2.4.2解直角三角形
(完整版)解直角三角形总结
解直角三角形总结解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联系,是在深入研究几何图形性质的基础上,根据已知条件，计算直角三角形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。
1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的.因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是解直角三角形的基础。
如图1,在Rt△ABC中，∠C＝90°，设三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c（以下字母同），则解直角三角形的主要依据是（1）边角之间的关系:sinA＝cosB＝ac， cosA＝sinB＝bc,tanA＝cotB＝ab，cotA＝tanB＝ba。
（2）两锐角之间的关系：A＋B＝90°。
(3）三条边之间的关系：。
以上每个边角关系式都可看作方程,解直角三角形的思路，就是根据已知条件,正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来求解。
2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直角三角形,而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角三角形呢？事实上,解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系，因为已知两个元素（至少有一个是边）可以判定直角三角形全等，也可以作出直角三角形,即此时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是可解的。
由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相似的直角三角形，因此求不出各边的长。
所以，要解直角三角形，给出的除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。
这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。
四种基本类型和解法列表如下：已知条件解法一边及一锐角直角边a及锐角A B＝90°-A，b＝a·tanA，c=sinaA斜边c及锐角A B＝90°—A，a＝c·sinA，b＝c·cosA两边两条直角边a和b ，B＝90°—A,直角边a和斜边c sinA=ac，B＝90°-A，例1、如图2，若图中所有的三角形都是直角三角形，且∠A＝α，AE＝1,求AB的长。
2.4.2解直角三角形
课堂小结：
C C
D
A D B A B E
（1）当锐角三角形时，选择一边作高 （2）当钝角三角形时，可内部作高或外部作高 注意：通常过非特殊点作高
（六）当堂达标
1、如图，在ΔABC 中， ∠C=45°，AB= 那么BC的长等于________.
5 , AC=2,
2、等腰三角形的顶角是120°，底边上的高为10cm, 则此三角形的周长是______ ,面积是 __________。
B
c a b
A
C
黄岗中学 孙道宏
温故知新
1.什么叫做解直角三角形？ （1）角之间的关系： ∠A ＋ ∠B = 90 °； （2）边之间的关系： a2＋b2＝c2 ; b a a （3）角与边之间的关系：sinA= ， cosA= tanA= ， c b
c
2. 如果知道直角三角形的几个元素就可以求其他的元素？ 有几种情况？
两个元素(至少一个是边) 两条边或一边一角
情境导入
有一块三角形的土地，已知∠A=150°， AB=20m,AC=30m,求三角形土地的面积 D ？
20 150
A 30
15 30
B
D
C
学习目标
通过添加辅助线（作三角形一边上的高）， 把解非直角三角形的问题转化为解 直角三角形的问题。
合作探究、交流展示
例3.如图,在△ABC中,已知∠A﹦60°, ∠B﹦45°,AC﹦20,求AB 的长.
解： 过点C作CD AB, 垂足为点D AD 0 ABC cos 60△ 不是直角三角形， 怎么办？ 20 1 0 20 10 AD 20 COS 60 2
sin 60 0 CD 20
E
解直角三角形的基本类型及解法
解直角三角形的基本类型及解法解直角三角形是初中数学中的重要内容之一，也是后续高中数学和物理学的基础。
解直角三角形的基本类型及解法是学习这一内容的关键。
下面将为大家介绍关于“解直角三角形的基本类型及解法”的相关内容。
一、基本类型1. 已知两边求斜边在直角三角形中，如果已知其中两条边的长度，那么通过勾股定理可以求出第三条边（即斜边）的长度。
勾股定理是一种用勾股定理求斜边的基本方法，即a²+b²=c²。
其中a、b分别为直角三角形的两个直角边，c为斜边的长度。
2. 已知斜边求直角边如果已知斜边和另一条直角边的长度，那么可以使用直角三角形定理来求出另外一条直角边的长度。
这个定理是勾股定理的一个特例，即c²=a²+b²。
其中c为斜边的长度，a、b为直角三角形的两条直角边的长度。
3. 已知三角形内角求其它角的大小在直角三角形中，根据三角形内角的和为180°，其中一个直角角度已知，另外一个角度可以用90°来计算，从而可以求出第三个角度的值。
因为在直角三角形中，除直角外的另外两个内角一定是锐角或钝角，所以得到的答案只能是其中一个锐角或一个钝角的大小。
二、解法1. 勾股定理解法勾股定理是解直角三角形的基本公式，在题目中如果已知两条边中的任何一条边和直角，则可以使用勾股定理求出第三边的长度。
此方法适用于已知两个边长，求第三条边长的情况。
2. 直角三角形定理解法在已知直角和一条直角边的情况下，可以利用直角三角形定理来确定另外一个边的长度。
在这种情况下，直角三角形定理c²=a²+b²可以用来求解问题。
如果仅知道斜边和其中一个直角边，则可以利用直角三角形定理求解另一个直角边的长度。
3. 正弦定理及余弦定理解法在某些情况下，可能需要求解一个已知的直角三角形内的其它角度，此时可以使用正弦定理或余弦定理。
正弦定理是指sinA/a=sinB/b=sinC/c，其中A、B、C为任意三角形的角度，a、b、c为对应边的长度。
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料2.4.2解直角三角形(2)非直角三角形
初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料
课题：解直角三角形（2）
【学习目标】
1.阅读课本，掌握通过添加辅助线，将非直角三角形问题转化为直角三角形问题来解的方法，说出转化思想的应用；
2.根据草图求解三角形花坛的边长，发展数学抽象素养；
3.与同学分享交流解三角形的过程及收获。
【学习任务】
借助解直角三角形的方法，根据给出的草图求出花坛的未知边长。
【学法指导】
先精读教材P51—P52，用红色笔进行勾画,总结如何添加辅助线来解非直角三角形，完成导学案的问题。
【情境问题】
潍坊美加实验学校在暑假整修时准备建设一块锐角三角形的花坛，设计草图如下：在△ABC中，已知∠A = 60°，∠B = 45°，花坛的一边AC是20米，求花坛另一边AB的长度。
【思考】
1.△ABC不是直角三角形，那如何来解此类问题？
【小结】
对于非直角三角形，一般用__________________的方法将其转化为_________________来解答。
【知识延伸】
1.在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AD⊥BC，垂足为D，∠B = 60°，AD = 3，求BC的长。
2.在等腰三角形ABC中，AB=AC，且一腰长与底边的比是5：8，求sin B ,cosB 的值。
3.由于保管不慎，小明把一道数学题染上了污渍，变成了“如图所示，在△ABC 中，∠A = 30°，，AC = 4 3，求AB的长。
”小明翻看答案后
显示AB=10，你能帮助小明通过计算说明污渍部分的内容吗？。
解直角三角形题型的解法
解直角三角形题型的解法
直角三角形是一个非常基础的三角形，但在初中数学中却是一
个非常重要的知识点。
解直角三角形问题并不难，下面我将分享几
种解法。
方法一：勾股定理
勾股定理是解直角三角形问题中最常用的方法，根据这个定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。
因此，我们可
以通过已知两条边求第三条边的长度。
例如，如果我们知道直角三
角形的一条直角边长为3，另一条直角边长为4，那么我们可以通
过勾股定理求得斜边长，即5。
方法二：正弦定理
正弦定理适用于已知一个角和两边，求另一边的长度。
正弦定
理公式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
其中a、b、c分别为三角形中
的边，A、B、C为对应的角度。
例如，如果我们已知三角形的一
个角度为30度，其对边长为5，且斜边长为10，那么我们可以通
过正弦定理求得该直角三角形的另一直角边长为5根3。
方法三：余弦定理
余弦定理适用于已知三角形的任意两边及它们之间夹角，求第三边长度的情况。
余弦定理公式为：c²=a²+b²-2ab*cosC。
其中c为求解的第三边长度，a、b为已知边的长度，C为它们之间的夹角。
例如，如果我们已知直角三角形的两个直角边长分别为3和4，夹角为90度，那么我们可以通过余弦定理求得斜边长，即5。
通过上述三种方法，我们可以解决绝大多数直角三角形问题。
当然，在应用定理时，我们需要确保我们有足够的信息来求解。
学好这些方法，相信解直角三角形问题将变得非常简单明了。
2.4.2解直角三角形(2)
2.4.2解直角三角形（2）学习目标：会用一条边和一个锐角解直角三角形。
学习过程：一、复习回顾：已知两边解直角三角形的方法。
二、自主探究（已知一条边和一个锐角解直角三角形） 1、已知一个锐角及斜边例1：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，c=6，∠A=45°，解这个直角三角形。
2、已知一个锐角及一条直角边例2：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=10，∠B=60°，解这个直角三角形。
跟踪练习：在Rt △ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形： （1）已知∠A=60°，b=4（2）已知a=13，c=√23（3）已知c=28√2，∠B=30°三、随堂小结1、总结已知一条边和一个锐角解直角三角形的方法。
2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）已知c ，∠A ，如何解直角三角形？（2）已知a ，∠A 呢？ （3）已知b ，∠A 呢？cbaCB Ac baCBA四、当堂检测1、如图1，A ，B 两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与A 同侧的河岸边选定一点C ，测出AC=a 米，∠A=90°，∠C=40°，则AB 等于（ ） A ．asin40°米 B ．acos40°米 C ．atan40°米 D ．atan40°米 2、有一棵树被风折断，折断部分与地面夹角为30°，树尖着地处与树根的距离是5√3m ，则原树高是 m 。
3、如图2，在△ABC 中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，P 是BC 边上的动点，则AP 的长不可能是（ ）A ．3.5B ．4.2C ．5.8D ．74、如图3，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AC⊥AB ，AD=CD ，cos ∠DCA=45，BC=10，求AB 的长。
解直角三角形的方法,步骤与应用
解直角三角形的方法,步骤与应用
几何学中最常见的形状之一是直角三角形，它的特点是一个锐角90度，三
条边均不等的三角形。
学习有关直角三角形的方法有助于理解和应用几何学。
一、如何确定一个三角形是直角三角形？
若要确定一个三角形是否为直角三角形，可以使用斜边-直角定理：如果一个
三角形的斜边的平方等于另外两边相加的平方，则此三角形正是直角三角形。
另外，我们可以使用勾股定理快速判断一个三角形是否为直角三角形，即两个直角边的平方等于对角边的平方。
二、如何确定一个直角三角形的高度？
要计算直角三角形的高度，可以使用直角三角形高度公式：高度=斜边×正弦
度数，其中斜边是三角形斜边的长度；正弦度数是三角形斜边相对应的角度，也就是直角相对应的角度。
三、直角三角形的应用
直角三角形在工程学、护理学、机械学、建筑学等领域都有广泛应用。
在工程学中，直角三角形可以用来计算坡度，从而实现控制俯仰角；在护理学中，直角三角形可以帮助计算肌肉拉伸时的牵力；在机械学中，直角三角形的绘制可以帮助机械工程师确定轴的夹角；在建筑学中，直角三角形可以帮助建筑师设计建筑物的外形和内部空间结构。
综上所述，学习有关直角三角形的方法有助于我们更好地理解几何学知识，并将其应用于各个领域。
解直角三角形的几种方法
解直角三角形的几种方法（二）引言：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。
解直角三角形是高中数学中的重要内容。
本文将介绍几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。
概述：解直角三角形主要涉及到三边的关系、三角函数的计算以及角度的计算。
在本文中，我们将详细讨论这些方法，并给出具体的解题步骤和例题，以帮助读者更好地理解和掌握解直角三角形的技巧。
正文内容：一、正弦定理1.推导正弦定理的原理与公式2.利用正弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明正弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析二、余弦定理1.推导余弦定理的原理与公式2.利用余弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明余弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析三、特殊三角函数值1.讨论特殊角度下正弦、余弦、正切的值2.借助特殊角度的数值计算直角三角形的边长和角度3.解析特殊角度下的直角三角形示例题4.探讨特殊角度对解直角三角形的影响5.实践中注意事项和常见错误分析四、特殊角度的计算方法1.利用标准角度和标准角度的三角函数值2.利用和差角公式计算特殊角度的三角函数值3.根据特殊角度的计算方法确定直角三角形的属性4.通过示例说明特殊角度计算方法在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析五、综合运用各个方法1.结合正弦定理、余弦定理和特殊角度的计算方法解直角三角形2.根据题目条件选择合适的解题方法3.通过综合运用不同方法解答综合题目4.分析不同解题方法的优缺点和适用范围5.总结解直角三角形的方法和技巧总结：解直角三角形是数学学科中的基础内容，本文介绍了几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。
对于不同的题目和条件，可以选择合适的方法进行解答。
在解题过程中，需要注意运用正确的公式和计算方法，避免常见的错误和误解。
解直角三角形的知识点总结
解直角三角形的知识点总结直角三角形是指其中一个角度为90度的三角形。
解直角三角形可以使用三角函数（正弦、余弦和正切）以及勾股定理等相关知识。
以下是解直角三角形的一些重要知识点的总结。
1.勾股定理：勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两个其他边长度平方的和。
勾股定理可以表示为：a²+b²=c²，其中a、b为直角边，c为斜边。
2.正弦定理：对于任意一个三角形，正弦定理指出三条边的对应角的正弦比是相等的。
对于直角三角形来说，正弦定理可以简化为sinθ = a / c 或sinθ = b / c，其中a、b为直角边，θ为斜边与直角边相对的角度，c 为斜边。
3.余弦定理：余弦定理是指两条边和它们之间的夹角的余弦的平方等于第三边的平方。
对于直角三角形来说，余弦定理可以简化为cosθ = a / c 或cosθ = b / c，其中a、b为直角边，θ为直角边与斜边相对的角度，c 为斜边。
4.正切函数：正切函数是指在一个直角三角形中，直角边的比等于斜边与直角边之间角度的正切。
对于直角三角形来说，正切函数可以表达为tanθ = a / b 或tanθ = b / a，其中a、b为直角边，θ为直角边之间的角度。
5.特殊直角三角形：特殊直角三角形是指具有特殊边长比例的直角三角形。
常见的特殊直角三角形包括45-45-90三角形和30-60-90三角形。
对于45-45-90三角形来说，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边长度的平方根乘以2、对于30-60-90三角形来说，较小直角边的长度为x，较长直角边的长度为x√3，斜边的长度为2x。
6.三角函数关系：在直角三角形中，三角函数之间也有一些重要的关系。
对于正弦、余弦和正切函数来说，正弦函数等于直角边与斜边之比，余弦函数等于直角边与斜边之比，正切函数等于直角边与直角边之比。
另外，正弦函数和余弦函数互为倒数，正切函数等于正弦函数与余弦函数之比。
青岛版数学九年级上册2.4《解直角三角形(2)》教学案
2.4 直角三角形（2）
学习目标：
1. 能够构造直角三角形，利用直角三角形的角与角、边与边、角与边之间的关系解直角三角形.
2. 通过解直角三角形提高学生的分析问题和解决问题的能力。
感受数形结合在解题中的作用.
重点：解直角三角形.
难点：构造直角三角形
教与学过程：
【温故知新】
1.什么叫做解直角三角形？
2.在Rt△ABC中，如图，∠C=90°,∠A,∠B，∠C的对边分别是a,b,c.
（1）角之间的关系：
（2）边之间的关系：
（3）角与边之间的关系：
【创设情境】
1、利用以上关系，已知直角三角形的两个元素（至少一个是），就可以解直角三角形了。
2、利用备好的三角形纸片摆一摆，拼一拼。
大家试一试看谁摆的多？
【探索新知】
活动一：探究例3
如图，在△ABC中，已知∠A=60°，∠B=45°，AC=20cm,求AB的长。
合作交流：（△ABC 不是直角三角形，怎么办？你是怎样构造直角三角形的?你构造的直角三角形能解决这个问题吗？试试看）
展示提升：
精讲点拨：
【巩固提升】
如图，在△ABC 中，已知∠B=45°，∠C=75°，AC=2cm,求BC 的长。
展示提升：
点评：
活动二：探究例4
已知一个等腰三角形ABC 的两边长分别为4和6，求底角的正切值. 合作交流：(要求底角的正切值，需在直角三角形中才能解答，怎么办呢？)
精讲点拨：
A B
C。
24.4.2解直角三角形(方位角)
（2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？ 解（2）：设点E、F是以A为圆心，150km 为半径的圆与BM的交点，由题意得： ∴CE =√AE2 – AC2 = 90 ∴EF = 2CE = 2 x 90 = 180 A F C M
E
∴A城受到沙尘暴影响的时间为 180÷12 = 15小时
练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处， 发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求 (1)从A处到B处的距离; (2)灯塔Q到B处的距离 （画出图形后计算，精确到 0.1 海里）
B Q
北30° 西 东
A 南
练习2：海船以32.6海里/时的速度向正北方向航行，在A 处看灯塔Q在海船的北偏东30゜处，半小时后航行到B处， 发现此时灯塔Q与海船的距离最短，求 (1)从A处到B处的距离; (2)灯塔Q到B处的距离 （画出图形后计算，精确到 0.1 海里）
A
60º 30海里
？
C
B 被观测点
这个问题归结为: 在Rt△ABC中,已知∠A= 60°,斜边AB=30,求AC的长
概括
1、在解决实际问题时,应“先画图,再求解”； 2、在直角三角形中，如果已知两条边的长 度，那么就可利用勾股定理求出另外的一条 边。
3、在直角三角形中，如果已知一条边的长 度和一个锐角，利用三角函数求出其他边。
附加题
由于过度采伐森林和破坏植被，我国部分地区频频遭受沙尘 暴侵袭。近日，A城气象局测得沙尘暴中心在A城的正南方向240km的B 处，以每小时12km的速度向北偏东30°方向移动，距沙尘暴中心 150km的范围为受影响区域。 （1）A城是否受到这次沙尘暴的影响，为什么？ （2）若A城受这次沙尘暴的影响，那么遭受影响的时间有多长？
2.4 解直角三角形(数学鲁教版九年级上册)
一个锐角的度数和一条边的长度．利用上述条件中的一个，能解这个直
角三角形的是( )
A．①②
B．①③ C．②③
D．①②③
解：只要知道直角三角形中六个元素中的任意两个元素，都可以求
出其他的元素．故选 D.
以上分析过程正确吗？
[答案] 不正确．因为解直角三角形时，除了直角外，还需要知道两 个元素，其中一个必须是一条边．①③均有一条边，所以都可以解直角
知识小结
知识点二 解直角三角形
由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做 解直角三角形．
[拓展] 在直角三角形中，除直角外的五个量中，若已知其中的 两个量(至少有一条边)，就可以求出另外三个量，有如下四种 类型：
知识小结
反思
误认为知道任意两个元素就可以解直角三角形
已知一个直角三角形中：①两条边的长度，②两个锐角的度数，③
新课进行时 核心知识点一 解直角三角形
例1 [教材例1，例2变式题] 在Rt△ABC中，∠C＝90°， a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角
三角形：
(1)c＝8，∠A＝60°； (2)b＝2，c＝4； (3)a＝60，∠B＝35°(边长精确到1)．
新课进行时
[解析] (1)已知一锐角A和一条斜边c，求另一锐角B的度数 用两锐角互余，求直角边a用正弦，求直角边b用余弦；(2)已 知一直角边b和斜边c，求另一直角边a用勾股定理，求两锐角 的度数分别用余弦和两锐角互余；(3)已知一锐角B和一条直 角边a，求另一锐角A的度数用两锐角互余，求另一直角边b用 正切，求斜边c用余弦．
新课进行时
解：(1)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. ∵sinA＝ac＝ 23，∴a＝c·sinA＝8× 23＝4 3. ∵cosA＝bc＝12，∴b＝c·cosA＝8×12＝4.
2.4.2解直角三角形(知一边一角)
a b c （勾股定理）
2 2 2
a （3）边角之间的关系 sin A cos B , c a b tan A , tan B , b a
∠A＋∠B＝90°
b cos A sin B , c
例3. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°， c=128，∠B=60°，解这个直角三角形.
1、在下列直角三角形中 不能求解的是（ D ） A、已知一直角边一锐角
B、已知一斜边一锐角
C、已知两边 D、已知两角
2.已知： △ABC中，∠B=45°， ∠C=75°，AC=8，求BC的长。
C
B
D
A
3.已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°， BC=8，求AC和AB的长。
A
B
D
C
B
a更简单.
例4. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°， a=15，∠A=35°27′.求∠B的度数和b，c 的长（精确到1）. A
b c
C
a
B
在Rt△ABC中,∠C=90°：
（1）已知c=15，∠B=60°，求a的长.
（2）已知b=24，∠A=45 °，解这个直角三
角形.
在Rt△ABC中，∠C=90°.（见课本43页议一议） （1）已知c，∠A，写出求a和b的式子； （2）已知b，∠A，写出求a和c的式子； （3）已知a，∠A，写出求b和c的式子；
你能总结一下已知一条边和一个锐角解直角三 角形的方法吗？小组交流展示 总结归纳： 1.由直角三角形的两锐角互余求出另一个锐角。 2.由已知边与所求边的比值所对应的一个锐角三 角函数值，求出该边的长度。
2.4.2解直角三角形 学习目标：
1、会根据三角形中的已知量（一边一角）正 确地求未知量.
2.4 解直角三角形 第2课时课件2024-2025学年 鲁教版(五四制)九年级数学上册
D.12
2.(4分·几何直观)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,若AC=4,cos
度为_____.
4
A= ,则BD的长
5
13
3.(8分·应用意识)正确的握笔姿势对学生的学习和成长都很重要,如图1是某学生的正确
握笔姿势,其示意图如图2.笔杆与纸面所成的角α为53°,笔杆AB长
20 cm,求笔杆顶部离纸面竖直高度BC.(参考数据:sin 53°≈0.80,
b=
a
A
a
c=
A
a=b·
tan A
b
c=
A
c= a2 + b 2
特别提醒:能使用原始数据的尽量使用原始数据,避免多次近似计算.
素养当堂测评
12
(10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=6,则BC的长为( A )
A.6 3
B.3
C.3 3
A.( 3,1)
B.(- 3,1)
C.(1, 3)
D.(-1, 3)
8
【技法点拨】
已知斜边与锐角解直角三角形
在Rt△ABC中,∠C=90°,已知c和∠A
步骤
方法
求另一锐角
∠B=90°-∠A
a=c·
sin A
求直角边
a
b=
或b=
A
c 2 − a2
9
【重点2】已知一直角边和一锐角,解直角三角形
B.mcos α
C.mtan α
D.
tan
3.在平行四边形ABCD中,已知AB=3 cm,BC=4 cm,∠B=60°,则S▱ABCD等于( A )
中考数学解直角三角形
中考数学解直角三角形一、定义：在一个直角三角形中，斜边上的高分两个直角三角形，其中一个与原三角形相似，另一个与原三角形轴对称。
二、解直角三角形的步骤：1、判断三角形的形状：在一个三角形中，最大的角是90°，所以只要有一个角是90°的三角形就是直角三角形。
2、已知直角边a和斜边c，求另一条直角边b：公式： a2 + b2 = c2或 b = √c2 – a2 (在实数范围内进行运算)。
3、已知直角三角形的一个锐角α和斜边c，求另一直角边b：公式： sinα = a / c或 a = c × sinα，求b： tanα = a / b 或 b = a / tanα。
4、判断一个三角形是否是直角三角形的方法：①有一个角是90°的三角形是直角三角形；②两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形；③一边的中线等于这条中线的二分之一的三角形是直角三角形。
解直角三角形中考题在平面几何中，解直角三角形是中考必考知识点之一，也是初中数学的重点内容之一。
下面从以下几个方面来探讨解直角三角形在中考中的常见题型和解法。
一、锐角三角函数锐角三角函数是解直角三角形的基础知识，主要考查学生对三角函数的掌握程度。
一般题型为：已知一个锐角，求其它锐角的三角函数值。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA=____，cosA=____，tanA=____。
解析：根据勾股定理可求得AB=5，再根据锐角三角函数的定义可求得答案。
二、解直角三角形解直角三角形是解直角三角形中最重要的题型，主要考查学生对勾股定理、锐角三角函数的掌握以及应用能力。
一般题型为：已知一直角三角形中的两个边长或一个边长和另一个角的三角函数值，求未知边的长度。
例题：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，sinA=0.6，求AC的长。
解析：根据已知条件可求得∠B的三角函数值，再利用勾股定理可求得AC的长。
24.4.2解直角三角形
仰角、俯角的概念.
例如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从点A测得点D的俯角α为35°12′,测得点C的俯角β为43°24′，求这两个建筑物的高.（精确到0.1m）
1.如图，一只运载火箭从地面L处发射，当卫星达到A点时，从位于地面R处的雷达站测得AR的距离是6km，仰角为43°，1s后火箭到达B点，此时测得BR的距离是6.13km，仰角为45.54°，这个火箭从A到B的平均速度是多少？（精确到0.01km/s）
教学反思
课题
24.4.2仰角与俯角
授课时间
授课班级
教学目标
知识与技能：
1.பைடு நூலகம்解仰角、俯角的含义，准确运用这些概念来解决一些实际问题.
2.培养学生将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的能力.
过程与方法：通过本章的学习培养同学们的分析、研究问题和解决问题的能力.
情感态度与价 值观：在探究学习过程中，注重培养学生的合作交流意识，体验从实践中来到实践中去的辩证唯物主义思想，激发学生学习数学的兴趣.
重点难点
重点：理解仰角和俯角的概念.
难点：能解与直角三角形有关的实际问题.
自主学习内容
预习教材113——114页，找出疑问的地方.
教学步骤
教学内容
教法学法
二次备课
创设情境
导入新课
师生合作
探究新知
知识运用
小结作业
如图，为了测量旗杆的高度BC，小明站在离旗杆10米的A处，用高1.50米的测角仪DA测得旗杆顶端C的仰角α=52°，然后他很快就算出旗杆BC的高度了.（精确到0.1米）
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.
分层作业：
24.4.2解直角三角形2
24.4.2解直角三角形2班级姓名学号一、学习目标1.掌握仰角、俯角的概念,并能准确运用这些概念解决实际问题.2.会把实际问题转化为解直角三角形进行求解.二、知识回顾（课前作业）（一）基础性作业1.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°.（1）三边关系为：；（2）锐角关系为：；（3）边角关系为：) () (sin =A ；) () (cos =A ；)() (tan =A ；) () (sin =B ；) () (cos =B ；) () (tan =B 2.特殊角30°，30°，30°的三角函数为：（二）发展性作业3.如图，一艘船向东航行，上午8时到达B 处,看到有一灯塔在它的北偏东60°方向，距离它72海里的A 处；上午10时到达C 处，看到灯塔在它的正北方向，求这艘船航行的速度.(732.13≈，精确到1海里/时)三、探究新知（课中作业）（一）基础性作业4.新知识，如右图，在进行测量时，从下向上看，与的夹角叫做；从上往下看，与的夹角叫做.5.如图，为了测量旗杆的高度BC ，在离旗杆底部10米的A 处，用高1.50米的测角仪DA 测得旗杆顶端C 的仰角α=60°．求旗杆BC 的高.(414.12≈，732.13≈，精确到0.1米)6.如图，某飞机于空中A 处探测到正下方的地面目标C ，此时飞行高度AC =1700米，从飞机上看地面控制点B 的俯角α=20°，求A 处到控制点B 的距离(34.020sin o ≈，94.020cos o ≈，精确到1米).7.两座建筑物DA 与CB ，其地面距离DC 为50米，从DA 的顶点A 测得CB 顶部B 的仰角α=30°，测得其底部C 的俯角β=45°．求这两座建筑物的高.(414.12≈，732.13≈，精确到0.1米)8.如图，两座建筑物AB和DC的水平距离BC为24米，从点A测得点D的俯角α=30°，测得点C的俯角β=60°．求这两座建筑物的高.(精确到0.1米)9.如图，为了测得某电视塔的高度AB，在D处用高为1.2米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为45°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A的仰角为60°.求这个电视塔的高度AB.。
24.4.2解直角三角形(2)
解直角三角形（二）
1、如图：一棵大树的一段BC被风吹断，顶端着地与地面成300角，顶端着地
处C与大树底端相距4米，则原来大树
高为_________米.
2、已知直角三角形的两直角边的比为3:7，则最小角的正弦
值为_______.
3、如图：有一个直角梯形零件ABCD、AD∥BC，斜腰DC的长为10cm，∠D＝120°，则
该零件另一腰AB的长是__________cm.
4、1米长的标杆直立在水平的地面上，它在阳光下的影长为0.8米；
在同一时刻，若某电视塔的影长为100米，则此电视塔的高度应是( ) A．80米 B. 85米 C. 120米 D. 125米
5、甲、乙两楼相距50米，从乙楼底望甲楼顶仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶俯角为30°，求两楼的高度，要求画出正确图形。
6、某型号飞机的机翼形状如图所示，AB∥CD，根据数据计算AC、BD和CD的长
度(精确到0.1米，2 ≈1.414，3 ≈1.732).。
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a c
C
b
A
温馨提醒：画出草图，解决问题更简单.
例4. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°， a=15，∠A=35°27′.求∠B的度数和b，c 的长（精确到1）. A
b c
C
a
B
在Rt△ABC中，∠C=90°.（见课本43页议一议） （1）已知c，∠A，写出求a和b的式子； （2）已知b，∠A，写出求a和c的式子； （3）已知a，∠A，写出求b和c的式子；
2.4.2解直角三角形 学习目标：
1、会根据三角形中的已知量正确地求未知量. 2、能够应用解直角三角形的知识解决相关问 题.
1.解直角三角形的定义. 2.直角三角形中，除直角外，其他五个 元素之间的等量关系. B
c a
A
b
C
3.已知两边解直角三角形的方法.
例3. 在Rt△ABC中，已知∠C=90°， c=128，∠B=60°，解这个直角三角形.
2.已知： △ABC中，∠B=45°， ∠C=75°，AC=8，求BC的长。.已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°， BC=8，求AC和AB的长。
A
B
D
C
谈谈收获
1、通过这节课的学 习你有什么收获？ 2、本节课你有什么疑惑？
你能总结一下已知一条边和一个锐角解直角三 角形的方法吗？小组交流展示
在Rt△ABC中,∠C=90°：
（1）已知c=15，∠B=60°，求a的长.
（2）已知b=24，∠A=45 °，解这个直角三
角形.
1、在下列直角三角形中 不能求解的是（ D ） A、已知一直角边一锐角
B、已知一斜边一锐角
C、已知两边 D、已知两角