7 第5章角动量及角动量守恒定律
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第5章-角动量角动量守恒定律
② 在点2处
2
力矩 M 2
力矩定义式 M r v
P
{ 方向：垂直图平面向里， 大小； M 2 Gm0m / R
R
m
900
m0
1
角动量 L2
同上理可得 m 的速度v2 Gm0 / R
{
方向：垂直图平面向外，
L2
大小； L2 m Gm0 R
例4、地球在远日点时，它离太阳的距离为r1 1.52 1011 m，
子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升
的速度。
(复习题一、三. 19)
解 设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、v 2 。
由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
v1 v2
R
∵ v1 v猴绳 v绳-地 v v绳-地
v1
v2
而 v绳地 v物地 v2 , 则 v1 v v2
物体运动仅受有心力作用时， 力对力心 O点的力矩始终为零。
m 有心
在有心力作用下，运动物体
r 力F
对力心 O 的角动量守恒。
力心o
L1 L2
r1
mv1
r2
mv2
行星绕太阳运动：
引力指向太阳，行星在引
力动的(，力有而矩心且为力零)r作，//F用M，下对r绕 力太F心阳O0运,
，且有
d
2 2
d12
d
2 3
，试求：(1)小球所受重
{ 力相对 A,
解 (1) MA
B力, 矩C 的M力矩r；
(2)小球相对 F
方向：垂直图平面向里，
大小；
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
方向垂直于轴，其效果是改
变轴的方位，在定轴问题中，
第二项
与轴承约束力矩平衡。
M 2rF
方称为向力平对行于轴的轴矩，，其效表果为代是数改变量绕：轴M 转z 动 状r态，F
即： i j k
Mo rFx y z
Fx FyFz
i yFz zFy jzFxxFzk xFyyFx
Mz xFyyFx
由
rc
i
miri M
rc
i
miri M
ri m ivcM rc vc0
i
质心对自己的位矢
L r c m iv ir i m iv c r i m iv i
i
i
i
与 i 有关
第三项：
rimivi 各质点相对于质心角动量的矢量和
i
反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，
o ri
vi
mi
L io 大 方小 向 Lio ： ： rimiv沿 i miri2 即 L iomiri2
在轴上确定正方向，角速度 表示为代数量，则
定义质点对 z 轴的角动量为:
LizLiom iri2
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz Liz ri2mi
i
i
ri2mi
i
对质量连续分布的刚体：
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
7 第5章角动量及角动量守恒定律
ω
z
dx
r r x⊥v = x 2ω d m dLz = x（xω d m) ⋅
Lz = 2ω ∫0
l 2
v = xω
x
(kg ⋅ m 2 / s)
x
1 2 x d m = ml ⋅ ω 12
2
角动量为z轴方向
19
r r r 1) 对O点 作用在一个质点上的力矩 M = r × F 一个质点 N ⋅m 力矩的大小： M = rF sin α r Z r r 方向 (r × F ) M 右手螺旋 r
r r r M = r×F
（三）力矩
特点：矢量性 瞬时性 状态量
Mz
θ
mr
r
α 对Z轴的力矩: M
X
F
z
r r = k⋅M
o
Y
M z = Fr sin α ⋅ cos θ
20
2）对O点
r r r r M = ∑ M i= ∑ ri × F外i
i
作用在质点系的力矩
i
3）对O点 作用在连续分布物体的“弥散 力”的力矩 r r r r r M = ∫ dM dM = r × dF
2
势能及其零点的选取
保守力与势能的积分关系 (1) 重力势能:
E
r r F ⋅ dr
a
E Pa = mgh a
势能零点b的位置
(2) 弹性势能： E = 1 kx 2 P 2
弹簧原长处为零势能位置。 弹簧原长处
Mm 选无穷远处为势能零点。 (3) 万有引力势能： P = −G E 无穷远处 r
连续分布物体
r L=
物体
r dL ∫
r v v L = ∫ r × v dm
圆周运动：角动量和角动量守恒
角动量守恒在量子力学和粒子物理学中也有着重要的应用，对于理解微观世界的运动规律具有重要意义。
角动量守恒在未来的发展前景和影响将更加广泛，对于推动科学技术的发展和进步具有重要意义。
如何理解和掌握角动量守恒定律
6
学习角动量守恒定律的方法和技巧ຫໍສະໝຸດ 理解角动量守恒定律的难点和重点
角动量的定义：理解角动量的物理意义和数学表达式
角动量守恒可以帮助我们理解各种旋转运动现象，例如地球自转、陀螺旋转等。
角动量守恒还可以帮助我们解决一些实际问题，例如设计旋转机械、分析旋转物体的稳定性等。
角动量守恒在科技领域的应用价值
光学器件：利用角动量守恒原理，制造出高性能的光学器件，如光纤陀螺仪等
粒子加速器：利用角动量守恒原理，提高粒子加速器的性能和效率
角动量守恒定律
3
角动量守恒的条件
系统不受外力矩作用
系统的角动量守恒定律适用于旋转参考系和惯性参考系
系统的角动量变化率为零
系统内力矩之和为零
角动量守恒的证明方法
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
角动量守恒定律：L=mvr
牛顿第二定律：F=ma
角动量守恒的条件：系统不受外力矩作用
角动量守恒的证明：通过牛顿第二定律和角动量守恒定律，推导出角动量守恒的条件，从而证明角动量守恒定律。
角动量守恒定律：在圆周运动中，角动量保持恒定
角动量的大小：与物体的质量和速度成正比
角动量的变化：在圆周运动中，角动量不会发生变化，除非有外力作用
圆周运动中角动量守恒的证明
角动量守恒定律：在封闭系统中，系统内各物体的角动量之和保持不变
证明过程：假设物体在圆周运动中受到外力作用，根据牛顿第二定律，外力作用在物体上会产生加速度
第5章角动量角动量守恒定律
任一行星和太阳之间的联线,在相等 的时间内扫过的面积相等, 即掠面速 度不变.
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
(2) 说明天体系统的旋转盘状结构.
v
r
O
B S
A r
[证明]
(1) 行星对太阳O的角动量的大小为 L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
用 s 表示 t 时间内行星所走过的弧长, 则有
dt
若 M外 0
则 dL 0 或 L 常矢量
dt
若对某一固定点，质点所受合外力矩为零， 则质点对
该固定点的角动量矢量保持不变。
例：质点做匀速直线运动中，对0点 角动量是否守恒？
Lo r mv
rmvsin
r mv
L
r
O r
A
p mv
6
例 试利用角动量守恒定律:
1) 证明关于行星运动的开普勒定律:
v1
r1
B S
A
O
r1
积, 如图中所示.
其中 d /dt 称为掠面速度.
由于万有引力是有心力, 它对力心O的力矩总是等于零, 所以角动量守恒, L=常量, 行星作平面运动, 而且
d L 常量
dt 2m
这就证明了掠面速度不变, 也就是开普勒第二定律.
8
(2) 角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
lim L r ms sin
t0 t
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
若用 r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
7
lim L
2m 2m d
t0 t
dt
C D
其中 是 t时间内行星 v2
第5章角能量角能量守恒定律
行星绕太阳运动: 引力F 指向太阳( 有心力)
r//
F
M
r
F
0
有心力 力矩为零 对力心的角动量守恒
第五章 角能量、角能量守恒定律
本章主要阐述四个问题： 一、角动量 二、力矩。 三、质点角动量定理、角动量守恒定律。 四、质点系角动量定理、角动量守恒定律。
四、 质点系角动量定理
0
dt
v M
v dL
dt
质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率
三、 质点角动量守恒定律
uur 如果M＝0则
d
ur L
ur 0即L＝常矢量
dt
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩为零，则此质 点对该固定点的角动量矢量保持不变。
注意： 1、角动量守恒定律也是自然界普遍适用的一条基本规律。
平
面
服从右手螺旋法则。
x
O
r
r
m
y
p
单 位 ： kg m2 s1
质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。
特例：质点圆周运动的角动量 v r L rmvsin 90o mvr
第五章 角能量、角能量守恒定律
本章主要阐述四个问题： 一、角动量。 二、力矩。 三、质点角动量定理、角动量守恒定律。 四、质点系角动量定理、角动量守恒定律。
精品课件！
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【例题2】证明关于行星运动的 开普勒第二定律：行星对太阳的 矢径在相等的时间内扫过相等的 面积。这个结论也叫等面积原理。
L
v
r
r m
证明：行星受力方向与矢径在一条直线（有心力），故角动 量守恒。
角动量、角动量守恒定律的分析
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r ，厚 dr 的球壳
R
dr
r
为积分元
o
dV 4r 2dr
m
m 4 R3
3
dJ
2 3
dm r 2
2mr 4dr R3
dm dV
J
R
dJ
0
2mr 4dr R3
2 5
mR2
注意： 对同轴的转动惯量才具有可加减性。
直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。
解：(1) 轴过中点
dm
x
L2
ox
L 2
L
J
r 2dm
m L
1 3
L3 8
L
x2dm
x 2 2
L
L3 8
1 12
2
mL2
m dx L
m L
1 3
x3
2 L
2
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
Lx
J r2dm x2dm L x2 mdx 0L m 1 x3 L 1 mL2 L3 0 3
o r m p
p
or
* 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋
转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
L
系i统L内i vr所ii 有i vr质rcci 点 rvp对iii 同 无一有i'：'参：r对i对考参质考点m心点i角vi 动o量r1pr的c1 矢crrp量2ir2i和
i
i
i
式中 J ri2mi
i
刚体对轴的转动惯量
5--角动量 角动量守恒定律x
t=0
刚体定轴转动
ω ω
v
v
4. 线量与角量关系
dS = r ⋅ dθ
பைடு நூலகம்r a
切向分量 法向分量
dv dω at = = r = rα dt dt v2 an = = rω2 r
匀变速定轴转动
v v v v =ω×r
z
ω
v
20
r
O
dS
dθ P
匀变速直线运动
dS v= dt dv a= dt
v = v0 + at 1 2 S = v0t + at 2 2 v2 − v0 = 2aS
一对内力的力矩互相抵消 一对内力的力矩互相抵消 力矩
v v v v dL 量 M外 = 0时 = 0 L = ∑Li = 常 dt v M外 = 0 讨论; 不要求系统孤立, 讨论 1) 不要求系统孤立 只要求 v 2) 矢量式有 个分量式 即 M 的某个分量 矢量式有3个分量式 个分量式,即 的某个分量=0, 则相应角 外
v m ri i
∑
∑
角动量守恒说明天体系统的旋转盘状结构
12
猫尾巴的功能
已知：轻绳， 忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 已知：轻绳，v10 = v20 =0，(忽略滑轮的质量和轴的摩擦) 问：m1= m2时，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同时到 先到； 先到；
m1≠ m2时，(A) m1先到；(B) m2先到；(C) 同时到 若m1< m2 先到； 先到；
由角动量定理
r N
以向纸 内为正
O R
M外
dL r (爬) (不爬 mg 不爬) r 不爬 若 m1 > m2 : < 0, ∴ L < 0 m2g 爬 1 dt 轻的升得快； 有 m1v1 − m2 v2 < 0, ∴ v1 < v2 轻的升得快；
第九讲--第五章角动量变化定理与角动量守恒(1)
若质点所受的合力矩为零,则质点的角动量不随时间 改变。 因为 M r F
F 0 , M 0 F过O点：中心力（如行星受中 心恒星的万有引力）
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
例. 发射一宇宙飞船去考察一质量为M,半径为R的行星, 当飞船静止于空间距行星中心4R时,以速度v0 发射一质 量为m(m远小于飞船质量)的仪器。要使这仪器恰好掠 着行星的表面着陆, 角应是多少？着陆滑行初速度v多 大？ v=? v0
1.一对内力的力矩之和为零 如图示,一对内力 f ij 和f ji ( f ij ) M i M j ri f ij r j f ji
Fi
mi
ri fij O
( ri r j ) f ij
r﹣rj i fji rj
2 2
解得
V (1 2 ) 2
1 2 ( 1 2 ) 2 →两猴同时到达滑轮
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
§5-4.有心运动
一 质点在有心力场中的运动方程
(1) 有心力 有心力： 方向始终指向或背向一个固定中心的力。 有心力场： 有心力存在的空间。 (中心对称)有心力： 有心力的大小仅与参考点P到 力心O的距离r有关，即
y
F
v
30
30
r
P
0
2002年5月考
x
第5章 角动量变化定理与角动量守恒
理学院 物理系 陈强
§5-2. 质点的角动量变化定理,角动量守恒 一.质点的角动量变化定理
角动量对t求导
dp dr dL d r p r p dt dt dt dt dr dr v , p mv p0 dt dt dp d dL r ( mv ) r F r dt dt dt
第五章角动量、关于对称性
第五章 角动量、关于对称性到目前为止，我们已先后学习乐两个主要的守恒量——动量和能量（机械能）。
在本章中我们将学习、认识另一个重要的守恒量，即角动量。
并就其概念，变化规律和它的守恒性质进行较为深入的讨论。
本章的另一大主题是关于对称性与守恒律的关系。
内容：§5、1 质点的角动量 §5、2 质点系的角动量定理及其守恒定律因为角动量这一物理量，从概念倒数学表达，都要比动量和动能难以理解。
所以，我们先从简单的情况，即质点的角动量开始。
§5、1 质点的角动量 一、质点的角动量我们都知道，运动是复杂的，只有动量和动能一起，才能作为运动的空间量度。
但是在涉及倒转动问题时，动量和动能还不能反映运动的全部特点。
以有心力为例，天文观测表明：地球相对太阳的运动||||v v ⎧⎪⎨⎪⎩近远大小这个特点（其原因）用角动量概念及其规律很容易说明。
特别是在动量和机械能都不守恒的情况下，角动量可能是守恒的。
这就为求解这类问题开辟了新的途径，更为重要的是角动量不但能描述经典力学重的运动状态，在近代物论中角动量在表征状态方向也是不可缺少的主要物理量之一。
因此，我们通过对几种运动情况的分析，引出质点的角动量这一概念。
1、 行星运动问题（开普勒问题） 行星（在一固定平面内）以椭圆轨道绕太阳运动。
dt 时间内：位矢扫过的面积为：|/2|dSr vdt =⨯掠面速度： 大小： |/2|dSr v dt=⨯（单位时间内位矢r 扫过的面积）方向：v =r ⊥和v 所构成的平面，符合右手螺旋关系天文观测表明：行星运动时，其掠面速度：/2r v ⨯=恒矢量（与行星有关）vdt r vv vr/2r v ⨯v(),()r r t v v t ==讨论：①方向不变说明，轨道总在一固定平面内。
（由r v 和所构成） ②行星的动量和动能都不守恒，但有心力是保守力，故机械能守恒。
2、如图所示：橡皮筋一端固定于O 处，另一端与滑物块相系。
大物力学第五章 角动量
v dr v Q =v dt
v v dp F= dt
v dr v v v × p = v × mv = 0 dt
说明： 说明： 可以写成分量表示。 可以写成分量表示。
v dL v v v ∴ = r ×F = M dt
力矩引起角动量的变化！ 力矩引起角动量的变化！
微分形式
v v t2 v L2 − L = ∫ Mdt 1
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
开普勒第二定律
v L
O
v v dt
v v r × v 的含义
面积ds=(r·v·dt·sin θ)/2
v r
θ
ds 1 1 v v 面积变化率 = r • v • sin θ = r × v = dt 2 2 2m 角动量守恒 面积变化率恒定
例：图中O为有心力场的力心，排斥力于距离平方成反 图中 为有心力场的力心， 为有心力场的力心 为一常量） 为一常量 比：f = k/r2（k为一常量） 求：(1) 此力场的势能 (2) 一质量为 的粒子以速度 0、瞄准距离 从远处 一质量为m的粒子以速度 的粒子以速度v 瞄准距离b从远处 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。 入射，求他能达到的最近距离和此时的速度。
v v v Q M内 = ∑ ( ri × f i内 ) i dt i
质点组角动量守恒： 质点组角动量守恒：
矢量，可以写成分量式表示。 矢量，可以写成分量式表示。 只有外力矩才对角动量有贡 内力矩为零， 献，内力矩为零，但会改变角 动量在体系内的分配。 动量在体系内的分配。
第五章 角动量角动量守恒定理
第五章角动量角动量守恒定理本章结构框图学习指导本章概念和内容是中学没有接触过的，是大学物理教学的重点和难点。
许多同学容易将平动问题与转动问题中的概念和规律混淆，例如两种冲击摆问题。
建议采用类比方法，对质量与转动惯量、动量与角动量、力与力矩、冲量与角冲量、平动动能和转动动能、运动学的线量和角量、动量定理和角动量定理、动量守恒和角动量守恒……一一加以比较。
本章的重点是刚体定轴转动问题，注意定轴条件下，各种规律都应该用标量式表示。
还请注意动量守恒在天体问题、粒子问题中的应用。
基本要求1.理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。
2.理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。
3.理解力矩的物理意义, 会进行简单计算。
4.掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。
5.理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。
6.掌握角动量守恒的条件，熟练应用角动量守恒定律求解有关问题。
内容提要1.基本概念刚体对定轴的转动惯量：是描述刚体绕定轴转动时，其转动惯性大小的物理量。
定义为刚体上每个质元（质点、线元、面元、体积元）的质量与该质元到转轴距离平方之积的总和。
即：I的大小与刚体总质量、质量分布及转轴位置有关。
质点、质点系、定轴刚体的角动量：角动量也称动量矩，它量度物体的转动运动量，描述物体绕参考点（轴）旋转倾向的强弱。
表5.1对质点、质点系、定轴刚体的角动量进行了比较。
表5.1质点、质点系和定轴刚体的角动量力矩：力的作用点对参考点的位矢与力的矢积叫做力对该参考点的力矩（图5.1）：即：大小：（力×力臂）方向：垂直于决定的平面，其指向由右手定则确定。
对于力矩的概念应该注意明确以下问题：•区分力对参考点的力矩和力对定轴的力矩：力对某轴的力矩是力对轴上任意一点的力矩在该轴上的投影。
例如：某力对x、y、z轴的力矩就是该力对原点的力矩在三个坐标轴上的投影：由上可知：力对参考点的力矩是矢量，而力对定轴的力矩是代数量。
大学物理学第五章角动量角动量守恒定律习题
第5章角动量角动量守恒定律一、本章总结1.请总结角动量、角动量守恒定律一章的知识点。
2.请画出本章的知识脉络框图。
二、填空题1. 如图所示，圆盘绕着与盘面垂直且过圆心O 的轴旋转，轴固定且光滑，转动角速度为ω。
这时，一对力偶沿着盘面作用在圆盘上（每个力大小为F ），圆盘的角速度ω 。
（填增大、减小或不能确定）2. 一个立方体放在粗糙的水平地面上，其质量分布均匀，为50 kg ，边长为1m 。
现用一水平拉力F 作用于立方体的定边中点。
如果地面摩擦力足够大，立方体不会滑动，那么要使该立方体翻转90︒，拉力F 至少为 。
3.一长为L 、质量为M 的均匀细棒，放在水平面上。
通过棒的端点O 有一垂直于水平面的光滑固定转轴，如图所示。
一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内垂直射向细棒，随后以速率v 21穿出，这时细棒的角速度 。
4. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 。
5. 气候变暖造成地球两极的冰山融化，海平面因此上升。
这种情况将使地球的转动惯量 ，自转角速度 ，角动量 ，自转动能 。
（填变大、变小或不变）三、推导题6.试推导质量为m ，半径为R 的实心球体的转动惯量？（答：252mR ）四、计算和证明题7.如图所示，一个质量均匀分布的梯子靠墙放置，和地面成θ角，下端A 处连接一个弹性系数为k 的弹簧。
已知梯子的长度为l ，重量为W ，靠墙竖直放置时弹簧处于自然伸长，所有接触面均光滑。
如果梯子处于平衡状态，求地面、墙面对梯子的作用力，以及W 、k 、l 和θ满足的关系。
（答：W ；kl cos θ；OF Fω O v 21v 俯视图θsin 2kl W =）8. 半径为r = 1.5 m 的飞轮，初角速度ω0= 10 rad ⋅s -1，角加速度α= -5 rad ⋅s -2。
试问经过多长时间飞轮的角位移再次回到初始位置？此时飞轮边缘上的线速度为多少？（答：4s ；-15m ⋅s -1）9.质量分别为m 和2m 的两物体(都可视为质点)，用一长为l 的刚性细杆（质量为M ）相连，系统绕通过杆且与杆垂直的竖直固定轴O 转动。
第五章 角动量守恒
M O = d LO /d t = 0
由两个相互作用的质点构成的孤立体系,角 动量守恒： r r r r r1 × p1 + r2 × p2 = 常矢量
d r r d r r ( r1 × p1 ) = − ( r2 × p2 ) dt dt r r r r r r M1 + M2 = r1 × f1 + r2 × f2 = 0
对Z轴的力矩
r r Mz = k ⋅ M
中学的表达式：对O点的力矩M
r M
M = Fd = Fr sin α
o
r r
r F
α
5-2-2 质点的角动量定理 5-2-2
r r r dB r dA d r r * 微分公式 (A × B) = A × + ×B dt dt dt 考虑： r r r r dp d r r r dL d r r = = (r × mv ) dt r × ( m v ) + r × dt = r × F dt dt r r r F r dL v M= 质点的角动量定理 dt
Sun
r
L在某方向(如z轴)的投影为对该轴的角动量:
Lz = k ⋅ L = k ⋅ (r × p) = xp y − yp x
可见,Lz完全由r和p在垂直于z轴的平面内的分量确定 当质点m绕z轴作半径r的圆周运动, x =rcosθ, y =rsinθ,即得:
LZ = m( x dy dx dθ − y ) = mr 2 = Iω dt dt dt
§5-2 力矩 质点的角动量定理
本节内容：
5-2-1 力矩 5-2-2 质点的角动量定理 5-2-3 质点在有心力作用下的运动
5-2-1 力矩 5-2-1
角动量、角动量守恒
T
（3） ）
m, l
联立(1)、(2)、(3)式求解 式求解 联立
mg
1 T = mg 4
例5：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量 ： 可绕中心转动的细杆， 为 M、长为 2l 、可绕中心转动的细杆，有一质 、 量为 m 的小球以速度 v0 与杆的一端发生完全弹 性碰撞， 性碰撞，求小球的反弹速度 v 及杆的转动角速 度ω。 解：在水平面上，碰撞 在水平面上， 过程中系统角动量守恒， 过程中系统角动量守恒，
∆A/ ∆t = 恒 量
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例1：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2， 角速度分别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同 啮合过程机械能损失。 的角速度 ω 。啮合过程机械能损失。 J1 J2 解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 擦达到共同速度 合 外力矩为0， 外力矩为 ，系统角 动量守恒。 动量守恒。
定义：力对某点 的力矩等于力的作用点 定义：力对某点O的力矩等于力的作用点 的矢量积。 的矢径 r 与力F的矢量积。 v v
v Mo
ϕ
注意： 注意： 1）大小： o = rF sin ϕ ）大小： M v v 的方向 2）方向： × F ）方向： r 3）单位：牛顿米 ）单位： v r 4）当 F ≠ 0 时， ） 有两种情况 Mo = 0 v A） r = 0 ） B）力的方向沿矢径的方向（ sin ϕ = 0） ）力的方向沿矢径的方向（
ω1 L0 = L = C J1ω1 + J2ω2 = (J1 + J2 )ω
ω2
J1ω1 + J2ω2 共同角速度 ω = J1 + J2
啮合过程机械能损失
∆E = E − E0
1 1 1 2 2 2 ∆E = (J1 + J2 )ω − ( J1ω1 + J2ω2 ) 2 2 2 J1ω1 + J2ω2 其中 ω = J1 + J2
第五章角动量角动量守恒2011
rm
r t
sin
r r sin
2m 2t
2m
S t
常量
S t
L 2m
太阳
r
S
r
m
行星
v
r
sin
=常量 S 1 r r sin
2
3、行星近地点速度大，在远地点速度小
在近日点与远日点 r v
m r远 v远 =m r近 v近 v
v远 < v近
大小: L mrvsin rp
L rp mrv
方向：⊥ r ,v 决定的平面 r
2. 为表示是对哪个参考点的 角动量，通常将角动量L画 在参考点上。
p
mr 2
L
p
o
m r
例. 自由下落质点对不同参考点的角动量
（1） 对 A 点的角动量
任意时刻 t， 有
o RA
“神舟六号”总指挥, “神舟七号”载人飞船系统总指挥尚志
1963年出生在黑龙江省安达市农村， 1982年考入哈尔滨工业大学工业 电气自动化专业，1986年毕业被分配 到中国空间技术研究院工作， 2002年获哈尔滨工业大学 系统管理专业硕士学位。 2004年出任“神六”总指挥。
“神舟七 M
v mv 0
dL dt
d dt
r
mv
dL
r
d(mv) dt
r F
dr dt
mv
dt
d
L
r
F
即
dt M
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mgl
x dx
x
Lz
l
2 2 0
x2 dm
1 ml 2 12
dF
Mz
dLz dt
d 3g
dt
l
棒作匀减角速度转动.
dL dt
(五)
M
角动量守恒定律
当 M 0时 L2 L1 恒 矢 量
守恒指过程中任意时刻
合外力矩为零，质点或质点系总角动量守恒
对同一定点
角动量守恒条件
1 孤立系（质点或质点系不受任何外力作用） 2 有心力场 对力心角动量守恒
解:对象: 滑轮+绳+A+B z轴正向:O点向外 .
对z 轴的合力矩为0 对z轴,系统角动量守恒
A 、 B对O点速率v'A,v'B
rmvA rmvB 0 则 vA vB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何 二人对O（即地面参考系）的速率相同
结论：同时到达O点
例: 质量为m的小球系在绳的一端，另一端通过圆孔向
方向垂直于纸面向里
例 质量为m,长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中
心解轴: 旋dM转,棒r与 d桌F面间的摩擦系数为.求摩擦力矩
元段dx所受摩擦力:
d F g d m g
m
d
x
z
dM
M
x d F
l
2 2 0
d
M
g mlx d
1
l
mgl
4
x
x dx x
dF
摩擦力矩沿z轴的负方向
（四）角动量定理
势能及其零点的选取
保守力与势能的积分关系
"0"
E F dr
Pa
a
(1) 重力势能:
EPa mgha
势能零点b的位置
(2) 弹性势能： E 1 kx2 弹簧原长处为零势能位置。 P2
(3)
万有引力势能：E P
G
Mm选无穷远处为势能零点。 r
A E E E 保守力的功等于势能的减少
ab
1
2
F
由动能定理
A
1 2
m v22
1 2
m v12
1 2
m v12
(
r1 r2
)2
1
思考：该题为什么强调始末时质点轨迹为圆？
已知: 光滑水平桌面 小球m 和初始运
动方向;弹性绳（k)自然长度 l0
问：当小球与O点的距离为最大时 小球的速度及它的初速率．
L方 向 ： v
解：以小球与绳为系统 机械能守恒：
本次课的重点与难点
重 角动量 力矩 点 质点/质点系 角动量定理
质点/质点系 角动量守恒定律及应用
难 1.熟练掌握运用角动量守恒定律 点 2.正确判断角动量守恒定律的条件
（一） 质点的角动量
定义 质点对定点0点的角动量：
L r p r mv
kg·m2·s-1
大小： L mvrsin L
判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中，做水平
C
匀速圆周运动的小球m,
T
（1）对C点的角动量 否
O
mg
C'
（2）对O点的角动量 是
（3）对竖直轴CC’的角动量 是
例: 半径为r 的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处,其
上穿过一条轻绳,质量相同的两人A、B 以不同的爬绳速 率vA、vB从同一高度同时向上爬,试问谁先到达O处.
(1) 1
2
m
v12
1 2
k(l1
l0
)2
1 2
m v2
1 2
k(l
l0
)2
O
l1
对O点角动量守恒 l1mv1 sin300 lmvsin90
l
v1
1 300
L1方 向 ：
(2)
当小球与O点的距离为最大时小球的 速度方向与弹性绳的辐射线方向垂直
v1 v
已知: 地球的质量和半径
分别为M和R． 一质量 为 m的小球以速度 v0
力矩的大小：
Z 方向
M
r F
rF sin
M
右手螺旋
M
F
M rF
θ
m
对Z轴的力矩:
Mz
kM
r
o
X Mz Fr sin cos
Y
2）对O点 作用在质点系的力矩
M Mi ri F外i
i
i
3）对O点 作用在连续分布物体的“弥散力”
的力矩
dM r dF
M dM
物体
例：质量为
注意：区分质点对Z轴的角动 量还是对某一点O的角动量
例：质量为
m
的质点某时刻的位置如图，速度为
v
6j
受力为 F 2 j （SI）
y
求：该时刻质点对0点的角动量 L ？
（4，3）
解：
L
r mv ,
r 4i 3 j
0
x
L (4i 3 j ) 6mj 24m k (Z轴正方向)
N
Байду номын сангаас
r
B
vG
（二） 质点系的角动量
对定点O点 质点系 L
Li
ri Pi
i
i
连续分 布物体
dL r dp r vdm
dp d(mv) vdm
L dL
物体
L r vdm m
例质量为m长为l的均匀直棒在粗糙桌面上绕中心轴
旋转 求当直棒旋转的角速度为ω时角动量?
解:取Oxz坐标系转动为z轴方向
2.在任意t时刻，质点对原点0的角动量.
M r F L r mv
0P b
x
解: 在t时刻
r
bi
1
gt
2
j
F mgj
M r F
v
gtj
(
bi
1
2
gt 2
j
)
mg j
bmg k
y
2
方向垂直于纸面向里
L
mr
v
m(bi
1 2
gt 2 j ) gtj
bmgt k
L
v
r 0Sun r
角动量的大小变化和方向不变
例：半径为R的光滑圆环铅直放置，质量为m的小球穿在
圆环上，开始小球静止于A点并下滑
求：小球滑至B点时对O点的角动量和角速度
解： 由机械能守恒
mgRsin 1 mv2 0 1 mR22
2
2
OR A
(
2g
sin
)
1 2
L
R R
mv
L R2m
L2
A
k
R o
Rmv0 3Rmv sin
v0
C 3R
v o'
万有引力是保守力，以m,M为系统，机械能守恒：
1 2
m
v02
GMm 1 m v2 R2
GMm 3R
v
作业:
5.5; 5.6; 5.10; 5.12 下次课： 习题课
质点力学
《大学物理能力训练与知识拓展》
对某一个质点
dL dt
d dt
r p
v p
d
r
dt
r
p F
r
ddt
r
p F
M
一个质点角动量定理
M
dL
对相同的空间O点
质点系的角动量定理
dt
dL
M外力 dt
M外 力 Mi
i
对O点的冲量矩
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
角动量定理在直角坐标系中分量式
dL
对o点 M
上次课主要内容回顾
变力的功
dA F dr
元功定义
一对力的功
dA f2 dr21
两个物体间一对力所做的功之和与参考系选择无关，等
于一个物体所受到的另一个物体的作用力与该物体对另 一个物体的相对元位移的点积
A
F dr
F
dr
1
2
对于一个系统，总功等于系统中所有（内，外） 力所做的功的代数和。
矢量性 瞬时性 状态量
例质点匀 速率圆周运 动
（对圆心的）角动量：
L
L mr v
r v
Or v
大小 L mvrsin mvr 方向： m
角动量的大小和方向都不变
例 行星匀速率绕太阳公转时的椭圆轨道运动对定
点（太阳）的角动量：
L r p m(r v)
v
大小： L mvrsin 方向：
3 对某轴外力矩的和为零，则对该轴的
角动量守恒
MX Mix 0 ; Lx 常量
角动量守恒的应用
开普勒第二定律的证明：
r // f
M r f 0
L
行星受有心力作用，角动量守恒 行星的动量时刻在变,但其角动量不变.
v
r
m
r
在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代替动 量起着重要的作用.
下，水平面光滑，开始小球作圆周运动（r1,v1)然 后向下拉绳，使小球的运动轨迹为r2的圆周
求：（1）v2=？ （2）由r1r2时，F作的功
解：1 作用在小球的力始终通过O点
由质点角动量守恒：
（有心力）
v2
mv 1r1 mv 2r2
v1
２由v2r1vr12(时rr12，) F(作的v1功)
r r O
沿地球表面向右飞 行．当OC的长度为３R 时，不计地球自转和空 气阻力．
v0 A
R
C
o 3R
v o'