【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-2)练习：1.4 第1课时]

合集下载

成才之路高中数学人教B,选修22练习：第1课时

第一章 1.4 第1课时一、选择题1．在求由x ＝a ，x ＝b (a <b )，y ＝0及y ＝f (x )(f (x )≥0)围成的曲边梯形的面积S 时，在区间[a ，b ]上等间隔地插入n －1个分点，分别过这些分点作x 轴的垂线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是( )①n 个小曲边梯形的面积和等于S ； ②n 个小曲边梯形的面积和小于S ； ③n 个小曲边梯形的面积和大小S ；④n 个小曲边梯形的面积和与S 之间的大小关系不确定 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] A[解析] 只有①正确．故选A.2．求由曲线y ＝e x ，直线x ＝2，y ＝1围成的曲边梯形的面积时，若选择x 为积分变量，则积分区间为( )A ．[0，e 2]B ．[0,2]C ．[1,2]D ．[0,1][答案] B[解析] 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝e xy ＝1可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝1.所以积分区间为[0,2]．故选B.3.⎠⎛011d x 的值为( )A ．0B ．1 C.12 D ．2[答案] B[解析] 由定积分的几何意义可得⎠⎛011d x 是由x ＝0，x ＝1，y ＝0和y ＝1围成的矩形的面积．4．计算f (x )＝x 2在[0,1]上的定积分时，有下列说法：①在0到1之间插入n －1个分点，将区间[0,1]n 等分，过每个分点作x 轴的垂线，将曲边三角形分成n 个小曲边梯形(或三角形)，这n 个小曲边梯形的面积和等于原曲边形面积的和；②当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 近似代替； ③当n 很大时，f (x )在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值可以用f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替； ④当n 很大时，用f ⎝⎛⎭⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 代替f (x )在⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，得到的积分和不相等，因而求得的积分值也不相等．其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4[答案] C [解析] 用f ⎝⎛⎭⎪⎫i －1n 与f ⎝⎛⎭⎫i n 近似代替f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤i －1n ，i n 上的值得到的积分和是不相等的，但当n →∞时其积分和的极限值相等，都等于f (x )在[0,1]上的定积分．故选C.5．下列积分值等于1的积分是( ) A.⎠⎛01x d xB ．⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD ．⎠⎛0112d x[答案] C[解析] ⎠⎛011d x 的几何意义是由直线x ＝0，x ＝1, y ＝0和y ＝1围成平面图形的面积，其值为1.故选C.6．设f (x )在[a ，b ]上连续，将[a ，b ]n 等分，在每个小区间上任取ξi ，则⎠⎛ab f (x )d x 是( )A.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi ) B ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi)·b －an C.lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·ξi D ．lim n →＋∞∑i ＝0n －1f (ξi )·(ξi ＋1－ξi ) [答案] B[解析] 由定积分的定义可知B 正确．7．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为( )A.33B ．32C.34D ．1[答案] A8．下列命题不正确的是( )A ．若f (x )是连续的奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0B ．若f (x )是连续的偶函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d xC ．若f (x )在[a ，b ]上连续且恒正，则⎠⎛ab f (x )d x >0D ．若f (x )在[a ，b ]上连续且⎠⎛ab f (x )d x >0，则f (x )在[a ，b ]上恒正[答案] D[解析] 对于A ：因为f (x )是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x 轴上方的面积和x 轴下方的面积相等，故积分是0，所以A 正确，对于B ：因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称，故图象都在x 轴下方或上方且面积相等，故B 正确，C 显然正确．D 选项中f (x )也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f (x )>0的曲线围成的面积比f (x )<0的曲线围成的面积大．故选D.二、填空题9.lim n →＋∞ ⎝⎛⎭⎫1n ＋2n ＋…＋n ＋1n ·1n 写成定积分是________． [答案] ⎠⎛01x d x10．已知⎠⎛02f (x )d x ＝3，则⎠⎛02[f (x )＋6]d x ＝________.[答案] 1511．定积分⎠⎛243d x 的几何意义是________．[答案] 由直线x ＝2，x ＝4，y ＝0和y ＝3所围成的矩形的面积三、解答题12．用定积分表示下列阴影部分的面积(不要求计算)．[解析] 由曲线所围成的区域图形一、选择题1．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间⎣⎡⎦⎤i －1n ，i n 上的值，可以用________近似代替．( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1nB ．f ⎝⎛⎭⎫2nC ．f ⎝⎛⎭⎫i nD ．f (0)[答案] C2．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[x i ，x i ＋1]上的近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1)C ．可以是该区间内任一点函数值f (ξi )(ξ∈[x i ，x i ＋1])D ．以上答案均不正确 [答案] C3．设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛ab f (x )d x ( )A ．一定为正B ．一定为负C ．当0<a <b 时为正，当a <b <0时为负D ．以上结论都不对 [答案] A [解析] ∵f (x )>0， ∴曲边梯形在x 轴上方， ∴⎠⎛ab f (x )d x >0.故选A.4．(2014·太原模拟)已知t >0，若⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，则t ＝( )A ．1B ．－2C ．－2或4D ．4[答案] D[解析] 作出函数f (x )＝2x －2的图象与x 轴交于点A (1,0)，与y 轴交于点B (0，－2)，易求得S △OAB ＝1，∵⎠⎛0t (2x －2)d x ＝8，且⎠⎛01(2x －2)d x ＝－1，∴t >1，∴S △AEF ＝12|AE ||EF |＝12×(t －1)(2t －2)＝(t －1)2＝9，∴t ＝4，故选D.二、填空题5．正弦曲线y ＝sin x 在[0,2π]上的一段曲线与x 轴所围成平面图形的面积用定积分可表示为________．[答案] ∫2π0|sin x |d x6．已知⎠⎛a b f (x )d x ＝6，则⎠⎛ab 6f (x )d x 等于________．[答案] 367．已知⎠⎛a b [f (x )＋g (x )]d x ＝18，⎠⎛a b g (x )d x ＝10，则⎠⎛ab f (x )d x 等于________．[答案] 8 三、解答题8．利用定积分的几何意义求： (1)⎠⎛－22 4－x 2d x ；(2)⎠⎛011－x 2d x .[解析] (1)被积函数的曲线是圆心在原点，半径为2的半圆周，由定积分的几何意义知此积分计算的是半圆的面积，∴有⎠⎛2－24－x 2d x ＝π·222＝2π. (2)∵被积函数为y ＝1－x 2，其表示的曲线为以原点为圆心，1为半径的四分之一圆，由定积分的几何意义可知所求的定积分即为四分之一圆的面积．∴⎠⎛011－x 2d x ＝14π·12＝14π.9．求⎠⎛01x 3d x 的值．[解析] (1)分割0＜1n ＜2n ＜…＜n －1n ＜n n ＝1. (2)求和⎝⎛⎭⎫1n 3·1n ＋⎝⎛⎭⎫2n 3·1n ＋…＋⎝⎛⎭⎫n n 3·1n . ＝∑i ＝1n ⎝⎛⎭⎫i n 3·1n ＝1n 4∑i ＝1n i 3＝1n 4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)22 ＝(n ＋1)24n 2.(3)取极限lim n →∞ (n ＋1)24n 2＝14lim n →∞ ⎝⎛⎭⎫1＋1n 2＝14. ∴⎠⎛01x 3d x ＝14.。

【成才之路】高中数学知能基础测试新人教B版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学知能基础测试新人教B版选修2-2时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．曲线y ＝12x 2－2x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32 处的切线的倾斜角为( ) A ．－1 B ．45° C ．－45° D ．135°[答案] D[解析] y ′＝x －2，所以斜率k ＝1－2＝－1，因此倾斜角为135°.故选D. 2．下列求导运算正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1＋3x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x·log 3e D ．(x 2cos x )′＝－2x sin x[答案] B[解析] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ′＝1－3x2，所以A 不正确；(3x )′＝3x ln3，所以C 不正确；(x 2cos x )′＝2x cos x ＋x 2·(－sin x )，所以D 不正确；(log 2x )′＝1x ln2，所以B 对．故选B. 3．如图，一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为S (t )(S (0)＝0)，则导函数y ＝S ′(t )的图像大致为( )[答案] A[解析] 由图象知，五角星露出水面的面积的变化率是增→减→增→减，其中恰露出一个角时变化不连续，故选A.4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( )A ．－1<a <2B ．－3<a <6C ．a <－1或a >2D ．a <－3或a >6[答案] D[解析] f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a ＋6.因为f (x )既有极大值又有极小值，所以Δ>0，即4a 2－4×3×(a ＋6)>0，即a 2－3a －18>0，解得a >6或a <－3.故选D.5．(2014·山东理，6)直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A ．2 2B ．4 2C ．2D ．4[答案] D [解析] 如图所示由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x ，y ＝x 3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－8.∴第一象限的交点坐标为(2,8)由定积分的几何意义得S ＝⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝(2x 2－x 44)|20＝8－4＝4.6．(2014·黄山模拟)已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝( ) A ．e 2B ．e C.ln22D ．ln2[答案] B[解析] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2，得ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e.7．(2013·北师大附中高二期中)函数y ＝ln xx的导数为( )A ．y ′＝1xB ．y ′＝ln x －1x 2C ．y ′＝－1x2D ．y ′＝1－ln xx2[答案] D[解析] y ′＝xx －xx ′x 2＝1－ln x x 2.8．函数f (x )＝x 3－2x ＋3的图象在x ＝1处的切线与圆x 2＋y 2＝8的位置关系是( ) A ．相切B ．相交且过圆心C ．相交但不过圆心D ．相离[答案] C[解析] 切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.圆心到直线的距离为12＝22<22，所以直线与圆相交但不过圆心．故选C.9．f ′(x )是f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )[答案] D[解析] 由图可知，当b >x >a 时，f ′(x )>0，故在[a ，b ]上，f (x )为增函数．且又由图知f ′(x )在区间[a ，b ]上先增大后减小，即曲线上每一点处切线的斜率先增大再减小，故选D.10．曲线y ＝e 12x 在点(4，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.92e 2 B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2[答案] D[解析] ∵y ′＝12e x2，∴在点(4，e 2)处的切线方程为y ＝12e 2x －e 2，令x ＝0得y ＝－e 2，令y ＝0得x ＝2， ∴围成三角形的面积为e 2.故选D.11．(2014·天门市调研)已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝a (x －b )2＋c 的图象如图所示，则函数f (x )的图象可能是()[答案] D[解析] 由导函数图象可知，当x <0时，函数f (x )递减，排除A ，B ；当0<x <x 1时，f ′(x )>0，函数f (x )递增．因此，当x ＝0时，f (x )取得极小值，故选D.12．(2013·泰安一中高二段测)已知函数f (x )的导函数的图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是( )A ．f (sin A )>f (cosB ) B ．f (sin A )<f (cos B )C ．f (sin A )>f (sin B )D ．f (cos A )<f (cos B ) [答案] A[解析] 由导函数图象可知，x >0时，f ′(x )>0，即f (x )单调递增，又△ABC 为锐角三角形，则A ＋B >π2，即π2>A >π2－B >0，故sin A >sin(π2－B )>0，即sin A >cos B >0，故f (sin A )>f (cos B )，选A.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．经过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程为______________．[答案] x ＋y －2＝0[解析] 设切点为⎝⎛⎭⎪⎫x 0，1x 0，则1x 0x 0－2＝－1x 20，解得x 0＝1，所以切点为(1,1)，斜率为－1，直线方程为x ＋y －2＝0.14．若函数f (x )＝ax 2－1x在(0，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________．[答案] a ≥0[解析] f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1x ′＝a ＋1x2，由题意得，a ＋1x2≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即a ≥－1x2，x ∈(0，＋∞)恒成立．∴a ≥0.15．(2014·湖北重点中学高二期中联考)已知函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图象经过四个象限，则实数a 的取值范围是________．[答案] (－65，－316)[解析] f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝a (x －1)(x ＋2)，由f (x )的图象经过四个象限知，若a >0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f，此时无解；若a <0，则⎩⎪⎨⎪⎧f－，f，∴－65<a <－316，综上知，－65<a <－316.16．(2014·泉州实验中学期中)已知函数f (x )＝x 3－3x ，若过点A (1，m )(m ≠－2)可作曲线y ＝f (x )的三条切线，则实数m 的取值范围为________．[答案] (－3，－2)[解析] f ′(x )＝3x 2－3，设切点为P (x 0，y 0)，则切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，∵切线经过点A (1，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(1－x 0)，∴m ＝－2x 30＋3x 20－3，m ′＝－6x 20＋6x 0，∴当0<x 0<1时，此函数单调递增，当x 0<0或x 0>1时，此函数单调递减，当x 0＝0时，m ＝－3，当x 0＝1时，m ＝－2，∴当－3<m <－2时，直线y ＝m 与函数y ＝－2x 30＋3x 20－3的图象有三个不同交点，从而x 0有三个不同实数根，故过点A (1，m )可作三条不同切线，∴m 的取值范围是(－3，－2)．三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a >0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值．[解析] 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －12－x＋a ，(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2＋2x －x ，∴当x ∈(0，2)时，f ′(x )>0，当x ∈(2，2)时，f ′(x )<0，所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2)；(2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝2－2xx －x＋a >0，即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝12.18．(本题满分12分)(2014·韶关市曲江一中月考)已知函数f (x )＝ax 3＋cx ＋d (a ≠0)是R 上的奇函数，当x ＝1时，f (x )取得极值－2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数f (x )的单调区间和极大值；(3)证明：对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立． [解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即－ax 3－cx ＋d ＝－ax 3－cx －d ，∴d ＝－d ， ∴d ＝0(或由f (0)＝0得d ＝0)． ∴f (x )＝ax 3＋cx ，f ′(x )＝3ax 2＋c ，又当x ＝1时，f (x )取得极值－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－2，f ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝－2，3a ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，c ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x .(2)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，得x ＝±1，当－1<x <1时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减；当x <－1或x >1时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；∴函数f (x )的递增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)；递减区间为(－1,1)．因此，f (x )在x ＝－1处取得极大值，且极大值为f (－1)＝2.(3)由(2)知，函数f (x )在区间[－1,1]上单调递减，且f (x )在区间[－1,1]上的最大值为M ＝f (－1)＝2.最小值为m ＝f (1)＝－2.∴对任意x 1、x 2∈(－1,1)，|f (x 1)－f (x 2)|<M －m ＝4成立．即对任意x 1、x 2∈(－1,1)，不等式|f (x 1)－f (x 2)|<4恒成立．19．(本题满分12分)求定积分⎠⎛－11f (x )d x ，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x －1xx 2x .[解析] ⎠⎛－11 f (x )d x ＝⎠⎛－10 f (x )d x ＋⎠⎛01f (x )d x＝⎠⎛－11 (sin x －1)d x ＋⎠⎛01x 2d x ＝(－cos x －x )|0－1＋13x 3|10＝cos1－2＋13＝cos1－53.20．(本题满分12分)已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )．若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．[解析] 依定义f (x )＝x 2(1－x )＋t (x ＋1)＝－x 3＋x 2＋tx ＋t ，∴f ′(x )＝－3x 2＋2x ＋t .若f (x )在(－1,1)上是增函数，则在(－1,1)上有f ′(x )≥0.恒成立．∵f ′(x )≥0⇔t ≥3x 2－2x ，由于g (x )＝3x 2－2x 的图象是对称轴为x ＝13，开口向上的抛物线，故要使t ≥3x 2－2x 在区间(－1,1)上恒成立⇔t ≥g (－1)，即t ≥5.而当t ≥5时，f ′(x )在(－1,1)上满足f ′(x )>0，即f (x )在(－1,1)上是增函数．故t 的取值范围是t ≥5.21．(本题满分12分)设函数f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ＋8，其中a ∈R . (1)若f (x )在x ＝3处取得极值，求常数a 的值； (2)若f (x )在(－∞，0)上为增函数，求a 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －a )(x －1)．因f (x )在x ＝3处取得极值，所以f ′(3)＝6(3－a )(3－1)＝0，解得a ＝3. 经检验知当a ＝3时，x ＝3为f (x )的极值点． (2)令f ′(x )＝6(x －a )(x －1)＝0得x 1＝a ，x 2＝1.当a <0时，若x ∈(－∞，a )∪(1，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，a )和(1，＋∞)上为增函数．当0≤a <1时，f (x )在(－∞，0)上为增函数．当a ≥1时，若x ∈(－∞，1)∪(a ，＋∞)，则f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，1)和(a ，＋∞)上为增函数，从而f (x )在(－∞，0)上为增函数．综上可知，当a ≥0时，f (x )在(－∞，0)上为增函数． 22．(本题满分14分)设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a >0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值．[解析] (1)f ′(x )＝a e x－1a e x，当f ′(x )>0，即x >－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上递增；当f ′(x )<0，即x <－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上递减．①当0<a <1时，－ln a >0，f (x )在(0，－ln a )上递减，在(－ln a ，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b ；②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)．所以a ＝2e 2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12.故a ＝2e 2，b ＝12.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习：综合检测]

选修2－2综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2014·山东鱼台一中高二期中)复平面内，复数(2－i)2对应点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] D[解析] ∵(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴此复数在复平面内的对应点为(3，－4)，故选D. 2．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是( ) A ．y ＝7x ＋4 B ．y ＝x －4 C ．y ＝7x ＋2 D ．y ＝x －2 [答案] D[解析] y ′|x ＝－1＝(4－3x 2)|x ＝－1＝1， ∴切线方程为y ＋3＝x ＋1，即y ＝x －2.3．若函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 的图象的顶点在第四象限，则函数f ′(x )的图象是( )[答案] A[解析] ∵f ′(x )＝2x ＋b 为增函数，∴排除B 、D ；又f (x )的顶点在第四象限， ∴－b2>0，∴b <0，排除C ，故选A.4．(2013·山东嘉祥一中高二期中)曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( ) A ．4 B ．8 C ．10 D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]dx ＝2⎠⎛02(4x －x 3)dx ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 5．(2013·浙江余姚中学高二期中)已知函数f (x )＝sin x ＋e x ＋x 2013，令f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n ＋1＝f n ′(x )，则f 2014(x )＝( )A ．sin x ＋e xB ．cos x ＋e xC ．－sin x ＋e xD ．－cos x ＋e x[答案] C[解析] f 1(x )＝f ′(x )＝cos x ＋e x ＋2013x 2012，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ＋e x ＋2013×2012x 2011，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ＋e x ＋2013×2012×2011x 2010，……，∴f 2014(x )＝－sin x ＋e x .6．(2014·贵州湄潭中学高二期中)函数f (x )＝3x －4x 3(x ∈[0,1])的最大值是( ) A.12 B ．－1 C ．0 D ．1[答案] D[解析] 由f ′(x )＝3－12x 2＝0得，x ＝±12，∵x ∈[0,1]，∴x ＝12，∵当x ∈[0，12]，f ′(x )>0，当x ∈[12，1]时，f ′(x )<0，∴f (x )在[0，12]上单调递增，在[12，1]上单调递减，故x ＝12时，f (x )取到极大值也是最大值，f (12)＝3×12－4×(12)3＝1，故选D.7．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] B[解析] ∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5， ∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限，故应选B.8．k 棱柱有f (k )个对角面，则k ＋1棱柱的对角面个数f (k ＋1)为( ) A ．f (k )＋k －1 B ．f (k )＋k ＋1 C ．f (k )＋k D ．f (k )＋k －2[答案] A[解析] 增加的一条侧棱与其不相邻的k －2条侧棱形成k －2个对角面，而过与其相邻的两条侧棱的截面原来为侧面，现在也成了一个对角面，故共增加了k －1个对角面，∴f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.故选A.9．(2014·揭阳一中高二期中)函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.10．(2014·淄博市临淄区检测)下列求导运算正确的是( ) A ．(2x )′＝x ·2x －1B ．(3e x )′＝3e xC ．(x 2－1x )′＝2x －1x 2D ．(xcos x )′＝cos x －x sin x (cos x )2[答案] B[解析] 对于A ，(2x )′＝2x ln2；对于B ，(3e x )′＝3e x ；对于C ，(x 2－1x )′＝2x ＋1x 2；对于D ，(xcos x )′＝cos x ＋x sin x (cos x )2；综上可知选B.11．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f (n ) (n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n＝k 变到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k－1项D ．2k 项[答案] D[解析] n ＝k ＋1时，左边为： 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＋⎝⎛⎭⎫12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋2k －1，故共增加了2k 项，故选D.12．函数f (x )＝x 2－2ln x 的单调减区间是( ) A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]∪(0,1]D ．[－1,0)∪(0,1][答案] A[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝2x －2x ＝2(x ＋1)(x －1)x，由f ′(x )≤0及x >0得，0<x ≤1，故选A. [点评] 利用导数判断函数单调性的一般步骤①求导数f ′(x )；②在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )＞0和f ′(x )＜0； ③根据②的结果确定函数f (x )的单调区间．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上) 13．(2013·山东嘉祥一中高二期中)在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n)3.那么在等差数列{b n }中，若前n 项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________． [答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n －S n )．14．已知函数f (x )＝x 3＋2x 2－ax ＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－1,7)[解析] f ′(x )＝3x 2＋4x －a ，其图象开口向上，由条件知f ′(－1)·f ′(1)<0，∴(－1－a )(7－a )<0，∴－1<a <7，当a ＝－1时，f ′(x )＝3x 2＋4x ＋1＝0，在(－1,1)上恰有一根x ＝－13，当a ＝7时，f ′(x )＝0在(－1,1)上无实根，∴－1≤a <7.15．(2014·天门市调研)若复数z ＝21＋3i ，其中i 是虚数单位，则|z －|＝________.[答案] 1[解析] 因为z ＝21＋3i ＝2(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝2(1－3i )4＝12－32i ，所以|z －|＝(12)2＋(－32)2＝1. 16．(2013·玉溪一中高三月考)已知不等式1－3x ＋a <0的解集为(－1,2)，则⎠⎛02(1－3x ＋a )dx＝________.[答案] 2－3ln3[解析] 由条件知方程1－3x ＋a ＝0的根为－1或2，∴a ＝1.∴⎠⎛02(1－3x ＋a )dx ＝⎠⎛02(1－3x ＋1)dx ＝ |[x －3ln (x ＋1)]20＝2－3ln3.三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)已知z 1、z 2为复数，i 为虚数单位，z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0，z 2＋3z 2－3为纯虚数，z 1、z 2在复平面内对应的点分别为P 、Q .(1)求点P 的轨迹方程； (2)求点Q 的轨迹方程； (3)写出线段PQ 长的取值范围．[解析] (1)设z 1＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )，由z 1·z －1＋3(z 1＋z －1)＋5＝0得x 2＋y 2＋6x ＋5＝0，整理得(x ＋3)2＋y 2＝4，∴点P 的轨迹方程为(x ＋3)2＋y 2＝4. (2)设z 2＝x ＋y i ，(x 、y ∈R )， z 2＋3z 2－3＝x ＋3＋y i x －3＋y i ＝x 2＋y 2－9－6y i(x －3)2＋y 2， ∵z 2＋3z 2－3为纯虚数，∴x 2＋y 2＝9且y ≠0， ∴点Q 的轨迹方程为x 2＋y 2＝9(y ≠0)． (3)PQ 长的取值范围是[0,8)． ∵两圆相交，∴PQ 长的最小值为0，又两圆圆心距为3，两圆半径分别为2和3，∴PQ 长的最大值为8，但点Q 的轨迹方程中y ≠0，∴|PQ |<8，∴线段PQ 长的取值范围是[0,8)．[点评] 第(3)问要求“写出线段PQ 长的取值范围”可以不写解答过程．18．(本题满分12分)(2014·四川文，21)已知函数f (x )＝e x －ax 2－bx －1，其中a 、b ∈R ，e ＝2.71828…为自然对数的底数．(1)设g (x )是函数f (x )的导函数，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值； (2)若f (1)＝0，函数f (x )在区间(0,1)内有零点，证明：e －2<a <1. [解析] (1)由f (x )＝e x －ax 2－bx －1，有g (x )＝f ′(x )＝e x －2ax －b . 所以g ′(x )＝e x －2a .当x ∈[0,1]时，g ′(x )∈[1－2a ，e －2a ]．当a ≤12时，g ′(x )≥0，所以g (x )在[0,1]上单调递增．因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当a ≥e2时，g ′(x )≤0，所以g (x )在[0,1]上单调递减，因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b ；当12<a <e2时，令g ′(x )＝0，得x ＝ln(2a )∈(0,1)．所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．于是，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；综上所述，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)＝1－b ；当12<a <e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b 当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)＝e －2a －b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点，则由f (0)＝f (x 0)＝0可知， f (x )在区间(0，x 0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．则g (x )不可能恒为正，也不可能恒为负．故g (x )在区间(0，x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2，所以g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点．由(1)知，当a ≤12时，g (x )在[0,1]上单调递增，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．当a ≥e2时，g (x )在[0,1]上单调递减，故g (x )在(0,1)内至多有一个零点．所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间(ln(2a )，1]上单调递增．因此x 1∈(0，ln(2a )]，x 2∈(ln(2a )，1)，必有 g (0)＝1－b >0，g (1)＝e －2a －b >0. 由f (1)＝0有a ＋b ＝e －1<2，有 g (0)＝a －e ＋2>0，g (1)＝1－a >0. 解得e －2<a <1.所以，函数f (x )在区间(0,1)内有零点时，e －2<a <1.19．(本题满分12分)先观察不等式(a 21＋a 22)(b 21＋b 22)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2(a 1、a 2、b 1、b 2∈R )的证明过程：设平面向量α＝(a 1，b 1)，β＝(a 2，b 2)，则|α|＝a 21＋b 21，|β|＝a 22＋b 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2. ∵|α·β|≤|α|·|β|，∴|a 1a 2＋b 1b 2|≤a 21＋b 21·a 22＋b 22， ∴(a 1a 2＋b 1b 2)2≤(a 21＋b 21)(a 22＋b 22)，再类比证明：(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)≥(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2.[分析] 把平面向量类比推广到空间向量可以证明．[解析] 设空间向量α＝(a 1，b 1，c 1)，β＝(a 2，b 2，c 2)，则|α|＝a 21＋b 21＋c 21，|β|＝a 22＋b 22＋c 22，α·β＝a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2， ∵|α·β|≤|α|·|β|， ∴|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|≤a 21＋b 21＋c 21·a 22＋b 22＋c 22，∴(a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2)2≤(a 21＋b 21＋c 21)(a 22＋b 22＋c 22)．20．(本题满分12分)设函数f (x )＝sin x －cos x ＋x ＋1,0<x <2π，求函数f (x )的单调区间与极值．[解析] f ′(x )＝cos x ＋sin x ＋1＝2sin(x ＋π4)＋1 (0<x <2π)，令f ′(x )＝0，即sin(x ＋π4)＝－22，解之得x ＝π或x ＝32π.x ，f ′(x )以及f (x )变化情况如下表：∴f (x )的单调增区间为(0，π)和(32π，2π)，单调减区间为(π，32π)．f 极大(x )＝f (π)＝π＋2，f 极小(x )＝f (32π)＝3π2.21．(本题满分12分)(2013·海淀区高二期中)已知点列A n (x n,0)，n ∈N *，其中x 1＝0，x 2＝a (a >0)，A 3是线段A 1A 2的中点，A 4是线段A 2A 3的中点，…A n 是线段A n －2A n －1的中点，….(1)写出x n 与x n －1、x n －2之间的关系式(n ≥3)；(2)设a n ＝x n ＋1－x n ，计算a 1、a 2、a 3，由此推测数列{a n }的通项公式，并加以证明． [解析] (1)由题意，当n ≥3时，x n ＝12(x n －1＋x n －2)(2)x 1＝0，x 2＝a ，x 3＝12(x 2＋x 1)＝a 2，x 4＝12(x 3＋x 2)＝3a4，∴a 1＝x 2－x 1＝a ，a 2＝x 3－x 2＝－a 2，a 3＝x 4－x 3＝a4，推测a n ＝a(－2)n －1.方法一证明：对于任意n ∈N *，a n ＝x n ＋1－x n ，a n ＋1＝x n ＋2－x n ＋1＝12(x n ＋1＋x n )－x n ＋1＝－12(x n ＋1－x n )＝－12a n ，又∵a 1＝a >0，∴{a n }是以a 为首项，以－12为公比的等比数列．故a n ＝a ·(－12)n －1＝a(－2)n －1. 方法二下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝a ＝a ·(－12)1－1，结论a n ＝a (－2)n －1成立． ②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N )时，a n ＝a (－2)n －1成立，即a k＝a ·(－12)k －1，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝x k ＋2－x k ＋1＝x k ＋x k ＋12－x k ＋1＝x k －x k ＋12＝－12a k ＝(－12)·a ·(－12)k －1＝a ·(－12)(k ＋1)－1，所以n ＝k ＋1时，a n ＝a(－2)n －1成立．由①②可知，数列{a n }的通项公式为a n ＝a ·(－12)n －1，n ∈N *.22．(本题满分14分)(2014·贵州湄潭中学高二期中)设函数f (x )＝x ln x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[18，12]上的最大值和最小值．[解析] (1)由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)． ∵f (x )＝x ln x ，∴f ′(x )＝ln x ＋1，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，令f ′(x )>0，得x >1e ，令f ′(x )<0，得0<x <1e，∴f (x )的单调递增区间为(1e ，＋∞)，单调递减区间为(0，1e )．(2)∵f (18)＝18ln 18＝38ln 12，f (12)＝12ln 12， f (1e )＝1e ln 1e ＝－1e，又12ln 12<38ln 12， ∴求f (x )在区间[18，12]的最大值为38ln 12，最小值为－1e.一、选择题1．i 是虚数单位，复数z ＝2＋3i－3＋2i 的虚部是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2[答案] B[解析] z ＝2＋3i －3＋2i ＝(2＋3i )(－3－2i )(－3＋2i )(－3－2i )＝－6－9i －4i ＋613＝－i ，∴z 的虚部是－1.2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．－12C ．12D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12， ∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．(2013·辽宁实验中学高二期中)三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x 3＋6x 2＋9xB ．y ＝x 3－6x 2＋9xC ．y ＝x 3－6x 2－9xD ．y ＝x 3＋6x 2－9x[答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i[答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ，故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2013的值为( )A.20122013 B ．20112012C ．20092010D ．20102011[答案] A[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2013＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2013)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12012－12013)＝1－12013＝20122013.7．(2014·淄博市临淄区检测)已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1[答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111 1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111 …… A ．1111110 B ．1111111 C ．1111112 D ．1111113[答案] B[解析] 可利用归纳推理，由已知可猜测123456×9＋7＝1111111.9．(2012·江西文，5)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4 , |x |＋|y |＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8, |x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( )A ．76B ．80C ．86D ．92 [答案] B[解析] 本题考查了不完全归纳．由已知条件知|x |＋|y |＝n 的不同整数解(x ，y )个数为4n ，所以|x |＋|y |＝20不同整数解(x ，y )的个数为4×20＝80.10．(2012·大纲全国理，1)复数－1＋3i1＋i ＝( )A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i [答案] C[解析] 本小题主要考查了复数四则运算法则，可利用除法运算求解．因为－1＋3i1＋i＝(－1＋3i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝2＋4i2＝1＋2i ，所以选C.11．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1,4,9,16，…这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A ．289B ．1024C ．1225D ．1378[答案] C[解析] 图1中满足a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n ，以上累加得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n ·(n ＋1)2，图2中满足b n ＝n 2，一个数若满足三角形数，其必能分解成两个相邻自然数乘积的一半；一个数若满足正方形数，其必为某个自然数的平方． ∵1225＝352＝49×502，∴选C.12．(2014·辽宁理，11)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2＋4x ＋3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－6，－98]C ．[－6，－2]D ．[－4，－3][答案] C[解析] ax 3≥x 2－4x －3恒成立．当x ＝0时式子恒成立．∴a ∈R ，当x >0时，a ≥1x －4x 2－3x 3恒成立．令1x ＝t ，x ∈(0,1]，∴t ≥1. ∴a ≥t －4t 2－3t 3恒成立．令g (t )＝t －4t 2－3t 3，g ′(t )＝1－8t －9t 2＝(t ＋1)(－9t ＋1)， ∴函数g ′(t )在[1，＋∞)上为减函数而且g ′(1)＝－16<0，∴g ′(t )<0在[1，＋∞)上恒成立． ∴g (t )在[1，＋∞)上是减函数，∴g (t )max ＝g (1)＝－6，∴a ≥－6；当x <0时，a ≤1x －4x 2－3x 3恒成立，∵x ∈[－2,0)，∴t ≤－12，令g ′(t )＝0得，t ＝－1，∴g (t )在(－∞，－1]上为减函数，在(－1，－12]上为增函数，∴g (t )min ＝g (－1)＝－2，∴a ≤－2. 综上知－6≤a ≤－2. 二、填空题13．请阅读下列材料：若两个正实数a 1、a 2满足a 21＋a 22＝1，那么a 1＋a 2≤ 2.证明：构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＝2x 2－2(a 1＋a 2)x ＋1.因为对一切实数x ，恒有f (x )≥0，所以Δ≤0，从而得4(a 1＋a 2)2－8≤0，所以a 1＋a 2≤ 2.类比上述结论，若n 个正实数满足a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，你能得到的结论为________．[答案] a 1＋a 2＋…＋a n ≤n (n ∈N *)[解析] 构造函数f (x )＝(x －a 1)2＋(x －a 2)2＋…＋(x －a n )2＝nx 2－2(a 1＋a 2＋…＋a n )x ＋1， ∵f (x )≥0对任意实数x 都成立， ∴Δ＝4(a 1＋a 2＋…＋a n )2－4n ≤0，∵a 1，a 2，…，a n 都是正数，∴a 1＋a 2＋…＋a n ≤n .14．对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7； 23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19.根据上述分解规律，若n 2＝1＋3＋5＋…＋19，m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是21，则m ＋n 的值为________．[答案] 15[解析] 依题意得n 2＝10×(1＋19)2＝100，∴n ＝10.易知m 3＝21m ＋m (m －1)2×2，整理得(m －5)(m ＋4)＝0，又m ∈N *，所以m ＝5，即53＝21＋23＋25＋27＋29，所以m ＋n ＝15.15．对任意非零实数a 、b ，若a ⊗b 的运算原理如图所示，则2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝________.[答案]22[解析] ∵⎠⎛0πsin x d x ＝－cos x|π0＝2>2，∴2⊗⎠⎛0πsin x d x ＝2⊗2＝2－12＝22.16．(2013·天津红桥区高二质检)已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________.[答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题17．已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列．[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．18．已知函数f (x )＝(2－a )x －2ln x ，(a ∈R )． (1)若函数f (x )在x ＝1处取得极值，求实数a 的值； (2)求函数f (x )的单调区间．[解析] (1)由题可知f ′(x )＝2－a －2x(x >0)，令f ′(x )＝0得2－a －2x ＝0，∴x ＝22－a ，又因为函数f (x )在x ＝1处取得极值，所以a ＝0.(2)①若a ＝2，f ′(x )＝－2x <0(x >0)，f (x )＝－2ln x 的单调递减区间为(0，＋∞)；②若2－a <0，即a >2时，f ′(x )＝2－a －2x 在(0，＋∞)上小于0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递减；③若2－a >0，即a <2时，当x >22－a 时f ′(x )>0，f (x )单调递增，0<x <22－a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减．综上：a ≥2时，f (x )的单调递减区间为(0，＋∞)；a <2时，f (x )的单调递增区间为(22－a ，＋∞)，单调递减区间为(0，22－a)．19．设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率．[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1(x －1)2＝a (x －1)2－1(x －1)2，令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0，解得：x ＝±aa ＋1，∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为 g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3，当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5，当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种，∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c .[解析] 要证lg a ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c ，只需证lg ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>lg(a ·b ·c )，只需证a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a 2>abc .∵a ，b ，c 是不全相等的正数， ∴a ＋b 2≥ab >0，b ＋c 2≥bc >0，c ＋a 2≥ac >0，且上述三式中的等号不同时成立． ∴a ＋b 2·b ＋c 2·c ＋a2>abc . ∴lga ＋b 2＋lg b ＋c 2＋lg c ＋a2>lg a ＋lg b ＋lg c . 21．已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加． (2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)．所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13，综上，不等式得证．22．(2014·揭阳一中高二期中)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－2x (a <0)．(1)若函数f (x )在定义域内单调递增，求a 的取值范围；(2)若a ＝－12且关于x 的方程f (x )＝－12x ＋b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b 的取值范围；(3)设各项为正的数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝ln a n ＋a n ＋2，n ∈N *，求证：a n ≤2n －1. [解析] (1)f ′(x )＝－ax 2＋2x －1x(x >0)．依题意f ′(x )≥0在x >0时恒成立，即ax 2＋2x －1≤0在x >0时恒成立，则a ≤1－2x x 2＝(1x －1)2－1在x >0时恒成立，即a ≤((1x －1)2－1)min (x >0)，当x ＝1时，(1x －1)2－1取最小值－1，∴a 的取值范围是(－∞，－1]．(2)a ＝－12，f (x )＝－12x ＋b ⇔14x 2－32x ＋ln x －b ＝0.设g (x )＝14x 2－32x ＋ln x －b (x >0)，则g ′(x )＝(x －2)(x －1)2x.g (x )，g ′(x )随x 的变化如下表：∴g (x )极小值＝g (2)＝ln2－b －2，g (x )极大值＝g (1)＝－b －54，又g (4)＝2ln2－b －2，∵方程g (x )＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根．则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0，g (2)<0，g (4)≥0.得ln2－2<b ≤－54.(3)设h (x )＝ln x －x ＋1，x ∈[1，＋∞)，则h ′(x )＝1x －1≤0，∴h (x )在[1，＋∞)上为减函数．∴h (x )max ＝h (1)＝0，故当x ≥1时有ln x ≤x －1. ①当n ＝1时，a 1＝1≤1成立；②假设n ＝k 时，a k ≤2k －1，则当n ＝k ＋1时， ∵2k －1≥1，∴ln(2k －1)≤(2k －1)－1＝2k －2， ∴a k ＋1＝ln a k ＋a k ＋2≤ln(2k －1)＋(2k －1)＋2 ≤(2k －2)＋(2k －1)＋2＝2k ＋1－1，所以当n ＝k ＋1时结论也成立，由①②得，对∀n ∈N *有a n ≤2n －1成立．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-2课件：2.2 第2课时反证法( 2014高考)

1-2
[证明] 已知：点P在直线a外．求证：过点P与直线a平行的直线有且只有一条．证明：∵点P 在直线a 外， ∴ 点P和直线 a确定一个平面，设该平面为 α ，在平面 α内，过点 P作直线 b，使得b∥a ，则过点P有一条直线与a平行．假设过点P还有一条直线c与a平行． ∵a∥b，a∥c，∴b∥c，这与b、c相交于点P矛盾，故假
1-2
课堂典例讲练
1-2 第二章
2.2 第2课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 选修1-1
1-2
用反证法证明存在性命题
求证：一个三角形中，至少有一个内角不小于 60° .
[证明] 假设△ABC 的三个内角 A、B、C 都小于 60° ，即 ∠A<60° ，∠B<60° ，∠C<60° . 相加得∠A＋∠B＋∠C<180° . 这与三角形内角和定理矛盾，所以∠A、∠B、∠C 都小于 60° 的假设不能成立，从而一个三角形中，至少有一个内角不小于 60° .
成才之路· 数学
人教B版 · 选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 选修1-1
1-2
第二章
推理与证明
第二章
推理与证明
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 选修1-1
1-2
第二章
2.2 直接证明与间接证明
[证明] 假设 a， a＋1， a＋2成等差数列，其中 a>0，则有 2 a＋1＝ a＋ a＋2. 两边再同时平方得 4(a＋1)＝a＋a＋2＋2 aa＋2，整理得 a＋1＝ aa＋2，

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-2)课件：2.1 第1课时( 2014高考)

类比平面几何中的“面积法”，可用“体积法”来证明． 1 S△BCD· h′ OV′ VO－BCD 3· ＝ 1 ＝ (其中h′、h为两个四面体的 VV－BCD VV′ S△BCD· h 3· VO－VCD OB′ VO－VBD OC′ VO－VBC OD′ 高)．同理：＝，＝，＝ . VB－VCD BB′ VC－VBD CC′ VD－VBC DD′ OV′ OB′ OC′ OD′ ∴ ＋＋＋ VV′ BB′ CC′ DD′ VO－BCD VO－VCD VO－VBD VO－VBC VV－BCD ＝＋＋＋＝＝1. VV－BCD VB－VCD VC－VBD VD－VBC VV－BCD
第二章 2.1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-2
本节重点：合情推理、归纳推理、类比推理概念的理解
及应用．
本节难点：归纳推理和类比推理的应用．
第二章 2.1 第1课时
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-2
1．归纳推理由于某类事物的 ____________ 部分对象具有某些特征，推出该类全部对象都具有这些特征的推理，或者由事物的 ___________ 个别事实概括出___________ 一般结论的推理，称为归纳推理(简称 ___________ 归纳部分到整体，由 _________) ．简言之，归纳推理是由 ___________ 个别到一般的推理． _____________
成才之路 ·数学
人教B版 • 选修2-2
路漫漫其修远兮吾将上下而求索
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-2

数学人教B版选修2-2 成才之路课后强化作业1-1-1 详解答案

选修2-2 1.1.1一、选择题1．函数y ＝f (x )，当自变量从x 0到x 1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化率D ．在[x 0，x 1]上的变化率[答案] A2．函数y ＝x 2＋x 在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率为( )A ．Δx ＋2B ．2Δx ＋(Δx )2C ．Δx ＋3D ．3Δx ＋(Δx )2[答案] C3．物体做直线运动所经过的路程s 可表示为时间t 的函数s ＝s (t )＝2t 2＋2，则在一小段时间[2,2＋Δt ]上的平均速度为( )A ．8＋2ΔtB ．4＋2ΔtC ．7＋2ΔtD ．－8＋2Δt[答案] A4．函数y ＝1x在x ＝1到x ＝2之间的平均变化率为( ) A ．－1B ．－12C ．－2D ．2[答案] B5．函数f (x )＝2x ＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )A.115B ．－115C ．2D ．－2[答案] C[解析] Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (1)5－1＝2. 6．在曲线y ＝x 2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则Δy Δx为( ) A ．Δx ＋1Δx＋2 B ．Δx －1Δx－1 C ．Δx ＋2D ．Δx －1Δx＋2 [答案] C[解析] Δy Δx ＝(1＋Δx )2＋1－12－1Δx＝Δx ＋2. 7．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度是( )A ．2Δt ＋4B ．－2Δt ＋4C ．2Δt －4D ．－2Δt －4[答案] D[解析] Δs Δt ＝4－2(1＋Δt )2－4＋2×12Δt＝－2Δt －4. 8．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x 、②y ＝x 2、③y ＝x 3、④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①[答案] B[解析] Δx ＝0.3时，①y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率k 1＝1；②y ＝x 2在x ＝1附近的平均变化率k 2＝2＋Δx ＝2.3；③y ＝x 3在x ＝1附近的平均变化率k 3＝3＋3Δx ＋(Δx )2＝3.99；④y ＝1x 在x ＝1附近的平均变化率k 4＝－11＋Δx＝－1013.∴k 3＞k 2＞k 1＞k 4.故选B. 9．已知曲线y ＝14x 2和这条曲线上的一点P ⎝⎛⎭⎫1，14，Q 是曲线上点P 附近的一点，则点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx )2 B.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(Δx )2 C.⎝⎛⎭⎫1＋Δx ，14(Δx ＋1)2 D.⎝⎛⎭⎫Δx ，14(1＋Δx )2 [答案] C10．函数y ＝－x 2、y ＝1x、y ＝2x ＋1、y ＝x 在x ＝1附近(Δx 很小时)，平均变化率最大的一个是( )A ．y ＝－x 2B ．y ＝1xC ．y ＝2x ＋1D ．y ＝x[答案] C[解析] y ＝－x 2在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝－(2＋Δx )；y ＝1x在x ＝1附近的平均变化率为k 2＝－11＋Δx；y ＝2x ＋1在x ＝1附近的平均变化率为k 3＝2；y ＝x 在x ＝1附近的平均变化率为k 4＝11＋Δx ＋1；当Δx 很小时，k 1<0，k 2<0,0<k 4<1，∴最大的是k 3.故选C. 二、填空题11．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________. [答案] (Δx )2＋6Δx ＋12[解析] Δy Δx ＝(2＋Δx )3－2－23＋2Δx ＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 12．函数y ＝x 在x ＝1附近，当Δx ＝12时平均变化率为________． [答案]6－2 [解析] Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1＝6－2.13．已知圆的面积S 与其半径r 之间的函数关系为S ＝πr 2，其中r ∈(0，＋∞)，则当半径r ∈[1,1＋Δr ]时，圆面积S 的平均变化率为________．[答案] 2π＋πΔr[解析] ΔS Δr ＝(1＋Δr )2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr . 14．函数y ＝cos x 在x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时的变化率为________；在x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时的变化率为________．[答案] 33－6π －3π[解析] 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，Δy Δx ＝cos π6－cos0π6－0＝33－6π；当x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π2时，Δy Δx ＝cos π2－cos π3π2－π3＝0－12π6＝－3π. 因此，y ＝cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π6和区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π. 三、解答题15．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在下列区间上f (x )及g (x )的平均变化率：(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．[解析] (1)函数f (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[2×(－1)＋1]－[2×(－3)＋1]2＝2， g (x )在区间[－3，－1]上的平均变化率为g (－1)－g (－3)(－1)－(－3)＝[－2×(－1)]－[－2×(－3)]2＝－2. (2)函数f (x )在区间[0,5]上的平均变化率为f (5)－f (0)5－0＝(2×5＋1)－(2×0＋1)5＝2， g (x )在区间[0,5]上的平均变化率为g (5)－g (0)5－0＝－2×5－(－2×0)5＝－2. 16．过曲线f (x )＝x 3上两点P (2,8)和Q (2＋Δx,8＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．[解析] ∵Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )3－8＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx ，∴割线PQ 的斜率k ＝Δy Δx ＝Δx 3＋6Δx 2＋12Δx Δx＝Δx 2＋6Δx ＋12. 设Δx ＝0.1时割线的斜率为k 1，则k 1＝0.12＋6×0.1＋12＝12.61.17．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图，试分别计算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率．[解析] 第一年婴儿体重平均变化率为11.25－3.7512－0＝0.625(千克/月)；第二年婴儿体重平均变化率为14.25－11.2524－12＝0.25(千克/月)． 18．已知某质点按规律s ＝2t 2＋2t (单位m)做直线运动，求：(1)该质点在前3s 内的平均速度；(2)该质点在2s 到3s 内的平均速度．[解析] (1)由题设知，Δt ＝3s ，Δs ＝s (3)－s (0)＝24，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝243＝8m/s. (2)由题意知，Δt ＝3－2＝1s ，Δs ＝s (3)－s (2)＝12m ，∴平均速度为v ＝Δs Δt ＝12m/s.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修二强化练习：1章立体几何初步综合测试A]

第一章综合测试(A)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·广西南宁高一期末测试)用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”正确的是()A．A∈l，l⊄αB．A∈l，l∉αC．A⊂l，l∉αD．A⊂l，l⊄α[答案] A[解析]点在直线上用“∈”表示，直线在平面外用“⊄”表示，故选A.2．(2014·河北邢台一中高一月考)若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则()A．平面α内所有直线与l异面B．平面α内存在惟一的直线与l平行C．平面α内不存在与l平行的直线D．平面α内的直线都与l相交[答案] C[解析]∵直线l不平行于平面α，且l⊄α，∴l与平面α相交，故平面α内不存在与l 平行的直线．3．一长方体木料，沿图①所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD那么图②四个图形中是截面的是()[答案] A[解析]因为AB、MN两条交线所在平面(侧面)互相平行，故AB、MN无公共点，又AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM.又AB⊥CD，∴截面必为矩形．4．(2014·湖南永州市东安天成实验中学高一月考)正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线AC1的长为3cm，则它的体积为()A．4cm3B．8cm3C.11272cm 3 D ．33cm 3[答案] D[解析] 设正方体的棱长为a cm ，则3a 2＝9，∴a ＝ 3.则正方体的体积V ＝(3)3＝33(cm 3)．5．(2014·山东菏泽高一期末测试)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )A ．2πB ．4πC ．πD ．8π[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面半径为1，高为2的圆柱的一半，其体积V ＝12×π×12×2＝π.6．将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，则该球的体积为( ) A.π6 B.2π3 C.3π2D.4π3[答案] A[解析] 将棱长为1的正方体木块切削成一个体积最大的球，球的直径应等于正方体的棱长，故球的半径为R ＝12，∴球的体积为V ＝43πR 3＝43π×(12)3＝π6.7．设α表示平面，a 、b 、l 表示直线，给出下列命题，①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥l b ⊥la ⊂αb ⊂α⇒l ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥αa ⊥b ⇒b ⊥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊄αb ⊂αa ⊥b ⇒a ⊥α； ④直线l 与平面α内无数条直线垂直，则l ⊥α.其中正确结论的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[答案] A[解析] ①错，缺a 与b 相交的条件；②错，在a ∥α，a ⊥b 条件下，b ⊂α，b ∥α，b 与 α斜交，b ⊥α都有可能；③错，只有当b 是平面α内任意一条直线时，才能得出a ⊥α，对于特定直线b ⊂α，错误；④错，l 只要与α内一条直线m 垂直，则平面内与m 平行的所有直线就都与l 垂直，又l 垂直于平面内的一条直线是得不出l ⊥α的．8．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )[答案] B[解析] (可用排除法)由正视图可把A ，C 排除，而由左视图把D 排除，故选B.9．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是，这截面把圆锥母线分为两段的比是( )A ．B ．(3－1)C ．D.3[答案] B[解析] 如图由题意可知，⊙O 1与⊙O 2面积之比为，∴半径O 1A 1与OA 之比为3，∴P A 1P A ＝13，∴P A 1AA 1＝13－1. 10．在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，过对角线BD ′的一个平面交AA ′于E 、交CC ′于F ，则以下结论中错误的是( )A ．四边形BFD ′E 一定是平行四边形B ．四边形BFD ′E 有可能是正方形C ．四边形BFD ′E 有可能是菱形D ．四边形BFD ′E 在底面投影一定是正方形 [答案] B[解析] 平面BFD ′E 与相互平行的平面BCC ′B ′及ADD ′A ′的交线BF ∥D ′E ，同理BE ∥D ′F ，故A 正确．特别当E 、F 分别为棱AA ′、CC ′中点时，BE ＝ED ′＝BF ＝FD ′，则四边形为菱形，其在底面ABCD 内的投影为正方形ABCD ，∴选B.11．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面△ABC 中，∠A ＝90°，且BC 1⊥AC ，过C 1作C 1H ⊥底面ABC ，垂足为H ，则点H 在()A ．直线AC 上B ．直线AB 上C ．直线BC 上D ．△ABC 内部[答案] B[解析]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫AC ⊥ABAC ⊥BC 1AB ∩BC 1＝B ⇒AC ⊥平面ABC 1 AC ⊂平面ABC⇒平面ABC 1⊥平面ABC ，⎭⎪⎬⎪⎫ 平面ABC 1∩平面ABC ＝AB C 1H ⊥平面ABC ⇒H 在AB 上． 12．如图1，在透明密封的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1容器内已灌进一些水，固定容器底面一边BC 于水平的地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的变化，有下列四个命题：①有水的部分始终呈棱柱形；②水面四边形EFGH 的面积不会改变； ③棱A 1D 1始终与水面EFGH 平行；④当点E 、F 分别在棱BA 、BB 1上移动时(如图2)，BE ·BF 是定值．其中正确命题的序号是( ) A ．①②③ B ．①③④ C ．③④ D ．①②[答案] B[解析] 由于BC 固定于水平地面上， ∴由左右两个侧面BEF ∥CGH ，可知①正确；又∵A 1D 1∥BC ∥FG ∥EH ，∴③正确；水的总量保持不变，总体积V ＝12BE ·BF ·BC ，∵BC 一定，∴BE ·BF 为定值，故④正确；水面四边形随着倾斜程度不同，面积随时发生变化， ∴②错．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．用斜二测画法，画得正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________． [答案] 72 [解析] 由S 直＝24S 原，得S 原＝22S 直＝22×182＝72. 14．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．[答案][解析] 设球半径为a ，则圆柱、圆锥、球的体积分别为：πa 2·2a ，13πa 2·2a ，43πa 3.所以体积之比2πa 323πa 343πa 3＝2343＝15．考察下列三个命题，在“________”处都缺少同一个条件，补上这个条件其构成真命题(其中l 、m 为不同直线，α、β为不重合平面)，则此条件为________．①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥mm ∥α ⇒l ∥α； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥βα⊥β ⇒l ∥α. [答案] l ⊄α[解析] ①体现的是线面平行的判定定理，缺的条件是“l 为平面α外的直线”，即“l ⊄α”．它同样适合②③，故填l ⊄α.16．一块正方形薄铁片的边长为4cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm 3.[答案]153π [解析] 据已知可得圆锥的母线长为4，设底面半径为r ，则2πr ＝π2·4⇒r ＝1(cm)，故圆锥的高为h ＝42－1＝15(cm)，故其体积V ＝13π·1215＝15π3(cm 3)．三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm 2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径．[解析] 圆台轴截面如图，设上、下底半径分别为x 和3x ，截得圆台的圆锥顶点为S ，在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，∴SO ＝AO ＝3x ，∴OO 1＝2x ，又轴截面积为S ＝12(2x ＋6x )·2x ＝392，∴x ＝7，∴高OO 1＝14，母线长l ＝2OO 1＝142，∴圆台高为14cm ，母线长为142cm ，两底半径分别为7cm 和21cm.18．(本题满分12分)(2014·陕西汉中市南联中学高一期末测试)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，E 为棱CC 1的中点．(1)求四棱锥E －ABCD 的体积； (2)求证：B 1D 1⊥AE ； (3)求证：AC ∥平面B 1DE .[解析] (1)V E －ABCD ＝13×1×2×2＝43.(2)∵BD ⊥AC ，BD ⊥CE ，CE ∩AC ＝C ， ∴BD ⊥平面ACE ， ∴BD ⊥AE 1，又∵BD ∥B 1D 1，∴B 1D 1⊥AE .(3)如图，取BB 1的中点F ，连接AF 、CF 、EF .则EF 綊AD ，∴四边形ADEF 为平行四边形， ∴AF ∥DE .又CF ∥B 1E ，AF ∩CF ＝F ，DE ∩B 1E ＝E ， ∴平面AFC ∥平面B 1DE ， ∴AC ∥平面B 1DE .19．(本题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC.E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于F.(1)证明P A∥平面EDB；(2)证明PB⊥平面EFD.[解析](1)如图，设AC交BD于O，连接EO.∵底面ABCD是正方形，∴点O是AC的中点．△P AC中，EO是中位线．∴P A∥EO，而EO⊂平面EDB，且P A⊄平面EDB.∴P A∥平面EDB.(2)∵PD⊥底面ABCD，且DC⊂底面ABCD，∴PD⊥DC.由PD＝DC知△PDC是等腰直角三角形，而DE是斜边PC的中线，∴DE⊥PC①又由PD⊥底面ABCD，得PD⊥BC∵底面ABCD是正方形，有DC⊥BC，∴BC⊥平面PDC，而DE⊂面PDC，∴BC⊥DE②由①和②推得DE⊥平面PBC，而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB又EF⊥PB且DE∩EF＝F，所以PB⊥平面EFD.20．(本题满分12分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是AA1、AC的中点．(1)求证：MN ∥平面BCD 1A 1； (2)求证：MN ⊥C 1D ； (3)求VD －MNC 1.[解析] (1)连接A 1C ，在△AA 1C 中，M 、N 分别是AA 1、AC 的中点，∴MN ∥A 1C .又∵MN ⊄平面BCA 1D 1且A 1C ⊂平面BCD 1A 1， ∴MN ∥平面BCD 1A 1.(2)∵BC ⊥平面CDD 1C 1，C 1D ⊂平面CDD 1C 1， ∴BC ⊥C 1D .又在平面CDD 1C 1中，C 1D ⊥CD 1，BC ∩CD 1＝C ， ∴C 1D ⊥平面BCD 1A 1，又∵A 1C ⊂平面BCD 1A 1，∴C 1D ⊥A 1C ，又∵MN ∥A 1C ，∴MN ⊥C 1D . (3)∵A 1A ⊥平面ABCD ，∴A 1A ⊥DN ，又∵DN ⊥AC ，∴DN ⊥平面ACC 1A 1， ∴DN ⊥平面MNC 1.∵DC ＝2，∴DN ＝CN ＝2，∴NC 21＝CC 21＋CN 2＝6， MN 2＝MA 2＋AN 2＝1＋2＝3，MC 21＝A 1C 21＋MA 21＝8＋1＝9， ∴MC 21＝MN 2＋NC 21，∴∠MNC 1＝90°， ∴S △MNC 1＝12MN ·NC 1＝12×3×6＝322，∴VD －MNC 1＝13·DN ·S △MNC 1＝13·2·322＝1.21．(本题满分12分)(2014·山东文，18)如图，四棱锥P －ABCD 中，AP ⊥平面PCD ，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝12AD ，E 、F 分别为线段AD 、PC 的中点．(1)求证：AP ∥平面BEF ； (2)求证：BE ⊥平面P AC .[解析] (1)证明：如图所示，连接AC 交BE 于点O ，连接OF .∵E 为AD 中点，BC ＝12AD ，AD ∥BC ，∴四边形ABCE 为平行四边形． ∴O 为AC 的中点，又F 为PC 中点， ∴OF ∥AP .又OF ⊂面BEF ，AP ⊄面BEF ， ∴AP ∥面BEF .(2)由(1)知四边形ABCE 为平行四边形．又∵AB ＝BC ，∴四边形ABCE 为菱形． ∴BE ⊥AC .由题意知BC 綊12AD ＝ED ，∴四边形BCDE 为平行四边形． ∴BE ∥CD .又∵AP ⊥平面PCD ， ∴AP ⊥CD . ∴AP ⊥BE . 又∵AP ∩AC ＝A ， ∴BE ⊥面P AC .22．(本题满分14分)(2014·广东文，18)如图1，四边形ABCD 为矩形，PD ⊥平面ABCD ，AB ＝1，BC ＝PC ＝2，作如图2折叠，折痕EF ∥DC .其中点E 、F 分别在线段PD 、PC 上，沿EF 折叠后点P 在线段AD 上的点记为M ，并且MF ⊥CF.(1)证明：CF ⊥平面MDF ；(2)求三棱锥M －CDE 的体积．[解析] (1)如图PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PCD ，∴平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，MD ⊂平面ABCD ，MD ⊥CD ，∴MD ⊥平面PCD ， CF ⊂平面PCD ，∴CF ⊥MD ，又CF ⊥MF ，MD ，MF ⊂平面MDF ，MD ∩MF ＝M ， ∴CF ⊥平面MDF .(2)∵CF ⊥平面MDF ，∴CF ⊥DF ，又易知∠PCD ＝60°，∴∠CDF ＝30°，从而CF ＝12CD ＝12，∵EF ∥DC ，∴DE DP ＝CF CP ，即DE 3＝122，∴DE ＝34， ∴PE ＝334，S △CDE ＝12CD ·DE ＝38， MD ＝ME 2－DE 2＝PE 2－DE 2 ＝(334)2－(34)2＝62， ∴V M －CDE ＝13S △CDE ·MD ＝13×38×62＝216.。

【成才之路】2014-2015年度学年高级中学数学(人教A版,选择进修2-2)理解练习-2章末综合检测]

第二章综合检测时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．观察数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…的特点，按此规律，则第100项为( )A．10 B．14C．13 D．100[答案]　B[解析]　设n∈N*，则数字n共有n个，所以≤100即n(n＋1)≤200，又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.2．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误 D．不是以上错误[答案]　C[解析]　大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)时，验证n＝1，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4[答案]　D[解析]　当n＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋3＋4，故应选D.4．(2012·福建南安高二期末)下列说法正确的是( )A．“a<b”是“am2<bm2”的充要条件B．命题“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1≤0”C．“若a、b都是奇数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a、b不都是奇数”D．若p∧q为假命题，则p、q均为假命题[答案]　C[解析]　A中“a<b”是“am2<bm2”的必要不充分条件，故A错；B中“∀x∈R，x3－x2－1≤0”的否定是“∃x∈R，x3－x2－1>0”，故B错；C正确；D中p∧q为假命题，则p、q中至少有一个为假命题，故D错．5．(2014·东北三校模拟) 下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )A．6＋6·7k B．2＋7k－1C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)[答案]　D[解析]　特值法：当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除，故选D.证明如下：当k＝1时，已验证结论成立，假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.∵3(2＋7n)能被9整除，36能被9整除，∴21(2＋7n)－36能被9整除，这就是说，k＝n＋1时命题也成立．故命题对任何k∈N*都成立．6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，则( )A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋[答案]　D[解析]　项数为n2－(n－1)＝n2－n＋1，故应选D.7．已知a＋b＋c＝0，则ab＋bc＋ca的值( )A．大于0 B．小于0C．不小于0 D．不大于0[答案]　D[解析]　解法1：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－≤0.解法2：令c＝0，若b＝0，则ab＋bc＋ac＝0，否则a、b异号，∴ab ＋bc＋ac＝ab＜0，排除A、B、C，选D.8．已知c＞1，a＝－，b＝－，则正确的结论是( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a、b大小不定[答案]　B[解析]　a＝－＝，b＝－＝，因为>>0，>>0，所以＋>＋>0，所以a<b.9．定义一种运算“*”；对于自然数n满足以下运算性质：( )(i)1]B.n＋1C．n－1 D．n2[答案]　A[解析]　令a n＝n*1，则由(ii)得，a n＋1＝a n＋1，由(i)得，a1＝1，∴{a n}是首项a1＝1，公差为1的等差数列，∴a n＝n，即n*1＝n，故选A.10．(2013·济宁梁山一中高二期中)已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为( )A． B．C．2 D．[答案]　B[解析]　由f′(x)的图象知，f′(x)＝2x＋2，设f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，∴f(x)＝x2＋2x，由x2＋2x＝0得x＝0或－2.故所求面积S＝－－2(x2＋2x)dx＝＝.11．已知1＋2×3＋3×32＋4×32＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，那么a、b、c的值为( )A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c[答案]　A[解析]　令n＝1、2、3，得所以a＝，b＝c＝.12．设函数f(x)定义如下表，数列{x n}满足x0＝5，且对任意的自然数均有x n＋1＝f(x n)，则x2011＝( )x12345f(x)41352A.1 B．2C．4 D．5[答案]　C[解析]　x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，数列{x n}是周期为4的数列，所以x2011＝x3＝4，故应选C.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_____________________________________________________.[答案]　在四面体A－BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)14．(2013·安阳中学高二期末)设函数f(x)＝(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝，f3(x)＝f(f2(x))＝，f4(x)＝f(f3(x))＝，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，f n(x)＝f(f n－1(x))＝________.[答案]　[解析]　观察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表达式可见，f n(x)的分子为x，分母中x的系数比常数项小1，常数项依次为2,4,8,16……2n.故f n(x)＝.14．(2014·厦门六中高二期中)在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按如图所标边长，由勾股定理有c2＝a2＋b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O－LMN，如果用S1、S2、S3表示三个侧面面积，S表示截面面积，那么类比得到的结论是________．[答案]　S2＝S＋S＋S[解析]　类比如下：正方形↔正方体；截下直角三角形↔截下三侧面两两垂直的三棱锥；直角三角形斜边平方↔三棱锥底面面积的平方；直角三角形两直角边平方和↔三棱锥三个侧面面积的平方和，结论S2＝S＋S＋S.证明如下：如图，作OE⊥平面LMN，垂足为E，连接LE并延长交MN于F，∵LO⊥OM，LO⊥ON，∴LO⊥平面MON，∵MN⊂平面MON，∴LO⊥MN，∵OE⊥MN，∴MN⊥平面OFL，∴S△OMN＝MN·OF，S△MNE＝MN·FE，S△MNL＝MN·LF，OF2＝FE·FL，∴S＝(MN·OF)2＝(MN·FE)·(MN·FL)＝S△MNE·S△MNL，同理S＝S△MLE·S△MNL，S＝S△NLE·S△MNL，∴S＋S＋S＝(S△MNE＋S△MLE＋S△NLE)·S△MNL＝S，即S＋S＋S＝S2.16．(2014·洛阳部分重点中学教学检测)观察下列等式：×＝1－，×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，……，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝________.[答案]　1－[解析]　由已知中的等式：×＝1－×＋×＝1－，×＋×＋×＝1－，…，所以对于n∈N*，×＋×＋…＋×＝1－.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)已知：a、b、c∈R，且a＋b＋c＝1.求证：a2＋b2＋c2≥.[证明]　由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，即a2＋b2＋c2≥.18．(本题满分12分)设n∈N＋，用归纳推理猜想的值．[解析]　记f(n)＝，则f(1)＝＝3，f(2)＝＝＝33，f(3)＝＝＝333.猜想f(n)＝333….[点评]　f(n)＝333…可证明如下：∵111…＝(102n－1)，222…＝(10n－1)，令10n＝x>1，则f(n)＝＝＝(x－1)＝(10n－1)，即f(n)＝33….19．(本题满分12分)(2013·华池一中高二期中)在圆x2＋y2＝r2(r>0)中，AB为直径，C为圆上异于A、B的任意一点，则有k AC·k BC＝－1.你能用类比的方法得出椭圆＋＝1(a>b>0)中有什么样的结论？并加以证明．[解析]　类比得到的结论是：在椭圆＋＝1(a>b>0)中，A、B分别是椭圆长轴的左右端点，点C(x，y)是椭圆上不同于A、B的任意一点，则k AC·k BC＝－证明如下：设A(x0，y0)为椭圆上的任意一点，则A关于中心的对称点B的坐标为B(－x0，－y0)，点P(x，y)为椭圆上异于A，B两点的任意一点，则k AP·k BP＝·＝.由于A、B、P三点在椭圆上，∴两式相减得，＋＝0，∴＝－，即k AP·k BP＝－.故在椭圆＋＝1(a>b>0)中，长轴两个端点为A、B、P为异于A、B的椭圆上的任意一点，则有k AB·k BP＝－.20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝a x＋(a>1)．(1)证明：函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)＝0没有负数根．[解析]　(1)证法1：任取x1、x2∈(－1，＋∞)，不妨设x1<x2，则x2－x1>0，ax2－x1>1且ax1>0，∴ax2－ax1＝ax1(ax2－x1－1)>0，又∵x1＋1>0，x2＋1>0，∴－＝＝>0，于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，故函数f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．证法2：f′(x)＝a x ln a＋＝a x ln a＋∵a>1，∴ln a>0，∴a x ln a＋>0，f′(x)>0在(－1，＋∞)上恒成立，即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．(2)解法1：设存在x0<0(x0≠－1)满足f(x0)＝0，则ax0＝－，且0<ax0<1.∴0<－<1，即<x0<2，与假设x0<0矛盾．故方程f(x)＝0没有负数根．解法2：设x0<0(x0≠－1)，①若－1<x0<0，则<－2，ax0<1，∴f(x0)<－1.②若x0<－1则>0，ax0>0，∴f(x0)>0.综上，x<0(x≠－1)时，f(x)<－1或f(x)>0，即方程f(x)＝0无负数根．21．(本题满分12分)(2014·哈六中期中)已知函数f(x)＝(x－2)e x－x2＋x＋2.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)证明：当x≥1时，f(x)>x3－x.[解析]　(1)f′(x)＝(x－1)(e x－1)，当x＜0或x＞1时，f′(x)＞0，当0＜x＜1时，f′(x)＜0，∴f(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝0，当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－e.(2)设g(x)＝f(x)－x3＋x，则g′(x)＝(x－1)(e x－－)，令u(x)＝e x－－，则u′(x)＝e x－，当x≥1时，u′(x)＝e x－>0，u(x)在[1，＋∞)上单调递增，u(x)≥u(1)＝e－2>0，所以g′(x)＝(x－1)(e x－－)≥0，g(x)＝f(x)－x3＋x在[1，＋∞)上单调递增．g(x)＝f(x)－x3＋x≥g(1)＝－e>0，所以f(x)>x3－x.22．(本题满分14分)设数列a1，a2，…a n，…中的每一项都不为0.证明{a n}为等差数列的充分必要条件是：对任何n∈N＋，都有＋＋…＋＝.[分析]　本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力．解题思路是利用裂项求和法证必要性，再用数学归纳法或综合法证明充分性．[证明]　先证必要性．设数列{a n}的公差为d.若d＝0，则所述等式显然成立．若d≠0，则＋＋…＋＝＝＝＝＝.再证充分性．证法1：(数学归纳法)设所述的等式对一切n∈N＋都成立．首先，在等式＋＝两端同乘a1a2a3，即得a1＋a3＝2a2，所以a1，a2，a3成等差数列，记公差为d，则a2＝a1＋d.假设a k＝a1＋(k－1)d，当n＝k＋1时，观察如下两个等式＋＋…＋＝，①＋＋…＋＋＝②将①代入②，得＋＝，在该式两端同乘a1a k a k＋1，得(k－1)a k＋1＋a1＝ka k.将a k＝a1＋(k－1)d代入其中，整理后，得a k＋1＝a1＋kd.由数学归纳法原理知，对一切n∈N，都有a n＝a1＋(n－1)d，所以{a n}是公差为d的等差数列．证法2：(直接证法)依题意有＋＋…＋＝，①＋＋…＋＋＝. ②②－①得＝－，在上式两端同乘a1a n＋1a n＋2，得a1＝(n＋1)a n＋1－na n＋2. ③同理可得a1＝na n－(n－1)a n＋1(n≥2) ④③－④得2na n＋1＝n(a n＋2＋a n)即a n＋2－a n＋1＝a n＋1－a n，由证法1知a3－a2＝a2－a1，故上式对任意n∈N*均成立．所以{a n}是等差数列．1．已知数列，，2，，…，则2是这个数列的( )A．第6项 B．第7项C．第19项 D．第11项[答案]　B[解析]　，，，，…，而2＝，可见各根号内被开方数构成首项为2，公差为3的等差数列，由20＝2＋(n－1)×3得n＝7.2．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两名是对的，则获奖的歌手是__________________．[答案]　丙[解析]　若甲获奖，则甲、乙、丙、丁说的都是错的，同理可推知乙、丙、丁获奖的情况，最后可知获奖的歌手是丙．3．(1)由“若a、b、c∈R，则(ab)c＝a(bc)”类比“若a、b、c为三个向量，则(a·b)c＝a(b·c)”；(2)在数列{a n}中，a1＝0，a n＋1＝2a n＋2，猜想a n＝2n－2；(3)“在平面内，三角形的两边之和大于第三边”类比“在空间中，四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；上述三个推理中结论正确的序号为________．[答案]　②③[解析]　(a·b)c＝a(b·c)不一定成立，其左边为平行于c的向量，右边为平行于a的向量，即命题(1)不正确；由a1＝0，a n＋1＝2a n＋2可得a n＋1＋2＝2(a n＋2)，则数列{a n＋2}是首项为2，公比为2的等比数列，a n＋2＝2n，即a n＝2n－2，命题(2)正确；(3)正确，可结合三个侧面在底面上的射影去证明；综上可得正确的结论为(2)(3)．4．若x>0，y>0，用分析法证明：(x2＋y2)>(x3＋y3).[证明]　要证(x2＋y2)>(x3＋y3)，只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3y4x2>2x3y3.又因为x>0，y>0，所以x2y2>0，故只需证3x2＋3y2>2xy.而3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy成立，所以(x2＋y2)>(x3＋y3)成立．5．已知a是正整数，且a3是偶数，求证：a也是偶数．[分析]　已知a3的奇偶性研究a的奇偶性，不易直接证明，但如果已知a的奇偶性研究a3的奇偶性则较容易证明，故可用反证法．[证明]　假设a不是偶数，则a必为奇数，设a＝2k＋1(k∈N)，则a3＝(2k＋1)3＝8k3＋12k2＋6k＋1＝2(4k3＋6k2＋3k)＋1，由于k∈N，所以4k2＋6k2＋3k∈N，故2(4k3＋6k2＋3k)是偶数，2(4k3＋6k2＋3k)＋1为奇数，即a3为奇数，这与a3是偶数相矛盾．故假设不正确，即a也是偶数．6．我们知道，在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则△ABC是直角三角形．现在请你研究：若c n＝a n＋b n(n＞2)，问△ABC为何种三角形？为什么？[解析]　锐角三角形　∵c n＝a n＋b n(n＞2)，∴c＞a, c＞b，由c是△ABC的最大边，所以要证△ABC是锐角三角形，只需证角C为锐角，即证cos C＞0.∵cos C＝，∴要证cos C＞0，只要证a2＋b2＞c2，①注意到条件：a n＋b n＝c n，于是将①等价变形为：(a2＋b2)c n－2＞c n. ②∵c＞a，c＞b，n＞2，∴c n－2＞a n－2，c n－2＞b n－2，即c n－2－a n－2＞0，c n－2－b n－2＞0，从而(a2＋b2)c n－2－c n＝(a2＋b2)c n－2－a n－b n＝a2(c n－2－a n－2)＋b2(c n－2－b n－2)＞0，这说明②式成立，从而①式也成立．故cos C＞0，C是锐角，△ABC为锐角三角形．。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版)选修2-1练习题：2章-反馈练习题]

反馈练习一、选择题1．椭圆x 29＋y 2k 2＝1与双曲线x 2k －y 23＝1有相同的焦点，则k 应满足的条件是( )A ．k >3B ．2<k <3C ．k ＝2D ．0<k <2[答案] C [解析] k >0，c ＝9－k 2＝k ＋3，∴k ＝2.2．已知动圆P 过定点A (－3,0)，并且与定圆B ：(x －3)2＋y 2＝16外切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．线段B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] 设动圆P 和定圆B 外切于M ，则动圆的圆心P 到两点A (－3,0)和B (3,0)的距离之差恰好等于定圆半径，即|PB |－|P A |＝4，∴点P 的轨迹是以A 、B 为焦点的双曲线的左支，故选B.[点评] 求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．||PF 1|－|PF 2||＝2a <|F 1F 2|(a >0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0<2a <|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．3．与抛物线x 2＝4y 关于直线x ＋y ＝0对称的抛物线的焦点坐标是( ) A ．(1,0) B ．(116，0)C ．(－1,0)D ．(0，－116)[答案] C[解析] x 2＝4y 关于x ＋y ＝0，对称的曲线为y 2＝－4x ，其焦点为(－1,0)．4．已知点P 是抛物线y 2＝－8x 上一点，设P 到此抛物线准线的距离是d 1，到直线x ＋y －10＝0的距离是d 2，则d 1＋d 2的最小值是( )A. 3 B ．2 3 C ．6 2 D ．3 [答案] C[解析] 抛物线y 2＝－8x 的焦点F (－2,0)，根据抛物线的定义知，d 1＋d 2＝|PF |＋d 2，显然当由点F 向直线x ＋y －10＝0作垂线与抛物线的交点为P 时，d 1＋d 2取到最小值，即|－2＋0－10|2＝6 2. 5．(2014·吉林省实验中学一模)如图，F 1、F 2是双曲线C 1：x 2－y 23＝1与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1、C 2在第一象限的公共点，若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是()A.13 B ．23C.23或25 D ．25[答案] B[解析] 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得，|AF 1|＝|F 1F 2|＝2c ＝21＋3＝4，∴c ＝2，|AF 1|－|AF 2|＝2，∴|AF 2|＝2，∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝6，∴a ＝3，∴e ＝c a ＝23.6．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c,0)和(c,0)，若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B ．22C ．14D ．12[答案] D[解析] 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝m 2＋n 2，c 2＝am ，2n 2＝2m 2＋c 2.解得c 2a 2＝14，∴e ＝c a ＝12.7．(2014·山东省烟台市期末)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2相切，则此双曲线的离心率等于( )A ．2B ．3 C. 6 D ．9[答案] B[解析] 由题意双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝ba x ，代入抛物线方程y ＝x 2＋2整理得x 2－bax ＋2＝0，因渐近线与抛物线相切，∴Δ＝(－ba )2－8＝0，即(b a )2＝8，∴此双曲线的离心率e ＝c a＝1＋(ba)2＝1＋8＝3.故选B.8．已知椭圆2x 2＋y 2＝2的两个焦点为F 1，F 2，且B 为短轴的一个端点，则△F 1BF 2的外接圆方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．(x －1)2＋y 2＝4C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋(y －1)2＝4[答案] A[解析] 椭圆的焦点为F 1(0,1)，F 2(0，－1)，短轴的一个端点为B (1,0)，可知BF 1⊥BF 2，于是△F 1BF 2的外接圆是以原点为圆心，以1为半径的圆，其方程为x 2＋y 2＝1.9．双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1、F 2分别为它的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8[答案] A[解析] ∵c a ＝62，2b ＝4，∴a 2＝8，a ＝22，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝42， |BF 2|－|BF 1|＝2a ＝42，两式相加得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝82，又∵|AF 2|＋|BF 2|＝2|AB |，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |， ∴|AB |＝8 2.10. (2014·武汉市调研)如图，半径为2的半圆有一内接梯形ABCD ，它的下底AB 是⊙O 的直径，上底CD 的端点在圆周上．若双曲线以A ，B 为焦点，且过C 、D 两点，则当梯形ABCD 的周长最大时，双曲线的实轴长为( )A.3＋1 B ．23＋2 C.3－1 D ．23－2[答案] D[解析] 连接AC 、OC ，过D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，由题意知，梯形ABCD 为等腰梯形．设∠CAB ＝α，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝4，∴∠ACB 为直角，∴AC ＝4cos α，BC ＝4sin α，AE ＝AD cos ∠DAE ＝BC cos ∠CBA ＝4sin α·sin ∠CAB ＝4sin 2α，∴CD ＝2(AO －AE )＝4(1－2sin 2α)，∴梯形的周长l ＝AB ＋2BC ＋CD ＝4＋8sin α＋4(1－2sin 2α)＝－8sin 2α＋8sin α＋8＝－8(sin α－12)2＋10，显然当sin α＝12时，周长l 取最大值，∵α为锐角，∴cos α＝32，此时2a ＝CA －CB ＝4cos α－4sin α＝23－2，故选D.11．在同一坐标系中，方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0(a >b >0)的曲线大致是( )[答案] D[解析] 解法一：将方程a 2x 2＋b 2y 2＝1与ax ＋by 2＝0转化为标准方程x 21a 2＋y 21b 2＝1，y 2＝－a b x .因为a >b >0，因此1b >1a>0. 所以有椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左．解法二：将方程ax ＋by 2＝0中的y 换成－y ，其结果不变，即说明ax ＋by 2＝0的图象关于x 轴对称，排除B 、C ，又椭圆的焦点在y 轴，排除A.12．B 地在A 地的正东方向4km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地运转货物．经测算，从M 到B 、C 两地修建公路的费用都是a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是( )A ．(7＋1)a 万元B ．(27－2)a 万元C ．27a 万元D ．(7－1)a 万元[答案] B[解析] 设总费用为y 万元，则y ＝a ·(MB ＋MC )∵河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2km ， ∴曲线PQ 是双曲线的一支，B 为焦点，且a ＝1，c ＝2. 由双曲线定义，得MA －MB ＝2a ，即MB ＝MA －2， ∴y ＝a ·(MA ＋MC －2)≥a ·(AC －2)．以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，则A (－2,0)，C (3，3)． ∴AC ＝(3＋2)2＋(3)2＝27，故y ≥(27－2)a (万元)．二、填空题13．直线y ＝kx ＋1(k ∈R )与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围为________．[答案] m ≥1且m ≠5[解析] 将y ＝kx ＋1代入椭圆方程，消去y 并整理，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5－5m ＝0. 由m >0,5k 2≥0，知m ＋5k 2>0，故△＝100k 2－4(m ＋5k 2)(5－5m )≥0对k ∈R 恒成立．即5k 2≥1－m 对k ∈R 恒成立，故 1－m ≤0，∴m ≥1.又∵m ≠5，∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.14．已知长方形ABCD ，AB ＝4，BC ＝3，则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的双曲线的离心率为________．[答案] 2[解析] ∵AB ＝2c ＝4，∴c ＝2.∵AB ＝4，BC ＝3，∠ABC ＝90°，∴AC ＝5， ∴2a ＝CA －CB ＝2，∴a ＝1，∴e ＝ca＝2.15．(2014·长春市调研)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，设|F A |>|FB |，则|F A ||FB |＝________. [答案] 3＋2 2[解析] 抛物线y 2＝4x 的焦点F (1,0)，过F 斜率为1的直线方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x ，消去y 得x 2－6x ＋1＝0，求得x 1＝3＋22，x 2＝3－22，故由抛物线的定义可得|F A ||FB |＝x 1＋1x 2＋1＝3＋2 2.16．椭圆mx 2＋ny 2＝1与直线l ：x ＋y ＝1交于M 、N 两点，过原点与线段MN 中点的直线斜率为22，则mn＝________. [答案]22[解析] 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，∴mx 21＋ny 21＝1 ① mx 22＋ny 22＝1②又y 2－y 1x 2－x 1＝－1，∴①－②得：m －n ·y 1＋y 2x 1＋x 2＝0， ∵y 1＋y 2x 1＋x 2＝y 1＋y 22－0x 1＋x 22－0＝22，∴m ＝22n ，∴m n ＝22.三、解答题17．已知抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一个焦点，并且这条准线与双曲线的两焦点的连线垂直，抛物线与双曲线交点为P (32，6)，求抛物线方程和双曲线方程．[解析] 依题意，设抛物线方程为y 2＝2px ，(p >0)， ∵点(32，6)在抛物线上，∴6＝2p ×32，∴p ＝2，∴所求抛物线方程为y 2＝4x . ∵双曲线左焦点在抛物线的准线x ＝－1上， ∴c ＝1，即a 2＋b 2＝1，又点(32，6)在双曲线上，∴94a 2－6b2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，94a 2－6b2＝1.解得a 2＝14，b 2＝34.∴所求双曲线方程为4x 2－43y 2＝1.18．已知抛物线y 2＝4x ，椭圆x 29＋y 2m＝1，它们有共同的焦点F 2，并且相交于P 、Q 两点，F 1是椭圆的另一个焦点，试求：(1)m 的值； (2)P 、Q 两点的坐标； (3)△PF 1F 2的面积．[解析] (1)∵抛物线方程为y 2＝4x ，∴2p ＝4， ∴p2＝1， ∴抛物线焦点F 2的坐标为(1,0)，它也是椭圆的右焦点，在椭圆中，c ＝1，a 2＝9＝b 2＋c 2，∴9＝m ＋1，∴m ＝8.(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x ，x 29＋y 28＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝32，y ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－ 6.∴点P 、Q 的坐标为(32，6)、(32，－6)．(3)点P 的纵坐标6就是△PF 1F 2的边F 1F 2上的高， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|·|y p |＝12×2×6＝ 6.19．设双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0)与直线l ：x ＋y ＝1相交于两个不同的点A 、B ，求双曲线C 的离心率的取值范围．[解析] 由C 与l 相交于两个不同点，故知方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2＝1，x ＋y ＝1有两组不同的实根，消去y 并整理得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0.①所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)>0，解得0<a <2，且a ≠1.双曲线的离心率e ＝1＋a 2a＝1a 2＋1，因为0<a <2且a ≠1. 所以e>62，且e ≠ 2. 即离心率e 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞)． 20．(2014·浙北名校联盟联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点P (1，32)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过F 1的直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，问在椭圆C 上是否存在一点M ，使四边形AMBF 2为平行四边形，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．[解析] (1)∵c ＝1，1a 2＋94b 2＝1，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，b ＝3，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)假设存在符合条件的点M (x 0，y 0)，设直线l 的方程为x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，3x 2＋4y 2＝12，消去x 得：(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0，由条件知Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝6m3m 2＋4，∴AB 的中点为(－43m 2＋4，3m 3m 2＋4)， ∵四边形AMBF 2为平行四边形， ∴AB 的中点与MF 2的中点重合，即⎩⎨⎧x 0＋12＝－43m 2＋4，y 02＝3m3m 2＋4.∴M (－3m 2＋123m 2＋4，6m3m 2＋4)，把点M 的坐标代入椭圆C 的方程得：27m 4－24m 2－80＝0，解得m 2＝209，∴存在符合条件的直线l ，其方程为：y ＝±3510(x ＋1)．21．如图是抛物线形拱桥，设水面宽|AB |＝18m ，拱顶离水面的距离为8m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若矩形的长|CD |＝9m ，那么矩形的高|DE |不能超过多少m 才能使船通过拱桥？[解析] 如图，以O 点为原点，过O 且平行于AB 的直线为x 轴，以线段AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．则B (9，－8)，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．∵点B 在抛物线上，∴81＝－2p ·(－8)， ∴p ＝8116，∴抛物线的方程为x 2＝－818y ，∴当x ＝92时，y ＝－2，∴|DE |＝6，∴当矩形的高|DE |不超过6m 时，才能使船通过拱桥．22．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .(1)求k 的取值范围；(2)设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OP →＋OQ →与AB →共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．[解析] (1)由已知条件，直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.∵直线l 与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2>0，解得k <－22或k >22.【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A 版)选修2-1练习题：2章-反馈练习题] 11 / 11 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞. (2)设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则OP →＋OQ →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝－42k 1＋2k 2. 又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋22＝221＋2k 2. 又A (2，0)，B (0,1)，∴AB →＝(－2，1)．∵OP →＋OQ →与AB →共线，∴x 1＋x 2＝－2(y 1＋y 2)， ∴－42k 1＋2k 2＝－2×221＋2k 2，解得k ＝22. 由(1)知k <－22或k >22，故没有符合题意的常数k .。

成才之路高中数学人教B,选修22练习：第2课时

第一章 1.4 第2课时一、选择题1．(2014·陕西理，3)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1[答案] C[解析] 本题考查定积分的计算、微积分基本定理． ⎠⎛01(2x ＋e x)d x ＝(x 2＋e x )|10＝1＋e －1＝e. 2．下列各式中，正确的是( ) A.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f ′(b )－f ′(a )B.⎠⎛a b f ′(x )d x ＝f ′(a )－f ′(b )C.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f (b )－f (a ) D.⎠⎛ab f ′(x )d x ＝f (a )－f (b )[答案] C[解析] 要分清被积函数和原函数．3．已知自由落体的运动速度v ＝gt (g 为常数)，则当t ∈[1,2]时，物体下落的距离为( ) A.12g B ．g C.32g D ．2g[答案] C[解析] 物体下落的距离s ＝⎠⎛12gt d t ＝12gt 2| 21＝32g .故选C. 4．(2013·华池一中高二期中)⎠⎛122x d x 等于( )A ．6B ．5C ．4D ．3[答案] D[解析] ⎠⎛122x d x ＝x 2|21＝3.5．(2013·景德镇市高二质检)若曲线y ＝x 与直线x ＝a 、y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则正实数a 为( )A.49 B ．59C.43 D ．53[答案] A[解析] 由题意知，⎠⎛0a x d x ＝a 2，∵(23x 32 )′＝x 12 ，∴⎠⎛0a x d x ＝23x 32 |a 0＝23a 32 ， ∴23a 32 ＝a 2，∴a ＝49. 6．曲线y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.52 D ．3[答案] D[解析] 由y ＝cos x 图象的对称性可知， y ＝cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤3π2与坐标轴所围面积是3cos x d x ＝＝3.故选D.7．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．2－ 3 C.323 D ．353[答案] C[解析] ⎠⎛－31 (3－x 2－2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫3x －13x 3－x 2| 1－3＝323.故选C.8.⎠⎛03|x 2－4|d x ＝( )A.213 B ．223C.233 D ．253[答案] C[解析] ⎠⎛03|x 2－4|d x ＝⎠⎛02(4－x 2)d x ＋⎠⎛23(x 2－4)d x＝⎝⎛⎭⎫4x －13x 3| 20＋⎝⎛⎭⎫13x 3－4x | 32＝233 .故选C. 二、填空题 9．[答案] 12(e －1)[解析]10．如图，阴影部分面积用定积分表示为________．[答案] ⎠⎛13(f (x )－g (x ))d x11.从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________．[答案] 13[解析] 长方形的面积为S 1＝3，S 阴＝⎠⎛013x 2d x ＝x 3| 10＝1，则P ＝S 阴S 1＝13.三、解答题 12．求下列定积分．(1)⎠⎛121x d x ；(2)⎠⎛01x 3d x ；(3)⎠⎛－11 e x d x . [解析] (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛121xd x ＝ln x | 21＝ln2－ln1＝ln2.(2)∵⎝⎛⎭⎫14x 4′＝x 3，∴⎠⎛01x 3d x ＝14x 4| 10＝14. (3)∵(e x )′＝e x ，∴⎠⎛－11e x d x ＝e x| 1－1＝e －1e.一、选择题1．(2014·江西理，8)若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1[答案] B[解析] 本题考查定积分的求法．根据题设条件可得⎠⎛1f (x )d x ＝－x 33|10＝－13. 2．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.712[答案] A[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S ＝⎠⎛01(x 2－x 3)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13x 3－14x 410＝112.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x <1)2－x (1<x ≤2)，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34 B ．45C.56 D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ，取F 1(x )＝13x 3，F 2(x )＝2x －12x 2，则F ′1(x )＝x 2，F ′2(x )＝2－x ，∴⎠⎛02f (x )d x ＝F 1(1)－F 1(0)＋F 2(2)－F 2(1)＝13－0＋2×2－12×22－⎝⎛⎭⎫2×1－12×12＝56.故选C.4．(2013·江西理，6)若S 1＝⎠⎛12x 2dx ，S 2＝⎠⎛121x dx ，S 3＝⎠⎛12e x dx ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 1[答案] B [解析] S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝x 33|21＝73. S 2＝⎠⎛121xd x ＝ln x |21＝ln2－ln1＝ln2. S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x |21＝e 2－e ＝e(e －1)．∵e>2.7，∴S 3>3>S 1>S 2.故选B. 二、填空题5.⎠⎛－11 (x 2＋sin x )dx ＝________.[答案] 23[解析] 本题考查了定积分的知识，由于⎠⎛－11 (x 2＋sin x )d x ＝⎪⎪(13x 3－cos x )1－1＝13－cos1－(－13－cos1)＝23，定积分在高考题中题目较为简单，要熟练记住一些函数的导数与积分式．6．已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)、B (12，5)、C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[答案] 54[解析] 本题考查待定系数法与定积分的计算．设直线为y ＝kx ＋b ，代入点B 的坐标，∴y ＝10x . 代入B ，C 两点的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧5＝12k ＋b0＝k ＋b ，∴k ＝－10，b ＝10.∴y ＝⎩⎨⎧10x (0≤x ≤12)－10x ＋10(12<x ≤1) ，∴f (x )＝⎩⎨⎧10x 2 (0≤x ≤12)－10x 2＋10x(12<x ≤1).定积分的几何意义即曲边梯形的面积．7．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．[答案] c <a <b[解析] a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3| 20＝83；b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4| 20＝4；c ＝⎠⎛02sin x d x ＝－cos x | 20＝1－cos2＜2.∴c ＜a ＜b .三、解答题8．一辆汽车的速度—时间曲线如图所示，求汽车在这1min 内所行驶的路程．[解析] 由速度—时间曲线易知， v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧3t t ∈[0，10)，30 t ∈[10，40)，－1.5t ＋90 t ∈[40，60].由变速直线运动的路程表达式可得取H (t )＝3t 22，F (t )＝30t ，G (t )＝－34t 2＋90t ，则H ′(t )＝3t ，F ′(t )＝30，G ′(t )＝－1.5t ＋90. 从而s ＝∫1003t d t ＋⎠⎛104030d t ＋⎠⎛4060(－1.5t ＋90)d t＝H (10)－H (0)＋F (40)－F (10)＋G (60)－G (40) ＝1350(m)．答：该汽车在这1min 内所行驶的路程是1350m. 9．(1)已知f (a )＝⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值；(2)已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c的值．[解析] (1)因为⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，所以⎠⎛01(2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2| 1＝23a －12a 2. 所以f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29. 所以当a ＝23时，f (a )有最大值29.(2)∵f (－1)＝2，f ′(0)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝2b ＝0 ①而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋bx ＋c )d x ，取F (x )＝13ax 3＋12bx 2＋cx ，则F ′(x )＝ax 2＋bx ＋c .∴⎠⎛01f (x )d x ＝F (1)－F (0)＝13a ＋12b ＋c ＝－2②解①②得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-2课件：2.2 第1课时综合法与分析法( 2014高考)

[答案] A
[解析] 该证明方法符合综合法的定义，应选A.
1-2 第二章
2.2 第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 选修1-1
1-2
3．若 P＝ a＋ a＋7，Q＝ a＋3＋ a＋4(a≥0)，则 P、 Q 的大小关系是( A．P>Q C．P<Q
[答案] C
1-2
已知a、b 、c∈R＋，求证： (ab ＋a ＋b ＋ 1)(ab ＋ac ＋ bc ＋ c2)≥16abc.
[证明] ∵a、b、c∈R ，∴a＋1≥2 a，b＋1≥2 b， a＋c≥2 ac，b＋c≥2 bc， ∴(a＋1)(b＋1)≥4 ab，(a＋c)(b＋c)≥4 abc2. 因此当 a、b、c∈R＋时，有(ab＋a＋b＋1)(ab＋ac＋bc＋ c2)≥16abc.
1-2 第二章
2.2 第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 选修1-1
1-2
结论出发，根据已知的条件或______ 1.直接证明是从命题的______ 定义、 ______ 公理、 ______ 定理，直接推证结论的真实性．常用的 ______ 综合法与________ 分析法．直接证明方法有________
(2)综合法的推证过程：命题的条件 ⇒ 结论A ⇒ 结论B ⇒„⇒ 命题的结论
1-2 第二章
2.2 第1课时
成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教B版 · 数学 · 选修1-1
1-2
3．分析法
结果追溯到___________________ 产生这一结果的原因 (1)定义：分析法是从 ______ 待证结论出发，一步一的思维方法，具体地说，分析法是从__________ 题设的已知条件或步寻求结论成立的充分条件 ________ ，最后达到 _______________ 已被证明的事实 ___________________ ．

数学人教B版成才之路选修2-2知能基础测试.doc

选修2－2知能基础测试时间120分钟，满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.3(1－i )2等于( ) A.32i B ．－32i C ．iD ．－i [答案] A[解析] 3(1－i )＝3－2i ＝32i ，故选A. 2．已平面α∥平面β，直线m ⊂α，直线n ⊂β，点A ∈m ，点B ∈n ，记点A ，B 之间的距离为a ，点A 到直线n 的距离为b ，直线m 和n 的距离为c ，则( )A ．c ≤b ≤aB ．c ≤a ≤bC ．a ≤c ≤bD ．b ≤c ≤a [答案] A3．设f (x )为可导函数，且满足条件lim x →0f (x ＋1)－f (1)2x ＝3，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为( )A.32B ．3C ．6D ．无法确定 [答案] C[解析] lim x →0 f (x ＋1)－f (1)2x ＝12lim x →0 f (x ＋1)－f (1)x＝12f ′(1)＝3，∴f ′(1)＝6.故选C. 4．给出下列命题①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛a b d t ＝b －a (a ，b 为常数且a <b )；②⎠⎛0－1x 2d x ＝⎠⎛01x 2d x ；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0,2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] B[解析] ⎠⎛a b d t ＝b －a ≠⎠⎛ba d x ＝a －b ，故①错，而y ＝x 2是偶函数其在[－1,0]上的积分结果等于其在[0,1]上的积分结果，故②正确，对于③有S ＝2⎠⎛0πsin x d x ＝4.故③错． 5．过曲线y ＝13x 3上的点P 的切线l 的方程为12x －3y ＝16，那么P 点的坐标可能为( ) A.⎝⎛⎭⎫1，－43 B.⎝⎛⎭⎫－1，－283 C.⎝⎛⎭⎫3，203 D.⎝⎛⎭⎫2，83 [答案] D[解析] ∵y ′＝x 2，令x 2＝123，得x ＝±2. 当x ＝2时，y ＝13×23＝83， ∴点⎝⎛⎭⎫2，83为P 点的坐标；当x ＝－2时，y ＝13×(－2)3＝－83.故选D. 6．如图(1)，在△ABC 中，AB ⊥AC 于点A ，AD ⊥BC 于点D ，则有AB 2＝BD ·BC ，类似地有命题：如图(2)，在三棱锥A —BCD 中，AD ⊥面ABC ，若A 在△BCD 内的射影为O ，则S 2△ABC ＝S △BCO ·S △BCD ，那么上述命题( )A ．是真命题B ．增加条件“AB ⊥AC ”后才是真命题C ．是假命题D ．增加条件“三棱锥A －BCD 是正三棱锥”后才是真命题[答案] A[解析] 由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2)中的△ABC ，△BCO ，△BDC 分别与题图(1)中的AB ，BD ，BC 进行类比即可．严格推理如下：连结DO 并延长交BC 于E ，连结AE ，则DE ⊥BC ，AE ⊥BC .因为AD ⊥面ABC ，所以AD ⊥AE ，又因为AO ⊥DE ，所以AE 2＝EO ·ED ，所以S 2△BAC ＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EA 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ＝S △BCO ·S △BCD .故选A.7．过x 2＋y 2＝10x 内一点(5,3)有n 条弦，它们的长度构成等差数列，最短的弦长为数列首项a 1，最长的弦长为数列的末项a n ，若公差d ∈⎣⎡⎦⎤13，12，则n 的取值范围是( )A ．n ＝4B ．5≤n ≤7C ．n >7D ．n ∈R ＋ [答案] B[解析] A (5,3)，圆心O (5,0)，最短弦为垂直OA 的弦，a 1＝8，最长弦为直径：a n ＝10，公差d ＝2n －1， ∴13≤2n －1≤12，∴5≤n ≤7. 8．若f (x )＝ln x x，0<a <b <e ，则有( ) A ．f (a )>f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )<f (b )D ．f (a )·f (b )>1 [答案] C[解析] ∵f ′(x )＝1－ln x x 2，在(0，e)上f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，e)上为增函数．∴f (a )<f (b )．故选C.9．已知使函数y ＝x 3＋ax 2－43a 的导数为0的x 值也使y 值为0，则常数a 的值为( ) A ．0 B ．±3C ．0或±3D ．非以上答案 [答案] C[解析] 求出使y ′＝0的值的集合，再逐一检验．y ′＝3x 2＋2ax .令y ′＝0，得x ＝0或x ＝－23a . 由题设x ＝0时，y ＝0，故－43a ＝0，则a ＝0.且知当x ＝2，a ＝－3或x ＝－2，a ＝3时，也成立．故选C.10．定义在R 上的可导函数f (x )，已知y ＝e f′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的增区间是( )A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．(0,1) D．(1,2)[答案] B[解析]由图象知e f′(x)≥1，即f′(x)≥0时，x≤2，∴y＝f(x)的增区间为(－∞，2)．故选B.11．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列点中一定在x轴上的是()A．(a，b) B．(a，c)C．(b，c) D．(a＋b，c)[答案] A[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，由题意知1，－1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根，1－1，b＝0.故选A.＝－2b3a12．设f(x)，g(x)分别是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0.且g(－3)＝0.则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A．(－3,0)∪(3，＋∞)B．(－3,0)∪(0,3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0,3)[答案] D[解析]令φ＝(x)＝f(x)g(x)，则φ′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)>0对x<0恒成立，∴当x<0时，φ(x)单调递增．又∵g(－3)＝0，∴φ(－3)＝g(－3)·f(－3)＝0.从而当x<－3时，φ(x)<0，当－3<x<0时，φ(x)>0.又φ(x)为奇函数．∴当0<x <3时，φ(x )<0，当x >3时，φ(x )>0，综上，当x ∈(－∞，－3)∪(0,3)时，φ(x )<0.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)13．(2010·江苏，2)设复数z 满足z (2－3i )＝6＋4i (i 为虚数单位)，则z 的模为________．[答案] 2[解析] 本题主要考查复数模的概念及复数的除法运算，解答本题的关键在于正确合理运用复数模的性质．∵z (2－3i )＝6＋4i ，∴z ＝6＋4i 2－3i ，∴|z |＝2|3＋2i ||2－3i |＝2. 14．如图，平面中两条直线l 1和l 2相交于点O ，对于平面上任意一点M ，若p ，q 分别是M 到直线l 1和l 2的距离，则称有序非负数实数对(p ，q )是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点的个数是________．[答案] 4[解析] 据上述定义，“距离坐标”是(1,2)的点可以在两条直线相交所成的四个区域内各找到一个，所以满足条件的点的个数是4个．15．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，|z 1|＝2，则z 1＝____________.[答案] 1－i 或－1＋i[解析] 设z 1＝a ＋bi ，则z 2＝－a ＋bi ，∵z 1(3－i )＝z 2(1＋3i )，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋bi )(3－i )＝(－a ＋bi )(1＋3i )a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1∴z 1＝1－i 或z 1＝－1＋i . 16．由曲线y ＝(x －2)2＋1，横坐标轴及直线x ＝3，x ＝5围成的图形的面积等于________．[答案] 323[解析] S ＝⎠⎛35[(x －2)2＋1]d x ＝⎠⎛35(x 2－4x ＋5)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－2x 2＋5x | 53＝323. 三、解答题(本大题共6个小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分12分)计算：－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 3204＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i的值． [解析] 由于－23＋i 1＋23i ＝(－23＋i )(－i )(1＋23i )(－i ) ＝－1i ·1＋23i 1＋23i ＝－1i ＝i ； ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 3204＝⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 21602＝⎝⎛⎭⎫22i 1602＝⎝⎛⎭⎫1i 1602＝－1； (4－8i )2－(－4＋8i )211－7i ＝(4－8i )2－(4－8i )2(－1)211－7i＝0；从而－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 3204＋(4－8i )2－(－4＋8i )211－7i＝i －1. 18．(本题满分12分)下面命题是真命题还是假命题，用分析法证明你的结论．命题：若a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，则b 2－ac a< 3. [解析] 命题是真命题，证明如下：∵a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，∴a >0，c ＜0. 要证b 2－ac a <3，只需证b 2－ac <3a ，即证b 2－ac <3a 2.因为b ＝－a －c ，故只需证(a ＋c )2－ac <3a 2，即证2a 2－ac －c 2>0，即证(2a ＋c )(a －c )>0.∵2a ＋c >a ＋b ＋c ＝0，a －c >0，∴(2a ＋c )(a －c )>0成立．∴原命题成立．19．(本题满分12分)已知a ＋b ＋c ＝0，求证：ab ＋bc ＋ca ≤0.[解析] 证明：法一：(综合法)∵a ＋b ＋c ＝0，∴(a ＋b ＋c )2＝0.即ab ＋bc ＋ca ＝－a 2＋b 2＋c 22≤0， ∴ab ＋bc ＋ca ≤0.法二：(分析法)因a ＋b ＋c ＝0，则要证ab ＋bc ＋ca ≤0只需证：ab ＋bc ＋ca ≤(a ＋b ＋c )2，即证：a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ≥0，即证：12[(a ＋b )2＋(b ＋c )2＋(c ＋a )2]≥0. 而这显然成立，因此，原不等式成立．法三：∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c ，∴ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋(a ＋b )c ＝ab －(a ＋b )2＝－a 2－b 2－ab ＝－⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＋34b 2≤0. 因此，ab ＋bc ＋ca ≤0.20．(本题满分12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a 元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值Q (a )．[解析] (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为：L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x 2)－2(x －3－a )(12－x )＝(12－x )(18＋2a －3x )令L ′＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283. 在x ＝6＋23a 两侧L ′(x )的值由正变负．所以(1)当8≤6＋23a ≤9，即3≤a ≤92时， L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )．(2)当9<6＋23a ≤283，即92<a ≤5时， L max ＝L ⎝⎛⎭⎫6＋23a ＝⎝⎛⎭⎫6＋23a －3－a ⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫6＋23a 2＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，所以Q (a )＝⎩⎨⎧ 9(6－a )，3≤a ≤92，4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，92<a ≤5.答：若3≤a ≤92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92<a ≤5，则当每件售价为⎝⎛⎭⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3(万元)． 21．(2010·北京文，18)(本题满分12分)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时，求f (x )的解析式；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．[解析] 本题考查了函数与导函数的综合应用．由f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2b ＋c －9＝016a ＋8b ＋c －36＝0(*) (1)当a ＝3时，由(*)式得⎩⎪⎨⎪⎧2b ＋c －6＝08b ＋c ＋12＝0，解得b ＝－3，c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点，∴d ＝0.故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0，所以“f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”，由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a .又∵Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)解⎩⎨⎧a >0Δ＝9(a －1)(a －9)≤0得a ∈[1,9]，即a 的取值范围为[1,9]．22．(本题满分14分)已知函数f (x )＝x －sin x ，数列{a n }满足：0<a 1<1，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2,3，….求证：(1)0<a n ＋1<a n <1；(2)a n ＋1<16a 3n. [证明] (1)先用数学归纳法证明0<a n <1，n ＝1,2,3，….①当n ＝1时，由已知知结论成立．②假设当n ＝k 时结论成立，即0<a k <1.因为0<x <1时，f ′(x )＝1－cos x >0，所以f (x )在(0,1)上是增函数．又f (x )在[0,1]上连续，从而f (0)<f (a k )<f (1)，即0<a k ＋1<1－sin1<1.故当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，0<a n <1对一切正整数都成立．又因为0<a n <1时，a n ＋1－a n ＝a n －sin a n －a n＝－sin a n <0，所以a n ＋1<a n .综上所述0<a n ＋1<a n <1.(2)设函数g (x )＝sin x －x ＋16x 3,0<x <1. 由(1)知，当0<x <1时，sin x <x .从而g ′(x )＝cos x －1＋x 22＝－2sin 2x 2＋x 22>－2⎝⎛⎭⎫x 22＋x 22＝0. 所以g (x )在(0,1)上是增函数．又g (x )在[0,1]上连续，且g (0)＝0，所以当0<x <1时，g (x )>0成立．于是g (a n )>0，即sin a n －a n ＋16a 3n>0. 故a n ＋1<16a 3n.。

数学人教B版成才之路选修2-2知能基础测试

选修2－2知能基础测试时间120分钟，满分150分．一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．)1.错误!等于(）A.错误!i B．－错误!iC．i D．－i[答案] A［解析]错误!＝错误!＝错误!i，故选A。

2．已平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A，B之间的距离为a,点A到直线n的距离为b,直线m和n的距离为c,则（)A．c≤b≤a B．c≤a≤bC．a≤c≤b D．b≤c≤a［答案］ A3．设f(x）为可导函数，且满足条件错误!错误!＝3，则曲线y＝f（x）在点(1,f（1））处的切线的斜率为(）A.错误!B．3C．6 D．无法确定[答案］ C［解析]错误!错误!＝错误!错误!错误!＝错误!f′(1)＝3，∴f′(1)＝6。

故选C.4．给出下列命题①错误!d x＝错误!d t＝b－a（a，b为常数且a〈b)；②错误!－1x2d x ＝错误!x2d x；③曲线y＝sin x，x∈[0，2π］与直线y＝0围成的两个封闭区域面积之和为2，其中正确命题的个数为（）A．0 B．1C．2 D．3［答案] B[解析]b d t＝b－a≠错误!d x＝a－b，故①错，而y＝x2是偶函数其在[－1，0］上的积⎠⎛a分结果等于其在[0，1]上的积分结果，故②正确，对于③有S＝2错误!sin x d x＝4.故③错．5．过曲线y＝错误!x3上的点P的切线l的方程为12x－3y＝16,那么P点的坐标可能为()A.错误!B.错误!C。

错误!D。

错误!［答案] D［解析］∵y′＝x2，令x2＝错误!，得x＝±2。

当x＝2时，y＝错误!×23＝错误!，∴点错误!为P点的坐标;当x＝－2时,y＝错误!×(－2)3＝－错误!.故选D。

6．如图(1），在△ABC中，AB⊥AC于点A，AD⊥BC于点D,则有AB2＝BD·BC，类似地有命题：如图（2)，在三棱锥A-BCD中，AD⊥面ABC，若A在△BCD内的射影为O，则S2△ABC＝S△BCO·S△BCD，那么上述命题()A．是真命题B．增加条件“AB⊥AC”后才是真命题C．是假命题D．增加条件“三棱锥A－BCD是正三棱锥”后才是真命题[答案] A[解析］由已知垂直关系，不妨进行如下类比：将题图(2）中的△ABC，△BCO，△BDC 分别与题图（1）中的AB,BD，BC进行类比即可．严格推理如下：连结DO并延长交BC于E，连结AE，则DE⊥BC，AE⊥BC。

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-2)练习：1.4 第1课时]

成才之路高中数学人教B,选修22练习： 第1课时

【成才之路】高中数学 知能基础测试 新人教B版选修2-2

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习：综合检测]

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)选修1-2课件：2.2 第2课时 反证法( 2014高考)

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版,选修2-2)课件：2.1 第1课时( 2014高考)

数学 人教B版 选修2-2 成才之路 课后强化作业1-1-1 详解答案

【成才之路】2014-2015学年高中数学(人教B版)必修二强化练习：1章 立体几何初步 综合测试A]