广东省高二上学期期末数学试卷
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．若集合，集合，则图中阴影部分表示（ ）{}1,2,3,4,5A =()(){}230B x x x =+-<A ．B ． {}3,4,5{}1,2,3C ．D ．{}1,4,5{}1,2【答案】A【分析】，阴影部分表示，计算得到答案. {}23B x x =-<<U A B ⋂ð【详解】，或. ()(){}{}23023B x x x x x =+-<=-<<{U 2B x x =≤-ð}3x ≥阴影部分表示. {}U 3,4,5A B = ð故选：A 2．复数的虚部为（ ） 2i1i+A B ．1 C D ．i 【答案】B【分析】利用复数的除法运算法则对原式化简成的形式，即可的虚部 i a b +【详解】因为()()()()()2i 1i 2i 1i 2i i 1i 1i 1i 1i 1i 2--===-=+++-所以虚部为1.故选：B3．经过点，且斜率为的直线方程是（ ） (1,2)2A ． B ．C ．D ．20x y -=20x y +=210x y -+=230x y +-=【答案】A【分析】根据点斜式方程求解即可.【详解】解：经过点，且斜率为的直线方程是，整理得. (1,2)2()221y x -=-20x y -=故选：A4．《将夜》中宁缺参加书院的数科考试，碰到了这样一道题目：那年春，夫子游桃山，一路摘花饮酒而行，始切一斤桃花，饮一壶酒，复切一斤桃花，又饮一壶酒，后夫子惜酒，故再切一斤桃花，只饮半壶酒，再切一斤桃花，饮半半壶酒，如是而行，终夫子切六斤桃花而醉卧桃山.问：夫子切了五斤桃花一共饮了几壶酒？（ ）A ．B ．C ．D ．1847162383116【答案】C【分析】分析数列特征，求前5项的和.【详解】由题意可知，数列前2项都是1，从第二项开始，构成公比为的等比数列，所以前5项12和为：. 11123112488++++=故选：C5．双曲线的一条渐近线方程为，则的离心率为（ ）2222:1(0,0)y x C a b a b -=>>0x =CA B C ．2 D【答案】C【分析】根据渐近线得到. a b =【详解】因为的一条渐近线方程为，所以 C 0x -=a b =所以的离心率.C 2e ==故选：C6．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是，现在三人同时141312射击目标，则目标被击中的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．342345710【答案】A【分析】根据目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率求解即可. 【详解】因为目标被击中的概率等于1减去甲､乙､丙三人都没有击中目标的概率， 所以目标被击中的概率是，111311114324⎛⎫⎛⎫⎛⎫----= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：.A7．如图所示，在正方体中，分别是的中点，有下列结论：①1111ABCD A B C D -,E F 11,AB BC ；②平面；③与所成角为；④平面，其中正确1EF BB ⊥EF ⊥11BCC B EF 1C D 45 //EF 1111D C B A 的序号是（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④【答案】B【分析】利用线面垂直可得线线垂直即可判断①；利用线面垂直可判断②；利用异面直线的夹角可判断③；利用线面平行的判定定理可判断④.【详解】连接，则交于，又因为为中点，1A B 1A B 1AB E F 1BC得，由平面，平面, 11//EF A C 1B B ⊥1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得，得，故①正确；111B B A C ⊥1B B EF ⊥由平面，得平面，1111//,EF A C A C ⊥11BDD B EF ⊥11BDD B 而平面与平面不平行，所以平面错误， 11BDD B 11BCC B EF ⊥11BCC B 故②错误；因为与所成角就是，连接, EF 1C D 11A C D ∠1A D 则为等边三角形，11AC D A所以，故③错误； 1160AC D ∠=由分别是的中点，得，,E F 11,AB BC 11//EF A C 平面，平面，EF ⊄1111D C B A 11AC ⊂1111D C B A 得平面， //EF 1111D C B A 故④正确； 故选:B.8．血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般不低于95%，在95%以下为供氧不足．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱()0e KtS t S =和度（单位：%）随给氧时间（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，为参()S t t 0S K 数．已知，给氧1小时后，血氧饱和度为70．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧时间060S =至少还需要（取，，，）（ ） ln6 1.79=ln7 1.95=ln12 2.48=ln19 2.94=A ．1.525小时 B ．1.675小时 C ．1.725小时 D ．1.875小时【答案】D【分析】根据已知条件列方程或不等式，化简求得正确答案. 【详解】由题意知：，，，， 60e 70K =60e 95Kt ≥70ln ln 7ln 660K ==-95ln ln19ln1260Kt ≥=-则，则给氧时间至少还需要小时.ln19ln12 2.94 2.482.875ln 7ln 6 1.95 1.79t --≥==-- 1.875故选：D二、多选题9．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于()sin2f x x =4π()y g x =说法错误的是（ ）()g x A ．最大值为，图象关于直线对称12x π=B ．在上单调递减，为奇函数04π⎛⎫⎪⎝⎭，C ．在上单调递增，为偶函数388ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．周期是，图象关于点对称 π308π⎛⎫⎪⎝⎭，【答案】BCD【分析】由题意化简得，为偶函数，可以判断选项B ，结合余弦函数的性质判断()cos 2g x x =()g x 选项A ，由于，，则不具有单调性，判断选项C ，388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x，判断选项D. 308g π⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭【详解】将函数的图象向左平移个单位长度后，()sin2f x x =4π得到函数的图象，()sin 2cos 22y g x x x π⎛⎫==+= ⎪⎝⎭关于，显然它是偶函数，周期为，故B 不正确； ()g x 22ππ=由于当时，，为最小值，故的图象关于直线对称，2x π=()1g x =-()g x 2x π=结合余弦函数的性质可得，的最大值为，故A 正确；()g x 1由于当时，，不具有单调性，故C 错误；388x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，3244x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()g x由于当时，，故的图象不关于点对称，故D 不正确． 38x π=()0g x =≠()g x 308π⎛⎫ ⎪⎝⎭，故选：BCD ．10．已知空间三点，设.则下列结论正确的是（ ）(2,0,2),(1,1,2),(3,0,4)A B C ---,a AB b AC ==A ．若，且，则3c = //C c B (2,1,2)c =-B ．和的夹角的余弦值a bC ．若与互相垂直，则的值为2；ka b +2ka b - k D ．若与轴垂直，则，应满足()()λμ++-a b a b z λμ0λμ-=【答案】BD【分析】利用空间向量的基本定理及坐标表示判断即可. 【详解】依题意，，，(1,1,0)a = (1,0,2)b =- (2,1,2)BC =--对于A ，因为，所以，又，//C c B(2,,2)c BC λλλλ==-- 3c = 3=解得，所以或，A 不正确；1λ=±(2,1,2)c =- (2,1,2)c =--对于B ，，B 正确；cos ,a b a b a b⋅<>===对于C ，因与互相垂直，则， ka b + 2ka b - ()()2222222100ka b ka b k a ka b b k k +⋅-=-⋅-=+-= 解得或，C 不正确；2k =52k =-对于D ，因为，轴的一个方向向量()()()()()0,1,22,1,22,,22a b a b λμλμμλμλμ++-=+-=+-z ，(0,0,1)n =依题意，即，D 正确； ((0,0,12,,22)220)μλμλμλμ=+-⋅-=0λμ-=故选：BD11．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） {}n a 13a =111n na a +=-{}n a n n S A ． B ． 232a =31312n n S S +-=-C ． D ．121n n n a a a ++=-1922S =【答案】CD【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即2a 3a 4a {}n a 3可判断A 、B 、D ，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 2n a +12n n n a a a ++【详解】解：因为，， 13a =111n na a +=-所以，故A 错误； 221121133a a =-=-=，，所以数列是以为周期的周期数列， 3211111223a a =-=-=-4131111312a a a =-=-==-{}n a 3所以，故B 错误； 3133113n n n a S S a ++=-==因为，， 1111n n n na a a a +=-=-2111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++-==-=----=--所以，故C 正确； 121111n n n n n n n a a a a a a a ++-⋅--=⋅=-，故D 正确；()()191231819123192166332232S a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++=+++=⨯+-+= ⎪⎝⎭ 故选：CD12．已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则2:4C x y =,F O ()00,M x y C 5MF =（ ）A ．的坐标为B ．F ()1,004y =C ．D ．以为直径的圆与轴相切OM =MF x 【答案】BCD【分析】由抛物线的方程求出焦点的坐标，可判断A 选项；利用抛物线的定义可求得的值，F 0y 可判断B 选项；先根据抛物线的方程求的值，再利用平面内两点间的距离公式可判断C 选项；0x 求出的中点坐标，进而可得该点到y 轴的距离，结合直线与圆的位置关系判断D 选项. MF 【详解】对于抛物线，可得，且焦点在y 轴正半轴上，则点错误； 2:4C x y =2,12pp ==()0,1,A F 由拋物线的定义可得，可得正确；015MF y =+=04,B y =由可知，，可得，C 正确；04y =2016x =04,x OM =±==∵的中点坐标为，则点到y 轴的距离，MF 52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭52,2⎛⎫± ⎪⎝⎭5122d MF ==∴以为直径的圆与轴相切，D 正确. MF x 故选：BCD.三、填空题13．设等差数列的前项和为整数，若，则公差________. {}n a n ,n S n 132,12a S ==d =【答案】2【分析】根据等差数列的前项和公式求解即可. n 【详解】因为是等差数列, {}n a 所以， 31132333122S a d a d ⨯=+=+=又因为，所以. 12a =2d =故答案为:.214．已知直线被圆截得的弦长为2，则____ :l y x =()()()222:310C x y r r -+-=>r =【分析】由题意，利用点到直线的距离公式求得弦心距，根据弦长公式，可得答案. 【详解】由圆的方程，则其圆心为，()()22231x y r -+-=()3,1圆心到直线的距离，弦长的一半为1，d r ==15．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ____________钱．（所得结果四舍五入，保留整数） 【答案】17【分析】利用分层抽样找到丙所带钱数占三人所带钱总数的比例即可. 【详解】依照钱的多少按比例出钱，则丙应出:钱.18056100=1617560+350+180109⨯≈故答案为：1716．已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角-P ABC O PA PB PC ==ABC A 形，若点分别是的中点，，则球的半径为___________. ,E F ,PA AB 90CEF ∠=︒O【分析】先判断得三棱锥为正三棱锥，从而利用线面垂直的判定定理依次证得平面-P ABC AC ⊥，平面，结合勾股定理证得正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，由此将三PBG PB ⊥PAC -P ABC棱锥补形为正方体，利用的半径.-P ABC 2R O 【详解】由，是边长为2的正三角形，得三棱锥为正三棱锥， PA PB PC ==ABC A -P ABC 则顶点在底面的射影为底面三角形的中心，连接并延长，交于， P O BO AC G 则，又，，平面， AC BG ⊥PO AC ⊥PO BG O = ,PO BG ⊂PBG 所以平面，又平面，则， AC ⊥PBG PB ⊂PBG PB AC ⊥因为分别是的中点，所以， ,E F ,PA AB //EF PB 又，即，所以，90CEF ∠=︒EF CE ⊥PB CE ⊥又，平面，所以平面， AC CE C = ,AC CE ⊂PAC PB ⊥PAC 又平面，所以，,PA PC ⊂PAC ,PB PA PB PC ⊥⊥易知在中，，所以，则， Rt PAB A 222PA PB AB +=222PA PC AC +=PA PC ⊥又，所以，2AB =2222PA PB PC ===所以正三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，-P ABC 将三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球， -P ABC其直径，则球的半径．2R =O R =.四、解答题17．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图所示的频率分布直方图.[)[)[)[]40,50,50,60,60,70,,90,100(1)求图中的值；m (2)利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数.（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) 0.030m =(2)71【分析】(1)根据小矩形面积之和为1可计算得的值.(2)平均值为每组数据中的中点値乘以频率再m 相加即可.【详解】（1）由， ()100.0100.0150.0150.0250.0051m ⨯+++++=得.0.030m =（2）样本平均数， 450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=故可以估计该企业所生产的口罩的质量指标值的平均数为71.18．已知公差不为0的等差数列的前项和为，、、成等差数列，且、、{}n a n n S 2S 4S 55S +2a 7a 成等比数列．22a (1)求的通项公式； {}n a (2)若，数列的前项和为，证明：． 11n n n b a a +={}n b n n T 16n T <【答案】(1) 21n a n =+(2)证明见解析【分析】（1）公式法列方程组解决即可；（2）运用裂项相消解决即可. 【详解】（1）由题知，设的公差为，由题意得，{}n a d 42527222250S S S a a a d =++⎧⎪=⎨⎪≠⎩即，解得，11121112(46)(2)(510)5(6)()(21)0a d a d a d a d a d a d d +=++++⎧⎪+=++⎨⎪≠⎩132a d =⎧⎨=⎩所以， 1(1)3(1)221n a a n d n n =+-=+-⨯=+所以的通项公式为. {}n a 21n a n =+（2）证明：由（1）得，21n a n =+所以， 111111(21)(23)22123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭所以．1111111111123557212323236n T n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭19．在中，设角所对的边长分别为，且． ABC A ,,A B C ,,a b c 22cos c b a C =-(1)求角；A (2)若的面积的值． ABC A S =c =sin sin B C 【答案】(1)3A π=(2) 1sin sin 2B C =【分析】（1）由正弦定理边化角，或余弦定理角化边解决即可；（2）根据题意与面积公式求得 ，结合余弦定理得，由正弦定理得c =b =3a =，即可解决. 2sin a R A=()22sin sin bc R C B =【详解】（1）解法一：因为，22cos c b a C =-由正弦定理得：sin 2sin 2sin cos C B A C =-所以()sin 2sin 2sin cos 2sin cos 2cos sin 2sin cos 2cos sin C A C A C A C A C A C A C =+-=+-=因为，sin 0C ≠所以，即 2cos 1A =1cos 2A =因为， 0πA <<所以． π3A =解法二：因为，22cos c b a C =-由余弦定理得： 222222a b c c b a ab+-=-⋅整理得，即222bc b c a =+-222a b c bc =+-又由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-所以，即 2cos 1A =1cos 2A =因为， 0πA <<所以． π3A =（2）由（1）得， π3A =因为的面积， ABC A S =所以 11πsin sin 223bc A bc ==所以， 6bc =由于 c =所以，b =又由余弦定理：，2222cos 12369a b c bc A =+-=+-=所以．3a =所以 2sin a R A==所以由正弦定理得，()22sin sin 12sin sin 6bc R C B C B ===所以． 1sin sin 2B C =20．已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>)F (1)求椭圆的标准方程； C (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若B C ():1l y x m m =+≠C M N ，求直线的方程． BM BN ⊥l 【答案】(1) 2214x y +=(2) 35y x =-【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程；,,a b c （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数.0BM BN ⋅= m【详解】（1）由题意得，，， c =2a b=222a b c =+，，2a ∴=1b =椭圆的标准方程为． ∴C 2214x y +=（2）依题意，知，设，．()0,1B ()11,M x y ()22,N x y 联立消去，可得． 2244y x m x y =+⎧⎨+=⎩y 2258440x mx m ++-=，即， ()2Δ1650m ∴=->m <<1m ≠，． 1285m x x -+=212445m x x -=，．BM BN ⊥ 0BM BN ∴⋅= ，()()()()211221212,1,121(1)0BM BN x x m x x m x x m x x m ⋅=+-⋅+-=+-++-= ， ()2244821(1)055m m m m --∴⨯+-+-=整理，得，25230m m --=解得或（舍去）． 35m =-1m =直线的方程为． ∴l 35y x =-21．如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由边长为2的正方形（及其内部）以边所ABCD AB 在直线为旋转轴顺时针旋转得到的，是的中点． 23πG A DF(1)求此几何体的体积；(2)设是上的一点，且，求的大小； P A CEAP BE ⊥CBP ∠(3)当，时，求二面角的大小．3AB =2AD =E AG C --【答案】(1) 83π(2)30CBP ∠= (3)．60【分析】(1)由题意可知该几何体为圆柱的三分之一，根据计算圆柱体积即可得出此几何体的体积；(2)利用线面垂直的判定定理可得平面，然后结合几何体的结构特征计算可得的大BE ⊥ABP CBP ∠小；(3)建立空间直角坐标系，用空间向量法即可求出二面角的余弦值，从而可得二面角的大E AG C --小.【详解】（1）此几何体的体积； 2182233V ππ=⋅⋅=（2）因为，，，平面，，AP BE ⊥AB BE ⊥AB AP ⊂ABP AB AP A =I 所以平面， 又平面， 所以，BE ⊥ABP BP ⊂ABP BE BP ⊥又，因此120EBC ∠= 30CBP ∠= （3）以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，B ,,BE BP BA ,,x y z 建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得，(0,0,3),(2,0,0),(A E G C -故，，，(2,0,3)AE =- AG = (2,0,3)CG =设是平面的一个法向量．111(,,)m x y z = AEG 由，得，取，则， 00m AE m AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11112300x z x -=⎧⎪⎨+=⎪⎩12z=113,x y ==得平面的一个法向量．AEG (3,m =设是平面的一个法向量．222(,,)n x y z = ACG 由，得，取，则， 00n AG n CG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩22220230x x z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩22z =-113,x y ==得平面的一个法向量．ACG (3,2)n =- 所以． 1cos ,||||2m n m n m n ⋅<>==⋅ 因此二面角的大小为．E AG C --60 22．已知函数．()()21，f x x g x x ==-(1)若，使，求实数b 的范围；R x ∃∈()()f x b g x <⋅(2)设，且在上单调递增，求实数m 的范围．()()()21F x f x mg x m m =-+--()F x []0,1【答案】(1)()()04,∪,-∞+∞(2))102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣【分析】对于（1），，， R x ∃∈()()20R，f x b g x x x bx b <⋅⇔∃∈-+<即函数在x 轴下方有图像，据此可得答案；2y x bx b =-+对于（2），，分两种情况讨论得答案.()221F x x mx m =-+-00，∆≤∆>【详解】（1）由，，得. R x ∃∈()()f x b g x <⋅20R ，x x bx b ∃∈-+<则函数在x 轴下方有图像，2y x bx b =-+故，解得或，()240b b ∆=-->0b <4b >故实数b 的范围是； ()()04,∪,-∞+∞（2）由题设得， ()222251124m F x x mx m x m ⎛⎫=-+-=-+- ⎪⎝⎭得对称轴方程为，， 2m x =()2224154m m m ∆=--=-由于在上单调递增，则有：()F x []0,1①当即≤m 时，时，在上单调递增， 0∆≤x ∈R ()F x ,2m ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭则， 012,,m ⎡⎫⎡⎤⊆+∞⇒⎪⎢⎣⎦⎣⎭02m m ⎧≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩0m ≤≤②当Δ＞0即的解为：m <m >()0F x =，则. 12x x ==0>12x x <当时，可知在上单调递增. x ∈R ()Fx )122,，,m x x ⎡⎤⎡+∞⎢⎥⎣⎣⎦i 若，则， m >02m >>[]1120,1,02m mx m ⎧≥⎪⎡⎤⊆⇒⎢⎥⎣⎦⎪>⎪⎩解得；2m ≥ii 若，m <0m <-<则，解得. [][)200,1,x m ∞⊆+⇒⎪<⎪⎩1m -≤<综上所述，实数m 的范围是.)102,∪,⎡⎤⎡-+∞⎣⎦⎣。
2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 20 页2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．已知命题P ：∃x 0≥1，x 02+x 0+1≤0，则命题P 的否定为（ ）A ．∃x ≥1，x 2+x +1＞0B ．∀x ≥1，x 2+x +1≤0C ．∀x ＜1，x 2+x +1＞0D ．∀x ≥1，x 2+x +1＞02．过双曲线x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．√5+12B ．√102C ．√17+14D ．√2243．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，且a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（ ） A ．212B ．33C ．42D ．844．△ABC 中，a cosA=b cosB=c cosC，则△ABC 一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形5．准线方程为y ＝2的抛物线的标准方程是（ ） A ．x 2＝16yB ．x 2＝8yC ．x 2＝﹣16yD ．x 2＝﹣8y6．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点是双曲线x 23p−y 2p=1的一个焦点，则p ＝（ ）A ．2B ．4C ．8D ．167．设a ＞0，b ＞0，则“b ＞a ”是“椭圆x 2a +y 2b =1的焦点在y 轴上”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线C ：y 2a −x 2b =1(a ＞b ＞0)的一条渐近线与直线3x ﹣2y ﹣5＝0垂直，则此双曲线的离心率为（ ） A ．√133B ．√132C ．√153 D ．√1529．在△ABC 中，D 为BC 的中点，满足∠BAD +∠C =π2，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知直线经过点和点，则直线的倾斜角为（ ） (3,1)A -()0,2B AB A ． B ．C ．D ．30︒60︒120︒135︒【答案】D【分析】设直线的倾斜角为，求出直线的斜率即得解. α【详解】设直线的倾斜角为， α由题得直线的斜率为， 21tan 13k α+===--因为， 0180α≤< 所以. 135α= 故选：D.2．若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线与平面l ()2,2,4v =--- α()1,1,2n =l 的位置关系是（ ）αA ．垂直 B ．平行C ．相交但不垂直D ．平行或线在面内【答案】A【分析】根据得到与共线，即可得到直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α【详解】因为，所以与共线，直线与平面垂直.2n υ=-υ n l α故选：A.3．疫情防控期间，某单位把120个口罩全部分给5个人，使每人所得口罩个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的3倍，则最小一份的口罩个数为（ ） A ．6 B ．10 C ．12 D ．14【答案】C【分析】利用等差数列前项和公式及等差数列通项公式联立方程组解出即可. n 【详解】设等差数列的首项为，公差为，由条件可知， {}n a 1a 0d > 51545120,2S a d ⨯=+=，()345123a a a a a ++=+即，()()113332a d a d +=+即，1122420a d a d +=⎧⎨-=⎩解得，112,6a d ==所以最小一份的口罩个数为12个， 故选：C ．4．双曲线的一条渐近线方程为（ ）2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>CA B ． 0y -=0x =C D ．0y -=0x =【答案】B【分析】根据离心率计算公式，即可容易求得结果.【详解】因为的离心率为，所以C e =b a =所以渐近线方程为. 0x =故选：B.5．在各棱长均相等的直三棱柱中，点M 在上，点N 在AC 上且111ABC A B C -1BB 12BM MB =，则异面直线与NB 所成角的正切值为（ ）2AN NC =1A MA B C D【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，然后利用空间向量的方法求异面直线所成角即可. 【详解】设棱长为3，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， ()10,0,3A 3,22M ⎫⎪⎪⎭3,02B ⎫⎪⎪⎭()0,2,0N ∴，．设异面直线与BN 所成角为，13,12A M ⎫=-⎪⎪⎭1,02BN ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭ 1A M θ则∴∴异面直线与BN所成角的正切值为11cos A M BN A M BN θ⋅===⋅tanθ=1A M故选：B ．6．圆截直线：所得的弦长最短为（ ） 22(1)4x y -+=l (2)1y k x =-+A B ．1C D ．【答案】D【分析】先判断得点在圆C 内部，再结合图像与弦长公式得到当时，弦长取得最小值，M CM l ⊥由此得解.【详解】因为直线：恒过定点，又， l (2)1y k x =-+(2,1)M22(21)14-+<所以点在圆C ：内部，M 22(1)4x y -+=因为圆C ：的圆心为，半径，22(1)4x y -+=(1,0)C 2r =因为弦长为最大时，弦长最短，AB ==dAB 所以当时，最大，则弦长最短， CM l ⊥d CM =AB=所以.min AB =故选：D..7．双曲线方程，，为其左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于点A 和22221x y a b-=1F 2F 2F 点B ，以为直径的圆恰好经过A 点，且，则该双曲线的离心率为（ ） 1BF 134AF AB =A B C D【答案】C【分析】由几何关系及双曲线的定义列方程即可求得离心率. 【详解】如图：由题可知，由， 190BAF ∠=︒134AF AB =可设，则， 13AF x =4AB x =15BF x =设，则 2AF y =24BF x y =-因为A 、B 都在双曲线上， 所以 12122AF AF BF BF a -=-=即 ()3542x y x x y a -=--=解得，x y a ==又， 122F F c ===所以， c x =则离心率．c e a ==故选：C ．8．数列满足：，，记数列的前项和为，若恒成{}n a 12a =()*1111n nn aa +-=∈N {}1n n a a +⋅n n S n S m <立，则实数的取值范围是（ ） m A ． B ．C ．D ．[1,)+∞3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[2,)+∞5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】由条件求出数列的通项公式，再求数列的前项和为及其范围，再由条件{}n a {}1n n a a +⋅n n S 恒成立求的取值范围.n S m <m 【详解】因为，，所以数列为首项为，公差为1的等差数列，所()*1111n nn a a +-=∈N 12a =1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭12以，所以， ()11211122n n n a -=+-⨯=()()1411221212121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪⋅-+-+⎝⎭所以数列的前项和为，{}1n n a a +⋅n 1111121223352121n S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，又，所以，12121n S n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=N n *∈2n S <因为恒成立，所以， n S m <2m ≥故实数的取值范围是， m [2,)+∞故选：C.二、多选题9．已知空间向量，则下列结论正确的是（ ）()()2,1,1,3,4,5a b =--=A ．B ()2//a b a +C ．D ．在上的投影数量为()54a a b ⊥+a b 【答案】BD【分析】根据向量坐标运算，验证向量的平行垂直，向量的模，向量的投影即可解决.【详解】由题得，而，故A 不正确； ()()21,2,7,2,1,1a b a +=-=--127211-≠≠--因为B 正确；|||a b ==因为，故C 错； ()()()542,1,12,11,25100a a b ⋅+=--=≠A因为在上的投影数量为D 正确； a b cos ,a b a a b b ⋅=== 故选：BD.10．已知圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，则直线的方程可以是（ ） 224x y +=l lA ．B ．C ．D ．10x y -+=70x y -+=0x y -+==1x -【答案】BCD【分析】将圆上有且仅有三个点到直线的距离为1，转化为圆心到直线的距离，224x y +=l l 1d =根据圆心到直线距离公式计算即可.【详解】由题知，圆，圆心为，半径为， 224x y +=(0,0)O 2r =因为圆上有且仅有三个点到直线的距离为1， 224x y +=l 所以圆心到直线的距离，l 1d =对于A ，圆心为到直线的距离A 错误； (0,0)O 10x y -+=d ==对于B ，圆心为到直线的距离，故B 正确；(0,0)O 70x y -+=1d对于C ，圆心为到直线的距离，故C 正确；(0,0)O 0x y -=1d 对于D ，圆心为到直线的距离，故D 正确； (0,0)O =1x -0(1)1d =--=故选：BCD11．如图，已知正方体的棱长为2，E ，F ，G 分别为AD ，AB ，的中点，以下1111ABCD A B C D -11B C 说法正确的是（ ）A ．三棱锥的体积为1B ．平面EFGC EFG -1A C ⊥C ．平面EFGD ．平面EGF 与平面ABCD11//A D 【答案】AB【分析】根据锥体体积公式求得三棱锥的体积.建立空间直角坐标系，利用向量法判断C EFG -BCD 选项的正确性.【详解】A 选项，，111132211121241122222CEF S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=---=A 所以，A 选项正确.132132C EFG G CEF V V --==⨯⨯=建立如图所示空间直角坐标系，，()()()()()()112,0,2,0,2,0,0,0,2,1,0,0,2,1,0,1,2,2A C D E F G ,()()()()1112,2,2,2,0,0,1,1,0,0,2,2A C A D EF EG =--=-==，所以， 110,0AC EG AC EF ⋅=⋅= 11,A C EG A C EF ⊥⊥由于平面，所以平面，B 选项正确.,,EG EF E EG EF ⋂=⊂FEG 1A C ⊥EFG 平面的一个法向量为，EFG ()12,2,2A C =--，所以与平面不平行，C 选项错误. 11140A D AC ⋅=≠ 11A D EFG 平面的法向量为，ABCD ()0,0,1n =设平面于平面的夹角为，EFG ABCD θ则，D 选项错误. cosθ=故选：AB12．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，此定理讲的是关于整除的问题.现将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，其前n 项和为，则{}n a n S （ ） A ． B ． 10814a a -=10127a =C ． D ．共有72项10640S ={}n a 【答案】BCD【分析】先求得数列的通项公式，进而求得的值判断选项A ；求得{}n a 1413(72)n a n n =-≤108a a -的值判断选项B ；求得的值判断选项C ；求得的项数判断选项D.10a 10S {}n a 【详解】将1到1000这1000个数中能被2除余1且被7除余1的数按 从小到大的顺序排成一列，构成首项为1末项为995公差为14的等差数列 则数列的通项公式为 {}n a 114(1)1413(72)n a n n n =+-=-≤则数列共有72项.故选项D 判断正确；{}n a .故选项A 判断错误； 10821428a a -=⨯=.故选项B 判断正确； 10141013127a =⨯-=.故选项C 判断正确.10110(1127)6402S =⨯⨯+=故选：BCD三、填空题13．若直线：与：平行，则的值为_____________． 2l 330kx y ++=1l (4)10x k y +-+=k 【答案】1【分析】根据两直线平行的条件列出方程，解之并进行检验，排除重合的情况即可求解. 【详解】由已知得，，即，解得或． ()1340k k ⨯--=2430k k -+=1k =3k =当时，，，显然两直线平行；1k =1:310++=l x y 2:330l x y ++=当时，，化简后，显然两直线重合，舍去． 3k =1:10l x y ++=2:10l x y ++=所以． 1k =故答案为：.114．经过原点的平面的一个法向量为，点坐标为，则点到平面的距离为α(3,1,2)n =A (0,1,0)A α______.【分析】使用空间向量法求点到平面的距离,点到平面的距离可视为在上的投影A αOA (3,1,2)n =大小.【详解】设坐标原点为,则,点到平面的距离可视为在上的投影大小, O (0,1,0)OA = A αOA (3,1,2)n =故d =15．已知直线，若是抛物线上的动点，则点到直线和它到轴的距离:4380l x y -+=P 24y x =P l y 之和的最小值为______ 【答案】75【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上的点到y 轴的距离转化为其到抛物线的焦点的距离减1，从而将其转化为求抛物线的焦点到直线的距离减1，从而求得结果.4380x y -+=【详解】， ()()127111155F l PA PB PH PB PF PB d ≥→+=-+=+--=-=故答案是：. 75【点睛】该题考查的是有关抛物线上的点到两条定直线的距离之和的最小值问题，涉及到的知识点有抛物线的定义，利用抛物线的定义将距离转化为抛物线上的点到焦点的距离和到定直线的距离之和的最小值问题，属于简单题目.16．我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列{}n a {}n b {}n a 与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第{}n b {}n c {}n c {}n b ______项.【答案】28【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作{}n a {}n b {}n c 答.【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令，{}n a {}n b 31,53n n a n b n =-=-,,N k m a b k m *=∈即有，则，因此，即，有3153k m -=-522233m m k m -+==-23,N m p p *+=∈32,N m p p *=-∈，32p p c b -=于是得数列的通项为，，由得：， {}n c 325(32)31513n n c b n n -==--=-10137c =53137n -=28n =所以数列的第10项是数列的第28项. {}n c {}n b 故答案为：28四、解答题17．在等差数列中，． {}n a 162712,16a a a a +=+=(1)求等差数列的通项公式；{}n a (2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和． {}2n n a b +{}n b n n S 【答案】(1)； 21n a n =-(2). 2221n n --【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求解即可；（2）设数列的通项公式为，由等比数列公式求出可得， {}2n n a b +n c n c n b 再由分组求和得解.【详解】（1）设等差数列的公差为，{}n a d 由题知，则，解得 16271216a a a a +=⎧⎨+=⎩1125122716a d a d +=⎧⎨+=⎩11,2.a d =⎧⎨=⎩．()12121n a n n ∴=+-=-（2）设数列的通项公式为，{}2n n a b +n c 则，122n n n n c a b -=+=，()122221n n n n b c a n -∴=-=--则 ()()11242213521n n S n -=++++-++++- ． ()2121122221122nn n n n +--=-⋅=---18．已知点，圆. (),1P t t --()22:34C x y -+=(1)判断点与圆的位置关系，并说明理由；P C (2)当时，经过点的直线与圆相切，求直线的方程.5t =P n C n 【答案】(1)点在圆外，理由见解析；P C (2)或.5x =4320x y +-=【分析】（1）求出与半径比较，即可得出；PC r （2）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，满足条件；当直线的斜率存在时，设直n n 5x =n 线的方程为，根据圆心到直线的距离列出方程，求解即可得到的值，进而n ()65y k x +=-d r =k 解出切线方程.【详解】（1）点在圆外.P C 由已知得，圆心，半径.()3,0C 2r =， ==2r ≥>=所以，点在圆外.P C （2）当时，点.5t =()5,6P -①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为2等于半径，所n n 5x =()3,0C 以直线是圆的切线；5x =②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，n n ()65y k x +=-560kx y k ---=圆心到直线的距离，解得， ()3,0C n 2d 43k =-所以直线的方程为，即. n ()4653y x +=--4320x y +-=综上，直线方程为或.n 5x =4320x y +-=19．如图，在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为，，设为P ABCD -PA ABCD ABCD 24PA =E 侧棱的中点.PC(1)求四棱锥的体积；E ABCD -V (2)求直线与平面所成角的大小.BE PCD θ【答案】(1)； 83(2) 【分析】（1）利用锥体的体积公式即得；（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.【详解】（1）在四棱锥中，⊥平面，正方形的边长为2，，为P ABCD -PA ABCD ABCD 4PA =E 侧棱的中，PC 所以，点到平面为高， E ABCD 122h PA ==又因为，4ABCD S =正方形所以，四棱锥的体积； E ABCD -11842333ABCD V S h =⋅=⨯⨯=正方形（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，A则，，，，，()2,0,0B ()2,2,0C ()0,0,4P ()1,1,2E ()0,2,0D 所以，，，()1,1,2BE =- ()0,2,4DP =- ()2,0,0DC =u u u r设平面的法向量，则， PCD (),,n x y z = 24020n DP y z n DC x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩取，得，2y =()0,2,1n =因为直线与平面所成角为，BE PCD θ，sin BE n BE n θ⋅∴===⋅θ∴=因此，直线与平面所成角为.BE PCD 20．已知数列的前n 项和为，，且．{}n a n S 11a =()*121,2n n S S n n -=+∈≥N (1)求的通项公式；{}n a (2)设，求数列的前n 项和．n n b na ={}n b n T 【答案】(1)12n n a -=(2)(1)21n n T n =-⨯+【分析】（1）根据作差可得，再求出，即可得到，从而得到是11n n n a S S ++=-12n n a a +=2a 212a a ={}n a 以为首项，为公比的等比数列，即可得到其通项公式；12（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可；12n n b n -=⋅【详解】（1）解：因为①， ()*121,2n n S S n n -=+∈≥N 所以②，121n n S S +=+②①得即，-()112121n n n n S S S S +---=++12n n a a +=所以，3542342a a a a a a ===⋯=又当时，，又，所以，所以， 2n =2121S S =+11a =22a =212a a =所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，*12(N )n na n a +=∈{}n a 12所以．12n n a -=（2）解：由（1）可得，12n n n b na n -==⋅所以， 012321112223242(1)()22n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯则12341212223242(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+-⨯+⨯两式相减得， 012311222222221(1)212n n nn n n T n n n ---=++++⋯+-⨯=-⨯=---⨯-所以， (1)21n n T n =-⨯+21．如图，已知四棱锥的底面为直角梯形，平面平面P ABCD -PAD ⊥,,ABCD AD BC AD CD ⊥∥，且的中点分别是．请用空间向量知识解答下列224,,AD BC CD PA PD AD AB =====,O G 问题：(1)求证：平面；OG ⊥POC (2)求二面角的余弦值．D PG O --【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）先证明两两相互垂直，再建立空间直角坐标系，向量法证明,,OB OD OP ，再由线面垂直的判定定理得证；,OG OC OG OP ⊥⊥（2）利用向量法求出二面角的余弦值即可.【详解】（1）连接，由，知四边形是平行四边形，OB //OD BC =OD BC OBCD 又，所以，AD CD ⊥OB AD ⊥因为，是的中点，所以，PA PD =O AD PO AD ⊥又平面平面，是两平面交线，平面，PAD ⊥ABCD AD PO ⊂PAD 所以平面，PO ⊥ABCD 因为平面，所以，OB ⊂ABCD PO OB ⊥即两两相互垂直，,,OB OD OP 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的∴O ,,OB OD OP ,,x y z 空间直角坐标系，，2OP ∴===则．()()()()()0,0,0,1,1,0,2,2,0,0,0,2,0,2,0O G C P D -，()()()1,1,0,2,2,0,0,0,2OG OC OP ∴=-== ， ()()()()1,1,02,2,00,1,1,00,0,20OG OC OG OP ⋅=-⋅=⋅=-⋅= ，,OG OC OG OP ∴⊥⊥又，平面，OC OP O = ,OC OP ⊂POC 平面．OG ∴⊥POC （2）由（1）知，又平面，平面， OG OC ⊥PO ⊥ABCD OC ⊂ABCD 所以，由，平面，PO OC ⊥OG PO O = ,OG OP ⊂OPG 所以平面，OC ⊥OPG 故平面的一个法向量为，OPG ()2,2,0m = 因为．()()1,3,0,1,1,2DG PG =-=-- 设平面的一个法向量为，DPG (),,n x y z = 则即取，解得 0,0,n DG n PG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 30,20,x y x y z -=⎧⎨--=⎩1y =3,1,1.x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩故平面的法向量为，DPG ()3,1,1n = 设二面角的大小为，由图可知为锐角，D PG O --θθ．cos cos ,m n m n m nθ⋅∴==== 故二面角D PG O --22．已知双曲线：的焦距为4，且过点 Γ2222=1(0,0)a x y ab b ->>P ⎛ ⎝(1)求双曲线的方程；Γ(2)过双曲线的左焦点分别作斜率为的两直线与，直线交双曲线于两点，直线ΓF 12,k k 1l 2l 1l Γ,A B 交双曲线于两点，设分别为与的中点，若，试求与2l Γ,C D ,M N AB CD 121k k -⋅=OMN A FMN △的面积之比.【答案】(1) 2213x y -=(2)3【分析】（1）由题意得，再将代入双曲线方程，结合可求出，从24c=P ⎛ ⎝222c a b =+22,a b 而可求出双曲线方程，（2）设直线方程为，，将直线方入双曲线方程化简后利用根与系数1l 1(2)y k x =+1122(,),(,)A x y B x y 的关系，结合中点坐标公式可表示点的坐标，再利用表示出点的坐标，再表示出直M 121k k -⋅=N 线的方程，可求得直线过定点，从而可求得答案.MN MN (3,0)E -【详解】（1）由题意得，得，24c ==2c 所以，224a b +=因为点在双曲线上，P ⎛ ⎝所以， 22413=1a b -解得，223,1a b ==所以双曲线方程为， 2213x y -=（2），设直线方程为，， (2,0)F -1l 1(2)y k x =+1122(,),(,)A x y B x y 由，得 122=(+2)=13y k x x y -⎧⎪⎨⎪⎩2222111(13)121230k x k x k ----=则， 22111212221112123,1313k k x x x x k k --+==--所以， 2121216213x x k k +=-所以的中点， AB 211221162,1313k k M k k ⎛⎫ ⎪--⎝⎭因为，121k k -⋅=所以用代换，得， 11k -1k 1221126,33k N k k ⎛⎫- ⎪--⎝⎭当，即时，直线的方程为，过点， 212211661313k k k =--11k =±MN 3x =-(3,0)E -当时，， 11k ≠±112211122112211221332663(1)133MNk k k k k k k k k k ----==-----直线的方程为， MN 2111222111226133(1)13k k k y x k k k ⎛⎫-=-- ⎪---⎝⎭令，得， =0y 221122113(1)631313k k x k k -=+=---所以直线也过定点， MN (3,0)E -所以 12312N M OMNFMN M N y y OE OE S S FE y y FE -===-A A。
广东省高二上学期数学期末考试试卷
广东省高二上学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)1. （2 分） 圆的圆心坐标是（ ）A . (2，3)B . (－2，3)C . (－2，－3)D . (2，－3)2. （2 分） (2019 高二上·温州期末) 直线 A.的倾斜角是（ ）B.C.D.3. （2 分） 若向量 、 的坐标满足，， 则 · 等于（ ）A.5B . -5C.7D . -14. （2 分） 已知 m≠0，直线 ax+3my+2a=0 在 y 轴上的截距为 2，则直线的斜率为（ ）A.1第 1 页 共 16 页B.-C.D.2 5. （2 分） 设甲：函数 那么甲是乙的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件的值域为 ， 乙：函数有四个单调区间，6. （2 分） (2018 高三上·寿光期末) 若 ， 满足约束条件 （）A. B. C. D. 7. （2 分） (2018 高二上·黑龙江期中) 对于平面 和不重合的两条直线，则的最大值为，下列选项中正确的是（ ）A . 如果，，共面，那么B . 如果， 与 相交，那么是异面直线C . 如果，，是异面直线，那么D . 如果，，那么第 2 页 共 16 页8. （2 分） 双曲线右支上一点到直线的距离，则（）A. B. C. 或 D. 或9. （2 分） (2019 高二下·哈尔滨月考) 已知 围是（ ）A.，且，则的取值范B. C. D.二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)10. （1 分） (2018 高二上·苏州月考) 若椭圆的离心率为 ，则 =________.11. （1 分） (2020 高三上·松原月考) 若命题“ 的范围________．，使得”为假命题，则实数12.（1 分）(2018 高二上·鼓楼期中) 若圆 x2+y2＝4 与圆 x2+y2﹣16x+m＝0 相外切，则实数 m 的值是________．13. （1 分） (2020·甘肃模拟) 已知四边形为矩形,, 为 的中点,将沿折起,得到四棱锥,设的中点为 ,在翻折过程中,得到如下有三个命题:①平面，且的长度为定值 ；②三棱锥的最大体积为；第 3 页 共 16 页③在翻折过程中，存在某个位置，使得.其中正确命题的序号为________．（写出所有正确结论的序号）14. （1 分） (2018·吕梁模拟) 已知双曲线 ：支上一动点，的内切圆的圆心为 ，半径的左右焦点分别为 ， ， 为 右，则的取值范围为________．15.（1 分）(2019 高二下·上海月考) 在北纬 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于 （ 为地球半径），则这两地间的球面距离为________ .三、 解答题 (共 4 题；共 20 分)16. （5 分） (2016 高三上·平阳期中) 设函数 f（x）= • ，其中向量 =（2cosx，1）， =（cosx， sin2x），x∈R． （1） 求 f（x）的最小正周期与单调递减区间；（2） 在△ABC 中，a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边，已知 f（A）=2，b=1，△ABC 的面积为 ，求 的值．17.（5 分）(2020 高二下·东阳期中) 在四棱锥中，平面，，，.（1） 证明：平面；（2） 若二面角的大小为，求 的值.18. （5 分） (2019 高二下·雅安月考) 已知函数.（1） 求这个函数的图象在处的切线方程；（2） 若过点的直线 与这个函数图象相切，求 的方程.19. （5 分） (2019 高一下·泰州月考) 在平面直角坐标系C 与 x 轴交于 M，N 两点，设直线 l 的方程为．中，圆 的方程为，且圆第 4 页 共 16 页（1） 当直线 l 与圆 C 相切时，求直线 l 的方程； （2） 已知直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点．（ⅰ）若，求实数 的取值范围；（ⅱ）直线与直线是否存在常数 a，使得相交于点 P，直线，直线，直线的斜率分别为 ， ， ，恒成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，说明理由．第 5 页 共 16 页一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)答案：1-1、 考点：参考答案解析： 答案：2-1、 考点：解析： 答案：3-1、 考点：解析： 答案：4-1、 考点：第 6 页 共 16 页解析：答案：5-1、 考点： 解析： 答案：6-1、 考点： 解析：第 7 页 共 16 页答案：7-1、 考点： 解析：答案：8-1、 考点： 解析：第 8 页 共 16 页答案：9-1、 考点：解析：二、 填空题 (共 6 题；共 6 分)答案：10-1、 考点： 解析：答案：11-1、 考点： 解析：第 9 页 共 16 页答案：12-1、 考点：解析： 答案：13-1、 考点： 解析：第 10 页 共 16 页答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共20分)答案：16-1、答案：16-2、考点：解析：答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：。
广东高二上学期期末数学试题(解析版
一、单选题1．若向量，，则（ ） ()1,1,0a =()1,0,2b =- 3a b +=A B ．4C ．5D【答案】D【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可.【详解】解析：由题意，得， ()32,3,2a b +=3a b ∴+==故选：D.2．在等比数列中，，则（ ） {}n a 23341,2a a a a +=+=45a a +=A ．4 B ．8C ．16D ．32【答案】A【分析】根据求出，再根据可得答案. 3423()a a q a a +=+q 4534()a a q a a +=+【详解】设等比数列的公比为，q 由，可得q ＝2，所以. 3423()a a q a a +=+4534()4a a q a a +=+=故选：A.3．双曲线的渐近线方程是（ ）22149x y -=A ． B ． C ．D ．23y x =±49y x =±94y x =±32y x =±【答案】D【分析】依据双曲线性质，即可求出．【详解】由双曲线得， ，即 ，22149x y -=224,9a b ==2,3a b ==所以双曲线的渐近线方程是，22149x y -=32b y x x a =±=±故选：D ．【点睛】本题主要考查如何由双曲线方程求其渐近线方程，一般地双曲线的渐近线方程22221x y a b-=是；双曲线的渐近线方程是．b y x a =±22221y x a b-=a y x b =±4．圆关于直线对称的圆的方程为（ ） 22:68240C x y x y ++-+=y x =A ．B ． ()()22431x y -++=()()224349x y -+-=C ．D ．()()22431x y ++-=()()224349x y +++=【答案】A【分析】求出所求圆的圆心坐标与半径，即可得出所求圆的标准方程.【详解】圆的标准方程为，该圆圆心为，半径为，C ()()22341x y ++-=()3,4-1故所求圆的圆心坐标为，半径为， ()4,3-1因此，所求圆的方程为. ()()22431x y -++=故选 ：A.5．在数列{}中，=2，，（ ） n a 1a 11n n n a a a +=-2022a =A ．2 B ．1C ．D ．－112【答案】D【分析】结合递推公式可求得数列是周期为3的周期数列，然后利用递推数列求出第3项即可{}n a 求解.【详解】由题意，， 111n na a +=-故，， 211111n n n a a a ++=-=-3211n n n a a a ++=-=故数列是周期为3的周期数列， {}n a 从而， 2022673333a a a ⨯+==由知，，， 12a =211112a a =-=32111a a =-=-故. 202231a a ==-故选：D.6．如图，在平行六面体中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在上，且ABCD A B C D -''''BC '，则下列向量中与相等的向量是（ ）2BM MC '=OMA ．B ．172263AB AD -++AA '111263AB AD ++AA ' C ．D ． 151263AB AD -++ AA ' 112263AB AD ++ AA ' 【答案】D【分析】根据平行六面体的几何特点，结合空间向量的线性运算，即可求得结果. 【详解】因为平行六面体中，点M 在上，且ABCD A B C D -''''BC '2BM MC '=故可得 OM 1223OB BM DB =+=+ 'BC()1223AB AD =-+ 'AD()1223AB AD -+ '()AD AA + 112263AB AD =++'AA 故选：D.7．直线与曲线m 的取值范围是（ ）． :l y x m =-+x =A ．B ． 2,⎡-⎣(2⎤--⎦C ．D ．(2⎤-⎦2,⎡⎣【答案】D【分析】把已知曲线方程变形，画出图形，数形结合得答案．【详解】由，得， x =224(0)x y x +=…如图，当直线与相切时， :l y x m =-+224(0)x y x +=…m =当直线过点（0,2）时，有两个交点:l y x m =-+若直线与曲线有两个公共点，∴:l y x m =-+x =则实数的取值范围是．m 2,⎡⎣故选：．D 8．已知椭圆经过点，当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，()222210x y a b a b +=>>()3,1其标准方程为（ ）A ．B ．221124x y +=22611515x y +=C ．D ．22711616x y +=221182x y +=【答案】A【分析】把点代入椭圆方程得，写出椭圆顶点坐标，计算四边形周长讨论它取最小()3,122911a b+=值时的条件即得解. 【详解】依题意得，椭圆的四个顶点为，顺次连接这四个点所得四边形为菱22911a b+=(,0),(0)a b ±±形，其周长为，当且仅当，即16==≥=22229b a a b=时取“=”，223a b =由得a 2=12，b 2=4，所求标准方程为.22229113a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩221124x y +=故选：A【点睛】给定两个正数和(两个正数倒数和)为定值，求这两个正数倒数和(两个正数和)的最值问题，可借助基本不等式中“1”的妙用解答.二、多选题9．已知是互不重合的直线，是互不重合的平面，下列四个命题中正确的是（ ） ,m n ,αβA ．若，则//,m n n α⊂//m αB ．若，则 //,//,m m n αβαβ⋂=//m n C ．若，则 ,,//m m n ααβ⊥⊥//n βD ．若，则 ,,m n m n αβ⊥⊥⊥αβ⊥【答案】BD【解析】根据空间中直线、平面的位置关系逐项进行分析判断，由此确定出正确的选项.【详解】A ．若，此时可能平行或异面，故A 错误；//,m n n α⊂,m αB ．根据“若一条直线和两个相交平面都平行，则该直线平行于相交平面的交线”，可知B 正确； C ．若，此时或，故C 错误；,,//m m n ααβ⊥⊥n β⊂//n βD ．选取上的方向向量，则为的一个法向量，又，所以，可知D 正,m n ,a b ,a b ,αβa b ⊥αβ⊥确， 故选：BD.【点睛】方法点睛：判断符号语言描述的空间中位置关系的命题的真假： （1）利用定理、定义、公理等直接判断； （2）作出简单图示，利用图示进行说明；（3）将规则几何体作为模型，取其中的部分位置关系进行分析. 10．下列关于抛物线的说法正确的是（ ） 210y x =A ．焦点在x 轴上B ．焦点到准线的距离等于10C ．抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于72D ．由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标可能为 ()2,1【答案】ACD【分析】根据抛物线的定义和性质逐项进项检验即可.【详解】抛物线的焦点在x 轴上，，正确，错误； 210y x =5p =A B 设是上的一点，则，所以正确； ()01,M y 210y x =5711222p MF =+=+=C 由于抛物线的焦点为，过该焦点的直线方程为，若由原点向该直线作210y x =5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭52y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭垂线，垂足为时，则，此时存在符合题意的垂线，所以正确. ()2,12k =-D 故选：.ACD 11．圆：和圆：的交点为A ，B ，则有（ ） 1O 2220x y x +-=2O 22280x y x y ++-=A ．公共弦所在直线方程为 AB 20x y +=B ．线段中垂线方程为 AB 220x y +-=C ．公共弦 ABD ．P 为圆上一动点，则P 到直线 1O AB 1【答案】BD【分析】根据圆与圆的位置关系，两圆的方程作出得出公共弦所在直线方程，判断选项； A 利用公共弦的中垂线过圆心即可求出线段的中垂线方程，判断选项；利用垂径定理和点到直AB B 线的距离公式可判断选项；利用点到直线的距离即可判断选项.C D 【详解】对于，由圆：与圆：的交点为A ，B ， A 1O 2220x y x +-=2O 22280x y x y ++-=两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故错误； 480x y -=AB 20x y -=A 对于，圆：的圆心为，， B 1O 2220x y x +-=()1,012AB k =则线段中垂线斜率为－2，AB 即线段中垂线方程为：，整理可得，故正确； AB 02(1)y x -=-⨯-220x y +-=B对于，圆：，圆心到的距离为，半径C 1O 2220x y x +-=()11,0O 20x y -=d ==，所以不正确； 1r =AB ==C对于，P 为圆上一动点，圆心到的距离为，即P 到直线D 1O ()11,0O 20x y -=d =1r =，故正确. AB 1D 故选：BD.12．对于数列，定义为的“优值”.现已知数列的“优值”{}n a 112022n na a a H n -+++= {}n a {}n a ，记数列的前n 项和为，则下列说法正确的是（ ） 102n H +={}20n a -n S A ． B ．C ．D ．的最小值为－6222n a n =+219n S n n =-89S S =n S 【答案】AC【分析】由题可得，进而可得判断A ，再由等差数列求和公式求出1112222n n n a a a n -+++⋅⋅⋅+=⋅n a 判断B ，由分析数列的项的符号变化情况判断C ，求出判断D.n S 200n a -≤{}20n a -9S 【详解】由题意知，，则①，11120222n n n a a a H n-+++⋅⋅⋅+==1112222n n n a a a n -+++⋅⋅⋅+=⋅当时，，1n =111214a +=⨯=当时，②，2n ≥212122(1)2n n n a a a n --++⋅⋅⋅+=-⋅①－②得，，1122(1)2n n n n a n n -+=⋅--⋅解得，当时也成立， ()21n a n =+1n =∴，A 正确；22n a n =+121220202020n n n S a a a a a a n =-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-21222222202(12)220n n n n n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+⨯+-=++⋅⋅⋅++-，B 错误；2(1)1817n n n n n =+-=-∵，当时，即，且， 20218n a n -=-200n a -≤9n ≤9200a -=故当或9时，的前n 项和取最小值， 8n ={}20n a -n S 最小值为，C 正确，D 错误. 899(160)722S S ⨯-+===-故选：AC.三、填空题13．已知，，若，则________. ()1,,3a x = ()2,4,b y =- a bA x y +=【答案】8-【分析】根据空间共线向量的坐标表示计算即可得出结果.【详解】因为，所以.所以，，解得，所以.a bA b a λ= 243x y λλλ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩226x y λ=-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩8x y +=-故答案为：8-14．已知直线与，若，则实数a 的值为______． 1:230l ax y +-=()2:3140l x a y +-+=12l l ⊥【答案】2-【分析】由可得，从而可求出实数a 的值 12l l ⊥32(1)0a a +-=【详解】因为直线与，且， 1:230l ax y +-=()2:3140l x a y +-+=12l l ⊥所以，解得， 32(1)0a a +-=2a =-故答案为：2-15．若是等差数列的前项和，且，则______． n S {}n a n 105113S S =105a a =【答案】2【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解即可.n【详解】设等差数列的公差为，由，得，化简{}n a d 105113S S =111095*********a d a d ⨯⨯⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得，所以． 1a d =1015199244a a d d d a a d d d++===++故答案为：216．，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上一点，且1(4,0)F -2(4,0)F 22:1(0)4x y C m m -=>M C ，则的面积为_____.1260F MF ∠= 12FMF △【答案】【分析】根据双曲线方程及焦点直接求出，设，，根据双曲线定义和余弦定m 11MF m =2MF n =理解焦点三角形，列出两个方程，解得，利用面积公式可求得答案。
广东高二上学期期末数学试题(解析版)
高二数学试题全卷满分150分，时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号､座位号､学校､班级等考生信息填写在答题卡上.2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.过点且平行于直线的直线方程为（） ()1,3P -230x y -+=A. B. 210x y +-=250x y +-=C. D.250x y +-=270x y -+=2.已知是等差数列，且是和的等差中项，则的公差为（） {}n a 21a +1a 4a {}n a A.1B. C.2D.2-1-3.棱长为1的正四面体中，则等于（）ABCD AD BC ⋅A.0B. C. D.121414-4.已知椭圆的一个焦点为，且过点，则椭圆的标准方程为（）C ()1,0(C A. B. 22123x y +=22143x y +=C. D. 22132x y +=22134x y +=5.已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（）()2,1,3a =- axOy A. B. C. D.()0,2,1()0,1,3-()2,1,0()2,0,3-6.直线与圆交于两点，则当弦最短时:210l mx y m +--=22:(2)4C x y +-=,A B AB 直线的方程为（）l A. B. 430x y -+=2430x y --=C. D.2410x y ++=2430x y -+=7.已知直线的方程是的方程是，则下列图形中，1l 2,y ax b l =+()0,y bx a ab a b =-≠≠正确的是（）A. B.C. D.8.在数列中，若（为常数），则称为“等方差数{}n a 221,n n a a p --=*2,,n n N p ≥∈{}n a 列”，下列是对“等方差数列”的判断：①若是等方差数列，则是等差数列；{}n a {}2n a ②不是等方差数列；{}(1)n-③若是等方差数列，则（为常数）也是等方差数列； {}n a {}kn a *,k k ∈N ④若既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. {}n a 其中正确命题序号为（）A.①③B.②④C.①③D.①④二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.已知数列的前项和为，则下列说法不正确的是（）{}n a n 2,5n n S S n n =-A.为等差数列B.{}n a 0n a >C.最小值为 D.为单调递增数列 n S 254-{}n a 10.已知空间中，则下列结论正确的有（） ()()2,1,0,1,2,1AB AC ==-A. B.与共线的单位向量是 AB AC ⊥ AB()1,1,0C. D.平面的一个法向量是BC =ABC ()1,2,5-11.已知曲线，则下列判断正确的是（）22:1x y C a b-=A.若，则是圆，其半径为0a b =->C aB.若，则是双曲线，其渐近线方程为 0ab >C y =C.若，则是椭圆，其焦点在轴上 0a b -<<C xD.若，则是两条直线1a b ==C 12.2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”.如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直()0,2F 径重合，下半圆与轴交于点.若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于y G O A 点，则（）BA.椭圆的长轴长为B.的周长为AFG A 4+C.线段长度的取值范围是AB 4,2⎡+⎣D.面积的最大值是ABF A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.抛物线的焦点坐标为__________.28y x =14.已知双曲线经过点，则离心率为__________.22:1y C x m-=)215.已知圆上有且仅有3个点到直线的距离等于1，请写出满足上述条件的一224x y +=l 条直线方程__________.（写出一个正确答案即可）l 16.空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方xOy ()000,,P x y z (),,n a b c =α程为，过点且方向向量为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=()000,,P x y z 的直线的方程为，阅读上面材料，并解()(),,0n u v w uvw =≠ l 000x x y y z z u v w---==决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与α10x y z -++=l 20x y -+=的交线，则直线与平面所成角的正弦值为__________.210x z -+=l α四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知数列满足.{}n a *111,2,n n a a a n n +==+∈N （1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前项和.2n n b a n =-{}n b n n S 18.（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB（1）求证：；EF CF ⊥（2）求与所成角的余弦值. EF CG 19.（本小题满分12分）已知为平面内的一个动点，且满足()()1,0,1,0,A B C -AC =（1）求点的轨迹方程；C （2）若直线，求直线被曲线截得的线段长度. :10l x y +-=l C 20.（本小题满分12分）已知抛物线经过点是抛物线上异于点的不同的两点，其中2:2C y px =()2,2,P A B ､C O 为原点.O （1）求抛物线的方程；C （2）若，求面积的最小值. OA OB ⊥AOB A 21.（本小题满分12分）如图，在多面体中，四边形是菱形，，，ABCDEF ABCD //EF AC 1EF =60ABC ∠=︒，平面，，是的中点.CE ⊥ABCD CE ==2CD G DE（1）求证：平面平面；ACG //BEF （2）求直线与平面所成的角的正弦值. AD ABF 22.（本小题满分12分）已知双曲线的右焦点为为坐标原点，双曲线的两条2222:1(0)x y C a b a b -=>>()2,0,F O C 渐近线的夹角为.3π（1）求双曲线的方程；C （2）过点作直线交于两点，在轴上是否存在定点，使为定F l C ,P Q x M MP MQ ⋅值？若存在，求出定点的坐标及这个定值；若不存在，说明理由.M惠州市2022-2023学年第一学期期末质量检测高二数学参考答案与评分细则一､单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCABCDAA1.【解析】设直线的方程为，把点坐标代入直线方程得()203x y c c -+=≠()1,3P -，所以所求的直线方程为.160c --+=7c ∴=270x y -+=2.【解析】设等差数列的公差为.由已知条件，得，即{}n a d ()14221a a a +=+，解得.()()111321a a d a d ++=++2d =3.【解析】由题意以作为基底，， ,,AB AC AD BC AC AB =-则()0AD BC AD AC AB AD AC AD AB ⋅=⋅-=⋅-⋅=4.【解析】椭圆的焦点在轴上，故设其方程为：，显然x 22221(0)x ya b a b+=>>，故椭圆方程为.1,c b ==2224a b c =+=22143x y +=5.【解析】由题意可知，向量在坐标平面上的投影向量是.axOy ()2,1,06.【解析】由，则令，解得()210,2110mx y m x m y +--=-+-=21010x y -=⎧⎨-=⎩121x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩故直线过定点，由，则圆心，半径，当l 1,12P ⎛⎫⎪⎝⎭22(2)4x y +-=()0,2C 2r =时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，AB CP ⊥AB CP 12212CP k -==-l 12AB k =故直线为，则.l 11122y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2430x y -+=7.【解析】逐一判定即可.对于A ，由的图象知，由的图象知，故A 正确； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <>对于B ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故B 错误； 1l 0,0a b <>2l 0,0a b <<对于，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误； C 1l 0,0a b ><2l 0,0a b <>C 对于D ，由的图象知，由的图象知，矛盾，故错误.1l 0,0a b >>2l 0,0a b <<D 8.【解析】①是等方差数列，（为常数）得到为首项是，公{}n a 221n n a a p --=p {}2n a 21a 差为的等差数列；故①正确 p ②数列中，，所以是等方差数列；{}(1)n-222211(1)(1)0n n nn aa --⎡⎤⎡⎤-=---=⎣⎦⎣⎦{}(1)n -故②不正确③数列中的项列举出来是数列中的项列举：{}n a 122,,..,,..,k k a a a a ⋯⋯⋯{}2kn a23,,k k k a a a ⋯⋯ ()()222222121221k k k k k k a a a a a a p +++--=-=⋯=-=()()()222222121221k k k k k k a a a a a a kp +++-∴-+-+⋯+-=，即数列是等方差数列，故③正确；()221kn k n a a kp +∴-={}kn a ④数列是等差数列，数列是等方差数列，{}n a ()112.n n a a d n -∴-=≥ {}n a ，当时，为常数()22122n n a a d n -∴-=≥()121,n n a a d d -∴+=∴10d ≠12122n d d a d =+列；当，数列为常数列.则该数列必为常数列，故④正确.10d ={}n a {}n a 正确命题的是①③④，故A 正确.∴二､多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.题号 9 10 11 12 全部正确选项BCACDBCBC9.【解析】对于A ，当时，，2n ≥()2215(1)5126n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦时满足上式，所以，所以1n =114a S ==-*26,n a n n N =-∈，()()1216262n n a a n n +-=+---=所以为等差数列，故正确；{}n a A 对于B ，由上述过程可知，故B 错误； *12326,N ,40,20,0n a n n a a a =-∈=-<=-<=对于C ，因为，对称轴为，又因为，所以当或325n S n n =-52.52n ==*N n ∈2n =时，最小值为，故错误；n S 6-C 对于D ，由上述过程可知的公差等于2，所以为单调递增数列，故D 正确.{}n a {}n a 10.【解析】对于，故正确；()()A,2,1,01,2,1220AB AC ⋅=⋅-=-+= ,A AB AC ⊥对于不是单位向量，且与不共线，错误； (),1,1,0B ()1,1,0()2,1,0AB =B对于正确；(),3,1,1,C BC AC AB BC C =-=-∴=对于，设，则，D ()1,2,5m =- ()()1,2,52,1,0220m AB ⋅=-⋅=-=，所以，又()()1,2,53,1,13250m BC ⋅=-⋅-=--+= ,m AB m BC ⊥⊥AB BC B⋂=，所以平面的一个法向量是正确.ABC ()1,2,5,D -11.【解析】对于，若时，转化为A 0a b =->22:1x y C a b-=22x y a +=，故错误；A 对于，若，当是焦点在轴上的双曲线，当是焦点B 0ab >0,0,ab C >>x 0,0,a b C <<在轴上的双曲线，无论焦点在哪个轴上，令，整理可得均是y 220x y a b-=y =C的渐近线，B 正确；对于，若转化为，由于可知，C 220,:1x y a b C a b -<<-=22:1x y C a b+=-0a b >->C是焦点在轴上的椭圆，故C 正确；x 对于，若转化为，是双曲线不是两条直线，故DD 221,:1x y ab C a b==-=221x y -=错误.12.【解析】对于，由题知，椭圆中，得，则A 2b c ==a ==2a =，故错误；A 对于，由定义知，的周长正B 2AF AG a AFG +==A 4L FGB =+=+确；对于，由性质知C,2AB OB OA OA =+=+2OA ≤≤42AB C ≤≤+正确；对于，设所在直线方程为，联立可得， D AB y kx =22148y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩A x =联立可得，则224y kx x y =⎧⎨+=⎩B x =显然，当1122ABF AOF OBF A B S S S OF x OF x=+=+=+A A A 20k ≥2k 增大时，是减小，所以当时，有最大值4，故D 错误. y=0k=ABF S A 三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. ()2,014.（写出一个即可） 1103450,x y x y x y =±=±++=++= ､､､【注】若答案形式为：，则系数必须满足： 0Ax By C ++=222A B C +=若答案形式为：，则系数必须满足： y kx b =+221k b +=13.【解析】对比标准方程可得焦点坐标为()2,014.【解析】双曲线经过点，所以，解得，所以双22:1y C x m-=)2421m-=4m =曲线方程为，所以双曲线焦点在轴上，2214y x -=x1,2,a b c ===率为.e =15.【解析】数形结合可知，只要是半径的垂直平分线，均满足题意要求， 设直线为，则由题可知圆心到直线的距离为，0AxBy C ++=()0,01,1d ==所以222A B C +=16.【解析】因为平面的方程为，故其法向量可取为， α10x y z -++=()1,1,1p =-平面的法向量可取为，平面的法向量可取为20x y -+=()1,1,0m =-210x z -+=，()2,0,1n =-直线是两个平面与的交线，设其方向向量为，则l 20x y -+=210x z -+=(),,s t q μ=，令，则，故设直线与平面所成的角为020m s t n s q μμ⋅=-=⎧⎨⋅=-=⎩1s =()1,1,2μ=l α，,0,2πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则sin |cos ,|||p p p μθμμ⋅=〈〉=== ‖四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分，第一小问5分，第二小问5分.） 【解析】（1）当时，*2,n n N ≥∈()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+2(1)2(2)211n a n n ∴=-+-++⋅+()()21211n n ⎡⎤=-+-+++⎣⎦ ()()111212n n ⎡⎤-+-⎣⎦=⋅+因为也满足上式，1n =()2*1n a n n n N ∴=-+∈（2），则2221n n b a n n n n =-=-+-1n b n =-+所以是以0为首项，为公差的等差数列 {}n b 1-故()()101S 22n n b b n n n +⋅-+⋅==21122n S n n ∴=-+18.（本小题满分12分，第一小问7分，第二小问5分.）【解法一】（1）以为坐标原点，为轴正方向建立如图所示空间直角坐标系D DAX()()()0,0,1,1,1,0,0,2,0E F C 则所以 ()1,1,1EF =-()1,1,0CF =-因为1100EF CF ⋅=-+=所以 EF CF ⊥ 即EF CF ⊥（2）由（1）知，()2,2,1G 则()2,0,1CG =所以 cos ,EF CG EF CG EF CG⋅=⋅==所以与EF CG 【解法二】由题意得：在中有：，Rt EDFA 11,2ED DF BD====EF ∴==在中有：R EDC AA 1,2,ED DC EC ==∴==在正方形中， ABCD 12CF AC ==在中有： ∴EFC A 222EF FC CE +=所以有：EF CF ⊥（2）连接，取的中点，连接，11,A E A F 1A A H ,HG HD 四边形为平行四边形∴1,A HDE HDCG1,HD A E HD CG ∴∥∥1A E CG ∴∥在Rt 中有：，11A D EA 1A E ==在Rt 中有：，1AAF A 1A F ==在中有：∴1A EFA 2221111cos 2A E EF A F A EF A E EF ∠+-===⋅所以与EF CG 19.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.） 【解析】（1）由题意可设点的坐标为，由C (),xy AC==整理得点的轨迹方程为. C 22610x y x +-+=（2）由（1）可知，曲线 22:(3)8C xy -+=则圆心坐标为， ()3,0半径为则圆心到直线的距离:10l x y +-=d=所以弦的长度==直线被曲线截得的线段长度为l C 20.（本小题满分12分，第一小问3分，第二小问9分.） 【解析】（1）由抛物线经过点知，2:2C y px =()2,2P 44p =解得，1p =则抛物线的方程为；C 22y x =（2）【解法一】由题知，直线不与轴垂直，设直线，AB y :AB x ty a =+由消去，得， 22x ty a y x=+⎧⎨=⎩x 2220y ty a --=，设，2Δ480t a =+>()()1122,,,A x y B x y 则，12122,2y y t y y a +==-因为，所以即，所以 OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=22121204y y y y +=解得（舍去）或，120y y =124y y =-所以即，24a -=-2a =所以直线，所以直线过定点，:2AB x ty =+AB ()2,012122АОВS y y =⨯⨯-==A4≥=当且仅当或时，等号成立，122,2y y ==-122,2y y =-=所以面积的最小值为4.AOB A 【注：面积也可以用的方式来计算 AOB A 12AOB S OA OB =⨯⨯A 【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0 OA OB 不妨设直线方程为，代入由可得 OA y kx =2y OA OB ⊥()22,2B k k -22OA k =OB =12AOB S OA OB ==A4≥=当且仅当时等号成立1k =±所以面积的最小值为4 AOB A 【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时， AB AOB A 4AOB S =A 当直线斜率存在时，设直线，AB :AB y kx b =+由消去，得， 22y kx b y x=+⎧⎨=⎩y ()222210k x kb x b +-+=()()1122Δ840,,,,,kb A x y B x y =-+>设则， ()212122221,kb b x x x x k k -+=-=因为，所以即，OA OB ⊥0OA OB ⋅= 12120x x y y +=所以 ()()22121210kb x x k x x b ++++=解得（舍去）或，0b =2b k =-所以直线，所以直线过定点，():2AB y k x =-AB ()2,0()()121212222AOB S y y k x k x =⨯⨯-=---=A 4=>综上：面积的最小值为4.AOB A 21.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）（1）证明：连接交于，则是的中点，BD AC O O BD 连接，是的中点，，OG G DE //OG BE ∴平面，平面，BE ⊂ BEF OG ⊄BEF 平面；//OG ∴BEF 又，平面，平面，//EF AC AC ⊄BEF EF ⊂BEF 平面，//AC BEF 又与相交于点，平面，AC OG O ,AC OG ⊂ACG 所以平面平面.//ACG BEF （2）【解法一】解：连接，因为四边形是菱形，所以， OF ABCD AC BD ⊥又，，所以为等边三角形，所以，又， 60ABC ∠=︒=2CD ABC A =2AC 1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =//EF OC OCEF //OF CE 因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD 如图，以为坐标原点，分别以､､为､､轴建立空间直角坐标系， O OC OD OF x y z 则，，，，()1,0,0A-()0,B()D(F ，，，AD =(1,AB = AF = 设面的法向量为，ABF =(,,)m a b c 依题意有，则， m AB m AF ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩==0==0m AB a m AF a ⋅-⋅⎧⎪⎨⎪⎩令，，则，a =1b =1c =-1)m =-所以cos ,AD mAD m AD m ⋅<>==⋅ 所以直线与面AD ABF【解法二】连接，因为四边形是菱形，所以，OF ABCD AC BD ⊥所以为等边三角形，所以，又，ABC A 2AC =1EF =所以且，所以四边形为平行四边形，所以， EF OC =EF OC ∥OCEF OF CE ∥因为平面，所以平面，CE ⊥ABCD OF ⊥ABCD在Rt 中，， FOB A BF==在Rt 中，FOA A 2AF ==又在中，由等腰三角形易计算得 ABF A 2,AB =∴ABF S =A 设为点到平面的距离d D ABF 11,33D ABF F ABD ABF ABD V V S d S FO --=⋅=⋅A A 即有计算得： d =设直线与平面所成的夹角为，则 AD ABF θsin d DA θ===所以直线与面AD ABF 22.（本小题满分12分，第一小问5分，第二小问7分.）【解析】（1）双曲线的渐近线为， 22221x y a b -=b y x a =±又，结合已知条件可知渐近线的的倾斜角为 0,01b a b a >><<b y x a =,6π则. b a =a =，得 2=1a b ==所以双曲线的方程是. C 2213x y -=（2）当直线不与轴重合时，设直线的方程为，l x l 2x ty =+代入，得，即. 2213x y -=22(2)33ty y +-=()223410t y ty -++=设点，则. ()()1122,,,P x y Q x y 12122241,33t y y y y t t +=-=--设点，则 (),0M m ()()()()1212121222MP MQ x m x m y y ty m ty m y y ⋅=--+=+-+-+()()()22121212(2)t y y t m y y m =++-++- ()()22223312113m t m m t ---+=-令，得， ()223121133m m m -+=-53m =此时. 2239MP MQ m ⋅=-=- 当直线与轴重合时，则点为双曲线的两顶点，不妨设点. l x ,P Q ()),P Q 对于点. 5552,0,,0·,03339M MP MQ ⎛⎫⎛⎫⎫⋅=-=- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭ 所以存在定点，使为定值.5,03M ⎛⎫ ⎪⎝⎭2239MP MQ m ⋅=-=-。
2022-2023学年广东省广州市第五中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州市第五中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线方程20x y m -+=的一个方向向量d 可以是（ ） A ．(2,1)- B ．(2,1) C ．(1,2)- D ．(1,2)【答案】D【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量. 【详解】解：依题意，2,1为直线的一个法向量，∴方向向量为()1,2， 故选：D .2．双曲线的一个焦点与抛物线224x y =的焦点重合，它的一条渐近线的倾斜角为60°，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2215418y x -=B ．2215418x y -=C ．221279y x -=D ．221927x y -=【答案】C【分析】求出抛物线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程得到a ，b 关系，求解即可． 【详解】解：抛物线224x y =的焦点：(0,6)，可得6c =，且双曲线的焦点坐标在y 轴上， 因为双曲线的渐近线的倾斜角为60︒，所以ab=223a b ，又22236c a b =+=，所以227a =，29b =， 所求双曲线方程为：221279y x -=．故选：C ．3．平面α的一个法向量()2,0,1n =，点()1,2,1A -在α内，则点()1,2,3P 到平面α的距离为（ ）A ．BCD 【答案】C【分析】由点到平面距离的向量法计算． 【详解】(2,0,2)PA =--，cos ,5n PA n PA n PA⋅-<>===所以点()1,2,3P 到平面α的距离为cos ,d PA n PA =<>==故选：C ．4．设x ，y ∈R ，向量(),1,1a x =，(1,,1)b y =，(2,4,2)c =-且a b ⊥，//b c ，则||a b +=（ ）A ．BC ．3D ．4【答案】C【分析】根据a b ⊥，//b c ，解得x ，y ，然后由空间向量的模公式求解.【详解】因为向量(),1,1a x =，(1,,1)b y =，(2,4,2)c =-且由a b ⊥得10x y ++=，由//b c ，得124y=- 解得2,1y x =-=，所以向量()1,1,1a =，(1,2,1)b =-， 所以()2,1,2a b +=-，所以(2||23a b +=+ 故选：C5．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．10B ．12C ．31log 5+D ．32log 5+【答案】A【分析】计算得出569a a =，利用对数的运算性质结合等比数列的性质可求得结果. 【详解】564756218a a a a a a +==，所以，569a a =， 故()()553132310312103563log log log log log log 910a a a a a a a a +++====．故选：A ．6．动点A 在圆221x y +=上移动时，它与定点()3,0B 连线的中点的轨迹方程是 （ ） A ．22320x y x +++= B ．22320x y x +-+= C ．22320x y y +++= D ．22320x y y +-+=【答案】B【分析】设连线的中点为(,)P x y ,再表示出动点A 的坐标,代入圆221x y +=化简即可.【详解】设连线的中点为(,)P x y ,则因为动点(,)A A A x y 与定点()3,0B 连线的中点为(,)P x y ,故 3232202A A A A x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=+⎩⎪=⎪⎩ ,又A 在圆221x y +=上,故22()(231)2x y -+=, 即2222412941,412840x x y x x y -++=-++=即22320x y x +-+= 故选B【点睛】本题主要考查了轨迹方程的一般方法,属于基础题型.7．如图已知矩形,1,3ABCD AB BC ==，沿对角线AC 将ABC 折起，当二面角B AC D --的余弦值为13-时，则B 与D 之间距离为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．102【答案】C【分析】过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】解：过B 和D 分别作BE AC ⊥，DF AC ⊥，在矩形,1,3ABCD AB BC ==2AC ∴=， ABC ADC S S =△△，1122AB BC AC BE ∴⋅=⋅3BE DF ∴==， 则12AE CF ==，即211EF =-=，平面ABC 与平面ACD 所成角的余弦值为13-，cos EB ∴<,13FD >=-，BD BE EF FD =++，∴2222233()22212cos 44BD BE EF FD BE EF FD BE EF FD BE EF FD EB FD EB =++=+++⋅+⋅+⋅=++-⋅<，51512()32322FD >=--=+=， 则3BD =，即B 与D 故选：C ．8．12F F ､是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点，点M 为椭圆E 上一点，点N 在x 轴上，满足1260F MN F MN ∠∠==，若1235MF MF MN λ+=，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．89B ．56C ．23D ．78【答案】D【分析】根据给定条件，结合向量加法的平行四边形法则确定1||MF 与2||MF 的关系，再利用椭圆定义结合余弦定理求解作答.【详解】由1235MF MF MN λ+=得，以13MF 、25MF 为一组邻边的平行四边形的以点M 为起点的对角线对应的向量与MN 共线，由1260F MN F MN ∠=∠=︒知，MN 平分12F MF ∠， 因此这个平行四边形是菱形，有123|5|||MF MF =， 又12|||2|MF MF a =+，于是得1253|,|4||4MF a MF a ==，令椭圆E 的半焦距为c ，在12F MF △中，12120F MF ∠=，由余弦定理得：22212121212||||||2||||cos F F MF MF MF MF F MF =+-∠，即22225353494()()444416c a a a a a =++⋅=，则有2224964c e a ==，解得78e =，所以椭圆E 的离心率为78.故选：D二、多选题9．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <，713S S =，则下列结论正确的有（ ） A ．{}n a 是递减数列 B ．120a >C ．200S <D ．n S 最小时，10n =【答案】BD【分析】根据等差数列的性质首项10a <可得：公差0d >且11100a a =->即可判断等差数列{}n a 是递增数列，进而求解.【详解】因为等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且713S S =，所以137891011121310113()0S S a a a a a a a a -=+++++=+=，则有0111a a =-，因为10a <，所以公差0d >，且11100a a =->，所以等差数列{}n a 是递增数列，故选项A 错误； 12110a a >>，故选项B 正确；因为12010112020()20()022a a a a S ++===，故选项C 错误； 由11100a a =->可知：等差数列{}n a 的前10项均为负值，所以n S 最小时，10n =，故选项D 正确， 故选：BD .10．过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（ ）A ．PA =B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【答案】BCD【分析】求出OP ，由勾股定理求解PA ，即可判断选项A ；利用PO 为所求圆的直径，求出圆心和半径，即可判断选项B ；利用AB OP ⊥，求出直线AB 的斜率，即可判断选项C ；求出直线PO 和AB 的交点坐标，利用三角形的面积公式求解，即可判断选项D .【详解】对于A ，由题意可得：OP =2PA ==，故选项A 错误；对于B ，由题意知，PB OB ⊥，则PO 为所求圆的直径，所以线段PO 的中点为112（，），则所求圆的方程为2215(1)()24x y -+-=，化为一般方程为222x y x y +=+，故选项B 正确；对于C ，由题意，其中一个切点的坐标为0,1（），不妨设为点B ，则AB OP ⊥，又12OP k =，所以2AB k =-，所以直线AB 的方程为21y x =-+，故选项C 正确； 对于D ，因为AB OP ⊥，且直线OP 的方程为12y x =，直线AB 的方程为21y x =-+，联立方程组2112y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以两条直线的交点坐标为21(,)55D，则BD =PD =故PBD △的面积为1425=，所以PAB 的面积为85，故选项D 正确，故选：BCD .11．已知()0,πα∈，曲线22:sin cos 1C x y αα+=，下列说法正确的有（ ） A ．当π4α=时，曲线C 表示一个圆 B ．当π2α=时，曲线C 表示两条平行的直线 C ．当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在x 轴的双曲线D ．当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线C 表示焦点在y 轴的椭圆【答案】ABC【分析】根据曲线方程的特点，结合圆、直线、椭圆、双曲线的标准方程分别判断即可． 【详解】对于A ，当π4α=时，曲线22sin cos 1x y αα+=表示圆22x y +=，所以A 正确； 对于B ，当π2α=时，曲线C 表示两条平行的直线1x =±，所以B 正确． 对于C ，当π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，曲线22:sin cos 1C x y αα-=表示焦点在x 轴的双曲线，所以C 正确．对于D ，当π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，0sin cos 1αα<<<，曲线C 表示焦点在x 轴的椭圆，所以D 不正确．故选：ABC ．12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为线段1AB 上的动点（含端点），则下列结论正确的是（ ）A ．平面BCM ⊥平面1A AMB ．三棱锥1B MBC -体积最大值为16C ．当M 为1AB 中点时，直线1BD 与直线CM 2D ．直线CM 与1A D 所成的角不可能是4π 【答案】ABC【分析】利用面面垂直的判定知A 正确；利用11B MB C C BB M V V --=，可知三棱锥1B MB C -体积最大时，1BB MS最大，由此可计算确定B 正确；以1D 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法可知C 正确； 在C 中的空间直角坐标系中，假设()101AM AB λλ=≤≤，得到()1,,1M λλ-，假设所成角可以为4π，利用异面直线所成角的向量求法构造方程可求得λ的值，知D 错误. 【详解】对于A ，BC AB ⊥，1BC BB ⊥，1AB BB B ，1,AB BB ⊂平面1AA M ，BC ∴⊥平面1AA M ，又BC ⊂平面BCM ，∴平面BCM ⊥平面1A AM ，A 正确；对于B ，11111133B MBC C BB M BB MBB MV V SBC S--==⋅=，M 为1AB 上动点，∴当M 与A 重合时，1BB MS取得最大值为11122AB BB ⋅=， ()1max111326B MB CV -∴=⨯=，B 正确； 对于C ，以1D 为坐标原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，当M 为1AB 中点时，111,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，又()11,1,0B ，()0,1,1C ，()0,0,1D ，()11,1,1B D ∴=--，111,,22CM ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1112cos ,632B D CM B D CM B D CM⋅∴<>===⋅⨯，∴当M 为1AB 中点时，直线1B D 与直线CM 所成的角的余弦值为23，C 正确；对于D ，如C 中所建立的空间直角坐标系，设()1,,M y z ，()101AM AB λλ=≤≤， 又()1,0,1A ，()10,1,1AB ∴=-，()0,,1AM y z =-，()()0,,10,,y z λλ∴-=-， 则y λ=，1z λ=-，()1,,1M λλ∴-，()1,1,CM λλ∴=--，又()11,0,1A D =-， ()112211cos ,112CM A D CM A D CM A Dλλλ⋅--∴<>==⋅+-+⨯若直线CM 与1A D 所成的角为4π()2212112λλλ--=+-+⨯， 解得：23λ=[]0,1λ∈，∴当23λ=()123AM AB =-时，直线CM 与1A D 所成的角为4π，D 错误. 故选：ABC.【点睛】易错点点睛：本题考查立体几何中的动点问题的求解，对于CD 选项中的异面直线所成角，可利用异面直线所成角的向量求法确定结论是否成立，易错点是忽略异面直线所成角的范围，造成余弦值求解错误.三、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为______．【答案】20224045【分析】由1n n n a S S -=-求得21n a n =-，再由裂项相消法即可求出.【详解】因为2n S n =，当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n n a S S n n ---==--=，满足11a =， 所以21n a n =-，所以()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 所以数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2022项和为1111111120221233557404340454045⎛⎫-+-+-++-=⎪⎝⎭. 故答案为：20224045. 14．设点A 的坐标为(，点P 在抛物线28y x =上移动，P 到直线2x =-的距离为d ，则d PA +的最小值为__________. 【答案】4【解析】根据抛物线的定义可知，当,,A P F 三点共线时， d PA +取得最小值，由此求得这个最小值.【详解】抛物线的焦点为()2,0，根据抛物线的定义可知，PF d =，所以当,,A P F 三点共线时， d PA +取得最小值，最小值为4AF =. 故答案为：4【点睛】本小题主要考查抛物线的定义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.15．设P 是椭圆22:12x M y +=上的任一点，EF 为圆22:0N x y y +-=的任一条直径，则PE PF ⋅的最大值为__________． 【答案】94【分析】设点(),P x y ，则2222x y =-且11y -≤≤，计算得出21924⎛⎫=-++ ⎪⎝⋅⎭y PE PF ，利用二次函数的基本性质可求得PE PF ⋅的最大值.【详解】圆2211:24⎛⎫+-= ⎪⎝⎭N x y 的圆心为10,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径长为12，设点(),P x y ，则2222x y =-且11y -≤≤， PE PN NE =+，PF PN NF PN NE =+=-，所以()()22221124⎛⎫=+⋅-=-=-+- ⎪⎭⋅⎝PN NE PN N P E PN NE y E PF x222211192222424⎛⎫⎛⎫=-+--=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y y y y y ，所以，当12y =-时，PE PF ⋅取得最大值，即()max94⋅=PE PF. 故答案为：94.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．16．在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取111.27.5=，121.29=）【答案】40000【分析】设一月月底小王手中有现款为111000a =元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，根据题意可知1 1.21000n n a a +=-，整理得出()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，求得1250000a =元，减去成本得到结果. 【详解】设一月月底小王手中有现款为1(120%)10000100011000a =+⨯-=元，n 月月底小王手中有现款为n a ，1n +月月底小王手中有现款为1n a +，则1 1.21000n n a a +=-，即()15000 1.25000n n a a +-=-，所以数列{}5000n a -是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，111250006000 1.2a -=⨯，即11126000 1.2500050000a =⨯+=元.年利润为500001000040000-=元. 故答案为：40000.【点睛】该题考查的是有关数列应用的问题，涉及到的知识点有等比数列的通项公式，属于简单题目.四、解答题17．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos b A c =． （1）求B 的大小；（2）若2c a b +=，求ABC 的面积．【答案】（1）6π； （2【分析】（1sin cos A A B =，求得cos B 即可求解；（2）由余弦定理可得2233a b a -+=，结合2a b +=，求得1a b ==，利用三角形的面积公式，即可求解.【详解】（1）因为cos b A c =，由正弦定理可得sin cos sin B A A C =， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+，sin cos A A B =，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以cos B = 因为(0,)B π∈，所以6B π=.（2）因为6B π=，c由余弦定理可得22cosB =，整理得2233a b a -+=， 又2a b +=，解得1a b ==，所以111sin 1222ABCSac B ==⨯=. 【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18．已知数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈(1)证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； (2)令(1)n n b n a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T【答案】(1)证明见解析，21nn a =-(2)1(1)2 2.n n T n +=-⋅+【分析】（1）根据等比数列的定义证明数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，进而求解得答案；（2）根据错位相减法求和即可.【详解】（1）解：数列{}n a 满足111,21,.n n a a a n N *+==+∈112(1)n n a a ++=+，∴数列{}1n a +是以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 11222n n n a -∴+=⋅=，即21n n a =-；∴21n n a =- （2）解：(1)2n n n b n a n =+=⋅，231222322n n T n ∴=⋅+⋅+⋅++⋅，23412122232(1)22n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+⋅，2311112(21)22222222221n nn n n n n T n n n ++++-∴-=++++-⋅=-⋅=--⋅-，1(1)2 2.n n T n +∴=-⋅+19．如图，三棱柱111ABC A B C 的所有棱长都相等，1160A AB A AC ∠=∠=︒，点M 为ABC 的重心，AM 的延长线交BC 于点N ，连接1A M ．设AB a =，AC b =，1A A c =．(1)用a ，b ，c 表示1AM ； (2)证明：1A M AB ⊥． 【答案】(1)11133A M a b c =++(2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的运算求得正确答案.（2）通过计算10AM AB ⋅=来证得1A M AB ⊥. 【详解】（1）因为ABC 为正三角形，点M 为ABC 的重心，所以N 为BC 的中点， 所以1122AN AB AC =+，23AM AN =， 所以11112111133333A M A A AM A A AN A A AB AC a b c =+=+=++=++． （2）设三棱柱的棱长为m ，则2222111111111033333322A M AB a b c a a a b c a m m m ⎛⎫⋅=++⋅=+⋅+⋅=+⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以1A M AB ⊥．20．已知点()2,0P ，圆C ：226440x y x y +-++=.(1)若直线l 过点P 且被圆C 截得的弦长为42l 的方程；(2)设直线10ax y -+=与圆C 交于A ，B 两点，过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，这样的实数a 是否存在，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3460x y +-=或2x = (2)不存在，理由见解析【分析】（1）设出直线方程，求出圆心到直线的距离，由勾股定理得弦长求得参数，注意考虑直线斜率不存在的情形；（2）过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB ，则圆心在直线2l 上，由此可得直线2l 的斜率，然后由垂直求得a ，由直线与圆相交求得a 的范围，比较可得． 【详解】（1）∵点()2,0P ，直线l 过点P ，∴设直线l 的斜率为k （k 存在），则方程为()02y k x -=-. 又题C 的圆心为()3,2-，半径3r =，由弦长为42，故弦心距1d =，由232211k k k +-=+，解得34k =-.所以直线方程为()324y x =--，即3460x y +-=. 当l 的斜率不存在时，l 的方程为2x =，经验证2x =也满足条件. 故l 的方程为3460x y +-=或2x =.（2）把直线10ax y -+=，即1y ax =+.代入圆C 的方程，消去y ，整理得()()2216190a x a x ++-+=.由于直线10ax y -+=交圆C 于A ，B 两点，故()()223613610a a ∆=--+>，即720a ->，解得0a <.设符合条件的实数a 存在，由于2l 垂直平分弦AB ，故圆心()3,2C -必在2l 上. 所以2l 的斜率2PC k =-，而1AB PC k a k ==-，所以12a =. 由于()1,02∉-∞，故不存在实数a ，使得过点()2,0P 的直线2l 垂直平分弦AB .21．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点，AE 与BD 交于点O ，将△ADE 沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置（P ∉平面ABCE ）．(1)证明：平面POB ⊥平面ABCE ；(2)若PB 6=PB 上是否存在一点Q （不含端点），使得直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出PQ QB 的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)存在；1PQQB=【分析】（1）根据面面垂直判定定理将问题转化为证明AE ⊥平面POB ，然后结合已知可证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法结合线面角列方程可解.【详解】（1）连接BE ，在等腰梯形ABCD 中，AD ＝AB ＝BC ＝2，CD ＝4，E 为CD 中点， ∴四边形ABED 为菱形，∴BD ⊥AE ，∴OB ⊥AE ，OD ⊥AE ，即OB ⊥AE ，OP ⊥AE ，且OB ∩OP ＝O ， OB ⊂平面POB ，OP ⊂平面POB ，∴AE ⊥平面POB ， 又AE ⊂平面ABCE ，∴平面POB ⊥平面ABCE ．（2）由（1）可知四边形ABED 为菱形，∴AD ＝DE ＝2， 在等腰梯形ABCD 中AE ＝BC ＝2，∴△P AE 正三角形， ∴3OP =3OB = ∵6PB = ∴OP 2+OB 2＝PB 2， ∴OP ⊥OB ，由（1）可知OP ⊥AE ，OB ⊥AE ，以O 为原点，OE OB OP ，，分别为x 轴，y 轴，为z 轴，建立空间直角坐标系O-xyz ，则 (003P ，，，A （﹣1，0，0），()03B ，，，()23C ，，，E （1，0，0）， ∴()(033233PB PC =-=，，，，，，()200AE =，，， 设()01PQ PB λλ=＜＜，()1333AQ AP PQ AP PB λλλ=+=+=，，， 设平面AEQ 的一个法向量为n =（x ，y ，z ），则00n AE n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即()203330x x y z λλ=⎧⎪⎨++-=⎪⎩取x ＝0，y ＝1，得1z λλ=-，∴n =(0，1，1λλ-)，设直线PC 与平面AEQ 所成角为02πθθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，，则15sin cos ,5PC n PC n PC nθ⋅===，即23315151011λλλλ+⋅-=⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭，化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得12λ=， ∴存在点Q 为PB 的中点，即1PQQB =时，使直线PC 与平面AEQ 所成角的正弦值为155．22．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23，长轴的左，右顶点分别为A ，B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点()0,3D -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交y 轴于点S 、T ，记DS DO λ=，DT DO μ=（O 为坐标原点），当直线l 的倾斜角θ为锐角时，求λμ+的取值范围． 【答案】(1)22195x y += (2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得22,a b ，进而得椭圆方程；（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S 、T 的坐标，再根据,DS DO DT DO λμ==确定λμ， 的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.【详解】（1）由题意可得：2222623a c e a a b c =⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩解得：222954a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程：22195x y+= （2）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设()()1122,,M x y N x y ，， 设直线():3,0l y kx k =->，由223195y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，从而22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>，又0k >，得23k >， 所以1212225436,9595k x x x x k k +==++， 又直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，令0x =， 解得1133y y x =+，所以点S 为1130,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭； 直线AN 的方程是：()2233y y x x =++，同理点T 为2230,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭· 所以()1212330,3,0,3,0,333y y DS DT DO x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为,DS DO DT DO λμ==，所以12123333,3333y y x x λμ+=+=++， 所以()()()12121212121212122311833222333339kx x k x x y y kx kx x x x x x x x x λμ+-+---+=++=++=++++++++()222223654231181019595223654921399595k k k k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪+++⎝⎭=+=-⨯+++⎛⎫+⨯+ ⎪++⎝⎭()()2110101229911k k k +=-⨯+=-⨯+++． ∵23k >，∴4,23λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 综上，所以λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭．。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
数学本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生先将自已的信息填写清楚､准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破､弄波，不得使用涂改液､修正带､刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知空间向量，则（）()()2,1,2,1,2,1a b =-=-2a b -=AB.C.D.()4,2,4-()2,1,2-()3,0,3()1,2,1-【答案】C 【解析】【分析】利用空间向量坐标的线性运算法则得到答案.【详解】.()()()24,2,41,2,13,0,3a b -=---=故选：C2. 直线的倾斜角为（） :10l x y -+=A. B.C.D.30 45 60 135 【答案】B 【解析】【分析】根据直线斜率计算即可. tan k α=【详解】由题知，直线，斜率为1， :1l y x =+设倾斜角为， α[)0,πα∈所以，解得，tan 1α=45α=︒所以直线的倾斜角为，:10l x y -+=45故选：B3. 数列、、、、的通项公式可以为（） 2020L A. B. ()11nn a =-+()1221n n a +=-⨯-C. D.()2cos 1πn a n =-()1π2cos2nn a -=【答案】D 【解析】【分析】利用逐项检验法可得出原数列的一个通项公式.【详解】对于A 选项，若，则数列为：、、、、，A 不满()11nn a =-+{}n a 0202L 足；对于B 选项，若，则数列为：、、、、，B 不满足；()1221n n a +=-⨯-{}n a 0404L 对于C 选项，若，则数列为：、、、、，C 不满()2cos 1πn a n =-{}n a 22-22-L 足；对于D 选项，若，则数列为：、、、、，D 满足.()1π2cos 2n n a -={}n a 2020L 故选：D.4. 已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程为（） l ()2,4M 240x y -+=l A. B. 210x y -+=210x y --=C. D.220x y -+=280x y +-=【答案】D 【解析】【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入，求出答案. l ()2,4M 【详解】设直线的方程为，l 20x y C ++=将代入中，，故， ()2,4M 20x y C ++=440C ++=8C =-故直线的方程为. l 280x y +-=故选：D5. 已知矩形为平面外一点，且平面，分别为,ABCD P ABCD PA ⊥ABCD ,M N 上的点，，则,PC PD 2,,PM MC PN ND NM xAB y AD z AP ===++x y z ++=（）A. B.C. 1D.23-2356【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量基本定理求出，求出答案. 211,,366x y z ===-【详解】因为，2,PM MC PN ND ==所以121122232233PM DP PC AP N AD AC A M NP P +=+=-+-=，12112212112362336366AD AC AP AD AB AD AP AB AD AP =-+-=-++-=+-故，故. 211,,366x y z ===-23x y z ++=故选：B6. 已知空间直角坐标系中的点，，，则点P 到直线AB 的距()1,1,1P ()1,0,1A ()0,1,0B 离为（） A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】由向量在向量上的投影及勾股定理即可求. 【详解】，0，，，1，，，(1A 1)(0B 0)()1,1,1P ，，， ∴(1,1,1)AB =-- (0,1,0)AP =||1AP = 在上的投影为AP AB ||AP AB AB ⋅==则点到直线. PAB ==故选：D ．7. 如图，在梭长为1的正方体中，分别为的中1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,DD BD BB 点，则与所成的角的余弦值为（）EFCGA.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角余弦值.【详解】以D 作坐标原点，分别以DA ，DC ，所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空1DD 间直角坐标系， 则， ()11110,0,,,,0,0,1,0,1,1,2222E F C G ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，1111,,,1,0,2222EF CG ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 设与所成的角的大小为，EF CG θ则.cos cos ,EF θ=故选：C8. 已知椭圆C 1：+y 2=1（m ＞1）与双曲线C 2：–y 2=1（n ＞0）的焦点重合，e 1，e 222x m 22x n分别为C 1，C 2的离心率，则 A. m ＞n 且e 1e 2＞1 B. m ＞n 且e 1e 2＜1C. m ＜n 且e 1e 2＞1D. m ＜n且e 1e 2＜1 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由题意知，即，由于m ＞1，n ＞0，可得2211m n -=+222m n =+m ＞n ，又= ，故22212222222111111()(1(1)(1)2m n e e m n m n n n -+=⋅=-+=-++42422112n n n n ++>+．故选A ．121e e >【考点】椭圆的简单几何性质，双曲线的简单几何性质．【易错点睛】计算椭圆的焦点时，要注意；计算双曲线的焦点时，要注1C 222c a b =-2C 意．否则很容易出现错误． 222c a b =+二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知公差为的等差数列中，其前项和为，且，则（） d {}n a n n S 2740,12a S a ==+A.B.1d =2n a n =-C. D.41012a a a +=23n S n n =-【答案】ABC 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和前项和的性质，列方程求出公差，即可得数列通项,n 验证各选项是否正确.【详解】公差为的等差数列中，其前项和为，且， d {}n a n n S 20a =则，解得，所以，A 选项正确；744127S a a =+=4222a a d ==+1d =，B 选项正确； ()222n a a n d n =+-=-，C 选项正确；410122810a a a +=+==，，D 选项错误. 11a =-()21322n n n a a n nS +-==故选：ABC10. 圆和圆的交点为，则下列结论正221:20x y x O +-=222:280O x y x y ++-=,A B 确的是（） A. 圆的半径为4 B. 直线的方程为 2O AB 20x y -=C. D. 线段的垂直平分线方程为AB =AB220x y ++=【答案】BC 【解析】【分析】根据圆的方程分别求解两圆圆心与半径，即可判断A ；根据圆与圆相交的相交弦所在直线方程及相交弦长公式，即可判断B ，C ；利用圆与圆相交的对称关系即可求线段的垂直平分线方程，从而判断D .AB 【详解】解：圆，即，则圆心，半径为221:20x y x O +-=()2211x y -+=()11,0O ，圆，即，则圆心，半11r =222:280O x y x y ++-=()()221417x y ++-=()21,4O -径为A 不正确；2r =由于圆和圆的交点为，则直线的221:20x y x O +-=222:280O x y x y ++-=,A B AB 方程满足，整理得：， ()()22222280x y x x y x y +--++-=20x y -=所以圆心到直线的距离()11,0O AB 1d，故B 正确，C 正确； AB ===由圆与圆相交于可知直线即线段的垂直平分线，所以，,A B 12O O AB 1204211O O k -==-+则直线的方程为：，即，故D 不正确. 12O O ()021y x -=--220x y +-=故选：BC.11. 如图，三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱，分别为111ABC A B C -,,,D E F G 的中点，下列结论正确的是（）1111,,,CC CB AC A BA. //GF DEB.1GF B C ⊥C. 异面直线与所成角为GF 1AA π3D. 直线与平面 DE 1A BC 【答案】ABD 【解析】【分析】连接,可得，又，从而可判断A ；由，1BC 1//FG BC 1//DE BC 11BC B C ⊥可判断B ；由，，可得直线与所成角即为与1//FG BC //GF DE 11//AA CC GF 1AA DE 所成角，根据棱柱的结构特征可判断C ；以为原点，为轴，为轴，过1CC A AC y 1AA z 作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为A 11ACC A x 1A BC，设直线与平面所成角为，根据即可判断)n =DE 1A BC θsin cos ,n DE θ=D.【详解】连接,1BC因为分别为的中点，所以. ,F G 111,A C A B 1//FG BC 因为分别为的中点，所以. ,D E 1,CC CB 1//DE BC 所以，故A 正确；//GF DE 因为，，所以，故B 正确；11BC B C ⊥1//FG BC 1GF B C ⊥因为，，所以直线与所成角即为与所成角. //GF DE 11//AA CC GF 1AA DE 1CC 因为平面，平面，所以，即. 1CC ⊥ABC CE ⊂ABC 1CC ⊥CE CD ⊥CE 因为三棱柱是各条棱长均等于1的正三棱柱， 111ABC A B C -所以，所以，即异面直线与所成角为，故C 错误； CE CD =π4CDE ∠=GF 1AA π4以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立如图所A AC y 1AA z A 11ACC A x 示的空间直角坐标系，则,()()11130,0,1,,0,0,1,0,0,1,,,0224A B C D E ⎫⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎭⎭所以.()11111,1,0,1,1,,242A B A C DE ⎫⎫=-=-=--⎪⎪⎪⎪⎭⎭设平面的一个法向量为,1A BC (),,n x y z =则, 111020n A B x y z nA C y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩ 令，可得，故.3y=3x z ==)n =设直线与平面所成角为，DE 1A BC θ则D 正确. sin cos ,n θ==故选:ABD.12. 已知双曲线的左､右顶点分别为，左､右焦点分别为，直线22:13x C y -=12,A A 12,F F与双曲线相交于两点，则下列说法正确的是（） y x C ,P Q A. 双曲线 B. 双曲线的渐近线为 C C y =C. 直线的斜率之积为 D. 12,PA PA 13123cos 5F PF ∠=【答案】ACD 【解析】【分析】求出、、的值，可判断AB 选项；根据斜率公式及点在双曲线上即可判断a b c C 选项；根据双曲线的定义及余弦定理判断D 选项【详解】在双曲线中，，.22:13x C y -=a =1b =2c ==对于A 选项，双曲线的离心率为，A正确； C c e a ===对于B 选项，双曲线的渐近线方程为，B 错误；C b y x x a =±=对于C 选项，设，，，(),P x y ()1A )2A 则， 122222113333PA PA x y k k x x -⋅====--即直线的斜率之积为，C 正确； 12,PA PA 13对于D 选项：不妨点P 在第一象限，联立，消y 得，解得，2213x y y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩26x=x =所以，则，P 1PF ==，2PF ==所以，在中， 125PF PF ⋅=12F PF △由余弦定理得222221212121212121212()2cos 22PF PF F F PF PF PF PF F F F PF PF PF PF PF +--+⋅-∠==⋅⋅，故D 正确；1212121221622311255PF PF PF PF PF PF +⋅-=-=-=⋅⋅故选：ACD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，且，则__________.()()2,1,5,1,3,a b m =-=- a b ⊥b = 【解析】【分析】根据空间向量垂直得到方程，求出，进而求出模长. 1m =【详解】因为，所以，解得：，a b ⊥213150m -⨯-⨯+=1m =故.b ==14. 已知的三个顶点分别为，则外接圆的标准方AOB A ()()()4,0,0,0,0,4A O B AOB A 程为__________.【答案】 22(2)(2)8x y -+-=【解析】【分析】设出圆的标准方程，待定系数法求解即可.【详解】设的外接圆标准方程为，AOB A 222()()x a y b r -+-=将代入得：，()()()4,0,0,0,0,4A O B ()()()()()()222222222400004a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得：，故圆的标准方程为.22a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩22(2)(2)8x y -+-=故答案为： 22(2)(2)8x y -+-=15. 已知倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于、π3l ()2:20C y px p =>F C P Q 两点（点在第一象限），若，则__________. P 4PF =QF =【答案】##43113【解析】【分析】设点、，则，将直线的方程与抛物线的方程联立，()11,P x y ()22,Q x y 12x x >l 求出、，利用抛物线的定义可求得的值，再利用抛物线的定义可求得的值. 1x 2x p QF 【详解】易知点，设点、， ,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭()11,P x y ()22,Q x y 因为直线的倾斜角为，且点在第一象限，则， l π3P 12x x >联立可得，解得，， 222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩22122030x px p -+=132p x =26p x =由抛物线的定义可得，可得， 32422p pPF p =+==2p =因此，. 246233p p p QF =+==故答案为：. 4316. 螺旋线是一类美妙的曲线，用下面的方法可画出如图所示的螺旋线：先作边长为1的正，分别记射线，为；以为圆心､为半径作的劣弧交ABC A AC ,BA CB 123,,l l l C CB 1BC 于点；以为圆心､为半径作的劣弧交于点；以为圆心､为半径作1l 1C A 1AC 11C A 2l 1A B 1BA 的劣弧交于点；依此规律，得到一系列劣弧所形成的螺旋线.劣弧长，劣11A B 3l 1B 1BC 1a弧长，劣弧长构成数列.记为数列的前项和，则11C A 2a 11A B 3,a {}n a n S {}n a n n S =__________.【答案】 ()2π3n n +【解析】【分析】根据题意得到为公差的等差数列，从而利用等差数列求和公式求出{}n a 2π3d =答案.【详解】由题意得：，且，12π3a =2π2π33n n a n =⋅=故， ()121π2π2π333n n n n a a ++-=-=故为公差的等差数列， {}n a 2π3d =所以. ()()()2112π2π2π323332πn S n n n n n n n n --⎡⎤+⨯=+=⎢⎥⎦=+⎣故答案为：()2π3n n +四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 已知等差数列的前项和为，且，. {}n a n n S 728S =15120S =（1）求等差数列的首项和公差； {}n a 1a d （2）求证数列是等差数列，并求出其前项和. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T 【答案】（1），11a =1d =（2）证明见解析， 234n n nT +=【解析】【分析】（1）根据等差数列的求和公式可得出关于、的方程组，即可解得这两个量的1a d 值；（2）求出的表达式，可求得数列的表达式，利用等差数列的定义可证得数列n S n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，再利用等差数列的求和公式可求得. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n T 【小问1详解】解：由题意可得，解得.711517672821514151202S a d S a d ⨯⎧=+=⎪⎪⎨⨯⎪=+=⎪⎩11a d ==【小问2详解】证明：由（1）可知，所以，故. 11a d ==()()11122n n n dn n S na ++==-12n S n n +=当时，；当时，， 1n =111S =2n ≥1111222n n S S n n n n -+-=-=-因此数列是等差数列，首项为，公差为. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭112所以等差数列的前项和. n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n ()211131224n n n S n n T n -+=⋅+⋅=18. 在中，角的对边分别是，满足. ABC A ,,A B C ,,a b c ()2cos cos cos a B b C c B =+（1）求；B （2）若，求的面积. 2,4b a c =+=ABC A 【答案】（1） π3B =（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理将化为，结合()2cos cos cos a B b C c B =+sin =2cos sin A B A 角度关系即可得角的大小；B （2）结合余弦定理与平方公式可求得的值，再根据面积公式求解的面积即可. ac ABC A 【小问1详解】解：在中，因为，由正弦定理得: ABC A ()2cos cos cos a B b C c B =+sin sin sin a b cA B C==.()()sin 2cos sin cos sin cos 2cos sin =2cos sin A B B C C B B B C B A =+=+， 1sin 0,cos 2A B ≠∴=又. ()π0,π,3B B ∈∴= 【小问2详解】解：由（1）可知，在中，根据余弦定理可得：π3B =ABC A 222cos 2a c b B ac+-=，即， 221422a c ac+-=224,a c ac +=+2()34a c ac ∴+=+又，联立可得， 4a c +=1634,4ac ac =+∴=因此的面积ABC A 11sin 422ABC S ac B ==⨯=A 19. 如图，在正方体中，分别是的中点.1111ABCD A B C D -,E F 111,A B B D（1）求证：平面； //EF 1ACD （2）求证：平面平面. 1ACD ⊥11D B BD 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析. 【解析】【分析】（1）连接，证明E 是中点，再利用三角形中位线定理及线面平行的判定1AB 1AB 推理作答.（2）利用线面垂直的性质及判定证明平面，再利用面面垂直的判定作答. AC ⊥11D B BD 【小问1详解】在正方体中, 连接，如图，1111ABCD A B C D -1AB因为为的中点，则是的中点，而是的中点， E 1A B E 1AB F 11B D 则有，又平面平面， 1//EF AD EF ⊄11,ACD AD Ì1ACD 所以平面 //EF 1ACD 【小问2详解】在正方体中，平面，四边形是正方形， 1111ABCD A B C D -1DD ⊥ABCD ABCD 因此，又，于是平面，而 平1,AC BD AC DD ⊥⊥1BD DD D = AC ⊥11D B BD AC ⊂面，1ACD 所以平面平面.1ACD ⊥11D B BD 20. 已知直线与圆相交于，两点． :(0)l y kx k =≠22:230C x y x +--=A B（1）若；||AB =k （2）在轴上是否存在点，使得当变化时，总有直线、的斜率之和为0，若x M k MA MB 存在，求出点的坐标：若不存在，说明理由． M 【答案】（1）；（2）存在. 1±()3,0M -【解析】【分析】（1）由题得到，即得2）C AB =设，，存在点满足题意，即，把韦达定理代入11(,)A x y 22(,)B x y (,0)M m 0AM BM k k +=方程化简即得解.【详解】（1）因为圆，所以圆心坐标为，半径为2， 22:(1)4C x y -+=(1,0)C因为到， ||AB =C AB=解得．1k =±（2）设，，11(,)A x y 22(,)B x y 则得，因为， 22,230,y kx x y x =⎧⎨+--=⎩22(1)230k x x +--=24121()0k ∆=++>所以，， 12221x x k +=+12231x x k=-+设存在点满足题意，即， (,0)M m 0AM BM k k +=所以，121212120AM BM y y kx kx k k x m x m x m x m+=+=+=----因为，所以， 0k ≠12211212()(2())0x x m x x m x x m x x -+-=-+=所以，解得． 2262011mk k--=++3m =-所以存在点符合题意．(3,0)M -【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查直线和圆的探究性问题的解答，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.21. 如图，在四棱锥中，，，平面C ABED -22AB AC DE ===60BAC ∠= AD ⊥，，三棱锥ABC DE AB ∥E BCD -（1）求的长度；AD （2）已知是线段上的动点，问是否存在点，使得平面与平面夹角的F BC F BED EDF？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由. F 【答案】（1）2（2）存在，点为的中点 F BC 【解析】【分析】（1）取的中点，连接，根据已知得出，，得AB O ,OE OC OC AB ⊥AD OC ⊥出平面，则，即可根据等体积法列式得出答案；OC ⊥ABED AD ED ⊥（2）根据已知得出平面，即可以为轴正方向，建立空间OE ⊥ABC ,,OB OC OE,,x y z直角坐标系，得出各点坐标，设，得出O xyz -()01BF BC λλ=≤≤，设平面的一个法向量为，根()()1,0,0,1,2ED EF λ=-=-- EDF ()1,,n x y z =据平面的法向量的求法列式求得，根据垂直得出是平()10,n =()20,1,0OC n OC== 面的一个法向量，即可根据二面角的向量求法列式解出答案. BED 【小问1详解】取的中点，连接，AB O ,OE OC， 2,60AB AC BAC ∠=== .OC AB ∴⊥又平面，AD ⊥ ABC .AD OC ∴⊥又， AD AB A AD AB ABD ⋂=⊂ ，，平面平面.OC ∴⊥ABED 又平面，AD ⊥ ,//ABC DE AB ，AD ED ∴⊥于是11111133232E BCD C BED BED V V S OC ED AD OC AD --==⋅=⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=A ，.2AD ∴=【小问2详解】，,DE OA DE OA =∥ 四边形为平行四边形∴DEOA .//DA EO ∴又平面，DA ⊥ ABC 平面，OE ∴⊥ABC以为轴正方向，建立如图所示空间直角坐标系.∴,,OB OC OE,,x y z O xyz-，.()()()0,0,2,1,0,2,1,0,0E D B ∴-()C 由题意设，故，()01BF BC λλ=≤≤()1,0F λ-因此. ()()1,0,0,1,2ED EF λ=-=-- 设平面的一个法向量为，EDF ()1,,n x y z =则由得，1100ED n EF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ()0120x x y z λ-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩令，则是平面的一个法向量.2y=()10,n =EDF 平面，OC ⊥ ABED 是平面的一个法向量.()20,1,0OCn OC∴== BED 设平面与平面的夹角为，BED EDF θ则12cos cos ,n n θ===，又，于是， 214λ∴=01λ≤≤12λ=因此点为的中点时，平面与平面. F BC BED EDF 22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 124F F =的直线与交于两点，的周长为2F l C ,A B 1ABF A （1）求椭圆的标准方程；C（2）过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.O l 11,l l C ,P Q AB PQ【答案】（1）22184x y +=（2）12⎡⎢⎣【解析】【分析】（1）根据题意求得即可解决；（2）分直线斜率不存2,2a b c ===AB 在，斜率存在两种情况，斜率存在时设，直()()()()11223344,,,,,,,Ax y B x y P x y Q x y 线，直线，联立椭圆方程求得，:2ABx ty =+:PQ y tx =-AB =，得令，则不PQ =ABPQ=()222u t u =+≥22,t u =-妨设，即可解决.()ABf u PQ==【小问1详解】由，得，1224F F c ==2c =又的周长为，1ABF A 4a =，2222,844a c b a c ∴===-=-=椭圆的标准方程为.∴C 22184x y +=【小问2详解】 设，()()()()11223344,,,,,,,Ax y B x y P x y Q x y当直线的斜率为0时，得；AB 4,AB AB PQ PQ===当直线的斜率不为0时，设直线，直线， AB :2AB x ty =+:PQ y tx =-联立直线和椭圆的方程，并消去整理得AB C x ，()222440ty ty ++-=.()222Δ1644232320t t t =+⋅+=+>由根与系数的关系得， 12122244,22t y y y y t t +=-=-++所以.AB ==联立直线和椭圆的方程，并消去整理得PQ C y ，由根与系数的关系得，()221280t x+-=3434280,12x x x x t +==-+PQ==所以.ABPQ=令，则()222u t u =+≥22,t u =-不妨设()AB f u PQ====， 2u ≥ ， 110,2u ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦， ()12f u ∴≤<12AB PQ∴≤<综上可得，的取值范围为. ABPQ 12⎡⎢⎣。
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年广东省广州中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．经过点(1,0)且与直线210x y -+=垂直的直线方程为（ ） A ．210x y --= B ．220x y --= C ．220x y +-= D ．210x y +-=【答案】C【解析】先由垂直关系，求出所求直线的斜率，再由直线的点斜式方程，即可得出结果. 【详解】因为所求直线与直线210x y -+=垂直， 所以其斜率为1212k =-=-， 又所求直线过点(1,0)，因此，所求直线方程为()21y x =--，即220x y +-=. 故选：C.2．若平面α，β的法向量分别为a ＝(－1，2，4)，b ＝(x ，－1，－2)，且α⊥β，则x 的值为（ ） A ．10 B ．－10 C ．12D ．－12【答案】B【分析】由α⊥β，可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x 的值 【详解】解：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直， 所以a b ⋅＝(－1，2，4)·(x ，－1，－2)＝0， 解得x ＝－10． 故选：B3．已知圆C 经过原点，且其圆心在直线20x y --=上，则圆C 半径的最小值为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】计算出原点到直线20x y --=的距离，即为所求. 【详解】当OC 与直线20x y --=垂直时，圆C 的半径最小，因此，圆C 半径的最小值为d =故选：B.4．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是A ．22145x y -= B ．22145x y -=C ．22125x y -=D ．22125x y -= 【答案】B【详解】依题意3c =,32e =,所以2a =,从而24a =,2225b c a =-=,故选B ． 【考点定位】考查双曲线方程．5．已知等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，则4a =（ ） A ．6 B ．8 C ．16 D ．32【答案】C【解析】设公比为q ，由等比数列的通项公式和等差数列中项性质列方程，解方程可得q ，即可得到所求值【详解】12,,6a a 成等差数列，得12642a a +==，即：14a q =，2q所以341a a q =＝16，故选：C.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题.6．已知抛物线28y x =的焦点与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点重合，且椭圆截抛物线的准线所得线段长为6，那么该椭圆的离心率为( ) A ．2 B ．23C 2D ．12【答案】D【分析】先求出抛物线的焦点、准线，再根据椭圆的通径公式求出a 、c ，算出离心率. 【详解】易知抛物线28y x =的焦点（2，0），准线x=-2， 即椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的c=2，因为抛物线的准线恰好过椭圆的焦点，即相交的线段为椭圆的通径； 即通径为226b a= ，又因为c=2 解得a=4所以离心率2142c e a === 故选D.【点睛】本题目考察了抛物线的方程和性质，以及椭圆的性质，本题关键点在通径上，如果记不得通径公式就直接带入计算，一样可得答案，属于一般题型.7．在四面体D ABC -中，点G 是ABC 的重心，设DA a =，DB b =，DC c =，则DG =（ ） A ．122333a b c ++B ．111333a b c ++C ．222333a b c ++D ．221333a b c ++【答案】B【分析】结合重心的知识以及空间向量运算求得正确答案. 【详解】设E 是BC 中点， 23DG DA AG DA AE =+=+()()211323DA AB AC DA AB AC =+⨯⨯+=++()()11233DA DB DA DC DA DA DB DC DA =+-+-=++- 111111333333DA DB DC a b c =++=++. 故选：B8．已知圆()22:22C x y -+=,直线:2l y kx =-,若直线l 上存在点P ，过点P 引圆的两条切线12,l l ,使得12l l ⊥,则实数k 的取值范围是 A ．()0,2323,⎡++∞⎣B ．[23,23C ．(),0∞-D ．[0∞+，） 【答案】D【分析】由题意结合几何性质可知点P 的轨迹方程为22(2)4x y -+=，则原问题转化为圆心到直线的距离小于等于半径，据此求解关于k 的不等式即可求得实数k 的取值范围. 【详解】圆C （2,0），半径r ＝2，设P （x ，y ），因为两切线12l l ⊥，如下图，P A ⊥PB ，由切线性质定理，知：P A ⊥AC ，PB ⊥BC ，P A ＝PB ，所以，四边形P ACB 为正方形，所以，｜PC ｜＝2， 则：22(2)4x y -+=，即点P 的轨迹是以（2,0）为圆心，2为半径的圆.直线:2l y kx =-过定点（0，－2），直线方程即20kx y --=，只要直线与P 点的轨迹（圆）有交点即可，即大圆的圆心到直线的距离小于等于半径， 即：221d k =≤+，解得：0k ≥，即实数k 的取值范围是[0∞+，）. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，轨迹方程的求解与应用，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、多选题9．已知圆1C ：221x y +=和圆2C ：()()22230x y r r -+=>，以下结论正确的是（ ） A ．若1C 和2C 只有一个公共点，则2r = B ．若1r =，则1C 和2C 关于直线32x =对称 C ．若12r <<，则1C 和2C 外离D ．若23<<r 且1C 和2C r =【答案】BCD【分析】根据圆与圆的位置关系对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为11r =. 圆2C 的圆心为()23,0C ，半径为2r r =. 圆心距123C C =.当4r =时，2112r r C C -=，两圆内切，1C 和2C 只有一个公共点，A 选项错误. 当1r =时，两个圆的半径相等，1C 和2C 关于直线32x =对称，B 选项正确. 当12r <<时，()1211,3r r r +=+∈，即1212C C r r >+，1C 和2C 外离，C 选项正确. 当23<<r ，()1213,4r r r +=+∈，()2111,2r r r -=-∈，所以211212r r C C r r <<+-，所以两圆相交，()2222231x y r x y ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，两式相减并化简得21006r x -=>， 即相交弦所在直线方程为2106r x -=，所以公共弦长为()2,3r ⇒=，D 选项正确.故选：BCD10．已知曲线C 的方程为22126x y k k+=--（R k ∈，且2k ≠，6k ≠），则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．若曲线C 为椭圆，且焦距为5k = C ．当2k <或6k >时，曲线C 为双曲线D ．当曲线C 为双曲线时，焦距等于4【答案】AC【分析】写出当4k =时的曲线方程，即可判断A;分情况求出当曲线表示椭圆时k 的值，可判断B ；当2k <或6k >时，判断2,6k k --的正负，即可判断C; 当曲线C 为双曲线时,确定k 的范围，求得焦距，可判断D.【详解】当4k =时,方程为22122x y +=，即222x y +=，表示圆，故A 正确；若曲线C 为椭圆，且焦距为则当焦点在x 轴上，260k k ->-> 且2(6)2k k ---= ，解得5k = ； 当焦点在y 轴上，620k k ->-> 且6(2)2k k ---= ，解得3k = ,故此时5k =或3k =，故B 错误； 当2k <时，20,60k k -<-> ，曲线22126x y k k+=--表示的是焦点位于y 轴上的双曲线； 当6k >时，20,60k k ->-< ，曲线22126x y k k+=--表示的是焦点位于x 轴上的双曲线；故C 正确； 当曲线C 为双曲线时， (2)(6)0k k --< ，即2k <或6k >，当2k <时，20,60k k --，焦距2c =，当6k >时，20,60k k ->-<，焦距2c =， 故D 错误， 故选：AC11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2a 与6a 是方程28120x x -+=的两根，则下列说法正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则44a =-B ．若{}n a 是等比数列，则4a =C ．若{}n a 是递减等差数列，则当n S 取得最大值时，7n =或8D ．若{}n a 是递增等差数列，216n S nt +≥对*N n ∈恒成立，则8t ≤ 【答案】BC【分析】由题意利用等差数列性质求出公差和首项，利用前n 项和求出n S ，再利用二次函数性质，基本不等式，得出结论判断即可.【详解】因为数列{}n a 的前n 项和为n S ，2a 与6a 是方程28120x x -+=的两根， 由韦达定理得，268a a +=，6212a a ⨯=，所以解得22a =，66a =或26a =，62a =； 对于A 选项：若{}n a 是等差数列，则264=42a aa +=，故A 不正确；对于B 选项：若{}n a 是等比数列，则242a a q =⨯，因为20a >，所以40a >，则4a =B 正确；对于C 选项：若{}n a 是递减等差数列，所以26a =，62a =，解得公差1d =-， 首项17a =，所以()()()211711522n n n S n n n -=⨯+⨯-=--， 故当7n =或8时n S 取得最大值，故C 正确；对于D 选项：若{}n a 是递增等差数列，所以22a =，66a =，解得公差1d =，首项1，所以()2111222n S n n n nn -=⨯+⨯=+，因为216n S nt +≥对*N n ∈恒成立，即216n n nt ++≥恒成立，即161t n n ≤++恒成立，因为162168n n+≥=，当且仅当4n =时等号成立，故1619n n++≥，则9t ≤，故D 不正确. 故选：BC.12．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AC 的中点.则（ ）A ．111,120AB B D 〈〉= B ．1BD AC ⊥ C ．11BD EB ⊥ D ．145BBE ∠=【答案】ABC【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式、空间向量数量积的运算性质逐一判断即可. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为2，则()111(2,0,2),(2,2,0),(2,2,2),0,0,2,(2,0,0),(0,2,0),(1,1,0)A B B D A C E ， 因为111(0,2,2)(2,2,0,)A B B D =-=--，所以()()()11111122221111cos ,22222A B B D A B B D A B B D ⋅〈〉===-⋅+-⨯-+-，因为1110,180A B B D ︒≤〈〉≤︒，所以111,120A B B D 〈〉=，因此选项A 正确；因为1(2,2,2),(2,2,0)BD AC =--=-，所以11440BD AC BD AC ⋅=-=⇒⊥⇒1BD AC ⊥，所以选项B 正确； 因为11(2,2,2),(1,1,2)BD EB =--=,所以有11112240BD EB BD EB ⋅=--+=⇒⊥⇒11BD EB ⊥，所以选项C 正确； 因为11(0,0,2),(1,1,2)B B B E ---==-， 所以有11111146cos ,32114B B B E B B B E B B B E⋅〈===⨯++⋅〉， 所以145BB E ∠=不正确，因此选项D 不正确， 故选：ABC三、填空题13．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为_______. 【答案】71020【详解】因为直线与平行，得，所以，即，330x y +-=化为6260x y +-=由平行直线距离公式.14．已知数列{}n a 是等比数列，函数2=53y x x -+的两个零点是15a a 、，则3a =_________ 3【解析】首先利用韦达定理可得153a a ⋅=，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】由韦达定理可知155a a +=，153a a ⋅=，则10a >，50a >，从而30a >，且231533,3a a a a =⋅=∴=3【点睛】本题考查了等比数列的性质，需熟记性质，属于基础题.15．如图,在棱长都为1的平行六面体1111ABCD A B C D -中,1,,AB AD AA 两两夹角均为π3,则1AC BD ⋅=__________.【答案】0【分析】根据空间向量的加减,将1AC BD ⋅转化为1,,AB AD AA 之间的运算,再根据模及夹角计算结果即可.【详解】解:由题知平行六面体1111ABCD A B C D -棱长为1, 且1,,AB AD AA 两两夹角均为π3,所以()()11CC AC B A A A D D B C +⋅=-⋅ ()()1BC AA AD B AB A =++-⋅ ()()1AD AA AD B AB A =++-⋅1212AD AD AA AD AA AB AB AD A AB B =⋅-+-⋅+⋅-⋅ππ1111cos11cos 33=-++⨯⨯-⨯⨯ 0=.故答案为:016．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的短轴长为2，上顶点为A ，左顶点为B ，左、右焦点分别是1F ，2F ，且1F AB ∆23-P 为椭圆上的任意一点，则1211PF PF +的取值范围是______. 【答案】[]1,4【分析】根据1F AB ∆的面积和短轴长得出a ，b ，c 的值，从而得出1PF 的范围，得到1211PF PF +关于1PF 的函数，从而求出答案．【详解】由已知得22b =，故1b =，∵1F AB ∆23-∴()12a c b -=，∴2a c -=()()2221a c a c a c b -=-+==， ∴2a =，c =∴12121211PF PF PF PF PF PF ++=()211112444a PF PF PF PF ==--+，又122PF ≤≤∴211144PF PF ≤-+≤， ∴121114PF PF ≤+≤. 即1211PF PF +的取值范围为[]1,4. 故答案为[]1,4【点睛】本题考查了椭圆的简单性质，函数最值的计算，熟练掌握椭圆的基本性质是解题的关键，属于中档题．四、解答题17．已知等差数列{}n a 满足2344,17a a a =+=. (1)求数列{}n a 的通项公式;(2)若数列{}n b 满足12b =,再从①12n n b b +=;②12n n b b +=;③1n n b b +=-这三个条件中任选一个作为已知,求数列{}n n a b +的前n 项和n T . 【答案】(1)32n a n =- (2)选①时,2132222n n n n T +=-+-;选②时,22314222n n n n T -=--+;选③时,()231122nn n n T =-+--.【分析】(1)由题意设出{}n a 公差,代入2344,17a a a =+=中,求出基本量即可求出通项公式; (2)先选择一种条件,根据{}n b 递推关系得到{}n b 为等比数列,求出{}n b 的首项和公比,用分组求和即可得n T .【详解】（1）解:由题知{}n a 是等差数列, 记数列{}n a 公差为d , 因为2344,17a a a =+=,所以1142517a d a d +=⎧⎨+=⎩, 解得11,3==a d , 故32n a n =-;（2）由(1)知32n a n =-, 当选择①时: 因为12n n b b +=,12b =, 故0n b ≠, 所以12n nb b +=, 即{}n b 为以2为首项,2为公比的等比数列,所以2nn b =,()()123123n n n T a a a a b b b b =+++++++++()()212132212n n n -+-=+-2132222n n n +=-+-; 当选择②时: 因为12n n b b +=,12b =, 故0n b ≠, 所以112n n b b +=, 即{}n b 为以2为首项,12为公比的等比数列, 所以212n n b -=,()()123123n n n T a a a a b b b b =+++++++++()12113221212nn n ⎛⎫- ⎪+-⎝⎭=+-22314222n n n -=--+;当选择③时: 因为1n n b b +=-,12b =, 故0n b ≠, 所以11n nb b +=-, 即{}n b 为以2为首项,-1为公比的等比数列, 所以()121n n b -=⋅-,()()123123n n n T a a a a b b b b =+++++++++()()()()211132211nn n --+-=+--()231122nn n =-+--. 18．已知双曲线22:15x y E m -=（1）若4m =，求双曲线E 的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）若双曲线E 的离心率为e ∈⎝，求实数m 的取值范围．【答案】（1）焦点坐标为(3,0)-，()3,0，顶点坐标为(2,0)-，()2,0，渐近线方程为y =；（2）()5,10.【分析】（1）根据双曲线方程确定,,a b c ，即可按照概念对应写出焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；（2）先求e （用m 表示），再根据e ∈⎝解不等式得结果. 【详解】（1）当4m =时， 双曲线方程化为，22145x y -=所以2a =，b =3c =，所以焦点坐标为(3,0)-，()3,0，顶点坐标为(2,0)-，()2,0，渐近线方程为y =.（2）因为222551c m e a m m +===+，e ∈⎝所以35122m<+<， 解得510m <<，所以实数m 的取值范围是()5,10．【点睛】本题根据双曲线方程求焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程，根据离心率求参数范围，考查基本分析求解能力，属基础题.19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD AA ==，2AB =，E 为AB 的中点.（1）证明：11D E A D ⊥； （2）求点E 到平面1ACD 的距离；（3）求平面1AD E 与平面1ACD 夹角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）13；（322. 【解析】（1）首先建立空间直角坐标系，证明110D E A D ⋅=；（2）求平面1ACD 的法向量，利用点到平面的距离的向量公式代入求解； （3）求平面1AD E 与平面1ACD 的法向量，利用法向量求二面角夹角的余弦值.【详解】（1）如图，以DA ，DC ，1DD 为,,x y z 轴的正方形建立空间直角坐标系，建立空间直角坐标系，()10,0,1D ，()1,1,0E ，()11,0,1A ，()0,0,0D()11,1,1D E =-，()11,0,1A D =--，()()()111110110D E A D ⋅=⨯-+⨯+-⨯-=，所以11D E A D ⊥；（2）()1,0,0A ，()0,2,0C ，()10,0,1D ，()1,1,0E ，()1,2,0AC =-， ()11,0,1AD =-，()0,1,0EA =设平面1ACD 的法向量为(),,n x y z =，则100n AC n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即200x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，令1,y =则2,2x z ==，所以()2,1,2n =，则点E 到平面1ACD 的距离22213212EA n d n⋅===++； （3）由（1）可知11A D D E ⊥， 又1AD AA =，11A D AD ∴⊥，且111AD D E D =，1A D ∴⊥平面1AD E ，()11,0,1A D =--是平面1AD E 的法向量， 111222cos ,311n A D n A D n A D⨯-+⨯-⋅<>===⨯+ 平面1AD E 与平面1ACD 夹角是锐角， 所以平面1AD E 与平面1ACD 夹角的余弦值为223. 【点睛】思路点睛：本题第二问涉及点到平面的距离，1.可以采用等体积转化求解；2.利用向量法，直接代入公式求解；3.几何法，确定点在平面内的射影，或是利用面面垂直，点到交线的距离就是点到平面的距离.20．已知抛物线22(0)y px p =>的准线方程是12x =-.（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线(2)(0)y k x k =-≠与抛物线相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，证明：OM ON ⊥. 【答案】（Ⅰ）22y x =（Ⅱ）详见解析【详解】试题分析：（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p ，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k （x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM ⊥ON 试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线22(0)y px p =>的准线方程为2px =-， 所以 122p -=-， 解得1p =， 所以 抛物线的方程为22y x =. （Ⅱ）证明：设11(,)M x y ，22(,)N x y . 将(2)y k x =-代入22y x =，消去y 整理得 22222(21)40k x k x k -++=. 所以 124x x =.由2112y x =，2222y x =，两式相乘，得 2212124y y x x =，注意到1y ，2y 异号，所以 124y y =-. 所以直线OM 与直线ON 的斜率之积为12121y y x x ⋅=-， 即 OM ON ⊥.【解析】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程21．如图，在四棱锥M ABCD –中，底面ABCD 是平行四边形，且1AB BC ==，1MD =，MD ⊥平面ABCD ，H 是MB 中点，在下面两个条件中任选一个，并作答： ①二面角A MD C ––的大小是23π；②2BAD π∠=． 若______，求CH 与平面MCD 所成角的正弦值．【答案】答案见解析.【分析】若选①，先证明23ADC ∠=π，轴DC ⊥，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH 与平面MCD 所成角的正弦值；若选②，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求CH 与平面MCD 所成角的正弦值. 【详解】若选①：因为MD ⊥平面ABCD ，所以AD MD ⊥，CD MD ⊥， 所以ADC ∠就是二面角A MD C ––的平面角，所以23ADC ∠=π. 过D 作x 轴DC ⊥，以D 为坐标原点，以DC ，DM 所在直线为y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则()0,1,0C ，311,42H ⎫⎪⎪⎝⎭. 所以331,442CH ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.取平面MCD 的一个法向量()1,0,0n =.设CH 与平面MCD 所成角为θ，则334sin 439116164CH nCH nθ⋅===⋅++. 所以CH 与平面MCD 所成角的正弦值是34. 若选②，因为MD ⊥平面ABCD ，2BAD π∠=，所以DA ，DC ，DM 两两垂直.以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DM 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,1,0C ，111,,222H ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以111,,222CH ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.取平面MCD 的一个法向量()1,0,0n =. 设CH 与平面MCD 所成角为θ，则334sin 111444CH n CH nθ⋅===⋅++所以CH 与平面MCD 3【点睛】本题主要考查空间角的计算和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.22．已知圆()22:264Q x y ++=，P （2，0），M 点是圆Q 上任意一点，线段PM 的垂直平分线交半径MQ 于点C ，当M 点在圆上运动时，点C 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 方程；(2)已知直线l ：x ＝8，A 、B 是曲线C 上的两点，且不在x 轴上，1AA l ⊥，垂足为1A ，1BB l ⊥，垂足为1B ，若D （3，0），且11A B D △的面积是△ABD 面积的5倍，求△ABD 面积的最大值． 【答案】(1)2211612x y += (2)32【分析】（1）由定义法求出曲线C 的方程；（2）先判断出直线AB 过定点H (2,0)或H (4,0).当AB 过定点H (4,0)，求出11212ABD S =⨯⨯=△最大；当H (2,0)时，可设直线AB ：2x my =+.用“设而不求法”表示出A B y y -=24=+t m （4t ≥），利用函数的单调性求出△ABD 面积的最大值. 【详解】（1）因为线段PM 的垂直平分线交半径MQ 于点C ，所以MC PC =, 所以84QC PC QC CM PQ +=+=>=,符合椭圆的定义， 所以点C 的轨迹为以P 、Q 为焦点的椭圆，其中28,24a c ==，所以 22212b a c =-=，所以曲线C 的方程为2211612x y +=. （2）不妨设直线l ：x ＝8交x 轴于G (8,0)，直线AB 交x 轴于H (h ,0)，则111112A B DA B SDG y y =-,12ABDA B S DH y y =-. 因为，1AA l ⊥， 1BB l ⊥，所以11A B A B y y y y -=-.又因为11A B D △的面积是△ABD 面积的5倍，所以5DG DH =. 因为G (8,0)，D （3，0），所以1DH =，所以H (2,0)或H (4,0).当H (4,0)时，则H 与A （或H 与B ）重合，不妨设H 与A 重合，此时，112ABDA B Sy y =⨯-， 要使△ABD 面积最大，只需B 在短轴顶点时，B y =2最大，所以11212ABD S =⨯⨯=△最大；当H (2,0)时，要想构成三角形ABD ，直线AB 的斜率不为0，可设直线AB ：2x my =+.设()()1122,,,A x y B x y ,则22211612x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 可得：()22346360m y my ++-=，所以()23613160m ∆=+>，122634m y y m +=-+，2123634y y m =-+，所以12A B y y y y -=-==不妨设24=+t m （4t ≥），则==u =[)4,+∞上单调递减，所以当t =4时，max 3u =，此时131322ABDS =⨯⨯=最大 综上所述，△ABD 面积的最大值为32.【点睛】（1）“设而不求”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题；（2）解析几何中最值计算方法有两类：①几何法：利用几何图形求最值；②代数法：表示为函数，利用函数求最值.。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
3
6
故选：D.
2.
数列 1 ， 1 57
，1 9
，
1 11
，……的通项公式可能是
an
（）
(1)n
A.
3n 2
(1)n1
B.
2n 3
(1)n
C.
2n 3
(1)n1
D.
3n 2
【答案】C
【解析】
【分析】由分母构成等差数列即可求出.
【详解】数列的分母 5, 7,9,形成首项为 5，公差为 2 的等差数列，则通项公式为
因此 F 的轨迹方程是 y2 x2 1 （ y 1）. 48
故选：A. 【点晴】方法点睛： 求轨迹方程的常见方法有:
①直接法，设出动点的坐标 x, y ，根据题意列出关于 x, y 的等式即可；
②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；
③参数法，把 x, y 分别用第三个变量表示，消去参数即可；
1 2n 1
2n 2n 1
，即有
Sn
nan1 ．
故选：ABD．
12. 如图，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F、G 分别为棱 BC、CC1、BB1 的中点，则下列
选项中正确的是（）
A. 点 A 到直线 EF 的距离为 3 2 2
C.
三棱锥
A1
-AEF
的体积为
2 3
【答案】ACD
D. 过点 A 且平分△ABC 面积的直线与边 BC 相交于点 D(3，5)
【答案】BD
【解析】
【分析】由直线斜率判断 A，求出相应的直线方程判断 BC，求出边 BC 中点坐标判断 D．
【详解】直线 BC 的斜率为 k 7 3 2 ，而直线 3x 2 y 1 0 的斜率为 3 ，两直线不平行，A 错；
广东省高二上学期期末检测数学试题(解析版)
一、单选题1．数列，，，，…的第10项是( ) 23456789A ．B ．C ．D ．1617181920212223【答案】C【分析】根据数列的前几项，归纳处数列的通项公式，即可求解数列的第10项，得到答案．【详解】由题意，根据数列，可求得数列的通项公式，2468,,,,3579 221n n a n =+所以数列的第10项为，故选C ．1021020210121a ⨯==⨯+【点睛】本题主要考查了归纳数列的通项公式，其中根据数列的前几项，找出数列的数字排布规律，得出数列的通项公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 2．已知圆C 过点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为（ ） (2,0),(0,4)A B -A ．B ．C ．D ．22(1)(2)5x y ++-=22(1)9x y -+=22(3)25x y -+= 2216x y +=【答案】C【分析】设出圆的标准方程，将已知点的坐标代入，解方程组即可. 【详解】设圆的标准方程为 ，222()x a y r -+=将坐标代入得: , (2,0),(0,4)A B -()2222216a r a r ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩解得，故圆的方程为，2325a r =⎧⎨=⎩22(3)25x y -+=故选：C.3．已知是等差数列的前项和，，，则 n S {}n a n 378a a +=735S =2a =A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】根据等差数列的前n 项和公式及等差数列的性质可求出，即可求出公差，再根据通54,a a 项公式求出.2a 【详解】因为， 37582a a a +==74357S a ==所以， 544,5a a ==故，1d =-， 242527a a d =-=+=故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和，等差数列的通项公式，等差数列的性质，属于中档题.4．若椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，则椭圆的离心率为（ ）22212x y a +=28y x =A B C D 【答案】B【分析】求出抛物线的焦点坐标，可得出的值，进而可求得椭圆的离心率. a【详解】抛物线的焦点坐标为，由已知可得，可得28y x =()2,02222a -=a =因此，该椭圆的离心率为. c e a ===故选：B.5．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ） (2,2)P 22(1)5x y +-=10ax y -+==a A ．B ．C ．D ．12-122-2【答案】B【分析】首先由点的坐标满足圆的方程来确定点在圆上，然后求出过点的圆的切线方程，最P P P 后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆的圆心，半径22(1)5x y +-=(0,1)C r =因为，所以点在圆上， 222(21)5+-=(2,2)P C 所以过点的圆的切线与直线垂直， P C l PC 设切线的斜率，则有， l k 1PC k k ⋅=-即，解得. 21120k -⋅=--2k =-因为直线与切线垂直， 10ax y -+=l 所以，解得. 1k a ⋅=-12a =故选：B.6．已知分别为双曲线实轴的左右两个端点，过双曲线的左焦点作直线交,A B 22:13y x Γ-=ΓF PQ 双曲线于两点（点异于），则直线的斜率之比（ ）,P Q ,P Q ,A B ,AP BQ :AP BQ k k =A ．B ．C ．D ．13-3-23-32-【答案】B【解析】先根据双曲线方程求出，，的值，再直接设直线方程为，代入双曲线方a b c 2x my =-程，消去，化简得到关于的一元二次方程，得韦达定理，然后将借助于，的坐标表x y :AP BQ k k P Q 示出来，再将韦达定理看成方程，将用，表示出来代入前面的比值，化简即可． m 1y 2y 【详解】解：由已知得双曲线，． :1a Γ=b =2c =故，，．(2,0)F -(1,0)A -(1,0)B 设直线，且，，，． :2PQ x my =-1(P x 1)y 2(Q x 2)y 由消去整理得，22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩x 22(31)1290m y my --+=， ∴121222129,3131m y y y y m m +==--两式相比得①，121234y y m y y +=⨯②， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--将①代入②得：上式． 12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-故． :3AP BQ k k =-故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的性质，以及学生的化简运算能力，属于中档题．7．已知，，则向量与的夹角是（ ） ()cos ,1,sin a αα= ()sin ,1,cos b αα= a b +a b - A ．90° B ．60° C ．30° D ．0°【答案】A【分析】根据向量的坐标求，即可判断选项.()()a b a b +⋅- 【详解】，，()cos sin ,2,sin cos a b αααα+=++ ()cos sin ,0,sin cos a b αααα-=--()()()()()()cos sin cos sin sin cos sin cos a b a b αααααααα+⋅-=+-++-，2222cos sin sin cos 0αααα=-+-=所以向量与的夹角是.a b +a b - 90故选：A8．已知，求的值（ ） ()442xx f x =+122012201320132013S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ．2012B ．2013C ．1006D ．1007【答案】C【分析】根据已知得到，进而求解结论.()()11f x f x -+=【详解】因为，()442xx f x =+所以， ()()1144444442411442424242424422424xxxx x x x x x x x x x x f x f x ---+=+=+=+=+=+++++⋅+++所以， 1220121201210062013201320132S f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故选：C.二、多选题9．已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） {}n a 13a =111n na a +=-{}n a n n S A ． B ． 232a =31312n n S S +-=-C ． D ．121n n n a a a ++=-1922S =【答案】CD【分析】根据递推公式求出、、，即可找到规律得到数列是以为周期的周期数列，即2a 3a 4a {}n a 3可判断A 、B 、D ，再根据递推公式表示出，即可得到，从而判断C. 2n a +12n n n a a a ++【详解】解：因为，， 13a =111n na a +=-所以，故A 错误； 221121133a a =-=-=，，所以数列是以为周期的周期数列， 3211111223a a =-=-=-4131111312a a a =-=-==-{}n a 3所以，故B 错误；3133113n n n a S S a ++=-==因为，， 1111n n n na a a a +=-=-2111111111n n n n n n n n a a a a a a a a ++-==-=----=--所以，故C 正确； 121111n n n n n n n a a a a a a a ++-⋅--=⋅=-，故D 正确；()()191231819123192166332232S a a a a a a a a a ⎛⎫=+++++=+++=⨯+-+= ⎪⎝⎭ 故选：CD10．已知数列满足且，数列满足（），下列说法正确的{}n a 11a =11(1n n a a n+=+{}n b nn n b a t =*n ∈N 有（ ）A ．数列为等比数列B ．当时，数列的前项和为{}n b 2t ={}n b n ()1122n n +-+C ．当且为整数时，数列的最大项有两项 D ．当时，数列为递减数(0,1)t ∈1tt -{}n b 1(0,)2t ∈{}n b 列【答案】BCD【分析】A 选项，变形为，得到为常数列，故，，根111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n n a a n n +=+n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n =nn b nt =据定义求出不是等比数列，A 错误； {}n b B 选项，错位相减法求和，B 正确；C 选项，作差法得到随着的变大，先增后减，根据为整数，得到且最大，即数列n {}n b 1tt-1n n b b +=的最大项有两项，C 正确；{}n b D 选项，作差法结合得到，故D 正确.1(0,)2t ∈()1101n n n n b b n t t n +⎛⎫-=+-< ⎪+⎝⎭【详解】变形为，又，故数列为常数为1的数列，故，111n n a a n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭11n n a a n n +=+111a =n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a n =所以，因为， nn b nt =()1111n n nn n t bn t b nt n++++==若，则为常数为0的常数列，不是等比数列， 0=t {}n b 若，则不是定值，不是等比数列，综上A 错误； 0t ≠11n n b n t b n++=当时，，2t =2nn b n =⋅设数列的前项和为， {}n b n n T ，①23222322n n T n =+⨯+⨯++⋅ 则，②23412222322n n T n +=+⨯+⨯++⋅②-①得：，B 正确；()()23411222222122n n n n T n n ++=-++++++⋅=-+ 当时，，(0,1)t ∈()()11111n n n n n n b b n t nt n t t n ++⎛⎫-=+-=+- ⎪+⎝⎭因为，所以当，即时，，即(0,1)t ∈1n t n <+1tn t>-10n n b b +-<1n n b b +<当，即时，，即， 1n t n ≥+1tn t≤-10n n b b +-≥1n n b b +≥故随着的变大，先增后减， n {}n b 因为为整数，故且最大，即数列的最大项有两项，C 正确； 1tt-1n n b b +={}n b 当时，，1(0,2t ∈()()11111n n n n n n b b n t nt n t t n ++⎛⎫-=+-=+- ⎪+⎝⎭因为，所以单调递增，故， N n *∈1111n n n =-++112n n ≥+因为，所以，1(0,2t ∈()1101n n n n b b n t t n +⎛⎫-=+-< ⎪+⎝⎭数列为递减数列，D 正确；{}n b 故选：BCD11．已知双曲线过点且渐近线为，点在双曲线的一条渐近线上，为坐标原C (y =P C O 点，为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（ ） F A ．双曲线的离心率为2 B ．双曲线的方程是 C C 2231x y -=C ．的最小值为2 D 与有两个公共点||PF 10y --=C 【答案】AB【分析】设双曲线的方程为，由双曲线过点求出，判断B；再由离()223,0x y λλ-=≠C (λ心率公式判断A ；联立直线和双曲线方程判断D.【详解】设双曲线的方程为，由双曲线过点可得，()223,0x y λλ-=≠C (22311λ=⨯-=即双曲线的方程是，故B 正确；C 2231x y -=可化为，则，故A 正2231x y -=22113x y -=1,a b c ====2c e a ==确；由题意可得，当直线与渐近线垂直时，取最小值，且最小值F ⎫⎪⎪⎭PF y =||PF，故C 错误；1由，解得与只有一个交点，故D 错误； 221031x y y -=--=⎪⎩0x y ==10y --=C 故选：AB12．如图，平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此1111ABCD A B C D -A 6的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）60A ．1AC =B ．1AC BD ⊥ C ．向量与的夹角是.1B C 1AA60 D ．异面直线与. 1BD AC 【答案】AB【分析】根据题意，引入基向量，分别用基向量表示，利用向量求长度1111,,,,,AC BD B C AA BD AC的计算公式，计算可得A 正确；利用向量证垂直的结论，计算可得B 正确；利用向量求夹角公式，计算可得CD 错误.【详解】设，因为各条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，1,,AB a AD b AA c ===660 所以，66cos 6018a b bc c a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=因为，所以，1AC c a b =++A 正确；1AC === 由，所以， BD b a =- ()()221=+=3636+18180AC BD a b c b a b a c b c a ⋅=++⋅--⋅-⋅--= 所以，故B 正确；1AC BD ⊥因为，且，所以1B C b c =-16B C = ，所以其夹角为，故C 错误；()21118361cos ,662b c c b c c B C AA b c c b c c-⋅⋅--====-⨯-⋅-⋅120 因为，1,BD c a b AC a b =-+=+1BD ===AC == ，()()2213636181836BD AC c a b a b b a c a c b ⋅=-+⋅+=-+⋅+⋅=-++=所以D 错误. ()()1cos ,c a b a b BD AC c a b a b-+⋅+===-+⋅+故选：AB.三、填空题13．抛物线的焦点到准线的距离等于__________. 22y x =【答案】14【分析】先将抛物线方程，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可. 22y x =【详解】因为抛物线方程是，22y x =转化为标准方程得：， 212x y =所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为 准线方程为：，1,08F ⎛⎫⎪⎝⎭18x =-所以焦点到准线的距离等于.14故答案为：14【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14．已知数列的前n 项和是，若，则的值为________. {}n a n S 111,n n a a a n +=+=1916S S -【答案】27【解析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可1n n a a n ++=121n n a a n +++=+得通项，从而求得结论．【详解】∵，∴，相减得，1n n a a n ++=121n n a a n +++=+21n n a a +-=又，，，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1121,1a a a =+=20a =211a a -=-{}n a 1，，，21n a n -=21n a n =-． 1916171819981027S S a a a -=++=++=故答案为：27．【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中改写为，两相减后n 1n +得，这里再计算，如果，则可说明是等差数列，象本21n n a a +-=21a a -2211(22n n a a a a +--=={}n a 题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为是等差数列．这是易错的地{}n a 方．15．已知O 为坐标原点，抛物线C ：的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与x 轴垂()220y px p =>直，Q 为x 轴上一点，且，若，则______. PQ OP ⊥6FQ =PF =【答案】3【分析】先求点坐标，再由已知得Q 点坐标，由列方程得解.P PQ OP ⊥【详解】抛物线： ()的焦点，C 22y px =0p >,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭∵P 为上一点，与轴垂直， C PF x 所以P 的横坐标为，代入抛物线方程求得P 的纵坐标为，不妨设，2p p ±(,)2pP p 因为Q 为轴上一点，且，所以Q 在F 的右侧，x PQ OP ⊥又，，， ||6FQ =(6,0)2pQ +(6,)PQ p =-u u u r 因为，所以，PQ OP ⊥2602p PQ OP p ⋅=⨯-=u u u r u u u r ，所以 30,3p p >∴=Q PF =故答案为：3.16．如图：二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，l αβ--135 ,A B l ,AC BD αβ､的长等于__________.,,1,AC l BD l AB AC BD ⊥⊥===CD【分析】由题意，二面角等于，根据，结合向量的运算，即可求l αβ--135 CD CA AB BD =++解.【详解】由题意，二面角等于，l αβ--135 可得向量，，,135AC BD = ,90AC AB =,90AB BD =因为,,,1,AC l BD l AB AC BD ⊥⊥===CD CA AB BD =++所以CD CA AB =++===四、解答题17．已知双曲线的左､右焦点分别为，过.求：22271x y -=12F F ，2F AB (1)弦的长； AB (2)△的周长. 1F AB【答案】(1)；(2).【分析】（1）联立直线方程与双曲线方程，求得交点的坐标，再用两点之间的距离公式即可求,A B 得；AB （2）根据（1）中所求，利用两点之间的距离公式，即可求得三角形周长.【详解】（1）设点的坐标分别为， ,A B ()()1122,,x y x y 、由题意知双曲线的左､右焦点坐标分别为､，1(3,0)F -2(3,0)F 直线的方程，AB 3)y x =-与联立得，解得， 22271x y -=212200x x -+=122,10x x ==代入的方程为分别解得AB 3)y x =-12y y ==所以.AB ===（2）由（1）知，AB= 1AF ==， 1BF==所以△的周长为1F AB 11AF BF AB ++=18．已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.{}n a {}n b 23b =39b =11a b =144a b =(1)求、的通项公式；{}n a {}n b (2)设，求数列的前项和.n n n c a b =+{}n c n n S 【答案】(1)，21n a n =-13n n b -=(2) 2312n n S n -=+【分析】（1）由可求得数列的公比，由等比数列通项公式可得，进而得到；由32b q b ={}n b n b 114,a a 可求得数列的公差，由等差数列通项公式可得； 14113a a d -={}n a n a （2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得.n c n S 【详解】（1）设等比数列的公比为，则，； {}n b q 323b q b ==2123n n n b b q --∴==又，，设等差数列的公差为，则， 111a b ==14427a b =={}n a d 141213a a d -==.()12121n a n n ∴=+-=-（2）由（1）得：；()1213n n c n -=-+()()()()112121321133n n n n S a a a b b b n -∴=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+. 212113312132n n n n n +---=⋅+=+-19．已知圆C ：，圆C 与x 轴交于A ，B 两点．222270x y x y +-+-=(1)求直线y ＝x 被圆C 所截得的弦长；(2)圆M 过点A ，B ，且圆心在直线y ＝x +1上，求圆M 的方程．【答案】(1)(2).()()221212x y -+-=【分析】（1）根据已知条件，结合垂径定理，以及点到直线的距离公式，即可求解．（2）根据已知圆的方程，令y ＝0，结合韦达定理，求出圆心的横坐标，即可求出圆心，再结合勾股定理，即可求出半径．【详解】（1）∵圆C ：，222270x y x y +-+-=∴，即圆心为(－1,1)，半径r ＝3，()()22119-++=x y ∵直线y ＝x ，即x －y ＝0，∴圆心(－1,1)到直线x －y ＝0的距离d ，∴直线y ＝x 被圆C 所截得的弦长为=（2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵圆C ：，圆C 与x 轴交于A ，B 两点，222270x y x y +-+-=∴x 2－2x －7＝0，则，|x 1－x 2|＝12122,7x x x x +==-∴圆心的横坐标为x ＝， 1212x x +=∵圆心在直线y ＝x +1上，∴圆心为(1,2)，∴半径r =故圆M 的方程为．()()221212x y -+-=20．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点.(1)若PA ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面PAD ；(2)点M 在线段PC 上，，若平面PAD ⊥平面ABCD ，且PA ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M 13PM PC =－BQ －C 的大小.【答案】(1)证明见解析(2)60°【分析】（1）由题设条件推导出PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，从而得到AD ⊥平面PQB ，由此能够证明平面PQB ⊥平面PAD .（2）以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M －BQ －C 的大小.【详解】（1）因为底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点，所以BQ ⊥AD ，又PA ＝PD ，所以PQ ⊥AD ，因为PQ ⊥AD ，BQ ⊥AD ，，平面，平面，PQ BQ Q = PQ ⊂PQB BQ ⊂PQB 所以AD ⊥平面PQB ，又因为平面PAD ，AD ⊂所以平面PQB ⊥平面PAD .（2）∵PA ＝PD ＝AD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面平面ABCD ＝AD ，PAD ⋂∴PQ ⊥平面ABCD ，以Q 为坐标原点，分别以QA ，QB ，QP 为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意知：，，，， ()0,0,0Q ()1,0,0A (P ()B ()C -∴，212333QM QP QC ⎛=+=- ⎝设是平面MBQ 的一个法向量，则，，1n 10n QM ⋅= 10n QB ⋅= ∴，令，2030x y z ⎧-=⎪=1z =∴，)1n = 又∵是平面BQC 的一个法向量，∴， ()20,0,1n = 121cos ,2n n = ∴二面角M －BQ －C 的大小是60°.21．已知椭圆C 1:=1(a >b >0)的右顶点与抛物线C 2:y 2=2px (p >0)的焦点重合，椭圆C 1的离心2222x ya b+率为，过椭圆C 1的右焦点F 且垂直于x 轴的直线截抛物线所得弦的长度为.12(1)求椭圆C 1和抛物线C 2的方程.(2)过点A (-4，0)的直线l 与椭圆C 1交于M ，N 两点，点M 关于x 轴的对称点为E .当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 是否经过一定点?请判断并证明你的结论.【答案】(1)椭圆C 1的方程为=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x ； 2243x y +(2)直线EN 恒过一定点Q (-1，0)，证明见解析.【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合抛物线的焦点坐标进行求解即可；（2）设出直线l 的方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合椭圆的对称性、直线斜率公式进行求解即可.【详解】（1）设椭圆C 1的半焦距为c .依题意，可得a =，则C 2:y 2=4ax ， 2p代入x =c ，得y 2=4ac ，即y则有，所以a =2，b222212ac c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩所以椭圆C 1的方程为=1，抛物线C 2的方程为y 2=8x . 2243x y +（2）依题意，当直线l 的斜率不为0时，设其方程为x =ty -4，由，得(3t 2+4)y 2-24ty +36=0. 22-43412x ty x y =⎧⎨+=⎩设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则E (x 1，-y 1).由Δ>0，得t <-2或t >2，且y 1+y 2=，y 1y 2=. 22434t t +23634t +根据椭圆的对称性可知，若直线EN 过定点，此定点必在x 轴上，设此定点为Q (m ，0). 因为kNQ =kEQ ，所以，(x 1-m )y 2+(x 2-m )y 1=0， 2121---y y x m x m=即(ty 1-4-m )y 2+(ty 2-4-m )y 1=0，2ty 1y 2-(m +4)(y 1+y 2)=0，即2t ·-(m +4)·=0，得(3-m -4)t =(-m -1)t =0， 23634t +22434t t +由t 是大于2或小于-2的任意实数知m =-1，所以直线EN 过定点Q (-1，0). 当直线l 的斜率为0时，直线EN 的方程为y =0，也经过点Q (-1，0)，所以当直线l 绕点A 旋转时，直线EN 恒过一定点Q (-1，0).【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系和椭圆的性质是解题的关键. 22．已知数列中，，，其前项和满足（，）.{}n a 12a =23a =n n S 1121n n n S S S +-+=+2n ≥*n ∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)设（为非零整数，），试确定的值，使得对任意，都有14(1)2n a n n n b λ-=+-⋅λ*n ∈N λ*n ∈N 成立.1n n b b +>【答案】(1)1n a n =+(2)1λ=-【分析】根据已知结合与前项和的关系，利用相减法确定的递推关系式，判断为等差n a n n S n a n a 数列，即可求解数列的通项公式；{}n a 根据数列的单调性列不等式求解即可.【详解】（1）解：由已知，得 1121n n n S S S +-+=+()()11n n n n S S S S +----()12,N n n *=≥∈即，且.()*112,N n n a a n n +-=≥∈211a a -=数列是以为首项，公差为1的等差数列. ∴{}n a 12a =.1n a n ∴=+（2）解：， 1n a n =+ ，要使得对任意，恒成立， 114(1)2n n n n b λ-+∴=+-⋅*n ∈N 1n n b b +>恒成立， 12144(1)2n n n n n n b b λ+++∴-=-+-⋅11(1)20n n λ-+--⋅>恒成立， 11343(1)20n n n λ-+∴⋅-⋅->恒成立.11(1)2n n λ--∴-<（i ）当为奇数时，即恒成立，又是递增数列 n 12n λ-<{}12n -则当时，有最小值为1， 1n =12n -.1λ∴<（ii ）当为偶数时，即恒成立，又是递减数列 n 12n λ->-{}12n --则当时，有最大值， 2n =12n --2-.2λ∴>-即，又为非零整数，则. 21λ-<<λ1λ=-综上所述，存在，使得对任意，都有. 1λ=-*n ∈N 1n n b b +>。
广东省深圳市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知点，则直线的倾斜角是（ ） ()(1,0,A B AB A ． B ．C ．D ．60 120 30 150 【答案】A【分析】求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.AB 【详解】因为点，所以，()(1,0,AB AB k ==设直线的倾斜角为，则， AB α0180α<< 所以. 60α= 故选：A.2．“”是“方程表示椭圆”的57m <<22175x y m m +=--A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】 由题意，方程表示一个椭圆，则，解得且， 22175x ym m +=--705075m m m m ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩57m <<6m ≠所以“”是“方程”的必要不充分条件，故选C.57m <<22175x y m m +=--点睛：本题考查了椭圆的标准方程，其中熟记椭圆的标准的形式，列出不等式组是解答关键，此类问题解答中容易忽视条件导致错解，同时注意有时椭圆的焦点的位置，做到分类讨论.75m m -≠-3．在棱长为1的正方体中，（ ） 1111ABCD A B C D -1AB CB CB -+=A ．1 BC D ．2【答案】B【分析】根据向量的线性运算得，即可得结果．11AB CB CB AB -+=【详解】． 11AB CB CB AB BC CB AC -+=++=+ 故选：B ．4．已知数列的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是 ()A ．B ．1(1)1n n a -=-+2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ． D ．2sin2n n a π=cos(1)1n a n π=-+【答案】C【分析】令，2，3，4分别代入验证：即可得出答案．1n =【详解】解：令，2，3，4分别代入验证：可知，因此不成立． 1n =3:2C a =-故选：．C 【点睛】本题考查了数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5．在空间四边形中，，点在上，且，为的中OABC ,,OA a OB b OC c === M OB 3OM MB =N AC 点，则（ ）NM =A ．B ．131242a b c -+- 121232a b c -++C ．D ．131242a b c ++ 121232a b c -+ 【答案】A【分析】利用空间向量加减法运算即可得到答案.【详解】.()()31311314242242NM OM ON OB OA OC b a c a b c =-=-+=-+=-+-故选：A6．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>A ．B ．C ．D ． y =y =y =y =【答案】A【详解】分析：根据离心率得a,c 关系，进而得a,b 关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：2222221312,c b c a b e e a a a a-==∴==-=-=∴因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.by x a=±y =点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.22221(,0)x y a b a b-=>22220x y by x a b a -=⇒=±7．若直线（，）平分圆，则的最小值是（ ） 10ax by +-=0a >0b >()()22114x y -+-=12a b+A ．2B ．5C ．D ．【答案】C【分析】直线平分圆，得到a ,b 关系，再根据基本不等式，即可求解. 【详解】解：直线平分圆，则直线过圆心，即，1a b +=所以(时，取等号) ()1212233b a a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭b =故选：C.8．已知点是抛物线上不同的两点，为抛物线的焦点，且满足，弦的,M N 24y x =F 23MFN π∠=MN 中点到直线的距离记为，若不等式恒成立，则的取值范围（ ） P 1:16l y =-d 22λ≥MN d λA ． B ． (-∞(],2-∞C ． D ．(,1-∞(],3-∞【答案】D【分析】令，利用余弦定理表示出弦的长，再利用抛物线定义结合梯形中位||,||MF a NF b ==MN 线定理表示出，然后利用均值不等式求解作答.d 【详解】在中，令，由余弦定理得MFN △||,||MF a NF b ==， 222||||||2||||cos MN MF NF MFNF MFN =+-⋅∠则有， 222||MN a b ab =++显然直线是抛物线的准线，过作直线的垂线，垂足分别为，如1:16l y =-24y x =,,M P N l ,,A B C 图，而为弦的中点，为梯形的中位线，由抛物线定义知，P MN PB MACN ，11||(||||)()22d PB MA NC a b ==+=+因此， 22222222||4444443222MN a b ab ab a b d a b ab a b ab b a ++=⋅=-=-≥=++++++当且仅当时取等号，又不等式恒成立，等价于恒成立，则，a b =22λ≥MN d 22MN dλ≤3λ≤所以的取值范围是. λ(,3]-∞故选：D【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．二、多选题9．若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） {}n a A ． {}n a B ．{}1n n a a +-C ．(为常数) {}n pa q +,p q D ． {}2n a n +【答案】BCD【分析】根据等差数列的定义逐一进行检验即可求解.【详解】对于选项A ，数列是等差数列，取绝对值后不是等差数列，故选项A 不符合题1,1,3-1,1,3意；对于选项B ，若为等差数列，根据等差数列的定义可知：数列为常数列，故{}n a 1{}n n a a +-为等差数列，故选项B 符合题意；1{}n n a a +-对于选项C ，若为等差数列，设其公差为，则为常数{}n a d 11()n n n n pa q pa q p a a pd +++--=-=列，故为等差数列，故选项C 符合题意；{}n pa q +对于选项D ，若为等差数列，设其公差为，则为常数，故{}n a d 121221n n a n a n d +++--=+为等差数列，故选项D 符合题意， {2}n a n +故选：BCD.10．圆和圆的交点为A ，B ，则有（ ）221:20x y x O +-=222:240O x y x y ++-=A ．公共弦AB 所在直线方程为 0x y -=B ．公共弦ABC ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=D ．P 为圆上一动点，则P 到直线AB 2O 1+【答案】AC【分析】A 选项，两圆方程作差即可求出公共弦方程；B 选项，求出一个圆的圆心到公共弦的距离，利用垂径定理计算即可；C 选项，线段AB 的中垂线即为两圆圆心的连线，利用点斜式求解即可；D 选项，求出到公共弦的距离，加上半径即可求出最值.2O 【详解】因为圆：和圆：的交点为A ，B ， 1O 2220x y x +-=2O 22240x y x y ++-=作差得，440x y -=所以圆与圆的公共弦AB 所在的直线方程为，故A 正确； 1O 2O 0x y -=因为圆心，，所在直线斜率为， 1(1,0)O 2(1,2)O -12O O 2111=---所以线段AB 的中垂线的方程为，即，故C 正确；0(1)y x -=--10x y +-=圆：的圆心为，半径，圆心到直线的距离2O 22240x y x y ++-=2(1,2)O -2r =2(1,2)O -0x y -=P 到直线AB 与圆的公共弦AB 的长d 1O 2O为B,D 错误． =故选:AC.11．某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地F 点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距地面千米，并且A mB n 三点在同一直线上，地球半径约为千米，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为F A B 、、R ，则222a b c 、、A ．B ．C ．D ．a c m R -=+a c n R +=+2a m n =+b =【答案】ABD【分析】根据条件数形结合可知，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得 ，（*）m a c Rn a c R=--⎧⎨=+-⎩ ，故A 正确；a c m R ∴-=+，故B 正确；a c n R +=+（*）两式相加，可得，故C 不正确；22m n a R +=-22a m n R =++由（*）可得 ，两式相乘可得 m R a c n R a c +=-⎧⎨+=+⎩()()22m R n R a c ++=- ，222a c b -=，故D 正确.()()2b m R n R b ∴=++⇒=故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.12．如图，棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线1111ABCD A B C D -,E F 111,A D AA G 上一个动点，则（ ）1B CA ．三棱锥的体积为定值1A EFG -B ．线段上存在点，使平面//平面1B C G EFG 1BDCC ．当时，直线与平面134CG CB = EG ABCDD ．三棱锥1A EFG -【答案】ACD【分析】A 选项，使用等体积法，面面平行进行证明； B 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量进行证明；C 选项，根据先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式计算；134CG CB =G D 选项，找到外接球的球心，表达出半径，求出最大值.【详解】对于A 选项，因为平面//平面，而平面，故//平面11ADD A 11BCC B 1B C ⊂11BCC B 1B C ，11ADD A 因为点为面对角线上一个动点，故点到面距离不变，为， G 1B C G 11ADD A 2因为分别为棱的中点，故为定值，,E F 111A D AA ､1111122A EF S =⨯⨯=A 故三棱锥，而三棱锥的体积，A 选项正确；1112313G E A F F A E S V -⨯⨯==A 11A EFG G EFA V V --=对于B 选项，如图1，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直D DA x DC y 1DD 线为轴建立空间直角坐标系，z 则，，，，，设（），()2,2,0B ()0,0,0D ()10,2,2C ()1,0,2E ()2,0,1F (),2,G m m 02m ≤≤平面的法向量为，则，令，则，，则1BDC ()1111,,n x y z = 1111111220220n DB x y n DC y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩11y =11x =-11z =-，()1111n ,,=--设平面的法向量，则，令，则EFG ()2222,,n x y z = ()()222222202210n EF x z n FG m x y m z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩ 21x =，， 21z =2322my -=所以， 2321,,12m n -⎛⎫= ⎪⎝⎭若平面//平面，则存在，使得，即，解得：，EFG 1BDC k 12n kn = ()321,1,11,,12m k -⎛⎫--= ⎪⎝⎭1k =-，52m =因为，故不合题意，02m ≤≤所以线段上不存在点，使平面//平面，B 选项错误；1B C G EFG 1BDC 对于C 选项，，，，若，即，解得(),2,G m m (0,2,0)C 1(2,2,2)B 134CG CB = ()()3,0,2,0,24m m =， 32m =此时，又，，显然平面的一个法向量，33,2,22G ⎛⎫⎪⎝⎭()1,0,2E 11,2,22EG ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ABCD (0,0,1)a =设直线与平面所成角为，则C 选项正确；EG ABCD θsin cos ,a θ=对于D 选项，如图2，连接，交EF 于点J ，则为EF 的中点，1A D J 1A J =的外接球球心的投影为，1A EFG -J 过点作于点，则平面，，找到球心位置，连接，则G 1GH A D ⊥H GH ⊥11ADD A 2GH =O 1,OA OG 为外接球半径，1OA OG =过点作于点，则，，设（），O OK GH ⊥K OK JH =OJ HK =OK JH a ==0a ≤≤，OJ HK h ==由勾股定理得：，，从而2222211OA OJ A J h =+=+()2222OG h a =-+()22222h h a +=-+，解得：，2724a h +=要想半径最大，则只需最大，即最大，当最大为，此时半径的最大值为h 2a a =h2，故D 正确. =故选：ACD三、双空题13．已知数列的通项公式为：，则的最小值为_____，此时的值为_____. {}n a 103n a n =-n a n 【答案】133【分析】分类讨论去绝对值，即可根据通项公式的单调性判断求值.【详解】，已知先减后增，且. 10,4103103,43n n n a n n n ⎧-<⎪⎪=-=⎨⎪-≥⎪⎩n a 3413a a =<故的最小值为，此时的值为3.n a 13n 故答案为：；3.13四、填空题14．在等差数列中，前n 项和记作，若，则______． {}n a n S ()15265k S a a a =++k =【答案】16【分析】根据等差数列前项和公式及下标和性质以及通项公式计算可得； n 【详解】解：因为，所以，即()15265k S a a a =++()()115261552k a a a a a +=++，所以，所以()82615252k a a a a ⨯=++8263k a a a a =++，所以；()()()()826111113375151k a a a a a d a d a d a d a k d =-+=+-+++=+=+-16k =故答案为：1615．已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线E 的左、1F 2F ()222:103x yE a a -=>1F 右两支分别交于A ，B 两点，若，则的面积为__________． 22::5:12:13BF AB AF =2ABF△【答案】##2.4 125【分析】根据双曲线的定义以及焦点三角形即可根据勾股定理求解，由直角三角形的面积公22a =式即可得解. 【详解】如图，因为，所以． 22::5:12:13BF AB AF =2AB BF ⊥设，，得，25BF x =12AB x =213AF x =由，得 1221BF BF AF AF -=-1112||513||x AF x x AF +-=-所以，则，13AF x =115BF x =由，得，2221212BF BF F F +=222504x c =又 ，所以，，， 12221023BF BF x a c a ⎧-==⎨=+⎩22a =25c =2225x =故的面形. 2ABF △221123025S AB BF x ===故答案为：125五、双空题16．已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数{}n a 14a =()121n n na n a +=+{}n a 列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________．{}(1)(2)na n n ++n n S 30n S ≥n 【答案】 612n n a n +=⋅【分析】根据给定递推公式变形构造新数列即可得解；利用裂项相消法求出，再借助数列单调性n S 计算得解.【详解】在数列中，，由得：，而， {}n a 14a =()121n n na n a +=+121n n a a n n +=⋅+141a=于是得数列是以4为首项，2为公比的等比数列，则，即，{}n a n 142n n a n-=⋅12n n a n +=⋅所以数列的通项公式为；{}n a 12n n a n +=⋅显然，，121212(1)2(2)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21n n n n n n a n n n n n n n n n n n +++++⋅+⋅-+⋅===-++++++++则，324354121222222222222))))2324354121(((((2n n n n n n S n n n n n ++++-+-+-++-+-=+=-+++ 由得：，即，令，则，即数列是递增30n S ≥222302n n +-≥+22322n n +≥+222n n b n +=+12(2)13n n b n b n ++=>+{}n b 数列，由，得，而，因此，，从而得，， 22322n n +≥+32n b ≥632b =6n b b ≥6n ≥min 6n =所以满足不等式的的最小值为6.30n S ≥n 故答案为：；612n n a n +=⋅六、解答题17．已知直线，．()():12360m a x a y a -++-+=:230n x y -+=(1)当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程；0a =l m n l (2)若坐标原点O 到直线的距离为1，求实数的值．m a 【答案】(1)或，120x y -+=370x y -=(2)或 1a =132a =-【分析】（1）先求出直线与的交点，然后设出直线的方程，求出直线在两坐标轴上的截距，m n l l 由截距相反列方程可求出直线的斜率，从而可求出直线的方程；l （2）利用点到直线的距离公式列方程可求出实数的值.a 【详解】（1）当时，直线， 0a =:360m x y -++=由，解得， 360230x y x y -++=⎧⎨-+=⎩219x y =-⎧⎨=-⎩所以直线与的交点为，m n (21,9)--由题意可知直线的斜率存在，设直线的方程为，l l 9(21)y k x +=+当时，，0x =219y k =-当时，， 0y =921x k=-因为直线在两坐标轴上的截距相反，l 所以，即， 9219210k k-+-=271030k k -+=解得或， 1k =37k =所以直线的方程为或， l 921y x +=+39(21)7y x +=+即或，120x y -+=370x y -=（2）因为坐标原点O 到直线的距离为1，直线，m ()():12360m a x a y a -++-+=，1=化简得，解得或. 2211130a a +-=1a =132a =-18．如图在边长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点．1111ABCD A B C D -1AC（1）求异面直线EF 与所成角的大小．1CD （2）证明：平面． EF ⊥1ACD 【答案】（1）；（2）证明见解析．60︒【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用可得解； 111cos ,EF CD EF CD EF CD ⋅= （2）利用和，可证得线线垂直，进而得线面垂直. 10EF DA ⋅= 0EF DC ⋅= 【详解】据题意，建立如图坐标系．于是：，，，，，(0,0,0)D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(0,0,2)D ∴，，，．(1,0,1)EF =- 1(0,2,2)CD =- 1(2,0,2)DA = (0,2,0)DC = （1）， 11cos ,2EF CD = ∴1,60EF CD ︒= ∴异面直线EF 和所成的角为．1CD 60︒（2）11200120EF DA ⋅=-⨯+⨯+⨯= ∴，即1EF DA ⊥ 1EF DA ⊥，1002100EF DC ⋅=-⨯+⨯+⨯=∴即．EF DC ⊥ EF DC ⊥又∵，平面且1DA DC ⊂1DCA 1DA DC D ⋂=∴平面． EF ⊥1ACD 19．记为数列的前项和，． n S {}n a n 1122n n n S a --=()*n N ∈（1）求；1n n a a ++（2）令，证明数列是等比数列，并求其前项和．2n n n b a a +=-{}n b n n T 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 12n -11122n n T +=-【分析】（1）运用数列的递推式：时，，时，，化简变形可得1n =11a S =2n ≥1n n n a S S -=-，进而得到所求答案. 1112n n n a a --+=-（2）由（1）的结论，将n 换为n +1，两式相减，结合等比数列的定义和求和公式，即可得到答案.【详解】（1）由，可得时，，即； 1122n n n S a --=1n =1121S a -=11a =当时，，2n ≥1n n n a S S -=-由，， 1122n n n S a --=112122n n n S a ----=两式相减可得：，即：. 11211222n n n n n a a a ----+=-1112n n n a a --+=-即有. 112n n na a ++=-（2）由（1）可得，即有， 112n n n a a ++=-21112n n n a a ++++=-两式相减可得，即. 2112n n n a a ++-=112n n b +=则，可得数列是首项为，公比为的等比数列. 1122122n n n n b b +++=={}n b 1412所以. 1111114212212n n n T +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--【点评】本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．20．已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线C ()0,1D ()2,1E -(F -P 1:2l y x =-与圆交于、两点.2:1=+l y x C A B（1）求圆的方程；C （2）求的最小值.22PA PB +【答案】（1）；（2）．22210x y x ++-=13【分析】（1）设圆的一般方程为，即可根据题意列出三个方程，解出C 220x y Dx Ey F ++++=，即可得到圆的方程； ,,D E F C （2）联立直线的方程和圆的方程可得、两点的坐标，设，再根据两点间的距离公2l C A B (),P x y 式表示出，消去，可得关于的二次函数，即可求出最小值． 22PA PB +y x 【详解】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，C 220x y Dx Ey F ++++=．1025030E F D E F D F ⎧++=⎪-+++=⎨⎪-+==⎩2,0,1D E F ⇒===-所以圆的方程为：．C 22210x y x ++-=（2）联立或， 221002101y x x x y x y ⎧--==⎧⇒⎨⎨++-==⎩⎩21x y =-⎧⎨=-⎩不妨设，，则，(0,1),(2,1)A B --(),P x y 2y x =-∴． 222222221||||(1)(2)(1)44144132PA PB x y x y x x x ⎛⎫+=+-++++=-+=-+ ⎪⎝⎭故的最小值为．22PA PB +13【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，直线与圆的交点坐标的求法，以及两点间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．21．如图，在三棱锥中， ，为的中点，. A BCD -AB AD =O BD OA CD ⊥(1)证明：平面平面;ABD ⊥BCD(2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，三棱锥OCD A E AD 2DE EA =B ACD -，求平面BCD 与平面BCE 的夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析【分析】（1）根据线面垂直的判定定理先证明平面BCD ，又平面ABD ，从而由面面垂OA ⊥OA ⊂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，因为为正三角形，所以，过作与交于点OD F OCD A CF OD ⊥O //OM CF BC M ，则，又由（1）知平面BCD ，所以，，两两垂直，以点为坐标原OM OD ⊥OA ⊥OM OD OA O 点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，然后求出所需点的坐标，进OM OD OA x y z 而求出平面的法向量，最后根据向量法即可求解.【详解】（1）证明：因为，为的中点，AB AD =O BD 所以，又且，OA BD ⊥OA CD ⊥BD CD D ⋂=所以平面BCD ，又平面ABD ， OA ⊥OA ⊂所以平面平面； ABD ⊥BCD（2）解：由题意，， 1112OCD S =⨯⨯=A BCD S =A 由（1）知平面BCD ，OA ⊥所以，所以OA =2， 1133B ACD A BCD BCD V V S OA --=⋅⋅==A 取的中点，因为为正三角形，所以，OD F OCD A CF OD ⊥过作与交于点，则，所以，，两两垂直，O //OM CF BC M OM OD ⊥OM OD OA以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系如图所示，O OM OD OA x yz则，，，，，1，，A （0，0，2），， (0B 1-0)1,0)2C (0D 0)14(0,,)33E 因为平面，所以平面的一个法向量为， OA ⊥BCD BCD (0,0,1)m = 设平面的法向量为，又， BCE (,,)n x y z =344,0),(0,,)233BC BE == 所以由，得，令，， 00n BC n BE ⎧⋅=⎨⋅=⎩30244033x y y z +=⎪+=⎪⎩x =1y =-1z =所以，1,1)n =-所以 |||cos ,|||||m n m n m n⋅<>= 所以平面BCD 与平面BCE22．在平面直角坐标系中，椭圆2． ()2222:10x y C a b a b +=>>(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线A 、B 两点，D 是椭圆C 上一点，直线OD 的斜率为，且:l y mx =n 12mn =．T 是线段OD 的半径为，OP ，OQ 是的两条切T A DT T A 线，切点分别为P ，Q ，求的最大值．QOP ∠【答案】(1)； 22132x y +=(2)最大值为.QOP ∠3π【分析】（1）根据焦距易得; 1c =（2）将直线与椭圆联立得到方程组，利用弦长公式得到的表达式，再利用AB |||DT AB =，则可得到，即圆半径的表达式，根据，则,则将直线的方程与椭圆方程DT r 12mn =12n m =OD 联立，得到的表达式，利用,将上述表达式代入，利用换元法结合二次函OD sin2||QOP r r OD ∠=+数最值得到的最值，最终得到的最大值. sin 2QOP ∠QOP ∠【详解】（1）由题意得，， 22c =1c =又c e a = a ∴=b ∴=椭圆方程为：. ∴22132x y +=（2）设，， ()11,A x y ()22,B x y 联立，22132x y y mx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩()2281290m x +--=，()2227203681211522880m m m ∆=++=+>， 12x x +=129128x x m -=+2||AB x -==， |r AB =，直线的方程为：， 12n m=∴OD 12yx m =联立得，，2213212x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2222483m x m =+22683y m =+ ||OD ==,1sin ||2||1QOP r OD r OD r ∠==++，OD r ==令，，且， 223m t +=()2123m t =-2t>110,2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭则ODr==1=≥=当且仅当，，即，时等号成立， 1114t =14t =22314m +=2m =±，因此， 1sin 22QOP ∠≤π26QOP ∠≤的最大值为， QOP ∴∠π3综上所述，的最大值为，此时. QOP ∴∠π32m =±【点睛】本题第二问计算量与思维量较大，对于弦长公式要做到熟练运用，角度最值转化为在一定角度范围内的角的正弦值的最值，最终结合换元法，配方法等求解函数表达式的最值，从而得到角度的最值.。
广东省高二上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ） {}{}lg 1,2A x x B x x =<=<A B = A ． B ． C ． D ．(,2)-∞(0,1)(0,2)(1,10)【答案】C【分析】求出集合A ，再根据交集的运算即可得出答案. 【详解】解：， {}{}lg 1010A x x x x =<=<<所以. A B = (0,2)故选：C.2．已知数列为等比数列，若，，则的值为（ ） {}n a 22a =632a =4a A ．8 B ． C ．16 D ．±168±【答案】A【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为为等比数列，设的公比为，{}n a {}n a q 则，，212a a q =⋅=56132a a q =⋅=两式相除可得，所以， 416q =24q =所以， 46213248=⋅=÷=a a q 故选：A.3．正方体中，是棱的中点，若，则点到平面的距离是 1111ABCD A B C D -E CD 2AB =B 1A AEA B C D 【答案】B【解析】由题意结合几何体的结构特征利用等体积法求解点面距离即可. 【详解】设点到平面的距离为，由等体积法可知：， B 1A AE h 11B A AE A ABE V V --=即，,111133A AE ABE S S AA h ⨯⋅⨯⋅=△△111122223232h ⎛⎛⎫⨯⨯⋅=⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎝⎭解得：. h =【点睛】本题主要考查点面距离的求解，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．设为虚数单位，，“”是“复数是纯虚数”的（ ）条件 i a ∈R 1a =2121a z i=--A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先化简，再根据纯虚数的定义求出的值，利用充分条件和必要条件得定义即可判断.z a 【详解】复数是纯虚数， ()()22221111212112222a a i a i a i z i i i ++-=-=-=-=---+则，解得，210a -=1a =±故“”是“复数是纯虚数”的充分不必要条件， 1a =2121a z i =--故选：A.【点睛】对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式.5．已知，则的最小值与最小正周期分别是（ ） ()sin cos f x x x =()f x A ．，B ．，C ．，D ．，12-π1-π12-2π2-2π【答案】A【分析】根据正弦的二倍角公式化简，即可根据周期公式求解出周期，由正弦函数的性质求出最小值.【详解】，故最小正周期为，最小值为. ()1sin cos sin 22f x x x x ==2ππ2=12-故选：A.6．目前，国际上常用身体质量指数BMI 来衡量人体胖瘦程度以及是否健()()22kg m =体重单位：身高单位：康．某公司对员工的BMI 值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为；女员工中，肥胖者3100的占比为，已知公司男、女员工的人数比例为2：1，若从该公司中任选一名肥胖的员工，则该2100员工为男性的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．310092003534【答案】D【分析】先求出任选一名员工为肥胖者的概率和肥胖者员工为男性的概率，再根据条件概率计算即可.【详解】设公司男、女员工的人数分别为和，2n n则男员工中，肥胖者有人， 33210050n n ⨯=女员工中，肥胖者有人， 210050nn ⨯=设任选一名员工为肥胖者为事件，肥胖者为男性为事件，A B 则，， 3150()350n P AB n ==325050()375n nP A n +==则. 1()350()2()475P AB P B A P A ===故选：D.7．是椭圆上的一点，为左顶点，为右焦点，轴，若P 22221(0)x y a b a b +=>>A F PF x ⊥，则椭圆的离心率为（ ）1tan2PAF ∠=e A BCD ．12【答案】D【分析】轴得，在直角中由正切的定义可得的齐次式，从而得出的PF x ⊥2b PF a =PAF △,,a bc e 方程，求得结论．【详解】解：轴，，PF x ⊥ 2b PF a∴=而由得 AF a c =+∴，1tan 2PAF ∠=12PF AF =，即，212b ac a ∴=+（）2222a c a ac -=+（）解得舍或. 2210e e ∴+-=，1e =-（）12e =故选：D.8．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若（λ∈R ），则λ＝（ ）||||PT AT =u u u ru u u r ES AP BQ λ-=A B C ．D 【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到，即可求解.RQ = 【详解】根据图形的对称性，可得，， ES RC = AP QC =由和向量的运算法则，可得，ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=又由，，故，所以． RQ PT = ||||BQ AT = RQ λ=故选：D.二、多选题9．已知抛物线的焦点为，P 为C 上的一动点，，则下列结论正确()2:20C y px p =>()4,0F ()5,1A 的是（ ） A ．B ．当PF ⊥x 轴时，点P 的纵坐标为8 4p =C ．的最小值为4D ．的最小值为9PF PA PF +【答案】CD【分析】根据焦点坐标可得，即可判断A,根据坐标运算即可判断B,根据焦半径以及自变量的8p =范围即可判断C,根据三点共线即可判断D.【详解】对于A,由抛物线的焦点为可知，故A 错误， ()2:20C y px p =>()4,0F 482pp =⇒=对于B,当PF ⊥x 轴时，则点的横坐标为4，将其代入中得，故B 错误， P 216y x =8y =±对于C,设，则，由于,所以，故的最小值()00,P x y 0042pPF x x =+=+00x ≥044PF x =+≥PF 为4，故C 正确，对于D ，过作垂直于准线于,过作垂直于准线于，P PM M A AE E则，当，，三点共线时等号成立， 6PA PF PA PM AM AE +=+≥≥=P E A 故D 正确； 故选：CD10．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象如图，则()()sin f x A x ωϕ=+6π()y g x =（ ）A ．为奇函数()f x B ．在区间上单调递增()f x ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．方程在内有个实数根()1f x =()0,2π4D ．的解析式可以是()f x ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】BC【分析】利用图象可求得函数的解析式，利用函数图象平移可求得函数的解析式，可判()g x ()f x 断D 选项；计算可判断A 选项；利用正弦型函数的单调性可判断B 选项；当时，()0f ()0,2x π∈求出方程对应的可能取值，可判断C 选项. ()1f x =223x π-【详解】由图可知，函数的最小正周期为，，()g x 453123T πππ⎛⎫=+=⎪⎝⎭22T πω∴==()max 2A g x ==，所以，，则，可得， ()()2sin 2g x x ϕ=+552sin 2126g ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5sin 16⎛⎫+= ⎪⎝⎭πϕ所以，，得， ()52Z 62k k ππϕπ+=+∈()2Z 3k k πϕπ=-∈因为，则，所以，，2πϕ<3πϕ=-()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象，()g x 6π()f x 故.()22sin 22sin 2633f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于A 选项，因为，故函数不是奇函数，A 错； ()202sin 03f π⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭()f x 对于B 选项，当时，，故函数在区间上单调递增，B 对； 63x ππ<<22033x ππ-<-<()f x ,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭对于C 选项，由，可得，()22sin 213f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭21sin 232x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭当时，，所以，，C 对； ()0,2x π∈22102333x πππ-<-<2513172,,,36666x πππππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭对于D 选项，，D 错. ()22sin 22sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：BC.11．已知数列满足，，，则（ ） {}n a 11a =131n n a a +=+*n ∈N A ．121是数列中的项B ．13nn n a a +-=C ．是等比数列D ．存在，12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭*k ∈N 1211132k a a a +++= 【答案】ABC【分析】由递推关系式可知，通过构造等比数列可求得数列的通项公式为131n n a a +=+{}n a ，即可计算并判断出ABC 正确；再利用不等式进行放缩可得出对于任意的，312n n a -=*n ∈N ，可得D 错误. 1211132n a a a +++<L 【详解】由可得，，又， 131n n a a +=+111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭11322a +=所以是首项为，公比为3的等比数列，即C 正确；12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭32所以，由等比数列通项公式可得，即；113322n n a -+=⨯312n n a -=当时，，所以121是数列中的第五项，即A 正确；5n =55131122a -==由可得，；即B 正确；312n n a -=1113333312232n n n n n n n a a ++---⨯-=-==易知，当时，， 1231n n a =-2n ≥11313323n n n n --->-=⨯所以，当时，； 11122131233n n n n a --=<=-⨯1n =1312a =<当时，，2n ≥211211111133311133323213111n n n n a a a --⎛⎫++++++⋅⋅⋅+==- ⎪⎝⎭-<<即对于任意的，，所以不存在，， *n ∈N 1211132n a a a +++<L *k ∈N 1211132k a a a +++= 即D 错误. 故选：ABC12．如图，在平行四边形ABCD 中，，，，沿对角线BD 将△ABD 折起到1AB =2AD =60A ∠=︒△PBD 的位置，使得平面PBD ⊥平面BCD ，连接PC ，下列说法正确的是（ ）A ．平面PCD ⊥平面PBDB ．三棱锥外接球的表面积为 P BCD-10πC ．PD 与平面PBC D ．若点M 在线段PD 上（包含端点），则△BCM 【答案】ACD【分析】结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验A,根据外接球的球心位置即可结合三角形的边角关系求解半径，可判断B,结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验．CD 【详解】中，，，， BCD △1CD =2BC =60A ∠=︒所以，所以，BD =222BD CD BC +=BD CD ⊥因为平面平面,且平面平面，又，平面 PBD ⊥BCD PBD BCD BD =BD CD ⊥CD ⊂BCD 所以平面，平面,所以平面平面，故A 正确；CD ⊥PBD CD ⊂PCD PCD ⊥BPD 取的中点为,中点为,过作,由平面平面,且平面BC N PB Q N 12ON //PB,ON PB =PBD ⊥BCD 平面，又,平面,故平面,因此平面,由于PBD BCD BD =BD PB ⊥PB ⊂PBD PB ⊥BCD ON ⊥BCD 为直角三角形，且为斜边中点，所以,又,所以BCD △N OB OC OD ==12ON //PB,ON PB =,因此,因此为三棱锥外接球的球心，且半径为QB ON ,BQ //ON =OP OB =O P BCD -故球的表面积为，故B错误，OB54π=5π4´以为原点，联立如图所示的空间直角坐标系，则0，，，1，，0，，D B0)(0C0)P1)因为，0，，1，，,(0BP=1)(BC=0))01DP,=设平面的法向量为，PBC(),,m x y z=所以，取zm BPym BC⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⎪⋅=⎪⎩⎩x)30m,=所以PD与平面PBCC正确，cos,||||m DPm DPm DP⋅<>=因为在线段上，设，0，，则，0，，MPD M)a MB=)a-所以点到的距离，M BCd=当时，面积取得最小值D正确．37a=d MBC∆12BC=故选：ACD．三、填空题13．写出过点且与圆相切的一条直线的方程______．()2,2P-()2211x y++=【答案】（答案不唯一）3420x y+-=【分析】根据题意：先讨论斜率不存在的情况是否成立；斜率存在时，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.【详解】当过点的直线斜率不存在时：方程为：，此时直线到圆心的距离()2,2P-2x=-1d r==，满足题意；当过点的直线斜率存在时：设方程为：， ()2,2P -(2)2y k x =++即，因为直线与圆相切， 220kx y k -++=()2211x y ++=所以，解得：，所以直线方程为：，d 34k =-3420x y +-=所以过点且与圆相切的一条直线的方程或， ()2,2P -()2211x y ++=2x =-3420x y +-=故答案为：（答案不唯一）.3420x y +-=14．等差数列的前项之和为，若，则________． {}n a n n S 66a =11S =【答案】66【分析】直接利用等差数列前项和公式和等差数列的性质求解即可. n 【详解】由已知条件得, ()11161111226622a a a S +===故答案为：.6615．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为60°，则OA OB OC OA OB ⊥ OC OA OB______．OA OB OC ++=【分析】根据向量的模长公式即可代入求解.【详解】由题意可得，0OA OB ⋅= 111cos 602OA OC OC OB⋅=⋅=⨯⨯=OA OB ++16．已知椭圆的右焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴上方．若线段的中点M 在以原点2212516x y +=PF O 为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是_______________． ||OF PF【答案】.-【分析】设椭圆得左焦点为，连接，根据线段的中点M 在以原点O 为圆心，F ',OM PF 'PF ||OF 为半径的圆上，可得，从而可求得，在，利用余弦定理求得OM OF c ==,PF PF 'PFF 'A PFF '∠的余弦值，从而可得出答案.【详解】解：设椭圆得左焦点为，连接，F ',OM PF '由椭圆得，，2212516x y +=5,4,3a b c ===则，，， ()()3,0,3,0F F '-26FF c '==210PF PF a '+==因为点M 在以原点O 为圆心，为半径的圆上， ||OF 所以，3OM OF c ===因为分别为得中点，,O M ,FF PF '所以，所以， 26PF OF '==104PF PF '=-=所以，则1636361cos 2463PFF +-'∠==⨯⨯sin PFF '∠=所以，tan PFF ='∠因为点P 在椭圆上且在x 轴上方，则直线的倾斜角与互补， PF PFF '∠所以直线的斜率. PF -故答案为：.-四、解答题17．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知． a =b =cos A =(1)求；sin B (2)若B 是钝角，求AC 边上的中线长．【答案】 (2)1【分析】（1）根据同角基本关系可得正弦值，进而根据正弦定理即可求解，（2）根据余弦定理可求解，利用向量得，平方后即可求解．c 1()2BD BA BC =+【详解】（1）由,则由正弦定理得()cos 0,πA A =∈sin Asinsin sin sin b a b AB B A a=Þ=（2）由于B是钝角，故, cos B =由余弦定理可得（负值舍去），222cos 2a c b B ac +-==-1c=设边上的中线为，则，AC BD 1()2BD BA BC =+所以，222222(2)()2cos 1211BD BA BC c a ac B ⎛=+=++=++⨯= ⎝所以，即边上的中线长为． 1||2BD = AC 1218．设第一象限的点是双曲线上的一点，已知C 的一条渐近线的方()00,M x y ()222:104xy C b b -=>程是． y =(1)求b ； 0003yx -<(2)若直线和曲线C 相交于E ，F 两点，求． :3l y x =-EF【答案】(1)，证明见解析 b =(2)【分析】（1）根据渐近线方程可得，进而根据分析法即可求解， b =（2）联立方程，由韦达定理以及弦长公式即可求解.【详解】（1）的渐近线方程为，故，()222:104x y C b b-=>2b y x =±b =双曲线方程为，在双曲线上，所以， 22142x y -=()00,M x y 2200142x y -=，由于，显然成立，若0003x y x -<0003y x -<000,0x y >>0030x -≤时，只需要证明，即证，因此只需要0030x ->202003x y x ⎫⎪⎪-<⎭022*********x x x ⎛⎫+-<- ⎪⎝⎭证明，由，得，而，故0292x <02x >02994x<2899918221644<⇒+<< 0292x <0003y x -<（2）联立直线与双曲线方程， 222112220423x y x x y x ⎧-=⎪⇒-+=⎨⎪=-⎩设,则，所以由弦长公式得：()()2211F x ,y ,E x ,y 12121222x x ,xx +=×=，=19．如图，在棱长为2的正方体中，E 为AD 中点．1111ABCD A B C D -(1)求平面与平面夹角的余弦值；1DBD1EBD (2)探究线段上是否存在点F ，使得平面？若存在，确定点F 的位置；若不存在，说1B C //DF 1BD E 明理由． 【答案】 (2)存在，点为线段上靠近点的三等分点 F 1B C C 见解析【分析】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标D DA DC 1DD x y z 系，求出平面的法向量，平面的一个法向量．利用空间向量的数量积即可求解 1BD E 1BD D （2）假设在线段上存在点，使得平面．通过向量共线以及向量的数量积为0，求1B C F //DF 1BD E 解即可．【详解】（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角D DA DC 1DD x y z 坐标系，则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，(2A 0)(2B 0)(0C 0)(0D 0)(1E 0)1(2B 2)1(0D 0，．2)，， 1(1,0,2)D E =-(1,2,0)EB = 设平面的法向量，1BD E (,,)n x y z =，即，∴100n D E n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩2020x z x y -=⎧⎨+=⎩令，则，，，2x =1y =-1z =∴(2,1,1)n =-连接，，由于平面，平面,所以，AC AC BD ⊥1D D ⊥AC AC ⊂AC 1D D AC ⊥平面，11,,D D BD D D D BD ⋂=⊂1BD D 平面，为平面的一个法向量．AC ∴⊥1BD D ∴(2,2,0)=-AC 1BD D ，∴cos ,||||AC n AC n AC n⋅〈〉==平面与平面夹角不超过，故平面与平面1DBD 1EBD 90 1DBD 1EBD （2）假设在线段上存在点，使得平面．1B C F //DF 1BD E 设，，，1([0,1])CF CB λλ=∈ 1(2,0,2)CB = 1(0,2,0)(2,0,2)(2,2,2)DF DC CF DC CB λλλλ=+=+=+=平面，，即，//DF 1BD E ∴DF n ⊥ 0DF n ⋅=，2，，，，即，解得， (2λ∴2)(2λ⋅1-1)0=620λ-=1[0,1]3λ=∈在线段上存在点，使得平面，此时点为线段上靠近点的三等分点．∴1B C F //DF 1BD E F 1B C C 20．甲、乙两人组成“新队”参加猜成语活动，每轮活动由甲乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为（）．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也p q p q >互不影响．已知“新队”在一轮活动中都猜错的概率为，只猜对一个成语的概率为．1612(1)求的值；,p q(2)求“新队”在两轮活动中猜对2个成语的概率． 【答案】(1) 2312p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(2) 1336【分析】(1)根据相互独立事件发生的概率公式求解； (2)分情况讨论，根据相互独立事件发生的概率公式计算. 【详解】（1）都猜错的概率为，即，1(1)(1)6p q --=56p q pq +-=只猜对一个成语的概率为，即，1(1)(1)2p q p q -+-=122p q pq +-=所以解得. 7613p q pq ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2312p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（2）“新队”在一轮比赛中猜对2个的概率为，1111623--=所以“新队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为. 1111111336632236⨯+⨯+⨯=21．设等比数列的前n 项和为，且，.{}n a n S 121n n a S +=+()*n ∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前n a 1n a +n 2n +n d 1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭项和为，求证：. n n T 158n T <【答案】(1)13n n a -=(2)证明见解析【分析】（1）利用数列的递推关系和等比数列的性质，即可求出数列的通项公式；{}n a （2）根据等差数列的性质，可得，可得，再利用错位相减法即可得出． 1331n n n d n --=+11123n n n d -+=⋅【详解】（1）解：∵①121n n a S +=+时，②2n ≥121n n a S -=+①−②()11232n n n n n a a a a a n ++⇒-=⇒=≥而，由为等比数列，∴，2121a a =+{}n a 1112131a a a +=⇒=∴；11133n n n a --=⋅=（2）解： ，∴ 11332311n n n n d n n ---⋅==++11123n n n d -+=⋅∴① 0122123412323232323n n n n n T --+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅⋅② 12211231132323232323n n n nn n n T ---+=++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅⋅⋅①−② 121211111323232323n n nn T -+⇒=+++⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅⋅， 111116311111111234432313n n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+-=+-- ⎪⋅⋅⎝⎭-525443n n +=-⋅∴ 11525158838n n n T -+=-<⋅22．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点是，一个顶点的坐标是． ()12,0F -((1)求C 的方程．(2)设动直线与椭圆C 相切于点P ，且与直线交于点Q ，证明：以PQ 为直径的圆:n y kx m =+3x =恒过定点M ，并求出M 的坐标．【答案】(1)22162x y +=(2)，证明见解析()2,0M【分析】（1）根据椭圆几何性质可得2,c b ==a =（2）联立方程，根据判别式为0得，进而可得，，根据向量垂2226m k =+62,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,3Q k m +直的坐标运算可得对任意的恒成立，即可求解定()226232230k x y x x k m y m m æöç÷+-++--++=ç÷èø,k m 点.【详解】（1）由焦点是，可知焦点在轴上，故设椭圆方程为，有题()12,0F -x ()222210x ya b a b +=>>意可知2,c b ==a =故C 的方程为22162x y +=（2）联立， ()22222113636062x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩故，化简得，()()()2226413360mk km D=-+-=2226mk =+设，则，， ()00,P x y 023613mk k x k m=-=-+002213m y kx m k m =+=-=+故，，设，则62,k P m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭()3,3Q k m +(),M x y ，化简得()()6233=0k PM QM x x y y k m m m æöæöéùç÷ç÷×=+-+--+ç÷ç÷ëûèøèø对任意的恒成立，故满足()226232230k x y x x k m y m m æöç÷+-++--++=ç÷èø,k m ，故以PQ 为直径的圆恒过定点M,且, 2232=022=000x y x x x y y ⎧+-+=⎧⎪-⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩()2,0M 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，圆锥曲线中常涉及范围或最值问题，以及定点定值问题.根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的垂直关系得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用.。
2023-2024学年广东省广州市高二上学期期末数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省广州市高二上册期末数学试题一、单选题1．已知()A 3,5，()1,7B ，则直线AB 的倾斜角大小是（）A ．45︒B ．60︒C ．120︒D ．135︒【正确答案】D【分析】设出直线的倾斜角，利用倾斜角与斜率的关系求出tan 1α=-，进而求出倾斜角.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则75tan 113α-==--，因为[)0,πα∈，所以135α=︒.故选：D2．抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为3，则点P 的横坐标为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】根据抛物线的定义解题即可.【详解】设()00,P x y ，因为24y x =，所以2p =，所以0232x +=，解得02x =故选：B ．3．过点()1,2P 引直线，使()2,3A ，()4,5B -两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A ．3270x y +-=B ．250x y +-=C ．3270x y +-=或460x y +-=D ．3270x y +-=或250x y +-=【正确答案】C【分析】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，分情况讨论即可求解.【详解】设所求的直线为l ，则直线l 平行于AB 或直线l 过线段AB 的中点，因为()2,3A ，()4,5B -，所以53442AB k --==--，所以过点()1,2P 且与AB 平行的直线为：()241y x -=--即460x y +-=，因为()2,3A ，()4,5B -，所以线段AB 的中点为()3,1-，所以过点()1,2P 与线段AB 的中点为()3,1-的直线的方程为：()122131y x ---=⨯--，即3270x y +-=，所以这条直线的方程是：3270x y +-=或460x y +-=，故选.C4．设{}n a 是等差数列，若723,13a a ==，则数列{}n a 前8项的和为A ．128B ．80C ．64D ．56【正确答案】C【分析】由等差数列的求和公式以及角标之和的性质求解即可.【详解】()()87128886422a a a a S ⨯+⨯+===故选：C本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.5．在直三棱柱111ABC A B C -中，1190,,BCA D F ∠=︒分别是1111,A B AC 的中点，1BC CA CC ==，则1BD 与1AF 所成角的正弦值是（）A．10B ．12C．10D．15【正确答案】C【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得11BD AF 与所成角的余弦值，从而求得所求.【详解】根据题意易知1,,AC BC CC 两两相互垂直，由此建立如图所示空间直角坐标系，不妨设12BC AC CC ===，则()()()()112,0,0,1,0,2,0,2,0,1,1,2,A F B D 故()11,1,2BD =- ，()11,0,2AF =-，设11BD AF 与所成角为α，090α︒≤≤︒，则11cos AF BD AF BD α⋅==⋅所以sin 10α=，即1BD 与1AF所成角的正弦值是10故选：C.6．已知直线l ：310mx y m --+=恒过点P ，过点P 作直线与圆C ：22(1)(2)25x y -+-=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值为（）A ．45B ．2C ．4D ．25【正确答案】A【分析】写出直线的定点坐标并判断与圆的位置关系，进而确定AB 最小时直线与直线CP 的位置关系，即可得结果.【详解】由(3)10m x y --+=恒过(3,1)P ，又22(31)(12)525-+-=<，即P 在圆C 内，要使AB 最小，只需圆心(1,2)C 与P 的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由||5CP =5，所以22555AB =-故选：A7．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（）A ．3B ．12C ．2D ．4【正确答案】A【分析】根据等差数列的通项得出第1、5、17项，根据等比中项得出12a d =，即可根据等比数列公比求法得出答案.【详解】数列{}n a 是公差为0d ≠的等差数列，则()11n a a n d +-=，则514a a d =+，17116a a d =+，第1、5、17项顺次成等比数列，则()()2111416a d a a d +=+，解得12a d =，则这个等比数列的公比511111433a a d a q a a a +====，故选：A.8．已知()4,0A ，()0,4B ，从点()2,0P 射出的光线经直线AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是（）A．B ．6C．D．【正确答案】C【分析】求出P 关于直线AB 的对称点Q 和它关于y 轴的对称点T ，则QT 的长就是所求路程．【详解】由题意直线AB 方程为4x y +=，设P 关于直线AB 的对称点(,)Q a b ，则122422ba ab ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得42a b =⎧⎨=⎩，即(4,2)Q ，又P 关于y 轴的对称点为(2,0)T -，QT ==故选：C二、多选题9．已知直线1l 的方程为()258x m y ++=，直线2l 的方程为()345m x y ++=，若12//l l ，则m =（）A ．1-B ．7-C ．1D ．3-【正确答案】AB【分析】根据两直线平行可得12211221A B A B AC A C =⎧⎨≠⎩，解之即可【详解】因为()1258l x m y ++=：即()2580x m y ++-=，()2345m x l y ++=：即()3450m x y ++-=，且12//l l ，所以()()()()53242583m m m ⎧++=⨯⎪⎨⨯-≠-+⎪⎩，解得1m =-或7-．故选：AB10．已知双曲线C过点(且渐近线方程为3y x =±,则下列结论正确的是（）A．直线10x -=与C 有两个公共点B ．CC ．C 的方程为2213x y -=D ．曲线2e 1x y -=-经过C 的一个焦点【正确答案】CD【分析】根据渐近线方程设出双曲线方程,将点(代入即可得双曲线方程,因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,所以A 错误;根据双曲线方程可求出,,a b c ,进而判断选项B,C 的正误;写出焦点坐标,代入2e 1x y -=-中,即可判断选项D 正误.【详解】解:因为双曲线C渐近线方程为y =,不妨设双曲线方程为:223x y λ-=,将点(代入,可得3λ=,所以双曲线方程为:2213x y -=,故选项C 正确;因为直线10x -=与渐近线平行,所以与双曲线只有一个交点,故选项A 错误;因为双曲线方程为:2213x y -=,所以1,2a b c ===,所以离心率为c a =故选项B 错误;因为双曲线的焦点坐标为()()2,0,2,0-,将()2,0代入2e 1x y -=-知，该焦点在曲线上,将()2,0-代入2e 1x y -=-知，该焦点不在曲线上,所以选项D 正确.故选:CD11．已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点1F 、2F 在x 轴上，短轴长等于2，焦距为过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的方程为2214x y +=B ．椭圆C C ．12PQ =D ．272PF =【正确答案】AD【分析】求出a 、b 、c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F 为椭圆C 的左焦点，将x =入椭圆方程，可求得PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C ，由已知可得222bc =⎧⎪⎨=⎪⎩1b =，c =2a ==.对于A 选项，因为椭圆C 的焦点在x 轴上，故椭圆C 的方程为2214xy +=，A 对；对于B 选项，椭圆C 的离心率为2c e a ==，B 错；对于C 选项，设点1F 为椭圆C 的左焦点，易知点()1F ，将x =12y =±，故1PQ =，C 错；对于D 选项，11122PF PQ ==，故21722PF a PF =-=，D 对.故选：AD.12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 上一点，且二面角C AB E --的正切值为2，则（）A ．异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为5B ．在棱AB 上不存在一点F ，使得1//C F 平面BDE C ．1B 到平面ABE 的距离是C 到平面ABE 倍D ．直线BE 与平面11BDD B 所成角的大小等于二面角C AB E --的大小【正确答案】CD【分析】建立空间直角坐标系，根据二面角C AB E --的正切值求出点E 的位置，利用空间向量与线面之间的关系可列式得出A 、B 、D 选项；利用等体积法即可求出1B 到平面ABE 的距离和C 到平面ABE 的距离，即可判断出选项 C.【详解】如图建立直角坐标系，设正方体边长为2因为二面角C AB E --2，所以二面角C AB E --设平面ABC 的法向量为()10,0,1n = ，设平面ABE 的法向量为()2,,n x y z =u u r()2,0,0A ，()2,2,0B ，()0,2,E λ，()0,2,0AB =，()2,0,BE λ=- 222020AB n y BE n x z λ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，设1x =，解得221,0,n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ()1212122cos ,3n n n n n n ⋅==⋅，解得λ=AE =，2AD =，DE222cos 25AD AE DE DAE AD AE +-∠==⋅⋅，A 错误；()2,2,0B，(0,E ，()0,0,0D ，()2,2,0DB =，(0,DE = 设平面BDE 法向量为()3,,n x y z =3322020DB n x y DE n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，设1x =，解得(31,n =- ()10,2,2C ，()2,,0F y ，()12,2,2C F y =--若1//C F 平面BDE，则31220n C F y ⋅=-+-=，解得42y =-<故在棱AB上存在一点F，使得1//C F平面BDE，B错误；设1B到平面ABE的距离为1h，C到平面ABE的距离为2h，其中ABES=111112233B ABE E ABBV V h--==⨯=⨯⨯，解得13h=211233C ABE E ABCV V h--==⨯=⨯，解得23h=，12h=，C正确；(BE=-，平面11BDD B的法向量为()2,2,0AC=-()cos,3BE ACBE ACBE AC⋅==⋅，直线BE与平面11BDD B，D正确.故选：CD三、填空题13．过点()1,0，且斜率为2的直线方程是______．【正确答案】220x y--=【分析】由题意写出直线的点斜式方程，再化为一般式方程．【详解】过点()1,0，且斜率为2的直线方程是()021y x-=-，化为一般式方程为220x y--=．故答案为220x y--=．本题考查了直线方程的应用问题，是基础题．14．椭圆221259x y+=的左焦点为1F，M为椭圆上的一点，N是1MF的中点，O为原点，若3ON=，则1MF=______．【正确答案】4【分析】根据三角形的中位线定理，结合椭圆的定义即可求得答案.【详解】椭圆221259x y+=的左焦点为1F,如图，设右焦点为2F,则5a=，由N是1MF的中点，O为12F F得中点，3ON=,故2||2||6MF ON==,又12||||210MF MF a+==，所以1||4MF =，故415．设椭圆22*221(N 211)x y n n n +=∈++的焦距为n a ，则数列{}n a 的前n 项和为__________.【正确答案】2n n+【分析】根据椭圆的标准方程求出焦距为n a ，再利用等差数列的前n 项和公式即可求解.【详解】因为2n a n ==，所以数列{}n a 为等差数列，首项12a =，所以数列{}n a 的前n 项和为2(22)2n nn n +=+.故2n n+本题考查了椭圆的简单几何性质、等差数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.16．已知等比数列{}n a 的首项为1，且()64312a a a a +=+，则1237a a a a = __________.【正确答案】128【分析】先由等比数列的通项公式得到364312a a q a a +==+，进而得到3412a a q =⋅=，再根据等比数列的性质得到结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为()64312a a a a +=+，根据等比数列的通项公式的计算得到：364312a a q a a +==+，所以3412a a q =⋅=.由等比数列的性质得到.77123742128a a a a a === 故答案为128.这个题目考查了等比数列的通项公式的写法，以及等比数列的性质的应用，题目比较基础.对于等比等差数列的小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.四、解答题17．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知14a =，公差0d >，4a 是2a 与8a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【正确答案】(1)()*4n a n n N =∈；(2)2(1)n n T n =+【分析】（1）由等比数列的性质结合已知条件列出等式即可求得d ，代入等差数列的通项公式即可得解；（2）求出等差数列{}n a 的前n 项和，再由裂项相消法求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T .【详解】（1）因为4a 是2a 与8a 的等比中项，所以2428a a a =，即()()()221113740a d a d a d d d +=++⇒-=，解得4d =或0d =，又0d >，所以4d =，数列{}n a 的通项公式为()*1(1)4n a a n d n n N =+-=∈；（2）()1n 2n n a a S 2n 2n 2+==+ ，2n 111112n 2n 2n n 1S ⎛⎫∴== ⎪++⎝⎭则n 12n111T S S S =++⋯+111111111122231212(1)n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.本题考查等差数列通项公式及前n 项和公式，裂项相消法求和，属于基础题.18．已知圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，且圆心C 在直线l ：30x y --=上.(1)求圆C 的方程；(2)若从点()4,1M -发出的光线经过x 轴反射，反射光线1l 刚好经过圆心C ，求反射光线1l 的方程.【正确答案】(1)()()226313x y -+-=；(2)2530x y -+=【分析】(1)根据题意设圆心(,3)C a a -，利用两点坐标公式求距离公式表示出CA CB =，解出a ，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得()14,1M --，利用直线的两点式方程即可得出结果.【详解】（1）圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，因为圆心C 在直线：l ：30x y --=上，设圆心(,3)C a a -，又圆C 过点()4,0A ，()8,6B ，所以CA CB =解得6a =，所以()6,3C ，所以r CA ==故圆C 的方程为C ：()()226313x y -+-=；（2）点()4,1M -关于x 轴的对称点()14,1M --，则反射光线1l 必经过点1M 和点C ，由直线的两点式方程可得113446y x +--=+--，即1l .2530x y -+=19．四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD =且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成角的大小．【正确答案】(1)证明见解析(2)45︒【分析】（1）建立空间直角坐标系，结合向量法证得平面AEC ⊥平面PDB .（2）结合向量法求得直线AE 与平面PDB 所成角的余弦值，进而求得所成角的大小.【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系，设,AB a PD h ==，()()()(),0,0,,,0,0,,0,0,0,A a B a a C a P h ，(),,0AC a a =- ，所以220,0AC DP AC DB a a ⋅=⋅=-+= ，所以,AC DP AC DB ⊥⊥，由于DP DB D ⋂=，所以AC ⊥平面PDB ，由于AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面PDB .（2）当PD =且E 为PB中点时，()11,,,222P E a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设AC BD O = ，则11,,022O a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，连接EO ，则//EO DP ，EO ⊥平面ABCD ，EO AO ⊥.由（1）知AC ⊥平面PDB ，所以AEO ∠是AE 与平面PDB所成角，11,,,0,0,2222EA a a a EO a ⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos EO AEO EA ∠= 由于[]0,90AEO ∠∈︒︒，所以45AEO ∠=︒.20．已知等差数列n {a }的前n 项和为n S ，公差为0d >，且231440,13a a a a =+=，公比为(01)q q <<等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭(1)求数列n {a }，n {b }的通项公式,n n a b ；(2)若数列n {c }满足n n n c a b =+，求数列n {c }的前n 项和n T .【正确答案】(1)3 1.n a n =-2112n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭；(2)()31211234n n n +⎛⎫+- ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式即可求解.（2）利用等差数列前n 项和公式与等比数列的前n 项和公式以及分组求和法即可求解.【详解】(1)由题意可得：等差数列n {a }，1111()(2)40,2,2313.3a d a d a a d d ++==⎧⎧⇒⎨⎨+==⎩⎩3 1.n a n =-因为等比数列n {b }中，12311111,,,,,,60322082b b b ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭，(01)q q <<，所以123111,,.2832b b b ===12111,1112•1242.4n n n b b q --⎧=⎪⎪⎛⎫⎛⎫⇒==⎨ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎪=⎪⎩.(2)n n n c a b =+=31n -2112n -⎛⎫+ ⎪⎝⎭.()111242311214nn n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭+-⎢⎥⎣⎦∴=+-()31211234n n n +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭本题主要考查等差等比数列的通项公式、求和公式以及分组求和，需熟记公式，考查学生的计算能力，属于基础题.21．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值．【正确答案】（1）见解析；（2【分析】（1）利用三角形中位线和11//AD 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点M E ∴为1B BC ∆的中位线1//M E BC ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//AD BC 1//ND BC ∴且112ND B C =//M E ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设AC BD O = ，11111A CB D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD四边形ABCD 为菱形AC BD∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)3,0,0A ，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎫-⎪⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形DF AB∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD1D F A A ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMA DF ∴ 为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎫=⎪⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =r ，又)13,1,2MA =- ，33,,022MN ⎫=-⎪⎪⎝⎭132033022n MA y z n MN x y ⎧⋅-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩ ，令3x =1y =，1z =-)3,1,1n ∴=- 15cos ,515DF n DF n DF n ⋅∴<>===⋅ 10sin ,5DF n ∴<>= ∴二面角1A M A N --的正弦值为：105本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.22．设抛物线2:4C y x =，直线:20l x my --=与C 交于A ，B 两点．()1若||AB =l 的方程；()2点M 为AB 的中点，过点M 作直线MN 与y 轴垂直，垂足为N ．求证：以MN 为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标．【正确答案】(1)20x y --=或20x y +-=，(2)见证明【分析】(1)联立直线与抛物线消去x 得到关于y 的一元二次方程，利用弦长公式AB ==.(2)设M 的坐标为(),OH OH x y ，由于MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，可利用·0PM PN = 找出一关系式，从而求出定点.【详解】()1由224x my y x=+⎧⎨=⎩，消去x 并整理可得2480y my --=，显然216320m =+> ，设()()1122,,,A x y B x y ，124y y m ∴+=，128y y =-AB ∴===21m ∴=，即1m =±，直线方程为20x y --=或20x y +-=，()2证明：设AB 的中点M 的坐标为(),OH OH x y ，则()12122OH y y y m =+=，2=222OH OH x my m ∴+=+，()222,2M m m ∴+，由题意可得()0,2N m ，设MN 为直径的圆经过点()00,P x y ，()20022,2PM m x m y ∴=+-- ，()00,2PN x m y =-- ，由题意可得·0PM PN = ，即()2220000042420x m y m x y x --++-=，由题意可得002200042040,20x y x y x -=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩解得002,0x y ==，定点()2,0即为所求本题主要考查直线与抛物线的位置关系，圆的相关性质，定点问题，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.。
广东省东莞市2023年高二上学期期末考试数学试题+答案解析(附后)
广东省东莞市2021-2022学年高二上学期期末考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.数列，，1，3，5，的一个通项公式为( )A. B. C. D.2.已知双曲线，则双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.3.如图，在平行六面体中，( )A. B. C. D.4.已知直线l过点，且其方向向量，则直线l的方程为( )A. B. C. D.5.如图，已知二面角平面角的大小为，其棱l上有A，B两点，AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与AB垂直.已知，，则( )A. 5B. 13C.D.6.过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于P，Q两点，若以线段PQ为直径的圆与直线相切，则( )A. 8B. 7C. 6D. 57.设P，Q分别为直线与上任意一点，则PQ的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 68.定义焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线为一对相关曲线.已知，是一对相关曲线的焦点，P 是这对相关曲线在第一象限的交点，则点P与以为直径的圆的位置关系是( )A. 在圆外B. 在圆上C. 在圆内D. 不确定二、多选题（本大题共4小题，共20分。
在每小题有多项符合题目要求）9.设等差数列的前n项和为，且，，则下列结论正确的是( )A. B. C. D.10.若，则方程可能表示下列哪些曲线( )A. 椭圆B. 双曲线C. 圆D. 两条直线11.已知圆，直线，P为直线l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B，则下列结论正确的是( )A. 四边形MAPB面积的最小值为4B. 四边形MAPB面积的最大值为8C. 当最大时，D. 当最大时，直线AB的方程为12.某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2020年底全县的绿地占全县总面积的从2021年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，预计每年能将前一年沙漠的变成绿地，同时，前一年绿地的又被侵蚀变成沙漠.则下列说法正确的是( )A. 2021年底，该县的绿地面积占全县总面积的B. 2023年底，该县的绿地面积将超过全县总面积的C. 在这种政策之下，将来的任意一年，全县绿地面积都不能超过D. 在这种政策之下，将来的某一年，绿地面积将达到全覆盖三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.在空间直角坐标系中，点关于原点的对称点为点B，则__________.14.在数列中，，，则数列的前6项和为__________.15.曲线围成的图形的面积为__________.16.已知双曲线的左，右焦点分别为，，过右焦点且倾斜角为直线l与该双曲线交于M ，N两点点M位于第一象限，的内切圆半径为，的内切圆半径为，则为__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。
广东省高二上学期数学期末考试试卷
广东省高二上学期数学期末考试试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 9 题；共 18 分)1. （2 分） (2019·达州模拟) 复平面内表示复数 的点位于A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限2. （2 分） (2019 高二上·河南月考) 命题“”的否定是（ ）A.B.C.D.3. （2 分） (2017 高二上·安平期末) 设 F1 ， F2 分别为椭圆 C1： + =1（a＞b＞0）与双曲线 C2： ﹣ =1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点 M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率 e= ， 则双曲线 C2 的离心率 e1 为（ ）A.B. C. D.第 1 页 共 20 页4. （2 分） 复数的共轭复数为（ ）A.B.C.D.5. （2 分） (2020 高二下·开鲁期末) 2019 年 5 月 22 日具有“国家战略”意义的“长三角一体化”会议在芜 潮举行，长三角城市群包括，上海市以及江苏省､浙江省､安徽省三省部分城市，简称“三省一市".现有 4 名高三学 生准备高考后到上海市､江苏省､浙江省､安徽省四个地方旅游，假设每名同学均从这四个地方中任意选取一个去旅 游则恰有一个地方未被选中的概率为（ ）A. B.C.D.6. （2 分） 若抛物线的焦点与双曲线A . -2B.2C.4D . -47. （2 分） (2020·定远模拟) 已知三棱锥 所成角的余弦值为（ ）的右焦点重合,则 p 的值为（ ） 的各棱长都相等， 为 中点，则异面直线 与第 2 页 共 20 页A. B. C. D. 8. （2 分） (2020·成都模拟) 已知实数 A.满足，则的最小值为（ ）B.C.D.9. （2 分） (2019 高三上·广东月考) 设函数是奇函数的导函数，当，则使得成立的 的取值范围是（ ）时，A.B.第 3 页 共 20 页C.D.二、 多选题 (共 2 题；共 6 分)10. （3 分） (2020 高二上·建瓯月考) 甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个 白球和 3 个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 ， 和 表示由甲罐取出的球是红球，白球 和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C . 事件 与事件 相互独立 D . ， ， 是两两互斥的事件11. （3 分） (2019 高二上·三明月考) 椭圆 以下说法正确的是（ ）A . 过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，则的左右焦点分别为 的周长为 .B . 椭圆 上存在点 ，使得.， 为坐标原点，C . 椭圆 的离心率为D . 为椭圆一点， 为圆上一点，则点 ， 的最大距离为 .三、 填空题 (共 3 题；共 3 分)12. （1 分） (2020 高二上·鱼台月考) 如图，四棱柱底面中心，平面，.平面的法向量的底面是正方形， 为________.第 4 页 共 20 页13. （1 分） (2020 高三上·贵阳期末) 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，乙获胜的概率是 ， 则甲获胜的概率是________14. （1 分） (2019 高二下·顺德期末) 已知函数，像上与图像上存在关于 y 轴对称的点，则 m 的取值范围是________．四、 双空题 (共 1 题；共 1 分)，若函数图15.（1 分）(2019 高二上·长沙月考) 已知，，且，则五、 解答题 (共 6 题；共 50 分)16. （10 分） 已知集合 A={x|x2+x+p=0}．（Ⅰ）若 A=∅，求实数 p 的取值范围；（Ⅱ）若 A 中的元素均为负数，求实数 p 的取值范围．17. （10 分） (2020·湛江模拟) 已知函数，（1） 求函数的极值；的最小值为________.，．（2） 直线为函数图象的一条切线，若对任意的，都有成立，求实数 的取值范围．18. （10 分） 某公司从大学招收毕业生，经过综合测试，录用了 14 名男生和 6 名女生，这 20 名毕业生的测 试成绩如茎叶图所示（单位：分）．公司规定：成绩在 180 分以上者到甲部门工作，180 分以下者到乙部门工作，另 外只有成绩高于 180 分的男生才能担任助理工作．第 5 页 共 20 页（1） 分别求甲、乙两部门毕业生测试成绩的中位数和平均数（2） 如果用分层抽样的方法从甲部门人选和乙部门人选中选取 8 人，再从这 8 人中选 3 人，那么至少有一人 是甲部门人选的概率是多少？19. （5 分） (2018·黑龙江模拟) 抛物线的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A、B 两点．Ⅰ 若点，且直线 AT，BT 的斜率分别为 ， ，求证：为定值；Ⅱ 设 A、B 两点在抛物线的准线上的射影分别为 P、Q，线段 PQ 的中点为 R，求证：．20. （10 分） (2019·黄山模拟) 在△ABC 中，AB=2，且 sinA（1-2cosB）+sinB（1-2cosA）=0.以 AB 所在直 线为 x 轴，AB 中点为坐标原点建立平面直角坐标系.（I）求动点 C 的轨迹 E 的方程；（II）已知定点 P（4，0），不垂直于 AB 的动直线 l 与轨迹 E 相交于 M、N 两点，若直线 MP、NP 关于直线 AB 对称，求△PMN 面积的取值范围。
广东省深圳市深圳实验学校高中园2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题
=
-n2
+14n
，
所以 S9 = -81+126 = 45 ，故 B 错误；
所以数列{an} 前 7 项和最大，故 D 错误.
故选：AC. 10．AC 【分析】根据两直线平行、垂直的性质，结合倾斜角的定义、截距的定义逐一判断即可. 【详解】A：当 a = -1 时，直线 l 的方程为 x - y +1 = 0 ，可化为： y = x +1 ，所以该直线的斜 率为 1， 直线 x + y = 0 的斜率为 -1 ，因为 -1´1 = -1，所以这两条直线互相垂直，因此本选项说法正 确； B：由直线 l 与直线 x - y = 0 平行，可得 (a2 + a +1) ×(-1) = -1´1 Þ a = 0 或 a = -1 ，因此本选 项说法不正确；
16．棱长为 3 的正方体 AC1 中， M、N 分别是平面 A1B1C1D1 和平面 ACD1 内动点，
uuur BP
=
uuur 2PB1
，则
PM
+
MN
的最小值为
四、解答题
17．已知等差数列{an} 的前 n 项和 Sn 满足 S3 = -3, S7 = -21. (1)求{an} 的通项公式；
试卷第41 页，共33 页
A．直线 D1D 与直线 AF 垂直 B．直线 A1G 与平面 AEF 平行 C．平面 AEF 截正方体所得的截面面积为 9
8
D．点 C 与点 B 到平面 AEF 的距离相等
12．如图所示．已知椭圆方程为
x2 a2
+
y2 b2
= 1( a
>b
>
0) ，F1、F2 为左右焦点，下列命题
广东省高二上学期期末联考数学试题 (解析版)
数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项：1.开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁.第一部分选择题（共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 集合，，则（）{}|2sin 1,R A x x x ==∈{}230B x x x =-≤A B = A.B.[]0,3π6⎧⎫⎨⎬⎩⎭C. D.π5π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】【详解】由得解得或， 2sin 1x =1sin 2x =π2π6x k =+5π2π,Z 6k k +∈所以或， π|2π6A x x k ⎧==+⎨⎩5π2π,Z 6k k ⎫+∈⎬⎭又由解得，所以， 230x x -≤03x ≤≤{}03B x x =≤≤所以，A B = π5π,66⎧⎫⎨⎬⎩⎭故选:D.2. 某地天气预报中说未来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天下雪的概率，用计算机产生1~5之间的随机整数，当出现随机数1，2或3时，表示该天下雪，其概率为0.6，每3个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20组随机数： 522 553 135 354 313 531 423 521 541 142 125323345131332515324132255325则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（） A.B.C.D.2592012710【答案】B 【解析】【详解】20组数据中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9组随机数，所以. 920P =故选：B3. 设复数满足，则在复平面上对应的图形是（） z 1z z z -=-z A. 两条直线 B. 椭圆C. 圆D. 双曲线【答案】A 【解析】【详解】设，则，i z x y =+i z x y =-可得：，1z z z -=-()()22212x y y -+=化简得：， ()2213x y -=即或，13x y -=13x y -=-则在复平面上对应的图形是两条直线. z 故选：A4. 在中，已知，，，满足此条件的三角形只有一个，则满足ABC A 3a =π3A =b x =x （）A.B.x =()0,3x ∈C. D.{()0,3x ∈⋃{(]0,3x ∈⋃【答案】D 【解析】【详解】由正弦定理得，则有，3πsin sin 3xB=x B =.()2π0,π0,3B A æöç÷Î-=ç÷èø∵满足条件的三角形只有一个，即有唯一的角与其对应，则，故x ππ0,23B ìüæùïïçÎúíýçúïïîþèû.{(]0,3x B =Î 故选：D5. 圆内接四边形中，，是圆的直径，则（）ABCD 2AD =4CD =BD AC BD ⋅=A. 12B.C. 20D.12-20-【答案】B 【解析】【详解】由题知，，90BAD BCD ∠=∠=o 2AD =4CD =∴()AC BD AD DC BD AD BD DC BD ⋅=+⋅=⋅+⋅ .22=cos cos AD BD BDA DC BD BDC AD DC ∠-∠=- 41612=-=-故选：B.6. 已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最{}n a 2830a a +<670a a ⋅<{}n a n 大值，那么取得最小正值时为（） n S n A. 11 B. 12C. 7D. 6【答案】A 【解析】【详解】因为等差数列的前项和有最大值，故可得， n 0d <因为，故可得，即， 2830a a +<10224+<a d 10112+<d a 所以，可得， 7012-<a d 7102<<a d 又因为，670a a ⋅<故可得，所以数列的前6项和有最大值， 60a >{}n a 且， 6712110+=+<a a a d 又因为，， ()122711612602=⨯=++<a S a a a ()611111111102+>=⨯=⨯S a a a 故取得最小正值时n 等于. n S 11故选：A.7. 已知过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于不同的两点()222210x y a b a b+=>>()1,0F -A，，与轴交于点，点，是线段的三等分点，则该椭圆的标准方程是（）B yC C F AB A.B.22165x y +=22154x y +=C.D.22132x y +=22143x y +=【答案】B 【解析】【详解】不妨设在第一象限，由椭圆的左焦点，点，是线段的三等分点，A ()1,0F -C F AB 则为的中点，为中点，所以，所以，则C 1AF 1F BC 1A x =22211A y a b +=2A b y a=即，所以，，21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭220,2b C a ⎛⎫ ⎪⎝⎭22,2b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭将点坐标代入椭圆方程得，即， 4222441b a a b +=222414b a a+=又，所以，，221a b -=25a =24b =所以椭圆的标准方程是.22154x y +=故选：B8. 定义在的函数满足：对，，且，()0,∞+()y f x =1x ∀()20,x ∈+∞12x x ≠成立，且，则不等式的解集为（）()()2112120x f x x f x x x ->-()39f =()3f x x >A. B.()9,+∞()0,9C. D.()0,3()3,+∞【答案】D 【解析】【详解】由且，， ()()2112120x f x x f x x x ->-1x ∀()20,x ∈+∞则两边同时除以可得， 12x x ()()121212f x f x x x x x ->-令，则在单调递增， ()()f x g x x =()()f x g x x=()0,∞+由得且， ()3f x x >()3f x x>(3)(3)33f g ==即解得， ()(3)g x g >3x >故选：D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）9. 已知双曲线（，）的右焦点为，在线段上存在一点22221x y a b-=0a >0b >(),0F c OF ，使得到渐近线的距离为，则双曲线离心率的值可以为（） M M 34c A.B. 2C.D.43【答案】AB 【解析】【详解】的一条渐近线方程为，22221x y a b-=0bx ay -=设，，(),0M m 0mc <<，整理得：， 34c =234c m b=因为，所以，即0m c <<234c c b<34c b <=解得：， c a >，，， >2>43<<所以AB 正确，CD 错误. 故选：AB10. 已知正实数，满足，下列说法正确的是（） a b 8ab a b ++=A. 的最大值为2B. 的最小值为4ab a b +C. 的最小值为D. 的最小值为2+a b 3()111a b b++12【答案】BCD 【解析】【详解】对于A,因为， 8ab a b ab ++=≥+即，解得，280+≤42-≤≤又因为正实数，，所以，a b 02<≤则有，当且仅当时取得等号，故A 错误；4ab ≤2a b ==对于B ，，2()8()4a b ab a b a b +++=≤++即，解得（舍）， ()24()320a b a b +++-≥8a b +≤-4a b +≥当且仅当时取得等号，故B 正确； 2a b ==对于C,由题可得所以，解得， (1)8b a a +=-801ab a -=>+08a <<， 818182213311231a a a a a a b a a -=+-=++-≥++=-=+++当且仅当即时取得等号，故C 正确； 1811a a +=+1a =-对于D, []11111(1)(1)8(1)a b b a b b a b b ⎡⎤+=+++⎢⎥++⎣⎦， 1(1)112(22)8(1)82b a b a b b ⎡⎤+=++≥+=⎢⎥+⎣⎦当且仅当时取得等号，故D 正确，(1)44,(1)15b a b b a b a a b b b +=⇒=⇒==++故选:BCD.11. 已知正方体的边长为2，为正方体内（包括边界）上的一点，且1111ABCD A B C D -E满足，则下列说正确的有（） 1sin EDD ∠=A. 若为面内一点，则点的轨迹长度为E 1111D C B A E π2B. 过作面使得，若，则的轨迹为椭圆的一部分AB αDE α⊥E α∈E C. 若，分别为，的中点，面，则的轨迹为双曲线的一部分 F G 11A D 11B C E ∈FGAB E D. 若，分别为，的中点，与面所成角为，则的范围为F G 11A D 11B C DE FGAB θsin θ【答案】ABD 【解析】【详解】对于A 项，正方体中，平面，若为面1111ABCD A B C D -1DD ⊥1111D C B A E 内一点，所以.1111D C B A 11DD D E ⊥又因为，所以，1sin EDD ∠=11tan 2EDD ∠=在中，所以 1Rt EDD A 11111tan 22D E D E EDD DD ∠===11D E =故点的轨迹是以为圆心为半径的个圆弧，所以点的轨迹长度为E 1D 114E 1π2π142⋅⋅=故A 正确.对于B项，因为，即为定值，线段也为定值，取的1sin EDD ∠=1EDD ∠1DD 11A D 中点，故点的轨迹是以为轴线，为母线的圆锥的侧面上的点.设平面即为1O E 1DD 1DO α下图的圆面，过点作的平行线交圆锥底面于点，交于点，从图形可得O H 1DA 1H 1DD M ，易得，故的轨迹为椭圆的11DMH D DA EDD ∠=∠=∠1DOH HMO EDD∠>∠=∠E 一部分，所以B 正确.对于C 项,平面与轴线所成的角即为平面与所成的角，是平面与α1DD α1AA 1A AF ∠α轴线所成的角，在中，而母线与轴线所成1DD 1Rt A AF A 1111tan 2A F A AF AA ∠==DF 1DD 的角为，在中，即母线与轴线所成的角与截面1FDD ∠1Rt FDD A 1111tan 2FD FDD DD ∠==与轴线所成的角，所以点的轨迹应为抛物线，故C 不正确.αE 对于D 项,以为原点，分别为轴的非负半轴建立如图所示的坐标系，D 1,,DA DC DD,,x y z连接并延长交上底面于点，设，则DE 1111D C B A 1E 111π,0,2A D E γγ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦， ()()()()()10,0,0cos ,sin ,12,0,02,2,01,0,2D E A B F γγ()1cos ,sin ,1DE γγ=则，设面的法向量为()()0,2,01,0,2AB AF ==- ABGF (),,n x y z =所以 ()0202,0,1200n AB y n x z n AF ⎧⋅==⎧⎪⇒⇒=⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩所以与面所成角的正弦值为DE FGAB sin θ又因为[]π0,2cos 11,32γγ⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ABD 12. 已知函数，，则（）()()ln f x x =-()()ln 4g x x =+A. 函数为偶函数()()22y f x g x =-+-B. 函数为奇函数 ()()y f x g x =-C. 函数为奇函数()()22y f x g x =---D. 为函数函数图像的对称轴 2x =-()()y f x g x =+【答案】CD【解析】【详解】对于A ，， ()()22ln(2)ln(2)y f x g x x x =-+-=-++定义域为，所以函数为非奇非偶函数，故A 错误；()2,+∞对于B, 定义域为， ()()ln()ln(4)y f x g x x x =-=--+()40-，所以函数为非奇非偶函数，故B 错误；对于C, ， ()()22ln(2)ln(2)y f x g x x x =---=--+定义域为，设，()2,2-()ln(2)ln(2)h x x x =-++，所以函数为奇函数，故C 正确；()ln(2)ln(2)()h x x x h x -=+--=-对于D,设定义域为，()()2()ln(4)t x f x g x x x =+=--()4,0-， 22(4)ln (4)4(4)ln(4)()t x x x x x t x ⎡⎤--=------=--=⎣⎦所以为函数函数图像的对称轴，故D 正确， 2x =-()()y f x g x =+故选:CD.第二部分非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知首项为2的数列对满足，则数列的通项公式{}n a *N n ∀∈134n n a a +=+{}n a ______.n a =【答案】 1432n -⨯-【解析】【详解】设，即，故，解得：， ()13n n a a λλ++=+132n n a a λ+=+24λ=2λ=故变形为，， 134n n a a +=+()1232n n a a ++=+12224a +=+=故是首项为4的等比数列，公比为3， {}2n a +则，1243n n a -+=⨯所以，1432n n a -=⨯-故答案为：1432n -⨯-14. 已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线l ()1,0,2n =()0,1,1A l ()1,2,2P l的距离为______.【详解】，()1,1,1=AP ，cos ,⋅===n AP n AP n AP所以，sin ,== n AP 点到的距离为()1,2,2Pl sin ,===d AP n AP 15. 函数（，）的部分图象如图所示，直线()()f x x ωϕ=+0ω>ππ2ϕ<<（）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，，，则y m =0m <1x 2x 3x ______.()123sin 2x x x +-=【答案】 【详解】由图可知，，即，5π5π144f ωϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5πcos 4ωϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则，解得，，故.5ππ2π825π7π2π440ππ2k k ωϕωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎪+=+⎪⎨⎪>⎪⎪<<⎪⎩2ω=3π4φ=-()3π24f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则，最小正周期为. ()3π014f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭()f x 2ππ2=直线（）与这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为，，y m =0m <1x 2x 3x ，则由图可知，.125ππ3π2848x x +=-=235ππ7π2848x x +=+= ∴()()()()123122312π14πππsin 2sin 2sin sin sin 8844x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=+-+=-=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：16. 已知实数x 、y 满足，则________． ||||14x x y y -=2x y -【答案】. 【解析】【详解】因为实数满足， ,x y ||||14x x y y -=当时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分；0,0x y >>2214x y -=当时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分；0,0x y ><2214x y +=当时，方程为的图象不存在；0,0x y <>2214xy --=当时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分；0,0x y <<22+14x y -=在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，到直线2x y -+(,)xy 20x y -=根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为， 12y x =±令，即，与双曲线渐近线平行， 2z x y =-+122z y x =-观察图象可得，当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线(,)x y 12(,)x y 的距离最大，20x y -=即当直线与椭圆相切时，最大，2z x y =-z 联立方程组，2214122x y z y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(222210x z x z --+-+=，(()22Δ24210z z =--⨯⨯-+=解得z =又因为椭圆的图象只有第四象限的部分， 所以，z =又直线与的距离为，故曲线上的点到直线的距离大于1，20xy -+=20x y -=1所以z >z <≤z <≤即，24x y +-∈故答案为：.四、解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17. 已知函数. ()2πππ2sin sin 363f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）求函数的单调增区间；()f x （2）求的值. π2π3π4π5π6π7π24242424242424f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】（1）()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2） 【小问1详解】()2ππππ2sin cos 2cos 13263f x x x x ⎛⎫⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎭πππ2sin cos 333x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππsin233x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2ππ2sin 233x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭π2sin 23x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭令，则. ()πππ22π,2π322x k k k Z ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦()π5ππ,π1212x k k k Z ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦故函数的单调增区间为.()f x ()π5ππ,π1212k k k Z ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦【小问2详解】，()π2sin 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由得，故关于()π2π3x k k -=ÎZ ()()43+1πππ6224k k x k =+=ÎZ ()g x 对称， ()()43+1π,024k k æöç÷Îç÷èøZ 故当时，关于对称. 0k =()g x 4π,024æöç÷ç÷èø故 π2π3π4π5π6π7π24242424242424f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π7π2π6π3π5π4π24242424242424g g g g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭0000=++++=18. 已知等比数列对任意的满足. {}n a n +∈N 183n n n a a ++=（1）求数列的通项公式；{}n a （2）若数列的前项和为，定义为，中较小的数，{}n a n n S {}min ,a b a b ，求数列的前项和.13min ,log 2n n n a b S ⎧⎫⎛⎫=⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭{}n b n n T 【答案】（1）123n -（2） 21,42111093,42318n n n nn T n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩【小问1详解】设等比数列公比为q ，则有，两式相除化简得{}n a ()1118131813nn n n n n n n a a a q a a a q +--⎧+=+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪+=+=⎪⎪⎝⎭⎩，解得， 11131q q+=+13q =又，可得. ()121831a a a q =+=+12a =∴数列的通项公式. {}n a 1112233n n n a --⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭【小问2详解】，则11213131313n n n S -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==--. 111331111min ,log min ,log min ,221111333313333n n n n n n b n -----⎧⎫⎛⎫⎧⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪⎛⎫⎧⎫===⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎪ ⎪⎝⎭⎩⎭-⎪⎪⎪---⎪ ⎪⎩⎭⎪⎪⎝⎭⎩⎭令，即，∵，∴当时，，即11313n n -->-1143n n -->()1143,43n --∈4n <1143n n -->；11313n n -->-当时，，即；4n ≥1143n n --<11313n n --<-∴. 111,41min 3,1133,43n n n n n b n n ---<⎧⎪⎧⎫=--=⎨⎬⎨-≥⎩⎭⎪⎩故当，； 4n <()20122n n n n nT +--==当时，4n ≥()341111333333n n T n -æöæöæöç÷ç÷ç÷=+-+-+-++-ç÷ç÷ç÷èøèøèø. 33111113311111093636311823231813n n n n n n ---éùæöæöêú--ç÷ç÷ç÷ç÷êúæöèøèøëûç÷=-+=--+=×+-ç÷×èø-故. 21,42111093,42318n n n nn T n n -⎧-<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪⋅+-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩19. 已知平面内一动点到定点的距离比它到轴的距离多1. P ()0,1F x （1）求点的轨迹方程；P C （2）过点作直线与曲线交于（点在点左侧），求的最()0,5Q l C ,A B A B ABF AFO S S +△△小值.【答案】（1）或. 24x y =0(0)x y =<（2）20 【小问1详解】由题知，动点到定点的距离比它到轴的距离多1， P ()0,1F x 设， (,)P x y 所以，1PF y =+当，化简得， 0y ≥1y =+24x y =当，化简得，0y <1y =-0x =所以点的轨迹方程为，或.. P 2:4C x y =0(0)x y =<【小问2详解】由题得，过点作直线与曲线交于（点在点左侧）， ()0,5Q l C ,A B A B 所以由（1）得，2:4C x y =设直线为，l 11225,(,),(,)y kx A x y B x y =+将代入中得，5y kx =+2:4C x y =24200x kx --=所以，即，216800k ∆=+>R k ∈，即， 12124,20x x k x x +==-1220x x -=所以ABF AFO AQF BQF AFO S S S S S +=++A A A A A 1212111112()222QF x x OF x xx x =-+=--A A 222224*********x x x x x =++=+≥=当且仅当，即时，取等号， 22502x x =25x =所以 ()min 20ABFAFO S S +=A A 所以的最小值为20.ABF AFO SS +△△20. 已知正项数列，且，设{}n a 12n a +=121aa ==.n b =（1）求证：数列为等比数列并求的通项公式；{}n b {}n a （2）设数列的前项和为，求数列的前项和.{}n b n n S 1n n n b S S +⎧⎫⎨⎬⋅⎩⎭n n P 【答案】（1） ()222211,113721,2n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯⨯⨯⨯-≥⎪⎩ （2） 12221n n P +=--【小问1详解】 因为所以，n b=1+=n b12n a +=12+=na 所以1+===n nb b ，且，12==112==b 所以数列是以为公比，为首项的等比数列，即，{}n b 121212nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，12⎛⎫= ⎪⎝⎭n12+=n ()2121+=-nn n a a 所以时，， 2n ≥()22221324112313721--⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯- n n n a a a a a a a a 即， ()2222113721-=⨯⨯⨯⨯- n n a 而此时时，，1n =()1121210-=-=a 所以； ()222211,113721,2n n n a n -=⎧⎪=⎨⨯⨯⨯⨯-≥⎪⎩ 【小问2详解】由（1），所以，12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭11122111212nnnS ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭-11112++⎛⎫=- ⎪⎝⎭n n S 所以， 11111122111111112222+++⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥==-⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦nn n n n nn n S S b 所以 122311111112111111111111222222+⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+-++-⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ n n n P. 1111122221111122n n n P ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥-⎛⎫⎛⎫--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦21. 已知四棱锥中，，，，E ABCD -44AB CD ==2AE =//CDAB AD=，面面，45DAB ∠=︒ABCD ⊥ABE CE =（1）求证：；AECB ⊥（2）求面与面所成的二面角的余弦值.ADE BDE 【答案】（1）见解析（2）0【小问1详解】由题知，，，，44AB CD ==2AE =//CDAB AD =，面面，45DAB ∠=︒ABCD ⊥ABE CE =过作，过作，即，连接交于，D ⊥DO AB C CFAB ⊥//DO CF AC DO G 因为，//CD AB 所以四边形为平行四边形，OFCD 所以， ,OF CD OD FC ==因为在中，,ADO △45,AD DAO DO AO =∠=︒⊥所以,2DO AO ==所以，2CF =因为，，，44AB CD ==//CD AB OF CD =所以1OF CD ==所以，3AF =因为，CF AB ⊥所以, AC ===因为，CE =2AE =所以在中，,即，ACE △222CE AE AC =+AE AC ⊥又因为，平面平面且交于，⊥DO AB ABCD ⊥ABE AB 所以面，DO ⊥ABE 因为面，AE ⊂ABE 所以，DO AE ⊥因为平面，,,DO AC G DO AC =⊂ ABCD 所以平面,⊥AE ABCD 因为平面，CB ⊂ABCD 所以.AE CB ⊥【小问2详解】由（1）得，面，平面，，DO ⊥ABE ⊥AE ABCD //DO CF 作,//Az DO 所以面，，Az ⊥ABE AE AB ⊥所以，,Az AE Az AB ⊥⊥所以建立以为原点，A 分别以的方向为轴，轴，轴正方向得空间直角坐标系， ,,AE AB Az x y z A xyz -因为，，，2DO AO ==4AB =2AE =所以,(0,0,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,4,0)A D E B所以,(2,0,0),(2,2,2),(0,2,2)AE DE BD ==--=- 设面与面的法向量分别为，ADE BDE 111222(,,),(,,)m x y z n x y z ==所以 ，即，令，得， ·0·0m AE m DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 1111202220x x y z =⎧⎨--=⎩11y =(0,1,1)m =- ，即，令，得， ·0·0n BD n DE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 221112202220y z x y z -+=⎧⎨--=⎩21y =(2,1,1)n = 设面与面所成的二面角为，ADE BDE θ所以面与面所成的二面角的余弦值为. ADEBDE cos 0θ所以面与面所成的二面角的余弦值为0.ADEBDE22. 换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景.例如，已知，，，求的最小值.其求解过程可以是：设0a >0b >4a b +=33+a b 2a t =-，，其中，则2b t =+22t -<<；当()()()()3333232322281268126161216a b t t t t t t t t t +=-++=-+-++++=+≥时取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”.已知平面内一动点到两个0=t 33+a b P 定点，的距离之和为4.()11,0F -()21,0F （1）请利用上述方法，求点的轨迹方程；P M （2）过轨迹与轴负半轴交点作斜率为的直线交轨迹于另一点，连接并M x A k M B 2BF延长交于点，若，求的值.M C 1F C AB ⊥k 【答案】（1） 22143x y +=（2）【解析】【小问1详解】由题知，平面内一动点到两个定点，的距离之和为4，满足椭圆的定P ()11,0F -()21,0F 义，即点的轨迹为焦点在轴上的椭圆，P x 所以，2,1a c ==所以，b =所以点的轨迹方程为， P M 22143x y +=【小问2详解】由（1）得，，， 22:143x y M +=()11,0F -()21,0F 因为与轴负半轴交点作斜率为的直线交轨迹于另一点，连接并延长交M x A k M B 2BF 于点，M C 1F C AB ⊥所以，(2,0)A -设直线为，直线为，， AB (2)y k x =+1FC 1(1)y x k=-+11(,)B x y 联立，消去得， 22143(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩y 2222(34)1616120k x k x k +++-=所以，即， 21216234k x k --+=+2126834k x k-=+所以， 121234k y k =+所以， 2226812(,3434k k B k k -++所以， 22222124346814134BF k k k k k k k +==---+所以， 224:(1)14BF k l y x k =--联立，解得，即24(1)141(1)k y x k y x k ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=-+⎪⎩2818x k y k ⎧=-⎨=-⎩2(81,8)C k k --因为点在椭圆上，C 所以， ()()222818143k k --+=化简得，解得或（舍去）， 4219220890k k +-=2124k =298k =-所以k =所以的值为. k。
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2020-2021学年广东省高二上学期期末数学试卷解析版
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知命题P ：∃x 0≥1，x 02
+x 0+1≤0，则命题P 的否定为（ ）
A ．∃x ≥1，x 2+x +1＞0
B ．∀x ≥1，x 2+x +1≤0
C ．∀x ＜1，x 2+x +1＞0
D ．∀x ≥1，x 2+x +1＞0
【解答】解：因为命题P ：∃x 0≥1，x 02
+x 0+1≤0，则命题P 的否定：∀x ≥1，x 2+x +1
＞0． 故选：D ． 2．过双曲线
x 2a −
y 2b =1（a ＞0，b ＞0）的一个焦点作实轴的垂线，交双曲线于A ，B 两点，
若线段AB 的长度恰等于焦距，则双曲线的离心率为（ ） A ．
√5+1
2
B ．
√10
2
C ．
√17+1
4 D ．
√22
4 【解答】解：不妨设A （c ，y 0），代入双曲线x 2a 2
−y 2b 2
=1，可得y 0＝±
b 2a
．
∵线段AB 的长度恰等于焦距， ∴
2b 2a
=2c ，
∴c 2﹣a 2＝ac ， ∴e 2﹣e ﹣1＝0， ∵e ＞1， ∴e =
√5+1
2
．
故选：A ．
3．已知数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，且a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（ ） A ．
212
B ．33
C ．42
D ．84
【解答】解：数列{a n }满足a n +1﹣2a n ＝0，所以数列是等比数列，公比为2， a 1+a 3+a 5＝21，那么a 3+a 5+a 7＝（a 1+a 3+a 5）×22＝21×4＝84． 故选：D ． 4．△ABC 中，
a cosA
=
b cosB
=
c cosC
，则△ABC 一定是（ ）
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．等腰三角形
D ．等边三角形。