高考数学专题复习之函数的定义域与值域课件

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高考数学复习强化双基系列课件04《函数的定义域与值域》

x=acosθ求解。
①反函数法或分离常数法：{yy1且yR}
2
例2．求下列函数的值域
① y 1 x 2x 5
②
y
3x x2 4
②判别式法：[
3 4
,
3 4
]
形如：ycxd(a0) 可用反函数法或分离常数法求；
axb
形如：ya1x2b1xc1
a2x2b2xc2
(a1,a2不同时 0)可为用判别式法求。
《求函数的值域》
研究函数的值域：抓牢法则和定义域两者清楚值域明白回归基础理之当然
常见函数类型：
①y=kx+b ②y=ax2+bx+c
③y=k/x
④y=ax
⑤y=logax ⑥y=sinx ⑦y=conx ⑧y=tanx
⑨y=x3
⑩y=x+a/x(a>0)
注：分段函数段段清务必掌握
1、定义域 2、图象
变式一：例5．已知函数求实数a，c的值。
f
(x)
ax1 x2 c
值域为[-1，5]，
变域为式R二，：值例域6为．[已0，知2函]，数f求(xm), n的lo值3g。m2xx28x1n的定义
三．小结 1．熟练掌握求函数值域的几种方法，并能灵活选用； 2．求值域时要务必注意定义域的制约； 3．含字母参数或参数区间的Байду номын сангаас类值域问题要进行合理分类讨论； 4．用不等式求值域时要注意“=”的成立条件。
2 a log a 2 log a a 2
例5、求函数f(x)=lg(ax－k•2x)(a>0且a≠1，
a≠2)的定义域。例6、已知函数f(x)的定义域是(0,1],

高三数学第一轮复习：函数的定义域值域.ppt

函数的定义域、值域（最大、最小值）
例 1 已知函数 f ?x?定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) f (x2 ) ? 23 ;
(2) y ?
f (x2 ) ? 1
log 1 (2 ? x)
2
分析：x 的函数 f(x 2 )是由 u=x 2 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函数，其中 x 是自变量，u 是中间变量由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1) 为已知 0＜u＜2，即 0＜x 2 ＜2 求 x 的取值范围
又∵ ? ? ? x2 ? 6x ? 5 ? ? ( x ? 3)2 ? 4 ? 4 ，
∴ 0 ? ? ? 4 ，故 ? ? [0,2] ，
∴ y ? ? x2 ? 6x ? 5 的值域为 [0,2]
（3）（法一）反函数法：
y ? 3x ? 1 的反函数为 y ? 2x ? 1 ，其定义域为{x ? R | x ? 3}，
x? 2
x? 3
∴原函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
（法二）分离变量法： y ? 3x ? 1 ? 3(x ? 2) ? 7 ? 3 ? 7 ，
x? 2
x? 2
x? 2
∵ 7 ? 0 ，∴ 3 ? 7 ? 3 ，
x? 2
x? 2
∴函数 y ? 3x ? 1 的值域为{y? R | y ? 3} x? 2
1? sin x 2 ? cos x
解：（1）（配方法）Q y ? 3x2 ? x ? 2 ? 3(x ? 1 )2 ? 23 ? 23 ， 6 12 12
∴ y ? 3x2 ? x ? 2 的值域为 [ 23 , ?? ) 12
改题：求函数 y ? 3x2 ? x ? 2 ， x? [1,3]的值域

定义域与值域课件

函数图像是另一种有力的工具，它可以直观地展示定义域和值域，并帮助我们理解函数的特征。
定义域和值域的应用举例
1
金融投资
在金融投资中，定义域可以表示投资
天气预报
2
的风险等级，值域可以表示预期收益。
在天气预报中，定义域可以表示温度
范围，值域可以表示天气状况。
3
医学诊断
在医学诊断中，定义域可以表示各种病症，值域可以表示不同的诊断结果。
常见的函数类型及其定义域和值域
线性函数
定义域为整个实数集，值域也为整个实数集。
二次函数
定义域为整个实数集，值域根据二次函数的开口方向有所不同。
指数函数
定义域为整个实数集，值域为正实数集。
对数函数
定义域为正实数集，值域为整个实数集。
定义域和值域的图示表示
矩形坐标系
函数图像
矩形坐标系是描述定义域和值域的常用工具之一。它可以帮助我们可视化函数的输入和输出范围。
定义域与值域ppt课件
在这个课件中，我们将探讨定义域和值域的概念，以及如何确定函数的定义域和值域。我们还将介绍常见函数类型的定义域和值域，并通过图示表示和实际应用举例，帮助您理解定义域和值域的重要性。
定义域和值域的概念
定义域是函数中所有可能输入的集合，值域是函数中所有可能输出的集合。它们是用来描述函数的输入和输出范围的重要概念。
如何确定函数的定义域和值域
1 分析函数表达式
通过分析函数的表达式，我们可以确定函数的定义域和值域。例如，根据根式函数的定义域和非负实数相关联。
2 考虑约束条件
有时候，函数的定义域和值域受到一些约束条件的限制。通过考虑这些约束条件，我们可以确定函数的实际范围。

高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章 §2 1 第2课时函数的定义域与值域

第二章 §2.1 函数的概念及其表示
大一轮复习讲义
题型一函数的定义域
1.函数f(x)＝ln(4x－x2)＋x－1 2 的定义域为
A.(0,4)
B.[0,2)∪(2,4]
√C.(0,2)∪(2,4)
D.(－∞，0)∪(4，＋∞)
解析要使函数有意义， 4x－x2>0，
则x－2≠0，解得0<x<4且x≠2.
师生共研
(2)y＝2xx－＋31；
解 (分离常数法)y＝2xx－＋31＝2x－x－33＋7＝2＋x－7 3，显然x－7 3≠0，∴y≠2. 故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞).
(3)y＝2x－ x－1；
解 (换元法)设 t＝ x－1，则 x＝t2＋1，且 t≥0， ∴y＝2(t2＋1)－t＝2t－142＋185，由 t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为185，＋∞.
3.若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝ f2x 的定义域为_[_0_,_3_) _. 8－2x
解析依题意有08≤－22xx>≤0，8，解得0≤x<3， ∴g(x)的定义域为[0,3).
思维升华
(1)根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式 (组)的解集即可. (2)求抽象函数的定义域的策略 ①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出； ②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b] 上的值域.
2
∴xx－－11>≤02，，解得1<x≤3.

高考数学(文科,大纲)一轮复习配套课件：2.2函数的定义域、值域

§2.2函数的定义域、值域本节目录知能演练轻松闯关考向瞭望把脉高考考点探究讲练互动教材回顾夯实双基基础梳理1.函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的变里的取值范围.2.函数的值域⑴定义在函数y=/(Q中，与自变量r的值对应的y的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域・(2)基本初等函数的值域思考探究函数为整式、分式、根式、指数或对数函数时，定义域有什么特点？提示：⑴整式的定义域是实数集R；分式的分母不为零；(2)偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1.2.函数的最值与值域有何联系？提示：函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但有了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域.课前热身1.（教材改编）函数尸伍二+占的定义域为（）A.（—8, —2]B.（一8, 2]C.（一8, -1）U（-1,2]D.[2, +8）答案：C解析：选A.要使加：)有意义，需1 ogl(2x+l)>0=logll,2 2・・.0V2x+lVl, .\-|<x<0.2・若/(兀)=,则/(兀)的定义域为(log ；(2x+l)D. (0, +8)3. （2012-高考江西卷）下列函数中，与函数y=/~定义域相同的\[x 函数为（）A・y=.smx B. j-lnXXC. y=xe x sinxX解析：选D•函数丿=7-的定义域为仪IxHO},选项A中由sinxHOFH乃r, kj故A不对；选项B中x>0,故B不对; 选项C中xGR,故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{xlx^O},故选D.4.函数f(x)=Y^p(x^R)的值域为答案：(0,1]X2—x+1 (x<l)5-函数他+ (5)的值域是答案：(0, 4-00)考点1求具体函数的定义域求函数定义域的问题类型(1)若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需解不等式(组)即可.(2)实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义•求下列函数的定义域:2⑵尸玄丙+0-4)。

函数的定义域与值域

函数的定义域与值域函数是数学中的重要概念，用于描述输入和输出之间的对应关系。

在函数中，定义域（Domain）指的是函数的所有可能输入值所构成的集合，值域（Range）则是函数的所有可能输出值所构成的集合。

函数的定义域和值域在数学中具有重要的意义和应用，并在各个学科领域中发挥着重要的作用。

1. 定义域在函数中，定义域是指函数的所有可能输入值的集合。

它决定了函数可接受的输入范围。

通常，定义域可以是实数集、整数集、有理数集等。

然而，有些函数可能会有特定的限制条件，如分母不能为零、根号内不能为负数等。

例如，考虑函数f(x) = 1/x，其中x为实数。

在这种情况下，由于分母不能为零，所以x的定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。

这样，所有不为零的实数都可以作为这个函数的输入值。

2. 值域在函数中，值域是指函数的所有可能输出值的集合。

它表示了函数所能取得的所有可能结果。

值域的确定需要考虑函数在定义域中的取值范围以及函数本身的性质。

例如，再考虑函数f(x) = 1/x，其定义域为除去0的实数集，即x∈R，x≠0。

对于任意一个不为零的输入值x，在函数中，将其代入公式后可以得到一个相应的输出值，即f(x) = 1/x。

显然，输出值可以是任意实数，因此值域为实数集R，即f(x)∈R，f(x)≠0。

3. 定义域和值域的图示为了更好地理解函数的定义域和值域，可以通过图示来展示函数的输入输出关系。

在坐标系中，将定义域的值放在x轴上，将对应的函数值放在y轴上，可以绘制函数的图像。

例如，回顾函数f(x) = 1/x，在定义域除去0的实数集，可以绘制函数曲线。

这样，x轴上除了0以外的各个点，都对应着y轴上的一个值，而值域即为函数曲线所覆盖的y轴的范围。

4. 应用举例函数的定义域和值域在数学中具有广泛的应用和重要意义。

它们不仅可以帮助我们理解函数的性质，还能在实际问题中起到指导作用。

例如，在物理学和工程学中，定义域和值域的概念可以帮助我们描述和分析各种物理量之间的关系。

函数的定义域与值域课件

复合函数
由内到外逐层分析，确保每层函数在对应定义域内有意义。
图像法求定义域
01
观察函数图像，找出图像上所有点的横坐标集合，即为函数的定义域。
02
适用于直观易懂的函数图像，如一次函数、二次函数等。
实际问题中定义域确定
根据实际问题的背景和条件，确定自变量的取值范围。
需要结合具体问题进行具体分析，灵活应用数学知识。
对于形如$y=a(x-h)^2+k$的复合函数，可以通过配方的方法将其转化为顶点式，进而求得值域。
对于形如$y=ax^2+bx+c/x$ 的复合函数，可以通过判别式的方法求得值域。首先将原式化为关于$x$的二次方程，然后根据判别式$Delta geq 0$ 求得$y$的取值范围。
对于某些特殊的复合函数，可以通过求其反函数的方法求得值域。例如，对于形如 $y=log_a[f(x)]$的复合函数，可以先求出其反函数$x=a^y$，然后根据反函数的定义域求得原函数的值域。
取并集
将各区间定义域取并集，得到分段函数的定义域。
注意分段点
分段点应包含在定义域内，除非分段点处函数无定义。
分段函数值域求解
分别求解各区间值域
注意最值点
根据各区间内解析式的性质，分别求解各区间的值域。
在各区间内和分段点处寻找最值点，以确定值域的上下界。
取并集
将各区间值域取并集，得到分段函数的值域。
05 分段函数定义域与值域
分段函数概念及性质
01
02
03
分段函数定义
在不同区间上，用不同解析式表示的函数。
分段函数性质
各区间内函数性质可能不同，如单调性、奇偶性等。

高考数学复习考点知识讲解课件6 函数的定义域与值域

知识梳理 1．函数的定义域 (1)求定义域的步骤 ①写出使函数式有意义的不等式(组)． ②解不等式(组)． ③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)
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— 4—
(新教材) 高三总复习•数学
(2)基本初等函数的定义域 ①整式函数的定义域为 R. ②分式函数中分母_不___等__于__0__. ③偶次根式函数被开方式__大__于__或__等__于___0___. ④一次函数、二次函数的定义域均为 R. ⑤函数 f(x)＝x0 的定义域为__{_x_|x_≠__0_}__． ⑥指数函数的定义域为____R______. ⑦对数函数的定义域为_(_0_，__＋__∞__)_．
0<2－x<1， ⇒x≠32
1<x<2， ⇒x≠32.
所以函数的定义域为1，32∪32，2.
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
角度 2：求抽象函数的定义域【例 2】已知函数 f(2x＋1)的定义域为(0,1)，则 f(x)的定义域是___(1_,_3_)__． [思路引导] 由已知得 x∈(0,1)→求 2x＋1 的范围→得 f(x)的定义域．
2
— 返回 —
— 13 —
(新教材) 高三总复习•数学
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[解析] (1)要使原函数有意义，
－x2＋9x＋10≥0，则x－1>0，
x－1≠1，
解得 1<x≤10 且 x≠2，所以函数 f(x)＝－x2＋9x＋10－
lnx2－1的定义域为(1,2)∪(2,10]，故选 D．
(2)要使函数有意义，则log12 2－x>0， 2x－3≠0
— 11 —
— 返回 —

高中数学课件第2章第2节《函数的定义域和值域》

因此，因此，g(x)min＝g(2)＝1－2a，＝－，而g(3)－g(1)＝(2－3a)－(1－a)＝1－2a，－＝－－－＝－，故当0≤a≤ 故当当时，g(x)max＝g(3)＝2－3a，有h(a)＝1－a；＝－，＝－；
＜a≤1时，g(x)max＝g(1)＝1－a，有h(a)＝a，时＝－，＝，
3.不等式法：借助于基本不等式a＋b≥2 不等式法：借助于基本不等式＋不等式法
(a>0，b>0)求数，求数
的值域.用不等式法求值域时，的值域用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用用不等式法求值域时条件“一正、二定、三相等”. 条件一正、二定、三相等一正 4.单调性法：首先确定函数的定义域， 4.单调性法：首先确定函数的定义域，然后再根据其单调单调性法性求函数的值域，常用到函数＝＋性求函数的值域，常用到函数y＝x＋增区间为(－，－增区间为－∞，－ (0， ). ， ]和[ 和 (p>0)的单调性：的单调性：的单调性
＋∞)，减区间为－ ,0)和，减区间为(－和
[特别警示 (1)用换元法求值域时，需认真分析换元后变特别警示] 用换元法求值域时，特别警示用换元法求值域时量的范围变化；用判别式求函数值域时，量的范围变化；用判别式求函数值域时，一定要注意自变量x是否属于是否属于R. 是否属于 (2)用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立；用不等式法求函数值域时，需认真分析其等号能否成立；用不等式法求函数值域时利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键利用单调性求函数值域时，准确地找出其单调区间是关键. 分段函数的值域应分段分析，再取并集分段函数的值域应分段分析，再取并集. (3)不论用哪种方法求函数的值域，都一定要先确定其定义不论用哪种方法求函数的值域，不论用哪种方法求函数的值域域，这是求值域的重要环节. 这是求值域的重要环节

函数的值域与最值复习PPT优秀课件

达式有明显的几何意义.
26
走进高考
学例1 (2009·湖南卷 ) 函数
y=2tanx+tan( -x)(0<x< )的
最小值是 2
2
2.
2
因为0<x< 2 ，所以tanx>0,
所以y=2tanx+ 1 ≥
tan x
2 ,当2 且仅当
tanx= 时2 “=”成立.
2
27
学例2 (2009·海南/宁夏卷)用min{a,b,c}表
87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯·瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士·雷德非]
89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰]
12
不妨设f(x)=3x(-1≤x≤3，且x∈Z)，可知D={-3,0,3,6,9}，M=9，N=-3，可知，A、B、C错误，选D.
点评 1. 函数的值域是函数值的集合，
函数的最值是该集合中的元素. 2.当函数y=f(x)在其定义域上是连续函数
时， D=[N ， M] ，其中 N=f(x)min ， M=f(x)max.
件的实数a、b.
综合①②③可得,满足条件的实数a、b不存在.
25
方法提炼
1.配方法：主要适用于二次函数或利用换元技巧转化为二次函数，要特别注意自变量和新变量的范围.

高考二轮复习 2.2 函数的定义域、值域课件

（B）
A.
B.［a,1-a］
C.［-a,1+a］
D.［0,1］
解析 ∵f(x)的定义域为［0，1］， ∴要使f(x+a)·f(x-a)有意义，
须 0 0 x x a a 1 1 aa x x a1 1a,
且 0a1,a1a, ax1a. 2
h
24
3.求下列函数的值域：
（1）y 1 x ;
f(3)25 ,又 f(0)4,
24
故由二次函数图象可知
解得 3 m 3.
3
2
m
m
3 2
3 2
. 0
2 h
25 4
，
4，
（B ）
7
题型一求函数的定义域
求下列函数的定义域
（1）y ( x 1)0 ;
x x
(2) y3 1 5x2;
x23
(3) y x1·x1.
【思维启迪】对于分式要注意分子有意义，分母不为零；
基本初等函数的定义域主要从式子的存在性入手分析，经常
考虑分母、被开方数、对数的真数等方面，几种常见函数的
定义域和值域都有必然的联系.
h
18
方法与技巧 1.函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且
它是研究函数性质的基础.因此，我们一定要树立函数定义域优先意识. 求函数的定义域关键在于列全限制条件和准确求解方程或不等式（组）；对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义.
2x 5
（2） y x 1x2.
解（1）（分离常数法）
y1 7 2 2(2x5)
7 0,y1.
2(2x5)

函数的定义域、值域--高考数学【解析版】

专题06 函数的定义域、值域函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，函数的定义域问题也是高考的热点.函数的值域（最值）也是高考中的一个重要考点，并且值域（最值）问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.【重点知识回眸】1.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据． (4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．提醒：两个函数的值域和对应关系相同，但两个函数不一定相同，例如，函数f (x )＝|x |，x ∈[0,2]与函数f (x )＝|x |，x ∈[－2,0]． 2．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．提醒：分段函数是一个函数，而不是几个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 3.常见函数定义域的求法类型x 满足的条件2()nf x (n ∈N *) f (x )≥0 21()n f x (n ∈N *)f (x )有意义 1()f x 与[f (x )]0 f (x )≠0 log a f (x )(a ＞0且a ≠1) f (x )＞0 a f (x )(a ＞0且a ≠1)f (x )有意义 tan[f (x )]f (x )≠π2＋k π，k ∈Z四则运算组成的函数各个函数定义域的交集实际问题使实际问题有意义4.①若()y f x =的定义域为(),a b ，则不等式()a g x b <<的解集即为函数()()y f g x =的定义域；②若()()y f g x =的定义域为(),a b ，则函数()g x 在(),a b 上的的值域即为函数()y f x =的定义域．5.常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（y kx b =+）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域.（2）二次函数（2y ax bx c =++），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）.（3）反比例函数：1y x=（1）图像关于原点中心对称（2）当,0x y →+∞→ ，当,0x y →-∞→. （4）对勾函数：()0ay x a x=+> ① 解析式特点：x 的系数为1；0a >注：因为此类函数的值域与a 相关，求a 的值时要先保证x 的系数为1，再去确定a 的值例：42y x x =+，并不能直接确定4a =，而是先要变形为22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求得2a =② 极值点：,x a x a ==③ 极值点坐标：(,2,,2a a a a --④ 定义域：()(),00,-∞+∞⑤ 自然定义域下的值域：(),22,a a ⎡-∞-+∞⎣（5）函数：()0ay x a x=-> 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：x 的系数为1；0a > ② 函数的零点：x a =③ 值域：R（5）指数函数（xy a =）：其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（6）对数函数（log a y x =）其函数图像分为1a >与01a <<两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()0,+∞（7）三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-. 6.函数值域问题处理策略（1）换元法：① ()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦：此类问题在求值域时可先确定()f x 的范围，再求出函数的范围.② ()()(),log ,sin x a y f a y f x y f x ===：此类函数可利用换元将解析式转为()y f t =的形式，然后求值域即可.③形如y ax b cx d =++（2）均值不等式法：特别注意“一正、二定、三相等”.（3）判别式法：若原函数的定义域不是实数集时，应结合函数的定义域，将扩大的部分剔除.（4）分离常数法:一般地， ① ax by cx d+=+：换元→分离常数→反比例函数模型② 2ax bx c y dx e ++=+：换元→分离常数→ay x x=±模型③ 2dx ey ax bx c+=++：同时除以分子：21y ax bx c dx e=+++→②的模型④ 22ax bx cy dx ex f++=++：分离常数→③的模型（5）单调性性质法：利用函数的单调性（6）导数法：利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值, 然后求出值域（7）数形结合法【典型考题解析】热点一已知函数解析式求定义域【典例1】（广东·高考真题（文））函数f (x )＝11x-＋lg(1＋x )的定义域是（）A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)∪(1，＋∞)D ．(－∞，＋∞)【答案】C 【解析】根据函数解析式建立不等关系即可求出函数定义域. 【详解】因为f (x )＝11x-＋lg(1＋x )，所以需满足1010x x -≠⎧⎨+>⎩，解得1x >-且1x ≠，所以函数的定义域为(－1，1)∪(1，＋∞)，故选：C【典例2】（山东·高考真题（文））函数21()4ln(1)f x x x =-+( )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]【答案】B 【解析】【详解】x 满足2101140x x x +>⎧⎪+≠⎨⎪-≥⎩，即1022x x x >-⎧⎪≠⎨⎪-≤≤⎩. 解得－1<x <0或0<x ≤，选B.【典例3】（2019·江苏·高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】【分析】由题意得到关于x 的不等式，解不等式可得函数的定义域. 【详解】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤ 解得17x -≤≤，故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2022·北京·高考真题）函数1()1f x x x=-_________．【答案】()(],00,1-∞⋃【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【详解】解：因为()11f x x x =-100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠，故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃；故答案为：()(],00,1-∞⋃ 【总结提升】已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)简单函数的定义域：若f(x)是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集．(2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可．热点二求抽象函数的定义域【典例5】（全国·高考真题（理））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（） A ．(1,1)- B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为函数()f x 的定义域为(1,0)-，故函数(21)f x +有意义只需-1210x <+<即可，解得1-1-2x <<，选B ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()31f x +的定义域为[]1,7，求函数()f x 的定义域．【答案】[]4,22 【解析】【分析】根据复合函数定义域的性质进行求解即可. 【详解】因为()31f x +的定义域为[]1,7，所以17x ≤≤，所以43122x ≤+≤．令31x t +=，则422t ≤≤．即()f t 中，[]4,22t ∈．故()f x 的定义域为[]4,22．【典例7】（2022·全国·高三专题练习）已知函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则函数2(log )y f x ＝的定义域为（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．2⎡⎤⎣⎦，【答案】D 【解析】【分析】根据(1)y f x +＝的定义域可知1122x ≤+≤，故21log 22x ≤≤，即可求出答案. 【详解】解：∵函数(1)y f x +＝的定义域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， ∴112x -≤≤，1122x ≤+≤∴函数2(log )y f x ＝中，21log 22x ≤≤ 24x ≤≤所以函数2(log )y f x ＝的定义域为2，]．故选：D 【总结提升】(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．热点三求函数的值域（最值）【典例8】（江西·高考真题（理））若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（） A ．1[,3]2B ．10[2,]3 C ．510[,]23D ．10[3,]3【答案】B 【解析】【详解】试题分析：设()f x =t,则1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,从而()F x 的值域就是函数11,,32y t t t ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦的值域，由“勾函数”的图象可知，102()3F x ≤≤，故选B ．【典例9】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[]1,2，则下列四个函数①()21y f x =-；①()21y f x =-；①()12f x y -=；①()2log 11y f x =++，其中值域也为[]1,2的函数个数是（） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1【答案】B 【解析】【分析】求出①②③④中各函数的值域，即可得出合适的选项. 【详解】对于①，因为()12f x ≤≤，则()[]211,3y f x =-∈，①不满足条件；对于②，对于函数()21y f x =-，21x -∈R ，则函数()21y f x =-的值域为[]1,2，②满足条件；对于③，因为()12f x ≤≤，则()[]1,221f x y -∈=，③满足条件；对于④，因为()12f x ≤≤，()[]11,2f x +∈，则()[]2log 111,2y f x =++∈，④满足条件. 故选：B.【典例10】（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】令1x t -=，()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，令()21sin sin h t t t t t=+-，根据奇偶性的定义，可判断()h t 的奇偶性，根据奇偶性，可得()h t 在(][2,0)0,2-⋃最大值与最小值之和为0，分析即可得答案. 【详解】由21()[(1)1]sin(1)11f x x x x =---++- 令1x t -=，因为[1,1)(1,3]x ∈-⋃，所以(][2,0)0,2t ∈-⋃；那么()f x 转化为()21sin sin 1g t t t t t =+-+，(][2,0)0,2t ∈-⋃，令()21sin sin h t t t t t=+-，(][2,0)0,2t ∈-⋃，则()()()()()()2211sin sin sin sin h t t t t t t t h t t t ⎛⎫-=--+--=-+-=- ⎪-⎝⎭，所以()h t 是奇函数可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．【典例11】（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也称取整函数，例如：[]1.32-=-，[]3.43=，已知()11313x f x =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域为______．【答案】{}1,0- 【解析】【分析】根据指数函数的性质分析()f x 的值域，进而得到()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域即可【详解】 ∵()11313x f x =-+，()30,x∈+∞， ∴令30x t =>，则()()1112,1333f x g t t ⎛⎫==-∈- ⎪+⎝⎭故函数()()y f x g t ==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的值域为{}1,0-，故答案为：{}1,0-【典例12】（2023·全国·高三专题练习）函数()21f x x x =+-________；函数24y x x =-________．【答案】 2 22,2⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】()f x 1x t -换元后化为二次函数可得最大值，函数24y x x =-2cos ([0,])x θθπ=∈，然后利用两角和的余弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，再由余弦函数的性质得取值范围．【详解】(1)1x -t (t ≥0)，所以x =1－t 2.所以y =f (x )=x 1x -－t 2+2t =－t 2+2t +1=－(t －1)2+2.所以当t =1即x =0时，y max =f (x )max =2. (2)由4－x 2≥0，得－2≤x ≤2，所以设x =2cos θ(θ∈[0，π])，则y =2cos θ244cos θ-θ－2sin θ2()4πθ+，因为5[,]444πππθ+∈，所以cos ()4πθ+∈2⎡-⎢⎣⎦，所以y ∈[－22]．故答案为：2；[2,2]-．【典例13】（2023·河南·洛宁县第一高级中学一模（文））已知函数()211122f x x x =++． (1)求()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程； (2)求()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域．【答案】(1) 7420x y --=； (2)[]2,3．【解析】【分析】对于第一小问，把点()()22f ,代入函数解析式，得切点坐标，通过函数求导，得到过切点的切线的斜率，根据直线的点斜式方程，求切线方程．对于第二小问，解不等式()0f x '>，得函数增区间，解不等式()0f x '<，得函数减区间，结合1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，确定函数单调性，求得最值，进而得值域．(1) 因为()211122f x x x =++，所以()21f x x x '=-，所以()23f =，()724f '=，故所求切线方程为()7324y x -=-，即7420x y --=． (2)由（1）知()()()2322111x x x x f x x x -++-'==，1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦．令()0f x '>，得12x <≤；令()0f x '<，得112x ≤<．所以()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在[]1,2上单调递增，所以()()min 12f x f ==．又12128f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()23f =，所以()23f x ≤≤，即()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3．热点四求参数的值或取值范围【典例14】（2023·全国·高三专题练习）设a R ∈，函数()2229,1163,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2 B ．[]1,3 C ．[]0,2 D ．[]2,3【答案】A 【解析】【分析】当1x >时，结合不等式求得其最小值为123a -，当1x ≤时，()()229f x x a a =-+-，根据函数()f x 的最小值为()1f ，列出不等式组，即可求解. 【详解】当1x >时，22231688883333123x a x a x a a x x x x x+-=++-≥⨯⨯=-，当且仅当28x x=时，等号成立；即当1x >时，函数()f x 的最小值为123a -，当1x ≤时，()()222299f x x ax x a a =-+=-+-，要使得函数()f x 的最小值为()1f ，则满足()11102123a f a a ≥⎧⎨=-≤-⎩，解得12a ≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,2. 故选：A.【典例15】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()221f x ax x =++R ，则实数a 的取值范围是__．【答案】[1，+∞）【解析】【分析】等价于ax 2+2x +1≥0恒成立，再对a 分类讨论得解. 【详解】解：函数()221f x ax x ++R ，即为ax 2+2x +1≥0恒成立，若a ＝0，则2x +1≥0不恒成立；当a ＞0，∆＝4﹣4a ≤0，解得a ≥1；当a ＜0，ax 2+2x +1≥0不恒成立．综上可得，a 的取值范围是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．【典例16】（2016·北京·高考真题（理））设函数33,(){2,x x x af x x x a -≤=->. ①若0a =，则()f x 的最大值为____________________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是_________________. 【答案】2 (,1)-∞- 【解析】【分析】试题分析：如图，作出函数3()3g x x x =-与直线 2y x =-的图象，它们的交点是(1,2),(0,0),(1,2)A O B --，由 2'()33g x x =-，知1x =是函数 ()g x 的极小值点，①当0a =时， 33,0(){2,0x x x f x x x -≤=->，由图象可知()f x 的最大值是 (1)2f -=；②由图象知当1a ≥-时， ()f x 有最大值(1)2f -=；只有当 1a <-时，332a a a -<-，()f x 无最大值，所以所求 a 的取值范围是(,1)-∞-．【精选精练】1．（2023·全国·高三专题练习）若集合-1|2M x y x ==⎧⎨⎩，{}2|N y y x -==，则（）A ．M N ⋂=∅B ．M N ⊆C ．N M ⊆D ．M ＝N【答案】B 【解析】【分析】利用集合间的基本关系来进行运算即可. 【详解】集合M 表示函数21y x =-2x －1>0，解得12x >.集合N 表示函数2y x 的值域，值域为()0,∞+，故选：B.2．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，其定义域和值域分别与函数lg 10x y =的定义域和值域相同的是（） A ．y ＝x B ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y x【答案】D 【解析】【分析】求出函数lg 10x y =的定义域和值域，对选项逐一判断即可. 【详解】因函数lg 10x y =的定义域和值域均为()0,∞+，对于A ，y x =的定义域和值域均为R ，故A 错误；对于B ，lg y x =的定义域和值域分别为()0,,R +∞，故B 错误；对于C ，2y x =的定义域和值域均为R ，故C 错误；对于D ，y x=定义域和值域均为()0,∞+，故D 正确；故选：D ．3．（2022·全国·高三专题练习）若函数()21f x ax ax =-+R ，则a 的范围是（） A ．()0,4 B ．[)0,4 C ．(]0,4 D ．[]0,4【答案】D 【解析】【分析】分0a =、0a >、0a <讨论即可求解. 【详解】若()f x 的定义域为R ，则当0a =时，()1f x =满足题意；当0a ≠时，20Δ40a a a >⎧⎨=-≤⎩，解得：04a <≤；当0a <时，无法满足定义域为R ．综上所述：04a ≤≤，D 正确．故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的定义域为[]0,1，值域为[]1,2，那么函数()2f x +的定义域和值域分别是（）A ．[]0,1，[]1,2B ．[]2,3，[]3,4C ．[]2,1--，[]1,2D ．[]1,2-，[]3,4【答案】C 【解析】【分析】由[]20,1x +∈可求出函数的定义域，由于()2y f x =+的图象是由()y f x =的图象向左平移2个单位得到，所以其值域不变，从而可得答案【详解】令[]20,1x +∈得[]2,1x ∈--，即为函数()2y f x =+的定义域，而将函数()y f x =的图象向左平移2个单位即得()2y f x =+的图象，故其值域不变．故选：C ．5．（2022·江西·高三阶段练习（文））函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上的值域为（） A ．[1,2] B ．[1,3] C ．[2,3] D ．[2,4]【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数与正弦函数的单调性可得函数()f x 在上单调递增，从而可求()f x 的值域. 【详解】解：易知函数()s 2π2inxf x x =+在[0,1]上单调递增，且(0)1f =，(1)3f =，所以()f x 在[0,1]上的值域为[1,3]．故选:B ．6．（2022·全国·高三专题练习）已知(12)3,1()ln ,1a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩的值域为R ，那么a 的取值范围是( ) A ．(﹣∞，﹣1] B ．(﹣1，12)C ．[﹣1，12)D ．(0，1)【答案】C 【解析】【分析】先求出ln ,1y x x =≥的值域，然后确定(12)3,1y a x a x =-+<的值域所包含的集合，利用一次函数性质可得．【详解】当x ≥1时，f (x )=ln x ，其值域为[0，+∞)，那么当x <1时，f (x )=(1﹣2a )x +3a 的值域包括(﹣∞，0)， ∴1﹣2a >0，且f (1)=(1﹣2a )+3a ≥0，解得：12a <，且a ≥﹣1. 故选：C.7．（2023·全国·高三专题练习）函数f （x 2sin 12x π- ）A ．54,433k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．154,433k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )C ．54,466k k πππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ) D ．154,466k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )【答案】B 【解析】【分析】由题意可得2sin 102x π-≥，然后利用正弦函数的性质求解即可【详解】由题意，得2sin 102x π-≥，1sin22x π≥，所以522,Z 626k x k k πππππ≤+≤≤+∈，解得1544,Z 33k x k k +≤≤+∈，所以函数的定义域为()154,4Z 33k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故选：B8．（2023·山西大同·高三阶段练习）函数6()e 1||1x mxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（） A ．3 B ．4C ．6D ．与m 值有关【答案】C 【解析】【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解. 【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++，设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--，所以()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.9．（2022·江苏南京·高三开学考试）已知函数()()()()5sin sin ,99f x x x g x f f x ππ⎛⎫⎛⎫=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()g x 的最大值为（）A 2B 3C ．32D ．2【答案】B 【解析】【分析】记9t x π=+，()()33sin 2f x h t t t ==+，由三角函数的性质即可求出()g x 的最大值. 【详解】记9t x π=+，则()()33sin sin sin 32f x h t t t t t π⎛⎫==++= ⎪⎝⎭，所以()3sin 3,36h t t π⎛⎫⎡=+∈- ⎪⎣⎝⎭， 33π>，所以()()f f x 3故选：B.10．（2022·广东·石门高级中学高二阶段练习）函数()12cos f x x x x =+-的最小值为（） A ．1ππ B ．22ππC ．-1D ．0【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到()f x 为偶函数，由0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，利用导数求得函数的的单调区间，进而求得函数的最小值. 【详解】由题意，函数()12cos f x x x x =+-的定义域为R ，关于原点对称，且满足()()()1122cos cos f x x x x x x x f x -=-+---=+-=，所以()f x 为偶函数，当0x ≥时，()12cos f x x x x =+-，可得()1sin 11022f x x xx=≥'+>，()f x 在单调递增，又由()f x 为偶函数，所以()f x 在(),0∞-单调递减，[)0,∞+单调递增，所以()()min 01f x f ==-. 故选：C. 二、多选题11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数122()log (2)log (4)f x x x =--+，则下列结论中正确的是（）A ．函数()f x 的定义域是[4,2]-B ．函数(1)=-y f x 是偶函数C ．函数()f x 在区间[1,2)-上是减函数D ．函数()f x 的图象关于直线1x =-对称【答案】BD 【解析】【分析】求出函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；利用定义证明函数(1)=-y f x 是偶函数，B 选项正确；函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；可以证明f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 【详解】解：函数()()()()()1222log 2log 4log 24f x x x x x ⎡⎤=--+=--+⎣⎦，由20,40x x ->+>可得42x -<<，故函数定义域为(4,2)-，A 选项错误；()()()21log 33y f x x x ⎡⎤=-=--+⎣⎦的定义域为()3,3-，设()()()2log 33,g x x x ⎡⎤=--+⎣⎦所以()()()()2log 33,g x x x g x ⎡⎤-=-+-+=⎣⎦即()1y f x =-是偶函数，B 选项正确；()()()()222log 24log 28f x x x x x ⎡⎤=--+=---+⎣⎦()22log 19x ⎡⎤=--++⎣⎦()212log 19x ⎡⎤=-++⎣⎦，当[)1,2x ∈-时，()219t x =-++是减函数，外层12log y t =也是减函数，所以函数()f x 在区间[)1,2-上是增函数，故C 选项错误；由()()()()22log 42=f x x x f x ⎡⎤--=-+-⎣⎦，可得f (x )的图象关于直线1x =-对称，故D 选项正确. 故选：BD 三、双空题12．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln ,1e 2,1xx b x f x x +>⎧=⎨-≤⎩,若(e)3(0)f f =-，则b =_____，函数()f x 的值域为____．【答案】 2 (][)2,e 22,--+∞【解析】【分析】根据(e)3(0)f f =-可解得b 的值，代入分段函数，结合对数函数及指数函数的值域求解分段函数的值域即可. 【详解】由(e)3(0)f f =-得13(1)b +=-⨯-，即2b =，即函数()ln 2,1e 2,1xx x f x x +>⎧=⎨-≤⎩, 当1x >时，ln 22y x =+>；当1x ≤时，(]e 22,e 2xy =-∈--．故函数()f x 的值域为(][)2,e 22,--+∞．故答案为：2；(][)2,e 22,--+∞.13．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()121x f x a =+-为奇函数，则实数a ＝__，函数f （x ）在[1，3]上的值域为__．【答案】 1293,142⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由()f x 是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），代入可求出实数a ；再判断数f （x ）在[1，3]上单调性，即可求出答案. 【详解】解：∵f （x ）是（﹣∞，0）∪（0，+∞）上是奇函数， ∴f （﹣x ）＝﹣f （x ），即121x -+-a121x =---a ，即212xx+-a 121x=---a ，则2a 121221121212x x xx x x=--=-=----1，则a 12=，则f （x ）11212x =+-在[1，3]为减函数，则f （3）≤f （x ）≤f （1），即914≤f （x ）32≤，即函数的值域为[914，32]，故答案为：12；[914，32] 四、填空题14．（2022·全国·高三专题练习）函数()02lg 2112x y x x x -=++-的定义域是________．【答案】(3,1)(1,2)--⋃- 【解析】【分析】要使该函数表达式有意义，只需20x ->，2120x x +->，10x +≠同时成立，解不等式即可求出结果．【详解】函数()02lg 2112x y x x x -=++-的解析式有意义，由22012010x x x x ->⎧⎪+->⎨⎪+≠⎩，即2341x x x <⎧⎪-<<⎨⎪≠-⎩，所以31x -<<-或12x -<<，故该函数的定义域为(3,1)(1,2)--⋃-．故答案为：(3,1)(1,2)--⋃-15．（2022·上海闵行·二模）已知函数()()41log 42x f x m x =+-的定义域为R ，且对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则实数m =___________；【答案】1 【解析】【分析】根据条件得到()()f a f a =-，即()()41log 42xf x m x =+-为偶函数，根据()()f x f x -=列出方程，求出实数m 的值. 【详解】因为()()41log 42xf x m x =+-的定义域为R ，所以40x m +>恒成立，故0m ≥，又因为对任意实数a ，都满足()()f a f a ≥-，则对于实数a -，都满足()()f a f a -≥，所以()()f a f a =-，所以()()41log 42x f x m x =+-为偶函数，从而()()4411log 4log 422x x m x m x -++=+-，化简得：()()4110x m --=，要想对任意x ，上式均成立，则10m -=，解得：1m =故答案为：116.（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，且当0x <时，()1a f x x x=++．若函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，则实数a 的值为________．【答案】3【解析】【分析】根据已知条件及奇函数的定义求出当0x <时函数的解析式，再利用函数的单调性对a 进行分类讨论，确定单调性即可求解.【详解】由题意可知，因为0x >，所以0x -<，所以()1a f x x x -=--+，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()1a f x f x x x=--=+-. 因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3当0a ≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =（舍），当09a <≤时，由函数的性质知，函数()f x 在[)3,+∞上单调递增；当3x =时，()f x 取得最小值为(3)23a f =+，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以233a +=，解得3a =，当9a >时，由对勾函数的性质知，函数()f x 在),a ⎡+∞⎣上单调递增；在(a 上单调递减；当x a =()f x 取得最小值为(11f a a a a ==，因为函数()y f x =在[)3,+∞上的最小值为3，所以213a =，解得1a =（舍），综上，实数a 的值为3.故答案为：3.17．（2022·北京·清华附中模拟预测）已知函数()()2ln ,1,1x a x f x x a x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，下列说法正确的是___________.①当0a ≥时，()f x 的值域为[0,)+∞；②a ∀∈R ，()f x 有最小值；③R a ∃∈，()f x 在(0,)+∞上单调递增：④若方程1f x有唯一解，则a 的取值范围是(,2)-∞-.【答案】①②【解析】【分析】由分段函数解析式，讨论参数a ，结合二次函数、对数函数的性质研究()f x 的单调性、最值及对应值域，利用函数()f x 与1y =的交点情况判断参数范围.【详解】由2()y x a =+的对称轴x a =-，当1a >-时，则1x a =-<，且(,)a -∞-上递减，(,1)a -上递增，值域为[0,)+∞，当1a =-时，则(,1)-∞上递减，值域为[0,)+∞，当1a <-时，则1x a =->，(,1)-∞上递减，值域为2((1),)a ++∞，对于ln y x a =+在[1,)+∞上递增，且值域为[,)a +∞，综上，0a ≥时()f x 的值域为[0,)+∞，①正确；当0a ≥时()f x 最小值为0，当0a <时()f x 最小值为a ，②正确；由211|(1)|ln1x x y a y a a ===+>=+=恒成立，故在(0,)+∞上不可能递增，③错误；要使1f x 有唯一解，当1a <-时，在[1,)+∞上必有一个解，此时只需2(1)1a +≥，即2a ≤-；当1a =-时，在R 上有两个解，不合题设；当1a >-时，在(,)a -∞-上必有一个解，此时()211{1a a +≤>，无解.所以④错误.故答案为：①② 18．（2022·全国·高三专题练习）已知函数f （x ）()221mx m x m =--+-的值域是[0，+∞），则实数m 的取值范围是__．【答案】230⎡⎢⎣⎦，【解析】【分析】将m 分为000m m m =><，，三种情况讨论：当0m =时，()210f x x - 满足条件；当0m <时，由二次函数知开口向下，不满足条件；当0m >时，只需二次函数的0∆≥即可，解出m 的取值范围，综上得m 的取值范围.【详解】解：当0m =时，()()22121f x mx m x m x =--+--[0，+∞），满足条件；令()()221g x mx m x m =--+- ，()()0g x ≥当m ＜0时，()g x 的图象开口向下，故f （x ）的值域不会是[0，+∞），不满足条件；当m ＞0时，()g x 的图象开口向上，只需()2210mx m x m --+-=的0∆≥，即（m ﹣2）2﹣4m （m ﹣1）≥0， ∴2323m ≤≤，又0m > ，所以230m <≤ 综上，230m ≤≤∴实数m 的取值范围是：230⎡⎢⎣⎦，，故答案为：230⎡⎢⎣⎦，.。

人教A版高中数学必修第一册第三章函数的定义域和值域课件

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求函数的函数值、值域 1．求函数的函数值问题，首先要确定函数的对应关系f的具体含义，再 _代__入___求值． 2．求函数值域时应先确定相应的_定__义__域__，再根据函数的具体形式及其运算确定其值域．
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f(2x＋1)中 x 的取值范围(定义域)可由 2x＋1∈(－1，2)求得．
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[解] (1)要使函数有意义，即 x2－2x－3>0，
解不等式得 x<－1 或 x>3，函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞).
(2)由题意得x2＋x－1≠3≠00，，
x≠－1，即x≠32．
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1.集合{x|2≤x<5}用区间表示为__[_2_，__5_) _；集合{x|x≤－1，或3<x<4}用区间表示为_(_－__∞_，__－__1_]_∪__(3_，__4_)_．
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函数的定义域函数的定义域是使函数有意义的所有自变量的集合；若函数的解析
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(3)求函数 y＝x＋ 2x＋1的值域；解：(3)(换元法)令 2x＋1＝t，t≥0，
t2－1 ∴x＝ 2 ，
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∴y＝t2－2 1＋t＝12t2＋t－12＝12(t＋1)2－1. ∵t≥0，∴y≥－12， ∴函数的值域为[－12，＋∞).
式是由两个或两个以上式子的和、差、积、商构成的，则其定义域是使每个式子有意义的自变量取值的公共部分的集合．

高考数学一轮专题复习函数的定义域,解析式课件

元a与素元 b对素 ,那应么b 把叫元做 a的素元 ,元象素素
a叫b的做原 . 象
原象组成 M 称的为集原合象 ,则 M 的与 A 集的合关系
是 MA,所有的象组 C称成为的,象则集 C与集 B 合
的关C 系 B 是 .
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1
A f:AB B
2 1
4
3
2
3
2
1
(1)则f[g(1)]_________;
(2)当g[f(x)]2时,x______;
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5
例1:集合P{x|0 x4},Q{y|0 y2}, 下列从 P到Q的对应法f不则能构成映射(的)是 .
A. f : xy1x 2
C. f : xy2x 3
B. f : xy1x 3
D. f : xy1x 8
6.已知 f[g函 (x)的 ]数定D 义 ,求域函 f(x)为的数
定义 ,只x 域需 {y|yg(x)}即 ,g(x)的值 . 域
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8
例: 求下列函数的定义域
x2 (1)y
x2 4
(2)y x2 3x2 | x|x
1
(3 )y lo x(x g 1 )
(4)y log2(x1)
2 6
3
8
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2
A
B
A
B
1
2 1
2
4
4
2
6
2
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3
8
3
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A
B
A
B
2
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1
1
4
4
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6
2

高考一轮复习第2章函数导数及其应用第2讲函数的定义域值域

第二讲函数的定义域、值域知识梳理·双基自测ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理知识点一函数的定义域函数y ＝f(x)的定义域1．求定义域的步骤：(1)写出使函数式有意义的不等式(组)； (2)解不等式(组)；(3)写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) 2．求函数定义域的主要依据 (1)整式函数的定义域为R. (2)分式函数中分母不等于0．(3)偶次根式函数被开方式大于或等于0． (4)一次函数、二次函数的定义域均为R ． (5)函数f(x)＝x 0的定义域为{x|x≠0}． (6)指数函数的定义域为R ． (7)对数函数的定义域为(0，＋∞)．知识点二函数的值域基本初等函数的值域：1．y ＝kx ＋b(k≠0)的值域是R ．2．y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≥4ac －b 24a ；当a<0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ≤4ac －b 24a ． 3．y ＝kx (k≠0)的值域是{y|y≠0}．4．y ＝a x(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞)． 5．y ＝log a x(a>0且a≠1)的值域是R ．重要结论1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 3．函数f(x)与f(x ＋a)(a 为常数a≠0)的值域相同．双基自测题组一走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × ) (2)函数y ＝xx －1定义域为x>1.( × ) (3)函数y ＝f(x)定义域为[－1，2]，则y ＝f(x)＋f(－x)定义域为[－1，1]．( √ ) (4)函数y ＝log 2(x 2＋x ＋a)的值域为R ，则a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14.( √ ) (5)求函数y ＝x 2＋3x 2＋2的值域时有以下四种解法．判断哪种解法是正确的．[解法一](不等式法)：y ＝x 2＋3x 2＋2＝x 2＋2＋1x 2＋2≥2，∴值域为[2，＋∞)．( × ) [解法二](判别式法)：设x 2＋2＝t(t≥2)，则y ＝t ＋1t ，即t 2－ty ＋1＝0，∵t∈R，∴Δ＝y 2－4≥0，∴y≥2或y ≤－2(舍去)．( × )[解法三](配方法)：令x 2＋2＝t(t≥2)，则y ＝t ＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＋2≥2.( × )[解法四](单调性法)：易证y ＝t ＋1t 在t≥2时是增函数，所以t ＝2时，y min ＝322，故y∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫322，＋∞.( √ ) [解析] (4)y ＝log 2(x 2＋x ＋a)值域为R 应满足Δ≥0，即1－4a≥0，∴a≤14.题组二走进教材2．(必修1P 17例1改编)函数f(x)＝2x－1＋1x －2的定义域为( C )A ．[0，2)B ．(2，＋∞)C ．[0，2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析] 使函数有意义满足⎩⎪⎨⎪⎧2x－1≥0x －2≠0，解得x≥0且x≠2，故选C ．3．(必修1P 32T5改编)函数f(x)的图象如图，则其最大值、最小值分别为( B )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32B ．f(0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，f(0) D ．f(0)，f(3)4．(必修1P 39BT1改编)已知函数f(x)＝x ＋9x ，x∈[2，4]的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，132．[解析] 当x ＝3时取得最小值6，当x ＝2取得最大值132，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6，132.题组三走向高考5．(2020·北京，11，5分)函数f(x)＝1x ＋1＋ln x 的定义域是(0，＋∞)．[解析] 要使函数f(x)有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，x>0，故x>0，因此函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．6．(2016·北京，5分)函数f(x)＝xx －1(x≥2)的最大值为2．[解析] 解法一：(分离常数法)f(x)＝x x －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1，∴x≥2，∴x－1≥1，0<1x －1≤1，∴1＋1x －1∈(1，2]，故当x ＝2时，函数f(x)＝xx －1取得最大值2.解法二：(反解法)令y ＝x x －1，∴xy－y ＝x ，∴x＝y y －1.∵x ≥2，∴y y －1≥2，∴y y －1－2＝2－yy －1≥0，解得1<y≤2，故函数f(x)的最大值为2.解法三：(导数法)∵f(x)＝x x －1，∴f′(x)＝x －1－x （x －1）2＝－1（x －1）2<0，∴函数f(x)在[2，＋∞)上单调递减，故当x ＝2时，函数f(x)＝xx －1取得最大值2.考点突破·互动探究KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点一求函数的定义域——多维探究角度1 求具体函数的定义域例1 (1)(2021·长春质检)函数y ＝ln （1－x ）x ＋1＋1x 的定义域是( D )A ．[－1，0)∪(0，1)B ．[－1，0)∪(0，1]C ．(－1，0)∪(0，1]D ．(－1，0)∪(0，1)(2)(2021·宣城八校联考期末)函数y ＝－x 2＋2x ＋3lg （x ＋1）的定义域为( B )A ．(－1，3]B ．(－1，0)∪(0，3]C ．[－1，3]D ．[－1，0)∪(0，3][解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x>0，x ＋1>0，x≠0，解得－1<x<0或0<x<1.所以原函数的定义域为(－1，0)∪(0，1)．(2)要使函数有意义，x 需满足⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x<0或0<x≤3，所以函数的定义域为(－1，0)∪(0，3]．角度2 求抽象函数的定义域例2 已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( B ) A ．(－1，1) B ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12C ．(－1，0)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1[解析] 由函数f(x)的定义域为(－1，0)，则使函数f(2x ＋1)有意义，需满足－1<2x ＋1<0，解得－1<x<－12，即所求函数的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12. [引申1]若将本例中f(x)与f(2x ＋1)互换，结果如何？ [解析] f(2x ＋1)的定义域为(－1，0)，即－1<x<0， ∴－1<2x ＋1<1，∴f(x)的定义域为(－1，1)．[引申2]若将本例中f(x)改为f(2x －1)定义域改为[0，1]，求y ＝f(2x ＋1)的定义域，又该怎么办？ [解析] ∵y＝f(2x －1)定义域为[0，1]．∴－1≤2x－1≤1，要使y ＝f(2x ＋1)有意义应满足－1≤2x ＋1≤1，解得－1≤x≤0，因此y ＝f(2x ＋1)定义域为[－1，0]．名师点拨 MING SHI DIAN BO函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出； ②若已知函数f[g(x)]的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．〔变式训练1〕(1)(角度1)函数f(x)＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( B )A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2](2)(角度1)(2021·安徽芜湖检测)如果函数f(x)＝ln(－2x ＋a)的定义域为(－∞，1)，那么实数a 的值为( D )A ．－2B ．－1C ．1D ．2(3)(角度2)已知函数y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f(x)的定义域为[－1，2]． [解析] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln （x ＋1）≠0，4－x 2≥0，得－1<x≤2，且x≠0.故选B ．(2)因为－2x ＋a>0，所以x<a 2，所以a2＝1，得a ＝2.故选D ．(3)因为y ＝f(x 2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3]，x 2－1∈[－1，2]，所以y ＝f(x)的定义域为[－1，2]．考点二,求函数的值域——师生共研例3 求下列函数的值域． (1)y ＝1－|x|1＋|x|；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ；(4)y ＝x －1－2x ； (5)y ＝x ＋1－x 2；(6)y ＝|x ＋1|＋|x －2|.[解析] (1)解法一：分离常数法： y ＝1－|x|1＋|x|＝－1＋21＋|x|， ∵|x|≥0，∴|x|＋1≥1，∴0<2|x|＋1≤2.∴－1<－1＋21＋|x|≤1.即函数值域为(－1，1]．解法二：反解法：由y ＝1－|x|1＋|x|，得|x|＝1－y 1＋y.∵|x|≥0，∴1－y 1＋y ≥0，∴－1<y≤1，即函数值域(－1，1]．(2)解法一：配方法：y ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142＋258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.解法二：复合函数法： y ＝t ，t ＝－2x 2＋x ＋3，由t ＝－2x 2＋x ＋3，解得t≤258，又∵y＝t 有意义，∴0≤t≤258，∴0≤y ≤524，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，524.(3)y ＝x 2＋x ＋1x ＝x ＋1x ＋1解法一：基本不等式法由y ＝x ＋1x ＋1(x≠0)，得y －1＝x ＋1x.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ≥2|x|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x ＝2，∴|y －1|≥2，即y≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)解法二：判别式法由y ＝x 2＋x ＋1x ，得x 2＋(1－y)x ＋1＝0.∵方程有实根，∴Δ＝(1－y)2－4≥0.即(y －1)2≥4，∴y－1≤－2或y －1≥2.得y≤－1或y≥3.即函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．解法三：导数法(单调性法)令y′＝1－1x 2＝（x ＋1）（x －1）x 2<0，得－1<x<0或0<x<1.∴函数在(0，1)上递减，在(1，＋∞)上递增，此时y≥3；函数在(－1，0)上递减，在(－∞，－1)上递增，此时y≤－1. ∴y ≤－1或y≥3.即函数值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． (4)解法一：换元法设1－2x ＝t(t≥0)，得x ＝1－t22，∴y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1≤12(t≥0)，∴y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.解法二：单调性法∵1－2x≥0，∴x≤12，∴定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12.又∵函数y ＝x ，y ＝－1－2x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12上均单调递增，∴y≤12－1－2×12＝12，∴y∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12. (5)三角换元法：设x ＝sin θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4， ∵θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，∴y∈[－1，2]．(6)解法一：绝对值不等式法：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3，所以函数值域为[3，＋∞)．解法二：数形结合法： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1（x<－1），3（－1≤x≤2），2x －1（x>2）.画出此分段函数的图象如图，可知值域为[3，＋∞)．名师点拨 MING SHI DIAN BO求函数值域的一般方法(1)分离常数法：形如y ＝cx ＋d ax ＋b(a≠0)的函数；如例3(1)．(2)反解法：形如y ＝cf （x ）＋daf （x ）＋b (a≠0，f(x)值域易求)的函数；如例3(1)．(3)配方法：形如y ＝af 2(x)＋bf(x)＋c(a≠0)的函数；如例3(2)． (4)不等式法；如例3(3)．(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域．(6)换元法：形如y ＝ax ＋b±cx ＋d (c≠0)的函数；如例3(4)；形如y ＝ax ＋b±c 2－x 2(c≠0)的函数采用三角换元，如例3(5)．(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域，如例3(6)． (8)导数法．〔变式训练2〕求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝x ＋41－x ；(3)y ＝2x 2－x ＋12x －1⎝ ⎛⎭⎪⎫x>12.[解析] (1)解法一：y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2，因为x 2≥0，所以x 2＋1≥1，所以0<21＋x 2≤2.所以－1<－1＋21＋x 2≤1.即函数的值域为(－1，1]．解法二：由y ＝1－x 21＋x 2，得x 2＝1－y 1＋y . 因为x 2≥0，所以1－y 1＋y≥0.所以－1<y≤1，即函数的值域为(－1，1]． (2)设t ＝1－x ，t≥0，则x ＝1－t 2，所以原函数可化为y ＝1－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋5(t≥0)，所以y≤5，所以原函数的值域为(－∞，5]． (3)y ＝2x 2－x ＋12x －1＝x （2x －1）＋12x －1＝x ＋12x －1＝x －12＋12x －12＋12，因为x>12，所以x －12>0，所以x －12＋12x －12≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12·12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2，当且仅当x －12＝12x －12，即x ＝1＋22时取等号．所以y≥2＋12，即原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2＋12，＋∞. 导数法：y′＝4x 2－4x ＋1（2x －1）2，∴y 在⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1＋22递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞递增，∴y ≥2＋12.名师讲坛·素养提升MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 已知函数的定义域或值域求参数的取值范围例4 已知函数f(x)＝lg [(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1]．(1)若f(x)的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．[分析] (1)由f(x)的定义域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)·x ＋1>0的解集为R ，即(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0恒成立；(2)由f(x)的值域为R 知(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取所有正数，即y ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1图象的开口向上且与x 轴必有交点．[解析] (1)依题意(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1>0，对一切x∈R 恒成立，当a 2－1≠0时，其充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1>0，Δ＝（a ＋1）2－4（a 2－1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a>1或a<－1，a>53或a<－1. ∴a<－1或a>53.又a ＝－1时，f(x)＝1>0，满足题意．∴a ≤－1或a>53.(2)依题意，只要t ＝(a 2－1)x 2＋(a ＋1)x ＋1能取到(0，＋∞)上的任何值，则f(x)的值域为R ，故有a 2－1>0，Δ≥0，解得－1≤a≤53，又当a 2－1＝0，即a ＝1时，t ＝2x ＋1符合题意；a ＝－1时不合题意，∴－1<a≤53.名师点拨 MING SHI DIAN BO已知函数的定义域，等于是知道了x 的范围，(1)当定义域不是R 时，往往转化为解集问题，进而转化为与之对应的方程解的问题，此时常利用代入法或待定系数法求解；(2)当定义域为R 时，往往转化为恒成立的问题，常常结合图形或利用最值求解．〔变式训练3〕(1)已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R ，则实数m 的取值范围为[0，1]．(2)(2021·甘肃天水三中阶段测试)若函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则实数m 的取值范围是( C )A ．(0，4]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，4C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ [解析] (1)①当m ＝0时，y ＝8，其定义域为R. ②当m≠0时，由定义域为R 可知， mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对一切实数x 均成立，于是有⎩⎪⎨⎪⎧m>0，Δ＝（－6m ）2－4m （m ＋8）≤0，解得0<m≤1，∴m 的取值范围是[0，1]．(2)由x 2－3x －4＝－254得x ＝32；由x 2－3x －4＝－4，得x ＝0或x ＝3，又函数y ＝x 2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，∴32≤m≤3. 另：由y ＝x 2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254，∴32≤m ≤3.。