2009年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

1 . 6 1 ( C ) a = −1, b = − . 6 【答案】 A
( A) a = 1, b = −
1 . 6 1 ( D ) a = −1, b = . 6
( B ) a = 1, b =
【解析】 f ( x) = x − sin ax, g ( x) = x ln(1 − bx) 为等价无穷小，则
2
均值和样本方差。若 X + kS 为 np 的无偏估计量，则 k =
2
2
。
三、解答题（15－23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤.） （15） （本题满分 9 分）求二元函数 f ( x, y ) = x
n
2
( 2 + y ) + y ln y 的极值。
n =1
∞
( C ) 当 ∑ bn
n =1
收敛时，
∑a b
n =1
2 2 n n
收敛.
( D ) 当 ∑ bn
n =1
发散时，
∑a b
n =1
2 2 n n
发散.
（5）设 α1 , α 2 , α 3 是 3 维向量空间 R 3 的一组基，则由基 α1 , α 2 , α 3 到基
1 2
1 3
α1 + α 2 , α 2 + α 3 , α 3 + α1 的过渡矩阵为（
ξ ∈ ( a, b ) ，使得 f ( b ) − f ( a ) = f ′ (ξ )( b − a )
（ Ⅱ ） 证 明 ： 若 函 数 f ( x ) 在 x = 0 处 连 续 ， 在 ( 0, δ )(δ > 0 ) 内 可 导 ， 且
x → 0+
lim f ′ ( x ) = A ，则 f +′ ( 0 ) 存在，且 f +′ ( 0 ) = A 。
( A) 0 .
( B ) 0.3 .
( C ) 0.7 .
( D ) 1.
（ 8 ）设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 服从标准正态分布 N ( 0,1) ， Y 的概率分布为
P {Y = 0} = P {Y = 1} =
1 ， 记 FZ ( z ) 为 随 机 变 量 Z = XY 的 分 布 函 数 ， 则 函 数 2
Dk
四个区域 Dk ( k = 1, 2,3, 4 ) ， I k = 则 max { I k } = （
1≤ k ≤ 4
D1
-1
）
D2 D3
-1
D4
1
x
( A ) I1 .
( B ) I2 .
( C ) I3 .
( D ) I4 .
（3）设函数 y = f ( x ) 在区间 [ −1,3] 上的图形为：
考研资料下载中心
2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题（1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.） （1）当 x → 0 时， f ( x ) = x − sin ax 与 g ( x ) = x ln (1 − bx ) 等价无穷小，则（
2
）
1 . 6 1 ( C ) a = −1, b = − . 6
( A ) a = 1, b = −
1 . 6 1 ( D ) a = −1, b = . 6
( B ) a = 1, b =
y
1
（2）如图，正方形
{( x, y ) x ≤ 1, y ≤ 1} 被其对角线划分为
∫∫ y cos xdxdy ，
(Ⅰ)求参数 λ 的矩估计量； （Ⅱ）求参数 λ 的最大似然估计量
5
考研资料下载中心
2009 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当 x → 0 时， f ( x ) = x − sin ax 与 g ( x ) = x 2 ln (1 − bx ) 等价无穷小，则
（6）设 A, B 均为 2 阶矩阵， A* , B* 分别为 A, B 的伴随矩阵，若 A = 2, B = 3 ，则分块
矩阵 ⎜
⎛O A⎞ ⎟ 的伴随矩阵为（ ⎝ B O⎠
）
⎛ O 3B * ⎞ A ( )⎜ * ⎟. O ⎠ ⎝ 2A
⎛ O ( B) ⎜ * ⎝ 3A
2 B* ⎞ ⎟. O ⎠ 2 A* ⎞ ⎟. O ⎠
2
x
。 。 。
T
( 0 ≤ x ≤ 2 ) ，则 ∫ xds =
L
{( x, y, z ) x
。
2
+ y 2 + z 2 ≤ 1 ，则 ∫∫∫ z 2 dxdydz =
Ω
}
（13）若 3 维列向量 α , β 满足 α β = 2 ，其中 α 为 α 的转置，则矩阵 βα 的非零特征值 为
T
T
(14)设 X 1 , X 2 ,⋯ , X m 为来自二项分布总体 B ( n, p ) 的简单随机样本， X 和 S 分别为样本
}
四个区域 Dk ( k = 1, 2,3, 4 ) ， I k = 则 max { I k } =
1≤ k ≤ 4
∫∫ y cos xdxdy ，
Dk
D1
-1
D2 D3
-1
D4
1
x
( A) I1 .
( B ) I2 .
( C ) I3 .
( D ) I4 .
【答案】A 【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
2
（16） （本题满分 9 分）设 an 为曲线 y = x 与 y = x
∞ ∞
n +1
( n = 1, 2,.....) 所围成区域的面积，记
S1 = ∑ an , S 2 = ∑ a2n −1 ，求 S1 与 S2 的值。
n =1 n =1
（17） （本题满分 11 分）椭球面 S1 是椭圆
x2 y 2 + = 1 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S2 是过点 4 3
⎛ −1 ⎞ ⎟ ξ1 = ⎜ ⎜1⎟ ⎜ −2 ⎟ ⎝ ⎠
2
（Ⅰ）求满足 Aξ 2 = ξ1 的 ξ 2 . A ξ 3 = ξ1 的所有向量 ξ 2 , ξ3 . （Ⅱ）对①中的任意向量 ξ 2 , ξ3 证明 ξ1 , ξ 2 , ξ3 无关。 （21） （本题满分 11 分） 设二次型 f ( x1 , x2 , x3 ) = ax1 + ax2 + ( a − 1) x3 + 2 x1 x3 − 2 x2 x3 （Ⅰ）求二次型 f 的矩阵的所有特征值； （Ⅱ）若二次型 f 的规范形为 y1 + y2 ，求 a 的值。 （22） （本题满分 11 分） 袋中有 1 个红色球，2 个黑色球与 3 个白球， 现有回放地从袋中取两次， 每次取一球 ， 以 X , Y , Z 分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求 p X = 1 Z = 0 ； （Ⅱ）求二维随机变量 ( X , Y ) 概率分布。
另外 lim
∴ a 3 = −6b
故排除 B, C 。
所以本题选 A。
1 − a cos ax 存在，蕴含了 1 − a cos ax → 0 ( x → 0 ) 故 a = 1. 排除 D 。 x →0 −3bx 2 y
1
（2）如图，正方形
{
( x, y ) x ≤ 1, y ≤ 1 被其对角线划分为
（19） （本题满分 10 分）计算曲面积分 I =
� ∫∫
∑
xdydz + ydzdx + zdxdy
(x
2
+y +z
2
3 2 2
，其中
)
∑
是曲面
2 x 2 + 2 y 2 + z 2 = 4 的外侧。
（20） （本题满分 11 分）
⎛ 1 −1 −1 ⎞ ⎜ 设 A = −1 1 1⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 −4 −2 ⎟ ⎝ ⎠
4
2 2 2 2 2
{
}
考研资料下载中心
（23） （本题满分 11 分） 设总体 X 的概率密度为 f ( x) = ⎨
⎧λ 2 xe − λ x , x > 0 ⎩0, 其他
，其中参数 λ (λ > 0) 未知， X 1 ，
X 2 ,… X n 是来自总体 X 的简单随机样本
⎛1 0 1⎞ ⎟ ( A) ⎜ ⎜ 2 2 0⎟ . ⎜ 0 3 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎜ 2 ⎜ 1 − (C ) ⎜ ⎜ 2 ⎜ 1 ⎜ ⎜ ⎝ 2 1 4 1 4 1 − 4 1⎞ − ⎟ 6 ⎟ 1 ⎟ . 6 ⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎠
）
⎛1 2 0⎞ ⎟ ( B) ⎜ ⎜ 0 2 3⎟ . ⎜1 0 3⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 1 ⎜ 2 ⎜ 1 ( D) ⎜ ⎜ 4 ⎜ 1 ⎜ ⎜− ⎝ 6 − 1 2 1 4 1 6 1 ⎞ 2 ⎟ ⎟ 1⎟ − . 4⎟ ⎟ 1 ⎟ ⎟ 6 ⎠
6
考研资料下载中心
关于 x 的偶函数，所以 I1 = 2 y cos xdxdy > 0 ； {( x , y ) y ≥ x ,0≤ x≤1}
∫∫
I3 = 2
{( x , y ) y ≤− x ,0≤x ≤1}
∫∫
y cos xdxdy < 0 .所以正确答案为 A.
2
(C ) ⎜
⎛ O 3 A* ⎞ ⎟. * O ⎠ ⎝ 2B