高一数学第3章指数函数对数函数和幂函数作业题及答案解析312(二)

3.1.2指数函数(二)
课时目标
1.理解指数函数的单调性与底数a的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.
2.理解指数函数的底数a对函数图象的影响．
1．下列一定是指数函数的是________．
①y ＝－3x ；②y ＝x x (x >0，且x ≠1)；③y ＝(a －2)x (a >3)；④y ＝(1－2)x .
2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则0，a ，b,1的大小关系为________．
3．函数y ＝πx
的值域是________．
4．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |12
<2x ＋
1<4，x ∈Z }，则M ∩N ＝________.
5．若(12)2a ＋1<(12
)3－
2a ，则实数a 的取值范围是______________．
6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为________．
一、填空题
1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________． 2．函数y ＝16－4x 的值域是________．
3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．
4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－
x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)
①f (x )与g (x )均为偶函数；
②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数； ③f (x )与g (x )均为奇函数；
④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．
5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________． 6．已知a ＝1
3
35-
⎛⎫ ⎪
⎝⎭，b ＝12
35-
⎛⎫
⎪⎝⎭
，c ＝12
43-
⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________．
7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．
8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－
x ，则不等式f (x )<－12
的
解集是________． 9．函数y ＝2212x x
-+⎛⎫
⎪⎝⎭
的单调递增区间是________．
二、解答题
10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性； (2)求函数y ＝221
2x x --的单调区间．
11．函数f (x )＝4x －2x ＋
1＋3的定义域为[－12，12
]．
(1)设t ＝2x ，求t 的取值范围； (2)求函数f (x )的值域．
能力提升
12．函数y ＝2
x
－x 2的图象大致是________．(填序号)
13．已知函数f (x )＝2x －1
2x ＋1
.
(1)求f [f (0)＋4]的值；
(2)求证：f (x )在R 上是增函数；
(3)解不等式：0<f (x －2)<15
17
.
1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：
(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．
(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .
2．了解由y ＝f (u )及u ＝φ(x )的单调性探求y ＝f [φ(x )]的单调性的一般方法．
2．2.2 指数函数(二)
双基演练 1．③
2．0<a <1<b 3．(0，＋∞) 4．{－1}
解析 解指数不等式12
<2x ＋
1<4，得－1<x ＋1<2，
所以－2<x <1，故N ＝{－1,0}，
所以M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．
5．(1
2
，＋∞)
解析 ∵函数y ＝(1
2
)x 在R 上为减函数，
∴2a ＋1>3－2a ，∴a >1
2
.
6．－1<a <0 作业设计
1．Q P 解析
因为P ＝{y |y ≥0}
，Q
＝{y |y >0}，所以
Q P .
2．[0,4)
解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16， ∴16－4x ∈[0,4)． 3．3
解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3. 4．②
解析 f (－x )＝3－
x ＋3x ＝f (x )，
g (－x )＝3－
x －3x ＝－g (x )．
5．f (x )＝－e －
x －2
解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，
∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －
x －2. 6．c <a <b
解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－1
2
，
∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b . 7．19
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关
系为y ＝2x －
1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半． 8．(－∞，－1)
解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0.
当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.
当x >0时，由1－2－
x <－12，(12)x >32，得x ∈∅；
当x ＝0时，f (0)＝0<－1
2不成立；
当x <0时，由2x －1<－12
，2x <2－
1，得x <－1.
综上可知x ∈(－∞，－1)． 9．[1，＋∞)
解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．
令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(1
2
)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递
减区间，即为x ∈[1，＋∞)．
10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．
又由y ＝2u 的增减性得()12g x <()
22g x ，即f (x 1)<f (x 2)， 所以f (x )为R 上的增函数．
(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2， 则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．
根据(1)可知y ＝221
2x x --在[1，＋∞)上为增函数． 同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．
即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．
11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，1
2
]上单调递增，
∴t ∈[2
2
，2]．
(2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，
g (t )在[2
2
，1]上递减，在[1，2]上递增，
比较得g (2
2
)<g (2)．
∴f (x )min ＝g (1)＝2， f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.
∴函数的值域为[2,5－22]． 12．①
解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞， 所以排除③、④.
当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.
13．(1)解 ∵f (0)＝20－1
20＋1
＝0，
∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝15
17
.
(2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2， 则22x
>12x
>0,22x
－12x >0，
∴f (x 2)－f (x 1)＝212
12121
2121
x x x x ---++
＝
()
()()
212
1
2222
121x x x x -++>0，
即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．
(3)解 由0<f (x －2)<15
17
得f (0)<f (x －2)<f (4)，
又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，
即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。