极坐标系及其与直角坐标系的互换

§1.3.1极坐标系

教学目标:

一、知识与技能：

知道在极坐标系中刻画点的位置的方法；

二、方法与过程

借助生活中的实例引入极坐标的概念；比较点在极坐标系和平面直角坐标系中的坐标关系

三、情感、态度与价值观

体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别；

教学重点:极坐标（ρ，θ）与平面上的点的关系

教学难点：极坐标（ρ，θ）与平面上的点的关系；

教学过程

一、新课引入：

直角坐标系是最常用的坐标系，但它不是用数来刻画点的位置的唯一方法，用哪种方法最方便，要对具体问题作具体分析。

如力所示，缉私观测站位于点O处，看到们于点A处的走私船正在逃跑，现停泊于点O处的缉私船追击走私船，随时需要观测站提供走私船所在的位置P。对船舶来说，最方便的数据不是走私船所在点的直角坐标（x，y），而是它的方位角，即夹角θ。在航空和航海中的情况都是这样。

当用炮兵指挥仪指示射击目标时，输出的是目标方位，即方向和距离。在日常生活中，我们也经常用距离和角度指示位置。用距离和方向刻画点的位置，这是建立极坐标系的基本思路。

二、讲解新课：

在平面内取定一点O ，O 点叫作极点：从O 起引一条射线O x ，这条从极点起的射线O x 叫作极轴；选定长度单位，再选定角度的下方向（逆时针转角为正向），这种取定了极点、极轴、长度单位与角度正向的坐标系叫作极坐标系。

对于平面上的一个点M ，连接极点O 与M ，线段OM 之长ρ叫作M 点的极径（或矢径、或向径），极轴O x 为始边按逆时针转到OM 的角θ叫作M 点的极角，有序数对（ρ，θ）叫作M 点的极坐标。

当M 在极点时，它的极径ρ=0，极角θ可取任何实数。

在极坐标系中，若无特殊声明，ρ是非负实数，[)+∞∈,0ρ，),(+∞-∞∈θ。 当[)πθρ2,0,0∈>时，平面上的点与极坐标一一对应。事实上，对给定的ρ与θ，由极坐标（ρ，θ）可以唯一地确定一个点M ，但是反过来，平面上给定一点，却可以写出这个点的无数多个极坐标。根据点的极坐标（ρ，θ）的定义，对于给定的点，它的极径ρ是唯一确定的，但极角却可以有无穷多种，如果我们写出了它的极坐标（ρ，θ），则（ρ，πθn 2+）也是这个点的

极坐标，其中n 是任意整数，当0>n 时，πθn 2+表示从该点起绕极点O 逆时针转动了n 圈又回到原处，当0

πθn 2+表示从该点起绕极点O 顺时针转动了n 圈又回到原

处。

三、范例讲解

例1、在极坐标系中，画出点A （1，

4

π

），B （2，23π）C （3，

4π-

）D （4，4

9π

） 解析：在极坐标系中，先按极角找到极径所在的射线，即

4

π

线，23π线，4π-线，

49π线，4

π

线和49π线是同一条射线，然后在相应的射线上按极径的数值描点。

指出：我们也可以允许0<ρ，此时极坐标（ρ，θ）对应的点M 的位

置按下面规则确定：点M 在与极轴成θ角的射线的反向延长线上，它到极为O 的距离|ρ|，即规定当0<ρ时，点M （ρ，θ）就是点M （πθρ+-,）

例2、如图在极坐标系中，写出点A ，B ，C ，的极坐标，

解析：在极坐标系中，一般先按点与极点的距离求出极径的数值，然后按照极径所在的射线的位置求出极角。如图点A 与极点O 的距离为了，且在极轴上，所以A 的极坐标为（1，0），同样可求得B ，C 的极坐标分别为（4，

2

π

），（5，34π）

指出：已知点的位置求极坐标时，如果没有特殊要求，只要求一个解就可以了，由于点的极坐标的多值性，在需要写出通式的时候，求出一个解（ρ，θ）后，再写出其通式（ρ，πθn 2+）或（πθρ)12(,++-n ）

例3、已知点Q （ρ，θ），分别按下列条件求出点P 的极坐标。 （1）M 是点Q 关于极点的对称点：（2）N 是点Q 关于直线2

π

θ=

的对称点

解：（1）由于M 、Q 关于极点对称得它们的极径OQ=OM ，极角角相差π)12(+n ，所以点M 的极坐标为（ρ，πθ)12(++n ）或（πθρn 2,+-）（Z n ∈）

（2）由于点Q 、N 关于直线2

π

θ=

的对称，得它们的极径OQ=ON ，点N 的极角

满足πθπn 2+-所以点N 的极坐标为（ρ，πθπn 2+-） 或（θπρ--n 2,）（Z n ∈） 例4、已知两点的极坐标A （3，

2π），B （3，6

π

）， 求AB 两点间的距离；AB 与极轴正方向所成的角。

解法一：根据极坐标的定义，可得|OA|=|OB|=3，∠AOB=3

π

，

即△AOB 为等边三角形，所以|AB|=3，∠ACX=65π

法二：∵A 、B 两点的极坐标分别为（3，2π），（3，6

π

），

∴|OA|=|OB|=3，∠AOC=2π，∠BOC=6π

了 ∴∠AOB=3

π，

在△AOB 中，由余弦定理可得

AOB OB OA OB OA AB ∠-+=cos ||||2||||||22

=3

cos

332332

2

π

⋅⋅⋅-+=3

即△AOB 为等边三角形，∠ACX=∠AOC+∠OAB=

6

5π

四、巩固练习：

1、已知两点的极坐标P （5，

45π），Q （1，4π），求线段PQ 的长度 2、已知点A 的极坐标（6，3

5π

）分别写出给定条件下点A 的极坐标

①若πθπρ≤<->,0；则A ②若πθρ20,0<≤<，则A ③若02,0≤<-<θπρ，则A

五、小结，，则

1、要注意直角坐标与极坐标的区别，直角坐标系中平面上的点与有序数对（x ，y

）