平面动点的轨迹说课

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高中数学《平面动点轨迹》说课稿范文(2)

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高中是人生的一个转折点，把握时间，认真学习，为将来的路奠定基础，xx 为学子整理了高三数学说课稿：平面动点的轨迹一文：高三数学说课稿：平面动点的轨迹一、教学目标（一）知识与技能１、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。

２、体会数学实验的直观性、有效性，提高几何画板的操作能力。

（二）过程与方法１、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。

２、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。

３、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。

（三）情感态度价值观１、感受动点轨迹的动态美、和谐美、对称美２、树立竞争意识与合作精神，感受合作交流带来的成功感，树立自信心，激发提出问题和解决问题的勇气二、教学重点与难点教学重点：运用类比、联想的方法探究不同条件下的轨迹教学难点：图形、文字、符号三种语言之间的过渡三、、教学方法和手段【教学方法】观察发现、启发引导、合作探究相结合的教学方法。

启发引导学生积极思考并对学生的思维进行调控，帮助学生优化思维过程，在此基础上，提供给学生交流的机会，帮助学生对自己的思维进行组织和澄清，并能清楚地、准确地表达自己的数学思维。

【教学手段】利用网络教室，四人一机，多媒体教学手段。

通过上述教学手段，一方面：再现知识产生的过程，通过多媒体动态演示，突破学生在旧知和新知形成过程中的障碍（静态到动态）；另一方面：节省了时间，提高了课堂教学的效率，激发了学生学习的兴趣。

【教学模式】重点中学实施素质教育的课堂模式创设情境、激发情感、主动发现、主动发展。

四、教学过程n1、创设情景，引入课题生活中我们四处可见轨迹曲线的影子【演示】这是美丽的城市夜景图【演示】许多人认为天体运行的轨迹都是圆锥曲线，研究表明，天体数目越多，轨迹种类也越多【演示】建筑中也有许多美丽的轨迹曲线设计意图：让学生感受数学就在我们身边，感受轨迹曲线的动态美、和谐美、对称美，激发学习兴趣。

第36讲-轨迹方程解析版

第36讲轨迹方程【知识点总结】求动点的轨迹方程一、直译法如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系且这些几何简单明了且易于表达，那么只需把这些关系“翻译”成含,x y 的等式，就可得到曲线的轨迹方程，由于这种求轨迹方程的过程不需要其他步骤，也不需要特殊的技巧，所以被称为直译法。

二、定义法若动点的轨迹符合某一已知曲线（圆，椭圆，双曲线，抛物线）的定义，则可根据定义直接求出方程中的待定系数，故称待定系数法。

三、相关点法（代入法）有些问题中，所求轨迹上点(),M x y 的几何条件是与另一个已知方程的曲线上点(),M x y '''相关联的，这时要通过建立这两点之间关系，并用,x y 表示,y x ''，再,y x ''将代入已知曲线方程，即得,x y 关系式。

【典型例题】例1．（2021·福建·泉州科技中学高三期中）如图，设点A ，B 的坐标分别为(3,0)-，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-.（1）求P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M ､N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积. 【解析】（1）由已知设点P 的坐标为(),x y ，由题意知(23333AP BP k k x x x ⋅==-≠+-，化简得P 的轨迹方程为(221332x y x +=≠（2）证明：由题意M N 、是椭圆C 上非顶点的两点，且//,//AP OM BP ON ，则直线,AP BP 斜率必存在且不为0，又由已知23AP BP k k =-⋅.因为//,//AP OM BP ON ，所以23OM ON k k =-设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程22132x y +=，得()222324260m y mty t +++-=....①，设,M N 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，则2121222426,3232mt t y y y y m m -+=-=++ 又()2121222221212122636OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -⋅===+++-，所以222262363t t m -=--，得22223t m =+又1212△MONS t y y =-=，所以△MON S =，即MON △例2．（2022·全国·高三专题练习）动点P 到定点()0,1F 的距离与到定直线4y =的距离之比为定值12.（1）求动点P 的轨迹方程：（2）若直线l 与动点P 的轨迹交于不同的两点M ，N ，且线段MN 被直线210x +=平分，求直线l 的斜率的取值范围. 【解析】（1）设点()P x y ，12=两边平方，整理得22134x y += 所以动点P 的轨迹方程为22134x y +=；（2）联立22210134x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩设点()11M x y ，，()22N x y ，，MN 的中点为012Q y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则0y <<1212012x x y y y +=-⎧⎨+=⎩，又因为点()11M x y ，，()22N x y ，都在椭圆22134x y+=上，则22112222134134x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 将上述两个等式作差得22221212034x x y y --+=.则2212221243y y x x -=-- 则()()()()1212121243y y y y x x x x -+⋅=--+，即()()120122413y y y x x -⋅=---所以()0423k y ⋅-=-，即02233333k y ⎛⎛⎫=∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，所以直线l 的斜率的取值范围是23333⎛⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，例3．（2021·新疆·克拉玛依市教育研究所模拟预测（理））已知圆C ：()22116x y ++=，点1,0A ，P 是圆C 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交CP 于点Q .（1）求点Q 的轨迹方程；（2）过点()0,1B -作直线MN 交点Q 的轨迹于M ､N 两点，设线段MN 的中点为H ，判断线段AH 与HM 的大小，并证明你的结论. 【解析】（1）∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴AQ PQ =. 又4CP CQ QP =+=，∴42CQ QA CA +=>=.∴点Q 的轨迹是以坐标原点为中心，()1,0C -和1,0A 为焦点，长轴长为4的椭圆. 可设方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则2a =，221a b -=∴23b =，∴点Q 的轨迹方程为22143x y +=.（2）结论是：AH HM ≤.①当直线MN 的斜率不存在时，1AH =，HM AH HM <； ②当直线MN 的斜率k 存在时，设MN ：1y kx =-代入到22143x y +=，化简得()2243880k x kx +--=，设()11,M x y ，()22,N x y 则122843k x x k +=+，122843x x k -=+，此时()111,AM x y =-，()221,AN x y =-，∴()()()()()()12121212111111AM AN x x y y x x kx kx ⋅=--+=--+--()()()()2212122281811(1)224343k k k k x x k x x k k -⋅+⋅+=+-+++=-+++ 222218882204343k k k k k ⎛⎫-+ ⎪---⎝⎭==≤++. ∴90MAN ∠≥︒，点A 在以MN 为直径的圆上或圆的内部，所以AH HM ≤. 综上所述，AH HM ≤.例4.（2021·全国·高三专题练习）点B 是椭圆22221x y a b+=上的动点，(2,0)A a 为定点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.【详解】设动点M 的坐标为（x ，y ），设B 点坐标为（x 0，y 0），则由M 为线段AB 中点，可得00002222202x ax x x a y y y y+⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩，即点B 坐标可表示为（2x －2a ，2y ），因为点B （x 0，y 0）在椭圆22221x y a b+=上，2200221x y a b∴+=，从而有2222(22)(2)1x a y a b-+=，整理得动点M 的轨迹方程为22224()41x a y a b-+=.例5．（2021·全国·高三专题练习）已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 【详解】设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y .则221112x y +=，（1）222212x y +=，（2）(1)(2)-得：()2222121202x x y y -+-=，()1212121202x x y yy y x x +-∴++=-.又121212122,2,2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立22412340x y x x y ⎧+=⎪∴=±⎨⎪+=⎩故斜率为2的平行弦中点的轨迹方程：4440()33x y x +=-≤≤例6.（2021·广东·石门中学模拟预测）已知动圆P过点(A且与圆(22:12B x y +=相内切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程D .（2）直线l 过原点，且与轨迹D 有两个交点,M N .轨迹D 上是否存在一点Q ，使△QMN 为正三角形，若存在，求出Q 的坐标，若不存在，说明理由. 【详解】设圆的圆心为P (a ，b )，半径为r ，则由条件知：||,||PB r PA r ==，故||||PA PB +=因此，P 的轨迹是以A B ，为焦点，长轴长为.故圆心P 的轨迹方程D 为：2213x y +=.（2）解法一：若直线l 的斜率存在且不为零. 故可设:l y kx =.直线OQ 方程为：1=-y x k由222233313x y x MN k y kx ⎧+=⇒=⇒=⎨+=⎩||MN =同理，得||OQ ==因22|||3913OQ MN k k =⇔=⇔+=+，此时无解. 若直线的斜率为零，此时也无解.若直线的斜率不存在，可求出(Q .故Q的坐标为(0) 解法二：由图形的对称性及正三角形性质，不妨设1122(cos ,sin ),(cos(),sin())22M r r Q r r ππθθθθ++，代入椭圆方程，得222221112cos 3sin 1312sin r r r θθθ+=⇒=+ 同理222312cos r θ=+，由|||OQ OM =得cos 0θ=，故存在这样的点Q，其坐标为(0).例7．（2021·全国·高三专题练习（理））如图，在ABC中，已知||AB =A ，B ，C 满足2sin sin 2sin A C B +=，以AB 边所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系，求顶点C 的轨迹方程.【详解】由已知得()()22,0,22,0A B -， ∵2sin sin 2sin A C B +=，∴由正弦定理得:22BC AB AC +=， ∴1222AC BC AB AB -==<， ∴由双曲线的定义知，点C 的轨迹以,A B 为焦点，以22为实轴长的双曲线的右支（除去与x 轴的交点）， ∴2,22,6a c b ===，∴顶点C 的轨迹方程为()221226x y x -=>.故答案为：()221226x y x -=>.例8．（2012·辽宁·高考真题（文））如图，动圆2221:C x y t +=,1<t<3,与椭圆2C ：2219x y +=相交于A ，B ，C ，D 四点，点12,A A 分别为2C 的左，右顶点．(Ⅰ)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (Ⅱ)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程．【解析】（1）设00(,)A x y ，则矩形ABCD 的面积004S x y =. 由220019x y +=得220019x y =-，从而 22222200000199(1)()9924x x y x x =-=--+当2092x =，2012y =时，max 6S =.从而t ABCD 的面积最大，最大面积为6.（2）证明：由00(,)A x y ，00(,)B x y -，1(3,0)A -，2(3,0)A 知直线1AA 的方程为0(3)3yy x x =++① 直线2A B 的方程为00(3)3y y x x -=--② 由①②得22020(9)9y y x x -=--③ 又点00(,)A x y 在椭圆C 上，故220019x y =-④将④代入③得2219x y -=(3,0)x y <-<因此点M 的轨迹方程为2219x y -=(3,0)x y <-<.【技能提升训练】1．（2022·全国·高三专题练习）（1）已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，椭圆经过点(3,0)P ，求椭圆的标准方程；（2）ABC 两个顶点,A B 的坐标分别是(6,0),(6,0)-，边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，求顶点C 的轨迹方程. 【答案】（1）2219x y +=或221819y x+=，（2）2213616x y +=（6x ≠±），【分析】（1）由题意可得3a b =，然后分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上两种情况设出椭圆的方程，再将(3,0)P 代入方程中可求出,a b 的值，从而可求出椭圆的标准方程；（2）设点C 的坐标，再由,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，列方程可求出结果【详解】（1）因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍，所以3a b =，若焦点在x 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9x y b b b+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得1b =，所以椭圆的方程为2219x y +=，若焦点在y 轴上，设椭圆的方程为22221(0)9y x b bb+=>，因为椭圆经过点(3,0)P ，所以得3b =，所以椭圆的方程为221819y x +=，所以椭圆的标准方程为2219x y +=或221819y x +=，（2）设点C 的坐标为(,)x y （0y ≠），因为边,AC BC 所在直线的斜率之积等于49-，所以4669y y x x ⋅=-+-，化简得2249144x y +=，即2213616x y +=（6x ≠±），所以顶点C 的轨迹方程2213616x y +=（6x ≠±）， 2．（2021·全国·高三专题练习）在直角坐标系xOy 中，动点M 到定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的距离比到y 轴的距离大12．求动点M 的轨迹方程. 【答案】22(0)y x x =≥和0(0)y x =< 【分析】设出点M 的坐标，根据题意列出,x y 所满足的方程，化简方程可求得M 的轨迹方程. 【详解】设(,)M x y 1||2x =+两边平方可得：211||44x y x -++=+当0x ≥时，化简可得22(0)y x x =≥，当0x <时，0y =，所以曲线M 的轨迹方程为22(0)y x x =≥和0(0)y x =<.3．（2021·全国·高三专题练习）过点()1,0A -的直线l 与抛物线2:4C y x =交于P 、Q 两点.求线段PQ 的中点B 的轨迹方程.【答案】()2221y x x =+>【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y ，代入抛物线方程中，再根据中点坐标公式可求得以线段PQ 的中点B 的轨迹方程. 【详解】解：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),B x y代入得()()()211121212222444y x y y y y x x y x ⎧=⇒+-=-⎨=⎩，化简得()224211yy y x x ⋅=⇒=++，又224122y xx y x ⎧=⇒=⎨=+⎩，所以线段PQ 的中点B 的轨迹方程为()2221y x x =+>.4．（2021·全国·高三专题练习）已知点P 到直线y ＝－3的距离比点P 到点A (0，1)的距离多2.（1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点Q (0，2)的动直线l 与点P 的轨迹交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）x 2＝4y ；（2）存在，定点R (0，－2). 【分析】（1）由|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，结合抛物线的定义得出点P 的轨迹方程；（2）由对称性确定点R 必在y 轴上，再由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0，联立直线l 与抛物线方程，结合韦达定理求出定点R (0，－2). 【详解】（1）由题知，|P A |等于点P 到直线y ＝－1的距离，故P 点的轨迹是以A 为焦点，y ＝－1为准线的抛物线，所以其方程为x 2＝4y .（2）根据图形的对称性知，若存在满足条件的定点R ，则点R 必在y 轴上，可设其坐标为(0，r )此时由∠MRQ ＝∠NRQ 可得k MR ＋k NR ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则11y r x -＋22y rx -＝0由题知直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋2，与x 2＝4y 联立得x 2－4kx －8＝0，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－811y r x -＋22y r x -＝112kx r x +-＋222kx r x +-＝2k ＋1212(2)()r x x x x -+＝2k －(2)2k r -＝0故r ＝－2，即存在满足条件的定点R (0，－2). 【点睛】关键点睛：解决问题一时，关键是由抛物线的定义得出轨迹方程；解决问题二时，关键是由对称性得出点R 必在y 轴上，进而设出其坐标.5．（2020·全国·高三专题练习（理））如图所示，已知圆A ：22(2)1x y ++=与点0(2)B ，，分别求出满足下列条件的动点P 的轨迹方程．（1）PAB △的周长为10；（2）圆P 与圆A 外切，且过B 点(P 为动圆圆心)；（3）圆P 与圆A 外切，且与直线1x =相切(P 为动圆圆心)．【答案】（1）()221095x y y +=≠；（2）224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭；（3）28y x =-【分析】（1）由题意可得到64PA PB AB >=+=，再根据椭圆的定义即可求解；（2）由题意可得到14P A B B A P -=<=，再根据双曲线的定义即可求解；（3）根据抛物线的定义即可求解.【详解】解：（1）由题意知：10PA PB AB ++=，又4AB =，64PA PB AB ∴+=>=，故P 点的轨迹是椭圆去掉左右两个顶点，且26a =，24c =，即3a =，2c =，5b =∴动点P 的轨迹方程为：()221095x y y +=≠；（2）设圆P 的半径为r ，则1PA r =+，PB r =，114r r A B AB P P ∴-=+-=<=，由双曲线的定义知，P 点的轨迹为双曲线的右支，且21a =，24c =，即115,2,2a c b ===，∴动点P 的轨迹方程为：224141152x y x ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭，（3）由题意知：动点P 到定点A 的距离等于到定直线2x =的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，4p =， ∴动点P 的轨迹方程为：28y x =-.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是熟练掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义.6．（2020·全国·高三专题练习（理））已知1(0)2A -，，B 是圆：221()42x y -+=(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于点P ，求动点P 的轨迹方程. 【答案】22413y x +=.【分析】先根据题意可知PF PB +正好为圆的半径，而PA PB =，进而可知2PF PA +=．根据椭圆的定义可知，点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，根据A 、F 求得a ，c ，进而求得b ，答案可得．【详解】作图，则PA PB =，2PF PB +=， ∴2PF PA +=且大于1AF =，即动点P 的轨迹为以A 、F 为焦点的椭圆，1a =，12c =，234b =，所以动点P 的轨迹方程为22413y x +=.7．（2021·全国·高三专题练习（文））如图,已知圆C 1:(x +3)2+y 2=1和圆C 2:(x-3)2+y 2=9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.【答案】x 2-28y =1(x ≤-1) 【分析】设动圆的半径为R ,根据圆外切的条件得到|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3,消去R ,得到|MC 2|-|MC 1|=2,根据双曲线的定义得到M 的轨迹，并由定义得到,a c 的值，进而得到方程. 【详解】依题意,知圆C 1的圆心为C 1(-3,0),半径为1,圆C 2的圆心为C 2(3,0),半径为3. 设动圆的半径为R ,则|MC 1|=R +1,|MC 2|=R +3, 所以|MC 2|-|MC 1|=2<|C 1C 2|,因此,圆心M 的轨迹是以C 1,C 2为左、右焦点的双曲线的左支, 且1,3a c ==, 所以2228b c a =-=.于是所求动圆圆心M 的轨迹方程为x 2-28y =1(x ≤-1). 【点睛】本题考查双曲线的定义与标准方程，关键是利用圆相外切的条件，转化为动点到两定点的距离之差等于定值，另外要准确全面掌握双曲线的定义，这里表示的是双曲线的一支. 8．（2021·全国·高三专题练习）一动圆与圆22650x y x +++=外切，同时与圆226910x y x +--=内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?【答案】2213627x y +=；椭圆. 【分析】利用动圆分别与两圆的相外切和内切的位置关系，可得动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再根据它们的数量关系结合圆锥曲线的定义，即可判断轨迹为椭圆，并求出轨迹方程．【详解】设动圆圆心为(,)M x y ，半径为R ，设圆22650x y x +++=和圆226910x y x +--=的圆心分别为1O 、2O ，将圆的方程分别配方得：圆()221:34O x y ++=，圆()222:3100O x y -+= 当动圆M 与圆1O 相外切时，有12O M R =+ …① 当动圆M 与圆2O 相内切时，有210O M R =-…②将①②两式相加，得121212O M O M OO +=>，∴动圆圆心(,)M x y 到点10()3,O -和2()3,0O 的距离和是常数12，所以点M 的轨迹是焦点为点10()3,O -、2()3,0O ，长轴长等于12的椭圆．设该椭圆的长轴为2a ，短轴为2b ，焦距为2c ； ∴26,212c a ==， ∴3,6c a == ∴236927b =-=∴动圆圆心轨迹方程为2213627x y +=，轨迹为椭圆．【点睛】本题以两圆的位置关系为载体，考查椭圆的定义，考查轨迹方程，熟练掌握椭圆的定义是解题关键．9．（2020·全国·高三（理））已知点M 与两个定点00O (，)，(30)A ，的距离的之比为12. （1）求点M 的轨迹方程，并说明它是什么图形；（2）求点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值和最小值.【答案】（1）点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆；（2）max 2d =，min 2d =【分析】（1）设(),M x y ，利用点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，建立方程，化简可得结果；（2）先求出圆心到直线2130x y +-=的距离d ，最大值为d r +，最小值为d r -. 【详解】（1）设(),M x y ，∵点M 与两个定点()0,0O ，()30A ，的距离的比为12，12=，化简可得()2214x y ++=，即点M 的轨迹方程为22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，2为半径的圆.（2）圆心(1,0)-到直线2130x y +-=距离为d ==点M 到直线2130x y +-=的距离的最大值为2d r +=，最小值为2d r -=. 【点睛】本题主要考查圆的轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题. 10．（2020·湖南·雅礼中学高三阶段练习（理））已知中心在原点的双曲线C 的渐近线方程为y =±2x ，且该双曲线过点(2,2). （1）求双曲线C 的标准方程；（2）点A 为双曲线C 上任一点，F 1､F 2分别为双曲线的左､右焦点,过其中的一个焦点作∠F 1AF 2的角平分线的垂线，垂足为点P ，求点P 的轨迹方程. 【答案】（1）221312x y -=.（2）223x y += 【分析】（1）根据渐近线方程，设出双曲线方程，根据点在双曲线上，求出参数值，即可得到结果；（2）根据题意，由三角形全等，结合双曲线的定义，推出点P 满足的条件，根据圆的定义，即可写出其轨迹方程. 【详解】（1）根据题意，双曲线的渐近线方程是y =±2x ，则设双曲线方程为：4x 2﹣y 2=λ，(λ≠0)，点(2,2)代入得：λ=12，则双曲线方程为：4x 2﹣y 2=12，即22312x y -=1. （2）∵F 1,F 2是双曲线22312x y -=1的左右焦点，过F 2作角的平分线AB 的垂线，垂足为P ，并且交AF 1于Q ，连接OP ，如下图所示：则11,2OP FQ OP =//1F Q ，显然2AQP AF P ∆≅∆ 故|AQ |=|AF 2|，∴|F 1Q |=|AF 1|﹣|AQ |=|AF 1|﹣|AF 2|=2a ， ∴|OP |=a 3=由圆的定义可知，点P 的轨迹是以点O 3 所以P 的轨迹方程为：x 2+y 2=3. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，以及圆方程的求解，涉及双曲线的定义，属综合基础题. 11．（2018·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知椭圆M ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的长轴长为220，1）的直线l 与M 交于A ，B 两点，且AP PB =．（1）求M 的方程；（2）求点P 的轨迹方程．【答案】（1）2212x y +=；（2）x 2+2y 2＝2y ．【分析】（1）根据题意2a ＝222c a =，解方程组即可求解. （2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，将直线与椭圆联立，求出交点坐标，再根据中点坐标公式消k 即可求出轨迹方程. 【详解】（1）由题意可知，长轴长2a ＝a =e c a ==，则c ＝1，b 2＝a 2﹣c 2＝1，所以椭圆M 的方程为2212x y +=；（2）当直线AB 的斜率存在且不为0，设直线AB 的方程为y ＝kx +1，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x ，y ），联立方程组22112y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，整理得（1+2k 2）x 2+4kx ＝0，解得x 1＝0，x 22412k k -=+，y 1＝1，y 2221212k k -=+，由题意可知，P 为AB 的中点，所以22212112k x k y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，消去k ，整理得x 2+2y 2＝2y ，当斜率不存在时，A （0，1），B （0，﹣1），则P （0，0），满足x 2+2y 2＝2y ，所以点P 的轨迹方程x 2+2y 2＝2y ．【点睛】本题考查了由离心率求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系以及求曲线的轨迹方程，属于中档题.12．（2020·全国·高三专题练习）设(1,0)F ，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且2MN MP =，PM PF ⊥，P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程；【答案】24(0)y x x =≠ 【分析】根据且2MN MP =，可得P 为MN 的中点，利用PM PF ⊥，可得0PM PF =，从而可得点N 的轨迹C 的方程；【详解】解：设(,)N x y ，则由2MN MP =，得P 为MN 的中点，又因为点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，所以(,0)M x -，0,2y P ⎛⎫⎪⎝⎭,2x PM y ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，1,2PF y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭又PM PF ⊥，∴0PM PF = 022y y x ⎛⎫⎛⎫∴-+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24(0)y x x ∴=≠；【点睛】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，属于基础题．13．（2022·全国·高三专题练习）P 是圆224x y +=上的动点，P 点在x 轴上的射影是D ，点M 满足12DM DP =．（1）求动点M 的轨迹C 的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）过点(3,0)N 的直线l 与动点M 的轨迹C 交于不同的两点A ，B ，求以OA ，OB 为邻边的平行四边形OAEB 的顶点E 的轨迹方程．【答案】（1）点M 的轨迹C 的方程为2214x y +=，轨迹C 是以(3,0)，(3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【分析】（1）设(),M x y ，根据12DM DP =可求得(),2P x y ，代入圆的方程可得所求轨迹方程；根据轨迹方程可知轨迹是以()3,0，)3,0为焦点，长轴长为4的椭圆；（2）设():3l y k x =-，与椭圆方程联立，利用0∆>求得215k <；利用韦达定理表示出12x x +与12y y +，根据平行四边形和向量的坐标运算求得OE ，消去k 后得到轨迹方程；根据215k <求得x 的取值范围，进而得到最终结果. 【详解】（1）设(),M x y ，则(),0D x 由12DM DP =知：(),2P x y点P 在圆224x y +=上 2244x y ∴+=∴点M 的轨迹C 的方程为：2214x y += 轨迹C是以()，)为焦点，长轴长为4的椭圆（2）设(),E x y ，由题意知l 的斜率存在设():3l y k x =-，代入2214x y +=得：()222214243640k x k x k +-+-=则()()()2222244143640k k k ∆=--+->，解得：215k <设()11,A x y ，()22,B x y ，则21222414k x x k +=+ ∴()()()31212122224633661414k ky y k x k x k x x k k k k -+=-+-=+-=-=++ 四边形OAEB 为平行四边形∴()2121222246,,,1414k k OE OA OB x x y y k k ⎛⎫-=+=++= ⎪++⎝⎭又(),OE x y = ∴2222414614k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，消去k 得：22460x y x +-= 215k < ()222226146246860,1414143k k x k k k +-⎛⎫∴===-∈ ⎪+++⎝⎭ ∴顶点E 的轨迹方程为22846003x y x x ⎛⎫+-=<< ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆锥曲线中的轨迹方程的求解问题，关键是能够利用已知中所给的等量关系建立起动点横纵坐标满足的关系式，进而通过化简整理得到结果；易错点是求得轨迹方程后，忽略x 的取值范围.14．（2019·安徽蚌埠·三模（理））已知点(2,0)E -，(2,0)F ，(,)P x y ，是平面内一动点，P 可以与点,E F 重合.当P 不与,E F 重合时，直线PE 与PF 的斜率之积为14-.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）一个矩形的四条边与动点P 的轨迹均相切，求该矩形面积的取值范围. 【答案】（1）2214x y +=；（2）[8,10].【分析】（1）当P 与点,E F 不重合时，根据直线PE 与PF 的斜率之积为14-，直接可求出动点P 的轨迹方程；当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P ，最后写出动点P 的轨迹方程；（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1d =同理：2241n k +=，矩形的另一边长为2d =12S d d =⋅=(]48,10=，综上：[]8,10S ∈. 【详解】解：（1）当P 与点,E F 不重合时， 14PE PFk k ⋅=-，得1224y y x x ⋅=-+-，即()22104x y y +=≠，当P 与点,E F 重合时，()2,0P -或()2,0P . 综上，动点P 的轨迹方程为2214x y +=.（2）记矩形面积为S ，当矩形一边与坐标轴平行时，易知8S =. 当矩形各边均不与坐标轴平行时，根据对称性，设其中一边所在直线方程为y kx m =+，则对边方程为y kx m =- 另一边所在的直线为1y x n k =-+，则对边方程为1y x n k=--，联立：2244x y y kx m ⎧+=⎨=+⎩，得()()222148410k x kmx m +++-=，则0∆=，即2241k m +=.矩形的一边长为1221m d k =+，同理：2241n k+=，矩形的另一边长为22211nd k =+， 122222111m n S d d k k =⋅=⋅=++()()()222224144411kk mnk k k ++=⋅++()()42222224174944411k k k k k ++=⋅=⋅+++(]229448,1012k k=⋅+∈++，综上：[]8,10S ∈. 【点睛】本题考查了直译法求曲线的轨迹方程.重点考查了求椭圆外切矩形的面积的取值问题，考查了基本不等式的应用.15．（2017·福建省福州第一中学一模（文））在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.【答案】（1）（2）面积的最小值为8.【解析】试题分析: （1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; （2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x 的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC 表示成0x 的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.试题解析: 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线的方程为.（Ⅱ）设，，直线的方程为：，又圆心（1,0）到的距离为1，所以.整理得：，同理可得：，所以，是方程的两根，所以，，依题意，即，则.因为所以.所以.当时上式取得等号，所以面积的最小值为8.16．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ，求点E 的轨迹方程．【答案】221(0)43x y y +=≠. 【解析】试题分析：借助题设条件运用椭圆的定义及圆的几何性质进行探求. 试题解析：因为||||AD AC =，//EB AC ，故EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以||||EB ED =，故||||||||||EA EB EA ED AD +=+=．又圆A 的标准方程为22(1)16x y ++=，从而||4AD =，所以||||4EA EB +=，题设得(1,0)A -，(1,0)B ，||2AB =，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为221(0)43x y y +=≠．考点：圆的几何性质及椭圆的定义等有关知识的综合运用．17．（2017·江苏丰县·高三阶段练习）已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(1,2)M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，求点Q 的轨迹方程．【答案】250x y -+=．【解析】试题分析：借助题设条件运用代点消元的思想进行探求. 试题解析：由题意知，M 为PQ 中点，设(,)Q x y ，则P 为(2,4)x y ---，代入230x y -+=，得250x y -+=．考点：代点消元法求轨迹方程的运用．18．（2022·全国·高三专题练习）给定双曲线2212y x -=．过21A （，）的直线与双曲线交于两点1P 及2P ，求线段12PP 的中点P 的轨迹方程．【答案】22240x y x y --+= 【分析】设()()111222,,,P x y P x y ，代入双曲线方程后相减，再根据中点坐标公式代入即可求得中点P 的轨迹方程．再讨论斜率不存在时是否满足方程即可．【详解】设()()111222,,,P x y P x y ，代入方程得222212121,122y y x x -=-= 两式相减得：()()()()12121212102x x x x y y y y +--+-= 又设中点P(x y)，将12122,2x x x y y y +=+=代入，当12x x ≠时得12122202y y y x x x --⋅=- 又121212y y y k x x x --==--代入得22240x y x y --+=当弦12P P 斜率不存在时，其中点20P （，）的坐标也满足上述方程因此所求轨迹方程是 22240x y x y --+= 【点睛】本题考查了直线与曲线相交的中点弦问题，点差法解决中点问题的用法，属于基础题． 19．（2012·河北衡水·高三阶段练习（理））设直线:0l x y m -+=与抛物线2:4C y x =交于不同两点A 、B ，F 为抛物线的焦点．（1）求ABF ∆的重心G 的轨迹方程；（2）如果2,m ABF =-∆求的外接圆的方程．【答案】解：①设，，，重心，∴△＞0＜1且（因为A 、B 、F 不共线）故∴重心G 的轨迹方程为（6分）②，则，设中点为∴∴那么AB 的中垂线方程为令△ABF 外接圆圆心为又，C 到AB 的距离为∴∴∴∴所求的圆的方程为（7分）【解析】(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，F (1,0)，重心G (x ，y )，24{0y x x y m ＝，－＋＝⇒y 2－4y ＋4m ＝0， ∴Δ>0⇒m <1且m ≠－1(A ，B ，F 不共线)，故12121212152333{433x x y y m mx y y y ＋＋＋－＋－＝＝＝，＋＝＝∴重心G 的轨迹方程为y ＝47133x x ⎛⎫>≠ ⎪⎝⎭且.(2)若m ＝－2，则y 2－4y －8＝0，设AB 中点为(x 0，y 0，) ∴y 0＝122y y ＋＝2，∴x 0＝y 0－m ＝2－m ＝4，那么AB 的中垂线方程为x ＋y －6＝0，令△ABF 的外接圆圆心为C (a,6－a )，又|AB |211k+y 1－y 2|＝6C 到AB 的距离为d 282a －|CA |＝|CF |⇒6)2＋22＝(a －1)2＋(6－a )2⇒a ＝192， ∴C 点的坐标为197,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴|CF |2＝172⎛⎫ ⎪⎝⎭2＋72⎛⎫⎪⎝⎭2＝1692，∴所求的圆的方程为192x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2＋72y ⎛⎫+ ⎪⎝⎭2＝1692. 20．（2011·河北·高三专题练习）已知两定点(2,0)A -、(1,0)B ，如果动点P 满足2PA PB =，求点P 的轨迹方程. 【答案】2240x y x +-= 【分析】先设(,)P x y 2222(2)2(1)x y x y ++-+.【详解】设(,)P x y ，因为(2,0)A -、(1,0)B ，且2PA PB =，= 整理得2240x y x +-=.即点P 的轨迹方程为2240x y x +-=. 【点睛】本题主要考查轨迹方程，熟记求轨迹方程的一般步骤即可，属于基础题型.21．（2021·全国·高二课时练习）已知ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程．【答案】221259x y +=（0y ≠）．【分析】根据题意可得10BC AC AB +=>，则点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点，求得,,a b c 即可得出答案. 【详解】解：∵ABC 的两个顶点坐标()4,0A -，()4,0B ，周长为18， ∴8AB =，10BC AC +=， ∵108BC AC +=>，∴点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值，且定值大于A ，B 两点间距离， ∴点C 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，去除直线AB 上的点， ∵210a =，28c =，∴3b =，∴顶点C 的轨迹方程是221259x y +=（0y ≠）．22．（2021·江西·景德镇一中高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy 中，动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切.（1）求动圆圆心P 的轨迹方程E ；（2）若直线(1)x t t =≠与轨迹E 交于A ，B 两点，直线2BC 交轨迹E 于另一个点M ，连接AM 交x 轴于点N ，试探究；是否存在t ，使得2MC N 的面积等于94？若存在，求出全部的t 值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）221(2)43x y x +=≠（2）存在，137t = 【分析】（1）设动圆P 的半径为r ，根据题意得动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，再根据圆1C 与圆2C 内切于点()2,0，进而得方程221(2)43x y x +=≠；（2）设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，进而根据M ，A ，N 三点共线和221x my =+得121221()N my y x y y =+*+，再联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩并结合韦达定理得4N x =，再结合面积得1=M x ，进而得1M x =-，310AM k =，再求解得存在唯一137t =满足题意.（1）解：221:(1)9C x y ++=，222:(1)1C x y -+=设动圆P 的半径为r ，因为动圆P 与圆221:28C x y x ++=内切，与圆222:20C x y x +-=外切所以1231PC r PC r ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，12124PC PC C C ∴+=>，由椭圆的定义可知，动点P 的轨迹为以1C ，2C 为焦点，实轴长为24a =的椭圆，又因为圆221:28C x y x ++=与圆222:20C x y x +-=内切于点()2,0，所以动圆圆心P 的轨迹方程为：221(2)43x y x +=≠ （2）解：设直线2BC 的方程为1(0)x my m =+≠，11(,)B x y ，22(,)M x y ，则11(,)A x y -∵M ，A ，N 三点共线AM AN k k ∴=，即211211N y y y x x x x +=--，整理得121112()N y x x x x y y -=++ 又221x my =+代入，121221()N my y x y y =+*+ 联立22221(34)690431x y m y my x my ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩122634my y m -∴+=+，122934y y m -=+ 代入()*可得4N x =，又229342MC NSy =⇒=，21x =，因为1t ≠，所以21x ≠-，故21x =-，11310AM N y k x x ∴==±-，由对称性，不妨取310AM k = 3:(4)10ANl y x ∴=-代入椭圆22143x y +=，得276130x x --=1137M x x ∴⋅=-，1137x ∴=， ∴存在唯一137t =满足题意。

动点轨迹课件

动点轨迹ppt课件
在这个课件中，我们将探索动点轨迹是什么、如何创作以及如何在PPT中使用它们。动点轨迹可以让你的PPT更加引人注目，让你的内容更易于理解。
什么是动点轨迹
1 定义
2 应用场景
动点轨迹是指在PPT演示文稿中加入一些动画辅助元素，使得整个PPT演示更具有视觉冲击力和表现力。
动点轨迹可以应用在各个行业，如商业、教育、科技、艺术以及娱乐等领域。它能够激发观众的注意力，提高演示效果。
• 要灵活运用不同形式的动点轨迹，使得PPT更加生动形象 • 要从点位、运动路径、速度控制等多个方面考虑，打造更具有表现力
的动点轨迹 • 要了解观众的观感感受，运用画ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ色彩、音乐和特效等手段，增强视
觉和听觉效果
动点轨迹实例
展示几个动点轨迹的实例，让大家了解动点轨迹的丰富应用场景。
PPT中如何使用动点轨迹
应用方法
在PPT中应用动点轨迹的方法，让大家了解如何添加和调整动点轨迹效果。
增强视觉效果
使用动点轨迹可以增强PPT的视觉效果，提高观众对PPT的兴趣和认知。
搭配应用
动点轨迹可以和文字、图片、音乐等元素搭配应用，让PPT更加生动、有趣。
配合画面情感和节奏变化而变化
采用流线型设计，符合视觉直觉的感知轨迹
速度控制强调画面重点和文本重点
缓和节奏变化，增加观感的舒适度
本案例通过重点突出、情感变化、舒适度掌控等手段，创造了一个关于五种动物的课件，让观众在欣赏动点轨迹的同时，深入了解五种动物的特点和生态习性。
创作动点轨迹的技巧和要点
创作动点轨迹
制作工具
创作动点轨迹最常用的工具是Adobe After Effects。此外，还可以使用PPT内置工具，如形状绘制和动画效果。

(完整版)高中数学动点轨迹问题专题讲解

动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．（2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．（5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段2．（）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠）（B ）221144169x y +=（0x ≠）（C ）22116925x y +=（0y ≠）（D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是；5．已知圆C ：22(16x y +=内一点)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是．(212y x =)8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．(4kx =（28k y >）)9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦PQ 中点的轨迹方程为．解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-．解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-．当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程．（定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ，求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =， GM AB R λλ=(∈)．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x yG ． ∵ GM AB λ=，点M 在x 轴上，∴ (,0)3x M ．∵ ||||MA MC =，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=．故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ．由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k-++． ∵ ||||AP AQ =，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±．故k 的取值范围是11k -<<且k ≠． 5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+，(0,4)MN =，(,2)PN x y =--,48MP MN y ⋅=+．4PN MN x ⋅=……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅，∴48y += 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =（1m >），0MN AF =⋅，1()2ON OA OF =+，//AM ME ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=，1()2ON OA OF =+，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME ，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===，||||MA MF =， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++，(2)b xi y j =+-，且||||8a b +=．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．0OP OA OB =+=，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k =-+， OP OA OB =+，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=．1122(,),(,)OA x y OB x y ==，∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得54k =±．故存在直线l ：534y x =±+，使得四边形OAPB 是矩形． 8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E 满足：||EF =2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =，点P 满足：//PQ EF ，0PM FQ ⋅=．（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =，//PQ EF ，∴(,1)Q x -，(, 0)2x M ．∵0PM FQ ⋅=，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =．（2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA 又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=，||||PM PN =．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--，(1,)2y PF =-，又0PM PF ⋅=，∴204y x -+=，即动点N 的轨迹方程为24y x =．（2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=，0MN MP +=．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-、(, 1)MF a =-、(, )MP x a y =-．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =，故动点P 的轨迹方程为214y x =．（2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-， O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+．（1）求m n ⋅的值；（2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =，求l 的方程．解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-，∴ 14mn =．（2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得 2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||20AB =点P 满足OP OA OB =+．记动点P 的轨迹为C ．（I ）求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11()A x x，22(,)B x x ． ∵OP OA OB =+，∴1212,()5x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,2x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又20AB =， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=．即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II ）设N （s ，t ），M （x ，y ），则由DN DM λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)．故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=．又 4t ≤， ∴421517≤-λλ．解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）． 13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2．（1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（3y x =±）（2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=）提示：()221212||10()10AB x x y y =⇒-+-=，又1133y x =-，2233y x =，则12213()3y y x x +=-，21123()3y y x x -=+．又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在） 14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d ，已知2||2PF d =，且2332d ≤≤．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若13PF OF ⋅=，求向量OP 与OF 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =，点M 满足3MP PF =，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅．（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：lxyCGFOPM2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ①设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k-．即k >或1k 2<，且k≠0．∴k 的取值范围是113(,)(,0)(0,)(,)3223-∞--+∞．…………………14分 17．已知向量OA =(2，0)，OC =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM ·AM =K(CM ·BM -d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=，1()2OM OA OB =+，1()2ON OC OD =+．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=， ∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）．第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->． 20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式EM EB EB '=+．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=，求实数λ的取值范围．。

高考数学《动点的轨迹方程》的知识点归纳

高考数学《动点的轨迹方程》的知识点归纳高考数学《动点的轨迹方程》的知识点归纳在平日的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点在教育实践中，是指对某一个知识的泛称。

那么，都有哪些知识点呢？以下是店铺收集整理的高考数学《动点的轨迹方程》的知识点归纳，欢迎大家分享。

高考数学知识点：动点的轨迹方程动点的轨迹方程：在直角坐标系中，动点所经过的轨迹用一个二元方程f（x，y）=0表示出来。

求动点的轨迹方程的基本方法：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法等。

1、直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的技巧，易于表述成含x，y的等式，就得到轨迹方程，这种方法称之为直接法；用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。

求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却不仅要求出方程而且要说明轨迹是什么。

2、定义法：利用所学过的圆的定义、椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直接写出所求的动点的.轨迹方程，高考生物，这种方法叫做定义法．这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件，或利用平面几何知识分析得出这些条件。

定义法的关键是条件的转化。

转化成某一基本轨迹的定义条件；3、相关点法：动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x，y）却随另一动点Q（x′，y′）的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹为给定或容易求得，则可先将x′，y′表示为x，y的式子，再代入Q的轨迹方程，然而整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。

一般地：定比分点问题，对称问题或能转化为这两类的轨迹问题，都可用相关点法。

4、参数法：求轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借助中间变量（参数），使x，y之间建立起联系，然而再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程。

用什么变量为参数，要看动点随什么量的变化而变化，常见的参数有：斜率、截距、定比、角、点的坐标等。

求动点轨迹的基本方法

求动点轨迹的基本方法动点轨迹是描述物体在一定时间内或在一定空间内的运动情况的几何形状。

求解动点轨迹的基本方法主要包括几何法和解析法。

一、几何法：几何法主要基于对物体运动的直观观察和几何图形的性质，通过描绘和分析物体运动的几何图形来求解动点轨迹。

1.寻找特殊运动点：观察物体运动中是否存在固定点、对称点或者不动点，因为这些点通常构成运动的基本要素。

例如，当一个物体做圆周运动时，圆心就是不动点，固定于圆心运动的点就是在圆上等距离地运动。

2.描绘位置图形：根据物体运动过程中的关键时刻或关键时刻的位置，用直线、曲线、抛物线等几何图形来描绘出物体的位置。

例如，当一个物体做匀速直线运动时，可以用一条直线来表示其轨迹。

3.利用几何性质进行分析：利用几何图形的性质，如直线上的点的等距离关系、圆心到圆上任意一点的距离相等等，来分析运动的特点和运动过程中的关系。

二、解析法：解析法是通过建立数学模型来描述物体运动的轨迹，并借助数学计算和推理方法求解动点轨迹。

1.建立运动方程：根据物体的运动特点和问题的条件，建立相应的运动方程。

例如，当一个物体做匀速直线运动时，可以用位置函数x=f(t)来描述其运动，其中x为位置，t为时间，f(t)为一个关于时间t的函数。

2.求解方程：利用运动方程进行数学计算，将问题中所给的条件代入方程，通过计算和推导求解出物体的位置和时间的关系。

例如，当已知物体的速度函数v=f(t)时，可以通过积分计算来求得物体的位移函数x=f(t)。

3. 绘制轨迹图形：根据所得到的数学关系，可以绘制出物体的轨迹图形，描绘出物体在空间中的运动情况。

例如，当已知物体在xy平面上任意时刻的位置(x,y)与时间t的关系时，可以将这些位置点连成曲线，得到物体的轨迹。

几何法和解析法是求解动点轨迹的两种基本方法，它们在不同的问题中有不同的应用。

在实际问题中，通常需要结合几何法和解析法来分析和求解动点轨迹问题，以得到更全面和准确的结果。

(完整版)立体几何中的轨迹问题(总结+讲义+练习),推荐文档

立体几何中的轨迹问题在立体几何中，某些点、线、面依一定的规则运动，构成各式各样的轨迹，探求空间轨迹与求平面轨迹类似，应注意几何条件，善于基本轨迹转化．对于较为复杂的轨迹，常常要分段考虑，注意特定情况下的动点的位置，然后对任意情形加以分析判定，也可转化为平面问题．对每一道轨迹命题必须特别注意轨迹的纯粹性与完备性．立体几何中的最值问题一般是指有关距离的最值、角的最值或面积的最值的问题．其一般方法有：1、几何法：通过证明或几何作图，确定图形中取得最值的特殊位置，再计算它的值；2、代数方法：分析给定图形中的数量关系，选取适当的自变量及目标函数，确定函数解析式，利用函数的单调性、有界性，以及不等式的均值定理等，求出最值．轨迹问题【例1】如图，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE AC．则动点P的轨迹与△SCD组⊥成的相关图形最有可能的是( )D DA．B．C．解析：如图，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD．设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是△SCD的中位线FG．由正四棱锥可得SB⊥AC，EF⊥AC．又∵EG∥SB ∴EG⊥AC∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG，E∈平面EFG，∴AC⊥PE．另解：本题可用排除法快速求解．B中P在D点这个特殊位置，显然不满足PE AC；C中P点所在的轨⊥迹与CD平行，它与CF成角，显然不满足PE AC；D于中P点所在的轨迹与CD平行，它与CF所成的角π4⊥为锐角，显然也不满足PE AC．⊥评析：动点轨迹问题是较为新颖的一种创新命题形式，它重点体现了在解析几何与立体几何的知识交汇处设计图形．不但考查了立体几何点线面之间的位置关系，而且又能巧妙地考查求轨迹的基本方法，是表现最为活跃的一种创新题型．这类立体几何中的相关轨迹问题，如“线线垂直”问题，很在程度上是找与定直线垂直的平面，而平面间的交线往往就是动点轨迹．【例2】(1)如图，在正四棱柱ABCD —A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．(2)正方体ABCD—A1B1C1D1中，P在侧面BCC1B1及其边界上运动，且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是线段B1C．(3)正方体ABCD —A1B1C1D1中，E、F分别是棱A1B1，BC上的动点，且A1E=BF，P为EF的中点，则点P的轨迹是线段MN(M、N分别为前右两面的中心)．(4)已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合形成一条曲线，那么这条曲线的形状是，它的长度是．1ACC1AE1AA1A1(1)(2)(3)(4)若将“在正方体的侧面BCC1B1上到点A距离为的点的集合”改为“在正方体表面上与点A距离为的点的集合”那么这条曲线的形状又是，它的长度又是．A【例3】(1)(04北京)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是 ( D )A ．A 直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线变式：若将“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等”改为“P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离之比为1：2(或2：1)”，则动点P 的轨迹所在的曲线是椭圆 (双曲线)．(2)(06北京)平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是 (A )A ．一条直线B ．一个圆C ．一个椭圆D ．双曲线的一支解：设l 与l 是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上，故选A ．(3)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，M 在棱AB 上，且AM =，点P 到直13线A 1D 1的距离与点P 到点M 的距离的平方差为1，则点P 的轨迹为抛物线．(4)已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为3，长为2的线段MN 点一个端点M 在DD 1上运动，另一个端点N 在底面ABCD 上运动，则MN 的中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积为．π6【例4】(04重庆)若三棱锥A -BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与△ABC 组成图形可能是：( D )BAB CD 【例5】四棱锥P -ABCD ，AD ⊥面PAB ，BC ⊥面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD =4，BC =8，AB =6，∠APD =∠CPB ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是()A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分分析：∵AD ⊥面PAB ，BC ⊥平面PAB ∴AD ∥BC 且AD ⊥PA ，CB ⊥PB ∵∠APD =∠CPB ∴tanAPD =tanCPB∴=AD PA CBPB ∴PB =2PA在平面APB 内，以AB 的中点为原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (-3，0)、B (3，0)，设P (x ，y )(y ≠0)，则(x -3)2+y 2=4[(x +3)2+y 2](y ≠0)即(x +5)2+y 2=16(y ≠0)∴P 的轨迹是(B)1AA 3A立体几何中的轨迹问题（教师版）1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（D ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分简析本题主要考查点到直线距离的概念，线面垂直及抛物线的定义．因为B 1C 1面AB 1，所以⊥PB 1就是P 到直线B 1C 1的距离，故由抛物线的定义知：动点的轨迹为抛物线的一段，从而选D ．2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（B ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（C ）．A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（A ）．A ．圆或圆的一部分B ．抛物线或其一部分C ．双曲线或其一部分D ．椭圆或其一部分简析由条件易知：AC 是平面BB 1D 1D 的法向量，所以EP 与直线AC 成等角，得到EP 与平面BB 1D 1D 所成的角都相等，故点P 的轨迹有可能是圆或圆的一部分．5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为A D 11（A ）．A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆简析在正方体中，过P 作PF AD ，过F 作FE A 1D 1，垂足分别为F 、E ，ABCD A B C D -1111⊥⊥连结PE ．则PE 2=a 2+PF 2，又PE 2-PM 2=a 2，所以PM 2=PF 2，从而PM ＝PF ，故点P 到直线AD 与到点M 的距离相等，故点P 的轨迹是以M 为焦点，AD 为准线的抛物线．6．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为__________．简析在解题中，我们要找到运动变化中的不变因素，通常将动点聚焦到某一个平面．易证BD 1面ACB 1，所以满足BD 1AP 的所有点P 都在一个平面ACB 1上．而已知条件中的点P 是在侧面BCC 1B 1及⊥⊥其边界上运动，因此，符合条件的点P 在平面ACB 1与平面BCC 1B 1交线上，故所求的轨迹为线段B 1C ．本题的解题基本思路是：利用升维，化“动”为“静”，即先找出所有点的轨迹，然后缩小到符合条件的点的轨迹．7．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________．答案线段MN （M 、N 分别为SC 、CD 的中点）8．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．（除去两点的圆）9．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是：（D ）∆A A A AB C B C B C B C A B C D简析动点P 在侧面ABC 内，若点P 到AB 的距离等于到棱BC 的距离，则点P 在的内角∠ABC 平分线上．现在P 到平面BCD 的距离等于到棱AB 的距离，而P 到棱BC 的距离大于P 到底面BCD 的距离，于是，P 到棱AB 的距离小于P 到棱BC 的距离，故动点P 只能在的内角平分线与AB 之间的区域∠ABC 内．只能选D ．10．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（B ）． A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解题的要领就是化空间问题为平面问题，把一些重要元素集中在某一个平面内，利用相关的知识去解答，象平面几何知识、解析几何知识等．11．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD A B C D -1111BCC B 11233成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．12．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是．PM MQ =2提示轨迹的图形是一个平行四边形．13．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，求MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积．14．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为的点的轨迹是（）l 29A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点简析：如图，设点P 在平面内的射影是O ，则OP 是、的公垂线，OP=4．在βαβ点的轨迹是四个点，故选C ．16．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分简析：因为面PAB ，面PAB ，所以AD//BC ，且．⊥AD ⊥BC ︒=∠=∠90CBP DAP 又，8BC ,4AD ,CPB APD ==∠=∠由于点P 不在直线AB 上，故此轨迹为一个不完整的圆，选B ．17．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点简析：因为，且PC 在内的射影为BC ，所以，即．所以点C 的轨迹是PC AC ⊥αBC AC ⊥︒=∠90ACB 以AB 为直径的圆且去掉A 、B 两点，故选B ．18．如图，在正方体中，P 是侧面内一动点，若P 到直线1111D C B A ABCD -1BC BC 与直线的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）11D C A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线简析：因为P 到的距离即为P 到的距离，所以在面内，P 到定点11D C 1C 1BC 的距离与P 到定直线BC 的距离相等．由圆锥曲线的定义知动点P 的轨迹为抛物线，故选D ．1C 19．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线简析：如图4，以A 为原点，AB 为x 轴、AD 为y 轴，建立平面直角坐标系．设P （x ，y ），作于E 、于F ，连结EF ，易知AD PE ⊥11D A PF ⊥建议收藏下载本文，以便随时学习！1x |EF ||PE ||PF |2222+=+=又作于N ，则．依题意，CD PN ⊥|1y ||PN |-=|PN ||PF |=故动点P 的轨迹为双曲线，选B ．20．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（）（A ）圆（B ）椭圆（C ）一条直线（D ）两条平行直线分析：由于线段AB 是定长线段，而△ABP 的面积为定值，所以动点P 到线段AB 的距离也是定值．由此可知空间点P 在以AB 为轴的圆柱侧面上．又P 在平面内运动，所以这个问题相当于一个平面去斜切一个圆柱(AB 是平面的斜线段)，得到的切痕是椭圆．P 的轨迹就是圆柱侧面与平面的交线．a 21．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）M N ，BP x =MN y =()y f x=ABCD MN P A 1B 1C 1D 1分析：将线段MN 投影到平面ABCD 内，易得y 为x 一次函数．22．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．图5简析：如图5，易知线段AB 的中点P 在公垂线段MN 的中垂面上，直线、为平面内过MN 的中α'a 'b α点O 分别平行于a 、b 的直线，于，于，则，且P 也为的中点．'a 'AA ⊥'A 'b 'BB ⊥'B P 'B 'A AB =⋂'B 'A 由已知MN=2，AB=4，易知得．,2AP ,1'AA ==32'B 'A =则问题转化为求长等于的线段的两个端点、分别在、上移动时其中点P 的轨迹．现以32'B 'A 'A 'B 'a 'b 的角平分线为x 轴，O 为原点建立如图6所示的平面直角坐标系．'OB 'A ∠图6设，，)y ,x (P n |'OB |,m |'OA |==则)n 21,n 23('B ),m 21,m 23('A -)n m (41y ),n m (43x -=+=222)32()n m (41)n m (43=++-消去m 、n ，得线段AB 的中点P 的轨迹为椭圆，其方程为．1y 9x 22=+点评：例5和例6分别将立体几何与解析几何中的双曲线与椭圆巧妙地整合在一起，相互交汇和渗透，有利于培养运用多学科知识解决问题的能力．立体几何中的轨迹问题1．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 与到直线B 1C 1的距离相等，则动点P 所在曲线的形状为（）A ．线段B ．一段椭圆弧C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为2：1，则动点P 所在曲线的形状为（） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分3．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的侧面AB 1内有一点P 到直线AB 的距离与到直线B 1C 1的距离之比为1：2，则动点P 所在曲线的形状为（） A ．线段 B ．一段椭圆弧 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分4．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 为AA 1的中点，点P 在其对角面BB 1D 1D 内运动，若EP 总与直线AC 成等角，则点P 的轨迹有可能是（） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线或其一部分 C ．双曲线或其一部分 D ．椭圆或其一部分5．已知正方体的棱长为a ，定点M 在棱AB 上（但不在端点A ，B 上），点P 是平面ABCD A B C D -1111ABCD 内的动点，且点P 到直线的距离与点P 到点M 的距离的平方差为a 2，则点P 的轨迹所在曲线为（ A D 11）A ．抛物线B ．双曲线C ．直线D ．圆6．若三棱锥A —BCD 的侧面ABC 内一动点P 到底面BCD 的距离与到棱AB 的距离相等，则动点P 的轨迹与ABC 组成的图形可能是（ ∆）A A AB C B C B C B CA B C D7．已知P 是正四面体S-ABC 的面SBC 上一点，P 到面ABC 的距离与到点S 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（） A ．圆B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线8．已知平面平面，直线，点，平面、间的距离为4，则在内到点P 的距离为5且到直//αβl α⊂l P ∈αββ线的距离为的点的轨迹是（l 29）A ．一个圆B ．两条平行直线C ．四个点D ．两个点9．在四棱锥中，面PAB ，面PAB ，底面ABCD 为梯形，AD=4，BC=8，AB=6，ABCD P -⊥AD ⊥BC ，满足上述条件的四棱锥的顶点P 的轨迹是（）CPB APD ∠=∠A ．圆B ．不完整的圆C ．抛物线D ．抛物线的一部分10．如图，定点A 和B 都在平面内，定点P C 是内异于A 和B α,PB ,α⊥α∉α的动点．且，那么动点C 在平面内的轨迹是（）AC PC ⊥αA ．一条线段，但要去掉两个点B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点11．已知正方体的棱长为1，点P 是平面AC 内的动点，若点P 到直线的距离等于点1111D C B A ABCD -11D A P 到直线CD 的距离，则动点P 的轨迹所在的曲线是（）A ．抛物线B ．双曲线C ．椭圆D ．直线12．如图，AB 是平面的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面内运动，使得△ABP a a 的面积为定值，则动点P 的轨迹是（）A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线13．如图，动点在正方体的对角线上．过点作垂直于平面的直线，与正P 1111ABCD A B C D -1BD P 11BB D D 方体表面相交于．设，，则函数的图象大致是（）M N ，BP x =MN y =()y f x =ABCD MN P A 1B 1C 1D 114．在正方体中，点P 在侧面BCC 1B 1及其边界上运动，总有AP BD 1，则动点P 的轨迹ABCD A B C D -1111⊥为________．15．在正四棱锥S-ABCD 中，E 是BC 的中点，点P 在侧面SCD 内及其边界上运动，总有PE AC ，则动点∆⊥P 的轨迹为_______________．16．若A 、B 为平面的两个定点，点P 在外，PB ，动点C （不同于A 、B ）在内，且PC AC ，则αα⊥αα⊥动点C 在平面内的轨迹是________．17．已知正方体的棱长为1，在正方体的侧面上到点A 距离为的点的轨迹形ABCD AB C D -1111BCC B 11233成一条曲线，那么这条曲线的形状是_________，它的长度为__________．18．已知长方体中，，在线段BD 、上各有一点P 、Q ，PQ 上有一点ABCD A B C D -1111AB BC ==63,A C 11M ，且，则M 点轨迹图形的面积是．PM MQ =219．已知棱长为3的正方体中，长为2的线段MN 的一个端点在上运动，另一个端点ABCD A B C D -1111DD 1N 在底面ABCD 上运动，则MN 中点P 的轨迹与正方体的面所围成的几何体的体积是．20．已知异面直线a ，b 成角，公垂线段MN 的长等于2，线段AB 两个端点A 、B 分别在a ，b 上移动，且︒60线段AB 长等于4，求线段AB 中点的轨迹方程．。

动点轨迹求法(六部分全)

动点轨迹求法一考点分析解析几何的主要考点是：（1）直线与方程，重点是直线的斜率、直线方程的各种形式、两直线的交点坐标、两点间的距离公式、点到直线的距离公式等；（2）圆与方程，重点是确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、直线与圆和圆与圆的位置关系，以及坐标法思想的初步应用；（3）圆锥曲线与方程，重点是椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质，圆锥曲线的简单应用，曲线与方程的关系，以及数形结合的思想方法等．二命题趋势解析几何是高中数学的一个重要内容，其核心内容是直线和圆以及圆锥曲线．由于平面向量可以用坐标表示，因此以坐标为桥梁，可以使向量的有关运算与解析几何中的坐标运算产生联系，平面向量的引入为高考中解析几何试题的命制开拓了新的思路，为实现在知识网络交汇处设计试题提供了良好的素材．解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，利用代数的方法研究几何问题的基本特点和性质．解析几何试题对运算求解能力有较高的要求．解析几何试题的基本特点是淡化对图形性质的技巧性处理，关注解题方向的选择及计算方法的合理性，适当关注与向量、解三角形、函数等知识的交汇，关注对数形结合、函数与方程、化归与转化、特殊与一般思想的考查，关注对整体处理问题的策略以及待定系数法、换元法等的考查．在高考试卷中该部分一般有1至2道小题有针对性地考查直线与圆、圆锥曲线中的重要知识和方法；一道综合解答题，以圆或圆锥曲线为依托，综合平面向量、解三角形、函数等综合考查解析几何的基础知识、基本方法和基本的数学思想方法在解题中的应用，这道解答题往往是试卷的把关题之一．三知识网络四考点对接1 直接法：用直接法求轨迹方程的步骤：（1）恰当地建立直角坐标系（如已经建立，此步可以省略）；（2）设动点P(x，y)为轨迹上任意一点；（3）用动点坐标P（x，y）表示问题中的几何关系，列出等式关系；（4）化简并整理得轨迹方程。

注意：如果含有参数，则必须进行讨论。

平面动点的轨迹说课教案

▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌平面动点的轨迹说课教案福州三中黄炳锋课题《平面动点的轨迹》，根据重点中学实施素质教育的课堂教学模式：“创设情境、激发情感、主动发现、主动发展”来设计，本节说课教案包括教材和学生已有的认知结构的分析、教学方法与手段、学法指导、教学程序四个部分。

一、教材和学生已有的认知结构的分析【教材的地位与作用】这是一节复习课，教材源于课本又高于课本；轨迹问题有深厚的生活背景，其重要性不言而喻；求平面动点的轨迹方程问题涉及集合、方程、三角、平面几何等基础知识，渗透着运动与变化，数与形等辩证思想，它是中学数学的重要内容，也是高考数学考查的重点之一，它的解题特点是：用代数方法解决集合问题，用坐标来描述点的特征，用方程来体现形的关系，解题讲究数形结合，整体转化，设而不求，巧思精算等等；本节内容设计为从一个课本的习题，通过不断改变题设，逐步演化为2003年新教材高考的一个试题，以圆的几何性质、向量变换、定比分点等知识为依托，展示问题变化的内在联系，有步骤地复习直译法、定义法、相关点代入法、交轨法、参数法这五种求轨迹的基本方法，学习过程始终贯穿辩证的思维，运用了坐标思想、方程思想、数相结合的思想等，学习本节内容不仅有助于学生系统地掌握求轨迹方程的基本方法、掌握图形变化的基本规律，还用具体的实例说明了“源于课本，高于课本”这一高考命题的思想；【学生已有的认知结构】根据最近发展区的原则，在学生自我认知的基础上逐步提高思维能力训练，是最佳的教学设计。

学生已有的认知结构是初步掌握了求轨迹的基本步骤，印象较为模糊的求轨迹的基本方法，没有形成规律性和系统性，对图形的变化缺乏动态的认识，对数学知识的综合运用心理准备不足，面对新背景、新问题时一脸茫然；克服恐“高（考）”症，就是要突破学生的已有认知结构，在力所能及的范围里，有效引导学生主动发现问题的实质，主动发展问题的变形，自高而下的看待高考试题的源头，认清庐山真面目；【教学目标】基础知识：用运动的观点理解掌握在不同条件下的平面动点的轨迹的求解方法，借助几何性质，避免冗长的计算；能力训练：利用现代教育技术，模拟动点运动，增强直观性，激励学生学习动机；创新素质：培养学生的数学直觉能力和抽象思维能力；个性品质：主动参与教学过程，提出问题，解决问题；教学重点：灵活运用题设条件，确定动点所满足的等量关系，结合圆锥曲线的定义确定曲线的类型。

探讨动态中空间图形的平面轨迹问题

【点
评】能够想象 ‘ ‘
出几何图形的直观形象及
其运动和变化” 是空间想象能力高层次的标志。通过图形（或点、线）的旋转（点动成线，线动成面。面动成体）运用“ 动” ，运的思想，
点到直线ＡＰ的距离。
。． ’
ＤｌＣ１
侈题目见例ｔ４４：
。
（答案：０）６。
解：建立平面直角坐标系如图所示，设Ｐ（，）直线Ａ的方程为ｘＹ，Ｐｙｋ，过ｃ作Ｃ＝ｘＥ￣Ａ，连接ｃ，ＰＥ，
Ｃｌ上面ＡＣ．Ｅ上ＡＰ．Ｃ１为Ｃ１ＣＣｌＥ．
策略可以从以下四个方面考虑。
一
解：如图，Ｐ点作Ｐ过Ｏ上面ＢＤ．Ｃ
Ｏ－Ｃ连接ＰＰＥｊＢ，Ｅ、Ａ，
‘ ．
．
Ａ
Ｐ上ＢＥＣ，ＺＰＯ为二面角Ｅ
Ｄ
ＡＢ — 的平面角。设ＡＰＯ则～ＣＤＥ＝
ｓ仅为定值且０ｉ＜１ｉｎ＜ｓｎ
棱长为１正方体ＡＣＡＢＣＤ的体对角线，的ＢＤ－，Ｐ为底面正方形
ＡＣ内一动点， △ＡＣ的面积ＳＢＤ若ＰＡＡＣ＝，动点Ｐ的轨Ｐ则迹为（）。
【点
空问元素间的数量关系转化为该平面上数与形的关系并结合常见
ｓｕｘｅｄｈｉｈｕａｓｉｅｊ
借助立体几何的线面之间的位置关系为依托，考查动态空间图形的平面轨迹问题，是高考的热点。要求用运动变化的观点解决空间位置关系的判断与计算。这对学生的空间想象能力、逻辑推理能力和转化能力要求较高。面对这类问题，不少学生找不到解题的突破口，究其原因，一方面是空间想象能力欠缺，另一方面是难把握运动变化的实质，以形成准确、难直观的几何模型。其具体求解

动点轨迹为圆的判定-概述说明以及解释

动点轨迹为圆的判定-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言部分是文章的开端，用来介绍文章的主题，概述文章的内容和结构。

在本文中，我们将探讨动点轨迹为圆的判定问题。

动点轨迹是指一个点在运动过程中所形成的路径，而当这个轨迹呈现为圆形时，我们称之为动点轨迹为圆。

本文将从动点轨迹为圆的定义开始，介绍判定动点轨迹为圆的条件，探讨这个问题在实际应用中的意义。

通过对这一问题的探讨，我们可以更深入地了解动点运动的规律，并且可以应用这个概念解决实际问题。

通过本文的阐述，希望读者能够对动点轨迹为圆这一问题有更清晰的认识，并能够将这一概念运用到实际生活中。

1.2文章结构1.2 文章结构本文将首先介绍动点轨迹为圆的定义，包括对动点、轨迹和圆的解释。

接着，我们将详细讨论判定动点轨迹为圆的条件，包括在何种情况下动点的运动轨迹可以构成一个圆形。

最后，我们将探讨动点轨迹为圆的实际应用和意义，以及其在现实生活和科学领域中的重要性。

通过对这些内容的阐述，读者可以更加全面和深入地了解动点轨迹为圆的概念及其相关知识。

1.3 目的本文旨在探讨动点轨迹为圆的判定问题，通过对动点轨迹为圆的定义、判定条件和实际应用进行深入研究，希望能够为读者提供清晰的认识。

同时，通过这篇文章的撰写，也旨在帮助读者加深对这一领域的理解，拓宽视野，激发对数学问题的兴趣和思考。

最终，我们希望读者能够通过阅读本文，从中汲取知识，不断学习和进步，为今后的学习和工作积累宝贵的经验。

2.正文2.1 动点轨迹为圆的定义在机械学和动力学领域，动点是指系统中的一个点，它随着时间的推移而移动。

动点轨迹则是描述动点在运动过程中所经历的路径。

当我们讨论动点轨迹为圆时，指的是动点在运动过程中所形成的轨迹是一个圆形。

具体来说，当动点在平面上做匀速圆周运动时，它所形成的轨迹就是一个圆。

动点轨迹为圆的定义可以用数学语言来描述，即当动点在平面上运动时，它的坐标满足圆的方程。

动点轨迹为圆的特点是曲线上任意两点之间的距离保持不变，这也是圆的定义之一。

高中数学立体几何中动点的轨迹问题公开课教学课件

3 2
B .
2
13 5
FE
A
D
C
.m
3 2
m
3
2 2
D.m 2
13 5
m
3 2
B
C
例2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ( )
A.直线
B.圆
C.双曲线 D.抛物线
空间动点问题策略二：空间问题平面化
常见的解题策略有: (1)动态问题静态化
(2)空间问题平面化转化思想
(3)动态问题坐标化
批评指正
思考.已知直线l与平面α成60°角，平面α外的点A在直线l上， B点在平面α上，且直线AB与直线l成60°角，则点B的轨迹是
A.一条直线 B.抛物线 C.椭圆 D.双曲线
D1 A1
E D
A
C1
B1 F
C
B
练习1.如图正方体ABCD A1B1C1D1中, E为棱DD1上的
一点, DE
1 3
DD1，F为侧面CDD1C1上的动点,且
B1F 平面A1BE ,则B1F与平面CDD1C1所成角的正
切值构成的集合为
A1
D1
B1
C1
A.
A.圆的一部分
B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分
D1
C1
探究：
A1
B1
条件变一变, 得到其他选项
A
DP
C
B
练习4.(2008浙江)如图AB是平面α的斜线段,A为斜足,若点P在平面 α内运动，使得△ABP的面积为定值,则动点P的轨迹是

教案-动点轨迹方程的求法

教学过程
第一步：通过回忆圆的定义：
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称
为半径。知直角坐标系中，点 Q（2，集0合），说圆：C到的定方点程的距离等于定长的点的集合叫做圆
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
，动点 M 到圆 C 的切线长与
例 4 经过抛物线 y2=2p(x+2p)(p>0)的顶点 A 作互相垂直的两直线分别交抛物线于 B、C 两点，求线段 BC 的中点 M 轨迹方程。
5．交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数，例如求两动直线的交点时常用此法，也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然而消去参数得到轨迹方程。可以说是参数法的一种变种。
教学设计方案
Joinus Education LHH Learning Center
过已知条件找到他们的关系，得到的结果就是动点的轨迹方程；
下面再来看一题
例 2.若动圆与圆 (x 2)2 y2 4 外切且与直线 x=2 相切，则动圆
圆心的轨迹方程
解：设动圆圆心为 M，由题意，动点 M 到定圆圆心（－2，0）的距离等于它到定直线 x=4 的距离，故所求轨迹是以（－2，0）为焦点，直线 x=4 为准线的抛物线，并且 p=6，顶点是（1，0），
例 5 抛物线 y2 4 px( p 0) 的顶点作互相垂直的两弦 OA、OB，求抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射影 M 的轨迹。
6．几何法：利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律和动点满足的条件，然而得出动点的轨迹方程。 7．待定系数法：求圆、椭圆、双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 . 8．点差法：求圆锥曲线中点弦轨迹问题时，常把两个端点设为并代入圆锥曲线方程，然而作差求出曲线的轨迹方程。

高中数学精讲精练立体几何中动点的轨迹问题ppt课件

立体几何中动点的轨迹问题
引题：
(1)正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为2，点M是BC的中点，点P是平面ABCD内的一个动点，且满足PM=2，P 到直线A1D1的距离为 5 ，则点P的轨迹是( ) A.圆 B.双曲线 C.两个点 D.直线 (2)如图AB是平面α的斜线段，A为斜足，若点P在平面 α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.一条直线 D.两条平行直线
A1
B1 C1 F E
D1
A C
D
3 2 3 B 3 2 13 C . m m m D . m 2 5 2 2
例2. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 ( ) A.直线 B.圆 C.双曲线 D.抛物线
D1 C1 B1
A1
变式：若 PA 2PQ，结果如何？
O
A
D
C B
例3.已知正方体 ABC D- A1B1C1D1的棱长为 3，点O在棱 AA1上，且 O A1 2O A ，平面过点O且垂直于 AA1，点P 在平面内，PQ A1C1于点Q . 若PA 2PQ，则点 P的轨迹是 __________ _.
D C B
空间动点问题策略一：动态问题静态化
E
A
练习 1.如图正方体 ABCD A1 B1C1 D1中, E为棱DD1上的 1 一点, DE DD1，F为侧面 CDD1C1上的动点 ,且 3 B1 F 平面A1 BE , 则B1 F与平面 CDD1C1所成角的正切值构成的集合为 3 A . 2 2 13 B . 5

平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结

平面几何中的轨迹问题例题和知识点总结在平面几何的世界里，轨迹问题是一个既有趣又具有挑战性的领域。

它不仅要求我们对几何图形的性质有深入的理解，还需要我们具备灵活的思维和解题技巧。

接下来，让我们通过一些具体的例题来深入探讨平面几何中的轨迹问题，并对相关的知识点进行总结。

一、轨迹问题的基本概念轨迹，简单来说，就是一个动点在平面内按照一定的条件运动所形成的图形。

要确定一个轨迹，需要明确两个关键要素：动点满足的条件和动点运动的范围。

例如，一个点到定点的距离等于定长，那么这个点的轨迹就是一个圆。

这就是根据点的运动条件来确定轨迹的典型例子。

二、常见的轨迹类型1、直线型轨迹到两定点距离之和为定值的点的轨迹是椭圆（当定值大于两定点间的距离时）。

到两定点距离之差的绝对值为定值的点的轨迹是双曲线（当定值小于两定点间的距离时）。

到一条定直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行于该直线且与直线距离为定长的直线。

2、圆型轨迹到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆。

3、抛物线型轨迹到定点和定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线。

三、例题解析例 1：已知点 A(－2,0)，B(2,0)，动点 P 满足｜PA| ｜PB| ＝ 2，求点 P 的轨迹方程。

解：因为｜PA| ｜PB| ＝ 2 ＜｜AB| ＝ 4，所以点 P 的轨迹是以 A、B 为焦点的双曲线的右支。

2a ＝ 2，a ＝ 1，c ＝ 2，b²＝ c² a²＝ 3所以点 P 的轨迹方程为 x² y²/3 ＝ 1（x ≥ 1）例 2：一动点到直线 x ＝ 4 的距离等于它到点 A(1,0)的距离，求动点的轨迹方程。

解：设动点坐标为（x,y)，则动点到直线 x ＝ 4 的距离为｜x 4|，动点到点 A(1,0)的距离为√（x 1)²＋ y²由题意可得：｜x 4| ＝√（x 1)²＋ y²两边平方得：（x 4)²＝（x 1)²＋ y²展开化简得：y²＝ 6x 15所以动点的轨迹方程为 y²＝ 6x 15例 3：在平面直角坐标系中，点 P 到点 F(1,0)的距离比它到 y 轴的距离大 1，求点 P 的轨迹方程。

初中数学动点动态演示教案

初中数学动点动态演示教案教学目标：1. 理解动点的概念，掌握动点的运动规律。

2. 能够运用动点的知识解决实际问题。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

教学内容：1. 动点的定义和运动规律2. 动点在平面直角坐标系中的运动3. 动点在空间中的运动教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入动点的概念，让学生想象一个点在平面或空间中进行运动。

2. 提问：动点有什么特点？动点的运动有哪些规律？二、新课讲解（15分钟）1. 讲解动点的定义：动点是指在平面或空间中进行运动的点。

2. 讲解动点的运动规律：动点的运动可以分为直线运动和曲线运动。

直线运动又可以分为匀速直线运动和变速直线运动。

曲线运动可以分为匀速曲线运动和变速曲线运动。

3. 举例说明动点在不同情况下的运动规律，如在直线上的运动、在平面上的运动、在空间中的运动等。

三、课堂演示（15分钟）1. 使用动态演示软件或教具，展示动点在不同情况下的运动过程。

2.让学生直观地观察和理解动点的运动规律。

3. 引导学生进行思考和讨论，巩固对动点的理解和掌握。

四、练习与讨论（15分钟）1. 给出一些实际问题，让学生运用动点的知识进行解决。

2. 学生分组进行讨论，分享解题过程和答案。

3. 教师进行点评和指导，纠正学生的错误，解答学生的疑问。

五、总结与反思（5分钟）1. 对本节课的内容进行总结，让学生巩固对动点的理解和掌握。

2. 让学生反思自己在学习过程中的优点和不足，提出改进措施。

教学评价：1. 课堂讲解的清晰度和连贯性。

2. 学生的参与度和积极性。

3. 学生对动点的理解和掌握程度。

教学资源：1. 动态演示软件或教具。

2. 实际问题案例。

教学建议：1. 在讲解动点的时候，要注意引导学生理解和掌握动点的运动规律。

2. 在课堂演示环节，要让学生充分观察和理解动点的运动过程。

3. 在练习与讨论环节，要引导学生运用动点的知识解决实际问题，培养学生的实际应用能力。

动点轨迹问题

动点轨迹问题专题讲解一．专题内容：求动点(, )P x y 的轨迹方程实质上是建立动点的坐标, x y 之间的关系式，首先要分析形成轨迹的点和已知条件的内在联系，选择最便于反映这种联系的坐标形式，寻求适当关系建立等式，常用方法有：（1）等量关系法．．．．．：根据题意，列出限制动点的条件等式，这种求轨迹的方法叫做等量关系法，利用这种方法时，要求对平面几何中常用的定理和解析几何中的有关基本公式很熟悉．（2）定义法．．．：如果动点满足的条件符合某种已知曲线（如圆锥曲线）的定义，可根据其定义用待定系数法求出轨迹方程．（3）转移代入法．．．．．：如果所求轨迹上的点(, )P x y 是随另一个在已知曲线C ：(, )0F x y =上的动点00(, )M x y 的变化而变化，且00, x y 能用, x y 表示，即0(, )x f x y =，0(, )y g x y =，则将00, x y 代入已知曲线(, )0F x y =，化简后即为所求的轨迹方程．（4）参数法．．．：选取适当的参数（如直线斜率k 等），分别求出动点坐标, x y 与参数的关系式，得出所求轨迹的参数方程，消去参数即可．（5）交轨法．．．：即求两动直线交点的轨迹，可选取同一个参数，建立两动直线的方程，然后消去参数，即可（有时还可以由三点共线，斜率相等寻找关系）．注意：轨迹的完备性和纯粹性！一定要检验特殊点和线！二．相关试题训练（一）选择、填空题1．（）已知1F 、2F 是定点，12||8F F =，动点M 满足12||||8MF MF +=，则动点M 的轨迹是（A ）椭圆（B ）直线（C ）圆（D ）线段2．（）设(0,5)M ，(0,5)N -，MNP ∆的周长为36，则MNP ∆的顶点P 的轨迹方程是（A ）22125169x y +=（0x ≠）（B ）221144169x y +=（0x ≠）（C ）22116925x y +=（0y ≠）（D ）221169144x y +=（0y ≠） 3．与圆2240x y x +-=外切，又与y 轴相切的圆的圆心轨迹方程是；4．P 在以1F 、2F 为焦点的双曲线221169x y -=上运动，则12F F P ∆的重心G 的轨迹方程是；5．已知圆C ：22(3)16x y ++=内一点(3, 0)A ，圆C 上一动点Q ， AQ 的垂直平分线交CQ 于P 点，则P 点的轨迹方程为．2214x y += 6．△ABC 的顶点为(5, 0)A -、(5, 0)B ，△ABC 的内切圆圆心在直线3x =上，则顶点C 的轨迹方程是；221916x y -=（3x >）变式：若点P 为双曲线221916x y -=的右支上一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，则△12PF F 的内切圆圆心的轨迹方程是；推广：若点P 为椭圆221259x y +=上任一点，1F 、2F 分别是左、右焦点，圆M 与线段1F P 的延长线、线段2PF 及x 轴分别相切，则圆心M 的轨迹是；7．已知动点M 到定点(3,0)A 的距离比到直线40x +=的距离少1，则点M 的轨迹方程是．212y x =8．抛物线22y x =的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是．4kx =（28k y >） 9．过抛物线24y x =的焦点F 作直线与抛物线交于P 、Q 两点，当此直线绕焦点F 旋转时，弦PQ 中点的轨迹方程为．解法分析：解法1 当直线PQ 的斜率存在时，设PQ 所在直线方程为 (1)y k x =-与抛物线方程联立，2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩ 消去y 得 2222(24)0k x k x k -++=．设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点为(,)M x y ，则有21222,22(1).x x k x k y k x k ⎧++==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩消k 得22(1)y x =-．当直线PQ 的斜率不存在时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-．解法2 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由2112224,4.y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得121212()()4()y y y y x x -+=-，设PQ 中点为(,)M x y ，当12x x ≠时，有121224y y y x x -⋅=-，又1PQ MF yk k x ==-，所以，21yy x ⋅=-，即22(1)y x =-．当12x x =时，易得弦PQ 的中点为(1,0)F ，也满足所求方程．故所求轨迹方程为22(1)y x =-．10．过定点(1, 4)P 作直线交抛物线:C 22y x =于A 、B 两点, 过A 、B 分别作抛物线C 的切线交于点M, 则点M 的轨迹方程为_________．44y x =-（二）解答题1．一动圆过点(0, 3)P ，且与圆22(3)100x y ++=相内切，求该动圆圆心C 的轨迹方程．（定义法）2．过椭圆221369x y +=的左顶点1A 作任意弦1A E 并延长到F ，使1||||EF A E =，2A 为椭圆另一顶点，连结OF 交2A E 于点P ，求动点P 的轨迹方程．（直接法、定义法；突出转化思想）3．已知1A 、2A 是椭圆22221x y a b+=的长轴端点，P 、Q 是椭圆上关于长轴12A A 对称的两点，求直线1PA 和2QA 的交点M 的轨迹．（交轨法）4．已知点G 是△ABC 的重心，(0,1), (0,1)A B -，在x 轴上有一点M ，满足||||MA MC =u u u r u u u u r ， GM AB R λλ=(∈)u u u u r u u u r．（1）求点C 的轨迹方程；（2）若斜率为k 的直线l 与点C 的轨迹交于不同两点P 、Q ，且满足||||AP AQ =u u u r u u u r，试求k 的取值范围．解：（1）设(,)C x y ，则由重心坐标公式可得(,)33x y G ．∵ GM AB λ=u u u u r u u u r ，点M 在x 轴上，∴ (,0)3xM ．∵ ||||MA MC =u u u r u u u u r，(0,1)A -，∴=，即 2213x y +=．故点C 的轨迹方程为2213x y +=（1y ≠±）．（直接法）（2）设直线l 的方程为y kx b =+（1b ≠±），11(,)P x y 、22(,)Q x y ，PQ 的中点为N ．由22,3 3.y kx b x y =+⎧⎨+=⎩消y ，得222(13)63(1)0k x kbx b +++-=．∴ 22223612(13)(1)0k b k b ∆=-+->，即22130k b +->． ①又122613kbx x k+=-+，∴212122262()221313k b b y y k x x b b k k -+=++=+=++， ∴ 223(,)1313kb bN k k -++．∵ ||||AP AQ =u u u r u u u r，∴ AN PQ ⊥，∴ 1ANk k =-，即 221113313bk kb k k ++=--+，∴ 2132k b +=，又由①式可得 220b b ->，∴ 02b <<且1b ≠．∴ 20134k <+<且2132k +≠，解得11k -<<且3k ≠±．故k 的取值范围是11k -<<且k ≠．5．已知平面上两定点(0,2)M -、(0,2)N ，P 为一动点，满足MP MN PN MN ⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（直接法）（Ⅱ）若A 、B 是轨迹C 上的两动点，且AN NB λ=u u u r u u u r．过A 、B 两点分别作轨迹C 的切线，设其交点为Q ，证明NQ AB ⋅u u u r u u u r为定值．解：(Ⅰ)设(,)P x y ．由已知(,2)MP x y =+u u u r ，(0,4)MN =u u u u r ，(,2)PN x y =--u u u r, 48MP MN y ⋅=+u u u r u u u u r．PN MN ⋅=u u u r u u u u r……………………………………………3分∵MP MN PN MN ⋅=⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，∴48y+= 整理，得 28x y =．即动点P 的轨迹C 为抛物线，其方程为28x y =．6．已知O 为坐标原点，点(1,0)E -、(1,0)F ，动点A 、M 、N 满足||||AE m EF =u u u r u u u r（1m >），0MN AF =⋅u u u u r u u u r ，1()2ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r，//AM ME u u u u r u u u r ．求点M 的轨迹W 的方程．解：∵0MN AF ⋅=u u u u r u u u r ，1()2ON OA OF =+u u u r u u u r u u u r，∴ MN 垂直平分AF ．又//AM ME u u u u r u u u r，∴ 点M 在AE 上，∴ ||||||||2AM ME AE m EF m +===u u u u r u u u r u u u r u u u r ，||||MA MF =u u u r u u u r ， ∴ ||||2||ME MF m EF +=>u u u r u u u r u u u r ，∴ 点M 的轨迹W 是以E 、F 为焦点的椭圆，且半长轴a m =，半焦距1c =， ∴ 22221b a c m =-=-．∴ 点M 的轨迹W 的方程为222211x y m m +=-（1m >）．7．设,x y R ∈，,i j 为直角坐标系内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(2)a xi y j =++r，(2)b xi y j =+-r ，且||||8a b +=r r．（1）求点(,)M x y 的轨迹C 的方程；（定义法）（2）过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，设OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，是否存在这样的直线l ，使得四边形OAPB 是矩形？若存在，求出直线l 的方程，若不存在，试说明理由．解：（1）2211216x y +=；（2）因为l 过y 轴上的点(0,3)．若直线l 是y 轴，则,A B 两点是椭圆的顶点．Q 0OP OA OB =+=u u u r u u u r u u u r，所以P 与O 重合，与四边形OAPB 是矩形矛盾．故直线l 的斜率存在，设l 方程为3y kx =+，1122(,),(,)A x y B x y ．由223,1,1216y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消y 得22(43)18210,k x kx ++-=此时22(18)4(43)(21)k k ∆=-+-＞0恒成立，且1221843k x x k +=-+，1222143x x k=-+， Q OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OAPB 是平行四边形．若存在直线l ，使得四边形OAPB 是矩形，则OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=u u u r u u u r．1122(,),(,)OA x y OB x y ==u u u r u u u rQ ， ∴ 12120OA OB x x y y ⋅=+=u u u r u u u r．即21212(1)3()90k x x k x x ++++=．2222118(1)()3()4343k k k k k +⋅-+⋅-++ 90+=．2516k =，得4k =±．故存在直线l：3y x =+，使得四边形OAPB 是矩形．8．如图，平面内的定点F 到定直线l 的距离为2，定点E满足：||EF uuu r=2，且EF l ⊥于G ，点Q 是直线l 上一动点，点M 满足：FM MQ =u u u u r u u u u r ，点P 满足：//PQ EF u u u r u u u r ，0PM FQ ⋅=u u u u r u u u r．（I ）建立适当的直角坐标系，求动点P 的轨迹方程；（II ）若经过点E 的直线1l 与点P 的轨迹交于相异两点A 、B ，令AFB θ∠=，当34πθπ≤<时，求直线1l 的斜率k 的取值范围．解：（1）以FG 的中点O 为原点，以EF 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系xoy ，设点(,)P x y ，则(0, 1)F ，(0, 3)E ，:1l y =-．∵ FM MQ =u u u u r u u u u r ，//PQ EF u u u r u u u r ，∴(,1)Q x -，(, 0)2xM ．∵0PM FQ ⋅=u u u u r u u u r ，∴ ()()(2)02xx y -⨯+-⨯-=，即所求点P 的轨迹方程为24x y =．（2）设点))(,(),,(212211x x y x B y x A ≠设AF 的斜率为1k ，BF 的斜率为2k ，直线1l 的方程为3+=kx y由⎩⎨⎧=+=yx kx y 432…………6分 01242=--kx x 得 1242121-==+∴x x k x x …………7分 9)4(44221222121==⋅=∴xx x x y y646)(22121+=++=+k x x k y y …………8分)1)(1()1,(),1,,(21212211--+=⋅∴-=-=y y x x FB FA y x FB y x FA Θ841649121)(22212121--=+--+-=++-+=k k y y y y x x)1)(1(||||21++=⋅y y FB FA Θ又16416491)(222121+=+++=+++=k k y y y y4216484||||cos 2222++-=+--=⋅=∴k k k k FB FA θ…………10分由于πθπ<≤43 2242122cos 122-≤++-<--≤<-∴k k 即θ…………11分 222242222≥∴≥++∴k k k解得4488-≤≥k k 或…………13分∴直线1l 斜率k 的取值范围是}8,8|{44-≥≥k k k 或9．如图所示，已知定点(1, 0)F ，动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且0PM PF ⋅=u u u u r u u u r ，||||PM PN =u u u u r u u u r．（1）求动点N 的轨迹方程；（2）直线l 与动点N 的轨迹交于A 、B 两点，若4OA OB ⋅=-u u u r u u u r，且||AB ≤求直线l 的斜率k 的取值范围．解：（1）设(,)N x y ，由||||PM PN =u u u u r u u u r得(,0)M x -，(0, )2y P ，(,)2y PM x =--u u u u r ，(1,)2y PF =-u u u r ，又0PM PF ⋅=u u u u r u u u r ，∴204y x -+=，即动点N24y x =．（2）10．已知点(0, 1)F ，点M 在x 轴上，点N 在y 轴上，P 为动点，满足0MN MF ⋅=u u u u r u u u r，0MN MP +=u u u u r u u u r r ．（1）求P 点轨迹E 的方程；（2）将（1）中轨迹E 按向量(0, 1)a =r平移后得曲线E '，设Q 是E '上任一点，过Q 作圆22(1)1x y ++=的两条切线，分别交x 轴与A 、B 两点，求||AB 的取值范围．解：（1）设(, 0)M a 、(0, )N b 、(,)P x y ，则(,)MN a b =-u u u u r 、(, 1)MF a =-u u u r、 (, )MP x a y =-u u u r．由题意得(, )(, 1)0,(, )(,)(0, 0).a b a a b x a y -⋅-=⎧⎨-+-=⎩ ∴ 20,, ,2a b xa b y ⎧+=⎪⎨==-⎪⎩ ∴ 214y x =，故动点P 的轨迹方程为214y x =．（2）11．如图()A m和(,)B n 两点分别在射线OS 、OT 上移动，且12OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，O 为坐标原点，动点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r．（1）求m n ⋅的值；（2）求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？（3）若直线l 过点(2, 0)E 交（2）中曲线C 于M 、N 两点，且3ME EN =u u u r u u u r，求l 的方程．解：（1）由已知得1()(,)22OA OB m n mn ⋅=⋅=-=-u u u r u u u r ，∴ 14mn =．（2）设P 点坐标为(,)x y （0x >），由OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r得(,)()(,)x y m n =+())m n m n =+-，∴,)x m n y m n =+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 消去m ，n 可得2243y x mn -=，又因14mn =，∴ P 点的轨迹方程为221(0)3y x x -=>．它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线2213y x -=的右支．（3）设直线l 的方程为2x ty =+，将其代入C 的方程得223(2)3ty y +-= 即 22(31)1290t y ty -++=，易知2(31)0t -≠（否则，直线l的斜率为又22214436(31)36(1)0t t t ∆=--=+>，设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222129,3131t y y y y t t -+==-- ∵ l 与C 的两个交点,M N 在y 轴的右侧212121212(2)(2)2()4x x ty ty t y y t y y =++=+++2222291234240313131t t t t t t t -+=⋅+⋅+=->---， ∴ 2310t -<，即2103t <<，又由120x x +>同理可得 2103t <<，由3ME EN =u u u r u u u r 得 1122(2,)3(2,)x y x y --=-， ∴ 121223(2)3x x y y -=-⎧⎨-=⎩由122222123231t y y y y y t +=-+=-=--得22631t y t =-，由21222229(3)331y y y y y t =-=-=-得222331y t =--，消去2y 得2222363(31)31t t t =---考虑几何求法！！解之得：2115t = ，满足2103t <<．故所求直线l0y --=0y +-=．12．设A ，B分别是直线y x =和y x =上的两个动点，并且||AB =u u u r 点P 满足OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r．记动点P 的轨迹为C ．（I ）求轨迹C 的方程；（II ）若点D 的坐标为（0，16），M 、N 是曲线C 上的两个动点，且DM DN λ=u u u u r u u u r，求实数λ的取值范围．解：（I ）设(,)P x y ，因为A 、B分别为直线5y x =和5y x =-上的点，故可设11(,)5A x x，22(,)5B x x -． ∵OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，∴1212,)x x x y x x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩．∴1212,x x x x x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩．又AB =u u u r ， ∴2212124()()205x x x x -++=．∴22542045y x +=．即曲线C 的方程为2212516x y +=．（II ）设N （s ，t ），M （x ，y ），则由λ=，可得（x ，y-16）=λ (s ，t-16)．故x s λ=，16(16)y t λ=+-．∵ M 、N 在曲线C 上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-+=+ 1.16)1616t (25s 1,16t 25s 22222λλλ消去s 得116)1616t (16)t 16(222=+-+-λλλ．由题意知0≠λ，且1≠λ，解得 17152t λλ-=．又 4t ≤， ∴421517≤-λλ．解得 3553≤≤λ（1≠λ）．故实数λ的取值范围是3553≤≤λ（1≠λ）．13．设双曲线22213y x a -=的两个焦点分别为1F 、2F ，离心率为2．（1）求此双曲线的渐近线1l 、2l 的方程；（3y x =±）（2）若A 、B 分别为1l 、2l 上的动点，且122||5||AB F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明是什么曲线．（22317525x y +=）提示：||1010AB =⇒=，又113y x =-，223y x =，则1221)3y y x x +=-，2112)3y y x x -=+．又 122x x x =+，122y y y =+代入距离公式即可．（3）过点(1, 0)N 是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且0OP OQ ⋅=u u u r u u u r，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．（不存在）14．已知点(1, 0)F ，直线:2l x =，设动点P 到直线l 的距离为d，已知||2PF d =，且2332d ≤≤．（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若13PF OF ⋅=u u u r u u u r ，求向量OP uuu r 与OF u u u r 的夹角；（3）如图所示，若点G 满足2GF FC =u u u r u u u r，点M 满足3MP PF =u u u r u u u r，且线段MG 的垂直平分线经过点P ，求△PGF 的面积．15．如图，直线:1l y kx =+与椭圆22:2C ax y +=（1a >）交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB （O 为坐标原点）．（1）若1k =，且四边形OAPB 为矩形，求a 的值；（3a =）（2）若2a =，当k 变化时（k R ∈），求点P 的轨迹方程．（22220x y y +-=（0y ≠））16．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率为2，其中(0,)A b -，(, 0)B a ，且22224||||||||3OA OB OA OB +=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求双曲线C 的方程；（2）若双曲线C 上存在关于直线l ：4y kx =+对称的点，求实数k 的取值范围．解：（I ）依题意有：2222222c 2,a 4a b a b ,3a b c .⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：.2,3,1===c b a所求双曲线的方程为.1322=-y x ………………………………………6分（Ⅱ）当k=0时，显然不存在．………………………………………7分当k≠0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称．由l ⊥MN ，直线MN 的方程为1y x b k=-+．则M 、N 两点的坐标满足方程组由221y x b,k3x y 3.⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 2222(3k 1)x 2kbx (b 3)k 0-+-+=．…………………………………9分显然23k 10-≠，∴2222(2kb)4(3k 1)(b 3)k 0∆⎡⎤=---+>⎣⎦．即222k b 3k 10+->． ① 设线段MN 中点D （00x ,y ）则02202kb x ,3k 13k b y .3k 1-⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩∵D （00x ,y ）在直线l 上，∴22223k b k b43k 13k 1-=+--．即22k b=3k 1- ② 把②带入①中得 222k b +bk 0>，解得b 0>或b 1<-．∴223k 10k ->或223k 1<-1k -．即k >或1k 2<，且k≠0． ∴k的取值范围是11(,)(,0)(0,))3223-∞--+∞U U U ．…………………14分17．已知向量OA u u u r=(2，0)，OC u u u r =AB =(0，1)，动点M 到定直线y =1的距离等于d ，并且满足OM u u u u r ·AM u u u u r =K(CM u u u u r ·BM u u u u r-d 2)，其中O 为坐标原点，K 为参数. （Ⅰ）求动点M 的轨迹方程，并判断曲线类型；（Ⅱ）如果动点M 的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e 满足33≤e ≤22，求实数K 的取值范围.18．过抛物线24y x =的焦点作两条弦AB 、CD ，若0AB CD ⋅=u u u r u u u r ，1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，1()2ON OC OD =+u u u r u u u r u u u r ．（1）求证：直线MN 过定点；（2）记（1）中的定点为Q ，求证AQB ∠为钝角；（3）分别以AB 、CD 为直径作圆，两圆公共弦的中点为H ，求H 的轨迹方程，并指出轨迹是什么曲线．19．（05年江西）如图，M 是抛物线上2y x =上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA MB =．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；（2）若M 为动点，且90EMF ∠=o，求△EMF 的重心G 的轨迹．思路分析：（1）由直线MF （或ME ）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F 和点E 的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M 点的坐标将E 、F 点的坐标表示出来，进而表示出G 点坐标，消去0y 即得到G 的轨迹方程（参数法）.解：（1）法一：设200(,)M y y ，直线ME 的斜率为k （0k >），则直线MF 的斜率为k -，方程为200()y y k x y -=-．∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消x 得200(1)0ky y y ky -+-=，解得01F ky y k-=，∴ 202(1)F ky x k -=，∴0022000022211214(1)(1)2E F EF E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)．所以直线EF 的斜率为定值．法二：设定点00(,)M x y ，11(,)E x y 、22(,)F x y ，由200211,y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得 010101()()y y y y x x -+=-，即011ME k y y =+；同理 021MF k y y =+．∵ MA MB =，∴ ME MF k k =-，即010211y y y y =-++，∴ 1202y y y +=-．所以，1212221212120112EF y y y y k x x y y y y y --====---+（定值）．第一问的变式：过点M 作倾斜角互补的直线ME 、MF ，则直线EF 的斜率为定值；根据不同的倾斜角，可得出一组平行弦．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o 当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122()9273y x x =->．点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.20．如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '，折痕l 与AB 交于点E ，点M满足关系式EM EB EB '=+u u u u r u u u r u u u r ．（1）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；（2）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是AB 边上的一点，4BA BF =u u u r u u u r，过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且PF FQ λ=u u u r u u u r ，求实数λ的取值范围．。

高中数学说课稿：《平面动点的轨迹》说课稿范文

高中数学说课稿：《平面动点的轨迹》说课稿范文高中数学说课稿：《平面动点的轨迹》说课稿范文
【摘要】为了帮助考生们了解高中学习信息，分享了高中数学说课稿：《平面动点的轨迹》说课稿范文，供您参考!
一、教学目标
(一)知识与技能
1、进一步熟练掌握求动点轨迹方程的基本方法。

2、体会数学实验的直观性、有效性，提高几何画板的操作能力。

(二)过程与方法
1、培养学生观察能力、抽象概括能力及创新能力。

2、体会感性到理性、形象到抽象的思维过程。

3、强化类比、联想的方法，领会方程、数形结合等思想。

(三)情感态度价值观。