新华东师大版九上数学练习：相似三角形的应用

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数学九年级上华东师大版相似三角形的应用

D E
相等，那么这两个三角形相似）
∴AD︰AC=AE︰AB
B
C
即；AD·AB=AE·AC
如图,已知零件的外径为a,要求它的厚度x,需先求出内孔的直径 AB,现用一个交叉卡钳(两条尺长 AC和BD相等)去量,若
OA:OC=OB:OD =n，且量得 CD=b,求厚度x。
xD b C OO
A
B
解：由题意得，AB∥PO ∴∠ABC=∠OPQ
Q
∵∠CAB=∠POQ=Rt∠ ∴△ABC∽△OPQ ∴AB/OP=AC/OQ
AB
∴AB=OP×AC/OQ=5×1.2/2.25≈2.67m 答：AB的长约为2.67m。
C
P O
1.如图,△ABC中,DE∥FG ∥BC,
AD=DF=FB,则S△ADE:S四边形DFGE: S 四边形FBCG=____
例 6 古代一位数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：如图24.3.12所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′ 与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度 OB．如果O ′B′ ＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB.
O
A A′
部分长0.8m，求桶内有的高度？
A DE
B
C
课堂小结:
一、相似三角形的应用主要有如下两个方面 1 测高(不能直接使用皮尺或刻度尺量的) 2 测距(不能直接测量的两点间的距离)
二、测高的方法三测量不能到达顶部的物体的高度,通常用“在
同一时刻物高与影长的比例”的原理解决三、测距的方法四测量不能到达两点间的距离,常构造相似
∴ △OAB∽△O′A′B′，

初中数学华东师大九年级上册(2023年新编)第23章图形的相似《相似三角形的应用》教案

《相似三角形的应用》教案【教学目标】1、认识现实生活中物体的相似，能利用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.2、通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，培养分析问题、解决问题的能力．【教学过程】一、自主学习感受新知1、说一说相似三角形的判定方法有哪些，相似三角形的性质有哪些？2、大家都知道矗立在城中的科技大楼是我们这里比较高的楼，那么科技大楼有多高呢？我们如何用一些简单的方法去测量出科技大楼的高度呢？二、自主交流探究新知导入新课：阅读课本73页例6完成下列任务：例6中当金字塔的高度不能直接测量时，本题中构造了_______和_______相似，且_______、________、_________是已知或能测量的.说一说测量金字塔高度的方案并加以证明.学法指导：同一时刻太阳光是平行直线，从而得到角相等，得到相似三角形.例7中河的宽度也是无法直接测量的，本题中构造了_________和________相似，且_______、__________、__________是已知或能测量的.说一说测量河的宽度的方案并加以证明.以上两例题向我们提供了利用相似三角形进行测量的方法.相似三角形的知识在实际应用中非常广泛，主要是运用相似三角形的有关性质来测量计算一些不易直接测量的物体的高度和宽度，解题时应先分析问题中哪些是相似图形，哪些是相等的角，哪些是成比例线段，已知的是哪些条件，要求的是什么，然后利用所学的相似三角形的知识把已知与未知联系起来，建立数学模型并解决.常见的相似模型有：阅读例，并说明它是如何利用相似三角形的性质来证明线段成比例的？学法指导：要将乘积式变为比例式.现在同学们应该知道该怎么样去计算科技大楼的高度了吧？方法归纳：测高的方法：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长的比例”的原理解决.测距的方法：测量不能到达两点间的距离，常构造相似三角形求解课堂练习:课本75页1，2题三、自主应用巩固新知1、某一时刻树的影长为8米，同一时刻身高为米的人的影长为3米，则树高为 .2、如图，某测量人员与标杆顶端F 、电视塔顶端在同一直线上，已知此人眼睛距地面米，标杆FC =米，且B C =1米，CD =5米，求电视塔的高度ED .3、如图，路灯距地面8米，身高米的小明从距离灯的底部(点O )20米的点A 处，沿OA 所在的直线行走14米到点B 时，人影的长度( )A ．增大米B ．减小米C ．增大米D ．减小米4、如上图(右)马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱AB 的高度为米．(1)若吊环高度为2米，支点A 为跷跷板PQ 的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？(2)若吊环高度为米，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点A 移到跷跷板PQ 的什么位置时，狮子刚C BAF C D A B C A D E B AEE好能将公鸡送到吊环上？四、堂清任务(中考链接)小强用这样的方法来测量学校教学楼的高度：如图，在地面上方一面镜子，(镜子的高度不计)，他刚好能从镜子中看到教学楼的顶端B ，他请同学协助量了镜子与教学楼的距离EA =21米，以及他与镜子的距离CE =米，已知他的眼睛距离地面的高度DC =米，请你帮助小强计算出教学楼的高度.(根据光的反射定律：反射角等于入射角)C D FE A B。

九年级数学上册 23.6 图形与坐标相似三角形的实际应用素材 (新版)华东师大版

相似三角形的实际应用相似三角形在实际生活中应用非常广泛，下面举例说明，供同学们参考．例1．三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子（如图1所示），现测得20cm 50cm OA OA '==，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是．分析：解题时观察图形可以得出影子与物体是以光源为中心的位似图形，利用周长之比等于位似比的性质计算出结果．解：利用周长之比等于位似比的性质，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比2050=25．点评：本题考查位似图形，解此类题要对照图形将实际问题转化为位似图形问题来解决，问题不难但很新颖，能激发学生的好奇意识和做题欲望，是一道贴近学生生活实际的好题！例2．小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图2所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为( )A.3米B.0.3米C.0.03米D.0.2米分析：解题时要注意运用相似三角形对应边成比例．解：由题意得：△A ′OA ∽△B ′OB,''0AA OABB B=，即'0.00150.240BB =，解得：BB ′=0.3（米），故选B ．点评：本题考查相似三角形的性质，解此类题要注意找出图形中的相似三角形及对应边．例3.如图3，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部（点O ）20米的A 处，则小明的影长为___________米．分析：解题时对照图形，找出题目所给已经条件与所要求内容的关系．解：由相似三角形的性质得：1.6820AMAM =+，解得：AM=5，所以小明的影长为5米．点评：本题考查相似三角形的应用，解此类题时，要把题目中的问题与所学相似三角形的知识相联系，利用相似的性质计算出结果．例4.一张等腰三角形纸片，底边长l5cm ，底边上的高长22．5cm ．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，如图4所示．已知剪得的纸条中有一张是正图1AAO灯三角尺投影OAMB图3图2方形，则这张正方形纸条是( )A．第4张 B．第5张 C.第6张 D．第7张分析：利用相似三角形的对应边成比例的性质列出方程即可解决．解：设第x张中纸条为正方形，则322.531522.5x-=，解得6x=，故选C．点评：本题意在考察相似三角形的对应高的比也是相似比．其他问题巩固练习：1.如图5，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是( )A．24m B．25mC．28m D．30m2.如图6，小东用长为3.2m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8m、与旗杆相距22m，则旗杆的高为（）A．12m B．10m C．8m D．7m3.甲、乙两盏路灯底部间的距离是30米，一天晚上，当小华走到距路灯乙底部5米处时，发现自己的身影顶部正好接触路灯乙的底部．已知小华的身高为1.5米，那么路灯甲的高为米．参考答案：1、D；小华乙图5图6图7图42、A；3、9。

数学九年级上华东师大版相似三角形的应用10108 ppt课件

AB． A
B
D
C
E
2.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到
了一点C,使AC⊥AB,在AC上找到一点D,
在BC上找到一点E,使ED⊥AC,测出
AD=35m，DC=35m,DE=30m,那么你
能算出池塘的宽AB吗?
A
B
D
E
C
如图,屋架跨度的一半OP=5m,高度
OQ=2.25m,现要在屋顶上开一个天窗,
C
O
D
A
小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)
C
E
A
┏
┏
D
B
(第2题)
2020/12/2
19
相似三角形的性质是我们常常用来证明线段等积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角度相等的重要方法。
例8 如图，已知⊿ACB的边AB、AC上的点，且ADE=∠C，
又∵ ∠ABO＝∠A′B′O′＝90°．
∴ △OAB∽△O′A′B′，
OB∶O′B′＝AB∶A′B′，
OB＝
AB OB274113（7米）
AB
2
答:该金字塔高为137米．
2020/12/2
9
图24.3.12
步枪在瞄准时的示意图如图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上准
星宽度AB为2cm，目标的正面宽度CD
m?Leabharlann B课堂练习16m
C
┏
┛ 0.5m
o
1m
D
2020/12/2
A
(第1题)
16
1.如图,铁道口的栏杆短臂长1m,长
臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长

华东师大版九年级数学上册第23章23.3.4 相似三角形的应用同步练习题

华东师大版九年级数学上册第23章23.3.4相似三角形的应用同步练习题一、选择题1．在某一时刻，测得一根高为1.2 m的木棍的影长为2 m，同时测得一根旗杆的影长为25 m，那么这根旗杆的高度为(A)A．15 m B.1253m C．60 m D．24 m2．如图，铁路道口的栏杆短臂长1 m，长臂长16 m．当短臂端点下降0.5 m时，长臂端点升高(杆的宽度忽略不计)(C)A．4 m B．6 m C．8 m D．12 m3．如图所示，一架投影机插入胶片后图像可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米．若需要投影后的图像DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为(B)A．6米B．5米C．4米D．3米4．如图，为了测量一池塘的宽DE，在岸边找到一点C，测得CD＝30 m，在DC的延长线上找一点A，测得AC＝5 m，过点A作AB∥DE交EC的延长线于B，测出AB＝6 m，则池塘的宽DE为(C)A．25 m B．30 m C．36 m D．40 m5．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于(B) A.23B.14C.13D.356．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的标杆，它的影长五寸(提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸)，则竹竿的长为(B) A ．五丈B ．四丈五尺C ．一丈D ．五尺7．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点．三角形的布洛卡点(Brocard point)是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L.Crelle 1780～1855)于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意，1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡(Brocard 1845～1922)重新发现，并用他的名字命名．问题：已知在等腰直角三角形DEF 中，∠EDF ＝90°，若点Q 为△DEF 的布洛卡点，DQ ＝1，则EQ ＋FQ ＝(D) A ．5B ．4C ．3＋ 2D ．2＋ 2二、填空题8．如图，小明在测量学校旗杆高度时，将3米长标杆插在离旗杆8米的地方，已知旗杆高度为6米，小明眼部以下距地面1.5米，这时小明应站在离旗杆12米处，可以看到标杆顶端与旗杆顶端重合．9．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是135°.10．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔4米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆，小丽站在离南岸边12米的点P 处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有两棵树，则河宽为38米．11．如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，AD 上，且BE ∶EC ＝2∶1，EF ∥CD ，交对角线AC 于点G ，则S △AGFS 四边形ABEG ＝12．12．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上．同一时刻，小明竖起1米高的直杆MN ，量得其影长MF 为0.5米，量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，则电线杆AB 的高为8米．13．太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB ⊥AD ，AD ⊥DC ，点B ，C 在EF 上，EF ∥HG ，EH ⊥HG ，AB ＝80 cm ，AD ＝24 cm ，BC ＝25 cm ，EH ＝4 cm ，则点A 到地面的距离是4045_cm ．三、解答题14．如图是小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD 的顶端C 处．已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.4米，BP ＝2.1米，PD ＝12米．那么该古城墙CD 的高度是多少米？解：∵∠APB ＝∠CPD ，∠ABP ＝∠CDP ， ∴△ABP ∽△CDP.∴AB CD ＝BP PD ，即1.4CD ＝2.112.解得CD ＝8.答：该古城墙CD 的高度是8米．15．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A ，在他们所在的岸边选择了点B ，使得AB 与河岸垂直，并在B 点竖起标杆BC ，再在AB 的延长线上选择点D ，竖起标杆DE ，使得点E 与点C ，A 共线．已知：CB ⊥AD ，ED ⊥AD ，测得BC ＝1 m ，DE ＝1.5 m ，BD ＝8.5 m ．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB.解：∵CB ⊥AD ，ED ⊥AD ， ∴BC ∥DE.∴△ABC ∽△ADE. ∴BC DE ＝AB AD ，即11.5＝AB AB ＋8.5. ∴AB ＝17.答：河宽AB 为17 m.16．如图，已知ED ∥BC ，∠EAB ＝∠BCF.求证： (1)四边形ABCD 为平行四边形； (2)OB 2＝OE ·OF.证明：(1)∵ED ∥BC ，∴∠D ＝∠BCF. ∵∠EAB ＝∠BCF ， ∴∠EAB ＝∠D. ∴AB ∥CD. 又∵ED ∥BC ，∴四边形ABCD 为平行四边形． (2)∵ED ∥BC ，∴OB OE ＝OCOA .∵AB ∥CD ，∴OC OA ＝OFOB .∴OB OE ＝OF OB ，即OB 2＝OE ·OF.17．如图，已知在四边形ABCD 中，∠ADB ＝∠ACB ，延长AD ，BC 相交于点E.求证： (1)△ACE ∽△BDE ； (2)BE ·CD ＝AB ·DE.证明：(1)∵∠ADB ＝∠ACB ， ∴∠BDE ＝∠ACE. 又∵∠CEA ＝∠DEB ， ∴△ACE ∽△BDE.(2)∵△ACE ∽△BDE ， ∴BE AE ＝ED EC ，即BE DE ＝EA EC . 又∵∠DEC ＝∠BEA ， ∴△ECD ∽△EAB.∴BE DE ＝ABCD ，即BE ·CD ＝AB ·DE.18．如图，为了测量一栋楼的高度OE ，小明同学先在操场上A 处放一面镜子，向后退到B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部E ；再将镜子放到C 处，然后后退到D 处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E(O ，A ，B ，C ，D 在同一条直线上)，测得AC ＝2 m ，BD ＝2.1 m ．如果小明眼睛距地面高度BF 和DG 为1.6 m ，试确定楼的高度OE.解：设OE ＝a ，AO ＝b ，CB ＝x ，由△GDC ∽△EOC ，得 GD EO ＝CD OC，即1.6a ＝2.1－x 2＋b. 整理，得3.2＋1.6b ＝2.1a －ax ①. 由△FBA ∽△EOA ，得FB EO ＝AB OA ，即1.6a ＝2－x b .整理，得1.6b ＝2a －ax ②.将②代入①，得3.2＋2a －ax ＝2.1a －ax.∴a＝32.答：楼的高度OE为32 m.。

华师大版数学九年级上册《相似三角形的应用》教学设计

华师大版数学九年级上册《相似三角形的应用》教学设计一. 教材分析华师大版数学九年级上册《相似三角形的应用》是本册教材中的重要内容，旨在让学生掌握相似三角形的性质及应用。

本节课通过生活中的实例，引导学生探索相似三角形的性质，培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。

教材内容安排合理，由浅入深，符合学生的认知规律。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的有关知识，对三角形有了一定的认识。

但学生在学习过程中，可能对相似三角形的性质及应用理解不深，尤其是对实际问题中的相似三角形识别和运用。

因此，在教学过程中，要关注学生的认知基础，注重引导学生主动探究，提高学生解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，掌握相似三角形的判定方法。

2.能运用相似三角形的性质解决实际问题，提高学生的应用能力。

3.培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的性质及应用。

2.难点：相似三角形的判定方法及在实际问题中的运用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。

2.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的交流表达能力。

3.实践操作法：让学生动手操作，提高学生的动手能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和图片，用于导入和新课呈现。

2.准备相似三角形的相关习题，用于巩固和拓展。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的实例，如建筑物的图片，让学生观察并提问：“这些建筑物之间有什么共同的特点？”引导学生发现建筑物之间的相似性，从而引入相似三角形的概念。

2.呈现（10分钟）展示相似三角形的性质和判定方法，引导学生观察和思考，让学生通过小组合作学习，探讨相似三角形的性质和判定方法。

3.操练（10分钟）让学生动手操作，解决一些与相似三角形有关的问题。

如：已知两个三角形的两边对应成比例，求证这两个三角形相似。

华师大版-数学-九年级上册- 24.3相似三角形相似三角形“预备定理”的应用

相似三角形“预备定理”的应用预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．基本图形：（如下图）（1）（2）符号表示法：图（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC 图（2）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB在上面证明两个三角形相似后可以得出对应边成比例，如图（1）可以证明AD AE DEAB AC BC==成立，每个比的前项是同一个三角形的三条边，而比的后项是另一个三角形的三条对应边，它们的位置不能写错．典例1 已知：如图，AB=AD ， AC=AE ， FG∥DE 求证： △ABC∽△AFG【分析】要证△ABC∽△AFG，由“预备定理”可知，只要证明BC∥FG，而已知FG∥DE ，故，只要证BC∥DE．证明：AB AD AC AE ==，，∴AB ACDE BC AD AE =∴，　∥， DE FG ∥ ， ∴FG ∥BC ，∴ △ABC∽△AFG．典例2 已知：如图，DE∥BC，AF ：FB=AG ：GC 求证：ΔAFG∽ΔAED【分析】由于AF ：FB=AG ：GC 易知：FG∥BC，又由于DE∥BC，据平行线的性质知FG∥DE，又据相似三角形的预备定理，ΔAFG∽ΔAED 得证．A B C D EA D EABCDEFG典例3如图，平行四边形ABCD中，G是BC延长线上一点，AG与BD交于点E，与DC交于F，则图中相似三角形共有_______对．【分析】图形中相似形较多，不能盲目的取找，先对相似形分类，再计．解：由条件可知：(1)△ABD∽△CDB；(2)△ABE∽△DFE；(3)△AED∽△GEB；(4)△ABG∽△FCG∽△FDA，可以组成3对相似三角形．∴图形中一共有6对相似三角形．典例4小华做小孔成像实验，如图4，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像A'B'的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l．图4【分析】如图，作OE⊥AB于点E，延长EO交A'B'于点F则EF⊥A'B'∵AB∥A'B'∴△ABO∽△A'B'O'，△AEO∽△A'FO∴ABA BOAOAOAOAOEOF''''==，∴OEOFABA B==''12∴OEOF=12，∴OEEF=13∴OE EF l==1313答：小孔纸板应放在距蜡烛31处．典例5（2005年山东省）检查视力时，规定人与视力表之间的距离应为5米．现因房间两面墙的距离为3米，因此借助于平面镜来解决房间小的问题．若使墙面镜子能呈现出完整的视力表，由平面镜成像原理，作出了光路图，如图．其中视力表AB的上下边沿A、B发出的光线经平面镜MM'的上下边沿反射后射入人眼C处．如果视力表的全长为0．8米，请计算出镜长至少应有多少米？【分析】这是一题数学与物理光学相结合的跨学科考试题，只要运用相似三角形对应高的比等于相似比，即可求解．解如图，作CD⊥MM'，垂足为D，并延长交A'B'于点E由AB∥MM'∥A'B'得CE⊥A'B'，△CMM'∽△CA'B'所以MMA BCDCE'''=又CD＝5－3＝2，CE＝5，A'B'＝AB＝0.8所以MM'.0825=，解得MM'＝0.32（米）所以镜长至少应为0.32米．典例6三角形的内角平分线定理：三角形的四角平分线内分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例．【分析】已知如图，△ABC中AD是∠BAC的平分线求证BD︰DC＝AB︰AC证明：过C作AD的平行线交BA的延长线于点E，∴△BAD∽△BCE，结合比例的性质有BD︰DC＝BA︰AE，∠DAC＝∠ACE∠BAD＝∠E∵∠BAD＝∠DAC．∴∠ACE＝∠E，∴AC＝AE∴BD︰DC＝BA︰AC小试牛刀1．如图，D、E分别是△ABC边AB、AC上的点，DE∥B C．（1）图中有哪些相等的角？（2）找出图中的相似三角形，并说明理由；（3）写出三组成比例的线段．2．已知：如图11，△ABC中M、E分别是AC、AB上的点，ME、CB延长线交于一点D，且EDEMACBC．求证：AM=DB．3．如图，一油桶高1m，桶内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖的小口处斜插入桶内，一端插到桶底，另一端到小口，抽出木棒，量得棒上未浸油部分长为0.48m，求桶内油面的高度．4．已知：平行四边形ABCD，点P是对角线BD上的任一点．（1）若过P点的一条直线交平行四边形的一组对边AB、CD于E、F，交另一组对边DA、BC的延长线于G、H．问：线段PE、PG、PF、PH有怎样的数量关系？（2）若这条直线绕P点转动，是否还有上述结论？若没有，请说明理由？参考答案1．（1）DE ∥B C∠ADE=∠ABC(两直线平行，同位角相等) ∠AED=∠ACB(两直线平行，同位角相等) （2）△ADE∽△ABC平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．（3）△ADE ∽△ABC ∴ACAEBC DE AB AD ==． 2．过M 作MN ∥DC∴AM AC MN EMMN BC DB ED ==， ∵ED AC ED DBEM BC EM MN ==，即； ∴AM MN DBMN=， ∴AM =DB ． 3．由△ACD∽△ABE得AD AE AC AB =，即1104812-=h '.. 所以h m '.()=06．即桶内油面的高度为0.6m ． 4．如图（1）－（6）均有：PE·PG＝PF·PH；如图（7）有：PA 2=PF ．PH ；如图（8）有：PC 2=PE ．PG ．。

华师大版九年级数学上册同步练习- 相似三角形的应用

相似三角形应用一、基础练习1．如图1,AB是斜靠在墙壁上的长梯,梯脚B距离1.6m,梯上点D距墙1.4m,•BD•长0.55m,则梯子的长为_______m．（1）（2）（3）2．•要做甲、•乙两个形状相似的三角形框架,•已知三角形框架甲的三边分别为50cm,60cm,80cm,三角形框架乙的一边长为20cm．那么,•符合条件的三角形框架乙共有_____种,这种框架乙的其余两边分别为________．3．在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,•现将它折叠,•使点B•与点C•重合,•则折痕长是______．4．如图2,矩形ABCD,AD=a,AB=b,要使BC边上至少存在一点P,使△ABP,•△DPA,•△PCD两两相似,则a,b 间的关系一定满足（）A．a≥12b B．a≥b C．a≥32b D．a≥2b5．如图3,已知三角形铁皮ABC的边BC=acm,BC边上的高AM=hcm•要剪出一个正方形铁片DEFG,使D、E在BC上,G、F分别在AB、AC上,则正方形DEFG的边长=_______．6．如图4,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m．当短臂端点下降0.5m时,•长臂端点升高______m（杆的宽度忽略不计）．（4）（5）（6）7．如图5,设在小孔口前24cm处有一枝长21cm的蜡烛AB,AB经小孔O形成的像A•′B′恰好浇在距小孔后面16cm处的屏幕上,则像A′B′的长是______cm．8．如图6所示,一张矩形纸片ABCD, AD=9,AB=12,将纸片折叠,使A、C两点重合,•折线MN=________．9．如图7所示,ABCD为正方形,A、E、F、G在同一条直线上,并且AE=5cm,EF=3cm,•那么FG=_______cm．（7）（8）10．如图8,在Rt△ABC中,CD为斜边AB上的高,DE为Rt△CDB的斜边BC上的高,若BE=6,CE=4,则AD=_______．。

华东师大版九年级数学上册专题三相似三角形性质与判定的综合运用习题课件

(2)当点F在边BC上移动时，F与B，E能构成三角形且F与C，G能
构成三角形，则0＜t＜2，有AE＝CG＝2t，EB＝12－2t，BF＝4t，
FC＝8－4t.在△EBF和△FCG中，∠B＝∠C＝90°，①若EFCB＝CBGF ，
即
12－2t 8－4t ＝
4t 2t
，解得t＝ 23
.又t＝
2 3
满足0＜t＜2，所以当t＝
解：(1)△BMN是等腰直角三角形．证明：∵AB＝AC，点M是BC的中点，∴AM⊥BC，AM平分∠BAC，∵BN平分∠ABE，AC⊥BD， ∴∠AEB＝90°，∴∠EAB＋∠EBA＝90°，∴∠MNB＝∠NAB＋∠ ABN＝12(∠BAE＋∠ABE)＝45°，∴△BMN是等腰直角三角形
(2)△MFN∽△BDC.证明：∵点F，M分别是AB，BC的中点，
2 3
时，△EBF
∽△FCG.②若GEBC＝CBFF，即122－t 2t＝8－4t4t，解得t＝32，又t＝32满足0＜
t＜2，所以当t＝
3 2
时，△EBF∽△GCF.综上所述，当t＝
2 3
或t＝
3 2
时，
以点E，B，F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似
16．(14分)(2014·淄博)如图，四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC ＝BD.连接MF，NF. (1)判断△BMN的形状，并证明你的结论； (2)判断△MFN和△BDC之间的关系，并说明理由．
∠CBD＝90°，∴∠CBD＋∠FMB＝90°，∴∠NMF＝∠CBD，
∴△MFN∽△BDC
10．如图，已知△ABC中，DE∥BC，EF∥AB， AB＝3，BC＝6，AD∶DB＝2∶1，则四边形DBFE 的周长为__1_0___．

23.3 第7课时相似三角形的应用(数学华师大版九年级上册)

C
图2
D
2.如图所示，钱塘江的一侧有A，B两个工厂。现要在江边建造
一个水厂C，把水送到这两个工厂，要使供水管路线最短。这
样可以节省成本。
学
（1）请你设计一下水厂应该建造在哪里？（2）若AE=0.5千米，BD=1.5千米，且DE=3千米。求水厂C距离
以
D处有多远?
致
B
A
用
E.
C
.D
F
例 3 如图，有一路灯杆AB，小明在灯光下看到自己的影子DF，那么
度？
方法1：构造“X”型的相似三角形
A
B
E
D
A
C
△ABE∽△CDE
AB BE
B
E
D
CD DE
C
方法2：构造“A”型的相似三角形
A
B
C
D
E
△ABC∽△ADE AB BC AD DE
测量不能直接达到的两点间的距离，我们通常构造相似三角形，利用相似三角形的性质求解。
常有以下两种的测量方法：
方法1：构造“A”型图；方法2：构造“X”型图；
A
A
C
C
M
B
D
F
B
D
FGΒιβλιοθήκη H变式2：如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点G处再测得自己的影长GH=4cm，如果小明的身高为1.6m，GF=2m.你能求出路灯杆AB的高度吗？
例 4 如图，王华在晚上由路灯A走向路灯B，当他走到点P时，发现他
变式2：在变式1的基础上，若小明沿BD方向到达点G处再测得自己的影长GH=4cm，如果小明的身高为1.6m，GF=2m.你能求出路灯杆AB的高度吗？

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