一元二次方程解题常见误区

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一元二次函数易错题解析

一元二次函数易错题解析一、标题解析《一元二次函数易错题解析》这个标题主要是针对一元二次函数相关题目中常见错误进行解析，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、易错点分析1. 忽视函数定义域：在一元二次函数的表达式中，必须保证二次项系数不为零，否则函数将无法定义。

例如，表达式x²-2x+3必须保证x不为0，否则会出现定义域错误。

2. 忽视图像性质：一元二次函数的图像是抛物线，具有对称性、开口方向、顶点坐标等性质。

在解题过程中，需要充分考虑这些性质，才能正确解题。

3. 忽视隐含条件：一元二次函数表达式中，常常隐含着一些条件，如判别式Δ>0或Δ=0或Δ<0的情况，需要充分考虑这些条件才能避免错误。

4. 混淆概念：一元二次函数与一元一次函数、反比例函数等其他函数容易混淆，导致解题错误。

三、易错题解析【例题1】（易错题）已知一元二次函数f(x) = x²-2x+3在区间[2,3]上的最大值是M，最小值是m，求M+m的值。

【错解】由题意得，一元二次函数f(x)的图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=1，顶点坐标为(1,2)。

当x=2时，f(x)取最小值m=3；当x=3时，f(x)取最大值M=6。

所以M+m=9。

【解析】上述解法忽视了函数的定义域，导致在求最小值时误将区间端点值代入表达式。

正确解法如下：【解答】由题意得，一元二次函数f(x)的定义域为R。

Δ=(-2)²-4×1×3=-8<0，所以一元二次函数f(x)的图像与x轴无交点。

因此M+m=f(x)在区间[2,3]上的最大值M+最小值m=f(2)+f(3)=5+6=11。

【例题2】（易错题）已知一元二次函数f(x) = x²-4x+5在区间[3,4]上的最大值是M，求M的值。

【错解】由题意得，一元二次函数f(x)的图像为开口向上的抛物线，对称轴为x=2。

当x=4时，f(x)取最大值M。

解一元二次方程易错点解析

易错点解读：在已知根的情况下求方程的中字
母系数的取值时，常常容易忽略一元二次方程的项系数必须不为的条件。
交流探索
.方程（k+1）x2+2x-1=0有实根，求k值.
反思
今天有收获吗？整理在你的学案上
易错点2：不能正确运用公式法解一元二次方程
例2：用公式法解方程 2 x 2 5 x 3 解题策略：当运用公式法解一元二次方程时，
应先将方程化为前面的符号。
，且不能忽略系数
易错点3：不能正确运用根的判别式
例3：当为何值时，方程
(m 2) x 2 x 1 0
解一元二次方程易错点解析
陈集一中卢磊
易错点1：对一元二次方程的定义理解不透彻
例1： m为何值时，关于的方程
(m 2)x
m
2
( m 3) x 4 m
是一元二次方程？
易错点解读：当一元二次方程的二次项系数及
未知数的最高次数含字母时，必须保证二次项系数，且未知数的最高次数为。

专题08 易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型(解析版)

专题08易错易混集训：一元二次方程之五大易错类型【考点导航】目录【典型例题】 (1)【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“a ≠0”】.......................................................................1【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略“a ≠0”】...........................................................................3【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a ≠0”】...........................................................7【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】...........................................................................11【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】 (14)【典型例题】【易错类型一利用方程的定义求待定系数时忽略“a ≠0”】例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如果方程（m ﹣3）27m x -﹣x +3＝0是关于x 的一元二次方程，那么m 的值为（）A ．±3B ．3C ．﹣3D ．都不对【答案】C【分析】利用一元二次方程定义可得m 2-7=2，且m -3≠0，再解出m 的值即可．【详解】解：由题意得：m 2-7=2，且m -3≠0，解得：m =-3，故选：C ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．【变式训练】【易错类型二利用方程的解求待定系数时忽略“a≠0”】【变式训练】1．（2023·山东泰安·新泰市实验中学校考一模）关于x 的一元二次方程()22110a x x a --+-=的一个根为0，则实数a 的值是（）A ．1B ．1-C ．0D ．1±【答案】B【分析】根据一元二次方程解的定义得到210a -=，再解关于a 的方程，然后根据一元二次方程定义确定a 的值．【详解】解：把0x =代入一元二次方程()22110a x x a --+-=得210a -=，解得121,1a a ==-，而10a -≠，a ∴的值为1-，故选：B ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定义，解题的关键是注意10a -≠．2．（2023春·浙江·八年级期中）若关于x 的一元二次方程()22110a x x a -+-+=有一个根为0，则a 的值等于（）A ．1-B ．0C ．1D ．1或者1-【易错类型三利用判别式求字母的值或取值范围时忽略“a ≠0”】例题：（2023春·吉林长春·八年级长春外国语学校校考期末）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x --+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．21k k ≤-≠且B ．21k k ≤≠且C ．21k k ≥-≠且D ．2k ≥【答案】B【分析】根据方程有两个实数根，得出0∆≥且10k -≠，求出k 的取值范围，即可得出答案．【详解】解：由题意知，24441840b ac k k ∆=-=--=-≥（），且10k -≠，解得：2k ≤，且1k ≠，则k 的取值范围是2k ≤，且1k ≠，故选：B ．【点睛】此题考查了根的判别式，（1）一元二次方程根的情况与判别式∆的关系：①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根；②0∆=⇔方程有两个相等的实数根；③0∆⇔＜方程没有实数根．（2）一元二次方程的二次项系数不为0．【变式训练】1．（2023·云南楚雄·统考一模）已知一元二次方程210mx mx +-=有两个相等的实数根，则m 的值为（）A ．0m =B ．4m =-C ．0m =，或4m =D ．0m =，或4m =-【答案】B【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根可知Δ0=，即可求出m 的值．【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根，2+4(+4)0m m m m ∴∆===，∴0m =，或4m =-.m ≠ 4m ∴=-故选：B ．【点睛】本题考查根的判别式，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．2．（2023·四川巴中·校考二模）已知关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．1m <-B ．1m >-C ．1m <-且0m ≠D ．10m m >-≠且【答案】D【分析】由关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得0m ≠且0∆>，即()22410m -⨯->，两个不等式的公共解即为m 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210mx x +-=有两个不相等的实数根，∴()20Δ2410m m ≠⎧⎨=-⨯->⎩，解得1m >-且0m ≠，∴m 的取值范围为1m >-且0m ≠．故选：D ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，根据题意列出不等式组是解题的关键．()200++=≠的根与判别式24ax bx c a∆=-的关系是解答本题的关键．b ac【易错类型四利用根与系数关系求值时忽略“△≠0”】【变式训练】【分析】利用一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根求出m 的取值范围，由根与系数关系得到212122,2x x m x x m m +=-=-+，代入12122x x x x ++⋅=，解得m 的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22220x mx m m ++-+=有两个不相等．．．．．的实数根，∴()()22242480m m m m ∆=--+=->，解得m>2，∵212122,2x x m x x m m +=-=-+，12122x x x x ++⋅=，∴2222m m m -+-+=，解得123,0m m ==（不合题意，舍去），∴3m =故答案为：3【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的判别式和根与系数关系的内容是解题的关键．2．（2023春·黑龙江大庆·八年级统考阶段练习）已知关于x 的方程220x x m ++=有两个不相等的实数根．(1)求m 的取值范围．(2)若两个实数根分别是1x ，2x ，且21212(1)2()0x x x x -++=，求m 的值．【答案】(1)1m <(2)1m =-【分析】（1）根据题意可得0∆>，继而求得实数m 的取值范围；（2）由方程的两个实数根为1x 、2x ，且2221212()7x x x x ++=，可得方程2230m m +-=，解关于m 的方程求得答案．【详解】（1）解：关于x 的一元二次方程220x x m ++=有两个不相等的实数根．∴2242410b ac m ∆=-=-⨯⨯>，即1m <；（2）解：由根与系数的关系可知：122x x +=-，12x x m ⋅=，21212(1)2()0x x x x -++=，2(1)40m ∴--=【易错类型五与几何图形结合时取舍不当或考虑不全】将2k =代入()23390x k x k -++=得：29180x x -+=解得：．123,6x x ==，此时能构成三角形，ABC 的周长为：63615++=若6a =为底，则b c =，即方程()23390x k x k -++=有两个相等的实根．∴()233490k k ∆=-+-⨯=⎡⎤⎣⎦解得：121k k ==将1k =代入()23390x k x k -++=得：2690x x -+=解得：．123x x ==，∵336+=∴此时不能构成三角形，不能计算周长综上可得：ABC 的周长为15．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、一元二次方程的根、一元二次方程的解法、根的判别式等知识，按若a 是否为底边分类讨论和构成三角形的条件是解题的关键．特别注意验证是否能构成三角形．【变式训练】1．（2023春·黑龙江大庆·八年级校联考期中）方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个三角形的周长是（）A ．12B ．15C ．12或15D ．18或9【答案】B【分析】先利用因式分解的方程求出一元二次方程的两个根，然后分别讨论两个根为底边时能否构成三角形，最后求解即可．【详解】解：∵29180x x -+=，∴()()360x x --=，解得：1263x x ==，，∵当底为6，腰为3时，由于336+=，不符合三角形三边关系，∴等腰三角形的腰为6，底为3，∴周长为66315++=，故选B ．。

一元二次方程解题常见误区

谨防一元二次方程中的“陷阱”陷阱一：忽视二次项系数不为0.例1 当k 为何值时，关于x 的一元二次方程01)12()1(2=++-+-k x k x k 有两个不相等的实数根？错解：因为一元二次方程有两个不相等的实数根，所以△＞0，即)1)(1(4)12(2+---k k k ＞0，所以45<k . 剖析：此题仍忽视了二次项的系数不能为0， 01≠-k ，即1≠k . 正解：当45<k 且1≠k 时，方程有两个不相等的实数根. 陷阱二：约去方程两边的未知数例2 解方程x x x 3)12(=-.错解：方程两边同时除以未知数x ，得312=-x ，所以2=x .剖析：错在方程两边同时除以未知数x ，因为x 的值不能确定，所以当0=x 时，相当于方程两边同时除以0.正解：03)12(=--x x x ，0)312(=--x x ，所以0=x 或0312=--x ，所以0=x 或2=x ，所以原方程的解为01=x 或22=x .陷阱三：忽视题中的隐含条件例3 已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程01)12(22=++++m x m x 的两个实数根.（1）用含有m 的代数式表示2221x x +；（2）当152221=+x x 时，求m 的值.错解：（1）由根与系数的关系知)12(21+-=+m x x ，1221+=⋅m x x ，所以2122122212)(x x x x x x -+=+ 142)1(2)]12([222-+=+-+-=m m m m .（2）因为152221=+x x ，所以151422=-+m m ，解得2,421=-=m m .剖析：错解忽略了方程有两个实数根，即△＞0这一条件.正解：当4-=m 时，方程为01772=+-x x .此时△=19174)7(2-=⨯--＜0，方程无实数根，不合题意舍去.当2=m 时，方程为0552=++x x .此时△=55452=⨯-＞0，方程有两个实数根.所以当152221=+x x 时，2-=m .。

一元二次方程中常见的错误分析

一元二次方程中常见的错误分析在复习一元二次方程时，学生出现以下失误，主要原因是对知识点掌握不扎实；应用不熟练。

1、利用方程的解时忽略二次项系数不为零的条件已知一元二次方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零，求m 的值.错解：∵方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零∴m 2+3m -4=0 即（m +4）（m -1）=0 ∴m 1=-4，m 2=1错误原因：忽略m -1≠0，因为一元二次方程的二次项系数不能为零。

正确解法：∵方程0437122=-+++-m m mx x m ）（有一个根为零∴m 2+3m -4=0 即（m +4）（m -1）=0 ∴m 1=-4，m 2=1 又∵m -1≠0 ∴m =42、利用根与系数的关系时，忽略一元二次方程根存在的条件。

已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=．（1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+在解（2）时，学生错误的解为：解：因为X 1、X 2是一元二次方程()2120x m x m --++=的两根，所以X 1X 2=m +2又方程的两实根之积292m m -+所以m +2=292m m -+解得：M 1=10 M 2=026错误分析：出错的原因没有对取得的m 值带入b 2-4ac 检验。

当m 值为0时，b 2-4ac ﹤0.以上这些错误，一说学生就明白，但是学生往往忽略这一点，我认为在复习过程，老师如果在审题及从题目考察知识点引导学生复习这部分内容，学生就能养成审题严密，考虑问题全面的能力。

学生在数学学习中犯错误，是由于重新构建数学知识过程中发生了偏差，它本身体现了数学学习的过程。

有道是失败是成功之母，学生在数学学习中犯错误并对错误加以认识和反思，恰恰是学生获得和巩固数学知识的重要途径。

因此，教师不仅不必担心，还要充分利用学生典型错误改善教学。

学习一元二次方程应注意的几个问题

学习一元二次方程应注意的几个问题一元二次方程是初中数学的重要内容之一，应用十分广泛。

为了帮助同学们学好这部分内容，现将一元二次方程的考点内容归类分析，谈谈学习一元二次方程时应注意的几个问题。

一、注意隐含条件一元二次方程中除了隐含着二次项系数a≠0和一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0）外，其他相关隐含条件也不能忽视。

例1 关于x的方程a2x2+（2a-1）x+1=0的两根互为倒数，求a的值。

错解：设已知方程的两根为α，β。

∵α与β互为倒数，∴αβ=1，即1a2=1。

∴a=±1。

剖析：上述解法中忽视了隐含条件“二次项系数a≠0”和“一元二次方程有实根的条件（判别式Δ≥0）”，因而答案错误。

正确答案应为a=-1。

例2 已知关于x的方程（1-2a）x2+2[]a+1x-1=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围。

错解：由1-2a≠0得a≠12。

由Δ=（2[]a+1）2-4（1-2a）（-1）=-4a+8>0，得a<2。

故答案为a<2且a≠12。

剖析：错解中忽略了被开方数非负这个条件，即a+1≥0，解得a≥-1，所以正确答案为-1≤a<2且a≠12。

二、注意方程“有实数根”和“有两个实数根”的区别方程“有实数根”说明该方程可能是一元二次方程，也可能是一元一次方程；方程“有两个实数根”说明该方程一定是一元二次方程。

例3 若关于x的方程ax2-4x+3=0有实数根，则a 的非负整数值是（）A。

1 [WB]B。

0，1C。

0，1，2[DW]D。

1，2，3错解：由题意，得a≠0且Δ=（-4）2-4×3a≥0，解得a≤43且a≠0。

故选A。

剖析：此题应分a=0和a≠0两种情况来考虑。

（1）当a=0时，x=43，方程有实根。

（2）当a≠0时，由Δ=（-4）2-4×3a≥0，得a ≤43且a≠0。

故a=1。

综上可知，a的非负整数值为0，1。

故选B。

三、注意实际问题中方程的根有意义的条件例4 一个三角形的最大边长是2[]3，其余两边是关于x的方程x2+（m-3）x-m+1=0的两个根，当m 为何值时，这个三角形是直角三角形？错解：设三角形两边为a，b，由题意，得[JB（{]a+b=-（m-3），ab=-m+1，a2+b2=（2[]3）2，[JB）]解得m=5或m=-1。

题目：《配方法解一元二次方程的常见错误》

题目：《配方法解一元二次方程的常见错误》配方法解一元二次方程的常见错误引言一元二次方程是中学数学中的常见问题，求解一元二次方程常常使用的方法之一是配方法。

然而，在应用配方法求解一元二次方程时，可能会出现一些常见的错误。

本文将介绍一些在使用配方法时常见的错误以及如何避免它们。

常见错误和解决方法错误1: 错误地处理系数配方法的核心是将一元二次方程变形为完全平方形式。

在这个过程中，经常会出现错误地处理方程中的系数。

例如，错误地对系数进行因式分解或未正确处理负号等。

解决方法：在使用配方法时，应仔细检查方程中的每个系数，并确保正确处理它们。

特别要注意符号和因式分解的准确性。

错误2: 错误地计算平方项配方法通过构造完全平方形式来求解一元二次方程。

然而，经常会出现错误地计算平方项的情况。

可能会忽略或错误地计算二次项和一次项的平方。

解决方法：在使用配方法时，必须准确计算平方项。

将注意力集中在正确计算平方项上，并仔细检查计算过程。

错误3: 错误地解方程在应用配方法之后，需要解出得到的完全平方形式的方程。

然而，常常会出现错误地解方程的情况。

可能会忽略解出的平方根存在正负两个解的可能性，或错误地对方程进行简化。

解决方法：在解方程时，应根据实际情况考虑两个解的可能性，并正确进行方程的简化。

借助合适的数学工具，如因式分解、开方等，确保正确解出方程。

结论配方法是求解一元二次方程的常用方法之一，但在应用配方法时容易出现错误。

本文介绍了一些常见的错误，包括错误处理系数、错误计算平方项和错误解方程等。

为避免这些错误，使用配方法时应仔细检查每个步骤，并确保正确处理系数、准确计算平方项和正确解方程。

一元二次方程易错点

一元二次方程易错点
一元二次方程易错点主要有：
1. 未正确识别方程的形式：有时候题目给出的方程可能不是标
准的一元二次方程形式，容易误以为是其他类型的方程。

因此，要注
意检查方程中是否有二次项、一次项和常数项，确保正确识别方程类型。

2. 错误地标记未知数：在解一元二次方程时，常常用字母表示
未知数，如通常用x表示。

然而，在一些情况下，可能会错误地将其
他字母或符号当作未知数。

因此，应该仔细检查并确保正确标记未知数。

3. 求平方根时忽略正负号：在解一元二次方程时，通常需要使
用平方根。

但容易忽略平方根的正负号，导致忽略了可能存在的另一
个解。

解决这个问题的方法是在解方程时考虑两个解，一个是取正平
方根，另一个是取负平方根。

4. 运算错误导致计算结果出错：在解一元二次方程时，可能会
有繁琐的运算过程，容易出现计算错误。

例如，错误地计算平方项、
未正确对齐等。

为避免这些错误，应该仔细地进行每一步的运算、检
查计算过程和结果。

5. 未检查解是否符合题目条件：解一元二次方程后，得到的解
有时候需要符合题目中给出的条件。

如果未仔细检查解是否满足条件，可能会得到不正确的结果。

因此，在解完方程后，应该将解代入原方
程中检查是否成立。

以上就是一元二次方程易错点的一些常见问题，注意避免这些错误，能够提高解题的准确性。

第07讲一元二次方程(易错点梳理+微练习)(解析版)

第07讲一元二次方程易错点梳理易错点梳理易错点01忽略一元二次方程中0 a 这一条件在解与一元二次方程定义有关的问题时，一定要注意一元二次方程的二次项系数不等于0这一条件。

易错点02利用因式分解法解一元二次方程时出错（1）对因式分解法的基本思想理解不清，没有将方程化为两个一次因式相乘的形式；（2）在利用因式分解法解一元二次方程时忽略另一边要化成0；（3）产生丢根的现象，主要是因为在解方程时，出现方程两边不属于同解变形，解题时要注意方程两边不能同时除以一个含有未知数的项。

易错点03利用公式法解方程时未将方程化为一般形式在运用公式法解方程时，一定要先将方程化为一般形式，从而正确的确定c b a ,,，然后再代入公式。

易错点04根的判别式运用错误运用根的判别式判断一元二次方程的根的情况时，必须先把方程化为一般形式，正确的确定c b a ,,。

易错点05列方程解应用题时找错等量关系列方程解应用题的关键是找对等量关系，根据等量关系列方程。

例题分析考向01一元二次方程的有关概念例题1：（2021·山东聊城·中考真题）关于x 的方程x 2＋4kx ＋2k 2＝4的一个解是﹣2，则k 值为（）A ．2或4B ．0或4C ．﹣2或0D ．﹣2或2【答案】B例题2：（2021·贵州遵义·中考真题）在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝0【答案】B【思路分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【解析】解：小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：()()310,x x +-=即：2230,x x +-= 小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：()()540,x x -+=即：2200,x x --=从而正确的方程是：22200,x x +-=故选：.B 【点拨】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.考向02一元二次方程的解法例题3：（2013·浙江丽水·中考真题）一元二次方程()2x 616+=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x 64+=，则另一个一元一次方程是（）A ．x 64-=-B ．x 64-=C ．x 64+=D ．x 64+=-【答案】D【解析】将()2x 616+=两边开平方，得x 64+=±，则则另一个一元一次方程是x 64+=-．故选D ．例题4：（2021·内蒙古赤峰·中考真题）一元二次方程2820x x --=，配方后可形为（）A ．()2418x -=B ．()2414x -=C ．()2864x -=D ．()241x -=【答案】A【思路分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程作边写成完全平方形式即可【解析】解：2820x x --=x 2-8x =2，【点拨】本题考查了解一元二次方程-配方法：将一元二次方程配成（x +m ）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．考向03一元二次方程根的判别式和根与系数的关系例题5：（2021·广西河池·中考真题）关于x 的一元二次方程220x mx m +--=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．实数根的个数由m 的值确定【答案】A【思路分析】先确定a 、b 、c 的值，计算24b ac -的值进行判断即可求解．【解析】解：由题意可知：a =1，b =m ，c =-m -2，∴()()2222=4=41248244b ac m m m m m ∆--⨯⨯--=++=++≥，∴方程有两个不相等实数根．故选A.【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．例题6：（2021·山东济宁·中考真题）已知m ，n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，则代数式22m m n ++的值等于（）A ．2019B ．2020C ．2021D ．2022【答案】B 【思路分析】根据一元二次方程根的定义得到22021m m +=，则22=2021+m m n m n +++，再利用根与系数的关系得到1m n +=-，然后利用整体代入的方法计算．【解析】解：∵m 是一元二次方程220210x x +-=的实数根，∴220210m m +-=，∴22021m m +=，∴2222021m m n m m m n m n ++=+++=++，∵m 、n 是一元二次方程220210x x +-=的两个实数根，故选：B ．【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的两根时，12b x x a +=-，12c x x a=．也考查了一元二次方程的解．考向04列一元二次方程解应用题例题7：（2021·山东滨州·中考真题）某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该商品每次降价的百分率；（2）若该商品每件的进价为40元，计划通过以上两次降价的方式，将库存的该商品20件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于200元，那么第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【答案】（1）10%；（2）6件【思路分析】（1）根据某商品原来每件的售价为60元，经过两次降价后每件的售价为48.6元，并且每次降价的百分率相同，可设每次降价的百分率为x ，从而可以列出方程60（1-x ）2=48.6，然后求解即可；（2）根据题意和（1）中的结果，可以列出相应的不等式，然后即可求得第一次降价出售的件数的取值范围，再根据件数为整数，即可得到第一次降价至少售出多少件后，方可进行第二次降价．【解析】解：（1）设该商品每次降价的百分率为x ，60（1-x ）2=48.6，解得x 1=0.1，x 2=1.9（舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%；（2）设第一次降价售出a 件，则第二次降价售出（20-a ）件，由题意可得，[60（1-10%）-40]a +（48.6-40）×（20-a ）≥200，解得a ≥5527，∵a 为整数，∴a 的最小值是6，答：第一次降价至少售出6件后，方可进行第二次降价．【点拨】本题考查一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系和不等关系，列出相应的方程和不等式，第一问是典型的的下降率问题，是中考常考题型．【答案】5【思路分析】根据日历上数字规律得出，圈出的四个数最大数与最小数的差值为8，设最小数为x ，则最大数为+8x ，结合已知，利用最大数与最小数的乘积为65列出方程求解即可．【解析】解：设这个最小数为x ．根据题意，得()865x x +=．解得15=x ，213x =-（不符合题意，舍去）．答：这个最小数为5．【点拨】此题主要考察了由实际问题抽象出一元二次方程，掌握日历的特征，根据已知得出的最大数与最小数的差值是解题的关键．微练习一、单选题1．（2021·福建·厦门一中三模）对于一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=()0a ≠必有两个不相等的实根；③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；④若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+．其中正确的有（）【分析】解：①若a +b +c =0，则x =1是方程ax 2+bx +c =0的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：Δ=b 2-4ac ≥0，故①正确；②方程ax 2+c =0有两个不相等的实根，∴Δ=0-4ac ＞0，∴-4ac ＞0则方程ax 2+bx +c =0的判别式Δ=b 2-4ac ＞0，∴方程ax 2+bx +c =0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c 是方程ax 2+bx +c =0的一个根，则ac 2+bc +c =0，∴c （ac +b +1）=0，若c =0，等式仍然成立，但ac +b +1=0不一定成立，故③不正确；④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c =0的根，则由求根公式可得：x 0，∴2ax 0+b ∴b 2-4ac =（2ax 0+b ）2，故④正确．故正确的有①②④，故选：C．2．（2021·黑龙江牡丹江·模拟预测）关于x 的一元二次方程()22395m x m x x -+=+化为一般形式后不含一次项，则m 的值为（）A．0B．±3C．3D．－3【答案】D 【分析】解：∵()22395m x m x x -+=+，∴()()223950m x m x -+--=，由题意得：m －3≠0且m 2－9＝0，A．1B．2C．3D．4【答案】D 【分析】解方程2540x x -+=,分解因式，得()()140x x --=121,4x x ==将1x =代入24ax bx c ++=，得4a b c ++=．故选D.4．（2021·河南涧西·三模）定义()224a b a a b =+-+★，例如()2373372428=+⨯-+=★，若方程0x m =★的一个根是1-，则此方程的另一个根是（）A．2-B．3-C．4-D．5-【答案】C【分析】解：∵2(2)4x m x m x =+-+★∴2(2)4=0x m x +-+∵方程2(2)4=0x m x +-+的一个根是1-，设另一个根为t ，则有：14t -⨯=解得，4t =-，故选：C5．（2021·广东·惠州一中一模）若m ，n 为方程2310x x --=的两根，则m n +的值为（）A．1B．1-C．3-D．3【答案】D【分析】解：m ，n 为方程2310x x --=的两根，3m n ∴+=．故选D．6．（2021·广东·西南中学三模）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．2x 2﹣4x +3＝0B．x 2+4x ﹣1＝0C．x 2﹣2x ＝0D．3x 2＝5x ﹣2【答案】A【分析】解：A 、Δ＝（﹣4）2﹣4×2×3＝﹣4＜0，则方程没有的实数根，所以A 选项符合题意；B 、Δ＝42﹣4×1×（﹣1）＝20＞0，则方程两个不相等的实数根，所以B 选项不符合题意；C 、Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C 选项不符合题意；D 、Δ＝（﹣5）2﹣4×3×2＝1＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D 选项不符合题意．故选：A．【答案】D【分析】解：由题意得，当抛物线与y 轴有1个交点，与x 轴只有1个交点时，则22424(2)0b ac a ∆=-=--=解得12a =-3a ∴=当图象过原点并和x 轴有2个交点时，则0=a −22a ∴=故选：D．8．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）直线y x a =+经过第一、三、四象限，则关于x 的方程220x x a ++=实数解的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．以上都有可能【答案】C【分析】解：直线y x a =+经过第一、三、四象限，∴a ＜0，∴△2240a =->，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．9．（2021·四川省宜宾市第二中学校一模）受新冠影响，某股份有限公司在2020年3月份销售口罩的核心材料熔喷无纺布的收入为2.88万元，而在1月份的销售收入仅为2万元，那么该股份有限公司在2020年第一季度的销售收入月增长率为（）A．0.2%B．－2.2%C．20%D．220%【答案】C【分析】解：设第一季度的销售收入月增长率为x ，由题意得2（1+x ）2＝2.88，解得：x 1＝20%，x 2＝-2.2（不合实际舍去）．答：第一季度的销售收入月增长率为20%．故选C．A．2181x x ++=B．()2181x +=C．()21181x x +++=D．()()211181x x ++++=【答案】B 【分析】设每人每轮平均感染x 人，由题意得，x （x +1）+x +1=81，即()2181x +=．故答案为：()2181x +=．11．（2021·黑龙江佳木斯·三模）商场购进一批衬衣，进货单价为30元，按40元出售时，每天能售出500件．若每件涨价1元，则每天销售量就减少10件．为了尽快出手这批衬衣，而且还能每天获取8000元的利润，其售价应该定为（）A．50元B．60元C．70元D．50元或70元【答案】A【分析】解：设售价定为x 元时，每天赚取利润8000元，由已知得：()()3050010408000x x 轾---=臌，整理得：212035000x x -+=，解得：150x =或270x =∵尽量减少库存，∴50x =，故选：A．12．（2021·河北桥东·二模）若x 比()1x -与()1x +的积小1，则关于x 的值，下列说法正确的是（）A．不存在这样x 的值B．有两个相等的x 的值C．有两个不相等的x 的值D．无法确定【答案】C【分析】解：由题意，得()()111x x x +--=，2即12x =，21x =-，故选C．二、填空题13．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）已知1x =是一元二次方程20x x c ++=的解，则c 的值是___________．【答案】-2【分析】解：把x =1代入方程x 2+x +c =0，可得1+1+c =0，解得c =-2．故答案是：-2．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）设a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，则26152a a ++=______．【答案】6065【分析】解：∵a 为一元二次方程22520210x x +-=的一个实数根，∴22520210a a +-=，∴2252021a a +=，∴26152a a ++()23252a a =++320212=⨯+6065=故答案为：6065．15．（2021·内蒙古包头·三模）已知a 是方程260x x +-=的解，求22341121a a a a a -⎛⎫-+÷= ⎪+++⎝⎭_____________．【答案】2【分析】解：22341121a a a a a -⎛⎫-+÷ ⎪+++⎝⎭=()()()222231111a a a a a a +-⎛⎫--÷ ⎪+++⎝⎭=()()()2214122a a a a a +-⨯++-∵a 是方程260x x +-=的解，∴260+-=a a ，∴()()230a a -+=，解得：a =2或a =-3，∵a ≠2，∴当a =-3时，原式=-（-3）-1=2，故答案为：2．16．（2021·内蒙古·呼和浩特市回民区教育局教科研室二模）方程x 2＝x 的解为___．【答案】0x =或【分析】2x x =，20x x -=，()10x x -=，0x =或1x =；故答案是：0x =或1x =．17．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）小丽在解一个三次方程x 3－2x ＋1＝0时，发现有如下提示：观察方程可以发现有一个根为1，所以原方程可以转化为(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0．根据这个提示，请你写出这个方程的所有的解______．【答案】12-或1【分析】解：∵(x －1)(x 2＋bx ＋c )＝0，∴()()321=0x b x c b x c +-+--，又由题意得：()()33221=1x x x b x c b x c -++-+--，∴1021b c b c -=⎧⎪-=-⎨⎪-=⎩解得：11b c =⎧⎨=-⎩∴由求根公式得：x =则原方程所有的解为：1，故答案为：12-或1．18．（2021·江苏·苏州市立达中学校二模）若关于x 的一元二次方程2(2)20mx m x +++=的根都是整数，则整数m 的最大值是________．【答案】2【分析】把原方程利用因式分解法分解因式可得：(2)(1)0mx x ++=，∴20mx +=或10x +=，解得：2x m=-或1x =-，∵方程两个实数根都是整数且整数0m ≠，∴m 为1,2±±．∴最大值为2.故答案为：2．三、解答题19．（2021·广东·深圳市宝安中学（集团）模拟预测）解下列方程．（1）()2233x x -=-．（2）22530x x -+=．【答案】（1）x 1=3，x 2=72（2）x 1=32，x 2=1．【分析】（1）()2233x x -=-．()()22330x x ---=()()32310x x ---=⎡⎤⎣⎦()()3270x x --=∴x -3=0或2x -7=0解得x 1=3，x 2=7∴2x -3=0或x -1=0解得x 1=32，x 2=1．20．（2021·陕西·西安益新中学模拟预测）解方程：2x (x ﹣3)+x =3【答案】x 1=3，x 2=﹣12【分析】解：移项，得2x （x -3）+（x -3）=0，提公因式，得（x -3）（2x +1）=0，解得x 1=3，x 2=-12．21．（2021·广东·铁一中学二模）解方程：()2131x x -=+【答案】1x =-或4x =【分析】∵()2131x x -=+∴2340x x --=∴()()140x x +-=∴1x =-或4x =．22．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）已知代数式5x 2﹣2x ，请按照下列要求分别求值：（1）当x ＝1时，代数式的值．（2）当5x 2﹣2x ＝0时，求x 的值．【答案】（1）3；（2）0或25．【分析】解：（1）当x ＝1时，5x 2﹣2x ＝5﹣2＝3；（2）5x 2﹣2x ＝0，分解因式得：x （5x ﹣2）＝0，可得x ＝0或5x ﹣2＝0，解得：x ＝0或x ＝25．23．（2021·广东·珠海市文园中学三模）已知关于x 的一元二次方程2(21)210k x x -++=有实数根．（1）求k 的取值范围；【分析】解：（1）∵2(21)210k x x -++=有实数根，∴240b ac ∆=-≥；∴()44210k --≥，解得：1k ≤，∵210k -≠，∴12k ≠，∴k 的取值范围为1k ≤且12k ≠；（2）把12k =-代入2(21)210k x x -++=，得22210x x -++=，移项得：2221x x -+=-，系数化为1得：212x x -=，配方得：21324x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，解得：122x -=±，∴1x =2x =．24．（2021·重庆实验外国语学校三模）永川黄瓜山，林场万亩、环境优美，山势雄伟、地貌奇特，现已成为全国面积最大的南方早熟梨基地，品种以黄花梨为主，还有黄冠、圆黄、红梨、鄂梨2号等．永川梨香甜，脆嫩，皮薄，多汁．2020年，永川梨入选第一批全国名特优新农产品名录．（1）某水果经销商第一批购进黄花梨5000千克，黄冠梨2000千克，黄冠梨每千克的进价比黄花梨的进价每千克多2元，经销商所花费的费用不超过60000元，求黄花梨每千克进价最多为多少元？（2）在第（1）问最高进价的基础上，随着梨大量成熟，该水果经销商第二批购进的黄花梨的数量比第一批的数量增加了2a %，第二批购进的黄冠梨的数量不变，黄花梨的进价减少了12a %，黄冠梨的进价减少了2a %，第二批购进梨的总成本与第一批购进梨的总成本相同，求a 的值．【答案】（1）8元；(2)50【分析】解：（1）设黄花梨的进价每千克x 元，黄冠梨每千克的进价为（x +2）元，所以5000x+2000（x +2）≤60000，（2）由（1）得：15000(12%)8(1%)200010(12%)600002a a a +⨯-+⨯-=，解得：a =50，（0a =舍去）答：a 得值为50.25．（2021·辽宁·建昌县教师进修学校二模）某儿童玩具店销售一种玩具，每个进价为60元，现以每个100元销售，每天可售出20个，为了迎接六一儿童节，店长决定采取适当的降价措施，经市场调查发现：若每个玩具每降价1元，则每天多售出2个．设该玩具的销售单价为x （元），日销售量为y （个）．（1）求y 与x 之间的函数关系式．（2）为了增加盈利，减少库存，且日销售利润要达到1200元，销售单价应定为多少元？（3）若销售单价不低于成本价，每个获利不高于成本价的30%，将该玩具的销售单价定为多少元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）2220y x =-+；（2）销售单价应定为80元；（3）销售单价定为78元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是1152元【分析】解：（1）根据题意，得：202(100)y x =+-，即2220y x =-+，∴y 与x 之间的函数关系式为2220y x =-+；（2）(60)(2220)1200x x --+=，217072000x x -+=，解，得180x =，290x =（不合题意，舍去），答：销售单价应定为80元；（3）设日销售利润为w 元，根据题意，得(60)(2220)w x x =--+2234013200x x =-+-22(85)1250x =--+，∵2a =-＜0，∴抛物线开口向下，w 有最大值，由已知606030%78+⨯=，∴60≤x ≤78，答：销售单价定为78元时，玩具店每天销售该玩具获得的利润最大，最大利润是1152元．。

解一元二次方程学生易步入的几个误区

解一元二次方程学生易步入的几个误区一、利用“根的判别式”证明方程根的存在，方法不当出现错误例，证明；无论m取何值时，方程x2-(m-2)x-9=0都有两个不相等的实数根？【错解】因为〔-(m-2)〕2-4×1（-9）﹥0，所以m2-4m+40﹥0,所以无论m取何值时，方程x2-(m-2)x-9=0都有两个不相等的实数根。

很明显，首先就说明了根的判别式大于0，还有什么必要来证明呢？这就是解题方法上出现的错误。

二、忽略一元二次方程的一般形式，匆忙求解导致失误例，解方程x2-3x=2，即x1= 1 x2=2【错解】因为a=1,b=-3,c=2,b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1﹥0,所以x=−b±b2−4ac2a点评：出现这类错误，主要是没有将一元二次方程化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),而套用公式造成方程解的错误。

三、方程两边同除以一个多项式，出现丢根例，4（x+2）（x-2）=x-2【错解】将方程的两边同时除以（x-2），得4（x+2）=1，解得X= −74点评：在解一元二次方程时，方程的两边不能同时除以含有未知数的代数式，否则，就会丢根。

四、不注重讨论，出现错误例，若一元二次方程（m-2）x2-x+m2-m-2=0的一个根为0，求m的值【错解】因为0是一元二次方程的一个根，所以x=0满足方程（m-2）x2-x+m2-m-2=0，即m2-m-2=0，解得m1=-1 m2=2对于本题来说，显然当m=2时，方程就不是一元二次方程了，学生在解题时，忽略了一元二次方程一般式ax2+bx+c=0，a≠0，因此对于二次项中的系数如果含有字母，一定要参与讨论，这很重要。

五、忽视一元二次方程系数的符号，解题时出现错误在运用公式法解方程以及利用根的判别式解决问题时，也是容易出错的地方，因为往往忽略一元二次方程系数的符号，所以要认识到一元二次方程系数一定包含各自的符号，这样就会避免出现差错。

初中数学专题复习解一元二次方程时一些常见的失误分析(含解答)

解一元二次方程时一些常见的失误分析摘要:一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中代数中占重要地位，因此,让学生正确掌握一元二次方程的有关知识是非常必要的。

本文通过我在多年数学教学过程中对学生的作业、观察、分析，发现了解一元二次方程时学生易出现失误的九个方面问题，分别举例分析说明，以便教学时提示学生正确解题。

关键词：方程失误分析一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中代数中占有重要的地位，一元二次方程是中考的必考内容，是重点问题，是历年来全国各地中考的热点，也是今后学习各类方程以及不等式、函数等知识的基础。

下面我对一元二次方程经常在作业或考试中常被忽视的问题作一些分析。

一、忽视方程是一元二次方程而造成失误例1、解方程：5x2=4x4误解：方程两边同时除以x，得x＝5分析：误解的根本原因是，忽视了方程同解原理2的条件，方程两边同除以的x也可能为零，因而导致失误。

或者说这是一个一元二次方程它有两个根，正确的解法是：5x24－4x=0 x(5x－4)=0 x1=0 x2=5例2、关于x的方程（m－1）x2－2（m－3）x＋m＋2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围。

误解：∵原方程有两个不相等的实数根∴Δ＞0即Δ＝［－2（m－3）］2－4（m－1）（m＋2）＝－28m＋4411－28m＋44＞0m＜7∴ m ＜711时，原方程有两个实数根分析：本题忽视二次项系数不能为零 m －1≠0 m ≠1 正确的是：∴当m ＜711且m ≠1时，原方程有两个不相等的实数根说明：在解一元二次方程时，若方程是一元二次方程，那么它有两个实数根，并且二次项系数不能为零。

二、误以为方程是一元二次方程而造成失误例3、m 为何值时，关于x 的方程（m －4）x 2－（2m －1）x ＋m=0有实数根。

误解：∵方程有实数根 ∴Δ≥0且m ≠4Δ＝[－（2m －1）]2－4（m －4）m ＝4m 2－4m ＋1－4m 2＋16m ＝12m ＋1 12m ＋1≥0且m ≠4，m ≥－121且m －4≠0 正确的解法是：Δ≥0 即：m ≥－121 分析：造成错误的原因是把方程误以为一元二次方程。

一元二次方程中的常见错误

一元二次方程中的常见错误一、定义理解错误例题：错误分析：一元二次方程的定义中，“最高次数是二次”这个条件中实际包含了二次项系数不等于0，如果二次项系数为0，那么二次项也将不存在，也就不会有“最高次数是二次”，所以，我们在解答中务必要注意，二次项系数不为0这个隐含条件。

此题的解答中，当k=2时，二次项系数k-2=0,所以k=2应舍去。

故k=-2.二、应用直接开平方法时的错误例题：若(a+b-2)²=25，求a²+b²的值.错误分析：我们知道，a²、b²都是非负数，而两个非负数的和仍然是非负数，所以a²+b²=-3是错误的。

三、应用配方法中的错误例题：用配方法解方程：2x²-8x-10=0.错误分析：配方法的关键是“当二次项系数是1时，将方程两边同时加上一次项系数的一半的平方”，此题二次项系数不为1，要先化为1.四、应用公式法中的错误例题：用公式法解方程：3x²-7x=2.错误分析：用公式法解一元二次方程时，首先要将方程化为一般形式，以便确定a、b、c。

此题还未化为一般形式，就确定a、b、c的值。

所以导致错误。

五、应用等式性质时的错误例题：解方程：5(2x-1)²=x(2x-1).错误分析：此题是应用等式的性质来解方程。

但忽略了等式性质中的条件，等式的两边同时除以同一个“不为0的数”，等式不变。

所以，此题如果应用等式的性质来解，应分两种情况：(1)若2x-1=0,则得x=1/2,(2)若2x-1≠0，两边除以2x-1得，5(2x-1)=x,解得x=5/9.这样才不会漏解。

六、应用“根与系数的关系”时的错误已知x1,x2是关于x的一元二次方程x²+(2k+1)x+k²+1=0的两个不同的实数根，且x1+x2=-x1x2.求k值.错误分析：此题当k=0时，△＜0，而△＜0时方程不会有两个根。

解一元二次方程的常见失误

解一元二次方程的常见失误有关一元二次方程的公共根问题的一般解法是：设公共根为a ，则a 同时满足两个一元二次方程；用加减消元法消去2a 的项，求出公共根或公共根的有关表达式；把公共根代人原方程中的任何一个方程就可以求出字母系数的值或字母系数的关系式．但许多同学在具体的解题过程中常常会出现如下一些失误：一、对字母系数不加讨论而造成失误例1 当k 取何值时，方程032=-+kx x 和方程032=-+k x x 有公共根？并求出公共根．错解设两个方程的公共根为a ，则有032=-+ka a ，032=-+k a a ．两式相减，并整理得到 )1(3)1(--=-k a k ，（*）∴3-=a ．当3-=a 时，代入其中的任何一个方程求得2=k ．∴当3-=a 时，方程公共根为－3．剖析由于在解（*）时，未对是01=-k 的情况加以考虑，从而漏掉了1=k ．事实上，当1=k 时，两个方程同为032=-+x x ，它们的解为2131±-=x ，表示此时方程有两个公共根，也符合有公共根的要求．因此正确的结论为：当2=k 时，3-=a ；当1=k 时，2131±-=a ．二、对解出的字母系数和公共根的关系分不清而造成失误例2 已知关于x 的—元二次方程052=++-m mx x 和方程0715)18(2=+++-m x m x 只有一个公共根，求m 及公共根．错解设两个方程的公共根为a ，则有052=++-m ma a ，0715)18(2=+++-m a m a ．两式相减并整理得到：)17(2)17(+=+m a m ，即0)2)(17(=-+a m ．∴2,21=-=a m ．因此21-=m ，公共根2=a ．剖析造成失误的原因是没有搞清楚71-=m 和2=a 是不能同时成立的．事实上，当71-=m 时，方程为0734712=++x x ，此方程由于△<0无解，因此无公共根可言．而当2=a 时代入其中的任一个方程解得m = 9．所以正确的结论是：当m = 9时，公共根为2=a ．三、对结论不检验而造成失误例3 k 取何正整数时，方程012)2(2=++-x k x 和方程030)13(22=++-x k x 有一整数公共根．错解设方程的公共根为a ，则有012)2(2=++-a k a ， ①030)13(22=++-a k a ． ②①× 2－②得到 6)3(=-a k ．∵a 为整数根，∴)3(-k 必为6的约数．∴13±=-k ，±2，±3，±6．解之得到：=k －3，0，1，2，4，5，6，9．又∵k 为大于零的整数．∴=k 1，2，4，5，6，9．剖析本结论看似符合要求，但经检验当=k 1，2，4时方程无解，当然就不符合要求，当9=k 时，方程虽然有根，但不是整数根，因此只有=k 5、6时符合要求．。

一元二次方程错解分析

一元二次方程错解分析一元二次方程问题是初中代数之重点，也是中考之热点.许多同学在解题时由于受思维定势的影响，往往会对题目中的隐含条件重视不够，因而出现错解.下面举例说明，希望引起同学们注意.一、忽视方程解的定义例1 若关于x 的方程240x x c -+=有一个根是2，则c 的值是 . 错解有的同学一看到一元二次方程有一个根，就想到0∆=，于是， 224(4)411640b ac c c -=--⨯⨯=-=，解得4c =.剖析这种错误是由于审题不仔细造成的.解此题的依据是方程解的定义，解题方法是将2x =直接代入，求得未知字母的值. 22420c -⨯+=，解得4c =-.二、忽视将一元二次方程化成一般形式例2 用公式法解方程: 226x x -+=.错解 ∵2,1,6a b c ==-=∴24b ac ∆=-2(1)426=--⨯⨯ 14847=-=- 0<.∴此方程没有实数根.剖析错解中没有将方程化成一般形式，造成系数中常数项c 的错误.应该先移项得到 2260x x --=则2,1,6a b c ==-=-.∴24b ac ∆=-2(1)42(6)=--⨯⨯-14849=+=.根据公式法有，2b x a-=(1)917224--±==⨯ ∴1232,2x x ==-. 三、忽视一元二次方程的解的个数例3 一元二次方程(1)x x x -=的解是 .错解(1)方程两边同除以x ，得10x -=，即1x =.(2)方程两边同除以x ，得11x -=，即2x =.剖析错解(1)中，方程两边同除以因式x 时，误认为既然右边没有了未知数，即右边为0.而错解(2)中，方程两边同除以因式x ，忽视了因式0x =的情况，不属于同解变形，违背了等式的性质，造成漏解.因为方程(1)x x x -=是一元二次方程，因此若有解，则有两个解.正确解法应该先将方程变形为(1)0x x x --=，则(11)0x x --=，即120,2x x ==.四、忽视一元二次方程的二次项系数例4已知关于x 的方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) (A)34m >(B)34m ≥ (C)34m >且2m ≠ (D)34m ≥且2m ≠ 错解24b ac ∆=-22(21)4(2)m m =+--224414(44)m m m m =++--+0> 解得34m >∴当34m >时，方程有两个不相等的实数根. 剖析注意已知条件中的关键词是，方程有两个不相等的实数根，显然此方程必为一元二次方程，所以二次项系数2(2)0m -≠即2m ≠.因此错解中漏掉了2m ≠.正确答案为34m >且2m ≠. 五、忽视对题中关键词的理解例5 已知关于x 的方程2(5)410a x x ---=有解，那么a 的取值范围是( )(A)1a ≥ (B)1a >且5a ≠(C)1a ≥且5a ≠ (D)5a ≠错解由于方程为一元二次方程，故5a ≠，且24b ac ∆=-2(4)4(5)(1)a =--⨯-⨯-0≥.得1a ≥且5a ≠.剖析错解中忽视了关键词“关于x 的方程”，这里并未指明方程的类型.事实上，此方程2(5)410a x x ---=有两种可能:若方程为一元二次方程，则“有解”与“有两个实数根”是等同的，则1a ≥且5a ≠; 若方程为一元一次方程，则5a =，解得14x =-，即5a =也符合题意. 所以本题的正确答案是1a ≥. 例6 已知关于x 的一元二次方程28(1)70x m x m +++-=有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 .错解 ∵一元二次方程有两个负数根，∴24b ac ∆=-2(1)48(7)m m =+-⨯⨯-2(15)0m =-≤，即15m ≥.剖析错解中忽视了关键词“两个负数根”的条件.事实上，一元二次方程有两个负数根需要满足以下条件:(1)24b ac ∆=-2(1)48(7)m m =+-⨯⨯-2(15)0m =-≤，(2)12108m x x ++=-<; (3 )12708m x x -=>g . ∴7m ≥. 六、忽略判别式24b ac ∆=-存在的条件例7 已知1x ，2x 是关于x 的一元二次方程22(21)10x m x m ++++=的两个实数根.当221215x x +=时，求m 的值. 错解由根与系数的关系，得12(21)x x m +=-+，2121x x m =+.∵222121212()2x x x x x x +=+-22[(21)]2(1)m m =-+-+2241m m =+-又221215x x +=， ∴224115m m +-=∴14m =-，22m =.剖析一元二次方程的根与系数的关系是以判别式240b ac -≥为前提，才能确保一元二次方程有两个实数根.错解中忽略了原方程有两根的条件0∆≥，未将求出的m 的值代入判别式中检验而造成错误.因为当4m =-时，方程为27170x x -+=，此时， 2(7)4171∆=--⨯⨯190=-<，方程无实数根，不符合题意.故只有一个解2m =.七、忽视题中隐含条件例8 已知22222()()60a b a b +-+-=，则22a b +的值为_.错解2222(3)(2)0a b a b +-++=，2230a b +-=，或2220a b ++=，即223a b +=，或2-.剖析此题大部分学生都会用整体的思想进行因式分解来解一元二次方程，但忽略了220a b +≥是非负数，故而出错.正确答案是223a b +=.通过以上几例错解剖析，提醒同学们在运用一元二次方程有关基本知识、基本技能和基本解题思路解题的同时，要注意挖掘题目中的隐含条件，并对所解答案进行分析，并判断其合理性.要学会反思，同时要注重分类讨论思想在解题中的合理运用.。

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