直线x＝2对称点D的坐标为（4，﹣4）；若E（m，n）为抛物线上一点，则点E关于直线x＝2对称点的坐标为（4﹣m，n），故答案为（4，﹣4），（4﹣m，n）．【点睛】本题主要考查了二次函数的图像及其对称性，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键.30．（1）1.78kg；（2）8900kg；（3）y＝14x，0≤x≤8900．【解析】【分析】（1）根据平均数的公式求解即可；（2）根据每条鱼的平均质量×总条数＝总质量即可得答案；（3）根据收入=单价×质量，列出函数表达式即可．【详解】（1）样本中平均每条鱼的质量为20 1.615 2.015 1.81.78201515⨯+⨯+⨯=++（kg）．（2）∵样本中平均每条鱼的质量为1.78kg，∴估计鱼塘中该种鱼的总质量为1.78×5000＝8900（kg）．（3）∵每千克的售价为14元，∴所求函数表达式为y＝14x，∵该种鱼的总质量约为8900kg，∴估计自变量x的取值范围为0≤x≤8900．【点睛】本题考查一次函数的应用、用样本估计总体，明确题意，写出相应的函数关系式，利用平均数的知识求出每条鱼的质量是解题关键．31．（1）b=-4,c=5；（2）当x＝2时，二次函数有最小值为1【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据图象上点的坐标，可得出图象的对称轴及顶点坐标，即可得到答案．【详解】（1）把（0，5），（1，2）代入y =x 2+bx +c 得：512c b c =⎧⎨++=⎩， 解得：45b c =-⎧⎨=⎩， ∴4b =-，5c =；（2）由表格中数据可得：∵1x =、3x =时的函数值相等，都是2，∴此函数图象的对称轴为直线3122x +==， ∴当x =2时，二次函数有最小值为1．【点睛】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．32．（1）29；（2）59． 【解析】【分析】（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验．列举出符合题意：“两张卡片上的数字恰好相同”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．（2）列举出符合题意：“两张卡片组成的两位数能被3整除”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可【详解】（1）由题意可列表：∴一共有9种情况，两张卡片上的数字恰好相同的有2种情况，∴两张卡片上的数字恰好相同的概率是29； （2）由题意可列表：∴一共有9种情况，两张卡片组成的两位数能被3整除的有5种情况，∴两张卡片组成的两位数能被3整除的概率是5．9考点：列表法与树状图法．。
【精华篇】初中数学九年级培优教程整理(全)
初中数学九年级培优目录第1讲二次根式的性质和运算(P２－--－７）第２讲二次根式的化简与求值(P7----１2)第3讲一元二次方程的解法(P13----１6)第4讲根的判别式及根与系数的关系（P1６----２２)第5讲一元二次方程的应用（Ｐ23-－－-26)第6讲一元二次方程的整数根(Ｐ27----3０)第7讲旋转和旋转变换(一）(P30--－-38)第8讲旋转和旋转变换(二）(Ｐ38--－-46）第9讲圆的基本性质（P47－－-－5１)第1０讲圆心角和圆周角(P52-－-－61)第11讲直线与圆的位置关系(P６２－-－-６9）第12讲圆内等积证明及变换（(P70-－--７６）第１3讲弧长和扇形面积(P76--－－78)第14讲概率初步(P78--－-85)第15讲二次函数的图像和性质(P85--－-91)第16讲二次函数的解析式和综合应用(P９2--－-9８) 第17讲二次函数的应用(P99-－-－1０8)第1８讲相似三角形的性质(P109-－--１17)第1９讲相似三角形的判定(P118－--－-１２4)第20讲相似三角形的综合应用(P12４--－--130)每天进步一点点!坚持就是胜利!第1讲 二次根式的性质和运算考点·方法·破译1.了解二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义，能准确进行辨析; ２.掌握二次根式有关性质，并能熟练运用性质进行化简；3．会根据二次根式的性质挖掘题中隐含条件,求参数的值（或取值范围）.经典·考题·赏析【例1】 (荆州）下列根式中属最简二次根式的是（ )A.Ｂ 【解法指导】判断式子是否为最简二次根式的条件有两点：①被开方式中不能含分母；②被开方式中不能有可开尽方的数或式子. Ｂ中含分母，C 、D 含开方数４、9,故选A ．【变式题组】１.⑴（中山）下列根式中不是最简二次根式的是( ）Ａ.ＢA.①,②ﻩB.③,④ﻩC.①，③D.①,④【例2】(黔东南)方程480x -=,当y >0时，m 的取值范围是（ )A.0＜ｍ＜1 B ．m ≥２ﻩ C ．m ＜2 ﻩD.m ≤2【解法指导】本题属于两个非负数的代数和问题,隐含两个代数式均为０的结论．由题意得4x －8＝0,x －ｙ－m =0.化为y =2－ｍ,则２-m >０,故选C.【变式题组】２．（宁波）若实数ｘ、y 2(0y -=，则xy 的值是_＿_＿_＿___＿.3.（荆门)2()x y =+,则x －y 的值为( )A ．- 1ﻩB ．1ﻩC ．２ ﻩD ．34．(鄂州)使代数式4x -有意义的x 的取值范围是( ） A ．x >3 Ｂ.ｘ≥3ﻩﻩＣ.ｘ>4 ﻩD.ｘ≥３且x ≠４５．(怀化)22(4)0a c --=,则ａ－b －c =＿__＿＿__＿.【例3是同类二次根式的是( )B C ﻩ【解法指导】判断几个二次根式是否为同类二次根式应先把它们都化为最简二次根式,再看被开方数是否一样. A=; B不能化简；=D=,=故本题应选Ｄ．【变式题组】６.,则ａ＝_____＿__. 7.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（ ）CＤ8．已知最简二次根式ba ＝＿_____＿，b =__＿___. 【例４】下列计算正确的是（ )=4=ﻩC= D．(11+=【解法指导】正确运用二次根式的性质①2(0)a a =≥；②(0)0(0)(0)a a a a a a ⎧⎪===⎨⎪-⎩＞＜;③0,0)a b =≥≥;0,0)b a =≥＞ 进行化简计算,并能运用乘法公式进行计算.A 、B 中的项不能合并．D. 2(111+=-=-．故本题应选C.【变式题组】９. （聊城）下列计算正确的是( )Ａ．= Ｂ=C3=ﻩ3=-10.计算：200720074)(4⋅=_＿_＿_____＿_＿_ 11．22-=___＿____＿____１2．(济宁)已知a 为实数,( ） A.a B.－a ﻩ C.－1 D ．０ 1３．已知a ＞b ＞０，a ＋b ＝的值为( ）A.2B.２ﻩCﻩD ．12【例５】已知ｘy ＞0，化简二次根式的正确结果为（ ）Ａ Ｂﻩ C ．ﻩ D ．【解法指导】先要判断出y ＜0,再根据ｘy >0知ｘ＜０. 故原式= D. 【变式题组】１4.已知a 、b 、c 为△AB C 三边的长，则化简a b c --___＿___．15.===，算果中找出规律,并利用这一规律计算:1)2006++⋅=＿____＿＿__.16．已知，则0＜ｘ＜１,=_＿__＿____．【例6】（辽宁）⑴先化简吗，再求值：11()ba b b a a b ++++,其中12a =，12b =.⑵已知x =，y =值为_____＿__． 【解法指导】对于⑴，先化简代数式再代入求值；对于⑵，根据已知数的特征求xy 、x ＋y 的值,再代入求值．【解】⑴原式＝22()()()()ab a a b b a b a b ab a b ab a b ab +++++==++，当12a =，12b =时，ab ＝１，ａ＋ｂ⑵由题意得:xy ＝1，x ＋y =1０, 原式10199=-. 【变式题组】17.(威海)先化简,再求值：(a +b )2＋（a －ｂ)（２a+b ）－3a 2，其中2a =--2b =.18．（黄石)已知a 是4的小数部分，那么代数式22224()()442a a a a a a a a a+-+⋅-+++的值为________．【例7】已知实数x 、ｙ满足(2008x y =，则3x 2－2y ２＋3x -3y -2０07的值为( )Ａ.－200８ﻩﻩＢ．2００8C.－１ﻩﻩＤ．１【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形,找出a 、b 的关系,再代入求值.解:∵(2008x y =，∴(x =y =(y =x =，由以上两式可得x ＝y .∴(2008x =, 解得ｘ2=200８,所以３ｘ２－2y 2＋3ｘ-３ｙ-2０07＝3x ２－2x 2＋3x －３x -2０0７=ｘ2－2007=１,故选D ．【变式题组】１9.若a >0,ｂ＞0=的值.演练巩固·反馈提高０1．若4m =,则估计ｍ的值所在的范围是（ )A ．１＜m ＜2B ．2＜m <3ﻩC ．3＜m <4 ﻩD ．4＜m <５02．(绵阳)ｎ的最大值为( )A ．1２ ﻩＢ.11C.8 ﻩD ．3０3．(黄石)下列根式中,不是．．最简二次根式的是（ )A.０４.（贺州)下列根式中，不是最简二次根式的是( ）A.C 05.下列二次根式中,是最简二次根式的是（ )Ａ．C06.(常德）设ａ＝２0， ｂ=(-3)2， c =11()2d -=, 则a 、ｂ、ｃ、d 、按由小到大的顺序排列正确的是（ )Ａ．ｃ<ａ<d ＜b ﻩ B.b ＜ｄ＜ａ＜c ﻩﻩC.a ＜ｃ＜ｄ＜bD ．b ＜c ＜a ＜d07．（十堰）下列运算正确的是( ）Ａ+=ﻩ B =Ｃ．21)31=-ﻩﻩ 53=-08.如果把式子(1a -根号外的因式移入根号内,化简的结果为( ）A ．Ｃ.ﻩD ．09.（徐州)2x -化简的结果为2x －3，则ｘ的取值范围是( )Ａ.x ≤１ ﻩB ．x ≥２ﻩ C ．１≤x ≤2ﻩ D.ｘ>010.(怀化)函数y =中自变量的取值范围是____＿_＿_.11.(湘西)对于任意不相等的两个数ａ，b ，定义一种运算ａ※b =那么12※４＝_＿____＿_.12．(荆州）先化简，再求值:22321121a a a a a a -+÷-+-,其中a =13．（广州）先化简,再求值:((6)a a a a --,其中12a =. 培优升级01.(凉山州）已知一个正数的平方根是3x －２和５x +6，则这个数是___＿＿_＿_．02．已知ａ、b 是正整数，且满足是整数,则这样的有序数对(a ,ｂ）共有_＿__＿___对.03．（全国）设12a =，则5432322a a a a a a a+---+=-＿_＿＿___＿． 04．(全国）设x =a 是ｘ的小数部分,b 是x 的小数部，则a 3＋b 3+3a ｂ＝____＿＿__.０５.(重庆)已知2y =,则x 2+y ２=________.0６.(全国）已知1a =,a =2a =,那么ａ、b 、c 的大小关系是（ )Ａ.a ＜b ＜c ﻩﻩＢ.b <ａ<c ﻩﻩC.ｃ<b <a ﻩ D ．c ＜a ＜b07．（武汉)已知y =(ｘ,ｙ均为实数),则ｙ的最大值与最小值的差为( )A 3ﻩB ．3ﻩ3ﻩ D０８．(全国)已知非零实数a 、ｂ满足24242a b a -+++=，则ａ＋b 等于( ) A ．-1ﻩ B.0ﻩﻩC ．1Ｄ．20９．(全国) )Ａ．5-ﻩB ．1ﻩﻩC.5ﻩﻩD ．１10.已知0(0,0)x y x y -=>>的值为( ）A.13ﻩﻩB ．12 ﻩC. 23ﻩ D ．3411.已知152a b c +-=-,求a ＋b +c 的值．1２.已知9+9a 和b ,求ａb －3ａ+4b ＋8的值.第2讲 二次根式的化简与求值考点·方法·破译1．会灵活运用二次根式的运算性质化简求值.2.会进行二次根式的有理化计算,会整体代入求值及变形求值. 3．会化简复合二次根式，会在根式范围内分解因式.经典·考题·赏析【例1】(河北)2=的值等于＿__＿＿＿_＿_＿ 【解法指导】通过平方或运用分式性质，把已知条件和待求式的被开方数都用1x x+表示或化简变形. 解：两边平方得,124x x ++=，12x x+= ,两边同乘以x 得,212x x += ，∵2315x x x ++=,29111x x x ++=,∴原式511-1．若14a a +=(0<ａ＜1）,=_____＿＿_ 2=-( ) A ．1a a -ﻩ B ．1a a -ﻩﻩC ．1a a+ﻩﻩD ．不能确定 【例２】（全国）满足等式=20０3的正整数对(x ,y ）的个数是（ ）A ．1ﻩ ﻩＢ.2ﻩﻩ Ｃ.３ D ．4【解法指导】对条件等式作类似于因式分解的变形,将问题转化为求不定方程的正整数解.0=，∴0=0>,0=，则xy =2０03,且20０３是质数，∴正整数对（x ,y )的个数有2对，应选Ｂ. 【变式题组】3．若a >0，b >0=的值.【例3】(四川)1)a =<<，求代数式22632x x x x x x +-+÷-. 【解法指导】视x -2,x 2－4ｘ为整体,=移项用含a 的代数式表示x －2,ｘ２-４x ，注意0<a ＜1的制约.解：平方得,12x a a =++,∴12x a a -=+,2221442x x a a -+=++， 222142x x a a-=+-，∴化简原式=(3)(2)(2)3x x x x x x +---+ ＝2211()1()211()a a a a a a a a a a a++-+-=++--4．（武汉)已知32x x +=+，求代数式35(2)242x x x x -÷----的值.5.(五羊杯)已知1m =+1n =-且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则ａ的值等于( ) A .-５ﻩB .5ﻩ ﻩC .-9ﻩD .9【例４】(全国）如图，点Ａ、C都在函数0)y x =>的图像上,点Ｂ、Ｄ都在x 轴上，且使得△OAB 、△ＢC Ｄ都是等边三角形,则点Ｄ的坐标为＿___＿＿__.【解法指导】解:如图，分别过点A 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为E 、F .设ＯE=ａ,BF=b ，则，CFb ，所以,点Ａ、C 的坐标为（aa ）、（2ａ＋b）,所以2(2)a b =+=解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，点D的坐标为（,0） 【变式题组】6．(邵阳）阅读下列材料,然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如1323235+，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 335333535=⨯⨯=; (一) 36333232=⨯⨯=； （二) ()()()131313132132-=-+-⨯=+; （三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化，132+还可以用以下方法化简：()()()13131313131313131322-=+-+=+-=+-=+； (四）(1)请你用不同的方法化简352+；①参照（三）试得：352+=__＿__＿________＿___________＿__；（要有简化过程）②参照(四）试得:352+=_＿_＿＿_＿____________＿________＿；（要有简化过程)(2)2n +++【例5】（五羊杯)设a 、b 、c 、d 为正实数,a <ｂ,c <d ，ｂc ＞ad ，，，求此三角形的面积.【解法指导】虽然不能用面积公式求三角形面积(为什么ａ、c 为直角边的直角三角形的斜边，从构造图形入手，将复杂的根式计算转化为几何问题加以解决.解：如图,作长方形AB ＣD ，使AB ＝b －a ，ＡD ＝c ，延长DA 至E ，使DE =d ，延长D Ｃ至F ,使D Ｆ=ｂ，连结EF 、ＦB 、EB ，则ＢＦＥF=,BE ＝,从而知△BEF 就是题设的三角形,而Ｓ△ＢEＦ=S 长方形ABCD ＋S △ＢＣF＋S △ＡBE －S △DEF =(b -a )c +12（d -c ）(b -ａ)－12bd =12（bc -a ｄ)【变式题组】7.（北京)已知ａ、b 均为正数，且ａ+ｂ＝2,求U演练巩固·反馈提高01.已知x =,y =值为___＿＿_____ ０２．设1a =-,则32312612a a a +--＝（ )A.ﻩ２4ﻩB .25ﻩﻩC．10ﻩﻩＤ.1203．(天津）计算2001200019991)1)1)2001--+=____＿___＿_0４.(北京)若有理数x 、y 、z 1()2x y z =++,则2()x yz -=___＿______０５.(北京)正数m、n 满足430m n +-=,=＿_＿_______06.(河南）若1x =,则32(2(15x x x -++的值是( ）A .２ ﻩB ．４ﻩﻩC ．6ﻩﻩﻩD ．807.已知实数a 满足2000a a -=，那么22000a -的值是( ） A ．199９ﻩＢ．2０00 C .２001 ﻩ D ．2002０8.设a =b =c =则a 、b 、c 之间的大小关系是（ ) A .a ＜b <c ﻩﻩB ．c <b <ａ ﻩＣ．ｃ<a ＜bﻩＤ．ａ＜c ＜ｂ０9．已知1x =培优升级0１．（信利）已知1x =+那么2111242x x x +-=+--___＿_____＿02.5=,=___＿＿_____03.（江苏)已知(2002x y =,则2234x xy y --6658x y --+=__＿＿______0４．(7x =,则ｘ＝＿__＿______０５.已知x =，y =,那么22y x x y +=_____＿____０６．（武汉)如果a b +=，a b -=,3333b c b c +=-,那么333a b c -的值为（ )A .ﻩＢ．2001ﻩﻩﻩC .1 ﻩﻩD .00７.(绍兴）当12x +=时,代数式32003(420052001)x x --的值是( ) Ａ．0ﻩ ﻩ B ．－1 ﻩＣ.１ﻩﻩ D ．20032-08.（全国）设ａ、b 、c 为有理数,且等式a +=,则29991001a b c ++的值是（ )Ａ．1９９９ﻩ B .2000 ﻩ C ．2００１ﻩﻩ D ．不能确定09．计算:（(24947++（10．已知实数a 、b 满足条件1b a b a -=<,化简代数式11()(1)a b a b---,将结果表示成不含b 的形式.11.已知21(0)a x aa +=>,化简１２．已知自然数x 、y 、z 0=，求ｘ＋y +z 的值.第3讲一元二次方程的解法考点·方法·破译1.掌握一元二次方程根的定义并能应用根的定义解题；2.掌握一元二次方程的四种解法，并能灵活应用各种解法解方程；3．会应用一元二次方程解实际应用题。
苏教科版初中数学九年级上册提优10
苏教科版初中数学重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！苏科版初中数学和你一起共同进步学业有成！1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图1，已知正方形ABCD的边长为1，点E在边BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）图1中若点E是边BC的中点，我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF，请叙述你的一个构造方案，并指出是哪两个三角形全等（不要求证明）；（2）如图2，若点E在线段BC上滑动（不与点B，C重合）．①AE=EF是否总成立？请给出证明；②在如图2的直角坐标系中，当点E滑动到某处时，点F恰好落在抛物线y=-x2+x+1上，求此时点F的坐标．3.已知抛物线y=x2－2x+c与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，抛物线的顶点为D 点，点A的坐标为（－1，0）．（1）求D点的坐标；（2）如图1，连接AC，BD并延长交于点E，求∠E的度数；（3）如图2，已知点P（－4，0），点Q在x轴下方的抛物线上，直线PQ交线段AC于点M，当∠PMA=∠E时，求点Q的坐标．4．如图（1），抛物线y＝x2－2x＋k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，－3）．（1）k ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；（2）设抛物线y＝x2－2x＋k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（4）在抛物线y＝x2－2x＋k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
九数大培优全一册(学用)
九年级数学大培优第二十六章反比例函数第19讲反比例函数知识导航1.反比例函数的定义和解析式;2.反比例函数的图象和性质;3.反比例函数与方程及不等式;4.反比例函数与神奇的几何性质;5.反比例函数与直线y=a或x=a;6.反比例函数与全等相似;7.反比例函数与图形变换;8.反比例函数与定值及最值.ʌ板块一ɔ反比例函数的定义和解析式方法技巧根据定义解题1.定义:一般地,形如y=k x(k为常数,kʂ0)的函数,叫做反比例函数,其中x是自变量,y是函数.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数;2.解析式:y=k x(kʂ0)或x y=k(kʂ0)或y=k x-1(kʂ0).▶题型一根据定义判断反比例函数ʌ例1ɔ下列函数:①y=x2;②y=2x;③y=-2x;④y=12x;⑤y=1x+2;⑥y=1x-2;⑦x y=2;⑧y= 2x-1,⑨y=2x2.其中y是x的反比例函数的有(填序号).▶题型二根据定义确定k值或解析式ʌ例2ɔ(1)反比例函数y=-32x,化为y=k x的形式,相应的k=;(2)函数y=k x中,当x=2时,y=3,则函数的解析式为.362▶题型三根据定义确定待定系数的值ʌ例3ɔ(1)如果函数y=x2m+1是关于x的反比例函数,则m的值为;(2)若函数y=(m+2)x m2-5(m为常数)是关于x的反比例函数,求m的值及函数的解析式.针对练习11.下列函数中,为反比例函数的是()A.y=x3B.y=13xC.y=1x-3D.y=1x22.反比例函数y=-32x化为y=k x的形式后,相应的k= 32.3.若关于x的函数y=(m2-4)x m2-m-7是反比例函数,求m的值.ʌ板块二ɔ反比例函数的图象和性质方法技巧抓住反比例函数的性质并结合图象解题一般地,对于反比例函数y=kx(kʂ0),由函数图象,并结合解析式,我们可以发现:1.图象分布当k>0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线;当k<0时,x,y(同号或异号),函数图象为第象限的两支曲线.因此反比例函数的图象也叫做双曲线.2.对称性若点(a,b)在反比例函数的图象上,则点,,也在此图象上,故反比例函数的图象关于直线,对称,关于点00成中心对称.3.增减性当k>0时,在每一个象限内,y随x的增大而;当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而.▶题型一反比例函数的增减性ʌ例1ɔ在反比例函数y=1-8m x的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<0<x2,y1>y2,则m的取值范围是()A.m>18B.m<18C.mȡ18D.mɤ1818ʌ例2ɔ已知反比例函数y=-6x.(1)画出这个反比例的图象;(2)当-6ɤx<-2时,y的取值范围是;(3)当|y|ȡ3时,x的取值范围是.九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数的图象的对称性ʌ例3ɔ 如图,直线y =a x (a ʂ0)与双曲线y =k x(k ʂ0)交于A ,B 两点,试说明A ,B 两点关于原点对称.▶题型三 反比例函数的图象与系数的关系ʌ例4ɔ 如图,反比例函数①y =k 1x ,②y =k 2x ,③y =k 3x ,④y =k 4x的部分图象如图所示,则k 1,k 2,k 3,k 4的大小关系是.▶题型四 反比例函数中k 的几何意义如图,过双曲线上任意一点P 作x 轴,y 轴的垂线段P M ,P N ,则所得的矩形P M O N 的面积S =P M ㊃P N =|y |㊃|x |=|x y|=|k |,即在反比例函数y =k x(k ʂ0)的图象上任取一点向两坐标轴作垂线段,则两垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k |,且这个面积的值与取点的位置无关.特别地,S әP M O =S әP N O =12|k |.ʌ例5ɔ 如图,平行于x 轴的直线A B 与双曲线y =k 1x 和y =k 2x(k 1>k 2)在第一象限内交于A ,B 两点,若S әO A B =2,求k 1-k 2的值.1212ʌ例6ɔ 如图,直线y =-12x 与双曲线y =k x(k <0)交于A ,B 两点,且点A 的横坐标为-4.(1)求k 的值;(2)过原点的另一直线交双曲线y =k x(k <0)于P ,Q 两点,点P 在第二象限.若A ,B ,P ,Q 四点组成的四边形面积为24,求点P 的坐标.148128针对练习21.对于反比例函数y =3x ,下列说法正确的是( )A.图象经过点(1,-3)B .图象在第二㊁四象限C .y 随x 的增大而减小 D.x <0时,y 随x 增大而减小2.在同一平面直角坐标系内画出函数y =k x +1和函数y =k x(k ʂ0)的图象大致是( )3.反比例函数y =a 2-a +1x(a 为常数)的图象上有三个点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y3),其中x 1<x 2<0<x 3,则y 1,y 2,y3的大小关系是 y 2<y 1<y 3 .4.如图,点A 是反比例函数y =k x(x <0)的图象上一点,过点A 作A B ʅx 轴于点B ,点P 是y 轴负半轴上一点,әA B P 的面积为1,求k 的值.12|5.点A (a ,y 1),B (2a ,y2)是反比例函数y =k x(k >0)的图象上的两点.(1)比较y 1与y 2的大小关系;(2)若A ,B 两点在一次函数y =-43x +b 位于第一象限的图象上(如图所示),分别过A ,B 两点作x 轴的垂线,垂足分别为点C ,D ,连接O A ,O B ,且S әO A B =8,求a 的值;(3)在(2)的条件下,如果3m =-4x +24,3n =32x,求使得m >n 的x 的取值范围.k xk x k a k 2a43x 43a 8343a 83a 1243a 83a 43x 323x43x 323x九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 反比例函数与方程㊁不等式方法技巧根据直线与双曲线的交点并结合图象解题▶题型一 反比例函数与方程ʌ例1ɔ 如图,直线y =-x +5与双曲线y =4x 交于A ,B 两点.(1)求A ,B两点的坐标;(2)将直线A B 向左平移n 个单位长度,若平移后的直线A B 与双曲线有唯一公共点,求n 的值.4ʌ例2ɔ 直线y =2x +4与反比例函数y =6x的图象交于A ,B 两点,直线y =m (m >0)与直线A B 相交于点M ,与反比例函数的图象相交于N ,若MN =4,求m 的值.426x6642426m 43▶题型二 反比例函数与不等式ʌ例3ɔ 如图,一次函数y =-x +4与反比例函数y =m x (m >0,x >0)的图象交于A ,B 两点,与x 轴,y轴分别相交于C ,D 两点.如果点A 的横坐标为1,利用函数图象求关于x 的不等式4-x <m x的解集.33▶题型三 反比例函数与数形结合比较大小ʌ例4ɔ 如图,直线y =2x +4与反比例函数y =k x 的图象相交于A (-3,a )和B 两点.(1)求A ,B 两点的坐标;(2)直接写出不等式k xɤ2x +4的解集.ʌ例5ɔ 如图,双曲线y =k x (k >0)与直线y =-12x +4相交于A ,B 两点.(1)当k =6时,求点A ,B 的坐标;(2)在双曲线y =k x (k >0)的同一支上有三点C (x 1,y 1),D (x 2,y 2),P (x 1+x 22,y0),请你借助图象,直接写出y 0与y 1+y 22的大小关系;(3)点M (x 1,y 1),N (x 2,y2)是双曲线y =6x (x >0)上任意两点,s =y 1+y 22,t =12x 1+x 2,试比较s 与t 的大小.备用图1221221221221221212212ʌ例6ɔ 当1ɤx ɤ4时,直线y =-2x +b 与双曲线y =4x 只有一个公共点,则b 的取值范围是 4269 .44=42-4242九年级数学 大培优针对练习31.如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A (2,5),B 两点.(1)求点B 的坐标;(1)当y 1>y2时,x 的取值范围是;(2)当x <2时,y2的取值范围是.2.如图,一次函数y 1=x +1的图象与反比例函数y 2=k x (k 为常数,且k ʂ0)的图象都经过点A (m ,2).(1)求点A 的坐标及反比例函数的表达式;(2)结合图象直接写出当x >0时,比较y 1和y 2的大小;(3)直接写出不等式4x -2ɤx +1的解集.23.如图,一次函数y 1=x +5的图象与反比例函数y 2=k x 的图象交于A ,B 两点.当x >1时,y 1>y2;当0<x <1时,y 1<y2.(1)直接写出反比例函数y 2的解析式;6(2)过点D (t ,0)(t >0)作x 轴的垂线,分别交双曲线y 2=k x和直线y 1=x +5于P ,Q 两点.若P Q=备用图3P D 时,求t 的值.666ʌ板块四ɔ 反比例函数与神奇的几何性质方法技巧根据反比例函数k 的意义,结合全等㊁相似或参数思想㊁根系关系,可得出反比例函数一些重要几何性质,在解题中可运用这些重要性质,从而大大提高解题效率.性质一 如图,直线A B :y =m x +n 交x 轴于点A ,交y 于点B ,交双曲线k x于C ,D 两点.求证:A C =B D.图1图2k xn m n mC MD F D N CE ʑB C B D A D A C C D B D =C D A C性质应用ʌ例1ɔ 如图,直线y =x +6交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,交双曲线y =k x于点C ,D ,若C D =2(A C +B D ),则k 的值为.16O 16性质二 如图1,A ,B 为双曲线y =k x上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,BD 交于点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.图112|A E C E B E D E A C A E B DB E九年级数学 大培优变式1:如图2,A C ʅx 轴于点C ,B D ʅy 轴于点D ,A C ,B D 交于点E .求证:①A B ʊCD ; ②A C AE =B D B E.图2变式2:如图3,A ,B 为双曲线y =k x 上任意两点,A C ʅy 轴于点C ,B D ʅx 轴于点D ,直线AC ,B D交于图3点E .求证:①A B ʊC D ; ②A C A E =B D B E.ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =k x经过矩形O A B C 边A B 的中点F ,交B C于点E ,且四边形O E B F 的面积为2,则k =.12ʌ例3ɔ 如图,点P 为双曲线y =8x(x >0)上一点,P A ʅx 轴于点A ,P Bʅy 轴于点B ,P A ,P B 分别交双曲线y =k x (x >0)于C ,D 两点,若S әP C D =1,则k =.888128a k 88216性质三 如图,直线A B 与双曲线y =k x只有唯一公共点A ,且A B 与y 轴不平行,A B 交x 轴于点B ,连接O A .求证:O A =A B.k a222性质四 如图,直线y =m x 交双曲线y =k x于A ,B 两点,点P 为双曲线上一点,直线P A ,P B 分别交x轴于M ,N 两点.求证:P M =P N .ʌ例4ɔ (2018十堰中考)如图,直线y =-x 与反比例函数y =k x的图象交于A ,B 两点,过点B 作B Dʊx 轴,交y 轴于点D ,直线A D 交反比例函数y =k x 的图象于另一点C ,求C B C A的值.212212121313针对练习41.如图,点A ,B 分别是双曲线y =4x 和y =2x第一象限分支上的点,且A B ʊy 轴,B C ʅy 轴于点C ,则A B ㊃B C = 2 .2.如图,直线y =-3x +b 与y 轴交于点A ,与双曲线y =k x在第一象限交于B ,C 两点,且A B ㊃A C =4,则k = 3 .2332334333九年级数学 大培优3.如图,әO A C 的顶点A 在双曲线y =9x上,点C 在x 轴上,O A 交双曲线y=1x 于点B ,直线A C 与双曲线y =9x只有唯一公共点,且A C 与y 轴不平行,则S әA B C =.992339a2x 181212391323234.如图1,直线y =-2x +6交x 轴于点B ,交y 轴于点A ,直线A B 与双曲线y =k x(k <0)交于C ,D 两点,C E ʅx 轴于点E ,D F ʅx 轴于点F .(1)若k =-8,求C D 的长;(2)求C E -D F 的值;(3)如图2,P 是双曲线y =k x (k <0)上第二象限上一动点,P G ʅx 轴于G ,交双曲线y =k 2x(k <0)于M ,PH ʅy 轴于H ,交y =k 2x(k <0)于N ,请直接写出MN 的最小值为(用含k 的式子表示).图1 图2552212ʌ板块五ɔ 反比例函数与直线x =a 或y =a方法技巧此类问题一般可用a 表示相关点的坐标,从而表示出相关线段长,将几何问题坐标化.解题时注意情况不明时需分类讨论.ʌ例1ɔ 如图,在平面直角坐标系x O y 中,直线y =2x +n 与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,与双曲线y =4x在第一象限内交于点C (1,m ),过x 轴正半轴上的点D (a ,0)作平行于y 轴的直线l ,分别与直线和双曲线y =4x 交于点P ,Q ,且点P 不与点Q 重合.(1)求m 和n 的值;(2)当a >1,P Q =2Q D 时,求әA P Q 的面积;(3)连接C Q ,当C P =C Q 时,求a 的值.44412,4a 4a针对练习51.如图,直线l :y =32x +3与双曲线y =k x 在第一象限内交于点A (a ,6).(1)求双曲线的解析式;(2)直线x =t (t >0且t ʂ2)分别交直线l ,双曲线y =k x 于C ,D 两点,连接A D ,若A C =A D ,请直接写出t 的值.323221232123213412362134362134362ʌ板块六ɔ 反比例函数与全等及勾股定理方法技巧利用全等㊁相似将线段关系转化为坐标关系,实现 几何问题坐标化 .▶题型一 反比例函数与全等ʌ例1ɔ 如图,点A 是双曲线y =8x在第一象限上的一动点,连接A O 并延长交另一分支于点B ,以A B为斜边作等腰R t әA B C ,随着点A 的运动,点C 的位置也不断地变化,但始终在一函数图象上运动,则这个函数的解析式为 8 .ʌ例2ɔ (2018原创题)如图,点A (2,4),B 均为双曲线y =k x 在第一象限上的点,且øA O B =45ʎ,求点B 的坐标.13881326263九年级数学 大培优▶题型二 反比例函数与勾股定理ʌ例3ɔ 如图,矩形A B C O 的顶点B (10,8),点A ,C 在坐标轴上,E 是B C 边上一点,将әA B E 沿A E折叠,点B 刚好与O C 边上的点D 重合,过点E 的反比例函数y =k x(k >0)的图象与边A B 交于点F ,求点F的坐标.154154针对练习61.如图,A (2,3)是双曲线y =k x(x >0)上的一点,P 为x 轴正半轴上一点,将点A 绕点P 顺时针旋转90ʎ,恰好落在双曲线上的另一点B ,求点P的坐标.2.如图,已知点A (2,2),P (0,a )是y 轴上一点,连接P A ,将线段P A 绕点P 逆时针旋转90ʎ得线段P A ᶄ,若线段P A ᶄ与反比例函数y =-3x(x <0)的图象有公共点,求a 的取值范围.333.如图,直线y =3x -3交坐标轴于A ,B 两点,将әA O B 沿A B 翻折得到әA C B ,点D 在A C 的延长线上,且C D =4A C ,反比例函数y =k x的图象经过点D ,求k 的值.ʌ板块七ɔ 反比例函数与图形变换方法技巧图形变换的本质是点的变换,解题的关键是根据变换规律,将变换后的关键点的坐标表示出来,再根据条件建立关系式.ʌ例1ɔ 平面直角坐标系中,点A (-2,0),B (0,3),点P 为第二象限内一点.(1)如图,将线段A B 绕点P 旋转180ʎ得线段C D ,点A 与点C 对应,试画出图形;(2)若(1)中得到的点C ,D 恰好在同一个反比例函数y =k x的图象上,求直线B C 的解析式;(3)若点Q (m ,n )为第四象限的一点,将线段A B 绕点Q 顺时针旋转90ʎ得到线段E F ,其中点A 与点E 对应,若点E ,F 恰好在同一个反比例函数的图象上,直接写出m ,n 之间的关系式为 m =-5n .备用图3232九年级数学 大培优ʌ例2ɔ 已知点A (a ,m )在双曲线y =8x 上且m <0,过点A 作x 轴的垂线,垂足为点B .(1)如图1,当a =-2时,P (t ,0)是x 轴上的动点,将点B 绕点P 顺时针旋转90ʎ至点C .①若t =1,直接写出点C 的坐标;②若双曲线y =8x经过点C ,求t 的值;(2)如图2,将图1中的双曲线y =8x(x >0)沿y 轴折叠得到双曲线y =-8x (x <0),将线段O A 绕点O 旋转,点A 刚好落在双曲线y =-8x(x <0)上的点D (d ,n )处,求m 和n 的数量关系.8828x 针对练习71.在平面直角坐标系中,点A (a ,0)为x 轴上一动点,点M 的坐标为(1,-1),点N 的坐标为(3,-4),连接AM ,MN ,点N 关于直线AM 的对称点为点N ᶄ.(1)若a =2,在图1中画出线段MN 关于直线AM 的对称图形MN ᶄ(保留作图痕迹),直接写出点N ᶄ的坐标为 21;(2)若a >0,连接A N ,A N ᶄ,当点A 运动到øN ᶄA N =90ʎ时,点N ᶄ恰好在双曲线y =k x上(如图2),求k 的值;(3)点A 在x 轴上运动,若øN ᶄMN =90ʎ,此时a 的值为 465.65731-71x 4(6ʌ板块八ɔ 反比例函数与定值㊁最值方法技巧通过采取解析法求定值,建立二次函数模型求最值.▶题型一 反比例函数与定值ʌ例1ɔ 如图,点C (6,1),D (1,6)在双曲线y =6x的图象上.点T 在双曲线第一象限上(不同于C ,D ),直线T C ,T D分别交y 轴于E ,F ,则O F -O E 的值是 5 .6666166▶题型二 反比例函数与最值ʌ例2ɔ 如图,双曲线y =2x的第一象限的分支上一动点P ,点A (-2,-2),B (2,2),则P A -P B 的值为4 .22222222ʌ例3ɔ 如图,在平面直角坐标系中,直线A B :y 1=x +m 与双曲线C :y2=k x 相交于A ,B 两点,其中点A (2,5),A C ʅy 轴于点C .(1)求直线与双曲线的解析式;(2)直接写出x <2时,反比例函数值y 2的取值范围;(3)点E 为点B 下方直线A B 上一动点,直线E F ʅA B ,分别与直线A B ,双曲线C 及y 轴交于E ,F ,G 三点,求E F ㊃F G 的最大值.10101052325232253222253232494324946712494九年级数学 大培优针对练习81.如图,若直线y =-x +m 与反比例函数y =4x(x >0)的图象相交于两个不同点E ,F (点E 在点F 的左边),与y 轴相交于点M .(1)m的取值范围为;(2)求M E ㊃M F 的值.44224=2x 22.如图,已知反比例函数y =k x 和一次函数y =32x +6的图象有一个交点为P (-2,m ).(1)求反比例函数解析式;(2)若过点P 的直线l 与反比例函数y =k x的图象只有一个交点,求直线l 的解析式;(3)点Q 是双曲线在第四象限这一分支上的动点,过点Q 作直线,使其与双曲线y =k x只有一个公共点,且与x 轴,y 轴分别交于点C ,D ,直线y =32x +6与x 轴,y 轴分别交于点A ,B ,求四边形A BCD 面积的最小值.32663232x 3266666t 6t 66262121212t 12A 121242第20讲实际问题与反比例函数知识导航1.根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象;2.反比例函数的应用.ʌ板块一ɔ根据实际问题列反比例函数关系式或确定函数图象方法技巧解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用待定系数法求出它们的关系式.▶题型一坐标与距离ʌ例1ɔ某闭合电路中,电源的电压为定值,电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.下图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象,则用电阻R表示电流I的函数解析式为()A.I=2RB.I=3RC.I=6RD.I=-6Rʌ例2ɔ某小学部课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为1m2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为x m,长为y m.那么这些同学所制作的矩形长y(m)与宽x(m)之间的函数关系的图象大致是()A.针对练习11.如果等腰三角形的底边长为x,底边上的高为y,则它的面积为定值S时,x与y的函数关系为()A.y=S xB.y=S2xC.y=2S xD.y=x2S2.在照明系统模拟控制电路实验中,研究人员发现光敏电阻值R(单位:Ω)与光照度E(单位:l x)之间成反比例函数关系,部分数据如下表所示:光照度E/l x0.511.522.53光敏电阻阻值R/Ω603020151210则光敏电阻值R与光照度E的函数表达式为R=30E.九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 反比例函数的应用方法技巧1.根据题意,建立反比例函数模型解题;2.正确认识图象,找到关键的点,运用好数形结合的思想.ʌ例1ɔ 实验数据显示,一般成人喝半斤低度白酒后,1.5小时内其血液中酒精含量y (毫克/百毫升)与时间x (时)的关系可近似地用二次函数y =-200x 2+400x 刻画;1.5小时后(包括1.5小时)y 与x 可近似地用反比例函数y =k x(k >0)刻画(如图所示).(1)根据上述数学模型计算:①喝酒后几小时血液中的酒精含量达到最大值?最大值为多少?②当x =5时,y =45,求k 的值.(2)按国家规定,车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于酒后驾驶 ,不能驾车上路.参照上述数学模型,假设某驾驶员晚上20:00在家喝完半斤低度白酒,第二天早上7:00能否驾车去上班?请说明理由.22522511ʌ例2ɔ 某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m 的墙,用篱笆围一个面积为12m 2的矩形园子.(1)如图,设矩形园子的相邻两边长分别为x (m ),y (m ).①求y 关于x 的函数表达式;②当y ȡ4m 时,求x 的取值范围;(2)小凯说篱笆的长可以为9.5m ,洋洋说篱笆的长可以为10.5m.你认为他们俩的说法对吗为什么?1265651212x针对练习21.当温度不变时,某气球内的气压p (k P a )与气体体积V (m 3)的函数关系如图所示,已知当气球内的气压p >120k P a 时,气球将爆炸,为了安全起见,气球的体积V 应( )A.不大于45m 3B .大于45m 3C .不小于45m 3 D.小于45m 32.为预防流感盛行,对教室进行 薰药消毒 .已知药物在燃烧及释放过程中,室内空气中每立方米含药量y (毫克)与燃烧时间x (分钟)之间的关系如图所示(即图中线段O A 和双曲线在A 点及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?23150231503.(2018㊃乐山)某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度y (ħ)与时间x (h )之间的函数关系,其中线段A B ,B C 表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分C D 表示恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题:(1)求这天的温度y 与时间x (0ɤx ɤ24)的函数关系式;(2)求恒温系统设定的恒定温度;(3)若大棚内的温度低于10ħ时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多少小时,才能使蔬菜避免受到伤害200200九年级数学 大培优第二十七章 相似第21讲 相似三角形的判定知识导航1.相似多边形;2.平行线分线段成比例定理;3.相似三角形的判定方法.ʌ板块一ɔ 平行线分线段成比例定理方法技巧1.在利用平行线分线段成比例定理时,注意对应线段的位置;2.由平行线+中点得线段中点,利用中位线解题.▶题型一 运用平行线分线段成比例定理探究线段关系ʌ例1ɔ 如图,已知直线A B ʊC D ʊE F ,A F 与B E 交于点G ,且A G =2,G D =1,D F =5,求B C C E的值.A D FBC C E 35ʌ例2ɔ 如图,P 是▱A B C D 的边B C 的延长线上任意一点,A P 分别交B D 和C D 于点M 和N .求证:AM 2=MN ㊃MP .AM MN B M DMAM MN M P AM▶题型二 平行线等分线段定理证线段中点ʌ例3ɔ 如图,在正方形A B C D 中,点E 在对角线B D 上,连接A E ,D F ʅB D ,且D F =B E ,F B 与A C交于点M .求证:D E =2C M .针对练习11.如图,直线l 1,l 2,l 3分别交直线l 4于A ,B ,C 三点,交直线l 5于点D ,E ,F ,且l 1ʊl 2ʊl 3,已知D E ʒD F =3ʒ8,A C =24.(1)求B C的长;(2)当A D =4,C F =20时,求B E 的长.3815258522.如图,A B 是☉O 的直径,C D 是弦,A E ʅC D ,B F ʅC D ,垂足分别为点E ,F .(1)求证:D E =C F ;(2)若B F =1,A E =2,E F =4,求A B 的长.223.如图,在正方形A B C D 中,点E 在D A 的延长线上,A E =A B ,点F 在C D 上,M 为A F 的中点,过点M 作MN ʅM C 交B E 于点N .求证:MN =M C .九年级数学 大培优ʌ板块二ɔ 作平行线构造X 型相似方法技巧1.作平行线是构造三角形相似的基本方法,利用平行线对比例式进行转化.2.通常引入参数求比值或计算线段的长.▶题型一 延长平行线段构X 型相似ʌ例1ɔ 如图,▱A B C D 中,A B =2,A D =3,øA B C =60ʎ,A E ʅB C ,垂足为点E .F 为C D 的中点,D E与B F 相交于点P .(1)求E P D P 的值;(2)求B P 的长.1213ʑMN =32213131414B 132▶题型二 作平行线构X 型相似,证线段关系ʌ例2ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C ,D 为B C 上一点,点E ,F 在A D 上,A E =E F =12B E ,øB E D =øB A C .(1)求证:A E =F C ;(2)求证:B D =2C D .1212▶题型三 作平行线构X 型相似,求比值ʌ例3ɔ 如图,øC A B =90ʎ,A C =A B ,D 是A C 的中点,A F ʅB C 分别交B D ,B C 于点E ,F .A G ʅD B交B C 于点G .求D E A G的值.121▶题型四 利用角平分线+平行线构X 型相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,A B =A C =5,B C =6,øA B C 的平分线交A C 于点D ,C E ʅB C 交B D 的延长线于点E ,求B D D E的值.265661148114011181183针对练习21.如图,在▱A B C D 中,M 为A B 的中点,DM ,D B 与A C 分别相交于点P ,Q .(1)求A P P Q的值;(2)若D B ʅB C ,B C =5,P Q =1.求P M 的长.121322D B 2+B C 221122121213DM 2162.如图,在әA B C 中,D 是B C 的中点,点F 在A C 上,F C =2A F ,B F 交A D 于点E .(1)求证:A E =E D ;(2)若A B =A D ,求B F A C的值.1212B F B M 23B F A C 233.如图,A D 为әA B C 的角平分线,点E 在A B 边上,C E 交A D 于点F ,C F =C D ,若A F =3F D ,E F =3,求C D 的长.34九年级数学 大培优ʌ板块三ɔ 作平行线构造A 型相似方法技巧1.求部分线段与整体线段的比的问题,往往构A 型相似求解;2.过线段端点或分点作平行线构双A (X )图或A X 型图;3.三条平行线构成X 型㊁A 型图中隐藏关系式:1a +1b =1c;4.等腰三角形中作腰的平行线构造新的等腰三角形.▶题型一 直接或间接作平行线构造A 型图求比值.ʌ例1ɔ 如图,在әA B C 中,点E 为线段B C 的中点,点D 在线段A C 上,B D 交A E 于点F .若B F =3F D ,求A F A E的值.12B 141212▶题型二 直接或间接作平行线构造A 型图转化比.ʌ例2ɔ 如图,在әA C B 中,点D 为边A C 的中点,点E 为B D 上任意一点,延长C E 交A B 于点M ,延长A E 交B C 于点N ,连接MN .求证:MN ʊA C .B NB C ▶题型三 直接或间接作平行线构造双A 型解题ʌ例3ɔ 如图,在R t әA B C 中,øA C B =90ʎ,C D ʅA B ,垂足为点D ,M 是C D 的中点,E F ʅA B ,垂足为点F .若E F =4,C E =3.2,求A E 的长.4432▶题型四1a+1b=1c型问题ʌ例4ɔ如图,A BʊC D,B D与A C交于点G,过点G作A B的平行线分别交B C,A D于点H,E.(1)求证:1A B+1C D=1G H;(2)过点H作H FʅA D,垂足为点F,若F G=2,A B=3,求C D的长.1111 A B 1C D1G H121 3112针对练习31.如图,点D是әA B C的边C B的延长线上一点,点F在A C上,D F交A B于点E,若B D=B E,C D=4A E,A C=5,求A F的长.152.如图,四边形A B C D中,A DʊB C,A FʊC D交B C于点F,E是A B上一点,A E=A D,E C交A F于点M.求证:C M㊃B F=A B㊃M E.3.如图,在әA B C中,点P是A B上一点,A P=4,B P=6,点M是P C的中点,øA C P=øP B M.(1)求A C 的长;(2)过点A作A DʊP C交B C的延长线于点D,B M的延长线交A D于点N.若N D=33,øC A D=30ʎ,求C D的长.1243336323F2+F D227九年级数学 大培优ʌ板块四ɔ 边边边法证明三角形相似方法技巧网格中或非网格中可计算出三边或算出三对对应边的比值,常用三边对应成比例证三角形相似.▶题型一 网格中的相似三角形ʌ例1ɔ 已知әA B C 中,A B =25,A C =45,B C =6.如图,是由100个边长为1的小正方形组成的10ˑ10的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.请在网格中画一个与әA B C 相似且对应边的比最大的格点三角形,并加以证明.0204102,1021022102100272+122329210111111102▶题型二 非网格相似三角形ʌ例2ɔ 已知正方形A B C D ,点E ,F 分别在边A D ,C D 上,且A E =E D ,C F =3D F .(1)求证:әA B E ʐәE B F ;(2)连接A C 与B E ,B F 分别相交于点M ,N ,求证:B C B N =AM MN.52AMMN 针对练习41.如图,是由81个边长为1的小正方形组成的9ˑ9的正方形网格.设顶点在这些小正方形顶点的三角形为格点三角形.(1)请你计算出әA B C各边的长;(2)请在网格中画一个与әA B C 相似且与әA B C 三边对应垂直的对应边比值最大的格点三角形,并加以证明(A ,B ,C 的对应点分别为A 1,B 1,C 1).2256262=623262351111112.如图,在四边形A B C D 中,点E 在B D 上,且A B A E =B C E D =A C A D.B C =4,øB A E =30ʎ,求C D 的最小值.12ʌ板块五ɔ 边角边法证三角形相似方法技巧1.旋转型㊁子母型图常运用两边对应成比例,其夹角相等证相似;2.求形如a +n mb 的最值,常通过构 边角边 相似去求解.▶题型一 旋转型相似ʌ例1ɔ 如图1,在R t әA B C 中,øC =90ʎ,A B =15,B C =9,点P ,Q 分别在边B C ,A C 上,C P =3x ,C Q=4x (0<x <3),把әP C Q 绕点P 旋转,得到әP D E ,点C ,Q 的对应点分别为点D ,E .(1)如图1,若点D 落在线段P Q 上,且A D 平分øC A B ,求x 的值;(2)如图2,当点E 落在边A B 上且Q E ʊC B 时,求C D 的长.图1 图212412693535185▶题型二 将a 2=b c 型问题转化为 子母型 相似问题.ʌ例2ɔ 如图,在әP E F 中,P E =P F ,O 为E F 的中点,G 为P F 上一点,øP E G =27ʎ,N 为O G 的中点,P N ʅE G ,垂足为点M ,若øM O N =18ʎ,N G 2=NM ㊃N P .求øF 的度数.九年级数学大培优针对练习51.如图,P是正方形A B C D边B C上一点,点M在边C D上,B M与A P交于点Q,B P2=P Q㊃P A.(1)求证:C M=B P;(2)若P为B C中点,求øP Q C的度数.2.如图,在正方形A B C D中,点E,F分别在边B C,C D上,连接A F交B D于点H,E C=2DH.(1)求证:øE A F=45ʎ;(2)求证:AH=E H.23.如图,在等腰直角三角形A B C中,A C=B C,点E在边B C上,以A E为边作正方形A E MN,E M交A B于点F.(1)求证:B MʅA B;(2)若C E=2B E,求A E E F的值.2222221415E F A E15ʌ板块六ɔ 角角判定法证三角形相似方法技巧1.共角的两个三角形优先考虑用角角判定法证三角形相似;2.用反A 型相似证明a b =c d 型等式;3.善于发现或构造一线三等角型相似;4.共角且一对角互补的两个不相似三角形,构造等腰三角形转化为相似三角形.▶题型一 用角角判定法证明三角形相似ʌ例1ɔ 如图,D 是әA B C 边B C 的中点,点M 在A B 上,øA C M =øB .(1)求证:A C 2=AM ㊃A B ;(2)点O 在A D 边上,且A O =2O D ,过点O 作E F ʊM C ,分别交A B ,A C 于点E ,F ,若A E =6,E M =1,求A F ㊃A C 的值.▶题型二 构造等角,运用角角法证相似求边长ʌ例2ɔ 如图,点D 在A B 上,A B =3B D =12,点E 在B C 的延长线上,D E =2A C ,øA C B +øB D E =180ʎ,øB =60ʎ,求A C 的长.12123221213131▶题型三 一线三等角问题ʌ例3ɔ 如图,在әA B P 中,A P =A B ,O 为A B 上一点,O A =2,O B =1,A Q ʊB P ,且øQ O P =øB ,求A Q ㊃B P 的值.A Q O E232313x Q F O B1九年级数学 大培优针对练习61.如图,A B =A C ,øB A C =90ʎ,D 为边A B 上任意一点,A E ʊB C ,øC D E =45ʎ,求证:C D D E=2.222.如图,әA B C 中,A B =A C =15,B C =24,D ,E 分别是B C ,A B 上的点,øA D E =øB ,当әB D E 为直角三角形时,求B D 的长.1215125421162142143.如图,点E ,F 分别在线段A C ,B C 上,øF E C =øB ,øA C B =60ʎ,C H 平分øA C B 交E F 于点H .(1)求证:B C A C =E H H F;(2)若E C =43,H C =5,求B C A C的值.E H H F E M F N1212B C A C E C F C B C A C E H H F 12E 2312F =3x =3M -3x MH HN E M F N ,15-3x 23x03-1073C 754.如图,正方形A B C D 中,B C =4,对角线A C ,B D 交于点O ,P 是O B 的中点,N 在线段C D 上(不与C ,D 两点重合),P M ʅP N 交B C 于点M .求B M +13DN 的值.1213P E P D 1313D 12B 13ʌ板块七ɔ 作垂线构造三角形相似方法技巧作垂线构造直角三角形相似转化比或用比例式列方程求边.▶题型一 利用对顶角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例1ɔ 如图,B D 为әA B C 的高,点E 在A B 边上,øB E C =60ʎ,B E =2C D ,C E 与B D 相交于点F .求B FF C的值.32333▶题型二 利用同角或等角的补角相等,作垂线构造直角三角形相似ʌ例2ɔ 如图,在R t әA B C 中,øB A C =90ʎ,A D ʅB C ,垂足为点D ,点O 是A C 边中点,连接B O 交A D 于点F ,O E ʅOB 交BC 边于点E .若A C A B =n ,求O F O E的值.▶题型三 利用角平分线作垂线构造直角三角形相似ʌ例3ɔ 如图,在әA B C 中,øB A C =60ʎ,A B =6,A C =4,A D 平分øB A C 交B C 于点D .求B D 的长.121233233323535322657▶题型四 面积问题作高构造直角三角形相似ʌ例4ɔ 如图,在әA B C 中,øC =45ʎ,点D ,E ,F 分别在边B C ,A C ,A B 上,A B =B D =2A E ,连接E F交A D 于点G ,øA G F =45ʎ,若A D =4,F G =32,求әA F G 的面积.1234九年级数学 大培优针对练习71.如图,在әA B C 中,øA C B =90ʎ,点E 在A C 上,A C =2B C =4C E .C D ʅB E 交B E 于点F ,交A B 于点D .求B D A D的值.12122.如图,在R t әA B C 中,øA B C =90ʎ,A B =6,D 为A C 的中点,过点A 作A E ʊB C ,连接B E ,øE B D=øC B D ,B D =5,求B E 的长.2452543.如图,B ,C ,E 三点在一条直线上,әA B C 与әD C E 均为等边三角形,D B 与A C ,A E 分别相交于点H ,F ,连接F C .(1)求证:әAH B ʐәF H C ;(2)若B F =2F E ,求B C C E的值.M N B C E C32324.如图,在四边形A B C D 中,øA B C =øA D C =90ʎ,A B =A D =2B C =2C D ,E 为C D 上一点,B F ʅA E交A D 于点F .求B F A E的值.12535383858545ʌ板块八ɔ用相似法证明线段相等方法技巧1.证明a=b的方法技巧之一:若a c=b c,则a=b;2.证明a=b的方法技巧之二:若a c=b d,c=d,则a=b.▶题型一双A双X并排型ʌ例1ɔ如图,D,E分别是әA B C的边A B,A C上的点,D EʊB C,D C交B E于点O,直线A O分别交D E,B C于点M,N.求证:B N=N C.▶题型二普通型相似ʌ例2ɔ如图,D为R tәA C B斜边A B的中点,点M在A C上,点N在B C的延长线上,øMDN=90ʎ.(1)求证:øC A B=øMN D.(2)如图2,分别过点M,N作直线A B的垂线,垂足分别为点G,H.求证:A G=DH.针对练习81.如图,在等边әA B C中,点E在C A的延长线上,点D在B C的延长线上,A E=C D,延长D A交B E 于点F.(1)求证:øE A F=øA B E;(2)过点E作E GʊF C交A D于点G.求证:E F=A G.。
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初三数学培优资料1(共44页) -本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-初三数学培优资料第一讲：一元二次方程的根一、内容提要1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c的值确定的.求根公式是：x=a acb b24 2-±－. (b2－4ac≥0)2.根的判别式①实系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根的充分必要条件是：b2－4ac≥0.②有理系数方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根的判定是：b2－4ac是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x2+px+q=0有两个整数根⇔p2－4q是整数的平方数.3.设x1, x2是ax2+bx+c=0的两个实数根，那么①ax12+bx1+c=0 (a≠0，b2－4ac≥0)， ax22+bx2+c=0 (a≠0， b2－4ac≥0)；②x1=aacbb242-＋－，x2=aacbb242-－－(a≠0, b2－4ac≥0)；③韦达定理：x1+x2=ab－, x1x2=ac(a≠0, b2－4ac≥0).4.方程整数根的其他条件整系数方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一个整数根x1的必要条件是：x1是c的因数.特殊的例子有：C=0⇔x1=0 ， a+b+c=0⇔x1=1 ，a－b+c=0⇔x1=－1.二、例题例1.已知：a, b, c是实数，且a=b+c+1.求证：两个方程x2+x+b=0与x2+ax+c=0中，至少有一个方程有两个不相等的实数根.例2.已知首项系数不相等的两个方程：（a－1）x2－(a2+2)x+(a2+2a)=0和 (b－1)x2－(b2+2)x+(b2+2b)=0 (其中a,b为正整数)有一个公共根. 求a, b的值.例3. 已知：m, n 是不相等的实数，方程x2+mx+n=0的两根差与方程y2+ny+m=0的两根差相等.求：m+n 的值.例4. 若a, b, c 都是奇数，则二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)没有有理数根.例5.求证：对于任意一个矩形A ，总存在一个矩形B ，使得矩形B 与矩形A 的周长比和面积比都等于k(k ≥1).例6. k 取什么整数值时，下列方程有两个整数解？①（k 2－1）x 2－6(3k －1)x+72=0 ； ②kx 2+(k 2－2)x －(k+2)=0.三、练习1. 写出下列方程的整数解：① 5x 2－3x=0的一个整数根是＿＿＿.② 3x 2+(2－3)x －2=0的一个整数根是＿＿＿.③ x 2+(5+1)x+5=0的一个整数根是＿＿＿.2. 方程（1－m ）x 2－x －1=0 有两个不相等的实数根，那么整数m 的最大值是＿＿＿＿.3. 已知方程x 2－(2m －1)x －4m+2=0 的两个实数根的平方和等于5，则m=＿＿＿.4. 若x ≠y ，且满足等式x 2+2x －5=0 和y 2+2y －5=0.那么yx 11 ＝＿＿＿.（提示：x, y 是方程z 2+5z －5=0 的两个根.）5. 如果方程x 2+px+q=0 的一个实数根是另一个实数根的2倍，那么p, q 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.6. 若方程ax 2+bx+c=0中a>0, b>0, c<0. 那么两实数根的符号必是＿＿＿＿＿＿.7. 如果方程mx 2－2(m+2)x+m+5=0 没有实数根，那么方程（m －5）x 2－2mx+m=0实数根的个数是（ ）.(A)2 （B ）1 （ C ）0 （D ）不能确定8. 当a, b 为何值时，方程x 2+2(1+a)x+(3a 2+4ab+4b 2+2)=0 有实数根？9.10.9. 两个方程x 2+kx －1=0和x 2－x －k=0有一个相同的实数根，则这个根是（ ）(A)2 （B ）－2 （C ）1 （D ）－110.已知：方程x 2+ax+b=0与x 2+bx+a=0仅有一个公共根，那么a, b 应满足的关系是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿11. 已知：方程x 2+bx+1=0与x 2－x －b=0有一个公共根为m ，求：m ，b 的值.12. 已知：方程x 2+ax+b=0的两个实数根各加上1，就是方程x 2－a 2x+ab=0的两个实数根.试求a, b 的值或取值范围.13. 已知：方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两根和等于s 1，两根的平方和等于s 2, 两根的立方和等于s 3.求证：as 3+bs 2+cs 1=0.14. 求证：方程x 2－2(m+1)x+2(m －1)=0 的两个实数根，不能同时为负.（可用反证法）15. 已知：a, b 是方程x 2+mx+p=0的两个实数根；c, d 是方程x 2+nx+q=0的两个实数根. 求证：（a －c ）(b －c)(a －d)(b －d)=(p －q)2.16. 如果一元二次方程的两个实数根的平方和等于5，两实数根的积是2，那么这个方程是：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.17. 如果方程（x －1）(x 2－2x+m)=0的三个根，可作为一个三角形的三边长，那么实数m 的取值范围是 （ ）（A ） 0≤m ≤1 （B ）m ≥43 （C ）43<m ≤1 （D ）43≤m ≤118. 方程7x 2－(k+13)x+k 2－k －2=0 (k 是整数)的两个实数根为α，β且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k 的取值范围是( )（A ）3<k<4 (B)-2<k<-1 (C) 3<k<4 或-2<k<-1 （D ）无解第二讲：未知数比方程个数多的方程组解法一、内容提要1、在一般情况下，解方程或方程组，未知数的个数总是与方程的个数相同的，但也有一些方程或方程组，所含的未知数的个数多于方程的个数，包括在列方程解应用题时，引入的辅助未知数.2、解这类方程或方程组，一般有两种情况：一是依题意只求其特殊解，如整数解，或几个未知数的和(积)等，无需求出所有的解；二是在实数范围内，可运用其性质，增加方程或不等式的个数. 例如，利用取值范围，非负数的性质等.二、例题解析：例1. 在实数范围内，解下列方程或方程组： ①0211122=++--+-y x x x ； ②x 2+xy+y 2－3x －3y+3=0； ③⎩⎨⎧=-=++4222z xy z y x例2. 一个自然数除以4余1，除以5余2，除以11余4，求适合条件的最小自然数.例3. 有甲，乙，丙三种货物.若购买甲3件，乙7件，丙1件共需元；若购买甲4件，乙10件，丙1件共需元.问购买甲、乙、 丙各1件共需几元？例4. 甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，相向而行，当甲车走完全程的一半时，乙车距A 站24公里；当乙车走完全程的一半时，甲车距B站15公里.求A、B两站的距离.三、巩固练习：1. 甲，乙，丙，丁，戊做一件工程，甲，乙，丙合作需小时，甲，丙戊合作需5小时，甲，丙，丁合作需6小时，乙，丁，戊合作需4小时.问五人合作需几小时？2. 服装厂向百货商店购买甲、乙两种布，共付元，售货员收款时发现甲、乙两种布单价对调了，退给厂方元，厂方把这元又买了甲、乙两种布各1尺.问服装厂共买布几尺？3. 两只船分别从河的两岸同时对开，速度保持不变，第一次相遇时，距河的一岸700米，继续前进到达对岸后立即返回，第二次相遇时，距河的另一岸400米，求河的宽.4. 游泳运动员自闽江逆流而上，在解放大桥把水壶丢失，继续前游20分钟才发现，于是返回追寻，在闽江大桥处追到，已知两桥相距1000米，求水流的速度.5. 已知长方形的长和宽均为整数，且周长的数值与面积的数值相等.问这长方形的长和宽各是多少？6. 有一队士兵，若排成3列纵队，则最后一行只有1人；若排成5列纵队，则最后一行只有7. 人；排成7列纵队，则最后一行只有6人.问这队士兵最少是几人？7. 求下列方程的实数解：①0-+xx+-y1=13122+② 5x 2+6xy+2y 2－14x －8y+10=0③ (x 2+1)(y 2+4)=8xy④ 052312=+-+-+y x y x8. 一件工程，如果甲单独完成所需的时间是乙，丙合做，完成这件工程所需时间的a 倍；如果乙单独完成所需的时间是甲，丙合做，完成这件工程所需时间的b 倍.(其中b>a>1),那么丙单独完成所需的时间是甲，乙合做，完成这件工程所需时间的多少倍？9. 甲，乙两车从东站，丙，丁两车从西站，同时相向而行.甲车行120公里遇丙车，再行20公里遇丁车；乙车在离西站126公里处遇丙车，在中途遇丁车.求东西两站的距离.10. 三辆车A ，B ，C 从甲到乙.B 比C 迟开5分钟，出发后20分钟追上C ；A 比B 迟开10分钟，出发后50分钟追上C.求A 出发后追上B 的时间.11. 学生若干人住宿，如果每间4人，有20人没房住；如果每间8人，则有一间不满也不空.求学生人数.12.一只船从甲码头顺水航行到乙码头用5小时，由乙码头逆水航行到甲码头需7小时。
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一、解答题1．如图所示，圆O 是ABC 的外接圆，BAC ∠与ABC ∠的平分线相交于点I ，延长AI 交圆O 于点D ，连结BD DC 、．（1）求证：BD DC DI ==；（2）若圆O 的半径为10cm ，120BAC ∠=︒，求BDC 的面积．2．如图，已知D，E 分别为△ABC 的边AB，BC 上两点，点A，C，E 在⊙D 上，点B，D 在⊙E 上．F 为弧BD 上一点，连接FE 并延长交AC 的延长线于点N ，交AB 于点M，，1）若∠EBD 为α，请将∠CAD 用含α的代数式表示；，2）若EM=MB ，请说明当∠CAD 为多少度时，直线EF 为⊙D 的切线；，3）在（2）的条件下，若3MN MF的值．3．四边形ABCD 为平行四边形，AC 为对角线，∠BAC ＝60°，CE 、BF 分别∠ACB 、∠ABC 的角平分线，CE 、BF 相交于G ；（1）求∠CGF 的度数；（2）求证：BE+CF ＝BC ；（3）若BE ：CF ＝1：2，EG ＝7ABCD 的面积．5．已知如图平面直角坐标系中，点O是坐标原点，矩形ABCO是顶点坐标分别为A，3，0，，B，3，4，，C，0，4）．点D在y轴上，且点D的坐标为（0，，5），点P是直线AC上的一动点．，1）当点P运动到线段AC的中点时，求直线DP的解析式（关系式）；，2）当点P沿直线AC移动时，过点D，P的直线与x轴交于点M．问在x轴的正半轴上是否存在使△DOM与△ABC 相似的点M？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；，3）当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R，R，0）为半径长画圆．得到的圆称为动圆P．若设动圆P的半径，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E，F．请探求在动圆P中是否存在面积最小的四边形长为AC2DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由．4．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为60°的凸四边形叫做“准筝形”．如图1，四边形ABCD中，若AB=AD，∠A=60°，则四边形ABCD是“准筝形”，，1）如图2，CH是△ABC的高线，∠A=45°，∠ABC=120°，AB=2．求CH，，2）在（1）条件下，设D是△ABC所在平面内一点，当四边形ABCD是“准筝形”时，请直接写出四边形ABCD的面积；，3）如图3，四边形ABCD中，BC=2，CD=4，AC=6，∠BCD=120°，且AD=BD，试判断四边形ABCD是不是“准筝形”，并说明理由．参考答案1．（1）证明见解析（2）【解析】（1）证明：AI 平分BAC ∠BAD DAC BD DC ∴∠=∠∴=， BI 平分ABC ABI CBI ∠∴∠=∠，BAD DAC DBC DAC ∠=∠∠=∠，BAD DBC ∴∠=∠，又DBI DBC CBI DIB ABI BAD ∠=∠+∠∠=∠+∠，DBI DIB BDI ∴∠=∠∴，为等腰三角形BD ID BD DC DI ∴=∴==，（2）解：当120BAC ∠=︒时，ABC 为钝角三角形，∴圆心O 在ABC 外，连结OB OD OC 、、，2120DOC BOD BAD ∴∠=∠=∠=︒，60DBC DCB ∴∠=∠=︒，∴BDC 为正三角形．又知10cm OB =，2sin 602102BD OB ∴=︒=⨯⨯=224BDC S ∴==答：BDC 的面积为2．（1）根据角平分线的性质、圆周角定理、三角形的外角定理即得结论；（2）连结OB OD OC 、、，证得BDC 为正三角形，先根据三角函数求得BD 的长，在根据等边三角形的面积公式即可求出结果．2．（1）3902α-；（2）45°；（3） 【解析】分析：，1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；，2）设∠MBE=x ，同理得：∠EMB=∠MBE=x ，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°，，3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE 是等边三角形，得求，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：详解：（1）连接CD，DE，在⊙E 中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，在⊙D 中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB 中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°， ∴∠CAD=018032α-=03902α-， ，2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF 为⊙D 的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°，x，△ACB 中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°，90∴=90∴，∴∠CAD=45°，，3）由（2）得：∠CAD=45°，由（1）得：∠CAD=018032MBE -∠， ∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE 是等边三角形，∴Rt △DEM 中，∠∴△ACB 中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE 中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴∴MNMF =NE EM MF +点睛：本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．3．（1）60°；（2）见解析；（3）【解析】【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求解；（2）在BC 边上截取CN ＝CF ，连接GN ，由“SAS”可证△CGN ≌△CG ，可得∠CGN ＝∠CGF ＝60°，可得∠BGN ＝∠BGE ，由“ASA”可证△BGN ≌△BGE ，可得BE ＝BN ，可得结论；（3）设BE ＝a ，CF ＝2a ，AE ＝c ，AF ＝b ，由相似三角形的性质列出方程组，求出7854a c b c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，通过证明△ABF ∽△GEB ，可得EG BG BE AF AB BF==，可求c 的值，可得AB ，AC ，BC 的值，即可求平行四边形ABCD 的面积．【详解】解：（1）∵∠BAC ＝60°，∴∠ABC+∠ACB ＝120°，∵CE 、BF 分别∠ACB 、∠ABC 的角平分线，∴∠GBC+∠GCB ＝12×120°＝60°， ∴∠BGC ＝120°，∴∠CGF ＝60°；故答案为：60°.（2）在BC 边上截取CN ＝CF ，连接GN ，如图所示：在△CGN 和△CGF 中，CN CF NCG FCG CG CG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CGN ≌△CGF （SAS ），∴∠CGN ＝∠CGF ，GF ＝GN∵∠BGC ＝120°，∠CGF ＝60°，∴∠BGN ＝60°，∠EGF ＝120°，∴∠BGE ＝360°﹣120°﹣120°﹣60°＝60°，∴∠BGN ＝∠BGE ，在△BGN 和△BGE 中，BGN BGE BG BGGBN GBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△BGN ≌△BGE （ASA ），∴BE ＝BN ，EG ＝GN∴EG ＝GN ＝GF∵BC ＝BN+CN ＝BE+CF ，∴BE+CF ＝BC ；（3）如图，延长CE ，DA 交于点H ，延长BF 交AD 于点P ，过点B 作BM ⊥AC 于M ，∵BE ：CF ＝1：2，∴设BE ＝a ，CF ＝2a ，由（2）可知BC ＝BE+CF ＝a+2a ＝3a ，∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC∴∠H ＝∠BCE ，∠APB ＝∠FBC ，∵CE 、BF 分别∠ACB 、∠ABC 的角平分线∴∠ACE ＝∠BCE ，∠ABF ＝∠CBF∴∠H ＝∠ACE ，∠APB ＝∠ABF∴AH ＝AC ，AP ＝AB ，设AE ＝c ，AF ＝b ，∴AB ＝c+a ，AC ＝b+2a ，∵AH ∥BC∴△AHE∽△BCE∴AH BC AE BE=∴3 AC a AE a=∴b+2a＝3c①∵AH∥BC∴△APF∽△CBF∴32 AP BC a AF CF a==∴32 ABb=∴c+a＝32b②由①②组成方程组2332b a cc a b+=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：7854a cb c ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴AB＝158c，AC＝3c，由（2）可知FG＝EG＝∵∠EGB＝∠BAC＝60°，∠ABF＝∠GBE，∴△ABF∽△GEB，∴EG BG BEAF AB BF==781548cBGBG GF c c==+∴BG＝c＝8∴a＝7，b＝10∴AB＝15，AC＝24，BC＝21，∵∠BAC＝60°，BM⊥AC∴AM ＝12AB ＝152，BM ＝2，∴S ▱ABCD ＝2S △ABC ＝2×12×2×24＝故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判断与性质，相似三角形的判断与性质. 属于四边形综合题，利用相似三角形的性质列出方程组是解决本题的关键.4．（1）y=143x，5；（2）若△DOM 与△CBA 相似，则点M 的坐标为（154，0）或（203，0，，，3，√22914【解析】试题分析：（1）只需先求出AC 中点P 的坐标，然后用待定系数法即可求出直线DP 的解析式．（2）由于，DOM 与，ABC 相似，对应关系不确定，可分两种情况进行讨论，利用三角形相似求出OM 的长，即可求出点M 的坐标．（3）易证S △PED =S △PFD ．从而有S 四边形DEPF =2S △PED =DE ．由，DEP=90°得DE 2=DP 2﹣PE 2=DP 2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP，AC 时，DP 最短，此时DE 也最短，对应的四边形DEPF 的面积最小．借助于三角形相似，即可求出DP，AC 时DP 的值，就可求出四边形DEPF 面积的最小值．解：（1）过点P 作PH，OA ，交OC 于点H ，如图1所示．，PH，OA ，，，CHP，，COA．，==．，点P是AC中点，，CP=CA．，HP=OA，CH=CO．，A（3，0）、C（0，4），，OA=3，OC=4．，HP=，CH=2．，OH=2．，PH，OA，，COA=90°，，，CHP=，COA=90°．，点P的坐标为（，2）．设直线DP的解析式为y=kx+b，，D（0，﹣5），P（，2）在直线DP上，，，，直线DP的解析式为y=x﹣5．（2），若，DOM，，ABC，图2（1）所示，，，DOM，，ABC，，=．，点B坐标为（3，4），点D的坐标为（0．﹣5），，BC=3，AB=4，OD=5．，=．，OM=．，点M在x轴的正半轴上，，点M的坐标为（，0），若，DOM，，CBA，如图2（2）所示，，，DOM，，CBA，，=．，BC=3，AB=4，OD=5，，=．，OM=．，点M在x轴的正半轴上，，点M的坐标为（，0）．综上所述：若，DOM与，CBA相似，则点M的坐标为（，0）或（，0）．（3），OA=3，OC=4，，AOC=90°，，AC=5．，PE=PF=AC=．，DE、DF都与，P相切，，DE=DF，，DEP=，DFP=90°．，S△PED=S△PFD．，S四边形DEPF=2S△PED=2×PE•DE=PE•DE=DE．，，DEP=90°，，DE2=DP2﹣PE2．=DP2﹣．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：当DP，AC时，DP最短，此时DE取到最小值，四边形DEPF的面积最小．，DP，AC，，，DPC=90°．，，AOC=，DPC．，，OCA=，PCD，，AOC=，DPC，，，AOC，，DPC．，=．，AO=3，AC=5，DC=4﹣（﹣5）=9，，=．，DP=．，DE2=DP2﹣=（）2﹣=．，DE=，，S四边形DEPF=DE=．，四边形DEPF面积的最小值为．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、用待定系数法求直线的解析式、切线长定理、勾股定理、垂线段最短等知识，考查了分类讨论的思想．将求DE的最小值转化为求DP的最小值是解决第3小题的关键．另外，要注意“，DOM与，ABC相似”与“，DOM，，ABC“之间的区别．5．（1）见解析；（2）2【解析】【分析】（1）连接OB，由OP⊥OA，得∠A+∠APO＝90°；由CP＝CB，得∠CBP＝∠CPB；再由OA＝OB，得∠A＝∠OBA，而∠CPB＝∠APO，整理变形可得∠OBC＝90°，即BC是⊙O 的切线；（2）设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，由勾股定理可得关于x的方程52+x2＝（x+3）2，解方程即可求出CB的长；（3）作CD⊥BP于D，由PC＝PB，得PD＝BD＝12PB，易证△AOP∽△PCD，则由1210 9S S =，可得209AOPPCDSS=，即22209OACD=，由此可求CD的长，再在Rt△BCD中，按照正切定义求出tan∠CBP即可.【详解】（1）证明：连接OB，如图，∵OP⊥OA，∴∠AOP＝90°，∴∠A+∠APO＝90°，∵CP＝CB，∴∠CBP＝∠CPB，而∠CPB＝∠APO，∴∠APO＝∠CBP，∵OA＝OB，∴∠A＝∠OBA，∴∠OBC＝∠CBP+∠OBA＝∠APO+∠A＝90°，∴OB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：设BC＝x，则PC＝x，在Rt△OBC中，OB＝OA＝5，OC＝CP+OP＝x+3，∵OB2+BC2＝OC2，∴52+x2＝（x+3）2，解得x ＝83， 即BC 的长为83； （3）解：如图，作CD ⊥BP 于D ，∵PC ＝PB ，∴PD ＝BD ＝12PB， ∵∠PDC ＝∠AOP ＝90°，∠APO ＝∠CPD ，∴△AOP ∽△PCD ， ∵12109S S =， ∴209AOP PCD S S =， ∴22209OA CD =， ∵OA ＝4，∴CD＝5， ∴tan ∠CBP ＝CD BD ＝2．【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、锐角三角函数和圆中的计算问题，对于（1），连接OB ，证明OB ⊥BC 是判定圆的切线的常用方法；对于（2），关键是根据勾股定理列出方程；而对于（3），解题的关键是作CD ⊥BP 于D，综合利用等腰三角形的性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数的有关知识去分析求解.6．（1）证明见解析；（2）52 BE=【解析】试题分析：（1）连接OA，OB，由圆周角定理得出∠AOB=2，ACB=90°，由等腰直角三角形的性质得出∠OAB=，OBA=45°，求出∠OAE=，OAB+，BAE=90°,即可得出结论；，2，过点A作AF⊥CD于点F,由AB=AD，得到∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中可求得AF，3，在Rt△AFD中求得DF，1，所以AB，AD，，CD= CF+DF=4，再证明△ABE∽△CDA，得出BE AB DA CD=，即可求出BE的长度；试题解析：，1）证明：连结OA，OB，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=2∠ACB= 90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=45°，∵∠BAE=45°，∴∠OAE=∠OAB+∠BAE=90°，∴OA⊥AE，∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线．，2）解：过点A作AF⊥CD于点F，则∠AFC=∠AFD=90°，∵AB=AD，∴AB=AD∴∠ACD=∠ACB=45°，在Rt△AFC中，∵AC=∠ACF=45°，∴AF=CF=AC ·sin ∠ACF =3，∵在Rt △AFD 中， tan ∠ADC=3AF DF =， ∴DF =1，∴AB AD ==且CD = CF +DF =4，∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠ABE =∠CDA ，∵∠BAE =∠DCA ，∴△ABE ∽△CDA ， ∴BE AB DA CD =，= ∴52BE =，7．，1，252524π+，，2）证明见解析；（3，354， 【解析】【分析】（1）连接OD ，由AB 是直径知，ACB =90°，结合CD 平分，ACB 知，ABD =，ACD =45°，从而知，AOD =90°，根据曲边三角形的面积=S 扇形AOD +S △BOD 可得答案；，2）由，AOD =90°，即OD ，AB ，根据DE ，AB 可得OD ，DE ，即可得证；，3）勾股定理求得BC =8，作AF ，DE 知四边形AODF 是正方形，即可得DF =5，由，EAF =90°，，CAB =，ABC 知tan，EAF =tan，CBA ，即EF AC AF BC=，求得EF 的长即可得． 【详解】解：（1）如图，连接OD ，，AB 是直径，且AB =10，，，ACB=90°，AO=BO=DO=5，，CD平分，ACB，，，ABD=，ACD=12，ACB=45°，，，AOD=90°，则曲边三角形的面积是S扇形AOD+S△BOD=2905360π⨯+12×5×5=252524π+，故答案为252524π+，，2）由（1）知，AOD=90°，即OD，AB，，DE，AB，，OD，DE，，DE是，O的切线；，3，，AB=10，AC=6，，BC过点A作AF，DE于点F，则四边形AODF是正方形，，AF=OD=FD=5，，，EAF=90°，，CAB=，ABC，，tan，EAF=tan，CBA，，EF ACAF BC=，即658EF=，，EF=154，，DE=DF+EF=154+5=354，8．（1）（5，0）；（2）y＝﹣5x+4；（3）①﹣1≤b≤24≤t．【解析】【分析】（1）根据“l变换点”的定义，分别画出图形，即可解决问题；（2）根据“l变换点”的定义，得到对称点的坐标，根据待定系数法即可得到结论；（3）①根据“l变换点”的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题；②如图6中，设点E 关于y 轴的对称点为E 1，E 1关于直线y=的对称点为E′，易知当点N 在⊙E 上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y 轴相切或相交时满足条件，想办法求出点E′的坐标即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，点P （1，0）关于y 轴的对称点（﹣1，0），再关于直线x ＝2的对称点P 1（5，0）；（2）点Q (2，1)关于y 轴的对称点(﹣2，1)，设过点(﹣2，1)和(3，2)的直线的解析式为y=kx+b ，2132k b k b -+=⎧⎨+=⎩， 解得k=﹣15，b=75， ∴y ＝﹣15x +75， ，点(﹣2，1)和(3，2)关于直线l 对称，，直线l 过点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点且与直线y ＝15x +75垂直， ，点(﹣2，1)和(3，2)连线的中点为(12，32)， ，设直线l 的解析式为y ＝﹣5x +n ， ，32＝﹣5×12+n ， 解得：n ＝4，，直线l 的解析式为：y ＝﹣5x +4；（3），如图4中，由题意b＝12M1M′，由此可知，当M1M′的值最大时，可得b的最大值，，直线OM′的解析式为y＝3x，∴tan∠M′OD＝3，，MM′O＝，M′OD＝30°，，OM＝2，易知，OM，OM′时，MM′的值最大，最大值为4，，b的最大值为2，如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为﹣1，综上所述，满足条件的b取值范围为﹣1≤b≤2；，设E（t，0），如图6中，设点E关于y轴的对称点为E1，E1关于直线y+1的对称点为E′，易知当点N在，E上运动时，点N′在，E′上运动，由此可见当，E′与y轴相切或相交时满足条件．连接E 1E ′交直线y+1于K ，易知直线E 1E ′的解析式为y，由1y y x ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，解得14x y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， ，K(4t -，14+)， ，KE 1＝KE ′，，E， 当，E ′与y 轴相切时，＝2，解得t4， 综上所述，满足条件的t4≤t．【点睛】本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．9．四边形ABCD）四边形ABCD 是“准筝形”．理由见解析.【解析】整体分析：（1），设BH=x，分别在，AHC 和，BHC 中得到HC 与x 和AH 之间的关系；（2，因为“准筝形”的形状不确定，所以需要分类讨论，①AB=AD=2，∠BAD=60°，作CG 垂直BD 的延长线于点G ，AK ⊥BD 于K ，证△CBG ≌△CBH，求GC，AK 的长，分别求出S △ABD =S △CBD 即可；②BC=CD=2，∠BCD=60°，用与，相似的方法求解；，AD=CD，∠ADC=60°，作DM ⊥AC 于M，分别求S △ABC ，S △ADC ，，3，延长BC 至点E ，使CE=CD=4，连结DE，用SSS 证△ACD ≌△BED ，得到△ABD 是等边三角形.解：（1）如图2，1，设BH=x，∵∠ABC=120°，CH 是△ABC 的高线，∴∠BCH=30°，∴又∵∠A=45°，∴HA=HC，∵AB=2，解得：∴，2）在（1）条件下，四边形ABCD 的面积是：①如图2，2，AB=AD=2，∠BAD=60°，作CG 垂直BD 的延长线于点G ，则BD=2， 易得：∠CBG=60°=∠CBH，在△CBG 和△CBH 中，∵∠CGB=∠CHB，∠CBG=∠CBH ，CB=CB，∴△CBG ≌△CBH，AAS，，∴作AK ⊥BD 于K ，则易得：∴S △ABD =12△CBD =12∴S 四边形ABCD②如图∠BCD=60°，作CG 垂直BD 的延长线于点G ，则易得：∴S △BCD =12△ABD =12∴S 四边形ABCD③如图∠ADC=60°，作DM ⊥AC 于M，易得：32∴S △ABC =12S △ADC =1232∴S 四边形ABCD，3）四边形ABCD 是“准筝形”，理由：如图3，延长BC 至点E ，使CE=CD=4，连结DE，∵∠BCD=120°，∴∠DCE=60°，∴△DCE 是等边三角形，∴ED=CD=4，∠CDE=60°，∵BC=2，CE=CD=4，AC=6，∴AC=EB，在△ACD和△BED中，∵AD=BD，AC=EB，CD=ED，∴△ACD≌△BED，SSS，，∴∠ADC=∠BDE，∴∠ADB=∠CDE=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∠BAD=60°，∴四边形ABCD是“准筝形”，。
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九年级数学培优材料（10）
-----元月调考模拟测试
一、选择题
1、二次根式越有意义，x的取值范围为（）
3 2 3
A、x20
B、x三㊁
C、
D、
2、下列各式中为最简二次根式的是（）
A、y/12
B、
C、±
D、y/5
3、将一元二次方程x?+3=x化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（）
A、0、3
B、0、1
C、1、3
D、1、-1
4、如图，在ZXOAB绕点O逆时针旋转70°得到△ OCD,若ZA=100° , ZD=50°,贝iJZAOD 的度数是（）
A、20°
B、30°
C、40°
D、50°
5、如图，已知AB 为（DO 直径，AB=20cm,弦AB=20cm,弦CD丄AB 于M,若OM： 0B=3：5, 则CD的长为（）
A、8cm
B、10cm
C、14cm
D、16cm
6、下列格式中计算正确的是（）
A、^J|=3V15
B、辰±2
C、V^b=a2Vb
D、
7、在一个不透明的口袋中，装有3个红球和a个黄球，它们除了颜色不同外其余均相同，若
2
从中随机摸出一个球，摸到黄球的概率为予则口袋中球的总数为（）
A、2 个
B、6 个
C、9 个
D、12 个
8、如图，正方形ABCD的边长为4,点E是AB上一点，将ZXBCE沿着CE折叠至Z\FCE, 若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的（DO相切，则折痕CE=（）
A、5羽
B、5
C、
D、以上都不对
9、如图，MN是00的直径，MN=2,点A在OO上，ZAMN=30° , B为弧AN的中点，P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值是（）
A、2^2
B、迄
C、2
D、1
10、已知四边形ABCD是矩形，AB是的直径，E是00 ±一点，过点E作EF丄DC于
点F,若DF=EF=10,且心=*©，则矩形ABCD中AD的长度为()
A、10(^3-1)
B、10(01)
C、20 或10(^3-1)
D、10 (^3-1)或10 (羽+1)
二、填空题
11、计算莎-辰= _______ ；
12、点A(a,l)与点B(5,b)关于点P(l,l)对称，则a-b的值为________ 。
13、把球放在长方形纸盒内，球的一部分露在盒外面，其截面如图所示，已知EF=CD=16cm,则球的半径为 ______ cm.
14、同吋掷两个质地均匀的骰子，两个骰子的点数和为6,的概率为 _______ o
15、一个圆锥的侧面积是底面积的4倍，则这个圆锥的侧面展开图的中心角的度数为____ ；
16、如图，在等腰RtAABC中，ZC=90° , CD=2, BD=3, D、E分别是BC、AC边上的点,
将DE绕D点顺时针旋转90° , E点刚好落在AB边上的F处，则CE的长度为____________ 。
三、解答题
17、(6 分)解方程：3(X-1)2=X (x-1)
18、(6分)如图，点A、B、C是00上的三点，B0平分ZABC,求证：BA=BC;
19、(6分)在一个不透明的盒子中，共有“1白3黑”四枚围棋子，它们除颜色外无其它区别。
(1)随机地从盒子中取出1枚，则取出的是白子的概率是多少？
1
(2) 随机地从盒子中取出1枚，不放回取出第二枚，请用画树状图或列表的方式表示出所有等 可能的结果，并求出恰好“两枚棋子颜色不相同”的概率是多少？
20、(7 分)如图，点 P 是等边AABC 外一点，PA=3, PB=4, PC=5.
(1) 将AAPC 绕点A 逆时针旋转60°，得到△ P 山B”画出旋转后的图形。
⑵在(1)的条件下，ZAPN 的度数为 __________ ° -
21、(7分)设X 】、X2是关于x 的方程x 2+(2a-l)x+a 2=0的两个实数根.
(1)求a 的取值范围；
⑵当(xi+1) (x 2+l)=ll 时,求a 的值;
22、(8分)如图，半径为4的©0中直径AB 垂直弦CD 于E,过C 作00的切线CP 交AB 的延 长线于P,连结DB 并延长交CP 于F,连结AC, AD, PD, OF.
(1) 求证：PD 是00的切线；
(2) 若E 为半径0B 的中点，求线段0F 的长度.
P
D
23、（10分）如图，小芹从市场上买回一块矩形铁皮，她将此矩形铁皮的四个角各剪去一个 边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米彳的无盖长方体箱子，且此 长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问小芹购回这张
24、（10分）如图1、以AABC 的边AB 、AC 为直角边向外作等腰直角AABE 和AACD, M 是BC 上的一点。
（1） 当ZBAC=90。
时（如图1）线段AM 与线段ED 的数量关系是： _______________ ；
（2） 当ZBAC>90°时（如图2）,线段AM 与线段ED 的数量关系是： ________________ ；
（3） 如图3,若以AABC 的边AB 、AC 为直角边，向内作等腰直角AABE 和AACD,其它条 件
不变，试探究线段AM 与DE 之间的数量关系。
证明你的结论。
矩形铁皮共花了多少元钱？
25、(12分)如图，以y 轴正半轴上一点q 为圆心的圆分别交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于 尸(0,2 + 血)、G(0,A /2-2)
(1)求点A 的坐标；
(2) N (a,b)为0 0］上第二象限内一点，且a 、b 为方程x 2+(2.-k)x-2k = 0的两根，且
PG —PF 的值是否为定值,若为定值，求岀此值；若不是定值，求出其
(3) 点C 是弧AB 上的一个动点(不与点A 、B)重合，丄BC 、。
出丄AC ,垂足分 别为D 、E,设BD=t, AD0.E 的面积为S,求S 关于t 的函数关系式，并写出它的自变量取值 范围. P 是劣弧NF 上-点, 变化的范围；。