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傅里叶变换形式的菲涅耳衍射公式
观察平面上的复振幅分布正比于 叶变换，观察平面上光场的函数分布随着增大会发生变化。 ----沿轴亮暗交替
⎡ jk 2 2 ⎤ U ( x0 , y0 ) exp ⎢ ( x0 + y0 ) ⎥ 的傅里 ⎣ 2z ⎦
菲涅耳衍射—菲涅耳衍射与傅里叶变换的关系
会聚球面波照明的情况
Step(x) 1 0 x 与符号函数关系:
Sgn(x)=2 Step (x)-1
用途：开关；无穷大半平面屏
圆柱（域）函数（ Circular Function ）
⎛ x2 + y 2 circ ⎜ ⎜ a ⎝ ⎛ r ⎞ ⎧1 circ ⎜ ⎟ = ⎨ ⎝ a ⎠ ⎩0 ⎞ ⎧1 ⎪ ⎟=⎨ ⎟ ⎪0 ⎠ ⎩ r≤a r>a x2 + y2 ≤ a 其它
1. 画出 二个 rect(τ) 2. 将rect(τ)折叠后不变; 3. 将一个rect(-τ)移位至给定的x, rect[-(τ -x)]= rect(τ - x); 4. 二者相乘;乘积曲线下 面积的值 即为g(x).
-1/2
τ
0 1/2 x-1/2 x x+1/2
1 -1 0
g(x) x 1
g( x , y ) = F
−1
{G (ξ ,η )}
求输入函数与脉冲响应函数两者各自频谱密度的乘积， 再对该乘积取逆傅里叶变换求得输出函数。
线性系统分析－线性不变系统的传递函数
G (ξ ,η ) H (ξ ,η ) = F (ξ ,η )
线性平移不变系统的 传递函数 表征系统对输入函数中不同频率的基元成分的传递能力； 其模改变输入函数各种频率基元成分的模； 其辐角改变基元成分的初位相； 输出函数中所有基元成分的线性叠加即合成输出函数。
矩形函数
x − x0 rect ( ) a
y
x − x0 y − y0 rect ( ) rect ( ) a b
y
x0
a b y0
0
x0 a
x
0
a
Sinc 函数
⎛ x − x0 ⎞ sin π ( x − x0 ) / a 标准型：sin c ⎜ ⎟= π ( x − x0 ) / a ⎝ a ⎠
相 关 运 算（correlation）
2. 自相关 auto-correlation
rff ( x) = f ( x)★f ( x) = ∫ f (ξ ) f * (ξ − x)dξ
−∞
+∞
互相关在两函数有相似性时出现峰值， 自相关则在位移到重叠时出现极大值
线性系统分析－线性平移不变系统
Linear Shift-Invariant System
第一章
线性系统分析
一、几个常用的非初等函数 1.矩形函数（Rectangle function）
⎧ x − x0 1 1 ⎧ x − x0 ≤ ⎪1, x ≤ ⎪1, , 标准型 : rect ( )=⎨ rect ( x ) = ⎨ 2 a 2 a ⎪0, 其它 ⎪0, 其它 ⎩ ⎩
特点: rect(0)=1, 矩形宽度=1，矩形面积=1, 偶函数 用途：快门; 单缝, 矩孔,区域限定
= f ( x , y ) ∗ h( x , y )
通过输入函数与脉冲响函数的卷积求得输出函数
f ( x, y) 空域 g ( x , y ) h( x , y )
傅里叶变换
F (ξ ,η ) G (ξ ,η ) 频域 H (ξ ,η )
频域：
G (ξ ,η ) = F (ξ ,η ) H (ξ ,η )
任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置
f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生 f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.
a b a
=
a
*
b
相 关 运 算（correlation）
1. 互相关 cross correlation
rfg ( x) = f ( x)★ g ( x) = ∫ f * (ξ ) g ( x + ξ )dξ
叠 加 积 分
g( x , y ) = ∫
+∞
−∞
∫
f (α , β )h( x − α , y − β )dα d β
= f ( x , y ) ∗ h( x , y )
线性系统分析－线性不变系统的传递函数
空域：
g( x , y ) = ∫
+∞ −∞
∫
f (α , β )h( x − α , y − β )dα d β
sinc(x) 1 -1 0 1 x x0 -a+x0 1 a+x0 x
特点: 最大值 sinc(0)=1；lim sinc(x)=0
x→±∝
曲线下面积 S=1； 0点位置 x=±n (n=1, 2, 3…)等间隔； 偶函数
Sinc 函数
二维sinc函数:
sinc(x)sinc(y)
Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数; 单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数
−∞
∫ ∫ f ( x, y) exp {− j 2π (ξ x + η y)}dxdy
+∞
−∞
∫ ∫ F (ξ ,η ) exp { j 2π (ξ x + η y)}dξ dη
把非周期函数分解为复指数函数 在整个连续频率区间上的积分和
原函数
缝函数
⎧ x rect ( ) = ⎨ a ⎩0
1
频谱函数
∞
∫ ∫ t ( x , y ) exp ⎡ − j 2π (ξ x ⎣
三角形函数
⎧ x − x0 ⎧1 − x , x ≤ 1 x − x0 , ⎪1 − 原型 : tri( x) = ⎨ , 标准型 : tri( )=⎨ a a 其它 ⎩ 0, ⎪ 0, ⎩ x − x0 ≤1 a 其它
tri(x) -1 0
1 1 x
1 -a+x0 x0 x a+x0
底宽: 2 最大值：tri(0)=1 曲线下面积: S=1
底宽:2|a|, 面积: S= |a|
又写成：Λ(x)
符号函数（ Signum ）
⎧1 ⎪ sgn( x) = ⎨ 0 ⎪−1 ⎩
Sgn(x) 1 0 -1 x
x>0 x=0 x<0
用途：代表“
π ”相移器、反相器
阶跃函数（ Step Function ）
⎧ 1 ⎪ step ( x) = ⎨1 2 ⎪ 0 ⎩ x>0 x=0 x<0
⎡ k ⎤ exp ( jkz ) exp ⎢ j ( x 2 + y 2 ) ⎥ jλ z ⎣ 2z ⎦ 1
⎡ jk 2 ⎡ − j 2π ⎤ 2 ⎤ U ( x0 , y0 ) exp ⎢ ( x0 + y0 ) ⎥ exp ⎢ ( xx0 + yy0 ) ⎥ dx0dy0 ∫ ⎣ 2z ⎦ ⎣ λz ⎦ −∞ ⎧ ⎡ jk ⎤ ⎡ jk 2 2 ⎤⎫ exp ( jkz ) exp ⎢ ( x 2 + y 2 ) ⎥ × ℑ ⎨U ( x0 , y0 ) exp ⎢ ( x0 + y0 ) ⎥ ⎬ jλ z ⎣ 2z ⎦ ⎣ 2z ⎦⎭ ⎩ 1
则 输出函数： 本征函数
g( x , y ) = ∫
+∞
−∞
∫ exp[ j 2π (ξα + ηβ )]h( x − α , y − β )dα d β
= H (ξ ,η )exp[ j 2π (ξ x + η y )]
菲涅耳衍射—菲涅耳衍射与傅里叶变换的关系
一般情况
U ( x, y ) = 1 jλ z exp ( jkz ) ∫
筛选性质
∫
∞
−∞
f ( x)δ ( x − x0 )dx = f ( x0 )
δ函数是偶函数 δ (− x) = δ ( x)
比例变换性质
1 δ (ax) = δ ( x) a
梳状函数（Comb Function）
二维傅里叶变换
1.傅里叶变换
正变换
F ( ξ ,η ) =
+∞
逆变换
f ( x, y ) =
2
2 2 ⎫ ⎧ k U ( x0 , y0 ) exp ⎨ j ⎡ ( x − x0 ) + ( y − y0 ) ⎤ ⎬ dx0 dy0 ∫ ⎦⎭ ⎩ 2z ⎣ −∞ ∞
( x − x0 ) + ( y − y0 )
U ( x, y ) = ×∫ =
∞
2
2 2 = x 2 + y 2 + x0 + y0 − 2 ( xx0 + yy0 )
⎡ a0 X2 +Y2 ⎤ ⎡ k 2 2 ⎤ U ( x, y) = exp ( jkz ) exp ⎢ j ( x + y ) ⎥ exp ⎢ − jk ⎥⋅ 2 jλ z 2z ⎦ ⎣ 2z ⎦ ⎣ ⎡ y − Y ⎞⎤ ⎛ x− X t ( x0 , y0 ) exp ⎢ − j 2π ⎜ x0 + y dx dy ∫ −∞ ∫ λz λ z 0 ⎟⎥ 0 0 ⎝ ⎠⎦ ⎣ ⎛ ⎛ a0 x2 + y2 ⎞ X2 +Y2 ⎞ exp( jkz )exp ⎜ jk = ⎟ exp ⎜ − jk ⎟⋅ jλ z 2 2z ⎠ 2z ⎠ ⎝ ⎝
a 2 a x > 2 x<
asinc( πaf )
absinc(πaf x )sinc(πbf x )
aJ1 ( 2πa f x + f y )