2017年中考数学《转化思想在代数中的应用》专题练习含解析

转化思想在代数中的应用一、填空题1．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的两个根，判断△ABC的形状．2．已知∠A为三角形一个内角，抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，则∠A=度．3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，判断△ABC的形状．4．在直角坐标系中，两圆的圆心都在y轴上，并且两圆相交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，tan60°），则点B的坐标为．5．设两圆半径分别为2、5，圆心距d使点A（6﹣2d，7﹣d）在第二象限，判断两圆位置关系．6．a、b、c为△ABC的三条边，满足条件点（a﹣c，a）与点（0，﹣b）关于x轴对称，判断△ABC的形状．二、解答题7．如图所示，AD为⊙O的直径，一条直线l与⊙O交于E、F两点，过A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，连接CD交⊙O于G．（1）求证：AD•BE=FG•DF；（2）设AB=m，BC=n，CD=p，求证：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．8．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a 的值．9．△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ADC的面积和周长都为30，又x1、x2是关于x的方程8x2﹣4x﹣2cosα+1=0的两个实数根，且，求：（1）cosa的值．（2）AD和AC的长（“三角函数的值”的有关“代数式”作为方程的系数）10．如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4．（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标．（先转化为点的坐标，再求函数解析式）11．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB 边向B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于2厘米？（把实际问题转化为几何问题）12．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点P在直线y=﹣4x上，且P到坐标原点距离为，又知抛物线与x轴两交点A、B（A在B的左侧）的横坐标的平方和为10．（1）求此抛物线的解析式．（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求点Q的坐标．（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）13．已知抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+3m的顶点D在双曲线y=﹣上，直线y=kx+c经过点D和点C（a，b），且使y随x的增大而减小，a，b满足方程组，求这条直线的解析式．（a、b具有两重性，视为点的坐标用函数知识，视为方程的根用方程知识）．转化思想在代数中的应用参考答案与试题解析一、填空题1．已知△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的两个根，判断△ABC的形状直角三角形．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的两个根，则a+b=c+4，ab=4c+8，根据a，b，c之间的关系式即可判断．【解答】解：∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣（c+4）x+4c+8=0的两个根，∴a+b=c+4，ab=4c+8，∴a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（c+4）2﹣2（4c+8）=c2，∵∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，∴根据勾股定理，△ABC的形状为直角三角形．故答案为：直角三角形．【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，然后根据勾股定理判断．2．已知∠A为三角形一个内角，抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，则∠A=90度．【考点】二次函数的性质；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；方程思想．【分析】先根据二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=﹣及已知条件得出方程=0，再由特殊角的三角函数值及∠A为三角形一个内角，即可求出∠A的度数．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是直线x=﹣=，又∵抛物线y=﹣x2+xcosA+2的对称轴是y轴，即直线x=0，∴=0，∴cosA=0，又∵∠A＜180°，∴∠A=90°．故答案为90．【点评】本题主要考查了二次函数的性质及特殊角的三角函数值，难度中等．本题关键在于知道y轴的解析式为x=0，从而列出方程．3．已知△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，判断△ABC的形状直角三角形．【考点】二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【分析】抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0，根据顶点的纵坐标公式，列方程求解．【解答】解：抛物线y=x2﹣2（a﹣b）x+c2﹣2ab的顶点在x轴上，∴=0，整理，得a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故本题答案为：直角三角形．【点评】本题是抛物线顶点纵坐标公式的运用．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（﹣，）．4．在直角坐标系中，两圆的圆心都在y轴上，并且两圆相交于A、B两点，若点A的坐标为（﹣2，tan60°），则点B的坐标为（2，）．【考点】相交两圆的性质；坐标与图形性质．【专题】常规题型．【分析】根据相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，可知A、B两点关于y轴对称，再根据两点关于y轴对称，则纵坐标不变，横坐标互为相反数进行求解．【解答】解：∵圆心都在y 轴上的两圆相交于A 、B 两点，相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，∴A 、B 两点关于y 轴对称．∵点A 的坐标为（﹣2，tan60°），∴B （2，），故答案为：（2，）． 【点评】本题主要考查相交两圆的性质及坐标与图形的性质，解决本题的关键是由题意得出相交两圆的交点也关于y 轴对称，从而解决问题．5．设两圆半径分别为2、5，圆心距d 使点A （6﹣2d ，7﹣d ）在第二象限，判断两圆位置关系 两圆相交 ．【考点】圆与圆的位置关系；点的坐标．【专题】推理填空题．【分析】由点A 在第二象限，得到d 的取值范围，再与两圆的半径和与差进行比较，确定两圆的位置关系．【解答】解：因为点A 在第二象限，所以，解得：3＜d ＜7．而两圆的半径的差为3，和为7，因此两圆相交．故答案是：两圆相交．【点评】本题考查的是圆与圆的位置关系，根据第二象限点的特点，求出d 的取值范围，然后与两圆的半径和与差进行比较，得到两圆的位置关系．6．a 、b 、c 为△ABC 的三条边，满足条件点（a ﹣c ，a ）与点（0，﹣b ）关于x 轴对称，判断△ABC 的形状 等边三角形 ．【考点】关于x 轴、y 轴对称的点的坐标．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】由两点关于x 轴对称可得a ﹣c=0，a=b ，进而根据三角形三边关系判断△ABC 的形状即可．【解答】解：∵点（a﹣c，a）与点（0，﹣b）关于x轴对称，∴a﹣c=0，a=b，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边三角形．【点评】主要考查两点关于x轴对称的坐标的特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．二、解答题7．如图所示，AD为⊙O的直径，一条直线l与⊙O交于E、F两点，过A、D分别作直线l的垂线，垂足是B、C，连接CD交⊙O于G．（1）求证：AD•BE=FG•DF；（2）设AB=m，BC=n，CD=p，求证：tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．【考点】圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）连GF，过O点作OP⊥EF，P为垂足，则PE=PF，又DC⊥BC，AB⊥BC，则OP为直角梯形的中位线，得到PB=PC，则有BE=CF；由∠GFC=∠FAD，得到Rt△GFC ∽Rt△ADF即可；（2）由AD为⊙O的直径，∠DFA=90°，则∠DFC+∠AFB=90°，得到∠DFC=∠ABF，则Rt△DFC∽Rt△FAB，得DF：FA=FC：AB=DC：FB，而tan∠FAD=、tan∠BAF=，再计算它们的和与积，即可证明tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．【解答】证明：（1）连GF，过O点作OP⊥EF，P为垂足，则PE=PF，如图，∵DC⊥BC，AB⊥BC，∴OP为直角梯形的中位线，∴PB=PC，∴BE=CF，又∵∠GFC=∠FAD，AD为⊙O的直径，∠DFA=90，∴Rt△GFC∽Rt△ADF，∴AD•BE=FG•DF；（2）∵∠DFA=90°，∴∠DFC+∠AFB=90°，∴∠DFC=∠FAB，∴Rt△DFC∽Rt△FAB，∴DF：FA=FC：AB=DC：FB，∵tan∠FAD=，tan∠BAF=，∴，∴tan∠FAD、tan∠BAF是方程mx2﹣nx+p=0的两个实数根．【点评】本题考查了圆周角定理的推论：直径所对的圆周角为90度．同时考查了直角梯形的中位线性质，三角形相似的判定与性质，一元二次方程根与系数的关系．8．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a 的值．【考点】根与系数的关系．【专题】探究型．【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出x1+x2及x1•x2，代入2x1x2=x1﹣3x2中即可求出a的值，再把所得a的值代入原方程检验即可．【解答】解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，∴①，②∵2x1x2=x1﹣3x2，∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．∴a=3或a=﹣1．【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，在解答此类题目时一定要把所得结果代入原方程进行检验，舍去不合题意的未知数的值．9．△ABC中，AD是高，AD与AB的夹角为锐角α，Rt△ADC的面积和周长都为30，又x1、x2是关于x的方程8x2﹣4x﹣2cosα+1=0的两个实数根，且，求：（1）cosa的值．（2）AD和AC的长（“三角函数的值”的有关“代数式”作为方程的系数）【考点】锐角三角函数的定义；根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式以及余弦的定义，得到cosα的范围，然后利用根与系数的关系求出cosα的值．（2）在直角三角形中根据周长和面积都是30，可以列出两个方程，然后利用勾股定理计算能求出AD和AC的值．【解答】解：（1）因为方程有两个实数根，所以判别式为非负数．△=16﹣4×8（﹣2cosα+1）≥0，得到：cosα≥．∵0＜cosα＜1，∴≤cosα＜1．根据根与系数的关系有：x1+x2=，x1x2=32（x13x22+x12x23）=32（x1x2）2（x1+x2）=32××=整理得：﹣2cosα+1=±∴cosα=，cosα=﹣（舍去）；（2）根据直角三角形的周长和面积都是30以及勾股定理，得到：AD+DC=30﹣AC ①AD•DC=60 ②AD2+DC2=AC2=（AD+DC）2﹣2AD•DC∴AC2=（30﹣AC）2﹣120解得：AC=13．∴有①②有：AD+DC=17AD•DC=60解得：AD=5，DC=12，或AD=12，DC=5故AC的长为13，AD的长为5或12．【点评】本题考查的是三角函数的定义，（1）根据三角函数的定义一元二次方程根的判别式得到cosα的取值范围，然后利用根与系数的关系求出cosα的值．（2）根据直角三角形的周长和面积，运用勾股定理可以求出直角三角形的斜边和直角边．10．如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4．（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；（2）求此抛物线的顶点坐标．（先转化为点的坐标，再求函数解析式）【考点】待定系数法求二次函数解析式；正方形的性质．【专题】计算题．【分析】（1）根据B、E、F三点的坐标，设函数解析式为y=ax2+bx+c，即可求解；（2）把函数解析式化为顶点式后即可得出答案．【解答】解：（1）由题意知：点B（﹣2，﹣2），点E（0，2），点F（2，0），分别代入y=ax2+bx+c，解得：a=﹣，b=，c=2，故函数解析式为：；（2）∵y=﹣x2+x+2=﹣+，∴顶点坐标为（，）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，属于基础题，关键是正确设出二次函数解析式的一般形式．11．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB 边向B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于2厘米？（把实际问题转化为几何问题）【考点】勾股定理．【专题】计算题；动点型．【分析】设t秒后PQ=，则BP=6﹣2t，BQ=3﹣t，在直角△BPQ中，根据勾股定理BP2+BQ2=PQ2可求t的值．【解答】解：在直角三角形中AB=6cm=2BC=2×3cm，且P的移动速度是Q的移动速度的2倍，∴BP，BQ满足BP=2BQ的关系设t秒后PQ=，则BP=6﹣2t，BQ=3﹣t，且（6﹣2t）2+（3﹣t）2=，解得t=1．答：1秒后PQ间的距离为2．【点评】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中抓住BP=2BQ并且根据勾股定理求t是解题的关键．12．在直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx+c的开口向上，顶点P在直线y=﹣4x 上，且P到坐标原点距离为，又知抛物线与x轴两交点A、B（A在B的左侧）的横坐标的平方和为10．（1）求此抛物线的解析式．（2）若Q是抛物线上异于A、B、P的点，且∠QAP=90°，求点Q的坐标．（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）【考点】二次函数综合题；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；勾股定理．【分析】（1）由顶点P在直线y=﹣4x上，且P到坐标原点距离为，可得出点P的坐标，再利用勾股定理可以解决，（2）假设出点Q的坐标，表示出AQ，QP的长度，利用勾股定理可以解决．【解答】解：（1）∵顶点P在直线y=﹣4x上，可设P（a1，﹣4a），则有，解得：a=±1，∴P（1，﹣4）或（﹣1，4）．∵抛物线开口向上，又与x轴有交点，∴（﹣1，4）不合题意舍去．设y=a（x﹣1）2﹣4=ax2﹣2ax+a﹣4与x轴交于点A（x1，0）、B（{x2，0），，消x1、x2，解得a=1；（2）如图所示，设抛物线上点Q（m，n），过Q作QM⊥x轴于点M．，，，∵∠QAP=90°，由勾股定理，得=（m﹣1）2+（n+4）2，整理，得m﹣2n+1=0，又n=m2﹣2m﹣3．解得（不合题意舍去）或．∴Q（）．【点评】此题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，以及勾股定理的应用，计算量较大，应认真计算．13．已知抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+3m的顶点D在双曲线y=﹣上，直线y=kx+c经过点D和点C（a，b），且使y随x的增大而减小，a，b满足方程组，求这条直线的解析式．（a、b具有两重性，视为点的坐标用函数知识，视为方程的根用方程知识）．【考点】待定系数法求一次函数解析式．【专题】压轴题；分类讨论．【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后代入反比例函数，可求得m的值及顶点坐标，再由顶点坐标与一次函数的关系可得出a和b的值，从而可得出函数解析式．【解答】解：抛物线y=（9﹣m2）x2﹣2（m﹣3）x+3m的顶点D的坐标为，由于点D在双曲线y=﹣上，得=﹣，整理，得m2+10m+24=0，解得m1=﹣4，m2=﹣6，∴D1（1，﹣5），D2（，﹣15），又由方程组组，解得和，∴C1（2，1），C2（﹣2，﹣1），其中C1（2，1）不符合题意，舍去．①C2（﹣2，﹣1）和D1（1，﹣5）代入y=kx+b可得：，解得：，∴直线D1C2的解析式为y=﹣；②C2（﹣2，﹣1）和D2（，﹣15）代入可得：，解得：，∴将直线D2C2的解析式为y=﹣6x﹣13．【点评】本题综合考查一次函数、反比例函数及抛物线的知识，综合性比较强，注意细心研究每种函数的特点．。