关注一类球与球相切问题的教学1

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关注一类球与球相切问题的教学1[1]

关注一类球与球相切问题的教学球是一种常见而又重要的几何体，以球和其它几何体的切、接为背景来设计出的问题，在近几年的高考或各级各类竞赛中倍受命题者的青睐，并且这类题难度偏大，如果学生没有掌握有效方法极易失分。

究其原因是这类问题中所涉及的几何元素关系复杂、数量关系隐藏很深，而且直观图又不好画，是教与学的一个难点。

本文着重来探讨一下其中以球与球相切为背景的这一类问题。

球与球相切问题通常是由几个球两两相切叠放起来构成的，处理问题的关键是模型化处理：抓住球心所构成的基本几何体来分析、挖掘其中的几何元素关系以及数量关系，为解题打开突破口。

下面以最近几年出现的相关高考题为例来谈一谈处理此类问题的策略与教学中需注意的问题策略1:连球心，转化为多面体问题球心是球的灵魂，抓住球心就抓住了球的位置，特别是当球与球相切或球与平面相切时，我们更应该通过球心和切点及球心的连线来构造多面体，使球问题转化为多面体问题来加以解决．例1 （2006 陕西）水平桌面上放有4个半径为2R 的球，且相邻的球都相切，在这4个球的上面放有一个半径为R 的小球，它与下面的4个球恰好相切，则最上边的小球的球心到水平桌面的距离是_________。

解析：设小球球心为O ，其他4个球心分别是A 、B 、C 、D 则它们构成一个正四棱锥O —ABCD （图1）,连结AC 、BD ，交于点O 1，连结OO 1，因为AB ＝4R ，所以AO 1＝22R ，又OA ＝3R ，则OO 1=R ，因此O 到水平桌面的距离是OO 1+2R=3R.例2 （2005 全国）将半径为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A 、3623+ B 、362+ C 、3624+ D 、36234+ 解析：由题意结合空间想象知这4个球两两相切，并且每个球与四面体的3个面相切对称的处于四面体内部。

设这4个球的球心分别为O 1、O 2、O 3、O 4，正四面体为A —BCD （图2），过A 作AA 1⊥面BCD 垂足为A 1，连结BA 1并延长交CD 于点E ，连结AE ，知E 为CD 的中点，则由对称性知O 1必在高AA 1上，且球O 1与侧面ACD 的切点F 在AE 上。

教案标题初中数学知识点球的切线与切圆的计算

教案标题初中数学知识点球的切线与切圆的计算初中数学知识点：球的切线与切圆的计算球的切线与切圆是初中数学中的一个重要知识点，它与几何图形和立体图形的计算息息相关。

本文将为您详细介绍球的切线与切圆的计算方法。

一、切线的定义与性质在数学中，切线是指与圆或球相切于一点且仅有一个交点的直线。

对于球体来说，相切的切线与球体的切点处的切平面是相切的。

给定一个球体和球外一点P，我们来计算球体与点P处的切线。

首先，连接球心O与点P，并做球心O到点P的垂线段。

球心O到点P的距离为r（r为球的半径），垂线段与切线的交点为A。

连接点P与切点A，可以得到切线。

根据勾股定理，我们可以得出以下关系式：OP² = OA² + AP²由此，可以得到切线PA的长度为：AP = √(OP² - OA²)二、切线与切圆的计算对于球体上的任意一点M，我们来计算球的切线与圆的关系。

首先，连接点M与球心O，并做球心O到点M的垂线段。

球心O到点M的距离为r（r为球的半径），垂线段与切线的交点为B。

我们可以将球切面看作一个圆，在切面上点B与切点A之间的弦与切线PA相等。

根据这一性质，我们可以得到切线与切圆的关系。

对于圆上的任意一点N，连接点N与切点A，并做点N与圆心O的垂线段。

圆心O到点N的距离为r'（r'为切圆的半径），垂线段与切线PA的交点为B'。

根据勾股定理，我们可以得到以下关系式：OA² = ON² + AN²OB² = ON² + NB²因为切线PA与切圆相切，所以OB'与切线PA也垂直。

根据上述关系式，可以得到切线PA的长度为：AP = √(OA² - ON²)B'P = √(OB'² - ON²)对于切点A与切点B'之间的弦AB'，可以得到以下关系式：AB' = 2 √(ON² - OA²)综上所述，我们可以通过计算球心到切线的距离来得到切线的长度，进而计算切线与切圆的关系。

与球有关的接切问题ppt

详细描述
当一个球与多个旋转体接触时，每一个旋转体的侧面都会与球形成一条圆弧的接切线，而每一个旋转体的顶点都会与球形成圆的接切点。这些圆的半径和圆弧的长度取决于旋转体的大小以及球的大小。
04
球的切割问题
球被平面切割的截面图形
总结词
根据球心到切割平面的距离和球的半径，可以确定球被平面切割的截面图形是圆、椭圆、抛物线、双曲线或这些图形的组合。
详细描述
当球心到切割平面的距离等于球的半径时，截面图形是圆；当球心到切割平面的距离小于球的半径时，截面图形是椭圆；当球心到切割平面的距离大于球的半径时，截面图形是抛物线或双曲线，具体形状取决于切割平
面与球心的相对位置。
球的切割线长度问题
总结词
球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度数。
详细描述
根据平面几何中弧长公式，球的切割线长度等于球的半径乘以切割线对应的圆心角弧度数。当切割线对应的圆心角为直角时，切割线长度最短；当切割线对应的圆心角为平角
时，切割线长度最长。
球的切割面面积问题
总结词
球的切割面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆心角与360度的比值。
详细描述
根据球表面积公式和圆心角与面积的关系，球的切割面面积等于球的表面积乘以切割面所占的圆心角与 360度的比值。当切割面为球的大圆时，切割面面积最大；当切割面为小圆时，切割面面积最小。
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成一条直线。此时，球心与切点的连线与圆柱的轴线垂直。根据几何原理，切点处球面与圆柱的侧面相切，形成一条直线。
总结词
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成圆形。
详细描述
当球与圆柱相切时，切点处球面与圆柱的底面相切，形成圆形。此时，球心与切点的连线与圆柱的底面垂直。根据几何原理，切点处球面与圆柱的底面相切，形成圆形。

球与各种几何形状切、接问题专题

球与各种几何形状切、接问题专题
引言
本文将讨论关于球与各种几何形状切、接的问题。

从数学角度出发，我们将研究球体在与不同几何形状相交或接触时的特性和可能的解决方法。

切球问题
切球问题指的是将一个球体分割成两个或多个部分的操作。

常见的切球问题有以下几种情况：
1. 平面切球：如何用一个平面将球体分割成两个互补的部分？
2. 曲面切球：如何用一个曲面将球体分割成两个或多个部分？
3. 交线切球：如何使用交线来将球体分割成两个或多个部分？
4. 条带切球：如何使用一个或多个条带来将球体分割成两个或多个部分？
针对每种切球问题，我们将进行详细的数学分析，提出解决方案，并附上相应的图解和实例。

接球问题
接球问题主要讨论的是如何将球体与其他几何形状连接在一起。

我们将研究以下几种常见的接球问题：
1. 线球接：如何用线段将两个球体连接在一起？
2. 曲线球接：如何使用曲线将球体与其他几何形状连接在一起？
3. 平面球接：如何使用平面将球体与其他几何形状连接在一起？
在解决每个接球问题时，我们将提供具体的步骤和示例，并对
不同情况下的解决方案进行讨论。

结论
通过本文的讨论，我们将深入了解球与各种几何形状切、接的
问题。

我们将提供具体的解决方案和示例，帮助读者理解这些问题
的数学背后，并掌握解决它们的方法和技巧。

> 注意：以上所提供的内容仅供参考，并不对其准确性或实用性提供保证。

为了特定情况下的应用，建议进一步深入研究和咨询相关专业人士。

与球有关的切接问题

切线长度与角度关系
在某些情况下，可以利用切线长度与相关角度的关系来求解问题，例如在计算球的表面积和体积时。
05
球体与平面相截
截面的形状
01
02
03
04
圆形
当平面与球面平行时，截面为圆形。
椭圆
当平面与球面相交时，截面为椭圆。
抛物线
当平面与球面相切时，截面为抛物线。
线段
当平面与球面相切于一点时，截面为线段。
详细描述
切线长度等于球半径，因为切线与半径在切点处垂直相交。利用勾股定理，可以计算出切线的长度。
03
球体与曲面相切
切点在球面上的位置
切点位于球面上的大圆上
当球体与曲面相切时，切点位于球面上的大圆上，即球心与切点的连线与球面垂直。
VS
切点位置与球心位置有关
球心的位置决定了切点的位置，球心位于曲面上时，切点即为曲面与球面的交点。
切点在球面上的位置
总结词
切点是两球体相切的点，它在每个球的球面上。切点的位置可以通过两球心和切点形成的平面确定。
详细描述
切点是两球体相切的点，它位于每个球的球面上。通过确定两球心和切点形成的平面，可以确定切点在球面上的具体位置。
切线长度的计算
总结词
切线长度是连接切点和球心线段的长度，可以通过勾股定理计算得出。
与球有关的切接问题
目录
• 球体与平面相切 • 球体与球体相切 • 球体与曲面相切 • 球体与空间曲线相切 • 球体与平面相截
01
球体与平面相切
切点在球ห้องสมุดไป่ตู้上的位置
切点位于球面上
当球体与平面相切时，切点是球面与平面的唯一交点，因此切点必定位于球面上。

球与各种几何结构切、接问题专题

球与各种几何结构切、接问题专题在几何学中，球是一种广泛应用的基本几何形状。

由于球的圆滑性和对称性，与其他几何结构的切和接问题成为了一个专题。

本文将讨论球与各种几何结构的切和接问题，并探讨其中的一些关键概念和方法。

1. 球与平面的切、接问题首先，我们来探讨球与平面的切和接问题。

当一个平面与球相交时，可能会出现以下几种情况：- 平面与球相切于一个点：这种情况下，平面与球只有一个公共点，即切点。

- 平面穿过球：当平面穿过球时，会形成一个圆。

该圆称为球在平面上的截面。

- 平面与球没有公共点：这种情况下，平面与球没有任何交点。

对于球与平面的切和接问题，可以使用几何相关的原理和方法来求解。

通过计算平面与球之间的交点，可以确定切点的坐标和截面的相关属性。

2. 球与圆柱的切、接问题接下来，我们来研究球与圆柱的切和接问题。

与平面不同，圆柱具有曲面的特性。

当一个球与圆柱相交时，可能会出现以下几种情况：- 球与圆柱相切于一个点：这种情况下，球与圆柱只有一个公共点，即切点。

- 球穿过圆柱：当球穿过圆柱时，会形成一个椭圆或一个圆。

该椭圆或圆称为球在圆柱上的截面。

- 球与圆柱没有公共点：这种情况下，球与圆柱没有任何交点。

对于球与圆柱的切和接问题，我们可以计算球与圆柱之间的交点来确定切点的坐标和截面的相关属性。

通过对相交的椭圆或圆进行进一步的计算和分析，可以获得更多关于球和圆柱之间的几何信息。

3. 球与其他几何结构的切、接问题除了平面和圆柱，球还可以与其他几何结构相交，如锥、棱柱等。

在这些情况下，球与几何结构的切点和截面可以采用类似的方法来计算和确定。

需要注意的是，在实际问题中，可能还会涉及到一些特殊情况，如球与几何结构的内部切和接、球与非欧几何结构的切和接等。

针对这些特殊情况，我们需要运用更加复杂和细致的几何分析方法来求解。

4. 结论综上所述，球与各种几何结构的切和接问题是几何学中一个重要的专题。

通过运用几何相关的原理和方法，我们可以计算和确定球与各种几何结构的切点和截面，进而获得有关几何形状的相关属性和信息。

高中数学知识点总结立体几何中的球与球的位置关系之球的切线与切点

高中数学知识点总结立体几何中的球与球的位置关系之球的切线与切点高中数学知识点总结：立体几何中的球与球的位置关系之球的切线与切点立体几何是数学中的一个重要分支，包含了丰富的概念和定理。

其中，球与球之间的位置关系是立体几何中的一个重要内容。

本文将重点介绍球的切线与切点的相关知识点。

一、球的切线在立体几何中，球的切线是指与球面只有一个公共点的一条直线。

对于给定的球体，切线的存在是与球心到该切点的距离等于球半径的关系相关联的。

在球与球的位置关系中，可以利用切线的相关性质来判断球的相交、相离或相切等情况。

下面将介绍球与球的位置关系中球的切线相关的定理。

1.1 切线定理对于两个不相交的球体，它们之间存在两个外切线和两个内切线。

外切线是各自球心连线的垂直平分线，并且与两个球面相切。

而内切线是两个球的球心、切点构成的直线，同样与两个球面相切。

1.2 切线的性质切线具有以下性质：（1）切线与半径垂直；（2）切线与半径的夹角等于切点处的曲率角；（3）切线与球面的切点位于半径延长线上。

二、球的切点球的切点是指与球面有且只有一个公共点的一条直线、一条平面或一个点。

根据球与球之间的位置关系，我们可以讨论球的切点的几种情况。

2.1 外切当两个球体之间无相交和相离的情况出现时，我们称它们为外切。

此时，两个球的切点位于外切线上，并且它们与各自球心连线构成直角三角形。

2.2 相离当两个球体之间没有公共点时，我们称它们为相离。

此时，两个球的切线与切点不存在。

2.3 相切当两个球体相切时，它们之间有且只有一个公共点。

此时，两个球的切点与切线存在，并且它们构成的直线通过两个球的球心。

2.4 相交当两个球体有两个公共点时，我们称它们为相交。

此时，两个球的切线与切点不存在。

三、例题解析下面通过一个例题来进一步理解球的切线与切点的应用。

例题：已知球A的半径为r1，球B的半径为r2，球心连线AB的长度为d，球心之间的距离为h。

若r1 + r2 < d < h + r1，则判断球A与球B的位置关系。

球的切线与切球

球的切线与切球切线是在几何学中一个重要的概念，而这个概念在球的几何中也有着重要的应用。

本文将探讨球的切线及与切球相关的一些基本性质和应用。

一、球的切线切线是指与曲线相切且仅与曲线有一个交点的直线。

对于球体而言，切线是与球面（曲线）相切且仅与球面有一个交点的直线。

为了更好地理解球的切线，我们可以通过以下步骤来描绘一个球体的切线。

步骤1：假设有一个球体，以O表示球心，r表示球的半径。

步骤2：选择球面上的一点A。

步骤3：通过点A及球心O，画出直线OA。

步骤4：从点A向球心O作垂线，交球面于点B。

步骤5：连接点A与点B，得到线段AB。

步骤6：线段AB即为球体的切线。

球的切线具有以下性质：1. 切线与半径垂直：球的切线与通过球面上切点的半径垂直相交。

这一性质可以通过步骤4可得证。

因为通过球心O与切点B之间的连线是垂直于切线的。

2. 切线长度相等：经过球表面相同切点的两条切线长度相等。

这一性质可以通过步骤5可得证，因为线段AB与球心O到切点B 的连线OA重合，所以线段AB的长度等于球的半径r。

3. 切线与半径的夹角：切线与相应切点处的半径之间的夹角为90度。

这一性质可以通过步骤6可得证，线段AB与半径OA之间形成的夹角为90度。

二、切球切球是指在几何学中，将一个球分成两段的过程。

这样的分割可以通过一个平面与球相交而实现，从而得到两个球面以及球的切线。

切球的操作可以通过以下步骤来实现：步骤1：选择一个球体。

步骤2：选择一个平面与球相交。

步骤3：平面与球体相交的曲线即为切线。

步骤4：根据步骤3的曲线，将球分成两段。

切球在工程学中有着广泛的应用，尤其是在建筑、机械和造船等领域。

例如，在建筑设计中，切球可以帮助设计师更好地理解和处理球体结构的要求。

在机械设计中，切球可以用来计算球轴承的工作原理和力学性质。

在造船中，切球可以帮助设计师确定船体与水面的接触点，从而更好地设计船体的稳定性和浮力。

总结：球的切线是与球面相切且仅与球面有一个交点的直线。

复习有方法板块命题区间教用课件与球有关的切、接、截问题

复习有方法
板块一高考专项突破——选择题+填空题
命题区间精讲
精讲12 与球有关的切、接、截问题
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01 命题点1 02 命题点2 03 命题点3
01 命题点1 球与柱体的切、接问
题
1．处理球的“切”“接”问题的求解策略解决与球有关的切、接问题，其通法是作截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题的思维流程是：
复习有方法板块命题区间教用课件与球有关的切、接、截问题
复习有方法板块命题区间教用课件与球有关的切、接、截问题
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∵Rt△POB 中，BP＝12BC＝ 3，PO＝12AA1＝1， ∴BO＝ BP2＋OP2＝2，即外接球半径 R＝2，因此，三棱柱 ABC-A1B1C1 外接球的球的体积为 V＝43πR3＝43π×23 ＝332π.故选 A.]
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2．(2020·沈阳模拟)若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长都相等，其外接球的表面积是 4π，则其侧棱长为( )
3 23 22
2
A. 3 B. 3 C. 3 D. 3
B [三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，因为外接球的表面积是 4π，所以球的半径为 1，
BC＝2 3，∠BAC＝π2，此三棱柱各个顶点都在一个球面上，则球的
体积为( )
32π A. 3
B．16π
25π C. 3
31π D. 2
复习有方法板块命题区间教用课件与球有关的切、接、截问题

球与各种几何体切、接问题专题(一))

球与各种几何体切、接问题专题(一))近年来，高考命题中球与各种几何体的切、接问题主要以选择题、填空题为主，大题较少出现。

在此之前，需要明确两个定义：一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球；一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

一、球与柱体的切接。

规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1、球与正方体。

正方体有三种形态：内切球、棱切球和外接球。

内切球的位置关系为正方体的六个面都与一个球相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=a。

棱切球的位置关系为正方体的十二条棱与球面相切，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=2a。

外接球的位置关系为正方体的八个顶点在同一个球面上，正方体中心与球心重合，数据关系为2r=3a。

例如，对于一个棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，如果其8个顶点都在球O的表面上，那么直线EF被球O截得的线段长为2.2、球与长方体。

长方体的外接球直径是长方体的对角线。

例如，已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为32π。

3、球与正棱柱。

正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点。

结论2：直三棱柱的外接球的球心位于上下底面三角形外心的连线的中点。

二、球与锥体的切接规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题。

1、正四面体与球的切接问题1）正四面体的内切球，如图4.位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R= h=6a/√3；例4：正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为R= a/√6.解析】如图正四面体ABCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径R即为O到正四面体各面的距离。

球的切线与切球教学策略和资源选择

球的切线与切球教学策略和资源选择球是运动中常见的物体，而当我们触碰球体表面时，常常会涉及到切线的概念。

了解球的切线以及如何在教学中运用切球策略和选择恰当的教学资源，对于培养学生的球技和提高教学效果至关重要。

一、球的切线切线是几何中与曲线相切并且在切点上斜率存在的直线。

当我们触及球的表面时，切点和球心连成的直线就是球的切线。

球的切线不仅帮助我们更好地理解球的运动轨迹，还可以用来设计切球教学策略。

二、切球教学策略1. 强调切球技术的重要性：在教学中，我们应该强调切球技术的重要性，并向学生解释为什么切球技术可以提高球技。

切球技术可以改变球的旋转方向和速度，使球的运动变得更加复杂和难以预测，从而增加了对手的难度。

2. 分阶段教学：切球技术的学习需要时间和耐心。

我们可以通过分阶段教学的方式，逐步引导学生掌握各种切球技术。

例如，可以从简单的侧切球开始，然后逐渐引入上旋球、下旋球等更复杂的切球技术。

3. 切实操作、示范与实践：切球技术是一门实践性很强的技术，我们可以通过实际操作、示范和实践让学生更好地理解和掌握切球技术。

教师应该及时纠正学生的错误动作，并给予针对性的指导和反馈。

4. 多样化的训练方法：切球技术的训练可以通过多种方式进行，例如球墙反弹训练、教练手抛球训练、与他人进行对打等。

我们可以根据学生的实际情况和水平选择适合的训练方法，以提高训练效果。

三、切球教学资源选择1. 视频资料：通过观看专业球员的比赛录像或教学视频，可以让学生直观地了解切球技术的应用，并提供一种参考和模仿的素材。

2. 绘图与模拟软件：利用绘图和模拟软件，可以在教学过程中帮助学生更好地理解球的切线和球的轨迹。

通过绘图和模拟软件，学生可以模拟不同角度和旋转速度的球的运动，从而更好地理解切球技术的原理和应用。

3. 切球练习器材：选择适当的切球器材，如切球练习器、球网等，可以提供更广泛的切球训练场景，让学生有机会更多地进行切球练习，从而加深对切球技术的理解和掌握。

球的内切外切解题技巧 (1)

球的“内切”、“外切”的解题技巧【方法技巧】类型一球的内切问题使用情景：有关球的内切问题解题模板：第一步首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论. 类型二球的外切问题使用情景：有关球的外切问题解题模板：第一步首先画出球及它的外切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；第二步然后寻找几何体与几何体之间元素的关系第三步得出结论.【应用举例】【例题1】在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内有一个高为3的圆柱．（1）求：圆柱表面积的最大值；（2）在（1）的条件下，求该圆柱外接球的表面积和体积．【答案】（1（2）π7=S，【解析】试题分析：（1）我们可计算出圆柱的底面半径，代入圆柱表面积公式，即可得到答案；（2）求出圆柱的外接球半径，即可求该圆柱外接球的表面积和体积．试题解析：（1）当圆柱内接与圆锥时，圆柱的表面积最大．设此时，圆柱的底面R 半径为r ，高为h′．圆锥的高h r ＝1．∴S 表面积＝2S底＋S 侧＝2πr 2＋2πrh′ ＝2π＋2π2（1π．（2）设圆柱的外接球半径为R ，，7S π=，考点：1、球内接多面体；2、球的表面积和体积．【难度】较易【例题2】求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．【答案】964∶∶∶∶锥柱球=V V V ．【解析】试题分析：设球的半径为R ，则外切圆柱的半径为R ，高为2R 高为3R ， ,32R v π=柱, 33R V π=锥 9:6:4=∴锥柱球：：V V V考点：本题考查空间几何体的体积。

点评：本题的关键是由球的半径求出外切圆柱、外切等边圆锥的半径和高。

考查了空间想象力。

首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．【难度】一般【例题3】把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．【答案】3622+．【解析】由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点，则正四面体的高362)332(222=⋅-=h ．而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622+．【点评】关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．考点：空间几何体的球体积和表面积. 【较易】【例题4】正三棱锥ABC P -的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为α2，求它的外接球的体积．【答案】22(34sin )l α-．【解析】解：如图，作PD 底面ABC 于D ，则D 为正△ABC 的中心。

球的切线与切平面学习计算球的切线与切平面的方法

球的切线与切平面学习计算球的切线与切平面的方法在几何学中，球体是一个常见的三维几何体。

球体上的切线和切平面是研究球体性质和解决相关问题的重要工具。

本文将介绍如何计算球的切线和切平面的方法。

一、球的切线计算方法要计算球的切线，首先需要理解什么是切线。

切线是指在球体上与球面相切的直线。

对于球体上的任意一点，都存在一条与该点切线相切的直线。

1. 计算球心到切点的向量首先，需要确定球心到切点的向量。

以球心为坐标原点，切点的坐标为(x, y, z)，则球心到切点的向量为(-x, -y, -z)。

这是因为球心到切点的向量需要与切线垂直。

2. 计算切线向量切线向量是与切线方向相平行的向量。

为了计算切线向量，首先需要确定切点处的切线方向。

切点处的切线方向即球面上的法向量。

球面的一般方程为x² + y² + z² = r²，其中r是球的半径。

对球面方程求偏导数，得到法向量<nx, ny, nz>：2x + 2y + 2z = 0。

将切点的坐标代入，可以得到切点处的法向量。

计算得到切点处的法向量后，根据法向量与球心到切点的向量垂直，可以使用叉积运算得到切线向量。

切线向量即为法向量和球心到切点的向量的叉积。

3. 得到切线方程切线方程可以通过已知切点及切线向量来表示。

切点的坐标为(x₀,y₀, z₀)，切线向量为(a, b, c)。

那么切线方程可以表示为：x = x₀ + at,y = y₀ + bt, z = z₀ + ct。

二、球的切平面计算方法切平面是指与球体相切且包含切点的平面。

切平面与切线垂直，并将切线分为两部分，一部分在球内，一部分在球外。

1. 获取切线方程切线方程可以通过前面提到的计算方法得到。

已知切点的坐标(x₀,y₀, z₀)和切线向量(a, b, c)，切线方程为：x = x₀ + at, y = y₀ + bt, z =z₀ + ct。

2. 计算切平面法向量切平面的法向量垂直于切线，即与切线方向向量垂直。

专题一球的切、接问题

乌鲁木齐市第一中学2019届高三二轮复习资料专题一球的“切”、“接”综合问题编写：李国华【基础知识，基本方法】“切”“接”问题的处理规律1．“切”的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作，“球心截面法”是解决“切”“接”问题的根本大法。

2．“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．一、与球有关的外接、内切问题解法流程二、与球有关的切、接问题中常见的组合：类型一：正方体与球：①正方体的内切球：截面图为正方形EFHG 的内切圆，如图所示．设正方体的棱长为a ，则|OJ |＝r ＝a 2(r 为内切球半径)．②与正方体各棱相切的球：截面图为正方形EFHG的外接圆，则|GO |＝R ＝22a .③正方体的外接球：截面图为正方形ACC 1A 1的外接圆，则|A 1O |＝R ′＝32a .类型二：正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，取AB 的中点为D ，连接CD ，SE 为正四面体的高，在截面三角形SDC 内作一个与边SD 和DC 相切，圆心在高SE 上的圆．因为正四面体本身的对称性，内切球和外接球的球心同为O .此时，CO ＝OS ＝R ，OE ＝r ，SE ＝23a ，CE ＝33a ，则有R ＋r ＝23a ，R 2－r 2＝|CE |2＝a 23，解得R ＝64a ，r ＝612a .该正四面体外切球的半径也可以用“补形法”求解：该正四面体棱切球的半径求法：地球仪的经线圈、纬线圈正四面体(设棱长为a )的性质：①全面积23S a =；②体积3212V a =；③外接球半径64R a =；④内切球半径612r a =；⑤正四面体内任一点到各面距离之和为定值63h a =.由于正四面体本身的对称性可知，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点.类型三：直角四面体（三条侧棱互相垂直的三棱锥）的外接球：①如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，正方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．即三棱锥A 1AB 1D 1的外接球的球心和正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的外接球的球心重合．如图，设AA 1＝a ，则R ＝32a .②如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．R 2＝a 2＋b 2＋c 24＝l 24(l 为长方体的体对角线长)．类型四：双垂四面体的外接球半径问题四面体A—BCD中：若AB⊥平面BCD，CD⊥平面ACB，则称该四面体为双垂四面体(图4)，设AB =a，BC=b，CD=c，其外接球的半径为r．如果把该双垂四面体补成一个长方体，那么该双垂四面体的外接球也是长方体的外接球，于是类型五：对棱相等的四面体外接球问题对棱相等模型（补形为长方体）：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，例1：四面体ABCD 中，541AB CD BC AD ====，，BD=AC=34,求该四面体的（1）外接球的半径（由于每组对棱相等，补形成长方体求解）、（2）体积（3）内切球半径（选做）三、几类常见几何体外接球问题（一）构造直棱柱求解类型六、直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；（圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径）例2、在四面体S ABC -中，ABC SA 平面⊥，,1,2,120====∠︒AB AC SA BAC 则该四面体的外接球的表面积为（）π11.A π7.B π310.C π340.D【课堂练习1】已知EAB ∆所在的平面与矩形ABCD 所在的平面互相垂直，︒=∠===60,2,3AEB AD EB EA ，则多面体ABCD E -的外接球的表面积为.（二）锥体背景的模型类型七、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）1．如图4-1，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径），且P 的射影是ABC ∆的外心⇔三棱锥ABC P -的三条侧棱相等⇔三棱ABC P -的底面ABC ∆在圆锥的底上，顶点P 点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心O 的位置，取ABC ∆的外心1O ，则1,,O O P 三点共线；第二步：先算出小圆1O 的半径r AO =1，再算出棱锥的高h PO =1（也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：21212O O A O OA +=⇒222)(r R h R +-=，解出R ；事实上，ACP ∆的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出R .也可用下面两种方法求解：法一：如图4-4，平面⊥PAC 平面ABC ，且BC AB ⊥（即AC 为小圆的直径）第一步：易知球心O 必是PAC ∆的外心，即PAC ∆的外接圆是大圆，先求出小圆的直径r AC 2=；第二步：在PAC ∆中，可根据正弦定理R Cc B b A a 2sin sin sin ===，求出R .法二：三棱锥的两个侧面互相垂直，已知两个相互垂直的面的外接圆半径的长及其公共棱的长度的情形：已知三棱锥A BCD -中，面ABD ⊥面BCD ，且ABD ∆，BCD ∆的外接圆半径分别记为12,r r ，公共棱BD a =，则该三棱锥的外接球半径满足：()()()222212222R r r a =+-【课堂练习2】（1）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，△PAC 边长为2的正三角形，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.（2）三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，2=AC ，3==PC PA ，BC AB ⊥，则三棱锥ABC P -外接球的半径为.（3）在三棱锥ABC P -中，3===PC PB PA ,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为（）A．π B.3πC.4πD.43π（4）表面积为π60的球面上有四点C B A S 、、、且ABC ∆是等边三角形，球心O 到平面ABC 的距离为3，若ABC SAB 面⊥,则棱锥ABC S -体积的最大值为．（三）二面角背景的模型类型八、两直角三角形拼接在一起(斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥)模型如图， 90=∠=∠ACB APB ，求三棱锥ABC P -外接球半径。

球与平面相切的判定优秀教案

球与平面相切的判定优秀教案
引言
本教案旨在介绍判断一个球是否与平面相切的方法。

通过理论知识讲解和示例演示，学生将能够准确判定球与平面是否相切。

本教案适用于高中数学课程。

教学目标
- 了解球与平面相切的定义和特征
- 研究通过计算判断球与平面是否相切
- 掌握应用计算方法判断球与平面相切的技巧
教学准备
- 手写板或投影仪
- 白板或黑板
- 计算器
教学过程
第一步：引入
教师引入球与平面相切的概念，并与学生分享现实生活中与球与平面相切有关的例子，如篮球滚动在地板上的情景。

第二步：理论讲解
教师通过讲解球与平面相切的定义和特征，引导学生了解相切的条件和判断方法。

第三步：示例演示
教师选择几个简单的示例，用手写板或投影仪演示如何判断球与平面是否相切。

通过计算示例中球的半径、平面的方程和球心到平面的距离，教师解释如何应用公式来判断相切。

第四步：练与讨论
学生进行练，计算给定的球和平面参数，判断相切与否。

教师引导学生讨论解题过程，并解答学生提出的问题。

总结
教师对本节课的内容进行总结，强调学生掌握了判断球与平面相切的方法，并鼓励学生运用所学知识解决实际问题。

作业
布置相关的练题，要求学生独立完成并交回。

参考资料
- 高中数学教材。

与球相关的“切”“接”问题的解决方法

与球相关的“切”“接”问题的解决方法作者：苗本彩张林德来源：《福建中学数学》2018年第03期与球相关的内切与外接问题是近几年高考热点之一，综合化倾向尤为明显，其求解需要学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，从实际教学来看，这部分知识学生掌握较为薄弱、认识较为模糊，看到就头疼，究其原因，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理，下面对球与几何体的切接问题展开探究，以求更好地把握此类问题的解决思路.1 补形法因正方體、长方体的外接球半径容易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求得.分析球心如何确定？主要依据是球的界面性质：过截面圆心与截面垂直的直线必过球心，球心在过BC中点的平面BCD的垂线上，且在过BD中点M的平面ABD的垂线上，两面垂直，所以两垂线交点为N（图4），于是半径可定，但较麻烦，另外，如果注意到CD⊥AD，AD⊥AB，联想到长方体中的棱的特征，不难有补体的想法（图5）.答案：A.2 截面法解答时首先要找准切点，通过做截面来解决，如果内切的是多面体，则作截面时要抓住多面体过球心的对角面来作.例5 已知底面边长为a正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的体积之比与表面积之比1.分析先画出过球心的截面图，再来探求半径之间的关系，如图9、图10，由题意得两球心O1，O2是重合的，过正三棱柱的一条侧棱AA1和它们的球心作截面，设正三棱柱底面边长为a，3 构造直角三角形法首先确定球心位置，借助外接球的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造直角三角形，利用勾股定理求半径.5 向量法例9 己知在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=2PB=2PC=2，求该三棱锥外接球的表面积.分析本题的关键是求出外接球的半径r，除了补形法或轴截面法外，还可用向量法求半径.球的切接问题变化多端，但最终转化为规则几何体（正方体、长方体、正四面体、正三棱锥）的问题处理，这是不变的规则.。

初中数学知识归纳球与球的切线

初中数学知识归纳球与球的切线初中数学知识归纳——球与球的切线数学是一门理科学科，对于初中生来说，学好数学不仅仅是为了考试取得好成绩，更是培养逻辑思维和解决问题的能力。

而球与球的切线是数学中的一个重要概念，在初中数学中也会涉及到。

本文将围绕球与球的切线展开讨论，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

1. 球的基本概念球是由空间中全部点与给定点的距离等于一个常数的点的集合，常数称为半径。

2. 球的切线定义切线是与给定“C”点在同一平面内，且与球上的点最靠近的邻近一点P1P5P6P8的位置矢量的方向相同，点P与球上相切的连线CP称为球的切线。

3. 球与球的切线关系当两个球相切时，它们之间的切线就是将两个球的切点连接起来的最短线段。

在切线的情况下，它与球的触点和球心的连线垂直。

4. 切线长度的计算假设已知两球的半径分别为r1和r2，两球的切线长度可以通过勾股定理来计算。

设切线长度为x，两球球心距离为d，则根据勾股定理有：x^2 = (r1 + r2)^2 - d^25. 切线的性质(1) 切线与半径的关系：切线与半径的垂直关系是切线的一个基本性质，即切线与过切点的半径垂直。

(2) 切线的唯一性：两个圆内公切线和外公切线的切点个数均为2。

(3) 切线与切线的关系：两条相交切线之间的夹角等于这两条切线所截两条弧之和的一半。

通过对初中数学中的球与球的切线知识的归纳和总结，我们可以更全面地认识到该知识点的重要性和应用价值。

通过深入理解球与球的切线的定义、性质和计算方法，同学们可以更好地解决相关的数学题，提高数学解题能力，并在实际生活中应用数学知识。

总结起来，球与球的切线是初中数学中的一个重要概念，通过对其定义、性质和计算方法的学习，可以帮助同学们更好地掌握和运用该知识点。

在学习数学的过程中，我们要注重理论和实践的结合，通过大量的练习和思考，不断提高解题的能力。

相信通过努力学习和实践，我们一定能够在初中数学中取得好成绩，并将数学知识应用于实际生活中。

关注一类球与球相切问题的教学1