高考数学第八章 平面解析几何 55 直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业

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平面解析几何:圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系

平面解析几何:圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系
(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系.(最重要) d<r ⇔ 相交; d=r ⇔ 相切; d>r ⇔ 相离.
>0⇔相交 (2)代数法:―Δ―― =判―b―别2―-―式―4―a→c =0⇔相切
<0⇔相离
弦长 l 2 2.弦长问题 几何法 r 2 d 2
d
r
P150例2:弦长问题
x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R); (3)过圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交 点的圆系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠- 1)
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代 数 法
联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x的 一元二次方程,由根与系数的关系即可求得弦长
3.切线问题
P150例3:切线问题
M(x0,y0)
M(x0,y0)
(x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r 2
y y0 k(x x0 ) kx y kx0 y0 0
汇报人:木哈哈哈
位置关系
的关系
组的解的情况
外离 外切
_d_>_r_1_+__r_2 _ _d_=__r_1_+__r_2 _
无解 一组实数解
相交 内切 内含
|r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2|(r1≠r2) __0_≤__d_<_|r_1_-__r2_|(_r_1_≠__r2_)_
两组不同的实数解 一组实数解 无解
(3)点在圆内:(x0-a)2+(y0-b)2<r2.

全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案20180509

全国版2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何第4讲直线与圆圆与圆的位置关系学案20180509

第4讲直线与圆、圆与圆的位置关系板块一知识梳理·自主学习[必备知识]考点2 圆与圆的位置关系(⊙O1、⊙O2半径r1、r2,d=|O1O2|)[必会结论]1.关注一个直角三角形当直线与圆相交时,由弦心距(圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成一个直角三角形.2.圆心在过切点且垂直于切线的直线上.3.两圆相交时公共弦的方程设圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,①圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0,②若两圆相交,则有一条公共弦,其公共弦所在直线方程由①-②所得,即:(D1-D2)x +(E1-E2)y+(F1-F2)=0.4.两圆相切时,切点与两圆心三点共线.5.两圆不同的位置关系与对应公切线的条数(1)两圆外离时,有4条公切线;(2)两圆外切时,有3条公切线;(3)两圆相交时,有2条公切线;(4)两圆内切时,有1条公切线;(5)两圆内含时,没有公切线.[考点自测]1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.( )(2)过圆O:x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程是x0x+y0y=r2.( )(3)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( )(4)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( )(5)“m=0”是“直线x+y-m=0与圆(x-1)2+(y-1)2=2相切”的充分不必要条件.( )答案(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√2.[课本改编]直线l :x -y +1=0与圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的位置关系是( ) A .相离 B .相切C .相交且过圆心D .相交但不过圆心答案 D解析 圆的方程化为(x -2)2+(y -1)2=4,圆心为(2,1),半径为2,圆心到直线l 的距离为|2-1+1|2=2<2,所以直线l 与圆相交.又圆心不在直线l 上,所以直线不过圆心.故选D.3.在平面直角坐标系xOy 中,直线3x +4y -5=0与圆x 2+y 2=4相交于A ,B 两点,则弦AB 的长为( )A .3 3B .2 3 C. 3 D .1 答案 B解析 圆心(0,0)到直线3x +4y -5=0的距离d =|0+0-5|32+42=1,因为⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22=22-12=3,所以|AB |=2 3.4.[课本改编]圆x 2+y 2-4x =0在点P (1,3)处的切线方程为 ( )A .x +3y -2=0B .x +3y -4=0C .x -2y +4=0D .x -3y +2=0答案 D解析 圆的方程为(x -2)2+y 2=4,圆心坐标为(2,0),半径为2,点P 在圆上,由题可知切线的斜率存在,设切线方程为y -3=k (x -1),即kx -y -k +3=0,∴|2k -k +3|k 2+1=2,解得k =33.∴切线方程为y -3=33(x -1),即x -3y +2=0. 5.[2018·重庆模拟]圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是( ) A .相离 B .相交 C .外切 D .内切 答案 B解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0),半径长r 1=1,圆O 2的圆心坐标为(0,2),半径长r 2=2,故两圆的圆心距d =5,而r 2-r 1=1,r 1+r 2=3,则有r 2-r 1<d <r 1+r 2,故两圆相交.6.[2018·温州十校联考]对任意的实数k ,直线y =kx -1与圆C :x 2+y 2-2x -2=0的位置关系是( )A .相离B .相切C .相交D .以上三个选项均有可能答案 C解析 直线y =kx -1恒经过点A (0,-1),圆x 2+y 2-2x -2=0的圆心为C (1,0),半径为3,而|AC |=2<3,点A 在圆内,故直线y =kx -1与圆x 2+y 2-2x -2=0相交.故选C.板块二 典例探究·考向突破考向直线与圆的位置关系例1 [2018·豫南九校联考]直线l :mx -y +1-m =0与圆C :x 2+(y -1)2=5的位置关系是( )A .相交B .相切C .相离D .不确定 答案 A解析 解法一:由⎩⎪⎨⎪⎧mx -y +1-m =0,x 2+(y -1)2=5,消去y ,整理得(1+m 2)x 2-2m 2x +m 2-5=0,则Δ=4m 4-4(1+m 2)(m 2-5)=16m 2+20>0, 所以直线l 与圆C 相交.故选A.解法二:因为圆心(0,1)到直线l 的距离d =|m |m 2+1<1<5,故直线l 与圆相交.选A.解法三:直线l :mx -y +1-m =0过定点(1,1),因为点(1,1)在圆C :x 2+(y -1)2=5的内部,所以直线l 与圆C 相交.故选A.触类旁通判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法(1)代数法:――→判别式Δ=b 2-4ac ⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交,=0⇔相切,<0⇔相离.(2)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系:d <r ⇔相交,d =r ⇔相切,d >r ⇔相离.【变式训练1】 [2018·深圳模拟]已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( )A .相切B .相交C .相离D .不确定 答案 B解析 因为M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,所以a 2+b 2>1,而圆心O 到直线ax +by =1的距离d =|a ·0+b ·0-1|a 2+b 2=1a 2+b 2<1.故选B.考向直线与圆的综合问题命题角度1 圆的切线问题 例2 已知点P (2+1,2-2),点M (3,1),圆C :(x -1)2+(y -2)2=4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程;(2)求过点M 的圆C 的切线方程,并求出切线长. 解 由题意得圆心C (1,2),半径r =2. (1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4, 所以点P 在圆C 上.又k PC =2-2-22+1-1=-1,所以切线的斜率k =-1k PC=1.所以过点P 的圆C 的切线方程是y -(2-2)=1×[x -(2+1)],即x -y +1-22=0.(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M 在圆C 外部.当过点M 的直线斜率不存在时,直线方程为x =3,即x -3=0.又点C (1,2)到直线x -3=0的距离d =3-1=2=r , 即此时满足题意,所以直线x =3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y -1=k (x -3),即kx -y +1-3k =0,则圆心C 到切线的距离d =|k -2+1-3k |k 2+1=r =2,解得k =34.所以切线方程为y -1=34(x -3),即3x -4y -5=0.综上可得,过点M 的圆C 的切线方程为x -3=0或3x -4y -5=0.因为|MC |=(3-1)2+(1-2)2=5,所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2-r 2=5-4=1.触类旁通圆的切线有关的结论(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.(2)过圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点P (x 0,y 0)作圆的两条切线,切点为A ,B ,则过A 、B 两点的直线方程为x 0x +y 0y =r 2.(4)过圆x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)外一点P (x 0,y 0)引圆的切线,切点为T ,则切线长为|PT |=x 20+y 20+Dy 0+Ey 0+F .(5)过圆C :(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0)外一点P (x 0,y 0)作圆C 的两条切线,切点分别为A ,B ,则切点弦AB 所在直线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.(6)若圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),则过圆外一点P (x 0,y 0)的切线长d =(x 0-a )2+(y 0-b )2-r 2.【变式训练2】 [2015·广东高考]平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( )A .2x +y +5=0或2x +y -5=0B .2x +y +5=0或2x +y -5=0C .2x -y +5=0或2x -y -5=0D .2x -y +5=0或2x -y -5=0 答案 A解析 设与直线2x +y +1=0平行的直线方程为2x +y +m =0(m ≠1),因为直线2x +y+m =0与圆x 2+y 2=5相切,即点(0,0)到直线2x +y +m =0的距离为5,所以|m |5=5,|m |=5.故所求直线的方程为2x +y +5=0或2x +y -5=0.命题角度2 圆的弦长问题例3 过点(-4,0)作直线l 与圆x 2+y 2+2x -4y -20=0交于A ,B 两点,若|AB |=8,则直线l 的方程为( )A .5x +12y +20=0B .5x +12y +20=0或x +4=0C .5x -12y +20=0D .5x -12y +20=0或x +4=0 答案 B解析 圆的标准方程为(x +1)2+(y -2)2=25, 由|AB |=8知,圆心(-1,2)到直线l 的距离d =3.当直线l 的斜率不存在,即直线l 的方程为x =-4时,符合题意. 当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =k (x +4),即kx -y +4k =0. 则有|3k -2|k 2+1=3,∴k =-512.此时直线l 的方程为5x +12y +20=0. 命题角度3 圆中的最值问题 斜率型最值例4 已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0,则y x的最大值为________,最小值为________.答案3 - 3解析 原方程可化为(x -2)2+y 2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆.y x的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,所以设y x=k ,即y =kx .当直线y =kx 与圆相切时,斜率k 取最大值或最小值(如图),此时|2k -0|k 2+1=3,解得k =± 3.所以y x的最大值为3,最小值为- 3. 截距型最值例5 [2018·郑州模拟]已知实数x ,y 满足x 2+y 2=4(y ≥0),则m =3x +y 的取值范围是( )A .(-23,4)B .[-23,4]C .[-4,4]D .[-4,23]答案 B解析 由于y ≥0,所以x 2+y 2=4(y ≥0)为上半圆.3x +y -m =0是直线(如图),且斜率为-3,在y 轴上截距为m ,又当直线过点(-2,0)时,m =-23,所以⎩⎨⎧m ≥-23,d ≤r ,即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥-23,|-m |2≤2,解得m ∈[-23,4],选B. 触类旁通直线与圆综合问题的解题策略(1)用几何法求圆的弦长:设圆的半径为r ,弦心距为d ,弦长为l ,则⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22=r 2-d 2.(2)求过一点的圆的切线方程时,首先要判断此点与圆的位置关系,若点在圆内,无解;若点在圆上,有一解;若点在圆外,有两解.(3)对于圆的最值问题,一般是根据条件列出关于所求目标的式子——函数关系式,然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法等,应用不等式的性质求出最值. 【变式训练3】 [2015·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.答案 (x -1)2+y 2=2解析 解法一:设A (1,0),由mx -y -2m -1=0,得m (x -2)-(y +1)=0,则直线过定点P (2,-1),即该方程表示所有过定点P 的直线系方程.当直线与AP 垂直时,所求圆的半径最大.此时,半径为|AP |=(2-1)2+(-1-0)2= 2. 故所求圆的标准方程为(x -1)2+y 2=2.解法二:设圆的半径为r ,根据直线与圆相切的关系得r =|m +1|1+m2=m 2+2m +1m 2+1=1+2mm 2+1, 当m <0时,1+2m m 2+1<1,故1+2mm 2+1无最大值; 当m =0时,r =1;当m >0时,m 2+1≥2m (当且仅当m =1时取等号). 所以r ≤1+1=2,即r max =2, 故半径最大的圆的方程为(x -1)2+y 2=2.考向两圆的位置关系例6 (1)[2016·山东高考]已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .相离 答案 B解析 由题意知圆M 的圆心为(0,a ),半径R =a ,因为圆M 截直线x +y =0所得线段的长度为22,所以圆心M 到直线x +y =0的距离d =|a |2=a 2-2(a >0),解得a =2,又知圆N 的圆心为(1,1),半径r =1,所以|MN |=2,则R -r <2<R +r ,所以两圆的位置关系为相交,故选B.(2)若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay -6=0(a >0)的公共弦的长为23,则a =________. 答案 1解析 两圆的方程相减,得公共弦所在的直线方程为(x 2+y 2+2ay -6)-(x 2+y 2)=0-4⇒y =1a ,又a >0,结合图形,利用半径、弦长的一半及弦心距所构成的直角三角形,可知1a= 22-(3)2=1⇒a =1.触类旁通如何处理两圆的位置关系判断两圆的位置关系时常用几何法,即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系,一般不采用代数法.若两圆相交,则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x 2、y 2项得到.【变式训练4】 已知圆C 1:x 2+y 2-2mx +4y +m 2-5=0与圆C 2:x 2+y 2+2x -2my +m 2-3=0,若圆C 1与圆C 2相外切,则实数m =( )A .-5B .-5或2C .-6D .8答案 B解析对于圆C1与圆C2的方程,配方得圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4,则圆C1的圆心C1(m,-2),半径r1=3,圆C2的圆心C2(-1,m),半径r2=2.如果圆C1与圆C2相外切,那么有|C1C2|=r1+r2,即(m+1)2+(m+2)2=5,则m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2,所以当m=-5或m=2时,圆C1与圆C2相外切.核心规律切线、弦长的求解方法(1)求圆的切线方程可用待定系数法,利用圆心到切线的距离等于半径,列出关系式求出切线的斜率即可.(2)几何方法求弦长,利用弦心距,即圆心到直线的距离、弦长的一半及半径构成直角三角形计算.满分策略1.过圆外一定点作圆的切线,有两条,若在某种条件下只求出一个结果,则要想到还有斜率不存在的情况.2.在两个圆相交的情况下,两个圆的方程相减后得到的直线方程才是公共弦所在的直线方程.板块三启智培优·破译高考数学思想系列 8——数形结合思想在圆中的妙用[2018·江西模拟]过点(2,0)引直线l与曲线y=1-x2相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l的斜率等于( )A.33B.-33C.±33D.- 3解题视点如果等式、代数式的结构中蕴含着明显的几何特征,就要考虑数形结合法求解,解答本题时首先要看到曲线y=1-x2表示的是以原点为圆心,1为半径的半个圆,作出图形,结合三角形面积公式,确定面积最大时直线l的斜率.解析由y=1-x2得x2+y2=1(y≥0),即该曲线表示圆心在原点,半径为1的半圆,如图所示.故S △AOB =12|OA |·|OB |·sin∠AOB =12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB =1,即OA ⊥OB 时,S△AOB取得最大值,此时点O 到直线l 的距离d =|OA |·sin45°=22.设此时直线l 的斜率为k ,则方程为y =k (x -2),即kx -y -2k =0,则有22=|0-0-2k |k 2+1,解得k =±33,由图可知直线l 的倾斜角为钝角,故取k =-33. 答案 B答题启示 “数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基石,二者在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下可以互相转化,而数形结合法正是在这一学科特点的基础上发展而来的.在解答选择题的过程中,可以先根据题意,作出草图,然后参照图形的作法、形状、位置、性质,综合图象的特征,得出结论.跟踪训练[2018·湖北模拟]若直线y =x +b 与曲线y =3-4x -x 2有公共点,则b 的取值范围是( )A .[1-22,1+22]B .[1-2,3]C .[-1,1+22]D .[1-22,3]答案 D解析 ∵y =3-4x -x 2,∴1≤y ≤3, ∴(x -2)2+(y -3)2=4(1≤y ≤3),即曲线y =3-4x -x 2表示以(2,3)为圆心,2为半径的下半圆.直线y =x +b 与曲线y =3-4x -x 2有公共点,表示两曲线至少有一个公共点.符合条件的直线应是夹在过点(0,3)和与下半圆相切的两直线之间.当直线y =x +b 过点(0,3)时,b =3;当直线y =x +b 与圆y =3-4x -x 2相切时,由点到直线的距离公式,得2=|2-3+b |2,∴|b -1|=2 2.结合图形知b =1-2 2.∴1-22≤b ≤3,故选D.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1.[2018·福建漳州八校联考]已知点P (a ,b )(ab ≠0)是圆x 2+y 2=r 2内的一点,直线m 是以P 为中点的弦所在的直线,直线l 的方程为ax +by =r 2,那么( )A .m ∥l ,且l 与圆相交B .m ⊥l ,且l 与圆相切C .m ∥l ,且l 与圆相离D .m ⊥l ,且l 与圆相离 答案 C解析 ∵点P (a ,b )(ab ≠0)在圆内,∴a 2+b 2<r 2.因圆x 2+y 2=r 2的圆心为O (0,0),故由题意得OP ⊥m ,又k OP =b a ,∴k m =-a b ,∵直线l 的斜率为k l =-a b=k m ,圆心O 到直线l的距离d =r 2a 2+b 2>r 2r=r ,∴m ∥l ,l 与圆相离.故选C. 2.已知过点P (2,2)的直线与圆(x -1)2+y 2=5相切,且与直线ax -y +1=0垂直,则a 等于( )A .-12B .1C .2 D.12答案 C解析 圆心为C (1,0),由于P (2,2)在圆(x -1)2+y 2=5上,∴P 为切点,CP 与过点P 的切线垂直.∴k CP =2-02-1=2.又过点P 的切线与直线ax -y +1=0垂直,∴a =k CP =2,选C.3.[2018·湖北武汉调研]圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2-4x +4y -12=0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( )A .1B .2C .4D .8 答案 B解析 圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2-4x +4y -12=0的公共弦所在直线的方程为x -y +2=0,它与两坐标轴分别交于(-2,0),(0,2),所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为12×2×2=2.故选B.4.已知圆x 2+y 2+2x -2y +a =0截直线x +y +2=0所得弦的长度为4,则实数a 的值是( )A .-2B .-4C .-6D .-8 答案 B解析 由圆的方程x 2+y 2+2x -2y +a =0可得,圆心为(-1,1),半径r =2-a .圆心到直线x +y +2=0的距离为d =|-1+1+2|2= 2.由r 2=d 2+⎝ ⎛⎭⎪⎫422,得2-a =2+4,所以a =-4.5.[2018·安徽模拟]若过点P (-3,-1)的直线l 与圆x 2+y 2=1有公共点,则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π6B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0,π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3答案 D解析 设直线l 的方程为y +1=k (x +3), 即kx -y +3k -1=0.由d =|3k -1|k 2+1≤1, 得0≤k ≤3,所以直线l 的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π3.6.圆C 1:x 2+y 2+2x +2y -2=0与圆C 2:x 2+y 2-4x -2y +4=0的公切线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 答案 D解析 圆C 1:(x +1)2+(y +1)2=4,∴圆心C 1(-1,-1),半径r 1=2;圆C 2:(x -2)2+(y -1)2=1,∴圆心C 2(2,1),半径r 2=1.∴两圆心的距离d =(-1-2)2+(-1-1)2=13,r 1+r 2=3,∴d >r 1+r 2,∴两圆外离,∴两圆有4条公切线.7.由直线y =x +1上的一点向圆x 2+y 2-6x +8=0引切线,则切线长的最小值为( ) A.7 B .2 2 C .3 D. 2 答案 A解析 如图,在Rt △PAB 中,要使切线PB 最小,只需圆心与直线y =x +1上的点的距离取得相应最小值即可,易知其最小值为圆心到直线的距离,即|AP |min =42=22,故|BP |min= (22)2-12=7.8.[2018·太原质检]过点A (4,1)的圆C 与直线x -y -1=0相切于B (2,1),则圆C 的方程为________.答案 (x -3)2+y 2=2解析 设圆C 的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2,由题意知:点(a ,b )既在直线y -1=-(x -2)上,又在AB 的垂直平分线上,由⎩⎪⎨⎪⎧x +y -3=0,x -3=0,得圆心坐标为(3,0),r =|AC |=(4-3)2+12=2,所以圆C 的方程为(x -3)2+y 2=2.9.[2016·全国卷Ⅰ]设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________.答案 4π解析 圆C 的方程可化为x 2+(y -a )2=a 2+2,可得圆心的坐标为C (0,a ),半径r =a 2+2,所以圆心到直线x -y +2a =0的距离为|-a +2a |2=|a |2,所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a |22+(3)2=(a 2+2)2,解得a 2=2,所以圆C 的半径为2,所以圆C 的面积为4π.10.[2018·沈阳质检]过点M (1,2)的直线l 与圆C :(x -3)2+(y -4)2=25交于A ,B 两点,C 为圆心,当∠ACB 最小时,直线l 的方程是________.答案 x +y -3=0解析 依题意得知,当∠ACB 最小时,圆心C 到直线l 的距离达到最大,此时直线l 与直线CM 垂直,又直线CM 的斜率为1,因此所求的直线l 的方程是y -2=-(x -1),即x +y -3=0.[B 级 知能提升]1.已知圆C :(x -3)2+(y -1)2=1和两点A (-t,0),B (t,0),(t >0),若圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,则t 的取值范围是( )A .(0,2]B .[1,2]C .[2,3]D .[1,3] 答案 D解析 由题意可知,若使圆C 上存在点P ,使得∠APB =90°,即圆C 与以原点O 为圆心,半径为t 的圆有交点,即|OC |-1≤t ≤|OC |+1,即1≤t ≤3,∴t 的取值范围为[1,3],故选D.2.[2017·河南洛阳二模]已知圆C 的方程为x 2+y 2=1,直线l 的方程为x +y =2,过圆C 上任意一点P 作与l 夹角为45°的直线交l 于点A ,则|PA |的最小值为( )A.12 B .1 C.2-1 D .2- 2 答案 D解析 解法一:由题意可知,直线PA 与坐标轴平行或重合,不妨设直线PA 与y 轴平行或重合,设P (cos α,sin α),则A (cos α,2-cos α),∴|PA |=|2-cos α-sin α|=⎪⎪⎪⎪⎪⎪2-2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4,∴|PA |的最小值为2- 2.故选D. 解法二:由题意可知圆心(0,0)到直线x +y =2的距离d =22=2,∴圆C 上一点到直线x +y =2的距离的最小值为2-1.由题意可得|PA |min =2(2-1)=2- 2.故选D.3.[2017·江苏高考]在平面直角坐标系xOy 中,A (-12,0),B (0,6),点P 在圆O :x2+y 2=50上.若PA →·PB →≤20,则点P 的横坐标的取值范围是________.答案 [-52,1]解析 解法一:因为点P 在圆O :x 2+y 2=50上, 所以设P 点坐标为(x ,±50-x 2)(-52≤x ≤52).因为A (-12,0),B (0,6),所以PA →=(-12-x ,-50-x 2)或PA →=(-12-x ,50-x 2),PB →=(-x ,6-50-x 2)或PB →=(-x,6+50-x 2).因为PA →·PB →≤20,先取P (x, 50-x 2)进行计算,所以(-12-x )(-x )+(-50-x 2)(6-50-x 2)≤20,即2x +5≤ 50-x 2. 当2x +5≤0,即x ≤-52时,上式恒成立;当2x +5≥0,即x ≥-52时,(2x +5)2≤50-x 2,解得-5≤x ≤1,故x ≤1.同理可得P (x ,-50-x 2)时,x ≤-5. 又-52≤x ≤52,所以-52≤x ≤1. 故点P 的横坐标的取值范围为[-52,1].解法二:设P (x ,y ),则PA →=(-12-x ,-y ),PB →=(-x ,6-y ).∵PA →·PB →≤20,∴(-12-x )·(-x )+(-y )(6-y )≤20, 即2x -y +5≤0.如图,作圆O :x 2+y 2=50,直线2x -y +5=0与⊙O 交于E ,F 两点, ∵P 在圆O 上且满足2x -y +5≤0,∴点P 在EDF ︵上.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=50,2x -y +5=0得F 点的横坐标为1.又D 点的横坐标为-52,∴P 点的横坐标的取值范围为[-52,1].4.[2017·全国卷Ⅲ]已知抛物线C :y 2=2x ,过点(2,0)的直线l 交C 于A ,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆.(1)证明:坐标原点O 在圆M 上;(2)设圆M 过点P (4,-2),求直线l 与圆M 的方程. 解 (1)证明:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),l :x =my +2,由⎩⎪⎨⎪⎧x =my +2,y 2=2x 可得y 2-2my -4=0,则y 1y 2=-4.又x 1=y 212,x 2=y 222,故x 1x 2=(y 1y 2)24=4.因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2=-44=-1,所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上.(2)由(1)可得y 1+y 2=2m ,x 1+x 2=m (y 1+y 2)+4=2m 2+4. 故圆心M 的坐标为(m 2+2,m ), 圆M 的半径r =(m 2+2)2+m 2.由于圆M 过点P (4,-2),因此AP →·BP →=0, 故(x 1-4)(x 2-4)+(y 1+2)(y 2+2)=0, 即x 1x 2-4(x 1+x 2)+y 1y 2+2(y 1+y 2)+20=0. 由(1)可得y 1y 2=-4,x 1x 2=4.所以2m 2-m -1=0,解得m =1或m =-12.当m =1时,直线l 的方程为x -y -2=0,圆心M 的坐标为(3,1),圆M 的半径为10,圆M 的方程为(x -3)2+(y -1)2=10.当m =-12时,直线l 的方程为2x +y -4=0,圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94,-12,圆M 的半径为854, 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x -942+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +122=8516.5.[2015·全国卷Ⅰ]已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM →·ON →=12,其中O 为坐标原点,求|MN |.解 (1)由题设,可知直线l 的方程为y =kx +1. 因为l 与C 交于两点,所以|2k -3+1|1+k2<1, 解得4-73<k <4+73,所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4-73,4+73.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y =kx +1代入方程(x -2)2+(y -3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x +7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2,x 1x 2=71+k 2.OM →·ON →=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8. 由题设可得4k (1+k )1+k 2+8=12,解得k =1,所以l 的方程为y =x +1. 故圆心C 在l 上,所以|MN |=2.。

高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理

高考数学一轮复习 第8章 平面解析几何 8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 理
=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线
与x轴交于C,D两点.若|AB|=2 3,则|CD|=____4____.
解析 由题意可知直线l过定点(-3, 3 ),该定点在圆 x2+y2=12上,不妨设点A(-3, 3 ),由于|AB|=2 3 ,r= 2 3 ,所以圆心到直线AB的距离为d = 2 32- 32 =3,又由点到直 线的距离公式可得d=|3mm-2+13|,所以 |3mm-122/+11/201321|=3,
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定
解析
代数法,几何法.

mx-y+1-m=0, x2+y-12=5
消去y,整理得(1+
m2)x2-2m2x+m2-5=0,
则Δ=4m4-4(1+m2)(m2-5)=16m2+20>0,所以直线
l与圆C相交.故选A. 12/11/2021
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方法技巧 判断直线与圆的位置关系的常见方法
又|OD|=|3×0-45×0+5|=1, ∴r=2|OD|=2.
12/11/2021
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经典(jīngdiǎn)题型冲关
12/11/2021
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题型1 直线与圆的位置关系
典例 (2017·豫南九校联考)直线l:mx-y+1-m=0
与圆C:x2+(y-1)2=5的位置关系是( )
第8章 平面 解析几何 (píngmiàn)
8.4 直线与圆、圆与圆的位置(wèi zhi)关系
12/11/2021
第一页,共四十九页。
12/11/2021
第二页,共四十九页。
基础知识过关(guò〃guān)
12/11/2021

高中 平面解析几何 直线与圆、圆与圆位置关系 练习 含答案

高中 平面解析几何 直线与圆、圆与圆位置关系 练习 含答案

1.已知圆C 与直线x -y =0及直线x -y -4=0都相切,圆心在直线x +y =0上,则圆C 的方程为________________.2.直线(a +1)x +(a -1)y +2a =0(a ∈R )与圆x 2+y 2-2x +2y -7=0的位置关系是________.3.圆C :(x -1)2+y 2=25,过点P (2,-1)作圆的所有弦中,以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是________.4.圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2-4y =0的位置关系是________.5.已知P ={(x ,y )|x +y =2},Q ={(x ,y )|x 2+y 2=2},那么P ∩Q =________.6.M (x 0,y 0)为圆x 2+y 2=a 2(a >0)内异于圆心的一点,则直线x ·x 0+y ·y 0=a 2与该圆的位置关系为________.7.已知圆C 1:x 2+y 2+4ax +4a 2-4=0和圆C 2:x 2+y 2-2by +b 2-1=0只有一条公切线,若a ,b ∈R ,且ab ≠0,则1a 2+1b 2的最小值为________. 8.圆C 1:x 2+y 2=16与C 2:(x -4)2+(y +3)2=r 2(r >0)在交点处的切线互相垂直,则r =________.9.能够把圆O :x 2+y 2=9的周长和面积同时分为相等的两部分的函数f (x )称为圆O 的“亲和函数”,下列函数不是圆O 的“亲和函数”的是________.①f (x )=4x 3+x 2;②f (x )=ln 5-x 5+x; ③f (x )=e x +e -x 2;④f (x )=tan x 5. 10.已知圆C 的方程为x 2+y 2-2y -3=0,过点P (-1,2)的直线l 与圆C 交于A ,B 两点,若使AB 最小,则直线l 的方程是________________.11.圆x 2+y 2+2x +4y -3=0上到直线l :x +y +1=0的距离为2的点有________个.12.已知P 是直线3x +4y -10=0上的动点,P A ,PB 是圆x 2+y 2-2x +4y +4=0的两条切线,A ,B 是切点,C 是圆心,那么四边形P ACB 面积的最小值为________.13.在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4,设圆C 的半径为1,圆心在l上,若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,则圆心C 的横坐标a 的取值范围为________.14.已知P (2,0)为圆C :x 2+y 2-2x +2my +m 2-7=0(m >0)内一点,过点P 的直线AB 交圆C 于A ,B 两点,若△ABC 面积的最大值为4,则正实数m 的取值范围为________.答案解析1.(x -1)2+(y +1)2=22.相交3.1023解析 因为圆的方程为(x -1)2+y 2=25,所以圆心坐标为C (1,0),半径r =5,因为点P (2,-1)是该圆内一点,所以经过点P 的直径是圆的最长弦,且最短的弦是与该直径垂直的弦.因为|PC |=2,所以与PC 垂直的弦长为225-2=223.因此所求四边形的面积S =12×10×223=1023. 4.相交解析 圆O 1的圆心坐标为(1,0),半径r 1=1,圆O 2的圆心坐标为(0,2),半径r 2=2.故两圆的圆心距|O 1O 2|=5,而r 2-r 1=1,r 1+r 2=3,则有r 2-r 1<|O 1O 2|<r 1+r 2,故两圆相交.5.{(1,1)}解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=2,x +y =2,得x =y =1. 6.相离解析 ∵点M 在圆内,∴x 20+y 20<a 2(a >0). 圆心到直线的距离d =a 2x 20+y 20>a ,即d >r ,故直线与圆相离. 7.9解析 ∵圆C 1:(x +2a )2+y 2=4和圆C 2:x 2+(y -b )2=1只有一条公切线,∴两圆内切,|C 1C 2|=2-1=1,即4a 2+b 2=1.1a 2+1b 2=(4a 2+b 2)(1a 2+1b 2)=5+b 2a 2+4a 2b2≥9, 当且仅当b 2=2a 2,即a 2=16,b 2=13时取等号. 8.3解析 设其中一个交点为P (x 0,y 0),则⎩⎪⎨⎪⎧x 20+y 20=16,(x 0-4)2+(y 0+3)3=r 2 可得r 2=41-8x 0+6y 0,∵两切线互相垂直,∴过交点的两半径也互相垂直,即y 0x 0·y 0+3x 0-4=-1, ∴3y 0-4x 0=-16,∴r 2=41-8x 0+6y 0=41+2(3y 0-4x 0)=41-32=9,∴r =3.9.③解析 若函数f (x )是圆O 的“亲和函数”,则函数的图象经过圆心且关于圆心对称.圆O :x 2+y 2=9的圆心为坐标原点,①中f (x )=4x 3+x 2,②中f (x )=ln 5-x 5+x , ④中f (x )=tan x 5的图象均过圆心O (0,0), 在③中,f (x )=e x +e -x2的图象不过圆心,不满足要求. 10.x -y +3=0解析 易知点P 在圆的内部,根据圆的性质,若使AB 最小,则AB ⊥CP ,因为圆心C (0,1),所以k CP =2-1-1-0=-1,k l =1, 因此直线l 的方程为y -2=x +1,即x -y +3=0.11.3解析 圆的方程化为标准方程为:(x +1)2+(y +2)2=8.圆心为(-1,-2),圆的半径为22,圆心到直线l 的距离为|-1-2+1|12+12=22= 2.因此和l 平行的圆的直径的两端点及与l 平行的圆的切线的切点到l 的距离都为 2.12.2 2解析 圆的标准方程为:(x -1)2+(y +2)2=1,其圆心C (1,-2),半径为1,且直线与圆相离,如图所示,四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ,而S △P AC =12P A ·AC =12P A =12PC 2-1,又 PC min =|3-8-10|5=3,所以(S △P AC )min =129-1=2,故四边形P ACB 面积的最小值为2 2.13.[0,125]解析 设点M (x ,y ),由MA =2MO ,知x 2+(y -3)2=2x 2+y 2.化简,得x 2+(y +1)2=4,∴点M 的轨迹为以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D .又∵点M 在圆C 上,∴圆C 与圆D 的关系为相交或相切,∴1≤CD ≤3.∵圆C 的圆心在直线y =2x -4上,∴设C (a,2a -4),∴CD =a 2+(2a -3)2,∴1≤a 2+(2a -3)2≤3,解得0≤a ≤125.14.[3,7)解析 圆的标准方程为(x -1)2+(y +m )2=8,则圆心坐标为(1,-m),半径r=22,S△ABC=12r2sin∠ACB=4sin∠ACB,当∠ACB=90°时,△ABC的面积取得最大值4,此时△ABC为等腰直角三角形,AB=2r=4,则点C到直线AB的距离等于2,故2≤PC<22,即2≤1+m2<22,所以4≤1+m2<8,即3≤m2<7,因为m>0,所以3≤m<7.。

高中 平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点+例题

高中 平面解析几何直线与圆、圆与圆的位置关系 知识点+例题

辅导讲义――直线和圆、圆与圆的位置关系圆的切线方程设法:(1)过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200r y y x x =+.(2)过圆222)()(r b y a x =-+-上一点),(00y x P 的圆的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--. (3)过圆222r y x =+外一点),(00y x P 作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为200r y y x x =+.(4)过圆222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+--.[例]经过点M (2,-1)作圆522=+y x 的切线,则切线方程为_________________. 2x-y-5=0[巩固] 过点P (3,1)作曲线C :0222=-+x y x 的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为____________. 2x+y-3=01.若两圆的半径分别为r 1,r 2,两圆的圆心距为d ,则两圆的位置关系的判断方法如下:位置 关系 外离外切相交内切内含图示d 与r 1,r 2 的关系d >r 1+r 2 d =r 1+r 2 |r 1-r 2|< d < r 1+r 2d =|r 1-r 2|d <|r 1-r 2|两圆的公共点个数0个 1个 2个 1个 0个2.两圆的共切线:(1)当两圆内含时,没有公切线; (2)当两圆内切时有一条公切线; (3)当两圆相交时,有两条外公切线;知识模块4圆与圆的位置关系 精典例题透析知识模块3切线及弦所在直线的方程设法∴切线方程为2x +y ±52=0; ③∵k AC =-2+11-4=13,∴过切点A (4,-1)的切线斜率为-3,∴过切点A (4,-1)的切线方程为y +1=-3(x -4), 即3x +y -11=0.[巩固] (2013·江苏)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使|MA |=2|MO |,求圆心C 的横坐标a 的取值范围. (1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2), 于是切线的斜率必存在.设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3, 由题意,得|3k +1|k 2+1=1,解得k =0或-34,故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0.(2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为 (x -a )2+[y -2(a -2)]2=1.设点M (x ,y ),因为|MA |=2|MO |,所以x 2+(y -3)2=2 x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则|2-1|≤|CD |≤2+1, 即1≤a 2+(2a -3)2≤3. 由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ; 由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,125.题型三:直线与圆相交的问题[例]已知直线kx -y +6=0被圆x 2+y 2=25所截得的弦长为8,求k 的值.设直线kx -y +6=0被圆x 2+y 2=25所截得的弦长为AB ,其中点为C ,则△OCB 为直角三角形.因为圆的半径为|OB |=5,半弦长为|AB |2=|BC |=4,所以圆心到直线kx -y +6=0的距离为3,由点到直线的距离公式得6k 2+1=3,解之得k =±3.[巩固] 求直线x -3y +23=0被圆x 2+y 2=4截得的弦长.如图,设直线x -3y +23=0与圆x 2+y 2=4交于A ,B 两点,弦AB 的中点为M ,则OM ⊥AB (O 为坐标原点),所以OM =|0-0+23|12+(-3)2=3,所以AB =2AM =2OA 2-OM 2=222-(3)2=2.圆x 2+(y -3)2=4的圆心为点(0,3),又因为直线l 与直线x +y +1=0垂直,所以直线l 的斜率k =1.由点斜式得直线l :y -3=x -0,化简得x -y +3=0.3.若圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0(a ∈R )与圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0 (b ∈R )内切,则ab 的最大值为___________. 圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0 (a ∈R ).化为:(x -a )2+y 2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0 (b ∈R ),化为x 2+(y +b )2=1,圆心坐标为(0,-b ),半径为1,∵圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0 (a ∈R )与圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0 (b ∈R )内切,∴a 2+b 2=3-1,即a 2+b 2=4,ab ≤12(a 2+b 2)=2. ∴ab 的最大值为2.4.(2013·山东)过点P (3,1)作圆C :(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为____________.解析 如图所示:由题意知:AB ⊥PC ,k PC =12,∴k AB =-2, ∴直线AB 的方程为y -1=-2(x -1),即2x +y -3=0.5.已知直线y =kx +b 与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,当b =1+k 2时,OA →·OB →等于___________.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),将y =kx +b 代入x 2+y 2=1得(1+k 2)x 2+2kbx +b 2-1=0,故x 1+x 2=-2kb 1+k 2,x 1x 2=b 2-11+k 2, 从而·=x 1x 2+y 1y 2=(1+k 2)x 1x 2+kb (x 1+x 2)+b 2=b 2-1-2k 2b 21+k 2+b 2=2b 21+k 2-1=1. 6.若直线y =x +b 与曲线y =3-4x -x 2有公共点,则b 的取值范围是______________.由y =3-4x -x 2,得(x -2)2+(y -3)2=4(1≤y ≤3).∴曲线y =3-4x -x 2是半圆,如图中实线所示.当直线y =x +b 与圆相切时,|2-3+b |2=2.∴b =1±2 2. 由图可知b =1-2 2.∴b 的取值范围是[]1-22,3.7.(2014·上海)已知曲线C :x =-4-y 2,直线l :x =6,若对于点A (m,0),存在C 上的点P 和l 上的Q 使得AP →+AO→=0,则m 的取值范围为________.曲线C :x =-4-y 2,是以原点为圆心,2为半径的圆,并且x P ∈[-2,0],对于点A (m,0),存在C 上的点P 和l 上的Q 使得+=0,(1)求矩形ABCD 的外接圆的方程;(2)已知直线l :(1-2k )x +(1+k )y -5+4k =0(k ∈R ),求证:直线l 与矩形ABCD 的外接圆恒相交,并求出相交的弦长最短时的直线l 的方程.(1)∵l AB :x -3y -6=0且AD ⊥AB ,点(-1,1)在边AD 所在的直线上,∴AD 所在直线的方程是y -1=-3(x +1),即3x +y +2=0.由⎩⎪⎨⎪⎧x -3y -6=0,3x +y +2=0,得A (0,-2). ∴|AP |=4+4=22, ∴矩形ABCD 的外接圆的方程是(x -2)2+y 2=8.(2)直线l 的方程可化为k (-2x +y +4)+x +y -5=0,l 可看作是过直线-2x +y +4=0和x +y -5=0的交点(3,2)的直线系,即l 恒过定点Q (3,2),由(3-2)2+22=5<8知点Q 在圆P 内,∴l 与圆P 恒相交.设l 与圆P 的交点为M ,N ,则|MN |=28-d 2(d 为P 到l 的距离),设PQ 与l 的夹角为θ,则d =|PQ |·sin θ=5sin θ,当θ=90°时,d 最大,|MN |最短.此时l 的斜率为PQ 的斜率的负倒数,即-12, 故l 的方程为y -2=-12(x -3),即x +2y -7=0.11.若直线l :y =kx +1 (k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y +3=0相切,则直线l 与圆D :(x -2)2+y 2=3的位置关系是_________. 因为圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=2,所以其圆心坐标为(-2,1),半径为2,因为直线l 与圆C 相切.所以|-2k -1+1|k 2+1=2,解得k =±1,因为k <0,所以k =-1,所以直线l 的方程为x +y -1=0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d =|2+0-1|2=22<3,所以直线l 与圆D 相交. 12.设曲线C 的方程为(x -2)2+(y +1)2=9,直线l 的方程为x -3y +2=0,则曲线上的点到直线l 的距离为71010的点的个数为____________.B解析 由(x -2)2+(y +1)2=9,得圆心坐标为(2,-1),半径r =3,圆心到直线l 的距离d =|2+3+2|1+(-3)2=710=71010. 能力提升训练要使曲线上的点到直线l 的距离为71010, 此时对应的点在直径上,故有两个点.13.(2013·江西)过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于____________.∵S △AOB =12|OA ||OB |sin ∠AOB =12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB =π2时, △AOB 面积最大.此时O 到AB 的距离d =22. 设AB 方程为y =k (x -2)(k <0),即kx -y -2k =0.由d =|2k |k 2+1=22得k =-33. (也可k =-tan ∠OPH =-33). 14.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________.圆C 的标准方程为(x -4)2+y 2=1,圆心为(4,0).由题意知(4,0)到kx -y -2=0的距离应不大于2,即|4k -2|k 2+1≤2.整理,得3k 2-4k ≤0.解得0≤k ≤43. 故k 的最大值是43. 15.(2014·重庆)已知直线ax +y -2=0与圆心为C 的圆(x -1)2+(y -a )2=4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a =________.圆心C (1,a )到直线ax +y -2=0的距离为|a +a -2|a 2+1.因为△ABC 为等边三角形,所以|AB |=|BC |=2,所以(|a +a -2|a 2+1)2+12=22,解得a =4±15.。

2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系

2024版高考数学大一轮第八章平面解析几何8-4直线与圆圆与圆的位置关系
×
(5) 如果直线与圆组成的方程组有解,则直线与圆相交或相切.( )

2.(教材例题改编)圆 与圆 的位置关系为( )
A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
解:两圆圆心分别为 , ,半径分别为2和3,圆心距 .因为 ,所以两圆相交.故选B.

3.已知圆 截直线 所得的弦长为4, 则实数 的值是( )
1.判断下列命题是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
(1) “ ”是“直线 与圆 相交”的必要不充分条件.( )
×
(2) 如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( )
×
(3) 如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( )

学科素养·直曲联立中的数学运算
典例 已知圆 ,直线
(1) 求证:对 ,直线 与圆 总有两个不同交点;
解:(证法一)圆 的圆心为 ,半径为 .所以圆心 到直线 的距离 ,所以直线 与圆 相交,即直线 与圆 总有两个不同交点.(证法二)因为直线 过定点 ( , ),而点 在圆 内,所以直线 与圆 相交,即直线 与圆 总有两个不同交点.


【点拨】已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时,可根据数形结合思想转化为直线与圆的位置关系问题,由此建立方程或不等式(组)求解.
变式2 若对圆 上任意一点 , 的取值与 , 无关, 则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
解:依题意, 表示 到两条平行直线 和 的距离之和,因其取值与 , 无关,故两条平行直线 和 在圆 的两侧,画出图象如图所示,故圆心
【点拨】求过定点的圆的切线方程时,首先要判断定点在圆上还是在圆外,若在圆上,则该点为切点,切线仅有一条;若在圆外,切线应该有两条.

2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】
又圆心(1,2)到直线 3x-y-6=0 的距离为 d=|3-92+-16|= 210,
由|A2B|2=r2-d2,得|AB|2=10,即|AB|= 10.
6.已知直线y=kx+b(k>0)与圆x2+y2=1和圆(x-4)2+y2=1均相切,则k= ___3_3______,b=__-__2_3_3____. 解析 如图,直线分别与两个半径相等的圆相切,由对称性可知,直线与x轴 的交点为A(2,0).
由AB=2,BM=1,∠AMB=90°,得∠MAB=30°,
可得直线的斜率 k=tan 30°= 33, 直线方程为 y= 33(x-2)= 33x-233,因此 b=-233.
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
1.已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1外,则直线ax+by=1与圆O的位置关系是
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.( × ) (2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( × ) (3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )
(4)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,
2.直线被圆截得的弦长的求法 (1)几何法:运用弦心距 d、半径 r 和弦长的一半构成的直角三角形,计算弦长|AB| =2 r2-d2. (2)代数法:设直线 y=kx+m 与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 相交于点 M,N,将 直线方程代入圆的方程中,消去 y,得关于 x 的一元二次方程,求出 xM+xN 和 xM·xN,则|MN|= 1+k2· (xM+xN)2-4xM·xN.

高中数学第八章 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

高中数学第八章  第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系

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考点一 直线与圆的位置关系
2 又圆 x +y =4 的圆心到直线 x-y+2=0 的距离为 = 2.由 2 勾股定理得弦长的一半为 4-2= 2,所以,所求弦长为 2 2.
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已知弦长求解直线方程时,易忽视斜率k不存在的情形.
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第八章 平面解析几何 第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
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C
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ONTENTS
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1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能 根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
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3 解析:依题意得,直线l的方程是y=tan 150° (x-1)=- (x- 3 |-3-1| 1),即x+ 3 y-1=0,圆心(-3,0)到直线l的距离d= 3+1 =2,因此该直线与圆相切.
答案:B
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[小题纠偏] 已知直线l经过点P(-4,-3),且被圆(x+1)2+(y+2)2=25截 得的弦长为8,则直线l的方程是_______________________.

高考数学 第八章 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学 第八章 第4课时 直线与圆、圆与圆的位置关系

A.x+ 3y-2=0
B.x+ 3y-4=0
C.x- 3y+4=0
D.x- 3y+2=0
3.(2013·高考广东卷)垂直于直线 y=x+1 且与圆 x2+y2=1
相切于第一象限的直线方程是( A )
A.x+y- 2=0
B.x+y+1=0
C.x+y-1=0
D.x+y+ 2=0
4.(2013·高考浙江卷) 直线y=2x+3被圆x2+y2-6x-8y= 0所截得的弦长等于__4___5___. 5.若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实 数k的 取值范围是__(_-___3_,____3_)___.
1.(2012·高考安徽卷)若直线 x-y+1=0 与圆(x-a)2+y2=2
有公共点,则实数 a 的取值范围是( C )
A.[-3,-1]
B.[-1,3]
C.[-3,1]
D.(-∞,-3]∪[1,+∞)
【解析】 由题意知,圆心为(a,0),半径 r= 2. 若直线与圆有公共点,则圆心到直线的距离小于或等于半径, 即|a-0+1|≤ 2,∴|a+1|≤2.∴-3≤a≤1.
圆的切线与弦长
(1)(2013·高考山东卷文)过点(3,1)作圆(x-2)2+(y-
2)2=4 的弦,其中最短弦的长为__2___2___.
(2)(2013·高考山东卷理)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1 的两
条切线,切点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为 ( A )
A.2x+y-3=0
位置关系
r2的关系
代数法:两圆方程联 立组成方程组的解的
情况
相离 外切
_d_>_r_1+__r_2 _ _d_=__r_1+__r_2

高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系

高考数学一轮总复习教学课件第八章 平面解析几何第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系
则直线与圆相切.( √ )
2.直线3x+4y-5=0与圆x2+y2=1的位置关系是(
A.相交

C.相离
D.无法判断
)
B.相切
解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-5=0的距离 d=
与圆相切.故选B.
|-|
,所以直线
=1=r

+
3.直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于(
A.


B.
C.2
)
D.


解析:圆心(-2,2)到直线 x-y+3=0 的距离 d= ,圆的半径 r= ,

解直角三角形得,半弦长为 ,所以弦长等于 .故选 D.
4.圆O1:(x-1)2+y2=1与圆O2:x2+(y+2)2=4的位置关系是(
A.外离
B.外切
C.相交
D.内切
故选C.
判断直线与圆的位置关系常见的方法:
(1)几何法:利用d与r的关系.
(2)代数法:联立方程组,消元得一元二次方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直
线与圆相交;若点在圆上,直线与圆可能相切,也可能相交.
上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法更适用于动直
A.x-2y+3=0
B.2x+y-4=0

D.2x-y-4=0
C.x+2y-5=0
)
解析:圆心为O(0,0),kOP=2,故切线的斜率为
y-2=- (x-1) ,即x+2y-5=0.故选C.

2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

2025高考数学一轮复习-8.4-直线与圆、圆与圆的位置关系【课件】

6.若圆 x2+y2=1 与圆 x2+y2-6x-8y-m=0 相切,则 m 的值为_-__9__或__1_1.
【解析】 x2+y2-6x-8y-m=0 可化为(x-3)2+(y-4)2=25+m,因为两圆相切, 所以 32+42=1+ 25+m或 32+42=|1- 25+m|,解得 m=-9 或 m=11.
易错易混 5.已知圆 C:x2+y2=9,过点 P(3,1)作圆 C 的切线,则切线方程为 _____x=__3__或__4_x_+__3_y_-__1_5_=__0___.
【解析】 由题意知 P 在圆外.当切线斜率不存在时,切线方程为 x=3,满足题意; 当 切 线 斜 率 存 在 时 , 设 切 线 方 程 为 y - 1 = k(x - 3) , 即 kx - y + 1 - 3k = 0 , 所 以 |k×0k-2+0+-11-23k|=3,得 k=-43,切线方程为 4x+3y-15=0.综上,切线方程为 x=3 或 4x+3y-15=0.
(2)解法一:∵直线 kx-y+1=0 与圆(x+1)2+(y-2)2=4 有公共点,∴直线与圆相切 或相交,又圆心(-1,2)到直线 kx-y+1=0 的距离 d=|-k-k2+2+1 1|= |kk+2+1|1,r=2,∴d≤r, 即 |kk+2+1|1≤2,∴3k2-2k+3≥0,又∵Δ=4-36=-32<0,∴k∈R,∴实数 k 的取值范围 为(-∞,+∞).故选 D.
2.圆与圆的位置关系(两圆半径为 r1,r2,d=|O1O2|)
相离
外切
相交
内切
图形
量的 关系
d>r1+r2
d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2
d=|r1-r2|Fra bibliotek内含 d<|r1-r2|

高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书

高考数学一轮总复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求:能判断直线与圆、圆与圆的位置关系.一、教材概念·结论·性质重现1.直线与圆的位置关系的判断(1)几何法:利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系进行判断.d<r ⇔相交;d=r⇔相切;d>r⇔相离.(2)代数法:联立直线与圆的方程,求联立后所得方程的判别式Δ,直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合,代数法与几何法是不同的方法和思路,解题时要根据题目特点灵活选择.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=(r2>0).位置关系方法几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况相离d>r1+r2无解外切d=r1+r2一组实数解相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解(1)用代数法判断两圆的位置关系时,要准确区分两圆内切、外切或相离、内含.(2)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条.②内切:1条.③相交:2条.④外切:3条.⑤外离:4条.(1)当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(内公切线)所在的直线方程.两圆相交时,两圆连心线垂直平分公共弦;两圆相切时,两圆连心线必过切点.(2)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)·(y -b)=r2.(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在的直线方程为x0x+y0y=r2.(4)直线与圆相交时,弦心距d、半径r、弦长的一半l满足关系式r2=d2+.(5)过圆内一点的最长的弦是直径,最短的是垂直这点与圆心连线的弦.二、基本技能·思想·活动经验1.判断下列说法的正误,对的画“√”,错的画“×”.(1)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( ×)(2)“k=1”是“直线x-y+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.( ×) (3)过圆O:x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线,切点分别为A,B,则O,P,A,B 四点共圆且直线AB的方程是x0x+y0y=r2. ( √)(4)圆C1:x2+y2+2x+2y-2=0与圆C2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有2条.( √)2.“k=0”是“直线y=kx-与圆x2+y2=2相切”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件C 解析:直线与圆相切⇔=⇔k=0.3.圆C1:x2+(y-1)2=1与圆C2:(x+4)2+(y-1)2=4的公切线的条数为( )A.4 B.3C.2 D.1A 解析:两圆的圆心距|C1C2|=4>2+1,所以两圆外离,两圆的公切线有4条.4.圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦所在直线和两坐标轴所围成图形的面积为( )A.1 B.2C.4 D.8B 解析:由(x2+y2-4)-(x2+y2-4x+4y-12)=0得公共弦所在直线的方程为x-y+2=0,它与两坐标轴分别交于(-2,0),(0,2),所以直线和两坐标轴所围成图形的面积为×2×2=2.5.直线l:3x-y-6=0与圆x2+y2-2x-4y=0相交于A,B两点,则|AB|=________.解析:圆的方程可化为(x-1)2+(y-2)2=()2,又圆心(1,2)到直线l的距离为,所以|AB|=2=.考点1 直线与圆的位置关系——基础性1.直线ax-by=0与圆x2+y2-ax+by=0的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不能确定B 解析:将圆的方程化为标准方程得+=,所以圆心坐标为,半径r==.因为圆心到直线ax-by=0的距离d===r,所以直线与圆相切.故选B.2.圆x2+y2-2x+4y=0与直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)的位置关系为( )A.相离B.相切C.相交D.以上都有可能C 解析:由2tx-y-2-2t=0(t∈R),得(2x-2)t-(y+2)=0,所以直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)恒过点(1,-2).因为1+4-2-8=-5<0,所以(1,-2)在圆x2+y2-2x+4y=0内部,所以直线2tx-y-2-2t=0(t∈R)与圆x2+y2-2x+4y=0相交.故选C.3.若过点A(4,0)的直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,则直线l的斜率的取值范围为( )A.[-] B.(-)C.D.C 解析:设直线方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,直线l与曲线(x-2)2+y2=1有公共点,所以圆心到直线的距离小于等于半径,即d=≤1,得4k2≤k2+1,k2≤,即-≤k≤.故选C.1.注意常用方法:判断直线与圆的位置关系一般用几何法,即d与r的关系进行判断.2.注意直线上定点的作用:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.考点2 圆与圆的位置关系——综合性(1)若圆(x+1)2+y2=m与圆x2+y2-4x+8y-16=0内切,则实数m的值为( ) A.1 B.11C.121 D.1或121D 解析:对x2+y2-4x+8y-16=0进行整理,可得(x-2)2+(y+4)2=36,故两圆的圆心坐标为(-1,0),(2,-4),半径分别为,6.因为圆(x+1)2+y2=m与圆x2+y2-4x+8y -16=0内切,所以圆心距d满足d=|r2-r1|,即=|-6|,解得m =1或121.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x-6y-1=0和C2:x2+y2-10x-12y+45=0.①求证:圆C1和圆C2相交;②求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.①证明:由题意可知,圆C1的圆心为C1(1,3),半径r1=,圆C2的圆心为C2(5,6),半径r2=4,两圆的圆心距d=|C1C2|=5,r1+r2=+4,|r1-r2|=4-,所以|r1-r2|<d<r1+r2,所以圆C1和C2相交.②解:圆C1和圆C2的方程左右两边分别相减,整理得4x+3y-23=0,所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x+3y-23=0.圆心C2(5,6)到直线4x+3y-23=0的距离d==3,故公共弦长为2=2.本例(1)中若两圆内含,求实数m的取值范围.解:圆(x+1)2+y2=m的圆心为(-1,0),半径为;圆x2+y2-4x+8y-16=0,即(x-2)2+(y+4)2=36,故圆心为(2,-4),半径为6.由两圆内含得<|-6|,解得m<1或m>121.(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断,一般不用代数法.注意两圆相切时,应分外切、内切两种情况.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.1.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是( )A.内切B.相交C.外切D.相离B 解析:将圆M的方程化为x2+(y-a)2=a2,则圆心M(0,a),半径r1=a.点M到直线x +y=0的距离d=,则+2=a2,得a=2,故M(0,2),r1N的圆心N(1,1),半径r2=1,所以|MN|=,而|r1-r2|<|MN|<|r1+r2|,所以两圆相交.故选B.2.若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x+m)2+y2=20相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是( )A.3 B.4C.2D.8B 解析:如图,连接O1A,O2A,由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直,因此O1A⊥O2A,所以=O1A2+O2A2,即m2AB 交x轴于点C.在Rt△O1AO2中,sin ∠AO2O1=,所以在Rt△ACO2中,AC=AO2·sin ∠AO2O1=2=2,所以AB=2AC=4.故选B.考点3 直线与圆的综合问题——应用性考向1 弦长问题已知圆C:(x-4)2+(y-2)2=r2截y轴所得的弦长为2,过点(0,4)且斜率为k 的直线l与圆C交于A,B两点.若|AB|=2,则k的值为( )A.-B.C.-D.D 解析:已知圆C:(x-4)2+(y-2)2=r2截y轴所得的弦长为2,所以圆心坐标为(4,2),半径为r,则42+()2=r2,解得r=3.由于过点(0,4)且斜率为k的直线l与圆C交于A,B两点,|AB|=2,则设直线l的方程为y=kx+4,由点到直线的距离公式可得:=,解得k=.求弦长的两种求法(1)代数方法:将直线和圆的方程联立,消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ>0的前提下,利用根与系数的关系,根据弦长公式求弦长.(2)几何方法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2.考向2 圆的切线问题若过直线3x+4y-2=0上一点M向圆C:(x+2)2+(y+3)2=4作一条切线切于点T,则|MT|的最小值为( )A.B. 4C. 2D. 2D 解析:根据题意,圆C:(x+2)2+(y+3)2=4,其圆心为(-2,-3),半径r=2,过点M向圆C作一条切线切于点T,则|MT|==.当|MC|取得最小值时,|MT|的值最小,而|MC|的最小值为点C到直线3x+4y-2=0的距离,则|MC|min ==4,则|MT|的最小值为=2.故选D.(1)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径这一关系,从而建立方程解决问题.(2)过圆上一点作圆的切线有且只有一条;过圆外一点作圆的切线有且只有两条,若仅求得一条,除了考虑运算过程是否正确外,还要考虑斜率不存在的情况,以防漏解.1.若直线l与曲线y=和圆x 2+y2=都相切,则l的方程为( )A.y=2x+1 B.y =2x+C.y=x+1 D.y =x+D 解析:圆x2+y2=的圆心为原点,半径为,经检验原点与选项A,D中的直线y=2x +1,y =x+的距离均为,即两直线与圆x2+y2=均相切,原点与选项B,C中的直线y=2x +,y=x+1的距离均不是,即两直线与圆x2+y2=均不相切,所以排除选项BC.将直线方程y=2x+1代入y=,得2()2-+1=0,判别式Δ<0,所以直线y=2x+1与曲线y=不相切,所以排除选项A.故选D.2.已知直线x-y+8=0和圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点.若|AB|=6,则r的值为________.5 解析:设圆心为O(0,0),圆心到直线的距离d=AB的中点M,连接OM(图略),则OM⊥AB.在Rt△OMA中,r==5.一个圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且在直线y=x上截得的弦长为2,求此圆的方程.[四字程序]读想算思求圆的标准方程或一般方程如何求圆的方程?1.圆的标准方程是什么?2.圆的一般方程是什么数形结合1.圆的圆心在直线上.2.圆与直线相切.3.圆在直线上截得的根据题目条件设出圆的标准方程或一般方程,利用待定系数法求解1.(x-a)2+(y-b)2=r2.2.x2+y2+Dx+Ey+F=0借助于圆的几何性质求解弦长为思路参考:根据圆心在直线上,设出圆心.由圆与直线相切,表示出半径,结合弦长求出圆的方程.解:因为所求圆的圆心在直线x-3y=0上,且与y轴相切,所以设所求圆的圆心为C (3a,a),半径为r=3|a|.又圆在直线y=x上截得的弦长为2,圆心C(3a,a)到直线y=x的距离为d=,所以有d2+()2=r2,即2a2+7=9a2,所以a=±1.故所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.思路参考:设出圆的标准方程.利用圆心到直线的距离公式表示出半径,结合弦长求出圆的方程.解:设所求的圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到直线x-y=0的距离为,所以r2=+()2,即2r2=(a-b)2+14.①由于所求的圆与y轴相切,所以r2=a2.②又因为所求圆心在直线x-3y=0上,所以a-3b=0.③联立①②③,解得a=3,b=1,r2=9或a=-3,b=-1,r2=9.故所求的圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.思路参考:设出圆的一般方程,用待定系数法求解.解:设所求的圆的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0,圆心为,半径为.令x=0,得y2+Ey+F=0.由圆与y轴相切,得Δ=0,即E2=4F.④又圆心到直线x-y=0的距离为,由已知,得+()2=r2,即(D-E)2+56=2(D2+E2-4F).⑤又圆心在直线x-3y=0上,所以D-3E=0.⑥联立④⑤⑥,解得D=-6,E=-2,F=1或D=6,E=2,F=1.故所求圆的方程是x2+y2-6x-2y+1=0或x2+y2+6x+2y+1=0,即(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.1.本题考查圆的方程的求法,解法灵活多变,基本解题策略是设出圆的方程,借助待定系数法求解.2.基于课程标准,解答本题需要掌握圆的标准方程和一般方程的一般形式.本题的解答体现了数学运算、直观想象的核心素养.3.基于高考评价体系,本题通过圆的代数性质和几何性质之间相互联系和转化,体现了基础性.已知圆C的圆心在直线y=-4x上,且与直线l:x+y-1=0相切于点P(3,-2),则圆C 的方程为______________.(x-1)2+(y+4)2=8 解析:(方法一)如图,设圆心).依题意得=1,解得x0=1,即圆心坐标为(1,-4),半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. (方法二)设所求方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2.根据已知条件得解得因此所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.课时质量评价(四十六)A组全考点巩固练1.(2022·北京卷)若直线2x+y-1=0是圆(x-a)2+y2=1的一条对称轴,则a=( ) A.B.-C.1 D.-1A 解析:由题可知圆心为(a,0),因为直线是圆的对称轴,所以圆心在直线上,即2a+0-1=0,解得a=.故选A.2.(2023·济南质检)圆x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,则m的取值范围是( )A.(-∞,-]B.[,+∞)C.[-]D.(-∞,-]∪[,+∞)D 解析:将x2+2mx+y2+m2-1=0化为标准方程得(x+m)2+y2=1,即圆心为(-m,0),半径为1,圆x2+(y-2)2x2+(y-2)2=4与圆x2+2mx+y2+m2-1=0至少有三条公切线,所以两圆的位置关系为外切或相离,所以≥2+1,即m2≥5,解得m∈(-∞,-]∪[,+∞). 故选D.3.(多选题)若直线x-y=2被圆(x-a)2+y2=4所截得的弦长为2,则实数a的值可能为( )A.0 B.4C.-2 D.6AB 解析:由圆的方程,可知圆心坐标为(a,0),半径r,所以圆心到直线的距离d==.又d=,所以|a-2|=2,解得a=4或0.故选AB.4.已知圆的方程是x2+y2=1,则在y轴上截距为的切线方程为( )A.y=x+B.y=-x+C.y=x+或y=-x+D.x=1或y=x+C 解析:由题意知切线斜率存在,故设切线方程为y=kx+,则=1,所以k=±1,故所求切线方程为y=x+或y=-x+.5.过点P(1,2)的直线与圆x2+y2=1相切,且与直线ax+y-1=0垂直,则实数a的值为( )A.0 B.-C.0或D.C 解析:当a=0时,直线ax+y-1=0,即直线y=1,此时过点P(1,2)且与直线y=1垂直的直线为x=1,而x=1是与圆相切,满足题意,所以a=0成立.当a≠0时,过点P(1,2)且与直线ax+y-1=0垂直的直线斜率为,可设该直线方程为y -2=(x-1),即x-ay+2a-1=0,再根据直线与圆相切,即圆心到直线距离为1,可得=1,解得a=.故选C.6.直线l:y=kx+4与圆O:x2+y2=4交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点.若x1x2+y1y2=0,则k2的值为( )A.3 B.7C.8 D.13B 解析:由条件可得x1x2≠0,圆O的圆心为(0,0),半径为2,由x1x2+y1y2=0可得·=-1,故OA⊥OB,故△AOB为等腰直角三角形.故点O到直线l的距离为,即=,解得k2=7.故选B.7.早在两千多年前,我国的墨子给出了圆的定义——一中同长也.已知O为坐标原点,P(-1,).若⊙O,⊙P的“长”分别为1,r,且两圆相切,则r=________.1或3 解析:由题意,O为坐标原点,P(-1,),根据圆的定义可知,⊙O的圆心为O(0,0),半径为1,⊙P的圆心为P(-1,),半径为r,因为两圆相切,则有|PO|=r+1或|PO|=r-1,则有r+1=2或r-1=2,解得r=1或3.8.已知圆O:x2+y2=5与圆C1:x2+y2-5x=0相交于M,N两点,点P的坐标为(3,-4).若圆C2经过M,N,P三点,则C2的方程为________.(x-5)2+y2=20 解析:把圆O:x2+y2=5与圆C1:x2+y2-5x=0相减,可得公共弦MN的方程为x=1,故M,N两点的坐标为(1,2),(1,-2).又点P的坐标为(3,-4),故要求的圆的圆心C2在x轴上,设C2(m,0),由C2M=C2P,求得m=5,故要求的圆的圆心C2(5,0),半径为C2M=,故要求的圆C2的方程为(x-5)2+y2=20.9.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解:(1)由题意可得,直线l的斜率存在.设过点A(0,1)且斜率为k的直线l的方程:y=kx+1,即kx-y+1=0.由已知可得圆C的圆心C的坐标为(2,3),半径R=1.由直线l与圆C交于M,N两点,则<1,解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由题意可得,经过点M,N,A的直线方程为y=kx+1,代入圆C的方程(x-2)2+(y-3)2=1,可得(1+k2)x2-4(k+1)x+7=0,所以x1+x2=,x1x2=,所以y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1=.由·=x1x2+y1y2==12,解得k=1,故直线l的方程为y=x+1,即x-y+1=0.圆心C在直线l上,MN的长即为圆的直径.所以|MN|=2.B组新高考培优练10.已知直线l:x+y-5=0与圆C:(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0)相交所得的弦长为2,则圆C的半径r=( )A.B.2C.2D.4B 解析:依题意,得圆C的圆心坐标为(2,1),圆心到直线l的距离d==,因为弦长为2,所以2=2,所以r=2.11.已知直线x+ay-1=0是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴,过点A(-4,a)作圆C 的一条切线,切点为B,则|AB|=( )A.2 B.6C.4D.2B 解析:因为圆C:x2+y2-4x-2y+1=0,即(x-2)2+(y-1)2=4,所以圆心为C(2,1),半径r=2.由题意可得,直线l:x+ay-1=0经过圆C的圆心(2,1),故有2+a-1=0,所以a=-1,点A(-4,-1).因为|AC|==2,|CB|=r=2,所以|AB|==6.故选B.12.直线l:y=kx+1与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“|AB|=”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A 解析:依题意,注意到|AB|2=()2=等价于圆心O到直线l的距离等于,即有=,k=±1.因此,“k=1”是“|AB|=”的充分不必要条件.13.(多选题)已知直线l:x+y-4=0,圆O:x2+y2=2,M是l上一点,MA,MB分别是圆O的切线,则( )A.直线l与圆O相切B.圆O上的点到直线l的距离的最小值为C.存在点M,使∠AMB=90°D.存在点M,使△AMB为等边三角形BD 解析:对于A选项,圆心到直线的距离d==2>=r,所以直线和圆相离,故A错误;对于B选项,圆O上的点到直线l的距离的最小值为d-r=,故B正确;对于C选项,当OM⊥l时,∠AMB有最大值60°,故C错误;对于D选项,当OM⊥l时,△AMB 为等边三角形,故D正确. 故选BD.14.(多选题)(2022·德州期末)已知点A是直线l:x+y-=0上一定点,点P,Q是圆x2+y2=1上的动点.若∠PAQ的最大值为90°,则点A的坐标可以是( )A.(0,) B.(1,-1)C.(,0) D.(-1,1)AC 解析:如下图所示:原点到直线l的距离为d==1,则直线l与圆x2+y2=1相切.由图可知,当AP,AQ均为圆x2+y2=1的切线时,∠PAQ取得最大值,连接OP,OQ,由于∠PAQ的最大值为90°,且∠APO=∠AQO=90°,|OP|=|OQ|=1,则四边形APOQ为正方形,所以|OA|=|OP|=.由两点间的距离公式得设A(t,-t),|OA|==,整理得2t2-2t=0,解得t=0或,因此,点A的坐标为(0,)或(,0).故选AC.15.在①被x轴、y轴所截得的弦长均为4,且圆C的圆心位于第四象限,②与直线4x -3y+18=0相切于点B(-3,2),③过点B(-2,-5),且圆心在直线x+y=0上这三个条件中任选一个补充在下面的问题中,并加以解答.问题:已知圆C过点A(-2,3),________,求圆C的方程.解:若选①,设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(a>0,b<0),由题意可知解得因此,圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2②,由题意知圆心必在过切点B(-3,2)且垂直于切线4x-3y+18=0的直线上,可求得此直线方程为3x+4y+1=0.直线AB的斜率k AB==1,线段AB的中点坐标为,则线段AB的垂直平分线方程为y-=-,即y=-x.可知圆心必在线段AB的垂直平分线y=-x上,联立可求得圆心C(1,-1),则r=|BC|==5,因此,圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=25.若选③,由题意知圆心必在AB的垂直平分线上,所以AB的垂直平分线方程为y=-1.将直线y+1=0与直线x+y=0联立,可得圆心坐标C(1,-1).因为r=|BC|==5,因此,圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=25. 16.已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2的圆C与l相切,圆心C在x轴上且在直线l 的右上方.(1)求圆C的方程;(2)过点M(1,0)的直线与圆C交于A,B两点(A在x轴上方),在x轴正半轴上是否存在定点N,使得x轴平分∠ANB?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心C(a,0),则=2,解得a=0或a=-5(舍).所以圆C:x2+y2=4.(2)如图,当直线AB⊥x轴时,x轴平分∠ANB.当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=k(x-1),N(t,0),A(x1,y1),B(x2,y2),由得(k2+1)x2-2k2x+k2-4=0,Δ=(-2k2)2-4(k2+1)(k2-4)=12k2+16>0,所以x1+x2=,x1x2=.若x轴平分∠ANB,则k AN=-k BN⇒=0⇒=0⇒2x1x2-(t+1)(x1+x2)+2t=0⇒+2t=0⇒t=4.所以当点N为(4,0)时,能使得x轴平分∠ANB.。

近年届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业(2021年整理)

近年届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业(2021年整理)

2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业编辑整理:尊敬的读者朋友们:这里是精品文档编辑中心,本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的,发布之前我们对文中内容进行仔细校对,但是难免会有疏漏的地方,但是任然希望(2019届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业)的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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第四节直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业A组-—基础对点练1.圆心为(4,0)且与直线错误!x-y=0相切的圆的方程为( )A.(x-4)2+y2=1 B.(x-4)2+y2=12C.(x-4)2+y2=6 D.(x+4)2+y2=9解析:由题意,知圆的半径为圆心到直线3x-y=0的距离,即r=错误!=2错误!,结合圆心坐标可知,圆的方程为(x-4)2+y2=12,故选B.答案:B2.(2018·石家庄质检)若a,b是正数,直线2ax+by-2=0被圆x2+y2=4截得的弦长为2错误!,则t=a错误!取得最大值时a的值为( )A.错误!B.错误!C。

错误!D.错误!解析:因为圆心到直线的距离d=错误!,则直线被圆截得的弦长L=2错误!=2 错误!=2错误!,所以4a2+b2=4.t=a错误!=错误!·(2错误!a)错误!≤错误!·错误!·[(2错误!a)2+(错误!)2]=错误![8a2+1+2(4-4a2)]=错误!,当且仅当错误!时等号成立,此时a=错误!,故选D。

答案:D3.(2018·惠州模拟)已知圆O:x2+y2=4上到直线l:x+y=a的距离等于1的点恰有3个,则实数a的值为( )A.2 2 B.错误!C.-错误!或错误!D.-2错误!或2错误!解析:因为圆上到直线l的距离等于1的点恰好有3个,所以圆心到直线l的距离d=1,即d=错误!=1,解得a=±错误!.故选C。

高考数学统考一轮复习第8章平面解析几何第4节直线与圆圆与圆的位置关系教师用书教案理新人教版

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直线与圆、圆与圆的位置关系[考试要求] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系及常用的两种判断方法(1)三种位置关系:相交、相切、相离.(2)两种判断方法:2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=r21(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=r22(r2>0).位置关系几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:两圆方程联立组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解外切d=r1+r2一组实数解相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解[常用结论]1.当两圆相交(切)时,两圆方程(x2,y2项的系数相同)相减便可得公共弦(公切线)所在的直线方程.2.直线与圆相交时,弦心距d ,半径r ,弦长的一半12l 满足关系式r 2=d 2+⎝⎛⎭⎫12l 2. 3.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.(2)过圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切. ( ) (2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,那么两圆相交.( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( )(4)过圆O :x 2+y 2=r 2外一点P (x 0,y 0)作圆的两条切线,切点分别为A ,B ,则O ,P ,A ,B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x +y 0y =r 2. ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 二、教材习题衍生1.若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( ) A .[-3,-1] B .[-1,3]C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞)C [由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为2, ∴|a -0+1|12+(-1)2≤2,即|a +1|≤2,解得-3≤a ≤1.]2.圆(x +2)2+y 2=4与圆(x -2)2+(y -1)2=9的位置关系为( ) A .内切 B .相交 C .外切 D .相离B [两圆圆心分别为(-2,0),(2,1),半径分别为2和3,圆心距d =42+12=17.∵3-2<d <3+2, ∴两圆相交.]3.圆Q :x 2+y 2-4x =0在点P (1,3)处的切线方程为 .x -3y +2=0 [因为点P (1,3)是圆Q :x 2+y 2-4x =0上的一点,所以点P 为切点,从而圆心与P 的连线与切线垂直.又圆心(2,0),所以0-32-1·k =-1,解得k =33. 故在点P 处的切线方程为x -3y +2=0.]4.直线x +2y =0被圆C :x 2+y 2-6x -2y -15=0所截得的弦长等于 . 45 [由题意知圆心C (3,1),半径r =5.又圆心C 到直线l 的距离d =|3+2|5=5,则弦长为2r 2-d 2=4 5.]考点一 直线与圆的位置关系判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d 与r 的关系. (2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题. [典例1] (1)直线l :mx -y +1-m =0与圆C :x 2+(y -1)2=5的位置关系是( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .不确定(2)圆(x -3)2+(y -3)2=9上到直线3x +4y -11=0的距离等于1的点的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4(1)A (2)C [(1)法一:(代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx -y +1-m =0,x 2+(y -1)2=5,消去y ,整理得(1+m 2)x 2-2m 2x +m 2-5=0, 因为Δ=16m 2+20>0,所以直线l 与圆相交. 法二:(几何法)∵圆心(0,1)到直线l 的距离d =|m |m 2+1<1< 5.故直线l 与圆相交.法三:(点与圆的位置关系法)直线l :mx -y +1-m =0过定点(1,1),∵点(1,1)在圆C :x 2+(y -1)2=5的内部,∴直线l 与圆C 相交.(2)如图所示,因为圆心到直线的距离为|9+12-11|5=2,又因为圆的半径为3,所以直线与圆相交,故圆上到直线的距离为1的点有3个.]点评:(1)已知直线与圆的位置关系求参数值或取值范围,就是利用d =r ,d >r 或d <r 建立关于参数的等式或不等式求解;(2)圆上的点到直线距离为定值的动点个数问题多借助图形,转化为点到直线的距离求解.如图①,若圆上恰有一点到直线的距离为t ,则需满足d =r +t . 如图②,若圆上恰有三点到直线的距离为t ,则需满足d =r -t .图① 图②由图①②可知,若圆上恰有两个点到直线的距离为t ,则需满足r -t <d <r +t . 若圆上恰有四点到直线的距离为t ,则需满足d <r -t . [跟进训练]1.已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( ) A .相切 B .相交 C .相离 D .不确定B [因为M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,所以a 2+b 2>1,而圆心O 到直线ax +by =1的距离d =1a 2+b 2<1,所以直线与圆相交.]2.若直线l :x +y =m 与曲线C :y =1-x 2有且只有两个公共点,则m 的取值范围是 .[1,2) [画出图象如图,当直线l 经过点A ,B 时,m =1,此时直线l 与曲线y =1-x 2有两个公共点;当直线l 与曲线相切时,m =2,因此当1≤m <2时,直线l :x +y =m 与曲线y =1-x 2有且只有两个公共点.]考点二 圆与圆的位置关系几何法判断圆与圆的位置的步骤(1)确定两圆的圆心坐标和半径长.(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d 和r 1+r 2,|r 1-r 2|的值. (3)比较d ,r 1+r 2,|r 1-r 2|的大小,写出结论.[典例2] 已知两圆x 2+y 2-2x -6y -1=0和x 2+y 2-10x -12y +m =0.求 (1)m 取何值时两圆外切?(2)m 取何值时两圆内切,此时公切线方程是什么?(3)求m =45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. [解] 两圆的标准方程分别为(x -1)2+(y -3)2=11, (x -5)2+(y -6)2=61-m , 圆心分别为M (1,3),N (5,6), 半径分别为11和61-m .(1)当两圆外切时, (5-1)2+(6-3)2=11+61-m .解得m =25+1011.(2)法一:(作差法)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-2x -6y -1=0,x 2+y 2-10x -12y +m =0,两式相减得8x +6y -1-m =0. 又两圆相内切, ∴61-m -11=5,∴m =25-1011.∴所求公切线方程为4x +3y +511-13=0.法二:(直接法)当两圆内切时,两圆圆心间距离等于两圆半径之差的绝对值. 故有61-m -11=5,解得m =25-1011. 因为k MN =6-35-1=34,所以两圆公切线的斜率是-43.设切线方程为y =-43x +b ,则有⎪⎪⎪⎪43×1+3-b ⎝⎛⎭⎫432+1=11.解得b =133±5311.容易验证,当b =133+5311时,直线与圆x 2+y 2-10x -12y +m =0相交,舍去.故所求公切线方程为y =-43x +133-5311,即4x +3y +511-13=0.(3)两圆的公共弦所在直线的方程为(x 2+y 2-2x -6y -1)-(x 2+y 2-10x -12y +45)=0,即4x +3y -23=0.由圆的半径、弦长、弦心距间的关系,不难求得公共弦的长为2×(11)2-⎝⎛⎭⎪⎪⎫|4+3×3-23|42+322=27. 点评:求两圆的公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d ,半径长l2,半径r 构成直角三角形,利用勾股定理求解.[跟进训练]1.已知圆M :x 2+y 2-2ay =0(a >0)截直线x +y =0所得线段的长度是22,则圆M 与圆N :(x -1)2+(y -1)2=1的位置关系是( )A .内切B .相交C .外切D .相离B [由题意得圆M 的标准方程为x 2+(y -a )2=a 2,圆心(0,a )到直线x +y =0的距离d =a2,所以2a 2-a 22=22,解得a =2,圆M ,圆N 的圆心距|MN |=2小于两圆半径之和3,大于两圆半径之差1,故两圆相交.]2.(2020·南通模拟)已知点A (0,2),O (0,0),若圆C :(x -a )2+(y -a +2)2=1上存在点M ,使MA →·MO →=3,则圆心C 的横坐标a 的取值范围为 .[0,3] [设M (x ,y ),因为A (0,2),O (0,0), 所以MA →=(-x,2-y ),MO →=(-x ,-y ). 因为MA →·MO →=3,所以(-x )(-x )+(2-y )(-y )=3, 化简得:x 2+(y -1)2=4,所以M 点的轨迹是以(0,1)为圆心,2为半径的圆. 因为M 在C :(x -a )2+(y -a +2)2=1上, 所以两圆必须相交或相切. 所以1≤(a -0)2+[(a -2)-1]2≤3,解得0≤a ≤3.所以圆心C 的横坐标a 的取值范围为[0,3].] 考点三 直线、圆的综合问题几何法解决直线与圆的综合问题(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形.(2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.[典例3-1] 已知点P (2+1,2-2),点M (3,1),圆C :(x -1)2+(y -2)2=4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程;(2)求过点M 的圆C 的切线方程,并求出切线长. [解] 由题意得圆心C (1,2),半径r =2. (1)∵(2+1-1)2+(2-2-2)2=4, ∴点P 在圆C 上.又k PC =2-2-22+1-1=-1,∴切线的斜率k =-1k PC=1. ∴过点P 的圆C 的切线方程是 y -(2-2)=x -(2+1), 即x -y +1-22=0.(2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4, ∴点M 在圆C 外部.当过点M 的直线斜率不存在时,直线方程为x =3, 即x -3=0.又点C (1,2)到直线x -3=0的距离d =3-1=2=r , 即此时满足题意,所以直线x =3是圆的切线. 当切线的斜率存在时,设切线方程为y -1=k (x -3), 即kx -y +1-3k =0,则圆心C 到切线的距离d =|k -2+1-3k |k 2+1=r =2,解得k =34.∴切线方程为y -1=34(x -3),即3x -4y -5=0.综上可得,过点M 的圆C 的切线方程为x -3=0或3x -4y -5=0. ∵|MC |=(3-1)2+(1-2)2=5,∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2-r 2=5-4=1.点评:(1)已知切点常用“圆心与切点的连线垂直于切线”这个条件求解,也可利用向量法求解:如图O 是圆心,A 是切点,P 是切线l 上任意一点,则OA →·AP →=0.(2)过圆外一点(x 0,y 0)的圆的切线方程的求法:当斜率存在时,设为k ,则切线方程为y -y 0=k (x -x 0),即kx -y +y 0-kx 0=0,由圆心到直线的距离等于半径,即可得出切线方程.提醒:过圆上一点有且只有一条切线,过圆外一点,一定有两条切线.弦长问题[典例3-2] (1)设圆x 2+y 2-2x -2y -2=0的圆心为C ,直线l 过(0,3),且与圆C 交于A ,B 两点,若|AB |=23,则直线l 的方程为( )A .3x +4y -12=0或4x -3y +9=0B .3x +4y -12=0或x =0C .4x -3y +9=0或x =0D .3x -4y +12=0或4x +3y +9=0(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l :mx +y +3m -3=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点.若|AB |=23,则|CD |= .(1)B (2)4 [(1)当直线l 的斜率不存在时,直线l 的方程为x =0,联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,x 2+y 2-2x -2y -2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =0,y =1-3或⎩⎪⎨⎪⎧x =0,y =1+3,∴|AB |=23,符合题意.当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y =kx +3,∵圆x 2+y 2-2x -2y -2=0,即(x -1)2+(y -1)2=4,其圆心为C (1,1),圆的半径r =2,圆心C (1,1)到直线y =kx +3的距离d =|k -1+3|k 2+1=|k +2|k 2+1,∵d 2+⎝⎛⎭⎫|AB |22=r 2,∴(k +2)2k 2+1+3=4,解得k =-34,∴直线l 的方程为y =-34x +3,即3x +4y -12=0.综上,直线l 的方程为3x +4y -12=0或x =0.故选B .(2)由直线l :mx +y +3m -3=0知其过定点(-3,3),圆心O 到直线l 的距离为d =|3m -3|m 2+1.由|AB |=23得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m -3m 2+12+(3)2=12,解得m =-33.又直线l 的斜率为-m =33,所以直线l 的倾斜角α=π6.画出符合题意的图形如图所示,过点C 作CE ⊥BD ,则∠DCE =π6.在Rt △CDE 中,可得|CD |=|AB |cos α=23×23=4.] 点评:求圆的弦长问题,注意应用圆的性质解题,即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率之积为-1列方程来简化运算.提醒:对于已知弦长求直线方程的问题,若弦是直径有且只有一条,否则一定有两条.常因漏掉直线斜率不存在的情形致误,如本例(1).探索性问题[典例3-3] 已知直线l :4x +3y +10=0,半径为2的圆C 与l 相切,圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.(1)求圆C 的方程;(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方),问在x 轴正半轴上是否存在定点N ,使得x 轴平分∠ANB ?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.[解] (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎫a >-52,则|4a +10|5=2⇒a =0或a =-5(舍).所以圆C :x 2+y 2=4.(2)当直线AB ⊥x 轴时,x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),N (t,0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=4y =k (x -1) 得,(k 2+1)x 2-2k 2x +k 2-4=0, 所以x 1+x 2=2k 2k 2+1,x 1x 2=k 2-4k 2+1.若x 轴平分∠ANB ,则k AN =-k BN ⇒y 1x 1-t +y 2x 2-t =0⇒k (x 1-1)x 1-t +k (x 2-1)x 2-t=0⇒2x 1x 2-(t +1)(x 1+x 2)+2t =0⇒2(k 2-4)k 2+1-2k 2(t +1)k 2+1+2t =0⇒t =4,所以当点N 为(4,0)时,能使得∠ANM =∠BNM 总成立.点评:本例是探索性问题,求解的关键是把几何问题代数化,即先把条件“x 轴平分∠ANB ”等价转化为“直线斜率的关系:k AN =-k BN ”,然后借助方程思想求解. [跟进训练] 1.由直线y =x +1上的动点P 向圆C :(x -3)2+y 2=1引切线,则切线长的最小值为( )A .1B .2 2C .7D .3C [如图,切线长|PM |=|PC |2-1,显然当|PC |为C 到直线y =x +1的距离,即3+12=22时,|PM |最小为7,故选C .]2.(2020·长春模拟)已知在圆x 2+y 2-4x +2y =0内,过点E (1,0)的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ,则四边形ABCD 的面积为( )A .3 5B .6 5C .415D .215D [将圆的方程化为标准方程得(x -2)2+(y +1)2=5,圆心坐标为F (2,-1),半径r =5,如图,显然过点E 的最长弦为过点E 的直径,即|AC |=25,而过点E 的最短弦为垂直于EF 的弦,|EF |=(2-1)2+(-1-0)2=2, |BD |=2r 2-|EF |2=23,∴S 四边形ABCD =12|AC |×|BD |=215.] 3.已知圆O :x 2+y 2=2,直线l :y =kx -2.(1)若直线l 与圆O 相切,求k 的值;(2)若直线l 与圆O 交于不同的两点A ,B ,当∠AOB 为锐角时,求k 的取值范围;(3)若k =12,P 是直线l 上的动点,过P 作圆O 的两条切线PC ,PD ,切点为C ,D ,探究:直线CD 是否过定点.[解] (1)∵圆O :x 2+y 2=2,直线l :y =kx -2,直线l 与圆O 相切,∴圆心O (0,0)到直线l 的距离等于半径r =2,即d =|-2|k 2+1=2,解得k =±1.(2)设A ,B 的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),将直线l :y =kx -2代入x 2+y 2=2,整理得(1+k 2)x 2-4kx +2=0,∴x 1+x 2=4k 1+k 2,x 1x 2=21+k 2, Δ=(-4k )2-8(1+k 2)>0,即k 2>1,当∠AOB 为锐角时,OA →·OB →=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1-2)(kx 2-2)=(1+k 2)x 1x 2-2k (x 1+x 2)+4=6-2k 21+k 2>0, 解得k 2<3,又k 2>1,∴-3<k <-1或1<k < 3.故k 的取值范围为(-3,-1)∪(1, 3 ).(3)由题意知O ,P ,C ,D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上. 设P ⎝⎛⎭⎫t ,12t -2,以OP 为直径的圆的方程为x (x -t )+y ⎝⎛⎭⎫y -12t +2=0, ∴x 2-tx +y 2-⎝⎛⎭⎫12t -2y =0,又C ,D 在圆O :x 2+y 2=2上,两圆作差得l CD :tx +⎝⎛⎭⎫12t -2y -2=0,即⎝⎛⎭⎫x +y 2t -2y -2=0,由⎩⎪⎨⎪⎧ x +y 2=0,2y +2=0,得⎩⎪⎨⎪⎧ x =12,y =-1,∴直线CD 过定点⎝⎛⎭⎫12,-1.。

(新课标)高考数学大一轮复习第八章平面解析几何46直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业文

(新课标)高考数学大一轮复习第八章平面解析几何46直线与圆、圆与圆的位置关系课时作业文

A. [0,4] C. [0,2]
B. [0,3] D. [0,1]
解析: 设圆心为 B,则 B(0,3) ,圆心 B 到直线 l 的距离 d 的最大值为 | AB| =4,最小值
为 0( 此时直线 l 过圆心 ) ,故选 A.
答案: A
3.已知点 P( a, b)( ab≠0) 是圆 O: x2+y2= r 2( r >0) 内一点,直线 m是以 P 为中点的弦
23
所截得的弦长为 6,则 a+ b的最小值为 (
)
A. 10
B. 4+ 2 6
C. 5+ 2 6
D. 4 6
解析: 圆 x2+y2+ 4x- 4y- 1= 0 的标准方程为 ( x+ 2) 2+( y- 2) 2=9,由于弦长为 6,即
为直径,所以直线过圆心
2 3 23
( - 2,2)
,即-
2a- 2b+ 2 = 0, a+ b= 1,则
2- 0 的切线垂直,∴ kCP= 2- 1= 2. 又过点 P 的切线与直线 ax- y+ 1= 0 垂直,∴ a= kCP= 2. 选 C.
答案: C 2.(2016 ·陕西质检 ) 若过点 A(0 ,- 1) 的直线 l 与圆 x2+ ( y- 3) 2= 4 的圆心的距离记
为 d,则 d 的取值范围为 ( )
l 1: 2x- y+ a= 0, l 2: 2x-y+ a2+ 1= 0 和圆: x2+ y2
+ 2x-4= 0 相切,则 a 的取值范围是 ( )
A. a>7 或 a<- 3
B. a> 6或 a<- 6
C.- 3≤ a≤- 6或 6 ≤a≤7
D. a≥7或 a≤- 3
解析: 圆 ( x+ 1) 2+ y2= 5,圆心 ( - 1,0) , r = 5,两直线分别与圆相切时对应的 a 的边
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课时作业55 直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1.若直线2x +y +a =0与圆x 2+y 2+2x -4y =0相切,则a 的值为( ) A .± 5 B .±5 C .3D .±3解析:圆的方程可化为(x +1)2+(y -2)2=5,因为直线与圆相切,所以有|a |5=5,即a =±5.答案:B2.直线x +2y -5+5=0被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长为( ) A .1 B .2 C .4D .4 6解析:依题意,圆的圆心为(1,2),半径r =5,圆心到直线的距离d =|1+4-5+5|5=1,所以结合图形可知弦长的一半为r 2-d 2=2,故弦长为4.答案:C3.已知直线l 经过点M (2,3),当圆(x -2)2+(y +3)2=9截l 所得弦长最长时,直线l 的方程为( )A .x -2y +4=0B .3x +4y -18=0C .y +3=0D .x -2=0解析:∵圆(x -2)2+(y +3)2=9截l 所得弦长最长,∴直线l 经过圆(x -2)2+(y +3)2=9的圆心(2,-3).又直线l 经过点M (2,3),∴直线l 的方程为x -2=0.答案:D4.若圆x 2+y 2+2x -4y +m =0(m <3)的一条弦AB 的中点为P (0,1),则垂直于AB 的直径所在直线的方程为( )A .x -y +1=0B .x +y -1=0C .x -y -1=0D .x +y +1=0解析:由圆的方程得该圆圆心为C (-1,2),则CP ⊥AB ,且直线CP 的斜率为-1,故垂直于AB 的直径所在直线的方程为y -1=-x ,即x +y -1=0.答案:B5.过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( )A.33 B .-33C .±33D .- 3解析:由y =1-x 2得x 2+y 2=1(y ≥0),即该曲线表示圆心在原点,半径为1的半圆,如图所示.故S △AOB =12|OA |·|OB |·sin ∠AOB =12sin ∠AOB .所以当sin ∠AOB =1,即OA ⊥OB 时,S△AOB取得最大值,此时点O 到直线l 的距离d =|OA |·sin45°=22.设此时直线l 的斜率为k ,则l 的方程为y =k (x -2),即kx -y -2k =0,则有22=|0-0-2k |k 2+1,解得k =±33,由图可知直线l 的倾斜角为钝角,故取k =-33. 答案:B6.两圆相交于(1,3)和(m ,-1)两点,两圆圆心都在直线x -y +c =0上,且m ,c 均为实数,则m +c =( )A .0B .1C .2D .3解析:根据两圆相交的性质可知,点(1,3)和(m ,-1)的中点⎝⎛⎭⎪⎫1+m 2,1在直线x -y +c =0上,且过两点的直线与x -y +c =0垂直,故有⎩⎪⎨⎪⎧1+m2-1+c =0,3-(-1)1-m ×1=-1,解得⎩⎪⎨⎪⎧m =5,c =-2,∴m +c =3.答案:D 二、填空题7.已知圆C 过点(1,0),且圆心在x 轴的正半轴上,直线l :y =x -1被圆C 所截得的弦长为22,则过圆心且与直线l 垂直的直线的方程为________.解析:由题意,设所求的直线方程为x +y +m =0,设圆心坐标为(a ,0),则由题意知⎝ ⎛⎭⎪⎫|a -1|22+2=(a -1)2,解得a =3或a =-1,又因为圆心在x 轴的正半轴上,所以a =3,故圆心坐标为(3,0).因为圆心(3,0)在所求的直线上,所以有3+0+m =0,即m =-3,故所求的直线方程为x +y -3=0.答案:x +y -3=08.若圆x 2+y 2=4与圆x 2+y 2+2ay -6=0(a >0)的公共弦长为23,则a =________. 解析:两圆方程作差易知弦所在直线方程为y =1a,如图,由已知|AC |=3,|OA |=2,有|OC |=1a=1,∴a =1.答案:19.圆心在曲线y =-3x(x >0)上,且与直线3x -4y +3=0相切的面积最小的圆的方程是________.解析:因为圆心在曲线y =-3x(x >0)上,所以设圆心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a ,-3a (a >0),则半径r=⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a +12a +332+(-4)2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪3a +12a +35,圆的面积最小即为半径r 最小.因为a >0,所以由基本不等式得3a +12a≥12,当且仅当a =2时等号成立,此时r 取得最小值3,故圆的面积最小时,圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2,-32,半径为3,所以圆的方程为(x -2)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +322=9.答案:(x -2)2+⎝ ⎛⎭⎪⎫y +322=9三、解答题10.已知点P (2+1,2-2),点M (3,1),圆C :(x -1)2+(y -2)2=4. (1)求过点P 的圆C 的切线方程;(2)求过点M 的圆C 的切线方程,并求出切线长. 解:由题意得圆心C (1,2),半径r =2. (1)∵(2+1-1)2+(2-2-2)2=4, ∴点P 在圆C 上.又k PC =2-2-22+1-1=-1,∴切线的斜率k =-1k PC=1.∴过点P 的圆C 的切线方程是y -(2-2)=x -(2+1),即x -y +1-22=0. (2)∵(3-1)2+(1-2)2=5>4, ∴点M 在圆C 外部.当过点M 的直线斜率不存在时,直线方程为x =3,即x -3=0. 又点C (1,2)到直线x -3=0的距离d =3-1=2=r ,即此时满足题意, 所以直线x =3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y -1=k (x -3), 即kx -y +1-3k =0, 则圆心C 到切线的距离d =|k -2+1-3k |k 2+1=r =2,解得k =34.∴切线方程为y -1=34(x -3),即3x -4y -5=0.综上可得,过点M 的圆C 的切线方程为x -3=0或3x -4y -5=0. ∵|MC |=(3-1)2+(1-2)2=5,∴过点M 的圆C 的切线长为|MC |2-r 2=5-4=1.11.已知圆C :x 2+y 2-6x -4y +4=0,直线l 1被圆所截得的弦的中点为P (5,3). (1)求直线l 1的方程;(2)若直线l 2:x +y +b =0与圆C 相交,求b 的取值范围;(3)是否存在常数b ,使得直线l 2被圆C 所截得的弦的中点落在直线l 1上?若存在,求出b 的值;若不存在,说明理由.解:(1)圆C 的方程化标准方程为:(x -3)2+(y -2)2=9,于是圆心C (3,2),半径r =3.若设直线l 1的斜率为k 则:k =-1k PC =-112=-2.所以直线l 1的方程为:y -3=-2(x -5), 即2x +y -13=0.(2)因为圆的半径r =3,所以要使直线l 2与圆C 相交, 则须有:|3+2+b |2<3,所以|b +5|<32,于是b 的取值范围是: -32-5<b <32-5.(3)设直线l 2被圆C 截得的弦的中点为M (x 0,y 0), 则直线l 2与CM 垂直,于是有:y 0-2x 0-3=1, 整理可得:x 0-y 0-1=0. 又因为点M (x 0,y 0)在直线l 2上, 所以x 0+y 0+b =0.所以由⎩⎪⎨⎪⎧x 0-y 0-1=0,x 0+y 0+b =0解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0=1-b2,y 0=-1+b2, 代入直线l 1的方程得:1-b -1+b2-13=0,于是b =-253∈(-32-5,32-5),故存在满足条件的常数b .1.(2016·河北唐山一模)已知圆C :x 2+y 2=1,点M (t ,2),若C 上存在两点A ,B 满足MA ―→=AB ―→,则t 的取值范围是( )A .[-2,2]B .[-3,3]C .[-5,5] D .[-5,5]解析:如图,设A (x ,y ),∵MA ―→=AB ―→,∴A 为MB 的中点,∴点B 的坐标为(2x -t ,2y-2).∵A ,B 均在圆C :x 2+y 2=1上,∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=1,(2x -t )2+(2y -2)2=1, 即⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=1,⎝⎛⎭⎪⎫x -t 22+(y -1)2=⎝ ⎛⎭⎪⎫122.由题意得,方程组有解,即等价于以⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2,1为圆心,12为半径的圆与圆C 有交点.∴1-12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22+12≤1+12⇒-5≤t ≤5,即实数t 的取值范围是[-5,5].答案:C2.(2016·甘肃兰州双基)已知AC ,BD 为圆O :x 2+y 2=4的两条互相垂直的弦,且垂足为M (1,2),则四边形ABCD 面积的最大值为( )A .5B .10C .15D .20解析:如图,作OP ⊥AC 于点P ,OQ ⊥BD 于点Q ,则OP 2+OQ 2=OM 2=3,于是AC 2+BD 2=4(4-OP 2)+4(4-OQ 2)=20.又AC 2+BD 2≥2AC ·BD ,则AC ·BD ≤10,所以S 四边形ABCD =12AC ·BD ≤12×10=5,当且仅当AC =BD =10时等号成立.故四边形ABCD 面积的最大值为5.答案:A3.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.解析:由mx -y -2m -1=0可得m (x -2)=y +1,则知该直线过定点P (2,-1),那么所有的圆中,半径最大的圆的半径为r =|PC |=(1-2)2+(0+1)2=2,故所求的圆的标准方程为(x -1)2+y 2=2.答案:(x -1)2+y 2=24.已知圆心为C 的圆,满足下列条件:圆心C 位于x 轴正半轴上,与直线3x -4y +7=0相切,且被y 轴截得的弦长为23,圆C 的面积小于13.(1)求圆C 的标准方程;(2)设过点M (0,3)的直线l 与圆C 交于不同的两点A ,B ,以OA ,OB 为邻边作平行四边形OADB .是否存在这样的直线l ,使得直线OD 与MC 恰好平行?如果存在,求出l 的方程;如果不存在,请说明理由.解:(1)设圆C :(x -a )2+y 2=R 2(a >0),由题意知⎩⎪⎨⎪⎧|3a +7|32+42=R a 2+3=R,解得a =1或a =138,又∵S =πR 2<13,∴a =1, ∴圆的方程为(x -1)2+y 2=4.(2)当斜率不存在时,直线l 为:x =0,不满足题意. 当斜率存在时,设直线l :y =kx +3,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), 又∵l 与圆C 相交于不同的两点,联立⎩⎪⎨⎪⎧y =kx +3(x -1)2+y 2=4,消去y 得: (1+k 2)x 2+(6k -2)x +6=0, ∴Δ=(6k -2)2-24(1+k 2) =12k 2-24k -20>0, 解得k <1-263或k >1+263.x 1+x 2=-6k -21+k2,y 1+y 2 =k (x 1+x 2)+6=2k +61+k2,OD ―→=OA ―→+OB ―→=(x 1+x 2,y 1+y 2),MC ―→=(1,-3),假设OD ―→∥MC ―→,则-3(x 1+x 2)=y 1+y 2, ∴3×6k -21+k 2=2k +61+k2,解得k =34∉(-∞,1-263)∪(1+263,+∞),假设不成立,∴不存在这样的直线l .。

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