2.2.3 直线与平面平行的性质(课时训练及答案)

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人教A版必修2第二章2.2.3《直线与平面平行的性质》精选题高频考点(含答案)-1

人教A 版必修2第二章2.2.3《直线与平面平行的性质》精选题高频考点（含答案)-1学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面 2．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，M N ，分别为AC PC ，上的点，且MN ∥平面PAD ，则（）A ．MN PD PB ．MN PA ∥C ．MN AD P D ．以上均有可能 3．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 上一点，且13AE ED =，F 为PC 上一点，当//PA 平面EBF 时，PF FC=（）A ．23B ．14C ．13D ．12 4．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，121AB BC AA ，===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的正弦值为（）A．3 BC．5 D．5 5．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则（）A ．115DG DD =B ．113AH HC = C ．114DG DD = D ．138AH HC = 6．如图，1111ABCD A B C D -是正方体，E 为棱1BB 上的动点（不含端点），平面11AC E 与底面ABCD 的交线为l ，则l 与AC 的位置关系是（）A ．异面B ．平行C ．相交D ．与E 点位置有关 7．已知m ，n 是不同的直线，α，β是不重合的平面，下列命题中正确的有（） ①若m α⊥，m β⊥，则//αβ②若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n③若//m α，//m β，则//αβ④若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 8．已知//,a b αα⊂，则直线a 与直线b 的位置关系是（）A ．平行B ．相交或异面C ．异面D ．平行或异面 9．已知棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -,点E 是棱AB 的中点，12CF FC =u u u r u u u u r ，动点P 在正方形11AA DD （包括边界）内运动，且1PB P 面DEF ，则PC 的长度范围为（）A ．B ．5⎡⎢⎣C ．5⎡⎢⎣D ．5⎡⎢⎣10．如图，各棱长均为a 的正三棱柱111ABC A B C -，M 、N 分别为线段1A B 、1B C 上的动点，且MN ∥平面11ACC A ，M ，N 中点S 111ABC A B C -的体积为（）A B C ．3 D ．11．点E ，F 分别是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中棱BC ，1CC 的中点，动点P 在正方形11BCC B （包括边界）内运动，且1PA ∥面AEF ，则1PA 的长度范围为（）A ．1,2⎡⎢⎣⎦B ．42⎡⎢⎣⎦C ．342⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦12．如图，在正四棱锥S －ABCD 中，E ，M ，N 分别是BC ，CD ，SC 的中点，动点P在线段MN 上运动时，下列四个结论：①EP ⊥AC ；②EP ∥BD ；③EP ∥平面SBD ；④EP ⊥平面SAC ，其中恒成立的为( )A ．①③B ．③④C ．①②D ．②③④13．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面交线的位置关系是（）A ．异面B ．相交C ．不能确定D ．平行 14．如图所示，a P α，A 是α的另一侧的点，B C D a ∈，，，线段AB AC AD ，，分别交α于点EFG ，，，若445BD CF AF ===，，，则EG =（）A ．169B ．209C ．94D ．5415．如图，已知四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形，AC 交BD 于点O ，E 为AD 中点，F 在PA 上，AP AF λ=，//PC 平面BEF ，则λ的值为（）A ．1B ．32C ．2D ．3 16．给出下列关于互不相同的直线,,l m n 和平面,,αβγ的三个命题：①若l 与m 为异面直线，,l m αβ⊂⊂，则//αβ；②若//,,l m αβαβ⊂⊂，则//l m ；③若,,,//l m n l αββγγαγ===I I I ，则//m n ．其中正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．317．如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 为AD 的中点，F 为PC 上一点，当P A ∥平面EBF 时，PF FC＝（）A ．23B ．14C ．13D ．12 18．如果直线m//直线n ，且m//平面α，那么n 与α的位置关系是（） A ．相交 B ．n//α C ．n ⊂α D ．n//α或n ⊂α 19．若直线a 平行于平面α，则下列结论错误的是（）A ．直线a 上的点到平面α的距离相等B ．直线a 平行于平面α内的所有直线C ．平面α内有无数条直线与直线a 平行D ．平面α内存在无数条直线与直线a 所成的角为90o20．已知l ，m 为两条不同直线，α，β为两个不同平面.则下列命题正确的是（） A ．若l αP ，m α⊂，则l m PB ．若l αP ，m αP ，则l m PC ．若l α⊂，m β⊂，αβ∥，则l m PD ．若l αP ，l β∥，m αβ=I ，则l m P二、填空题21．如图,正方体1111ABCD A B C D -中, AB =点E 为11A D 的中点,点F 在11C D 上,若//EF 平面1ACB ,则EF =________．22．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 上一点，且2CE DE =，F 为棱1AA 的中点，且平面BEF 与1DD 交于点G ，与1AC 交于点H ，则1DG DD =______，1AH HC =______. 23．如图所示，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________．24．如图，E 是棱长为1正方体1111ABCD A B C D -的棱11C D 上的一点，且1//BD 平面1B CE ，则线段CE 的长度为___________．25．如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形．则直线CD 与平面EFGH 的关系是______．26．如图在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中正确的有______.(填上所有正确命题的序号)AC BD ⊥①，AC BD =②，//AC ③截面PQMN ，④异面直线PM 与BD 所成的角为45o ．27．在三棱锥S ABC -中，ABC ∆是边长为4的正三角形，10SA SB SC ===，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于D ，E ，F ，H 且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB P 平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为______．28．已知l 、m 是两条直线，α是平面，若要得到“l ∥α”，则需要在条件“m ⊂α，l ∥m ”中另外添加的一个条件是______.29．如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，EB ＝2DC ，P ，Q 分别为AE ，AB 的中点．则直线DP 与平面ABC 的位置关系是________．30．正方体1111ABCD A B C D -中,2AB =,点E 为AD 的中点,点F 在1CC 上,若//EF 平面1AB C ,则EF =_____.31．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，过11A B C ，，的平面与平面ABC 的交线为l ，则l 与直线11A C 的位置关系为________.32．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形，其侧面展开图是边长为8的正方形，E F ，分别是侧棱11AA CC ，上的动点，且8AE CF +=，P 在棱1AA 上，且2AP =，若EF P 平面PBD ，则CF =________.33．如图所示，在三棱柱111ABC A B C 中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，则与平面BCHG 平行的平面为________.34．如图（1）所示，已知正方形ABCD 中，E F ，分别是AB ，CD 的中点，将ADE V 沿DE 折起，如图（2）所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.35．已知A 、B 、C 、D 四点不共面，且AB ∥平面α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 是_______四边形.36．如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱AA 1的中点，过C ，M ，D 1作正方体的截面，则截面的面积是________．37．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，111BB B D =，点E 是棱1CC 上的一个动点，若平面1BED 交棱1AA 于点F ，给出下列命题：.① 四棱锥11B BED F -的体积恒为定值；②存在点E ，使得1B D ⊥平面1BD E ；③存在唯一的点E ，使得截面四边形1BED F 的周长取得最小值；④存在无数个点E ，在棱AD 上均有相应的点G ，使得CG P 平面1EBD ，也存在无数个点E ，对棱AD 上任意的点G ，直线CG 与平面1EBD 均相交.其中真命题的是____________．（填出所有正确答案的序号）38．已正知方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AB 1D ，则线段PQ 长为______．39．设,a b 是平面M 外两条直线，且//a M ，那么//a b 是//b M 的________条件.40．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是平面AA 1D 1D 的中心，点Q 是平面A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1上一点，且PQ ∥平面AA 1B 1B ，则线段PQ 的长为________．三、解答题41．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD 为正三角形，2AD =，3AB =，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 上一点（不与P 、B 重合），平面ADE 交棱PC 于点F .（1）求证：AD EF P ；（2）若二面角––B AC E ，求点B 到平面AEC 的距离. 42．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，且//BC AD ，2AD BC =，点Q 是线段AD 的中点，过BQ 的平面BQMN 交平面PCD 于MN ，且PQ AB ⊥，AP PD =，且120APD ∠=︒，24BD AB ==，30ADB ∠=︒.（1）求证：//BQ MN ；（2）求直线PA 与平面PCD 所成角的余弦值.43．如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面A C ''.（1）要经过面A C ''内的一点P 和棱BC 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（2）所画的线与平面AC 是什么位置关系？44．如图，已知E ，F 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱1AA ，1CC 上的点，且1AE C F =.求证：四边形1EBFD 是平行四边形.45．如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 是PD 的中点、若M 是CD 上异于C ，D 的点，连接PM 交CE 于点G ，连接BM 交AC 于点H ，连接GH ，求证：GH //PB .46．已知如图，斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，点D 、D 1分别为AC 、A 1C 1上的点．（1）当1111A D D C 等于何值时，BC 1∥平面AB 1D 1？（2）若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求AD DC的值．47．如图所示，已知三棱柱ABC-A'B'C'中，D 是BC 的中点，D'是B'C'的中点，设平面A'D'B∩平面ABC=a ，平面ADC'∩平面A'B'C'=b ，判断直线a ，b 的位置关系，并证明．48．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，且112BC AD ==，BC DC ⊥，60BAD ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ，E 为AD 的中点，PAD ∆为等边三角形，M 是棱PC 上的一点，设PM k MC=（M 与C 不重合）.（1）当1k =时，求三棱锥M BCE -的体积；（2）若//PA 平面BME ，求k 的值.49．如图，E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 各边上的点，且::AE EB AH HD m ==，::CF FB CG GD n ==.（1）证明：E ，F ，G ，H 四点共面.（2）m ，n 满足什么条件时，四边形EFGH 是平行四边形？50．如图，在四校锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，//PD 平面MAC ，PA PD ==4AB =.求证：M 为PB 的中点.参考答案1．A2．B3．B4．D5．D6．B7．A8．D9．B10．D11．B12．A13．D14．B15．D16．B17．D18．D19．B20．D21．222．163823．20 92425．平行26．①③④27．10 28．lα⊄29．平行3031．平行. 32．2. 33．平面1A EF 34．平行35．平行【答案】9 237．①②③④3839．充分不必要40．241．（1）证明见解析；（2.42．（1）证明见解析（243．（1）见解析（2）直线EF与平面AC平行直线,BE CF与平面AC相交. 44．证明见解析45．证明见解析46．（1）1；（2）1.47．直线a，b的位置关系是平行，证明见试题解析．48．（1）14；（2）1.49．（1）见解析（2）当m n时，四边形EFGH是平行四边形. 50．证明见解析。

课时作业10：2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质[基础巩固]1．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与a异面B．α内不存在与a平行的直线C．α内存在唯一的直线与a平行D．α内的直线与a都相交2．过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为()A．都平行B．都相交且一定交于同一点C．都相交但不一定交于同一点D．都平行或交于同一点3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面是四边形，它的周长为________．4．过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证：BB1∥EE1.[能力提升]1．已知直线a∥平面α，直线b⊂平面α，则()A．a∥b B．a与b异面C．a与b相交D．a与b无公共点2．直线l∥α，在α内与l平行的直线()A．有1条B．有2条C．有无数条D．不可能有无数条3．如图，在三棱锥SABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则()A．EF与BC相交B．EF∥BCC．EF与BC异面D．以上均有可能4．直线a∥平面α，α内有n条直线相交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有() A．0条B．1条C．0条或1条D．无数条5．下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内，则a∥α；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若直线l与平面α平行，则l与α内的任意一条直线都平行；④如果两条平行线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；⑤若l与平面α平行，则l与α内任何一条直线都没有公共点；⑥平行于同一平面的两直线可以相交．A．1 B．2C．3 D．46．如图，在三棱柱ABCA′B′C′中，截面A′B′C与平面ABC交于直线a，则直线a 与直线A′B′的位置关系为________．7．已知a，b表示两条不同直线，α，β，γ表示三个不重合的平面，给出下列命题：①若α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b，则α∥β；②若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β；③若a⊂α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b.其中正确命题的序号是________．8．如图所示，直线a∥平面α，点A∉平面α，并且直线a和点A位于平面α两侧，点B、C、D∈a，AB、AC、AD分别交平面α于点E、F、G，若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.9．已知正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a，点P是平面AA′D′D的中心，Q为B′D′上一点，且PQ∥平面AA′B′B，求线段PQ的长．10．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P∈BB1(P不与B、B1重合)．P A∩A1B＝M，PC∩BC1＝N. 求证：MN∥平面ABCD.参考答案[基础巩固]1． B【解析】由题设知a 和α相交，设a ∩α＝P ，如图，在α内过点P 的直线与a 共面，A 错；在α内不过点P 的直线与a 异面，D 错；(反证)假设在α内存在直线b ∥a ，∵a ⊄α，∴a ∥α，与已知矛盾，C 错．故选B.2． D【解析】若l ∥α，则l ∥α，l ∥b ，l ∥c ，…，所以a ∥b ∥c ，…，若l ∩α＝P ，则a ，b ，c ，…交于点P .3．20【解析】截面如图，可知截面是平行四边形．且EF ＝12AC ＝4，FG ＝12BD ＝6. ∴四边形周长是2×(4＋6)＝20.4．证明：如图．∵CC 1∥BB 1，∴CC 1∥平面BEE 1B 1.又∵平面CEE 1C 1过CC 1且交平面BEE 1B 1于EE 1，∴CC 1∥EE 1.∵CC 1∥BB 1，∴BB 1∥EE 1.[能力提升]1． D【解析】由题意可知直线a 与平面α无公共点，所以a 与b 平行或异面，所以两者无公共点．2． C【解析】当l ∥α时，在α内必有无数条直线与l 平行．3． B【解析】EF ∥平面ABC ，又EF ⊂平面SBC ，平面ABC ∩平面SBC ＝BC ，故EF ∥BC .4． C【解析】过直线a 和n 条直线的交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b .若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行；若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．5．B【解析】①中直线a 有可能与平面α相交，错；②中直线可能与平面α相交，错；③中直线l 与平面α内的直线可能平行，也可能异面，错；④中直线有可能在平面内，错；⑤正确；⑥正确．6．平行【解析】在三棱柱ABC A′B′C′中，A′B′∥AB ，AB ⊂平面ABC ，A′B′⊄平面ABC ，∴A′B′∥平面ABC .又A′B′⊂平面A′B′C ，平面A′B′C ∩平面ABC ＝a ，∴A′B′∥a .故填平行．7． ②③【解析】①错，α与β也可能相交；②对，依题意，由a ，b 确定的平面γ，满足γ∥α，γ∥β，故α∥β；③对，由线面平行的性质定理可知．8．209【解析】由a ∥平面α知EG ∥BD ，故EG BD ＝AF AC ＝59. ∵BD ＝4，∴EG ＝209. 9．解：如图，过点Q 作QE ∥A′D′，交A′B′于点E ，取AA′的中点F ，连接EF ，PF ，PQ . 由题可得PF ∥AD ，AD ∥A′D′，所以QE ∥PF .所以Q ，E ，P ，F 四点共面．又PQ ∥平面AA′B′B ，平面PQEF ∩平面AA′B′B ＝EF ，所以PQ ∥EF ，所以四边形PQEF 为平行四边形，所以QE ＝PF ＝12A′D′，所以E 是A′B′的中点，所以EF ＝12AB′＝22a ，所以PQ ＝EF ＝22a .10．证明：如图，连接AC 、A 1C 1，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中， AA 1∥CC 1，且AA 1＝CC 1，∴四边形ACC 1A 1是平行四边形． ∴AC ∥A 1C 1.∵AC ⊄平面A 1BC 1，A 1C 1⊂ 平面A 1BC 1，∴AC ∥平面A 1BC 1. ∵AC ⊂平面P AC ，平面A 1BC 1∩平面P AC ＝MN ， ∴AC ∥MN .∵MN ⊄平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， ∴MN ∥平面ABCD .。

(教学案)2.2.3直线与平面平行的性质(系列四)Word版含答案

直线与平面平行的性质【教学目标】1.探究直线与平面平行的性质定理.2.体会直线与平面平行的性质定理的应用.3.通过线线平行与线面平行转化,培养学生的学习兴趣.【重点难点】教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.【课时安排】1课时【教学过程】复习回忆直线与平面平行的判定定理：〔1〕文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.〔2〕符号语言为：〔3〕图形语言为：如图1.图1导入新课观察长方体〔图2〕，可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC 所在平面内作一条直线与A′B平行吗？图2推进新课新知探究提出问题①回忆空间两直线的位置关系.②假设一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用排除法.问题⑤引导学生找出应用的难点.问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.②假设一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交〔可用反证法证明〕,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢〔排除异面的情况〕？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3④a∥α，a β，α∩β=b.求证：a∥b.证明：⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线〞. 应用例如例1如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再答复，然后教师加以引导.分析：经过木料外表A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P4、公理2作出.解：〔1〕如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，图5并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.那么EF、BE、CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.由〔1〕知，EF∥B′C′，所以EF∥BC.因此BE、CF显然都与平面AC相交.变式训练如图6，a∥α,A是α另一侧的点，B、C、D∈a，线段AB、AC、AD交α于E、F、G点，假设BD=4，CF=4，AF=5，求EG.图6解：A∉a，∴A、a确定一个平面，设为β.∵B∈a，∴B∈β.又A∈β，∴AB⊂β.同理AC⊂β，AD⊂β.∵点A与直线a在α的异侧,∴β与α相交.∴面ABD与面α相交，交线为EG.∵BD∥α，BD⊂面BAD，面BAD∩α=EG,∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD.∴ACAF BD EG =.(相似三角形对应线段成比例) ∴EG =920495=⨯=•BD AC AF . 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过点，这个平面是确定的.例27.图7直线a ,b ,平面α,且a ∥b ,a ∥α,a ,b 都在平面α外.求证：b ∥α.证明：过a 作平面β,使它与平面α相交,交线为c .∵a ∥α,a ⊂β,α∩β=c ,∴a ∥c .∵a ∥b ,∴b ∥c .∵c ⊂α,b ⊄α,∴b ∥α.变式训练如图8,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G .求证：EH ∥FG .图8证明：连接EH .∵E 、H 分别是AB 、AD 的中点,∴EH ∥BD .又BD ⊂面BCD ，EH ⊄面BCD ,∴EH ∥面BCD .又EH ⊂α、α∩面BCD =FG ,∴EH ∥FG .点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，那么直线与交线平行. 拓展提升：a ,b 为异面直线,a ⊂α,b ⊂β,a ∥β,b ∥α,求证:α∥β.证明：如图9，在b 上任取一点P ，由点P 和直线a 确定的平面γ与平面β交于直线c ，那么c 与b 相交于点P .图9变式训练AB、CD为异面线段，E、F分别为AC、BD中点，过E、F作平面α∥AB.〔1〕求证：CD∥α;〔2〕假设AB=4，EF=5，CD=2，求AB与CD所成角的大小.〔1〕证明：如图10，连接AD交α于G，连接GF,图10∵AB∥α，面ADB∩α=GF AB∥GF.又∵F为BD中点,∴G为AD中点.又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD. 〔2〕解：由〔1〕证明可知：∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=5.在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.课堂小结知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行〞.作业课本习题2.2A组5、6.。

高中数学课时提升作业(十一)2.2.3 直线与平面平行的性质

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课时提升作业(十一)直线与平面平行的性质一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014·杭州高二检测)若直线a与平面α平行,则必有( )A.在α内不存在与a垂直的直线B.在α内存在与a垂直的唯一直线C.在α内有且只有一条直线与a平行D.在α内有无数条直线与a平行【解析】选D.平面α内有无数条直线与a垂直,故A,B错误;平面α内有无数条直线与a平行,故C错误.【变式训练】如果两直线a∥b,且a∥平面α,则b与α的位置关系是( ) A.相交 B.b∥αC.b⊂αD.b∥α或b⊂α【解析】选D.若b在平面外,则b∥α,否则b⊂α,故选D.2.下列结论中,正确的个数是( )(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α.(2)若直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α.(3)若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任一直线平行.(4)若直线l在平面α外,则l∥α.A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选A.(1)直线l上有无数个点不在平面α内,并没有说是所有点都不在平面α内,因而直线可能与平面平行,亦有可能与平面相交.解题时要注意“无数”并非“所有”.(2)直线l虽与α内无数条直线平行,但l有可能在平面α内,所以直线l不一定平行于α.(3)当l∥α时,若m⊂α且m∥l,则在平面α内,除了与m平行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线.(4)直线l在平面α外,应包括两种情况:l∥α和l与α相交,所以l与α不一定平行.故选A.3.已知m,n为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,则下列结论中正确的是( )A.m∥α,m∥n⇒n∥αB.m∥α,n∥α⇒m∥nC.m∥α,m⊂β,α∩β=n⇒m∥nD.m∥α,n⊂α⇒m∥n【解析】选C.A中,n还有可能在平面α内;B中m,n可能相交、平行、异面;由线面平行的性质定理可得C正确.D中m,n可能异面.4.(2014·济宁高一检测)如图所示,长方体ABCD-A 1B1C1D1中,E,F分别是棱AA1和BB1的中点,过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G,H,则HG与AB的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行和异面【解析】选A.因为E,F分别是AA1,BB1的中点,所以EF∥AB.又AB⊄平面EFGH,EF⊂平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.又AB⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面EFGH=GH,所以AB∥GH.5.(2013·汕头高一检测)若m,n为两条不重合的直线,α,β为两个不重合的平面,则下列结论中正确的是( )A.若m,n都平行于平面α,则m,n一定不是相交直线B.若m,n都平行于平面α,则m,n不一定是平行直线C.已知α,β互相平行,m,n互相平行,若m∥α,则n∥βD.若m,n在平面α内的射影互相平行,则m,n互相平行【解析】选B.A错误,B正确,在C中,n可以平行于β,也可以在β内,故是错误的,在D中,m,n也可以异面,不一定互相平行,故是错误的.6.(2014·成都高一检测)如图,四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为( )A.2+B.3+C.3+2D.2+2【解析】选C.因为AB=BC=CD=DA=2,所以四边形ABCD是菱形,所以CD∥AB,又CD⊄平面SAB,AB⊂平面SAB,所以CD∥平面SAB.又CD⊂平面CDEF,平面CDEF∩平面SAB=EF,所以CD∥EF,所以EF∥AB.又因为E为SA中点,所以EF=AB=1.又因为△SAD和△SBC都是等边三角形,所以DE=CF=2×sin60°=,所以四边形DEFC的周长为:CD+DE+EF+FC=3+2.二、填空题(每小题4分,共12分)7.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE,则DE与AB的关系是____________(填“异面”“平行”或“相交”).【解析】因为ABC-A1B1C1是三棱柱,所以A1B1∥AB.又因为A1B1⊄平面ABC,AB⊂平面ABC.所以A1B1∥平面ABC.因为A1B1⊂平面A1B1ED.平面A1B1ED∩平面ABC=DE,所以A1B1∥DE,所以DE∥AB.答案:平行8.三个平面α,β,γ两两相交,α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,若a∥b,则a与c 的位置关系是____________.【解析】因为a∥b,b⊂γ,a⊄γ,所以a∥γ,又a⊂α,α∩γ=c,则a∥c.答案:平行9.(2014·温州高一检测)已知直线m,n及平面α,β有下列关系:①m,n⊂β;②n⊂α;③m∥α;④m∥n.现把其中一些关系看作条件,另一些看作结论,组成一个正确的结论是________(用序号表示).【解析】由线面平行的性质定理,可知①②③⇒④,由线面平行的判定定理,可知①②④⇒③.答案:①②③⇒④或①②④⇒③三、解答题(每小题10分,共20分)10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=2BC=2a,E为AB上一点,将B点沿线段EC折起至点P,连接PA,PC,PD,取PD中点F,若AF∥平面PEC,试确定E点的位置.【解析】E为AB的中点.取PC的中点H,连EH,FH.因为F为PD中点,所以FH CD,又CD∥AB,故FH∥AE,故E,H,F,A共面.平面AEHF∩平面PEC=EH,AF∥平面PEC,所以AF∥EH,故AEHF为平行四边形,所以AE=CD,故E为AB中点.11.如图,在四棱台ABCD-A′B′C′D′中,上、下底面都是菱形,P,Q分别是B′C′,C′D′的中点,若AA′∥平面BPQD,求此棱台上、下底面的边长的比值.【解析】如图,连接AC交BD于O,连接A′C′交PQ于M,连接OM,在等腰梯形ACC′A′中,O是AC的中点,M是A′C′的一个四等分点,A′C′∥AC.又因为AA′∥平面BPQD,平面ACC′A′∩平面BPQD=MO,所以AA′∥OM,所以四边形AOMA′是平行四边形,所以A′M=AO.又因为A′M=A′C′,AO=AC,=,所以=,即棱台上、下底面的边长的比值是.一、选择题(每小题4分,共16分)1.如图所示,平面α∩β=l1,α∩γ=l2,β∩γ=l3,l1∥l2,下列说法正确的是( )A.l1平行于l3,且l2平行于l3B.l1平行于l3,且l2不平行于l3C.l1平行于l3,且l2不平行于l3D.l1不平行于l3,但l2平行于l3【解析】选A.因为l1∥l2,l2⊂γ,l1⊄γ,所以l1∥γ.又l1⊂β,β∩γ=l3,所以l1∥l3,所以l1∥l3∥l2.2.(2014·福州高一检测)如图,若几何体Ω是长方体ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体,其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EH∥A1D1,则下列结论中不正确的是( )A.EH∥FGB.四边形EFGH是平行四边形C.Ω是棱柱D.Ω是棱台【解题指南】由EH∥A1D1推出EH∥平面BCC1B1,再由线面平行的性质定理推出EH ∥FG.【解析】选D.因为EH∥A1D1,A1D1∥B1C1,所以EH∥B1C1.又EH⊄平面BCC1B1,所以EH ∥平面BCC1B1,又EH⊂平面EFGH,平面EFGH∩平面BCC1B1=FG,所以EH∥FG,故EH ∥FG∥B1C1,所以选项A,C正确;又EH=A1D1=FG,故EFGH是平行四边形,所以选项B 也正确,故选D.3.α,β,γ是三个平面,a,b是两条直线,有下面三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③a⊂γ,b∥β.如果说法“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”是正确的,则可以在横线处填的条件是( )A.①或②B.②或③C.①或③D.只有②【解题指南】对每一个条件逐一判断,看是否满足线面平行的性质定理.【解析】选C.①中a∥γ,b⊂β,γ∩β=b,得出a∥b;③中a⊂γ,b∥β,b⊂γ,α∩β=a,β∩γ=a,得出a∥b.4.如图,在四面体ABCD中,若截面PQMN是正方形,则在下列命题中,错误的为( )A.AC⊥BDB.AC∥截面PQMNC.AC=BDD.异面直线PM与BD所成的角为45°【解析】选C.因为截面PQMN为正方形,所以PQ∥MN,PQ∥平面DAC,又因为平面ABC∩平面ADC=AC,PQ⊂平面ABC,所以PQ∥AC,同理可证QM∥BD.故有选项A,B,D正确,C不一定成立.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014·南阳高一检测)如图为正方体ABCD-A1B1C1D1切去一个三棱锥B1-A1BC1后得到的几何体,若点O为底面ABCD的中心,则直线D1O与平面A1BC1的位置关系是____________.【解析】如图,将其补成正方体ABCD-A1B1C1D1,设B1D1和A1C1交于点O1,连接O1B,依题意可知,D1O1∥OB,且D1O1=OB,即四边形D1OBO1为平行四边形,则D1O∥O1B,因为BO1⊂平面A1BC1,D1O⊄平面A1BC1,所以直线D1O∥平面A1BC1.答案:平行6.如图,正方体ABCD -A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上,若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.【解题指南】EF∥平面AB1C⇒EF=AC.【解析】因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,由线面平行的性质定理得:EF∥AC,又因为E为AD的中点,所以F为CD的中点,即EF为△ADC的中位线,所以EF=AC,又正方体的棱长为2,所以AC=2,所以EF=AC=×2=.答案:三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014·广州高一检测)如图,平面EFGH分别平行于CD,AB,E,F,G,H分别在BD,BC,AC,AD上,且CD=a,AB=b,CD⊥AB.(1)求证:EFGH是矩形.(2)设DE=m,EB=n,求矩形EFGH的面积.【解析】(1)因为CD∥平面EFGH,而平面EFGH∩平面BCD=EF,所以CD∥EF.同理HG∥CD,所以EF∥HG.同理HE∥GF,所以四边形EFGH是平行四边形.由CD∥EF,HE∥AB,所以∠HEF为CD和AB所成的角.又因为CD⊥AB,所以HE⊥EF.所以四边形EFGH是矩形.(2)由(1)可知在△BCD中,EF∥CD,DE=m,EB=n,所以=.又CD=a,所以EF= a.由HE∥AB,所以=.又因为AB=b,所以HE= b.又因为四边形EFGH为矩形,所以S矩形EFGH=HE·EF=b·a=ab.8.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,试判断点M在何位置.【解析】若MB∥平面AEF,过F,B,M作平面FBM交AE于N,连接MN,NF.因为BF∥平面AA1C1C,BF⊂平面FBM,平面FBM∩平面AA1C1C=MN.所以FB∥MN.又MB∥平面AEF,所以MB∥FN,所以BFNM是平行四边形,所以MN=FB=1.而EC∥FB,EC=2FB=2,所以MN∥EC,MN=EC=1,故MN是△ACE的中位线.所以M是AC的中点时,MB∥平面AEF.【方法锦囊】立体几何中“思维定势”的应用解答立体几何问题通常有比较固定的方法.举例如下:(1)作辅助线时,有“中点”考虑中位线、等腰三角形的性质.(2)证明线面平行,通常用判定定理,也就是证明平面外的直线与平面内的一条直线平行.(3)证明面面平行,通常用其判定定理,也就是证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行.(4)题目条件中有线面平行时,一定要想到线面平行的性质定理,也就是见到“线面平行”就要考虑过已知直线找(或作)出平面与已知平面相交,得到交线与已知直线平行.关闭Word文档返回原板块- 11 -。

2.2.3 直线与平面平行的性质(优秀经典公开课教案及练习答案详解)

2.2.3 直线与平面平行的性质学科：数学年级：高一班级【学习目标】1.理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．2.能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．3.能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．【学习重难点】重点：直线和平面平行的性质定理的探索过程及应用。

.难点：直线和平面平行的性质定理的探索过程及应用。

【预习指导】1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．( )(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．( )(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．( )(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．( )2．如果l∥平面α，则l平行于α内( )A．全部直线B．惟一确定的直线C．任一直线D．过l的平面与α的交线3．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．不确定4．已知直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a与β的位置关系为________．【合作探究】1、如图所示，在长方体 ABCD-1111A B C D 中直线ABCD C A 平面//11，那么（1） A 1C 1是否和平面AC 上所有直线都平行？和这些直线有哪几种位置关系？（2）在平面ABCD 内怎样找和直线A 1C 1平行的直线？这样的直线有几条？（3）把直线A 1C 1换成AD 1，即AD 1∥平面BCC 1B 1，AD 1是否和平面BCC 1B 1所有直线均平行？在此平面内怎样找和AD 1都平行的直线？（4）把直线A 1C 1换成A 1C 可否在平面ABCD 内找到直线与A 1C 平行？ 2、猜想：师：可否把探究中的长方体载体变为一般情况，即：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和平面内的怎样的直线平行？生：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.师：这就是直线与平面平行的性质定理，用符号怎样表示？生：////a a a b αββα⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭师：下面我们来证明这一结论。

直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析

2.2 直线、平面平行的判定及其性质2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a ⊂αa ∩α=Aa||α 图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L 和平面α平行，记作L ||α。

（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////a b a b a ααα⊄⊂⇒、.2.2.2 平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。

符号表示为：平面α、平面β，若a ∩β＝∅，则a ∥β2、判定定理：1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行. 简记为：线面平行，则线线平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。

图形条件=αβ∅α,b ⊂β，α∩b ＝P α∥α，b ∥α ⇒β∥αl ⊥α l ⊥β ⇒β∥α结论//αβ //αβ //αβ符号表示：若//,,,//a a b a b αβαβ⊂=则.2.2.4 平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件 α∥β β∩γ＝b α∩γ＝a α∥β l ⊥α α∥β a ⊂β结论a ∥bl ⊥βa ∥α1. 解题方法（1）证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。

课时作业23：2.2.3 直线与平面平行的性质~2.2.4　平面与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质 2.2.4 平面与平面平行的性质基础过关1.若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是（） A.平行 B.相交C.异面D.平行、相交或异面解析画图可知两直线可平行、相交或异面，故选D. 答案 D2.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G ，H ，则GH 与AB 的位置关系是（）A.平行B.相交C .异面D.平行和异面解析 ∵E ，F 分别是AA 1，BB 1的中点，∴EF ∥AB . 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB ∥平面EFGH .又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB ∥GH . 答案 A3.α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则下列命题中不正确的是（）①⎭⎬⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；② ⎭⎬⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ；③⎭⎬⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；④⎭⎬⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤ ⎭⎬⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a ；⑥⎭⎬⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A.④⑥B.②③⑥C.②③⑤⑥D.②③解析由公理4及平行平面的传递性知①④正确.举反例知②③⑤⑥不正确.②中a ，b 可以相交，还可以异面；③中α，β可以相交；⑤中a 可以在α内；⑥中a 可以在α内. 答案 C4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝13，过点P ，E ，F 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝ . 解析易知EF ∥平面ABCD ，PQ ＝平面PEF ∩平面ABCD ，∴EF ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝23，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝223. 答案2235.如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上.若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于 .解析因为EF ∥平面AB 1C ，且EF ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面AB 1C ＝AC ，所以EF ∥AC .又因为E 为AD 的中点，所以EF 为△ACD 的中位线，所以EF ＝ 12AC ＝12×22＝ 2. 答案26.如图所示，四面体ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是一个矩形.求证：CD ∥平面EFGH . 证明 ∵截面EFGH 是矩形，∴EF∥GH.又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD.∴EF∥平面BCD.而EF⊂平面ACD，平面ACD∩平面BCD＝CD，∴EF∥CD.又EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH.7.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB ＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点.设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.证明因为F为AB的中点，所以AB＝2AF，又因为AB＝2CD，所以CD＝AF，因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以四边形AFCD为平行四边形，所以FC∥AD，又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.能力提升8.设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，那么所有的动点C（）A.不共面B.当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C.当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D.不论A，B如何移动，都共面解析如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB中点C变成A′B′中点C′.连接A′B，取A′B的中点E，连接CE，C′E，CC′，AA′，BB′.则CE∥AA′，从而易得CE∥α.同理C′E∥β.又∵α∥β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.故不论A，B如何移动，所有的动点C都在过点C且与α，β平行的平面上.答案D9.过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为（）A.都平行B.都相交且一定交于同一点C.都相交但不一定交于同一点D.都平行或交于同一点解析∵l⊄α，∴l∥α或l与α相交.①若l∥α，则由线面平行的性质定理可知l∥a，l∥b，l∥c，…，∴a，b，c，…，这些交线都平行.②若l与α相交，不妨设l∩α＝A，则A∈l，又由题意可知A∈a，A∈b，A∈c，…，∴这些交线交于同一点A.综上可知D正确.答案D10.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱DD1上的点.当平面AB1C∥平面A1EC1时，点E的位置是.解析如图，连接B1D1，BD，设B1D1∩A1C1＝M，BD∩AC＝O，连接ME，B1O.∵平面AB1C∥平面A1EC1，平面AB1C∩平面BDD1B1＝B1O，平面A1EC1∩平面BDD1B1＝ME，∴B1O∥ME.又四边形B1MDO为平行四边形，则B1O∥MD.故E与D重合.答案与D重合11.对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使α，β都平行于γ；②α内有不共线的三点到β的距离相等；③存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有个.解析若α与β相交，如图所示，可在α内找到A，B，C三个点到平面β的距离相等，所以排除②.容易证明①③都是正确的.答案212.如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心.（1）求证：平面MNG∥平面ACD；（2）求S △MNG ∶S △ADC .（1）证明如图，连接BM ，BN ，BG 并分别延长交AC ，AD ，CD 于P ，F ，H .∵M ，N ，G 分别为△ABC ，△ABD ，△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF ，FH ，PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD . 同理MG ∥平面ACD .又MG ∩MN ＝M ，MG ，MN ⊂平面MNG ， ∴平面MNG ∥平面ACD .（2）解由（1）可知，MG PH ＝BG BH ＝23， ∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD ，∴△MNG ∽△ADC ，且相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.创新突破13.已知：如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点.若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求ADDC 的值.解如图，连接A 1B 交AB 1于点O ，连接OD 1.由棱柱的性质，知四边形A 1ABB 1为平行四边形，所以点O 为A 1B 的中点. 因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面A 1BC 1∩平面AB 1D 1＝D 1O ，平面A 1BC 1∩平面BC 1D ＝BC 1，所以BC 1∥D 1O ，所以D 1为线段A 1C 1的中点，所以D 1C 1＝12A 1C 1.因为平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，且平面AA 1C 1C ∩平面BDC 1＝DC 1，平面AA 1C 1C ∩平面AB 1D 1＝AD 1，所以AD 1∥DC 1.又因为AD ∥D 1C 1，所以四边形ADC 1D 1是平行四边形，所以AD ＝C 1D 1＝12A 1C 1＝12AC ，所以ADDC ＝1.。

§2.2.3 直线与平面平行的性质习题及答案知识分享

§2.2.3 直线与平面平行的性质※基础达标1．已知直线l //平面α，m 为平面α内任一直线，则直线l 与直线m 的位置关系是（）.A. 平行B. 异面C. 相交D. 平行或异面 2．梯形ABCD 中AB //CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是（）.A. 平行B. 平行和异面C. 平行和相交D. 异面和相交3．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（）.A. 异面B. 相交C. 平行D. 不能确定4．若直线a 、b 均平行于平面α，则a 与b 的关系是（）. A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面5．已知l 是过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点的平面AB 1D 1与下底面ABCD 所在平面的交线，下列结论错误的是（）.A. D 1B 1∥lB. BD //平面AD 1B 1C. l ∥平面A 1D 1B 1D. l ⊥B 1 C 16．已知正方体1AC 的棱长为1，点P 是的面11AA D D 的中心，点Q 是面1111A B C D 的对角线11B D 上一点，且//PQ 平面11AA B B ，则线段PQ 的长为 .7．设不同的直线a ,b 和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法：① a ∥α，b ∥α，则a ∥b ； ② a ∥α, a ∥β, 则α∥β； ③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④ a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α. 其中说法正确的序号依次是 .※能力提高 8．如图，空间四边形ABCD 被一平面所截，截面EFGH 是平行四边形. （1）求证：CD ∥平面EFGH ；（2）如果AB ⊥CD ，AB =a ，CD =b 是定值，求截面EFGH 的面积.FDBCH GE A9．如右图，直线AB 和CD 是异面直线，//AB α，//CD α，AC Mα=I ，BD N α=I ，求证：AMBNMCND=.※探究创新10．如下图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=12AB ，点E 、M 分别为A 1B 、C 1C 的中点，过点A 1、B 、M 三点的平面A 1BMN 交C 1D 1于点N .（1）求证：EM ∥平面A 1B 1C 1D 1；（2）设截面A 1BMN 把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V 1、V 2（V 1＜V 2)，求V 1∶V 2的值.A αBCDM N第14练 §2.2.3 直线与平面平行的性质【第14练】 1～5 DBCDD ； 6.2； 7. ③. 8. 解：（1）证明：∵ EFGH 是平行四边形， ∴ EF //GH ，又 ∵ EF ⊄平面BDC ， GH ⊂平面BDC ， ∴ EH //平面BDC .∵ EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面BDC =DC ， ∴ EF //DC ，∴ CD ∥平面EFGH .（2）截面EFGH 的面积为 14S ab =.9. 证明：如图，连结AD 交平面α于点Q ，连结MQ 、QN .////AB AQ BN AB ABD AB QN QD NDABD QN αα⎫⎪⊂⇒⇒=⎬⎪=⎭I 平面平面平面， ////CD AQ AM CD ACD CD MQ QD MCACD MQ αα⎫⎪⊂⇒⇒=⎬⎪=⎭I 平面平面平面， ∴AM BN MC ND =. 10. 解：（1）证明：设A 1B 1的中点为F ，连结EF 、FC 1.∵E 为A 1B 的中点，∴EF //12B 1B . 又C 1M //12B 1B ，∴EF //MC 1.∴四边形EMC 1F 为平行四边形.∴EM ∥FC 1.∵EM ⊄平面A 1B 1C 1D 1，FC 1⊂平面A 1B 1C 1D 1， ∴EM ∥平面A 1B 1C 1D 1. （2）延长A 1N 与B 1C 1交于P ，则P ∈平面A 1BMN ，且P ∈平面BB 1C 1C . 又∵平面A 1BMN ∩平面BB 1C 1C =BM ， ∴P ∈BM ，即直线A 1N 、B 1C 1、BM 交于一点P .又∵平面MNC 1∥平面BA 1B 1， ∴几何体MNC 1—BA 1B 1为棱台.∵S =12·2a ·a =a 2， S =12·a ·12a =14a 2，棱台MNC 1—BA 1B 1的高为B 1C 1=2a ，V 1=13·2a ·（a 2+2214a a ⋅+14a 2）=76a 3，∴V 2=2a ·2a ·a －76a 3=176a 3. ∴12V V =717.NA αBCDM Q。

高中数学人教版必修2教案：第2章 2.2.3 直线与平面平行的性质+2.2.4 平面与平面平行的性质含答案

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质1．理解直线与平面、平面与平面平行的性质定理的含义．(重点)2．能用三种语言准确描述直线与平面、平面与平面平行的性质定理．(重点) 3．能用直线与平面、平面与平面平行的性质定理证明一些空间平行关系的简单命题．(难点)[基础·初探]教材整理1直线与平面平行的性质定理阅读教材P58～P59“例3”以上的内容，完成下列问题．自然语言一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行．()(2)一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点．()(3)过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行．()(4)如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内．()【解析】由线面平行的性质定理知(1)(4)正确；由直线与平面平行的定义知(2)正确；因为经过一点可作一条直线与已知直线平行，而经过这条直线可作无数个平面，故(3)错．【答案】(1)√(2)√(3)×(4)√教材整理2平面与平面平行的性质定理阅读教材P60“思考”以下至P61“练习”以上的内容，完成下列问题．自然语言如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行符号语言α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b图形语言作用证明两直线平行已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a的平面γ，与平面β相交，交线为直线b，则a，b的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．不确定【解析】由面面平行的性质定理可知a∥b.【答案】 A[小组合作型]线面平行性质定理的应用面为平行四边形，求证：AB∥平面EFGH.图2-2-15【精彩点拨】要证明AB∥平面EFGH，只需证AB平行于平面EFGH内的某一条直线，由于EFGH是平行四边形，可利用其对边平行的特点，达到证题的目的．【自主解答】∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥HG.∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，∴EF∥平面ABD.∵EF⊂平面ABC，平面ABC∩平面ABD＝AB，∴EF∥AB.∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，∴AB∥平面EFGH.运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与平面相交的交线，然后确定线线平行.应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.[再练一题]1．如图2-2-16，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过AA1作一平面交平面BCC1B1于EE1.求证：AA1∥EE1.图2-2-16【证明】在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1∥BB1，∵AA1⊄平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，∴AA1∥平面BCC1B1.∵AA1⊂平面AEE1A1，平面AEE1A1∩平面BCC1B1＝EE1，∴AA1∥EE1.面面平行性质定理的应用α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.图2-2-17(1)求证：AC∥BD；(2)已知P A＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长.【精彩点拨】(1)利用面面平行的性质定理直接证明即可．(2)利用平行线分线段成比例定理可求得PD.【自主解答】(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴P AAB＝PCCD，∴45＝3CD，∴CD＝154，∴PD ＝PC ＋CD ＝274.1．利用面面平行的性质定理判定两直线平行的步骤：(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条；(2)判定这两个平面平行；(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上；(4)由性质定理得出线线平行．2．应用面面平行的性质定理时，往往需要“作”或“找”辅助平面，但辅助平面不可乱作，要想办法与其他已知量联系起来．[再练一题]2．如图2-2-18，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．图2-2-18【证明】因为平面AB 1M ∥平面BC 1N ，平面ACC 1A 1∩平面AB 1M ＝AM ，平面BC 1N ∩平面ACC 1A 1＝C 1N ，所以C 1N ∥AM ，又AC ∥A 1C 1，所以四边形ANC 1M 为平行四边形，所以AN ∥C 1M 且AN ＝C 1M ，又C 1M ＝12A 1C 1，A 1C 1＝AC ，所以AN ＝12AC ，所以N 为AC 的中点．[探究共研型]平行关系的综合应用探究1 【提示】应着力寻找过已知直线的平面与已知平面的交线，有时为了得到交线还需作出辅助平面，而且证明与平行有关的问题时，要与公理4等结合起来使用，扩大应用的范畴．探究2面面平行的判定定理与性质定理各有什么作用？【提示】两个平面平行的判定定理与性质定理的作用，关键都集中在“平行”二字上．判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”；性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．前者给出了判定两个平面平行的一种方法；后者给出了判定两条直线平行的一种方法．探究3你能总结一下线线平行与线面平行、面面平行之间的转化关系吗？【提示】三种平行关系可以任意转化，其相互转化关系如图所示：如图2-2-19，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN.求证：MN∥平面AA1B1B.图2-2-19【精彩点拨】用判定定理证明较困难，可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行，得到MN∥平面AA1B1B.【自主解答】如图，作MP∥BB1交BC于点P，连接NP，∵MP∥BB1，∴CMMB1＝CPPB.∵BD＝B1C，DN＝CM，∴B1M＝BN，∴CMMB1＝DNNB，∴CPPB＝DNNB，∴NP∥CD∥AB.∵NP⊄平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，∴NP∥平面AA1B1B.∵MP∥BB1，MP⊄平面AA1B1B，BB1⊂平面AA1B1B，∴MP∥平面AA1B1B.又∵MP⊂平面MNP，NP⊂平面MNP，MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面AA1B1B.∵MN⊂平面MNP，∴MN∥平面AA1B1B.1．三种平行关系的转化要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化．在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化．转化思想是解决这类问题的最有效的方法．2．面面平行的性质定理的几个推论(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．(2)夹在两平行平面间的平行线段相等．(3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．[再练一题]3．如图2-2-20，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分别是棱AD，AA1上的点．设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1.图2-2-20【证明】因为F为AB的中点，所以AB＝2AF.又因为AB＝2CD，所以CD＝AF.因为AB∥CD，所以CD∥AF，所以AFCD为平行四边形．所以FC∥AD.又FC⊄平面ADD1A1，AD⊂平面ADD1A1，所以FC∥平面ADD1A1.因为CC1∥DD1，CC1⊄平面ADD1A1，DD1⊂平面ADD1A1，所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，CD，B1C1的中点，则正确命题是()图2-2-21A．AE⊥CGB．AE与CG是异面直线C．四边形AEC1F是正方形D．AE∥平面BC1F【解析】由正方体的几何特征知，AE与平面BCC1B1不垂直，则AE⊥CG 不成立；由于EG∥A1C1∥AC，故A，E，G，C四点共面，所以AE与CG是异面直线错误；在四边形AEC1F中，AE＝EC1＝C1F＝AF，但AF与AE不垂直，故四边形AEC1F是正方形错误；由于AE∥C1F，由线面平行的判定定理，可得AE∥平面BC1F.故选D.【答案】 D2．如图2-2-22，四棱锥P-ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN ∥平面P AD，则()图2-2-22A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能B[∵MN∥平面P AD，平面P AC∩平面P AD＝P A，MN⊂平面P AC，∴MN ∥P A.]3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是________.【解析】由直线与平面平行的性质定理知l∥m.【答案】平行4．过两平行平面α，β外的点P的两条直线AB与CD，它们分别交α于A，C两点，交β于B，D两点，若P A＝6，AC＝9，PB＝8，则BD的长为________．【解析】两条直线AB与CD相交于P点，所以可以确定一个平面，此平面与两平行平面α，β的交线AC∥BD，所以P APB＝ACBD，又P A＝6，AC＝9，PB＝8，故BD＝12.【答案】125．如图2-2-23，α∩β＝CD，α∩γ＝EF，β∩γ＝AB，AB∥α.求证：CD∥EF.图2-2-23【证明】因为AB∥α，AB⊂β，α∩β＝CD，所以AB∥CD.同理可证AB∥EF，所以CD∥EF.学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EFBC＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE为梯形．图2-2-27【证明】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面APD，BC⊄平面APD，∴BC∥平面APD.又平面BCFE∩平面APD＝EF，∴BC∥EF，∴AD∥EF.又E，F是△APD边上的点，∴EF≠AD，∴EF≠BC.∴四边形BCFE是梯形．9．如图2-2-28，S是平行四边形ABCD所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且AMSM＝DNNB，求证：MN∥平面SBC.图2-2-28【证明】在AB上取一点P，使APBP＝AMSM，连接MP，NP，则MP∥SB.∵SB⊂平面SBC，MP⊄平面SBC，∴MP∥平面SBC.又AMSM＝DNNB，∴APBP＝DNNB，∴NP∥AD.∵AD∥BC，∴NP∥BC.又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。

高一数学必修二2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质导学案(解析版)

2.2.3直线与平面平行的性质2.2.4平面与平面平行的性质一、课标解读1、掌握直线与平面平行的性质定理及其应用；2、学生通过观察与类比，借助实物模型理解性质及应用。

3、进一步提高学生空间想象能力、思维能力；二、自学导引问题1:在直线与平面平行的条件下可以得到什么结论？并用文字语言表述之.问题2:上述定理通常称为直线与平面平行的性质定理，该定理用符号语言可怎样表述？问题3:直线与平面平行的性质定理可简述为“线面平行，则线线平行”，在实际应用中它有何功能作用？问题4：平面与平面平行的性质定理：问题5：符号语言表述：问题6：面与面平行的性质定理有何作用？三、合作探究探究1:如果直线a 与平面α平行，那么直线a 与平面α内的直线有哪些位置关系？探究2:若直线a 与平面α平行，那么在平面α内与直线a 平行的直线有多少条？这些直线的位置关系如何？探究3:如果直线a 与平面α平行，那么经过平面α内一点P 且与直线a 平行的直线怎样定位？探究4：如果α∥β，,,βα⊂⊂b a 则直线a 与直线b 的位置关系如何？四、典例精析例1 如果一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线和它们的交线平行.已知：βαβα//,//,a a l =求证：l a //变式训练1 已知,,321l l l ===γβγαβα ，1l ∥2l .求证:3l ∥1l ,3l ∥2l例2.如图所示,三棱椎BCD A -被一平面所截,截面为平行四边形EFGH .求证:CD ∥平面EFGH变式训练2 在长方体1111ABCD A BC D -中,点重合）不与11,(B B BBP ∈M BA PA =1 N BC PC =1 ,求证：MN ∥平面AC例 3 已知N M CD AB ,,之间的线段，，是夹在两个平行平面βα分别为CD AB ,的中点.求证：MN ∥α变式训练3 如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，P N M ,,分别为11111,,B A D B B A上的点，若311111==BA BM D B N B ,又PN ∥11D A ，求证：MN ∥平面11BCC B例4 如图所示，已知的分别是所在平面外一点，是平行四边形PC AB N M ABCD P ,,中点，平面l PBC PAD =平面 .（1）求证：l ∥BC（2） MN 与平面PAD 是否平行？证明你的结论.五、自主反馈 1．平面α∩平面β＝a ，平面β∩平面γ＝b ，平面γ∩平面a ＝c ，若a ∥b ，则c 与a ，b的位置关系是（）A ．c 与a ，b 都异面B ．c 与a ，b 都相交C ．c 至少与a ，b 中的一条相交D ．c 与a ，b 都平行2．如果两个相交平面分别经过两条平行线中的一条，那么它们的交线和这两条平行线的位置关系是（）A ．都平行B ．都相交C ．一个相交，一个平行D ．都异面 3．对于直线m 、n 和平面α，下面命题中的真命题是A ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α//nB ．如果m n m ,,αα⊄⊂、n 是异面直线，那么α与n 相交C ．如果m n m ,//,αα⊂、n 共面，那么n m //D ．如果m n m ,//,//αα、n 共面，那么n m //4．已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ；②若m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β=n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β；其中真命题的个数是A ．0B ．1C ．2D ．35．A 、B 是不在直线l 上的两点，则过点A 、B 且与直线l 平行的平面的个数是（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．以上三种情况均有可能 6 用一个平面去截正方体，所得的截面可能是______________________________；7．三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线的位置关系为__________；8. 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝7，∠A ＝60°，G 是重心，过G 的平面α与BC 平行，AB ∩α＝M ，AC ∩α＝N ，则MN ___________；9. P 是边长为8的正方形ABCD 所在平面外的一点，且PA ＝PB ＝PC ＝PD ＝8，M 、N 分别在PA 、BD 上，且53＝＝ND BN MA PM ，则MN ＝_________；答案2.2.3 直线与平面平行的性质2.2.4 平面与平面平行的性质例1 证明：过b a 于交作平面αγb a a //,//∴α，于交平面作平面过c βδα βββ⊂⊄∴c b c b c a a ,,//,//,//又l a l b l b b //,//,,,//∴∴=⊂∴βααβ 又例2 略例3 证明：情形一：若ABCD CD AB 在同一平面内，则平面, BD AC BD AC //,//,,∴βαβα 的交线为，与BD MN CD AB N M //,,∴的中点，为又αα平面平面又//,MN BD ∴⊂P AE E CD AE A CD AB 中点，取于交作异面，过情形二：若α//, 连接AEDC CD AE CD AE ED BE PN MP 确定平面,,//,,,,∴ 且平面AC ED AEDC ,的交线为，与βα的中点分别为又CD AE N P ED AC ,,,//,//∴βααα//,//,//,//MP BE MP PN ED PN ∴∴∴同理可证 αα//,,//MN MPN MN MPN ∴⊂∴平面又平面例4 证明：（1）PAD AD PAD BC AD BC 平面平面⊂⊄,,// l PAD PBC PAD BC =∴平面平面，又平面 //l BC //∴（2）平行证明：取NE AE E PD ,,连接的中点AM NE AM NE =且可得,//是平行四边形可知四边形AMNEPAD MN AE MN 平面//,//∴∴变式训练1.略2.证明：M BA PA AA BB BA B A =11111,// 且中，在平面 1111,,CC PB MA PM CC AA AA PB MA PM =∴==∴又 ① N BC PC CC BB BCC B =11111,// 且中，在平面1CC PB NC PN =∴ ② 由①②得AC MN NC PN MA PM //,∴=AC MN AC AC AC MN 平面，平面平面//,∴⊂⊄3．证明：31,31,//11111111==A B P B D B N B D A PN 得由 ,//,3111BB PM BA BM ∴=又 11111,BCC B BB BCC B PM 平面平面又⊂⊄ 11111111//,////C B D A D A PN BCC B PM ，又平面∴ 111111//,C B PN BCC B C B ∴⊂平面1111//BCC B PN BCC B PN 平面，平面又∴⊄ 11//,BCC B PMN P PN PM 平面平面又∴= 11//,BCC B MN PMN MN 平面平面∴⊂ 自主反馈答案1.D2.A3.C4.A5.D6. 3,4,5,6边形7. 平行或交于一点 8.3392 9. 19。

(完整版)直线与平面平行的判定和性质经典练习及详细答案

直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ 。

①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α；②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行;④若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点。

2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）。

①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n,下列命题中假命题是 (填序号). ①若m ⊥α，m ⊥n,则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α,则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ，b,平面α,则以下三个命题： ①若a ∥b,b ⊂α,则a ∥α； ②若a ∥b ，a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α，b ∥α,则a ∥b 。

其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ，直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的条件。

A.充分而不必要 B.必要而不充分 C 。

充要 D 。

不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A 。

b a b a //，，αα⊂⊄ B 。

b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D 。

b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α，则b 与α的位置关系A 。

课时作业18：2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质[基础巩固]（25分钟，60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．[2019·孝感校级单元测试]如果直线a平行于平面α，则()A．平面α内有且只有一条直线与a平行B．平面α内有无数条直线与a平行C．平面α内不存在与a垂直的直线D．平面α内有且只有一条与a垂直的直线2.如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面3．已知a，b表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a⊂α，则a∥β；④若a∥α，a∥β，则α∥β.其中正确的个数为()A．1B．2 C．3D．44．[2019·广州校级课时练]如图，四棱锥P－ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能5．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH 为截面，长方形ABCD 为底面，则四边形EFGH 的形状为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．可能是梯形也可能是平行四边形D ．不确定二、填空题(每小题5分，共15分)6．若空间四边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 的长分别是8,12，过AB 的中点E 作平行于BD 、AC 的截面四边形的周长为________．7．如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别是棱CC 1，C 1D 1，D 1D ，DC 的中点，N 是BC 的中点，点M 在四边形EFGH 的边上及其内部运动，则M 满足条件________时，有MN ∥平面B 1BDD 1.8．在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是棱AD 上一点，AP ＝a 3，过P ，M ，N 的平面与棱CD 交于Q ，则PQ ＝________.三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知E ，F ，G ，H 为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且EH ∥FG .求证：EH ∥BD .10．正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ，求证：PQ∥平面BCE.[能力提升]（20分钟，40分）11．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下列结论正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE：EA＝BF：FC，且DH：HA＝DG：GCD．AE：EB＝AH：HD，且BF：FC＝DG：GC12．如图，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段P A，PB，PC于A′，B′，C′，若P A′：AA′＝2：3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为________．13.如图，已知P是▱ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：l∥BC；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．14.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．(1)求证：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．【参考答案】[基础巩固]（25分钟，60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．【解析】过直线a 可作无数个平面与α相交，这些交线都与a 平行，所以在平面α内与直线a 平行的直线有无数条，故A 不正确，B 正确．平面内存在与a 异面垂直的直线，且有无数条，故C ，D 不正确．【答案】B2. 【解析】∵E 、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF ∥AB .又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ，∴AB ∥平面EFGH .又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面EFGH ＝GH ，∴AB ∥GH .【答案】A3．【解析】对于①，a ∥b 或a 与b 是异面直线，故①错；对于②，也可能是α与β相交，故②错；对于④，同样α与β也可能相交，故④错．只有③对．【答案】A4．【解析】四棱锥P －ABCD 中，M ，N 分别为AC ，PC 上的点，且MN ∥平面P AD ，因为MN ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面P AD ＝P A ，由直线与平面平行的性质定理可得，MN ∥P A .【答案】B5．【解析】因为平面与长方体的两组相对的平面分别相交，根据面面平行的性质定理可知，两组交线分别平行，即EF ∥HG ，EH ∥FG ，所以四边形EFGH 为平行四边形，故选B.【答案】B二、填空题(每小题5分，共15分)6．【解析】截面四边形为平行四边形，则l ＝2×(4＋6)＝20.【答案】207．【解析】连接FH ，由题意知，HN ∥平面B 1BDD 1，FH ∥平面B 1BDD 1，且HN ∩FH ＝H ，所以平面NHF ∥平面B 1BDD 1.所以当M 在线段HF 上运动时，有MN ∥平面B 1BDD 1.故填M ∈线段HF .【答案】M ∈线段HF .8．【解析】由线面平行的性质知MN ∥PQ ∥AC ，所以PQ AC ＝23，又AC ＝2a ，所以PQ ＝223a .【答案】223a 三、解答题(每小题10分，共20分)9．证明：因为EH ∥FG ，EH ⊄平面BCD ，FG ⊂平面BCD ，所以EH ∥平面BCD ，又因为EH ⊂平面ABD ，平面BCD ∩平面ABD ＝BD ，所以EH ∥BD .10．证明：证法一(线线平行⇒线面平行) 如图1所示，作PM ∥AB ，交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE ＝BD .又AP ＝DQ ，∴PE ＝QB ，又PM ∥AB ∥QN ，∴PM AB ＝PE AE ＝QB BD ，QN DC ＝BQ BD， ∴PM AB ＝QN DC，又AB 綊DC ，∴PM ∥QN 且PM ＝QN ， ∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN ，又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ，∴PQ ∥平面CBE .证法二(面面平行⇒线面平行) 如图2，在平面ABEF 内过点P 作PM ∥BE 交AB 于点M ，连接QM ，又PM ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，∴PM ∥平面BCE ，AP PE ＝AM MB. 又AE ＝BD ，AP ＝DQ ，∴PE ＝BQ ，∴AP PE ＝DQ BQ ，∴AM MB ＝DQ QB，∴MQ ∥AD ，又AD ∥BC ，∴MQ ∥BC ，MQ ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE ，又PM ∩MQ ＝M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ，又PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .[能力提升]（20分钟，40分）11．【解析】由BD ∥平面EFGH ，得BD ∥EH ，BD ∥FG ，则AE ：EB ＝AH ：HD ，且BF ：FC ＝DG ：GC .【答案】D12．【解析】由题意知，△A ′B ′C ′∽△ABC ，从而S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝⎛⎭⎫P A ′P A 2＝⎝⎛⎭⎫252＝425. 【答案】4：2513. (1)证明：因为BC ∥AD ，BC ⊄平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，所以BC ∥平面P AD . 又因为BC ⊂平面PBC ，平面PBC ∩平面P AD ＝l ，所以l ∥BC .(2)平行．取PD 的中点E ，连接AE ，NE ，可以证得NEAM .所以四边形AMNE 为平行四边形，所以MN ∥AE .又因为AE 平面P AD ，MN 平面P AD ，所以MN ∥平面P AD . 14. (1)证明：∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG .∵HG ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，∴EF ∥平面ABD .∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC ＝AB ， ∴EF ∥AB ，AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH .∴AB ∥平面EFGH .同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)设EF ＝x (0<x <4)，∵四边形EFGH 为平行四边形，∴CF CB ＝x 4，则FG 6＝BF BC ＝BC －CF BC ＝1－x 4，∴FG ＝6－32x . ∴四边形EFGH 的周长l ＝2⎝⎛⎭⎫x ＋6－32x ＝12－x . 又∵0<x <4，∴8<l <12，∴四边形EFGH 周长的取值范围是(8,12)．。

课时作业20：2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质一、单选题1．如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列结论中错误的为（）A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°2．如图所示，P 为矩形ABCD 所在平面外一点，矩形对角线交点为O ，M 为PB 的中点，给出五个结论：①OM ∥PD ；②OM ∥平面PCD ；③OM ∥平面PDA ；④OM ∥平面PBA ；⑤OM ∥平面PBC ．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．一正方体木块如图所示，点P 在平面A ′C ′内，经过P 和棱BC 将木料锯开，锯开的面必须平整，有N 种锯法，则N 为（）A ．0B ．1C ．2D ．无数4．在长方体1111ABCD A B C D 中，若经过D 1B 的平面分别交AA 1和CC 1于点E ，F ，则四边形D 1EBF 的形状是（）A ．矩形B ．菱形C ．平行四边形D ．正方形5．下列命题中不正确的是（）A ．平面α∥平面β，一条直线a 平行于平面α，则a 一定平行于平面βB ．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC ．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D ．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线6．在如图所示的空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 的中点，则图中线面平行关系有（）A ．2对B ．4对C ．6对D ．8对7．下列四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形的序号是（）A ．①③B ．①④C ．①③D ．②④二、填空题8．如图（1），已知正方形ABCD ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将△ADE 沿DE 折起，如图（2）所示，则BF 与平面ADE 的位置关系是________.9．如图所示，1111ABCD A B C D 是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P是棱AD上的一点，AP P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________．10．已知直线a//平面α，平面α//平面β，则直线a与平面β的位置关系为_____________.11．如图，在空间四边形ABCD中，M∈AB，N∈AD，若AM ANMB ND=，则直线MN与平面BDC的位置关系是________．三、解答题12．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，点D是AB的中点，求证：BC1∥平面CA1D．13．如图，在三棱柱111ABC A B C 中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC =2FB =2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 的位置.【参考答案】1.【答案】C【解析】依题意得MN ∥PQ ，MN ∥平面ABC ，又MN 、AC ⊂平面ACD ，且MN 与AC 无公共点，因此有MN ∥AC ，AC ∥平面MNPQ .同理，BD ∥PN .又截面MNPQ 是正方形，因此有AC ⊥BD ，直线PM 与BD 所成的角是45°.综上所述，其中错误的是C ，故选C ．2.【答案】C【解析】矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于O 点，所以O 为BD 的中点．在△PBD 中，M 是PB 的中点，所以OM 是中位线，OM ∥PD ，则OM ∥平面PCD ，且OM ∥平面PDA ．因为M ∈PB ，所以OM 与平面PBA 、平面PBC 相交．所以正确的是①②③，共3个.3.【答案】B【解析】在平面A ′C ′上过P 作EF ∥B ′C ′，则EF ∥BC ，∴沿EF 、BC 所确定的平面锯开即可．由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B ．4.【答案】C【解析】如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，平面ABB 1A 1∥平面CDD 1C 1，过D 1B 的平面BED 1F 与平面ABB 1A 1交于直线BE ，与平面CDD 1C 1交于直线D 1F .由面面平行的性质定理知BE ∥D 1F .同理，BF ∥D 1E .所以四边形D 1EBF 为平行四边形.5.【答案】A【解析】对于A ，直线a 可能与β平行，也可能在β内，故A 不正确；三角形的两条边必相交，这两条相交边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C 正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B ，D 正确，故选A ．6．C【解析】由中位线的性质知，EH ∥FG ，EF ∥HG ，故四边形EFGH 是平行四边形，且AC ∥平面EFGH ，BD ∥平面EFGH ．由EF ∥GH ，EF ⊄平面ACD ，GH ⊂平面ACD ，∴EF ∥平面ACD ，同理，GH ∥平面ABC ，EH ∥平面BCD ，FG ∥平面ABD ，故共有6对线面平行关系．故选C ．7．B【解析】对于①，取NP中点G，由三角形中位线性质易证MG∥AB，再根据线面平行的判定定理可知①正确；对于④，易证NP∥AB，根据线面平行的判定定理可知④正确，故选B.8. 平行【解析】∵E，F分别为AB，CD的中点，∴EB＝FD．又∵EB∥FD，∴四边形EBFD为平行四边形，∴BF∥ED．∵DE⊂平面ADE，而BF⊄平面ADE，∴BF∥平面ADE.9【解析】∵MN∥平面AC，平面PMN∩平面AC＝PQ，∴MN∥PQ，易知DP＝DQ PQ10．直线a平行于平面β或直线a在平面β内【解析】平面α∥平面β，直线a∥平面α，则当a在平面β内时，原命题成立，若a不在平面β内，则a一定与平面β平行.11．平行【解析】由AM ANMB ND=，得MN∥BD.而BD⊂平面BDC，MN⊄平面BDC，所以MN∥平面BDC.12．证明：如图所示，连接AC1交A1C于点O，连接OD，则O是AC1的中点．∵点D是AB的中点，∴OD∥BC1.又∵OD⊂平面CA1D，BC1⊄平面CA1D，∴BC1∥平面CA1D.13．解：过F，B，M作平面FBMN交AE于N.因为BF∥平面AA1C1C，BF⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AA1C1C=MN，所以BF∥MN.又MB∥平面AEF，MB⊂平面FBMN，平面FBMN∩平面AEF=FN，所以MB∥FN，所以BFNM是平行四边形，所以MN=BF=1.又EC∥FB，EC=2FB=2，所以MN∥EC，MN MN是△ACE的中位线.所以M是AC的中点时，MB∥平面AEF.。

【高二数学试题精选】直线与平面平行的性质课时作业(有答案)

直线与平面平行的性质课时作业（有答案）
5 时提升作业(七)
直线与平面平行的性质
一、选择题(每小题3分，共18分)
1如果点是两条异面直线外的一点，则过点且与a，b都平行的平面( )
A只有一个B恰有两个
c没有或只有一个D有无数个
【解析】选c当其中一条异面直线平行于另一条异面直线和点所确定的平面时，过点且平行于a和b的平面不存在，否则过点有且只有一个平面平行于a和b
2若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
Aα内的所有直线都与直线a异面
Bα内不存在与a平行的直线
cα内的直线都与α相交
D直线a与平面α有共点
【解析】选Da不平行于平面α，则有直线a在平面α内和直线a与平面α相交两种位置关系，若a α，则α内的所有直线与a 共平面，平面内有无数条直线平行于a，故A，B，c均不正确3过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线为a，b，c，…，则这些交线的位置关系为( )
A都平行
B都相交且一定交于同一点
c都相交但不一定交于同一点
D都平行或交于同一点
【解析】选D因为l α，所以l∥α或l∩α=A，若l∥α，则由线面平行性质定理可知，l∥a，l∥b，l∥c，…，所以由理4可知，。

【优质文档】2.2直线、平面平行的判定及其性质第3课时课堂练习及答案.

§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.3直线与平面平行的性质一、基础过关1．a，b是两条异面直线，P是空间一点，过P作平面与a，b都平行，这样的平面() A．只有一个B．至多有两个C．不一定有D．有无数个2. 如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为()A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMNC．AC＝BD D．异面直线PM与BD所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行和异面4．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线() A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有5．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝a3，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.7. ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.8. 如图所示，三棱锥A—BCD被一平面所截，截面为平行四边形EFGH.求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.参考答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②?③(或①③?②) 6.223a7．证明如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH.∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点，∴AP ∥OM.根据直线和平面平行的判定定理，则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP ∥GH.8．证明∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥GH.又GH?平面BCD ，EF ?平面BCD.∴EF ∥平面BCD.而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ?平面ACD ，∴EF ∥CD.而EF?平面EFGH ，CD ?平面EFGH ，∴CD ∥平面EFGH .9．A 10.平行四边形11．m ∶n12．(1)证明因为BC ∥AD ，AD?平面PAD ，BC ?平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC?平面PBC ，所以BC ∥l.(2)解MN ∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD 中点E.连接EN 、AE.又∵N为PC中点，∴EN綊12 AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE?平面P AD，MN?平面P AD，∴MN∥平面PAD.13．证明连接A1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D?平面AC1D，BD1?平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.。

2021年高中数学 2.2.3 直线与平面平行的性质课时练新人教A版必修2

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2021年高中数学 2.2.3 直线与平面平行的性质课时练新人教A 版必修2
一、选择题:
1. 表示直线，表示平面，可以确定的条件是（）.
A. B.
C. D. 的夹角相等
2.已知直线，为平面内任一直线，则直线与直线的位置关系是（）
A ．平行
B ．异面
C ．相交
D ．平行或异面
3．梯形中，，，，则直线与平面内的直线的位置关系是（）
A ．平行
B ．平行或异面
C ．平行或相交
D ．相交或异面
4.已知如下图（左），直线是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，则下列结论错误的是（）
A. B. C ． D.
二、填空题:
5．若直线均平行于平面，则直线的位置关系是____________________.
6.已知如上图（右），正方体的棱长为1，点是面的中心，点是面的对角线上一点，且，则线段的长为__________.
三、解答题：
7.如图,空间四边形被一个平面所截,截面是平行四边形.
求证:
8.如图，空间四边形的对棱、成的角，且，平行于与的截面分别交、、、于、、、．
（１）求证：四边形为平行四边形；（２）在的何处时截面的面积最大？最大面积是多少？
9.如图，在所在平面外有一点P ，D、E 分别是PB与AB上的点,过D, E 作平面平行于BC ，试画出这个平面与其它各面的交线，并说明画法的依据.
10. 如图，在四棱锥中，是平行四边形，，分别是，的中点．
求证：平面． 26157 662D 昭22863 594F 奏H{24371 5F33 弳22139 567B 噻
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课时作业12：2.2.3 直线与平面平行的性质

2.2.3直线与平面平行的性质一、选择题1．如图，已知S为四边形ABCD外一点，点G，H分别为SB，BD上的点，若GH∥平面SCD，则()A．GH∥SAB．GH∥SDC．GH∥SCD．以上均有可能考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 B解析因为GH∥平面SCD，GH⊂平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，显然GH与SA，SC均不平行，故选B.2．直线a∥平面α，P∈α，过点P平行于a的直线()A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在α内考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由线面平行性质定理知过点P平行于a的直线只有一条，且在平面α内，故选C. 3．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由线面平行的性质定理知C正确．4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于点G，H，则GH与AB的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 A解析由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD ＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.5．在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，当BD∥平面EFGH时，下面结论正确的是()A．E，F，G，H一定是各边的中点B．G，H一定是CD，DA的中点C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GCD．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 D解析由于BD∥平面EFGH，所以有BD∥EH，BD∥FG，则AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC ＝DG∶GC.6．已知正方体AC1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为()A.22B.32C ．1D. 2考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案 A解析如图，连接AD 1，AB 1，∵PQ ∥平面AA 1B 1B ，平面AB 1D 1∩平面AA 1B 1B ＝AB 1， PQ ⊂平面AB 1D 1，∴PQ ∥AB 1， ∴PQ ＝12AB 1＝1212＋12＝22.7.如图，四棱锥S －ABCD 的所有的棱长都等于2，点E 是SA 的中点，过C ，D ，E 三点的平面与SB 交于点F ，则四边形DEFC 的周长为( )A ．2＋3B ．3＋ 3C ．3＋23D ．2＋2 3考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案 C解析 ∵CD ∥AB ，CD ⊄平面SAB ，AB ⊂平面SAB ， ∴CD ∥平面SAB .又平面CDEF ∩平面SAB ＝EF ，∴CD ∥EF ，又CD ∥AB ，∴AB ∥EF .∵SE ＝EA ，∴EF 为△ABS 的中位线， ∴EF ＝12AB ＝1，又DE ＝CF ＝3，∴四边形DEFC 的周长为3＋2 3.二、填空题8.如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M ，N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案223a 解析 ∵MN ∥平面AC ，平面PMN ∩平面AC ＝PQ ， ∴MN ∥PQ ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a3.9．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线有_____条．考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 0或1解析过直线a 与交点作平面β，设平面β与α交于直线b ，则a ∥b ，若所给n 条直线中有1条是与b 重合的，则此直线与直线a 平行，若没有与b 重合的，则与直线a 平行的直线有0条．10. 如图，已知A ，B ，C ，D 四点不共面，且AB ∥α，CD ∥α，AC ∩α＝E ，AD ∩α＝F ，BD ∩α＝H ，BC ∩α＝G ，则四边形EFHG 的形状是______．考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案平行四边形解析∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB.同理FH∥AB，∴EG∥FH.又CD∥α，平面BCD∩α＝GH，∴GH∥CD.同理EF∥CD，∴GH∥EF，∴四边形EFHG是平行四边形．11．如图所示的正方体的棱长为4，点E，F分别为A1D1，AA1的中点，则过C1，E，F的截面的周长为________．考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案45＋6 2解析由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝45＋6 2.三、解答题12．如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP 于点F，求证：四边形BCFE是梯形．考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD.∵AD⊂平面P AD，BC⊄平面P AD，∴BC∥平面P AD.∵平面BCFE∩平面P AD＝EF，∴BC∥EF.∵AD＝BC，AD≠EF，∴BC≠EF，∴四边形BCEF是梯形．13.如图，已知E ，F 分别是菱形ABCD 中边BC ，CD 的中点，EF 与AC 交于点O ，点P 在平面ABCD 之外，M 是线段P A 上一动点，若PC ∥平面MEF ，试求PM ∶MA 的值．考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算解如图，连接BD 交AC 于点O 1，连接OM .因为PC ∥平面MEF ，平面P AC ∩平面MEF ＝OM ，PC ⊂平面P AC ，所以PC ∥OM ，所以PM P A ＝OCAC.在菱形ABCD 中，因为E ，F 分别是边BC ，CD 的中点，所以OC O 1C ＝12.又AO 1＝CO 1，所以PM P A ＝OC AC ＝14，故PM ∶MA ＝1∶3.四、探究与拓展14.如图，在四面体ABCD 中，截面PQMN 是正方形，则下列命题中错误的是( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMN C ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45° 考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案 C解析由题意知PQ ∥AC ，QM ∥BD ，PQ ⊥QM ，则AC ⊥BD ，故A 正确；由PQ ∥AC 可得AC ∥截面PQMN ，故B 正确；异面直线PM 与BD 所成的角等于PM 与PN 所成的角，故D 正确；C 是错误的，故选C.15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，若MB ∥平面AEF ，试判断点M 在何位置．考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题解若MB ∥平面AEF ，过F ，B ，M 作平面FBMN 交AE 于点N ，连接MN ，NF .因为BF ∥平面AA 1C 1C ， BF ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AA 1C 1C ＝MN ，所以BF ∥MN .又MB ∥平面AEF ，MB ⊂平面FBMN ，平面FBMN ∩平面AEF ＝FN ，所以MB ∥FN ，所以BFNM 是平行四边形，所以MN ∥BF ，MN ＝BF ＝1. 而EC ∥FB ，EC ＝2FB ＝2，所以MN ∥EC ，MN ＝12EC ＝1，故MN 是△ACE 的中位线．所以当M 是AC 的中点时， MB ∥平面AEF .。

高一数学人教A版必修2同步课时作业2.2.3直线与平面平行的性质(有答案)

高一数学人教A 版必修2同步课时作业2.2.3直线与平面平行的性质一、选择题1.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2, E 是棱AB 的中点, F 是侧面11AA D D 内一点,若平面 ,则//EF 平面11BB D D 则EF 长度的范围为( )A. 2,3⎡⎤⎣⎦B. 2,5⎡⎤⎣⎦C. 2,6⎡⎤⎣⎦D. 2,7⎡⎤⎣⎦2.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是棱1,,AB BC CC 的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形1PBB 的面积的最小值为( )A B ．1 C D ．23.如图 , P 是ABC △所在平面外一点, ,,E F G 分别在,,AB BC PC 上,且 2PG GC =,//AC 平面 EFG ,//PB 平面EFG ,则AEEB=( )A.12B.1C.32D.24.如果直线//a 平面α,那么直线a 与平面α内的( ) A.—条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线都不相交5.已知在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点D 为11B C 的中点，若在棱AB 上存在一点P ，使得1//B P 平面ACD ，则1B P 的长度为（）A.2B.6C.3D.56.直线//a 平面α,α内有n 条直线交于一点,那么这n 条直线中与直线a 平行的( ) A.至少有一条 B.至多有一条 C.有且只有一条 D.没有7.设,?a b 是两条直线, ,αβ是两个平面,若//,,a a b αβαβ⊂⋂=,则平面α内与 b 相交的直线与a 的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面 8.已知直线//a 平面α,直线b ⊂平面α,则( ) A.//a bB.a 与b 异面C.a 与b 相交D.a 与b 无公共点二、填空题9.长方体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是正方形,其侧面展开图是边长为8的正方形. ,E F 分别是侧棱11,AA CC 上的动点, 8AC CF +=.点P 在棱1AA 上,且2AP =,若//EF 平面PBD ,则CF =__________.10.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，E 为棱1CC 的中点，点M 在正方形11BCC B 内运动，且直线//AM 平面1A DE ，则动点M 的轨迹长度为____________．11.如图所示,直线//a 平面α,点A ∉平面α,并且直线a 和点A 位于平面α两侧,点,,,,,B C D a AB AC AD ∈分别交平面α于点,,E F G ,若4, 4,5BD CF AF ===,则 EG =___________.三、解答题12.如图所示,四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是正方形,点M 是棱PC 的中点.记平面ADM 与平面PBC 的交线是l ,试判断直线l 与BC 的位置关系,并加以证明.参考答案1.答案：C解析：如图所示：分别取棱1111,,A B A D AB 的中点,,P M N ,则平面F 与平面11DBB D 平行,因为//EF 平面11BB D D ,F 是侧面11AA D D 内一点, 所以F 点在MN 上运动,可知当F 与N 重合时, EF 取最小值,因为该正方体的棱长为2,∴EF EN =当F 与M 重合时, EF 取得最大值,此时EF EM ==所以EF 长度的范围为．2.答案：C解析：平面EFG 截正方体的截面为EFGHIJ ，如下图所示，因为直线1D P 与平面EFG 不存在公共点，所以，1//D P 平面EFGHIJ ，易证：平面1//ACD 平面EFGHIJ ，三角形1PBB 的面积S ＝112PB BB ⨯⨯，1BB 的长度为2，是一定值，所以，当PB 最短时，S 最小，显然当P 与AC 中点O 重合时，PB 最短，三角形1PBB 的面积的最小值为122S ==3.答案：A解析：因为//AC 平面EFG ，AC ⊂平面ABC ，平面ABC 平面EFG EF =，所以//AC EF ，所以AE CFEB FB=.因为//PB 平面EFG ，PB ⊂平面PBC ，平面PBC 平面EFG GF =，所以//PB GF ，所以CF CG FB GP =.又2PG GC =，所以12CG GP =，所以12AE EB =. 4.答案：D解析：根据线面平行的定义可知直线与平面无交点， ∵直线//a 平面α,∴直线a 与平面α没有公共点，从而直线a 与平面α内任意一条直线都没有公共点，即不相交，故选D. 5.答案：D解析：如图，设点P 为AB 的中点，取11A B 的中点Q ，连接,AQ DQ ，则1//B P AQ , 又AQ ⊂平面AQD ,所以1//B P 平面AQD ,易知//AC DQ ，故平面AQD 与平面ACD 是同一个平面，所以1//B P 平面ACD ，此时1B P = D.6.答案：B解析：设这n 条直线的交点为P ,则点P 不在直线a 上,那么直线a 和点P 确定一个平面β,则点P 既在平面α内又在平面β内,则平面α与平面β相交.设交线为直线b ,则直线 b 过点P . 又直线//a 平面α,a ⊂平面β,平面α⋂平面b β=,则//a b 很明显这样作出的直线 b 有且只有一条,那么直线 b 可能在这n 条直线中,也可能不在,即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多一条. 7.答案：C解析：∵//,,a a b αβαβ⊂⋂= ∴//a b .∴平面α内与 b 相交的直线与a 异面. 8.答案：D 解析： 9.答案：2解析：连接AC 交BD 于点 O ,连接PO , 因为//EF 平面PBD ,EF ⊂平面EACF , 平面EACF ⋂平面PBD PO =,所以//EF PO .在1PA 上截取2PQ AP ==,连接QC ,则//QC PO ,所以//EF QC ,所以四边形EFCQ 为平行四边形, 则CF EQ =.又18,8AE CF AE A E +=+=, 所以11122A E CF EQ AQ ====. 故2CF =.10.答案：解析：设平面1DA E 与直线11B C 交于点F ，连接EF ，则F 为11B C 的中点．分别取1B B 、BC 的中点N 、O ，连接AN 、ON 、AO ，则∵1//A F AO ，//AN DE ，1A F ，DE ⊂平面1A DE ，AO ，AN ⊂平面ANO ， ∴1//A F 平面ANO ．同理可得//DE 平面ANO ，∵1A F 、DE 是平面1A DE 内相交直线，∴平面1//A DE 平面ANO ，所以//NO 平面1A DE ，∴M 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段是线段NO ，∴M 的轨迹被正方形11BCC B 截得的线段长NO =11.答案：209解析：由于点A 不在直线a 上，设点A 与直线a 确定一个平面β,则EG αβ=.由//a 平面α，得//EG a ，所以EG AFBD AC=，故5420549AF EG BD AC ⨯=⋅==+. 12.答案：//l BC解析：直线 //l BC .证明如下： ∵在正方形ABCD 中，//AD BC ， AD ⊄平面,PBC CB ⊂平面PBC ，∴//AD 平面PBC . 又平面ADM平面PBC l =，AD ⊂平面ADM ，∴////AD l BC .(如图，由点M 是棱PC 的中点，取PB 的中点N ，则MN 就是交线l )。

课时作业7：2.2.3直线与平面平行的性质

2.2.3 直线与平面平行的性质
一、选择题．
1．若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )
A ．α内的所有直线都与直线a 异面
B ．α内不存在与a 平行的直线
C ．α内的直线都与a 相交
D ．直线a 与平面α有公共点
2．直线a ∥平面α，P ∈α，过点P 平行于α的直线( )
A ．只有一条，不在平面α内
B ．有无数条，不一定在α内
C ．只有一条，且在平面α内
D ．有无数条，一定在α内
3．下列判断正确的是( )
A ．a ∥α，b
α，则a ∥b B ．a ∩α＝P ，b
α，则a 与b 不平行 C ．a α，则a ∥α
D ．a ∥α，b ∥α,则a ∥b
二、填空题．
4、过平面外一点作一平面的平行线有条．
5、若直线a ，b 都平行于平面α，那么a 与b 的位置关系是．
三、解答题．
6、三个平面两两相交有三条交线，如果其中两条交线平行，则第三条交线也和它们分别平行．
α
β
γ
a b c
参考答案
一、1、D 2、C 3、B 二、4、无数条
5、平行相交异面三、
6、证明：已知,,a c b αβαγβγ⋂=⋂=⋂=，不妨设a //b, ∵b βγ⋂=
,
同理可求证b //c. ∴a //b //c。